9789127430075

Jonas Bjermo Daniel Domert Jenny Lundin Jakobsson Lars Madej Anita Ristamäki Mia Öberg

Matematik | Årskurs 9

Fem förmågor i matematik PROBLEMLÖSNING

METOD RESONEMANG KOMMUNIKATION

Vektor består av • 5 välstrukturerade kapitel med direkt koppling till Lgr 11 och det Centrala innehållet.

• Ett stort urval varierade uppgifter med olika svårighetsnivå och möjlighet för eleven att själv välja väg.

• Uppgiftsspecifika bedömningsmatriser till flera uppgifter i varje kapitel.

För mer information se www.nok.se/vektor

ISBN 978-91-27-43007-5

9 789127 430075

Vektor ak 9 Omslag CS6.indd 1-4

Matematik | Årskurs 9

BEGREPP

Vektor är ett läromedel i matematik för åk 7 – 9 helt synkroniserat med Lgr 11. Med Vektor kan man vara säker på att man får de bästa förutsättningarna för att träna och utveckla sina matematiska förmågor. Formativ bedömning uppmuntras och underlättas tack vare de bedömningsmatriser som medföljer. Genom matriserna blir man delaktig i sitt eget lärande och kan ta ansvar för sin egen utveckling.

Vektor

Vektor

Vektor Matematik | Årskurs 9

9 2015-07-09 11:00

©Morgan Karlsson/Johnér

ns en väg je elev

Hej och välkommen till Vektor!

v ett antal kapitel som avsnitt. I varje avsnitt nomgångar och exempel Uppgifterna i avsnitten avdelningar och eleverna om dem på två olika sätt:

Vektor 9 har fem kapitel. Varje kapitel består av flera avsnitt som alla är upplagda på samma sätt. Uppgifterna i avsnitten är uppdelade i nivåer och där kan man välja två alternativa vägar.

Det finns många olika sätt att lära sig matematik och varje elev är unik.

det nya och grunda elever börjar här. n och syftar till att ska komma vidare bba på.

VÄG 1

VÄG 2

Starta

Starta

Ett varv till

Kör vidare

Kör vidare

Öka

ba mer för att gande kunskaperna till Ett varv till som på samma nivå som

Diagnos

g redo för nya går direkt till Kör e med ökad svårig-

bbat igenom Kör vipgifter med ökande

Alla börjar med Starta och möter här det som är nytt för avsnittet.

Därefter väljer man om man ska gå vidare med Ett varv till eller Kör vidare.

Diagnos tillförmöter man fler uppgifter av samma karaktär som i I Ett varv Efter avsnitten är det dags diagnos.

Resultatet i diagnosen ger dig och din elev vägledning om hur han eller hon ska arbeta vidare. Behöver eleven reparera brister i kunskaperna om kapitlets centrala innehåll eller förstärka och utveckla sig inom de olika förmågorna?

Starta och får möjligheten att befästa de nya kunskaperna ytterligare.

I Kör vidare jobbar man vidare med uppgifter med ökad svårighetsgrad.

Under rubriken Öka fortsätter svårighetsstegringen och man möter mer utmanande uppgifter.

Repetera

Här börjar de elever vars diagnosresultat visat att de behöver repetera kapitlets grunder. När de är klara går de vidare till avsnittet Fokus på förmågorna.

På alla uppgiftsnivåer finns uppgifter markerade med . Det betyder att det finns en bedömningsmatris kopplad till uppgiften.

Färgsnurran har olika färger beroende på vilken eller vilka förmågor Fokus på förmågorna Repetera

Fokus på förmågorna

uppgiften främst avser att träna. På fliken längst bak i boken finns förmågorna skrivna med motsvarande färger.

Här jobbar de elever vidare efter diagnosen som inte behöver repetera något moment.

Här väljer eleven istället uppgifter utifrån de förmågor man behöver stärka och utveckla.

Vägledning i sitt val får eleven från resultatet på diagnosen.

Symbolen betyder att det är en uppgift som är särskilt väl lämpad att göra i par eller i grupp.

När alla avsnitt är genomarbetade gör man en diagnos. Resultatet på den ger vägledning om hur man arbetar vidare. Behöver man repetera grunderna gör man det i Repetera. Är man säker på grunderna jobbar man vidare med avsnittet Fokus på förmågorna, där man antingen kan välja att stärka specifika förmågor eller träna på att identifiera förmågor.

Lycka till!

Författarna

00_Vektor 9 Fortext 150707.indd 3

2015-07-09 15:22

Innehåll 1 Tal

3 Algebra

6

110

1.1 Potenser med negativ exponent 8

3.1 Linjära funktioner 112

1.2 Grundpotensform och prefix 12

3.2 Ekvationssystem 131

1.3 Multiplikation och division med bråk 24

3.3 Exponential och potens funktioner 144

1.4 Kvadratrötter 32

3.4 Konjugat- och kvadrerings reglerna 153

1.5 Olika typer av tal 38 1.6 Talbaser och talsystem 46 Repetera 57 Fokus på förmågorna 60 Sammanfattning 62

2 Geometri

64

Repetera 161 Fokus på förmågorna 164 Sammanfattning 166

4 Sannolikhet

168

4.1 Kombinatorik 170

2.1 Pythagoras sats 66

4.2 Vad är sannolikhet? 182

2.2 Volym 73

4.3 Sannolikhet för flera händelser i rad 190

2.3 Mer om volym 82 2.4 Begränsningsarea 90 2.5 Symmetri 99 Repetera 105 Fokus på förmågorna 107 Sammanfattning 108

Repetera 204 Fokus på förmågorna 206 Sammanfattning 208

5 Repetition

210

5.1 Begrepp 212 5.2 Metod 216 5.2 Problemlösning 219 FACIT 222 REGISTER 242

00_Vektor 9 Fortext 150707.indd 5

2015-07-09 15:22

1 Tal ta Pra te! m at

Innehållsdivison SYFTE: Använda ett sätt att se på division för att dividera bråktal.

1 Hur många treor ryms i talet 6? Vad är alltså 2 Hur stor del av talet 6 ryms i talet 3?

6 ?

3

3 Detta är samma sak som beräkningen .

6 3 Rita två lika stora figurer.

4 Skugga hälften av den första figuren och

en fjärdedel av den andra figuren.

5 Hur många fjärdedelar ryms i en halv? Jämför storleken

av de skuggade områdena. Hur mycket är

1 2

/

1 ?

4

1 4

/

1 ?

2 1 1 7 Skapa några liknande divisioner med bråk där kvoten blir 3, 4, eller .

3 4 6 Hur stor del av halvan ryms i fjärdedelen? Hur mycket är

Det centrala innehållet I kapitlet Tal kommer du att arbeta med • potenser med negativ exponent

• kvadratrötter

• grundpotensform

• olika typer av tal

• prefix

• några äldre metoder för multiplikation

• multiplikation och division med bråk

• talbaser och talsystem

6 ta ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 6

2015-07-09 11:20

ta l   7

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 7

2015-07-09 11:20

1.1 Potenser med

negativ exponent Vi har tidigare arbetat med potenser där exponenten varit ett positivt heltal eller noll. Vi ska nu se vad det innebär och hur vi hanterar potenser när exponenten är negativa heltal.

POTENSREGLER

a ·a =a a x = ax–y ay a0 = 1 x

y

x+y

När vi arbetade med potenser tidigare så bekantade vi oss med några viktiga och användbara räkneregler för potenser.

Nu går vi vidare och undersöker potenser där exponenten är ett negativt tal. Vad innebär till exempel 5-2 ?

Vi kan inte tolka den här potensen som upprepad multiplikation, för hur multiplicerar man 5 med sig självt minus två gånger?

Vi utgår från räknereglerna för potenser och se vad dessa medför när exponenten är negativ. Från räknereglerna vet vi till exempel att: 5-2 = 50 – 2 = Vi kan lägga till 0 utan att ändra exponentens värde.

50 1 = 52 52

50 = 1 Subtraktion av exponenter motsvarar division.

Mer allmänt har vi då med ett liknande resonemang att a0 1 a-n = a0 – n = n = n a a Regeln fungerar inte om a = 0, eftersom vi då försöker dividera med noll.

Från våra potensregler kommer vi alltså fram till det viktiga resultatet att: 1 a-n = n för alla tal a ≠ 0 a En följd av detta är att vi får samma resultat om vi multiplicerar ett tal med a-n som om vi dividerar det med an.

8

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 8

2015-07-09 11:20

1101 a) Beräkna 10-2

b) Beräkna 2-3

a) 10 -2 = 1 2 = 1 = 0,01 10 100

Exempel

Vi skriver 10-2 som 1 2 10

Svar: 1 eller 0,01.

100 b) 2 -3 = 13 = 1 = 0,125 2 8

Skriv 2-3 som

1 23

Svar: 1 eller 0,125.

8

1102 Skriv talen som en potens med negativ exponent.

a) 1 64

b)

1 10 000

a) 1 = 12 = 8-2 64 8

b)

1 = 1 = 10-4 10 000 10 4

Svar: 8-2

Svar: 10-4 Exempel

1103 Skriv talen som en potens.

2 a) 6-3 6

Exempel

b) 3-4 · 32

2 a) 6-3 = 62 - (-3) = 62 + 3 = 65 6

Vi använder potensregeln a x = ax – y ay

Svar: 65 b) 3-4 · 32 = 3 -4 + 2 = 3 -2

Vi använder potensregeln ax · ay = ax+y

Svar: 3-2

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 9

9

2015-07-09 11:20

starta

ett varv till

1104 Skriv i decimalform

1109 Skriv i bråkform

a) 10-2

b) 2-1

d) 2-4

e) 5-2

c) 10-4

1105 Beräkna

a) 3 ∙ 3 -2

b) 4 ∙ 4 -2

2

d) 3-4 ∙ 34

d) 7-2

e) 10-5

a) 22 ∙ 2-1 c) 5-2 ∙ 55

c) 10-3

b) 1-5 ∙ 14 d) 82 ∙ 8-3

1111 Beräkna

1106 Beräkna

a) 10-1 + 42

b) 23 + 2-2

c) 102 + 2-1

d) 4-1 + 5-1

1107 Skriv som en potens.

a) 3 · 3

-3

c) 2 · 2

-2

-4

b) 2-1

1110 Beräkna 3

c) 72 ∙ 7-4

-2

a) 3-4

b) 32 + 10-2

c) 8-1 + 2-2 d) 103 + 5-1 1112 Skriv som en potens.

-4 b) 6-2 6

a)

4-3 4-2

b) 4-6 · 4-2

-2 d) 5 3 5

c)

34 3-5

d) 74 · 7-2

1108 Skriv som en potens med negativ

exponent. a) 1 4 c) 1 9

a) 52 + 3

b) 1 16 d) 1 125

Hur gick det?

Ta Ett varv till om du behöver repetera, annars Kör vidare.

1113 Skriv på potensform med negativ

exponent.

1 a) 5·5·5

b)

1 6·6

c)

1 4·4·4·4

kör vidare 1114 Beräkna och svara i heltal eller bråkform.

a) 5-1 + 5-2

b) 3-2 + 3

d) 4-2 + 5-1

e) 1-1 + 1-2 + 1-3

c) 4-2 + 4-1

1115 Para ihop de tal som är lika stora.

Förklara hur du tänker.

0,25 5-2 10-4 6-2 4-1 0,0001 0,04

10

1 36

TA L

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 10

2015-07-09 15:55

1120 Storleksordna talen.

Börja med det största. a) 2-4 b) 100

3-2 -2

2-3

200

-1

4-1

0,26

10

20-2

-3

1121 Beräkna värdet på x.

a) 10x = 0,0001

b) 7x =

1 49

öka 1122 Beräkna 1116 Värdet på Katarinas bil halveras var

femte år. Bilens nypris var 200 000 kr.

Antal år

Värde i kr

0

200 000 · 2 - 0

5

200 000 · 2 - 1

10

200 000 · 2 - 2

1123 Beräkna x.

a)

Hur mycket är bilen värd efter a) 15 år

b) 20 år

a12 · c13 · b5 om a = 4, b = 2 och c = 2. b3 · a10 · c10 (utan att använda miniräknare)

c) 30 år?

1117 Beräkna

1 103 · 102 b) 4 104 · 106 c) ((-1)-2 + 53) · 3-2 a) 24 · 5 · 5-2 ·

1118 Hur många gånger större är 23

jämfört med 2 .

-3

1 1 1 · · = 2x 2 4 64

b)

3 2 1 · · = 5x 5 10 15

1124 Titta på uttrycket 5-x. Om vi ersätter

x med talen 1, 2, 3 och 4, ett i taget, och beräknar så får vi talen 1 1 1 1 och 5 25 125 625

Uttrycket 5-x blir alltså mindre och mindre ju större tal man ersätter x med.

Hur stort måste x vara för att 5-x ska bli lika med noll?

1 som en potens 3 125 med negativ exponent.

1119 Skriv

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 11

11

2015-07-09 11:20

1.2 Grundpotensform

och prefix

I många sammanhang stöter vi på väldigt stora och väldigt små tal. Till exempel är jordens massa ungefär 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg och radien av en väteatom är 0,000000000053 m.

Det är besvärligt att skriva ut och läsa tal med så många nollor. Med hjälp av grundpotensform och prefix kan vi hantera sådana tal på ett smidigare sätt.

Grundpotensform Potenser där basen är talet 10 kallas för tiopotenser, till exempel 103 = 1 000 och 10-2 = 0,01. Med hjälp av tiopotenser kan stora och små tal skrivas på ett enkelt och användbart sätt. Detta skrivsätt kallas grundpotensform. Tal i grundpotensform består av ett tal mellan 1 och 10, som multipliceras med en tiopotens. Ett exempel på ett tal skrivet i grundpotensform är 4,6 ∙ 103. Alla tal kan skrivas på grundpotensform och man har nytta av att kunna växla mellan grundpotensform och vanlig form.

Så hur skriver vi ett tal som till exempel 23 000 på grundpotensform?

Vi kan börja med att multiplicera 23 000 med 1.

Sedan ska vi göra omskrivningen 23 000 = ett tal mellan 1 och 10 ∙ en tiopotens Nu kan vi dividera 23 000 med 10 tills det blir ett tal mellan 1 och 10.

Men för att inte förändra värdet måste vi samtidigt multiplicera 1 med 10 så att vi får en tiopotens. Det blir alltså: /10 /10 /10 /10

23 000 ∙ 1 2300 ∙ 10 230 ∙ 102 23 ∙ 103 2,3 ∙ 104

∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

12 ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 12

2015-07-09 11:20

Om vi sammanfattar vad som hänt så har vi, efter att ha dividerat 23 000 med 10 fyra gånger, fått talet 2,3. Samtidigt har vi multiplicerat 1:an med 10 fyra gånger, vilket ger oss tiopotensen 104. Talet 23 000 i grundpotensform är alltså 2,3∙104.

Vi kan använda samma teknik för tal som är mindre än 1, till exempel 0,0014. Vi skriver 0,0014 ∙ 1 och sedan multiplicerar respektive dividerar vi båda talen med 10. ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

0,0014 ∙ 1 0,014 ∙ 1/10 0,14 ∙ 1/100 1,4 ∙ 1/1 000

/10 /10 /10

Vi multiplicerar 0,0014 med 10 tre gånger och kommer till 1,4.

Samtidigt har vår etta dividerats med 10 tre gånger. Det ger oss 1/1 000, vilket är detsamma som 1/103, det vill säga 10-3. Skrivet i grundpotensform blir det 1,4 ∙ 10-3.

Vi ser i båda exemplen att vi gör omvandlingarna genom att multiplicera eller dividera med 10 upprepade gånger. Det är ju detsamma som att flytta decimaltecknet åt höger eller vänster.

Så när vi omvandlar till grundpotensform kan vi flytta decimaltecknet i det tal vi vill omvandla tills vi får ett tal mellan 1 och 10, och räkna hur många steg vi flyttade det.

Jordens radie är ungefär 6,3 • 105 m och en väteatoms radie är ungefär 5,3 • 10-11 m. Men här ser de nästan lika stora ut trots att Jorden är lite mer än 1 000 000 000 000 000 0 gånger större.

ta l 13

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 13

2015-07-09 11:20

1201 Skriv följande tal i grundpotensform

a) 2 150 000

b) 0,000 082 Vi dividerar talet med 10 (flyttar decimaltecknet åt vänster) tills vi får ett tal mellan 1 och 10. Det blir sex gånger och vi får talet 2,15.

a) 2 150 000

2 150 000 = 2,15 · 106 Svar: 2,15 · 106

Svar: 8,2 · 10-5

Eftersom vårt tal från början är större än 1 innebär det att exponenten i vår tiopotens blir 6.

Vi multiplicerar med 10 (flyttar decimaltecknet åt höger) tills vi får ett tal mellan 1 och 10. Det blir fem gånger och vi får talet 8,2.

b) 0,000 082

0,000 082 = 8,2 · 10

Exempel

-5

Eftersom vårt tal från början är mindre än 1 innebär det att exponenten i vår tiopotens blir negativ, -5.

Från grundpotensform till vanlig form Om vi istället vill gå från grundpotensform till vanlig form så blir vårt mål att få tiopotensen att bli lika med 1.

Låt oss ta 3,5 ∙ 10-2 som exempel.

3,5 ∙ 10-2 ∙ 10 /10 0,35 ∙ 10-1 ∙ 10 /10 0,035 ∙ 100 = 1 Så, 3,5 ∙ 10-2 = 0,035. För att komma från 10-2 till 1 måste vi multiplicera med 10 två gånger. Samtidigt måste vi dividera 3,5 med 10 lika många gånger.

14

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 14

2015-07-09 11:20

Vi kan sammanfatta metoden att omvandla tal i grundpotensform till vanlig form: Multiplicera talet framför tiopotensen med 10 (flytta decimaltecknet åt höger) lika många gånger som exponenten för tiopotensen anger.

Om exponenten är negativ dividerar vi istället talet framför tiopotensen med 10 (flyttar decimaltecknet åt vänster) så många gånger som exponenten anger.

Det går även att utföra omvandlingen från grundpotensform genom att multiplicera talet med tiopotensen: 3,5 ∙ 10-2 =

3,5 3,5 = = 0,035 102 100

Exempel

1202 Skriv utan tiopotens

a) 2,3 ∙ 104

b) 3,25 ∙ 10-3

a) Metod 1: Multiplicera/dividera 2,3 · 104 = 23 000 Svar: 23 000

Tiopotensen har exponenten 4. Vi ska multiplicera 2,3 med 10 fyra gånger (flytta decimaltecknet fyra steg åt höger).

Metod 2: Direkt beräkning 2,3 · 104 = 2,3 · 10 000 = 23 000

104 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 000

Svar: 23 000 b) Metod 1: Multiplicera/dividera 3,25 · 10-3 = 0,00325 Svar: 0,00325

Tiopotensen har exponenten -3. Vi ska dividera 3,25 med 10 tre gånger (flytta decimaltecknet tre steg åt vänster.

Metod 2: Direkt beräkning 3,25 · 10-3 = 3,253 = 3,25 = 0,00325 10 1 000 Svar: 0,00325

Multiplikation med 10-3 innebär detsamma som division med 103, dvs 1 000

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 15

15

2015-07-09 11:20

1203 Beräkna 3 ∙ 102 + 4 ∙ 103 och svara

Exempel

i grundpotensform.

3 · 102 + 4 · 103 = 3 · 100 + 4 · 1 000 = 300 + 4 000 = 4 300 4 300 = 4,3 · 10

102 = 100 och 103 = 1 000

Dividera 4 300 med 10 (flytta decimaltecknet åt vänster) tills du får ett tal mellan 1 och 10. Det blir tre gånger, så tiopotensen blir 103.

3

Svar: 4,3 · 103

Beräkningar med tal i grundpotensform En stor fördel med grundpotensformen är att det är enklare att multiplicera eller dividera tal som är skrivna grundpotensform med varandra. Vi kan då räkna med talen framför tiopotensen för sig och tiopotenserna för sig, och vi kan använda potensreglerna för tiopotenserna.

1204 En röd blodkropp väger ungefär 4,5 · 10-12 g.

Exempel

Ditt blod innehåller ungefär 25 · 1012 röda blodkroppar.

Hur mycket väger de röda blodkropparna tillsammans?

Vikten av en röd blodkropp: 4,5 · 10-12 g Vikten av alla blodkroppar: 4,5 · 10-12 · 25 · 1012 g 4,5 · 10-12 · 25 · 1012 g = (4,5 · 25) · (10-12 · 1012) g =

Sortera talen och tiopotenserna för sig.

112,5 · 10-12 + 12 g = 112,5 · 100 g = 112,5 · 1 g ≈ 110 g.

Använd regeln för multiplikation av potenser.

Kom ihåg att 100 = 1.

Svar: Blodkropparna väger tillsammans 110 g.

16

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 16

2015-07-09 11:20

Exempel

1205 Jordens massa är 6,0·1024 kg och månens massa är 7,4·1022 kg.

Hur många gånger tyngre än månen är Jorden?

24 Antal gånger som månens massa ryms i Jordens: 6,0 · 1022 7,4 · 10

( )( )

6,0 · 1024 = 6,0 1024 ≈ · 7,4 · 1022 7,4 1022 0,81 · 10 = 0,81 · 102 = 0,81 · 100 = 81 24-22

Sortera talen och tiopotenserna för sig.

Använd regeln för division av potenser.

Kom ihåg att det inte spelar någon roll i vilken ordning vi utför multiplikationer och divisioner.

Svar: Jorden är 81 gånger tyngre än månen.

Ord

Prefix

Tal

atto

a

10-18

femto

f

10-15

Ett annat sätt att kunna ange tal på ett smidigt sätt, är att utnyttja prefix. Prefix är ord som kan användas istället för en tiopotens. Ett exempel på ett prefix som du stött på tidigare är milli. Det förkortas m och betyder 10-3. Då kan vi istället för 2,5 ∙ 10-3 g skriva 2,5 mg.

piko

p

10-12

nano

n

10-9

mikro

µ

10-6

milli

m

10-3

centi

c

10-2

deci

d

10-1

Ett annat prefix är giga som skrivs med stort G och betyder 109. Då kan vi istället för 24 ∙ 109 b skriva 24 Gb.

hekto

h

102

kilo

k

103

Mega

M

106

Ett bra första steg när man vill använda prefix är att först skriva talet på grundpotensform.

Giga

G

109

Tera

T

1012

Peta

P

1015

Exa

E

1018

Prefix

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 17

17

2015-07-09 11:20

Exempel

1206 Skriv med lämpligt prefix.

a) 32 ∙ 106 ton

b) 0,000 001 4 m

a) 32 · 106 ton = 32 Mton Svar: 32 Mton b) 0,000 001 4 = 1,4 · 10-6 1,4 · 10-6 m = 1,4 um I tabellen ser vi att 10-6 motsvarar mikro, som vi skriver med µ.

I tabellen med prefix kan vi se att 106 är detsamma som Mega, som vi skriver med M.

Vi börjar med att skriva talet på grundpotensform för att kunna se tiopotensen.

Vi måste multiplicera talet med 10 sex gånger (flytta decimaltecknet sex steg åt höger) eftersom talet är mindre än 1, så att exponenten blir -6.

Svar: 1,4 um Tiopotenserna i exemplet ovan finns med i prefixtabellen, och vi kan skriva talet med hjälp av prefixet direkt. Men hur gör vi om tiopotensen inte stämmer överens med något prefix?

Då kan vi använda samma strategi som vi använde för att omvandla tal till grundpotensform. Vi multiplicerar en del av talet med 10 samtidigt som vi dividerar den andra delen av talet med 10, tills vi får en tiopotens som stämmer med ett prefix.

Låt oss exempelvis säga att vi vill skriva 1,2 ∙ 10-4 m som mm. Då behöver vi ha tiopotensen som 10-3 (eftersom det är denna tiopotens som motsvarar prefixet milli, m). Vi kan då multiplicera 10-4 med 10 samtidigt som vi dividerar 1,2 med 10. /10

1,2 0,12

∙ ∙

10-4 10-3

∙ 10

1,2∙10-4 m = 0,12 ∙ 10-3 m = 0,12 mm.

18

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 18

2015-07-09 11:20

Exempel

1207 Skriv med lämpligt prefix.

a) 2,4 ∙ 104 ton

b) 3,5 ∙ 10-7 m

∙ 10

a) 2,4 · 104 ton = 24 · 103 ton = 24 kton /10

Svar: 24 kton

Det prefix som 104 ligger närmast är kilo, 103.

103 är tio gånger mindre än 104, så för att få 103 dividerar vi 104 med 10.

Samtidigt multiplicerar vi 2,4 med 10 för att inte förändra talets värde.

/10

b) 3,5 · 10-7 m = 0,35 · 10-6 m = 0,35 um ∙ 10

Svar: 0,35 um

Det prefix som 10-7 ligger närmast är mikro, 10-6.

10-6 är tio gånger större än 10-7, så för att få 10-6 multiplicerar vi 10-7 med 10. Samtidigt dividerar vi 3,5 med 10 för att inte förändra talets värde.

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 19

19

2015-07-09 11:20

Exempel

1208 Skriv i grundpotensform utan prefix.

a) 32 kB

b) 0,15 µm I tabellen med prefix kan vi se att k = 103.

a) 32 kB = 32 · 103 B = 3,2 · 104 B

Svar: 3,2 · 104 B

32 ∙ 104 är inte i grundpotensform, då 32 inte är ett tal mellan 1 och 10. Vi måste dividera 32 med 10, och samtidigt multiplicera 103 med 10 för att få vårt tal på grundpotensform.

b) 0,15 um = 0,15 · 10-6 m = 1,5 · 10-7 m

Svar: 1,5 · 10-7 m

I tabellen med prefix kan vi se att µ = 10-6.

0,15 ∙ 10-6 är inte i grundpotensform, eftersom 0,15 inte är ett tal mellan 1 och 10.

Vi måste multiplicera 0,15 med 10, och samtidigt dividera 10-6 med 10 för att få vårt tal på grundpotensform.

1209 Ljusets hastighet i vakuum är 300 Mm/s

Exempel

och Jordens omkrets är ungefär 40 000 km.

Hur många varv runt Jorden skulle ljuset hinna på 1 sekund?

På 1 sekund hinner ljuset: 300 Mm Antal varv på 1 sekund: 300 Mm 40 000 km 6 300 Mm = 300 · 10 m Skriv de båda sträckorna utan prefix så vi får samma enhet.

40 000 km = 40 000 · 103 m

(

)( )

6 300 · 106 m = 300 · 103 = 3 40 000 · 10 m 40 000 10 = 0,0075·103 = 0,0075 · 1000 = 7,5

Beräkna talen för sig och tiopotenserna för sig.

Svar: Ljuset hinner 7,5 varv.

20

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 20

2015-07-09 11:20

starta

ett varv till

1210 Para ihop prefixen atto, deci, kilo och

1217 Para ihop prefixen piko, centi, hekto och

milli med rätt grundpotensform.

10

10

-1

-18

10

10

-3

1211 Skriv talen utan grundpotensform.

a) 5,4 · 103

b) 1,2 · 10-5

c) 3,7 · 104

d) 6,7 · 10-4

1212 Beräkna och svara i grundpotensform.

a)

7 · 10 2 · 102 5

c) 4 · 10 + 3 · 10 -2

-3

b) 50 000 20 d) 5 · 107 – 4 · 106

1213 Skriv talen i grundpotensform.

a) 0,000 23

b) 9 900 000

c) 0,0039

d) 43 000

b) 1 T

d) 140 M

e) 67 f

c) 0,1 n

b) Vilket är minst av 4 · 10 och 0,000 004?

-5

c) Vilket är störst av 5 · 10-5 och 5 · 10-7? d) Hur kan du avgöra vilket tal som är störst i c) utan att göra någon beräkning?

1216 Skriv med lämpligt prefix.

b) 3,7 · 106 ton c) 8 000 000 000 m d) 0,000 004 g

106

10-2

1218 Skriv utan grundpotensform.

a) 2,5 · 103

b) 1,7 · 10-2

c) 5,6 · 105

1219 Beräkna och svara i grundpotensform.

a)

6 · 106 4 · 103

b) 2 · 104 – 15 000 c) 5 · 10-3 + 3 · 10-2 800 d) 400 000 1220 Skriv med lämpligt prefix.

b) 4,1 · 10-7 m c) 5 · 106 B (B = byte) d) 600 000 000 ton

1215 a) Vilket är minst av 3 ·106 och 30 000?

a) 5,7 · 10-9 m

10-12

a) 0,00065 s

1214 Skriv talen i grundpotensform.

a) 330 G

mega med rätt grundpotensform.

102

3

Hur gick det?

Ta Ett varv till om du behöver repetera, annars Kör vidare.

1221 Skriv talen i grundpotensform.

a) 175 000

b) 3 600

c) 0,000 071

d) 4 000 000

1222 Skriv talen i grundpotensform.

a) 1 M

b) 1 µ

c) 25 G

d) 10 p

1223 a) Vilket är störst av 0,000 005 och 5 · 10-5?

b) Vilket är minst av 0,000 03 och 3 · 10-4? c) Vilket är minst av 4 · 106 och 4 · 105? d) Hur kan du avgöra vilket av talen i c) som är minst utan att göra någon beräkning? ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 21

21

2015-07-09 11:20

kör vidare 1224 Skriv utan prefix och i grundpotensform.

a) 102 000 kWh

b) 37nm

1225 Beräkna och svara i grundpotensform.

a) 8,2 · 104 + 3,7 · 104 b) 5,7 · 105 + 8,7 · 105 1226 Halten svaveldioxid i luft bör inte vara

högre än 200 μg/m3. En olycka gör att 0,9 g svaveldioxid läcker ut i en verkstadslokal på 4 000 m3.

Bör man vistas i lokalen?

1227 a) Är det enklare att beräkna

6,4 · 105 – 1,4 · 105 än 6,4 · 105 – 1,4 · 104?

Om ja, förklara varför.

1228 Beräkna och svara i grundpotensform.

a) 5,4 · 1013 · 9 · 10-6 b) 23 000 · 2 · 104 1229 Storleksordna talen, börja med det

minsta.

3 000

40 · 105 5 · 105

b) 0,000 525 5,25 · 10-5 0,000 0041

22

genom ett mikroskop med förstoringen 2,5 · 104 ggr. På fotot är bakterien 2 cm.

Hur lång är bakterien i verkligheten?

Svara med lämpligt prefix.

1231 Beräkna och svara med lämpligt prefix.

b) Är det enklare att beräkna 2,8 · 105 – 1,8 · 105 än 2,8 · 100 – 1,8 · 100.

Förklara hur du tänker.

a) 3 · 104

1230 En forskare fotograferar en bakterie

4 · 10-5

a)

9 000 000 000 Mton 3 Tg

b) 5 mm · 4 Gm 1232 På en fotbollsplan innehåller en m2

ungefär 105 grässtrån.

Hur många grässtrån innehåller en fotbollsplan med längden 120 m och bredden 80 m?

Svara med lämpligt prefix.

1233 Solens volym är 1,41 · 1027 m3 och jordens

volym är 1,083 · 1012 m3.

Hur många exemplar av jorden skulle få plats i solen?

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 22

2015-07-09 11:20

öka 1234 I vår galax Vintergatan finns ca 400 M

stjärnor. Var femhundrade stjärna är ett solsystem med planeter.

Om var tusende av dessa solsystem skulle ha en planet med liv, hur många solsystem i Vintergatan skulle då innehålla en planet med liv på?

1235 Stål är en så kallad legering som består

av järn blandat med små mängder av andra ämnen. I kolstål har man blandat i 1 % kol, 0,3 % kisel och 0,8 % mangan.

Hur mycket av dessa tre ämnen behövs för att tillverka 104 kg kolstål?

1236 I genomsnitt finns det 40 miljoner

bakterier i 1 g jord och en miljon bakterier i 1 ml färskvatten.

Hur många bakterier innehåller en vattentank på 104 liter där någon har tippat i 1 ton jord?

Svara med lämpligt prefix.

1237 Inom nanoteknik jobbar man med

partiklar som är 1 till 100 nanometer stora. (1nm = 10-9m).

Ett cylinderformat kol-nanorör har diametern 10 nanometer.

Om ett hårstrå har diametern 0,04 mm, hur mycket större bottenarea (cirkel) har då hårstrået jämfört mot kol-nanoröret?

1238 Avståndet till solen från jorden är

1,496 · 1011 m. Vi antar att jordens bana runt solen är cirkelformad. a) Vilken är jordens hastighet genom rymden i sin färd runt solen?

Svara i km/h. b) Avståndet mellan Luleå och Malmö är 1 470 km.

Hur lång tid skulle det ta att åka den sträckan med jordens hastighet?

1239 Ett radioaktivt ämne har en halveringstid

på ett år. Det betyder att på ett år har mängden radioaktivt ämne minskat till hälften.

a) Hitta ett uttryck som beskriver den radioaktiva mängden efter ett givet antal år med hjälp av potens med negativ heltalsexponent. b) Använd uttrycket för att beräkna hur mycket av 5,4 · 103 kg radioaktivt ämne som finns kvar efter 10 år.

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 23

23

2015-07-09 11:20

1.3 Multiplikation och

division med bråk

Att kunna räkna med bråk har fördelen att värdena är exakta och vi slipper de avrundningsfel som kan uppstå när vi skriver om bråktal till decimaltal.

Ibland uppstår situationer då man behöver multiplicera eller dividera med bråk och i kapitlet om sannolikhetslära kommer vi att använda oss av multiplikation med bråk.

Multiplikation med bråk För att se hur multiplikation av två bråktal, 2 4 till exempel · fungerar kan vi ta hjälp 5 7 av geometri. När vi räknar ut arean av en rektangel multiplicerar vi rektangelns bredd med dess längd. A = l · b

2 5

4 7

Inuti kvadraten ovan har vi en rektangel med sidlängderna 2/5 och 4/7. Om vi delar in sidorna i femtedelar respektive sjundedelar får vi totalt 5 · 7 = 35 lika stora rutor. Av dessa ligger 2 · 4 = 8 rutor i rektangeln. Vi kan säga att rektangelns area är 8/35 av kvadratens area.

Eftersom en rektangels area beräknas genom att multiplicera sidlängderna är det rimligt att 2 4 8 · = 5 7 35

2 5

4 7

När man multiplicerar två bråktal med varandra multipliceras täljarna för sig och nämnarna för sig.

2 4 ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 24

2015-07-09 11:20

Exempel

1301 Beräkna

a)

2 3 · 7 4

b) 3 ·

2 5

c)

a) 2 · 3 = 2 · 3 = 6 = 3 7 4 4 · 7 28 14 Svar: 2 · 3 = 3 7 4 14 b) 3 · 2 = 3 · 2 = 3 · 2 = 6 5 1 5 1·5 5 Svar: 3 · 2 = 6 5 5 c) 4 · 5 = 4 · 5 = 1 · 5 = 15 16 15 16 15 4 1·1 = 1 3 · 4 12 Svar: 4 · 5 = 1 15 16 12 d) 4 2 · 2 4 3 7 14 2 4 = 3 3

2 4 = 18 7 7

14 · 18 = 14 · 18 = 2 · 18 = 3 7 3·7 3·1 2 · 6 = 12 = 12 1·1 1

4 5 · 15 16

d) 4

2 4 ·2 3 7

Multiplicera täljarna för sig och nämnarna för sig. Förkorta om det är möjligt, i detta fall kan 6/28 förkortas till 3/14.

Heltalet 3 kan skrivas som bråket 3/1.

Förkorta 4/16 med 4 till 1/ 4.

Förkorta därefter 5/15 med 5 till 1/3.

Skriv först om bråken från blandad form till bråkform.

Förkorta innan du multiplicerar.

Svar: 4 2 · 2 4 = 12 3 7

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 25

25

2015-07-09 11:20

Division med bråk För att kunna dividera med bråk behöver vi bråktalets invers.

Det är det tal man får om talets nämnare och täljare byter plats.

Inversen till 3/5 är alltså 5/3.

1 Multiplicera 3/5 med 5/3. Förkorta så långt som möjligt.

Undersök

2 Skriv ner ytterligare tre bråktal. Multiplicera varje bråktal

med sin invers och förkorta så långt som möjligt.

3 Beskriv resultatet av de fyra multiplikationerna.

I undersökningen upptäcker vi en mycket viktig egenskap. Om man multiplicerar ett bråk med dess invers så får man alltid produkten 1.

När vi dividerar två bråktal kan vi se det som ett bråk av bråk, det vill säga vi har en täljare som är ett bråktal och en nämnare som är ett bråktal. Om vi förlänger bråket med nämnarens invers händer något mycket intressant.

Täljare

2 2 4 2 4 · ·  7 3 7 3 3 7 8 2 4 = = = = · = 1 4 3 3 4 7 3 21 ·  4 3 4 Nämnare

2 7

2 Det intressanta i denna beräkning är att när vi utför divisionen 7 2 4 så får vi samma beräkning som vid multiplikationen · 7 3

3 4

En division av två bråk är alltså samma sak som att multiplicera det första bråket (täljaren) med det andra bråkets (nämnarens) invers.

D I V I S I O N AV B R Å K

/

a c =a•d b d b c För att dividera två bråk kan vi istället multiplicera det första bråket med det andra bråkets invers.

26

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 26

2015-07-09 11:20

Exempel

1302 Beräkna

a)

1 4

/

4 3

b)

/

6 3 7

c) 4

/

2 1 1 5 10

/ 34 / 34 = 41 · 43 = 41 ·· 43 = 163 Svar: 1 / 4 = 3 4 3 16

a) 1 4 1 4

/ /

b) 6 3 7 6 = 6 3 = 6 · 1 = 2·1= 2 3 7 7 1 7 3 7·1 7

/

Inversen till 4/3 är 3/4 så istället för att dividera med 4/3 kan vi multiplicera med 3/4.

3 = 3/1. Inversen till 3/1 är 1/3 så istället för att dividera med 3/1 kan vi multiplicera med 1/3.

/

Svar: 6 3 = 2 7 7

/

c) 4 2 1 1 5 10 22 Skriv först om bråken från blandad form till bråkform.

42= 5 5 1 1 = 11 10 10 Inversen till 11/10 är 10/11.

22/11 kan förkortas till 2/1 22 11 = 22 10 = 2 · 2 = 2 · 2 = 4 · och 10/5 kan förkortas till 5 10 5 11 1 1

/

Svar: 4 2 5

/ 1 101 = 4

2/1.

ta l

01_Vektor 9 Kapitel 1_150709.indd 27

27

2015-07-09 11:20

Jonas Bjermo Daniel Domert Jenny Lundin Jakobsson Lars Madej Anita Ristamäki Mia Öberg

Matematik | Årskurs 9

Fem förmågor i matematik PROBLEMLÖSNING

METOD RESONEMANG KOMMUNIKATION

Vektor består av • 5 välstrukturerade kapitel med direkt koppling till Lgr 11 och det Centrala innehållet.

• Ett stort urval varierade uppgifter med olika svårighetsnivå och möjlighet för eleven att själv välja väg.

• Uppgiftsspecifika bedömningsmatriser till flera uppgifter i varje kapitel.

För mer information se www.nok.se/vektor

ISBN 978-91-27-43007-5

9 789127 430075

Vektor ak 9 Omslag CS6.indd 1-4

Matematik | Årskurs 9

BEGREPP

Vektor är ett läromedel i matematik för åk 7 – 9 helt synkroniserat med Lgr 11. Med Vektor kan man vara säker på att man får de bästa förutsättningarna för att träna och utveckla sina matematiska förmågor. Formativ bedömning uppmuntras och underlättas tack vare de bedömningsmatriser som medföljer. Genom matriserna blir man delaktig i sitt eget lärande och kan ta ansvar för sin egen utveckling.

Vektor

Vektor

Vektor Matematik | Årskurs 9

9 2015-07-09 11:00