Clase 1 y 2_Material by Rubén Cano

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCION RECTORADO Dirección General de Post-graduación Académica

Actualización en Planificación, Economía y Elaboración de Proyectos.

MATERIAL DE CLASE Matemáticas y Estadística I

Msc. María Gloria Paredes de Maldonado 2.005

C CLLA ASSEE 11 yy 22.. UNIDAD I: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 1. Números reales: El conteo fue la primera actividad matemática del hombre primitivo. Número. Definición: expresión de la relación que existe entre la magnitud y la unidad, o bien es el resultado de medir una magnitud. Clasificación: N= Conjunto de números naturales enteros y positivos, sirven básicamente para contar objetos Z= Conjunto de números enteros positivos y negativos, sirven para expresar temperaturas, pérdidas y ganancias. Q= Es el conjunto de los números racionales e incluye a los enteros y el cociente entre ellos (números fraccionarios y decimales) Q’= Es el conjunto de números irracionales e incluye a los enteros, fraccionarios y aquellos que no tienen cantidad exacta de decimales. Ej: π, √ 2, √3

R Q’ Q N

Observaciones: 9 Números fraccionarios o quebrados: Son los expresan una o varias partes iguales de un entero. Una fracción consta de dos términos el denominador , que indica en cuantas partes iguales se ha dividido la unidad, y el numerador, cuántas de esas partes se toman. Ej. 2/7. Clasificación: - Fracción propia: son aquellas en que el numerador es menor que el denominador. Ej. 4/9 (Toda fracción propia es menor que la unidad).

- Fracción impropia: son aquellas en que el numerador es mayor que el denominador. Ej. 9/4 (Toda fracción impropia es mayor que la unidad) 9 Números mixtos: Son aquellos que constan de un entero y de una fracción y para convertirlo a un quebrado se multiplica el entero por el denominador, al producto se añade el numerador y esta suma se parte por el denominador. Ej. 5 2/3 = 17/3 9 Números decimales: son aquellos que representan el cociente de una fracción. Clasificación: - Periódicos puros: Son aquellos cuyas cifras que se repiten aparecen luego del punto decimal. Ej. 0,44444... Conversión a fracción: Se coloca por numerador el periodo y por denominador tantos nueve como cifras tenga el periodo, Ej. 4/9 - Periódicos mixtos: Son aquellos cuyas cifras que se repiten no aparecen luego del punto decimal. Ej. 0,32525. Conversión a fracción: El numerador es igual a la diferencia entre el número formado por la parte no periódica y un periodo, y el número formado por la parte no periódica, y por denominador un número formado por tantos 9 como cifras tiene el periodo y tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica. Ej. Para 0.32525 = (325-3)/990 = 322/990 = 161/495 Ejercicios: Convertir a fracción: 1. 0,888... 2. 3,6666... 3. 0,833... 9 Orden de prelación de las operaciones fundamentales en operaciones combinadas 1. Primero se efectúan las multiplicaciones y divisiones 2. Luego se efectúan las sumas y restas siguiendo la regla de los signos 3. En operaciones combinadas de multiplicación y división, se efectúan las operaciones de izquierda a derecha de acuerdo al orden de aparición. 4. Si en las operaciones aparecen signos de agrupación, primero se efectúan aquellas contenidas entre los paréntesis ( ), luego las de corchete [ ] y por último las de llave  . Ejercicios a- 500 - [ (6-1)x 8::4X3 +16 :(10-2) ] -5 –3 +( √40)2 R: 500 3 b- [ 1.200 – (35 x 9 + 4) x 3] : 3 + [ 30 + 16 √16 – 46 x 4 : 2 ] R: 11 c- (240 x 6 : 3 – 380 x 5 : 5 – 900 : 30 : 15 – 1.800 : 60 x 3) : 8 R: 1

2. Aproximaciones En general, la última cifra entera o decimal de una medición de cualquier magnitud tiene la incertidumbre de que sea o no el valor exacto. Las medidas pueden ser precisas, cuando en sucesivas mediciones siempre se obtiene un valor similar. O exacta, cuanto más se acerca al valor verdadero. Redondeo de datos: Cualquier decimal que se desea aproximar hasta cierto número de cifras convencionalmente fijado, debe incrementarse en una unidad si el que le que sigue excede el valor 5 o es igual, no cambiarlo en caso contrario. Ej. Aproximar 3,5614326 a diezmilésimas 3,5614 Aproximar 72,816 a centésimas 72,82

3. Proporcionalidad. Se forma por la igualdad de dos razones. Clasificación: a) Aritmética (equidiferencias): Si es la igualdad de dos diferencias. Ej. 8-6 = 9 –7 b) Geométrica (equicocientes): Si es la igualdad de dos razones o cocientes. Ej. 8/4 = 10/5, en general si a/b=q y c/d=q, entonces a/b= c/d Tanto por ciento. Tanto por ciento de un número indica una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número. Su signo es %. Ejercicios 1. Hallar el 5 % de 150, significa que 150 se divide en 100 partes iguales y de ellas se toman 5 partes 2. Si con una inversión de $5.000 se obtiene un rendimiento de $300, qué rendimiento corresponde a cada $100 de inversión, consiste en determinar cuanto corresponde a cada unidad invertida de rendimiento y multiplicarlo por la parte deseada a saber. Logaritmo El exponente y al que deberá elevarse un número a para obtener un número x, se llama logaritmo de x en base a, es decir, y=logaX o X=ay Propiedades 1. La función logarítmica es cero para x = 1, 0 = loga 1

2. El logaritmo de una cantidad igual a la base en 1, 1 = loga a 3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos loga ABC = loga A + loga B + loga C 4. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor loga A/B = loga A – loga B 5. El logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al exponente multiplicado por logaritmo de la cantidad loga An = n loga A El logaritmo de un radical es una extensión de lo anterior

4. Progresión Aritmética y Geométrica Progresión aritmética: es una sucesión finita de números llamados términos en la que cualquiera de ellos difiere del anterior en una cantidad fija, llamada razón (r). Dada a, b, c, d ........., u entonces b= a + r , c= b+ r = a + r + r= a + 2r, y así sucesivamente, entonces, el último término u es: u= a + (n-1) r y la suma total de los términos es S = n (a + u) 2 Ejercicio.Hallar el 15° término de la progresión aritmética 4. 7. 10 . . . y la suma de los términos de la serie R. 480 Progresión geométrica: es una sucesión finita de números llamados términos, en la que cualquiera de ellos difiere del anterior en una cantidad fija, llamada razón. Dada a, b, c, d ........., u entonces b= a . r , c= b . r = a . r . r= a . r2 , entonces, u = a . r n-1 y la suma total de los términos es S = u . r – a r-1 Ejercicios. 1. Hallar la suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica 4 : 2 : 1 . . . R. 63/8 2. Un hombre que ahorra los 2/3 de lo que ahorró el año anterior, ahorró el 5° año $160. Cuánto ha ahorrado en los 5 años. R. $ 2.110

5. Funciones. Clasificación y Representación gráfica Una función explica las relaciones de dependencia entre variables, expresada a través de una regla matemática llamada ecuación. Una variable (y) es función de otra (x –univariada-) u otras (x, z, w, etc.multivariadas-) tal que al asignarle valores a (x, z, w) queda definido el valor de (y). Una función se simboliza por y = f (x). La variable (y) se denomina dependiente y las variables (x, z, w) se denominan variables independientes. En teoría de conjuntos, el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente, se denomina dominio y el conjunto de todos los valores para la variable dependiente se denomina rango. Representación gráfica Consiste en la representación de la ecuación en el plano cartesiano, donde cada punto por un par de valores de x (variable independiente) e y (variable dependiente) y se simboliza por P (x;y), la unión de los puntos determinan la forma de la función. Clasificación de funciones Las más utilizadas son: Lineal, exponencial, logarítmica, polinómica

UNIDAD II:. MATEMÁTICA FINANCIERA 1. Interés: Simple y Compuesto Interés Simple: Se dice que una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple cuando se calcula una sola vez los intereses por el tiempo que dura la operación; es decir, los intereses no devengan intereses. Características: 1. El capital inicial no varía durante todo el tiempo de la operación financiera, ya que los intereses no se suman al capital inicial. 2. Como consecuencia de la característica anterior, la tasa de interés siempre se aplicará sobre el capital inicial. 3. Los intereses siempre son iguales en cada periodo. Notación y Fórmula: El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i :

I=C· i· t donde i está expresado en tanto por uno y t en años. M= C + I = C (1 + i. t) ; donde M=Monto, C=capital, I= Interés simple Ejercicios: 1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25.000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Resolución: Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06 I = 25 000· 0,06· 4 = 6 000, El interés es de 6 000 pesos 2. Calcular el interés simple producido por $ 30 000 durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. Resolución: I = C· i· t I = 30000 . 0,05 . 90/360 = $ 375 3. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, $ 970. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año? Resolución: I = C· i· t C= I =

970

i.t

0,02 . 1

48.500

El saldo medio ha sido de $48 500. 4. Un préstamo de 20 000 pesos se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? Resolución: Los intereses han ascendido a: 22 400 - 20 000 = 2 400 pesos I = C· i· t Aplicando la fórmula I = C · i · t i= I = 2.400 = 0,12 , La tasa de interés es del 12 %. C.t 20.000 . 1

5. Un capital de $ 300.000 invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, produjo $12.000 de intereses. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido? Resolución: Aplicando la fórmula I = C · i · t 12 000 = 300 000 · 0,08 · t I = C· i· t t= I = 12.000 = 0,5 C. I 300.000 x 0,08 El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses.

Interés Compuesto: A diferencia del interés simple, para calcular el interés compuesto se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de capitalización, que generalmente son periodos regulares. Características: 1. Los intereses devengan intereses 2. Los intereses son crecientes en cada periodo de capitalización 3. Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo Ejemplo: Periodo

C. Inicial(P)

10%

Intereses(I)

C. Final (F)

1.000

100

1.100

110

1.210

121

1.331

133,10

1.464,10

146,41

1.610,51

Notación y Fórmula: El interés compuesto Y que produce un capital se define por:

Y = c [ ( 1 + i/q)nq - 1] ; C = c ( 1 + i/q)nq Y=C–c Donde... c= Capital inicial n =Tiempo expresado en años i = Tasa de interés anual (tanto por uno) q = Número de capitalización en un año Y = Interés compuesto C= Monto o capital final, a interés compuesto (capital inicial + intereses compuestos). Si q = 1 entonces... Y = c((1+i)n-1) C = c( 1 + i)n

de donde se obtienen los elementos:

c = C/( 1 + i) n n = log C – log c log ( 1 + i) i = (inv log ( log C – log c ) ) - 1 n Ejercicios 1. Averiguar en cuánto se convierte un capital de $1 200 000 al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %. Resolución: Aplicando la fórmula C = c (1 + i )n C = c( 1 + i )n C = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6 El capital final es de $1 763 194.

2. Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en $1 583 945. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. Resolución: c=? ; q =2 Como los intereses se han pagado semestralmente, la fórmula que se ha de aplicar es: c = C/( 1 + i/q) nq

El capital inicial fue de $ 800 000 3. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de $1 500 000 para que al cabo de 4 años se haya convertido en $ 2.360. 279. Resolución: i = ? C = 2 360 279; c = 1 500 000; n = 4

i = (inv log ( log C – log c ) ) n i = 0,12

- 1

La tasa de interés ha sido del 12 %.

2.Valor Presente y Futuro Valor Futuro: El concepto del valor tiempo del dinero considera que siempre existe un costo financiero asociado a los recursos. Es decir, $ 1 de hoy vale más que $ 1 a futuro, por cuanto el dólar recibido hoy puede invertirse inmediatamente para obtener una ganancia que el dólar recibido a futuro no logra obtener. Por ejemplo, $ 1.000 invertidos hoy al 10% anual, permiten obtener una ganancia de $ 100 a recibir en un año. O sea, $ 1.100 de un año más equivalen a $ 1.000 de hoy. Si los $ 1.100 se dejan invertidos por un segundo año, se obtiene una ganancia de $ 110, correspondientes a 10% del capital invertido. Es decir, $ 1.000 de hoy equivalen a $ 1.210 de dos años más.

El valor final o futuro (VF) de un valor presente (VP) se calcula utilizando la siguiente fórmula: VF = VP ( 1 + i) n Donde i es la tasa de rentabilidad exigida y n el número de períodos Ejemplo Determinar el valor final al cabo de cuatro años de un depósito inicial de $ 10.000 en un banco si la tasa de interés real es del 10 % anual. VF = VP ( 1 + i) n VF = VP ( 1 + i) n = 10.000 ( 1 + 0,1) 4 = $ 14.641 Al cuarto año los $ 10.000 se convierten en $ 14.641 a la tasa del 10% anual. Año 1 2 3 4

Monto inicial Interés (10% ) 10,000 11,000 12,100 13,310

Monto final

1,000 1,100 1,210 1,331

11,000 12,100 13,310 14,641

Valor Presente (VP) de un valor futuro (VF) se calcula utilizando la siguiente fórmula despejada de la anterior: VP =

VF ( 1 + i) n

Donde i es la tasa de rentabilidad exigida y n el número de períodos Ejemplo. Determinar cuánto se debe depositar hoy para lograr acumular $ 18.000 al final de 4 años si un Banco ofrece una tasa de interés a los depósitos de un 10% anual. VP =

VF ( 1 + i) n

VP =

VF ( 1 + i) n

18.000 = $ 12.294 4 ( 1 + 0,1)

Se debe depositar hoy $ 12.294 para que al cuarto año se convierta en $ 18.000 a la tasa del 10% anual. Año 1 2 3 4

Monto inicial Interés (10% ) 12,294 13,523 14,876 16,363

Monto final

1,229 1,352 1,488 1,636

13,523 14,875 16,364 18,000

Valor Actual y Valor Final de una serie de pagos iguales Cuando se busca calcular el valor final de una serie de pagos iguales se aplica la siguiente fórmula: n- 1 VF = C ∑ ( 1 + i) t t=0 Donde VF es el valor final de una serie de pagos C, en el período t e i es la tasa de interés. Ejemplo. Determinar cuánto se capitalizarán al final de 3 años, el depósito $ 1.000 anuales, a una tasa de interés del 10% anual.

VF = C

VF = 1.000

( 1 + 0,1) 0 + 1.000

n- 1 ∑ ( 1 + i) t t=0

( 1 + 0,1) 1 + 1.000

( 1 + 0,1) 2 = $ 3.310

Al final del período los pagos equivalen a $ 3.310. Cuando se busca calcular el valor actual de una serie de pagos iguales se aplica la siguiente fórmula: n VP = C ∑ 1 t = 1 ( 1 + i) t Donde VP es el valor actual de una serie de pagos C, en el período t e i es la tasa de interés.

Ejemplo Calcular el valor presente de los mismos depósitos del ejemplo anterior: n VP = ∑ Ct 1 t=1 ( 1 + i) t VA = 1.000

1 + 1.000 1 + 1.000 1 2 ( 1 + 0,1) ( 1 + 0,1) La serie de pagos corresponde hoy a $ 2.487

1 = $ 2.487 3 ( 1 + 0,1)

Cuando se busca calcular el valor actual de una serie de pagos desiguales se aplica el mismo procedimiento, calculando la suma de los valores actuales de cada cuota o pago. Ejemplo Determinar el valor actual de los cinco flujos de $ 2.000, $ 2.600, $ 3.200, $ 3.200 y $ 3.200, a una tasa de actualización del 10%,. Año 1 2 3 4 5 Total

Monto inicial

Factor de descuento (i = 10%)

2,000

1/ ( 1 + 0,1) 1

1,818

2,600

1/ ( 1 + 0,1)

2,149

1/ ( 1 + 0,1)

2,404

2,186

3,200 3,200 3,200

Monto final

1/ ( 1 + 0,1) 1/ ( 1 + 0,1) 5

1,987 10,544

El resultado positivo de $10.544, se obtiene de actualizar el valor de cada flujo anual, multiplicándolo por el factor 1/(1 + 0,1) n . La planilla electrónica facilita los cálculos.

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3.Amortización de préstamos y Construcción del Cuadro del servicio de la deuda La amortización es el proceso financiero que consiste en pagos periódicos iguales o distintos que se realizan para cancelar una deuda que genera intereses; los cuales generalmente son registrados en una tabla de amortización que muestra la distribución de cada pago de la amortización respecto a los intereses que cubre y a la reducción de la deuda. Fondo de amortización: es una cantidad que va acumulándose mediante pagos periódicos los cuales devengan cierto interés de tal modo que en determinado número de períodos se obtenga un valor prefijado. Sistemas de amortización: Existen varios métodos para liquidar una deuda para que el acreedor reciba el interés pactado en su vencimiento y el valor de la deuda al término del plazo. Los más utilizados son el Francés y el Alemán. Método: Sistema Francés Características: 9 La Cuota es constante 9 Los intereses se pagan sobre el saldo de la deuda 9 La amortización real o de capital es variable progresiva Notación y fórmula: C= Valor de la cuota i= Tasa de interés n= Número de cuotas P= Monto del Préstamo C=P

i(1+i)n (1+i)n - 1

C=P

i(1+i/q)nq (1+i/q)nq - 1

cuando q = 1

cuando q no es anual

Ejercicios 1. Calcular la cuota anual que se debe pagar para cancelar una deuda de $500.000 en 8 años a una tasa de 6% de interés anual. R: $ 80.517,97 2. Determinar la cuota mensual que se debe pagar para cancelar una deuda de $ 1.500.000 en 5 años a la tasa del 1% de interés mensual. R: 33.366,67 3. Calcular la cuota semestral que se debe pagar para cancelar una deuda de $ 20.000 en 10 años a la tasa del 12% de interés anual con capitalización semestral de intereses. R: 1.743,69 4. En cuantos años se podrá cancelar una deuda de Gs. 1.800.000 si se pagan cuotas anuales de Gs.166.085,82 y la tasa de interés anual es del 5%. R: n=16 años Método: Sistema Alemán Características: 9 La Cuota variable decreciente (progresión aritmética) 9 Los Intereses se pagan sobre el saldo de la deuda 9 La Amortización real o de capital es constante Notación y fórmulas: C= Valor de la cuota a= Valor de la cuota de amortización P= Monto del préstamo n= Período del préstamo o número de cuotas i= Tasa de interés a = P/n

C= a + i

Ejercicio 1. Determinar el valor de la amortización para un préstamo de $ 20.000 que se debe amortizar al 6% de interés anual en 10 años mediante el sistema alemán. R: $ 2.000

CONSTRUCCIÓN DEL CUADRO DE AMORTIZACIÓN O TABLA DEL SERVICIO DE LA DEUDA Una vez determinado el método a utilizar para la cancelación de la deuda, los pasos a seguir son: Sistema Francés N° 1 Se establece el valor de la cuota que es constante 2 Los intereses se calculan sobre el saldo de la deuda La amortización se determina para cada período,

3 restando el interés de cada período, de la cuota 4 5

6 7

constante La deuda disminuye en cada período en la cuantía de la amortización El saldo del último período constituye la última amortización, este se resta de la cuota constante para determinar el interés correspondiente al último período (para ajustar) El interés más la amortización, es igual a la cuota constante La amortización es creciente y el interés decreciente

Alemán Se establece el valor de la amortización que es constante Los intereses se calculan sobre el saldo de la deuda La cuota variable decreciente(progresión aritmética) se determina para cada período sumando la amortización constante y el interés variable de cada período La deuda disminuye en cada período en la cuantía de la amortización El saldo del último período constituye la última amortización

La amortización es constante y el interés variable decreciente

Ejercicios 1. Construir la tabla del servicio de la deuda correspondiente a Gs. 10.000.000, que se cancelará en 7 años teniendo un período de gracia de 2 años y una tasa de interés anual del 8%. Comparar los resultados obtenidos por los métodos Alemán y Francés. 2. Un préstamo $ 500.000 se debe cancelar en 5 semestres a la tasa del 6% de interés semestral. Construir la tabla del servicio de la deuda considerando el Sistema alemán de amortización. 3. Construir la tabla del servicio de la deuda para un préstamo de $ 50.000 que se ha contratado en las siguientes condiciones: Duración del préstamo: 13 años, durante los tres primeros años se pagan intereses al 5%, los siguientes 5 años al 5,25% y los 5 últimos años al 5,34%, siendo la amortización constante. Sería conveniente pagar el préstamo sin año de gracia o con dos años de gracia. La planilla electrónica facilita los cálculos.

4.Valor Actual Neto (VAN) El Valor Actual Neto o Valor Presente Neto, es la diferencia de la sumatoria de los valores actuales del flujo de ingresos o beneficios brutos y la sumatoria de los valores actuales del flujo de egresos o costos.

VAN =

n ∑ t=0

( 1 + i) t

n ∑

t=0

( 1 + i) t

También es equivalente a la suma algebraica de los valores actuales, de la diferencia de los beneficios y costos.

La fórmula utilizada es:

VAN =

n ∑ t=0

Yt - E t ( 1 + i) t

n = ∑ t=0

BNt ( 1 + i) t

Donde ..... VAN = Valor Actual Neto Y = Ingresos o Beneficios brutos del período considerado E = Egresos o Costos del período considerado i = Tasa de descuento o actualización (es el costo de oportunidad del capital ) t = El período considerado n = Número total de períodos BN = Beneficio Neto que es la diferencia de los Ingresos y los Egresos Los criterios de interpretación son: VAN > 0 Muestra un excedente después de haber recuperado y remunerado todos los desembolsos, a la tasa de descuento utilizada VAN < 0

Significa que el flujo de beneficios no permitirá recuperar y remunerar la inversión a la tasa utilizada.

VAN = 0

Indica la igualdad del flujo de beneficios netos a una tasa i

Ejercicio 1. Dado los siguientes flujos de beneficios y costos en $. Determinar el Valor Actualizado Neto, utilizando una tasa de descuento del 10 % y otra del 15%. Comparar los resultados obtenidos. Año

Costo Ingreso o Beneficio Neto Beneficio

0 1 2 3 4 5

600 500 700 900 900 900

--400 800 1.200 1.200 1.200

-600 -100 100 300 300 300

Factor de descuento (i = 10%) 0

1/ ( 1 + 0,1) 1 1/ ( 1 + 0,1) 2 1/ ( 1 + 0,1) 3 1/ ( 1 + 0,1) 4 1/ ( 1 + 0,1) 5 1/ ( 1 + 0,1)

1,000000 0,909091 0,826446 0,751315 0,683013 0,620921

Beneficio Neto actualizado (10%)

-600 -91 83 225 205 186

Factor de descuento (i = 15%) 0

1/ ( 1 + 0,15) 1 1/ ( 1 + 0,15) 2 1/ ( 1 + 0,15) 3 1/ ( 1 + 0,15) 4 1/ ( 1 + 0,15) 5 1/ ( 1 + 0,15)

1,0000 0,8696 0,7561 0,6575 0,5718 0,4972

VAN

Beneficio Neto actualizado (15%)

-600 -87 76 197 172 149

-93

Con i = 10% se obtuvo una ganancia de $ 8 después de haber recuperado y remunerado todos los desembolsos Con i =15%

faltan $ 93 para recuperar y remunerar la inversión

2. Determinar el VAN de los siguientes flujos generados a una tasa del 12% y otra del 14%. Año

Costo Ingreso o Beneficio Neto Beneficio

0 1 2 3 4

417 100 100 300 300

--200 200 500 500

-417 100 100 200 200

Factor de descuento (i = 12%) 1/ ( 1 + 0,12) 0 1/ ( 1 + 0,12)

1/ ( 1 + 0,12) 2 1/ ( 1 + 0,12) 3 1/ ( 1 + 0,12) 4

VAN

1,000000 0,892857 0,797194 0,711780 0,635518

Beneficio Neto actualizado (12%)

-417 89 80 142 127

Factor de descuento (i = 14%) 0

1/ ( 1 + 0,14) 1 1/ ( 1 + 0,14) 2 1/ ( 1 + 0,14) 3 1/ ( 1 + 0,14) 4 1/ ( 1 + 0,14)

1,0000 0,8772 0,7695 0,6750 0,5921

Beneficio Neto actualizado (14%)

-417 88 77 135 118

Con i = 12% se obtuvo una ganancia de $ 21 después de haber recuperado y remunerado todos los desembolsos Con i =14% se obtuvo una ganancia de $ 1 después de haber recuperado y remunerado todos los desembolsos

5. Tasa Interna de Retorno La tasa interna de retorno (TIR) se define como aquella tasa de interés que iguala el valor actual de los egresos generados por una inversión con el valor actual de los ingresos producidos por la misma, es decir, es aquella tasa que hace al VAN de la inversión igual a cero. El valor se obtiene por interpolación lineal entre dos VAN (uno positivo y otro negativo) Notación y Fórmula: n VAN = ∑ t=0

Yt - E t ( 1 + i) t

n = ∑ t=0

BNt = t ( 1 + i)

Donde la TIR es la tasa de interés i que hace que el VAN (Valor Actual Neto) del BN del flujo en el período t sea igual a cero. El criterio de interpretación consiste en comparar el valor obtenido con la tasa de descuento exigida a la inversión: TIR > i

indica hasta cuanto se podría aumentar la tasa de descuento exigida

TIR < i

indica hasta cuanto se tendría que disminuir la tasa de descuento exigida

Cálculo: Para determinar el valor de la TIR se realiza la interpolación lineal entre las tasas de descuento con las que se obtienen un VAN positivo y otro negativo, es decir existe un cambio de signo en el VAN, lo que implica que considerando el VAN como función lineal de i, entonces:

Tasa de interés i (%) i1 i2

VAN ($) VAN 1 = (+) VAN 2 = (- )

VAN en función de i 2000 VAN $

1000

TIR 0 25

-1000

-2000 Tasa de interés i %

TIR = i1 + ∆i ∆i =

VAN > 0 (i2 – i1) VAN > 0 +  VAN < 0 

Ejercicio 1.Calcular la TIR para una empresa que presenta el siguiente flujo de caja. Año Flujo

0 -27000

1 13000

2 8000

3 9000

4 4000

5 4000

6 19000

Actualizando el flujo a las tasas de 25% y 30% se detectan un cambio de signo, por lo tanto en este intervalo debería encontrarse el valor de la TIR. Año

Flujo

0 1 2 3 4 5 6

-27.000 13.000 8.000 9.000 4.000 4.000 19.000

Factor de descuento (i = 25%)

Beneficio Neto

actualizado (20%)

Beneficio Neto actualizado (25%)

Factor de descuento (i = 30%)

1/ ( 1 + 0,25) 0

1,000000

-27.000

1/ ( 1 + 0,30) 0

1,000000

-27.000

1/ ( 1 + 0,27)

1/ ( 1 + 0,25) 1

0,800000

10.400

1/ ( 1 + 0,30) 1

0,769231

10.000

1/ ( 1 + 0,27)

1/ ( 1 + 0,25) 2

0,640000

5.120

1/ ( 1 + 0,30) 2

0,591716

4.734

1/ ( 1 + 0,27)

1/ ( 1 + 0,25) 3

0,512000

4.608

1/ ( 1 + 0,30) 3

0,455166

4.096

1/ ( 1 + 0,27)

1/ ( 1 + 0,25) 4

0,409600

1.638

1/ ( 1 + 0,30) 4

0,350128

1.401

1/ ( 1 + 0,27)

1/ ( 1 + 0,25) 5

0,327680

1.311

1/ ( 1 + 0,30) 5

0,269329

1.077

1/ ( 1 + 0,27)

1/ ( 1 + 0,25) 6

0,262144

4.981 1.058

1/ ( 1 + 0,30) 6

0,207176

3.936 -1.756

1/ ( 1 + 0,27)

VAN

Tasa de interés I (%) i1 = 25 i2 = 30

Beneficio Neto

Factor de descuento (i = 27%)

actualizado (27%)

1,0000

-27.000,0000

0,7874

10.236,2205

0,6200

4.960,0099

0,4882

4.393,7096

0,3844

1.537,6062

0,3027

1.210,7135

0,2383

4.528,2592 -133

VAN ($) VAN 1 = 1.058 VAN 2 = -1.756

Cálculo del valor de la TIR por interpolación lineal: ∆i =

VAN > 0 (i2 – i1)

VAN > 0 +  VAN < 0 

1.058 (0,30 – 0,25) = 1,8 1058 + 1763

TIR = i1 + ∆i = 0,25 + 1,8 = 0,268*100 = 27%

2.Calcular la TIR para una empresa que ha realizado una inversión inicial de $10.000 y ha presentado el siguiente Flujo de Caja. Año Flujo

0 -10.000

1 2.000

2 2.600

3 3.200

4 3.200

5 3.200

3.Calcular la TIR para una empresa que presenta el siguiente flujo de caja. Año Flujo (miles)

0 -486

1 -350

2 130

3 350

4 600

5 600