La Parábola

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LA PARÁBOLA DEFINICIÓN Parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz (L) y de un punto fijo exterior a dicha recta llamado foco (F) de la parábola.

Se llama parábola a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la generatriz.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA     

Foco (F). Es el punto fijo de la parábola.

Directriz. Es una recta fija.

Vértice (V). Donde la parábola hace el giro más fuerte, es el punto de medio del segmento que une la directriz y el foco.

Eje Focal. Eje de simetría, es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Parámetro. Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p

Profesor: Javier Trigoso T.

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2 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA A partir de su definición vamos a deducir la ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenadas.



El eje de la parábola coincide con el de las abscisas y el vértice con el origen de coordenadas.

D: x = -p

D: x = p

F(-p;0)

F(p;0)

 x  p

2

  y  0  x  p 2

 x  p

2

  y  0  x  p 2

Elevando al cuadrado:

x2  2px  p2  y2  x2  2px  p2

x2  2px  p2  y2  x2  2px  p2

Simplificando:

y2  4px

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y2  4px

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

El eje de la parábola coincide con el de las ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas.

D: y = p

F(0;-p)

F(0;p)

D: y = -p

 x  0

2

  y  p  y  p

 x  0

2

2

  y  p  y  p 2

Elevando al cuadrado:

x2  y2  2py  p2  y2  2py  p2

x2  y2  2py  p2  y2  2py  p2

Simplificando:

x2  4py

x2  4py

RESUMEN Vértice

Foco

Directriz

Ecuación

(0; 0)

(p; 0)

x = -p

y2  4px

(0; 0)

(-p; 0)

x = p

y2  4px

(0; 0)

(0; p)

y = -p

x 2  4py

Parábola se abre hacia arriba, el eje de simetría es el eje Y.

(0; 0)

(0; -p)

y = p

x2  4py

Parábola se abre hacia abajo, el eje de simetría es el eje Y.

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Descripción Parábola se abre hacia la derecha, el eje de simetría es el eje X. Parábola se abre hacia la izquierda, el eje de simetría es el eje X.

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4 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA Si el vértice de la parábola se ubica en cualquier punto (h; k) del plano que no sea el origen de coordenadas, el eje de simetría es paralelo a un eje coordenado y p > 0, obtenemos: Vértice

Foco

Directriz

(h; k)

(h + p; k)

x = -p + h

y  k 

 4px  h

(h; k)

(h - p; k)

x = p + h

y  k 2



4px  h

(h; k)

(h; k + p)

y = -p + k

x  h2

 4py  k 

(h; k)

(h; k - p)

y = p + k

Ecuación 2

x  h2

 4py  k 

Descripción Parábola se abre hacia la derecha, el eje de simetría es paralelo al eje X. Parábola se abre hacia la izquierda, el eje de simetría es paralelo al eje X. Parábola se abre hacia arriba, el eje de simetría es paralelo al eje Y. Parábola se abre hacia abajo, el eje de simetría es paralelo al eje Y.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA Partiendo de la ecuación ordinaria de la parábola y dependiendo del paralelismo de su eje focal con respecto a los ejes, la ecuación general de la parábola queda expresada así:

y2  Dy  Ex  F  0

eje focal paralelo al eje X

x2  Dx  Ey  F  0

eje focal paralelo al eje Y

Veamos el caso de la parábola de vértice (h; k), con foco (p + h; k), eje focal paralelo al eje X y cuya directriz es la recta x = h – p, con p > 0, su ecuación ordinaria es:

y  k 2

 4px  h

Desarrollando la fórmula anterior obtenemos:

y2  2ky  k2  4px  4ph Ordenando: Profesor: Javier Trigoso T.

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y2  2ky  4px  k2  4ph  0 Haciendo: -2k = D; -4p= E; k2 + 4ph = F y reemplazando en la ecuación anterior, obtenemos:

y2  Dy  Ex  F  0 Conocida como la ecuación general de la parábola con eje focal paralelo al eje X. De manera análoga, si el eje focal es paralelo al eje Y, obtenemos:

x2  Dx  Ey  F  0 Conocida como la ecuación general de la parábola con eje focal paralelo al eje Y.

PARA LA CLASE …

01. Determina el foco y la directriz de cada parábola:  y2 = 4x  y2 = -6x  x2 = 12y  x2 = -8y 02. Determina el vértice, foco y la directriz de cada parábola:  (x + 2)2 = 4(y - 1)  (x + 3)2 = 6y  (y - 2)2 = -4(x + 1)  (y + 3)2 = 12x + 8 03. Determina el vértice, foco y la directriz de cada parábola:  x2 + 4x – 4y + 8 = 0  x2 - 2x + 2y + 5 = 0  y2 + 6y + x + 7 = 0  y2 - 2y - 2x - 3 = 0  2x2 – 12x – 40y + 98 = 0 Profesor: Javier Trigoso T.

04. Halla la ecuación de la parábola con vértice V(0; 0) y foco F(0; 3) 05. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto (3, 4), siendo su eje OX. 06. Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos A (2, 3) y B(-1, 12).

07. Halla la ecuación general de la parábola de vértice (2;3), eje focal paralelo al eje Y, y que pasa por el punto (0;5).

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6 08. En cada uno de los siguientes ejercicios, el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas.

Determina su ecuación.  Es simétrica respecto del eje de abscisas y pasa por el punto P(-1; 2).  Su eje focal es el eje de ordenadas y pasa por el punto P(2; -3)  La directriz es la recta y – 4 = 0  El foco tiene abscisa cero y p = 8

09. Encuentra la ecuación de la parábola si su vértice es V(0;0) y las coordenadas del lado recto son A(-4; 2) y B(4; 2).

10. Halla la ecuación de la parábola que verifica las siguientes condiciones:  F(2; 3), directriz x – 6 = 0  V(-2; 2) y F(2;2)  El vértice pertenece a la recta 7x + 3y – 4 = 0, eje horizontal y F(3; -1)

PARA LA CASA …

01. Calcula el vértice, foco y la recta directriz de las parábolas siguientes:  y2 = 8x  y2 = -8x  x2 = 8y  x2 = -8y  (y – 2)2 = 8(x – 3)  (x – 3)2 = 8(y – 2) 02. Encuentra el vértice, el foco y la directriz  x2  2x  2y  7  0  y  x2  4x  3  4y2  4y  4x  24  0  y2  6y  x  16  0  x2  4x  2y  0 03. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:  Directriz x = -3 y foco (3; 0)  Directriz x = 2 y foco (-2; 0)  Directriz y = 4 y foco (0; 0)  Directriz y = -5 y foco (0; 5)

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04. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:  Foco (2; 0) y vértice (0; 0)  Foco (3; 2) y vértice (5; 2)  Foco (-2; 5) y vértice (-2; 2)  Foco (3; 4) y vértice (1; 4) 05. Determina la ecuación de la parábola que tiene su foco en (1; 3) y vértice en (-2; 3).

06. Halla la ecuación de la parábola con vértice en (3; -1) y cuya ecuación de la directriz es: y – 2 = 0 07. Determina la ecuación de la parábola cuyos puntos P (x; y) equidistan de la recta y – 1 = 0 y del punto (3; 5).

08. Determina la ecuación de la parábola que tiene su foco en (-2, -1) y su lado recto lo unen los puntos: Q (-2; 2) y Q´(-2; -4).

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7 09. Usando la definición, halla la ecuación de la parábola que tiene su foco en el punto F (2; 0) y su recta directriz tiene por ecuación x = -2.

10. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto (3; 4), siendo su eje OX. 11. Escribe la ecuación general de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos A (2; 3) y B (-1; 12) 12. Determina la ecuación general de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X y pasa por los puntos P(1;2), Q(-1; 3) y R(-8;4) 13. Determina la ecuación general de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje Y y pasa por los puntos P(6;2), Q(4; -1) y R(-2;2) 14. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: x + y - 6 = 0 y por foco el origen de coordenadas.

15. Encuentra la ecuación de la parábola con eje paralelo al eje de las abscisas y pasa por los puntos: A(3, 3), B(6, 5) y C(6, -3).

16. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje Y, que pasa por los puntos A(2; -1), B(-4; -4) y C(6; -9).

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17. Halla la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6; 1), B(-2; 3) y C(16; 6).

18. Determina la ecuación de la parábola que tiene como vértice V (1; 0) y tiene como eje focal el eje de las abscisas que pasa por el punto (2; 2).

19. Determina el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F (4; 2).

20. Determina el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz y el eje focal de la parábola cuya ecuación es: 3x2 – 3x – 24y – 1 = 0 21. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la circunferencia

x2  y2  2x  2y  0 y su directriz es x – 2 = 0.

22. Encuentra la ecuación de la parábola que se abre hacia abajo, cuyo vértice es el centro de la circunferencia x2  y2  14y  40  0 , además, la distancia del vértice a la directriz es 6.

23. La parábola de ecuación x2  4y , es cortada por la recta 2x – y = 3 en los puntos A y B. Calcula la longitud de la cuerda AB. 24. Halla la longitud del lado recto de la parábola cuyo eje es paralelo al eje Y, que tiene foco F (0; 5) y la recta directriz pasa por el punto (0; -5).

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8 25. Halla el punto medio entre el punto P (-4; -6) y el foco de la parábola de

28. ¿En cuántos puntos se interseca la

ecuación: x2  2x  8y  33  0 .

circunferencia x2   y  4   1 ?

26. Halla la ecuación de la parábola con vértice de abscisa positiva y que pasa por los puntos A (7; 8) y B (7; -12).

Además tiene como directriz a la recta x + 3 = 0.

27. Halla la ecuación de la parábola cuyo foco está sobre la recta 2x + y = 1, su vértice pertenece a la recta x – y + 3 = 0 y su directriz es la recta x + 4 = 0.

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parábola de ecuación x2  4 y con la 2

29. Una antena de TV tiene la forma de paraboloide de revolución.

Determina la posición del receptor que se coloca en el foco, si la antena tiene 15 cm de diámetro en su abertura y 5 cm de profundidad en su centro.

30. Un arco tiene la forma de una parábola con el eje vertical, la altura de su centro es de 10 cm y tiene en su base un claro de 30 cm. Determina su altura a la distancia de 5 cm de un extremo.

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