MathStorming Revista científica
Esteprimervolumendelarevistacientífica MathStorming, comprende diferentes propuestas en investigación matemática y actividades didácticas derivadas de investigaciones y experiencias sobre el aprendizajedelasmatemáticas,analizadasenel Seminario Análisis del Conocimiento Matemático (SACM) del grupo 2021 de maestrantes de matemáticas en la Universidad Tecnológica del Cibao Oriental (UTECO), en República Dominicana. Con énfasis en las estrategias de construcción de conocimientos matemáticos preuniversitarios y universitarios, elpropósito deestapublicaciónesfomentarla cultura investigadora, proveyendo a los maestrantes unespaciodedivulgacióncientífica de sus primeros pininos en Matemática y Educación Matemática. Paralelamente, nuestroslectorespodrándesarrollarhabilidades de investigación de temas matemáticos, enriquecer su acervo didáctico con estrategias para la enseñanza y el aprendizaje de dichos conocimientos, y proveerse de secuencias didácticas pertinentes para la construcción de conocimientos matemáticos de los niveles superiorysecundario.
Docente de Seminario de Análisis del Conocimiento Matemático, Facultad de Postgrado y Educación Continuada,UTECO.
Docente de matemáticas y físicas,FacultaddeCiencias yHumanidades,UTECO.
Docentede matemáticas, Instituto Politécnico Juan SánchezRamírez.
RESUMEN
¿Ytúsabesqué es la Matemática?
Enesteartículoesabordada la ciencia matemática desde la perspectiva epistemológica; a través de un análisis documental, se concluye con la adopción de una postura mixta sobre las matemáticas, considerándolas como el estudio de la realidad, mediante sus representaciones, con la finalidad de desarrollar el razonamientológico.
ABSTRACT
In this article, mathematical science is approached from an epistemological perspective; Through a documentary analysis, it is concluded with the adoption of a mixed position on mathematics, considering them as the study of reality, through its representations, in order to develop logical reasoning.
¿Y tú sabes qué es la Matemática? Construir una definición de esta ciencia noescomún,plantearesta pregunta a egresados de los niveles secundario y superior, e inclusive a egresados del grado en MatemáticaoenEducación con dicha mención, sería un buen material para alguna investigación comparativa, hasta se podría comparar las cantidades de búsquedas en la Internet de este concepto en relación a los conceptos matemáticos básicos de número, figura geométricaysímbolo.
ensusorígenesfluyódeser sinónimo de “lo que se aprende, conocimiento o explicación” a ser sinónimo del saber matemáticoensi(Castelao, 1990).
Etimológicamente, el término matemáticas es de ascendencia griega antigua,
Conant (1945) citando El Harvard Committee en su informe Generaleducation in a free society: Report, plantea que “ las Matemáticas estudian el orden en forma generalizada, haciendo abstraccióndelosobjetosy fenómenos particulares en quesepresenta”,unabella alusión al proceso de abstracción o formación de representaciones, como base inductiva del conocimiento matemático, con la finalidad de establecer un sistema lógicodeductivo.(Meredith, 1956, como se cita en Lovell, 1986) afirma que “lasmatemáticasmodernas pueden ser descritas, aunquenodefinidas, como una exploración de posibilidades por procedimientos lógicos”. Esta posición logicista y sistémicahasidoaceptada pormúltiplesteóricos, y también
Heysiht Hernándezrechazada por otros que valoran las matemáticas como el propio proceso de construcción de representaciones matemáticas y estudio de susrelaciones.
Un elemento clave en la concepcióndematemáticas es el de representaciones. En general, una representación es una interpretación de la realidad,porejemplo,sives unplátanoyunaláminade unplátano,estásviendoel objetoyunarepresentación del mismo hecha por un ilustrador. Las representaciones matemáticas, entonces son las abstracciones o interpretaciones mentales de las propiedades espaciales y cuantitativas delosobjetosyfenómenos reales,siendolosnúmeros, las formas geométricas y los símbolos las representaciones matemáticas principales. Porloque,asumiremosque la Matemática, o las matemáticas, es la ciencia que estudia patrones y relaciones de la realidad a partir de sus representaciones.
En consecuencia, están haciendomatemáticas,los niñosquehan desarrollado lacapacidaddesustituirlas operaciones directas con los objetos por su representación simbólica, también los niños que sustituyen un problema específicoporunproblema canónico más general que se resuelva por leyes determinadas y que abarque un conjunto de casosparticulares.
Nuevas tendencias en Educación Matemática
La Educación Matemática puede ser descrita, entonces, como un subsistemaintegradoporel conjunto de conocimientos matemáticos (conceptos básicos, estructuras y habilidades), así como métodos y principios del trabajo matemático que forman los currículos educativos nacionales, con la finalidad de lograr el bienestar socio-económico, eldesarrollotecnológico,la convivencia pacífica, la conciencia ambiental y la sostenibilidad entre los sereshumanos.
Las nuevas tendencias en Educación Matemática, gestadas a raíz de los resultados generalmente deficientesenevaluaciones a que están siendo sometidos los sistemas educativos de diversos países participantes, enfatizan la necesidad de fijarobjetivostendentesala resolución de problemas contextualizados y la manipulación (OCDE, 2004). Reconocerlaposibilidadde construir modelos de situacionesdelmundoreal, apreciar que todas las respuestas prácticas dependendelaeleccióndel modelo y adquirir pensamiento inductivo y sistémico, son finalidades específicas resaltadas por las tendencias actuales de enseñanzayaprendizajede estaciencia.
Las finalidades señaladas ejercen un marcado impacto en el proceso de enseñanza aprendizaje y, en consecuencia, en los contenidos, métodos, materialesyevaluación.
En cuanto a métodos, la enseñanza de las matemáticas ha de estar centrada en el alumno, siendoésteunenteactivo, aplicando enfoques inductivos no sólo en primaria, los recursos manipulativos debenseguir siendo utilizados en otros nivelesconcarácterlúdicoy motivacional para la abstracción, consultar Vinacke(1952)
Rolesdedocentes yalumnos
Sobre los docentes de matemáticas,enestanueva perspectiva, recaeelrolde diseñadores y guías de procesos de aprendizaje donde los alumnos a manera de juegos deban enfrentarse a situaciones problemáticas, en las cualesellostenganque,de manera grupal o no, analizarlasituación,decidir que información recopilar, luego reunir y analizar la información, investigar las relaciones, estimar cualquierresultadoobtenido y mediante el uso de herramientasmatemáticas, valorar la lógica de dicho resultado.Lasherramientas pueden ser usar tablas, gráficos, elementos auxiliares de cálculo, expresiones numéricas, etcétera.
Contenidos en tendencia
La Educación Matemática ha de ocurrir en estrecha conexiónconactividadesen el medio ambiente. Debe involucrar actividades relacionadasconlacienciay la tecnología. Deben tratarse problemas de la vida diaria solubles y otros quesólopuedanformularse y entenderse, conduciendo alaideadequelosmodelos dan respuestas aproximadas, mejorando la aproximaciónaldisponerde mejores modelos [UNESCO, 2000]. Siguiendo estos criterios, y sinpretenderun sentidodecompletitud,enel Congreso Internacional de Matemáticadelaño2000,
laUNESCO,puntualizaque las matemáticas en el último medio siglo, han experimentado una gran extensión en su campo de acción. Disciplinas comola economía,lapsicologíayla mayoría de las ciencias naturales, que antes usaban poco las matemáticas, actualmente la usan como herramienta común. En el caso de la Educación Matemática en secundaria, sin apenas cambiar su contenido, caben nuevas aplicaciones que permiten darle mayor actualidad y mostrar, en aspectos muy variados, la eficacia de sus métodos. Porotraparte,losavances enlasistematizaciónyenla metodología, han hecho posible que temas considerados como exclusivos de las matemáticas de nivel terciario, puedan actualmente darse a nivel secundario,pordisponerde másmedios.
Se puede señalar la siguiente lista de temas propicios para aplicaciones delasmatemáticasalnivel secundario, en coda tema es posible encontrar abundantesejemplos,tanto paramotivarlaenseñanza de ciertos tópicos, como para ejercitar los conocimientosadquiridos.
Matemática comercial. Nociones de matemáticafinancieray actuarial. Porcentajes, interés,descuento,tasa de inflación, repartos proporcionales, mezclas, rentas, empréstitos, seguros, tablasdemortalidad.
Cálculo numérico. Nociones de cálculo gráfico y nomográfico. Sentido de aproximación.
Aplicaciones geométricas y trigonométricas.
Aplicaciones de los elementos de la teoría de funciones reales. Álgebralineal.
Nociones de cálculo matricial.
Programación lineal. Matricesdeproducción. Programacióndinámica.
Teoríadejuegos.
Investigaciónoperativa.
Teoría de grafos y aplicaciones a problemasdetransporte oflujoyagenética.
Criptografía.
Teoría de la información.
Simulación.
Matricesdedecisión
Fuentes Consultadas
Castelao, J. M. P. (1990). Crisis de Fundamentos en las Matemáticas Españolas a finales del Siglo XIX. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, (7),75-78.
Conant, J. B. (Ed.). (1945). General education in a free society: Report of the Harvard Committee.HarvardUniversityPress.
Lovell, K. (1986). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. EdicionesMorata.
Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) (2004). Marcos teóricos de PISA 2003. Conocimientos y destrezas en matemáticas, lectura, ciencias y resolución de problemas, recuperado de http://www.oecdilibrary.org.ezproxylocal.library. nova.edu/Educ/marcos-teoricos-de-pisa2003_ 9789264065963es
[Consulta:2010,Enero10]
UNESCO (2000). Las aplicaciones en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en la escuela secundaria, recuperado de: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf00000 91571_spa
[Consulta11deabril,2022]
Vinacke, W. E. (1952). The psychology ofthinking.London:McGrawHill
Pretendiendocultivarlacreatividadylashabilidades de resolución de problemas en el esquema de G. Pólya,yde modelamientomatemáticodesituaciones del contexto, los maestrantes en el SACM fueron desafiados a resolver o formular dos de siete problemasseleccionadosy/ocreadosporladocente, en esta edición se presenta el modelo logístico basadoengrafosrealizadoporlamaestranteCarola AdelaidaGómezPérez,quienpodríaseguirafinando las aproximacionesdesumodeloconlafinalidadde hacersupresentacióndetesisdemaestríasobreesta líneadeinvestigación.
Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo.
Benjamin Franklin
Modelado en grafosdelaUTECO
1. Entender el problema
3. Ejecutar el plan
RESUMEN
Aproximación por grafos al problema de la ruta óptima que pase por varios puntos pasando una vez por cada uno, siguiendo el esquema de resolución de problemas de George Pólya, abordaremos estascuatroetapas:
• Entenderelproblema.
• Elaborarunplan.
• Ejecutarelplan
• Revisaryverificar
PROBLEMA
La UTECO necesita contratar personal para visitar a coda docente en coda una de las sesiones de clases, diariamente. Considerando el esquema de resolución de problemas de Pólya, toma los edificios como puntos y siendo el edificio G el punto de partida, determina ¿cuál camino que pase por todos los edificios recomiendas seguir si los maestros tienen secciones con duración desde 2 hasta 4 horas, empezando a las 2:00 pm y cerrando el ciclo a las 6:00pm?
En esta etapa nos preguntamos ¿Cuál es la incógnita? Y ¿Cuáles son los datos?, ¿cuáles son las condiciones o restricciones a considerar? y si ¿son las condiciones suficientes para determinar la incógnita? ¿es insuficiente? ¿redundante? ¿contradictoria?
Nuestra incógnita es ¿cuál es el camino óptimo que pase por todos los edificios en el ciclo señalado?, como datos tenemosque:
• Las secciones tienen duraciónde2–4horas.
• Todas las clases inician a las 2:00 pmyterminan a las 6:00pm.
Asumiremos las siguientes condiciones:
1.1 El punto de partida es eledificioG.
1.2 Cada edificio es consideradounnodo.
1.3 No se debe pasar dos veces por el mismo edificio o nodo.
2. Elaborar un plan
Para ejecutar el plan vamos a usar la teoría de grafos sabiendo la siguienteinformación:
• Los edificios de la UTECO son: G,H,I,J,K.
Ylassiguientesconsideraciones:
• El punto de partida será el edificio G y el punto final será el edificioK.
• Cadaedificioesunnodo.
• Se definirá una sola ruta desde el nodo G al K, sabiendo que el recorrido total seria el doble puesto que quien haga el recorrido debe volver al punto inicial.
• Se debe pasar por cada nodo unavez.
• Se asignará una ponderación estimada a la ruta desde un nodo a otro tomando en cuenta la distancia real entre ellos. A menor ponderación, mas cercanos están los edificios. Esto podemos tabularlo de la siguientemanera:
Trataremos el problema como un problema de grafos, donde coda edificio es un nodo, usaremos un algoritmo para ayudar a encontrarelcamino.
Donde la distancia desde G a H es 1, desde I a K es 5 y así sucesivamente relacionamos cada nodo de salida con cadanododedestino
Carola GómezDe forma grafica, usado la herramienta online https://graphonline.ru/es/ podemosverlocomosigue:
En grafos, el algoritmo nos arrojalasolución G–H–K.
El algoritmo de Dijkstra arroja elgrafosiguiente:
4. Verificación de la solución
Para la verificación de la ruta trazada a mano, hasta aquí se ha utilizado una herramientade grafos online, de las diferentes opciones que podemos encontrar, elegimos para nuestro caso el que major aplica y es el algoritmo Hamiltoniano, el cual consiste en un camino cerrado que pasa una sola vez por todos los nodos del grafo(consideraciónno.4).
Desde la tabla realizada podemos ver que la mejor ruta que cumple con las condiciones descritas es la realizada yendo desde G –H [1] – I[1] – J[5] – K[2] –G[8].
Estoes:
La distancia de G hasta H es1,desdeHhasta Ies1,y así sucesivamente para un total de 16 de ponderación o distanciatotalrecorrida.
Ahora supongamos que lo que se quiere es la distancia mas corta entre el nodo G y el K, entonces Podemos usar la misma herramienta de grafos online pero en este caso con el algoritmo denominado “algoritmo de Dijkstra” el cual consiste en encontrar la distancia mas corta entre dos nodos analizando todos los caminos y rutas posibles. Este es muy usado para optimización en temas de logística.
En este caso, debemos ir pasando por cada nodo e ir desechando las opciones de ruta que nos resulten más largas que la anterior. Al ser este un grafo de solo 5 nodos puede hacerse fácil, pero se volvería bastante complejo de encontrarnos con un sistema con una cantidad devérticesmayor.
Y en la siguiente imagen podemos apreciar que el recorrido que se hace es el mismo que obtuvimos tabulando:G–H–I–J–K-G.
Para revisar una vez más la validez de nuestra solución, podemos usar otros algoritmos informáticos o lenguajes de programación de uso libre. Para verificar que esta ruta es la correcta nos auxiliaremos de un algoritmo codificado en el lenguaje de programación Python, pero de igual manera se puede hacer en cualquier otro lenguajedeprogramación.
Lo que haremos es insertar los datos de distancias entre nuestros nodos en forma de matriz (wmat) porque de esta manera es que el programa puede interpretar la información. Y le indicamos que queremos el camino mascortoentreGyK.
La matriz del grafo para verificar resultadosenPythones:
Diciéndonos que la mejor ruta es la formada por el nodo 0, 1, 4 que viene siendo el G - H - K tal como obtuvimos a mano y vimos en grafos online, como queríamoscomprobar.
Se pide el camino mas corto entre G (que ocupa la posición 0 en la matriz) y K (que ocupa la posición 4 en la matriz).
El resultado que nosarroja elprograma eselsiguiente:
Recomendaciones a la UTECO
Se recomienda hacer uso de este tipo de herramientas en especial cuando el problema adquiere un alto nivel de complejidad y varias opciones deben ejecutarse antes de llegar a un resultado definitivo. Este código también puede ser ajustado con las restricciones iniciales del problema.
Este modelo puede extenderse a evaluar, con datos mas reales, soluciones para la UTECO que involucren no solo los edificios, sino cada una de lasaulas de la universidad (que pasarían a ser nuevos vértices), tomando además la distancia real medida en metros para ser utilizada al ponderar cada conexión entre los vértices, así como también deberíamos cambiar el supuesto de que todas las secciones de clases inician a las 2:00 pm y terminan a las 6:00 pm. De esta forma obtendríamos una ruta optimizada para el personal y sabríamos si con los actuales visitadores de aulas es suficiente para realizarla o si se requerirían más visitadores.
Graphonline página web , Herramienta para resolver grafos https://graphonline.ru/es/, consultadoel12dejuliode2022.
Lovell, K. (1986). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos enlosniños.EdicionesMorata.
YouTubechannel ГрафОнлайн, https://www.youtube.com/channel/UCrUEna F7yz6sclCZi1-7XMA
Video sobre uso de grafos SUBIDO EL22 deoctubrede2016.
La universidad, inclusive podría considerar este modelo para ponderar las locaciones factibles de edificios futuros, entreotrasdecisioneslogísticas.
Fuentes Consultadas
Estudiante destacada
Valorando la calidad del programa de MaestríaenMatemática delaUTECO,en esta edición reconocemos las facultades en matemáticas computacionales y logística, desarrolladas por la maestrante sobresaliente Carola Adelaida Gómez Pérez.
Nacida en Cotuí el 6 de noviembre de 1992. Hija de dos educadores. Realizó la gran parte de su educación básica en la Escuela Primaria El Limpio donde su padre se desarrollaba como profesor de Educación Física y desde allí empezó su interés por participar en diversas actividades escolares del área de las ciencias y de los deportes. El 2004 inicia sus estudios de educación media en el Liceo Francisco Henríquez y Carvajal, donde se vinculó al Club de Ciencias del Centro y también a los simulacros del MINUSEE.
En el año 2008 se traslada hasta Santo Domingo con la idea de hacerse de la carrera de Ingeniería Química, la cual concluye con lauros académicos en la UASD en el 2014. Para el 2016 se trasladaaBarcelona,España,becadapor el MESCyT y realiza una maestría en Ingeniería de Sistemas Automáticos y Electrónica Industrial. Carola siempre se ha sentido atraída por otras ramas de la ciencia y esto la llevó a matricularse en la Maestría en Matemáticas de la UTECO, lacualcursaenlaactualidad.
Desde el punto de vista laboral, podemos decir que su ejercicio se ha delimitado al sector minero ya que prestó servicios a Falcondo yenlaactualidada BarrickPueblo Viejo, aunque también se ha desempeñado como asistente docente mientras realizaba sugrado.
En su tiempo libre le gusta dedicar tiempo a la lectura, ejercitarse, conocer nuevas culturas y a su pasatiempo de artesanía que podemos encontrar en la red social Instagrambajoelusuario@hm_ciguapa.
CarolaAdelaidaGómezPérez
