Ma10 Lång blädderex

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma10

ämning

nolikheten olikheten för händelsen A cknas P(A).

taven P kommer från ability, probabilite, olikhet.

Klassisk sannolikhet

LÅNG Sannolikhet och statistik

Om varje resultat (utfall) är lika sannolikt så säger man att utfallen är symmetriska. I den klassiska sannolikhetsläran undersöker man symmetriska utfall. Benämningen klassisk hänvisar till sannolikhetskalkylens tidiga år.

När utfallen är symmetriska så kan vi bestämma sannolikheterna genom att räkna antalet utfall.

Klassisk sannolikhet

Definition

Vi undersöker ett slumpfenomen där utfallen är symmetriska.

Den klassiska sannolikheten för händelsen A är P( A) =

n( A ) antalet gynnsamma utfall. = det totala antalet utfall n( E )

En omöjlig händelse A har inget gynnsamt utfall, vilket ger att n(A) = 0. Sannolikheten för den omöjliga händelsen A är då P ( A ) = 0 = 0. n( E ) Alla utfallen i utfallsrummet är gynnsamma för en säker händelse A, vilket ger att n(A) = n(E). Sannolikheten för den säkra händelsen A är då n( E ) P( A) = =1. n( E ) För antalet gynnsamma utfall för en händelse A gäller alltid att 0 ≤ n(A) ≤ n(E) vilket ger att sannolikheten för händelsen A alltid uppfyller villkoret 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 10, Todennäköisyys ja tilastot Redaktör för den finska upplagan: Timo Pitkänen Bildredaktör: Suvi-Tuuli Kankaanpää Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe, Kustmedia Förlagans layout: Liisa Holm och Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman och Jukka Iivarinen, Vitale Illustrationer: Marja Venäläinen

Första upplagan, 2018 © Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas, Jorma Tahvanainen och Sanoma Pro Oy © 2018 Leif Österberg och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok.

Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

ISBN 978-951-52-4481-9

Till dig som använder boken Ma10 Lång I kursen Sannolikhet och statistik blir den studerande bekant med begreppet sann­ olikhet och med olika statistiska fördelningar. Målet är att den studerande lär sig bestämma sannolikheterna för olika händelser i ett slumpfenomen och bestämma olika karaktäristikor i ett statistiskt material.

Bokens uppbyggnad

EXEMPEL 1 EXEMPEL 2

CAS

Varje avsnitt börjar med en ”Vi undersöker”-uppgift där den studerande leds in på det ämne som ska studeras och också själv finner ny kunskap. Den nya teoretiska kunskapen presenteras i form av definitioner och satser som motiveras och samlas till en klar helhet. Exemplen visar sedan hur den teoretiska kunskapen kan an­ vändas i olika tillämpningar. Teorin och exemplen är skrivna så att den studerande kan tillgodogöra sig kunskapen på egen hand, så därför stöder boken också individuell inlärning och flipped classroom.

I boken finns exempel som är avsedda att lösas utan symbolisk räknare, kalkyl­ program eller geometriprogram.

I övriga exempel visar vi hur du kan använda olika tekniska hjälpmedel på ett ändamålsenligt sätt.

Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter, som följer ordningen i typexemplen. Serie II innehåller basuppgifter samt mer krävande uppgifter som ska erbjuda utmaningar.

1. Uppgifter som är tänkta att räknas utan symbolisk räknare, kalkylprogram eller geometriprogram har markerats med bakgrundsfärg.

2. Uppgifter där du kan använda alla tekniska hjälpmedel saknar bakgrundsfärg.

E1 Hänvisningarna till typexemplen hjälper dig när du övar.

Uppgifter som är markerade med geometrilogon löser du med hjälp av geometriprogram.

I boken finns ett antal gamla studentuppgifter. Studentprovens tidpunkt-årtal samt om det är fråga om korta eller långa lärokursen är angivet inom klammer i slutet av uppgiften. Till exempel [SE H-2011 lång] betyder att uppgiften ingick i långa lärokursens studentskrivning hösten 2011.

Repetition Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra delar: först går du igenom kursens innehåll i samma ordning som kapitelrubrikerna, efter det följer flervalsuppgifter samt uppgiftsserierna A och B som innehåller uppgifter från hela kursen.

Vi önskar dig motiverande och inspirerande studier.

Kvevlax 2.8.2018 Författarna T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

3

Innehåll 1 Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1 Klassisk sannolikhet……………………………………………………………………………………… 7 1.2 Geometrisk sannolikhet………………………………………………………………………………… 20

2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1 Multiplikationsprincipen………………………………………………………………………………… 28 2.2 Antalet valmöjligheter…………………………………………………………………………………… 36

3 Räkneregler för sannolikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.1 Multiplikationsregeln…………………………………………………………………………………… 50 3.2 Additionsregeln…………………………………………………………………………………………… 60 3.3 Upprepat försök………………………………………………………………………………………… 70

4 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.1 Diskret statistisk variabel………………………………………………………………………………… 80 4.2 Statistiska karaktäristikor………………………………………………………………………………… 91 4.3 Kontinuerlig statistisk variabel…………………………………………………………………………… 105

5 Sannolikhetsfördelningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

5.1 Diskret sannolikhetsfördelning…………………………………………………………………………

5.2 Binomialfördelning………………………………………………………………………………………

5.3 Kontinuerlig sannolikhetsfördelning……………………………………………………………………

5.4 Normalfördelning…………………………………………………………………………………………

118 130 140 154

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 1 Sannolikhet………………………………………………………………………………………………

2 Kombinatorik………………………………………………………………………………………………

3 Räkneregler för sannolikheter……………………………………………………………………………

4 Statistik……………………………………………………………………………………………………

5 Sannolikhetsfördelningar…………………………………………………………………………………

Flervalsuppgifter………………………………………………………………………………………………

Uppgiftsserie A………………………………………………………………………………………………

Uppgiftsserie B………………………………………………………………………………………………

Facit………………………………………………………………………………………………………………

Sakregister………………………………………………………………………………………………………

4

INNEHÅLL

168 169 170 171 173 174 179 180 182 201

Förslag till tidtabell

45 min 75 min

1 Sannolikhet 5

3

1.1 Klassisk sannolikhet 3 1.2 Geometrisk sannolikhet 2

2 1

2 Kombinatorik 5

3

2.1 Multiplikationsprincipen 2 2.2 Antalet valmöjligheter 3

1 2

3 Räkneregler för sannolikheter 5

3

3.1 Multiplikationsregeln 1 3.2 Additionsregeln 2 3.3 Upprepat försök 2

1 1 1

4 Statistik 5

3

4.1 Diskret statistisk variabel 1 4.2 Statistiska karaktäristikor 2 4.3 Kontinuerlig statistisk variabel 2

1 1 1

5 Sannolikhetsfördelningar 7

5

5.1 Diskret sannolikhetsfördelning 5.2 Binomialfördelning 5.3 Kontinuerlig sannolikhetsfördelning 5.4 Normalfördelning

1 1 1 2

1 2 2 2

Repetition 1

1

18

Totalt 28

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

5

1

Sannolikhet

Sannolikhetskalkylen (sannolikhetsläran) eller stokastiken under­ söker fenomen där slutresultatet bestäms av slumpen. Sådana fenomen kallas slumpfenomen.

Inledning I ett slumpfenomen bestäms resultatet av slumpen.

I ett deterministiskt fenomen kan resultatet förutsägas på förhand (determine bestämma, fastställa).

När vi kastar en vanlig sexsidig tärning så vet vi alternativen för resultatet och vi kan också bestämma sannolikheterna för de olika alternativen. Men vi kan inte säga resultatet på förhand utan det avgörs av slumpen.

I en väderleksprognos kan meteorologerna säga att sannolikheten för regn nästa dag är 40 procent. De vet inte med säkerhet hurdant väder det blir nästa dag, antingen regnar det eller så regnar det inte. De kan bara bestämma sannolikheterna för de olika alternativen med hjälp av väderleksobservationer och datorberäkningar.

Sannolikhetskalkylen fick sin början från problem som hörde ihop med hasardspel. Läkaren, matematikern och hasardspelaren Girolamo Cardano funderade redan på 1500-talet på matematiken i hasardspel.

Teorin för sannolikhetskalkylen började egentligen utvecklas först på 1650-talet när Blaise Pascal och Pierre Fermat gemensamt började söka svar på de problem med anslutning till tärningsspel som hade presenterats av riddaren Chevalier de Méré. Teorin blev mera exakt på 1930-talet när Andrej Kolmogorov presenterade de axiom (grund­ antaganden, grundsatser) som behövdes för sannolikhets­kalkylen.

Trots att sannolikhetskalkylen fick sin början inom hasardspel så tillämpas den i dag inom många områden, t.ex. i försäkringsbranschen, väderleksprognoser, statistik och fysik. Också en läkare måste bedöma sannolikheten när hen ställer en diagnos på en patient.

6

1.1 Klassisk sannolikhet VI UNDERSÖKER En (sexsidig) tärning

1) Kasta en tärning 6 gånger och fyll i antalet gånger du får de olika ögontalen i tabellen.

2) Kasta en tärning 60 gånger och fyll i antalet gånger du får de olika ögontalen i tabellen.

3) Dra slutsatser om antalet gånger som du skulle få de olika ögontalen om du skulle kasta tärningen 60 000 gånger. ögontal

6 kast

60 kast

60 000 kast

1 2 3 4 5 6

Grundbegrepp i sannolikhetsläran Benämning Vi kan också kalla ett slumpfenomen för ett slumpförsök.

Vi ska först definiera några grundbegrepp som används i sann­ olikhetsläran (sannolikhetskalkylen).

De möjliga resultaten i ett slumpfenomen kallas utfall. Mängden av alla utfall (resultat) kallas utfallsrummet.

Till exempel när vi kastar en tärning så är de möjliga utfallen ögontalen 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Utfallsrummet är då E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

1 . 1 K l a s s i s k s a n n o l ik h e t

7

Events, händelser

Delmängder av utfallsrummet kallas händelser. De utfall i utfallsrummet som hör till en händelse kallas gynnsamma utfall. Händelser betecknas oftast med stora bokstäver A, B, C, ... .

Till exempel för händelsen A: ”vi får ett jämnt ögontal vid kast med en tärning” är de gynnsamma utfallen ögontalen 2, 4 och 6.

Händelsen A är då mängden A = {2, 4, 6}.

En händelse som inte har ett enda gynnsamt utfall kallas en omöjlig händelse.

Till exempel händelsen B: ”vi får ögontalet 9 vid kast med en tärning” är en omöjlig händelse eftersom det inte finns något utfall som är gynnsamt för händelsen B i utfallsrummet E. Den omöjliga händelsen B innehåller inget utfall ur utfallsrummet E och därför är mängden B en tom mängd. Detta betecknas B = ∅.

En händelse där alla utfallen i utfallsrummet är gynnsamma kallas en säker händelse.

Till exempel händelsen C: ”vi får högst ögontalet 8 vid kast med en tärning” är en säker händelse eftersom alla utfallen i utfallsrummet E är gynnsamma för händelsen C. En säker händelse C innehåller alla utfallen i utfallsrummet E, vilket betyder att mängden C är densamma som utfallsrummet E eller C = E.

Klassisk sannolikhet Om varje resultat (utfall) är lika sannolikt så säger man att utfallen är symmetriska. I den klassiska sannolikhetsläran undersöker man symmetriska utfall. Benämningen klassisk hänvisar till sannolikhetskalkylens tidiga år.

När utfallen är symmetriska så kan vi bestämma sannolikheterna genom att räkna antalet utfall.

Benämning Sannolikheten för händelsen A betecknas P(A).

Bokstaven P kommer från probability, probabilite, sannolikhet.

8

1 SANNOLIKHET

Klassisk sannolikhet

Definition

Vi undersöker ett slumpfenomen där utfallen är symmetriska.

Den klassiska sannolikheten för händelsen A är P( A) =

n( A ) antalet gynnsamma utfall. = det totala antalet utfall n( E )

En omöjlig händelse A har inget gynnsamt utfall, vilket ger att n(A) = 0. Sannolikheten för den omöjliga händelsen A är då P ( A ) = 0 = 0. n( E ) Alla utfallen i utfallsrummet är gynnsamma för en säker händelse A, vilket ger att n(A) = n(E). Sannolikheten för den säkra händelsen A är då n( E ) P( A) = =1.

n( E ) För antalet gynnsamma utfall för en händelse A gäller alltid att

0 ≤ n(A) ≤ n(E)

vilket ger att sannolikheten för händelsen A alltid uppfyller villkoret 0 ≤ P(A) ≤ 1.

EXEMPEL 1

Det ligger 5 kiwifrukter, 7 mandariner och 13 plommon i en fruktkorg. Elin tar slumpmässigt en frukt ur fruktkorgen.

Vilken är sann­olikheten att frukten är a) ett plommon b) en kiwifrukt eller en mandarin c) en kiwifrukt eller en mandarin eller ett plommon?

LÖSNING

Eftersom Elin tar en frukt slumpmässigt ur korgen så kan vi anta att alla utfallen är lika sannolika, dvs. utfallen är symmetriska. Utfallen är alla frukter, vilket ger att totala antalet utfall är 5 + 7 + 13 = 25.

Observera!

Vi kan ge sannolikheten som ett slutförkortat bråk, som ett decimaltal eller i procent.

n(”plommon”) n(”alla”) 13 = = 0,52 25

a) P (plommon) =

Vi bestämmer kvoten av antalet gynnsamma utfall och totala antalet utfall.

b) P (kiwi eller mandarin)

Antalet gynnsamma utfall är totala antalet kiwifrukter och mandariner, dvs.

5 + 7 = 12 stycken.

n(”kiwi eller mandarin”) n(”alla”) 5 7 + = 25 12 = = 0,48 25 =

1 . 1 K l a s s i s k s a n n o l ik h e t

9

c) P (kiwi eller mandarin eller plommon) n(”kiwi eller mandarin eller plommon”) n(”alla”) Antalet gynnsamma utfall är totala antalet frukter, 25 = =1 dvs. 25 stycken.

25 =

Det är fråga om en säker händelse.

SVAR

a) 0,52

b) 0,48

c) 1

EXEMPEL 2

Lärarens portfölj har en tresiffrig nummerkod. Efter sommarlovet kommer läraren ihåg att den mittersta siffran är 5 men de två andra siffrorna är hen tvungen att gissa. a) Hur många gissningar är läraren maximalt tvungen att göra? b) Vilken är sannolikheten att läraren gissar rätt på första försöket? c) Vilken är sannolikheten att läraren gissar rätt på första försöket om hen kommer ihåg att alla siffrorna i koden är udda?

LÖSNING

050 150 250 350



051 052 053…

151 152 …

251 … …

a) Varje gissning består av två siffror av vilka båda kan vara vilken som helst av siffrorna 0, 1, 2, …, 9.

I praktiken måste läraren gissa på något av talen 00, 01, 02, …, 99. Antalet tal är totalt 100 stycken, dvs. läraren måste göra högst 100 gissningar. b) Totala antalet utfall är 100 stycken. Exakt ett utfall är rätt (gynnsamt). Vi beräknar sannolikheten för händelsen. n(”gynnsamma”) 1 = 0,01 = P (första gissningen är rätt) = 100 n(”totalt”) c) Utfallen är nu talpar där båda siffrorna är udda. Vi gör en tabell med alla utfallen.

3:e siffran 1

3

5

7

9

1

11

13

15

17

19

3

31

33

35

37

39

5

51

53

55

57

59

7

71

73

75

77

79

9

91

93

95

97

99

1:a siffran

10

1 SANNOLIKHET

Totala antalet utfall är 5 ⋅ 5 = 25. Exakt ett alternativ är rätt.

Vi beräknar sannolikheten. n(”gynnsamma”) 1 = P (första gissningen är rätt) = = 0,04 25 n(”totalt”) SVAR

a) 100

b) 0,01

c) 0,04

I exempel 2 såg vi att vi ibland kan beräkna den klassiska sann­ olikheten genom att räkna upp alla utfall i händelsen. Vi undersöker en situation där en tärning kastas två gånger. De erhållna utfallen kan skrivas som talpar. Vi kan Ögontalet 1 på första kastet. åskådliggöra utfallen i ett Ögontalet 3 på andra kastet.

6 × 6-rutsystem. Ögontalet 5 på första kastet.

Observera!

Om du kastar två tärningar samtidigt så kan du numrera tärningarna så att den ena är nummer 1 och den andra tärningen är nummer 2. Du kan då också åskådliggöra utfallen i kast med två tärningar samtidigt i ett 6 × 6-rutsystem.

Till exempel talparet (1, 3) 6 betyder att du får ögontalet 1 på 5 den första tärningen och ögon­ 2:a kastet 4 talet 3 på den andra tärningen.

3 Observera att talparen (1, 3) och 2 (3, 1) betecknar olika utfall.

1

Ögontalet 4 på andra kastet.

1 2 3 4 5 6 1:a kastet EXEMPEL 3

En tärning kastas två gånger. Vilken är sannolikheten att produkten av ögontalen är a) 12 b) åtminstone 15?

LÖSNING

Observera!

Med tärning avses en vanlig sexsidig tärning om inte annat nämns i uppgiftstexten.

Vi åskådliggör produkterna av ögontalen i ett 6 × 6-rutsystem.

6 6 12 18 24 30 36 5 5 10 15 20 25 30

2:a kastet 4 4 3 3

8 12 16 20 24 6

6 12 15 18

2 2

4

6

8 10 12

1 1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1:a kastet

a) Produkten av ögontalen är 12 i fyra utfall, dvs. antalet gynn­ samma utfall är 4. Totala antalet utfall är 6 ⋅ 6 = 36.

P(produkten av ögontalen är 12) = 4 = 1 = 0,1111... ≈ 0,111 36 9 1 . 1 K l a s s i s k s a n n o l ik h e t

11

b) Produkten av ögontalen är åtminstone 15 i totalt 13 utfall, dvs. antalet gynnsamma utfall är 13. Totala antalet utfall är 36.

P(produkten av ögontalen är åtminstone 15) = 13 = 0,3611... ≈ 0,361 36 SVAR

a) 0,111

b) 0,361

Komplementhändelse Händelser i ett slumpfenomen är disjunkta om de inte har något gemensamt utfall.

A

2

D

3

6

4

Till exempel A: ”man får ett jämnt ögontal vid kast med en tärning” och D: ”man får ögontalet tre vid kast med en tärning” är disjunkta händelser eftersom de inte har något gemensamt utfall.

E

1 5

Händelserna A: ”man får ett jämnt ögontal vid kast med en tärning” och G: ”man får högst ögontalet tre vid kast med en tärning” är inte disjunkta händelser eftersom de har ett gemensamt utfall (ögontalet två).

E A

1

2 4

G

3

Om händelserna A och B är disjunkta så är antalet gynnsamma utfall för händelsen ”A eller B”, n(A eller B) = n(A) + n(B).

5

6

E A

1

2 4

6

A

3 5

Händelsen ”A inträffar inte” kallas A:s komplementhändelse och betecknas A (uttalas ”icke A”). De gynnsamma utfallen för komplement­händelsen är alla de utfall som inte är gynnsamma för händelsen A. Komplementhändelsen till exempel till händelsen A: ” man får ett jämnt ögontal vid kast med tärning” är A : ”man får inte ett jämnt ögontal vid kast med tärning” (som är detsamma som ”man får ett udda ögontal vid kast med tärning”). Händelsen A = {2, 4, 6} och komplementhändelsen A = {1, 3, 5}.

Benämning Vi har här åskådliggjort händelserna med Venndiagram.

En händelse och dess komplementhändelse är disjunkta.

Sannolikheten för komplementhändelsen (komplementregeln)

Sats

Summan av sannolikheterna för händelsen A och komplementhändelsen A är 1.

12

1 SANNOLIKHET

P ( A ) + P ( A ) = 1 dvs. P ( A ) = 1 - P ( A )

Sannolikhetskalkylens axiom Andrej Kolmogorov presenterade tre axiom eller grund­ antaganden, som vi kan härleda alla räkneregler för sannolikhetskalkylen från.

1) Sannolikheten är alltid ett icke-negativt tal.

2) Sannolikheten för en säker händelse är 1.

3) Om händelserna A och B är disjunkta så är P(A eller B) = P(A) + P(B).

Anmärkning Om vi delar upp utfallsrummet i delmängder så är summan av sannolikheterna för delmängderna alltid 1 (”totala sannolikheten” är alltid 1 = 100 %).

BEVIS

Vi bevisar satsen med hjälp av klassisk sannolikhet. Vi betecknar utfallsrummet med E. P( A) + P( A) = =

n( A ) n( A ) n( A ) + n( A ) + = n( E ) n( E ) n( E ) n( A eller A ) n( E ) = =1 n( E ) n( E )

Händelsen A och dess komplementhändelse A är disjunkta.

Händelsen ”A eller A” innehåller alla utfall i utfallsrummet E.

EXEMPEL 4

Ägaren till en tidningskiosk har observerat att sannolikheten att åtminstone två kunder köper ett lösnummer av tidningen Matematikens värld när den kommer ut är 64 %.

Kioskägaren besluter att beställa två exemplar av nästa nummer av tidningen. Vilken är sannolikheten att a) båda tidningarna blir sålda b) högst den ena tidningen blir såld.

LÖSNING

a) Båda tidningarna blir sålda om åtminstone två kunder köper tidningen.

P (båda tidningarna blir sålda) = P (åtminstone två kunder köper tidningen) = 64 % ( = 0,64)

b) Komplementhändelsen till händelsen ”högst en tidning blir såld” är ”åtminstone två tidningar blir sålda”, dvs. ”båda tidningarna blir sålda”.

P (högst en tidning blir såld)

Observera!

Vi ger sannolikheterna i procent eftersom sannolik­ heten i uppgiftstexten var given i procent.

P ( A ) = 1− P ( A )

= 1 − P (båda tidningarna blir sålda) = 1 − 0,64 = 0,36 = 36 % SVAR

a) 64 %

b) 36 %

1 . 1 K l a s s i s k s a n n o l ik h e t

13

EXEMPEL 5

En tärning kastas tre gånger. Vilken är sannolikheten att man får ögontalet 6 åtminstone en gång?

LÖSNING

6 5 4 3 2 1

3:e tärningen

resultat (4, 2, 6) resultat (6, 1, 6)

6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 1

1:a tärningen

2:a tärningen

Utfallen är taltrippler där varje tal är något av talen 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Vi kan åskådliggöra utfallen med en 6 × 6 × 6-kub där varje liten delkub motsvarar ett utfall i tre kast med en tärning. Det totala antalet små delkuber i kuben är 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 stycken.

I det slumpfenomen som vi undersöker finns alltså 216 lika sannolika utfall.

Gynnsamma utfall för händelsen A: ”åtminstone en gång ögontalet 6 på tre kast” är de utfall där det finns 1, 2 eller 3 sexor. Att beräkna antalet gynnsamma utfall som motsvarar detta villkor är arbetsamt och därför tar vi reda på antalet gynnsamma utfall för komplementhändelsen A. Komplementhändelsen är A: ”ingen gång ögontalet 6 på tre kast”.

Gynnsamma utfall för komplementhändelsen är de taltrippler som endast innehåller talen 1, 2, 3, 4 och 5. Dessa utfall kan placeras i en 5 × 5 × 5-kub där varje liten delkub motsvarar ett utfall. Antalet delkuber är 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 stycken. Antalet gynnsamma utfall för händelsen A är alltså 125 stycken.

Observera!

P (åtminstone en gång ögontalet 6 på tre kast)

Om du ska beräkna sannolikheten för händelsen ”åtminstone en” är det oftast enklare att använda komplement­ händelsen.

= 1 − P (ingen gång ögontalet 6 på tre kast) n( A ) n(”alla”) = 1 − 125 216 91 = = 0,4212... ≈ 0,421 216 =1−

SVAR

0,421

14

1 SANNOLIKHET

EXEMPEL 6

I en klass finns 35 studerande. 20 av dem läser lång matematik och 13 fysik. 10 studerande läser både lång matematik och fysik. Vilken är sannolikheten att en godtyckligt vald studerande i klassen a) läser lång matematik eller fysik b) läser varken lång matematik eller fysik?

LÖSNING

Vi åskådliggör de studerande i ett Venndiagram. Dessa är använd­ bara när delmängder av utfallrummet har gemensamma utfall (dvs. när händelserna inte är disjunkta).

35 MaA 10 12

3

10 Fy

Vi sätter in i diagrammet att 10 studerande läser både lång matematik och fysik. Antalet studerande som läser lång matematik men inte fysik är 20 – 10 = 10. Antalet studerande som läser fysik men inte lång matematik är 13 – 10 = 3. Antalet studerande som varken läser lång matematik eller fysik är 35 – 10 – 10 – 3 = 12.

Vi kan också använda en tabell för att åskådliggöra de studerande (informationen som är given i uppgiftstexten är svärtad).

Läser lång matematik

Läser inte lång matematik

totalt

Läser fysik

10

13 – 10 = 3

13

Läser inte fysik

20 – 10 = 10

15 – 3 = 12

10 + 12 = 22

totalt

20

35 – 20 = 15

35

a) Antalet gynnsamma utfall för händelsen A: ”läser lång matematik eller fysik” är 10 + 10 + 3 = 23. Utfallsrummet består av alla studerande i klassen, dvs. det totala antalet utfall är 35.

P ( läser lång matematik ) =

n(gynnsamma) 23 = 0, 66 = n(totalt) 35

b) Antalet gynnsamma utfall för händelsen B: ”läser varken lång matematik eller fysik” är 12. n(gynnsamma) 12 P ( läser varken lång matematik eller fysik ) = = = 0,34 n(totalt) 35 n(gynnsamma) 12 )= P ( läser varken lång matematik eller fysik = = 0,34 n(totalt) 35 SVAR

a) 0,66

b) 0,34 1 . 1 K l a s s i s k s a n n o l ik h e t

15

Uppgifter Serie

I

Klassisk sannolikhet

1. Det ligger 24 tennisbollar i en låda. 8 av

16

1 SANNOLIKHET

b

25–36

nativ (talen 0–36), som alla är lika sann­ olika. Nollan är vit och hälften av de övriga numren är röda och hälften svarta enligt figuren. En spelare placerar sin insats på en plats på roulettbordet (men inte nollan).

Om spelarens val förverkligas så vinner hen sin insats multiplicerad med vinst­ faktorn, i annat fall förlorar hen sin insats till spelbanken. Vilken är sannolikheten att spelaren vinner om hen placerar sin insats på a) röd nummer (röda romben) b) udda nummer (rutan för udda nummer)

13–24

3. I roulett lottas ett nummer bland 37 alter-

a

UDDA 19–36

svarta paraplyer, ett rött och ett randigt paraply, en promenadkäpp, en lång skosked och sex golfklubbor. På morgonen när Olav ska rusa iväg till jobbet märker han att det regnar. Han tar slumpmässigt ett föremål ur ställningen. Vilken är sannolikheten att Olav får med sig a) ett paraply b) ett svart paraply c) en golfklubba d) något annat föremål än ett paraply?

1–12

2. I sin tambur har Olav en ställning med två

1–18 JÄMN

E1 bollarna är vita, 10 är gula och resten röda.

Sara tar slumpmässigt en boll ur lådan.

Vilken är sannolikheten att bollen är a) röd b) vit eller gul?

c) kolumnen längst till höger (i den tomma rutan under kolumnen, 0 hör inte till kolumnen) d) numren 5, 6, 8 och 9 (insatsen placeras i de fyra rutornas skärningspunkt)?

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

0 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

d

c

4. Ett tvåsiffrigt tal lottas genom att en fyr­

E2 sidig tärning kastas två gånger. Tärningens sidor är numrerade från ett till fyra. Vilken är sannolikheten att det erhållna talet är a) 13 b) större än 21 c) högst 19 d) mindre än 63?

5. Siffersidan på ett mynt kallas klave och

baksidan för krona. Ett mynt singlas tre gånger. Utfallen är de erhållna följderna av resultat, till exempel ”klave, krona, krona”. a) Räkna upp alla utfallen. b) Vilken är sannolikheten att man får exakt en klave? c) Vilken är sannolikheten att man får åtminstone två gånger klave?

6. I ett slutsålt flygplan frigörs strax före

avfärd två platser. I väntsalen köar fyra passagerare för dessa sista minuten-platser, bland dessa backpackerna Elin och Oskar.

De frigjorda platserna lottas ut bland de fyra som köar. Vilken är sannolikheten att a) både Elin och Oskar kommer med på flyget b) Elin kommer med på flyget?

7. En tärning kastas två gånger. Vilken är

E3 sannolikheten att summan av ögontalen är a) 8 b) högst 5 c) 1?

8. Man kastar samtidigt en fyrsidig och en

sexsidig tärning. Vilken är sannolikheten att a) produkten av de erhållna ögontalen är åtminstone 9 b) åtminstone det ena av de erhållna ögontalen är minst 3?

9. I ett gymnasium finns 793 studerande.

178 studerande i gymnasiet sportar och 229 spelar något musikinstrument. 53 studerande både sportar och spelar något instrument. Vilken är sannolikheten att en godtyckligt vald studerande i gymnasiet a) sportar och spelar något instrument b) sportar eller spelar något instrument spelar något instrument men inte c) sportar?

Komplementhändelse

10. Uttryck komplementhändelsen till följande händelser med ord.

A: ”jag ljuger ibland” B: ”alla studerande i klassen har med sig sin räknare” C: ”tornets höjd är mindre än 27 meter” D: åtminstone en av hästarna som springer i hagen är vit”

11. Lottförsäljaren lovar att om man köper två E4 lotter så är sannolikheten 0,04 att man vinner två priser och 0,36 att man vinner åtminstone ett pris. Vilken är sannolik­ heten att en person som köper två lotter a) inte vinner något pris b) vinner högst ett pris?

12. Anta att alla dagar under ett kalenderår är

lika sannolika som födelsedagar. Vilken är sannolikheten att en godtyckligt vald studerande som är född år 2005 inte har sin födelsedag på den första eller den sista dagen i någon månad.

13. I en undersökning har man observerat att

en invånare i Cuplostan promenerar till sitt arbete med sannolikheten 0,47, har med sig en portfölj till sitt arbete med sannolikheten 0,32 och promenerar med en portfölj till sitt arbete med sannolikheten 0,17. Vilken är sannolikheten att en godtyckligt vald invånare i Cuplostan a) inte promenerar till sitt arbete b) inte har med sig en portfölj till sitt arbete inte promenerar eller inte har med sig c) en portfölj till sitt arbete?

14. En slant singlas tre gånger. Vilken är sann­ E5 olikheten att man får a) krona tre gånger b) klave åtminstone en gång?

15. En tärning kastas tre gånger. Vilken är

sannolikheten att a) ögontalet är åtminstone 5 på det tredje kastet b) ögontalet är 6 på alla tre kasten c) ögontalet är högst 4 på alla tre kasten d) åtminstone ett av kasten har minst ögontalet 5?

1 . 1 K l a s s i s k s a n n o l ik h e t

17

Serie

II

Klassisk sannolikhet

16. I syföreningens lotteri finns 27 lotter till

19. Två tärningar kastas. Beräkna sann­

olikheten att a) åtminstone den ena tärningen ger ögontalet 6 b) åtminstone den ena tärningen ger minst ögontalet 4.

salu. På åtta av lotterna vinner man en pannlapp och på tre lotter vinner man ett par yllesockor. Övriga lotter ger ingen vinst. Tina köper en lott. Vilken är sann­ olikheten att Tina vinner a) ett par yllesockor b) en pannlapp eller ett par yllesockor?

20. En tärning kastas tre gånger. Vilken är

17. I Kalles ficka finns tre 10-centsmynt, fem

21. Vi bestämmer koefficienterna k och s i

20-centsmynt, två 50-centsmynt och ett eneuromynt. Dessutom finns det sju rostfria brickor och en knapp i fickan. I en järnaffär tar Kalle slumpmässigt ett föremål ur sin ficka för att betala en skruv som kostar 30 cent. Vilken är sannolikheten att föremålet a) är ett mynt b) räcker till för att betala skruven c) räcker till för att betala skruven när föremålet är ett mynt?

18. Anders, Birgitta och Cecilia är på förslag

till ordförande och sekreterare för före­ ningen Rädda hemlösa katter. Man blir tvungen att lotta om vem som ska bli ordförande och vem som ska bli sekreterare eftersom rösterna föll lika i omröstningen.

Vilken är sannolikheten att a) Birgitta blir ordförande och Anders blir sekreterare b) Anders varken blir ordförande eller sekreterare?

18

1 SANNOLIKHET

sannolikheten att ögontalet på det tredje kastet är större än ögontalen på de två föregående kasten?

ekvationen y = kx + s för en linje genom att kasta en tärning två gånger, så att det första kastet ger värdet på k och det andra kastet värdet på s. a) Undersök med hjälp av ett geometri­ program för vilka värden på k och s som arean av den triangel som begränsas av linjen och koordinataxlarna är större än 3. b) Vilken är sannolikheten att triangelns area är större än 3?

22. Koefficienterna a, b, c och d i polynom­

funktionen f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d bestäms genom att kasta en tärning. Vilken är sannolikheten att den erhållna funktionen f är a) avtagande b) växande?

23. En vanlig tärning kastas tre gånger, så att vi i kastordningen får talen a, b och c. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a) Talföljden (a, b, c) är strängt växande och aritmetisk. b) Talföljden (a, b, c) är geometrisk.

[SE H-2017 lång]

Komplementhändelse

27. I en låda finns fem likadana ficklampor av

24. Uttryck komplementhändelsen till följande händelser med ord.

A: ”alla studerande i klassen har gummistövlar på fötterna” B: ”katten är svart” C: ”på åtminstone två bilar på parkeringsplatsen har billyktorna glömts på”

25. Ägaren till en kiosk där man säljer våfflor

har observerat att 32 % av kunderna vill ha jordgubbssylt på sin våffla och 54 % vill ha grädde på sin våffla. 24 % av kunderna vill ha både jordgubbssylt och grädde. Vilken är sannolikheten att en godtycklig kund som kommer till kiosken a) inte vill ha jordgubbssylt b) inte vill ha grädde c) varken vill ha jordgubbssylt eller grädde på sin våffla?

26. Ett konstgjuteri tillverkar trädgårdstomtar

av gips. Av de tillverkade tomtarna har 21 % ett litet fel, men de kan repareras så att de kan säljas. 13 % av tomtarna har så stora fel att de inte kommer att kunna säljas, medan resten av tomtarna går att sälja direkt. Vilken är sannolikheten att a) en tomte som tillverkas kan säljas direkt b) en tomte som tillverkas kan säljas c) en godtycklig tomte som är till salu har reparerats?

vilka två är sönder. Anton ger sig ut på en natthajk och tar slumpmässigt två av lamporna ur lådan utan att testa dem.

Anta händelserna A: ”ingen av lamporna fungerar” B: ”båda lamporna fungerar”.

Uttryck följande händelser med ord och beräkna sannolikheterna för händelserna. a) A b) B

28. En tärning kastas tre gånger. Vilken är sannolikheten att åtminstone ett av tärnings­kasten ger ett udda ögontal?

29. Kasper har tillverkat en osymmetrisk

fyrsidig tärning vars sidor är numrerade från ett till fyra. Sannolikheten för varje ögontal är direkt proportionell mot ögon­ talet. Kasper kastar sin tärning en gång.

Vilken är sannolikheten att han a) får ögontalet 3 b) inte får ögontalet 4 c) får åtminstone ögontalet 2?

30. På en symmetrisk åttasidig tärning har tre

av sidorna målats röda, en sida gul och resten gröna. Tärningen kastas tre gånger.

Resultatet från varje kast är färgen på den sida som hamnar uppåt. Vilken är sannolik­heten att åtminstone en av färgerna aldrig förekommer i kastserien?

31. Visa med hjälp av axiomen för sann­

olikhets (se s. 13) att sannolikheten för en omöjlig händelse är noll.

1 . 1 K l a s s i s k s a n n o l ik h e t

19