El seudónimo de Dios J. L. Fernández Pérez
TEOREMA. Sea Ω un dominio en el plano cuyo complemento tiene capacidad nula. Entonces, hay una ∞
función f analítica en el disco unidad D, f ( z ) = ∑ an z n , que cumple n =0
i) f (D) ⊂ Ω ii) || lim supn → ∞ | an |≥ A || Ω ||B donde || Ω ||B es el radio del mayor disco que cabe en Ω.
Quizás pueda sorprender algo que este modo de pensar probabilístico se pueda incluso adaptar para ayudar a entender el comportamiento a largo plazo de las geodésicas de las superficies completas de curvatura negativa. Ahí hay poco margen para el azar, aparentemente, porque si nos situamos en un punto de la superficie y elegimos una dirección en que movernos de forma óptima, el camino geodésico a seguir está completamente determinado, y se tarda una eternidad en recorrerlo a velocidad constante. Para ello conviene estar versado en las sutilezas y familiarizado con los vericuetos de las superficies de Riemann a que las funciones holomorfas dan lugar, como se vanaglorian de estarlo los miembros de la tendencia Teoría Geométrica de Funciones, lealmente integrados, ¡oiga!, en la secta de la Variable Compleja. Un ejemplo 75 : consideremos una superficie completa de curvatura negativa M, no compacta para obviar situaciones triviales, fijemos un punto cualquiera p, y sea I el conjunto de aquellas direcciones para las que la geodésica que parte en esa dirección se alejan indefinidamente de p.
TEOREMA. Hay sólo tres posibilidades: i) si M es tiene área finita, I es numerable; ii) si M tiene área infinita y no tiene función de Green, I tiene dimensión 1 y medida nula; iii) si M tiene función de Green, I tiene medida plena.
A
P
E
R
T
U
R
A
La relación entre objetos (matemáticos) tan deterministas como las funciones analíticas de la Variable Compleja y la Teoría de la Probabilidad es asombrosa, y aunque viene de lejos, sigue fascinando 74 a los investigadores. Tuve la suerte de ser iniciado en esa mística conexión por Albert Baernstein II y he tenido la fortuna de compartirla, aprendiendo y disfrutando, con José M. Rodríguez, José G. Llorente, Mavi Melián, Domingo Pestana, Alicia Cantón y Ana Granados y con el tardano Juan José Arrieta.
¡No hay gradaciones ni situaciones intermedias!
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Para muestra reciente: la teoría de las ecuaciones de Loewner estocásticas, cf. Basic properties of SLE, de Steffen Rohde y Oded Schramm (Annals of Mathematics, 161 (2005), 883–924.) 75 Escaping geodesics of Riemannian surfaces, con Mavi Melián (Acta Mathematica, 187 (2000) 213-236).
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Vol. 70
abril de 2009
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