Revista NÚMEROS - Volumen 71, Agosto 2009 by Revista Números

Nร MEROS Revista de Didรกctica de las Matemรกticas Agosto de 2009

Volumen 71

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemรกticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, página 2

Números es una revista de didáctica de las matemáticas, desde infantil hasta la universidad, aunque preferentemente atiende la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación, así como artículos sobre las Matemáticas y de divulgación matemática. En general, se debe atender a su utilidad directa en el aula, o a la formación de los profesores. También se publicarán recensiones de libros e informaciones relacionadas con la actividad docente. El principal criterio para determinar la aceptación de un trabajo será su calidad; en este sentido, debe tratar un asunto de interés, estar bien escrito y ser claro. Directores Alicia Bruno (Universidad de La Laguna) y Antonio Martinón (Universidad de La Laguna)

Comité editorial Hugo Afonso (“La Caixa”), Dolores de la Coba (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo, La Laguna), Miguel Domínguez (Instituto Educación Secundaria Garoé), Fátima García (Centro de Formación ARHAT), Fernando León (Instituto Educación Secundaria San Hermenegildo), Antonio Ramón Martín Adrián (Colegio Público Aguamansa), María Aurelia Noda (Universidad de La Laguna), Josefa Perdomo Díaz (Instituto Educación Secundaria Adeje 2), Inés Plasencia (Universidad de La Laguna).

Consejo asesor José Luis Aguiar (Instituto Educación Secundaria Agustín de Betancourt), Claudi Alsina (Universidad Politécnica de Catalunya), Abraham Arcavi (Instituto Científico Weizmann), Luis Balbuena (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo), Carmen Batanero (Universidad de Granada), Lorenzo Blanco (Universidad de Extremadura), Teresa Braicovich (Universidad Nacional del Comahue, Argentina), Juan Contreras (Inspección Educativa de Canarias), Norma Cotic (Centro de Investigación Educativa, Buenos Aires, Argentina), Manuel Fernández (Colegio Público Punta del Hidalgo), Joaquim Giménez (Universitat de Barcelona), Juan Antonio García Cruz (Universidad de La Laguna), Jacinto Quevedo (Grupo 17-29), Tomás Recio (Universidad de Cantabria), Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), Arnulfo Santos (Instituto Educación Secundaria Doctor Antonio González y González)

Edita Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Apartado 329. La Laguna. Tenerife ISLAS CANARIAS Email: administracion@sinewton.org Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas Presidenta: Ana Alicia Pérez Hernández Vicepresidente: Luis Francisco López García Secretaria General: Mª Nila Pérez Francisco Vicesecretaria: Carmen Mª Tavío Alemán Secretario de actas: Jesús Manuel Méndez Méndez Bibliotecaria: Zoraida de Armas Ravelo Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Marcos Eloy Morales Santana (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de abril, agosto y diciembre.

Foto portada: Luis Balbuena

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 3–4

Índice

Editorial Darwin y la teoría de la evolución A. Bruno, A. Martinón

Apertura Darwin: más allá de la evolución Francisco J. Ayala

7-12

Monográfico: Darwin Darwinismo y Matemáticas Elena Ausejo

Introducción a la Computación Evolutiva Belén Melián Batista, José A. Moreno Pérez, J. Marcos Moreno Vega

Algoritmos Genéticos. Una visión práctica Belén Melián Batista, José A. Moreno Pérez, J. Marcos Moreno Vega

13-19

21-27

29-47

Artículos La evolución de la tecnología computacional y su relación con la educación matemática

49-56

Ramón Sebastián Salat Figols

Percepción geométrica de los productos notables y de la media geométrica

57-74

Julio Barreto García

Contextos y estrategias en la resolución de problemas de primaria Beatriz Blanco Otano, Lorenzo J. Blanco Nieto

Matemáticas para detectar y corregir errores Mikel Lezaun Iturralde Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

75-85 87-100

Índice (continuación)

Secciones Experiencias de aula Crisis económica: matemática financiera para 4.º de ESO

101-124

C. Duque Gómez, E. Mª Quintero Núñez

Problemas Un problema que se repite, algunas soluciones y la vendimia del señor Negramol, con un número misterioso. Problemas Comentados XXII

125-131

J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

En la red WEB para la enseñanza de la Estadística

133-137

Antonia Gil Armas

Juegos Estrategias simples (y no tan simples) para los juegos de NIM

139-147

J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

Leer Matemáticas Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números. Carlo Frabetti Reseña: Josefa Perdomo Díaz 32–2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática. Jesús M.ª Goñi Zabala Reseña: Carolina Guerrero Ortiz

Informaciones

149-150 151-153

155-159

Normas para los autores

Vol. 71

agosto de 2009

NÚMEROS

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, página 5

Darwin y la teoría de la evolución Alicia Bruno y Antonio Martinón, Directores Se conmemora este año el bicentenario del nacimiento de Charles Darwin (1809-1882) y los ciento cincuenta años de la publicación de El origen de las especies (1859), su obra más notable, en la que presenta su teoría de la evolución y explica el procedimiento de la selección natural, hasta donde era posible entonces, antes de los avances de Mendel en Genética. La aportación de Darwin se considera justamente uno de los puntos álgidos en la historia de la Ciencia, especialmente de la Biología, comparable a la obra de Copérnico, Kepler o Newton en Astronomía.

E L

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Confiamos que la lectura de estos artículos resulte de utilidad a los profesores y les permita hablar de Darwin y la teoría de la evolución en sus clases de matemáticas.

El profesor Francisco J. Ayala, una de las autoridades mundiales en biología evolutiva, reconocido con numerosas distinciones, nos presenta las ideas básicas en su Darwin: más allá de la evolución. La profesora Elena Ausejo, de la Universidad de Zaragoza, directora de la revista LLULL y secretaria de la Comisión Internacional de Historia de las Matemáticas, escribe sobre Darwinismo y Matemáticas. Por último, los profesores Belén Melián, José A. Moreno y J. Marcos Moreno, de la Universidad de La Laguna y expertos en Inteligencia Artificial, realizan dos aportaciones para este volumen: Algoritmos genéticos. Una visión práctica e Introducción a la computación evolutiva.

Incluimos cuatro artículos en la parte monográfica de este volumen. Nuestra gratitud hacia sus autores es enorme y aquí reconocemos su generosa contribución.

En este volumen de Números hemos querido sumarnos a esta conmemoración y dedicamos parte del mismo a Darwin y la teoría de la evolución. Aunque pueda pensarse que poco tiene que ver con las Matemáticas, aquí ofrecemos varios trabajos en los que se muestra que no es cierta esa idea y que se pueden ofrecer relaciones entre nuestra disciplina y la evolución. Debemos avanzar hacia una enseñanza integral, en la que sean menores los compartimentos disciplinares y más amplios los espacios interdisciplinares, en la que la Ciencia se presente a los alumnos de manera más unificada.

Nuestro protagonista participó en el viaje del HMS Beagle, que zarpó el 27 de diciembre de 1831. En enero de 1832 el barco estaba en las aguas de Canarias y Darwin, como tantos otros naturalistas europeos, deseaba visitar Tenerife, lo que finalmente no fue posible debido a una epidemia de cólera. Durante casi cinco años el barco dio la vuelta alrededor del mundo y Darwin conoció un gran número de especies, lo que constituye la base experimental sobre la que sustentó su teoría de la evolución. El periplo del Beagle concluyó el 2 de octubre de 1836, cuando arribó en la costa inglesa.

La obra de Darwin vino a ofrecer una teoría global de la Biología, en la que se explica cómo a partir de formas extremadamente simples de vida se ha alcanzado la enorme complejidad de algunos seres y la extensa variedad de las especies.

Del mismo modo que los avances en la descripción del universo, la teoría de la evolución supuso un cambio cultural de primera magnitud, modificando la cosmovisión de los seres humanos, la propia idea que el hombre tiene de sí mismo.

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 7–12

Darwin: más allá de la evolución 1 Francisco J. Ayala (University of California, Irvine) Fecha de recepción: 26 de junio de 2009 Artículo solicitado al autor por la revista

P E

La segunda proposición es que la selección natural es un proceso creativo que puede explicar la aparición de novedad genuina. El poder creativo emerge de una interacción distintiva entre azar y necesidad, o entre procesos al azar y deterministas.

En el presente artículo, expongo dos proposiciones. La primera es que la contribución intelectual más significativa de Darwin es que llevó el origen y la diversidad de los organismos al dominio de la ciencia. La revolución copernicana consistió en un compromiso con el postulado de que el universo está gobernado por leyes naturales que explican los fenómenos naturales. Darwin complementó la revolución copernicana extendiendo ese compromiso al mundo viviente.

Charles Robert Darwin (1809-1882) ocupa un lugar preeminente en la historia de las ideas, siendo justamente reconocido como el autor original de la teoría de la evolución. En El origen de las especies, publicado en 1859, acumuló pruebas que demostraban la evolución de los organismos. Pero Darwin logró algo mucho más importante para la historia intelectual que demostrar la evolución. De hecho, acumular pruebas de la descendencia común con diversificación fue un objetivo subsidiario de la obra maestra de Darwin. El origen de las especies es, primero y ante todo, un esfuerzo sostenido por resolver el problema de explicar de manera científica el diseño de los organismos. Darwin trata de explicar las adaptaciones de los organismos, su complejidad, diversidad y maravillosos ingenios como resultado de procesos naturales. La evidencia de la evolución surge porque la evolución es una consecuencia necesaria de la teoría del diseño de Darwin.

Una versión considerablemente modificada de este artículo, ha sido publicada en Omnis Cellula (2009, número 21), con el titulo “El disseny imperfecte de la vida”.

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Los descubrimientos de Copérnico, Kepler, Galileo y Newton en los siglos XVI y XVII gradualmente extendieron la noción de que la razón humana podía explicar el funcionamiento del universo. Se demostró que la Tierra no era el centro del universo, sino un pequeño planeta girando alrededor de una estrella mediana; que el universo es inmenso en el espacio y el tiempo; y que los movimientos de los planetas alrededor del sol pueden explicarse por las mismas leyes simples que dan cuenta del movimiento de los objetos físicos en nuestro planeta. Estos descubrimientos y otros expandieron enormemente el conocimiento humano, pero la revolución intelectual que produjeron estos científicos fue más fundamental; un compromiso con el postulado de que el universo obedece leyes inmanentes que explican los fenómenos naturales. Los fenómenos del universo se llevaron al dominio de la ciencia: la explicación a través de las leyes naturales. Los fenómenos físicos podían ser explicados siempre y cuando se conociese adecuadamente las causas.

Los Comienzos de la Ciencia Moderna

Darwin: más allá de la evolución F. J. Ayala

Pero la revolución copernicana había dejado sin explicación científica el origen de los organismos y sus maravillosas adaptaciones, y los atribuía al diseño de un Creador omnisciente. Dios había creado las aves y las abejas, los peces y los corales, los árboles del bosque y, lo mejor de todo, los humanos. Dios nos había dado ojos para que pudiésemos ver y Él había dotado a los peces con agallas para respirar bajo el agua. Los filósofos y los teólogos argumentaban que el diseño funcional de los organismos pone de manifiesto la existencia de un Creador omnipotente y omnisciente. Donde quiera que haya diseño, hay diseñador; la existencia de un reloj delata la existencia de un relojero. Un ejemplo bien conocido de este tipo de argumento es el del teólogo inglés William Paley. En su Natural Theology (1802) elaboró el argumento a favor del diseño como una demostración convincente de la existencia del Creador, trazando una comparación entre el diseño obvio de un reloj y el diseño aparente de un ojo humano. Pocas décadas después los Bridgewater Treatises ("Tratados de Bridgewater") publicados entre 1833 y 1840, fueron escritos por científicos y filósofos eminentes para exponer "el Poder, la Sabiduría y la Bondad de Dios manifestadas a través de la Creación". La estructura y mecanismos de la mano humana eran citadas, por ejemplo, como prueba incontrovertible de que la mano ha sido diseñada por el mismo Poder omnisciente que había creado el mundo. Los avances de las ciencias físicas habían impulsado, por tanto, nuestra concepción del universo hacia una personalidad esquizofrénica que persistió hasta la mitad del siglo XIX. Las explicaciones científicas, derivadas de las leyes naturales, dominaban el mundo de la materia inanimada, así en la Tierra como en el firmamento. Las explicaciones sobrenaturales, que dependían de los designios inescrutables del Creador, daban cuenta del origen y la configuración de las criaturas vivas —las realidades del mundo más diversas, complejas e interesantes. Esta esquizofrenia fue resuelta por el genio de Darwin.

Darwin Charles Darwin fue hijo y nieto de médicos. Se matriculó como estudiante de medicina en la Universidad de Edimburgo. Sin embargo, después de dos años abandonó Edimburgo y se trasladó a la Universidad de Cambridge para proseguir sus estudios y prepararse para ser clérigo. No fue un estudiante excepcional, pero estaba profundamente interesado en la historia natural. El 27 de diciembre de 1831, unos meses después de su graduación en la Universidad de Cambridge, Darwin zarpó, como naturalista, a bordo del HMS Beagle en un viaje alrededor del mundo que duró hasta octubre de 1836. Con frecuencia desembarcaba en las costas para realizar viajes prolongados al interior con el objeto de recoger especímenes de plantas y animales. El descubrimiento de huesos fósiles pertenecientes a grandes mamíferos extinguidos en Argentina y la observación de numerosas especies de pájaros pinzones en las Islas Galápagos estuvieron entre los acontecimientos que se considera estimularon el interés de Darwin en cómo se originan las especies. Las observaciones que efectuó en las islas Galápagos quizá hayan sido las que tuvieron más influencia sobre el pensamiento de Darwin. Las islas, en el ecuador a 900 kilómetros de la costa oeste de Sudamérica, habían sido llamadas Galápagos por los descubridores españoles debido a la abundancia de tortugas gigantes, distintas en diversas islas y diferentes de las conocidas en cualquier otro lugar del mundo. Las tortugas se movían perezosamente con un ruido metálico, alimentándose de la vegetación y buscando las escasas charcas de agua fresca existentes. Habrían sido vulnerables a los depredadores, pero éstos brillaban por su ausencia en las islas. En las Galápagos, Darwin encontró grandes lagartos, que a diferencia de otros ejemplares de su especie se alimentaban de algas y sinsontes, bastante diferentes de los hallados en el continente sudamericano. Los pinzones variaban de una isla a otra en diversas características, notables sus picos distintivos, adaptados para hábitos alimentarios dispares: cascar nueces, sondear en busca de insectos, atrapar gusanos.

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Darwin: más allá de la evolución F. J. Ayala

Además de El origen de las especies (1859), Darwin publicó numerosos libros, en especial The Descent of Man and Selection in Relation to Sex (1871), que extiende la teoría de la selección natural a la evolución humana.

¿Diseño Inteligente? Un movimiento reciente, iniciado en Estados Unidos, pero que se está extendiendo a través del mundo, es el conocido como “Diseño Inteligente”. Dicen sus proponentes que el azar no puede dar una explicación satisfactoria del ojo, claramente diseñado para ver, o de las alas, obviamente diseñadas para volar, o de las agallas, específicamente diseñadas para respirar en el agua. Solo Dios, el gran “Diseñador Inteligente”, puede dar cuenta de la organización funcional de los seres vivos. Creyentes de buena voluntad aceptan estas ideas porque parecen ser prueba de la existencia de Dios y su acción creadora.

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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Si la explicación de Darwin de la organización adaptativa de los seres vivos es correcta, la evolución necesariamente es una consecuencia de que los organismos se adapten a diversos entornos en distintos lugares, y de las condiciones siempre cambiantes del entorno a lo largo del tiempo, y a que las variaciones hereditarias estén disponibles en un momento determinado y mejoren las oportunidades de los organismos de sobrevivir y reproducirse. La evidencia de la evolución biológica del Origen se halla en el centro de la explicación que Darwin da del “diseño,” porque esta explicación implica que la evolución biológica ocurre. Pero el cambio evolutivo no lo fomenta directamente la selección natural y, por tanto, no es su consecuencia necesaria. De hecho, algunas especies pueden permanecer sin

A consecuencia de la selección natural, los organismos exhiben “diseño”, esto es, exhiben órganos y funciones adaptativas. Pero el diseño de los organismos tal como éstos existen en la naturaleza no es “diseño inteligente”; más bien, es el resultado de un proceso natural de selección, que fomenta la adaptación de los organismos a sus entornos. Así es como funciona la selección natural: los individuos que tienen variaciones beneficiosas, es decir, variaciones que mejoran su probabilidad de supervivencia y reproducción, dejan más descendientes que los individuos de la misma especie que tienen menos variaciones beneficiosas. En consecuencia, las variaciones beneficiosas se incrementarán en frecuencia a lo largo de las generaciones; las variaciones menos beneficiosas o perjudiciales serán eliminadas de la especie. Con el paso del tiempo, todos los individuos de la especie poseerán las características beneficiosas; nuevas características continuarán acumulándose durante eones de tiempo.

Consideremos un ejemplo. El veinte por ciento de todos los embarazos abortan espontáneamente durante los dos primeros meses de la preñez. El número sube a veinte millones de abortos en el mundo cada año. Los proponentes del diseño inteligente implícitamente atribuyen este desastre al diseño (incompetente) del Creador, con lo cual le convierten en un abortista de magnitud gigantesca. La teoría de la evolución explica esta calamidad como consecuencia de la selección natural, proceso torpe y azaroso. El Dios de la revelación y la fe cristiana es un Dios de amor, misericordia y sabiduría. La teoría de la evolución es compatible con la fe, mientras que el diseño inteligente no lo es.

Sin embargo, las implicaciones del diseño inteligente son radicalmente contrarias a lo que sus proponentes (que característicamente no son ni científicos ni teólogos) arguyen. El mundo de la vida está lleno de imperfecciones, defectos, sufrimiento, crueldad, y aun sadismo. La espina dorsal esta mal diseñada, los depredadores devoran cruelmente sus presas, los parásitos solo pueden vivir si destruyen a sus huéspedes, quinientos millones de personas sufren de la malaria y un millón y medio de niños mueren por su causa cada año. No parece apropiado atribuir los defectos, la miseria y la crueldad que predominan en el mundo viviente al diseño específico del Creador.

Darwin: más allá de la evolución F. J. Ayala

cambios durante largos períodos de tiempo, como los Nautilus, Lingula y otros llamados “fósiles vivos,” organismos que han permanecido inalterados en su aspecto durante millones de años.

Selección Natural

A veces se tiene la idea de que la selección natural es un proceso puramente negativo, la eliminación de mutaciones perjudiciales. Pero la selección natural es mucho más que eso, pues es capaz de generar novedad al incrementar la probabilidad de combinaciones genéticas que de otro modo serían extremadamente improbables. La selección natural es pues un proceso creativo. No “crea” las entidades componentes sobre las cuales opera (las mutaciones genéticas), pero produce combinaciones adaptativas que no podrían haber existido de otro modo. La combinación de unidades genéticas que porta la información hereditaria responsable de la formación del ojo de los vertebrados no se hubiera producido jamás por un mero proceso aleatorio. Ni siquiera aunque tengamos en cuenta los más de tres mil millones de años durante los cuales ha existido la vida sobre la Tierra. Pero la evolución no es un proceso gobernado por acontecimientos fortuitos. La complicada anatomía del ojo, al igual que el exacto funcionamiento del riñón, son el resultado de un proceso no azaroso: la selección natural. La selección natural produce combinaciones de genes que de lo contrario serían muy improbables porque es un proceso que avanza por etapas. El ojo humano no apareció súbitamente en toda su perfección actual. Nuestros antepasados tuvieron durante más de quinientos millones de años cierta clase de órganos sensibles a la luz. La percepción de luz, y más tarde la visión, eran importantes para la supervivencia de estos organismos y su éxito reproductivo. En consecuencia, la selección natural favoreció los genes y las combinaciones genéticas que aumentaban la eficacia funcional del ojo. Dichas unidades genéticas se acumularon de forma gradual, conduciendo finalmente al ojo de los vertebrados, de alta complejidad y eficacia. La selección natural es un proceso creativo, aunque no crea los materiales en bruto – los genes – sobre los cuales actúa. Un ingeniero tiene una preconcepción de lo que quiere diseñar y escogerá los materiales adecuados y modificará el diseño de modo que cumpla la función pretendida. Por el contrario, la selección natural no tiene previsión, ni opera de acuerdo a un plan preconcebido. Se trata de un proceso puramente natural que resulta de las propiedades interactivas de entidades fisicoquímicas y biológicas. La selección natural es sencillamente una consecuencia del diferencial de supervivencia y reproducción de los seres vivos. Posee cierta apariencia de propósito porque está condicionada por el entorno: qué organismos sobreviven y se reproducen de forma más eficaz depende de qué variaciones posean que sean útiles o beneficiosas para ellos en el lugar y en el momento en que viven dichos organismos. Pero la selección natural no se anticipa a los medio ambientes del futuro; los cambios medioambientales drásticos podrían ser insuperables para organismos que anteriormente estuvieran bien adaptados. Por ello, la extinción de especies es un resultado habitual del proceso evolutivo. Las especies hoy existentes representan el equilibrio entre la aparición de nuevas especies y su eventual extinción. El inventario disponible de especies vivas ha descrito casi dos millones de especies, aunque se calcula que ahora hay en existencia al menos diez millones. Pero sabemos que más del noventa y nueve por ciento de todas las especies que jamás han vivido sobre la tierra se han extinguido sin dejar descendencia. Así, desde el comienzo de la vida sobre la tierra hace tres mil quinientos millones de años, el número de especies diferentes que han vivido sobre nuestro planeta probablemente supere los mil millones.

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Darwin: más allá de la evolución F. J. Ayala

Azar y necesidad El registro fósil muestra que la vida ha evolucionado de una forma azarosa. Las radiaciones de algunos grupos de organismos; las expansiones numéricas y territoriales de otros grupos; los relevos de una forma por otra; la ocasional pero irregular ocurrencia de tendencias hacia un incremento del tamaño u otras formas de cambio; y las siempre presentes extinciones, se explican por la selección natural de los organismos sometidos a los caprichos de la mutación genética, el desafío medioambiental y la historia pasada. El relato científico de estos acontecimientos no necesita recurrir a un plan predeterminado, ya sea impreso desde el principio o a través de sucesivas intervenciones por un Diseñador omnisciente y todopoderoso. La evolución biológica difiere de una pintura o un artefacto en que no es el resultado de un diseño preconcebido. El diseño de los organismos no es inteligente, sino imperfecto y, a veces, completamente disfuncional.

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La teoría de la evolución manifiesta la casualidad y la necesidad entrelazadas en el meollo de la vida; el azar y el determinismo enzarzados en un proceso natural que ha producido las más complejas, diversas y hermosas entidades del universo: los organismos que habitan la tierra, entre ellos los seres humanos que piensan y aman, dotados de libre albedrío y de poder creativo, y capaces de analizar el proceso mismo de la evolución que les dio existencia. Este es el descubrimiento fundamental de Darwin, que hay un proceso que es creativo aunque no sea consciente, que el diseño de los organismos se puede explicar como el resultado de procesos naturales gobernados por leyes naturales. Esto no es sino una visión fundamental que ha transformado para siempre la manera como la humanidad se percibe a sí misma y su lugar en el universo.

La aleatoriedad adaptativa del proceso de mutación (así como los caprichos de otros procesos que intervienen en el gran teatro de la vida) es contrapesada por la selección natural, que preserva lo que es útil y elimina lo perjudicial. Sin mutaciones hereditarias, la evolución no podría tener lugar, porque no habría variaciones que pudieran ser transmitidas de manera diferenciada de una a otra generación. Pero sin selección natural, el proceso de mutación produciría desorganización y extinción porque la mayoría de las mutaciones son desventajosas.

Sin embargo, el azar es una parte integral del proceso evolutivo. Las mutaciones que producen las variaciones hereditarias disponibles para la selección natural surgen al azar. Las mutaciones son aleatorias o acontecimientos casuales porque (1) son raras excepciones a la fidelidad del proceso de la replicación de ADN, y (2) porque no hay forma de saber qué gen mutará en una célula particular o en un individuo particular. Pero el significado de “azaroso” que es más importante para comprender el proceso evolutivo es que las mutaciones no están orientadas con respecto a la evolución; ocurren de forma independiente de si son beneficiosas o perjudiciales para los organismos. Algunas son benéficas, la mayoría no lo son, pero sólo las benéficas se incorporan a los organismos a través de la selección natural.

Los argumentos de los defensores del Diseño Inteligente contra la increíble improbabilidad de una explicación aleatoria de las adaptaciones de los organismos son irrelevantes porque la evolución no está gobernada por mutaciones fortuitas. Más bien hay un proceso natural (es decir, una selección natural) que no es aleatorio, sino orientado y capaz de generar orden y “crear.” Los rasgos que los organismos adquieren en sus historias evolutivas no son fortuitos, sino que están determinados por su utilidad funcional para los organismos, diseñados, por así decirlo, para servir a sus necesidades vitales.

Darwin: más allá de la evolución F. J. Ayala

Bibliografía Avise, J. C. and F. J. Ayala, eds. (2007). In the Light of Evolution I: Adaptation and Complex Design. Washington, DC: National Academic Press. Ayala, F. J. (2007). Darwin y el diseño inteligente. Creacionismo, cristianismo y evolución. Madrid: Alianza Editorial: Madrid. Ayala, F. J. y C.J. Cela Conde (2006). La piedra que se volvió palabra. Las claves evolutivas de la humanidad. Madrid: Alianza Editorial. Cela Conde, C. J. y F. J. Ayala (2001). Senderos de la evolución humana. Cuarta reimpresión, 2006. Madrid: Alianza Editorial.

Francisco J. Ayala (Madrid, 1934) estudió en Salamanca, se doctoró en la Universidad de Columbia en 1964, luego se incorporó a la de Rockefeller y a partir de 1971 investiga e imparte docencia en la de California en Irvine. Es especialista en biología evolutiva y ha sido reconocido con numerosas distinciones, entre las que cabe destacar la National Medal of Science de los Estados Unidos, miembro de la National Academy of Sciences de ese país y el nombramiento como doctor honoris causa por una quincena de universidades. Es autor de centenares de artículos y de decenas de libros.

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 13–19

Darwinismo y Matemáticas Elena Ausejo (Universidad de Zaragoza)

Fecha de recepción: 13 de junio de 2009 Artículo solicitado al autor por la revista

En este trabajo se estudian las primeras interacciones entre matemáticas y biología, que se producen en el último tercio del siglo XIX a propósito de la formulación por Darwin de la teoría de la selección natural, una concepción general explicativa del origen de las especies que pronto fue objeto de interés matemático, tanto desde el punto de vista de la entonces joven estadística como desde el del más sólido análisis matemático.

Palabras clave

Matemáticas, biología, darwinismo, estadística, biometría, Pearson, Volterra, Siglo XIXXX.

Abstract

This paper explores the first interactions between mathematics and biology, which occured in the last third of the nineteenth century within the framework of the formulation of Darwin's theory of natural selection, a general concept explaining the origin of species that soon became an object of mathematical interest, both from the standpoint of the at that time young statistics as well as of the strongest mathematical analysis.

Keywords

Mathematics, Biology, Darwinism, Statistics, Biometry, Pearson, Volterra, 19th-20th Centuries.

Resumen

Á F I C O:

1. Introducción

Pionera en la adopción exitosa de este sistema de certificación de veracidad basado en la combinación de formulación matemática y comprobación experimental fue la física —mecánica y óptica a lo largo de los siglos XVII y XVIII, electricidad, magnetismo y termodinámica a lo largo del XIX—. También la química buscó con denuedo a lo largo del siglo XIX, desde la hipótesis atómica de Dalton hasta el establecimiento de los conceptos de valencia y estructura, un sistema cuantitativo que permitiera la descripción matemática de sus espectaculares resultados experimentales.

W I N

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Por otra parte, es característica destacada de la ciencia del siglo XIX su aspiración de generalización, entendida ésta como la búsqueda de conceptos y leyes generales, preferentemente

Desde una perspectiva general puede afirmarse con rotundidad que el nacimiento del conjunto de saberes que reconocemos bajo el epígrafe de ciencia moderna, que podemos ubicar cronológicamente a partir de la Revolución Científica del siglo XVII, se fundamenta sólidamente sobre los pilares de la experimentación y la matematización sucesiva de los diversos troncos y disciplinas científicas, hasta el punto de que estas ramas del saber adquieren el calificativo —el grado, la categoría incluso— de científicas precisamente en función de su base experimental y su formulación matemática.

Darwinismo y Matemáticas E. Ausejo

matemáticas, que permitan predecir el futuro e interpretar el pasado y el presente de la manera más objetiva y fiable posible en su ajuste a la realidad experimental. Es en este doble contexto de matematización y generalización donde hay que situar las primeras interacciones entre matemáticas y biología, que se producen en el último tercio del siglo XIX a propósito de la formulación por Darwin de la teoría de la selección natural, una concepción general explicativa del origen de las especies que pronto fue objeto de interés matemático, tanto desde el punto de vista de la entonces joven estadística como desde el del más sólido análisis matemático.

2. La Escuela Biométrica En la segunda mitad del siglo XIX surge en Inglaterra, bajo la influencia directa de la obra de Darwin, la llamada Escuela biométrica inglesa, de la que Francis Galton (1822-1911) puede ser considerado fundador, con Walter Frank Raphael Weldon (1860-1906) y Karl Pearson (1857-1936) como más destacados miembros. El término biometría, ciencia de la medida de la vida, fue acuñado por Weldon y Pearson hacia 1900, y el programa de la Escuela Biométrica, cuyo desarrollo está enormemente ligado a la biografía personal de sus más destacados miembros, puede resumirse en la aplicación de los métodos estadísticos a la biología. Fue precisamente la publicación de la obra de Darwin (1859) y la insuficiencia de sus teorías genéticas lo que animó a Galton, primo de Darwin, a tratar de resolver los problemas de la herencia. Su mayor contribución a la biología es la aplicación de la metodología estadística al análisis de la variación biológica, así como el análisis de la variabilidad en su estudio de la regresión y la correlación de las medidas. Hacia 1877 ya había llegado a la ley de regresión y a la forma del error normal de cálculo. Tanto en Family Likeness in Stature (1886) como en Natural Inheritance (1889), su obra más importante, se aprecia claramente la idea fundamental de su metodología, a saber, que el investigador encuentra y mide magnitudes que no son independientes. Así, en 1888 llega a la concepción del coeficiente de correlación como medida de la intensidad de relación entre dos caracteres, susceptible de ser aplicado a todas las formas vivientes, y empieza a intuir su Ley de Herencia Ancestral, generalizada y precisada posteriormente por Pearson en forma de regresión múltiple. Es enormemente significativa en la historia de la ciencia su creencia de que todo es virtualmente cuantificable. Por otra parte, sus investigaciones le llevaron a promover la eugenesia — término acuñado en 1883—, llegando a dejar en herencia un legado al University College de Londres para la creación de la primera cátedra de esta disciplina. El caso de Weldon es ligeramente distinto. La evolución de su pensamiento comienza a producirse tras su licenciatura en zoología en 1882. Como la mayoría de los jóvenes de su época, comienza siendo un darwinista entusiasta, al que la teoría de la evolución proporciona una visión de la vida distinta, en la que todos los elementos forman un universo conectado. Sin embargo, advierte que el esquema de Darwin no es más que una hipótesis de trabajo en la que hay que completar las pruebas que Darwin tan sólo señaló. Y es entonces, al comprobar que la vieja metodología utilizada por los líderes académicos de la biología ya no puede proporcionar progresos notables, cuando se vuelve en dirección a la estadística y piensa en la distribución de las variaciones y en la correlación de los caracteres orgánicos.

A este respecto Pearson (1906, p. 30) escribió: Sólo podía conseguirse la aceptación de cada paso de la teoría biométrica por Weldon tras una dura batalla de resistencia; primero había que justificar su necesidad, y luego justificar su corrección matemática. No fue atraído al trabajo actuarial por sus simpatías o amistades, fue “conducido” a él por la

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Darwinismo y Matemáticas E. Ausejo

imprecisión que discernía en mucho del razonamiento biológico; sintió un “impase” que sólo podía ser superado por el rigor de la lógica matemática.

Así, sigue Pearson, los problemas que se plantea son de la siguiente naturaleza:

a) El establecimiento de un nuevo conjunto de caracteres adultos tendentes a la evolución ha estado siempre acompañado por la evolución de un nuevo conjunto de caracteres larvales tendentes a la formación de un tipo larvar peculiar de la nueva familia establecida, sin que ambos conjuntos de caracteres tengan aún conexión demostrable. b) La evolución del adulto y la de los caracteres larvales típicos de un grupo avanzan “pari passu”, de manera que un determinado grado de especialización de los caracteres adultos por parte de una especie dada implica la posesión de una larva con el correspondiente grado de especialización y “viceversa”.

N O

Y como subraya el mismo Weldon en el editorial de presentación de la revista Biometrika en

El punto de partida de la teoría de la evolución de Darwin es precisamente la existencia de esas diferencias entre miembros individuales de una raza o especie que los morfologístas por lo general desdeñan. La primera condición necesaria para que comience cualquier proceso de Selección Natural en una raza o especie es la existencia de diferencias entre sus miembros; y el primer paso en una investigación sobre el posible efecto de un proceso selectivo sobre cualquier carácter de una raza debe ser una estimación de la frecuencia con la que aparecen individuos que muestran cualquier grado de anormalidad con respecto al carácter. La unidad con la que tal investigación debe tratar no es un individuo sino la raza, o una muestra estadísticamente representativa de la raza; y el resultado debe tomar forma de enunciado numérico, mostrando la frecuencia relativa con la que las diferentes clases de individuos que componen la raza aparecen.

1901:

Á F I C O:

Weldon buscaba una medida numérica de las especies, algo que fuera constante para todas las razas locales. En realidad no lo consiguió, pero su trabajo supuso la realización de investigaciones y cálculos exhaustivos de gran precisión sobre la correlación en seres humanos, animales y plantas que suministraron ideas muy claras sobre la interrelación de los caracteres orgánicos. En palabras del propio Weldon (1892, p. 11):

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Una larga serie de tales constantes específicas daría un nueva clase de conocimiento de la conexión fisiológica entre los diversos órganos de los animales; mientras que un estudio de aquellas relaciones que permanecen constantes en grandes grupos de especies daría una idea, inalcanzable por

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Aunque su primer encuentro con Galton se produjo en 1880, no fue hasta la lectura de Natural Inheritance cuando Weldon supo cómo medir las frecuencias de las desviaciones respecto del tipo. De ahí pasó a ver cómo afectaba la selección a la distribución, cómo se podía medir la intensidad de la selección, cuál era la influencia de la selección en la correlación, qué relación había entre los órganos de un mismo individuo y cómo era esto afectado —si lo era— por el establecimiento de razas locales o por el proceso de diferenciación de especies. En 1890 Weldon demostró, tras sus mediciones en Decapod Crustacea, que la distribución de las variaciones era casi la misma que la obtenida por Quetelet y Galton para el hombre (ley gaussiana). Era la primera vez que los métodos estadísticos se aplicaban en biología y la primera vez que se obtuvieron coeficientes de correlación orgánica. Galton leyó esta memoria como referee y a partir de ese momento la relación entre los dos científicos fue continua.

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El tercer protagonista de la Escuela Biométrica fue Karl Pearson, matemático de amplia formación humanística y filosófica. Fue su encuentro con Weldon, que necesitaba de un matemático capacitado para sus investigaciones, y la lectura del Natural Inheritance de Galton lo que le llevó a la biometría. Para Pearson (1906), la obra de Galton

cualquier otro medio, de las correlaciones funcionales entre diversos órganos que han llevado al establecimiento de las grandes subdivisiones del reino animal.

Significaba que había una categoría más amplia que la causalidad, a saber, la correlación, de la cual la causalidad era sólo el límite, y que esta nueva concepción de la correlación ponía a la psicología, a la antropología, a la medicina y a la sociología, en gran parte, dentro del campo del tratamiento matemático.

Fue Galton quien primero me liberó de mi prejuicio de que las matemáticas sólo podían ser aplicadas a fenómenos naturales dentro de la categoría de la causalidad. Había aquí por primera vez una posibilidad, no quiero decir una certeza, de alcanzar conocimientos —tan válidos como se creía entonces que lo eran los conocimientos físicos— en el campo de las formas vivientes y, sobre todo, en el campo de la conducta humana.

Buscando una teoría consistente de la evolución ideó métodos indispensables para cualquier aplicación seria de la estadística a cualquier problema. Creó el método de los momentos y el sistema de curvas de frecuencias, tan extensamente usado en la descripción matemática de los fenómenos naturales, desarrolló la teoría de la correlación aplicada a los problemas de herencia y evolución, creó, en la teoría de la observación, la prueba del χ2 para la bondad del ajuste (1900) y acuñó el término desviación estándar (1893). Parte de sus mejores resultados biométricos se encuentran en Contributions to the Mathematical Theory of Evolution, una serie de 18 artículos escritos entre 1893 y 1912 cuya publicación se inicia en las Philosophical Transactions of the Royal Society en 1894, donde se aplica al estudio de la Ley de Herencia Ancestral de Galton y al desarrollo de una teoría sobre la influencia de la selección en la correlación y variabilidad de los órganos. No obstante, la escuela biométrica se enzarzó en una dura polémica con el mendelismo hasta que pudo comprobarse que sus mediciones concordaban con las leyes de Mendel y que éstas, a su vez, suministraban una explicación completa de las leyes empíricas descubiertas. Bastaba considerar las mediciones como resultantes de la adición de un gran número de factores mendelianos, lo que hoy se denomina análisis factorial. Así se ve que las leyes son aproximadamente de la forma Laplace-Gauss y que el valor experimental de los coeficientes de correlación se explica por la comunidad de factores mendelianos. La polémica sobre el mendelismo no fue un caso aislado. Las relaciones de la escuela biométrica con la sociedad científica de su tiempo fueron muchas veces tirantes, en parte debido a la novedad de las ideas y métodos propugnados, en parte debido al entusiasmo militante con que éstos eran defendidos por todos los miembros de la escuela, especialmente por Karl Pearson, personalidad siempre polémica y combativa. En un principio la aceptación de la Royal Society se manifestó en la elección como fellow de Weldon en 1890 y de Pearson en 1896. A este último se le concedería la Medalla Darwin dos años más tarde, y muchos de los trabajos de ambos están recogidos en las Philosophical Transactions. Además, en 1893 se constituyó en el seno de la Royal Society un Comité para la realización de

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La afirmación de que los números no significan nada y no existen en la naturaleza es algo muy serio que debe ser combatido. La mayor parte de la gente ha superado esta afirmación, pero la mayoría de los biólogos no.

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3. La Teoría Matemática de la lucha por la vida

Pese a su interés por el socialismo y sus lecturas de Marx —en cuyo homenaje, al parecer, escribió su nombre con K desde 1884—, Lenin lo identificará como un enemigo concienzudo y escrupuloso del materialismo, aunque su filosofía supera a la de Mach en integridad y consistencia (Haldane, 1957). En definitiva, un positivista en su oposición a la mutación en defensa del crecimiento gradual y progresivo, de la evolución sin revolución como ley de la historia de la naturaleza. La ciencia es para Pearson la descripción del cómo, no del por qué. El material de la ciencia es el complejo de sensaciones que denominamos fenómenos y su objeto es la expresión en las fórmulas más simples a la vez que más comprensibles de las relaciones y sucesiones observadas entre fenómenos. Por otra parte, estos fenómenos son definidos como grupos de sensaciones o cosas susceptibles de ser sentidas y la ley científica como el enunciado más breve posible de las categorías más amplias posibles de sucesiones entre fenómenos.

De todos los componentes de la Escuela Biométrica, fue Karl Pearson, en sus obras Grammar of Science (1892) y Ethic of Freethought (1888), quien dejó más claramente expuesta su teoría de la ciencia. En ella se aprecia claramente la influencia del pensamiento darwinista, no sólo por su constante alusión a la teoría de la gradación (mediante la que los biometristas establecen que la evolución no ha sido a saltos, sino por selección continua de la variación favorable de la distribución de la descendencia), sino también por su concepción de la relación e interconexión que existe entre todas las ramas y elementos de la ciencia y por su visión de la estructuración interna de las teorías científicas según un proceso de absorción de leyes particulares por una más general.

Este cambio de actitud de la Royal Society condujo directamente a la fundación, en 1901, de Biometrika, revista para el estudio estadístico de los problemas biológicos, y en 1903, con el patrocinio de la Worshipful Company of Drapers, del Laboratorio Biométrico, donde se instruía en los nuevos métodos a estudiantes postgraduados en aplicaciones diversas (incluso bélicas). Además, en 1907 Pearson se hizo cargo de la Eugenics Record Office de Galton, desde entonces Francis Galton Laboratory of National Eugenics. Con el legado de Galton, fallecido en 1911, se creó en el University College London una Cátedra de Eugenesia, que fue ocupada por Pearson, y un Departamento de Estadística Aplicada, el primer departamento de estadística del mundo, también bajo la dirección de Pearson, al que fueron incorporados ambos laboratorios.

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En 1931 apareció en la colección Cahiers Scientfiques el libro del matemático italiano Vito Volterra (1860-1940) Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie. El origen inmediato de la obra se situaba en las conferencias impartidas por Volterra en el Instituto Henry Poincaré de Paris en el curso 1928-29, por invitación de Émile Borel (1871-1956), pero el verdadero arranque de estas lecciones se remontaba a 1925, año en el que Volterra había sido instado por su yerno, Umberto Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

investigaciones estadísticas sobre las características medibles de animales y plantas, con Galton como presidente y Weldon como secretario, que en 1897 añadió a sus objetivos la investigación precisa de la variación, herencia, selección y otros fenómenos relacionados con la evolución. Entre sus miembros cabe destacar a W. Bateson, S.H. Burbury, F.D. Godman, W. Heape, E.R. Lancaster, M. Masters, K. Pearson, O. Salvin y Thiselton-Pyer. Sin embargo, tras las dos primeras publicaciones los biometristas dimitieron del Comité en 1899. Karl Pearson denunciaba que el hecho de que la teoría darwinista pudiera ser demostrada estadísticamente había levantado y levantaba hostilidades en hombres de toda clase y condición y Weldon declaraba (Pearson, 1906):

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La obra de Volterra se establece en torno a los problemas que se plantean en una colectividad en la que se enfrentan dos o más grupos de individuos, de forma que las ganancias de unos y las pérdidas de otros puedan cuantificarse. El libro termina con un capítulo redactado por D’Ancona (Volterra, 1931, pp.197-210) en el que se presenta una panorámica histórico-bibliográfica sobre el tema de referencia. Este soporte general al poderoso aparato matemático de Volterra permite diseñar el primer cuadro de influencias de los problemas de la lucha por la vida. Es en este capítulo en el que se sitúa clarísimamente la referencia a Darwin y a su Origen de las especies por selección natural citando textualmente al biólogo inglés para señalar la importancia que la lucha por la vida tiene en la selección natural (Volterra, 1931, p. 202):

d’Ancona (1896-1964), a estudiar matemáticamente las variaciones que tenían lugar en las asociaciones biológicas.

La referencia es tan explícita que no cabe la menor duda de la conexión darwinista de esta línea de trabajo. D’Ancona pasa revista a las investigaciones que los zoólogos han realizado sobre los problemas de asociación biológica, poniendo énfasis en el hecho de que la mayor parte de los trabajos de experimentación giren en torno a la influencia que los cambios del medio tienen respecto al desarrollo de las especies. Pero, como se destaca en el texto, la importancia intrínseca de los trabajos de Volterra radica en el hecho de demostrar que la mera coexistencia de especies influye en la existencia de fluctuaciones aunque el medio permanezca invariable. En el párrafo sobre la existencia de fluctuaciones periódicas e irregularidades de las especias coexistentes se hace referencia explícita, entre otros, a los trabajos de Odón de Buen (1863-1939) sobre las especies marinas emigrantes (Volterra, 1931, p. 209). La obra de Volterra se inscribe plenamente en el terreno de las aplicaciones de las matemáticas a la biología, hasta entonces restringida al campo de la bioestadística y el cálculo de probabilidades. Lo nuevo en los trabajos de Volterra es la utilización de la poderosa herramienta del cálculo infinitesimal. La metodología es la habitual en los trabajos de aplicación: en primer lugar se delimitan una serie de hipótesis de encuadre del problema relativas al medio y a los individuos, se construyen las funciones que describen la situación, se plantean las ecuaciones y se estudian. En ese sentido, aunque el lenguaje conserva constantemente referencias biológicas, el desarrollo del libro es estrictamente matemático. Donde surge toda la riqueza del estudio interdisciplinar es precisamente en la resolución, discusión e interpretación de las ecuaciones planteadas, porque las propiedades matemáticas deben tener —también bajo hipótesis— significado biológico. Y, como ya se ha mencionado, el darwinismo es la base teórica desde la que se observan las situaciones y se plantean las hipótesis.

Ya Darwin en su “Origen de las especies por selección natural” sitúa entre los factores más importantes de la evolución de las especies animales la lucha por la existencia, que consiste precisamente en la competencia entre los individuos de diversas especies, sobre todo para alimentarse. Darwin hace notar que le crecimiento de una especia no depende sólo del alimento que está a su disposición, sino también de la posibilidad de ser la presa de otras especies. Es por ello que todo lo que hace disminuir a las especies que se alimentan de otras contribuye al crecimiento de éstas. Pone el ejemplo de la caza, que es a veces favorable al aumento de la especies porque acaba con las aves de presa.

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4. Conclusiones

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Así, del camino iniciado por Volterra surgió la dinámica de poblaciones, que se solapa con la epidemiología matemática y se ha visto completada en los últimos treinta años por la teoría de juegos evolucionista de John Maynard Smith (1920-2004).

Las vías de matematización de la biología que se iniciaron a propósito del darwinismo se han desarrollado con fuerza a lo largo del siglo XX bajo la denominación de biología matemática, biología teórica o biomatemática, una disciplina que avanza en términos de modelización, bioinformática y biocomputación y se aplica no sólo en biología, sino también en medicina y biotecnología.

Bibliografía

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Elena Ausejo, Doctora en Ciencias Matemáticas, es Profesora de Historia de la Ciencia en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, Directora de LLULL, Revista de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas y Secretaria de la Comisión Internacional de Historia de las Matemáticas. Dirección electrónica: ichs@unizar.es

Darwin, Ch. (1859). The Origin of Species by means of Natural Selection or preservation of favoured races in the struggle for life. Harmondsworth: Penguin Books. Fisher, R.A. (1930). The Genetical Theory of Natural Selection. Oxford: Clarendon. Galton, F. (1886). Family Likeness in Stature. Proceedings Royal Society, 40, 42-63. Galton, F. (1889). Natural Inheritance. London: Macmillan & Co. Haldane, J.B.S. (1932). The Causes of Evolution. London: Longmans, Green & Co., and New York: Harper Brothers. Haldane, J.B.S. (1957). Karl Pearson 1857-1957. A Centenary Lecture delivered at University College London. Biometrika, 44, 303-313. Pearson, K. (1892). The Grammar of Science. London: Walter Scott. Pearson, K. (1888). The Ethic of Freethought, a selection of Essays and Lectures. London: T. Fisher Unwin. Pearson, K. (1906). Walter Frank Raphael Weldon 1860-1906. Biometrika, V, 1-52. Volterra, V. (1931). Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie. Paris: GauthierVillars. Weldon, W.F.R. (1892). Certain correlated variations in Crangon Vulgaris. Proceedings Royal Society, 51, 2-21. Wright, S.G. (1931). Evolution in Mendelian Populations. Genetics, 16, 97-159.

Paralelamente, la biometría se convirtió en bioestadística una vez resuelta en los años 30 la polémica entre biometristas y genetistas en los términos de la teoría evolutiva sintética o síntesis evolutiva moderna, de la que es elemento esencial la genética de poblaciones. Entre sus principales fundadores cabe citar a Ronald A. Fisher (1890-1962), que desarrolló diferentes métodos estadísticos básicos en The Genetical Theory of Natural Selection (1930); Sewall G. Wright (1889-1988), que usó la estadística en el desarrollo de la moderna genética de poblaciones en Evolution in Mendelian Populations (1931); y la obra de J.B.S. Haldane (1892-1964) The Causes of Evolution (1932), que restableció la selección natural como primer mecanismo evolutivo explicándola en términos de consecuencias matemáticas de la genética mendeliana. De esta manera la biología evolucionista y la genética convergieron en un todo consistente y coherente cuantitativamente modelizado.

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 21–27

Evolutionary Computing is a branch of computer science devoted to study a class of algorithms based on the Darwinian principles of natural selection. Throughout the history, many species have grown and evolved to adapt to different environments, using the same biological machinery. Similarly, if we provide an environment for an evolutionary algorithm, we expect the initial population suits the best for that environment. Generally, this problem takes the form of a problem to solve, where the fitness of individuals indicates how well the solutions they represent solve the problem. However, the search for optimal solutions to a problem is not the only use of evolutionary algorithms.

Keywords

Evolutionary Computing. Evolutionary Algorithms. Problem Solving.

Abstract

Computación Evolutiva. Algoritmos Evolutivos. Resolución de Problemas.

Palabras clave

La Computación Evolutiva es una rama de las Ciencias de la Computación dedicada al estudio de una clase de algoritmos basados en los principios Darwinianos de la selección natural. A lo largo de la historia, muchas especies han crecido y han evolucionado para adaptarse a diferentes entornos, usando la misma maquinaria biológica. De la misma manera, si le proporcionamos un entorno a un algoritmo evolutivo, esperamos que la población inicial se adapte de la mejor manera a dicho entorno. Generalmente, este entorno adquiere la forma de un problema a resolver, donde el ajuste de los individuos indica lo bien que resuelven el problema las soluciones que representan. Sin embargo, la búsqueda de soluciones óptimas a un problema no es el único uso de los algoritmos evolutivos.

Resumen

Fecha de recepción: 7 de septiembre de 2009 Artículo solicitado al autor por la revista

Belén Melián Batista (Universidad de La Laguna) José A. Moreno Pérez (Universidad de La Laguna) J. Marcos Moreno Vega (Universidad de La Laguna)

Introducción a la Computación Evolutiva

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La Computación Evolutiva (Eiben, 2003) es un área de investigación en ciencias de la computación. Tal como sugiere su nombre, se trata de computación inspirada en el proceso de evolución natural. La inspiración de los científicos en la evolución natural no sorprende si se tiene en cuenta el poder de la evolución sobre las diferentes especies que componen nuestro mundo, que sobreviven y se adaptan a sus propios entornos naturales. La metáfora fundamental de la computación evolutiva relaciona este poder de evolución natural con una forma particular de resolución de problemas, la de ensayo y error.

1. Introducción

Computación Evolutiva

Consideremos la evolución natural simplemente de la siguiente forma. Un entorno dado está poblado con una población de individuos que luchan por la supervivencia y la reproducción. La aptitud de estos individuos, determinada por el entorno, representa su éxito en la consecución de sus objetivos, es decir, representa las probabilidades de supervivencia y multiplicación. En el contexto del proceso de resolución de problemas ensayo-error estocástico, se tiene una colección de soluciones candidatas. La calidad de estas soluciones determina la probabilidad de que sean usadas como semillas para la construcción de otras soluciones candidatas. La siguiente tabla muestra la equivalencia entre la evolución natural y la resolución de problemas.

B. Melián Batista, J.A. Moreno Pérez, J.M. Moreno Vega

Evolución

Resolución de problemas

Entorno Individuo Ajuste

Problema Solución candidata Calidad de la solución

Tabla 1. Evolución natural vs. Resolución de problemas

2. Breve Historia de la Computación Evolutiva La idea de aplicar principios darwinianos (Darwin, 1859) a la resolución de problemas se remonta a 1948, año en el que el célebre matemático Alan Mathison Turing habla de búsqueda genética o evolutiva en su artículo “Máquinas Inteligentes”, aunque sin explicar cómo realizar esta búsqueda para resolver problemas. A finales de los 1950s y principios de los 1960s, el biólogo Alexander S. Fraser publicó una serie de trabajos sobre la evolución de sistemas biológicos en una computadora digital, proporcionando la inspiración para lo que después se convertiría en el algoritmo genético (Holland, 1975), (Goldberg, 1989; Goldberg y Sastry, 2008). En 1962, Bremermann ejecuta experimentos computacionales en optimización mediante evolución y recombinación. Bremermann fue tal vez el primero en ver la evolución como un proceso de optimización, además de realizar una de las primeras simulaciones con cadenas binarias que se procesaban por medio de reproducción (sexual o asexual), selección y mutación, en lo que sería un claro predecesor del algoritmo genético. Durante los años sesenta, se propusieron tres implementaciones diferentes de la idea básica. Lawrence J. Fogel propuso en 1960 una técnica denominada Programación Evolutiva, en la cual la inteligencia se veía como un comportamiento adaptativo. John H. Holland desarrolló a principios de los 1960s los “planes reproductivos” y “adaptativos” en un intento por hacer que las computadoras aprendieran imitando el proceso de la evolución. Esta técnica sería después conocida mundialmente como Algoritmo Genético. A su vez, Rechenberg y Schwefel inventaron las Estrategias de Evolución. Durante quince años, estas áreas se desarrollaron de forma independiente, hasta que a principios de los años noventa comenzaron a tratarse como representaciones diferentes de una misma tecnología, conocida como Computación Evolutiva. Los principales paradigmas que forman la computación evolutiva son, por tanto: Programación Evolutiva, en la cual la inteligencia se ve como un comportamiento adaptativo; Estrategias Evolutivas, cuyo objetivo era resolver problemas hidrodinámicos de alto grado de complejidad; y Algoritmos Genéticos, cuya motivación principal es el aprendizaje de máquina.

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Computación Evolutiva B. Melián Batista, J.A. Moreno Pérez, J.M. Moreno Vega

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Generar (aleatoriamente) una población inicial. Calcular aptitud de cada individuo. Seleccionar (probabilísticamente) con base en aptitud. Aplicar operadores genéticos (cruce y mutación) para generar la siguiente población. Ciclar hasta que se satisfaga cierta condición de parada.

A R

• • • • •

Por último, los algoritmos genéticos (denominados originalmente “planes reproductivos”) fueron desarrollados por John H. Holland a principios de los 1960s. Su motivación principal fue el aprendizaje de máquina. El algoritmo genético enfatiza la importancia del cruce sexual (operador principal) sobre el de la mutación (operador secundario), y usa selección probabilística. El algoritmo básico es el siguiente:

La programación evolutiva usa normalmente selección estocástica, mientras que las estrategias evolutivas usan selección determinista. Ambas técnicas operan a nivel fenotípico. La programación evolutiva es una abstracción de la evolución al nivel de las especies, por lo que no se requiere el uso de un operador de recombinación (diferentes especies no se pueden cruzar entre sí). En contraste, las estrategias evolutivas son una abstracción de la evolución al nivel de un individuo, por lo que la recombinación es posible.

Por otro lado, las estrategias evolutivas fueron desarrolladas en 1964 por un grupo de estudiantes alemanes de ingeniería encabezado por Ingo Rechenberg. Su objetivo era resolver problemas hidrodinámicos de alto grado de complejidad. La versión original usaba un sólo padre y con él se generaba un solo hijo. Este hijo se mantenía si era mejor que el padre, o de lo contrario se eliminaba. Ingo Rechenberg (1973) también introdujo el concepto de población, al proponer una estrategia evolutiva llamada (μ + 1) − EE, en la cual hay μ padres y se genera un solo hijo, el cual puede reemplazar al peor padre de la población.

La programación evolutiva es una abstracción de la evolución al nivel de las especies, por lo que no se requiere el uso de un operador de recombinación. Asimismo, usa selección probabilística.

Genera aleatoriamente una población inicial. Aplica mutación. Calcula la aptitud de cada hijo y usa un proceso de selección mediante torneo (normalmente estocástico) para determinar cuáles serán los hijos (soluciones) que se retendrán.

• • •

En primer lugar, la programación evolutiva enfatiza los nexos de comportamiento entre padres e hijos, en vez de buscar emular operadores genéticos específicos, como en el caso de los algoritmos genéticos. El algoritmo básico de la programación evolutiva es el siguiente:

3. Inspiración del proceso de evolución natural

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El 27 de diciembre de 1831 zarpa de Davenport (Inglaterra) el Beagle, buque al mando del capitán Fitz-Roy, con varios objetivos científicos: completar el estudio de las costas de la Patagonia y Tierra del Fuego, realizar la cartografía de las costas de Chile, Perú y algunas islas del Pacífico y realizar varias observaciones cronométricas alrededor del mundo. A bordo viaja el joven naturalista de 22 años, Charles Robert Darwin (1809-1882). El 6 de enero de 1832 el Beagle fondea frente a las costas de Tenerife. Sin embargo, las autoridades obligan a la tripulación a permanecer a bordo del buque por miedo a que padezca el cólera. La larga travesía del Beagle, que atraca el 2 de octubre en Falmouth, sirve a Darwin para enunciar su teoría acerca del origen y evolución de las especies, que

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derrumba el Lamarckismo al indicar que la evolución se origina a través de cambios aleatorios de características hereditarias, combinados con un proceso de selección natural. La teoría de la evolución de Darwin proporciona, por tanto, una explicación biológica a la diversidad y a sus mecanismos relacionados. En lo que se conoce generalmente como vista macroscópica de la evolución, la selección natural juega un rol principal. Dado un entorno que tiene capacidad para albergar a un número limitado de individuos y el instinto básico de los individuos para la reproducción, la selección es inevitable si el tamaño de la población crece de manera exponencial. La selección natural favorece a aquellos individuos que compiten por los recursos dados más efectivamente, es decir, aquellos que se adaptan de la mejor manera posible a las condiciones del entorno. La selección basada en competición es uno de los dos pilares del proceso de evolución. El otro pilar del proceso, identificado por Darwin, resulta de las variaciones fenotípicas entre los miembros de la población. Las características fenotípicas son las características físicas y de comportamiento de un individuo que afectan directamente su respuesta al entorno, determinando así su ajuste. Cada individuo representa una única combinación de características fenotípicas que es evaluada por el entorno. Si la evaluación es favorable, entonces se propaga a través de su descendencia. En otro caso, se descarta al no tener descendencia. La idea de Darwin era que se producen pequeñas variaciones en las características fenotípicas de una generación a otra. A través de estas variaciones, se producen nuevas combinaciones de características que son evaluadas. Las mejores combinaciones sobreviven y así progresa la evolución. Para resumir este modelo básico, una población está formada por un número de individuos, que son las unidades de selección. Cuanto más satisfactoriamente se reproduzcan los individuos, ciertas mutaciones ocasionales dan lugar a nuevos individuos a ser evaluados. Por lo tanto, la población, que cambia de una generación a otra, se convierte en la unidad de evolución. En un problema de optimización que, desde el punto de vista matemático, consiste en encontrar dónde se alcanza el óptimo (máximo o mínimo) de una función real, hay una serie de puntos que son mejores que todas sus soluciones vecinas. Estos puntos son óptimos locales y el mejor de ellos se denomina óptimo global. La unión entre el proceso de evolución natural y un proceso de optimización es tan directo, como confuso, porque la evolución no es un proceso de mejora unidireccional. Dado que la población tiene un tamaño finito y las elecciones aleatorias se realizan mediante los operadores de selección y mutación, es común observar el fenómeno de presión genética, por el cual individuos altamente adaptados al entorno pueden ser eliminados de la población, o es posible que la población sufra de una pérdida de diversidad de rasgos. Los efectos combinados de la presión y la selección permiten a las poblaciones moverse tanto hacia las colinas como hacia los valles de la función objetivo, y por supuesto no hay ninguna garantía de que la población vuelva a subir la misma colina. Escapar de los óptimos locales es, por tanto, posible.

4. ¿Por qué usar Computación Evolutiva? Uno de los principales tópicos de las matemáticas y de las ciencias de la computación es el desarrollo de algoritmos de resolución de problemas. Al igual que sucede en la ingeniería, en la que las soluciones de la naturaleza suponen una fuente de inspiración, una de las líneas de trabajo de estas disciplinas consiste en tratar de emular la forma en la que la naturaleza resuelve los problemas. Si observamos la forma en la que la naturaleza resuelve los problemas, es necesario observar al cerebro humano y al proceso de evolución natural. El desarrollo de estrategias que emulen al cerebro humano en la resolución de problemas conduce al campo de la neuro-computación. Por otro lado, el proceso de evolución natural forma la base de la computación evolutiva. Otro elemento que motiva el uso de la computación evolutiva se identifica desde una perspectiva técnica. La informatización producida a partir de la mitad del siglo veinte ha creado una

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Computación Evolutiva B. Melián Batista, J.A. Moreno Pérez, J.M. Moreno Vega

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Notemos que muchos de los componentes del proceso evolutivo son estocásticos. Durante la selección, los individuos más ajustados al entorno tienen una probabilidad mayor de ser seleccionados. Sin embargo, los individuos débiles también tienen posibilidad de ser seleccionados como progenitores e incluso de sobrevivir y pasar a la siguiente generación. Además, para llevar a cabo la recombinación de individuos, la elección de los progenitores se realiza de forma aleatoria. De la misma manera, para la mutación, la parte de la solución candidata que es mutada, así como los elementos que la reemplazan, son elegidos aleatoriamente. El siguiente seudocódigo muestra el esquema general de un algoritmo evolutivo.

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La aplicación combinada de los operadores de variación y selección generalmente proporciona valores de ajuste mejorados en poblaciones consecutivas. Es fácil ver el proceso de evolución como la optimización mediante la aproximación a valores óptimos de forma gradual.

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Los operadores de recombinación y mutación crean la diversidad necesaria. La selección garantiza la calidad.

En este proceso hay dos aspectos fundamentales que forman la base de los sistemas evolutivos:

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Tal como sugiere la historia del campo, hay diversas variantes de los algoritmos evolutivos, aunque todos ellos con una misma idea común. Dada una población de individuos, la presión del entorno causa selección natural (supervivencia por ajuste), que a su vez supone un incremento en el ajuste de la población. Dada una función de calidad a ser optimizada, podemos generar aleatoriamente un conjunto de soluciones candidatas, es decir, elementos del dominio de la función, y usar el valor de la función de calidad como medida de ajuste. Basado en este ajuste, algunos de los mejores candidatos son elegidos para poblar la siguiente generación mediante la aplicación de recombinación y/o mutación. La recombinación es un operador aplicado a dos o más soluciones candidatas para crear una o más soluciones nuevas. La mutación se aplica a una única solución candidata y resulta en una nueva solución. La ejecución de la recombinación y la mutación conduce a un conjunto de nuevos candidatos que compiten con los anteriores por un espacio en la siguiente generación. Este proceso puede ser iterado hasta que se alcance un candidato con una calidad lo suficientemente alta en un límite computacional dado.

• •

5. Algoritmos evolutivos

Un tercer elemento de motivación lo constituye la curiosidad humana, que se encuentra detrás de cada ciencia. Los procesos evolutivos constituyen el eje principal de muchos estudios científicos que pretenden entender cómo funciona la evolución. Desde este punto de vista, la computación evolutiva representa la posibilidad de realizar experimentos de forma diferente a la biología tradicional. Los procesos evolutivos pueden ser simulados en un ordenador, donde es posible ejecutar millones de generaciones en horas o días y repetirlas bajo distintas circunstancias.

creciente demanda para la automatización de la resolución de problemas. Sin embargo, el incremento en la tasa de investigación y la capacidad de desarrollo no han seguido el ritmo de estas necesidades. Por lo tanto, el tiempo disponible para el análisis minucioso de problemas y el diseño adaptado de algoritmos ha disminuido. A todo esto hay que añadir el incremento de complejidad de los problemas que deben ser resueltos. Estas cuestiones conducen a la necesidad de algoritmos robustos que sean aplicables a una gran cantidad de problemas, que no necesiten demasiada adaptación a problemas específicos y que proporcionen buenas soluciones (no necesariamente óptimas) en un tiempo computacional razonable. Los algoritmos evolutivos poseen todas estas características y proporcionan, por tanto, una respuesta al reto.

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Procedimiento Algoritmo Evolutivo Comienzo Inicializar Población; Evaluar Población; Repeat Seleccionar Padres; Recombinar pares de padres; Mutar el resultado; Evaluar los nuevos candidatos ; Seleccionar individuos para la siguiente Población; t ← t + 1 ; Hasta Criterio_de_Parada; Fin

En este esquema, la evaluación de la función objetivo (ajuste) representa una estimación heurística de la calidad de la solución y el proceso de búsqueda es dirigido a través de los operadores de mutación y selección. Los algoritmos evolutivos son algoritmos basados en poblaciones, puesto que consideran una colección de soluciones candidatas simultáneamente. Usan la recombinación para mezclar información de dos soluciones candidatas para generar otras. Además, como indicábamos anteriormente, son estocásticos. Los componentes más importantes de los algoritmos evolutivos son los siguientes:

Figura 1. Pseudocódigo de un algoritmo evolutivo

Representación (definición de los individuos). Evaluación de la función objetivo (función de ajuste). Población. Mecanismo de selección de padres. Operadores de recombinación y mutación. Mecanismo de selección de supervivientes.

Cada uno de estos componentes debe ser especificado para definir un algoritmo evolutivo particular, tal como se muestra en el artículo “Algoritmos Genéticos. Una visión práctica” del presente volumen.

6. Conclusiones Este trabajo proporciona una breve introducción a la Computación Evolutiva, que es una rama de las Ciencias de la Computación dedicada al estudio de una clase de algoritmos basados en los principios Darwinianos de la selección natural. Se introduce la noción de algoritmo evolutivo y se enfatiza en su aplicación a la resolución de problemas de optimización.

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NÚMEROS

Computación Evolutiva B. Melián Batista, J.A. Moreno Pérez, J.M. Moreno Vega

Bibliografía

Darwin, C. (1859). On the Origin of Species by Means of Natural Selection. Murray, Londres.

Goldberg, D.E. (1989). Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. AddisonWesley, Reading, MA.

Eiben, A.E., Smith, J.E. (2003). Introduction to Evolutionary Computing. Natural Computing Series, Springer.

Goldberg, D., Sastry, K. (2008) Genetic Algorithms. The Design of Innovation. Springer, Berlín.

Holland, J. (1975). Adaptation in Natural and Artificial Systems. The University of Michigan.

G R

Belén Melián Batista, Departamento de Estadística, I.O. y Computación, Universidad de La Laguna, 38271 La Laguna. Nació el 11 de julio de 1976 en Arucas, Las Palmas de Gran Canaria. Es Doctora en Informática y Profesora Titular de la Universidad de La Laguna. Ha sido miembro del comité de programa, comité organizador y revisora de varios congresos de Inteligencia Artificial y Heurísticas para la resolución de problemas. Es coautora de artículos de investigación publicados en revistas internacionales como IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Journal of Heuristics, European Journal of Operational Research, Networks, Computers and Operations Research, Parallel Computing, actuando como editora invitada en algunas de ellas.

Á F I

José Andrés Moreno Pérez, Departamento de Estadística, I.O. y Computación, Universidad de La Laguna, 38271 La Laguna. Nació el 14 de mayo de 1958 en La Laguna, Tenerife. Licenciado en Matemáticas en 1980 por la Universidad Complutense de Madrid, con el mejor expediente de su promoción tanto en la especialidad de Estadística como en la de Investigación Operativa, y doctor en Matemáticas por la misma universidad con premio extraordinario de doctorado. Ha sido profesor de la Universidad Complutense hasta 1986 y en la actualidad catedrático de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial. Es coautor de más de 50 artículos de investigación publicados en revistas internacionales especializadas en heurísticas y actuado como editor invitado en varias de ellas.

C O: D

José Marcos Moreno Vega, Departamento de Estadística, I.O. y Computación, Universidad de La Laguna, 38271 La Laguna. Nació el 31 de julio de 1967 en Gáldar, Las Palmas de Gran Canaria. Es Doctor en Informática y Profesor Titular de la Universidad de La Laguna. Ha sido miembro del comité de programa, comité organizador y revisor de varios congresos de Inteligencia Artificial y Heurísticas para la resolución de problemas. Ha liderado diversos proyectos de investigación dedicados al estudio de técnicas heurísticas en la resolución de problemas de optimización. Es coautor de artículos de investigación publicados en revistas internacionales como Studies in Locational Análisis, European Journal of Operational Research, Journal of Heuristics, Fuzzy Sets and Systems, BMC Bioinformatics y Parallel Computing, actuando como editor invitado en algunas de ellas.

A R W I N

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Vol. 71

agosto de 2009

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 29–47

Algoritmos Genéticos. Una visión práctica

Fecha de recepción: 7 de septiembre de 2009 Artículo solicitado al autor por la revista

Resumen

Los algoritmos genéticos son métodos de optimización inspirados en la teoría de la evolución natural originada a partir de los estudios de Darwin. Existe un soporte matemático importante sobre su comportamiento y ha conseguido aplicaciones de éxito en la mayoría de los campos de aplicación. En este trabajo describimos los fundamentos de los algoritmos genéticos, las características básicas de los modelos más simples y los elementos que definen las versiones más relevantes.

Palabras clave

Algoritmos Genéticos. Optimización. Metaheurísticas. Evolución. Aplicaciones.

Abstract

Genetic algorithms are optimization methods inspired by the natural evolution theory originated from the studies of Darwin. There is an important mathematical support on their performance and they have achieved successful applications in most application fields. In this paper we describe the basics of genetic algorithms, the basic characteristics of the simplest models and the elements that define the relevant versions.

Keywords

Genetic Algorithms. Optimization. Metaheuristics. Evolution. Aplication.

Belén Melián Batista (Universidad de La Laguna) José A. Moreno Pérez (Universidad de La Laguna) J. Marcos Moreno Vega (Universidad de La Laguna)

R Á F C O: D A R W I

Los Algoritmos Genéticos (AG's) son métodos de optimización basados en una simulación parcial de los mecanismos de la evolución natural. Están basados en la teoría de la evolución que surge con las investigaciones de Charles Darwin (Darwin, 1859). Los algoritmos genéticos fueron creados en la década de los 60's por John Holland (Holland, 1975), como un modelo para el estudio del fenómeno de adaptación natural y para el desarrollo de mecanismos que permitieran incorporar este fenómeno a los sistemas de cómputo. Los algoritmos genéticos alcanzaron popularidad a raíz de la publicación del libro de Goldberg (1989) que ponía las bases fuertes para su aplicación en problemas prácticos. Los algoritmos evolutivos constituyen una parte importante de la Computación Evolutiva, un área de la Inteligencia Artificial en constante crecimiento. Actualmente son innumerables las aplicaciones exitosas en las más diversas áreas industriales, comerciales y de la ingeniería (Goldberg y Sastry, 2008).

1. Introducción

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2.1. Un poco de historia Las tres figuras históricas claves en la aparición de los algoritmos genéticos, aparte de su creador John Hollad son, Darwin, Mendel y De Vries.

C I

En la naturaleza, estos procesos ocurren sobre una generación, y luego sobre su descendencia, y a continuación sobre la descendencia de ésta, y así sucesivamente. Después de cada ciclo, la generación actual será mejor que las anteriores, en el sentido de que los individuos estarán más evolucionados y más adaptados al medio.

La evolución biológica es el proceso de transformación continua de las especies a través de cambios producidos en sucesivas generaciones. Esta evolución es la que da lugar a la aparición de nuevas especies pero también la que permite su adaptación a distintos ambientes con cambios en las características genéticas de los individuos. La evolución biológica se produce básicamente por dos procesos: la selección de individuos de la población según sus características y la alteración genética de los cromosomas que almacenan las características de la especie. La selección natural puede ser de dos categorías: la selección reproductiva hace que los individuos de ciertas características tengan mayor probabilidad de intervenir en los procesos de reproducción y la selección ecológica que hace que los individuos con ciertas características tengan mayor probabilidad de supervivencia. En ambos casos, las características que dan mayores probabilidades son las que favorecen la adaptación al entorno: mayor capacidad para obtener y procesar el alimento, escapar de los depredadores y otros peligros, resistir a las fluctuaciones ambientales, etc. La alteración genética de los individuos de una población tiene lugar durante la reproducción de los individuos, o cuando éstos sufren algún tipo de mutación. En la reproducción, los individuos intercambian material cromosómico; y en la mutación, se altera parte de la información de los cromosomas. La recombinación genética es el proceso mediante el cual la información genética se redistribuye entre dos cromosomas durante los procesos reproductivos y se transmiten a la descendencia. La mutación es un cambio permanente y transmisible en material genético de un individuo que se producen esporádicamente, muchas veces ligado a los procesos de reproducción.

1.1. Un poco de biología

Charles Robert Darwin. El 27 de diciembre de 1831 zarpa de Davenport (Inglaterra) el Beagle, buque al mando del capitán Fitz-Roy, con varios objetivos científicos: completar el estudio de las costas de la Patagonia y Tierra del Fuego, realizar la cartografía de las costas de Chile, Perú y algunas islas del Pacífico y realizar varias observaciones cronométricas alrededor del mundo. A bordo viaja el joven naturalista de 22 años, Charles Robert Darwin (1809-1882). El 6 de enero de 1832 el Beagle fondea frente a las costas de Tenerife. Sin embargo, las autoridades obligan a la tripulación a permanecer a bordo del buque por miedo a que padezca el cólera. La larga travesía del Beagle, que atraca el 2 de octubre en Falmouth, sirve a Darwin para enunciar su teoría acerca del origen y evolución de las especies. Uno de los elementos claves en la teoría de Darwin es que la evolución se debe a la Figura 1. Charles Darwin selección natural. Es decir, aquellos individuos más adaptados al medio tienen mayor probabilidad de sobrevivir y, de esta forma, las características que les hacen mejores se propagan entre la descendencia. De esta forma, y de manera gradual, surgen las diversas especies.

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O G R Á F I C O: A R W I N

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Figura2.3.Gregor HugoMendel De Vries Figura

John Holland: A John Holland (1929- ) se le reconoce la paternidad de los Algoritmos Genéticos. Actualmente es profesor de Inteligencia Artificial de los Departamento de Psicología y miembro activo del Laboratorio de Inteligencia Artificial del Departamento Ingeniería Eléctrica y Ciencias de la Computación de la Universidad de Míchigan. En 1975 defendió su tesis doctoral “Adaptation in Natural and Artificial Systems” (Adaptación en Sistemas Naturales y Artificiales) en la Universidad de Michigan, la primera tesis doctoral en Ciencias de la Computación en dicha universidad. En ella, se proponía por primera vez una clase de métodos, llamados Algoritmos Genéticos, para la resolución de problemas. La idea que subyace en los algoritmos genéticos es que es posible implementar, en un Figura 4. John Holland ordenador, un programa que, guiado por los principios de la herencia y la evolución de las especies, suministre la solución de un problema.

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Hugo De Vries: El botánico holandés Hugo De Vries (1848-1935) tuvo un papel importante en la difusión de los estudios de Darwin y de Mendel. En 1889 recuperó explicaciones propuestas por Darwin relacionados con la herencia genética. Por otro lado, en 1900, dieciséis años después de la muerte de Mendel, encontró sus trabajos y dio a conocer sus resultados, aunque en un principio no mencionó a Mendel. La contribución más importante de De Vries fue la introducción del concepto de mutación en la explicación de la evolución de las especies. Defendió que las especies no surgían de manera gradual por procesos de selección natural, sino a través de mutaciones de especies conocidas. Si estas mutaciones derivan en características beneficiosas, las mismas se propagan entre la descendencia. Sin embargo, sus teorías fueron abandonadas cuando se probó matemáticamente que las leyes de Mendel de la herencia genética y la deriva genética permitían explicar la evolución de las especies.

Gregor Johann Mendel: El monje agustino austriaco Johann Mendel (1822-1884) se interesó por los principios que rigen la herencia de características en las especies. En 1843 se ordenó sacerdote y diez años más tarde fue nombrado profesor suplente de la escuela moderna de Brno, lugar donde pasó la mayor parte de su vida. En el jardín del mencionado convento cultivó algunas variedades de guisantes. Escogió algunas características con alternativas claras. Por ejemplo, semillas redondas o rugosas. Seleccionó variedades de guisantes que producían descendencias homogéneas para estas características y estudió sus sucesivas descendencias. De esta forma, pudo enunciar sus leyes acerca de la herencia. Estas muestran en qué proporción se manifiestan las alternativas de cada característica. Para explicar las proporciones observadas, Figura 2. Gregor Mendel Mendel enunció la hipótesis de que la primera generación de guisantes contenía elementos hereditarios para ambas alternativas del carácter. Sus trabajos pueden considerarse como la base de la genética.

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2. Problemas de Optimización

N I

Los algoritmos constituyen una de las áreas más prometedoras de La Inteligencia Artificial y se incluye en amplia relación de técnicas y métodos de las Ciencias de la Computación inspirados en la biología. En particular, otros métodos de la resolución inteligente de problemas de optimización inspirados en la naturaleza que han alcanzado éxitos notables y un cierto prestigio en el área son: Las Redes Neuronales, Los Sistemas basados en Colonia de Hormigas, El Recocido Simulado, la Optimización por Enjambre, La Computación de Membranas y la Optimización Extrema.

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Un problema de optimización consiste, desde el punto de vista matemático, en encontrar dónde se alcanza el óptimo de una función real. Por óptimo se entiende máximo o mínimo, según el caso, y se puede transformar uno en el otro por un cambio de signo en la función. Este óptimo no tiene por que ser único y el interés puede estar en encontrar todos los valores de la función donde se alcance el óptimo o sólo uno de ellos; incluso puede ser suficiente con acercarse a la optimalidad en un alto grado. Formalmente, dada la función f: X→ℜ a minimizar, se trata de encontrar el x* ∈ X tal que f(x*) ≤ f(x), ∀ x ∈ X. Se dice que x* es la solución óptima del problema:

En el caso más general los elementos x ∈ X tienen varias componentes y el conjunto X es equivalente a un subconjunto de un espacio numérico multidimensional con el que se identifica. En este caso, el conjunto X se describe como el de los puntos de cierto espacio ℜn que verifican ciertas condiciones que se expresan mediante desigualdades e igualdades que, en general, se representan conjuntamente por la condición g(x) ≤ 0 donde g y 0 son multidimensionales. Por tanto el problema se representa formalmente por: min f(x): g(x) ≤ 0.

min f(x): x ∈ X.

Y haciendo explícitas las componentes de x y de g el problema es:

Finalmente, la función objetivo f también puede ser vectorial lo que da lugar al problema más general: min f1(x1, x2, …, xn), f2(x1, x2, …, xn), ..., fk(x1, x2, …, xn)

min f(x1, x2, …, xn): gi(x1, x2, …, xn) ≤ 0, i = 1, 2, ..., m.

sujeto a: gi(x1, x2, …, xn) ≤ 0, i = 1, 2, ..., m. El término Optimización Global corresponde al estudio de aquellos problemas donde las variables pueden variar continuamente en un subconjunto de la recta real y se denominan variables continuas. Además, en optimización global el papel de las restricciones se suele reducir a acotaciones en su campo de variación siendo la complejidad de la función objetivo la que juega el papel fundamental. Sin embargo, en los problemas que surgen en aplicaciones prácticas en campos de la ingeniería, la gestión, la técnica y la ciencia las variables sólo pueden tomar valores en un conjunto finito (o a lo sumo numerable). En estos problemas, las restricciones juegan un papel fundamental que hace que las soluciones factibles representen unas combinaciones que pueden ser muy difíciles de conseguir, casi tanto como optimizar la función objetivo, y constituyen el área de la Optimización Combinatoria. En éste área las variables suelen tomar valores enteros, y en muchos casos sólo los valores 0 y 1.

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3. Optimización con algoritmo genético

N O G R Á F

1. Una apropiada codificación de las posibles soluciones del problema representará a éstas de la misma forma que el cromosoma. Representa a los individuos de la especie. Dada esta unívoca relación, se usarán indistintamente los términos solución, codificación, cromosoma o individuo. 2. La adecuación de cada solución será una medida del comportamiento de ésta en el problema particular considerado. Normalmente, es el valor objetivo de la solución. Así, una solución está más adecuada a un problema cuanto mejor sea su valor objetivo. 3. Se definirán unos operadores genéticos que, al actuar sobre una o varias soluciones, suministren una o más soluciones al alterar genéticamente los cromosomas. Juegan el papel del cruce y la mutación en el proceso evolutivo natural.

Para aprovechar las ventajas del modelo del proceso evolutivo en la resolución de un problema de optimización, se deben establecer las siguientes correspondencias:

Un algoritmo genético, desde el punto de vista de la optimización, es un método poblacional de búsqueda dirigida basada en probabilidad. Bajo una condición muy débil (que el algoritmo mantenga elitismo, es decir, guarde siempre al mejor elemento de la población sin hacerle ningún cambio) se puede demostrar que el algoritmo converge en probabilidad al óptimo. En otras palabras, al aumentar el número de iteraciones, la probabilidad de tener el óptimo en la población tiende a 1 (uno). Un algoritmo genético emula el comportamiento de una población de individuos que representan soluciones y que evoluciona en base a los principios de la evolución natural: reproducción mediante operadores genéticos y selección de los mejores individuos, correspondiendo éstos a las mejores soluciones del problema a optimizar.

I C O:

Población

Selección

Cruce

R W I

Mutación

Figura 5. Esquema de funcionamiento de un algoritmo genético

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La versión simple o canónica del algoritmo genético trabaja siguiendo los siguientes pasos:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Generar una población inicial de soluciones. Seleccionar, de la población actual, las soluciones mejor adaptadas. Cruzar algunas soluciones para obtener su descendencia. Mutar algunas soluciones para obtener las soluciones mutadas. Elegir las soluciones que sobreviven y formarán la nueva generación. Si no se alcanza el criterio de parada volver al paso 2.

Al finalizar los pasos anteriores, la mejor solución de la población es la que se propone como solución del problema.

3.1. Un ejemplo

Encontrar el máximo global de la función real de una variable f(x) = – x2 + 5x +3 sobre el intervalo (0,4) con una precisión de 3 dígitos tras el punto decimal. La función f es un polinomio de segundo grado cuyo máximo absoluto se encuentra en x = 2,5 alcanzo un valor de 9,25 como es fácil de comprobar. La forma de esta función en el intervalo dado se refleja en la figura siguiente.

Planteemos el siguiente problema de optimización:

9,25

2,5

Figura 6. Gráfica de la función a optimizar

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3,791015625 1,546640625 0,119140600 2,359375000 2,056640600

[ 1 1,1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ] [ 0 1,1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ] [ 0 0,0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 ] [ 1 0,0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 ] [ 1 0,0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ]

Número real

Cromosoma

Tabla 1. Población inicial

f(x1) = 5,8865 f(x2) = 8,3411 f(x3) = 4,9638 f(x4) = 9,2302 f(x5) = 9,0534

x1 = 3,791015625 x2 = 1,546640625 x3 = 0,119140600 x4 = 2,359375000 x5 = 2,056640600

[ 1 1,1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ] [ 0 1,1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ] [ 0 0,0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 ] [ 1 0,0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 ] [ 1 0,0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ]

Valor de la función: f(xi)

x1 = x2 = x3 = x4 = x5 =

Número real: xi

El algoritmo genético empieza con una población de soluciones del problema de un tamaño determinado. Una forma sencilla de construir una población inicial de tamaño n consiste en generar sus soluciones aleatoriamente. En este caso, se trata de obtener al azar n cadenas binarias de tamaño 12. En la tabla siguiente se muestra una de tales poblaciones iniciales con n = 5 individuos. En dicha tabla se recoge la cadena binaria, el número real que representa y el valor de dicha cadena. Cromosoma

Para representar de forma apropiada las soluciones de este problema usamos la representación binaria. Representamos cada número real del intervalo (0,4) en base 2 con una precisión de 10−3. Puesto que 4 = 1002 y 0,00000000012 = 2−10 < 10−3 será suficiente con tomar como soluciones posibles del problema a los números reales representados en forma binaria por dos cifras antes de la coma y 10 detrás. Algunos ejemplos se muestran a continuación.

Tabla 2. Evaluación de la población inicial

El mayor valor del objetivo en la población es f(x3) = 9,2302 y el valor promedio es 7,495.

f(x1) / ∑ f(xi) = 0,157 f(x2) / ∑ f(xi) = 0,223 f(x3) / ∑ f(xi) = 0,132 f(x4) / ∑ f(xi) = 0,246 f(x5) / ∑ f(xi) = 0,241

f(x1) = 5,8865 f(x2) = 8,3411 f(x3) = 4,9638 f(x4) = 9,2302 f(x5) = 9,0534

[ 1 1,1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ] [ 0 1,1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ] [ 0 0,0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 ] [ 1 0,0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 ] [ 1 0,0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ]

Probabilidades

∑ f(xi) = 37,475 Tabla 3. Probabilidades de selección

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x1 = x2 = x3 = x4 = x5 =

Valor de la función: f(xi)

Cromosoma

El siguiente paso será seleccionar de la población los elementos que van a someterse al cruzamiento y eventualmente a la mutación. El procedimiento de selección debe ser tal que los individuos más adaptados, es decir, las soluciones, x, con mayor valor de la función f(x), tengan mayor probabilidad de ser elegidos. Las probabilidades proporcionales al valor de la función se obtienen dividiendo cada f(xi) por la suma de todas ellas; en nuestro ejemplo es 37,475.

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Una de las técnicas más usuales para ello es emplear el conocido como método de la rueda de hilar. La idea es construir una rueda de ruleta con sectores proporcionales a estas probabilidades.

100 0

I W

75,8

38,0

15.7% 22.3% 13.2% 24.6% 24.1%

51,2

Figura 7. Método de la Rueda de la Ruleta

En términos matemáticos se asigna a cada solución, x, de la población un segmento del intervalo [0,1] proporcional a su probabilidad; es decir al valor relativo de la función f:

x1 x2 x3 x4 x5

15,7

1 0.38 0.512

0.758

0.157

Si se obtienen los números aleatorios 0,532 – 0,776 – 0,723 – 0,285 – 0,846 resultan seleccionados los individuos x4, x5, x4, x2 y x5.

Figura 8. Método de la Rueda de la Ruleta sobre el intervalo [0,1]

Cromosoma

Número real: xi

Valor de la función: f(xi)

x4 = [10,0101110000] x5 = [10,0000111010] x4 = [10,0101110000] x2 = [01,1000111010] x5 = [10,0000111010]

x4 = 2,359375000 x5 = 2,056640600 x4 = 2,359375000 x2 = 1,546640625 x5 = 2,056640600

f(x4) = 9,2302 f(x5) = 9,0534 f(x4) = 9,2302 f(x2) = 8,3411 f(x5) = 9,0534

Tabla 4. Individuos seleccionados de la población

Nótese que al seleccionar con mayor probabilidad los mejores individuos la media de los valores seleccionados es mejor que la media de la población de la que proviene. En este caso, el promedio de los valores de los individuos seleccionados sube hasta 8,58146.

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[10,01011|11010]

[10,00001|10000]

[10,00001|11010]

[10,01011|10000]

El siguiente paso consiste en obtener parejas de estos individuos para cruzarlos y aplicarles el operador de cruce considerado. Uno de los operadores más usuales para cadenas binarias consiste en seleccionar al azar una posición de cruce e intercambiar las subcadenas de la derecha.

O G

Figura 9. Cruzamiento unipuntual

f(x1) = 5,8865 f(x2) = 8,3411 f(x3) = 4,9638 f(x4) = 9,2302 f(x5) = 9,0534

x1 = 3,791015625 x2 = 1,546640625 x3 = 0,119140600 x4 = 2,359375000 x5 = 2,056640600

[ 1 1,1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ] [ 0 1,1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ] [ 0 0,0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 ] [ 1 0,0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 ] [ 1 0,0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ]

Valor de la función: f(xi)

x1 = x2 = x3 = x4 = x5 =

Número real: xi

Cromosoma

Por tanto de los padres x4 = [10,0101110000] y x5 = [10,0000111010] obtenemos los dos hijos [10,0101111010] y [10,0000110000] que si sustituyen a sus padres tenemos una nueva población. Por tanto, de la población inicial

Tabla 5. Población inicial

con mejor valor 9,2302 y promedio 7,495 pasamos a la población tras el cruzamiento y sustitución

Cromosoma

Número real: xi

f(x1) = 5,8865 f(x2) = 8,3411 f(x3) = 4,9638 f(x'4) = 9,2329 f(x'5) = 9,0447

A R W

x1 = [ 1 1,1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ] x1 = 3,791015625 x2 = [ 0 1,1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ] x2 = 1,546640625 x3 = [ 0 0,0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 ] x3 = 0,119140600 x'4 = [ 1 0,0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 ] x'4 = 2,369140625 x'5 = [ 1 0,0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ] x'5 = 2,046875000

Valor de la función: f(xi)

Tabla 6. Población tras cruzamiento y sustitución

con mejor valor 9,2329 y promedio 7,483.

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Pero si los nuevos individuos generados sustituyen a los dos peores de la población obtenemos la población

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Cromosoma

Número real: xi

Valor de la función: f(xi)

x'4 = [ 1 0,0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 ] x2 = [ 0 1,1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ] x'5 = [ 1 0,0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ] x4 = [ 1 0,0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 ] x5 = [ 1 0,0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ]

x'4 = 2,369140625 x2 = 1,546640625 x'5 = 2,046875000 x4 = 2,359375000 x5 = 2,056640600

f(x'4) = 9,2329 f(x2) = 8,3411 f(x'5) = 9,0447 f(x4) = 9,2302 f(x5) = 9,0534

Tabla 6. Población tras cruzamiento y sustitución por los peores

que tiene promedio 8,98046. Además del cruzamiento, el otro operador básico de los algoritmos genéticos es la mutación, que esencialmente modifica al azar algunos de los genes del cromosoma del individuo que muta. Para cadenas binarias la modificación del gen consiste en intercambiar uno de los posibles valores por el otro; 0 por 1 o 1 por 0. La probabilidad de mutación, y por tanto la frecuencia con la que se aplica, suele ser muy pequeña con respecto al cruzamiento. Para aplicarlo a un individuo concreto, una vez fijada la probabilidad de mutación, se puede decidir, gen a gen, si muta o no. Otra posibilidad es decidir para cada individuo si muta o no con esa probabilidad, y en caso de mutar un individuo, se elige al azar el gen que muta y se modifica su valor.

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[ 1 0,0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ]

[ 1 0,0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 ]

Si en nuestro ejemplo muta el elemento x4 = [10,0101110000] en la posición 5 se obtiene el nuevo cromosoma x''4 = [10,0111110000] que corresponde a 2,484375 y llega a alcanzar el valor del objetivo 9,2497. De esta forma la población, tras el primer cruzamiento y la primera mutación queda

Figura 9. Mutación en el quinto gen

Cromosoma

Número real: xi

x'4 = [ 1 0,0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 ] x'4 = 2,369140625 x2 = [ 0 1,1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ] x2 = 1,546640625 x'5 = [ 1 0,0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ] x'5 = 2,046875000 x''4 = [ 1 0,0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ] x''4 = 2,484375000 x5 = [ 1 0,0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ] x5 = 2,056640600

Valor de la función f(xi)

f(x'4) = 9,2329 f(x2) = 8,3411 f(x'5) = 9,0447 f(x''4) = 9,2497 f(x5) = 9,0534

Tabla 7. Población tras cruzamiento y sustitución por los peores

En esta situación se ha concluido el primer ciclo evolutivo y la solución propuesta es la mejor solución de la población que se trata de la solución x* = 2,484375 que corresponde al cromosoma [10,0111110000] y tiene un valor objetivo f(x*) = 9,2497. La solución aportada está muy cerca de la verdadera solución optima x* = 2,5 que corresponde al cromosoma [10,1000000000] con un valor objetivo f(x*) = 9,25.

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De esta forma se cierra un ciclo evolutivo y se vuelve otra vez a trabajar con la nueva población. Este proceso se itera hasta que se cumpla un criterio de parada.

3.2. La metáfora

Algoritmo Genético

Evolución Heurística Ambiente Problema Población Conjunto Individuo Solución Adaptación Calidad Cromosoma Representación Mutación Movimiento Cruzamiento Combinación

R Á F I

Tabla 8. Metáfora de aplicación de los algoritmos genéticos

R W I N

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Una vez establecida la interpretación de la metáfora que da lugar al diseño del algoritmo genético existe una gran variedad de formas de implementar las distintas componentes que lo constituyen. Una de las versiones más simples, que generalmente se denomina Algoritmo Genético Canónico, es la descrita en el pseudocódigo siguiente:

Una parte fundamental del diseño e implementación de un algoritmo genético para resolver un problema consiste en hacer una interpretación adecuada de esta metáfora con los matices pertinentes. El primer paralelismo presente en la metáfora se presenta entre la propia evolución como un proceso natural y el algoritmo genético como una heurística que guía el proceso de convertir un conjunto arbitrario de soluciones del problema en uno que contenga la solución óptima, o una próxima a serlo. El ambiente natural en el que se desarrolla el fenómeno de la evolución y las características del problema abordado por el algoritmo genético representa el conjunto de característica que condiciona la propia evolución. El objeto de interés es la población de individuos que evoluciona en la naturaleza y los elementos de un conjunto de soluciones que se van actualizando continuamente. Sus miembros se denominan, respectivamente, individuos y soluciones. En ellos se mide o evalúa la adaptación al ambiente y su calidad como soluciones del problema para determinar el papel que juegan en la evolución conjunta y el grado de éxito alcanzado. Los cromosomas reflejan la manera de almacenar la información necesaria de los individuos para determinar las características de interés de la misma forma que la representación de las soluciones determinan las características que se consideran importantes para el problema. Finalmente, las operaciones que permiten la interacción entre los individuos o soluciones y los cambios que se producen en ellos son la mutación o movimiento en el espacio de soluciones y el cruzamiento o combinación de soluciones.

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Evolución Natural

Los algoritmos genéticos se pueden utilizar para resolver prácticamente cualquier tipo de problema de optimización. Para ello es necesario establecer la correspondencia entre los distintos elementos del problema y las componentes del algoritmo genético. Esta correspondencia se deriva de la particular interpretación de la metáfora que inspira los algoritmos genéticos que viene reflejada en la tabla siguiente.

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Procedure Algoritmo Genético Begin t ← 0 ; Inicializar P(t) ; Evaluar P(t) ; Repeat Seleccionar P(t+1) desde P(t) ; Operar P(t+1) ; Evaluar P(t+1) ; t ← t + 1 ; Until Criterio_de_Parada ; End ;

Figura 10. Pseudocódigo de un algoritmo genético estándar

El algoritmo genético canónico sigue el esquema:

Población

Selección

Padres y Mutantes

Operadores Genéticos: Cruce y Mutación

Nuevos Individuos

Figura 11. Esquema de funcionamiento de un algoritmo genético estándar

O N O M

Reemplazamiento

3.3 Variantes fundamentales Las diferentes versiones de los algoritmos genéticos surgen al especificar los distintos detalles de las componentes de un algoritmo genético. Dos elementos importantes comunes a la mayoría de los algoritmos genéticos son el tamaño de la población y el criterio de parada. El tamaño de la población suele ser de varios cientos o miles de individuos y su elección se realiza a partir de la propia experiencia tratando de buscar un equilibrio entre el esfuerzo de cómputo y la capacidad de barrer completamente el espacio de búsqueda. El criterio de parada puede ser cualquiera de los comúnmente utilizados en los métodos de búsqueda heurística referidos al esfuerzo de cómputo o al estancamiento de la búsqueda. El esfuerzo de cómputo se puede medir a través del

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O N O

El estancamiento de la población, en el sentido de que no mejora la evaluación media o la mejor solución aportada, en un cierto número de etapas es un criterio de parada razonable porque indica claramente que esfuerzos adicionales no producirán mejoras apreciables. Sin embargo, los algoritmos genéticos tienen el riesgo de estancarse antes de alcanzar soluciones de alta calidad produciendo una convergencia prematura, por lo que se dotan de instrumentos para evitarlo, frecuentemente basados en el control de la diversidad de la población. Esta diversidad se mide generalmente en términos de los valores promedio o mejor de la función objetivo en la población, aunque algunas propuestas más avanzadas tienen en cuenta otros aspectos de diferenciación entre sus individuos.

tiempo de CPU o número de operaciones básicas aplicadas (como por ejemplo, número de cruzamientos), aunque lo más corriente es limitar el número de generaciones o ciclos evolutivos que se ejecutan. El tamaño de la población y el número de generaciones dan lugar al número total de individuos que se evalúan y su combinación se utiliza para establecer comparaciones experimentales en el rendimiento de distintas estrategias implementadas.

Existen dos tipos de modelos clásicos

Á F

Modelo Estacionario: En cada iteración, se seleccionan dos padres de la población y se les aplican los operadores genéticos obteniendo dos hijos (posiblemente mutados). Los nuevos individuos reemplazan a sus padres.

Modelo Generacional: En cada iteración, a partir de la población existente se genera una población completa de nuevos individuos con los operadores genéticos. La nueva población reemplaza a la anterior.

Modelo Generacional:

reemplazan o compiten con la población anterior

P1 P2

H1 con probabilidad pc H2 con probabilidad pm

…

I1 I2 P son copias de I k k … In

A R

Modelo Estacionario: reemplazan o compiten con sus padres

dos padres

P1 P2

siempre

H1 H2

con probabilidad

M1 M2

I1 I2 … In

Figura 12. Modelos generacional y estacional de un algoritmo genético

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El elitismo persigue que se mantengan en la población los mejores individuos que sólo pueden ser reemplazados si aparece un individuo mejor. La competición utiliza una comparación entre los nuevos individuos y los existentes para establecer cuál permanece en la población y cuál desaparece. El mejor reemplaza siempre al peor o con una probabilidad menor que 1, pero mayor que 1/2; regulando la presión selectiva. Codificación. Tradicionalmente, y debido a las primeras aplicaciones de los algoritmos genéticos para resolver problemas con variables numéricas continuas, se ha usado como técnica de codificación la binaria (las variables reales se representan con cadenas binarias de ceros y unos). Sobre las cadenas se han definido de forma sencilla multitud de operadores. Esta sencillez de definición, y el hecho de que casi la totalidad del estudio teórico sobre el comportamiento del algoritmo se haya basado en esta codificación, ha motivado que muchos investigadores usen la codificación binaria para representar las soluciones de sus problemas. Sin embargo, en muchos problemas no es fácil codificar las soluciones a través de cadenas binarias; o no es lo más eficiente y eficaz. Además si el problema tiene restricciones en las variables, puede ser complicado trabajar con operadores genéticos que puedan dar lugar a soluciones no factibles. Para representar variables reales acotadas, se utiliza la siguiente técnica. Si queremos utilizar una variable x con precisión ε y rango de variación [a,b] hay que usar una cadena binaria con tamaño c = 1 + ⎣log2 (b−a)⎦ / ε. La cadena que representa al valor v será la expresión en base 2 del número x = 2c (v − a)/(b − a). Recíprocamente, el valor v correspondiente a una cadena binaria que en base 2 corresponda al número x es v = a + x·2−c (b − a). Por ejemplo, si queremos representar una variable x en el intervalo [1,3] con una precisión de ε = 10−6 necesitamos una cadena de tamaño c = 20. Así, por ejemplo, la cadena binaria [100101110000111100101], es la expresión del número 1237477 en base 2 que corresponde al valor v = 1 + 1237477 (3 − 1) 2−20 = 2,180150. Operadores de cruce.

Algunos de los operadores básicos más usuales son los siguientes. Cruce unipuntual: se selecciona al azar una posición de cruce y se intercambian las subcadenas situadas a la derecha de esta posición.

•

Padres

Hijos

[ 1 0 0 1 0 1 1|1 0 0 0 0 ] [ 1 0 0 1 0 1 1|1 1 0 1 0 ] [ 0 1 1 0 0 0 1|1 1 0 1 0 ] [ 0 1 1 0 0 0 1|1 0 0 0 0 ]

Tabla 9. Operador de Cruce unipuntual

•

Cruce bi-puntual: se selecciona al azar dos posiciones de cruce y se intercambian las subcadenas situadas entre dichas posiciones

Padres

Hijos

[ 1 0 0 1|0 1 1 1 0|0 0 0 ] [ 1 0 0 1|0 0 1 1 1|0 0 0 ] [ 0 1 1 0|0 0 1 1 1|0 1 0 ] [ 0 1 1 0|0 1 1 1 0|0 1 0 ] Tabla 11. Operador de Cruce bi-puntual

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•

Cruce aleatorio: se decide al azar si se intercambia o no cada elemento de las subcadenas. Hijos

Padres

[100101110000] [101101111000] [011000111010] [010000110010] Esquemas de selección.

G R

•

Por Torneo: Se eligen k al azar y de ellos se toma el mejor; se repite 2p veces como haga falta. Orden lineal: Se ordenan de mejor a peor y se escogen los 2p mejores. Aleatoria pura: Se escogen totalmente al azar 2p individuos. Procedimiento de la ruleta: se asignan probabilidades y se eligen 2p padres de acuerdo a ellas. Diverso/aleatorio: Se escoge p veces un padre al azar que se empareja con el individuo más diferente a él. Diverso/elitista: Se escogen los p mejores y cada uno de ellos se empareja con el individuo más diferente a él.

• • • • •

Para elegir los 2p padres, p parejas, con los que realizar los cruzamientos se puede aplicar, entre otras, una de las siguientes fórmulas:

Además, se pueden combinar varios de estos métodos, lo que es bastante corriente en aplicaciones prácticas exitosas.

Modelos con probabilidades uniformes.

I D A R 43

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La codificación binaria de variables de cualquier tipo permite teóricamente aplicar un algoritmo genético a cualquier problema. De hecho, la forma en que se almacenan los datos a bajo nivel en el ordenador son siempre cadenas de ceros y unos. Sin embargo, existen otras alternativas más especializadas de la codificación adoptada y del diseño e implementación de los diferentes operadores que son esenciales en el éxito práctico de algoritmos genéticos a problemas reales. Para mostrar algunas de las cuestiones específicas de la aplicación de algoritmos genéticos a problemas combinatorios escogemos un tipo importante de problema de optimización combinatoria: los problemas de selección. Estos problemas combinatorios con aplicaciones relevantes en clasificación y en bioinformática, son los consistentes en seleccionar de forma óptima un número fijo p de elementos de un universo de n miembros. En particular consideramos el problema de la p-mediana, un problema

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3.4. Algoritmo Genético para problemas combinatorios

Para el estudio de las propiedades teóricas del comportamiento de los algoritmos genéticos hay que acudir a modelos simplificados, como el algoritmo genético con probabilidades uniformes. En esta versión del algoritmo genético, se considera un sólo operador cruce y uno de mutación, organizando la aflicción de los operadores genéticos a los elementos seleccionados de la población en una fase de cruce y seguida de una de mutación. En la fase de cruce, para cada individuo seleccionado de la población, se decide, con una probabilidad pc, si ésta se toma como padre de un cruce. A continuación se aparean aleatoriamente las codificaciones seleccionadas y se aplica el operador cruce a cada una de estas parejas. Las dos codificaciones hijas resultantes reemplazan a sus padres. Durante la fase de mutación, para cada codificación seleccionada de la población, y para cada uno de los símbolos que la forman, se decide con una probabilidad dada, pm, si éste se altera o no. Las codificaciones mutadas ocupan el lugar de aquellas de las que provienen.

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muy estudiado en la literatura y con importantes aplicaciones en planificación logística que permite ilustrar cómo utilizar algoritmos genéticos para resolver problemas combinatorios. Una bibliografía actualizada sobre este problema puede verse en Reese (2006) y sobre la aplicación de metaheurística en Mladenović et al. (2007); en particular, sobre la aplicación de algoritmos genéticos Alp et a. (2003). Vamos a describir los elementos para diseñar un Algoritmo Genético para estos problemas: Codificación, Selección, Cruzamaniento, Mutación,… El problema de la p-mediana se formula en los siguientes términos: “Dado un conjunto finito U de m puntos de demanda y un conjunto L de n puntos de localización, se desean seleccionar p de estos puntos, llamadas medianas que hagan mínima la suma de las distancias a los puntos de U”.

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min ∑ min Dist (u , x)

| X |= p x∈ X X ∈L u∈U

El problema de la p-mediana pertenece a una importante clase de problemas de localización que cuenta en general con los siguientes elementos:

• •

Dist(ui ,X) = min {Dist(ui ,vj ) : vj ∈X } Æ f(X) Algunos problemas clásicos de este tipo son la p-mediana, el p-centro y el λ-centdian.

Entre estos problemas, los más comunes son los de asignación directa donde cada usuario se asigna al punto de localización seleccionado más cercano y la función objetivo de un conjunto de localizaciones X se expresa en términos de las distancias:

• •

Un conjunto de localizaciones potenciales: L = { v1 , v2 , ... , vm }. Un conjunto de usuarios del servicio. U = { u1 , u2 , ... , un }. Una función f(X) a minimizar definidas para cualquier X ⊆ L con |X| = p. La función f se define a partir de las distancias usuario-localización: Dist: U × L Æ R

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Codificación binaria.

M O N

Dado que el conjunto de posibles selecciones es finito, se supone ordenado o indexado, y cada solución del problema se representa por una n-upla binaria con p unos; un 1 en la i-ésima posición indica que el i-ésimo item está en la solución. Las principales ventajas de esta codificación son que pueden utilizarse los operadores genéticos empleados por el algoritmo genético clásico. Los inconvenientes son que esos operadores suministran, en general, soluciones no factibles, y que las n−p posiciones en las que aparece un cero no aportan información adicional y, sin embargo, ocupan memoria. Para subsanar el primero de los inconvenientes se puede penalizar la función objetivo con la desviación entre el valor de p y el de unos en la solución. Ejemplo: Si hay n = 7 items y se eligen p = 4 de ellos para cada solución, algunos ejemplos de codificaciones de soluciones son: [1 0 1 0 0 1 1], [1 0 0 0 1 1 1], [1 1 1 1 0 0 0], …

Codificación indexal.

G F I

La codificación indexal ha mostrado un mayor rendimiento que la codificación binaria en algunos problemas prácticos.

Ejemplo: Si el número de items posibles es n = 7 y se pretenden localizar p = 5 servicios, la solución [1 0 1 0 1 1 1] se codifica como [1 3 5 6 7].

Otra codificación es la p-upla ordenada de los índices de los items seleccionados. La ordenación se utiliza para asegurar que en las mismas circunstancias, el operador cruce, que se define a continuación, suministra las mismas soluciones hijas. Se llama a esta codificación, indexal.

Cruce indexal.

D A R W I

1) tras las ordenaciones correspondientes, dicho índice mantiene su posición a la izquierda del punto de cruce, o

El operador de cruce indexal mantiene, en cada una de las codificaciones hijas, los índices de los respectivos padres situados a la izquierda de la posición de cruce. En efecto, debido a las ordenaciones usadas para codificar las soluciones y aplicar el cruce, los índices marcados ocupan la misma posición en cada una de las soluciones. Si un índice a la izquierda de la posición de cruce no es marcado, no altera su posición dentro de la solución y no abandona ésta durante el intercambio de índices. Si ese índice es marcado pueden ocurrir dos cosas:

El operador de cruce indexal intercambia los índices a la derecha de la posición de cruce. Esta operación se diseña de forma que cada vez que actúe sobre dos codificaciones padres con el mismo punto de cruce, dé lugar a las mismas codificaciones hijas, y asegurando que las codificaciones resultantes sean factibles. Lo primero se consigue utilizando una ordenación de los índices, y lo segundo marcando aquellos índices que necesariamente deben pasar de una codificación a otra para que se cumpla el requerimiento de factibilidad. El cruce se implementa eligiendo al azar una de las p−1 posiciones de ruptura. Las posiciones situadas a la derecha de ésta, son las posiciones de cruce.

2) altera su posición situándose a la derecha de dicho punto.

En ambos casos, tras el cruce, forma parte de la nueva solución.

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Marcar los índices que aparezcan en las posiciones de cruce de la codificación enfrentada;

•

Marcar los índices de las posiciones de cruce que están presentes en la otra codificación;

•

Colocar en las primeras posiciones, y en orden creciente, los índices no marcados; colocar en las últimas posiciones, y en orden creciente, los índices marcados;

•

Intercambiar los índices de las posiciones de cruce;

•

Eliminar las marcas y ordenar las codificaciones resultantes.

Ejemplo: Supongamos que las codificaciones padres son: [1 3 8 9 10] y [7 9 10 11 15]. Si la posición de cruce es 2, las marcas son las siguientes: [1 3 8 9* 10*] y [7 9* 10* 11 15]. Tras ordenar los índices no marcados quedan las secuencias: [1 3 8 9* 10*] y [7 11 15 9* 10*]. Aplicando la operación de cruce resultan: [1 3 15 9 10] y [7 11 8 9 10], que una vez ordenadas dan lugar a las codificaciones hijas: [1 3 9 10 15] y [7 8 9 10 11]. La mutación indexal se define de forma análoga a la considerada para cadenas binarias, esto es, cambia el índice a mutar por otro no presente en la solución.

C I

4. Conclusiones Los algoritmos genéticos constituyen una de los instrumentos más relevantes de las técnicas de Inteligencia Artificial inspiradas en la naturaleza. Su interés teórico y práctico está sustentado en estudios e investigaciones ampliamente difundidas en publicaciones de alto prestigio. Desde el punto de vista teórico muestran cómo la naturaleza proporciona modelos sencillos que permiten dar solución a problemas importantes en la sociedad actual. Desde el punto de vista práctico revelan cómo obtener fácilmente algoritmos eficientes que tengan éxito en importantes aplicaciones prácticas. En este trabajo mostramos como se aplican los fundamentos de los algoritmos genéticos, tanto para los problemas de optimización global para los que originalmente fueron concebidos, como para los problemas combinatorios que con cada vez mayor relevancia práctica aparecen en contexto actuales de la ciencia, la ingeniería, la gestión o la actividad empresarial e industrial.

Alp, O., Erkut, E., Drezner, Z. (2003). An Efficient Genetic Algorithm for the p-Median Problem. Annals of Operations Research, 122 (1-4), 21-42. Darwin, C. (1859). On the Origin of Species by Means of Natural Selection. Murray, Londres.

Bibliografía

Ejemplo: Si la solución actual es [1 3 8 9 10] y el índice a mutar es el 3, una de las soluciones resultantes puede ser [1 5 8 9 10].

•

El procedimiento para implementar el cruce indexal es el siguiente. Para cada una de las codificaciones de la pareja desarrollar los siguientes pasos:

Goldberg, D., Sastry, K. (2008) Genetic Algorithms. The Design of Innovation. Springer, Berlín. Goldberg, D.E. (1989). Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. AddisonWesley, Reading, MA.

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Mladenović, N., Brimberg, J., Hansen, P., Moreno-Pérez J.A. (2007). The p-median problem: A survey of metaheuristic approaches. European Journal of Operational Research, 179(3), 927-939.

Reese, J. (2006). Solution methods for the p-median problem: An annotated bibliography. Networks, 48 (3), 125-142.

O N

O G R

Á F I

C O: D A R W I N

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 49–56

La evolución de la tecnología computacional y su relación con la educación matemática Ramón Sebastián Salat Figols (Escuela Superior de Física y Matemáticas. Instituto Politécnico Nacional. México, DF) Fecha de recepción: 16 de octubre de 2008 Fecha de aceptación: 21 de abril de 2009

Resumen

En este trabajo haré una revisión de la evolución de la tecnología computacional y su relación con la educación matemática. Además, voy a presentar diferentes tipos de tecnología digital, sus posibilidades en la educación y cómo se utilizan. Por último, voy a presentar información sobre el número de ordenadores que existen y la forma en que se utilizan en la educación matemática en Mexico. Esto es, con el propósito de que los profesores de matemática puedan tener una perspectiva amplia para utilizar la tecnología computacional.

Palabras clave

Tecnología, educación matemática, cálculo simbólico, computadora.

Abstract

Keywords

In this work I will make a review of the evolution of the computational technology and their relation with mathematical education. Also, I will present different kinds of digital technology, their possibilities in the education and how they are used. Finally, I will present information about how many computers to exist and how they are used in mathematical education in Mexico. That is, with the purpose of that the mathematics teachers can have a broad perspective to use the computational technology. Technology, mathematics education, symbolic calculus, computer.

1. Historia La computadora es una herramienta creada por el hombre; pero a diferencia de muchas otras, es muy versátil. La mayor parte de ellas, se basan en una arquitectura que frecuentemente se atribuye a Von Newman, materializada por primera vez en la máquina EDVAC. Los datos y los programas se almacenan en una misma memoria; esta cualidad junto con su estructura general, la convierten en el sueño de la máquina analítica de Charles Babbage hecho realidad. La idea es la de una máquina de propósito general, es decir, que sea capaz de realizar tareas muy diversas. Una herramienta de este tipo admite muchas recreaciones. Lo que estamos viviendo actualmente en el campo del uso de la computadora en la educación es una recreación continua y de grandes proporciones de la herramienta. Las primeras computadoras fueron creadas para ser utilizadas en tareas administrativas tales como censos de población y conteo de votos, y para propósitos militares como la codificación y decodificación de mensajes. La especie humana se distingue de las demás por ser capaz de crear herramientas y transmitir socialmente a nuevas generaciones las modificaciones a las mismas (Cole, 1990, pp.279-336). La rápida evolución tanto a nivel de hardware como de software durante varias décadas, ha permitido que Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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esta herramienta haya aumentado considerablemente sus posibilidades y el número de personas que tienen acceso a ella. En todo el mundo el número de computadoras grandes (no personales) creció de manera importante; en México, esto ocurrió en las décadas de los 60 y 70. Al mismo tiempo, comenzaban a aparecer las computadoras personales. Debido a las necesidades curriculares de las carreras de ciencias e ingeniería, el énfasis en el uso de la computadora estaba en la programación. En las computadoras grandes se usaban principalmente los lenguajes Fortran y Cobol, mientras que en las personales, se usaba Basic. La aparición de las computadoras cambió el quehacer de la matemática; temas como el análisis numérico, la investigación de operaciones y las técnicas de simulación, entre otros, empezaron a ocupar páginas de las revistas de matemáticas. La realización de grandes cantidades de cálculos numéricos se volvió factible. El primero de mayo de 1964, Kemeny y McGeachie corrían el primer programa en lenguaje Basic en el Dartmouth College. En las décadas de los 70 y 80, proliferaron computadoras de bajo costo con notables posibilidades de graficar, que generalmente se podían programar en Basic. Una de las razones por las que estas máquinas se hicieron populares fue por la posibilidad de programar juegos en ellas, pero también hubo esfuerzos encaminados al uso de Basic para resolver problemas de matemáticas (Kemeny; Kurtz, 1967). Comenzaron a utilizarse ampliamente las computadoras personales de bajo costo con un sistema operativo y con programas para procesamiento de textos y de hojas de cálculo. Estas máquinas fueron substituyendo rápidamente a las máquinas de escribir en las oficinas. La programación en estas máquinas se fue convirtiendo en un tema para especialistas, para el grupo de personas que hoy llamamos desarrolladores. Y comenzó a diversificarse la temática de los programas disponibles. Por ejemplo, en 1967 el grupo formado por Bolt, Beranek, Newman y Papert, con Feurzeig como líder, desarrollaron en el MIT, la primer versión del lenguaje Logo. Existen importantes aportaciones acerca de cómo usar Logo para explorar conceptos de Matemáticas (Papert, 1996, 95-123; Sacristán, 1997). Papert, defiende con respecto al aprendizaje de las matemáticas, un constructivismo basado en la actividad en el mundo material, en contextos cercanos al estudiante, como sustento para las construcciones mentales; esta actividad en el mundo material tiene importancia en sí misma y no solamente como un preámbulo hacia lo abstracto; señala como un error de la escuela el afán de pasar de lo concreto a lo abstracto tan pronto como sea posible; también señala que la computadora amplía las posibilidades de los estudiantes de participar en actividades de matemáticas. Las actividades de programación en lenguaje Logo se han difundido en los cursos de enseñanza media en muchos países; pero es difícil saber en cuántos casos se ha enseñado Logo como un recurso de programación y en cuántos como un contexto para explorar conceptos matemáticos y con qué postura en cuanto al proceso de aprendizaje. Existen otros aspectos importantes a discutir acerca de la conveniencia de usar Logo para estudiar conceptos de geometría, tales como el siguiente: en Logo las figuras geométricas se generan mediante el movimiento de la tortuga, esta visión de las curvas es la de Isaac Newton, pero las curvas tienen una existencia en sí mismas, independientemente de la existencia o no del movimiento. El aprendizaje de la programación presenta sus propias dificultades. Si los problemas que se plantean a los alumnos consisten solamente en traducir un algoritmo previamente dado a un lenguaje de programación, no hay grandes dificultades. Pero si se busca que los alumnos utilicen la programación como un instrumento para resolver problemas de Matemáticas y de Física, entonces se presentan las dificultades asociadas a los procesos de solución de problemas (Salat, 2007).

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Cabri Géomètre fue desarrollado por Jean-Marie Laborde y permite desarrollar actividades de geometría en un entorno gráfico y dinámico (Laborde, 2001, 1382-3892). La posibilidad de mover objetos dentro de una representación y de crear animaciones, da a Cabri la posibilidad de crear entornos para la exploración de propiedades geométricas. Aparecieron también los programas para realizar cálculo simbólico, para resolver ecuaciones en forma exacta, para derivar e integrar funciones y para resolver en forma exacta ecuaciones diferenciales; cuando no es posible encontrar una solución exacta, por ejemplo,

∫

sen( x) dx , x

usualmente el programa regresa la misma la misma integral sin realizar ningún cambio. Existen otros programas que permiten explorar la Geometría en forma dinámica, tales como Sketchpad, GeoLab, Geogebra y DrGeo. Todos ellos permiten la exploración de las propiedades de las figuras geométricas. También hay varios programas como Maple, Mathlab, Octave, Xcas, Maxima y Mathematica que admiten la programación y diversas tareas útiles en la solución de problemas en forma numérica, gráfica y, en general, la exploración de conceptos matemáticos. Estos programas pueden utilizarse en cursos específicos, por ejemplo, de análisis numérico, pero es deseable que sean incorporados en los diversos cursos de matemáticas en forma oportuna e integrada. Finalmente, es importante observar la existencia del software libre, porque para muchos estudiantes representan la única posibilidad de acceder a este tipo de programas. Entre los programas de software libre contamos con DrGeo, Octave, Maxima, Xcas y otros. Todos ellos funcionan en diferentes plataformas y son de alta calidad.

2. Tipos de computadoras La tecnología para la enseñanza de las matemáticas hoy en día está disponible en varias plataformas: a) b) c) d)

Computadora personal. Calculadora. Computadora de mano. Computadora de bajo costo.

A continuación se analizarán las características de cada caso y sus diferencias. La ventaja de usar computadora es que es posible disponer de programas poderosos y variados y también que existen diversas herramientas para el desarrollo de programas. Entre las desventajas más importantes están el costo y los problemas de movilidad (aún en el caso de las portátiles). Entre las calculadoras graficadoras las hay con amplio poder de graficación, de cálculo, incluso cálculo simbólico, con posibilidades de programación y de presentar simultáneamente diferentes representaciones de un objeto. Incluso para algunas de ellas es posible escribir programas en lenguaje C y compilarlos a lenguaje ensamblador del procesador de la calculadora, con lo cual, los programas corren con relativa velocidad. Estos programas que permiten compilar, son entornos gráficos que emplean el compilador gcc. Entre las ventajas del uso de las calculadoras están su relativo bajo costo, la facilidad de movilización y los programas incluidos que permiten calcular en un sentido amplio y explorar conceptos matemáticos tanto en Cálculo como en Geometría. Entre las desventajas están la pantalla pequeña, con poca resolución y monocromática (salvo alguna excepción) y las limitaciones en cuanto Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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a los ambientes gráficos en los que se ejecutan los programas. La pequeña cantidad de memoria, limita las posibilidades de programación, por ejemplo, en diferentes lenguajes dentro de la misma calculadora. En general, las computadoras de bolsillo tienen una mejor pantalla (mejor resolución y a colores) que las calculadoras. Existen mejores plataformas para programarlas que las calculadoras (algunas de ellas tienen el sistema operativo Linux) y se dispone de una importante variedad de programas para el aprendizaje de las matemáticas (http://people.uncw.edu/ hermanr/TechFiles/PPCMathSite.htm); existe una versión de Logo para estas computadoras, elaborado por Lipetz en 1999 (http://www.wideopenwest.com/~lipetz/TinyLogo/TinyLogo.htm). En general, son más costosas que las calculadoras. Finalmente, existen computadoras de bajo costo, por ejemplo, la XO (http://wiki.laptop.org/go/The_OLPC_Wiki). La XO tenía inicialmente a Linux como sistema operativo, admite programación en una versión reducida de Python y tiene varios programas educativos. Computadoras como éstas con un sistema operativo que perdura en el tiempo, tienen muchas posibilidades de impactar a la educación. Dentro de esta línea, recientemente han proliferado las netbook.

3. La computadora como una tecnología cognitiva La tecnología, más que una herramienta para amplificar las capacidades del ser humano, permite crear nuevas estructuras cognitivas (Pea, 1985; Cole & Griffin, 1980). La tecnología cambia la naturaleza de la tarea (Norman, 1991, 17-38). Es decir, las actividades que se desarrollan utilizando tecnología no son una mera imitación de las que se realizarían usando papel y lápiz para resolver un determinado problema. Por ejemplo, el poder mover puntos en un contexto de un programa de geometría dinámica para conjeturar propiedades, no tiene contraparte en papel y lápiz; de igual modo, las posibilidades de exploración de relaciones numéricas con la hoja de cálculo variando el valor de una celda y observando los cambios en otra, tampoco tiene su contraparte cuando se usa papel y lápiz. Si una persona trata de resolver un problema y dispone de varios recursos tecnológicos, generalmente tendrá varias formas de resolver un problema y escogerá alguna que sea factible utilizar de acuerdo a sus experiencias. En general, las posibilidades de que una persona resuelva un problema aumentan con la disponibilidad de diferentes recursos tecnológicos. Por ejemplo, considérese el problema de determinar la tasa porcentual de interés mensual para que una cantidad inicial de $1100 se conviertan en $1600 al cabo de doce meses. Una forma de resolver el problema es utilizar la hoja de cálculo, como se muestra en las tablas 1 y 2, variando el valor de la celda b1. 1100,00000 1138,17000 1177,66450 1218,52946 1260,81243 1304,56262 1349,83094 1396,67008 1445,13453 1495,28070 1547,16694 1600,85363

0,03470

Tabla 1

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1100 =A1*(1+$B$1) =A2*(1+$B$1) =A3*(1+$B$1) =A4*(1+$B$1) =A5*(1+$B$1) =A6*(1+$B$1) =A7*(1+$B$1) =A8*(1+$B$1) =A9*(1+$B$1) =A10*(1+$B$1) =A11*(1+$B$1)

0,0347

Tabla 2

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O bien puede resolverse utilizando la función solve del cálculo simbólico. También puede resolverse graficando la función y utilizando el modo trace. Y seguramente existen muchas formas más.

Figura 1

Figura 2

El segundo y el tercer método a diferencia del primero, requieren que primero se construya la función que sirve de modelo para estudiar a la cantidad de dinero como una función del tiempo. Es posible que haya personas que puedan resolver el problema por el primer método y no por los otros dos. Así que el uso de la tecnología no solamente cambia la naturaleza de la actividad sino que diversifica las posibilidades para ésta y aumenta, en general, la probabilidad de que una persona resuelva un problema. Esto es gracias a la versatilidad de las computadoras. Con frecuencia se señala que el empleo de un CAS (computer algebra system) durante la resolución de problemas agiliza la realización de cálculos y por lo tanto, deja más tiempo para concentrarse en aspectos conceptuales, que se consideran más importantes. En la práctica la utilización del CAS de este modo tiene sus dificultades. Por ejemplo, si tratamos de deducir la ley de la refracción de la luz al pasar de un medio en el que se desplaza con una velocidad v1 a otro medio en el que se desplaza a una velocidad v2 , tenemos que encontrar el mínimo de una función tal como

f ( x) =

(c − x ) 2 + h 2 x2 + h2 + ; v1 v2

al derivar con un CAS se obtiene

df ( x) x−c x = + . dx v2 x 2 − 2cx + c 2 + h 2 v1 x 2 + h 2

Resulta extraño que se desarrolle el binomio dentro de la raíz cuadrada. Al igualar esta expresión a cero para encontrar los puntos críticos de la función, se obtiene:

[(

)

(

)

]

x v12 − v22 x 3 − 2c v12 − v22 x 2 + 2ch 2v12 = −c 2 h 2v12 or

1 =0 v1v2

La primera expresión no sirve de gran cosa, pero la segunda es absurda. En el caso en que v1 o

v2 sean cero, la expresión

1 no está definida y si ambos son diferentes de cero, la expresión v1v2

1 no puede valer cero. Algunos CAS, en lugar de dar esta solución indican que no pueden resolver v1v2

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ecuaciones con radicales. Algunos CAS pueden resolver desigualdades de primero y aún de segundo orden, pero otros no. En algún caso, al tratar de resolver la ecuación x − 5 − 1 − x = 0 produce la solución x = 3 , que es errónea; en otros casos, el CAS, no resuelve la ecuación (la ecuación no tiene solución en los reales). Trabajando en problemas usuales estas dificultades se darán con frecuencia. Estos problemas se pueden corregir, pero por ahora, en muchos casos no están resueltos. Frecuentemente se lee en la bibliografía acerca de las bondades de los sistemas de álgebra computacional siempre que se haga un uso apropiado de ellos en el aprendizaje de las matemáticas. Pero, ¿hasta qué punto puede definirse de manera objetiva este concepto de uso apropiado?, ¿acaso este concepto de uso apropiado no depende de nuestra concepción de la matemática?, ¿es posible evitar que los estudiantes hagan un uso inadecuado del sistema de álgebra computacional? y, ¿es necesariamente deseable? El uso de la tecnología cambia a la naturaleza misma de la actividad matemática; es decir, la propia matemática se ve modificada por el uso de la tecnología. Puesto que cada vez más personas tienen acceso a las computadoras por razones económicas y sociales, estamos frente a una revolución del conocimiento de la cual no escapa la matemática; que simplemente ocurre y que hasta cierto punto, no está (ni tiene porque estar) en nuestras manos detener. El lograr que los estudiantes hagan un uso creativo de la tecnología durante el aprendizaje de las matemáticas, depende de que existan profesores que lo promuevan con ideas importantes al respecto. Este asunto, que es el más importante, no lo resolverá el boom de las computadoras. Aquí lo importante es el poder de las ideas (Papert, 2000, 720-729). El hecho de existir los CAS (computer algebra system) plantea una discusión acerca de las metas curriculares de la matemática que se enseña en el nivel medio (Brown, Meagher, 2007). ¿Qué sentido tiene un exceso de énfasis en los aspectos operativos del álgebra si estos pueden ser realizados con cierta facilidad por el CAS? Sin embargo, si el CAS con frecuencia no puede resolver ecuaciones más o menos comunes o incluso, si en ocasiones proporciona respuestas erróneas, un estudiante que no tenga cierto dominio de estos aspectos operativos del álgebra podrá enfrentarse a situaciones que le causen confusión y que en lugar de agilizar el aspecto operativo al resolver un problema, lo compliquen. Ciertamente, las fallas del CAS promueven un mejor conocimiento del mismo por parte del estudiante, pero este mejor conocimiento del CAS, no necesariamente redundará en un mejor conocimiento del álgebra. Se puede lograr la integración de aspectos operativos y conceptuales durante la utilización del CAS (Kadijevich, 2007).

4. ¿Cuántas computadoras hay y cómo se usan? El número de computadoras por cada 100 habitantes en México, pasó de 4.4 en 1999 a 10.7 en 2004, según datos de la ONU; en cinco años aumentó más del doble. Según una encuesta aplicada a un grupo de 29 estudiantes de la materia de Programación de la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, el 83 % de los estudiantes tienen computadora en su casa; este es un porcentaje muy superior al promedio en México. El 97 % afirma usar frecuentemente un procesador de texto y el 90 % usa frecuentemente hoja de cálculo. Solamente 30 % ha usado un programa que permite realizar tareas especializadas de

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matemáticas; pero para realizar tales tareas solamente conocen un programa. 38 % ha usado alguna calculadora graficadora. Ninguna supo lo que era un CAS (computer algebra system). 21 % nunca ha utilizado la computadora para graficar una función, 58 % lo hace ocasionalmente y 21 %, frecuentemente.

5. Conclusiones Como puede observarse de los datos presentados, aún los estudiantes de una licenciatura en Física y Matemáticas la usan poco como una herramienta para el aprendizaje de las matemáticas. Es decir, sin bien es cierto que la computadora es una herramienta muy versátil, también lo es que esta versatilidad se aprovecha muy poco en favor del aprendizaje de las matemáticas. La instrumentación (colectiva) de la computadora en el aprendizaje de las matemáticas tendrá que pasar por un proceso que requerirá tiempo y que dependerá de factores sociales, económicos y tecnológicos.

Bibliografía Brown, R; Meagher, M. (2007): “Response to: Towards relating procedural and conceptual. Engineering, Hungary. Recuperado el 24 de abril de 2009, de www.lkl.ac.uk/research/came/events /CAME5/CAME5-Theme1-Brown&Megher.pdf Cole M. & Griffin, P. (1980): “Cultural amplifiers reconsidered” In D.R. Olson (Ed), The social foundations of language and thought: Essays in honor of Jerome S. Bruner (pp. 343-364). New York: Norton. Cole, M. (1990): “Cultural psychology: A once and future discipline?” In J.J. Berman (ed.), Nebraska Symposium on Motivation, 1989: Cross-cultural perspectives, Lincoln: University of Nebraska Press, volume 37, (pp.279-336) Kadijevich, D. (2007): “Towards relating procedural and conceptual knowledge by CAS” The Fifth CAME Symposium. University of Pécs, Pollack Mihály Faculty of Engineering, Hungary. Recuperado el 24 de abril de 2009, de www.lkl.ac.uk/research/came/events/CAME5/CAME5Theme1-Kadijevich.pdf Kaput, J. (1992): “Technology and mathematics education” In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. pp. 515-556. New York, Macmillan. Kemeny, J; Kurtz, T. (1967): Basic programming. John Wiley & Sons, Inc. Laborde, C. (2001): “Integration of technology in the design of geometry tasks with cabri-geometry: International Journal of Computers for Mathematical Learning. Klwer Academic Publishers. Netherlands, 6(3), pp. 1382-3892. Norman, D. (1991): “Cognitive Artifacts.” In J. Carroll ed., Designing Interaction: Psychology at the Human-Computer Interface, pp 17-38, Cambridge: Cambridge University Press. Papert, S. (1995): La máquina de los niños. Replantearse la educación en la era de los ordenadores. Barcelona, España: Paidos. Papert, S. (1996): “An Exploration in the Space of Mathematics Educations” International Journal of Computers for Mathematical Learning, Vol. 1, No. 1, pp. 95-123. Papert, S. (2000): “What’s the big idea? Toward a Pedagogy of idea power” IBM Systems Journal, 39(3-4)., pp. 720-729. Pea, R. (1985): “Beyond Amplification: Using the Computer to Reorganize Mental Functioning” Educational Psycologist, 20(4), pp. 167-182.* Sacristán, A.I. (1997): Windows on the Infinite:Constructing meanings in a Logo-based Microworld Tesis doctoral. Institute of Education, London University.

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Salat, R.S. (2007): “La programación como una herramienta para estudiantes de Matemáticas”. Memorias del XVII Simposio Iberoamericano de Enseñanza Matemática. Libro electrónico. Toluca, México. Ramón Sebastián Salat Figols, Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, México, DF.; originario de Villafranca del Panadés, Barcelona, España, 26 de septiembre de 1950. Licenciado en Física y Matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas; Maestría y Doctorado en Ciencias por el CINVESTAV, México, DF. Becario de EDD y SIBE del Instituto Politécnico Nacional. Becario de EDD y SIBE del Instituto Politécnico Nacional.

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 57–74

Percepción geométrica de los productos notables y de la media geométrica T

Julio Barreto García (L. B José Antonio Sosa Guillen, I. U. T. Antonio José de Sucre) Fecha de recepción: 15 de abril de 2008 Fecha de aceptación: 4 de junio de 2009

En este artículo analizaremos un poco la acepción geométrica de algunos productos notables en relación a la noción de área, tomando en consideración la aditividad que guardan las figuras geométricas elementales que la conforman al construirlos, bien sean estos paralelogramos tales como los cuadrados o los rectángulos. Además, veremos la aplicación de algunos productos notables tratados desde un punto de vista geométrico, aplicados en la solución de la ecuación cuadrática usando algunos procesos cognitivos y también veremos algunas aplicaciones numéricas de los mismos. Igualmente, veremos la acepción geométrica de la media geométrica (cuadratura del rectángulo o del triángulo) y algunas aplicaciones de la misma, generados a partir de la aditividad de las áreas de las figuras geométricas elementales involucradas.

Resumen

Magnitud, Procesos cognitivos, Productos notables, Media geométrica.

Palabras clave T

This article will examine some of the geometric meaning of some product remarkable in relationship to the notion of area, taking into account the additivity which are basic geometric shapes that conform to either build, these parallelograms such as squares or rectangles. In addition, we will see the implementation of some notable both treated from a geometric, applied in solving the quadratic equation using some cognitive processes and we will also see numerical applications some of them. Similarly, in the same way we see the geometric meaning of the geometric mean (square a rectangle or triangle) and some applications of it generated from the additivity of the areas of basic shapes involved.

Abstract

Magnitude, Cognitive processes, Remarkable products, Geometrical mean

Keywords T

1. Introducción El desarrollo de los procesos cognitivos en el campo de la Didáctica de la Matemática es capaz de ayudar a nuestros estudiantes de secundaria en la percepción geométrica de los productos notables y de la media geométrica, los cuales se deben realizar coordinando la caracterización propuesta por Duval, 1998 pp. 37-51 y desarrollados por Torregrosa y Quesada 2007, pp. 273-300, en donde el proceso cognitivo de visualización está íntimamente relacionada con la forma geométrica de la figura, es decir, su configuración y el razonamiento se basa en aplicar las afirmaciones matemáticas que les corresponda algebraicamente, tomando en consideración la noción de área. La coordinación de estos procesos cognitivos les permitirá construir desde una perspectiva geométrica las fórmulas usadas en algunos productos notables como lo son el cuadrado de una suma y de una diferencia, las cuales necesitan del concepto de conjunto elemental y de figuras congruentes para facilitar la deducción y aplicación de estas fórmulas. Así mismo, se tomara en cuenta las nociones de área para la acepción geométrica tanto de los productos notables como de la cuadratura del rectángulo o la cuadratura del triángulo, los cuales son llamados muchas veces media geométrica. Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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2. Antecedentes Históricos Es razonable pensar que los primeros orígenes de la geometría se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba, aun de manera inconsciente, los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la geometría. Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter muy práctico. Estos son esencialmente algunas fórmulas o mejor dicho algoritmos expresados en forma de “receta” para calcular longitudes y áreas. La finalidad era práctica, pues se pretendía con ello calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de las inundaciones. Siempre se ha dicho que los egipcios tenían una alta formación matemática, y se ha llegado a insinuar que tuvieran un acervo de conocimientos secretos o que se hubieran perdido con el paso de los tiempos. Estas hipótesis nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes tienden a echarlas por tierra. Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de 3.1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos. La historia nos hace pensar que el conocimiento que esta civilización así como los de las culturas mesopotámicas, tuviera sobre geometría pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales, los Pitagóricos, y esencialmente de Euclides. Constituyeron los problemas de medida el bloque central en este campo: Área del cuadrado, del círculo, con una no muy buena aproximación de ( π = 3 ), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el Teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.

3. Referentes Teóricos El campo de la Didáctica de la Matemática ha tomado un auge muy importante en los últimos años, debido al estudio que ella ha realizado en relación a los procesos cognitivos que deben desarrollar nuestros estudiantes al resolver los problemas específicamente de geometría en los cuales estén envueltos. Esta parte de la Didáctica de la Matemática debido al estudio de las capacidades geométricas que involucra ha sido denominada Didáctica de la Geometría En este artículo usaremos el modelo propuesto por Duval, 1998, pp. 37-51 en el cual se restringe un poco el concepto de visualización por el de aprehensión, en el cual “Concebimos las especies de las cosas sin hacer juicio de ellas o sin negar o afirmar”, según el Diccionario de la Real Academia Española (2001).

4. Percepción geométrica de algunas figuras poligonales y de algunos productos notables “La lógica y la teoría de las magnitudes deben combinarse y unirse, para crear el nuevo concepto de la matemática universal. Esta nueva ciencia toma de la lógica el ideal de la construcción rigurosamente deductiva y el postulado de los primeros fundamentos ‘evidentes’ de la argumentación, al paso que determina el contenido que a estos fundamentos debe darse tomando como modelo la geometría y el álgebra”. Cassirer, E. El problema del conocimiento, p.454.

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Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Esta teoría se desarrolla en le referencia de J Barreto, 2008. Un ejemplo que caracteriza el hecho que todo cuadrado es un rectángulo, pero el cuadrado es el de perímetro más pequeño: Ejemplo aplicable: El plano de una casa 1 . TPF

FPT

Queremos construir una casa, cuya superficie o área en el suelo mide 100 m2. Pero para economizar queremos construir los muros lo menos largo posible. ¿Qué plano se debe elegir? ¿El de una casa de 10 m por 10 m, de 20 m por 5 m, de 25 m por 4 m, de 100 m por 1 m? De hecho, debemos responder a la siguiente pregunta: De todos los rectángulos con superficie o área de 100 m2 ¿Cuál es el que tiene el perímetro 2 más pequeño? P

TPF

FPT

Respuesta: En todos los casos es un cuadrado. Pues de todos los rectángulos con una superficie dada, el que tiene efectivamente, el perímetro más pequeño es el cuadrado. De igual modo, de todos los rectángulos que tienen un perímetro dado, el que tiene la superficie o área más grande es un cuadrado. Es muy importante el estudio de los paralelogramos mediante su clasificación, ahora para reforzar más esta teoría definamos lo siguiente: Definición 1 (Banda): Es la superficie comprendida entre dos rectas paralelas. Veamos la Figura 1 de abajo:

Figura 1: Banda es esta superficie comprendida entre las rectas paralelas r y s.

4.1. Clasificación de las Bandas

La intersección de dos bandas es un polígono de cuatro lados o cuadrilátero que recibe el nombre de paralelogramo, la cual es una figura muy importante y por esto es que simplemente no llamaremos paralelogramo al romboide como estamos acostumbrados, ya que todas estas figuras mencionadas a continuación son paralelogramos. Y así tenemos lo siguiente:

1 TP

2 PT

Este ejemplo muestra que todo cuadrado es un rectángulo, pero inversamente no es cierto. Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono.

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Clasificación

Figura

Definición

Rectángulo:

Es la intersección de dos bandas perpendiculares de diferentes anchuras. Es decir, que tiene las anchuras no congruentes.

Cuadrado:

Es la intersección de dos bandas perpendiculares de igual anchura. Es decir, que tiene las anchuras congruentes.

Romboide:

Es la intersección de dos bandas no perpendiculares de diferentes anchuras. Es decir, que tiene las anchuras no congruentes. Es la intersección de dos bandas no perpendiculares de iguales anchuras. Es decir, que tiene las anchuras congruentes.

Rombo:

4.2. Producto notable del cuadrado de una suma

Aunque la Escuela Pitagórica se dice que fue la fundadora de la Aritmética tal y como se ha concebido hasta nuestros días, debido a que conocían y utilizaban los números enteros atribuyéndoles un significado filosófico-religioso (cada número representaba un ente del universo conocido), también se puede decir que conocían las progresiones aritméticas y geométricas, las proporciones, el cuadrado de una suma y de una resta. Ahora veamos como podemos representar geométricamente el cuadrado de la suma de dos cantidades cuando los valores son positivos. Usemos los siguientes pasos: Construimos dos cuadrados, uno de a unidades de lado y otro de b unidades de lado como veremos en la Figura 2 de abajo:

Figura 2: Dos cuadrado, uno de lado a y otro de lado b.

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Construimos dos rectángulos de largo a y ancho b, como en la Figura 3 siguiente:

Figura 3: Dos rectángulos de largo a y ancho b.

Uniendo estas cuatro figuras, teniendo en cuenta la aprehensión operativa de reconfiguración 3 , formamos un cuadrado de a + b unidades de lado como vemos la Figura 4 a continuación: TPF

FPT

Figura 4: Acepción geométrica del cuadrado de una suma, a la izquierda se muestra la subconfiguración hecha con los polígonos de la Figura 2 y la Figura 3 y a la derecha una foto hecha con figuras en actividades con foami 4 . TPF

FPT

El área de este cuadrado es (a + b)(a + b) = (a + b)2 , y como puede verse en la Figura 4 anterior, el área está formada por un cuadrado rojo de área a 2 , un cuadrado de azul de área b 2 y dos rectángulos verdes de área ab cada uno o sea 2ab. Esto es debido a que los rectángulos son conjuntos elementales 5 . TPF

FPT

Luego, tenemos la siguiente conjetura sin demostración 6 : TPF

FPT

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

( 1 ).

Es cuando las subconfiguraciones iniciales se manipulan como piezas de un puzzle, donde puzzle se considera como sinónimo de un rompecabezas y se refiere a piezas planas según la Real Academia. 4 Foto tomada por los compañeros participantes del IV Congresso Internacional de Ensino da matemática efectuado en la ULBRA Canoas/RS, los días 25, 26 e 27 de outubro de 2007. 5 El área de un conjunto elemental es aditiva (Axioma). 6 Esta permite resolver el problema aceptando las conjeturas simples de la aprehensión operativa de cambio figural (Es cuando se añaden (quitan) a la configuración inicial nuevos elementos geométricos, creando nuevas subconfiguraciones). Conduce a la solución de un problema. TP

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Ejercicio 1:

Resuelva las ecuaciones cuadráticas ax 2 + bx + c = 0 siguientes (tomando como solución el campo de los números racionales): • Una ecuación de la forma x 2 + bx + c = 0, es decir con a = 1, por ejemplo x 2 + 6 x + 9 = 0. Solución:

Asociemos según la formula (1 ) a x 2 como supuestamente lo hacían los griegos antiguamente con el área de un cuadrado de lado x, 6x con el área de dos rectángulos de ancho 3 y largo x, es decir, de área 3x cada uno y añadiéndole el área de un cuadrado de lado 3, es decir, de área 9. Luego tenemos, según la Figura 4 una aprehensión operativa de reconfiguración dada en la Figura 5 de abajo:

Figura 5: Representación geométrica de la ecuación cuadrática (x + 3)2 .

Así, tenemos que cambiando del anclaje visual al anclaje discursivo 7 que: TPF

FPT

(x + 3)2 = 0, según la Figura 5. (x + 3)2 = 0 , extrayendo raíz cuadrada a ambos lado de la igualdad. x + 3 = 0, pues x + 3 es positivo y 0 = -0. x + 3-3 = 0-3, restando 3 a ambos lados de la igualdad. x = -3, reduciendo, gracias a la existencia del elemento neutro.

Por tanto el conjunto solución denotado por U durante todo el articulo es el siguiente conjunto U = {− 3}, el cual es el valor que anula la ecuación.

7 PT

Es la asociación de un dibujo a una afirmación matemática.

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• Una ecuación de la forma x 2 + bx = 0, es decir, por ejemplo x 2 + 4 x = 0. Solución:

Asociemos según la formula (1 ) a x 2 como lo supuestamente hacían los griegos antiguamente con el área de un cuadrado de lado x, 4 x con el área de dos rectángulos de ancho 2 y altura x, es decir, de área 2 x cada uno. Luego tenemos según la Figura 4 una aprehensión operativa de reconfiguración dada en la Figura 6 de abajo:

Figura 6: Representación geométrica de la ecuación cuadrática (x + 2)2 , agregándole un cuadrado de lado 2.

Tenemos que construir un cuadrado agregando otro cuadrado de área 4, es decir, de lado 2. Así, cambiando del anclaje visual al anclaje discursivo que: x 2 + 4 x + 4 = 4 , agregando 4 a ambos lados de la igualdad.

(x + 2)2 = 4, según el cuadrado de la Figura 6. (x + 2)2 = 4 , extrayendo raíz cuadrada a ambos lado de la igualdad. x + 2 = ±2 , pues x + 2 es positivo y

4 = ±2.

Luego tenemos los dos casos siguientes: x+2=2 x+2−2= 2−2 x=0

ó ó ó

x + 2 = −2 . x + 2 − 2 = −2 − 2, sumando opuestos a ambos lados de la igualdad. x = - 4.

Por tanto el conjunto solución es U = {0,−4}, los cuales son los valores que anula la ecuación. • Una ecuación que lleve fracción en los términos, es decir, de la forma x 2 + x + 1 = 0. 4

Solución: Resolver como en los casos anteriores. Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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• Una ecuación que tenga el coeficiente a ≠ 0. Por ejemplo 3 x 2 + 6 x + 3 = 0. Solución:

Dividamos la ecuación 3 x 2 + 6 x + 3 = 0 entre 3 y obtengamos la ecuación equivalente x 2 + 2 x + 1 = 0. Luego, asociemos según la formula

(1 ) a x 2 como supuestamente lo hacían los

griegos antiguamente con el área de un cuadrado de lado x, 2 x con el área de dos rectángulos de ancho 1 y largo x, es decir, de área x cada uno. Luego tenemos según la Figura 4 una aprehensión operativa de reconfiguración dada en la Figura 7 de abajo:

Figura 7: Representación geométrica de la ecuación cuadrática ( x + 1) . 2

Así, tenemos que cambiando del anclaje visual al anclaje discursivo que:

(x + 1)2 = 0, según la Figura 7. (x + 1)2 = 0 , extrayendo raíz cuadrada a ambos lado de la igualdad. x + 1 = 0 , pues x + 1 es positivo y 0 = -0. x + 1-1 = 0-1, restando 1 a ambos lados de la igualdad. x = -1, reduciendo, gracias a la existencia del elemento neutro.

Por tanto el conjunto solución es U = {− 1}, los cuales son los valores que anula la ecuación. • Una ecuación que le falte el término independiente, es decir, de la forma 4 x 2 + 8 x = 0. Solución: Resolver usando los casos anteriores.

• Una ecuación completa, por ejemplo x 2 + 20 x + 30 = 0. Solución: Resolver usando los casos anteriores.

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• Después de resolver varias ecuaciones que llevan factores mas simples se torna necesario mostrar la necesidad de generar una resolución para cualquier tipo de ecuación cuadrática.

Por ejemplo, la denominada por algunos autores la Formula de Báskara o ecuación cuadrática genérica: ax 2 + bx + c = 0. Solución:

Tenemos los siguientes datos: • a, b, c = coeficientes o términos de la ecuación. • x = incógnita.

• a ≠ 0. Ahora, dividiendo la ecuación ax 2 + bx + c = 0 entre a ≠ 0 tenemos lo siguiente:

c b c ax 2 b + x + = 0 ⇒ x 2 + x + = 0. a a a a a c c c b ⇒ x 2 + x + − = 0 − , sumando opuestos a ambos lados de la igualdad. a a a a c b ⇒ x 2 + x = − , reduciendo. a a Luego, asociemos según la formula (1 ) a x 2 como supuestamente lo hacían los griegos bx b antiguamente con el área de un cuadrado de lado x, con el área de dos rectángulos de ancho y a 2a largo x, es decir, de área bx cada uno. Luego tenemos que podemos formar un cuadrado como el 2a

mostrado en la Figura 8 de abajo:

⎛ ⎝

Figura 8: Representación geométrica de la ecuación cuadrática ⎜ x +

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b ⎞ ⎟ . 2a ⎠

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Así, tenemos que cambiando del anclaje visual al anclaje discursivo que:

x2 +

b b2 c b2 x+ 2 =− + 2 a 4a a 4a

( 2 ).

2 Sumando el área b 2 de un cuadrado de lado b ambos lados de la ecuación.

Luego factorizando de acuerdo a la Figura 8 de arriba tenemos: 2

b ⎞ c b2 ⎛ ⎜ x + ⎟ = − + 2 , de acuerdo a la Figura 8 y la ecuación ( 2 ). 2a ⎠ a 4a ⎝ 2

b ⎞ c b2 ⎛ x + = − + , extrayendo raíz cuadrada a ambos lado de la igualdad. ⎜ ⎟ 2a ⎠ a 4a 2 ⎝ x+ x+

b b 2 − 4ac b , pues x + =± es positivo y sumando fracciones. 2 2a 2a 4a

b b b b 2 − 4ac b , restando a ambos lados de la igualdad. − =− ± 2 2a 2 a 2a 2a 4a x=

− b ± b 2 − 4ac , reduciendo y sumando fracciones. 2a

⎧ − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac ⎫⎪ Por tanto el conjunto solución es U = ⎪ , ⎬, los cuales son los ⎨ 2a 2a ⎪⎭ ⎪⎩ valores que anula la ecuación. • Una utilidad numérica para la ecuación ( 1 ) es hallar la solución de cuadrados de números mayores que 10, por ejemplo el cuadrado de 11 colocándola de la manera siguiente:

(11) 2 = (10 + 1) 2 = 10 2 + 2(10)(1) + 12 = 100 + 20 + 1 = 121. Colocando a = 10 y b = 1. Así, sucesivamente lo podemos usar para calcular cualquier cuadrado de un número. 4.3. Producto notable del cuadrado de una diferencia

Ahora usando los cuadrados rojos y azul, junto a los rectángulos verdes de las Figuras 2 y Figura 3, teniendo en cuenta la aprehensión operativa de reconfiguración formamos un cuadrado de lado (a − b ) como el de la Figura 9 de abajo:

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Figura 9: Acepción geométrica del cuadrado de una diferencia.

Y notemos que, el área de este cuadrado es (a - b)(a - b) = (a - b)2 , y como puede verse en la Figura 9 anterior, el área está formada por un cuadrado rojo de área a 2 un cuadrado azul de área b 2 y le quitamos dos rectángulos verdes de área ab cada uno o sea 2ab quedando un cuadrado de lado

(a − b ).

Luego, tenemos la siguiente conjetura sin demostración:

(a - b)2 = a 2 - 2ab + b 2

( 3 ).

Ejercicio 2: Deduzca otra forma geométrica para el cuadrado de una diferencia (Tome como referencia el Ejercicio 3 de abajo y haga una analogía entre estos casos). Ejercicio 3: Resuelva las ecuaciones cuadráticas ax 2 − bx + c = 0 siguientes (tomando como solución el campo de los números racionales):

• Una ecuación de la forma

x 2 − bx + c = 0,

es decir con

a = 1,

por ejemplo

x 2 − 10 x + 25 = 0. Solución:

Asociemos según la formula ( 3 ) a x 2 como supuestamente lo hacían los griegos antiguamente con el área de un cuadrado mas grande de lado x, 10 x con el área de dos rectángulos que se le están extrayendo al cuadrado grande los cuales tienen lado 5 y x, es decir, de área 5 x cada uno y 25 con el área de un cuadrado de lado 5 que se le debe agregar al cuadrado grande de acuerdo al área que hay en la intersección de estos rectángulos como vemos en la Figura 10 de abajo:

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Figura 10: Representación geométrica de la ecuación cuadrática x 2 − 10 x + 25. A la derecha unas fotos hecha con figuras en actividades con foami 8 , arriba se nota que hace falta el cuadradito negro de lado a − b el cual se agrega a la subconfiguracion y abajo otra subconfiguración para la diferencia de cuadrados como el de la izquierda, hechas con foami. TPF

FPT

Así, tenemos que cambiando del anclaje visual al anclaje discursivo que:

(x − 5)2 = 0, de acuerdo a la Figura 10. (x − 5)2 = 0 , extrayendo raíz cuadrada a ambos lado de la igualdad. x − 5 = 0, pues x − 5 es positivo y 0 = -0. x − 5 + 5 = 0 + 5, sumando 5 a ambos lados de la igualdad. x = 5, reduciendo, gracias a la existencia del elemento neutro.

Por tanto el conjunto solución es U = {5}, el cual es el valor en que se anula la ecuación. • Una utilidad numérica para la ecuación ( 3 ) es hallar la solución de cuadrados de números mayores que 10, al igual que en caso de la ecuación (1 ).

Foto tomada por los compañeros participantes del IV Congresso Internacional de Ensino da matemática efectuado en la ULBRA Canoas/RS, los días 25, 26 e 27 de outubro de 2007.

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4.4. Aplicaciones: Geometría con regla y compás. Ejercicio 4: Dos propiedades muy simples que se pueden probar usando las fórmulas de las áreas de triángulo y rectángulos 9 son las siguientes: TPF

FPT

Sea ABC un triángulo rectángulo en B, y H es el pie de la altura resultante de B como veremos en la Figura 11de abajo:

Figura 11: Representación geométrica del Ejercicio 4. 2

Se puede probar que AB × BC = AC × BH y además que BH = AH × HC. En efecto: La primera igualdad se prueba de la siguiente manera: El triángulo ABC equivale a la mitad del rectángulo ARSC , es decir, su área denotada AC × BH AT ( ABC ) es A . Pero también el triángulo ABC es la mitad del área del rectángulo T ( ABC ) = 2 AB × BC ABCT , es decir, su área es también AT ( ABC ) = por lo tanto tenemos que: 2

AT ( ABC ) =

AC × BH AB × BC = 2 2

De donde tenemos que efectivamente: AC × BH = AB × BC. Para la prueba de la segunda igualdad notamos que los triángulos ABH y BCH son semejantes (por tener ángulos iguales). Entonces tenemos que:

BH CH . = AH BH Es decir, tenemos que se cumple: 2

BH = AH × CH . TP

9 PT

Ver página Web www.sinewton.org/numeros/numeros/69/ideas_02.php HT

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Ejercicio 5: Un problema relativamente sencillo es el siguiente:

La gran tradición matemática de la antigüedad fue, sobre todo, geométrica. Los problemas simples en geometría eran aquellos que se podían resolver o construir con regla y compás, como este: Tenemos un cuadrado de lado c, y con una longitud de lado L se desea construir un rectángulo con la misma área que el cuadrado, donde uno de sus lados sea L. Respuesta:

Se tiene que AC = L y tomemos AB = c según tenemos la Figura 12 de abajo:

Figura 12: Representación geométrica de la transformación de un cuadrado en un rectángulo de lado dado.

En una recta perpendicular en A, tomemos AD = c. Luego se traza el segmento DC y el segmento BM paralelo a DC. La construcción esta terminada, el segundo lado del rectángulo buscado es justamente AM , que denominamos l. En efecto, Los dos triángulos ABM y ACD son semejantes; según el Teorema de Tales, tenemos que:

AC AD . = AB AM Es decir,

L c = . c l Lo que puede escribirse como:

c 2 = L × l. El rectángulo de lados L y l tiene la misma área que el cuadrado de lado c. Un problema como este, que puede ser resuelto con regla y compás, es de primer grado y siempre se ha intentado reducir los problemas difíciles a este tipo de construcción fácil.

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De acuerdo a Evariste Galois (1811-1832), el proceso para llegar a la solución para resolver un problema con regla y compás es el siguiente: Cada una de las etapas de un problema a resolver con regla y compás se reduce a una ecuación de primero o segundo grado y, por consiguiente, todos los problemas resolubles con regla y compás se reducen a una ecuación algebraica con una incógnita cuya solución implica la extracción de una cadena de raíces cuadradas. Recíprocamente, si la solución de un problema geométrico se reduce a la solución de una ecuación algebraica de este tipo, dicho problema puede ser resuelto con regla y compás; ello es así porque las raíces cuadradas pueden construirse con regla y compás. Entonces, para demostrar que un problema geométrico puede ser resuelto con regla y compás debe plantearse, en primer lugar, una ecuación algebraica equivalente al problema dado. Luego si no es posible hallar tal ecuación entonces el problema no tiene solución. Por ejemplo, la cuadratura del rectángulo es un problema fácil de resolver: Sea ABCD un rectángulo cualquiera; se quiere construir un cuadrado con la misma área que el rectángulo. ¿Cómo se hace? Respuesta:

Se alinean extremo con extremo, AB con BC y se traza la semicircunferencia de diámetro

AC , cambiando del anclaje discursivo al anclaje visual, nos queda la Figura 13 de abajo:

Figura 13: Aquí tenemos un rectángulo ABCD donde tenemos que las longitudes AB y BC forman 2

el diámetro de la semicircunferencia en la que se cumple: BE = AB × BC.

Luego la perpendicular a AC en B la cual corta a la semicircunferencia en el punto E. El triángulo AEC es entonces rectángulo en E. El cuadrado de lado BE nos entrega la solución. En efecto, Para el triángulo AEC , se tiene que DE es la altura resultante del ángulo recto: Tenemos entonces de acuerdo a la segunda parte del Ejercicio 4 que:

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BE = AB × BC. De aquí tenemos, según Euclides los siguientes enunciados: 4.4.1. Media geométrica: La cuadratura del rectángulo

Este problema es el mas sencillo de plantear ya que consiste en encontrar un cuadrado equivalente a un rectángulo dado. La solución de este problema según D. Jiménez, 2004 pp. 103-117 está en la proposición 13 del sexto libro de los Elementos, en la que se muestra como construir un segmento que sea media geométrica entre otros dos. La construcción es como el ejemplo anterior además veamos la siguiente Figura 14, aplicando una aprehensión discursiva 10 , cambiando del anclaje discursivo al anclaje visual 11 : TPF

FPT

TPF

FPT

Figura 14: Representación geométrica de la cuadratura del rectángulo.

4.4.2. Media geométrica: La cuadratura del triángulo

La cuadratura de un triángulo, por su parte, según D. Jiménez, 2004 pp. 103-117 se sustenta en la proposición 10 del primer libro de los Elementos, es decir, dividir en dos partes iguales una recta finita dada y en la cuadratura anterior, pues bastaría prolongar la base del triángulo en la mitad de la altura del triángulo y tomar la media geométrica de estas dos cantidades como el lado del cuadrado buscado. Así, cambiando del anclaje discursivo al anclaje visual, tenemos la Figura 15 de abajo:

Es la acción cognitiva que produce una asociación de la configuración identificada con afirmaciones matemáticas (definiciones, teoremas, axiomas). Tal vínculo puede realizarse de dos maneras, según las direcciones de la transferencia realizada, a la que se denomina cambio de anclaje. 11 Es la asociación de una afirmación matemática a un dibujo. TP

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Figura 15: Representación geométrica de la cuadratura del rectángulo.

En el lenguaje común, resolver la cuadratura del círculo significa buscar la solución de un problema que no tiene solución. “Darle forma cuadrada” al círculo, es construir exactamente, con una regla y un compás, un cuadrado de la misma área que un círculo dado. Existen numerosas soluciones que se acercan, pero ninguna es exacta. Sin embargo, un matemático Griego, Hipócrates de Quios, propuso una solución en el siglo V a. C. Logró construir un cuadrado exactamente igual a una figura delimitada por dos círculos, una lúnula. La figura en cuestión, es dada con el siguiente cambio configural en la Figura 16 de abajo:

Figura 16: Lúnula de Hipócrates.

Resulta fácil demostrar que el área comprendida entre los dos arcos de círculos es igual al área del triángulo isósceles ABC. Para terminar la cuadratura de la lúnula, basta con trazar un cuadrado cuya área sea igual a esta ultima, lo que los griegos ya sabían hacer.

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5. Interpretaciones y conclusiones En las percepciones de los productos notables del cuadrado de una suma y una diferencia nuestros estudiantes aprenderán reforzando la parte algebraica de una ecuación de segundo grado con la representación geométrica de la misma, lo cual les hará visualizar la parte analítica, permitiéndoles manipularla inclusive a través de figuras hechas con foami o algún material que se pueda cortar y reconstruir. Además con el estudio de la media geométrica, usaran como los antiguos griegos la construcción con regla y compás, repasando inclusive un poco la historia de la matemática.

Bibliografía Barreto, J. (2008). Deducciones de las fórmulas para calcular las áreas de figuras geométricas a través de procesos cognitivos. Números [en línea]. 69. Recuperado el 20 de abril de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros Barreto, J. (2008). Deducciones del Teorema de Pitágoras a lo largo de la historia como recurso didáctico en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Números [en línea]. 69. Recuperado el 20 de abril de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros Barreto, J. (2009). Cuadratura, primera noción de área y su aplicación en la expresión del área de diferentes figuras geométricas como recurso didáctico en la extensión geométrica del teorema de Pitágoras. Versión electrónica. UNION [en línea] 17. Recuperado el 20 de abril de 2009, de HTU

UTH

HTU

http://www.fisem.org/ H

UTH

Barreto, J. (2009). Otras deducciones o extensiones del Teorema de Pitágoras a lo largo de la historia como recurso didáctico. Números [en línea]. 70. Recuperado el 15 de Junio de 2009, de

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Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view. En C. Mannana. V. Villani (Eds), Perspective on the Teaching of the Geometry for the 21st Century (pp. 37-51). Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers. De Cuadros, M., Hoffman, V., Klaus, I., Oliveira, C. (1999). Algebra con Geometría: Un enfoque practico na 7a serie do ensino fundamental. Brasil. Enciclopedia del Estudiante Larousse. (1999). Matemática e Informática. Edición especial en lengua española de la Encyclopédie des Jerines, Larousse S.A. Jiménez, D. (2004). π la letra griega que los griegos no usaron. Venezuela: Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. 11 (1), pp. 103-117. Oliveira, C. (2002). Equacão do segundo grau pela volta ao quadrado perfeito. IV simposio de educación matemática, Universidad Luterana Do Brasil. Torregrosa, G. y Quesada, H. (2007). Coordinación de los Procesos Cognitivos en Geometría. Relime, 10 (2), pp. 273-300. México: Publicación del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Julio Cesar Barreto García, Nací en la ciudad de San Felipe estado Yaracuy (Venezuela). Licenciado en Ciencias Matemáticas por la Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado, Fungí como Coordinador Académico de Investigación de la Organización de Investigaciones Matemáticas en Pregrado de la Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado, Obtuve el Primer Lugar en el VII Encuentro Nacional de Estudiantes de Ciencias 2006 efectuado en la Facultad de Ciencias de La Universidad del Zulia, actualmente soy profesor de Física y Matemática en educación media y diversificada en el LB José Antonio Sosa Guillen, L.B. José Antonio Páez, Instituto Nacional de Cooperación Educativa, a nivel universitario soy docente de Matemática en el Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre extensión San Felipe. Dirección electrónica: juliocbarretog@hotmail.com HTU

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 75–85

Contextos y estrategias en la resolución de problemas de primaria Beatriz Blanco Otano (IES Eugenio Frutos de Guareña. Badajoz) Lorenzo J. Blanco Nieto (Facultad de Educación. Universidad de Extremadura) Fecha de recepción: 16 de marzo de 2009 Fecha de aceptación: 20 de junio de 2009

Asumimos que la matemática es una poderosa herramienta de comunicación. Consecuentemente, una buena alfabetización matemática debiera permitirnos analizar y comprender situaciones, organizar la información, describir fenómenos, generalizar procedimientos,… Estas capacidades son objetivos en todas las propuestas curriculares y como tal deben ser objeto de trabajo escolar desde los primeros niveles de enseñanza. Además, estas capacidades constituyen referencias básicas en el primer paso necesario para la resolución de problemas y para tomar decisiones ante los problemas de nuestra realidad.

Resumen

En este trabajo mostramos algunas situaciones cotidianas que debieran hacernos reflexionar sobre la manera en la que abordamos la tarea matemática en la enseñanza obligatoria.

Palabras clave

Matemáticas y realidad, Resolución de Problemas.

Abstract

Accepting that mathematics is a powerful communications tool, good mathematical literacy should enable one to analyze and comprehend different situations, organize information, describe phenomena, generalize procedures, … These skills are objectives of all curricular proposals, and as such must be worked on in school from the earliest levels of education. Moreover, these skills constitute basic referents in the first step needed in solving problems and making decisions in response to the problems that arise in our everyday reality. We here show some everyday situations that should lead us to reflect on how in the EU we are addressing the task of mathematics in compulsory education.

Keywords

Mathematics and reality, problem solving.

1. Introducción “Un hombre va perdido en un globo por el campo, y de pronto se encuentra a un campesino labrando la tierra y le pregunta: Desde el globlo: “Buen hombre, ¿podría decirme donde estoy? El campesino, le observa, piensa un rato, le responde: “Está usted en un globo” Al oir la respuesta, el señor del globo, interroga de nuevo al campesino: “¿Es usted matemático?” A lo que el campesino, extrañado, le responde: “¿Cómo lo ha sabido?” “Pues mire Usted, responde desde el globo, ha pensado la respuesta, me ha dado la solución exacta, pero no me sirve para nada”

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Consideramos que la historia anterior refleja el sentimiento paradójico sobre la enseñanza de las Matemáticas y sobre los matemáticos. En general, se piensa que las Matemáticas desarrollan el razonamiento lógico, y contribuyen a la formación de las personas, y que son una ciencia esencial en la vida. Esto conforma, en términos generales, la idea de las Matemáticas como ciencia abstracta, rigurosa, exacta y lógica. Por otra parte, cuando las personas se refieren a su experiencia escolar señalan que ‘las Matemáticas siempre han sido complicadas y trabajosas’ recordando que es ‘una de las asignaturas que los niños comprenden menos y que menos le gustan’, y a la que ‘el alumno termina cogiéndole manía’ donde ‘se aprenden conceptos, procedimientos teóricos que no tienen aplicación práctica’ y además de una manera aburrida (Blanco y Blanco, 1998). Las matemáticas, uno de los conocimientos más valorados y necesarios en las sociedades actuales, se perciben como uno de los conocimientos más complejos e inaccesibles para la mayor parte de los individuos, lo que llega a convertirlas en un importante filtro selectivo del sistema educativo. En algunos cursos para profesores de primaria y secundaria, hemos planteado el caso hipotético de que el hombre del globo fuera un profesor de Matemáticas, que le hubiera propuesto esa situación/problema a alguno de sus alumnos y este diera la misma respuesta. Tenemos que señalar que una amplia mayoría estima que debiera ser evaluado con la máxima calificación. El alumno, al igual que el campesino, podría interpretar la información, pensar y razonar siguiendo un proceso lógico y dar, como consecuencia de ello, una respuesta exacta. Es decir, pondría en valor algunas de las competencias básicas y ello permitiría considerar positivamente su respuesta. El análisis de la situación real nos hubiera llevado a actuar y responder de otra manera diferente. Desde nuestra posición en el globo no hubiéramos valorado de foma positiva la respuesta del campesino. El campesino ha entendido la pregunta en su literalidad, pero no ha sabido interpretar el contexto donde la pregunta se hacía lo que le lleva a dar una respuesta inútil para el hombre del globo.

2. Una paradoja numérica En numerosas ocasiones, personas que muestran su poca autoconfianza hacia el cálculo aritmético, intentan poner a prueba la habilidad de matemáticos proponiéndoles situaciones paradógicas. Una de estas situaciones ampliamente divulgada, y conocida desde hace tiempo, fue recogida en Paulos (1996) que, en versión actualizada, nos sirve de base para significar la importacia de comprender e interpretar correctamente la situación planteada. “Tres hombres se inscriben en un hotel y se instalan en una habitación de 60 euros. Consecuentemente, cada huésped paga 20 euros. Cuando ya están en la habitación, el gerente se da cuenta de que la habitación vale sólo 55 euros y que les ha cobrado de más. Entrega cinco euros al botones para que se los devuelva. Bien sea porque tenía dificultades para dividir 5 entre 3 o, más bien, porque no encontraba las monedas adecuadas para repartir los 5 euros entre los tres hombres, el botones le dio 1 euro a cada uno y se guardó los dos restantes para él. Más tarde, se da cuenta de que cada hombre ha pagado 19 euros (20 euros menos el euro que le ha devuelto). El botones reflexiona y cuenta: 19 euros que ha pagado cada uno por 3 son 57 euros, más 2 euros que me he quedado suman 59 euros. Ante esta situación el botones baja nervioso ya que no sabe qué ha sido del euro que falta, y se lo cuenta al gerente que también queda desconcertado”. Este ejemplo y el contexto en el que siempre se plantea muestra las dificultades de expresión y comprensión matemática que muchos ciudadanos tienen. El problema no está en la situación, sino en su presentación que orienta hacia la paradoja, esto es, en el texto que quiere reflejar el contexto

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descrito. Pero esta paradoja encuentra acomodo en la desconfianza y renuncia de muchos ciudadanos a analizar cuestiones que tienen que ver con las matemáticas y su poco autoconcepto para abordar cuestiones matemáticas. No damos respuesta a esta paradoja quedando la situación planteada como un problema abierto al lector.

3. Lectura comprensiva y matemáticas escolares La paradoja anterior nos señala, también, la dificultad de lectura de textos matemáticos y la de traducción de situaciones cotidianas a expresiones matemáticas y viceversa, que tanta influencia tiene en la compresión y dificultades de resolución de problemas matemáticos escolares. Estas dificultades de traducción pueden tener orígenes muy diversos (Blanco y Calderón, 1994). En ocasiones la causa es el diferente significado que algunas expresiones puedan tener, lo que hace que el interlocutor interprete de manera diferente el texto presentado. Vocablos con significados diferenciados En las matemáticas escolares utilizamos vocablos del lenguaje ordinario y, en ocasiones, con significado muy diferente. Por ejemplo, nos referimos a la ‘semejanza’ en la vida real y en matemáticas o al ‘cubo’ en matemáticas y en la vida real. El doble significado del mismo vocablo, produce situaciones que pueden resultar anecdóticas pero que tienen su importancia, sobre todo en la etapa escolar. Así, en (Cockcroft, 1985), se cuenta la siguiente situación en un contexto donde estaban trabajando con números naturales y operaciones aritméticas: “una persona que visitó un aula de alumnos entre 7 y 11 años, preguntó ‘¿Cuál es la diferencia entre 10 y 7?’, recibiendo como respuesta: ‘10 es par y 7 es impar’, en lugar de la cantidad ‘tres’ como esperaba” (Cockcroft, 1985, pp. 113). En este caso, la palabra ‘diferencia’ produce una respuesta inesperada, aunque acertada, dado el significado diverso que pueda tener en relación a la operación de restar o a la diferencia de propiedades de ambos números. Esta misma pregunta se le paso a 56 alumnos de Enseñanza Secundaria Oblogatoria obteniendo las respuestas que reseñamos en el cuadro siguiente: Resta o tres unidades mayor Número de cifras Divisibilidad Mayor que el otro Par/impar Otros

14 12 10 8 6 6

La respuesta más frecuente es relacionar la diferencia con la resta. No obstante, la mayoría de los aumnos interpretan la pregunta de otra manera. 12 de ellos, señalan las diferencias en relación al número de cifras que tienen que 10 y 7 (“uno es un número de dos cifras y el otro una”; “el 10 tiene decenas y unidades y el 7 solo unidades”). La divisibilidad es señalada por algunos alumnos, Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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especialmente en 2º de ESO, inducidos por ser el concepto que están estudiando en ese momento (“El 7 es un número primo”; “El 10 es múltiplo de 5 y 2 y el número 7 es primo”). Otros comparan su valor (“10 es mayor que 7”). Ser par o impar es otra diferencia que señala (“El 10 es par y el 7 impar”). Esta actividad, muestra que en ocasiones el significado del que partimos no es el mismo significado que asume el resolutor de la tarea. La compresión del texto en los problemas aritméticos escolares Uno de los aspectos tratados en relación a los problemas aritméticos escolares tiene que ver con la traducción de los enunciados de problemas a operaciones aritméticas. La lectura comprensiva de los enunciados es fundamental si no queremos que los alumnos utilicen otros recursos para resolver la actividad propuesta. Son múltiples las variables que intervienen en ello y que no son objeto de este artículo. A modo de ejemplo, podríamos proponer múltiples enunciados de problemas, con diferente estructura sintáctica, que pudieran resolverse con la operación de restar ’10 – 7 = 3’. La lectura y comprensión de las diferentes situaciones que pueden plantearse muestran dificultades diferenciadas: “Tenía 10 caramelos y me comí 3, ¿cuántos me quedan?” “Si tengo 10 caramelos y me como tres, ¿cuántos me quedan?” “Si me como 3 caramelos de los 10 que tengo, ¿cuántos me quedarán?” Y así, continuar modificando los tiempos de los verbos, la secuencia de la situación, utilizando los condicionales, etc. Esas variables provocan que los alumnos cuando tienen dificultades con el texto recurran a elementos claves (Puig y Cerdán, 1988) como son palabras concretas o la ubicación del problema en el libro de texto para decidir qué algoritmo utilizar.

4. Realidad escolar y uso cotidiano de las Matemáticas Las matemáticas escolares debieran servir, para comprender, interpretar la realidad y, consecuentemente, a tomar decisiones. En el currículo para la educación matemática en secundaria (Decreto 83/2007, de 24 de abril, por el que se establece el Currículo de Educación Secundaria Obligatoria para la Comunidad Autónoma de Extremadura. BOE 5 de Mayo de 2007) se especifican estos dos objetivos: • “Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos y abordarlas siguiendo los protocolos habituales en matemáticas. • Utilizar técnicas y procedimientos matemáticos para interpretar la realidad, cuantificándola con el tipo de número más adecuado y analizando los datos mediante los cálculos apropiados a cada situación”. Las diferentes situaciones que mostramos en este artículo, y otras que el lector pueda recordar, reflejan las dificultades de uso de las matemáticas escolares por la mayoría de los ciudadanos, de diferentes edades, cuestionando la consecución de los objetivos anteriores.

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Los niños y la aritmética elemental Cuando observamos a los niños desenvolverse en el quiosco de chucherías nos percatamos de la agilidad de cálculo que evidencian ante las preguntas del quiosquero, y nos viene a la mente las dificultades sobre la aritmética en el aula de Matemáticas. En relación a esta situación, podríamos recordar una referencia utilizada hace más de 20 años: "¿Por qué los niños pueden manejar situaciones de dinero los sábados, y fallar en los problemas de suma los lunes, en la escuela" (Ahmed, 1987, pp.2). Todavía tiene sentido y evidencia que la comunidad educativa es consciente del desajuste que existe entre la matemática que enseñamos en la escuela y el uso que los alumnos hacen de lo aprendido. Los adultos y las matemáticas comerciales En nuestras actividadades cotidianas utilizamos constantemente números, cálculos, medidas, estimaciones, proporcionalidad, análisis de formas planas y tridimensionales, etc. en las que podríamos evidenciar situaciones similares a la descrita para los niños. Consecuentemente, debiéramos plantearnos si la enseñanza de estos conceptos y procesos matemáticos, propios del currículo de Primaria y Secundaria, nos ayudan o dificultan a conocer la realidad y tomar decisiones. ¿Cuántas veces hemos oido la frase ‘echa tu las cuentas que eres de matemáticas’, cuando de lo que se trata es de realizar un cálculo aritmético elemental?. En otras ocasiones cuando alguien nos pregunta sobre nuestra profesión profesión y le decimos que somos profesores de Matemáticas reacciona con un ¡Uhhhhh!. Si les dicimos que nos gustan las matemáticas y que, además, intentamos mejorar la enseñanza de las Matemáticas, nos consideran como unos idealistas. Esta cierta anidmaversión hacia las Matemáticas, el poco autoconcepto y las concepciones generalizadas respecto del uso de las matemáticas, lleva a muchos ciudadanos a evitar a utilizarlas y, consecuentemente, a renunciar analizar cuestiones que tienen que ver con su uso descartando, voluntaria o involuntariamente, un instrumento que les podría ser útil. En los comercios podemos oir a algunos vendedores utilizar dos expresiones diferentes para mostrar el descuento que realizan ante un determinado producto. Así, podrían decir: - “Te quito 40 euros”. Comunicando la cantidad total del descuento en un artículo que podría costar 525 euros. - “Te hago el 8 %”. Utilizando el % correspondiente, como suele ser usual en muchos folletos publicitarios. Cuando hemos presentado la primera situación a personas adultas, han mostrado cierto agrado momentáneo, admitiendo que es un buen descuento. Sin embargo, cuando presentamos la segunda situación (descuento del 8 %), reclaman un descuento del 10 %, aún pudiendo calcular que es mayor que en el primer caso. Es decir, reclamamos en el caso en el que el descuento es mayor, y ello es así por nuestra poco autoestima como matemáticos y la falta de utilización de las matemáticas escolares nos lleva a evitar los cálculos oportunos.

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5. Contexto y estrategias para comprender los problemas Para “apreciar y valorar la utilidad de los conocimientos matemáticos en la vida cotidiana“ (MEC, 1992) es necesario encontrar la conexión entre las tareas escolares y las actividades cotidianas para que se aprecie que efectivamente las matemáticas escolares tienen sentido. Esta conexión podría ayudarnos a analizar, comprender, tomar decisiones,... que son competencias específicas que el currículo señala.

Matemática Actividades escolares

Realidad Contexto Estrategia

Actividades extraescolares

Encontrar esta conexión tiene que ser un objetivo prioritario ya que en las diferentes propuestas que se realizan la para la educación matemática siempre se señala la importancia de ello. Así, en los objetivos generales del currículo de primaria (MEC, 1992) se indicaban algunos de los objetivos que resaltamos: • “Reconocer situaciones y problemas de la vida cotidiana,... que puedan ser analizados” con la ayuda de objetos matemáticos. • “Utilizar instrumentos (matemáticos)... según la posible pertinencia y ventajas, para interpretar y resolver problemas”. • “Interrogarse y plantear problemas a partir de su experiencia diaria, utilizando estrategias personales y los conocimientos matemáticos propios, para resolverlos con recursos diferentes y procurando utilizar el más adecuado, con el fin de desarrollar la autonomía y la creatividad personal”. Los documentos actuales utilizan el término de competencia “para enfatizar el uso funcional del conocimiento matemático en numerosas y diversas situaciones y de manera variada” (INECSE, 2004, pp. 28), en la línea de lo que señalaban los documentos anteriores. Se vuelve a considerar importante la conexión: ‘Realidad - Matemáticas - Resolución de problemas’. Así, se indica que “Las matemáticas tiene que ver con la capacidad de los estudiantes para analizar, razonar y transmitir ideas de un modo efectivo al plantear, resolver e interpretar problemas matemáticos en diferentes situaciones” (Inecse, 2004, pp. 20). Y, además, se señala la importancia de los procedimientos que le permitirán (al alumno) continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de su vida. Pues bien, para potenciar este uso funcional de las Matemáticas que es demandado con fuerza, sobre todo a raiz de los informe PISA (OCDE, 2005), es necesario considerar estas referencias al currículo que nos indican la necesidad de reconocer y analizar situaciones de la experiencia cotidiana utilizando los instrumentos que las Matemáticas pone a nuestro alcance, pero de manera personal, tanto en los conocimientos como en los recursos, y buscando las estrategias más adecuadas para desarrollar la autonomía personal.

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La relación ‘Matemática – realidad’ tiene una doble dirección si queremos que tenga sentido la actividad matemática, y debe considerar tanto la actividad propuesta como las estrategias elegidas y utilizadas por la sociedad. Tenemos que cuidar que las actividades que propongamos se resuelvan de acuerdo al uso cotidiano que hacemos de ellas en situiciones similares. Es decir, tenemos que hablar de situaciones y de estrategias utilizadas para la solución. Situación y estrategia 1. Problemas de estructura aditiva. Pongamos un ejemplo de una situación relacionada con las matemáticas escolares que refleja una activividad usual en los niños. Imaginemos el siguiente problema que proponemos a nuestros alumnos de primaria: "Tengo 5 euros. Me gasto 1 euro y 60 céntimos en el quiosco, ¿Cuánto me quedará?" Desde el punto de vista de la actividad escolar este problema lleva implícito: - Operación de restar (500 – 60) para conocer la cantidad que nos corresponde como devolución. - O la de números decimales si pensamos en 5 – 1,6, según el nivel trabajado. Sin embargo, el señor del quiosco que es la realidad observada reiteradamente por los niños, actuará de otra manera utilizando una estrategia de sumas sucesivas que representamos de la siguiente manera: “60 centimos” “20 céntimos y 20 céntimos” “hacen 2 euros” “un euro más y dos más” Y el niño observa la cantidad devuelta. “3 euro y 40 céntimos” Por otra parte, es el procedimiento habitual en los cambios en el comercio, cuando no viene la vuelta marcada en la caja registradora. En el proceso de observación y seguimiento, el niño realiza la misma operación que la del quiosquero, puesto que su atención estará en controlarlo para que no se equivocara o, simplemente, para saber cuánto le quedará.

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Situación y estrategia 2. Proporcionalidad Otro ejemplo que evidencia la ruptura entre las estrategias de los ciudadanos, y las demandadas en la realidad escolar, tienen relación con situaciones de proporcionalidad. Imaginemos el siguiente problema: “Tres kilos de manzanas cuestan 12 euros, ¿cuánto costarán 6 kilos?” Desde la perspectiva escolar pensamos que es un problema para practicar la regla de tres y el procedimiento en cruz para resolverlo. Si tuviéramos que resolver este problema en una situación real un procedimiento de proporcionalidad que representamos en el siguiente esquema.

3 Kg -------------- 12 euros

“6 es el doble de 3, entonces, el coste será el doble de 12. Es

6 Kg -------------- ¿? euros

decir 24 euros”.

El razonamiento seguido no es un esquema en cruz, si no lineal. No lo hemos resuelto utilizando la regla de tres, en el sentido explicado en la escuela, sino un procedimiento de proporcionalidad aritmética. Ahora analizemos el siguiente problema: “Tres kilos de manzanas cuestan 12 euros, ¿cuánto costarán 5 kilos?” Si analizamos el proceso por el que resolvemos este problema, observaremos que volvemos a utilizar la propocionalidad aritmética pero en un sentido diferente al anterior. Averiguamos cuánto cuesta un kilo, y luego lo multiplicamos por 5. Tampoco hemos utilizado la regla de tres, en sentido estricto. Pero hemos utilizado la proporcionalidad artimética. Estos son procedimientos intuitivos y personales que los niños utilizan antes de estudiar la regla de tres. y que, generalmente, no son tenidos en cuenta en la enseñanza de la proporcionalidad, y en la introducción de la regla de tres en particular (Grupo Beta, 1985). Los niños dejan de utilizar estos procedimientos para rersolver estos problemas cuando dan la regla de tres, y, los recuperan en la vida adulta cuando tienen necesidades concretas. Esta situación la pudimos comprobar la proponerle los problemas a 20 alumnos de secundaria, y observar que 15 seguían los procedimien tos señalados mientras que sólo uno de los 20 planteó la regla de tres.

6. ¿Cuál es el objetivo de los problemas que proponemos en el aula? Una de las reflexiones que siempre debemos hacernos es cuál es el objetivo con el que proponemos los problemas de matemáticas a nuestros alumnos. En términos generales, podemos

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afirmar que el objetivo de la resolución de problemas en el aula es prácticar un algoritmo concreto, utilizar alguna fórmula, principalmente en los problemas de Geometría o desarrollar algún procedimiento concreto que el profesor ha explicado previamente y que es el correspondiente a la lección del libro de texto que toca ese día (Blanco, 1997). Ello genera en los alumnos una serie de creencias y actitudes sobre la actividad matemática que justifica su manera de proceder cuando abordan los problemas. Así, los alumnos consideraran que los problemas se resolverán por aplicación directa de las fórmulas, reglas o procedimientos que el profesor ha explicado, y que están en el libro de texto. Consecuentemente, estiman que lo que tienen que hacer es atender, recordar y aplicar esas reglas, fórmulas y procedimientos, Esto es aprender por recuerdo y repetición de los problemas tipos (Llinares y Sánchez, 1996; Blanco, 1997; Goméz-Chacón, 2000). Evidentemente, todo ello no encaja muy bien con el concepto de competencia y con el objetivo específico de enseñar a resolver problemas, utilizando los conocimientos matemáticos y estrategias personales, como demandan los currículos y el sentido común. Esta reflexión, que es aceptada por la comunidad educativa, es, también, asumida por los alumnos. A partir de ese momento la primera tarea que se marcarán, cuando se le proponga un problema concreto, será la de encontrar el algoritmo, fórmula o procedimiento correspondiente utilizando los elementos las claves que el enunciado les da, y obviando el análisis de las situaciones planteadas. Esta preocupación es la que nos muestran, desde pequeños, cuando preguntan: “¿es de sumar?; ¿es de multiplicar?, o manifiestan dudas por la fórmula a utilizar. Esta búsqueda de elemetos claves 1 sustituye a la preocupación por analizar el enunciado o situación problema, y buscar estrategias para su solución. La presentación de los problemas tipo tal y como se presentan en los libros de texto de primaria y secundaria no favorecen otro tipo de actividad más relacionada con el análisis y búsqueda de estrategias de los problemas (Pino y Blanco, 2008), pero eso no es obvice para que esta actividad estuviera entre las actividades que de manera rutinaria realizamos en el aula. Las propuestas que se plantean con el objetivo de enseñar a resolver problemas (Bransford y Stein, 1997; Guzmán, 1991) señalan que el primer paso para resolver los problemas es: ‘analizar/comprender lo que el problema/situación problemática nos plantea’. Esto es, analizar la información desde la perspectiva de las matemáticas, situando la informaciónen un contexto concreto. El segundo es: ‘diseñar estrategia/s para alcanzar el objetivo que la tarea nos proponga’, para dar respuesta al reto planteado. Las actividades de analizar la situación problema y decidir sobre las estrategias a seguir para su resolución están intimamente ligadas, y es lo que da sentido a la actividad matemática. Es evidente que estos dos pasos son pocos considerados de manera específica en las activiadades de aula. Y a nuestro juicio son pasos necesarios para una buena alfabetización matemática. El análisis de situaciones matemátizables o que contienen información matemática debe ser una tarea específica a desarrollar en los aulas de matemáticas desde el inicio de la vida escolar. Y no solo porque es un paso necesario para aprender a resolver problemas, si no porque ello permitiría a nuestros alumnos aprender hábitos de lectura y análisis matemáticos de textos y/o situaciones múltiples que constituyen la base de nuestra información o de nuestra lectura apacible. 1

En los problemas de sumar palabras como más, dar, regalar,... sugieren la operación aritmética de sumar. Las palabras como menos, quitar, comer,... sugieren la de restar. De igual manera, tantas veces como indicará que es un problema de multiplicar y los repartos le sugerirán que se trata de un problema de dividir. En niveles superiores los algoritmos a utilizar serán los que se indiquen en la lección donde el problema está propuesto.

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Nuestro entorno inmediato nos depara múltiples referencias para encontrar contextos matemáticables para el aula. Así, podemos utilizar los cuentos como referencia (Blanco, 2008). Bien cuentos tradicionales como Alicia en el Páis de las Maravillas o Alicia a través del espejo de Lewis Carroll o, Los viajes de Guliver de Jonathan Swift cuyo contenido matemático está relacionado con la proporcionalidad y la medida (Grupo Beta, 1990; Quintana, 2002); novelas como El Quijote, sobre la que la FESPM editó algunos trabajos, o cuentos específicos, como Cuentos del cero (Balbuena, 2006). Podemos encontrar información matemática interesante en los medios de comunicación (Corbalán, 1995; Fernández y Rico, 1992). Las encuestas electorales, de población o de empleo; las páginas de economía o deportivas; los anuncios comerciales juegan con la falta de lectura matemática para presentar, muy favorablemente, ofertas que si son analizadas detenidamente no resultan ser tan beneficiosas para los clientes. La redacción/interpretación de catálogos o trabajos específicos sobre obras pictóricas o escultóricas y sobre edificios del patrimonio histórico-cultural son inconcebibles sin referencias al plano, el espacio, la proporción o la medida. La realidad que vivimos está llena de situaciones matemátizables (Alsina, 1994) que tenemos que utilizar como referencia básica, utilizando las matemáticas como un elemento más que nos permita analizar, interpretar, y decidir sobre las acciones que debamos tomar.

Bibliografía Ahmed, A. (1987). Better Mathematics. A curriculum in Mathematics Project. Her Majesty's Stationery Office Alsina, C (1994). ¿Para qué aspectos concretos de la vida deben preparar las matemáticas?. UNO nº 1, 37-43 Balbuena, L. (2006).Cuentos del cero. Nivola Blanco, L.J. (1997). Concepciones y creencias sobre la resolucion de problemas de estudiantes para profesores y nuevas propuestas curriculares. En Quadrante, Revista Teorica e de Investigacao, 6(2), 45-65. Blanco, L.J. y Calderón, M. (1994). Los problemas de sumar y restar. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura. Cáceres Blanco, B. y Blanco, L.J. (2009). Cuentos de Matemáticas como recurso en la Enseñanza Secundaria Obligatoria. Innovación Educativa, nº 19. (En prensa). Blanco, B. y Blanco, L.J. (1998). Reflexiones sobre la enseñanza de las Matemáticas en la sociedad de finales del siglo XX. En Barrantes, M. (Ed.) La Geometría y la Formación del profesorado. Universidad de Extremadura. 13 – 22 Bransford, J. y Stein (1987). Solución IDEAL de Problemas Barcelona. Labor. Cockroft, W. y Otros (1985). Las Matemáticas si cuentan. Informe Cockroft. MEC. Madrid Corbalán, F.(1995). La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó. Barcelona Fernández, A. y Rico, L. (1992). Prensa y educación Matemática. Síntesis. Madrid. Gómez-Chacón, I. (2000): Matemática emocional. Los afectos en el aprendizaje matemático. Narcea. Madrid. Grupo Beta (1985). Proporcionalidad geométrica y ejercicios de medida. ICE de la Universidad de Extremadura. Badajoz Grupo Beta (1990) Proporcionalidad geométrica y semejanza. Síntesis. Guzmán, M. (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona INECSE, (2004). Marcos teóricos de PISA 2003. Competencias y destrezas en Matemáticas, Lectura, Ciencias y Solución de problemas. MEC Llinares, S. y Sánchez, V. (1996). Comprensión de las nociones matemáticas y modos de representación. El caso de los números racionales en EPPs de primaria. En Giménez, J.; Llinares, S.; y Sánchez, M.V. (eds.): El proceso de llegar a ser un profesor de primaria. Cuestiones desde la educación matemática. Comares. Granada. 1996

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MEC (1992). Primaria. Área de Matemáticas. MEC. Madrid OCDE (2005). Informe PISA 2003. Aprender para el mundo del mañana. Santillana. Paulos, J. A. (1996). Un matemático lee el periódico. Tusquets. Barcelona Pino, J. y Blanco, L. J. (2008). Análisis de los problemas de los libros de texto de Matemáticas para alumnos de 12 a 14 años de edad de España y de Chile en relación con los contenidos de proporcionalidad. Publicaciones 38. 63-88. Puig, L. y Cerdan, F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Madrid. Síntesis Quintana, J. (2002). Las Matemáticas de Alicia y Gulliver. Lo grande y lo pequeño. FESPM. Madrid. Beatriz Blanco Otano, Profesora de Matemáticas del Instituto de Educación Secundaria y Bachillerato Eugenio Frutos de Guareña (Badajoz). Ha cursado el Master de Investigación en Enseñanza y Aprendizaje de las Ciencias Experimentales, Sociales y de las Matemática, en La Universidad de Extremadura. E-mail: beatrizblanco@terra.es

Lorenzo J. Blanco, Profesor Titular de Universidad de Didáctica de la Matemática, en la Facultad de Educación de la Universidad de Extremadura. Autor de diferentes trabajos sobre educación matemática y formación de profesores de Matemáticas. Dirección electrónica: lblanco@unex.es

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 87–100

Matemáticas para detectar y corregir errores Mikel Lezaun Iturralde (Universidad del País Vasco) Fecha de recepción: 8 de junio de 2009 Artículo solicitado al autor por la revista

Resumen

Hoy en día la información almacenada en un ordenador, en una cámara fotográfica o en un CD, y la contenida en las ondas emitidas por televisión o por un teléfono móvil está traducida a números, está codificada, es digital. En el proceso de codificación o en la transmisión de un mensaje pueden ocurrir errores que habrá que detectarlos, y mejor corregirlos. ¿Cómo hacerlo? Con matemáticas, los números son matemáticas. En este artículo se estudia el papel de la letra en la detección de errores del Número de Identificación Fiscal (NIF), de los dígitos de control de una cuenta bancaria, y un código de barras. También, se introducen los códigos Hamming para detectar y corregir errores sencillos en un mensaje escrito en números 0 y 1.

Palabras clave

Dígitos de control, distancia Hamming, códigos correctores

Abstract

Today, the information stored on a computer, a photographic camera or a CD, and the contained in the waves emitted by television or mobile phone is translated to numbers, it is encoded, it is digital. In the encoding process or in the transmission of a message errors may occur that must be detected, and better corrected. How? With mathematics, the numbers are mathematics. This article studies the role of letter in error detection of the Número de Identificación Fiscal (NIF), of check digits of a bank account, and a bar code. It also introduces Hamming codes to detect and correct the simple errors of a message written in numbers 0 and 1.

Keywords

Check digits, Hamming distance, error-correcting codes

1. Introducción En los últimos años, el término digital ha entrado en el lenguaje cotidiano. Empezaron los relojes digitales, luego se extendieron las cámaras fotográficas digitales, las cámaras de video digitales, la televisión digital, y ahora incluso los periódicos digitales. Cuando damos el número completo de la cuenta bancaria, nos piden incluir los dígitos de control. También observamos que el código de barras de un producto contiene toda la información del mismo, precio incluido, que debajo del código hay números, y que cuando falla el lector se escriben los números. Las personas tenemos un número que nos identifica. Digital se suele contraponer a analógico, y lo digital se asocia a lo numérico, a los números. Hoy en día es un hecho que cualquiera que sea el soporte en que esté almacenada y el medio por el que se transmita, la información, ya sea un texto, una imagen o unos sonidos, está traducida a

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números, es digital. En el proceso de traducción a números (codificación) o durante la emisión, transmisión y recepción del mensaje numérico, se pueden cometer errores, y los errores hay que detectarlos, y mejor corregirlos. Con los números se pueden hacer cuentas, con los números siempre hay matemáticas, y las matemáticas están para utilizarlas. ¿Cómo utilizar las matemáticas para detectar los errores? La idea básica es muy sencilla. A partir de los números del mensaje se calculan otros que se añaden al mismo. La forma de obtener esos números es conocida, se sabe cuales son y cómo han sido calculados. Al recibir todos los números, tanto los del mensaje y como los redundantes, el lector vuelve a calcular los números redundantes que debería haber, y si coinciden con los recibidos, todo ha podido ir bien, y si no, se ha producido un error. Una vez detectado un error, la primera opción es decir: ¡error! y solicitar que se vuelva a emitir el mensaje. Pero mejor sería corregirlo. ¿Cómo hacerlo? La idea básica también es sencilla. Si al añadir los números redundantes al mensaje numérico, todos los resultados posibles son muy diferentes unos de otros, y si al rehacer el lector los cálculos obtiene un resultado imposible pero cercano a uno de los posibles, el mensaje erróneo se sustituye por el factible más cercano. Esas son las ideas básicas y a las matemáticas les toca modelizarlas, definir qué operaciones hay que hacer, diseñar los algoritmos de resolución y resolverlos. La informática, la computación, se encargará de hacer todo el proceso operativo. Este artículo está dividido en cuatro secciones. En la primera se estudia el papel detector de errores de la letra del DNI, cómo se obtiene esa letra y el porqué del método elegido para calcularla. La segunda sección esta dedicada a los dígitos de control de errores de las cuentas bancarias, y la tercera al código de barras. La cuarta sección trata de los códigos correctores de mensajes binarios, y presenta un código Hamming para detectar y corregir los errores más sencillos de un mensaje escrito en números 0 y 1.

2. La letra del NIF El Documento Nacional de Identidad (DNI) español nació el 2 de marzo de 1944. Este documento está numerado, cada DNI tiene un número (positivo) de ocho cifras: a = a 7 a 6 a5 a 4 a3 a 2 a1 a 0 donde cada ai es uno de los diez dígitos. Los casos en que aparecen menos dígitos se deben a que hay ceros por la izquierda que no se han escrito. El 9 de marzo de 1990, al número del DNI se le añadió una letra de control, que denominaremos letra NIF. El número del DNI junto con la letra NIF constituyen el Número de Identificación Fiscal (NIF). La letra del NIF es una letra de control, que se obtiene a partir del resto de la división entera del número del DNI entre 23, y que no tiene más misión que detectar equivocaciones al escribirlo. Ese resto será un número entero comprendido entre el 0 y el 22. En base a la siguiente tabla, a cada resto se le asigna la letra correspondiente, que será la letra NIF. resto 0 1 2 3 4 letra T R W A G

5 M

6 Y

7 F

8 P

9 D

10 X

11 B

12 N

13 J

14 Z

15 S

16 Q

17 V

18 H

19 L

20 C

21 K

Tabla 1. Correspondencia entre el resto 23 del DNI y la letra NIF

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Dado que hay 23 restos, sólo son necesarias 23 letras. Las descartadas son: I, O, U y Ñ. Se puede pensar que la elección de la división por 23 está motivada porque se ha considerado que sólo hay 23 letras válidas: la I, O y U se eliminan porque se pueden confundir con 1, 0 y V, y la Ñ por ser específicamente española. Las matemáticas nos van a mostrar que la elección de 23 es fundamental, que es debida a algo más profundo. Como se ha indicado antes, la letra NIF es de control, sirve para detectar errores. La equivocación más simple es cambiar un dígito. Por tanto, para que la letra NIF cumpla su cometido, lo mínimo que se puede pedir es que dos números DNI que difieran en un solo dígito no puedan tener la misma letra. 2.1. Dos números de DNI que difieren en un solo dígito no pueden tener la misma letra NIF Sean dos números de DNI a = a 7 a 6 a5 a 4 a3 a 2 a1 a 0 y b = b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1b0 con a mayor que b. Estos números en base decimal se escriben de la forma

a = a 7 10 7 + a 6 10 6 + a 5 10 5 + a 4 10 4 + a3 10 3 + a 2 10 2 + a110 + a 0 ,

(1)

b = b7 10 7 + b6 10 6 + b5 10 5 + b4 10 4 + b3 10 3 + b2 10 2 + b110 + b0 .

(2)

Si sólo difieren en un dígito, por ejemplo el correspondiente a la potencia k-ésima de 10, restando las expresiones (1) y (2) se obtiene que su diferencia es a − b = ( a k − bk )10 k

con

a k − bk un número entero del 1 al 9.

Si los dos tuvieran la misma letra, los dos tendrían el mismo resto r al dividirlos por 23, es decir se tendrían las descomposiciones a = 23 p + r

b = 23q + r

con p, q y r números enteros no negativos y r ≤ 22 .

Restando estas expresiones de a y b se obtendría

a − b = 23( p − q ) . En consecuencia ( a k − bk )10 k = 23( p − q ) . Esto implicaría que 23 es un divisor de ( a k − bk )10 k , con a k − bk un número entero del 1 al 9, lo cual es imposible. ¿Ocurriría lo mismo si se hubiera tomado 24 letras, si se hubiera utilizado el resto de la división por 24? Veámoslo. Supongamos dos números cualesquiera a y b, con a mayor que b, que se diferencian en 3000, por tanto en un solo dígito. Dividiendo cada uno de ellos por 24 se tiene

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a = 24 p + r1

b = 24q + r2

con p, q, r1 y r2 números enteros no negativos y r1 , r2 ≤ 23 .

La resta de esos dos números es a − b = 24( p − q ) + ( r1 − r2 ) = 3000 = 24 × 125 . En consecuencia 24( p − q − 125) = r2 − r1 . Como r1 − r2 está comprendido entre 0 y 23, esta igualdad sólo es posible si p − q − 125 = 0 , de lo cual se sigue que r1 − r2 = 0 , y los dos restos son iguales. Así pues, cualesquiera a y b que se diferencian en 3000 tienen el mismo resto al dividirlos por 24. Por ejemplo, los números 72851023 y 72854023 tienen resto 7. Esto también se cumple si a y b se diferencian en 30000, 300000, 3000000 o 30000000. En definitiva, si se utilizaran los restos de la división por 24, habría muchísimas parejas de números DNI que se diferencian en un solo dígito y que comparten la misma letra. Es fácil demostrar que esto mismo habría ocurrido si se hubiera dividido por 20 o 25, y que en lo que respecta a lo anterior, el 21, 22, 26 y 27 se comportan como el 23. Hemos demostrado que con la división por 23, la letra NIF detecta las equivocaciones en un solo dígito. Ahora bien ¿se puede saber cual ha sido la equivocación y corregirla? La respuesta es no, y para ello es fácil encontrar ejemplos. Uno es el siguiente. Supongamos que queremos copiar el NIF 72851028T. Nos equivocamos sólo en el último dígito y escribimos 72851025T. La letra no se corresponde con esos números y se detecta que hay un error. Pero a la vista de esto ¿cual es el que queríamos escribir? ¿El 72851028T o el 72851005T? A priori no hay forma de saberlo, los dos son correctos y difieren del 72851025 en un sólo dígito. Así que cuando se detecta un error, no queda más remedio que volver a escribir el DNI prestando más cuidado. Acabamos de ver un ejemplo de dos números de DNI que se diferencian en dos dígitos y que tienen igual letra NIF. Ahora bien, la equivocación más fácil de cometer que sólo involucra a dos dígitos es intercambiar uno por el otro. En estos casos, ¿la letra puede ser la misma? O lo que es lo mismo ¿la letra NIF detecta ese error? 2.2. Dos números de DNI con sólo dos dígitos intercambiados no tienen la misma letra NIF

Sean dos números a y b ( a > b ) de DNI que sólo se diferencian en que tienen intercambiados dos dígitos. Como ejemplo tomamos a = a 7 a 6 a5 a 4 a3 a 2 a1 a 0 y b = a 7 a 2 a5 a 4 a3 a 6 a1 a 0 que tienen intercambiados los dígitos que ocupan los lugares 2 y 6 comenzando por la izquierda. Estos números se pueden escribir

a = a 7 10 7 + a 6 10 6 + a5 10 5 + a 4 10 4 + a3 10 3 + a 2 10 2 + a110 + a 0 , b = a 7 10 7 + a 2 10 6 + a5 10 5 + a 4 10 4 + a3 10 3 + a 6 10 2 + a110 + a0 .

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En general, la diferencia de dos números a y b que tienen las cifras a k y a j intercambiadas es

a − b = ( a k − a j )10 k + ( a j − a k )10 j = ( a k − a j )10 j (10 k − j − 1)

donde 0 ≤ j < k ≤ 7 .

Como se ha hecho otras veces, si tuvieran el mismo resto al dividirlos por 23 se verificaría que a − b = 23( p − q )

con p y q enteros no negativos.

En consecuencia se tendría la igualdad ( a k − a j )10 j (10 k − j − 1) = 23( p − q ) .

Ahora bien, esto es imposible ya que 23 no es divisor de un número de la forma ( a k − a j )10 j (10 k − j − 1) con a k y a j enteros variando entre 0 y 9 y 0 ≤ j < k ≤ 7 .

De la misma forma se puede demostrar que esto no ocurre si se hace la división por 21, 22, 26 o 27. Por ejemplo, los números 72851028 y 22851078 tienen el mismo resto 16 al dividirlos por 26. En definitiva, se ha elegido la división por 23 porque es la que detecta los errores más sencillos en la escritura de los números del DNI: la modificación de un dígito y al intercambio de dos. Esto no sería así si se hubiera elegido la división por 20, 21, 22, 24, 25, 26 o 27.

3. Dígitos de control de una cuenta bancaria El Código Cuenta Cliente (CCC) que asignan las entidades a las cuentas bancarias está formado por un conjunto de 20 dígitos

a8 a 7 a6 a5 a 4 a3 a 2 a1 c{ c n10 n9 n8 n7 n6 n5 n4 n3 n2 n1 1424 3 1 424 3 1 2 1 444 424444 3 entidad

sucursal

control

número de cuenta

que responden a los siguientes datos: CÓDIGO DE LA Los códigos de la Entidad y de la Oficina Bancaria se ENTIDAD: 4 dígitos utilizan con sus cuatro dígitos. Por tanto, si el número no tiene CÓDIGO DE LA estos dígitos se completa con ceros a la izquierda. SUCURSAL: 4 dígitos. DÍGITOS DE CONTROL: 2 dígitos

El primer dígito de control, el c1 , sirve para validar los códigos de la Entidad Bancaria y de la Sucursal. El segundo, el c 2 , sirve para validar el número de la cuenta.

NUMERO DE LA CUENTA: 10 dígitos

El número de la cuenta bancaria tiene 10 dígitos. Se utiliza siempre con los diez dígitos de manera que si tiene menos dígitos se completa con ceros a la izquierda.

Tabla 2. Descripción de los 20 dígitos de una cuenta bancaria

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Como su nombre indica, los dos dígitos de control sirven para detectar errores y se obtienen a partir de los restantes. Para los dos se utilizan los restos de la división entera por once. Comencemos con el dígito c1 . Se empieza calculando a = 4a8 + 8a 7 + 5a 6 + 10a5 + 9a 4 + 7 a3 + 6a 2 + 3a1 .

(3)

Luego se divide a por 11 y se retiene el resto r. A 11 se le quita este resto y el resultado es el primer dígito de control, con la salvedad de que si se obtiene 10 se toma 1, y si se obtiene 11 el dígito de control es 0. Para el dígito c 2 se procede de forma similar. Se comienza calculando n = n10 + 2n9 + 4n8 + 8n 7 + 5n 6 + 10n5 + 9n 4 + 7 n3 + 6n 2 + 3n1 .

(4)

Este número se divide por 11, se retiene el resto s, a 11 se le sustrae este resto y el resultado es el dígito de control, salvo cuando el resultado es 10 o 11 que se toma 1 o 0 respectivamente. Observemos que tanto el resto 1 como el 10 producen el mismo dígito de control, el 1. Si se hubiera dividido por 10, todos los restos darían origen a un dígito de control distinto. Entonces ¿por qué no se ha dividido por 10? La respuesta se verá más adelante. 3.1. Cambio de un dígito en el CCC

Si en un código de cuenta cliente a8 a 7 a 6 a5 a 4 a3 a 2 a1 c1c 2 n10 n9 n8 n7 n6 n5 n 4 n3 n 2 n1 se cambia un dígito de los ocho primeros, el resto r de dividir a por 11 varía. Lo mismo ocurre con el resto de n si se cambia uno de los diez últimos. En efecto, si cambiamos uno de los ocho primeros dígitos, por ejemplo a 7 por b7 con a 7 > b7 , restando los valores a y b correspondientes se obtiene a − b = 8( a 7 − b7 ) . Si tanto a como b tuvieran el mismo resto r al dividirlos por 11, se tendría a = 11 p + r

b = 11q + r

con p, q y r enteros no negativos y r ≤ 10 .

Restando estas expresiones se obtendría a − b = 11( p − q ) . En consecuencia se verificaría 8( a 7 − b7 ) = 11( p − q ) , lo cual es imposible debido a que a 7 − b7 es un entero entre 0 y 9. Esto no habría ocurrido si se hubiera dividido a y b por 10. En efecto, cambiando un dígito de los que tienen coeficiente par en la expresión de (3) o (4) por otro cinco unidades mayor o menor, se obtiene el mismo resto. Por ejemplo, los números a = 20950001 y b = 20950051 son tales que a y b tienen el mismo resto 4 al dividirlos por 10. Esta es la razón por la que no se ha elegido dividir por 10. Sigamos con la división por 11. Con un cambio de un solo dígito se puede obtener los restos 1 y 10, y por tanto el mismo dígito de control. Por ejemplo, las ocho primeras cifras 20950001 y 20950005 dan c1 = 1 , y las diez últimas 4032327895 y 4032328895 también producen 1 como segundo dígito de control. Para solventar esta contingencia, los bancos tienen que tener cuidado en no

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asignar en dos sucursales distintas un mismo número de cuenta, ni en asignar como número de cuenta uno que al dividirlo por 11 de como resto el 10. De esta forma, el cambio de un dígito de un CCC operativo es incompatible con la conservación de los dígitos de control. 3.2. Intercambio de dos dígitos de una CCC

Para fijar las ideas nos vamos a centrar sólo en los 10 últimos dígitos del Código Cuenta Cliente. Dos CCC que se diferencien en sólo dos dígitos pueden tener el mismo dígito de control. Por ejemplo los números 4037327895 y 4035427895 tienen el mismo control c 2 = 3 . Pero un intercambio de dos dígitos ¿puede dar origen a un mismo dígito de control? Veamos la respuesta. Sean n y m los últimos diez dígitos de dos números CCC tales que uno se obtiene del otro sólo intercambiando dos dígitos. Entonces los números n y m calculados con la fórmula (4) tienen diferente resto al dividirlos por 11. En efecto, supongamos que n10 n9 n8 n7 n6 n5 n 4 n3 n 2 n1 y m10 m9 m8 m7 m6 m5 m 4 m3 m 2 m1 se obtienen uno del otro intercambiando dos dígitos, por ejemplo el n8 y el n3 . Calculando n y m por la fórmula (4) y restando los valores obtenidos se tiene la relación

n − m = ( 4 − 7)(n8 − n3 ) . Por otro lado, si n y m tuvieran el mismo resto s al dividirlos por 11 se tendría

n = 11 p + s

m = 11q + s con p, q y s enteros no negativos y s ≤ 10 .

Restando estos dos números se obtendría

n − m = 11( p − q ) . En consecuencia se verificaría ( 4 − 7)(n8 − n3 ) = 11( p − q ) con n8 − n3 número entero entre 0 y 9, lo cual es imposible. Lo anterior no quita que intercambiando dos dígitos se pueda obtener el mismo dígito de control 1. Por ejemplo, el número 4032377886 genera el resto 10 y el 4032737886 el resto 1, por lo que los dos producen el mismo c 2 = 1 . Ahora bien, una buena gestión de los bancos para no asignar a cuentas números que al dividirlos por 11 den cómo resto el 10 solventa esta anomalía, y los dígitos de control cumplen su función: detectan la modificación de un dígito y el intercambio de dos.

4. Código de barras Un código de barras es una traducción a un conjunto de líneas paralelas de distinto grosor y espaciado de una determinada información, en general un conjunto de números que se suelen escribir debajo. La primera patente de un código de barras se registró en 1952 en Estados Unidos. Comenzó a

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comercializarse en 1996 y su gran éxito le llegó a partir de 1980. Aquí nos centraremos en el mensaje numérico, no en su traducción a barras. El EAN-13 (European Article Number) es un sistema de códigos de barras adoptado por multitud de empresas. Está constituido por 13 dígitos divididos en cuatro grupos

c a12 a11 a10 a9 a8 a 7 a 6 a5 a 4 a 3 a 2 a1 { 123 1444 424444 3 control país

código de la empresa y del producto

1. País: los primeros dígitos identifican a través de qué organización nacional se ha adscrito una empresa al Sistema EAN. En España se encarga de ello Aecoc y su código es el 84. 2. Código de la empresa: es un número compuesto por entre 5 y 8 dígitos, dependiendo de las necesidades de la empresa, el cual identifica al propietario de la marca. 3. Código del producto: completa los 12 primeros dígitos. 4. Dígito de control: consta de un solo dígito y sirve para verificar que el código leído es correcto. El proceso de su cálculo es muy sencillo, basta con seguir tres pasos: • Se numeran los doce primeros dígitos comenzando de izquierda a derecha. Los dígitos

que ocupan una posición impar se suman, y los que ocupan una posición par se multiplican por 3 y se suman. • Se suman los dos números obtenidos. • Se busca la decena inmediatamente superior al resultado de la suma anterior y se le resta esa suma. El resultado obtenido es el dígito de control del lugar 13. Por ejemplo, sea el siguiente código de barras.

Numerando los doce primeros números de izquierda a derecha, la suma de los de lugar par es 8 + 5 + 3 + 1 + 5 + 3 = 25 , y la suma de los de lugares impares multiplicados por tres es 3( 4 + 4 + 2 + 6 + 4 + 2) = 66 . Como 25 + 66 = 91 , la decena inmediatamente superior es 100, por lo que el dígito de control es c = 100 − 91 = 9 . En este caso se plantean las mismas cuestiones: dos códigos de barras que sólo se diferencien en un dígito de los 12 primeros ¿pueden tener el mismo dígito de control? Intercambiado dos de los doce primeros dígitos ¿se obtiene el mismo dígito de control? Las respuestas se dejan como ejercicio.

5. Digitalizar para corregir Actualmente la información, esté contenida en un ordenador, en un disco compacto, en una cámara fotográfica, en las ondas emitidas por una sonda espacial, por televisión o por un teléfono móvil, se encuentra codificada (traducida) a una sucesión de señales binarias, de “bits”, que se pueden asimilar matemáticamente a “0” y “1”. Hoy en día estamos acostumbrados a que la mayoría de los aparatos sean calificados como digitales.

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Una forma de traducir un mensaje escrito a números es utilizar un código ASCII, acrónimo inglés de American Standard Code for Information Interchange, que fue creado en 1963 por iniciativa de un comité de la American Standards Association (ASA). Este código representa los caracteres tipográficos basados en el alfabeto latino mediante conjuntos de ocho bits, denominados octetos. La tabla 3 da la equivalencia numérica de las letras mayúsculas en ASCII. Binario 01000001 01000010 01000011 01000100 01000101 01000110 01000111 01001000 01001001 01001010 01001011 01001100 01001101

Decimal Representación 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

A B C D E F G H I J K L M

Binario

Decimal

Representación

01001110 01001111 01010000 01010001 01010010 01010011 01010100 01010101 01010110 01010111 01011000 01011001 01011010

78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

N O P Q R S T U V W X Y Z

Tabla 3. Representación numérica de las letras mayúsculas en código ASCII

Un hecho muy importante es que una mota de polvo en un CD, una tormenta con sus perturbaciones electromagnéticas, o un rayo cósmico que colisiona con un componente electrónico pueden cambiar el sentido de uno o varios bits, a veces de miles de bits. Ahora bien, un 1 que se convierte en 0 es como si un “si” se transformara en un “no”, o un “ding” en un “dong”, y el sentido del mensaje puede quedar completamente modificado. ¿Cómo solventar estos incidentes, extremadamente frecuentes, que ocurren en el transcurso de la emisión, transmisión o recepción de mensajes (textos, sonidos, imágenes, etc.)? Una de las grandes ventajas de la digitalización es que permite someter a los mensajes a un tratamiento aritmético, a hacer cuentas con los números. La ideal central de la corrección de errores, conocida desde comienzos de la informática a mediados del siglo XX, consiste en dividir el mensaje inicial en “palabras” de longitud fija, y añadir a cada una de ellas un cierto número de bits redundantes calculados a partir de los bits de la palabra. Se trata pues de alargar las “palabras” para que se puedan reconocer, y en consecuencia corregir, aunque se hayan modificado algunas de sus “letras”. Realizar este proceso se denomina codificar. La capacidad de corregir errores reside en que si todas las palabras codificadas posibles son muy diferentes unas de otras, cuando se recibe una palabra errónea, una palabra imposible, se puede sustituir por la posible más próxima. Obviamente, para ello se deberá poder determinar cual es la palabra válida más cercana a la recibida. Una vez corregidas, de cada palabra codificada se eliminan los bits redundantes, dicho de otra forma, se descodifica para recuperar el mensaje original. Habrá pues que comenzar por definir el concepto de “distancia” entre dos palabras de igual longitud. Se define la distancia de Hamming entre dos palabras como el número de posiciones que tienen bit diferente. Por ejemplo, la distancia entre 000 y 111 es tres, 000 y 011 tienen distancia dos, y 111 y 101 distancia uno. Las palabras 10100011 y 10110100 tienen distancia cuatro. Para poder corregir

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errores de un solo bit en las palabras codificadas, la distancia entre todas ellas tiene que ser como mínimo tres. Así, para cada palabra con un solo bit erróneo habrá una única válida a distancia uno, que será la verdadera palabra a la que corresponde. Si se desea corregir errores de dos bits por palabra, la distancia mínima entre ellas deberá ser como mínimo cinco. Una forma muy elemental aunque académica de codificar las palabras para poder corregir errores es considerar que cada bit es una palabra, y añadir a cada palabra, a cada bit, otros dos iguales. Así, las únicas palabras código posibles serán 000 y 111. La distancia entre ellas es tres. Si se admite que en el transcurso de una transmisión sólo puede ocurrir un error de un solo bit por palabra, al recibir 011, 101 o 110 se sabe que se había emitido 111, y al recibir 100, 010 o 001 que se había emitido 000. Una vez hechas las correcciones, de las ternas 000 y 111 se eliminan las redundancias y se obtiene el mensaje original correcto. 5.1. Código Hamming (7,4)

El código Hamming (7,4), introducido por matemático estadounidense Richard Hamming en 1950, comienza dividiendo el mensaje en palabras de cuatro bits. Hay 2 4 palabras diferentes: 0000, 0001, 0010, 0100, 1000, 1001, 1010, 1100, 0101, 0110, 0011, 1110, 1101, 1011, 0111, 1111. Luego, a cada palabra a1 a 2 a3 a 4 del mensaje se le añade tres bits p1 , p 2 y p3 de redundancia, calculados a partir de a1 , a 2 , a3 y a 4 . Los a1 , a 2 , a3 y a 4 son 0 o 1 y se quiere que los p1 , p 2 y p3 calculados a partir de ellos también tomen los valores 0 o 1. Es decir, se quiere hacer operaciones con 0 y 1 y que el resultado sea 0 o 1. Para ello se recurre a la teoría de los cuerpos finitos, que nació con el matemático francés Évariste Galois (1811-1832) al estudiar la resolución de las ecuaciones algebraicas. Un cuerpo finito es un conjunto finito de elementos que, como los números reales o complejos, se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, sin que el resultado salga de esos números. En el cuerpo finito de dos elementos {0 , 1} las operaciones suma y producto son las de las tablas 4 y 5.

0 1

0 0

0 1

0 0

0 1

Tabla 4. Suma en un cuerpo de dos elementos

Tabla 5. Producto en un cuerpo de dos elementos

Las tablas 6 y 7 son las de la adición y multiplicación que hacen del conjunto de cuatro elementos {0 , 1, x , y} un cuerpo. +

0 1 x y

0 1 x Y

1 0 y x

x x 0 1

y y 1 0

0 1 x y

0 0 0 0

0 1 x y

0 x y 1

0 y 1 x

Tabla 6. Suma en un cuerpo de cuatro elementos

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Tabla 7. Producto en un cuerpo de cuatro elementos

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En el código Hamming (7,4), los bits p1 , p 2 y p3 redundantes se definen por

p1 = a1 + a 2 + a 4

p 2 = a1 + a3 + a 4 p3 = a 2 + a3 + a 4 donde la suma es en el cuerpo finito de dos elementos. Otra forma equivalente de definir los p1 , p 2 y p3 , que es la que utilizaremos, es

p1 = paridad de a1 + a 2 + a 4

(5)

p 2 = paridad de a1 + a3 + a 4

(6)

p3 = paridad de a 2 + a3 + a 4

(7)

donde la paridad de un número p se define como 1 si el número es impar, y 0 si es par. Así, cada palabra a1 a 2 a3 a 4 genera la palabra código p1 p 2 a1 p 3 a 2 a3 a 4 , con los siete dígitos escritos en el orden que se indica. Por tanto, una vez codificadas, de los siete bits de cada nueva palabra sólo cuatro son del verdadero mensaje. De aquí el utilizar la especificación (7,4) en el nombre. Es fácil comprobar que la distancia mínima entre todas las palabras codificadas es tres, por lo que este código es capaz de corregir un error de un solo bit en cada palabra codificada de siete bits. Para describir con detalle el funcionamiento del código Hamming (7,4), vamos a ir explicando los procesos a través de un ejemplo sencillo. Supongamos que el mensaje a transmitir es TEIDE, así en mayúsculas. Este mensaje en código ASCII binario es la siguiente secuencia de 40 bits: 01010100 1424 3 01000101 1 424 3 01001001 1 424 3 01000100 1424 3 01000101 1 424 3 T

(8)

Las palabras del mensaje (8) son: 0101, 0100, 0100, 0101, 0100, 1001, 0100, 0100, 0100 y 0101. Añadiendo a cada una de ellas los bits de redundancia obtenidos mediante las fórmulas (5)-(7) se obtienen las palabras código: 0100101, 1001100, 1001100, 0100101, 1001100, 0011001, 1001100, 1001100, 1001100, 0100101. La secuencia de estas palabras código constituye el mensaje a emitir. En este caso es el mensaje de 70 bits 0100101100110010011000100101100110000110011001100100110010011000100101 Supongamos que se recibe el mensaje con algunos errores. Por ejemplo que se recibe la secuencia 01001011001 0 00100110001001011 1 01100001100110011001001100100110 1 0100101 en la que se han marcado los errores.

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El receptor de este mensaje numérico debe detectar y corregir automáticamente los errores cometidos. Para ello se vuelve a dividir el mensaje en palabras de longitud siete. Se tiene así 0100101 001001100 1 01100 1 0100101 1 424 31001 1 4204 3 1 424 3 0100101 1 424 311 4 24 3 0011001 1 424 31001100 1 424 31001100 1 424 31001100 1424 3 1 424 3 n1

n10

donde se siguen señalado los tres errores. Para cada una de estas palabras q1 q 2 b1 q3 b2 b3 b4 , el receptor calcula los propios dígitos de redundancia s1 , s 2 y s 3 con las mismas fórmulas que antes

s1 = paridad de b1 + b2 + b4 s 2 = paridad de b1 + b3 + b4

s 3 = paridad de b2 + b3 + b4 Estos dígitos los compara con los q1 , q 2 y q 3 que ha recibido y define los tres números r1 , r2 y r3 tales que

rj = 0

sj = qj

rj = 1

rj ≠ q j ,

j = 1, 2 , 3 .

Es inmediato calcular la tabla 8 que relaciona los errores en un dígito con los valores de r1 , r2 y

r3 . Pues bien, como se observa en esa tabla, lo ingenioso de este método es que la forma de calcular p1 , p 2 y p3 y su colocación en los lugares 1, 2 y 4 de las palabras código, hacen que si se expresa el número binario r = r3 r2 r1 en forma decimal, el número que se obtiene es el lugar en que se ha cometido un error, lo cual permite corregirlo.

Error en p1

Error en p 2

Error en a1

Error en p 3

Error en a 2

Error en a 3

Error en a 4

Decimal

Tabla 8. Detección de los errores en el código Hamming (7,4)

En el ejemplo, los errores se han cometido en la segunda, quinta y novena palabra. Veamos una a una.

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- Para la palabra 1001000 los tres dígitos de redundancia deberían ser 000. Comparándolos con los 101 recibidos se tiene r = 101 , que en base decimal es el 5. Ha habido un error en el quinto dígito. - Para la palabra 1101100 los tres dígitos de redundancia deberían ser 101. Comparándolos con los 111 recibidos se tiene r = 010 , que en base decimal es el 2. Ha habido un error en el segundo dígito. - Para la palabra 1001101 los tres dígitos de redundancia deberían ser 010. Comparándolos con los 101 recibidos se tiene r = 111 , que en base decimal es el 7. Ha habido un error en el séptimo. - Para las otras palabras, los dígitos de redundancia que debería haber y los recibidos son los mismos, luego r = 000 y no ha habido error. Corrigiendo los errores se obtienen las palabras código iniciales 0100101, 1001 1 00, 100100, 0100101, 1 0 01100, 0011001, 1001100, 1001100, 100110 0 , 0100101. Para terminar, de cada una de estas palabras de siete dígitos se eliminan los dígitos de redundancia de los lugares 1, 2 y 4, y se obtiene el mensaje inicial. Pasando los dígitos a letra se vuelve a obtener TEIDE. En realidad hay toda una familia de códigos Hamming que se construyen de forma similar. En todos ellos los dígitos de redundancia están en los lugares potencia de dos. Por ejemplo, en el código Hamming (15,11), a cada palabra a1 a 2 a3 a 4 a5 a6 a 7 a8 a9 a10 a11 de once bits se le añaden cuatro bits p1 , p 2 , p3 y p 4 calculados por las fórmulas

p1 = paridad de a1 + a 2 + a 4 + a 5 + a 7 + a 9 + a11 p 2 = paridad de a1 + a3 + a 4 + a 6 + a 7 + a10 + a11

p3 = paridad de a 2 + a3 + a 4 + a8 + a 9 + a10 + a11 p 4 = paridad de a 5 + a 6 + a 7 + a8 + a9 + a10 + a11 Se obtiene así la palabra código p1 p 2 a1 p3 a 2 a3 a 4 p 4 a5 a 6 a 7 a8 a 9 a10 a11 de quince bits, de los cuales once son de información. En los códigos correctores, un parámetro a tener en cuenta es la tasa de transmisión, que es el cociente entre la longitud de las palabras antes de codificar y las palabras codificadas, o lo que es lo mismo, la proporción del número de bits de mensaje entre el total de bits. La tasa de transmisión es un número menor que uno y mide la velocidad y coste de la transmisión. Cuanto mayor sea ese número mejor. En el código que triplica los bits la tasa de transmisión es 1 / 3 , en el Hamming (7,4) es 4 / 7 , y en el Hamming (15,11) es 11 / 15 . Los códigos Hamming, lo mismo que el que triplica cada bit, corrigen errores de un solo bit por palabra codificada. Son pues códigos más bien mediocres. Existen muchos otros códigos con mejores prestaciones, los cuales utilizan conceptos sofisticados de teoría de números y, en particular, la aritmética de cuerpos finitos. Se trata, por ejemplo, de los códigos de Reed-Solomon, inventados por los matemáticos Irving S. Reed y Gustave Solomon en el MIT el año 1960, que tienen numerosas utilizaciones. Citaremos entre otras los discos CD y la telemetría de los satélites civiles, donde intervienen códigos de Reed-Solomon basados en los cuerpos finitos de 256 elementos.

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Bibliografía El contenido de este artículo es estándar y se puede encontrar en muchos textos y páginas web. Para localizarlos nada mejor que buscar uno mismo en Google. Una referencia muy recomendable es Roman, S. (1992). Coding and Information Theory. Springer-Verlag, New York. Mikel Lezaun Iturralde es Catedrático de Matemática Aplicada del Departamento de Matemática Aplicada, Estadística e Investigación Operativa de la Universidad del País Vasco – Euskal Herriko Unibertsitatea. M. Lezaun nació en el Valle de Baztán (Navarra) el 11 de agosto de 1953, es Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Zaragoza, Doctor por la Universidad del País Vasco y ha publicado artículos de investigación en revistas de prestigio. Su trabajo Predicciones del Tiempo y Matemáticas fue galardonado con el III Premio Sema de Divulgación en Matemática Aplicada. Actualmente dirige el Grupo de Transferencia de Tecnología Matemática, con contratos para empresas como Metro Bilbao, EuskoTren, FEVE, Cespa, Aguas de Barcelona, Sidenor y Eroski.

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NÚMEROS

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 101–124

Crisis económica: matemática financiera para 4.º de ESO

Carlos Duque Gómez (IES Mencey Bencomo) Eva M.ª Quintero Núñez (IES Mencey Bencomo)

Financial mathematics, Percentages, Interests, Amortization, Classroom experience.

Keywords

The current economic crisis can become the perfect excuse to work in the classroom with some of the contents of financial mathematics frequently neglected; turning out to be a very useful resource to achieve the active participation of students in learning essential contents for all citizens today. We describe 8 sessions of work in which we combine the ordinary work in the classroom with the use of special software, the spreadsheet and especially the implementation of actual cases designed from advertisements published in the press.

Abstract

Matemática financiera, Porcentajes, Intereses, Amortización, Experiencia de aula.

Palabras clave

La actual crisis económica puede convertirse en la excusa perfecta para trabajar en el aula algunos contenidos de Matemática Financiera frecuentemente abandonados (*), resultando un recurso de gran utilidad para lograr la participación activa del alumnado en el aprendizaje de contenidos imprescindibles hoy para cualquier ciudadano. Describimos 8 sesiones de trabajo en las que combinamos el trabajo habitual en el aula con el uso de un software específico, la hoja de cálculo y, especialmente, la puesta en práctica de casos reales diseñados a partir de anuncios publicados en prensa.

Resumen

A S

1. Introducción Jueves 12 de febrero, 9:50 horas. Cuarto curso de ESO (alumnos de 15 y 16 años). Empezamos un tema nuevo: matemática financiera. ― Sé que a muchos de ustedes les gustaría tener una moto, pero seguramente no tienen los 2.000 euros que cuesta, ¿verdad?

― [Contesta Davinia] Sí, profe. ¡La que a mí me gusta vale 2.900! Si suspendo menos de 4 asignaturas me la compra mi madre.

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Hace algunos años, proponer a los alumnos cómo organizarse económicamente para poder comprarse una moto era un planteamiento motivante para iniciar este tema. Ya no.

― [Sigue Guacimara] ¡Es verdad! A mí me la va a comprar mi padre, no pienso ahorrar ni pedirle nada al banco.

― [Interrumpe Ayoze] ¡Qué rollo, profe! Yo ya tengo moto, eso no me interesa.

― Entonces tenemos dos posibilidades: ahorrar hasta conseguir el dinero (y comprar la moto dentro de 3 años) o pedir un préstamo a un banco y comprarla ya. Pero si le pedimos el dinero al banco nos va a cobrar intereses, así que la moto nos saldrá más cara y deberíamos calcular…

Crisis económica: matemática financiera para 4.º de ESO

La aparición de la crisis económica que estamos atravesando nos proporciona una excusa para intentar que el aprendizaje de la matemática financiera vuelva a cobrar interés. En todas las familias se habla de problemas económicos (propios o ajenos), las hipotecas suponen dolores de cabeza constantes para los padres de nuestros alumnos. En todos los periódicos, televisión y radio aparecen diariamente multitud de referencias. Y ellos son testigos pasivos de una situación que apenas comprenden. Términos y problemas como ahorro, intereses, hipotecas, consumo, préstamos, compras a plazos, descuentos, ofertas, etc. están en boca de todos. Pero, ¿qué significan realmente? Esta situación que vivimos actualmente nos ofrece una oportunidad para desarrollar en clase contenidos muy conectados con la realidad. Esto seguirá siendo así, según las previsiones de todos los estamentos, al menos un par de años más. Quizá nunca tanto como ahora se puede encontrar en la prensa, incluso en las vallas publicitarias, tal cantidad de anuncios donde ofrecen productos financieros, compras a plazos, mil y una modalidades de intereses... Por efecto de la crisis económica las empresas buscan la manera de estimular el consumo, ofrecen condiciones especiales de financiación de sus productos, los bancos hacen ofertas para estimular el ahorro, para que los ciudadanos les lleven sus préstamos e hipotecas.

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Hemos seleccionado algunos de estos anuncios de prensa y hemos preparado actividades de matemática financiera a partir de ellos. Las hemos desarrollado con los alumnos, en parte en clase y en parte como tarea para casa, para realizar en grupos.

Y los intereses desde febrero hasta agosto… ¿quién los paga?

La matemática financiera es una de las partes de la matemática que cualquier ciudadano debe comprender –y a ser posible dominar– una vez concluya su formación básica (Graduado en Enseñanza Secundaria) (*). En su día a día, un ciudadano normal difícilmente tiene que enfrentarse a radicales, ni resolver ecuaciones, probablemente ni siquiera sumar fracciones, pero con toda seguridad deberá pasar tarde o temprano por una oficina bancaria para firmar un préstamo o una hipoteca.

2. Objetivos

Con un planteamiento totalmente pragmático, la actividad que presentamos pretende alcanzar los siguientes objetivos:

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NÚMEROS

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Lectura crítica de la publicidad en la prensa, sobre todo cuando tiene tanta trascendencia en las decisiones que podemos tomar a partir de ella.

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Comprensión verdadera de lo que se nos ofrece en la publicidad, prestar mucha atención a la «letra pequeña».

−

En el terreno matemático: huir deliberadamente de las fórmulas mágicas que resuelven todos los problemas de interés simple y compuesto, capitalización y amortización. Potenciar la comprensión y utilización de lo que todo eso esconde: aplicación de porcentajes.

−

Uso de la hoja de cálculo como método para conseguir simplificar los cálculos y como simulador de fácil utilización para planificar pagos y para definir qué supone verdaderamente adquirir, por ejemplo, un coche con los plazos y cantidades ofrecidas.

−

Contribuir a disipar el miedo al uso de los porcentajes, garantizando la comprensión del significado de los mismos y su correcta utilización.

−

R I E

3. Metodología

El desarrollo de la unidad didáctica completa exige la realización de tareas diversas, que debemos explicar y dirigir de formas muy distintas a lo largo de las sesiones de clase. Adoptamos, por lo tanto, una metodología mixta, que incluye:

Explicaciones y trabajo práctico en el aula de informática. Depende del número de ordenadores, de su organización física y de la disponibilidad de proyector y/o de pizarra.

−

Trabajo en grupo dentro del aula. Para las sesiones de resolución de dudas y para tratar temas cortos de debate y poner en común las conclusiones. Por ejemplo: ¿es mejor pagar un viaje al contado o a plazos? ¿qué ventajas y desventajas tiene pagarlo a plazos?

−

Trabajo en grupo fuera del aula. Complicado, su tendencia es SIEMPRE a «repartir el trabajo», con el riesgo que supone de que algunos alumnos sólo practiquen y aprendan «el ejercicio que les toque hacer».

−

Exposición del trabajo realizado: en clase, a otras clases, responder a preguntas, etc.

−

Realización de ejercicios «tradicionales» por parte de los alumnos (individualmente y en grupo). Son válidos los ejercicios propuestos en cualquier libro de texto o los que figuran en la unidad didáctica interactiva utilizada. Sobre amortización no hay nada en los libros de texto de 4.º de ESO, pero sí en la unidad didáctica.

−

Exposición «magistral» del profesor.

−

3.1. Material

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Calculadora.

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Ordenadores.

−

Hoja de cálculo (Microsoft Excel, Open Office Calc, Google Docs...)

−

Unidad Didáctica interactiva Matemática Financiera (Cantieri y García).

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Periódicos. Actualmente, cualquier publicación de prensa ofrece ejemplos suficientes de publicidad de productos financieros o que ofrezcan descuentos y facilidades de pago.

−

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El tema de matemática financiera necesita, al menos, de 8 sesiones de clase (dos semanas). Nuestra experiencia se limita a sólo 8 sesiones, resultando, según nuestra experiencia, muy ajustadas en tiempo. Probablemente hubiera sido más efectivo dedicarle a estos contenidos entre 2 y 4 sesiones más. Act iv i da d - Explicación de los primeros conceptos de matemática financiera: interés simple, interés compuesto. Ejemplos y ejercicios - (Aula de informática) Trabajo con la unidad didáctica interactiva (anexo I): interés simple y compuesto

Tiempo 2 sesiones 1 sesión

- Amortización. Explicación, ejemplos y ejercicios. Planillas (anexo II)

1 sesión

- (Aula de informática) Hoja de cálculo. Tablas de capitalización y amortización

1 sesión

- Entrega y explicación de la guía del trabajo a desarrollar en grupo (anexo III)

1 sesión

- Resolución de dudas sobre el trabajo.

1 sesión

- Entrega y exposición de los trabajos realizados. Autoevaluación (anexo IV)

1 sesión

3.2. Temporalización

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Tabla 1. Temporalización en 4.º de ESO.

4. Desarrollo de la experiencia

El currículo oficial de 4.º curso de ESO (opción A) incluye contenidos de matemática financiera relativamente pobres: interés simple e interés compuesto. Además, los libros de texto acostumbran a fundamentar el tema en la memorización y uso mecánico de las fórmulas por todos conocidas:

El aprendizaje memorístico de tales expresiones resulta innecesario siempre que nos garanticemos que el alumnado comprende suficientemente bien los fundamentos de lo que se hace en cada momento, que no es otra cosa que aplicar porcentajes sobre las cantidades adecuadas en cada plazo de capitalización o de amortización. En estas dos primeras sesiones abordamos lo siguiente:

4.1. Primera y segunda sesiones (exposición inicial en el aula ordinaria y ejercicios)

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−

Repasar cálculo e interpretación de porcentajes, aumentos y disminuciones porcentuales (son contenidos trabajados anteriormente en 2.º y 3.º de ESO).

−

Explicar los conceptos de Interés simple e Interés compuesto, exclusivamente como aplicación de porcentajes (sin usar las fórmulas).

−

Realizar ejercicios y proponer problemas que reflejen casos diversos, insistiendo en la comprensión de las situaciones planteadas.

P E

Estas dos sesiones responden a una metodología de trabajo tradicional: el profesor explica, dicta, usa el libro de texto, etc. y los alumnos realizan ejercicios, copian de la pizarra, trabajan solos y/o en grupo y corrigen los ejercicios y problemas.

R N C A S

A continuación, todos los alumnos deben tener en la pantalla el inicio del programa para, de esta manera, hacer un recorrido guiado de los distintos apartados: proporcionalidad, interés simple, interés compuesto, TAE, amortizaciones… Resultará de gran ayuda para los alumnos revisar el esquema de trabajo de cada una de las secciones: problemas resueltos, problemas propuestos, simulador de casos, etc.

Iniciamos la sesión de trabajo en el aula de informática con el software de Matemática Financiera (Cantieri y García) aclarando al alumno el uso que se va a hacer del mismo y qué contenidos lo conforman. Previamente les habíamos suministrado una fotocopia con una breve guía de uso (anexo I).

D E 105

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Para concluir esta sesión, propusimos algunas actividades y problemas (seleccionados, por cada profesor, de entre los que conforman la lista incluida en el software) para resolver de forma obligada en casa. Afortunadamente, el software se adapta muy bien a la disparidad de intereses y capacidades que tienen cabida en un grupo de alumnos, ya que cuenta con una extensa gama de actividades para quienes quieran trabajar más los contenidos, aumentar la dificultad de las actividades, o incluso hacer una incursión en aspectos no exigidos. No olvida, además, presentar una información básica para quienes tienen mayores problemas de comprensión, o una reseña histórica que merece la pena leer.

Una vez que se hayan familiarizado con el manejo del programa, pusimos en práctica lo expuesto hasta el momento, resolviendo algunas actividades a modo de ejemplo. Sin duda, las más indicadas en cada sección, son aquellas que se despliegan en el apartado de nombre Para empezar.

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4.2. Tercera sesión (trabajo en el aula de informática con la unidad didáctica)

El repaso del cálculo de porcentajes es inevitable. Hace ya dos cursos (incluso tres, en algunos casos) que estos alumnos lo aprendieron por primera vez. Después, se les repite cada año y, aun así, siguen sin asimilarlo. Es un problema eterno e histórico. Hace pocos años, la directora del instituto en que trabajaba uno de nosotros necesitó de nuestra ayuda urgente, porque debía pagar los honorarios a un conferenciante y debía hacerle una retención del 15% de IRPF. Nos sorprendió que para calcular el 15% de una cantidad tuviera que pedir la ayuda de un profesor de matemáticas, cuando cualquier profesor, de historia, lengua española, inglés o religión (es decir, ¡un ciudadano cualquiera!) debería saber realizar este cálculo.

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Hemos observado que esta herramienta favorece la autoevaluación y el aprendizaje autónomo, ya que todas las actividades se acompañan de su solución, y en muchos casos, incluso de una explicación detallada de la obtención de la misma.

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4.3 Cuarta sesión (aula ordinaria) Si queremos dar a los contenidos una aplicación práctica y, sobre todo, conectarla con las ofertas que aparecen en prensa, hay que añadir los conceptos de capitalización y amortización. Además, en el caso de la amortización, es necesario explicar en qué consiste el método normal y el método francés. Denominamos método normal al que resulta de devolver la misma cantidad de amortización de capital en cada plazo, calculando los intereses que correspondan (ver figura). Los intereses serán cada vez menores, puesto que la deuda va disminuyendo. Así, los plazos abonados no serán iguales a lo largo del tiempo, sino que irán disminuyendo. El método francés, sin embargo, consiste en pagar plazos totales constantes, de manera que plazo a plazo van variando las cantidades correspondientes a amortización de capital y a pago de intereses para conseguir que la suma de ambas permanezca constante. A lo largo del tiempo la cantidad correspondiente a intereses irá disminuyendo y la correspondiente a amortización del capital irá aumentando.

En esta cuarta sesión de clase trabajamos con ejemplos sencillos, en los que solamente hay que construir 4 ó 5 plazos (usando solamente la calculadora, no estamos aún en un aula con ordenadores), y usando unas planillas ya preparadas que facilitan y organizan el trabajo que debe hacer el alumno (anexo II). Estas tablas con los plazos de los préstamos las llevaremos posteriormente al aula de informática para reproducirlas con la hoja de cálculo.

El método francés es el que aplican las entidades bancarias y, por tanto, el que los ciudadanos van a encontrarse con frecuencia en situaciones reales.

Resulta prioritario para el correcto desarrollo de esta sesión haber garantizado que la mayor parte de los alumnos ha comprendido bien los fundamentos de la amortización, diferenciando correctamente los dos métodos. Por ello los alumnos llevaron consigo las tablas de amortizaciones resueltas en la sesión previa, para evitar pérdidas de tiempo y favorecer la posibilidad de recordar aspectos olvidados.

4.4. Quinta sesión (trabajo en el aula de informática con la hoja de cálculo)

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X P E

Generalmente, el alumnado ve con más claridad aquello que se explica cuando se le muestra un ejemplo. Nosotros lo hicimos utilizando una pizarra. Escribimos las fórmulas y las cantidades numéricas que resultan de su aplicación en la pizarra para garantizar que todos iban realizando correctamente el ejercicio.

Muchos de nuestros alumnos no habían realizado previamente actividad alguna con una hoja de cálculo. Por tanto, comenzamos por hacer un recorrido básico por los aspectos del funcionamiento de dicho programa. Hay que hacer especial hincapié en la importancia de introducir de forma correcta los datos, diferenciándolos de la introducción de las fórmulas y aclarando aspectos que podrían parecer evidentes, pero no lo son para ellos, como el número de decimales con el que se trabaja en atención a las unidades. Si trabajamos con euros, debemos utilizar siempre 2 decimales, y redondear los resultados (¡tal y como lo hace el banco!).

R I E N C I

Emplear como ejemplos aquellos ya trabajados en el aula ordinaria facilita que los alumnos comparen la eficacia de la hoja de cálculo frente al cálculo manual. Pese a que inicialmente trabajaron con un ejemplo ya conocido (en el aula ordinaria, en la sesión 4), tuvimos que emplear al menos diez minutos en responder a las dudas que se fueron presentando a lo largo de la actividad. Los errores más frecuentes se derivan de la introducción incorrecta de la sintaxis de una fórmula y de la dificultad para diferenciar las casillas donde deben introducir un dato o una fórmula.

A S D E A

Plazos anuales, 10% anual, método francés, plazos de 1200 euros

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La mayor parte del alumnado tiene, hoy en día, acceso a un ordenador que le permite el uso de una hoja de cálculo (en nuestro caso, no disponían de ordenador en casa 3 de los 41 alumnos). Así que

Evidentemente, y dado que no se podrá ahondar todo lo que se quisiera en los contenidos de la matemática financiera en este nivel, muchos de los casos prácticos habrán de resolverse por ensayo y error. Nos referimos, por ejemplo, al cálculo de anualidades de amortización adaptadas a un tiempo fijado de antemano. Esto es algo que no lo hubiéramos podido plantear de no haber utilizado la hoja de cálculo, ya que el tiempo que se hubiera debido emplear usando el cálculo manual excedería de lo aconsejable y, además, pueden aparecer ecuaciones exponenciales que aún no conocen los alumnos.

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podrán proporcionarse al alumno algunos problemas para resolver usando la hoja de cálculo. Los que no tenían ordenador en casa trabajaron con un compañero, utilizaron los del centro en algún recreo, o fueron a un ciber.

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La sexta sesión se dedica enteramente a entregar la guía del trabajo final y comentarla (anexo III). Se lee la totalidad de los documentos en clase (la página inicial y las tres páginas con los anuncios de prensa, la letra pequeña de los mismos y las preguntas que hay que contestar). El plazo para realizar el trabajo fue de 2 semanas. Es importante dejar aclarados los conceptos incluidos en la publicidad, que los alumnos sepan qué tareas se les piden, que las relacionen con los ejercicios que han hecho previamente, etc. La letra pequeña de la publicidad financiera en la prensa es tremendamente jugosa desde el punto de vista didáctico. ¿Será posible que nuestros alumnos lleguen a entender lo que muchos de sus padres no consiguen?

4.5. Sexta sesión (explicación del trabajo y entrega de la guía)

Los contenidos impartidos en las 5 primeras sesiones necesitan de más tiempo para ser asimilados. A partir de la entrega de la guía del trabajo dedicamos 2 sesiones de clase a corregir ejercicios realizados anteriormente, pero nada de este trabajo, que deben realizar los alumnos solos. Únicamente se resuelven sus dudas en la sesión de seguimiento. Estas 2 sesiones dedicadas a corregir ejercicios no se incluyen en las 8 sesiones relatadas en este artículo. 4.6. Séptima sesión (seguimiento del trabajo y resolución de dudas) Transcurrida la primera semana de trabajo en grupo, dedicamos una sesión de clase para hacer un seguimiento del trabajo realizado y resolver todas las dudas surgidas. El alumno tiene que tener suficientemente claro que la sesión destinada para aclarar dudas es de obligada participación y escrupulosa puntualidad. Se sanciona al grupo que no intervenga, ya que lo que se pretende es que el trabajo se distribuya a lo largo del tiempo establecido, evitando así el abandono del mismo hasta el día antes de la entrega. El profesor, por tanto, habrá de tomar nota de las cuestiones que se presenten así como de los grupos que han intervenido. Merecen especial atención las dudas derivadas de la mala comprensión de las actividades. Puede ser necesario revisar la información proporcionada o la redacción de las cuestiones planteadas; pero, sobre todo, que el alumnado se familiarice con la terminología empleada en este tipo de publicidad. Los grupos, conformados por tres integrantes, habrán tenido que elegir a un portavoz del mismo (además de un coordinador y un saboteador, de acuerdo con las técnicas típicas de trabajo grupal). Será el portavoz (y sólo él) quien, de viva voz, plantee el problema con el que se ha encontrado el grupo. No permitimos que se formule la misma duda de forma repetida, ya que esto sería síntoma de que no se presta atención a los compañeros. Los miembros de todos los grupos irán anotando cuantas cuestiones surjan, y las respuestas a las mismas. Resulta especialmente positivo y motivante que los propios alumnos respondan a las dudas de sus compañeros. El profesor tiene que moderar, corregir y matizar dichas aportaciones.

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E X

Las dudas se irán contestando por rondas, es decir, cada grupo hace una pregunta alternativamente. Cuando todos hayan participado se comenzará otra ronda, y así sucesivamente. En el supuesto de que no se hayan resuelto la totalidad de las dudas en esta sesión, podría prorrogarse ésta ocupando parte de la siguiente sesión. La manifestación de dudas está directamente relacionada con el interés que la actividad suscita, con el trabajo realizado y con la adquisición de las competencias Social y ciudadana, Aprender a aprender y Autonomía e iniciativa personal.

P E R

La disposición de los alumnos en el aula ha de permitir el agrupamiento por tríos de trabajo. Así se posibilitará que el portavoz se comunique de forma rápida y eficaz con los otros integrantes del grupo. La totalidad de alumnos ha de tener una visión cómoda de la pizarra, que será el medio para transmitir la información aportada. Una disposición en U (con el portavoz en el centro de cada grupo) o con las mesas agrupadas de tres en tres es lo ideal.

I E N C I A S

Segundo caso práctico: Vacaciones en un crucero. La hoja de cálculo está bien programada, pero para resolverlo correctamente se debe ir probando con distintas cantidades en la columna de pago total, hasta conseguir saldar la deuda en los 5 plazos, pero siendo todos iguales. Al final puede quedar una diferencia de unos pocos céntimos. El mejor resultado es 446,38 euros.

4.7. Octava sesión (exposición del trabajo realizado)

A U L

Planteamos a los alumnos de 4.º la posibilidad de explicar la experiencia de trabajar con el software de Matemática Financiera a los alumnos de 1.º de Bachillerato, y así hicimos. Concluido el trabajo con los contenidos del currículo de Bachillerato en lo que referido a la aritmética mercantil, utilizamos el aula de informática para poner en marcha nuestra idea.

Una semana después de la sesión de revisión intermedia, los alumnos de 4.º de ESO debían entregar la redacción final de su trabajo y exponerlo en clase. Esta fecha coincidió con el comienzo de los contenidos de Aritmética mercantil en 1.º de Bachillerato de Ciencias Sociales. Este grupo se presentaba homogéneo con respecto al dominio deficiente de los fundamentos matemáticos, el escaso hábito de trabajo y la dificultad para el razonamiento lógico. En un intento más de aplicar metodologías que favorezcan la implicación de los alumnos en su propio aprendizaje, nos pareció oportuno aprovechar el trabajo de los alumnos de 4.º como punto de partida para trabajar los contenidos de Bachillerato.

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Un representante de cada grupo de alumnos de 4.º de ESO fue responsable de explicar alguna de las tareas que pueden realizarse con las herramientas informáticas de las que se disponían. Para que la experiencia fuese productiva, e intentando evitar una excesiva pérdida de tiempo, se hubo de coordinar previamente la puesta en práctica de la actividad. De este modo, se trabajaron todos los contenidos y se hizo una muestra de resolución de problemas adaptados a distintas situaciones. Resulta fundamental que la experiencia se lleve a término cuando los alumnos de Bachillerato ya hayan adquirido una cierta soltura en el uso de los conceptos financieros, evitando así que las dificultades de comprensión les empujen a la apatía.

−

Los alumnos de 4.º no dejaron de alabar las bondades del uso de las herramientas informáticas (software de Matemática Financiera y Hoja de Cálculo) para la resolución de problemas.

−

Los alumnos de 1.º de Bachillerato reaccionaron positivamente ante la posibilidad que les brindaba el uso del programa para generar casos prácticos (gracias al simulador) y obtener una respuesta adecuada que les permitiera comprobar resultados y corregir errores.

−

La actitud de los alumnos de un nivel inferior mejoró al sentirse partícipe de la enseñanza de otros compañeros de un nivel superior. Y estos últimos empezaron a creerse más capaces de superar los inconvenientes que les pudiera plantear la unidad, una vez comprobado que otros (teóricamente «inferiores») ya lo habían abordado de manera satisfactoria.

−

La variedad de actividades con dificultad graduada y, por tanto, fácilmente adaptable a la diversidad de ritmos de aprendizaje animó a muchos alumnos, que mostraron una actitud hacia este tema mucho más positiva de lo esperado.

4.8. Algunos errores y dificultades de los alumnos La comprensión de conceptos nuevos y contextualización en las situaciones presentadas suele ser una dificultad recurrente en muchos alumnos. Los nuestros no iban a ser menos. Además, la metodología empleada a lo largo de toda la unidad didáctica y, en particular, el método de trabajo y las exigencias del trabajo final, se alejan bastante de los típicos ejercicios mecánicos de las clases de matemáticas tradicionales, a las que ellos están acostumbrados. Poca costumbre e interés por explicar y justificar las respuestas a las preguntas. Es un problema importante, difícil de resolver. Sólo se puede progresar en este sentido practicando y exigiendo ese modo de trabajo a nuestros alumnos. Para una mayoría de ellos «las matemáticas son sólo números».

Como resultado de la puesta en práctica de esta experiencia, destacamos cuatro puntos que nos animan a repetir la experiencia, a pesar de sus dificultades organizativas y la inversión de tiempo necesarias:

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E X P

Interpretación errónea de los resultados y/o lectura incorrecta de las tablas realizadas.

E R I

Conseguir una definición correcta de TAE. Algunos se limitaron a buscar el término en algún diccionario y copiarlo, otros contestaron simplemente «no» a la pregunta ¿Serías capaz de escribir con tus palabras una definición de lo que es la TAE?

E N A S D E A U

5. Evaluación

El uso de la hoja de cálculo presenta un pequeño desajuste en los redondeos. Aunque exijamos el formato de presentar los números con redondeo a 2 decimales, internamente los cálculos se siguen realizando con muchos más, es decir, la hoja de cálculo realmente no redondea en cada paso. Esto ocasiona que al final de una tabla de amortización puedan surgir unos pocos céntimos de diferencia con el cálculo «correcto», que se obtendría redondeando el resultado parcial en cada plazo. Se da la paradoja de que el alumno que haga los ejercicios con calculadora puede, por tanto, obtener un «mejor resultado» que quien lo hace con el ordenador.

Uso correcto de los decimales. En todos los casos propuestos se trabaja en euros, por tanto siempre con dos decimales, redondeando las cantidades en cada uno de los pasos. Muchos alumnos realizaron las tablas con tantos decimales como obtenían del ordenador o la calculadora.

Por supuesto, existen muchas maneras de evaluar el aprendizaje del alumnado, más aún cuando se han realizado actividades variadas como las descritas aquí. En esta ocasión sólo nos gustaría aportar tres ideas de las que llevamos a cabo, acaso las menos habituales en nuestro quehacer diario:

Diseñamos una plantilla para la evaluación y autoevaluación de los trabajos (anexo IV). Resultó sorprendente la utilidad de la autoevaluación. El alumnado es bastante crítico consigo mismo y,

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Puesto que los alumnos han aprendido a trabajar con casos reales planteados a partir de anuncios de prensa, lo más lógico es comprobar si han asimilado esos contenidos proponiéndoles algún caso similar. El problema no reside en encontrar más anuncios en la prensa e inventar sobre ellos algunas preguntas y situaciones. La dificultad está en organizar un examen que necesita realmente una infraestructura diferente de la tradicional. Si el profesorado no tiene experiencia previa, no resulta sencillo realizar un examen de este tipo (similar a cualquiera de las 3 actividades propuestas en el anexo III), facilitando el uso individual de los ordenadores, disponiendo del tiempo suficiente, sin que surja ningún problema técnico, con posibilidad de imprimir, detallando claramente dónde y cómo deben guardarse los archivos producto del trabajo realizado, controlando que cada uno hace su trabajo realmente de manera individual (resultaría fácil copiarse si los ordenadores están muy próximos entre sí, o compartiendo información a través de la red local o sistemas de mensajería), etc.

D S

6. Modificaciones y propuestas de futuro A medida que llevamos al aula los distintos elementos expuestos surgieron ideas y posibles modificaciones del material o las dinámicas puestas en práctica que tenemos aún sin madurar. Puede que alguna de estas ideas sea de utilidad para el lector: La primera necesidad detectada fue la de dedicar más tiempo a esta actividad. Tropezamos, por supuesto, con el eterno dilema de impartir todo el temario (aunque los alumnos asimilen poco de lo que les contamos) o de profundizar allí donde es necesario y asumir que a final de curso se nos quedarán cosas en el tintero.

−

Si el centro cuenta con una red wifi y algunos ordenadores portátiles, se puede organizar el trabajo en el aula ordinaria, poniendo a disposición de cada equipo de alumnos uno de estos ordenadores.

−

Llevar periódicos al aula y que ellos elijan los anuncios y calculen las mismas cosas: cuánto les va a costar en realidad el viaje o el coche, etc.

−

Para practicar y comprobar el dominio de la terminología específica y la correcta comprensión de los casos prácticos, podemos seleccionar algunos anuncios más y realizar el ejercicio de explicar a los compañeros –con sus palabras– en qué consiste la oferta o servicio que se está anunciando, sin tener que calcular nada. A continuación se debatiría sobre las ventajas e inconvenientes de dicha oferta y qué consecuencias tendría para quien decida aceptarla.

−

Facilitar la coevaluación. Nosotros evaluamos a los alumnos y cada equipo se evaluó a sí mismo (ver apartado 5. Evaluación). Para ello podemos utilizar la misma plantilla. Que unos equipos de alumnos evalúen el trabajo de sus compañeros podría aportarnos a todos algunas sorpresas interesantes. Proponemos, si la temporalización lo permite, realizar las 3 evaluaciones: del profesorado, autoevaluación y coevaluación.

−

En una tarea como ésta, muy orientada a la adquisición de competencias básicas por parte del alumnado, resulta casi obligado hacer una evaluación en competencias. Para ello hemos diseñado una plantilla (anexo V), adaptada a partir de una propuesta original de los profesores Carlos Morales y Francisco Atta (IES Valsequillo).

realizado entre varios, surgen muchos aspectos que individualmente no ven. Además, todo lo que un compañero o compañera comenta merece con frecuencia más atención que las indicaciones del profesorado.

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7. Competencias básicas

−

Competencia para aprender a aprender: − − −

Distinguir la información relevante. Desarrollar estrategias aplicables a otros contextos y situaciones. Planificar su trabajo y plantearse metas alcanzables a corto y medio plazo, y cumplirlas.

Autonomía e iniciativa personal: − −

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Tabla 2. Competencias básicas e indicadores que se trabajan en esta experiencia

− − −

Entregar el trabajo con puntualidad. Perseverar en la búsqueda de soluciones cuando el problema se estanca. Pedir ayuda de manera razonable. Corregir errores y aprender de ello. Adoptar soluciones diferentes según el contexto.

−

Conocer situaciones sociales actuales y analizarlas con sentido crítico. Valorar diferentes posibilidades para tomar la decisión más adecuada. Realizar razonamientos críticos y lógicamente válidos sobre situaciones reales.

−

Competencia social y ciudadana:

−

− −

Utilizar programas de uso general (hoja de cálculo) aplicados a situaciones y problemas concretos. Utilizar correctamente la calculadora. Nutrirse de la información ofrecida en soporte digital y aplicarla.

−

Tratamiento de la información y competencia digital:

−

Conocer los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, etc.). Integrar el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento. Expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático. Expresar e interpretar con claridad y precisión informaciones, datos y argumentaciones. Identificar situaciones cotidianas que requieren la aplicación de estrategias de resolución de problemas. Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular e interpretar la realidad a partir de la información disponible. Manejar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales. Aplicar algoritmos de cálculo y elementos de la lógica. Aplicar los conocimientos matemáticos a una amplia variedad de situaciones, proveniente de otros campos del conocimiento y de la vida cotidiana. Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la obtención de información o a la solución e problemas. Utilizar los elementos y razonamientos matemáticos para enfrentarse a aquellas situaciones cotidianas que los precisan.

−

Demostrar espíritu crítico en la observación de la realidad y en el análisis de los mensajes informativos y publicitarios. Comprender e identificar preguntas o problemas y obtener conclusiones. Localizar, obtener, analizar y representar información cualitativa y cuantitativa.

Uso adecuado de vocabulario específico. Comprensión de mensajes publicitarios. − Precisión en el lenguaje: definición de conceptos. Comprender, componer y utilizar distintos tipos de textos con intenciones comunicativas − diversas.

Competencia matemática: −

Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico:

− − − −

Competencia en comunicación lingüística:

Competencias básicas e indicadores

La actividad final propuesta a nuestros alumnos, basada en situaciones originadas sobre las ofertas publicadas por distintas empresas en la prensa diaria, está claramente orientada a la adquisición y refuerzo de las competencias básicas. Hemos hecho un recorrido por las distintas competencias (BOC 113/2007) (CEUCyD, 2009) e indicadores, seleccionando aquellos que se trabajan con estas actividades. Quedan reflejadas en la tabla siguiente:

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Crisis económica: matemática financiera para 4.º de ESO

8. Conclusiones La recuperación de los contenidos de Matemática Financiera para 4.º de ESO nos parece una decisión muy acertada. La crisis económica, las conversaciones familiares, las noticias y la divulgación de los medios hacen que el alumnado muestre un interés mayor en este tema que hacia otras partes de la asignatura. La adquisición de estos conocimientos no resulta fácil. Las habituales deficiencias en conocimientos básicos (como por ejemplo, un manejo fluido de los porcentajes) y la incorporación de conceptos específicos nuevos son los dos primeros obstáculos que tuvimos que sortear. Conviene dedicar algo más de tiempo a estos preliminares de la Matemática Financiera.

Las mayores dificultades de los alumnos se derivan de su visión tradicional del aprendizaje matemático (al que nosotros, los docentes, los hemos acostumbrado). La resolución de casos reales como los del trabajo final, diseñados a partir de anuncios de prensa, exigen leer, comprender, relacionar, interpretar, decidir… Ahora lo menos importante es calcular (lo hace el ordenador), que es lo que ellos esperan y pretenden hacer en clase de matemáticas. Metodologías de trabajo combinadas o diferentes de la habitual deberían llevar aparejadas herramientas de evaluación convenientemente adaptadas. Entre ellas, la autoevaluación realizada en grupos nos ha mostrado una posibilidad más que interesante. La discusión entre los distintos miembros del grupo, la necesidad de argumentar sus propias calificaciones, la actitud autocrítica (mucho mayor de lo esperado), la exigencia hacia los iguales (a la que responde el alumnado mucho mejor que a la exigencia del profesorado) y la necesidad de organizar la información y plasmar sus conclusiones por escrito han constituido uno de los resultados que más valoramos en este trabajo. La experiencia resultó muy positiva, aunque lógicamente imperfecta. La concluimos convencidos de que ésta es una línea de trabajo imprescindible para una adecuada educación matemática, sobre todo en este momento en que debemos enfocar nuestro trabajo docente hacia la adquisición de las Competencias Básicas por parte de nuestro alumnado.

¿Qué dice realmente la letra pequeña de este anuncio?

La combinación de distintos tiempos y espacios, métodos de trabajo, uso de ordenadores, trabajo en grupo, exposición de trabajo a alumnos «superiores» son elementos motivantes a tener en cuenta. Ahorrarse los cálculos largos y tediosos gracias al uso de la hoja de cálculo convence a los alumnos de su utilidad y los predispone para su correcto aprendizaje.

C. Duque Gómez, E. Quintero Núñez

¿Tendrá alguna consecuencia financiera importante?

¿Y las dos llamadas con asteriscos?

¿Seguro que podremos comprar el coche pagando simplemente 250 euros cada mes y nada más?

¿Durante cuánto tiempo?

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NÚMEROS

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Bibliografía

R I

El País, 8 de febrero de 2009, edición en papel.

Consejería de Educación, Universidades, Cultura y Deportes del Gobierno de Canarias. Competencias básicas. Documento recuperado el 20 de junio de 2009, de http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/WebDGOIE/docs/0809/ordenacion/comp_basicas/in troduccion_cb.pdf

Cantieri, Silvia y García, M.ª José. Matemática Financiera. Unidad didáctica interactiva. Instituto de Tecnologías Educativas. Ministerio de Educación. Recuperado el 20 de junio de 2009, de http://www.isftic.mepsyd.es/profesores/asignaturas/matematicas/matematica_financiera/

Boletín Oficial de Canarias número 113, jueves 7 de junio de 2007. Decreto 127/2007, de 24 de mayo, por el que se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Canarias.

E D E

Eva M.ª Quintero Núñez, IES Mencey Bencomo, Los Realejos, Tenerife. Profesora de Enseñanza Secundaria (Matemáticas).

Carlos Duque Gómez, IES Mencey Bencomo, Los Realejos, Tenerife. Profesor de Enseñanza Secundaria (Matemáticas).

http://www.elpais.com/articulo/economia/economia/aplicada/llega/aulas/secundaria/elpepueco/200909 14elpepueco_6/Tes

http://www.cincodias.com/articulo/finanzas-personales/estudiantes-Secundaria-recibiran-educacionfinanciera-clases/20090914cdscdsfpe_1/cdsfin/

http://www.europapress.es/nacional/noticia-rsc-alumnos-secundaria-aprenderan-hipoteca-cuentacorriente-accion-partir-curso-viene-20090914170021.html

(*) «El Ministerio de Educación, el Banco de España y la Comisión Nacional del Mercado de Valores han firmado hoy (14/09/2009) un convenio de colaboración para el desarrollo de un Plan de Educación Financiera. Este proyecto tiene como objetivo que los estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato reciban formación financiera en su horario escolar. Entre los contenidos que se incluirán están las hipotecas, los tipos de interés o las cuentas corrientes, así como recursos para afrontar mejor todo tipo de situaciones económicas». Se puede leer la noticia completa en cualquiera de estos enlaces:

A U L A

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Anexo I

MATEMÁTICA FINANCIERA: INTERÉS SIMPLE, INTERÉS COMPUESTO, AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS.

Me han tocado 20 000 euros en la lotería y he decidido ponerlos en el banco para conseguir algunos beneficios durante 4 años, porque después los utilizaré para comprarme un coche. El banco me da un 3% de interés del dinero que yo ingrese en la cuenta de ahorro. a) ¿Qué beneficio obtengo después de los 4 años si cada año retiro los intereses que me pagan? b) ¿Qué beneficio obtengo si cada vez que me pagan los intereses anuales los dejo en la misma cuenta de ahorro? c) ¿Qué beneficio obtengo al cabo de un año si el cálculo y el pago de intereses se hace mensualmente? d) ¿Es mejor que los intereses se calculen mensualmente o anualmente? Para estudiar y practicar los conceptos propios de la matemática financiera vamos a utilizar un recurso interactivo on line al que puedes acceder a través de un enlace que tienes en la web del centro, dentro de “Departamentos > Matemáticas > 4º de ESO”.

PROBLEMA DE INTRODUCCIÓN:

En el menú superior tienes 5 apartados que tratan aspectos generales de la “Matemática financiera”.

En la opción “Guías” encontrarás una Guía del alumno que te puede ser de ayuda.

En esta unidad didáctica interactiva se organizan los contenidos de la Matemática Financiera en 7 apartados, situados en el margen izquierdo de la pantalla: Proporcionalidad, Progresiones, Interés simple, Interés compuesto, TAE, Capitalización y Amortización. Para este curso de 4.º de ESO sólo nos interesan los siguientes: Proporcionalidad (que también tienes en fotocopias de clase), Interés simple, Interés compuesto y Amortización. Para cada uno de los apartados mencionados, encontrarás los contenidos distribuidos en 4 subapartados:

Investiga lo que hay en cada opción…

• •

Para empezar… aquí tienes varios ejercicios “pequeños” resueltos, no sólo con la solución final, sino que te indican cómo se resuelve cada ejercicio paso a paso. Ejemplo resuelto un ejercicio o situación “más completo” también con todas las explicaciones necesarias para que entiendas en todo momento qué estás haciendo y cómo se hace. A practicar… aquí encontrarás 4 páginas de actividades, unas con la solución final y otras con los detalles de la resolución paso a paso. Conceptos básicos: resumen teórico de cada apartado.

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Anexo II

X P

Para comprar una moto pedimos un préstamo de 3600 euros, que debemos devolver en 3 años, entregando la tercera parte de la deuda cada año.

a) Si no nos cobran intereses y pagamos un plazo al final de cada año, ¿cuánto pagamos cada año? ¿cuánto habremos pagado en total al final de los tres años?

b) Si nos cobran un interés del 10% anual y pagamos un plazo al final de cada año, ¿cuánto pagamos cada año? ¿cuánto habremos pagado en total al final de los tres años? Organiza los datos en la siguiente tabla:

Intereses

Amortización del capital

Pago total

Deuda después del pago

Al final del 1º año

Deuda pendiente

MATEMÁTICA FINANCIERA. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS. MÉTODO NORMAL

Al final del 2º año

A S

Al final del 3º año

TOTAL

D E

c) El mismo caso anterior (interés anual del 10%), pero pagamos los plazos mensualmente. Diseña una tabla similar y rellénala para contestar a estas preguntas: ¿cuánto pagamos cada mes? ¿cuánto habremos pagado en total al final de los tres años? d) Compara los resultados de los apartados b) y c) anteriores y redacta tus conclusiones.

A U L A

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MATEMÁTICA FINANCIERA. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS. MÉTODO FRANCÉS (PLAZOS CONSTANTES)

C. Duque Gómez, E. Quintero Núñez

a) Si no nos cobran intereses y lo vamos a devolver en tres plazos anuales, ¿cuál es el importe de cada plazo? b) Nos cobran un interés del 10% anual y cada plazo anual total (intereses + amortización de capital) es de 1200 euros. Construye una “tabla de amortización” que muestre con detalle el plan de pagos: Deuda pendiente

Intereses

Amortización del capital

Pago total

Deuda después del pago

Al final del 1º año Al final del 2º año Al final del 3º año

Debemos pagar un préstamo de 3600 euros de forma que todos los plazos sean iguales.

d) ¿Qué conclusión sacas de los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores? e) Construye la misma tabla en una hoja de cálculo (Microsoft Excel, OpenOffice Calc o Google Docs), de forma que las operaciones se puedan automatizar y tú puedas encontrar cuál debe ser el importe de cada plazo para que, pagando cada año lo mismo, al final de los tres años se haya completado el importe del crédito (3600 euros) con sus correspondientes intereses.

g) Adapta la misma tabla para calcular cuál debe ser el importe de cada plazo, si los pagos de amortización del préstamo deben hacerse mensualmente (todos por el mismo importe) y el préstamo debe ser satisfecho en 3 años (36 meses). h) Compara TODOS los resultados anteriores y redacta tus conclusiones. ¿Qué sistema de devolución de préstamos es más ventajoso?

f) Compara estos resultados con los obtenidos del caso anterior (cuando los plazos no tenían que ser constantes) y redacta tus conclusiones.

c) Construye la misma tabla suponiendo un plazo anual total constante de 1500 euros.

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Anexo III

4.º de ESO

20/02/2009

Departamento de Matemáticas

MATEMÁTICA FINANCIERA

Trabajo en grupo

Fecha de entrega: viernes 6 de marzo de 2009.

Fecha de revisión intermedia: viernes 27 de febrero de 2009. Se revisará el estado del trabajo y se atenderán y resolverán las dudas que se planteen.

Formato de entrega: un conjunto de folios (independientes del cuaderno de clase) ordenados y grapados. Debe incluir:

- Portada (título, datos personales del alumno, etc.). - Enunciados de los casos prácticos (las mismas fotocopias que se entregan).

- Resolución de los casos prácticos.

Para la calificación de este trabajo se valorará lo siguiente: 1. Orden, presentación, limpieza y claridad.

2. Puntualidad en la entrega y en la revisión intermedia.

3. Realización de preguntas y planteamiento de dudas en la revisión intermedia (no vale: “no entiendo nada”…). 4. Cálculos bien realizados y ejercicios bien resueltos. 5. Expresión correcta de los resultados.

6. Uso correcto del “lenguaje matemático”.

7. Explicaciones que deben acompañar a los cálculos: indicar en cada paso qué se pretende conseguir, por qué se realizan determinadas operaciones, etc. Contenido del trabajo:

b. Vacaciones en un crucero… ¿cuánto cuesta y cómo lo pagamos?

a. Ahorro en la “Cuenta naranja” de ING.

Consiste en la resolución de 3 casos prácticos reales que se resuelven aplicando los conocimientos adquiridos de porcentajes y matemática financiera (ahorro, interés simple y compuesto, amortización de préstamos), obtenidos a partir de anuncios reales del periódico.

c. ¿Podré comprarme un coche alguna vez?

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Departamento de Matemáticas

En la “letra pequeña” de este anuncio se nombran dos clases de intereses diferentes: el “tipo de interés nominal” (TIN) y la “TAE”, que significa “tasa anual equivalente”. Los cálculos que vas a hacer a continuación debes hacerlo usando siempre el TIN. Lee bien la letra pequeña y subraya las frases que van a determinar qué cálculos tienes que hacer. Teniendo en cuenta esos datos, resuelve las siguientes situaciones: 1. Ana ha ahorrado 600 euros, que piensa guardar para hacer un viaje el año que viene. Haz una tabla con la evolución de los ahorros de Ana durante un año. Ten en cuenta que los intereses que el banco le abona a Ana se quedan en la misma cuenta, para conseguir ahorrar lo máximo posible.

AHORRO EN LA CUENTA NARANJA DE ING

2. Haz una segunda tabla con los datos correspondientes al 2.º año. El capital inicial de este segundo año será lo que haya conseguido al finalizar el primer año.

3. Vamos a intentar averiguar qué es la TAE. Para ello utiliza exclusivamente la tabla correspondiente al 2º año y sigue los pasos que te indicamos: a. ¿Qué cantidad de intereses ha recibido Ana sólo en el 2.º año? b. ¿Qué porcentaje representan esos intereses con respecto al capital inicial de ese 2.º año? c. Si en vez de hacer liquidación de intereses mensuales, el banco pagara solamente una cantidad de intereses al final del año, ¿qué cantidad debería ser para que fuera equivalente a lo que has calculado mes a mes? ¿qué porcentaje sería? d. Vuelve a leer con detenimiento la “letra pequeña” del anuncio y repasa los resultados obtenidos en los 3 apartados anteriores. ¿Serías capaz de escribir con tus palabras una definición de lo que es la TAE?

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Departamento de Matemáticas

4.º de ESO

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VACACIONES EN UN CRUCERO… ¿CUÁNTO CUESTA Y CÓMO LO PAGAMOS?

P E R I E N C I A S

Prepara el “plan de pagos” para los siguientes viajes:

NOTA: las tablas que usen el método francés es mejor hacerlas con la hoja de cálculo. Si no puedes utilizar la hoja de cálculo, hazlas utilizando como plazo constante el importe del primer plazo que obtengas en la tabla del método normal.

1. Una pareja desea hacer el crucero por las Islas Griegas y Turquía y quiere pagarlo en 5 meses. Prepara dos tablas de amortización: una con el “método normal” y otra con el “método francés”. 2. Una familia de 8 personas va a hacer el crucero por las Capitales Bálticas y lo va a pagar en un año y medio. Como en el caso anterior, prepara dos tablas de amortización utilizando los dos métodos.

U L A

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Departamento de Matemáticas

Lee detenidamente el anuncio de este coche y, especialmente, la “letra pequeña”, donde te ofrecen los datos referentes a la compra a plazos y los intereses y plazos que tendrías que pagar.

I C

PVP recomendado en Península y Baleares, pintura metalizada no incluida, para unidades en stock hasta final de mes. Incluye IVA, impuesto de matriculación, transporte, Nissan Assistance y campaña promocional. *Ejemplo calculado para Nissan QASHQAI+2 1.6 ACENTA 5M/T 2WD. PVP recomendado en Península y Baleares 22.150 € (IVA, transporte, Nissan Assistance e impuesto de matriculación incluidos). C. Apertura: 381,83 € (2,5%). 36 cuotas de 240 € y una cuota final de 8.860 €. Entrada 6.876,79 €. TIN 5,95%, TAE 7,31%. Precio total a plazos: 24.758,62 €. Oferta válida hasta…

¿PODRÉ COMPRARME UN COCHE ALGUNA VEZ?

1. ¿Cuánto cuesta el coche que anuncian (en la letra pequeña) si lo pagamos al contado?

4. ¿Cuánto vas a pagar de más sobre el precio “real” del coche si lo compras a plazos?

3. Escribe de forma organizada el importe de los distintos conceptos por los que debes pagar al comprarlo a plazos.

2. ¿Cuánto pagarás por él en total si lo compras a plazos como te ofrecen en el anuncio?

5. Imagina que no tienes dinero ahorrado para poder pagar la entrada de casi 7.000 euros que pide el anuncio y que tienes que pagar en plazos mensuales la totalidad del precio del coche, sin dejar ninguna cantidad “especial” para la última cuota. Construye una tabla de amortización (método francés) que indique el importe de los plazos mensuales para pagar el coche en 3 años (36 meses), con un interés anual del 5,95%. (Utiliza la hoja de cálculo). ¿Qué importe tendrían los plazos mensuales? ¿Cuál sería el precio final del coche? 6. Imagina ahora que, además de no poder pagar la cantidad de la entrada ni la cuota final, no puedes pagar más de 240 € al mes. Construye otra tabla de amortización para esta situación. (Utiliza la hoja de cálculo). ¿Cuánto tardarías en pagar el coche? ¿Cuánto te costaría finalmente?

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Anexo IV

X P E R I E N C I A S D E A U L A

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Anexo V

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NÚMEROS

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 125–131

Un problema que se repite, algunas soluciones y la vendimia del señor Negramol, con un número misterioso. (Problemas Comentados XXII) J.A. Rupérez Padrón y M. García Déniz -Club Matemático 1 Soluciones a los ejercicios propuestos en el anterior NÚMEROS, con especial incidencia en la metodología de su resolución, y propuesta de nuevos enunciados. Ejercicios de diferentes niveles y contenidos.

Palabras clave

Organizar información; tabla doble entrada; grafos; razonamiento lógico.

Abstract

Solutions to the exercises in the previous number, with special emphasis on the methodology of its resolution, and proposed new statements. Exercises at different levels and contents.

Keywords

Organize information; Double entry table, Graphs, Logical reasoning

Resumen

B L

El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón, del IES de CanariasCabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz, del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife). mgarciadeniz@gmail.com / jaruperez@gmail.com

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Se colocan los enteros naturales en una tabla según la disposición siguiente. Una línea está señalada por el primer número de esta línea partiendo de la izquierda. Una columna está señalada por el primer número de esta columna partiendo de lo alto. Un número está por tanto señalado por la línea y la columna donde se encuentra. Por ejemplo, el número 15 está en (10, 9). ¿Cuáles son la línea y la columna de 1998? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ... ... ... ... ... ... ... ...

TABLA TRIANGULAR

Para empezar, una disculpa: en el anterior artículo de esta serie, publicado en el número 70 de la revista, se incluía un problema llamado TABLA TRIANGULAR que por razones extrañas llevaba un gráfico de acompañamiento totalmente incorrecto, lo cual hacía muy difícil su comprensión. Pedimos perdón por el error y comenzamos esta entrega repitiendo íntegramente el texto y la imagen de dicho problema, confiando en que esta vez sí aparezca de la manera adecuada.

Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

Los restantes problemas propuestos en dicho artículo sí estaban correctamente tratados y aquí damos nuestras respuestas. Esperamos coincidan con las que nuestros lectores hayan encontrado. De no ser así, ya saben, utilicen nuestros correos o el de la revista para darnos a conocer su discrepancia, su mejora o su alternativa. La publicaremos. El primero de ellos, ¡PROBLEMA CUBO QUID!, presenta una interesante búsqueda de posibilidades. La utilización de herramientas gráficas organizativas, como puede ser una TABLA DE DOBLE ENTRADA, se ven aquí potenciadas de una manera natural. También es importante el uso de estrategias poco habituales; en este caso la ELIMINACIÓN, al tratarse de un problema con un fuerte componente de Lógica.

Sobre este cubo hay seis números enteros diferentes, inscrito cada uno sobre una cara. La suma de todos estos números es inferior a 350 y cada cara tiene un número que es el tercio, el cuarto, el triple o el cuádruplo del número inscrito sobre la cara opuesta. ¿Cuál es la suma de los números inscritos sobre el cubo?

¡PROBLEMA CUBO QUID!

Los datos de este problema son los valores de las tres caras conocidas, 15, 20 y 60, y los valores posibles de las caras desconocidas, tercio, cuarto, triple o cuádruplo de su respectiva cara opuesta. El objetivo es averiguar los valores de esas caras desconocidas, aunque la pregunta sea el valor de la suma de las seis caras. La relación entre los datos y el objetivo es que la suma de las caras ha de ser menor de 350 y los seis números enteros y distintos. Este problema exige ORGANIZAR LA INFORMACIÓN suministrada, para lo cual es menester disponer de un organizador lógico adecuado que puede ser un diagrama de posibilidades como el siguiente: Tercio

Cuarto

Triple

Cuádruplo

15 20 60

En él calcularemos para cada cara conocida las distintas posibilidades para su cara opuesta. En algún caso, no existirá esa posibilidad por no tener un valor entero. En algún otro podrá resultar un valor ya existente, con lo cual tampoco será válido. 15 20 60

Tercio 5 NO 20

Cuarto NO 5 15

Triple 45 60 180

Cuádruplo 60 80 240

Los dos 5 que aparecen repetidos se excluyen uno al otro. No pueden aparecer simultáneamente, pero sí uno solo de los dos.

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Necesitamos ahora poner en marcha una búsqueda de las diferentes combinaciones entre los valores de las tres caras desconocidas. Son las siguientes: 5 + 80 + 180 5 + 80 + 240 45 + 5 + 180 45 + 5 + 240 45 + 80 + 180 45 + 80 + 240 Y una adecuada estrategia de ELIMINACIÓN nos permitirá quedarnos con las soluciones del problema para las caras. Dicha estrategia estará basada en la condición de sumar las seis caras menos de 350. Como las tres conocidas suman 15 + 20 + 60 = 95, las tres restantes habrán de sumar menos de 350 – 95 = 255.

P R

5 + 80 + 180 = 265 > 255, no válido 5 + 80 + 240 = 325 > 255, no válido 45 + 5 + 180 = 230 < 255, solución 45 + 5 + 240 = 290 > 255, no válido 45 + 80 + 180 = 305 > 255, no válido 45 + 80 + 240 = 365 > 255, no válido

O M A

LA HORMIGA PASEANTE

El siguiente problema, LA HORMIGA PASEANTE, corresponde a una parte de la matemática que no aparece habitualmente en el currículo español: los GRAFOS. Tal cosa resulta extraña hoy en día, pero eso no excluye la posibilidad de explorar de manera sencilla estos aspectos en la clase; la mejor manera de hacerlo es a través de problemas como éste, que pueden ser resueltos con facilidad e introducir aspectos matemáticos nuevos en el quehacer de nuestros alumnos.

Respuesta.- Las caras son 15 y 45, 20 y 5, 60 y 180, que suman 325 puntos, menos de 350.

Hemos encontrado una solución única. No hay otra posible y cumple todas las condiciones del problema. Nos van a permitir responder a la pregunta.

A Un camino es un recorrido entre los vértices D y A realizado sobre los lados de los cuadrados de la figura. El camino más corto es aquel que recorra el menor número posible de esos lados; su medida será el total de lados recorridos. Para ello es necesario que el recorrido no vuelva sobre sí mismo, lo cual se consigue yendo siempre hacia la derecha o hacia abajo. Está prohibido, por tanto, ir hacia la izquierda o hacia arriba. El camino más corto es de 7 unidades. Pero se puede recorrer de varias Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Partiendo del punto D, una hormiga quiere llegar al punto A tomando un camino lo más corto posible. ¿Entre cuántos caminos, lo más corto posibles, puede elegir la hormiga?

Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

maneras diferentes. El problema pide determinar esos caminos diferentes, de longitud 7, que se pueden realizar entre D y A. Otro aspecto importante es darse cuenta de que los caminos se cruzan en los vértices de los cuadrados, pero no en todos. Salvo en los vértices de salida y llegada, los cruces deberán tener, al menos, tres caminos concurrentes. Eso quiere decir que hay cinco vértices que no suponen cambio de camino; son los que se encuentran en la parte superior de los cuadrados azules y en la parte inferior de los cuadrados verdes.

A A cada vértice que es cruce de caminos se puede llegar desde dos vértices anteriores. El total de caminos por el que se puede llegar a él es la suma de los caminos que pueden llegar a cada uno de ellos. Procediendo a ese recuento, vértice a vértice, a partir del vértice D, llegaremos al vértice A con el total de caminos que llegan a él.

33 1155

2244 A

Respuesta.- La hormiga podrá elegir, por tanto, entre 24 caminos.

O R P

El otro problema, EL CARTERO, plantea unos aspectos estratégicos curiosos. La BÚSQUEDA DE PATRONES, el IR HACIA ATRÁS, el ENSAYO Y ERROR, UTILIZAR HERRAMIENTAS DE TIPO TABLA, para terminar con ANÁLISIS DE SECUENCIAS NUMÉRICAS. Son aspectos con pocas posibilidades de tener un tratamiento adecuado en la clase, pero en el tratamiento secuenciado de problemas, tal y como proponemos en esta serie de artículos, tiene cabida y se obtiene un fruto extraordinario al tiempo dedicado a su resolución. EL CARTERO En un edificio de X pisos (2 apartamentos por piso), el cartero debe distribuir N cartas. En el primer piso, entrega 1 carta al inquilino de la izquierda, y la octava parte de las cartas restantes al inquilino de la derecha. En el segundo piso, entrega 2 cartas al inquilino de la izquierda, y la octava parte de las cartas restantes al inquilino de la derecha. En el tercer piso, entrega 3 cartas al inquilino de la izquierda, y la octava parte de las cartas restantes al inquilino de la derecha, y así sucesivamente. En el piso X, entrega X cartas al inquilino de la izquierda, y no le queda ninguna carta para entregar al inquilino de la derecha. ¿Cuál es el número X de pisos del edificio y el número N total de cartas distribuidas por el cartero?

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Un primer intento de resolución nos llevaría a utilizar el álgebra, codificando desde el reparto del primer piso hasta encontrar un patrón que determinase hasta que piso se puede llegar. Pero eso nos llevaría a un camino difícil y tortuoso, cada vez más complejo. Es necesario, por tanto, empezar investigando algunas características de las condiciones del problema. Por ejemplo, teniendo en cuenta que el primer reparto se realiza en el primer piso entregando una carta en la izquierda y dividiendo el resto entre 8 para determinar las cartas entregadas en la derecha, es preciso que el numero de cartas inicial sea múltiplo de 8, más 1. O sea, N = 8 k + 1, siendo N el número inicial de cartas. Por tanto, dicho número de cartas puede ser, según los distintos valores de k, los siguientes:

Para k = 0 Æ N = 1 Para k = 1 Æ N = 9 Para k = 2 Æ N = 17 Para k = 3 Æ N = 25 … etc.

Nº de piso

Cartas entregadas en la izquierda

Cartas restantes

Cartas entregadas en la derecha

Cartas para el siguiente piso

Cartas entregadas en la derecha 0

Entregadas en el piso 1

Cartas para el siguiente piso 0

Cartas entregadas en la derecha 8:8=1 5 : 8 = ¿?

Entregadas en el piso 2

Cartas para el siguiente piso 9–2=7

Entregadas en el piso 1+2=3

Cartas para el siguiente piso 17 – 3 = 14

Entregadas en el piso

Cartas a entregar

Podremos probar a rellenar una tabla para cada valor de N y así comprobar cuales de esos valores dan correctos. Es necesario diseñar dicha tabla y tener como criterio la necesidad de que en cada momento del reparto los resultados parciales y finales sean enteros.

Y ahora la utilizaremos para analizar los tres primeros casos.

Nº de piso 1

Cartas entregadas en la izquierda 1

Cartas restantes 0

Cartas a entregar 1

Para 1 carta a entregar:

Apreciamos que se cumple y es un caso trivial. Para 9 cartas a entregar: Cartas a entregar 9 7

Nº de piso 1º 2º

Cartas entregadas en la izquierda 1 2

Cartas restantes 8 5

Apreciamos ahora que no se satisface la condición exigida. Para 17 cartas a entregar: Cartas a entregar 17 14

Nº de piso 1º 2º

Cartas entregadas en la izquierda 1 2

Cartas restantes 16 12

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Cartas entregadas en la derecha 16 : 8 = 2 12 : 8 = ¿?

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Tampoco aquí se satisface la condición exigida. Esto nos lleva a pensar que, si bien es un camino posible, resulta muy largo y sin garantía de terminar contemplando todo lo necesario. Luego, es necesario utilizar otra estrategia; elegimos la de IR HACIA ATRÁS, puesto que conocemos como se desarrolla el proceso de la entrega de cartas y lo sucedido en el último piso. Utilizaremos la misma tabla pero al revés, yendo desde el último piso, aunque no sepamos cual es, hasta el primero. Nº de piso Xº (X – 1)º

Cartas entregadas en la izquierda X X–1

Cartas restantes 0 8

Cartas entregadas en la derecha 0 1

Entregadas en el piso X X

Cartas para el siguiente piso X

En la primera fila razonamos que no deben ser entregadas cartas en la derecha porque así lo determinan las condiciones del problema; solo se entregan las X cartas de la izquierda, igual cantidad que el cardinal del piso. En la segunda fila sabemos con claridad que debe entregar X – 1 en la izquierda, tantas como el cardinal del piso, y deberán sobrar X cartas para el último piso. De ahí deducimos que las cartas entregadas en la derecha deben ser al menos 1, que representa la octava parte de 8 que, naturalmente, deben ser las restantes después de haber entregado las de la izquierda. Sobran 7 para el último piso, que ya sabíamos que estaban representadas por el valor X. Por tanto X = 7, lo que significa que el edificio tiene 7 pisos. Bastara ahora reiniciar la tabla HACIA ATRÁS pero con los valores ya determinados, y llegar hasta el primer piso donde conoceremos el total de cartas que tenía que distribuir el cartero. Cartas a entregar 7 14 21 28 35 42 49

Cartas a entregar X

Nº de piso 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

Cartas entregadas en la izquierda 7 6 5 4 3 2 1

Cartas restantes 0 8 16 24 32 40 48

Cartas entregadas en la derecha 0 1 2 3 4 5 6

Entregadas en el piso 7 7 7 7 7 7 7

Cartas para el siguiente piso 7 14 21 28 35 42

Obteniendo de esta manera la solución del problema, que, además, presenta algunas características dignas de observación. El número de cartas entregadas en la izquierda es la sucesión creciente de los números naturales. Las cartas entregadas en la derecha forman la sucesión decreciente de los números naturales hasta el cero. El numero de cartas entregada en cada piso es invariable: 7. El número de cartas a entregar es una sucesión de múltiplos consecutivos de 7. Interesante, ¿no? El problema puede ser un buen pretexto para utilizar la hoja de cálculo con los alumnos y comprobar con ella que los valores mayores de 49 no dan solución posible. Aunque el método que hemos utilizado en la segunda estrategia nos indica que la solución es única. Respuesta.- El número de pisos del edificio es 7 y el número total de cartas distribuidas por el cartero es de 49.

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NÚMEROS

Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

Siguiendo nuestra costumbre, proponemos ahora algunos problemas nuevos, que se añaden al que hemos repetido al comenzar, y que nos parecen interesantes. Tiene algún tiempo para resolverlos y escribirnos sus respuestas y comentarios. Serán atendidos. TIEMPO DE VENDIMIA En la viña del señor Negramol, en un día de vendimia se han llenado 18 cajones grandes y 13 cajones medianos con la uva recogida. Para transportar a la bodega los cajones llenos de uva, el señor Negramol dispone de 3 tractores: • el tractor A puede transportar, a plena carga, 3 cajones grandes y 2 medianos; • el tractor B puede transportar, a plena carga, 2 cajones grandes y 1 mediano; • el tractor C puede transportar, a plena carga, 1 cajón grande y 1 mediano.

EL NÚMERO MISTERIOSO

O M A S

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista NÚMEROS.

Y aquí queda todo de momento. Pero recuerden nuestro sempiterno mensaje. Esta sección estará más viva si recibimos sus soluciones, sus comentarios o sus propuestas. Hágannos caso, escríbannos. Todos los lectores agradecerían leer mensajes y experiencias de otros compañeros.

Este número de seis cifras distintas, empieza y termina con cifras primas, de tal manera que si trasferimos la cifra final de la derecha al primer lugar de la izquierda, el número así obtenido es cinco veces superior al número original. Pero si transferimos la primera cifra de la izquierda al último lugar de la derecha, el número resulta tres veces el número original. Si ahora movemos las tres primeras cifras del original y las colocamos al final, a la derecha del número, el resultado es seis veces el número inicial. ¿De qué número se trata?

Ese día, el señor Negramol ha utilizado al menos una vez todos sus tractores y siempre a plena carga. ¿Cuántos viajes pueden haber sido hechos por el señor Negramol con cada tipo de tractor para el transporte de todos los cajones de uva a la bodega? Describid todos los posibles viajes y explicad cómo los habéis hallado.

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 133–137

WEB para la enseñanza de la Estadística Antonia Gil Armas (Instituto Canario de Estadística)

Resumen

E D

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

El ISTAC consciente de la necesidad de apoyo para hacer posible el avance hacia la cultura estadística de los ciudadanos, ha ido progresivamente aumentando sus actuaciones en el ámbito educativo, lo que ha motivado la puesta en marcha de esta nueva “WEB escolar”. Pero es que además, la Estadística oficial requiere que los usuarios de las Estadísticas que ellos producen adquieran una formación adecuada, y esto empieza por la formación desde la escuela. Es crucial que la enseñanza enfatice las habilidades analíticas más allá del cálculo y la aplicación de procedimientos (Cheung 1998) y por parte de los organismos que ofrecen Estadística es crucial hacerla comprensible. La Estadística oficial necesita de formación en la población en general, no sólo como usuarios de los datos que producen, sino como

La nueva ley educativa ha sido sensible a esta nueva necesidad de formación del ciudadano y así lo refleja en los reglamentos que desarrollan la LOE en el área de Matemáticas, asociando los contenidos del bloque “Tratamiento de la información, azar y probabilidad” en Primaria y “Estadística y Probabilidad” en Secundaria, al término “cultura matemática”. El currículo de Bachillerato desarrollado para Canarias recomienda incluso el uso de las bases de datos del ISTAC.

Vivimos en un contexto en el que la Estadística tiene un papel cada vez más importante, en el que los ciudadanos sufren un constante bombardeo de datos y necesitan mejor formación estadística que les ayude a conformar sentido crítico frente a esta información y aprendan a usarla para tomar decisiones o, simplemente, conocer la realidad que les rodea. El ruido que ocasionan algunos medios y sectores con los datos, ensordecen al ciudadano que si no tiene una formación específica básica en estadística, se puede impresionar fácilmente por resultados “sorprendentes” que no son tan evidentes si supieran interpretarlos adecuadamente, o leyeran la ficha técnica que acompaña a toda estadística.

Web escolar del ISTAC

La WEB escolar del Instituto Canario de Estadística (ISTAC), http://www.gobiernodecanarias.org/istac/webescolar , es un espacio desarrollado para ofrecer a la comunidad educativa recursos e información específica de contenido estadístico que puede contribuir a la mejora de la cultura estadística del alumnado. En ella pueden encontrar: aplicaciones interactivas, datos de interés, actividades para trabajar en el aula con los alumnos que van desde la elaboración de tablas hasta bases de datos divididas por niveles competenciales, abarcando distintos aspectos del tratamiento de la información.

WEB para la enseñanza de la Estadística A. Gil Armas

Como sitio web dirigido principalmente al uso educativo, la WEB escolar ha de satisfacer las tres funcionalidades básicas de uso de Internet en la educación actual: información, comunicación y soporte didáctico. La función de información tiene dos direcciones: la de ofrecer información estadística y la de contribuir al conocimiento de la realidad canaria a través de los datos. Ésta y el resto de funciones están recogidas en las siete secciones principales que constituyen el menú de navegación: Concurso escolar, Estadística en Primaria, Estadística en Secundaria, Curiosidades, Juegos, ¿Qué sabes de…? y Bases de datos, diseñadas en un entorno más amigable que el exclusivamente institucional, cumpliendo determinadas normas, entre ellas la accesibilidad.

participantes del proceso de recolección de datos, deben tomar conciencia de lo que significa no decir la verdad o los problemas que ocasionan la falta de respuesta cuando se les realiza una encuesta.

Fig. 1: Pantalla inicial de la Web escolar

La primera sección que encontramos es la dedicada al Concurso escolar. Este apartado comunica el proceso del concurso actual (VIII edición) y ofrece información sobre las ediciones anteriores: fallo del jurado y publicación de los trabajos premiados. Pretende incentivar la enseñanza de la Estadística a través de la realización de tareas en proyectos estadísticos. Como ejemplo de proyectos, el ISTAC ha editado dos cuadernos de trabajo para 3.º y 4.º de la ESO que podemos descargar desde la sección Estadística en Secundaria. Estos

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WEB para la enseñanza de la Estadística A. Gil Armas

cuadernillos se complementan con material imprimible y una aplicación interactiva para trabajar los Gráficos Estadísticos y, el de 4.º de la ESO se acompaña además de actividades dirigidas para trabajar los proyectos editados con la hoja de cálculo de Excel. Como fuente de información estadística, la WEB escolar ofrece datos estadísticos que describen la realidad canaria, evitando la complejidad o la lejanía a los intereses de los alumnos, los podemos encontrar en las secciones de Curiosidades y Bases de Datos. Por ejemplo, como curiosidad podemos encontrar el listado de los nombres más comunes entre los recién nacidos en Canarias, una de las estadísticas más consultadas por los usuarios de la web.

E N

Las bases de datos del ISTAC tienen tal cantidad de registros y variables que la manipulación por parte de los alumnos es una labor muy ardua, por lo que sobre ellas se ha hecho una selección de variables procurando que haya al menos una de cada tipo y un muestreo aleatorio simple sobre los registros. Sobre estas bases los alumnos pueden realizar sus cálculos estadísticos. Se presentan con tres niveles competenciales y, con el fin de ofrecer la mayor compatibilidad posible con los programas estadísticos y hojas de cálculo usados por los docentes, las bases de datos se ofrecen en cuatro formatos: Texto, Excel, SPSS y VUStat (programa adquirido por la Consejería de Educación para los centros escolares de Canarias).

L A R E D

Fig. 2: Pantalla sección Bases de datos

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WEB para la enseñanza de la Estadística

La nueva imagen de la WEB escolar hace una apuesta importante por la educación estadística desde los más pequeños y la adaptación a los nuevos currículos. El ISTAC ha editado una aplicación educativa interactiva denominada "Canarias en cifras" que pretende llevar al alumno de Primaria, desde el primer al tercer ciclo, a conocer la Comunidad Autónoma de Canarias y las diferentes islas que la conforman, a partir de sus datos estadísticos. “Istaquito”, que así se ha denominado la mascota que acompaña en esta aplicación educativa a los niños, les propone a los alumnos actividades estadísticas según el ciclo en el que se encuentren. En el primer ciclo, a través de las formas, el tamaño y el color, llevamos a los alumnos a conocer la colocación geográfica de cada isla dentro del archipiélago canario, ordenarlas de mayor a menor superficie y construir un diagrama de barras basado en la clasificación de colores. En el segundo ciclo el alumno puede construir cartogramas y relacionar la información de cada barra con el concepto que representa y que, en el tercer ciclo, además, relacionará con la cantidad. La actividad se complementa con un informe de las actividades que se han realizado, los intentos que se han hecho y cuantas se han completado satisfactoriamente, con el que el profesor puede controlar el desarrollo del aprendizaje. Ésta y todas las actividades interactivas pueden ejecutarse en web o descargarse según preferencia del docente.

A. Gil Armas

Fig. 3: Aplicación interactiva para Primaria

Continuando con las actividades interactivas, en la sección Juegos encontramos “La Ruleta”. A través de este popular juego introducimos los conceptos iniciales de La Probabilidad, tales como suceso aleatorio, seguro, equiprobable o la definición de probabilidad de Laplace. La probabilidad nació en el juego y, es jugando como mejor se aprende, por eso usamos “La Ruleta” para introducirla. Desde la web se puede descargar material de apoyo para el profesor que desee usar en el aula esta actividad.

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Fig. 4: Aplicación interactiva para la Probabilidad

L A

Por último, siempre es divertido ponernos a prueba y nosotros ponemos a prueba los conocimientos estadísticos de los usuarios a través de los cuestionarios en la sección ¿Qué sabes de…? En esta sección se muestran seis cuestionarios, divididos por tipos de contenidos estadísticos del currículo de Secundaria, tanto obligatoria como no obligatoria, con los que el usuario puede autoevaluar sus conocimientos de conceptos estadísticos. El profesor puede usar estos cuestionarios como actividad de síntesis al finalizar una unidad didáctica trabajada en el aula o, como evaluación de conocimientos previos al iniciar otra en un nivel superior.

R E D

Fig. 5: Sección ¿Qué sabes de…?

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 139–147

Estrategias simples (y no tan simples) para los juegos de NIM J.A. Rupérez Padrón y M. García Déniz -Club Matemático 1 Tras unas orientaciones sobre estrategias para solucionar los juegos del anterior artículo, se proponen variantes del NIM poco conocidas.

Palabras clave

Nim; Llegar a 100; estrategias juegos

Abstract

Following the guidelines on strategies for solving games of the previous article, we propose variants of the NIM of small spread.

Keywords

Nim; Reach 100; strategy games

Resumen

Respuesta: Se trata de una estrategia numérica, de buscar una secuencia de números ganadores.

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Se colocan 23 palillos sobre una mesa, tal como indica la figura. Cada jugador tomará, alternativamente, uno, dos o tres palillos por vez, según prefiera. Perderá el jugador que se vea forzado a coger el último.

QUIÉN COGE EL ÚLTIMO PIERDE (PRIMERA VERSIÓN)

Vamos a revisar algunas de ellas:

En nuestro anterior artículo propusimos algunas versiones sencillas del juego del Nim y les indicábamos la manera de acercarse a las estrategias ganadoras de este juego, apto para todas las edades.

Estrategias simples (y no tan simples) para los juegos de NIM -Club Matemático-

La manera más eficaz de encontrar esa secuencia consiste en utilizar la estrategia de “ir hacia atrás” para “buscar un patrón numérico” que luego convertiremos en una “regla general”. Supongamos que estamos en la última jugada, aquella en la que sólo queda un palillo sobre la mesa y le toca tomarlo a nuestro adversario, con lo cual pierde la partida. Ahora bien, ¿cuántos palillos debía haber sobre la mesa, en la jugada anterior, y cómo debía jugar yo para que ahora quedase uno solo? De dos a cuatro. Así yo podré tomar siempre 1, 2 o 3 y dejar uno solo sobre la mesa. ¿Y en la jugada inmediatamente anterior? Me debo asegurar de dejar, por tanto, 5 palillos para juegue mi adversario. Haga lo que haga no podrá dejar uno solo sobre la mesa; necesariamente dejará entre 2 y 4, lo cual me permite a mí tomar entre 1 y 3 para dejar el último para él, que será el perdedor.

Como hay 23 sobre la mesa convendría jugar el primero y tomar 2 para asegurar ser el ganador. Si juega él primero, entonces hay que confiar que no conozca la estrategia ganadora y entrar en la secuencia numérica en cuanto nos lo permita una jugada errónea por su parte. Ganará siempre quien deje los últimos cinco palillos, llegando hasta ahí, desde las 23 iniciales, mediante la siguiente sucesión numérica: 21 – 17 – 13 – 9 – 5. El patrón es que cada número de la sucesión es un múltiplo de 4 más 1 y depende, precisamente, del número superior de palillos que se pueden tomar en cada jugada. El número de palillos a tomar en cada jugada será la diferencia entre los que hay sobre la mesa y el término de la secuencia más próximo a dicho número. Es decir, en la primera jugada hay 23 sobre la mesa y el término más cercano de la secuencia es 4 x 5 + 1 = 21; por tanto, el jugador, si quiere ganar, ha de tomar 23 – 21 = 2 palillos.

Para dejar 5, antes deberé dejar 9. Para dejar 9, antes deberé dejar 13 y, antes, dejar 17 y, antes aún, dejar 21.

QUIÉN COGE EL ÚLTIMO PIERDE (SEGUNDA VERSIÓN) Se forman tres montones de piedras (o palillos, monedas, fichas, etc.), poniendo en cada uno de ellos, por ejemplo, de 5 a 10 piezas. Los jugadores retiran alternativamente una o más piezas de un solo montón. Gana el que coge la última pieza.

Respuesta: Una versión simple del juego consistiría en eliminar uno de los tres montones y quedarse sólo con dos.

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Estrategias simples (y no tan simples) para los juegos de NIM -Club Matemático-

Si ambos tienen el mismo número de piedras, entonces el segundo jugador tiene una estrategia ganadora sencilla consistente en retirar la misma cantidad de piedras que haya hecho el primer jugador pero en el otro montón, manteniéndolos así de igual tamaño hasta llegar a dos montones con 2 y 2 piedras, respectivamente. En este momento, el primer jugador sólo puede retirar una o dos piedras de uno de los montones. El segundo jugador juega lo mismo en el otro montón: dos o una piedra, con lo que asegura el último movimiento ganador. Si los dos montones son desiguales, entonces el primer jugador podría coger fichas de tal manera que los dos montones quedaran iguales. Este caso se reduce entonces al juego con montones iguales y el primer jugador debe ganar. Pero para analizar una estrategia ganadora con los tres montones en juego es necesario pasar a una relación matemática muy curiosa e interesante, ligada a la paridad que se aprecia siempre en este juego: una estrategia basada en el sistema binario de numeración. El sistema de numeración de base dos utiliza solamente las cifras 0 y 1. El número 1 se escribe 1, el 2 se escribe 10, el 3 se escribe 11, y así sucesivamente. Representaremos el número de piedras de cada montón mediante este sistema de numeración.

J U

Supongamos que los montones tienen 11, 8 y 5 piedras, respectivamente. En sistema binario serán: 1011, 1000 y 101. Se procede a sumar dichos números según la siguiente tabla:

0 1 1

1 0 0

1 0 +

Suma que daría:

1011 1000 + 101 0110 Para ganar, esta suma debe valer 0000. Para ello basta con convertir el valor 101 en el valor 11, es decir, jugar en el montón de 5 piedras para dejar 3. La suma valdría ahora:

1011 1000 + 11 0000 El adversario no podrá jugar en uno solo de los montones y mantener esa suma cero. Tendrá que retirar al menos una piedra de algún montón. En la siguiente jugada nosotros sí podríamos restablecer la suma cero y continuar así hasta el final del juego, donde nosotros tomaríamos la última o últimas piedras del único montón final.

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SIMETRÍA Se colocan las fichas en las esquinas de un polígono grande (ver el ejemplo con un octógono). Cada jugador extrae por turnos una ficha o dos adyacentes. El jugador que extrae la última ficha gana. Respuesta: El segundo jugador siempre debe extraer la o las fichas opuestas simétricamente a las extraídas por el primero, para "equilibrar" su jugada. El nombre del juego hace referencia a la estrategia y, evidentemente, si el polígono tiene un número par de lados tiene ventaja el segundo jugador; si tiene un número impar de lados la ventaja es ahora del primero, siempre y cuando tenga cuidado de tomar una sola ficha al hacer la primera jugada; luego aparece la simetría.

ÚLTIMO MOVIMIENTO

Necesitas 9 fichas. Las reglas son: 1. Los jugadores ponen las 9 fichas, una en cada celdilla, en el tablero y eligen quién es el primero en jugar.

2. Los jugadores, por turno, retiran una ficha o dos adyacentes (si existen dos de tales fichas).

3. El ganador es el jugador que retira la última o las dos últimas fichas.

Respuesta: El juego es similar al anterior, pero sobre una línea recta. La ventaja es del primer jugador si toma la ficha central y, a continuación, repite lo que haga el segundo jugador al otro lado del hueco central.

JUEGO DE CLAVAS Este es un juego del famosísimo Henry E. Dudeney. En este antiguo juego las clavas eran generalmente cónicas y se disponían en una línea recta. Al principio eran tumbadas con una maza que se arrojaba desde cierta distancia. Más tarde, los jugadores introdujeron las bochas, como mejora a la maza. Simplemente se colocan en línea recta trece clavas o peones, unos cerca de otros, y luego se retira el segundo, como muestra la figura.

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Los jugadores son tan expertos que siempre podrán derribar cualquier clava aislada, o dos clavas que estuvieran una al lado de otra. Ganará el jugador que derribe la última. Todo lo que hay que hacer es derribar con el dedo, o retirar cualquier clava individual, o dos clavas vecinas, jugando alternativamente hasta que uno de los dos jugadores realice el último acierto, y, por tanto, gane. Recuerden que la segunda clava debe ser retirada antes de comenzar a jugar, y que si derriban dos a la vez, deben ser dos vecinas, ya que en el juego verdadero, la bocha no podía hacer más que esto. Respuesta: El propio Dudeney 2 explica así la estrategia ganadora:

Para ganar en este juego deberá, tarde o temprano, dejar a su oponente un número par de grupos similares. Suponga, por ejemplo, que le deja estos grupos: I0I0IIIOIII. Ahora, si él derriba una clava individual, usted derriba una individual; si él derriba dos de un trío, usted derriba dos del otro trío; si él derriba la clava central de un trío, usted derriba la central del otro trío. De esta forma es forzoso que usted finalmente gane. Como el juego comienza con la disposición I0IIIIIIIIIII, el primer jugador siempre puede ganar, pero solamente si derriba la sexta o la décima clava (contando la que se ha eliminado como la segunda); y esto deja, en cualquiera de los dos casos, I0III0IIIIIII, ya que el orden de los grupos no es importante. Cualquiera sea la jugada de su adversario, siempre puede resolverse en un número par de grupos iguales. Supongamos que él derriba la individual; entonces nosotros jugamos para dejar II0IIIIIII. Ahora, sea lo que sea lo que él haga, después podremos dejarle III0III, o bien I0II0III. Ya sabemos por qué la primera disposición es ganadora; y la última también lo es, pues, como quiera que él juegue, podremos dejar, ya sea I0I o I0I0I0I, según sea el caso. Obviaré ahora el análisis completo, para entretenimiento del lector.

U E G O S

EL ACERTIJO DE LA MARGARITA Esta vez el autor es Sam Loyd, rival de Dudeney en el campo de los acertijos. El juego se plantea en la ilustración por medio de una margarita de trece pétalos. Lo juegan dos personas que deben turnarse para dejar pequeñas marcas en uno o dos pétalos contiguos. Gana la persona que cubre el último pétalo, dejándole a su contrincante el tallo.

¿Puede alguno de nuestros aficionados decirnos quién ganará este juego –el primero o el segundo jugador-, y qué sistema debe seguir para poder ganar?

Tomado de: Henry E. DUDENEY; “Los Acertijos de Canterbury”; Ed. Granica.

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Respuesta: También el propio Loyd 3 se encarga de explicar la estrategia ganadora: El segundo jugador puede ganar siempre el juego de la margarita dividiendo los pétalos en dos grupos iguales. Por ejemplo, si el primer jugador toma un pétalo, el segundo toma dos pétalos opuestos para dejar dos grupos de cinco; y si el primer jugador toma dos pétalos, el segundo toma un pétalo opuesto para lograr el mismo resultado que antes. A partir de allí, sólo tiene que imitar las jugadas del primer jugador. Si el primer jugador toma dos pétalos para dejar una combinación 2-1 en un grupo, el segundo toma los dos pétalos correspondientes para dejar una combinación 2-1 en el otro grupo. De esta manera hará con seguridad la última jugada.

El juego del “siete-cinco-tres”, tan simple como engañoso, requiere dos participantes. Tres hileras de palillos es cuanto hace falta para su desarrollo. Los jugadores se turnan para retirar los palillos y el ganador será aquel que obligue a su adversario a retirar el último que quede en la última hilera. Distribuya 15 palillos en tres hileras de este modo: Solamente existe una regla: en cada turno pueden retirarse tantos palillos como se desee, a condición, sin embargo, de que todos ellos se tomen de la misma hilera. Respuesta:

CÓMO GANAR AL SIETE-CINCO-TRES

Para conseguir una estrategia ganadora es importante jugar muchas veces y fijarse en aquellas “configuraciones geométricas” que aparecen en el momento que se está seguro de ganar, haga lo que haga el contrario. Estas configuraciones son de dos tipos: con las tres filas o solamente con dos, después de haber eliminado una de ellas. Siempre podremos darnos cuenta que, cuando se llega a la configuración 1 – 1 – 1, al jugador

Tomado de: Sam LOYD; “Nuevos Acertijos”; Ed. Granica.

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que le toca jugar, como sólo puede retirar uno de ellos, perderá al retirar el último. ¿Cómo se llega a esta configuración? Pues muy sencillo: jugando adecuadamente a partir de esta otra, la configuración 3-2-1: Si el jugador que le toca turno retira un palillo de la fila de 2, el otro deberá retirar dos palillos de la fila de 3. Si retira dos de la fila de 3, deberá retirar un palillo de la fila de 2. En cualquiera de los casos acabará en la configuración 1 – 1 – 1. El segundo jugador gana. Pero hay otras jugadas posibles. Sí, claro. Pero acabarán en otra configuración que nos toca ahora estudiar. Si el jugador que le toca turno retira los tres palillos de la fila superior, el otro retira los dos palillos de la fila intermedia y gana. Si el jugador que le toca turno retira los dos palillos de la fila intermedia, el otro retira los tres palillos de la fila superior y gana.

Pero quedan aún dos jugadas que acaban en una nueva configuración:

U E

Si el jugador que le toca turno retira un palillo de la fila de 3, el otro deberá retirar el único palillo de la fila inferior, y viceversa. Se acaba así en una configuración de dos palillos en cada una de dos filas: 2 – 2, que es ganadora para el segundo jugador.

Si el primero retira un palillo en una fila, el segundo retira dos en la otra. Si el primero retira dos palillos en una fila, el segundo retira uno en la otra. De cualquier manera gana.

O S

A esta configuración también se puede llegar sin pasar por la configuración 3 – 2 – 1. Para ello basta con suprimir una de las tres filas y dejar al contrario con dos filas iguales de palillos. Si el primer jugador retira una fila completa, el segundo retirará todos los palillos de la otra fila menos uno. Si no es así, le bastará con retirar siempre tantos palillos como su adversario, pero en la otra fila hasta llegar a la configuración 2 – 2, en que ya sabemos como hacer para ganar. Nos queda estudiar cómo hacer para llegar a cualquiera de las configuraciones intermedias (5 – 5 o 3 – 2 – 1) a partir de la disposición inicial (7 – 5 – 3). Sólo hay tres jugadas posibles si nos toca el primer turno: retirar un palillo en cualquiera de las tres filas (¡compruébelo mediante el uso de la suma binaria!). A partir de aquí todas las jugadas conducen a una de las configuraciones ya estudiadas. El primero en jugar tiene ventaja.

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QUIÉN LLEGA A CIEN GANA Ésta es una variante curiosa pues no se juega con objetos sino con números y adiciones. Consiste en lo siguiente: - Partiendo de cero y alternativamente, los participantes deben ir sumando cantidades hasta llegar a 100. - Estas cantidades no deben ser superiores a 10. Es decir, sólo son válidas las comprendidas entre 1 y 10, ambas inclusive. - Gana quien totaliza 100. Existe una estrategia con la que resulta casi imposible perder. ¿Cuál es?

La estrategia es idéntica a la del primer juego propuesto, ya que se trata de una extensión de éste. El patrón para formar la sucesión será 11n +1, y sus términos son: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 y 89.

Para su estudio, proponemos dos nuevas variantes del Nim. Si han entendido lo anteriormente expuesto y, sobre todo, si han jugado unas cuantas partidas, les resultará fácil encontrar sus estrategias ganadoras.

El primer jugador tiene ventaja ya que puede elegir un mínimo de 1, lo que no deja al segundo jugador en posición de seguir los términos de la sucesión, perdiendo en la última jugada, cuando se encuentre en 89 y tenga que sumar de 1 a 10, con lo que no llega hasta 100 y facilita el éxito final al primer jugador.

NIM CON PALILLOS

Respuesta:

Disponer 16 piedras o palillos en cuatro filas de 1, 3, 5 y 7, respectivamente; los jugadores van retirando piedras o palillos por turno; pueden tomar las que quieran, pero todas de la misma fila. Gana el que se lleva la última cerilla (según otra versión, quien se ve obligado a coger la última cerilla es el que pierde).

NIM PARA CALCULADORA Este es un juego de calculadora para dos jugadores. Se introduce cualquier número en la pantalla de la calculadora, por ejemplo 78,256. Los jugadores hacen turnos para restar números de éste, pero cada vez puede cambiarse uno y solamente un dígito del número. Así

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78,256 – 0,003 = 78,226 está permitido, pero

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78,256 – 5,1 = 73,156 no lo está. Tampoco la pantalla debe volverse nunca negativa. El primer jugador en llegar a cero gana.

Jugador A B A B A B A

Número de comienzo 78,256 Botones Presionados Pantalla calculadora -8= 70,256 - 70 = 0,256 - 0,05 = 0,206 0,106 - 0,1 = - 0,005 = 0,101 - 0,1 = 0,001 0 - 0,001 = Por lo tanto, A gana.

J G

Club Matemático

Que les sea placentero y hagan un buen uso de estos juegos con sus alumnos, o con sus familiares y amigos. Afectuosamente,

Este juego está tomado de los materiales del Shell Center uno de cuyos miembros, M. Swan, estuvo impartiendo algunos cursos entre nosotros con materiales y recursos como éste que presentamos aquí.

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 149–150

Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números

Carlo Frabetti

E E R M A T E C A S

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Con la introducción de personajes de ficción, protagonistas de Alicia en el País de las Maravillas, el autor aborda numerosos contenidos matemáticos presentes en el currículo de los primeros cursos de la ESO, sobre todo asociados a los bloques de Números y Álgebra (BOC nº 113, del 7 de junio de 2007).

Alicia es una adolescente que tiene auténticas pesadillas con las matemáticas. Charles Dodgson se introduce en sus sueños, ganándose su confianza a partir de una situación que a todos los jóvenes interesa, su cumpleaños. A partir de aquí le explica la existencia de diferentes sistemas de numeración, de dónde surge la necesidad de crearlos y cómo funciona el que nosotros utilizamos en la actualidad.

Este libro tiene dos personajes principales: Alicia, una joven que podría ser cualquiera de los estudiantes que nos encontramos a diario en las aulas y que sienten verdadera aversión o temor a las matemáticas y Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll, cuya imagen se puede asociar con aquellos profesores que intentan desintegrar esa idea de la mente de los alumnos, enseñándoles que no todo lo relacionado con las matemáticas tiene por qué ser complicado, que muchos de los conceptos matemáticos estudiados están muy cercanos a nuestra vida cotidiana y los usamos con frecuencia y que otros podemos emplearlos, incluso de forma divertida.

Santillana Ediciones Generales, S. L Colección: Alfaguara juvenil ISBN: 978-84-204-6495-4 132 páginas

Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números. Carlo Frabetti Reseña: J. Perdomo Díaz

Del bloque de Números aparecen los siguientes contenidos:

Del bloque de Álgebra, los contenidos que se trabajan son:

Número primo, factorial de un número, fracciones, fracciones equivalentes, número negativo, porcentajes y su relación con la fracción y los números decimales. (1º ESO) Potencias de exponente natural. Operaciones con potencias. (2º ESO)

Uso de las letras para representar un número desconocido fijo o un número cualquiera. Uso del lenguaje algebraico, utilizando la letra como variable. (1º ESO) Uso del lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones. Obtención de fórmulas y términos generales basados en la observación de pautas y regularidades. (2º ESO) Análisis de sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y geométricas. Transformación de expresiones algebraicas. (3º ESO)

Parte de este libro está dedicado, además, al análisis de ciertos conceptos o procedimientos matemáticos con los que, tradicionalmente, surgen dificultades. En este sentido se presenta al cero como un personaje con cierto poder “mágico”, a los números negativos como algo que surge de forma natural y a la simplificación de fracciones como un procedimiento muy útil en la vida cotidiana. También se hace una pequeña incursión en el planteamiento de diferentes estrategias de resolución de problemas. Charles Dodgson construye la criba de Eratóstenes para obtener números primos, pero también la utiliza para trabajar las “temidas” y “odiadas” tablas de multiplicar. Además, con la introducción de la propiedad conmutativa de la multiplicación de números naturales, simplifica la tediosa tarea de aprenderse esas tablas. Por otra parte, realiza actividades en las que se analizan patrones para conseguir realizar operaciones que, a priori, parecen muy complicadas. Incluso explica la forma en que Gauss consiguió sumar en poco tiempo todos los números del uno al cien, dando lugar a la fórmula para calcular la suma de los términos de una progresión aritmética. La capacidad memorística de Alicia queda demostrada al establecer ciertas relaciones entre las unidades de volumen y de capacidad, así como al realizar cambios de unidades, pero su capacidad de razonamiento queda en entredicho al preguntársele el por qué de dichas equivalencias.

La forma en que está redactado este libro, permite que pueda ser utilizado de diversas maneras en el aula. Serviría como material para el desarrollo del Plan Lector, obligatorio desde todas las áreas. Por otra parte, podrían trabajarse capítulos del mismo por separado, integrándolos en el desarrollo de las clases tradicionales, como introducción a los diferentes conceptos matemáticos. Además se pueden considerar algunas de las partes del libro, por ejemplo las dedicadas a los trucos de “matemagia” para que los alumnos diseñen actividades para realizar en días conmemorativos, como puede ser el Día Mundial de las Matemáticas.

Finalmente se utilizan los conocimientos matemáticos para la construcción de cuadrados mágicos y de pequeños trucos de “matemagia”, como la suma de determinados términos de la serie de Fibonacci.

Un buen profesor de matemáticas ha de tener inteligencia, sentido del humor y ganas de enseñar, tres cualidades poco frecuentes, por desgracia. (Frabetti, C.)

Josefa Perdomo Díaz (I.E.S. Adeje 2)

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NÚMEROS

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 151–153

32 – 2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática

Jesús M.ª Goñi Zabala

E E R M A T E C A S

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Las siete ideas clave que se exponen en él, pueden ser agrupadas en tres temáticas, que además de ser importantes desde el punto de vista del desarrollo curricular, son importantes en la mejora de la capacitación docente: el currículo de matemáticas, su desarrollo y la formación de los profesores.

Este libro es una herramienta que todo profesional de la educación debe tomar en cuenta cuando se quiere reflexionar sobre el papel que juegan las competencias básicas en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Desde hace varios años las evaluaciones internacionales como el proyecto PISA, liderado por la OCDE, ha sacado a relucir las debilidades en el sistema educativo, especialmente en el desarrollo de ciertas competencias básicas y particularmente, en el desarrollo de las competencias relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas. En este marco, diversas instituciones se han inclinado a la reforma de sus currículos en los que se busca incorporar el aprendizaje basado en competencias. Para abordar los nuevos retos educativos se ha realizado un esfuerzo considerable, sin embargo, uno de los retos que quedan por enfrentar es fomentar una adecuada comunicación de los objetivos y el desarrollo de la competencia matemática en la escuela.

Graó, de IRIF, S.L. Año 2008 ISBN: 84-7827-630-1 263 páginas

32 – 2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática. Jesús M.ª Goñi Zabala Reseña: C. Guerrero Ortiz

1. El currículo de matemáticas

A partir de una reflexión donde se destaca que la enseñanza de las matemáticas no se corresponde con lo que la sociedad actual requiere y, que en el contexto escolar, las matemáticas de los últimos cursos de enseñanza obligatoria son más un filtro de selección que una herramienta al servicio de los fines que la sociedad demanda, se argumenta que las matemáticas deben jugar el papel de herramientas para el desarrollo personal, social, profesional y académico de los ciudadanos. Lo que justifica el concepto de competencia matemática como “uso del conocimiento matemático necesario para el pleno desarrollo de la persona en el medio social y profesional”.

Dentro de esta temática están comprendidas las ideas clave 1, 2 y 3. Se discute de manera general sobre la enseñanza de las matemáticas en la actualidad.

Esta temática engloba las ideas clave 4, 5 y 6. Estas ideas comprenden desde la finalidad que se persigue con la enseñanza de las matemáticas hasta los objetivos de la evaluación.

La evaluación tiene lugar como un medio para inducir cambios en el currículo, lo que plantea mejorar tales procesos para innovar el currículo.

Se considera la educación como parte del proceso comunicativo y no como una mera transmisión de información, por lo que la finalidad de la enseñanza de las matemáticas es la educación matemática y no sólo la transmisión de datos, reglas y algoritmos. De manera que se hace necesario organizar los currículos desde una visión educativa y no sólo instructiva. Así, para lograr los aprendizajes matemáticos esperados es necesario entender el currículo como una propuesta de tareas que hay que realizar.

3. La formación de los profesores de matemáticas

2. El desarrollo del currículo

Constituye la idea clave 7. Se pone de manifiesto parte de la problemática existente en la formación del profesorado.

Así mismo, sugiere que la formación debería organizarse pensando en los intereses de quienes la reciben y no sólo de quienes la imparten. Por lo que el desarrollo de un currículo por competencias exige profesionales que estén capacitados para motivar su desarrollo. La temática descrita anteriormente se desarrolla a lo largo del texto mediante el planteamiento de siete preguntas sobre el desarrollo de la competencia matemática y siete ideas clave para responderlas:

1. ¿Cuál es la razón que justifica la presencia de las matemáticas en el currículo?

Idea clave 1: La enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido asociada a los currículos que propone y promueve 2. ¿Desde qué perspectiva deben definirse las finalidades que deben ser logradas por la enseñanza de las matemáticas?

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32 – 2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática. Jesús M.ª Goñi Zabala Reseña: C. Guerrero Ortiz

Idea clave 2: Los usos sociales de las matemáticas son los que deben definir los objetos de su enseñanza y no la epistemología de esta ciencia. 3. ¿Por qué debe centrarse la enseñanza de las matemáticas en el desarrollo de la competencia matemática? ¿Qué debemos entender por competencia matemática?

Idea clave 3: El objetivo de la enseñanza de las matemáticas escolares es el desarrollo de la competencia matemática.

4. ¿Por qué hay que ir más allá de la instrucción en matemáticas, hacia una educación matemática?

Idea clave 4: La educación matemática se basa en la comunicación y debe ir más allá de la mera instrucción transmisiva.

5. ¿Cuál es la clave en el cambio metodológico que hay que realizar para pasar de la situación actual a otra en la que la finalidad sea el logro de la competencia matemática?

Idea clave 5: Las tareas a realizar son la clave para el desarrollo de los aprendizajes.

Idea clave 6: La evaluación de las competencias determinará el currículo de matemáticas.

6. ¿Qué palanca de las que disponemos es la más eficaz para inducir cambios en los currículos de matemáticas?

Idea clave 7: La competencia profesional de los docentes de matemáticas es el factor más importante para la mejora de su enseñanza.

7. ¿Qué papel juegan los docentes y su formación en los cambios que deben llevarse a cabo? ¿En qué dirección debería ir la formación de los docentes en matemáticas?

Sin duda este libro es recomendable para el profesorado en activo y profesores en formación, ya que muestra de una manera breve el estado actual de la enseñanza de las matemáticas y ofrece posibles vías para enfrentar los retos educativos que la sociedad plantea.

Carolina Guerrero Ortiz. (UNAM, CCH-Vallejo. México, D.F.)

T I C A S

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ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, páginas 155–159

Congresos

VII Conferencia Argentina de Educación Matemática Sociedad Argentina de Educación Matemática 8 al 10 de octubre de 2009 www.soarem.org.ar

F O R M A C I O N

10º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa Asociación Colombiana de Matemática Educativa 8 al 10 de Octubre de 2009 San Juan de Pasto. Universidad de Nariño http://ecme10.udenar.edu.co

E S

IV Seminario Internacional de Investigación en Educación Matemática Universidad católica de Brasilia – UCB 25 al 28 de octubre del 2009 www.sbem.com.br

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

II congreso internacional de didácticas. La actividad docente: Intervención, Innovación e Investigación. 3 al 7 febrero de 2010 Gerona

8º International Conference on Teaching Statistics ICOTS 8 11 al 16 de Julio de 2010 Universidad Nacional de Luján Ljubljan. Eslovenia http://icots8.org/

XIII Conferencia Iberoamericana de Educación Matemática 26 al 29 de junio de 2011 Universidad Federal de Pernambuco Recife. Brasil http://www.ce.ufpe.br/ciaem2011

Información

El Proyecto Klein Instituciones promotoras La Unión Matemática Internacional (IMU, ver http://www.mathunion.org/) es una organización internacional científica, no gubernamental y sin ánimo de lucro, creada hace 90 años y encuadrada en la ICSU (International Council for Science). La mayoría de los países 1 tienen un representante ante la IMU. Por ejemplo, España esta representada en IMU a través del Comité Español de Matemáticas (CEMAT, ver http://www.ce-mat.org/). La Unión Matemática Internacional, entre otras actividades de pública notoriedad, organiza cada cuatro años el Congreso Internacional de Matemáticos (el último, en Madrid 2006) y otorga, 1

Ver la relación de países miembros de IMU en http://www.mathunion.org/members/countries/list/sorted-by-names/

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durante el mismo, las Medallas Fields, equivalentes a los Premios Nobel en matemáticas (nótese que no existe Nobel en la categoría de matemáticas). La Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas (ICMI, ver http://www.mathunion.org/icmi) es el órgano de IMU encargado de los temas relacionados con la enseñanza de las matemáticas en los distintos niveles educativos. Su primer presidente y fundador fue el eminente matemático alemán Felix Klein 2 (1849-1925). ICMI organiza cada cuatro años un congreso internacional de educación matemática (ICME), como el celebrado en Sevilla en 1996. En España, por ejemplo, la representación ante ICMI se estructura a través de una subcomisión del CEMAT, (ver http://www.ce-mat.org/educ/educ.htm) siguiendo el modelo IMU/ICMI.

La obra de Klein

A C I O N

Una breve reseña histórica aparece en http://www.gap-system.org/%7Ehistory/Biographies/Klein.html F. Klein: Matemática elemental desde un punto de vista superior. Traducción al español de Jesús Fernández. Nivola, Madrid. (2006).

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Se trata de producir, a lo largo de cuatro años, una serie de materiales de diversa naturaleza (libros; recursos de Internet: wikis, foros, portales; audiovisuales, etc.), para profesores de secundaria, que ayuden a trasmitir la amplitud y vitalidad que la investigación matemática ha alcanzado a lo largo del siglo XX, conectándola con el currículo de la enseñanza secundaria. Se persigue, en definitiva, acercar al currículo escolar los múltiples –y en muchos casos, insospechados– ámbitos de presencia de las matemáticas en la sociedad actual, alcanzados gracias a la investigación desarrollada durante los últimos cien años y que, por tanto, no pudieron ser reflejados en la obra original de Klein. El acuerdo

El Proyecto Klein es una iniciativa conjunta de IMU/ICMI para desarrollar una versión actualizada (en la forma y en el fondo) del hito que supuso la publicación, en 1908, del libro de F. Klein “Matemática Elemental desde un punto de vista superior”.

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

El Proyecto Klein

Félix Klein trataba de remedar, en su obra, la falta de conexión –«…desde principios del siglo XIX…»– entre la enseñanza de las matemáticas no universitarias y los resultados de la investigación. Pero han pasado otros cien años desde 1908 y a lo largo del siglo XX las matemáticas han soportado una crisis de fundamentos, se han abierto, con el advenimiento de los computadores, a nuevos ámbitos de actividad, han logrado resolver problemas centenarios… Distintas ramas de las matemáticas, como la Estadística y la Investigación Operativa, han surgido (y otras han desaparecido en la práctica) en este periodo, así como nuevos e inimaginables –hace cien años– ámbitos de aplicación…

La obra de Klein marcó, en muchos sentidos, un hito. Se pueden mencionar las múltiples traducciones (la más antigua en castellano que conocemos, la emprendida por el precursor del CSIC en 1927, que se encuentra en vías de digitalización en este momento) y ediciones de la misma –dos recientes: en castellano, la de la editorial Nivola 3 , en el año 2006, o la de la popular editorial Dover, en 2004, en inglés. Pero, sobre todo, constituye una de esas raras ocasiones en las que un investigador de primera fila escribe una obra específicamente dirigida a facilitar a los profesores de secundaria una visión estimulante y viva sobre el contenido del currículo.

Hace cien años, en 1908, el catedrático de la Universidad de Göttingen, prof. Félix Klein, publicaba una obra magistral, titulada «Matemática elemental desde un punto de vista superior», con la declarada intención de contribuir a la mejora de la enseñanza de las matemáticas en Alemania, mostrando la repercusión, en la consideración de los objetos matemáticos de la enseñanza no universitaria, de los avances de esta disciplina a lo largo del siglo XIX.

de IMU/ICMI contempla la edición de los distintos materiales en alemán, chino mandarían, español, francés e inglés, al menos. El carácter universal (destinado a todos los profesores de secundaria del mundo) y enciclopédico (abarcando todas las ramas de la matemática) del objetivo marcado para el proyecto Klein exigirá recabar múltiples colaboraciones y patrocinios y, también, lograr la implicación de investigadores y docentes de diversas especialidades y niveles educativos. Entre otras acciones está prevista la organización de una serie de “Conferencias Klein” para facilitar la difusión del proyecto y la participación en el mismo de distintos colectivos.

Tras la aprobación del proyecto por los comités ejecutivos de ICMI e IMU en marzo y abril de 2008 4 , respectivamente, se ha procedido a constituir la comisión que ha de diseñar y llevar a término, en los próximos cuatro años, dicho proyecto, formada por ocho personas, cuatro propuestas por el comité ejecutivo ICMI, cuatro por el comité ejecutivo IMU, con un coordinador –W. Barton, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Auckland, Nueva Zelanda– consensuado por ambas partes. La Comisión Klein está constituida en la actualidad por los profesores

La Comisión Klein

Llamada a la participación. Primer comunicado de la Comisión Klein. La primera reunión de esta comisión, recientemente convocada, ha tenido lugar a finales del pasado mes de mayo, en Paris. En la misma se aprobó la difusión de un texto común, difundiendo el proyecto y convocando a la participación en el mismo, que traducimos en los siguientes términos:

M R

Se estima que la comisión mantendrá un par de reuniones anuales, y que organizará dos o tres conferencias para recabar ideas y/o difundir la marcha de sus trabajos. Además la comisión distribuirá sus miembros en algunas subcomisiones creadas para atender diversos aspectos concretos (creación de una serie de DVD’s, desarrollo de una wiki, etc.) del trabajo. Dichas subcomisiones deberán, también, establecer un calendario de reuniones.

• Michèle Artigue, Universidad de Paris VII, Francia • Ferdinando Arzarello, University de Turín, Italia • Graeme Cohen, Universidad Tecnológica, Sydney, Australia • William McCallum, Universidad de Arizona, USA • Tomás Recio, Universidad de Cantabria, España • Christiane Rousseau, Universidad de Montreal, Canadá • Hans-Georg Weigand, Universidad de Wurzburg, Alemania

El proyecto Klein En el año 2008, IMU e ICMI aprobaron la puesta en marcha de un proyecto para revisar la obra de Felix Klein "Matemática Elemental desde un punto de vista superior". Se trata de la elaboración de un libro, dirigido a profesores de enseñanza secundaria, que fuese capaz de trasmitir la amplitud y vitalidad que la investigación matemática ha alcanzado a lo largo del siglo XX, conectándola con el currículo de la enseñanza secundaria. 4

http://mathstore.gla.ac.uk/headocs/doc.php?doc=84Barton_B.pdf

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NÚMEROS

El equipo internacional que ha de diseñar este proyecto, la llamada Comisión Klein, se ha reunido recientemente por primera vez. La Comisión aprobó la realización de un libro de cerca de 300 páginas, con el objetivo de inspirar a los profesores de secundaria en la tarea de acercar a sus estudiantes a un panorama más completo sobre el creciente y complejo papel de las matemáticas en el mundo de hoy. Ese libro estaría acompañado por diversos recursos audiovisuales y web. La duración estimada del proyecto es de cuatro años.

O R M

Por ello invitamos a cualquiera que desee seguir informado sobre el desarrollo del proyecto y recibir los distintos borradores que se vayan generando, a enviar un correo electrónico a la dirección (provisional) <b.barton@auckland.ac.nz>. Un portal web sobre el proyecto se encuentra en vías de construcción.

La Comisión Klein quiere recabar la participación activa de todos aquellos que trabajan alrededor de las matemáticas, ya sean investigadores o docentes, en este proyecto que acaba de comenzar. Además de estar abierta a la recepción de comentarios por escrito, la Comisión planea organizar diversas "Conferencias Klein" en diversos lugares del mundo, donde espera recabar sugerencias y percibir la reacción de los asistentes a las mismas sobre los materiales, en fase de desarrollo y consulta, que presente. La redacción final del libro correrá a cargo de autores invitados, de probada capacidad narrativa y divulgadora.

El libro no pretende ser enciclopédico ni la última palabra en cada campo, pero con independencia de la estructura que finalmente se adopte en cada uno de sus capítulos, el texto tratará de enfatizar las conexiones entre las diversas ramas de las matemáticas y ciertos temas genéricos (como el impacto de los ordenadores). No habrá un capítulo dedicado específicamente a la didáctica de las matemáticas, pero su presencia se hará notar implícitamente en muchas ocasiones.

A E S

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• Introducción • Capítulos temáticos - Aritmética - Lógica - Algebra y Estructuras - Geometría - Funciones y Análisis - Matemática Discreta y Algorítmica - Matemáticas de la Computación - Probablidad y Estadística • Capítulos misceláneos - Intradisciplinariedad (esto es, conexiones internas) - Las matemáticas como disciplina viva en la ciencia y la sociedad - ¿Cómo trabajan los matemáticos?

En este contexto, la Comisión quiere invitar ahora a enviar comentarios sobre la siguiente elección de títulos para los capítulos del libro:

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http://www.sinewton.org/numeros

L O S A U T O R E S

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

P A R A

1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas. 2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: numeros@sinewton.org 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de revisión o publicación en ninguna otra revista. 4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características: • Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista. • Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía. • Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página. • Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen. • Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords. • Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos. • Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares. • Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones. • Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de texto (no enviarlas por separado). • Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto, ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York. o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218. o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/ 5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique. 6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.

N O R M A S

ISSN: 1887-1984 Volumen 71, agosto de 2009, página 161