SON JUNNES JONAS S RÖM HOLMST IN T R A M DHAMRE EVA SME
ISBN 978-91-47-10909-8 © 2013 Jonas Sjunnesson, Martin Holmström, Eva Smedhamre och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: Turkiet 2013
Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
Till elever och lärare Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 4 och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. EXEMPEL
Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna!
!
definition: r
!
sats: vertikalv
Tydliga rutor med rubrikerna Definition och Sats, samt regelrutor återkommer genom hela boken.
! Antalet värdesiffro
aKtivitet
Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare. Aktiviteter är avsnitt med laborativ karaktär. Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp. I varje kapitel finns en större uppgift, Upptäck & visa. Dessa uppgifter har olika tema, alla med en enkel inledning. Den avslutande delen innebär att du ska generalisera ett matematiskt samband.
digitala rutan
I digitala rutan får du använda olika digitala verktyg för att lösa problem.
TEST
Varje kapitel avslutas med ett test i två delar, varav en utan räknare.
tanKenöt
Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Lycka till med kursen! Författarna
3
Innehåll 1
trigonometri
1.1 Graferna till y = sinx och y = cosx 8
Enhetscirkeln och några samband 8 Sinuskurvor 14 Digitala rutan: Trigonometriska funktioner 22 Cosinuskurvor 23 1.2 Grafer och ekvationer 26
Trigonometriska ekvationer 26 Ekvationer och intervall 33 Tangenskurvor 36 sin 2x = sin x och cos 2x = cos x 40 Ekvationen sin 3x = cos 2x 43 1.3 Formler 45
Additions- och subtraktionssatsen 45 Formler för dubbla vinkeln 48 Ekvationer och formler 50 Funktionen y = a sinx + b cosx 53 1.4 Radianer 56
Vinkelmåttet radianer 56 Exakta värden och radianer 61 Tillämpningar 64 Aktivitet: Rätt eller fel? 68 Trigonometriska bevis 69 Upptäck & visa: Para ihop uttryck 71 Sammanfattning 72 test 1 74 Blandade uppgifter 77
4
6
2
derivator 80
2.1 Repetition av derivata 82
Derivatans definition 82 Deriveringsregler 86 Upptäck & visa: Area under tangent 88 Mer om derivatan 89 2.2 Fler deriveringsregler 92
Derivatan av y = sin x och y = cos x 92 Sammansatta funktioner 96 Derivatan av logaritmfunktioner 100 Aktivitet: Produktregeln 104 Derivatan av en produkt 105 Derivatan av en kvot 108 Digitala rutan: Ekvationer och derivator 110 2.3 Kurvanalys och problemlösning 111
Absolutbeloppet som funktion 111 Egenskaper hos logaritmfunktioner 115 Asymptoter och kurvanalys 118 Problemlösning med derivator 122 Förändringshastigheter 127 Aktivitet: Skissa grafer 130 Digitala rutan: Matematisk modell 132 Sammanfattning 133 test 2 135 Blandade uppgifter 137
3
integraler
140
3.1 Differentialekvationer 142
4
190
4.1 Komplexa tal z = a + bi 192
Primitiva funktioner 142 Primitiva funktioner med villkor 146 Differentialekvationer 148
Inledning 192 Räkning med komplexa tal 196 Upptäck & visa: Komplexa tal 199 Digitala rutan: a + bi 200 Ekvationer 201 Mer om komplexa talplanet 203 Faktorsatsen 206 Polynomdivision 209 Ekvationer med en känd reell rot 211 Aktivitet: Skissa tredjegradsfunktioner 214
3.2 Integraler 152
Integral och area 152 Upptäck & visa: Arean under cosinuskurvan 158 Integralens värde och tillämpningar 159 Numerisk lösning av integraler 164 Aktivitet: Inkomstfördelning 168 Sannolikheter med integraler 170
komplexa tal
4.2 Komplexa tal i polär form 215
Polär form 215 Aktivitet: Upptäcka samband 219 Multiplikation och division i polär form 220 de Moivres formel 225 Ekvationer av typen zn = w 226 Funktionen y = ez 230 Digitala rutan: Polär form 233 Olika bevismetoder 234
3.3 Volymberäkning med integral 174
Rotation kring x-axeln 174 Rotation kring y-axeln 178 Digitala rutan: Beräkna volymer 181 Sammanfattning 182 test 3 184 Blandade uppgifter 187
Sammanfattning 238
test 4 241
Blandade uppgifter 243
5
repetition 246
Facit 257 Facit till tankenötter 286 Sakregister 287 Tabell med exakta värden 288
5
Mål i det här kapitlet får du lära dig • härleda trigonometriska samband med hjälp av enhetscirkeln • använda trigonometriska formler • algebraiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer • Grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer • egenskaper hos trigonometriska funktioner • använda trigonometriska funktioner i tillämpade sammanhang • lösa problem med hjälp av trigonometri • undersöka matematiska samband med digitala hjälpmedel • hantera trigonometriska uttryck • Genomföra bevis
KApITeL 1
1 trigonometri BEGrEPP
peRIODISKA fÖRLOpp
I
tidigare kurser har vi använt trigonometri för att beräkna vinklar och sträckor i geometriska figurer. Här ska vi utvidga trigonometrin och möta nya tillämpningsområden. Formler och lagar som du får lära dig i det här kapitlet kan användas i t ex ellära, optik och akustik. Många händelser i naturen återkommer med bestämda mellanrum, man säger att de är periodiska. exempel: • I en ljudvåg varierar lufttrycket periodiskt. • ”Dagens längd” varierar under året. • I en väggkontakt varierar den elektriska spänningen. • Solfläcksaktiviteten varierar periodiskt och når maximal intensitet vart elfte år.
Vattendjupet i t ex en hamn bassäng ändras periodiskt och kan beskrivas med en trigonometrisk funktion. Om vattendjupet är h m efter t timmar får vi sambandet πt h(t ) = 1,5 + 2sin 6 Längst ner på sidan ser du grafen till funktionen. Genom att matematiskt beskriva detta naturfenomen kan vi svara på frågor som: När är djupet mer än 3 m? Hur länge är hamnbassängen tom? Kapitlet ger dig kunskaper så att du kan analysera den här och liknande funktioner.
enhetscirkel trigonometriska ettan amplitud period cosinuskurva sinuskurva tangenskurva additionsformlerna subtraktionsformlerna dubbla vinkeln radian båge cirkelsektor
Listan kan göras lång. Periodiska händelser kan ofta beskrivas matematiskt med hjälp av trigonometriska funktioner. Låt oss titta på tidvattnet som är ett periodiskt förlopp. Två gånger per dygn är det högvatten (flod) och två gånger är det lågvatten (ebb). Det är gravitationen mellan jorden och månen som ger upphov till tidvattnet. T.v. och ovan: Bilderna visar samma plats vid ebb (lågvatten) och vid flod (högvatten).
meter h 3
h(t) = 1,5 + 2sin
πt 6
2 1
t 5
10
15
20
triGonoMetri
timmar
7
KApITeL 1
1.1 GRAfeRNA TILL y = sin x OCH y = cos x enhetscirkeln och några samband Låt oss titta på en rätvinklig triangel med hypotenusan 1.
1 v
a
Definitionen på sinus och cosinus ger
b
sin v =
a =a 1
cos v =
b =b 1
slutsats: I en rätvinklig triangel med hypotenusan = 1, gäller att motstående katet = sin v närliggande katet = cos v Titta nu på den rätvinkliga triangeln i enhetscirkeln. Eftersom hypotenusan = 1, är alltså kateterna sin v och cos v.
sin v
1
–1
1 v cos v
–1
!
DefINITION:
En enhetscirkel har radien 1 och medelpunkt i origo. cos v = x-koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln sin v = y-koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln tan v =
y x
=
sin v cos v
Vinkeln v mäts från den positiva x-axeln.
y 2
1 x
3
8
4
Du kommer väl ihåg hur koordinatsystemets fyra kvadranter numreras. Se bilden.
1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x
(x, y)
1
KApITeL 1
Titta på enhetscirkeln igen. Pythagoras sats ger följande samband: (sin v)2 + (cos v)2 = 1 Detta kallas trigonometriska ettan. Uttrycket (sin v)2 kan också skrivas sin2 v, och utläses ”sinkvadratv”.
!
SATS: Trigonometriska ettan
sin2 v + cos2 v =1
y
Sedan tidigare vet vi att sin 30° och sin 150° har samma värde. Se enhetscirkeln till höger som visar att
1
180° – v
v cos(v)
cos(180–v)
sin(180° – v) = sin v cos(180° – v) = –cos v Från den här bilden kan vi se att cos (–v) = cos v
1
y 1 sin v
sin (–v) = –sin v Eftersom tan v =
x
v
sin v får vi att cos v
tan (180° – v) = – tan v
–v
x 1
sin(–v)
tan (–v) = (–tan v)
! sin (180° – v) = sin v
sin (–v) = –sin v
cos (180° – v) = –cos v
cos (–v) = cos v
tan (180° – v) = –tan v
tan (–v) = –tan v
triGonoMetri
9
KApITeL 1
Vad händer med sin v och cos v om vi lägger till 360° till vinkeln v? Att addera 360° innebär att radien får rotera ytterligare ett varv. Detta medför att sin (360° + v ) = sin v och att cos (360° + v) = cos v Man säger att perioden för sinus och cosinus är 360°. Vi får t ex att sin 30° = sin (30° + 360°) = sin 390° y
Låt oss nu undersöka vad som händer om vi lägger till 180° till vinkeln v?
1 v + 180°
Bilden visar att sin v = b och sin (v + 180°) = –b cos v = a och cos (v + 180°) = –a
1
För tan (v + 180°) gäller alltså sin( v + 180° ) −b b = = = tan v cos( v + 180° ) − a a
! sin (v + 180°) = –sin v cos (v + 180°) = –cos v tan (v + 180°) = tan v
Att tan (v + 180°) = tan v betyder att tangens har perioden 180°. Om vi adderar en period, dvs 180° för tangens, får vi alltså samma värde som tan v. Detta innebär t ex att tan 5° = tan 185° = tan 365°
! PERIOD
10
sin v = sin (v + n · 360°)
där
n är ett heltal
360°
cos v = cos (v + n · 360°)
där
n är ett heltal
360°
tan v = tan (v + n · 180°)
där
n är ett heltal
180°
1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x
x
v (–a, –b)
tan( v + 180° ) =
(a, b)
KApITeL 1
EXEMPEL 1
För en vinkel v gäller att 90° < v < 180° och sin v = 0,6. Bestäm cos v utan att använda räknare. Vi söker alltså xkoordinaten i enhetscirkeln för den punkt som har y = 0,6 och ligger i andra kvadranten (eftersom 90° < v < 180°). y
Trigonometriska ettan ger (cos v)2 + (sin v)2 = 12 cos2 v + 0,62 = 1 cos2 v = 1 – 0,36 cos2 v = 0,64
1 (x, 0,6) 1
v x
–1
1
cos v = ± 0,64 = ± 0,8 –1
Här gäller endast den negativa lösningen, eftersom vi vet att koordinaten finns i andra kvadranten. svar: cos v = –0,8 EXEMPEL 2
Antag att du vet att sin35° ≈ 0,57, cos 35° ≈ 0,82 och tan 35° ≈ 0,70. Bestäm följande utan att använda räknare. a) cos 755° = cos (755° – 2 · 360°) = cos 35° ≈ 0,82 Vi subtraherar 2 perioder. b) tan (–145°) = tan (–145° + 180°) = tan 35° ≈ 0,70 Vi adderar en period. c) sin (–395°) = sin (–395° + 360°) = sin (–35°) ≈ –0,57 EXEMPEL 3
Bestäm det exakta värdet för tan 480° om du vet att tan60° = 3 Vi subtraherar 3 perioder och får 480° – 3 · 180° = –60° tan480° = tan120 °== tan(180 ° − 120 tan60 tan 480° tan (–60°) = °–) = tan 60° °==– 3
svar: tan 480° = – 3
triGonoMetri
11
KAPITEL 1
1101 Använd enhetscirkeln och bestäm.
1107 Avgör, utan att använda räknare,
a) cos 90°
b) sin 90°
c) cos 180°
d) sin 180°
vilka av följande likheter som är rätt. Motivera.
e) cos 270°
f) sin 270°
a) sin 40° = sin (–40°) b) cos 40° = cos (–40°)
1102 a) Du vet att sin 30° = 0,5.
c) sin 580° = sin 40°
Ange ytterligare en vinkel som har sinusvärdet 0,5.
b) Utgå från cos 60° = 0,5 och bestäm ytterligare en vinkel som har cosinusvärdet 0,5.
d) tan 40° = tan 580° 1108 Bestäm med hjälp av
5
figuren sin v och tan v.
v 4
1103 Bestäm följande trigonometriska värden
med hjälp av figuren.
1109 a) Använd trigonometriska ettan och
y
bestäm det exakta värdet av sin v om cos v = 3 / 10.
1
b) Bestäm tan v när du vet att cos v = 5 / 13 och vinkeln v ligger i första kvadranten.
(0,93; 0,37) x
22° 1
1110 Rita en enhetscirkel och förklara
a) sin 22°
b) cos 22°
c) sin 202°
d) sin 338°
e) cos (–22°)
f) cos 1598°
sambanden cos (180° – v) = –cos v och sin (180° – v) = sin v.
1111
I enhetscirkeln har punkten P koordinaterna (a, b). y
1104 Bestäm följande utan räknare.
1
a) sin 750° då sin 30° = 0,5
P
b) tan 20° då du vet att tan 200° ≈ 0,36 c) sin 340° då du vet att sin 20° ≈ 0,34
(a, b) x
v –1
1
1105 En vinkel v finns i 1:a kvadranten.
Bestäm med hjälp av trigonometriska ettan värdet av cos v då sin v = 5 / 13.
–1
Bestäm med hjälp av figuren 1106 Använd trigonometriska ettan och att
12
a) sin v
sin 30° = 0,5 när du bestämmer följande.
b) sin (180° – v)
a) (sin 60°)2 + (cos 60°)2
c) cos v
b) 1 – (sin 30°)2
d) cos (–v)
1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x
KApITeL 1
1112
1113
Bestäm, utan att använda räknare, vilket av talen a = sin 20°, b = cos 95° och c = sin 170° som är störst. Motivera ditt svar.
1115
I en spetsvinklig triangel ABC gäller att cos B = 0,8. B
Beskriv uttrycken cos x2 och (cos x)2. Är det något av uttrycken som betyder samma som cos2 x?
A
C
Bestäm värdet av a) sin (A + C)
1114
b) cos 2 B + cos 2 (A + C)
Punkten P har koordinaterna (a, b). y T
1116
1 P (a, b) x
v –1
Ge exempel på två vinklar v, för vilka sin v inte gäller. definitionen tan v = cos v
1
R –1
S
a) Bestäm koordinaterna för punkterna T, R och S i bilden. b) Använd resultatet i a för att visa sambandet sin v = cos (v + 270°) och cos v = –sin (v + 270°).
TANKeNÖT 1
En elev ska gö ra en koksaltlösn ing med koncentratione n 5,0 % och lö ser därför 5 g salt i 100 g vatten . Som tur var, så upptäcktes at t detta blev fel. Hur m ycket ytterlig are salt ska tillsät tas för att lösningen ska bli 5,0-procentig ?
triGonoMetri
13
KApITeL 1
Sinuskurvor laborativ inledning finns på s 22
Vi börjar med ett praktiskt exempel. Bilden visar lilla Marja D som åker ”pariserhjul”. Antag att pariserhjulet har radien 5 meter och att hjulets medelpunkt är på samma höjd E som trädets topp. När Marja är allra högst upp, är hon alltså 5 meter över trädtoppen. När Marja är nere på marken igen, så är hon 5 meter under trädtoppen.
y C B
5
5
y
x
A
5
F
Vi kallar Marjas höjd över trädtoppen för y. Höjden y kan alltså variera mellan +5 m och –5 m. Höjden y beror på radiens vinkel x mot horisontalplanet, se bilden. Vi säger att höjden y är en funktion av vinkeln x. I nästa bild har vi ritat en graf som visar hur Marjas höjd över trädtoppen beror av vinkeln x. Grafen kallas sinus-kurva. Punkterna A–F på grafen motsvarar de punkter som är markerade på pariserhjulet. y Titta nu på den blå triangeln i pariserhjulet. Här ser vi att sin x = 5 dvs y = 5 · sin x. meter 5
y
C D
B
A
x
E 90°
–5
14
1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x
360°
F
KApITeL 1
x 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
sin x 0 0,50 0,87 1 0,87 0,50 0 –0,50 –0,87 –1 –0,87 –0,50 0
Låt oss nu rita grafen till y = sin x för 0° ≤ x ≤ 360° Vi beräknar y = sin x för några olika vinklar x. Se värdetabellen. y 1 0,5 x 30° 60° 90° 120° 150° 180°
270°
360°
–0,5 –1
Om vi inte har något begränsat intervall för vinkeln x, får vi grafen nedan. y
en period
1
y = sinx A
A
x –180°
–90°
90°
180°
270°
360°
450°
540°
630°
720°
-1
Lägg märke till att kurvan ”börjar om igen”, dvs den upprepar sitt förlopp efter 360°. För lilla Marja betyder det att pariserhjulet snurrar mer än 1 varv! En funktion som upprepar sitt förlopp kallas en periodisk funktion. Med en period menar vi avståndet i xled för ett helt förlopp. Här är perioden = 360°. Funktionsvärdet y varierar mellan 1 och –1. Amplituden är grafens största avstånd från ”nollnivån”. Grafen y = 1 · sin x har amplituden 1, och för ”pariserhjulet” är amplituden 5.
! y = sin x har amplituden 1 och perioden 360°
triGonoMetri
15
KApITeL 1
EXEMPEL 1
a) y = 3 · sin x Låt oss nu titta på graferna till y = 3 sin x och y = sin x. Graferna skiljer sig åt genom att yvärdet är 3 gånger större för 3 · sin x. Se tabellen och graferna. x sin x 3 · sin x
0° 0 0
90° 1 3
180° 0 0
270° –1 –3
360° 0 0
Observera att y = 3 sin x betyder 3 · sin x y = 3 sin x har amplituden 3 och perioden 360°. y y = 3 sinx
3 2 1
y = sinx x 90°
180°
270°
360°
–3
b) y = sin 3x Bilden visar graferna till y = sin 3x och y = sin x x 0° 10° 20° 30° 40° 1
y
sin 3x sin 3 · 0° = sin 0° = 0 sin 3 · 10° = sin 30° = 0,5 sin 3 · 20° = sin 60° ≈ 0,87 sin 3 · 30° = sin 90° = 1 sin 3 · 40° = sin 120° ≈ 0,87 y = sinx
Observera att y = sin 3x betyder sin (3 · x)
y = sin3x
x 90°
–1
135°
180°
270°
360°
360°= 120° 3
y = sin 3x har amplituden 1 och perioden 120°. Perioden för sin 3x beräknas med divisionen
16
1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x
360° = 120° 3
KApITeL 1
c) y = sin
x 3
Bilden visar graferna till y = sin
x och y = sin x 3
y
y = sin x 3
y = sinx
1
x –180°
–90°
90°
180°
270°
360°
450°
540°
-1
Funktionen y = sin
x har amplituden 1 och perioden 1080°. 3
Perioden beräknas med divisionen
!
360° = 360° ⋅ 3 = 1080° 1 3
Funktionen y = A · sin kx har amplituden A och perioden
360° k
EXEMPEL 2
Bilden visar grafen till funktionen y = 2 + sin x. Observera att grafen har ”lyfts upp” två enheter från xaxeln. 3
x
0° 30° 60° 90°
2 + sin x 2 + sin 0° = 2 + 0 = 0 2 + sin 30° = 2 + 0,5 = 2,5 2 + sin 60° ≈ 2 + 0,87 ≈ 2,87 2 + sin 90° = 2 + 1 = 3
y A
y = 2 + sinx
2 1 x 90°
180°
270°
360°
y = 2 + sin x har amplituden 1 och perioden 360°. Funktionens största värde är 3 och minsta värdet är 1.
triGonoMetri
17
KApITeL 1
EXEMPEL 3
Bilden visar graferna till y = sin (x + 30°) och y = sin x x
sin (x + 3)
0°
sin (0° + 30°) = sin 30° = 0,5
30°
sin (30° + 30°) = sin 60° ≈ 0,8
60°
sin (60° + 30°) = sin 90° = 1 y 1
y = sin(x + 30°) y = sinx
–180°
180°
x 360°
Lägg märke till att grafen till y = sin (x + 30°) har förskjutits 30° åt vänster i förhållande till y = sin x. EXEMPEL 4
Bilden visar graferna till y = sin (x – 30°) och y = sin x Kurvan y = sin (x – 30°) har förskjutits 30° åt höger i förhållande till kurvan y = sin x. y 1
y = sinx y = sin(x – 30°) x
–30°
30°
90°
150°
210°
270°
330° 390°
EXEMPEL 5
Ange amplitud, period och förskjutning för funktionen y = 2 sin (3x + 60°). Funktionen kan skrivas y = 2sin 3(x + 20°) 360° = 120° 3 Kurvan är förskjuten 20° åt vänster jämfört med sin 3x.
svar: Amplitud = 2
18
1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x
Period =
KApITeL 1
EXEMPEL 6
Bestäm grafens ekvation på formen y = Asin k(x + v) + C y
ymax
mittlinje
A 1
x 90°
270°
ymin
Största värdet = 4 Minsta värdet = –2 Amplituden A är halva differensen mellan största och minsta värdet. A=
y max − y min 4 − (−2) = =3 2 2
”Mittlinjen” C ligger mitt emellan största och minsta värdet. C=
y max + y min 4 + (−2) = =1 2 2
Period = 180° ger k = 2 Förskjutning 30° åt höger ger v = –30° svar: y = 3 sin 2(x – 30°) + 1 EXEMPEL 7
Rita med räknare graferna till f(x) = sin x och g(x) = –sin x. Jämför graferna. Vi ställer in grafritaren på grader (DEG) och ritar t ex i intervallet 2 y 0° < x < 360°. y = sinx
Graferna ritas för –2 < y < 2 som bilden visar. svar: Grafen till g(x) = –sin x är ”spegelvänd” i xaxeln jämfört med grafen till f (x) = sin x
x 60
360
y = sin(–x) –2
triGonoMetri
19
KAPITEL 1
Ange amplitud och period till följande funktioner. 1117 a) y = 5 sin 2x
1125 Ange det största och minsta värde som
följande funktioner kan anta. a) y = 3 sin x
b) y = 2 sin 4x
b) y = sin 4x + 1
c) y = 1 + 3 sin 5x x 1118 a) y = 4sin 2
c) y = 2 – 3 sin x
x b) y = sin 4
1126 Ange ekvationen för sinuskurvan i bilden.
x c) y = 1,5 + 0,5sin 3
y 1
1119 Rita graferna till följande funktioner.
x
Använd gärna grafritare. a) y = 2 sin x
90°
b) y = 4 sin 2x
270°
–1
c) y = 3 + sin x Ange hur följande grafer är förskjutna i förhållande till motsvarande grundfunktion.
1127 Ange ekvationen för följande sinus
funktioner på formen y = A sin k(x + v) a) Amplitud = 1 Period = 180° Förskjutning = 0°
1120 a) y = sin (x + 20°)
b) y = sin (x – 50°)
b) Amplitud = 5 Period = 180 Förskjutning 30° åt höger
1121 a) y = 2 sin (x + 45°)
b) y = sin (2x – 60°)
c) Amplitud = 3 Period = 720° Förskjutning 40° åt vänster
Ange amplitud, period och förskjutning. 1122 a) y = 3 sin (2x – 50°)
b) y = 4sin (2x + 30°)
1128 Bestäm ekvationen för följande
1123 a) y = 2 + 1,5sin (5x – 60°)
sinuskurvor.
b) y = 2sin 3(x + 30°)
a) y
1124 Funktionerna i bilden kan skrivas på
1
formen y = A sin kx.
x
Bestäm konstanterna A och k. y 1
45° 90° –1
a b x 45°
90°
135°
180°
–1
20
1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x
180°
270°
360°
KApITeL 1 y
b)
1133
1
5 4 3 2 1
x 60° –45°
c)
1130 Rita graferna till
f (x) = 3 – 2 sin 3x och g(x) = 3 + 2 sin 3x. Jämför graferna och beskriv skillnader och likheter. Förklara!
1131
Bestäm de positiva konstanterna b och k för y = b sin kx + 4 så att perioden blir 720° och minsta värdet blir –3.
1132
Skissa grafen till funktionen y = 3 sin (2x + 60°) + 1 på rutat papper. Rita sedan grafen med räknare som kontroll.
90°
135°
180°
225°
270°
1135
Visa hur du bestämmer den positiva konstanten A i funktionen f(x) = 6 + A sin 4x så att funktionens största värde blir dubbelt så stort som dess minsta värde.
1136
Simon försöker i ord beskriva en trigonometrisk funktion y(x).
x
En sinusfunktion har största värdet = 5 och minsta värdet = 1. Perioden är 90º. Ge exempel på ett funktionsuttryck som uppfyller dessa villkor.
x 45°
Graferna till y = A sin kx och y = A sin (kx + v) har samma period, men ligger inte i fas. Förklara hur mycket y = A sin (kx + v) är förskjuten jämfört med y = A sin kx?
y
360°
y
1134
1
1129
Bestäm grafens ekvation på formen y = A sin (kx + v) + C
”Kurvans största värde är 5 och minsta värdet är –1. Kurvan hinner med 2 hela svängningar på 180°. Jag vet också att y(60°) = 2”. Ge exempel på en sinusfunktion enligt Simons beskrivning.
TANKeNÖT 2 Lös ekvationssyst emet x = 2y = 4z x 2 + y 2 + z 2 = 21
triGonoMetri
21
KAPITEL 1
DIGITALA RUTAN
Trigonometriska funktioner
Här ska du använda räknare och undersöka grafen till en trigonometrisk funktion av typen y = A sin k(x + v) + C. Du ska alltså ta reda på hur konstanterna A, k, v och C påverkar grafen. Kontrollera att räknaren är inställd på grader! Bilden visar grafen till y = sin x y1=sin(x)
x x=148.93617
y=.51599267
Kurvan gör en hel svängning på 360°, vilket innebär att perioden är 360°. Kurvans y-värden varierar mellan –1 och 1, kurvans amplitud är 1. • Rita y = A sin x för några olika värden på konstanten A. Formulera en slutsats om hur konstanten A påverkar grafens form. • Rita y = sin x + C för olika värden på konstanten C. Formulera en slutsats om hur konstanten C påverkar grafen. • Rita y = sin kx för k = 1, k = 2, 3, 4 och 5. Gör en tabell där du fyller i dina värden enligt nedan. Hur påverkar konstanten k perioden? k period
1 360°
2
3
4
5
• Rita i samma koordinatsystem y = sin x och y = sin (x + 40°). Rita sedan y = sin x och y = sin (x – 40°). Formulera en slutsats. • Skissa grafen till y = 3 sin 2x + 1 på rutat papper. Kontrollera sedan med räknare. • Skissa grafen till y = 3 sin (2x – 60°) + 1 på rutat papper. Kontrollera med räknaren. • Rita och jämför graferna till y = sin x och y = cos x
22
1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x
KApITeL 1
Cosinuskurvor y 1
y = sinx x 90°
–1
180°
270°
360°
450°
540°
630°
720°
y = cosx
I bilden finns graferna till y = sin x och y = cos x. Vi ser att graferna har samma form. Grafen till y = cos x får vi genom att förskjuta funktionsgrafen y = sin x åt vänster 90°. EXEMPEL 1
Bilden visar graferna till y = cos (x + 30°) och y = cos x x
cos (x + 30°)
0°
cos (0° + 30°) = cos 30° ≈ 0,87
30°
cos (30° + 30°) = cos 60° = 0,5
60°
cos (60° + 30°) = cos 90° = 0 1
y
y = cos ( x + 30°) y = cos x 90°
x 180°
270°
360°
–1
Lägg märke till att kurvan y = cos (x + 30°) har förskjutits 30° åt vänster i förhållande till kurvan y = cos x. EXEMPEL 2
x Ange amplitud, period och förskjutning för y = 1 + 3cos( − 20°) . 2
Funktionen kan skrivas y = 1 + 3 cos 0,5 (x – 40°) Amplitud = 3 Observera att ”ettan” endast ”lyfter upp” grafen en enhet. 360° = 720° Period = 0,5 Kurvan är förskjuten 40° åt höger i förhållande till y = cos 0,5x
triGonoMetri
23
KApITeL 1
EXEMPEL 3
Bestäm ekvationen för grafen i bilden, både som en sinusfunktion och en cosinusfunktion. y 5
1
x 90°
180°
270°
360°
Sinus-funktion
Cosinus-funktion
Amplitud = 2
Amplitud = 2
Period = 360°
Period = 360°
Förskjutning = 30° åt vänster
Förskjutning = 60° åt höger
Dessutom har kurvan ”lyfts upp” 3 enheter
Kurvan har ”lyfts upp” 3 enheter
svar: y = 3 + 2 sin (x + 30°) eller y = 3 + 2 cos (x – 60°)
1137
Rita i samma koordinatsystem graferna till y = cos x och y = 2 cos x
1138
Ange perioden till följande funktioner. a) y = cos 3x
b) y = –cos x
c) y = 3 cos 2x 1139
Ange det största och minsta värde som följande funktioner kan anta. a) y = 3 cos x b) y = 4 – cos 2x cos5 x c) y = 2
24
1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x
1140
Ange ekvationerna för följande cosinusfunktioner. a) Amplitud = 1 Period = 360° Förskjutning 30° åt höger b) Amplitud = 3 Period = 180° Förskjutning 40° åt höger c) Amplitud = 4 Period = 720° Förskjutning 10° åt vänster
KApITeL 1
1141
Skriv grafen både som sinusfunktion och cosinusfunktion. a)
1143
Visa hur du bestämmer konstanterna b och k i funktionen y = 2 + b cos kx så att perioden blir 90° och minsta värdet blir –1.
1144
Vilken funktion är ritad i bilden?
y 1 x 180°
360°
–1 5
b)
4 3 2
y 1
1 x 180°
4 3 2
–90° –1
1145
a b
1
90°
135°
Teckna funktionsutttrycket både som y = A sin (kx + v) + B och som y = A cos (kx + v) + B Förklara hur du tänker.
Teckna funktionsuttryck för de två graferna nedan. y
x 45°
360°
–1
1142
y
Grafen till y = A cos x + B skär yaxeln i y = 2 och antar sitt största värde y = 6 för x = 180°. Bestäm funktionsvärdet då x = 240°.
x 90° 180° 270° 360° 450°
TANKeNÖT 3
Två cyklister åker varandra till mötes. De star tar 12 km från va randra och kl oc kan är då 12. En av cyklisterna hå lle r farten 45 km/h medan den an dr es hastighet är 36 km/h. Hur lång t ifrån varandra är cyklisterna 10 minuter in nan de möts?
triGonoMetri
25
FACIT
EXAKTA TRIGONOMETRISKA VÄRDEN Vinkel Grader Radianer
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
288
sin v
cos v
tan v
0
1
0
3
1
0
π
1
6
2
2
π
1
1
4
2
2
π π 2
2
2
1
0
2π
3
3
2
3π
1
4
2
5π
1
6
2
π
0
7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π
−
1 2
3 2
–1 3
− – −
3 ej def.
1 2 1
−
2 3 2
− 3 –1 −
–1
2
−
−
−
1
−
1
1
3
3
3
1 3
2 1
−
1
2
−
1
3
2
0 1
2
2
1
1
2
2
1
3
2
2
0
1
3 0
3
−
1
ej def. − 3 –1 −
1 3 0
BILDFÖRTECKNING Omslagsfoto: Matton Images 6–7 Janos Jurka/Naturfotograferna/IBL 6 Janos Jurka/Naturfotograferna/IBL 13 Denny Lorentzen/Scanpix 25, 32, 35, 39 Shutterstock 42 Berit Roald/Scanpix 55, 65, 67, 80 Shutterstock 81 Pat Wellenbach/AP/Scanpix 103 Shutterstock 107 Denny Lorentzen/Scanpix 114 Thomas Eisenhuth/EPA/Scanpix 117, 126 127 Shutterstock 132 Linda Berglund/Sydsv/IBL 140–141 Shutterstock 140 Paulina Westerlind/Scanpix/ Bildhuset 150 Stig Hammarstedt/Scanpix 163 Shutterstock 169 Jessica Gow/Scanpix 173 Eyevine/IBL 190–191 Science Photo Library/IBL 190 Science Photo Library/IBL 195 Navesh Chitraka/Reuters/Scanpix 200 Shutterstock 213 Anders Wiklund/Scanpix 218 Robert Ekegren/Scanpix 229 Hussein El-Alawi/Sydsv/Scanpix 237 Anders Bergstedt/Maskot/Scanpix 246 Nils-Johan Norenlind/Tiofoto/ NordicPhotos 250 Shutterstock 252 Koen Suyk/ANP/Scanpix 256 Science Photo Library/IBL
on unness Jonas Sj rรถm Holmst in t r a M dhamre Eva Sme
M4
Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 4. Den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen. Boken passar också för vuxenutbildning och basår. • Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken. • Nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera. • Laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, Digitala rutan samt Kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor. • Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Test och Blandade övningar. M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.
Best.nr 47-10909-8 47-10909-8 Tr Tryck.nr