9789147085545

Martin Holmstrรถm Eva Smedhamre Jonas Sjunnesson

ISBN 978-91-47-08555-2 © 2011 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare och redaktör: Anders Ankarberg och Peter Larshammar Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Graphycems, Spanien 2011

Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

108 Janerik Henriksson/Scanpix 113 Rickard Ax/Didacta Omslagsfoton: Birgit Reitz Hofmann/ 117 Alessandro Della Bella/ Zollstock/IBL, J.LL.Banús/Age Keystone/Scanpix fotostock/IBL, Josef Müllek/ 127 Thomas Henriksson/Scanpix Easy fotostock/IBL, Photodisc 133 Fredrik Persson/Scanpix V61 142 Jann Lipka/NordicPhotos 146 Stockfood/NordicPhotos 19 Bengt af Geijerstam/Scanpix/ 183 Claudio Bresciani/ Scanpix Bildhuset 187 Thomas Peter/Reuters/Scanpix 39 Bertil Ericson/Scanpix 243 Anna Peisl/Corbis/Scanpix 93 Christer Wahlgren/Scanpix BILDFÖRTECKNING

255 Johan Bävman/Sydsvenskan/ IBL 271 (1) Shutterstock , (2, 4) OPV, (3) Stockfood/NordicPhotos 275 Linda Axelsson/Sydsvenskan/ IBL 278 Science Photo Library/IBL Kartor: Liber

Till elever och lärare I den här boken för kurs 1a presenteras grundkursen i 9 kapitel.

De elever som siktar mot höga betyg måste naturligtvis ta för sig av svårare uppgifter i Fördjupningar och Utmaningar.

Exempel

1

Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna. I regelrutorna finns det som är extra viktigt.

2

Det finns uppgifter i två nivåer. Grå uppgifter är grunduppgifter, de röda uppgifterna är svårare.

3

Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp.

4

Efter grundkursen finns Fördjupningsavsnitt, Upptäck och visa samt Utmaningar. De uppgifterna har samma svårighetsgrad som de röda.

5

Där finns också ett antal Temaavsnitt som tar upp vardagsmatematik.

6

Varje kapitel avslutas med ett Test, där många av uppgifterna har hänvisning till kapitlens lösta exempel. Första delen i testet ska göras utan räknare.

7

Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns!

!

Regelruta

FördjupnING

utmaningar TEMA

TEST

Tankenöt

Lycka till med kursen!

Författarna

3

innehåll

4

Potenser

Addera med mera 6 Flera räknesätt i samma uppgift 8 Parenteser 10 Diagram och tabell 12 Tallinje 14 Räknaren 17 Kan du dela med 3? 19 Sammanfattning 21 Blandade uppgifter 22 Test 25

Inledning 69 Stora tal 70 Stora tal i grundpotensform 72 Små tal i grundpotensform 74 Räkna med potenser 77 Potenser med räknare 80 Vikt 83 Jämförelsepriser 86 Prefix 87 Lite huvudräkning 89 Avrundning 90 Överslagsräkning 93 Sammanfattning 95 Blandade uppgifter 967 Test 100

2

5

1

De fyra räknesätten

Negativa tal

Inledning 26 Temperatur och pengar 28 Addition av negativa tal 31 Subtraktion av negativa tal 33 Multiplikation och division 35 Sammanfattning 38 Blandade uppgifter 39 Test 42

3

Bråkräkning

Bråk 43 Förkorta och förlänga 47 Bråk med samma nämnare 51 Bråk med olika nämnare 54 Multiplikation av bråk 57 Division av bråk 59 Praktisk bråkräkning 61 Sammanfattning 63 Blandade uppgifter 64 Test 68 4

Procent

Vad är procent 102 Vi söker procenttalet 105 Ändring i procent 107 Vi vet procenttalet 109 Mer än 100 % 111 Träna mera 113 Förändringsfaktor 115 Mer om förändringsfaktor 117 Ränta och amortering 119 Exponentiell förändring 121 Procentenheter 124 Index 127 Promille 130 Vad betyder ppm? 132 Sammanfattning 134 Blandade uppgifter 135 Test 140

6

Ekvationer

Värdet av ett uttryck 142 Förenkla uttryck 144

Ekvationer 148 Mer om ekvationer 152 Ekvationer med x i båda leden 156 Prata algebra 160 Problemlösning och ekvationer 163 Skillnaden mellan 2x och x2 166 Sammanfattning 168 Blandade uppgifter 169 Test 172

7

Geometri

Omkrets och area 173 Längdenheter 178 Mer om omkrets och area 180 Koordinatsystem och geometri 184 Cirkelns omkrets 188 Cirkelns area 191 Vinklar 194 Skala 198 Mer om skala 201 Liter och deciliter 203 Volym och kubik 205 Volym av ett rätblock 207 Cylinderns volym 210 Proportionalitet 213 Förhållande 216 Sammanfattning 218 Blandade uppgifter 220 Test 225

8

Sannolikhetslära

Hur stor är chansen? 227 Koordinatsystem 232 Träddiagram 235 Minsta en vinst 240 Hur ofta inträffar en händelse 242 Sammanfattning 244 Blandade uppgifter 245 Test 247

9

Statistik

Medelvärde med mera 248 Frekvenstabell och diagram 252 Medelvärde frekvensindelat material 255 Mer om medelvärde 257 Relativ frekvens 258 Cirkeldiagram 262 Vilseledande statistik 264 Sammanfattning 265 Blandade uppgifter 266 Test 269 Tema 1 Räcker pengarna 271 2 Valuta 272 3 Pengar tillbaka 273 4 Baka bröd 274 5 Hår och naglar 275 6 Räkna med tid 276 7 Sport 277

Fördjupning 1 Mer om olika räknesätt 278 2 Moms 279 3 Procent med ekvationer 281 4 Uttryck med parenteser 284 5 Ekvationer med parenteser 286 6 Andragradsekvationer 287 7 Pythagoras sats 290 8 Trigonometri 292 9 Kon och pyramid 298 10 Klotets volym 300 11 Upptäck och visa 302

UtmaningaR 304 FACIT 313

Sakregister 340

5

KAPITEL 6

6 Ekvationer Värdet av ett uttryck En taxi tar 40 kr i startavgift och dessutom 30 kr för varje kilometer.

Taxi T = 40 + 30 · x

Om hela kostnaden i kr är T och antalet km (kilometer) är x, kan vi skriva följande formel: T = 40 + 30 · x Vad kostar det att åka 2 km? Vi ersätter x med 2 och får T = 40 + 30 · 2 = 40 + 60 = 100 Det kostar alltså 100 kr.

Lägg märke till att det är vanligt att inte skriva ut multiplikationstecknet vid 30 · x, utan man skriver bara 30x.

40 + 30x kallas för ett uttryck.

Uttrycket 40 + 30x består av två termer, siffertermen 40 och x-termen 30x.

EXEMPEL 1

Vilket är värdet av uttrycket 2x + 7 då a) x = 4 b) x = –3?

!

I uttrycket 5 + a + 2b kallas a och b variabler.

5 kallas sifferterm och 2 kallas koefficient.

a) x = 4 ger 2 · 4 + 7 = 8 + 7 = 15

svar: 15

b) x = –3 ger 2 · (–3) + 7 = – 6 + 7 = 1

svar: 1

c) Titta på uttrycket igen! Vilken är x-termen?

svar: 2x

d) Vilken är siffertermen?

svar: 7

142

EKVATIONER

KAPITEL 6

6020 Viktor sommarjobbar och säljer säckar med potatis från en liten

lastbil. Lastbilen har lastat totalt 500 kg och att varje säck väger x kg. Förenkla uttrycken. a) 500 – 5x – 10x b) 500 – 3x – 2x – 5x –10x

6021 Vilka av följande uttryck betyder detsamma som 6x?

4 + 2x x + 5x x + 3x + 2x 2 + 4x 7x – 1

EXEMPEL 4

En familj antecknar sina inköp av mjölk och fil under några dagar.

2m + f + m + f + 2m Här gäller att 1 liter mjölk kostar m kr och 1 liter fil kostar f kr. Vad har familjen betalat då m = 10 kr och f = 11 kr?

Vi förenklar uttrycket och får 5m + 2f Nu sätter vi in värden på m och f, dvs. m = 10 och f = 11.

5 · 10 + 2 · 11 = 50 + 22 = 72 svar: 72 kr

6022 Vi har uttrycket 2x + 3y + 8x + 2y.

a) Förenkla uttrycket. b) Beräkna uttryckets värde då x = 13 och y = 4.

6023 Hur långt är det enligt skissen från A till B, då

a) s = 12 meter A s

146

EKVATIONER

3s

b) s = 1,7 meter?

B

2s 4s

KAPITEL 1

Diagram och tabell EXEMPEL

Vid en musiktävling ska den populäraste melodin röstas fram. Diagrammet visar resultatet.

antal poäng 50 40 30 20

a) Hur många röster fick melodi 2?

10

Den blå stapeln visar att melodi 2 fick 30 röster.

0

melodi 1

2

3

4

svar: 30 röster b) Vilken melodi fick flest röster? svar: Melodi 3 som fick 50 röster c) Hur många röster gavs totalt?

Vi adderar: 25 + 30 + 50 + 15 = 120 svar: 120 röster

1045 Diagrammet visar en bilhandlares försäljning under en viss tid.

a) Hur många Toyota såldes? b) Är det sant att det såldes fem Renault? c) Hur många bilar såldes totalt?

4

8

Volvo

Renault

Toyota

12

DE FYRA RÄKNESÄTTEN

12

16

20 antal sålda bilar

KAPITEL 1

Kan du dela med 3?

Observera att vi med ordet ”delbar” menar att svaret ska bli ett heltal.

Följande tre delbarhetsregler är det bra att kunna:

!

• Ett tal är delbart med 2 om talet är jämnt, dvs slutar med 0, 2, 4, 6 eller 8.

• Ett tal är delbart med 5 om talet slutar med 0 eller 5.

• Ett tal är delbart med 3 om talets siffersumma är delbar med 3.

Exempel 1

Är talet 1104 delbart med 3?

Siffersumman = 1 + 1 + 0 + 4 = 6 Eftersom 6 är delbart med 3 så är talet 1104 delbart med 3. svar: Ja

DE FYRA RÄKNESÄTTEN

19

KAPITEL 5

5023 Priset på en tröja är 450 kr. På en rea sänks priset med 90 kr till

360 kr. Hur många procent är sänkningen?

5024 En sommar ökade lilla Oskars vikt från 15 kg till 18 kg.

Hur många procent motsvarar detta?

5025 Samma sommar gick Oskars mamma ner i vikt från 60 kg till

57 kg. Hur många procent minskade hon i vikt?

5026 Bestäm ändringen i procent då

a) lönen ökar från 80 kr/timme till 90 kr/timme b) kilopriset på äpple minskar från 20 kr till 14 kr.

5027 Titta på tabellen! För vilken av de tre varorna är den procentuella

prishöjningen störst?

Vara A

Priset har ökat från 250 kr till 350 kr

Vara B

Höjning med 100 kr till 250 kr

Vara C

Innan varan höjdes med 12,50 kr, så kostade den 18,00 kr

5028 Vid ett restaurangbesök blev notan 685 kr och de nöjda gästerna

jämnade av till 800 kr. Hur många procent dricks innebar det?

Avrunda till hela procent.

108

PROCENT

KAPITEL 5

Träna mera Här kommer lite extra träning på det som vi hittills har gått igenom.

5047 Beräkna

a) 25 % av 80 kr

b) 1 % av 4500 kr

c) 16,5 % av 800 kr 5048 Hur många procent av bilden är

a) röd b) blå?

5049 En dator kostar 3000 kr.

Bestäm priset om du får rabatt med a) 10 % b) 20 % c) 40 %

5050 I en förening var

3 av medlemmarna kvinnor.

5

Hur många procent var män?

5051 Tänk dig en timlön på 120 kr. Vilken blir lönen om den ökar

med 2,5 % ?

5052 I vilken av flaskorna fattas

a) 50 %

1

b) 80 %

c) 25 %?

2

3

PROCENT

113

KAPITEL 4

Beräkna och skriv i grundpotensform.

4037 a) 2 · 104 · 3 · 107 4038 a)

b) 4 · 102 · 2 · 105

6 ⋅105

3 ⋅102

b)

4039 a) 1,5 · 103 · 4 · 102 4040 a)

8 ⋅107 2 ⋅105

b) 5 · 106 · 1,4 · 103

6, 4 ⋅108

2 ⋅104

b)

4041 a) 2,5 · 103 · 2 · 102

9 ⋅1012 3 ⋅102

b) 1,2 · 106 · 5 · 104

Beräkna 4042 a) 23 + 22

b) 53 – 102

c) 16 + 24

4043 a) 104 + 103

b) 10 · 102 · 32

c) 10 – 102

4044 a) 52 + 23

b) 52 – 51 – 50

c) 1 + 3 · 102

4045 a) Multiplicera 2 miljoner med 4 miljarder.

b) Dividera 9 miljoner med 5 tusen.

Tankenöt 4

Vilken/vilka av bilderna neda n kan vikas till en ku b?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

POTENSER

79

KAPITEL 4

Överslagsräkning När du varken har räknare eller penna och papper, kan du göra en överslagsräkning.

Det betyder att du först avrundar och sedan räknar med huvudräkning.

Här gäller det att avrunda så mycket att det blir enkelt att räkna. Talen 2, 5, 10, 100 osv. är enkla att räkna med!

Men det gäller också att inte avrunda onödigt mycket.

Eftersom man kan avrunda på flera sätt, finns det många svar som är ok!

Titta på beräkningarna i tabellen.

Överslagsräkning

Med räknare

Plus och gånger Det ena talet avrundas uppåt, det andra nedåt, så att avvikelserna ”tar ut varandra”.

63,8 + 28,5

60 + 30 = 90

472 · 4,38

500 · 4 = 2000

735 – 168

700 – 150 = 550 Minus och delat Båda talen avrundas åt samma håll.

300/100 = 3

265/79

92,3 2067, 36 567 3,354…

EXEmpel

Beräkna med överslagsräkning. Jämför sedan med räknarens svar. a) 472 · 4,38 Överslag ger 500 · 4 = 2000

Räknaren ger 2067,36

Lägg märke till att det ena talet höjs, medan det andra sänks! b) 278/ 85 Överslag ger 300 /100 = 3

Räknaren ger 3,27…

Här höjer vi båda talen!

POTENSER

93

KAPITEL 5

5107 Till 15 delar vatten tillsätter man glykol. Hur stor blir

glykolhalten om man tillsätter a) 5 delar glykol b) 0,05 delar glykol?

5108 Arbetsmiljöverket har utfärdat så kallade gränsvärden för giftiga

ämnen. Gränsvärdena anger hur hög halt av de olika gifterna som kan accepteras.

Luftvolymen i en verkstadslokal är 1200 m3. Vid ett tillfälle läckte 0,7 liter av en giftig gas ut i lokalen.

Klarade man gränsvärdet enligt tabellen om gasen var a) fenol

b) klor?

Ämne

Gränsvärde ppm

Aceton

250

Fenol

1

Klor

0,5

Ozon

0,1

ledning: 1 m3 = 1000 liter

Förklara, utan att använda räknare, vilken av dessa fyra beräkningarna som ger det största svaret?

4 4 4 · 0,99 4 · 0,9 0,99 0,9

PROCENT

133

KAPITEL 5

Sammanfattning Procent

7 % =

7 = 0,07 100

1 hälften = = 50 % 2

1 = 25 % 4

100 %

exempel 1) 8 % av 250 kr = 0,08 · 250 kr = 20 kr

exempel 2) Bilden visar att 3 rutor av 5 är gula.

3 = 0, 6 = 60 % 60 % av bilden är gul 5 exempel 3) Priset på en chokladkaka ökar från 20 kr till 26 kr.

6 Ändring i procent = = 0,30 = 30 % 20

en fjärdedel =

Förändringsfaktor Förändringsfaktor 1,08 betyder ökning med 8 %.

Förändringsfaktor 0,95 betyder minskning med 5 %.

Index

Index är ett jämförelsetal för priser, hyror mm. Man väljer ett år till basår och sätter detta års index = 100. Om ett annat år har index 123 betyder det att priset har ökat med 23 %.

Ränta

Årsränta = kapital · räntesats

Avbetalning

Man betalar tillbaka en del av lånet. Man gör en avbetalning.

Procentenhet

Om räntan ökar från 4 % till 5 % så är ökningen 1 procentenhet.

Ränta på ränta

Om 500 kr finns på ett konto där räntesatsen är 8 %, växer kapitalet på 3 år till 500 kr · 1,083 ≈ 630 kr

Promille

1‰=

ppm Exponentiell förändring

134

PROCENT

1 = 0,001 = 1 tusendel 1000 1 1 ppm = = 0,000 001 = 1 miljondel 1000000

När något ändras med samma procent är förändringen exponentiell. När det gäller ränta kallas detta ränta på ränta.

KAPITEL 5

Mer om förändringsfaktor

EXEMPEL

En cykel kostar 5000 kr. Priset höjs med 12 %. Efter en tid sänks priset med 20 %. Vad kostar cykeln efter sänkningen?

Vi visar två sätt att lösa uppgiften.

Alternativ 1:

Höjning med 12 % ger förändringsfaktorn 1,12 Pris efter höjningen = 5000 kr · 1,12 = 5600 kr Sänkning med 20 % ger förändringsfaktorn 0,80.

Pris efter sänkningen = 5600 kr · 0,80 = 4480 kr Alternativ 2:

Nya priset = 5000 kr · 1,12 · 0,80 = 4480 kr

höjning med 12 %

sänkning med 20 %

svar: Cykeln kostar 4 480 kr

PROCENT

117

KAPITEL 5

Index Tabellen visar Joels månadshyra under åren 2006–2010. År

Hyra (kr)

Indextal

2006

2200

88

2007

2500

100

2008

2750

110

2009

3200

128

2010

4000

160

I kolumnen längst till höger finns index för hyran.

Dessa indextal (jämförelsetal) visar hur mycket hyran har ändrats i jämförelse med hyran år 2007, som har indextalet 100.

Man säger att 2007 är basår.

Indextalen har vi fått genom att dividera varje hyra med hyran för 2007, dvs 2500 kr.

T ex år 2008:

2750 = 1,10 = 110 % 2500

Det ger indextalet 110.

Med hjälp av indextalen blir det enkelt att göra jämförelser.

Speciellt om vi jämför med basåret, som alltid har indextalet 100.

Titta t ex på år 2009 som har index = 128.

Detta innebär att hyran har ökat med 28 % från år 2007 till 2009.

!

Index =

det aktuella årets värde basårets värde

Index anges ofta som heltal.

Basåret har alltid index 100.

Gå gärna in på Statistiska Centralbyråns hemsida, www.scb.se och undersök vilka indextabeller som finns där.

PROCENT

127

KAPITEL 7

Längdenheter Exempel 1

Beräkna rektangelns omkrets.

15 mm 2 dm

Lägg märke till att rektangelns längd ges i dm och bredden i mm.

När vi beräknar omkretsen måste sträckorna ha samma enhet.

Vi omvandlar till cm: 2 dm = 20 cm 15 mm = 1,5 cm O = 20 + 20 + 1,5 + 1,5 = 43

svar: Omkretsen är 43 cm

!

Grundenheten för längdmätning är 1 meter.

Om det gäller stora avstånd kan vi använda enheterna km (kilometer) eller mil.

Till små avstånd kan vi använda mm eller cm.

1 mil = 10 km 1 km = 1000 m

När det gäller dm, cm och mm är linjalen ett praktiskt hjälpmedel vid enhetsbyte.

1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm

1 cm = 10 mm 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 dm = 10 cm

ExEmpEl 2

Omvandla till dm. a) 3 m = 3 · 10 dm = 30 dm 20 b) 20 cm = dm = 2 dm 10 8 c) 8 cm = dm = 0 , 8 dm 10

178

GEOMETRI

eftersom 1 m = 10 dm eftersom det behövs 10 cm till varje dm

KAPITEL 7

7037 Bestäm arean av ett kvadratiskt område som har

omkretsen 60 m.

7038 En kvadrat har omkretsen 24x cm. Skriv ett uttryck för

kvadratens a) sida

b) area

7039 Siri ska måla väggarna och dörren

till ett litet uthus som är 3,5 m brett och 4 m långt. Huset saknar fönster och husets gavel har mått enligt figuren. a) Hur stor area ska Siri måla? b) Huset ska målas två gånger och Siri vet att 1 liter färg räcker till 8 kvm. Räcker det med 5 liter färg?

(m)

3,0 2,0

3,5

GEOMETRI

183

KAPITEL 7

7046 Rita en rätvinklig triangel i

koordinatsystemet. Triangelns hörn ska ligga i origo och punkterna (0, 4) och (4,0).

Bestäm triangelns area genom att a) räkna rutor b) använda formeln för arean.

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

y

x 1 2 3 4

7047 I ett koordinatsystem som är graderat i cm ritas en fyrhörning.

Hörnen har koordinaterna (1, 2) , (5, 3) , (0, –5) och (5, –3).

Bestäm fyrhörningens area.

7048 En kvadrat har två av sina hörn i punkterna (4, 1) och (4, –1)

Vilka är de övriga hörnens koordinater? ledning: Det finns 3 lösningar.

Redan för mer än 2000 år sedan kunde man bestämma platsers lägen, dvs. koordinaterna latitud och longitud.

Stockholm har de ungefärliga koordinaterna N59° och E18°, vilket betyder 59° norr om ekvatorn och 18° öster (East) om Greenwich (London).

Skådespelaren Angelina Jolie har koordinaterna för sina barns födelseorter tatuerade på armen.

GEOMETRI

187

KAPITEL 7

Exempel 2

I en rektangel är omkretsen 40 cm. Förhållandet mellan sidorna är 2:3. Bestäm rektangelns sidor.

Antag att rektangelns korta sida är 2x cm.

Då är den långa sidan 3x cm. Se bilden.

2x

Rektangelns omkrets = 2x + 3x + 2x + 3x Kan förenklas till 10x

3x

Vi får ekvationen 10x = 40 som ger x = 4 Den korta sidan 2x blir 2 · 4 cm = 8 cm Den långa sidan 3x blir 3 · 4 cm = 12 cm svar: Sidorna är 8 cm och 12 cm

7152 Sidorna i en rektangel förhåller sig som 3:5.

Rektangelns omkretsen är 48 cm. Bestäm längden av rektangelns sidor.

7153 Två pakets vikter förhåller sig som 2:3. Tillsammans väger

paketen 65 kg. Hur mycket väger det lättare paketet?

7154 En triangels tre sidor förhåller sig som 5:12:13.

Triangelns omkrets är 90 mm. Bestäm längden av triangelns sidor.

7155 I en rektangel är förhållandet mellan sidorna 3:8.

Den längsta sidan är 36 cm. Bestäm rektangelns area.

7156 En låda har form av ett rätblock. Lådans kanter förhåller sig som

2:3:4. Den kortaste kanten är 24 cm. Vilken är lådans volym?

Svara i hela liter.

Beskriv några matförpackningar med hjälp av rymdgeometriska former.

GEOMETRI

217

KAPITEL 8

8033 Detta lyckohjul snurras tre gånger.

Hur stor är sannolikheten att hjulet visar a) blått varje gång b) samma färg varje gång?

8034 Tre resor ska lottas ut till 17-åringar i Sverige.

Ett år finns det 57 821 pojkar och 54 259 flickor som är 17 år.

Hur stor är sannolikheten att alla tre resorna går till flickor?

Svara i procent med en decimal.

8035 På en stryktipskupong ska man välja 1, X eller 2 för tretton

matcher. Bestäm den slumpmässiga sannolikheten att få a) 13 rätt b) 0 rätt

c) Vilken är sannolikheten att få 13 rätt när du har garderat som på bildens tipskupong?

Minst en vinst Exempel

Hur stor är chansen att få minst en 6:a, då man kastar två tärningar?

Ett bra sätt att tänka, när det handlar om ”minst en sexa”, är att titta på komplementhändelsen, som är ”ingen sexa”.

5 Första tärningen: P(inte sexa) = 6 5 Andra tärningen: P(inte sexa) = 6 5 5 25 P(ingen av de två tärningarna visar sexa) = ⋅ = 6 6 36 Nu använder vi att P(A) = 1 – P(inte A) P(minst en av tärningarna visar en sexa) = 1– P(ingen visar sexa) 25 1 − ≈ 0, 31 36 svar: Chansen är 31 %

240

SANNOLIKHETSLÄRA

KAPITEL 8

8046 Titta på bilden. Herman tar slumpmässigt upp en kula och

antecknar färgen, sedan lägger han tillbaka kulan och gör om försöket. Hur många gånger bör han få en kula som är ”blå eller gul” om han gör försöket 200 gånger?

8047 Robin kastar två tärningar och bestämmer poängsumman.

Hur många gånger kan han förvänta sig att poängsumman blir 10 om han gör 3000 kast?

8

2 3

6

450 gånger på nummer 5. Varje spel kostar 2 kr och varje vinst är 10 kr.

Hur mycket kan man förvänta sig att Vera har vunnit eller förlorat efter 450 spel?

1

7

8048 På detta chokladhjul spelar Vera

5

4

8049 Vid en undersökning av 1600 trebarnsfamiljer visade det sig

att i 100 familjer hade man tre pojkar. Är detta vad man kan förvänta sig teoretiskt i trebarnsfamiljer?

SANNOLIKHETSLÄRA

243

KAPITEL 9

Medelvärde av frekvensindelat material Några ungdomar söker sommarjobb.

Tabellen visar ungdomarnas ålder.

Vilken är medelåldern?

Ålder (år)

Antal

16

2

17

1

18

4

19

5

När vi ska beräkna medelåldern måste vi först veta summan av ungdomarnas åldrar. Vi utökar därför tabellen med en kolumn där vi beräknar sammanlagd ålder (summan).

I tabellen ser vi att det finns 2 ungdomar som är 16 år.

Deras sammanlagda ålder = 2 · 16 år = 32 år. Ålder (år)

Antal

Sammanlagd ålder (år)

16

2

2 · 16 = 32

17

1

1 · 17 = 17

18

4

4 · 18 = 72

19

5

5 · 19 = 95

n = 12

summa = 216

Det är totalt 12 ungdomar och summan av deras åldrar är 216 år.

216 x= = 18 svar: Medelåldern är 18 år 12 STATISTIK

255

KAPITEL 9

9050 På 20 fotbollsmatcher gjordes så här många mål:

3 3 0 1 2 5 1 2 4 3 2 2 4 2 1 6 0 2 1 1 a) Gör en frekvenstabell och rita ett stolpdiagram.

Bestäm

b) typvärde

c) x

d) Vb

9051 Vid ett test mätte man hur snabbt försökspersonerna fattade ett

beslut. Se tabellen nedan.

Tid i sekunder

Frekvens

10

26

11

15

12

9

13

6

14

4

a) Hur många personer deltog i testet? b) Redovisa tabellens värden i ett stolpdiagram där den relativa frekvensen i procent är avsatt på y-axeln. Avrunda procentsatserna till heltal. c) Hur många procent hade en tid som var mindre än 12 sekunder? d) Bestäm medelvärdet.

9052 Hur stor ska medelpunktsvinkeln vara i ett cirkeldiagram, om

sektorn ska motsvara a) 15 % b) 80 %

c)

1

4

d)

1 ?

5

• Vilket av begreppen nedan har inte behandlats i kapitel 9?

• Förklara i ord och ge exempel på de fem matematiska begreppen från kapitel 9. median träddiagram variationsbredd gynnsamma utfall prefix relativ frekvens

STATISTIK

267

KAPITEL 2

Blandade uppgifter 2059 En morgon var det –5°. På dagen steg temperaturen med

7 grader. Vad visade termometern då?

2060 Vilka tal pekar pilarna på? d

c

a

b 0

2

Beräkna 2061 a) –2 + 7

b) 3 – 9

c) –8 – 2

2062 a) 4 – (–8)

b) – 9 + (–2)

c) 11 + (–13)

2063 a) – 5 – 13

b) 6 – 8

c) 0 – 3 – 5

2064 a) 0 – (–3)

b) 9 + (–3)

c) – 2 – (–1)

2065 Utgå från talen –5 och 4 och –10.

a) Vilken är summan?

b) Bestäm produkten.

Sant eller falskt?

2066 a) 9 > –11

b) –6 < 2

c) –3 > –2

2067 a) –2 – (–2) = 0

b) 1 – 3 > 0

c) –2 < 2 –3

NEGATIVA TAL

39

KAPITEL 1

TEST 1 1

Beräkna 13 – 3 · 4

ex 1 sid 8

2

Beräkna a) 7 + 2 · (8 – 3)

ex sid 10

3

4

4+8

2

b)

Skriv rätt tecken mellan talen.Välj mellan >, = och <. a) 2 6 b) 3,00 3 c) 0,05 0,20 Sant eller falskt? a) 0,08 < 0,7

b) 0,9 = 0,90

c) 2,3 – 0,7 = 1,54 + 0,06

d) 45 > 23 + 31

6 med räknare.

2⋅3

5

Beräkna

6

Utgå från följande fem tal: 30

0,5

2

20

ex 2 sid 15

ex sid 17

0,1

Vilket blir svaret om du a) multiplicerar det största talet med det minsta talet b) adderar de två minsta talen c) dividerar det minsta heltalet med det minsta talet?

7

Brian köpte en kamera och betalade med en femhundring och fyra hundralappar. Vad kostade kameran om han fick 31 kr tillbaka?

8

Bestäm kvoten om täljaren är 30 och nämnaren är a) 10 b) 100 c) 1000

9

Ge exempel på ett primtal > 60.

10

Samira vinner på en trisslott och får 25 000 kr varje månad i 6 år. a) Hur mycket får Samira varje år? b) Är det sant att Samira totalt får mer än 2 miljoner?

DE FYRA RÄKNESÄTTEN

25

TEMA 1 Räcker pengarna?

22 kr

25 kr

18 kr

6 kr

Här ska du använda huvudet istället för räknaren.

1 Vad kostar

a) 2 semlor

b) 3 kaffe

c) 7 godisbitar d) 4 glass?

2 Räcker pengarna om du har 60 kr och vill köpa

a) 4 kaffe

b) 3 semlor

c) 5 glass

d) 12 godisbitar?

3 Vad kostar

a) en kaffe och en glass

b) 2 kaffe och 2 semlor

c) 4 kaffe och 4 semlor

d) 2 glass och 4 godisbitar?

4 Räcker pengarna om du har 100 kr och vill köpa

a) 5 kaffe

b) 5 glass och en godisbit?

c) 4 kaffe och en glass

d) 9 kaffe och 6 godisbitar?

5 Räcker 300 kr om du ska köpa 5 kaffe, 5 semlor och 5 glass?

6 Vincent betalar med 500 kr när han köper följande:

Tidning 48 kr Godis 25 kr

Stryktips 165 kr

Är det sant att han får mer än 250 kr tillbaka?

1 Räcker pengarna?

271

TEMA

5 Hår och naglar Av en människas cirka 5 miljoner hårstrån finns ungefär 120 000 på hjässan. Vi kallar dessa hårstrån för huvudhår.

Huvudhår växer med ca 15 cm per år och ett huvudhår kan växa i 6–7 år. Normalt tappar man 100 huvudhår varje dag.

Ett hårstrå är ungefär 0,07 mm tjockt.

De hårstrån som du har på armar och ben växer lika snabbt som huvudhår men de växer bara 2–3 månader innan de faller av.

Naglarna på dina fingrar blir ca 3 mm längre varje månad.

Dina tånaglar växer med ca 1,5 mm/månad.

Besvara följande frågor med hjälp av texten ovanför.

1 Hur mycket växer ditt huvudhår på 5 år?

2 Är det sant att dina tånaglar växer 1,8 cm på ett år?

3 Hur många huvudhår tappar du på ett år?

4 Hur många procent av dina hårstrån finns på din hjässa?

5 Hur långt är hår på armarna efter 2 månaders tillväxt?

6 Liz har en 7 cm lång nagel på ett finger.

Hur lång tid har denna nagel växt?

7 Är ett hårstrås tjocklek ca 7 · 10–3 mm?

5 Hår och naglar

275

FÖRDJUPNING 1 Mer om olika räknesätt EXEMPEL

Beräkna (−3) ⋅ (−5) + (−3) ⋅ (−5) +

−30 3

−30 = 15 + (– 10) = 15 – 10 = 5 3

svar: 5 Beräkna 101

a) 10 · 0 + 10 · 0,8

b) 200 + 100 · 1,5

102

Vilket tal ska skrivas i den tomma rutan? a) 4 ·  + 2 = 10 b) 10 – 2 ·  = 4 c) 5 · 2 +  · 8 = 18

103

d) 5 – 4 ·  = 3

Ali, Bosse och Carin ska ha en fest. Ali köper mat för 100 kr och Carin för 80 kr. Hur mycket, och till vem, ska Bosse betala så att de tre har betalat lika mycket?

Beräkna

−50

10

b) 4 ⋅ (−3) −3

104

a) 20 +

105

a)

106

a) 2(3 · 4 + 5) – 7

107

a)

108

Ange det tal som ligger mitt emellan a) –2 och –20 b) –2,3 och 1

278

12 + (−3) ⋅ (−4 ) −3

2⋅7 − 3⋅2

5 −1

6 Räkna med tid

b)

2 + 3 ⋅ (−2) −2

b) 1 + 2(16 + 2 · 3) b)

15 − 2 ⋅ 4 + 3 12 − 2 ⋅ 5

FÖRDJUPNING

109

Vilket tal ska skrivas i rutan? a) 2 ·  + 6 = –3 b) 10 +  = 3 · (–5)

Beräkna

1 − 15

2 12 − 3 a)

3 − 12

−6 − 2 1− 3 2 ⋅ (−3) b) 2−3

112

a) (–5) · 2 · (–3)

b) (–1) · (–1) · (–1)

113

a) 3 · (–2) · (–1) · 0

b) 5 · (–1) · 3 · (–2) · 2

114

a)

110 111

a)

(−8) ⋅ (−5)

4

b)

b)

(−4 ) ⋅ 2 ⋅ (−1) ⋅10 (−5) ⋅ 8

2 Moms Vi betalar moms (mervärdesskatt) när vi köper varor och tjänster.

Det finns tre olika procentsatser för moms, 25 %, 12 % och 6 %.

Den vanligaste procentsatsen är 25 %.

Om man på en faktura (räkning) anger priset exklusive moms (utan moms), måste man lägga till 25 % för att få slutpriset.

Det vanligaste för privatpersoner är att priset anges inklusive moms (momsen finns i priset). Momsen utgör då 20 % av priset. exempel

Ett kylskåp kan köpas för 3860 kr exkl. moms i en nätbutik.

Vad kostar kylskåpet när momsen är inräknad?

Momsen som ska läggas på är 25 % .

1,25 · 3860 kr = 4825 kr svar: Inklusive moms blir priset 4825 kr Alternativ: 25 % av 3860 kr = 965 kr.

Beräkna sedan 965 kr + 3860 kr = 4825 kr.

2 Moms

279

FÖRDJUPNING

8 Trigonometri Trigonometri uppstod för crka 2 000 år sedan och tillämpas idag bl.a. inom lantmäteri och astronomi. Trigonometri används för att bestämma avstånd och vinklar.

Här har den rätvinkliga triangeln stor betydelse.

Sidorna i en rätvinklig triangel kallas för hypotenusa och katet (2 st).

Då man namnger kateterna, utgår man alltid från en av de spetsiga vinklarna i triangeln.

Den katet som är närmast vinkeln v kallas närliggande katet.

Kateten som är mitt emot vinkeln v kallas motstående katet. hyp oten usa

usa oten hyp

motstående katet

v närliggande katet

v

närliggande katet

motstående katet

Titta på trianglarna nedan. Den stora triangeln är en förstoring av den lilla triangeln i skala 3:1. Eftersom trianglarna har samma form (är likformiga) så är vinkeln v lika stor i båda trianglarna.

I båda trianglarna gäller att den motstående kateten är hälften av hypotenusan, och det är det som är typiskt för vinkeln v.

24 8 v

4

v

Vilket värde får kvoten Lilla triangeln:

12

motstående katet ? hypotenusa

4 12 = 0, 5 Stora triangeln: = 0, 5 8 24

Vi får samma värde för båda trianglarna!

Kvoten

motstående katet kallas sinus för vinkeln v. hypotenusa

Här gäller att sin v =

4 = 0, 5 8

Kvoten beror enbart av vinkelns storlek.

292

8 Trigonometri

FÖRDJUPNING

Bestäm vinkeln x.

183

(m)

12

x 18

EXEMPEL 4

Hur hög är radiomasten? h

h tan 25° = 145

25°

h = 145 · tan 25° x

145

tan

145 m

25

=

h ≈ 68 svar: Radiomasten är 68 m hög.

EXEMPEL 5

Beräkna längden av hypotenusan x i triangeln.

17 sin 48° = x x · sin 48° = 17 17 x= sin 48°

÷

17

sin

48

48°

x

(cm)

17

=

x ≈ 23 svar: Hypotenusan är 23 cm.

184

Beräkna längden av de sidor som markerats med x. Mått i meter. a) b) x

67,1°

583

48

296

8 Trigonometri

69° x

FÖRDJUPNING

11 Upptäck och visa Här följer tre större uppgifter. Varje uppgift består av flera delar, där den sista ofta innebär att du ska formulera en regel eller ett bevis.

Den sista delen kan vara riktigt svår, de första betydligt lättare.

Alla kan försöka göra någon av de första deluppgifterna. Lycka till!

1 Mönster och formler Titta på de 3 tändsticksfigurerna! Varje figur består av liksidiga trianglar. Vi tänker oss att mönstret sedan fortsätter på samma sätt i bild nummer 4, 5 osv.

1.

2.

3.

1 Hur många stickor behövs det till bild nummer 4 och 5.

Fyll i tabellen.

Bild nr

1

2

3

Antal stickor

3

5

7

4

5

n

2 Hur många stickor behövs det till bild nummer 10?

3 Bestäm den formel som anger antal stickor s i bild nummer n.

4 Använd formeln och bestäm antalet stickor s bild nummer 40?

5 En av figurerna består av 65 stickor. Bestäm bildens nummer.

6 Hur många stickor ingår i omkretsen av bild nummer

1, 2, 3 och 4?

7 Skriv formeln för antalet stickor s som ingår i

omkretsen O i bild nummer n.

8 Antag att varje sticka är 3 cm lång.

Bestäm omkretsen i bild nummer 20.

302

11 Upptäck och visa

UTMANINGAR

UTMANINGAR UTMANING 1 1

När är det skottår? Vi har skottår då årtalet är jämnt delbart med 4. Om årtalet slutar på 00, måste det vara jämnt delbart med 400 för att vara skottår.

Vilka av följande år är skottår? a) 1942 b) 2200 c) 2054 d) 2216

2

Då man adderar talen 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 kan man utnyttja att 10 + 1 = 11 och 9 + 2 = 11 osv. Alltså gäller att 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 5 · 11 = 55 Beräkna på motsvarande sätt a) 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 b) 1 + 2 + 3 + … + 999 + 1000

3

Då man spelar på lotto ska man välja 7 nummer av totalt 35.

Detta kan göras på så här många olika sätt: 35 ⋅ 34 ⋅ 33 ⋅ 32 ⋅ 31 ⋅ 30 ⋅ 29 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

Hur många olika lottorader finns det?

4

Talet 2581 är en produkt av två primtal. Vilka?

5

Nämn två olika positiva tal vars summa är större än talens produkt.

6

Uttrycket 5! utläses ”fem-fakultet” och beräknas så här: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 8!

Beräkna a) 6! b) 3! + 4! c) 6!

7

Välj ett jämnt tvåsiffrigt tal. Skriv ditt tal som summan av två primtal.

304

UTMANING 1

M1a Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 1a och riktar sig till elever på yrkesprogrammen.

Boken passar även för vuxenutbildningen.

• Bokens enkla språk och tydliga förklaringar gör matematiken begriplig.

• Nivåindelade uppgifter gör det lätt att individualisera.

• Många lösta typexempel.

• Tema med vardagsmatematik.

• Fördjupningar och Utmaningar.

M är en matematikserie för gymnasieskolan.

Serien täcker samtliga gymnasieprogram.

Best.nr 47-08554-5 Tryck.nr 47-08554-5