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Función exponencial En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

Función logarítmica Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

El ajedrez y los granos de trigo Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. - ¿Quieres una bolsa llena de oro?, ¿Deseas un arca llena de joyas?, ¿Pensaste en poseer un Palacio?, ¿Aspiras a la administración de una provincia? Aguardo tu respuesta, ya que mi palabra está ligada a una promesa. - Aprecio vuestra generosidad, Majestad, y como obediente súbdito me veo en la obligación de escoger; pero no deseo joyas, ni tierras, ni palacios. Deseo que me recompenses con granos de trigo, los cuales deberán ser colocados en el tablero, de la siguiente forma: un grano por la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta y así duplicando sucesivamente hasta la última casilla. El rey, al oír el extraño e ínfimo pedido del joven, lanzó una sonora carcajada y, tras burlarse de su modestia, ordenó que se le diera lo que había solicitado. Al cabo de algunas horas los algebristas más hábiles del reino le informaron al Soberano que se necesitarían: 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo!!

PROFESOR: Javier Trigoso T.


2 Intervención del número e en un asesinato: Una aplicación del número “e” es poder determinar en un asesinato el momento de la muerte. Es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento es alta, de manera que se enfría muy rápidamente; cuando un cuerpo está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja y se enfría lentamente. Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36ºC (98,6º F). Pero una persona muerta deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton que se aplica con la fórmula matemática siguiente:

Tt  Taire  ( T0  Taire ).ekt Dónde T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una constante. Ahora aplicaremos esta fórmula en el asesinato de una persona. Su temperatura a las doce de la noche, después de su muerte era de 85º F y la temperatura del aire era de 68º F. A partir de esto nos interesa determinar a que hora murió esta persona. Sabemos que la temperatura normal del cuerpo es de 98,6ºF, se puede calcular el momento de su muerte operando así:

98,6 º  68 º  85 º 68 º .e 0,5207t 30,6 º  17 º.e  0,5207t e 0,5207t 

5 9

5 0,5207 t  ln  9 ln 5  ln 9 t  1,13 0,5207 t = -1,13 horas = -68 minutos

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3 Con esto sabemos, gracias a la ayuda del número e, que esta persona murió 68 minutos antes de las doce de la noche, es decir, a las 22:52 h.

¿Cómo se enfría la sopa? Los objetos se enfrían hasta llegar a la temperatura ambiente. Supongamos que un objeto caliente que tiene una temperatura inicial T0 (temperatura en el instante cero) se coloca en un medio donde la temperatura es Ta (temperatura ambiente). ¿Cómo calcularíamos la temperatura que tendrá este objeto después de un tiempo t? Esta pregunta se la hizo Newton y le llevó a plantear una ecuación diferencial cuya solución es:

Tt  Ta  ( T0  Ta ).ekt

Esta expresión es conocida como la ley de enfriamiento de Newton. Donde: Tt es la temperatura del objeto al cabo de un tiempo t, e es la base de los logaritmos neperianos y k es una constante de proporcionalidad. Una aplicación de la ley de enfriamiento de Newton la veremos al resolver el siguiente problema: Un tazón de sopa se enfría de 90ºC a 60ºC en 10 minutos, en una habitación

donde la temperatura es 20ºC. ¿Cuánto más tardará la sopa en enfriarse hasta 35ºC? Solución:  Como la sopa inicialmente tiene una temperatura de 90ºC, entonces T 0 = 90ºC.  Luego de 10 minutos tiene una temperatura de 60ºC, entonces T 10 = 60ºC.  La temperatura ambiente es de 20ºC, entonces Ta = 20ºC.  Según esto:

T1 0  Ta  T0  Ta .e 1 0k 60  20  90  20 .e 1 0k

Tomando logaritmo neperiano a ambos miembros:

e 1 0k 

7 ln e 1 0k  ln  4 10k  ln 7  ln 4

40  70 .e 1 0k 7 4

k

ln 7  ln 4  0,056 10

Tomando k = 0,056 y reemplazandola en la fórmula de Newton obtenemos la función:

Tt  20  70.e 0,056t

Esta función nos permite conocer la temperatura de la sopa en cualquier instante t. ¿para qué valor de t la sopa tendrá una temperatura de 35ºC?

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4 35  20  70.e0,056t  e0,056t  t

15 3  0,056t  ln 70 14

ln 14  ln 3  27,5 0,056

Descontando los 10 minutos, faltarían 17,5 minutos para que la sopa llegue a los 35ºC.

Crecimiento demográfico Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. Siendo P0 la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial: P = P0.ekt. Donde: P: Número de individuos en el momento t. P0: número de individuos en el momento inicial. k: constante de crecimiento. t: Tiempo Ejemplo 1: La población dela tierra crece aproximadamente al 2% anual (crecimineto continuo). ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población? Solución: 

Como la población crece exponencialmente, entonces P( t)  P0 .e

rt

Donde t representa el tiempo en años y P(t) es la población en el tiempo t.  Como r = 2% = 0,02 y P(t) = 2.P0, entonces:

2P0  P0 .ert  ert  2  ln 2  rt  t  t

0,693  34,65 0,02

ln 2 r

Entonces, tardará aproximadamente 35 años. Ejemplo 2: Kenia tiene en la actualidad, aproximadamente 30 millones de habitantes y el tiempo de duplicación es de 19 años, ¿qué población habrá dentro de 10 años si la tasa de crecimiento no cambia? Solución: 

Si P se mide en millones y t en años, la función adecuada es: P( t)  30 .2

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t /19

,


5 1 0/ 1 9

para t = 10 será: P(10 )  30 .2

 P(10 )  30 .20,526  30 .1,4402  43,2

43.2 millones de habitantes Ejercicios: 01. En una colonia de insectos, cuya población es controlada cada año, se observa que en diez años no ocurrió ningún suceso que alterase su ley de crecimiento. La población existente cada año fue los 4/3 del año anterior. Si el año que empezó el estudio había 7 290 ejemplares, ¿cuántos había al cabo de 6 años? 02. Un piscicultor introduce en un estanque mil truchas jóvenes. El dueño estima que tres meses después sólo quedan alrededor de 600. Encuentra una fórmula exponencial N(t)  N ekt que 0

esté de acuerdo con esta información y úsala para estimar el número de truchas después de un año. 03. En un estudio sobre la reproducción de la trucha de río, se estima que en un determinado criadero hay 200 truchas. Transcurrido un año, se contabilizan 360 truchas en dicho criadero. Si suponemos que el crecimiento es exponencial, calcula cuántas truchas habrá cuando transcurran tres años. 04. A comienzos de la década de los 90 la población de un país fue de 324 000 000 habitantes. Si su población creciera anualmente en forma exponencial, siguiendo la fórmula

P( a)  324 .10 6.1,01 a

a. ¿Cuál sería la tasa anual de crecimiento? b. ¿Cuál sería la población de dicho país a mediados de la década de los 90? c. ¿Cuál sería la población a fines de 1 992?

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05. En el 2 002, la población de cierta ciudad era de 25 000 habitantes. Si la tasa de crecimiento anual era de 2% a. Detremina una fórmula para estimar la población después de t años. b. Usa la fórmula para estimar la población de la ciudad en el 2 030. 06. Si el crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la ecuación: 230 con t en meses.

P(t) 

1  56,5e 0,37t

a. ¿Cuántas abejas había inicialmente? b. ¿En cuánto tiempo las abejas llegarán a ser una población de 150? 07. Según un modelo logístico basado en el supuesto de que la tierra no puede soportar más de 40 000 millones de personas, la población mundial (en miles de millones) t años después de 1 960 está dada por una función de la forma

P(t) 

40

1  Ce kt

, donde C y k son

constantes positivas. Halla la función de esta forma que concuerde con el hecho de que la población mundial era aproximadamente de 3 000 millones en 1 960 y de 4 000 millones en 1 975. ¿Qué predice su modelo con respecto a cuál será la población en el año 2 000? 08. Una epidemia se propaga en una comunidad de manera que t semanas después de su brote el número de personas infectadas está dado por una función de la forma f(t) 

B

1  Ce kt

,

donde B es el número de residentes en la comunidad que son propensos a contraer la


6 enfermedad. Si 1/5 de los residentes propensos estaba infectado al principio y 1/2 de ellos había sido infectado al final de la cuarta semana, ¿qué fracción de

residentes propensos a la enfermedad habrá sido infectada al final de la octava semana?

Crecimiento no inhibido La mitosis, o división celular, es un proceso universal indispensable en el crecimiento de los organismos vivos como las amibas, plantas, células humanas y muchas otras. Con base en una situación ideal donde no mueren células ni hay efectos colaterales, el número de células presentes en un instante dado obedece a la ley del crecimiento no inhibido. Sin embargo, en la realidad, después de cierto tiempo el crecimiento en forma exponencial cesa debido a la influencia de factores como la carencia de espacio, la disminución de la fuente alimenticia, etc. La ley del crecimiento no inhibido solo refleja de manera exacta las primeras etapas del proceso de la mitosis. El proceso de mitosis comienza con un cultivo de N 0 células donde cada célula crece durante cierto periodo y después se divide en dos células idénticas. Suponemos que el tiempo necesario para que cada célula se divida en dos es constante y que no cambia al aumentar el número de células. Después, éstas células crecen y se dividen en dos, y así sucesivamente. Una fórmula que proporciona el número N de células en el cultivo después de transcurrir un tiempo t (en las primeras etapas del crecimiento) es: N(t)  N0 e kt , en donde N0 y K son constantes positivas, denominadas cantidad inicial y constante de crecimiento. Ejemplo 3: Algunos tipos de bacterias tienen un crecimiento muy rápido de su población. La bacteria Escherichia coli puede duplicar su población cada 15 minutos. Si se hace un cultivo en el que inicialmente hay 5 000 bacterias de este tipo, ¿cuántas habrá al cabo de cuatro horas? Solución: 

Analizamos la evolución que sigue la población de bacterias: Tiempo (min) 0 15= 1.15 30 = 2.15 …… ……

Nº de bacterias 5 000 1 2 .5 000 = 10 000 22.5 000 = 20 000

x.15

2x.5 000

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7 

Como cuatro horas equivalen a 16 períodos de 15 minutos, calculamos la población de bacterias: 16  P16 = 2 .5 000 P16 = 65 536.5 000 = 327 680 000 bacterias.

Ejemplo 4: Un estudiante universitario que analiza el crecimiento de bacterias en cierto cultivo ha reunido los siguientes datos: Tiempo (min) 0 20

Cantidad de bacterias 6 000 9 000

Emplea estos datos para hallar una función exponencial de la forma Q(t)  Q0 e

kt

que

exprese el número de bacterias Q del cultivo como una función del tiempo en minutos. ¿Cuál será el número de bacterias después de una hora? Solución: 

Según los datos de la tabla

Q(0)  6 000  Q0ek(0)  6 000  Q0  6 000 y

Q(20 )  9 000  6 000 ek(20)  9 000  e20k  Por lo tanto: Q(t)  6 000 e 

3 1 3 k  ln  2 20  2 

1 3 ln  .t 20  2 

Además, el número de bacterias después de una hora, resulta

Q(60 )  6 000 e

1 3 ln  .60 20  2 

 20 250

Ejemplo 5: El número de bacterias en cierto cultivo crece de 5 000 a 15 000 en 10 horas. Suponiendo que la tasa o rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias, I. Calcula el número de bacterias al cabo de 20 horas. II. ¿Cuánto llegará a 50 000 el número de bacterias? Solución:  Como la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias, entonces

N(t)  N0 e kt Donde t representa el tiempo en horas y N(t) es la población de las bacterias en el tiempo t. 

kt

Como N(0) = 5 000 es la población inicial, entonces: N(t)  5 000e y como N(10) = 15 000, entonces:

15 000  5 000 ekt  k 

t

ln 3  N(t)  5 000 (3) 1 0 10


8 I.

2

Al cabo de 20 horas habrá N(20 )  5 000 (3)  45 000 bacterias II.

Resolvemos la ecuación: t

50 000  5 000 (3) 1 0  t 

10 ln 10  20,96 ln 3

Así la población llegará a 50 000 bacterias en 20,96 horas. Ejercicios: 09. Una colonia de bacterias crece de acuerdo a la ley del crecimiento no inhibido. Si la cantidad de bacterias se duplica en tres horas, cuánto tiempo tardará la colonia en triplicar su número?. 10. Si el tiempo que demora en duplicarse una población de bacterias, con una tasa de crecimiento anual r, compuesto de manera continua, se expresa como:

t

ln 2 r

¿Cuánto tardará en duplicarse una población cuya tendencia de crecimiento se da con una tasa de crecimiento anual del 3,5%? 11. El número de bacterias de cierto cultivo crece de 2 000 a 32 000 en 12 horas. Suponiendo que la tasa de rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias. a. Calcula el número de bacterias luego de 15 horas.

b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población se quintuplique? 12. El número de bacterias de cierto cultivo se incrementó de 600 a 1 800 en 2 horas. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, t horas después de las 7:00 a.m., el número f(t) de bacterias está dada por: f( t)  600 3

t/2

Calcula el número . de bacterias en el cultivo a las 8:00 a.m., a las 10:00 a. m. y a las 11:00 a.m. 13. Los biólogos han observado que la mayoría de las bacterias, en condiciones ideales, se reproducen mediante modelos de crecimiento exponencial. Si la población inicial de bacterias en cierto cultivo era de 800. Si la tasa relativa de crecimiento es de 30% por hora: a. ¿Cuál será la población estimada de bacterias después de un día? b. ¿Cuál será la población estimada de bacterias después de dos días?

Desintegración Radioactiva Por su naturaleza los elementos radioactivos tienden a disminuir hasta agotarse completamente conforme transcurre el tiempo. Si t representa al tiempo (medido en años, meses, días) y N(t) la cantidad medida en gramos, miligramos, etc.) del elemento radioactivo, entonces

N(t)  N0ekt

representa la ley de decrecimiento exponencial del elemento radioactivo según transcurre el tiempo, donde N 0 es la cantidad inicial, K es la constante de decrecimiento.


9 El elemento 88, más conocido como radio, es radioactivo; es decir, los átomos de radio se desintegran espontáneamente, emitiendo una radiación en forma de partículas alfa, beta o rayos gamma. Cuando un átomo se desintegra de esta manera, su núcleo se transforma en el núcleo de otro elemento. Ejemplo 6: Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una función exponencial. La cantidad inicial es de 10 gramos, pero después de 200 años es de 2 gramos. Calcula la cantidad que hubo después de 100 años. Solución:  Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 10 gramos, entonces:

C(t)  10 .e kt

2  10.e200k 

Además C(200) = 2 

1 ln 5  e200k  5  e200k  ln 5  200k  k  5 200

Luego, reemplazando k obtenemos la fórmula de desintegración radioactiva:

C(t)  10.e 

 C(100 )

ln 5 .t 200

Nos piden C(100) 

 ln 5   .100  10.e  200   C(100 )

ln 5

 10.e 2  C(100 )  10.e ln 10 10  C(100 )   2 5 ln 5 5 e

5

Luego, la cantidad que hubo después de 100 años fue de 4,47 gramos proximadamente. Ejemplo 7: Supongamos que hay 20 g de radio disponibles inicialmente, ¿Qué porcentaje de los 20 g se habrá desintegrado después de 100 años. Solución:  Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 20 gramos, entonces:

C(t)  20 .e kt , siendo k = 0,000418  Nos piden C(100) 

C(100 )  20 .e

0, 00041 8.(1 00)

 C(100 )  20 .e 0,041 8  C(100 )  19,1812 g

 El resto es: 20 – 19,1812 = 0,8188 g  El porcentaje es:

0,8188  100  4,094 20

Se ha desintegrado aproximadamente el 4,1%


10 Ejercicios: 14. Una sustancia radiactiva se desintegra siguiendo una función exponencial. La cantidad inicial de masa es de 10 gramos pero después de 200 años la masa se reduce a 2 gramos. Calcular la cantidad de masa después de 100 años 15. El poder radioactivo de una sustancia se va perdiendo a medida que transcurre el tiempo, según la fórmula P(t)  1,5e 0,05t , siendo t el tiempo en años. ¿Despúes de cuánto tiempo su poder radiactivo se reducirá a la mitad? 16. La vida media de un elemento radioactivo se define por el tiempo que

tarda en desintegrarse la mitad de ese elemento para transformarse en un nuevo elemento. La vida media es la medida de la estabilidad del elemento, es decir, cuanto más corta sea la vida media, más inestable es el elemento. El modelo matemático para hallar la vida media de un elemento radioactivo está dado por

C(t)  C0e0,000418.t Halla la vida media del radio. 17. La semivida del radio es de 1 600 años. si la cantidad inicial es qo miligramos, y la cantidad q(t) restante después de t años kt

está dada por q(t)  q0 2 , halla k.

El interés Compuesto En las inversiones, si los intereses simples producidos durante un período de tiempo son añadidos al capital, de modo que el interés del siguiente período se calcula sobre este nuevo capital, repitiéndose este proceso por dos o más períodos, el aumento total del capital original se llama interés compuesto. Los períodos sucesivos de tiempo al final de los cuales se incorporan los intereses al capital, se llaman períodos de capitalización y los más usados son: el año, el semestre y el trimestre. Además, la tasa de interés es anual. El interés compuesto, generalmente se aplica en cuentas de ahorros y préstamos y sigue un modelo matemático representado por medio de la fórmula:

r  nt  M  C. 1   n  Donde: M es el monto después de t años. C es el capital. r es la tasa de interés anual. n es el número de veces que se calcula el interés al año. t es el tiempo en años.


11 Ejemplo 8: José abre una cuenta con un depósito inicial de S/. 5 000 a un 6% de interés compuesto anual, con una capitalización trimestral. Dos años después, si no se realizan depósitos ni retiros adicionales, ¿cuánto gana o pierde si coloca la misma cantidad a un 5% de de interés compuesto anual, con una capitalización cuatrimestral?. Solución: 

Si el interés es del 6% compuesto trimestral, el monto final será:

0,06   M6  5000  1   4   

4 .2

 5632 ,46

Si el interés es del 5% compuesto cuatrimestral, el monto final será:

0,05   M6  5000  1   3  

3.2

 5521 ,30

Como el segundo monto es menor que el primero, entonces José pierde: 5632,46 – 5521,30 = S/. 111, 16 Ejemplo 9: La señora Martínez invierte 6.000 € en un depósito financiero al 5% anual durante 3 años. No retira los intereses al finalizar cada año, sino que se añaden al capital y se vuelven a reinvertir. ¿Cuál será el capital de la señora Martínez al finalizar el tercer año? Solución:  Al iniciar el depósito dispone de un capital inicial de 6.000 €. C0 = 6.000 €  Al finalizar el primer año recibirá los intereses; por tanto, su capital será:

5   M1  6000  1    6300 100  

 Al finalizar el segundo año vuelve a recibir los intereses del capital que ha tenido en ese año, es decir:

5   M2  6300  1    6615 100  

 Así, repitiendo la operación, al finalizar el tercer año tendrá:

5   M3  6615  1    6945 ,75 100  

Al finalizar el tercer año, la señora Martínez tendrá 6 945,75 €


12 Ejercicios: 18. Se depositan $ 500.00 en un banco a una tasa de interés del 48% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años? 19. Se obtiene un préstamo bancario de $ 15 000 a plazo de un año y con interés del 52% convertible trimestralmente ¿Cuál será el monto a liquidar? 20. Se decide liquidar el préstamo del problema anterior en forma anticipada habiendo transcurrido 7 meses y 1/2. ¿Cuál es la cantidad que debe pagarse? 21. Si $10 000 se invierten al 9% anual capitalizado semestralmente, ¿cuál será el tiempo requerido para que el capital exceda a $30 000? 22. Un fondo de ahorro paga interés a razón de 9% capitalizado diariamente. ¿Cuánto se debe invertir para tener $2 000 al final de 10 semanas?

24. ¿Cuántos años deberán mantenerse S/.20 000 en un banco al 9% anual, si se quiere ganar S/.600 de interés? 25. Una familia hace un plan de ahorros durante 4 años ingresando, al principio de cada año, 3.000 € a un 5% anual de interés compuesto. ¿Cuánto dinero obtendrá al finalizar el plan? 26. Un padre de familia ha colocado en un banco S/. 9 000 al 5% de interés compuesto durante 28 meses. Teniendo en cuenta que los intereses se capitalizan por años, halla el interés producido. Considerando que: t

r   Cf  Ci  1   100  

Si depositas $3 000 a una tasa de interés anual del 9%. Calcula el monto en tu cuenta luego de 2 años, si el interés es: a. Anual b. Semestral c. Trimestral

23. ¿Cuántos años debe permanecer en un banco un capital inicial de S/.80 000 a una tasa del 3% a interés anual compuesto para triplicar su valor?

Datación de vestigios arqueológicos En los materiales radiactivos, la masa disminuye exponencialmente con el tiempo con una tasa que depende de la mayor o menor estabilidad del material radiactivo. Para medirla se emplea el concepto de “vida media”, que es el tiempo que se requiere para que la masa del material disminuya a la mitad del valor original. El dióxido de carbono (CO2) del aire contiene el isótopo radioactivo 14C, así como el isótopo estable de carbono 12 (12C). Las plantas vivas absorben dióxido de carbono del aire, lo que implica que la razón de 14C a 12C en una planta viva (o en un animal que se alimenta de plantas) es la misma que en el aire. Cuando un animal o una planta mueren, la absorción de dióxido de carbono cesa.


El 12C que está es la planta o en el animal permanece igual que en el momento de la muerte (permanece constante), mientras que el 14C decrece y la razón de 14C a 12C, que representaremos por R(t), decrece exponencialmente, esto es R( t )  R0 e  kt

Donde R0 es la razón de 14C a 12C encontrada en la atmósfera (constante), y k es una constante positiva. Al comparar R(t) con R0 se puede estimar la edad de la muestra. Ejemplo 10: Todos los seres vivos, al morir tienen la misma proporción de Carbono 14 en su cuerpo (debido a que lo absorben del medio mientras están vivos). Si el fósil corresponde a un animal que murió hace 10 000 años, ¿Qué proporción conserva de la cantidad inicial de Carbono 14? Solución: t / 5600

Como h = 5 600 años, se tiene que: M(t)  M0 .( 21 ) 10000/ 5600

Así que: M(10000)  M0 .( 21 )

 M0 ( 21 )1,7857  M0 .0,2900

Luego, después de 10 000 años aun queda el 29 % del Carbono 14 original. De este modo se determina la edad de muchos fósiles. Ejemplo 11: Un arqueólogo ha encontrado un fósil en el que la razón de 14C a 12C es 1/3 de la razón encontrada en la atmósfera. ¿Qué edad tiene aproximadamente el fósil? Solución: Por dato R(t) 

R 1 1 R0 , entonces 0  R0ekt   ekt 3 3 3

Como la vida media del

14

C es de 5 600 años,

N0 ln 2  N0e 5600k  k  2 5600

Reemplazando, resulta

1 e 3

ln 2 .t 5600

1 5600 . ln   3   9081 .83513 t  ln 2

Por lo tanto la edad aproximada del fósil es 9,081.83513 años.

Ejercicios: 27. ¿Cuál es la antigüedad de un hueso de un animal que ha perdido el 35% de su C-14?

28. ¿Cuál es la edad de un fósil que solo ha retenido la tercera parte de su contenido de C-14?

13


14 29. ¿Cuál es la edad del hueso de un animal que ha perdido el 30% de su carbono - 14? 30. Una momia descubierta en una pirámide en el Valle de los Reyes había el 46% de su carbono – 14. ¿Cuál es su edad? 31. Una momia se encontró con 1/1000 de la cantidad de C-14 que su organismo contenía mientras vivió. Halla la edad aproximada de la momia.

32. Un fechado realizado en el año 2 000, reveló una antigüedad de 540 años para la momia Juanita, encontrada en el nevado de Ampato. ¿qué cantidad de C-14 tenían sus restos cuando la encontraron? 33. El kriptón-81 se usa en estudios de ventilación pulmonar. Su vida media es de 13 s. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la actividad del isótopo se reduzca a la cuarta parte de su valor original?

Escalas de intensidad sísmica Las escalas de medida de la intensidad de los terremotos más comúnmente utilizadas son de tipo logarítmico. Así, la escala de Richter utiliza una escala logarítmica de base 10, con lo que cada aumento de grado en esta escala no se corresponde con un aumento lineal de la magnitud de un sismo, sino exponencial: un terremoto de grado seis es diez veces menos intenso que uno de grado siete, y cien veces menos que uno de grado ocho. Los sismólogos miden la intensidad de un sismo, en cuestión de segundos mediante la fórmula A R  log P Donde: R es la intensidad del sismo. A es la amplitud en micrómetros. P es período que dura una oscilación de la superficie terrestre, en segundos. Ejemplo 12: En nuestro país hay una franja de la zona sísmica donde convergen la placa de Nazca y la placa Continental. Para medir la magnitud de un sismo se realizan lecturas en un sismógrafo que deben ser representadas en una escala por ejemplo La Escala Richter cuya magnitud se

I   I  , Donde I es la intensidad del terremoto e Io es la intensidad de un  0

halla: M  log

terremoto estándar de referencia. El terremoto de Lima de 1 940 tuvo una magnitud de 8,2 ¿Qué tan intenso fue el sismo de Ica del 15 de Agosto de 2 007 de 7,9 comparado con el de 1 940?


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Solución: 

Por dato M1940  8,2 y M2007  7,9

I  I  M2007  M1 940  log 2007   log 1 940   I0   I0  7,9  8,2  logI2007   logI1 940 I   0,3  log 2007   I1 940  I  2007  10  0,3  0,501 I1940 Luego el sismo de 2007 fue aproximadamente la mitad de intenso que el sismo de 1940

Ejercicios: 34. Calcula la la intensidad de un sismo en la escala de Richter, si la amplitud fue de 15 000 micrómetros y su periodo de 0,2 segundos. 35. En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energía E (en Ergios ) por medio de la fórmula: LogE  11,4  1,5M .Si un terremoto tiene 1000 veces más energía que otro, ¿cuántas veces mayor es su índice de Richter M? 36. ¿Cuál es la razón de la energía del terremoto de San Francisco, ocurrido en 1 906 (M = 8.3), con la del Eureka de 1 980 (M=7) ? 37. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es de 0.1 milímetros a una distancia de 100 kilómetros del epicentro? 38. ¿Cuántas veces es mayor la potencia de un terremoto de grado 7 que otro de grado 5? 39. El devastador terremoto de San Francisco en 1 906 midió 8.9 en la escala de Richter. ¿Cómo se compara este terremoto con el de Papúa, Nueva Guinea, en 1988, que midió 6.7 en la escala de Richter?

40. El geólogo C. F. Richter definió la magnitud de un sismo (o terremoto) como

I R  log  donde I es la intensidad del S

terremoto (medida por la amplitud de oscilación de la aguja de un sismógrafo situado a 100 km del sismo) y S es la intensidad de un movimiento sísmico “mínimo” donde la amplitud es 1 micra = 10−4 cm . El terremoto de San Francisco de 1 989 tuvo una magnitud de 6, 9 en la escala de Richter. El terremoto de 1 906 en la misma ciudad tuvo una intensidad 25 veces mayor. ¿Cuál fue su magnitud en la escala de Richter? 41. El 31 de Mayo de 1 970, un terremoto asoló el callejón de Huaylas durante 45 segundos, causando la destrucción de la ciudad de Yungay y ocasionando aproximadamente 67 000 víctimas. Si a 100 km del epicentro hubiera estado ubicado un sismógrafo, éste habría registrado una lectura de 31 622,77 mm. Determina la magnitud de dicho sismo. 42. En la escala de Richter la magnitud de un terremoto de intensidad I está

 Il   I   0

dada por: R  

a. Halla la intensidad del terremoto de san francisco, ocurrido en 1 906, cuya


16 magnitud fue de 8,3 en la escala de Richter. b. ¿Qué tan intenso fue ese terremoto con relación al de Bay Area World series

c. de 1 989, cuya magnitud fue de 6,9 en la escala de Richter?

Alcohol y conducción de vehículos Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación: R  6e kx

Donde x: es la concentración de alcohol en la sangre k una constante.

Ejercicios: 43. Al suponer una concentración de 0,04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% (R = 10) de sufrir un accidente, ¿cuál es el valor de la constante?. a. Utilice el valor de k e indique cuál es el riesgo para diferentes concentraciones de alcohol (0.17, 0.19, ...). b. Con el mismo valor de k indique la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo del 100%. c. Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente no deben conducir vehículos ¿con cuál concentración de alcohol en la

sangre debe un conductor ser arrestado y multado?. 44. El ser humano elimina, a través de la orina, cierto medicamento que ingiere y la cantidad (en mg) que queda en su cuerpo t horas después está dada por la función

Q(t)  15 .0,8t

¿Cuál es la dosis inicial? Al cabo de 12 horas, ¿cuánta medicina queda en su organismo? ¿Cuánta medicina se ha eliminado luego de 12 horas?

La intensidad sonora Las unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad de un sonido, llamadas belio y decibelio, son en realidad relativa y de naturaleza logarítmica. Así, un decibelio se define en acústica como la décima parte del logaritmo decimal del cociente entre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomada como referencia. 45. La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para hallar el nivel de intensidad que corresponde a intensidad  I   del sonido I es: a  10 log1 0    I0  decibeles, con I0 valor especial de

correspondiente al sonido más débil que puede ser detectado por el oído humano. Determina en los siguientes casos: es 1000 veces más grande que I0 es 10 000 veces más grande que I0 (Este último corresponde al nivel de intensidad promedio de la voz humana).


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Función Exponencial y Logarítmica  

Un breve paseo por algunas aplicaciones de estas funciones con ejercicios propuestos

Función Exponencial y Logarítmica  

Un breve paseo por algunas aplicaciones de estas funciones con ejercicios propuestos

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