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Das Gummiband als Vorbild
Knotenkunde im Flüssigkristall Eine Möglichkeit alle erdenklichen Knoten in einem Flüssigkristall zu erzeugen, haben Wissenschaftler am MaxPlanck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation in Göttingen entdeckt. Zu diesem Zweck platzieren sie winzige Silikonkügelchen in einem Flüssigkristall. Um die Kügelchen herum bildet sich dabei ein Netz feiner Linien, auf denen die molekulare Struktur des Kristalls seine ursprüngliche Ordnung verliert. Die Forscher haben eine Möglichkeit gefunden, diese Linien so zu verdrillen und zu verknüpfen, dass sie jeden mathematisch denkbaren Knoten herstellen können..
Knoten sind allgegenwärtig: vom gewebten Stoff, über die zahlreichen Seemannsknoten bis hin zu ewig verhedderten Stromund Verlängerungskabeln und der kompliziert verknoteten DNA. Selbst Kinder lernen beim Anziehen der Schuhe schon früh, ihre ersten Knoten zu beherrschen – lange bevor sie lesen und schreiben können. Aus mathematischer Sicht lassen sich Knoten, die auf den ersten Blick völlig verschieden aussehen, ein und derselben Klasse zuordnen. Entscheidend ist, dass sich diese Knoten durch einfache Verformungen in einander überführen lassen. Einfachstes Beispiel ist ein Gummiband. Jede Form, zu der sich das Gummiband verknoten lässt, ohne es aufzuschneiden und wieder zusammenzufügen, ist aus mathematischer Sicht mit dem unverschlungenen Gummiband äquivalent. Einen völlig anderen Knoten hingegen stellt etwa der Dreiblattknoten dar. Dieser lässt sich nicht ohne Weiteres aus einem geschlossenen Gummiband erzeugen (Bild 2). Und natürlich lassen sich aus mehreren Schlaufen, die in einander verschlungen sind, noch deutlich komplexere Gebilde schaffen.
Bild: Miha Ravnik
Miha Ravnik
Bild 1: Anknüpfungspunkte für Knoten: Links: In einem einfachen nematischen Flüssigkristall umgibt die Defektlinie das Silikonkügelchen wie ein Rettungsring. Rechts: In einem sogenannten chiralen nematischen Flüssigkristall ist dieser Ring wie ein verbeulter Fahrradreifen verbogen. Aus mehreren dieser verdrillten Defektlinien lassen sich Knoten erzeugen.
tut für Dynamik und Selbstorganisation in Göttingen forscht, nun ein System gefunden, in dem sich komplexe Knoten gezielt erzeugen lassen: mikroskopische Silikonkügelchen innerhalb einer kaum dickeren Flüssigkristallschicht, die von zwei Glasplatten begrenzt wird. Solche Flüssigkristalle bilden auch die Grundlage von LCD-Bildschirmen. «Die Glasplatten wurden zuvor so präpariert, dass sich die Moleküle des Flüssigkris-
Komplexe Knoten gezielt erzeugt Doch trotz dieser mathematischen Ordnung im Knoten-Wirrwarr bleibt die Frage, ob es zu jedem Knoten, der theoretisch denkbar ist, auch ein Gegenstück in mikroskopischen, natürlichen Systemen gibt. In seiner jüngsten Studie hat Uroš Tkalec vom Jožef Stefan Institut in Ljubljana (Slowenien), der seit September 2010 am Max-Planck-Insti22
Bild: MPI für Dynamik und Selbstorganisation
Bild 2: Eine einfache geschlossene Schlaufe lässt sich nicht in einen Dreiblattknoten überführen. Man müsste sie dazu erst aufschneiden und wieder zusammenfügen.
talls parallel zu ihnen ausrichten», erklärt Tkalec. Ein Silikonkügelchen, das in diese Schicht hineinkommt, stört die Ordnung empfindlich: Um die Kugel herum bildet sich ein ringförmiges Gebiet, in dem sich keine Vorzugsrichtung mehr erkennen lässt. Wissenschaftler bezeichnen solche linienförmigen Störungen als Defektlinien. Da der Defektring Licht anders reflektiert als seine Umgebung, lässt er sich leicht aufspüren. «Es sieht aus, als sei jedes Kügelchen von seinem eigenen Rettungsring umgeben», beschreibt Tkalec den Anblick. Dabei sind diese Rettungsringe senkrecht zu den begrenzenden Glasplatten orientiert. Bestückt man die Flüssigkristallschicht nun mit mehreren Kügelchen, lassen sich diese mithilfe eines Lasers wie mit einer Pinzette gezielt «zusammenschieben» und in Reihen anordnen. Dort, wo die Ringe aneinanderstossen, vereinigen sie sich dann zu komplizierteren Linien, welche die aufgereihten Kugeln umspielen. 9 / 2011