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LAS PROBABILIDADES Y EL SENTIDO COMÚN ¿Existen leyes del azar? Nuestro sentido común pareciera decirnos que el azar y las leyes son conceptos contradictorios. Si algo sucede al azar, es porque no hay leyes que lo determinan. ¿Cómo puede hablarse entonces de leyes del azar? Sin embargo, existe una rama de la Matemática que trata sobre las leyes del azar y es la Teoría de Probabilidades. El cálculo de probabilidades nos permite prever algunas eventualidades de origen aleatorio. Cuando hablamos de prever, debemos hacerlo con mucho cuidado, pues no se trata de enunciar una profecía, sino de una cuantificación o medida con respecto a la ocurrencia de un evento. El objetivo de la Teoría de Probabilidades es interpretar y calcular las probabilidades de fenómenos complejos en función de las probabilidades mas sencillas de fenómenos conocidos. Esto último podemos configurarlo intuyendo los eventos por simetría, por ejemplo, el clásico lanzamiento de una moneda. Cuando lanzamos una moneda, suponemos a priori la cualidad simétrica de que ambos lados (cara y sello) tienen igual posibilidad de ocurrir o, para decirlo cuantitativamente, tienen igual probabilidad de ocurrir. Como hay solo dos casos posibles (cara o sello), decimos que hay un caso de dos de que resulte cara y, por supuesto, también un caso de dos de que resulte sello. Esto se puede cuantificar mejor si empleamos esta relación como razón geométrica y decimos: probabilidad de cara es uno entre dos igual a un medio, y probabilidad de sello es uno entre dos igual a un medio, y lo escribimos como:

P cara  

1 2

;

P sello  

1 2

En virtud de nuestra experiencia, y tomando el termino suceso en la acepción del lenguaje corriente, podemos enunciar lo siguiente: “La probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos esperados y el número de casos posibles”.Así, por ejemplo, lanzamos un dado y esperamos obtener un número impar.Sabemos que un dado tiene tres números impares: 1; 3 y 5, estos son los casos esperados, y sabemos también que tiene seis números: 1; 2; 3; 4; 5 y 6, estos son los casos posibles. Luego, calculamos:

P impar  

Profesor: Javier Trigoso T.

3 1  P impar   6 2 Matemática 1


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DEFINICIONES FORMALES Y PROBABILIDAD Recordando los ejemplos ya descritos sobre lanzamiento de monedas o dados, hechos con resultados al azar, y teniendo en cuenta que son actos que se pueden realizar todas las veces que se desee, definiremos: Experimento aleatorio (E): es todo proceso que se puede repetir indefinidamente con resultados imprevisibles. Así, son experimentos aleatorios el lanzamiento de una moneda, de un dado, la extracción de una bola de bingo, ciertos procesos productivos dela naturaleza o de la industria como los nacimientos (macho o hembra) o artículos (buenos o defectuosos), etc.

Son experimentos aleatorios: 

Lanzar un dado

Sacar una carta de una baraja

Jugar un número de una ruleta

Espacio muestral: dado un experimento aleatorio E, se llama espacio muestral Ω de E al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento. Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de una moneda tenemos el espacio muestral: Ω1={c; s} Si lanzamos un dado, el espacio muestral es: Ω2 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Evento o suceso: se llama evento o suceso de un experimento aleatorio Ea

cualquier subconjunto A del espacio muestral Ω de este experimento. Hay sucesos que siempre van unidos a todo experimento aleatorio:  Suceso seguro: está formado por todos los resultados posibles del experimento. Es el suceso que ocurre siempre y coincide con el espacio muestral.  Suceso imposible: es el suceso que no se produce nunca; es decir, no aparece al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo 1: Lanzamos al aire una moneda tres veces. Determina el espacio muestral y los elementos que conforman los sucesos A: obtener dos caras y un sello, y B: obtener por lo menos un sello. Resolución

 el suceso A (obtener dos caras y un sello): A  ccs,csc, scc

Determinamos el espacio muestral: Ω  ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss Determinamos

Determinamos el suceso B (obtener por lo menos un sello):

B  ccs, csc, css, scc, ssc, sss

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PROBABILIDAD DE UN SUCESO Ley de Laplace Si los sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de un suceso A, denotado P(A), es el cociente entre el número de casos favorables de que ocurra el suceso A y el número de casos posibles:

P  A 

número de casos favorables número de casos posibles

n  A

n  Ω

Propiedades de la probabilidad Para cada suceso A, la probabilidad P(A) está comprendida desde 0 hasta 1, es

 

decir, 0  P A  1     

  La probabilidad del suceso imposible Ø es 0, es decir P  Ø   0 Si Ā es el suceso contrario o complementario de A, P Ā  1  P A Si A y B son dos sucesos compatibles, P A  B  P A  P B  P A  B Si A y B son dos sucesos incompatibles, P A  B  P A  P B  La probabilidad del suceso seguro (Ω) es 1, es decir P Ω  1

Ejemplo 2: Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado, salga un número par o primo. 

Determinamos el espacio muestral y los sucesos A, salir número par, y B, salir número primo:

Ω  1;2;3;4;5;6

;

A  2;4;6

;

B  2;3;5

Aplicamos la propiedad de sucesos compatibles, ya que existe un número par que también es primo (el número 2)

P  A  B   P  A  P B   P  A  B   P  A  B  

3 3 1 5    6 6 6 6

Entonces, la probabilidad de que salga un número par o primo es 5/6. Probabilidad de sucesos independientes y dependientes Dos sucesos son independientes cuando el resultado del primero no influye en la probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos independientes se calcula multiplicando la probabilidad de cada suceso.

P  A  B   P  A .P  B  Profesor: Javier Trigoso T.

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4 Ejemplo 3:

Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y con reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones.  Al reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del segundo suceso no queda afectada, ya que la baraja mantiene las 52 cartas. Calculamos la probabilidad de cada suceso:

13 52 13 P(B): obtener corazón en la segunda extracción.  P B   52

 

P(A): obtener corazón en la primera extracción.  P A 

Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio:

P A  B  P A .P B   P A  B   La probabilidad es 1/16

13 13 1 .  52 52 16

Dos sucesos son dependientes cuando el resultado del primero influye en la probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos dependientes se calcula multiplicando la probabilidad del primer suceso por la probabilidad del segundo suceso, habiendo ocurrido el primero.

 A

P  A  B   P  A  .P B Ejemplo 4:

Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y sin reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones.  Al no reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del segundo suceso queda afectada, ya que la baraja se reduce a 51 cartas.  Calculamos la probabilidad de cada suceso:

 

P(A): obtener corazón en la primera extracción.  P A 

13 52

P(B): obtener corazón en la segunda extracción, habiendo salido corazón en

 

la primera extracción.  P B  

12 51

Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio:

 A  P A  B  5213 . 1251  171

P A  B  P A .P B La probabilidad es 1/17

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ESPERANZA MATEMÁTICA En todo fenómeno probabilístico existen dos posibilidades: acertar o no acertar la posibilidad de que ocurra un suceso. Así, por ejemplo:  El meteorólogo, después de estudiar las variables que intervienen en el clima, predice cuál será el comportamiento de este (con el ánimo de acertar)  El comerciante compra diferentes productos para vender y calcula (a veces, considerando las variables que intervienen en el precio) cuánto deberá vender para estimar la cantidad a comprar.  Un jugador de casino tira los dados con cierta fuerza esperando que salga determinada cara para ganar el premio. En estos ejemplos y en muchos otros, todos los que participan tienen la esperanza de ganar (o acertar y cuánto más veces, mejor), pero esto no es fácil. La esperanza matemática (o valor esperado o, simplemente esperanza) de una variable aleatoria es la suma de las probabilidades de cada suceso multiplicado por su valor. Esto es:

E  x 

n

 x .p i1

i

i

Entonces, la esperanza matemática de x o valor esperado de x, E(x) es:

E  x   x1.p1  x2.p2  x3.p3  .............................  xn .pn

Ejemplo 5: Una lotería electrónica realiza su sorteo los domingos al mediodía. El premio principal lo pueden ganar 0, 1, 2, 3, 4 personas y sus respectivas probabilidades son 0,80, 0,07, 0,06, 0,04, 0,03. ¿Cuál es el número esperado de ganadores en dicho sorteo? Resolución:

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Para responder a la pregunta debemos calcular la esperanza matemática: E  x   0(0,80)  1(0, 07)  2(0, 06)  3(0, 04)  4(0, 03)

E  x   0  0, 07  0,12  0,12  0,12 E  x   0, 43

El número esperado de ganadores es 0,43 y se interpreta como: “El número

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6 esperado de ganadores en 100 sorteos es 43”

La probabilidad de extraer bola blanca y perder S/.15 es

P R  

Ejemplo 6: Elvira le dice a Juan: Esta urna contiene 70 bolas rojas y 30 bolas blancas. Te doy S/.5 si la bola que extraes es roja y si la bola que extraes es blanca, tú me das S/.15. Si Juan acepta el reto, ¿qué puede esperar si juega muchas veces? Resolución: Analizamos ambas situaciones:  La probabilidad de extraer bola roja y ganar S/.5 es

P R  

70 7  100 10

30 3  100 10

Calculamos la esperanza matemática E(x)

7 3   15  . 10 10 35 45 10 E x     1 10 10 10 E  x   5.

Esto quiere decir que si Juan juega muchas veces, se espera que pierda S/.1 Como la esperanza matemática es negativa, decimos que el juego no es equitativo y que perjudica al jugador.

Observaciones: 

Si la esperanza matemática es igual a 0, el “juego” se considera justo. Por ejemplo: apostar 1 nuevo sol a que al lanzar una moneda sale cara (o sale sello), siendo el premio dos nuevos soles si se gana y 0 nuevos soles si se pierde. Si la esperanza matemática es menor que 0, el “juego” se considera injusto; así, por ejemplo: si en una rifa se pagan 500 nuevos soles siendo un nuevo sol el costo del boleto pero habiendo 1 000 boletos, la esperanza matemática es – 0,5. Si la esperanza matemática es mayor que 0, el “juego” es considerado como favorable; por ejemplo, cuando por acertar qué cara va a salir en un dado se paga 10 nuevos soles siendo el osto de un sol. Nótese que la probabilidad de acertar es de 1/6. Por ello, el valor de la esperanza matemática es de 1,66 y, por tanto, bastante beneficiosa para el jugador.

PARA LA CLASE… 01. Se extrae al azar una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una carta roja o un As? 7/13

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02. Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva, ¿cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean 3? 1/36

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7 03. En una caja hay 20 tarjetas Numeradas del 1 al 20. Se extrae una carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 12 o múltipo de 5? 1/2 04. De una baraja de 52 cartas se extraen dos de ellas, una tras otra. Calcula la probabilidad de obtener: a. Dos ases 1/221 b. “As” en la primera y una carta distinta en la segunda extracción. 16/221 c. Ningún “as” 188/221 d. Algún “as” 33/221

05. Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de obtener: a. Cara en la primera, sello en la segunda y cara en la tercera. 1/8 b. Dos caras 3/8 c. Ninguna cara 1/8 d. Al menos un sello 7/8 e. Dos caras o dos sellos 3/4 06. Se lanza una moneda. Si sale cara, se extrae una bola de una bolsa en la que hay 3 rojas y 2 blancas. Si sale sello, se extrae una bola de otra bolsa en la que hay 6 rojas y 2 blancas. Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la bolsa sea blanca. 13/40 07. Se lanza un dado. Si sale un número mayor que 4, se extrae una bola de una caja que contiene 3 blancas y 5 negras. En caso contrario, se extrae una bola de otra caja en la que hay 2 blancas y 6 negras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener finalmente una bola negra? 17/24 Profesor: Javier Trigoso T.

08. Una urna contiene 5 bolas rojas y 2 bolas blancas; otra urna contiene 8 bolas rojas y 4 blancas. Se extrae una bola de la primera urna y sin ver su color se introduce en la segunda urna; luego se extrae una bola de la segunda urna. Calcula las siguientes probabilidades: a. Que la bola extraída de ambas urnas sea roja. 45/91 b. Que la bola extraída de la primera sea roja y de la segunda sea blanca. 20/91 c. Que la bola extraída de la primera sea blanca y de la segunda sea roja. 16/91 d. Que la bola extraída de ambas sea blanca. 10/91 e. Que la bola extraída de la segunda sea roja. 61/91 f. Que la bola extraída de la segunda sea blanca. 30/91 09. Al invertir en ciertas acciones, una persona puede tener una ganancia en un año de S/.1 800 con probabilidad de 0,3 o tener una pérdida de S/.500 con probabilidad de 0,7. ¿Cuál es la ganancia esperada de esta persona? S/.190 10. Para disuadir a sus compañeros de trabajo de participar en apuestas, Pedro analiza un juego con dados: cada vez que se juega, la casa hace una apuesta de S/.100. Si el participante lanza dos dados y la suma es 7, gana el doble, ¿es equitativo este juego? No

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PARA LA CASA… 01. Al arrojar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga 3 o un número par? A. 2/3 B. 1/2 C) 1/3 D) 5/6 E) 1/6

07. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3. A. 1/2 B. 2/3 C. 1/3 D. 1/6 E. 5/6

02. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas. A. 1/2 B. 1/3 C. 1/6 D. 1/18 E. 0

08. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. A. 1/100 B. 1/5 C. 1/130 D. 23/130 E. 1/20

03. Calcula la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera carta al naipe. A. 1/26 B. 1/352 C. 4/663 D. 1/221 E. 3/674 04. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que 10? A. 1/72 B. 1/12 C. 1/4 D. 1/6 E. Ninguna 05. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6. A. 0 B. 1/1296 C. 10/3 D. 2/3 E. 625/1296 06. Calcula la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas. A. 3/4 B. 2/7 C. 6/49 D. 1/7 E. 9/49 Profesor: Javier Trigoso T.

09. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4? A. 1/3 B. 1/4 C. 5/18 D. 3/10 E. Ninguna de las anteriores 10. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de que sean números distintos. A. 1/64.000 B. 3/40 C. 1/59.280 D. 4/3.705 E. 192/247 11. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? A. 6/5 B. 8/25 C. 2/5 D. 3/5 E. 4/5

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9 12. ¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos dados? A. 1/6 B.1/2 C. 7/12 D. 7/36 E. 7/2 13. Al lanzar probabilidad y un sello? A. 4 D. 1/2

dos monedas, ¿qué hay de obtener una cara B. 2 E. 1/4

C. 1

14. Una caja contiene 12 bolas negras y 8 rojas, ¿qué probabilidad hay de no sacar una bola negra? A. 2/5 B. 3/5 C. 2/3 D. 3/2 E. 8 15. Se lanza un dado y sale 4. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 9? A. 1/9 B. 5/6 C. 7/36 D. 4/9 E. 2/3 16. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés y 1/10 habla los dos idiomas, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un idioma? A. 1/3 B. 1/4 C. 23/60 D. 29/60 E. 7/12 17. ¿Cuál de las siguientes expresiones no corresponde a un suceso aleatorio? A. Jugar un juego de azar B. Enfriar agua a 0º C. C. Lanzar una piedra y medir su alcance

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D. Preguntarle a un desconocido si fuma E. Apostar en una carrera de caballos 18. ¿Qué probabilidad hay de que la lanzar 2 dados se obtenga una suma menor que 6? A. 10 B. 5/6 C. 1/6 D. 5/18 E. 5/36 19. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio de un rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si se compran 4 números? A. 1/100 B. 1/10 C. 1/5 D. 1/4 E. Ninguna de las anteriores 20. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que se obtiene al lanzar 3 monedas? A. 27 B. 9 C. 8 D. 6 E. 3 21. Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, ¿qué probabilidad hay de obtener primero un 3 y luego un número par? A. 1/3 B. 1/12 C. 1/9 D. 2/3 E. 4 22. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. A. 0,24 B. 0,35 C. 0,69 D. 0,75 E. 1 23. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés? A. 0,25 B. 0,43 C. 0,69 Matemática 1


10 D. 0,75

E. 1

24. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? A. 0,24 B. 0,35 C. 0,69 D. 0,75 E. 1 25. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? A. 0,45 B. 0,05 C. 0,405 D. 0,40 E. 1 26. Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 nuevos soles si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 nuevos soles si no aparece cara. Determina la esperanza matemática del juego y si éste es favorable. A. 1/4. Es favorable B. 9/4. Es favorable C. −1/4. Es desfavorable D. -9/4. Es desfavorable E. No se puede determinar

27. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la esperanza matemática del juego. A. 15,333 B. 16,333 C. 16,667 D. 17,333 E. 17,667 28. Si una persona compra un Boleto en una rifa, en la que puede ganar de 5 000 nuevos soles o un segundo premio de 2 000 nuevos soles con probabilidades de: 0,001 y 0,.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta? A. S/.9,5 B. S/.10 C. S/.10,5 D. S/.11 E. S/.11,5 29. Tenemos 100 números de lotería a 5 euros cada uno, con un premio de 50, otro de 100 y otro de 250 euros, ¿cuál sería la esperanza matemática de ganancias para una persona que compre 2 números? A. 400 euros B. 500 euros C. 600 euros D. 700 euros E. 800 euros 30. Un juego consiste en lanzar un dado con sus caras marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6; si sale 2 se puede ganar S/.12, si sale 3 ó 5 se puede ganar S/.6 y se pierde S/.9 en los otros casos. Determina la utilidad esperada en el juego. A. ganar S/.0,25 B. ganar S/.0,5 C. perder S/.0,5 D.perder S/.0,25 E. ni ganar ni perder

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Probabilidad  

Un poco de teoría y algunos buenos ejercicios

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