Matematikdidaktik för lärare Målet för matematikundervisningen är att elever skall lära sig mate matik som kan användas i såväl samhälle och yrkesliv vid vidare studier i matematik och andra ämnen. En viktig del av matematiklärarens yrkeskunnande är att känna till hur elever i olika åldrar bygger upp sina matematikkunskaper. Undervisningen bör därför inriktas mot att eleverna lär sig mate matiska modeller som bygger på räknelagar och räkneregler som i sin tur utgör verktyg vid lösning av olika typer av problem. I fördjupat lärande lär de sig också att använda giltiga matematiska modeller på ett insiktsfullt sätt. För att bygga upp en sådan undervisning behövs en teori som stöder lärare i arbetet med matematik. I boken beskrivs en teori för detta – en skolämnesteori med fokus på aritmetik. Bokens innehåll bygger på såväl internationell forskning som ett mångårigt forsknings- och utvecklingsarbete om undervisningsprocessen, elevers tänkande och matematikämnets didaktik. Till boken hör en webbsida där läsaren kan ta del av kompletterande material i form av facit till övningsuppgifterna, diagnos och träningsmaterial i aritmetik, Winnetkakort samt exempel på tentamensfrågor för studenter. Aktiveringskoden som finns i boken ger tillgång till webbsidan under två år. Boken är avsedd för utbildning och kompetensutveckling av lärar studerande och lärare samt för föräldrar som vill hjälpa sina barn att tillgodogöra sig det matematikinnehåll som beskrivs i grundskolans kursplaner.
| Grundläggande aritmetik
Grundläggande aritmetik
Madeleine Löwing
Madeleine Löwing är fil.dr i matematikämnets didaktik och verksam som universitetslektor vid Göteborgs universitet. Hon har lång erfarenhet av forskning och utvecklingsarbete med inriktning mot grundläggande matematikinlärning.
Grundläggande aritmetik
Matematikdidaktik för lärare
(8+7)+3 = 8+(7+3) = 8+10 57–19–27 = (57–27)–19 = 30–19 56·3 = (8·7)·3 = 8·(7·3) = 8·21 850/25 = 1700/50 = 3400/100
Art.nr 32561
www.studentlitteratur.se
978-91-44-00874-5_08_cover.indd 1
Madeleine Löwing
2014-04-24 14:44
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
Art.nr 32561 ISBN 978-91-44-00874-5 Upplaga 1:8 © Madeleine Löwing och Studentlitteratur 2008 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jakob Meijling Omslagsbild: Nancy R. Cohen/Photodisc Printed by Mediapool Print Syd AB, Estonia 2014
978-91-44-00874-5_08_p002.indd 2
2014-04-24 14:24
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
Innehåll
9/12
67mm
10/13 11/14,5
71mm
Förord 7
76mm
Bokens syfte, målgrupp och uppläggning 9
C M Y K
1
Skolan och matematiken 15 1.1 Måluppfyllelsen i svensk skola 15 1.2 En internationell jämförelse 18 1.3 Tydliga mål och kunskapskrav i grundskolan 19 1.4 Lärarkunskaper 21
2
En skolämnesteori för matematik 25 2.1 Matematikämnets didaktik i ett internationellt perspektiv 25 2.2 Matematikämnets didaktik i Sverige 27 2.3 Matematiska begrepp i skolan 29 2.4 Undervisningen och skolmatematiken 32 2.5 Kommunikationen och undervisningsprocessen 34 2.6 Om kunskapsuppföljning 35
3
De naturliga talen 39 3.1 Vad menas med en grundläggande taluppfattning? 39 3.2 Subitizing 40 3.3 Antal och talens ordning 42 3.4 Barns uppfattning av tal och antal 44 3.5 Talens uppbyggnad och namn 46 3.6 Användningen av tal 51 3.7 Talen ur ett historiskt perspektiv 53 3.8 Positionssystem med andra baser än 10 56 3.9 Några egenskaper hos de naturliga talen 58 3.10 Kunskapsuppföljning 63 3.11 Termer som förekommer i kapitlet 64
4
Grundläggande addition och subtraktion 67 4.1 En lektion i årskurs 4 68 4.2 Vad innebär det att behärska subtraktion? 69 4.3 Grundläggande additionsstrategier 70 4.4 Addition i talområdet 0–9 73 3
© Författaren och Studentlitteratur
32561TOC.fm
18 december 2007 13.00:00
sida 3 av 6
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14
9/12 10/13 11/14,5
Tals uppdelning i termer 78 Hur går man vidare med grundläggande addition? 79 Addition med tiotalsövergång 82 Grundläggande subtraktionsstrategier 85 Subtraktioner inom talområdet 0–9 90 Hur man går vidare med grundläggande subtraktion 93 Subtraktion med tiotalsövergång 95 Hur arbetade man tidigare med grundläggande räkneoperationer? 97 Kunskapsuppföljning 100 Termer som förekommer i kapitlet 103
5
Addition och subtraktion som huvudräkning 107 5.1 Vad menas med huvudräkning? 107 5.2 Hur fungerar huvudräkning? 108 5.3 Att undervisa om huvudräkning 110 5.4 Addition i huvudet 112 5.5 Subtraktion i huvudet 116 5.6 Lite historia 119 5.7 Kunskapsuppföljning 120 5.8 Termer som förekommer i kapitlet 121
6
Skriftlig addition och subtraktion 123 6.1 Varför skall man lära sig skriftlig räkning? 123 6.2 Matematik och algoritmer 124 6.3 Additionsalgoritmer 127 6.4 Sekvensering av undervisningen 132 6.5 Subtraktion i dagens skola 134 6.6 Subtraktionsalgoritmer 135 6.7 Konkretisering av subtraktionsalgoritmen 140 6.8 Språket i undervisningen 141 6.9 Subtraktionsalgoritmers uppbyggnad 144 6.10 Att addera på en abacus 146 6.11 Subtraktion på ett räknebord 149 6.12 Kunskapsuppföljning 152 6.13 Termer som förekommer i kapitlet 155
7
Grundläggande multiplikation och division 159 7.1 Grundläggande multiplikation 159 7.2 Multiplikation, räknelagar och räkneregler 161 7.3 Multiplikationstabellen 164 7.4 Tals uppdelning i faktorer 169 7.5 Multiplikationstabellens historia 171 7.6 Grundläggande division 172 7.7 Divisionstabellen 174 7.8 Språket i multiplikation och division 175
C M Y K
4
32561TOC.fm
67mm 71mm 76mm
© Författaren och Studentlitteratur
18 december 2007 13.00:00
sida 4 av 6
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
7.9 7.10 7.11 7.12 8
9/12 10/13 11/14,5
9
Delbarhet 177 Primtal 178 Kunskapsuppföljning 180 Termer som förekommer i kapitlet 183
Multiplikation och division som huvudräkning 187 8.1 Multiplikation, skriftligt och i huvudet 188 8.2 Multiplikation i huvudet 189 8.3 Konjugatregeln 192 8.4 Första kvadreringsregeln 194 8.5 Division i huvudet 195 8.6 Kunskapsuppföljning 197 8.7 Termer som förekommer i kapitlet 198
67mm 71mm 76mm
Skriftlig multiplikation och division 201 9.1 Den vanligaste algoritmen för multiplikation 201 9.2 Konkretisering av multiplikationsalgoritmen 204 9.3 Multiplikationsmatrisen 207 9.4 Multiplikationsalgoritmens historia 208 9.5 Division 214 9.6 En analys av den korta algoritmen 215 9.7 Konsekvensen av att byta algoritmer 217 9.8 Konkretisering av algoritmen 218 9.9 Divisionsmatrisen 220 9.10 Divisionsalgoritmens historia 221 9.11 Euklides algoritm 222 9.12 Kunskapsuppföljning 223 9.13 Termer som förekommer i kapitlet 225
10 Decimaltal 229 10.1 En lektion och diagnos 229 10.2 Vad menas med decimaltal? 231 10.3 Addition, subtraktion och jämförelse 233 10.4 Multiplikation med decimaltal 237 10.5 Division med decimaltal 238 10.6 Decimaltalens historia 241 10.7 Kunskapsuppföljning 243 10.8 Termer som förekommer i kapitlet 244
C M Y K
11 Bråk 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
247 Elevers bråkkunskaper 247 I vilka situationer förekommer tal i bråkform? 249 Taluppfattning 254 Addition, subtraktion och jämförelse 255 Multiplikation av tal i bråkform 258 5
© Författaren och Studentlitteratur
32561TOC.fm
18 december 2007 13.00:00
sida 5 av 6
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
11.6 11.7 11.8 11.9
9/12 10/13 11/14,5
Division med ett naturligt tal 261 Division med ett tal i bråkform 262 Kunskapsuppföljning 263 Termer som förekommer i kapitlet 264
12 Procent 267 12.1 En lektion om procent 267 12.2 Procent som andel 269 12.3 Strategier för procenträkning 270 12.4 Att undervisa om procent 275 12.5 Kunskapsuppföljning 279 12.6 Termer som förekommer i kapitlet 280
67mm 71mm 76mm
13 Algebra 283 13.1 Några enkla mönster 283 13.2 Ekvationer 287 13.3 Delbarhet 292 13.4 Kunskapsuppföljning 293 13.5 Termer som förekommer i kapitlet 294 Några matematikhistoriskt intressanta personer som nämns i boken 297 Referenser 301 Sakregister 305
C M Y K
6
32561TOC.fm
© Författaren och Studentlitteratur
18 december 2007 13.00:00
sida 6 av 6
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
Förord
Förord
9/12
67mm
10/13
I min roll som lärarutbildare har jag sett behovet av kurslitteratur som
71mm
11/14,5
behandlar en teorigrund för skolmatematiken och som kan användas vid
76mm
utbildning och kompetensutveckling av lärare som undervisar i matematik på grundskolan. Det utbud som finns av denna typ av litteratur har ofta sitt ursprung i andra länder och beskriver en helt annan skolkultur än den svenska. Jag vill med den här boken ge ett alternativ, anpassat för svensk skola. I samband med min forskning om undervisningsprocessen i matematik på grundskolan, liksom vid utarbetandet av Skolverkets Diamantdiagnoser för de tidiga skolåren, har jag sett behovet av en didaktisk ämnesteori (en skolämnesteori) i matematik. En teori som hjälper lärare att se matematiken i det de undervisar om och som kan ge struktur och kontinuitet i matematikinnehållet. En av mina inspirationskällor till det här arbetet har varit min kollega och mentor Wiggo Kilborn och de böcker om matematikämnets didaktik som han under senare år utarbetat i Zimbabwe, Sydafrika och Moçambique. Jag har också haft stor nytta av diskussioner med Wiggo när vi utarbetade ett läromedel för skolår 1–3 i Sydafrika, liksom av arbetet med de böcker vi tidigare skrivit åt Studentlitteratur. Ett varmt tack vill jag rikta till min kollega Susanne Frisk som noggrant läst mitt manus och kommit med en rad värdefulla synpunkter. Ett stort tack även till de grupper lärarstuderande som under år 2007 utprövat boken. Era frågor, kommentarer och synpunkter har på ett påtagligt sätt förbättrat boken och också visat att innehållet är relevant för blivande lärare. Mölnlycke i oktober 2007 Madeleine Löwing
C M Y K
7
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Forord.fm
14 januari 2008 11.54:53
sida 7 av 14
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
FĂśrord
9/12
67mm
10/13
71mm
11/14,5
76mm
C M Y K
8
32561_Forord.fm
Š FÜrfattaren och Studentlitteratur
14 januari 2008 11.54:53
sida 8 av 14
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
Bokens syfte, målgrupp och uppläggning
Bokens syfte, målgrupp och uppläggning 9/12
67mm
10/13
71mm
11/14,5
76mm
I boken beskrivs en didaktisk ämnesteori (en skolämnesteori) i matematik och målgruppen är lärare, lärarstuderande och intresserade föräldrar. Tanken är att denna teori skall ge en bakgrund och en struktur åt grundskolans matematikundervisning. Målet för matematikundervisningen är att eleverna skall lära sig matematik, en grundläggande matematik som senare behövs i samhället, på arbetsplatsen och för vidare studier av matematik och andra ämnen. När man i olika situationer har behov av matematik, använder man sig av generellt giltiga matematiska modeller. Dessa modeller vilar i sin tur på räknelagar och räkneregler. Skolans problemlösning bör därför syfta till att eleverna lär sig att använda sådana modeller på ett insiktsfullt sätt och för detta behövs det en teori. Avsikten med en didaktisk ämnesteori är att ge struktur och kontinuitet åt skolans matematikinnehåll och möjliggöra en långsiktigt hållbar planering för elevers lärande. Teorin kan också tas som utgångspunkt för att konkretisera undervisningen. Att konkretisera innebär ju att utnyttja erfarenheter, material och metaforer på ett sådant sätt att eleverna ges möjlighet att abstrahera den matematik de skall lära. En lärares yrkeskunnande innebär att veta vad som skall konkretiseras respektive abstraheras och att behärska en teori för detta. Det krävs också en didaktisk ämnesteori som grund för att man som lärare skall kunna göra en tolkning av skolans mål och utvärdera om alla elever har nått de uppställda målen. En skillnad mellan en didaktisk ämnesteori, som är en utbildningsvetenskaplig teori, och en konventionell akademisk ämnesteori (matematikteori) är att den förra beskriver hur barn och ungdomar tar de första stegen för att bygga upp kunskaper i matematik. Det betyder att teorin måste vara individuellt tillämpbar och alltså kunna användas för att undervisa elever med olika C
behov, förkunskaper, förmåga och motivation.
M
Boken beskriver i första hand teorier för hur elever kan bygga upp grund-
Y
läggande kunskaper om de fyra räknesätten och de räknelagar och räknereg-
K
ler som ligger till grund för dessa. Samtidigt ges exempel på tillämpningar 9
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Forord.fm
14 januari 2008 11.54:53
sida 9 av 14
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
Bokens syfte, målgrupp och uppläggning
från skolans undervisning och på hur man kan utvärdera elevernas kunskaper inom området. I den senare delen av boken behandlas också rationella tal och procenträkning. Boken avslutas med ett kort kapitel som introduktion till algebran. Eftersom boken avser att ge en teori för lärares professionella kunnande innehåller boken avsnitt vars syfte är att ge läraren ett perspektiv på innehållet de skall undervisa om. Till dessa räknas de avsnitt som handlar om matema9/12 10/13
tikens historia. Syftet med dessa är att ge exempel på en intressant utveckling
11/14,5
av ämnet men också att ge en viss distans till dagens undervisning och räknemetoder. Alla kapitel, från och med kapitel 3, avslutas med ett avsnitt som beskriver hur man kan följa upp elevernas kunskapsutveckling inom det aktuella området. Det ges i detta sammanhang ett antal uppgifter med vars hjälp läsaren själv kan utvärdera elevers färdigheter och uppfattningar av olika begrepp. Efter detta följer en lista med förklaringar av de viktigaste termerna som används i kapitlet. Denna lista kan även användas för att repetera innehållet i kapitlet ifråga. Alla kapitel, från och med kapitel 3, innehåller också ett antal övningsuppgifter som avser att vara diskussionsunderlag. Det gäller alltså inte enbart att lösa uppgiften och få ett svar, utan man skall även fundera och diskutera tankarna bakom uppgiften.
Stöd på webben I varje bok finns en speciell kod som ger tillgång till en webbsida med följande innehåll:
• •
Facit till de övningar som finns i boken. Kopieringsunderlag för att tillverka s.k. Winnetkakort avsedda för träning av de grundläggande additions-, subtraktions- och multiplikationskombinationerna.
•
Matriserna för de fyra räknesätten med förklaringar till vilka uppgifter som förekommer i respektive ruta. Dessutom finns det till varje ruta i matriserna ett antal uppgifter som kan skrivas ut och ges till eleverna. Dessa uppgifter kan användas för att diagnostisera eleverna och/eller som underlag för färdighetsträning.
C
•
M
En spalt där man kan ge synpunkter och ställa frågor till författarna. Här kommer de viktigaste frågorna och svaren att publiceras.
Y K
10
32561_Forord.fm
© Författaren och Studentlitteratur
14 januari 2008 11.54:53
sida 10 av 14
67mm 71mm 76mm
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
Bokens syfte, målgrupp och uppläggning
Boken kapitel för kapitel I kapitel 1 beskrivs grundskolans mål för matematikämnet och i vilken utsträckning eleverna når dessa mål. Här görs också en jämförelse mellan skolans mål förr och nu, samt en beskrivning av svenska elevers matematikkunskaper vid internationella jämförelser. Kapitel 2 ger en beskrivning av vad som menas med matematikämnets 9/12
didaktik och med en didaktisk ämnesteori. Här diskuteras också vad som
67mm
10/13
menas med begrepp och hur man via undervisningsprocessen strävar efter att
71mm
11/14,5
ge eleverna en adekvat uppfattning av begreppen ifråga. I denna process är två
76mm
komponenter speciellt viktiga, nämligen kommunikationens innehåll och kvalitet samt den kunskapsuppföljning med vars hjälp man kan bedöma hur väl elevernas uppfattningar överensstämmer med begreppen ifråga. De första avsnitten i kapitel 3 handlar om de naturliga talens uppbyggnad och om hur barn i unga år brukar tillägna sig en grundläggande taluppfattning. Här lyfts också fram ett antal inkonsekvenser som man bör se upp med när de gäller de svenska räkneorden. Det ges också en internationell utblick genom en jämförelse av räkneorden på några olika språk. För att ge en klarare bild av hur vårt talsystem är uppbyggt, beskrivs hur man skrev ”siffror” och komponerade tal i några äldre kulturer. Dessutom ges exempel på hur talen kunde ha komponerats om vi haft en annan bas än 10. Mot slutet av kapitlet presenteras några talföljder som belyser intressanta och användbara talmönster. I kapitel 4 behandlas grundläggande addition och subtraktion, alltså de deloperationer inom talområdet 0–19 som varje elev bör behärska, för att med flyt kunna arbeta med skriftlig räkning och huvudräkning. Kapitlet inleds med några elevintervjuer som visar hur elever kan uppfatta grundläggande additioner. Detta följs upp med en beskrivning av olika additionsstrategier och hur man med dess hjälp kan strukturera undervisningen från konkretisering till abstraktion och färdighet. Längre fram i kapitlet behandlas grundläggande subtraktion på ett motsvarande sätt. Kapitlet avslutas med lite matematikhistoria om tal. När eleverna fått flyt i grundläggande addition och subtraktion kan läraren låta eleverna arbeta med huvudräkning, som omfattar addition och subtraktion. Detta beskrivs i kapitel 5. Vad som betonas i kapitlet är variation och mångfald. Målet med huvudräkningen är nämligen att eleverna lär sig en C M
sådan variation av strategier att de i olika situationer, med framgång, kan välja en lämplig strategi. Eftersom alla framgångsrika huvudräkningsstrategier
Y K
11
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Forord.fm
14 januari 2008 11.54:53
sida 11 av 14
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
Bokens syfte, målgrupp och uppläggning
bygger på de viktigaste räknelagarna, kan eleverna samtidigt lära sig en hel del matematik. Kapitel 6 handlar om skriftlig addition och subtraktion och bygger på hur man som lärare med hjälp av en lämplig konkretisering kan lyfta fram matematiken i algoritmerna. Det handlar alltså inte om monoton och meningslös övning, utan om matematiska metoder med vars hjälp man bygger upp en god taluppfattning. Medan skriftlig addition är relativt enkel och följer inter9/12 10/13
nationellt använda mönster, är det en stor variation på hur man arbetar med
11/14,5
skriftlig subtraktion i olika kulturer. En analys av för- och nackdelar med de vanligaste subtraktionsmetoderna redovisas, även här utgående från en konkretisering. Det historiska avsnittet handlar den här gången om räkneramen, abacus, och om det romerska räknebordet. I de närmast följande kapitlen behandlas multiplikation och division. Kapitel 7 handlar om grundläggande multiplikation och division, alltså om multiplikation av två ensiffriga tal och motsvarande divisioner. Även i det här kapitlet utgår texten från de grundläggande räknelagarna och det ges strategier som går från konkret förankring till abstraktion och färdighet. Multiplikationsavsnitten avslutas med hur tal uppdelas i faktorer och lite om multiplikationstabellens historia. Därefter följer en motsvarande beskrivning av division, med fokus på begreppen innehållsdivision och delningsdivision. Divisionsavsnitten avrundas med ett avsnitt om delbarhet som i sin tur följs upp med ett avsnitt om primtal. Kapitel 8 handlar om multiplikation och division som huvudräkning. Uppläggningen är densamma som för addition och subtraktion som huvudräkning, alltså med fokus på grundläggande räknelagar och en variation av strategier. Som en avrundning av avsnitten om multiplikation visas hur man med hjälp av konjugatregeln och den första kvadreringsregeln kan utföra relativt svåra multiplikationer. Därefter följer ett par avsnitt om division som huvudräkning, där innehållsdivision visar sig vara en framgångsrik modell. I nästa steg följer skriftlig multiplikation och division. Kapitel 9 inleds med hur man på olika sätt och med olika matematiska metoder, kan konkretisera skriftlig multiplikation. Därefter följer ett par avsnitt om matematikens historia. Detta innehåll kan dels visas för eleverna som ett led i undervisningen om matematikens historia, dels användas av läraren själv, som bakgrund till att uppfatta, och få en distans till, moderna räknemetoder. Samma mönster följs
C
när det gäller division. Här bör man emellertid observera att det, liksom i sub-
M
traktion, finns en rad olika strategier för hur divisioner utförs i olika kulturer.
Y
Sådana metoder analyseras och jämförs och kapitlet avslutas med ett litet
K
avsnitt om divisionens historia.
12
32561_Forord.fm
© Författaren och Studentlitteratur
14 januari 2008 11.54:53
sida 12 av 14
67mm 71mm 76mm
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
Bokens syfte, målgrupp och uppläggning
I kapitel 10 utvidgas talområdet till de rationella talen. I början av kapitlet redovisas resultaten av en diagnos som visar att kunskaperna om decimaltal inte är vad de borde vara. Orsakerna till detta utreds därefter steg för steg. Ett speciellt problem uppstår när man multiplicerar eller dividerar tal i decimalform. Hur förklarar man decimaltecknets placering? 1 1 Vissa tal som -- och -- kan inte skrivas som decimaltal utan skrivs som 3 7 oändliga, periodiska decimalutvecklingar, alltså som 0,333… respektive 9/12 10/13
0,142857142857142857… Varför är det så? Dessa och andra frågor reds ut i
11/14,5
kapitlet. Kapitlet avrundas med ett avsnitt om decimaltalens historia.
67mm 71mm 76mm
En del av de problem som beskrivs i kapitel 10 har sin förklaring i att många elever inte behärskar bråkens struktur. Decimaltalen är ju bara en speciell form av bråk. Som framgår av inledningen till kapitel 11 är kunskaperna om bråk och hur man opererar med bråk mindre bra i dagens skola. Detta får i sin tur återverkningar på elevernas förmåga att senare arbeta med algebra. Sådana saker reds ut i kapitel 11. Här ges också en väl utprövad och konkret förankrad teori och metodik för hur man kan hjälpa elever att bygga upp en förståelse för tal i bråkform och hur de kan operera med dem. Kapitel 12 handlar om procenträkning. Det här är ett område där man av tradition inte förklarat varför de beräkningar som görs i skolan fungerar. Man har istället erbjudit eleverna formler med vars hjälp de kan komma fram till ett korrekt svar. I det här kapitlet ges en rad olika exempel på hur man kan förklara procentbegreppet och varför olika beräkningsmodeller fungerar. I det avslutande kapitlet 13 ges en liten inblick i algebrans värld. Algebra handlar till stor del om att se generella mönster och utnyttja dem för att göra generellt giltiga beräkningar. Här ges några exempel på hur man kan arbeta med sådana mönster. I kapitlet presenteras också det s.k. ekvationsspelet, en metafor med vars hjälp man kan genomskåda de generella spelregler som gäller vid ekvationslösning. Boken avslutas med några korta presentationer av ett antal matematikhistoriskt intressanta personer som nämns i boken. Därefter följer en lång referenslista där man kan finna litteratur om den forskning som boken bygger på, men också litteratur med vars hjälp man kan tränga djupare in i intressanta områden av matematikens didaktik.
C M Y K
13
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Forord.fm
14 januari 2008 11.54:53
sida 13 av 14
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
2 En skolämnesteori för matematik 9/12
67mm
10/13
71mm
11/14,5
76mm
Elever utvecklar ett matematikkunnande i ett F (förskola) till (årskurs) 12perspektiv. Målet är att de skall lära sig förstå och använda ett antal matematiska begrepp. Det är sådana begrepp som krävs för att man skall kunna tolka och lösa matematiska problem på olika nivåer, såväl konkret formulerade vardagsproblem som abstrakt formulerade problem. Ett begrepp kan uttryckas och förstås på flera olika sätt. Inledningsvis kan det i ett första steg beskrivas på en konkret nivå och vara funktionellt inom ett begränsat talområde. Därefter kan det efter hand formuleras allt mer abstrakt och generellt, beroende på elevernas individuella behov och förmåga att abstrahera. Det är lärarens uppgift att, utgående från sitt yrkeskunnande, möta elevernas behov genom lämpliga val av undervisningsmetoder, arbetssätt och arbetsformer. Detta förutsätter emellertid att läraren själv har goda kunskaper i den matematik som krävs för att på djupet behandla och problematisera skolmatematikens innehåll. Detta innehåll bör utgå från en didaktisk ämnesteori eller en skolämnesteori. I det här kapitlet avhandlas vad som innefattas i begreppet didaktisk ämnesteori och vilken avgörande roll denna teori spelar vid lärares planering av undervisningen och val av arbetsform och arbetssätt.
2.1 Matematikämnets didaktik i ett internationellt perspektiv I boken Matematikundervisningens dilemman (Löwing, 2006) ges en översikt över den debatt som under senare år ägnats åt matematikämnets didaktik. En uppfattning har tidigare varit att den som är duktig i matematik och har läst pedagogik därmed, automatiskt, blir en duktig lärare i matematik. Många forsC M Y K
kare har idag invändningar mot detta. Ball och Bass (2000) menar att denna uppfattning har lett till att man i lärarutbildningen försummar den viktiga kopplingen mellan teori och praktik. Man har tagit för givet att läraren efter hand och utgående från egna erfarenheter själv skall kunna överföra sina kun-
25
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Hela.fm
14 januari 2008 12.21:47
sida 25 av 296
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
skaper i matematik och pedagogik till praktisk lärarkunskap. Detta är inte så enkelt, skriver Ball och Bass, och detta sker inte av sig självt. De menar t.o.m. att för många lärare sker en sådan överföring aldrig. Vad Ball och Bass efterlyser är därför en praxisnära teori som förenar matematik och pedagogik och som lärare kan utgå från i sin matematikundervisning. De kallar denna teori för PCK, Pedagogical Content Knowledge. Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) uttrycker liknande åsikter. De börjar med att påpeka att det som lärs är det som undervisas. Eleverna lär ingen mate-
9/12
67mm
10/13
matik av sig själva. I skolan är det läraren som bestämmer vilket innehåll som
71mm
11/14,5
skall undervisas, hur detta innehåll skall presenteras, hur mycket tid som skall
76mm
ägnas åt detta innehåll m.m. Vad eleverna lär beror också på lärarens förhållningssätt till stoffet och hur detta behandlas. För att lärare skall kunna undervisa på ett adekvat sätt krävs därför speciella kunskaper. Det krävs, menar Kilpatrick m.fl, betydligt mer än goda kunskaper i matematik och pedagogik för att genomföra detta komplexa arbete. (s. 79–80)
En annan forskare, numera verksam i USA, Ma (1999), visar i sin forskning på att de amerikanska lärarna, trots en lång högskoleutbildning, hade svårigheter med att såväl lösa, som att förklara hur man kan lösa, enkla matematiska problem. Hon beskriver att de kinesiska lärarna i sina förklaringar var överlägsna de amerikanska kollegorna, trots att kineserna enbart hade en nioårig skola i botten. En förklaring till detta är att de amerikanska lärarna, trots avancerade kurser i matematik, enbart hade en ytlig förståelse för de begrepp som bygger upp den elementära matematiken. Detta beror i sin tur på att många amerikanska lärare betraktar den grundläggande skolmatematiken som något banalt och enkelt. För läraren själv är detta givetvis sant, men så är det inte för eleverna. Det krävs därför en teori som hjälper läraren att förstå den grundläggande matematiken på ett sådant sätt att de kan göra innehållet logiskt och begripligt för elever med olika förutsättningar. Det är denna teori som kallas för en didaktisk ämnesteori för matematikundervisning och kan vara en tolkning av PCK. Gemensamt för vad alla de nämnda forskarna uttrycker, är att det inte räcker med att behärska en akademikers matematik. Det räcker inte heller med att som lärare behärska ett antal lämpliga undervisningsmetoder. Vad som behövs är en matematikdidaktisk ämnesteori (en skolämnesteori) med vars hjälp lärare såväl får en insikt i hur elever på ett konsekvent och logiskt C
sätt kan bygga upp ett matematiskt vetande som att värdera elevernas uppfatt-
M
ningar av begreppen ifråga och avgöra om dessa uppfattningar går att genera-
Y
lisera och utveckla (Löwing, 2002).
K
26
32561_Hela.fm
© Författaren och Studentlitteratur
14 januari 2008 12.21:47
sida 26 av 296
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
2.2 Matematikämnets didaktik i Sverige Matematikämnets didaktik är ett vitt begrepp som omfattar såväl undervisningens innehåll, dess planering och genomförande, dess utvärdering som hanterandet av tekniska hjälpmedel. I det här kapitlet behandlas emellertid enbart frågor om undervisningens innehåll och struktur. Dagens svenska didaktikbegrepp har sina rötter i en bokserie, Fackdidaktik 9/12
I–III (Marton, 1986). Här beskriver Thompson hur modern naturvetenskap
67mm
10/13
och matematik riskerar att stelna i en rigid symbolism. Denna symbolism har
71mm
11/14,5
visserligen lett till exempellösa framgångar inom matematik och teknologi,
76mm
men, skriver Thompson, priset får betalas i pedagogiken. Man kan formulera detta som att ju mer stringent matematiken blir, desto svårare blir den att begripa för andra än matematiker. Den bild av matematik som Thompson (1986) ger i Fackdidaktik volym III har väldigt lite gemensamt med den matematik eleverna erbjuds i grundskolan. För det första måste då konstateras att matematisk sanning består i en motsägelsefrihet och fullständighet, att kriteriet med andra ord är ett inre kriterium. En matematisk teori kan med avseende på sin sanning inte avgöras mot något givet yttre kriterium. (s. 16)
Johansson och Kilborn (1986) följer i samma bok upp behovet av en matematikdidaktisk teori, en teori som är anpassad till elevers individuella förmåga att lära och använda matematik. Detta är således en teori anpassad till lärarens profession. De utrycker detta så här: Det är vår uppfattning att den grundläggande orsaken till dessa skillnader i val av innehåll ligger i det faktum att vi saknar en didaktisk ämnesteori, en ämnesteori för skolämnet matematik. Denna teori går inte att härleda ur den akademiska disciplinen matematik. (s. 92) De instrument man på den nivån har utvecklat är mycket trubbiga och okänsliga hjälpmedel för vardagsmänniskan när hon skall försöka greppa sin omvärld. En didaktisk ämnesteori för skolämnet matematik går heller inte att härleda från erfarenheter av några begränsade fenomen, som man ofta arbetar med inom den pedagogiska och inlärningspsykologiska forskningen. … Istället behöver vi en teori som innehåller omvärldsrelaterade kunskapsstrukturer och som samtidigt är väl anpassad till kunskaper om hur lärare och elever uppfattar detta innehåll. (s. 93) C M
Beskrivningen av en didaktisk ämnesteori avslutas med orden:
Y K
27
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Hela.fm
14 januari 2008 12.21:47
sida 27 av 296
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
Vi måste skapa forsknings- och analysmetoder som hjälper oss att bygga upp helhetsstrukturer för skolmatematikens innehåll, giltiga inte bara inom lokala fält eller för enskilda kurser eller stadier. Vi måste utveckla beskrivningskategorier som ger oss kontroll över kvalitativa skillnader mellan olika typer av innehåll. I dagsläget finns enbart fragment av en sådan kunskapsbildning. (s. 93)
Det har hänt en hel del sedan böckerna om fackdidaktik skrevs år 1986. Ett stort steg framåt togs av Kilborn i och med hans tre böcker om en didaktisk
9/12 10/13
ämnesteori i matematik (Kilborn, 1989, 1990, 1992). Dessa idéer om en
11/14,5
didaktisk ämnesteori för matematikundervisning har efter hand utvecklats av bl.a. Löwing och Kilborn (2002, 2003), Kilborn (2005) och Löwing (2002, 2006). En liknande diskussion om skolämnesteori förs inom NO-ämnena och på flera sätt berikar dessa diskussioner varandra. I Kommunicera naturvetenskap i skolan skriver exempelvis Strömdahl (2002): Ett hinder för att teknisk/naturvetenskaplig kunskap skall ses som en kulturyttring utöver en elementär populärvetenskaplig nivå är att den anses vara svår att kommunicera, kall och rationell. Kommunikationsproblemet hänger bl.a. samman med att naturvetenskapens språk och karaktär är av ett slag som ofta inte sammanfaller med det vardagliga sättet att tänka och resonera. Problemet kommer särskilt tydligt till uttryck i skolans undervisning och lärande i NOämnena. … Sambandet mellan den vardagligt upplevda världen och den naturvetenskapliga modellen av denna värld är nämligen inte så enkelt som ofta framhålls i ivern att rättfärdiga att de naturvetenskapliga ämnena med lätthet kan knytas till de studerandes vardagsverklighet. Tvärtom pekar Wolpert (1993) på naturvetenskapens onaturliga karaktär genom att den går utanför vardagsverkligheten och sunt förnuft, bygger på idealiseringar (Nersessian, 1992), är abstrakt och matematisk. (s. 8f)
Vad Strömdahl skriver om teknik/naturvetenskap gäller i lika hög grad för ämnet matematik. Man kan i detta sammanhang hänvisa till Niss (1994) som understryker lärarens viktiga roll i skolans matematikundervisning. As the learning of mathematics does not take place spontaneously and automatically, mathematics needs to be taught. (s. 368) C M Y K
28
32561_Hela.fm
© Författaren och Studentlitteratur
14 januari 2008 12.21:47
sida 28 av 296
67mm 71mm 76mm
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
2.3 Matematiska begrepp i skolan Målet med skolans matematikundervisning är att eleverna skall lära sig förstå och använda ett antal matematiska begrepp och modeller. Detta sker till en början utgående från enkla och konkret formulerade vardagsproblem för att successivt övergå i komplicerade och abstrakt formulerade matematiska problem. 9/12
Matematiska begrepp och matematiska modeller krävs för att vi skall kunna
67mm
10/13
begripa och bearbeta matematiska problem av olika slag. Man kan emellertid
71mm
11/14,5
inte begära att alla individer skall behärska mer komplicerade matematiska
76mm
modeller eller att de skall kunna uppfatta och använda mer abstrakta begrepp. Samtidigt bör alla individer, var och en på sin kunskapsnivå, kunna lösa vissa typer av för dem angelägna matematiska problem. Det gäller bara att finna någon acceptabel matematisk modell som bygger på för dem uppfattbara begrepp. Det här betyder att de begrepp som eleverna möter i skolan inte kan vara konstanta till sin natur utan att begreppen, efter hand som eleverna utvecklar sitt kunnande, bör förfinas och göras allt mer generella och abstrakta. Detta får inte tolkas så att de begrepp eleverna erbjuds under de första skolåren är felaktiga. De är snarare till en början preliminära och matematiskt sett ofullständiga. Marton och Booth (2000) beskriver detta så här: Ur vår synvinkel går lärande i regel framåt från en odifferentierad och mindre sammanhängande förståelse av helheten till en ökad differentiering och integration av helheten och dess beståndsdelar. På så sätt framskrider lärandet inte så mycket från delar till helheter utan från helheter till helheter. (s. 10)
Matematikdidaktiska begrepp bör således inte uppfattas som något konstant och absolut utan bör i stället successivt byggas upp från enklare och mer konkret förankrade begrepp till abstrakta och mer generella. De definitioner som ges och de begrepp som används inom den akademiska disciplinen matematik kan, som tidigare nämnts, vara svåra att uppfatta för en lekman samtidigt som de är trubbiga instrument i vardagens räknande. En skolämnesteori eller didaktisk ämnesteori bör därför, dels bygga på hur olika begrepp utvecklats historiskt, dels på forskning om hur olika elever kan uppfatta dessa begrepp. Detta betyder att en didaktisk ämnesteori för matematik bör omfatta modeller för hur denna väg mellan olika begreppsnivåer kan se ut och vilka förkunskaper, termer och delbegrepp som krävs för C
att gå från helhet till helhet, alltså från enklare till mer komplexa begrepps-
M
nivåer. Samtidigt måste man vara medveten om att vägen från en konkret och
Y K
vardagsförankrad matematik till en mer formell matematik ser olika ut i olika kulturer. Den kan t.o.m. se olika ut inom samma kultur. 29
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Hela.fm
14 januari 2008 12.21:47
sida 29 av 296
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
Som exempel på en didaktisk ämnesteori kan nämnas Kilborns (1989) syn på de grundläggande räkneoperationerna. Han inleder med två olika definitioner av vad matematiker kan mena med naturliga tal och addition. Han utgår sedan från forskning utförd av bl.a. Gelman och Galistel (1978) och Carpenter, Moser och Romberg (1982) för att analysera vilka matematikdidaktiska idéer som kan läggas till grund för en ämnesteori. För grundläggande subtraktion är sådana idéer: Ta bort, Komplettera och Jämföra. När man 9/12 10/13
tillämpar dessa idéer kan det ske med flera olika tekniker. När det gäller idén
11/14,5
Ta bort, kan man vid en subtraktion som 13 – 9 dels räkna nedåt i 9 steg till återstoden 4, dels räkna nedåt i 4 steg till delen 9. Detta kan i sin tur ske i huvudet, på fingrarna eller genom att man använder 13 föremål. Vissa av dessa tekniker kan utvecklas och generaliseras, andra innebär snarast ett hinder för utveckling. En del av de här idéerna och teknikerna kan ha uppfattats på ett korrekt sätt av eleverna, andra idéer och tekniker kan ha missuppfattats och måste bytas ut eller modifieras. Eftersom det är lärarna som är ansvariga för detta behöver de en teori som förklarar skolans matematik. Det är mot bakgrund av en sådan teori de ges möjligheter att förstå elevernas tänkande och avgöra värdet av detta tänkande, för att på såväl kort som lång sikt kunna hjälpa eleverna att bygga upp för framtiden hållbara kunskaper. Om man utgår från Martons och Booths (2000) beskrivning ovan, så är poängen att man kan lösa problem av en viss typ på olika nivåer och med olika djup. Detta beror i sin tur på vilka begrepp som krävs för att lösa problemet ifråga och vilken grad av förståelse eleven har för dem. Det här är en process som fortgår och förfinas under hela skoltiden. Detta illustreras i Löwing och Kilborn (2008) med följande figur:
Begrepp nivå 3
Problemlösning
Begrepp nivå 2
Begrepp nivå 1
För att en elev som enligt figuren ovan befinner sig på begreppsnivå 1 skall kunna gå vidare till begreppsnivå 2, krävs det, förutom förståelse på begrepps-
C M
nivå 1, ett antal nya byggstenar såsom erfarenheter och förkunskaper i form
Y
av termer och delbegrepp. Det är dessa som markeras med ringar mellan
K
begreppsnivåerna. En viktig funktion i en didaktisk ämnesteori är att beskriva
30
32561_Hela.fm
© Författaren och Studentlitteratur
14 januari 2008 12.21:47
sida 30 av 296
67mm 71mm 76mm
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
inte bara vilka dessa begrepp är och hur en elev kan tillägna sig dem, utan också vilka förkunskaper som krävs för att byta upp sig från en begreppsnivå till en mer avancerad begreppsnivå. För att illustrera ovanstående resonemang kan man koppla det till geometriska problem om fyrhörningars omkrets och area.
•
Begreppsnivå 1 kan då handla om att bestämma omkretsen av en kvadrat med sidan 3 cm. Lösningen utförs som upprepad addition, alltså som 3 +
9/12
67mm
10/13
3 + 3 + 3. Lösningen kan på samma begreppsnivå utföras som dubbelt dub-
71mm
11/14,5
belt 3 eller, för den som behärskar den delen av multiplikationstabellen,
76mm
som 4 · 3.
•
På begreppsnivå 2 kan det handla om en rektangels area. Att bestämma arean av en rektangel med sidorna 16 cm och 24 cm genom upprepad addition är en mindre lyckad strategi. Den som behärskar hur tal skrivs som ental, tiotal och hundratal kan emellertid, med hjälp av den distributiva lagen, utföra beräkningen på en rad olika sätt. Det kan ske som skriftlig räkning (t.ex. i en traditionell uppställning) eller som huvudräkning i form av de två leden 16 · 25 – 16 · 1 vilket med hjälp av den associativa räknelagen kan skrivas 4 · (4 · 25) – 16 = 400 – 16.
•
På begreppsnivå 3 kan det handla om att bestämma arean av en rektangel 1 5 med sidorna 2 -- cm och 3 -- cm. Detta leder till en mer komplicerad multi3 6 plikation som kräver såväl kunskaper inom ett nytt talområde som en ny definition av räknesättet multiplikation (se kapitel 11). Samtidigt är det viktigt att notera att det här problemet tillfälligt kan lösas på begreppsnivå 2 genom övergång från bråkform till närmevärden i decimalform.
Vad exemplet visar är vikten av att den lärare som grundlägger ett visst begrepp är medveten om hur detta begrepp kommer att utvecklas senare under skoltiden och då av andra lärare. Samtidigt måste den mottagande läraren vara medveten om, inte bara vilka begrepp eleverna har mött tidigare, utan också hur de uppfattat dessa begrepp. Det här innebär att alla de lärare som i ett skolår F-till-12-perspektiv undervisar en elevgrupp bör ha en gemensam syn på såväl skolmatematikens innehåll och didaktik som det språk med vars hjälp de kommunicerar dessa begrepp. I annat fall riskerar eleverna såväl att mötas av motstridiga budskap som att missa viktiga förkunskaper och erfarenheter som krävs för att de skall kunna fördjupa sin C
begreppsapparat.
M Y K
31
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Hela.fm
14 januari 2008 12.21:47
sida 31 av 296
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
2.4 Undervisningen och skolmatematiken Enligt Nationalencyklopedin (1989–1996) är matematik … en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. … Matematiken är abstrakt: den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen, vilket är en förutsättning för att den skall vara generell …
Det är inom denna abstrakta vetenskap de matematiska begreppen byggs upp
9/12 10/13
och teorin är avsedd för vetenskapligt bruk. För att undervisa om motsva-
11/14,5
rande begrepp i skolan krävs det en helt annan teori som tar sin utgångspunkt i konkretiserande förklaringar och elevernas tidigare erfarenheter. Till skillnad från matematikerns teori är detta en teori som hör hemma inom utbildningsvetenskapen. Även om målet på sikt är att eleverna skall kunna abstrahera olika begrepp bör detta, åtminstone under de första skolåren, ta sin utgångspunkt i konkretiserande förklaringar. Det är samtidigt viktigt att skilja mellan begreppen i sig, matematiska såväl som didaktiska, och hur olika individer uppfattar eller förmår uppfatta begreppen. Detta illustreras i nedanstående figur:
Begrepp nivå 2
Undervisningsprocessen
Uppfattning nivå A2 Uppfattning nivå B2 Uppfattning nivå C2
Begrepp nivå 1
Uppfattning nivå A1 Uppfattning nivå B1 Uppfattning nivå C1
Om målet är att undervisa om begrepp på nivå 2, så sker detta i en undervisningsprocess där läraren erbjuder begreppen ifråga och där resultatet blir ett antal individuella uppfattningar av begreppen. Målet är att dessa uppfattningar så nära som möjligt skall spegla motsvarande begrepp. Skillnaden mellan begrepp och uppfattning kan emellertid vara mycket olika från individ till individ och är i hög grad beroende av såväl lärarens förmåga att lyfta fram begreppen ifråga för olika individer, som på deras förmåga att tillgodogöra sig begreppen. Det är av det skälet angeläget såväl att läraren kontinuerligt diagnostiserar hur väl elevernas uppfattningar speglar motsvarande begrepp, C
som att hon kartlägger vilka nya förkunskaper olika elever behöver för att de
M
skall kunna uppfatta begreppet på en högre nivå.
Y
Vad figuren visar är följande. Det aktuella målet är att undervisningen
K
utgående från begreppsnivå 1 och med hjälp av nödvändiga förkunskaper 32
32561_Hela.fm
© Författaren och Studentlitteratur
14 januari 2008 12.21:47
sida 32 av 296
67mm 71mm 76mm
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
(markerat med ringar) skall nå begreppsnivå 2. Olika elever (A, B, C enligt figuren) har emellertid uppfattat begrepp 1 på olika sätt. Till höger i bilden illustreras tre elevers olika uppfattningar om begrepp 1. Vissa av dessa uppfattningar har en sådan kvalitet att de kan generaliseras, medan andra uppfattningar saknar en sådan kvalitet. Saknas kvalitet i uppfattningen är det inte möjligt att komma vidare till nivå 2. Detta måste diagnostiseras. Även om uppfattning A1 (B1, C1) verkligen är generaliserbar så krävs det nya förkun9/12 10/13
skaper för att komma vidare till nivå A2 (B2, C2). Det här är inte enkelt, men
11/14,5
med en god ämnesdidaktisk teori ges läraren möjligheter att hantera detta i
67mm 71mm 76mm
undervisningen. Som tidigare nämnts är det viktigt att varje begreppsnivå bildar en helhet. På varje nivå skall det vara möjligt att lösa problem av ett visst slag, även om det sker på kvalitativt olika sätt och med olika djup. Motsvarande gäller för elevernas olika uppfattningar. Även om den enskilde elevens uppfattning skiljer sig från motsvarande begrepp på en kvalitativ nivå, är det viktigt att denna uppfattning kan tas som utgångspunkt för en framgångsrik problemlösning på just den nivån. Även uppfattningarna bör alltså utgöra funktionella helheter samtidigt som varje sådan helhet kan utvecklas i en skala från konkret till abstrakt. Elevers uppfattningar om olika begrepp kan vara mycket olika och alla är inte funktionella. En hel del forskning har ägnats åt att beskriva elevers missuppfattningar. När man bygger upp en didaktisk ämnesteori är det givetvis viktigt att studera dessa missuppfattningar och reda ut orsakerna till dem. I andra fall kan elevers uppfattningar vara funktionella i sig, men eleverna har tillägnat sig en teknik som lett dem in i en återvändsgränd och därmed försvårat deras möjligheter att gå vidare till en ny, mer utvecklad uppfattning. Givetvis räcker det inte med en aldrig så bra teori för hur en begreppshierarki kan byggas upp om eleverna inte förmår uppfatta begreppen ifråga. Undervisningsprocessen har här en central betydelse. Av det skälet är det viktigt att en didaktisk ämnesteori följs upp med funktionella exempel på hur undervisningen kan planeras, vilka arbetsformer och arbetssätt som kan vara lämpliga och inte minst hur olika begrepp kan konkretiseras. Eftersom läraren har ansvaret för detta är det samtidigt viktigt att läraren har tillgång till diagnoser med vars hjälp hon kan avgöra hållbarheten av elevernas olika uppfattningar. C
För att nå eleverna med undervisningen räcker det inte med en bra teori.
M
Denna teori skall också kunna kommuniceras till elever med olika matema-
Y
tiska och språkliga färdigheter. Det är med språket som instrument man syn-
K
liggör matematiken.
33
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Hela.fm
14 januari 2008 12.21:47
sida 33 av 296
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
2.5 Kommunikationen och undervisningsprocessen Undervisningen kan grovt delas upp i tre faser: planering, undervisning och utvärdering. Att en matematikdidaktisk teori krävs för att på såväl lång som kort sikt planera och utvärdera undervisningen har väl redan framgått av texten. En stor del av innehållet i den här boken kommer att ägnas åt dessa aspekter. Under lektionen kommer en annan aspekt med i bilden. För att
9/12 10/13
67mm 71mm
kunna kommunicera begrepp krävs det ett språk med vars hjälp begreppen
11/14,5
76mm
kan lyftas fram och synliggöras. Detta kräver i sin tur att lärare och elever är överens om de termer som används. Ett dilemma är härvidlag att det under en lektion förekommer en rad olika kommunikationer parallellt. Kommunikationens komplexitet under en matematiklektion har beskrivits av Löwing och Kilborn (2008). Den viktigaste kommunikationen är den mellan lärare och elev, enskilt eller i grupp. Här är det nödvändigt att läraren använder ett såväl korrekt som för eleven förståeligt språk. Det är utgående från det språk läraren använder som eleven på sikt bygger upp ett eget språkbruk i anslutning till innehållet i undervisningen. Denna kommunikation måste kunna utföras på olika språkliga nivåer, såväl formellt som informellt och i det senare fallet såväl laborativt som vardagsanpassat. Vad vi vet, genom studier av innehållet i denna kommunikation, är att drygt 60 % av elevernas repliker enbart innehåller 1–3 ord. Detta är långt ifrån tillräckligt för att en elev skall kunna bygga upp ett adekvat språk för matematik. Ofta är den vanligaste kommunikationen ur elevens synvinkel den mellan elev och läromedel. Denna enkelriktade kommunikation förutsätter såväl en viss läsfärdighet som att eleven har tillräckligt goda förkunskaper för att kunna följa med i texten och lösa de uppgifter som ges. Samtidigt kan man konstatera att texten i matematikläromedel ofta är mycket speciell och komprimerad. Den innehåller också termer som kan vara svåra att förstå eller har dubbla betydelser: en vardagsbetydelse och en matematisk betydelse. Såväl Kilborn (1979) som Löwing (2004, 2006) har i sin forskning visat på att många elever har problem med att tolka texten i läromedel. Till detta kommer att större delen av all matematikundervisning i dag sker individuellt, vid en kommunikation mellan elev och läromedel (Bentley, 2003; Skolverket, 2003). En tredje typ av kommunikation är den mellan två eller flera elever. Denna
C
förutsätter att alla elever har ett språk som tillåter en samverkan där alla kan
M
delta och alla får ett utbyte av kommunikationen. I annat fall blir samverkan
Y
och arbete i grupp meningslös för vissa elever. Vad som lyfts fram i bl.a.
K
34
32561_Hela.fm
© Författaren och Studentlitteratur
14 januari 2008 12.21:47
sida 34 av 296
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
Löwings (2004) forskning är att många elever aldrig ges en chans att lära i en grupp. Ofta är det en eller två elever som tar över kommandot och det är med den eller de eleverna som läraren för samtal å hela gruppens vägnar. Övriga elever i gruppen är mest statister. Det är lätt att räkna ut vilken roll den elev får som saknar ett adekvat språk eller nödvändiga förkunskaper. Det sker också en kommunikation mellan förälder och barn vid läxläsning. Många föräldrar saknar emellertid kunskaper om såväl målen i deras barns 9/12 10/13
skola som det språk och de metoder barnets lärare använder. Detta kan leda
11/14,5
till onödiga konflikter både på det affektiva och på det kognitiva planet. En
67mm 71mm 76mm
lösning på detta dilemma kan vara att vid kontakt med föräldrarna beskriva vad undervisningen går ut på, vilka rättigheter och skyldigheter eleven har samt på vilka sätt intresserade föräldrar kan hjälpa sina barn med skolarbetet. Detta gäller inte minst för invandrade föräldrar som kommer från en helt annan skolkultur. Sist men inte minst sker det hela tiden en inre kommunikation i elevens huvud, när eleven bearbetar den information hon har lyssnat eller läst sig till. För att denna inre kommunikation skall bli funktionell krävs det att eleven tillägnat sig ett språk som duger till att hantera matematiska begrepp.
2.6 Om kunskapsuppföljning Eftersom matematik är ett av kärnämnena förutsätts det att en elev behärskar ämnet för att ges möjligheter att studera vidare. Här har alla lärare som undervisar i matematik, från förskoleklass till gymnasieskola, en viktig uppgift och ett stort ansvar. Förskollärare måste också ta sitt ansvar för det tidiga mötet med matematiken. För att kunna ta detta ansvar måste läraren ha de aktuella målen klara för sig. Läraren måste även kunna avgöra om alla elever har nått målen ifråga. En sådan utvärdering kan göras successivt med hjälp av kunskapsdiagnoser. En kunskapsdiagnos kan vara formell eller informell och den kan vara muntlig eller skriftlig. Huvudsaken är att den har hög kvalitet, vilket innebär att:
• •
Den skall ta sin utgångspunkt i målen i den nationella kursplanen. Den skall ingå i en långsiktig kunskapsutveckling så att varje elev kan ges kontinuitet i undervisningen.
• C M Y
Uppgifternas typ och antal måste väljas på ett sådant sätt att man får ett tillförlitligt resultat av diagnosen.
•
Den skall ge så klara besked att man som lärare vet hur man skall kunna följa upp iakttagna svårigheter.
K
35
© Författaren och Studentlitteratur
32561_Hela.fm
14 januari 2008 12.21:47
sida 35 av 296
Studentlitteratur 170x245-Stone-2002-10-01 1,5 spalt ytter
2 En skolämnesteori för matematik
Det här betyder att kunskapsdiagnoserna måste bygga på en hållbar didaktisk ämnesteori. Ett sådant instrument för diagnostisering av elevernas matematikkunskap är Skolverkets Diamant-diagnoser (Skolverket, 2008). I de följande kapitlen görs ett försök att visa en sammanhängande skolämnesteori för matematik i grundskolan och för hur man kan behandla olika ämnesinnehåll i skolans matematikundervisning. Samtidigt ges exempel på hur man kan konkretisera och kommunicera innehållet. Mot slutet av varje 9/12 10/13
kapitel förekommer också ett avsnitt kallat kunskapsuppföljning. Här ges
11/14,5
exempel på vad som är centralt att följa upp inom det behandlade området. Det ges också exempel på hur en diagnostisering av elevernas kunskap kan gå till inom just det här området. I flera fall hänvisas då till Skolverkets Diamantdiagnoser. I samband med utprövningen av detta diagnosmaterial insamlades en hel del data om hur elever lyckades med att lösa olika typer av uppgifter. Sådana data redovisas i texten. I vissa fall är dessa data grundade på stora elevgrupper, ibland på resultatet från en större skola som är representativ för de skolor som deltog i utprövningen. Som redan nämnts kan en diagnostisering utföras på en rad olika sätt och valet av metod beror på det innehåll och den aspekt av innehållet som man skall diagnostisera. För att visa på denna variation är avsnitten om kunskapsuppföljning i slutet av de olika kapitlen olika till sin karaktär. I vissa fall tas en skriftlig diagnos till utgångspunkt, i andra fall en muntlig diagnos utförd i grupp. Valet av diagnostiseringsmetod kan t.ex. bero på om det är en färdighetskunskap som skall diagnostiseras eller om det är elevernas förmåga att kommunicera matematik, deras förhållningssätt till matematik eller en variation av strategier man vill diagnostisera. Ofta kan det vara lämpligt att inleda diagnostiseringen med en skriftlig diagnos som ger besked om vilka elever som med hög sannolikhet redan behärskar en viss kunskap. Man får därigenom även besked om vilka elever som sannolikt saknar en viss kunskap. Resultatet från den skriftliga diagnosen kan i nästa fas följas upp med en muntlig diagnos, varvid eleven räknar en uppgift och samtidigt talar om för läraren hur hon resonerar. Många lärare väljer att diagnostisera eleverna informellt medan de går runt i klassrummet och handleder dem. Det finns emellertid två förutsättningar för att detta skall ge ett adekvat resultat: att man har en teori att utgå ifrån och att man är så systematisk att man verkligen får besked om det man är ute efter.
C
Det som skall diagnostiseras är inte bara formella kunskaper, såsom att
M
eleven med flyt kan utföra subtraktioner och divisioner. Lika viktigt är det att
Y
lyssna på om eleverna behärskar termer och begrepp och att de förstår räkne-
K
lagar och räkneregler. Detta kan man diagnostisera genom att ”tala matema-
36
32561_Hela.fm
© Författaren och Studentlitteratur
14 januari 2008 12.21:47
sida 36 av 296
67mm 71mm 76mm
Matematikdidaktik för lärare Målet för matematikundervisningen är att elever skall lära sig mate matik som kan användas i såväl samhälle och yrkesliv vid vidare studier i matematik och andra ämnen. En viktig del av matematiklärarens yrkeskunnande är att känna till hur elever i olika åldrar bygger upp sina matematikkunskaper. Undervisningen bör därför inriktas mot att eleverna lär sig mate matiska modeller som bygger på räknelagar och räkneregler som i sin tur utgör verktyg vid lösning av olika typer av problem. I fördjupat lärande lär de sig också att använda giltiga matematiska modeller på ett insiktsfullt sätt. För att bygga upp en sådan undervisning behövs en teori som stöder lärare i arbetet med matematik. I boken beskrivs en teori för detta – en skolämnesteori med fokus på aritmetik. Bokens innehåll bygger på såväl internationell forskning som ett mångårigt forsknings- och utvecklingsarbete om undervisningsprocessen, elevers tänkande och matematikämnets didaktik. Till boken hör en webbsida där läsaren kan ta del av kompletterande material i form av facit till övningsuppgifterna, diagnos och träningsmaterial i aritmetik, Winnetkakort samt exempel på tentamensfrågor för studenter. Aktiveringskoden som finns i boken ger tillgång till webbsidan under två år. Boken är avsedd för utbildning och kompetensutveckling av lärar studerande och lärare samt för föräldrar som vill hjälpa sina barn att tillgodogöra sig det matematikinnehåll som beskrivs i grundskolans kursplaner.
| Grundläggande aritmetik
Grundläggande aritmetik
Madeleine Löwing
Madeleine Löwing är fil.dr i matematikämnets didaktik och verksam som universitetslektor vid Göteborgs universitet. Hon har lång erfarenhet av forskning och utvecklingsarbete med inriktning mot grundläggande matematikinlärning.
Grundläggande aritmetik
Matematikdidaktik för lärare
(8+7)+3 = 8+(7+3) = 8+10 57–19–27 = (57–27)–19 = 30–19 56·3 = (8·7)·3 = 8·(7·3) = 8·21 850/25 = 1700/50 = 3400/100
Art.nr 32561
www.studentlitteratur.se
978-91-44-00874-5_08_cover.indd 1
Madeleine Löwing
2014-04-24 14:44