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NรšMEROS Revista de Didรกctica de las Matemรกticas Abril de 2009

Volumen 70

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemรกticas


http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, página 2

Números es una revista de didáctica de las matemáticas, desde infantil hasta la universidad, aunque preferentemente atiende la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación, así como artículos sobre las Matemáticas y de divulgación matemática. En general, se debe atender a su utilidad directa en el aula, o a la formación de los profesores. También se publicarán recensiones de libros e informaciones relacionadas con la actividad docente. El principal criterio para determinar la aceptación de un trabajo será su calidad; en este sentido, debe tratar un asunto de interés, estar bien escrito y ser claro. Directores Alicia Bruno (Universidad de La Laguna) y Antonio Martinón (Universidad de La Laguna)

Comité editorial Hugo Afonso (“La Caixa”), Dolores de la Coba (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo, La Laguna), Miguel Domínguez (Instituto Educación Secundaria Garoé), Fátima García (Centro de Formación ARHAT), Fernando León (Instituto Educación Secundaria San Hermenegildo), Antonio Ramón Martín Adrián (Colegio Público Aguamansa), María Aurelia Noda (Universidad de La Laguna), Josefa Perdomo Díaz (Instituto Educación Secundaria Adeje 2), Inés Plasencia (Universidad de La Laguna).

Consejo asesor José Luis Aguiar (Instituto Educación Secundaria Agustín de Betancourt), Claudi Alsina (Universidad Politécnica de Catalunya), Abraham Arcavi (Instituto Científico Weizmann), Luis Balbuena (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo), Carmen Batanero (Universidad de Granada), Lorenzo Blanco (Universidad de Extremadura), Teresa Braicovich (Universidad Nacional del Comahue, Argentina), Juan Contreras (Inspección Educativa de Canarias), Norma Cotic (Centro de Investigación Educativa, Buenos Aires, Argentina), Manuel Fernández (Colegio Público Punta del Hidalgo), Joaquim Giménez (Universitat de Barcelona), Juan Antonio García Cruz (Universidad de La Laguna), Jacinto Quevedo (Grupo 17-29), Tomás Recio (Universidad de Cantabria), Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), Arnulfo Santos (Instituto Educación Secundaria Doctor Antonio González y González)

Edita Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Apartado 329. La Laguna. Tenerife ISLAS CANARIAS Email: administracion@sinewton.org Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas Presidenta: Ana Alicia Pérez Hernández Vicepresidente: Luis Francisco López García Secretaria General: Mª Nila Pérez Francisco Vicesecretaria: Carmen Mª Tavío Alemán Secretario de actas: Jesús Manuel Méndez Méndez Bibliotecaria: Zoraida de Armas Ravelo Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Marcos Eloy Morales Santana (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de abril, agosto y diciembre.

Foto portada: Luis Balbuena

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 3–4

Índice

Editorial Una nueva etapa para Números A. Bruno, A. Martinón

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Apertura El seudónimo de Dios José Luis Fernández Pérez

7-34

Artículos Otras deducciones o extensiones del teorema de Pitágoras a lo largo de la historia como recurso didáctico.

35-51

J. C. Barreto García

El aprendizaje de las matemáticas a los tres años: Narración reflexiva sobre la construcción de un mercado medieval

53-65

C. Castro Hernández, A. González Hueso, B. Escorial González

Derivadas y Antiderivadas F. Martínez de la Rosa

Diofanto, Hilbert y Robinson: ¿Alguna relación entre ellos? I. Hernández Fernández, C. Mateos Contreras, J. Núñez Valdés

67-74 75-87

Secciones Experiencias de aula Geometría intuitiva desde el cuarto de baño C. Duque Gómez, E. Mª Quintero Núñez

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89-104


Índice (continuación)

Problemas Problemas comentados (XXI) J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

105-113

En la red INTERGEO: una guía para profesores C. Ueno Jacue

La exportación a HTML con Geogebra P. Espina Brito

115-122 123-127

Juegos Graduación de la dificultad en los Juegos de Nim J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

129-133

Leer Matemáticas El Hombre Anumérico. John Allen Paulos Reseña: J. R. Franco Brañas

Informaciones Normas para los autores

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, página 5

Una nueva etapa para Números Alicia Bruno y Antonio Martinón, Directores Con este volumen de Números se produce un cambio en su equipo editor. Hemos querido que estén presentes la experiencia y la juventud. Pensamos que de este modo se garantiza la realización de la revista y su continuidad en el futuro. Junto a los veteranos Dolores de la Coba, Antonio Martín Adrián, Aurelia Noda e Inés Plasencia, con quienes compartimos tareas en la revista Unión, colaboraremos ahora con Hugo Afonso, Miguel Domínguez, Fátima García, Fernando León y Josefa Perdomo.

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Confiamos en seguir contando con que los autores nos remitan sus trabajos y los lectores continúen buceando en las páginas de Números.

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Deseamos que Números continúe siendo un referente de la Didáctica de las Matemáticas en todo el ámbito Iberoamericano. Tenemos la fortuna de compartir una lengua con más de trescientos millones de personas y eso permite que nuestra revista pueda nutrirse de modo natural con los trabajos de los profesores de ambas orillas del Atlántico y servir, junto a las demás revistas de Educación Matemática que se editan en castellano, a la mejora de la enseñanza y el aprendizaje.

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Cerca de un centenar de profesoras y profesores realizarán las labores de evaluación de los trabajos que se remitan a Números. Su papel será decisivo para garantizar la calidad de lo que publiquemos.

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En el Consejo asesor también están otras personalidades del mundo de la Educación Matemática: Claudi Alsina, Abraham Arcavi, Carmen Batanero, Lorenzo Blanco, Teresa Braicovich, Norma Cotic, Joaquín Giménez, Tomás Recio y Victoria Sánchez. Les agradecemos a todos ellos su generosa colaboración con la revista.

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Contamos con un Consejo asesor, del que forman parte los antiguos directores de la revista: Luis Balbuena, Manuel Fernández, Arnulfo Santos, José Luis Aguiar, Juan Antonio García Cruz, Juan Contreras y Jacinto Quevedo. De este modo reconocemos el trabajo de los anteriores equipos editoriales.

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Es hora de reconocer los méritos de los que han hecho posible esta realidad de tantos años. De los miembros de los equipos editoriales, de los consejos de asesores, de los evaluadores, de los autores y de los lectores. Pero, sobre todo, de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas, que con una tenacidad poco común ha mantenido económicamente la revista y ha apoyado la idea de publicar este poderoso vehículo de comunicación profesional y científica.

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Números nació en abril de 1981, así que tiene ya 28 años. A su vez, es continuadora del Boletín de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas, que se inició en noviembre de 1978. Somos, por tanto, herederos de un trabajo intenso y exitoso de muchos otros colegas.


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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 7–34

El seudónimo de Dios 1 José Luis Fernández Pérez 2

A María José, con amor y… fortuna. Excelentísimo y Magnífico Rector de la Universidad de La Laguna. Excelentísimos e ilustrísimos señores. Compañeros, alumnos, amigos.

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Discurso de José Luis Fernández Pérez en el acto de investidura como doctor honoris causa por la Universidad de La Laguna, celebrado el 11 de febrero de 2009. NÚMEROS agradece al autor que haya permitido de inmediato la reproducción de su texto, así como al Servicio de Publicaciones de dicha universidad. 2 Departamento de Matemáticas. Universidad Autónoma de Madrid (joseluis.fernandez@uam.es). 3 Ustedes. 4 Así da comienzo el discurso de ingreso de don Benito Pérez Galdós en la Real Academia Española. 5 Como gustaba confesar Guillermo Cabrera Infante: –¿Puedes hablar en serio?–No de cosas tan serias. I’m sorry. He nacido para el chiste y la chacota. 6 En su artículo La confabulación del azar, Juan Goytisolo se maravillaba ante la concatenación de eventos azarosos de los que él y su Obra (sí, con mayúsculas) eran fruto, en particular, de aquella carta que milagrosamente llegó húmeda y casi ilegible tras cruzar el Atlántico para concertar el matrimonio de su abuela cubana con su abuelo peninsular, o viceversa.

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¿Cómo es que alguien decide, es un decir, dedicarse a las matemáticas? En septiembre de hace unos cinco mil años, me acercaba entre ilusionado y amedrentado, como un K cualquiera, por los pasillos del antiguo edificio central de la Universidad de La Laguna, que se me antojaba Castillo, hacia la ventanilla pertinente cargado de certificados, de pólizas y timbres, de aquellos mágicos arcanos que eran los Papeles de Pagos al Estado y de impresos de variada índole que con esmero casi había completado; una solitaria y humilde casilla restaba por rellenar: la correspondiente a la carrera elegida. No, no había decidido aún (o al menos así me esforzaba en convencerme en ingenua autosugestión) si me matricularía en Derecho, para ser abogado, o en Matemáticas, para ser, ¡puf!, ¿qué?, ¿matemático? Por

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Creo y espero que esa fascinación sin descuento por la estética argumental y la capacidad de codificación de las Matemáticas pueda quedar cabalmente ilustrada con una charla sobre el azar, al gusto matemático y aderezado con unas gotas de infinito. Ese azar que lleva confabulando 6 y conspirando sin descanso desde tiempo inmemorial para que todos nosotros, ustedes y yo, y, créanlo, hasta nuestro dilecto Rector, nos encontremos aquí y ahora en esta, para mí, abrumadoramente gozosa ocasión.

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Pero uno debe asumir humildemente las querencias y limitaciones, que los años no han hecho sino acrecentar, asumir que es algo dado a la chacota 5 , al román paladino y a la charla de café, y que, incluso en ocasión como ésta, de liturgia centenaria, no debe aspirar más que a mantener una distendida y amable conversación en la que compartir con ustedes, con modesta voluntad de desvelar someramente, si acaso, la fascinación por el arte que cultiva: las Matemáticas.

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Cuantos recibieron aquí honores semejantes a los que os dignáis tributarme en esta solemnidad, habrán de fijo sentido menos turbación que yo, ante el deber de disertar sobre un tema [...] digno de vosotros 3 y de esta ilustre casa. Ordenan la cortesía y la costumbre que al ingresar en ésta, […] se hagan pruebas de aptitudes críticas y de sólidos conocimientos en las varias materias del Arte 4 .


El seudónimo de Dios J. L. Fernández Pérez

aquel entonces había desaparecido el llamado selectivo de ciencias, y no se había instaurado aún la perversa selectividad 7 , de manera que, casi, se podía elegir la carrera que se deseara. Desde luego uno sabía, más o menos, a qué se dedica un abogado y cuál es su función social, y si le quedaban dudas podía consultar con Perry Mason. Pero, ¿un matemático? Ni idea. No les mantendré más tiempo sometidos a este angustioso suspense que sé que les está mortificando hasta la desazón; sí, marqué “la cruz de las matemáticas” 8, y no, ninguna zarza ardiente en aquellos pasillos desveló en aquel momento arrebatadora vocación alguna.

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¿Qué inclina a uno a dedicarse a las matemáticas? El profesor Bermejo, que en el Quisisana de los escolapios se esmeraba en inculcarnos las requeridas destrezas en Álgebra, Geometría y Cálculo, nos retaba continuamente con ejercicios y problemas que puntuaba directamente sobre la pizarra con ristras de más y menos; eficiente evaluación continua donde las haya. Me preparaba concienzudamente, me entrenaba con denuedo, disfrutaba traduciendo a ecuaciones problemas de paseantes impenitentes, de trenes destinados a cruzarse a horas intempestivas o de cuadrillas de albañiles menesterosos 9 , y contrastando cómo las soluciones obtenidas encajaban perfectamente con lo exigido en el enunciado. Se me daba bien, claro, aún cuando mi habilidad con la manipulación numérica concreta rayase, y raye, con la discalculia.

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Ese encaje perfecto, esa seguridad deductiva de axiomas innegables, resultaba, resulta, reconfortante. Ernesto Sábato, justificaba su dedicación primera a las ciencias físico-matemáticas en que …buscaba en el orden platónico el orden que no encontraba en mi interior… O en el exterior, añado. Un mundo ideal, paralelo, perfectamente seguro, irrefutable, indiscutible, inopinable. 10

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Universalmente perversa. Comentario de pasada en un curioso libro: The battle for wine and love or How I saved the World from Parkerization, de Alice Feiring: The idea of buying a wine –so sensitive a product– because it had 98 Parker points seemed silly, like going into a profession because the numbers on an aptitude test say you should. 8 Vaya título para una serie de quinceañeros. 9 En su Compendio de Matemáticas puras y mixtas para instrucción de la juventud de 1794, Francisco Verdejo propone: Se sabe que 8 hombres en 6 días hacen 200 varas de excavación, se pregunta ¿12 hombres en 5 días cuánta excavación harán en los mismos términos? Por cierto, más adelante, tras explicar una regla de aritmética comercial, confiesa: Esta regla tan famosa como inútil llaman regla del día fixo, franqueza derogatoria harto curiosa pues ese concepto de día fixo no es otro que la llamada duración de Macaulay, que es pieza esencial hoy en día en la gestión de las carteras con las que las compañías de seguros de vida invierten las primas para cubrir los compromisos asumidos en las pólizas. 10 Tras un seminario técnico de Matemáticas, las preguntas no discuten lo apropiado del tema o su posible interés, ni el enfoque ni las premisas del análisis, sino que suelen requerir alguna precisión sobre el argumento o si es posible alguna determinada generalización o si se puede relajar alguna hipótesis. Imaginen pues el choque cultural que supuso para uno descubrir la figura del “discussant” habitual en las presentaciones en Economía.

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Así que aún cuando hubo algún elemento de azar en mi acercamiento a las Matemáticas, mi decisión estaba dirigida, en plan diseño inteligente, como dicen algunos, por la conciencia de cierta habilidad, por la atracción de una selecta apreciación estética, y por un ansia de reconfortante seguridad. Y quizás por cierta predestinación; y si no vean con qué se entretenía mi abuelo en sus ratos de asueto en las hojas de lo que ahora llamaríamos control de calidad de la fábrica de armas de Trubia.

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De aquél espléndido y eficiente semestre 11 lagunero 12 recuerdo con nostalgia un momento de confirmación gestionando infinitos. Nos habían explicado por qué cualesquiera bases de cualquier espacio vectorial de dimensión finita tienen todas el mismo número de elementos. De pasada se mencionaba que lo mismo ocurría aunque la dimensión fuera infinita. Aquello había que averiguarlo y entenderlo. Pregunté, me atendieron pacientemente, y arropado con el Course d’Analyse de Laurent Schwarz y el Naive Set Theory de Paul Halmos disfruté con la elegancia de la argumentación y redacté a mi gusto y con esmero unas notas, que aún conservo, detallando la demostración.

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INFINITO PRESTIDIGITADOR

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A mí no deja de maravillarme 14 cómo es que compartimos nociones tan sumamente abstractas como la de esfera perfecta; y es noción aprendida, porque por mucha voluntad y perseverancia con la que la Naturaleza se esfuerce en crearlas, ¡ay!, no logra más que burdas imitaciones.

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Semestre tan sólo gracias a que el mesiánico ministro de Educación de Carrero Blanco (y antes rector de la Universidad Autónoma de Madrid) Julio Rodríguez había alumbrado su efímero calendario académico. 12 En que disfruté de las enseñanzas de extraordinarios profesores, entusiastas y capaces de motivar e ilusionar, como José Méndez, Antonio Martinón, José Montesinos. Pensaba al final del curso en continuar la carrera en la península. Una casual conversación de pasillo con Martinón me inclinó por la Universidad de Zaragoza. ¡Ay!, el azar. 13 Para muestra: The Emperor’s New Mind, de Roger Penrose. 14 ¡Cándido que es uno! 15 Incluso circular, querido Larry Zalcman†. † Véase la nota a pie de página número 15. 17 Cierto, quizás hayamos sentido el aleteo del infinito, de la mano acaso de la angustia de la nada o del vértigo del vacío, su antagónico compañero, pero ese es otro infinito.

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Nada más abstracto que el infinito. Me refiero al infinito fetén, el infinito actual. ¡Cuán cómodos estamos los matemáticos manejando a discreción el infinito y el proceso de inducción! 16 Pero, ¿quién lo ha visto, quién lo ve?, y lo que es más importante en lo que sigue, ¿quién ha completado la tarea de numerar infinitos boliches uno tras otro? 17

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Claro es que compartimos nociones abstractas varias, pero no son precisas, de límites nítidos como los abstractos matemáticos y si no les parece que sea así, abramos un debate y arremanguémonos dispuestos a discutir sobre la noción de nación.

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La Matemática es ciencia extrema –no lo duden– pues trata de objetos abstractos virtuales que no existen en la vil, mundana y cenagosa realidad, sino que pertenecen al ámbito más elevado, puro e inmaculado de las ideas. No les extrañe que casi dogmáticamente, y a estas alturas de la historia del conocimiento, los matemáticos, en general, se consideren 13 , o se comporten como si se considerasen, epistemológicamente platónicos.


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La cosa viene de largo. Dejemos a un lado al patético Aquiles, el de los pies ligeros, en su infructuosa y eterna persecución de la tortuga en aquella carrera amañada por Zenón y lean cómo San Agustín se anticipaba a Giuseppe Peano y con casi nada construye los números naturales camino del infinito: 1. Porque el que dice: sé que estoy vivo, dice que sabe una única cosa. 2. Pero si ahora dice: sé que sé que estoy vivo, ahora ya sabe dos. 3. 4. 5… Pero saber estas dos ya es en sí una tercera cosa que sabe. Y una cuarta, y luego una quinta, y así sucesivamente. ∞. Pero como no se puede comprender una adición innumerable de cosas, ni decir una cosa innumerables veces, lo englobamos en un único concepto y decimos que se trata de un número infinito.

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O recuerden a David Hilbert, santo patrón de los técnicos de turismo, capaz de alojar en el abarrotado hotel infinito que dirige a un número infinito de turistas que acaban de descender del pertinente autobús infinito y se agolpan en el mostrador de la recepción. Sin arredrarse, con enérgica autoridad, pero suma corrección:

acomodando así a todos los huéspedes originales (en las habitaciones pares), disponiendo al tiempo de infinitas habitaciones libres (las impares) para los recién llegados. El infinito matemático se presta a verdaderas exhibiciones de prestidigitación como ésta de la que da cuenta Zenón, que fue fruto de una agotadora, interminable y recurrente conversación con su amigo, el extenuado Sísifo 18 , y que debiera ser al menos tan conocida como la de la carrera. 19 En una bucólica tarde de estío, Aquiles –el de los pies ligeros– y la tortuga compartían a la sombra de un sicómoro una modesta colación de olivas de Kalámata, pan reseco y vino de retsina del Ática que Aquiles se había traído en un pellejo. Como marcaba el canon de cortesía, la conversación revoloteó cual perdiz mareada sobre asuntos sin importancia antes de abordar el negocio de la cita, que no era sino un experimento mental, un reto que la tortuga le iba a proponer a Aquiles. No se habían olvidado de traer cada uno, como habían acordado por móvil 20 , sus zurrones eleáticos 21 . En el zurrón de Aquiles había infinitos boliches numerados de 1 en adelante 22 , mientras que el zurrón de la tortuga estaba completamente vacío, y era, como cualquier zurrón eleático, capaz para infinitos boliches. El ejercicio consistía en repetir el siguiente doble trasiego: Aquiles saca dos boliches de su zurrón y los pone en el zurrón de la tortuga y luego la tortuga saca un boliche del suyo y lo pone en el de Aquiles. Cada repetición de este trasiego incrementa en uno el número de boliches del zurrón de la tortuga. Aquiles, el de los pies ligeros, siempre tan competitivo e impaciente, dispuso que los sucesivos trasiegos se ejecutaran a ritmo eleático 23 ; la tortuga no objetó. Tras un minuto de trasiegos a ese ritmo, ¡voilà!, el zurrón de la tortuga estaba, ¡tachán!… vacío. Aquiles no daba crédito, y con gesto interrogativo miró a la tor-

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¡Atención!, señores clientes, apelo a su solidaridad y les ruego, por favor, que abandonen la habitación que ahora ocupan, no olviden llevar consigo todas sus pertenencias, y pasen a la habitación que ostenta el número doble de la que ahora ocupan: los de la 1 a la 2, los de la 2 a la 4, los de la 3 a la 6, etc.

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A Zenón, ¿a quién no?, conversar con mitos le aliviaba el alma y le tranquilizaba las ansias del espíritu. Y de la que tuve noticia a través de Math Chat, de Frank Morgan. 20 En la Grecia Clásica: esclavo mensajero. 21 Zurrones filosóficos fabricados en Elea. 22 ¡Ya entramos en modo matemático! 23 El primer trasiego dura medio minuto, el segundo un cuarto de minuto, el tercero un octavo, así que en un minuto se completan infinitos trasiegos. 19

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tuga; la inicial perplejidad devino en mosqueo en cuanto se percató de la sonrisita socarrona de la tortuga.

¿Qué había pasado? En el primer trasiego, el pulcro y metódico Aquiles le pasó los boliches 1 y 2, en el segundo el 3 y el 4, luego el 5 y el 6, y así sucesivamente. La tortuga, por su parte, le devolvió el 1 en el primer trasiego, el 2 en el segundo, el 3 en el tercero, y así sucesivamente. Asombroso, o al menos contra intuitivo24 : el número de boliches en el zurrón de la tortuga se fue llenado hasta…quedar vacío. 25 Aquiles, dolido, pasó la noche en vela reflexionando. La clave –se dijo– es que la tortuga va eligiendo qué bola me devuelve. A la tarde siguiente, bajo el sicómoro, Aquiles exigió repetir el juego, pero ahora la tortuga elegiría la bola a devolver con los ojos vendados, al azar. Repitieron la experiencia y, al final del vertiginoso minuto, el zurrón de la tortuga estaba ¿…?, otra vez vacío. Aquiles arqueó una ceja, ajustó sus sandalias y se marchó corriendo con los puños en el pecho, la frente alta apuntando al cielo, no sin antes despedirse con un gesto de la mano incapaz de articular palabra con un nudo en la garganta.

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Aquiles se hubiera adherido con entusiasmo a la admonición sin miramientos del de Hipona, desleal –visto su alarde recursivo anterior– contra los matemáticos:

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El buen cristiano deberá guardarse de los matemáticos y de todos aquellos que practican la predicción sacrílega, particularmente cuando proclaman la verdad. Porque late el peligro de que esta gente, aliada como está con el diablo, pueda cegar las almas de los hombres y atraparlos en las redes del infierno.

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Y advertidos quedan de los riesgos a que se exponen con el discurrir de estas páginas en las que, compinchados, intrigarán a sus anchas el azar, tahúr trilero que juega al despiste, y el infinito, ese tragaldabas pantagruélico.

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EL AZAR

Se sintió como si le hubiesen quitado la tapadera que cubre la vida, permitiéndole ver su mecanismo. Flitcraft cae en la cuenta de que el mundo no es un sitio tan racional y ordenado como él creía, de que ha estado equivocado desde el principio y de que jamás ha entendido ni palabra de lo que ocurría en él. Es el azar quien gobierna el mundo. Lo aleatorio nos acecha todos los días de nuestra vida; una vida de la que se nos puede privar en cualquier momento, sin razón aparente. 24

La intuición se educa, como el gusto. Si la tortuga hubiera devuelto el 2 en el primero, el 4 en el segundo, etc, el zurrón de la tortuga se hubiera quedado al final con los boliches impares. 26 Tu lo llamas azar, yo lo llamo destino; en El hombre que pudo reinar (John Huston, versión cine). 27 Que diría, dice, Antonio Lobo Antunes. 25

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El azar nos domina y nos controla, es el seudónimo que usa Dios cuando no quiere firmar 27 :

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El azar es dominio de los dioses, manifestación de su libre albedrío, de esa manía que se arrogan de juguetear con los destinos de los seres humanos. 26 Azar es lo que no logramos explicar, aquello que sucede porque sí, como sin causa, o por compleja concatenación de causas tan remotas que no alcanzamos a comprender con precisión, ni siquiera a interpretar o describir. Azar es un cajón de sastre epistemológico, esa opción de último recurso que aparece en cualquier clasificación: “ninguna de las (explicaciones) anteriores”.


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de La noche del oráculo de Paul Auster 28 . Azar es aquel anillo que en la película Match Point de Woody Allen se regodea voluptuosamente, en un giro casi sin fin, a cámara lenta, antes de marcar sin remedio las vidas futuras de los protagonistas de la historia, sin que ellos lo sepan, aunque sí el espectador que todo lo ve como un semidiós. O esas dos tramas, dos vidas paralelas, de Helen que emergen de la dicotomía de cruzar o no unas caprichosas Sliding doors de un vagón de metro de Londres. Atreverse siquiera a investigar las leyes que acaso pudieran regir el azar es desafiar a los dioses, invadir sus dominios. 29 Así lo entendía el inquisidor de El puente de San Luis Rey de Thornton Wilder quien, sicario implacable de la divinidad afrentada, persigue y logra que se condene a la hoguera a Fray Junípero, quien se mortificaba intentado descubrir qué designios (divinos) habían hecho converger sobre el puente las líneas de vidas de seis personas (justo esas seis) para fallecer cuando éste se derrumbó: Acaso un azar, acaso un designio.

Los matemáticos tardan en atreverse con el azar. 30 Las Matemáticas buscan, como en letanía, pautas, simetrías, patrones, regularidades y las van encontrando en la forma (la geometría), el número (el álgebra), el tiempo y el cambio (el análisis). Pero el azar, ¿dónde están sus regularidades?, ¿no es justamente el azar lo que ocurre irregularmente, lo que no sigue pautas, ni obedece leyes? Las leyes del azar están en la repetición. Sin preocuparnos por las causas, conocemos fenómenos en los que no podemos predecir el resultado; pero sí sabemos que si se repitieran muchas veces, muchísimas veces –infinitas veces, todas las veces–, tenderían a tener frecuencias estables. No es algo que observemos, ni que podamos observar, es pura, ¡hum!, intuición 31 . Una intuición abstracta compartida que tanto asombraba a Jacob Bernoulli: Incluso el más estúpido de los hombres, por algún tipo de instinto natural, por sí mismo y sin instrucción alguna (lo que es realmente asombroso), está convencido de que, cuantas más observaciones se hagan, menor es el peligro de mantenerse alejado del objetivo. 32

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… CON OJOS MATEMÁTICOS

Y así es, ¿o no? Si lanzamos una moneda, digamos que 100 veces, todos esperamos, instruidos o no, que aproximadamente en un 50% de los lanzamientos debe salir cara. Y nos sorprenderíamos hasta el mosqueo 33 si aparecieran un 75% de caras. Y que si la lanzáramos, pongamos por caso, 10000 veces, nos sorprendería aún más que saliera más de un 60% de caras (o menos de un 40%). Estamos de acuerdo, ¿verdad? y ese acuerdo es de lo más sorprendente, porque se trata una valiente, casi heroica, extrapolación, porque ¿quién ha lanzando una moneda 10000 veces para anotar minuciosamente los sucesivos resultados? Espero que no muchos. 34 Pero ¿cuál es la causa de esta estabilidad?, ¿cómo es que los lanzamientos de la moneda se auto organizan y en la repetición se muestran regulares compensándose? Mágico. Imaginen que 10000 28

Gracias, Pablo Fernández, por compartir tanto. Mi historia favorita de la Teoría de la Probabilidad, con óptica más akusmática (abundo en la nota 27) que matemática, se titula justamente así: Against the Gods, de Peter L. Bernstein. 30 No creo yo que fuera por no molestar a los dioses, asunto que, muy al contrario, alguno contemplaría como un incentivo a pesar de los riesgos. 31 –Platónico estáis– Es que no como. 32 En su Ars Conjectandi, Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis. 33 Racional, ¡oiga! 34 Por el bien de la productividad del país. 29

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personas distintas, en sendos lugares distintos y distantes, lanzan a la vez una moneda: ¿qué asombroso fino y mágico mecanismo de comunicación hace que las monedas se pongan de acuerdo y que se obtenga muy aproximadamente un 50% de caras? En Matemáticas no se aspira a destejer este arco iris, se postula que esa regularidad, esa frecuencia potencial, esa probabilidad, está ahí, y sobre ese supuesto se construye y se llega lejos, muy lejos. La Ley de los Grandes Números a la que se refiere Bernoulli es, no solo una intuición o un hecho empírico, sino fundamentalmente un teorema derivado de los axiomas adecuados y que en vernáculo reza así: tenemos un experimento aleatorio que tiene dos posibles resultados alternativos, F y C, que tienen probabilidades respectivas p y, claro, p. Repetimos el experimento aleatorio de manera regular e independiente y registramos el promedio de veces en que se obtiene el resultado F. Pues bien, cuando el número de repeticiones tiende a infinito la probabilidad de que ese promedio se desvíe de p, con un margen de error cualquiera pero prefijado, tiende a cero.

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Abraham de Moivre 36 y el Marqués de Laplace 37 elevaron la teoría dando entrada al infinito, incorporando métodos analíticos de amplio espectro y convocando, por ejemplo, al teorema central del límite 38 .

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Cuyos esfuerzos en busca de una máquina de movimiento perpetuo se aprovecharon para perfeccionar las primeras ruletas. 36 Con su pionera The doctrine of chances. Por cierto, cuenta la tradición que De Moivre complementaba los escasos ingresos que le reportaban sus responsabilidades docentes con actividades de consultoría a empedernidos jugadores. Una oportunidad de pluriempleo que igual a Newton le hubiera interesado considerado. 37 Con su majestuosa Théorie analytique des probabilités. 38 O teorema del límite central, que para todo hay Blefuscudianos y Lilliputienses. 39 El 2+2 son 4 de la probabilidad.

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El cálculo de probabilidades nos provee de herramientas para estudiar eventos complejos en los que se combinan varios eventos básicos. Cuentan las crónicas que figuras intelectuales de la talla de Leibniz y D’Alembert bien se liaban con el primer cálculo básico: 39 probabilidades de los tres posibles resultados al lanzar dos monedas; ambos, argumentando literariamente, le asignaban probabilidad de

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Pero no debemos desviarnos de nuestra línea argumental adentrándonos en la apasionante historia del desarrollo de la Teoría de la Probabilidad, aunque no nos resistimos a aportar algunas pruebas sobre su lento advenimiento como que la axiomática de la teoría hubo de esperar hasta los años 30 del siglo pasado de la mano de Kolmogorov, como que el nombre de la noción central de variable aleatoria se fraguó en los años 40, o que la primera medalla Fields por trabajos en Probabilidad se demorara sesenta años en llegar: desde 1936, en que se conceden las primeras, hasta el año 2006, en que en el Congreso Internacional de Matemáticos de Madrid la recibiera el francés Wendelin Werner.

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En cualquier caso, la matematización del azar en Teoría de la Probabilidad es una recién llegada a la milenaria historia de las Matemáticas. Cuando Pascal 35 pergeñaba sus resultados de polaridad de cónicas, Fermat su teorema sobre primos como suma de cuadrados, Euler la teoría de particiones o Newton sus Principia Mathematica, sus incursiones respectivas en la Teoría de la Probabilidad sólo alcanzaban a determinar la forma equitativa de repartir lo apostado en un interrumpido juego de dados; a describir las frecuencias de los posibles resultados de la lotería genovesa; o a comparar, para el inefable Samuel Pepys, la probabilidad de obtener 3 seises cuando se lanzan 18 dados con la de obtener 2 seises con 12 dados. Simple combinatoria, conteo de casos, pero ya primeros avances domesticando el azar que permiten tomar decisiones: la consulta de Pepys iba encaminada a seleccionar entre las dos apuestas alternativas, para, es fácil suponer, tener ventaja para desplumar a incautos menos informados.


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Sorprende que en el juego de las caras no se lancen las dos monedas sucesivamente, y que las apuestas no sean por cara y cruz y por cruz y cara, habida cuenta de que las dimensiones de la nariz de Alfonso XIII pudieran favorecer ligeramente las dos caras sobre las dos cruces. Este juego alternativo al original da pie a un método de simulación de una moneda perfecta, con exactamente un 50% de probabilidad de cara (y 50% de cruz) con cualquier objeto que pueda caer sólo de dos formas, digamos A y B; una taba, por ejemplo. La receta: láncese la taba dos veces en sucesión; si sale A y luego B, declaramos cara; si sale B y luego A, declaramos cruz; mientras que si sale A y luego A o B y luego B… no vale y repetimos. Con esta receta, las caras y las cruces virtuales aparecerán con igual frecuencia. La Ley de los Grandes Números dice pues que, a la larga, la oscilación aleatoria se ha de ir compensando para estabilizarse en su promedio, en su frecuencia virtual y potencial, en su probabilidad. ¿Claro? Pero, ¡cuidado, atención!, la confabulación del azar con el infinito conduce inicuamente a interpretaciones equívocas. Lean, como primera muestra, este afamado intercambio de opiniones entre los tres mosqueteros en una bucólica tarde veraniega. 43 Athos: ¡Pardiez! 44 Diez veces he lanzado este Luis de oro y, salvo en el tercer lanzamiento, en todos ha salido la cara del Rey. En el siguiente, para compensar, ha de salir escudo. Así lo dicta la Ley de los Grandes Números: en media han de salir tantas caras como escudos. Porthos: ¡Voto a bríos! ¡Vive Dios 45 que sois mentecato! ¿Acaso creéis que la moneda tiene memoria y recuerda lo que ha ido saliendo en los lanzamientos anteriores? No hay ninguna fuerza que obligue a la moneda: la Ley de los Grandes Números a la que apelas no es una ley física, como la ley de la gravedad. Funciona justamente porque no hay nada que favorezca a la cara del Rey frente al escudo. Así que ahora, antes de lanzar la moneda, hay de nuevo la misma probabilidad de cara que de escudo. ¡Cuán fácilmente te seducen las apariencias! Aramis: ¡Por mi espada! ¡Porthos, no entremetáis a Dios en esto! Dilectos amigos, permitidme terciar en vuestra patética discusión. Porthos, vos sois el que os dejáis engañar: la realidad, lo único que sabemos, es que Athos ha lanzado la moneda diez veces y ha salido cara en nueve de ellas. Y, ya puestos, yo diría que la nariz del Rey es más pesada que el escudo. ¿Qué pensaríais si tuvierais una urna con rubíes y diamantes de la que, al sacar diez joyas al azar, aparecen nueve diamantes y un único rubí? Sin duda, que la urna contiene más diamantes

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un tercio a cada uno de esos resultados. Hubieran hecho bien en consultar a los expertos jugadores del juego de las caras de la Semana Santa de la manchega Calzada de Calatrava 40 . En el juego de las caras, con una elaborada escenificación, se lanzan dos monedas de cobre de diez céntimos de la época de Alfonso XIII, bien gastadas ya por el uso, y se apuesta a que van a salir dos caras o que van a salir dos cruces; si sale cara y cruz nadie gana y se repite el lanzamiento. Se elimina esta tercera posibilidad porque, como todo el mundo sabe, cara y cruz salen más veces que dos caras o dos cruces. Basta con eso, no hace falta saber cuánto más. En la metodología de simulación Montecarlo que John von Neumann 41 y Stanislaw Ulam desarrollaron para su uso inicial en los cálculos del proyecto Manhattan 42 de la primera bomba atómica, a este procedimiento se le conoce como método de aceptación y rechazo. ¡Bien por los calzadeños!

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Juego común en muchos otros lugares de España (o al menos de las Castillas) como el dilecto amigo, reconocido experto, en éste y tantísismos otros asuntos, Jesús María Sanz Serna me hace saber. 41 Modelo, según se dice, del Dr. Strangelove de Kubrick. 42 ¿Qué hubiera pensado Dostoievski de la asociación entre Montecarlo, simulación y bomba atómica? Bueno, ya puestos, ¿qué piensan ustedes? 43 ¡Cuán propicias son a los experimentos mentales las bucólicas tardes de verano! ¡Qué todo el año sea verano! 44 ¿O dijo Par Dieu? 45 Qué gustaba decir nuestro querido y recordado Chicho Guadalupe.

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que rubíes. Lo mismo ocurre en este caso: a la luz de la información disponible, deduciríamos que es más probable que salga cara en el siguiente lanzamiento de la moneda. 46

Así que ante la experiencia de lanzar una moneda diez veces, y obtener una sola cara, razonamientos alternativos que apelan a la ley de los grandes números sugieren, reclaman que el siguiente lanzamiento sea cara, o que sea cruz 47 o se decantan por la indiferencia. Yo, qué quieren que les diga, opto por Bayes, digo por Aramis. Porque una sola cara en diez lanzamientos es ocurrencia improbable –que no imposible– para una moneda perfecta 48 . Porque a fe que si salieran diez cruces en diez lanzamientos, antes de seguir elucubrando, exigiría examinar la moneda para cerciorarme de que tiene cara y cruz, ¿no?

Aramis, al ataque bayesiano. Conviene quizás recordar aquí que tanto Aramis como Bayes eran eclesiásticos. En El jugador, Aleixéi, el experto jugador, alter ego de Dostoievski, le espeta a la abuela intentando contener su frenética pulsión apostante: –Pero, abuelita, si el cero acaba de salir. Seguramente no saldrá ya en mucho tiempo. 48 Jaume Balmes, en El Criterio, decimonónico libro de autoayuda, se maravilla ante la capacidad del cálculo combinatorio para discernir entre los improbable y lo imposible, para a continuación sugerir que a todos los efectos prácticos… y que… ¡bizantinismos, los justos! 49 Este ejemplo está extraído del libro de John Allen Paulos, A mathematician plays the market. 50 Es decir, más del 95% de las listas generadas de esta manera tiene al menos un trozo de 10 unos consecutivos. 47

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Gyorgy Pólya ideó un fascinante experimento mental con un laboratorio virtual de urnas y bolas: la urna de Pólya.

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O si se quiere, y dándole la vuelta, cuánta significación le damos, por ejemplo, a que un jugador de baloncesto está en racha, y le buscamos una razón causal, cuando en realidad en gran medida esa racha no es sino fruto pasajero del puro azar.

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En la práctica es fácil distinguir a los tramposillos de los legales. Y es que, por ejemplo, casi todas las sucesiones legales contendrán trozos de longitud 10 de unos consecutivos. De hecho, la probabilidad de que el azar genere una sucesión con estas características supera el 95%. 50 Pero hemos de reconocer que pocos son los que, puestos en la tesitura de fabricar una lista aleatoria anotando unos y ceros, se atreverían a poner 10 unos seguidos, ¿verdad?

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• Tramposillo. Los tramposillos, por imperativo legal, deberán inventarse la sucesión para que parezca aleatoria.

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• Legal. Aquellas de esas 100 personas para las que ese apellido comience por una letra desde la A a la G han de preparar la lista comme il faut, es decir, lanzando 500 veces una moneda equilibrada y anotando en sucesión un uno cada vez que salga cara y un cero cada vez que salga cruz.

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Habrá dos métodos de fabricación: el legal y el tramposillo. Qué método de preparación va a usar cada uno va a depender de alguna característica muy personal que divida a la población en dos mitades aproximadamente iguales, como, por ejemplo, la inicial del segundo apellido de la abuela materna.

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Vean otro ejemplo que nos muestra cómo nuestra limitada intuición infusa de frecuencias en muchas repeticiones, combinada que cierta arrogancia, impaciencia o pereza intelectuales nos conduce a falsas conclusiones. Pongamos que le pedimos 49 a un grupo de 100 personas que fabriquen una lista aleatoria de longitud 500 formada por unos y ceros.


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En la búsqueda de información y en el contraste de oportunidades, los seres humanos no son muy metódicos, y sí harto impacientes: las primeras impresiones suelen ser duraderas hasta transformarse sin solución de continuidad en opiniones: la elegida entre varias ofertas alternativas suele estar entre las primeras consultadas. Las opiniones, pues, son contagiosas, y la posibilidad de contagiarse de una u otra depende de cuánta gente la comparte. La urna de Pólya nos permitirá reflexionar sobre cómo evoluciona ese contagio. Tenemos una urna y un suministro (inagotable) de boliches negros y rojos. La urna de Pólya, como los zurrones eleáticos, tiene capacidad para infinitos boliches.

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Para comenzar, se pone un boliche de cada color en la urna. A partir de ahora, en cada paso se escoge un boliche al azar de la urna, se mira su color y se devuelve a la urna junto con otro boliche de ese mismo color. Y así sucesivamente. Nos interesa cómo evoluciona la proporción de boliches negros (o de boliches rojos) sobre el total de boliches en la urna. Traducción: al comienzo las opiniones están divididas al 50% y la masa de gente con opinión es escasa (sólo dos). Cada nuevo individuo toma la opinión de la primera persona con la que se encuentra. El experimento consiste en repetir la observación y el añadido de boliches 1000 veces, digamos, y anotar la senda de 1001 valores cambiantes, la evolución de la proporción de boliches negros que resulta. ¿Qué va a pasar con la evolución? ¿Qué opina? Nada, al principio, favorece a los boliches rojos o negros, así que… No está claro. El gráfico de la izquierda muestra unas cuantas sendas de evolución de la proporción de boliches negros siguiendo escrupulosamente el mecanismo aleatorio de contagio; se trata de distintas repeticiones de las 1000 extracciones y añadidos comenzando con un boliche negro y otro rojo. Obsérvese cómo cada senda, tras una tumultuosa juventud, en cuanto adquiere una cierta madurez (masa crítica) se estabiliza para siempre, pero alrededor de un valor que no podemos predecir, cualquier valor entre 0% y 100% es igualmente probable. Asombroso, el proceso siempre se estabiliza a la larga en una proporción, y esa proporción tiene la misma probabilidad de estar entre 90% y 100% que entre 40% y 50%, por ejemplo 51 . Ante una senda como la recogida en el gráfico de la izquierda que sólo hubiéramos observado desde el paso 200 en adelante, ¿quién no hubiera buscado una explicación determinista, no por efecto del azar, que justificara por qué la proporción de boliches negros tiene que ser aproximadamente 65%? ¿O no? Y no hay razón alguna. ¿Quién no intentaría buscar ventajas competitivas intrínsecas en una marca, sea Microsoft, que acaba por ocupar un franja mayor de mercado que otra, sea Apple, cuando puede que el único responsable de tal diferencia sea el inicial contagio aleatorio entre usuarios y curiosos? Seguro que muchas veces hemos caído en similares argumentaciones falaces.

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Distribución uniforme, en la jerga.

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¿Y si actuáramos favoreciendo a quien menos tiene, añadiendo boliches del color contrario al observado en la extracción? Ahora la evolución siempre se estabiliza en 50%. Al comienzo vuelven a manifestarse oscilaciones salvajes, pero pronto el mecanismo de compensación actúa igualando las proporciones.

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Pero imaginen que hay boliches de varios colores, digamos siete, como en el arco iris 52 occidental. Comenzamos con uno de cada en la urna y seguimos la misma regla, mirar en la urna, escoger una bola al azar, devolverla y añadir una bola de ese mismo color. ¿Qué pasará? Estamos remedando la competencia entre varios, sean marcas o sean nodos de internet y sus referencias en Google 53 , sean... Como antes, las proporciones de los sietes colores de boliches se estabilizan. Pero, ¿en qué valores límites se alcanzan? Veámoslo en una simulación 54 :

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SENDA DE PROPORCIONES DE 7 COLORES

DISTRIBUCIÓN FINAL

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¡Qué poético! ¡Qué moderno! 54 ¡Qué empírico! 53

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La conversación entre Athos, Porthos y Aramis, las rachas de Paulos y la urna de Pólya nos advierten de que ante las mañas del azar, de su acumulación repetitiva, la intuición inopinada es mala consejera y que haremos bien en ser prudentes y pasar cualquiera intuición inmediata que hayamos pergeñado, por muy obvia y natural que nos pudiera parecer en un principio, por un fino cedazo de duda metódica hiperbólica. La simulación por ordenador no es poca ayuda para discernir falsas intuiciones, rechazar conclusiones falaces y también para sugerir conjeturas interesantes, que luego habrá que justificar con rigor matemático inexcusable.

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Las sendas que aparecen en el gráfico son las de las proporciones de los siete colores. A la derecha la proporción final. Es una ley potencial típica, de Pareto o de Zipf. Un color, no sabremos cuál va a ser, pero uno, tiene mucho más del 50%, el siguiente como la mitad, y los último, pobres, casi nada, pero dignamente estables. Aplíquese a distribución de riqueza, modas, referencias en Google, etc.


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SEGUROS Y CRÉDITOS La gestión de los dos principales instrumentos financieros: los seguros y los créditos, que nos acompañan desde el comienzo de la historia 55 y que son parte, ¡ay!, de nuestras preocupaciones diarias, se fundamentan en la ley de los grandes números.

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La idea es simple. Consideramos primero una mutua de seguros y luego una cooperativa de crédito. 56 En una mutua, un grupo de personas aseguran solidariamente un riesgo al que están expuestos de manera similar. Todos tienen la misma probabilidad, digamos de un 5%, de sufrir un cierto daño durante el próximo año que supone una pérdida de 30 en las unidades monetarias que sea. La homogeneidad del grupo, del riesgo y del daño es importante. El grupo está compuesto por 1000 asegurados. La ley de los grandes números nos dice que debemos esperar unos 50 siniestros, que suponen un daño colectivo de 1500. Como somos 1000, podemos obliterar completamente ese riesgo aportando solidariamente a un fondo común cada uno una prima al comienzo del año de 1,5. Al comienzo del año no sabremos a quiénes, como si fuera una lotería, les va a tocar el siniestro, pero sabemos cuántos, y esto es todo lo que hace falta saber para afrontar el daño solidariamente. Este 1,5 es la prima llamada pura. Claro, no es tan simple, hay fuentes de incertidumbre que la prima pura no cubre, y que obligarán a incrementarla. Para empezar, puede ser que la frecuencia esperada de 5% esté inadecuadamente estimada. Ésta se ha estimado analizando series estadísticas, muestras del pasado. El pasado es guía del futuro 57 , pero es tan sólo una muestra. Hay que incrementar la prima pura para cubrir este posible error de estimación. En segundo lugar, la ley de los grandes números es una estimación aproximada: puede ocurrir, ocurrirá, que la proporción de siniestros oscile por encima o por debajo de ese 5%. El teorema central del límite 58 , por ejemplo, permite estimar esas potenciales oscilaciones y con cierto nivel de confianza determinar cuánto hay que aumentar la prima para cubrir la oscilación hacia arriba. En tercer lugar, el coste de los siniestros es, en general, aleatoriamente variable; hay que estimar esa variabilidad y, consecuentemente, imputar un incremento adicional, otro más, de la prima. Restaría finalmente, en cuanto a cobertura de incertidumbre, tener en cuenta las oscilaciones extremas, imprevisibles, catastróficas, y para protegerse contra éstas hay que disponer de reservas, en forma de capital, y de reaseguro 59 . Por supuesto, además las primas han de incorporar gastos, costes, como el de los reaseguros, y comisiones, y, como el capital es aportado por accionistas que demandan una rentabilidad por su inversión, la prima debe incrementarse con la parte correspondiente de los dividendos que éstos deben percibir. No se puede prever todo, por supuesto, pero es todo lo que podemos hacer. La técnica completa es toda una compleja ciencia, la actuarial, que lleva prestando inestimables servicios a la humanidad desde hace casi cuatrocientos años. Dicho queda. Una joya de la ciencia actuarial, de la que emana toda una subespecialidad de variantes y extensiones, es la elegante y eficiente estimación de Crámer que determina el capital necesario para garantizar solvencia con un determinado nivel de confianza. Partimos de un modelo que dice que el superávit Xt de la compañía en el año t será: 55

En el código de Hammurabi, de hace más de 3750 años, ya aparecen referencias a contratos de seguros, a tasas de interés en crédito, a condonación de deudas… Pero en el código de Hammurabi parece haber trazas de todo; como en la anécdota de Victor Hugo: ¿Qué ha aportado Mesopotamia?, ¡hum!, ¡ah!, Mesopotamia: la Humanidad. 56 No una compañía de seguros, ni un banco o caja, por ahora. 57 ¿Hay otra? Sí, claro, la imaginación, pero… 58 Ya De Moivre estaba al corriente. 59 Las compañías reasegurados aseguran el exceso de sinestralidad de las aseguradoras.

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X t = R − ∑ Ys j=s

donde R son las reservas e Ys es la variable aleatoria que registra el neto del montante aleatorio del coste de los siniestros del año s menos las primas recaudadas ese año. En media, cada Ys debe ser negativa. Pues bien, con este modelo se tiene el teorema que dice que Probabilidad de ruina ≤ e −αR , donde α es un valor determinado implícitamente por ser el mayor valor para el que la esperanza de eαY es menor o igual que 1. El uso, en primera instancia, es: primero datos estadísticos y análisis del negocio nos darían una buena estimación de la variable Y; ésta tendrá media negativa (lo ingresado por primas supera los pagos por siniestros), con eso ya se puede determinar α (una cuenta), y por fin, R, si damos el nivel de confianza. 60

A P E

En el análisis anterior hemos partido del supuesto de que había un número muy grande de asegurados en ese bloque homogéneo, pero, ¿y si ése no es el caso y tan sólo hay unos pocos (relativamente) asegurados? Entonces, claro, grandes números no se aplica. Las oscilaciones potenciales del porcentaje de siniestros son mucho mayores y la prima, en consonancia, es mucho mayor, ceteris paribus. Piensen en el caso hipotético de un sólo asegurado 61 : la prima pura debería ser el montante del siniestro, ora ocurre ora no, y si ocurre, hay que pagar el montante total, no hay fracciones, porcentajes, probabilidades. Olvídense en ese caso extremo de la probabilidad de ocurrencia; cuantos menos asegurados, menos relevante es esa probabilidad. Conviene resaltar que hace falta estimar una probabilidad de siniestro, pero que al carecer casi de información, la estimación será muy subjetiva.

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Al final, los que hayan cumplido con sus pagos (los justos) habrán pagado una cantidad adicional que debe bastar para cubrir lo que han de dejado de pagar los que han incumplido (los pecadores), siempre que todas las cuentas estén bien hechas.

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Si hubiéramos estimado que –Y es aproximadamente una normal con media 1 millón de euros y desviación típica de 0,3 millones de euros, entonces α sería 22,2, y si el nivel de confianza es de 95%, entonces las reservas mínimas deberían ser de 135 mil euros. 61 Asegurar las piernas de Beckham, por ejemplo. No va de broma. Aunque, ya puestos, se podría ser más selectivo a la hora de elegir las piernas por asegurar. 62 Los Euribor son tipos de interés que se fijan en mercados monetarios para préstamos entre grandes bancos.

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Cuando se da un préstamo a una gran o mediana empresa, por ejemplo comprando deuda que ha emitido, como en el caso en que se asegura un hecho único, la prima tiene que ser mucho mayor que la que resulta de multiplicar el montante del préstamo por la probabilidad de incumplimiento. Recalcamos aquí, de nuevo, en este caso la necesaria subjetividad de la estimación de probabilidad de incumplimiento. Las emisiones de deuda de estas empresas luego tienen un mercado secundario en la que permanentemente se les da precio, que de alguna manera recoge una percepción del posible incumpli-

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El crédito minorista, es decir, los préstamos con garantía hipotecaria, préstamos de consumo, tarjetas de crédito, etc., que conceden las entidades de crédito, se gestionan análogamente. Sustituya siniestro por pérdida por incumplimiento en la devolución del préstamo. Los intereses de los créditos suelen especificarse como un porcentaje adicional (diferencial) sobre Euribor. Euribor es valor temporal del dinero 62 , el diferencial se corresponde con la prima de seguro, que incluirá desde la probabilidad de incumplimiento hasta dividendos de accionistas. La cuenta básica (análoga a la de la prima pura) es que el montante total de pérdidas derivado de incumplimientos se ha de repartir alícuotamente entre los acreditados del grupo homogéneo que sea. Y básicamente, simplificando, claro, dice que en un grupo con una probabilidad de incumplimiento de 5% y sin garantía alguna, por cada 100 euros prestados el diferencial básico será de 5 euros.


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miento, pero ya es puro procesado de información sobre estados financieros y de prospección sobre su negocio y leyes de oferta y demanda. Así que cuando los mágicos grandes números compensan incertidumbres se puede tener primero una buena idea de la probabilidad de siniestro o de incumplimiento y la prima o el diferencial puros serán aproximadamente el resultado de dividir la estimación del impacto del daño entre todos los asegurados o acreditados. Pero que cuando éste no es el caso, cuando no hay grandes números, la probabilidad esa es puramente una forma de hablar y la estimación de la prima se sustenta en simple subjetividad.

Imaginemos una ruleta perfecta, perfecta en su aleatoriedad, es decir, ideal, matemática, en la que la frecuencia de cada número es exactamente 1/36 y en la que no hay cero 63 ; vamos a apostar exclusivamente a rojo, aunque si una irresistible pulsión le incitara a usted a apostar a negro, estaría en su derecho, por supuesto, pero ¡aténgase a las consecuencias! Apostar a rojo o negro en nuestra ruleta perfecta es equivalente a hacerlo a cara o cruz con una moneda asimismo perfecta, pero reconocerán que la ruleta evoca cantidades de dinero más elevadas y excitantes, y que además entre apuesta y apuesta se nos permite disfrutar de un buen cocktail martini shaken, not stirred. 64 Las apuestas son nocionales, por cada 1 que se declara apostado, si sale rojo ganamos 1, si sale negro perdemos 1. Llamamos fortuna a la cantidad de dinero de que disponemos. La fortuna inicial es F0, y la fortuna tras la n-ésima ronda es Fn. Antes de comenzar las rondas de apuestas, este Fn es una cantidad aleatoria, desconocida. No sabemos cuánto va a ser, aunque sí podemos usar el cálculo de probabilidades para exhibir qué posibles valores pueda alcanzar y con qué probabilidades. Algunos argumentos que siguen requerirán muchas rondas de apuestas, incluso en alguno hasta infinitas rondas, y para no desbordar impaciencias, se jugará a ese ritmo eleático (véase la nota 22) que permite completar las infinitas rondas en un minuto. Comencemos analizando la estrategia en la que en cada ronda se apuesta siempre la misma cantidad, digamos de 1 unidad monetaria, la que sea.

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APOSTANDO A ROJO Y NEGRO

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En El Jugador, Aleixéi le explica a la abuela: –¿Y que es eso del cero?… ¿No oíste que ese croupier […] acaba de gritar cero? ¿Y por qué arrambla con todo lo que hay en la mesa? ¡Qué barbaridad, se lo ha llevado todo! ¿Qué quiere decir eso? – El cero, bábuschka, queda a beneficio de la banca. Cuando la bolita cae en el cero, todo cuanto haya sobre la mesa, todo sin distinción, pertenece a la banca.

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O mejor a la Buñuel, como se detalla en una escena de El discreto encanto de la burguesía. Como es bien posible que sea ésta la información más interesante –¿la única?– de esta charla no puedo por menos que reproducirla directamente de su autobiografía: Básicamente se compone de gin y unas gotas de vermouth, preferentemente Noilly-Prat. Permítaseme dar mi fórmula personal, fruto de larga experiencia, con la que siempre obtengo un éxito bastante halagüeño. Pongo en la heladera todo lo necesario, copas, ginebra y coctelera, la víspera del día en que espero invitados. Tengo un termómetro que me permite comprobar que el hielo está a unos veinte grados bajo cero. Al día siguiente, cuando llegan los amigos, saco todo lo que necesito. Primeramente, sobre el hielo bien duro echo unas gotas de vermouth y media cucharadita de Angostura, lo agito bien y tiro el líquido, conservando únicamente el hielo que ha quedado, levemente perfumado por los dos ingredientes. Sobre ese hielo vierto el gin puro, agito y sirvo. Esto es todo, y resulta insuperable.

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Conviene codificar la variación de fortuna a que da lugar el resultado de rojo o negro de la nésima con una variable Xn que valdrá +1 o –1 con probabilidades respectivas de 50%. Así que Fn = Fn-1 + Xn ,

n = 1,2,…

La fortuna Fn es una suma aleatoria, Fn =F0 +(X1+ X2+…+Xn). Bueno, no exactamente, en realidad éste sería el resultado si no hubiera la restricción de que en cuanto Fn se haga cero el juego se para para nuestro entrañable jugador: la ruleta puede seguir girando, pero él ya no puede seguir apostando. La fortuna real tras n rondas será Fn si Fk ≥ 0 para cada k entre 0 y n (y 0 en caso contrario). El proceso codificado por la sucesión de variables Fn es conocido en matemáticas como paseo 65 aleatorio simétrico (parado en cero).

P E R T U R

Las distribuciones de valores de la fortuna con 50 o 200 repeticiones partiendo de una fortuna de 10 son:

A

Si nuestro jugador tiene como meta multiplicar su fortuna por k y juega compulsivamente hasta que logra su meta o se arruina, la probabilidad de que logre su objetivo es simplemente 1/k. Es bueno tener una meta, un objetivo, un plan 66 , porque si no, si se juega compulsivamente sin límite de tiempo, sin objetivo de ganancias, la probabilidad de abandonar la ruleta arruinado es, a todos los efectos, 100%. Ésta es la maldición del jugador, que entre los sospechosos habituales se conoce como ¡la ruina del jugador! Pero, ¡atención!, la fortuna tras cualquier número de apuestas es en media siempre la fortuna inicial. Sorprendente, ¿verdad? Sí que parece razonable que cuando se juega sin límite de endeudamiento, como en cada apuesta la ganancia media es 0, a la postre, en media, ni se gane ni se pierda. Sin embargo, cuando el juego se para en cuanto la fortuna se hace 0, parece que la posición media tras muchas rondas de apuestas debiera resentirse y ser inferior a la inicial, pero tras meditar un segundo nos daremos cuenta que si bien es cierto que cuando la fortuna llega a 0 ya no hay forma de recuperarse, tampoco la hay de empeorar la situación.

A

en la que vemos cómo ha aumentado la probabilidad de arruinarse. 65

Aunque en lugar de paseo también se usa el más estático de camino, o el más cansino de caminata. Como decía el general Eisenhower: In preparing for battle I have always found that plans are useless, but planning is indispensable. 66

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Insistamos, recalquemos el asombro: si se juega sin una regla como la de retirarse en cuanto se alcance un determinado objetivo de nivel de ganancias, en cada jugada se estará, en media, como al principio, pero a la postre la ruina es inevitable. 67 Da que pensar, ¿no? Partimos de 10, anticipándonos al futuro calculamos que, en media, siempre estaremos en 10, pero al final es cero… ¿dónde se han ido los 10? 68 Cuando yo tenía 10 años, Giacamo Casanova, me decían, era un libertino disoluto; a los 20 años, una suerte de revolucionario; a mis 30, un ácrata puro; a los 40, un vividor; y ahora, pasados los 50, ahora… me reservo mi opinión, pero era un… de mucho cuidado. He aquí dos extractos de sus memorias, Histoire de ma vie, que relatan hechos separados unos pocos días: Jugando a la martingala, doblando continuamente mi apuesta, gané el resto de los días del Carnaval. Tuve la suerte de nunca perder en la sexta carta, pues habríame quedado sin dinero. Me hallaba tan satisfecho de haber incrementado de esta manera la fortuna de mi dueña [...]

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[...] Seguí jugando a la martingala, pero con tan mala fortuna que quedeme pronto sin dinero. Como compartía mis bienes con mi dueña, era obligado darle aviso de mis pérdidas. Vendió así ella sus diamantes, pero pronto perdí cuanto me dieron por ellos. Quedáronle sólo 500 monedas, de manera que hubo que abandonar el plan de que escapara del convento; porque ya no teníamos nada con lo que vivir [...]

Lo dicho, un… El término martingala se usa ahora en matemáticas para designar el proceso de la fortuna que se obtiene cuando se sigue una estrategia cualquiera de apuestas en nuestra ruleta ideal, y, generalizaciones varias de esa noción. Pero con martingala 69 Casanova se refiere a la estrategia de apuestas que consiste en doblar la apuesta mientras continúe saliendo negro y se va perdiendo, y parando y retirándose en la primera ocasión en que sale rojo. Pongamos que se comienza con 63 euros. Se empieza apostando 1. Supongamos que sale negro en las cuatro primeras rondas, así que las apuestas habrán sido de 1, 2, 4, 8 y las pérdidas acumuladas alcanzarán 1+2+4+8=15. La estrategia exige que se doble la apuesta, así que en la siguiente ronda la apuesta será de 16, y si se gana, justo se recupera lo perdido y queda además una ganancia de 1. El argumento es general, si no ha habido suerte en las n primeras jugadas y hemos perdido en todas, el total de pérdida acumulada es de 1+2+22+…+2n, que es exactamente 2n+1−1. En la siguiente toca apostar 2n+1 y si sale rojo habremos compensado las pérdidas y nos queda un neto de 1. rentabilidad

probabilidad

1,59%

98,44%

-100,00%

1,64%

Si sale rojo en alguno de los 6 primeros lanzamientos se habrá ganado 1, pero si resulta que no, que en esos 6 sale negro, habremos perdido 63. En 6 lanzamientos solo hay dos posibilidades: se gana 1, con probabilidad de 63/64=98,44% y se pierde 63, con probabilidad complementaria de 1/64=1,56%. Obsérvese la asimetría extrema.

Casanova intentaba usar su estrategia como forma de vida. Consígase un capital de digamos 63; preferiblemente fondos aportados por un socio institucional, una novicia en un convento, un fondo de pensiones,… Cada día, al Casino, a jugar a la martingala; se gana 1, que se distribuye en tres partes iguales: una para el inversor, otra como comisiones y otra para gastos. La probabilidad de perder un día cualquiera es bien pequeña. Mientras todo vaya bien el esquema va proporcionando buenas rentas a todos. Pero tiene riesgo, claro, y tanto va el cántaro a la fuente…; la probabilidad de que este es67

Anoten aquí la sonrisita malévola de la tortuga, mientras Aquiles declina comentar. No busquen a Aquiles, el de los pies ligeros; se ha marchado. Creo que no volveremos a verlo. 69 Según el Drae: Artificio o astucia para engañar a alguien, o para otro fin. Asimismo, Cada una de las calzas que llevaban los hombres de armas debajo de los quijotes. Quijote: Pieza del arnés destinada a cubrir el muslo. 68

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quema aguante un año (de 365) días es tan sólo de un 3 por mil, aunque si lo lograra el resultado sería una rentabilidad del 200%. Por cierto, el jugador profesional recibirá, en media, en comisiones aproximadamente 21, más los gastos cubiertos. ¡Cáspita! –pensó la dueña a la que festejaba Casanova. Pura huida hacia adelante; doblar la apuesta, arriesgar más y más para cubrir pérdidas, acelerar hasta descarrilar, ¡cuánta huida hacia adelante! Abstrayendo de la ruleta: ¡cuánta apuesta de Casanova en tantas decisiones de la vida ordinaria!

E R

En fórmula, la fortuna sucesiva Cn siguiendo la martingala de Casanova es una suma estocástica, una integral:

P

Dos anotaciones para precisar un poco. Primero, el cero en la ruleta empeora las cosas, la ruina es más rápida. Segundo, si se pudiera seguir apostando indefinidamente sin límite de crédito, a la larga se lograría esa ansiada ganancia de 1, porque tarde o temprano saldrá rojo; espejismo embaucador: ganancia segura de 1, sin riesgo.

A

Visto lo visto, quizás haya que amarrar un poquito y usar una estrategia no tan arriesgada, y en lugar de doblar, ir multiplicando la apuesta en rondas sucesivas (mientras se va perdiendo) por un factor entre 1 y 2. Las pérdidas son ahora más variadas, y menos cuantiosas, como en el gráfico de la izquierda, PERFIL CASANOVA, pero, claro, las pequeñas ganancias serán algo menos probables. En resumen, ganancias pequeñas casi seguras, contra pérdidas enormes muy poco probables.

n

T

C n = C0 + ∑ μ n X n , j =1

n

donde μn= 2 si X1 = X2 =…= Xn-1 = −1, y 0 en otro caso.

U R

La sucesión de fortunas aleatorias que resultan de cualquier estrategia de apuestas sobre nuestra ruleta ideal se escribe de forma análoga, pero donde μn denota la apuesta que se hará en la ronda n y que, en general, dependerá de todos los resultados anteriores: μn = función de (X1, X2, … , Xn-1).

Otra cosa es lo que sucede cuando en un minuto eleático se completan infinitas rondas, ¡malévolo infinito en acción!, porque entonces con la apuesta fija y sin objetivo de ganancia, el jugador se arruina seguro, mientras que con la estrategia de Casanova y sin límite de crédito, se gana a la larga la apuesta inicial con seguridad.

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Sea cual sea la estrategia de apuestas que se nos ocurra pergeñar, el valor medio de la fortuna que se puede tener tras un número cualquiera n de rondas es siempre la fortuna inicial. No hay ventaja, ni desventaja. Sin embargo, la distribución de posibles valores que se tienen tras esas n rondas depende de la estrategia seguida. Por ejemplo, si se parte de una fortuna de 2 y en dos rondas se apuesta 1 en cada una, los posibles valores de la fortuna serán 4, 2 y 0, con probabilidades respectivas de 25%, 50%, y 25%. Esto quiere decir que si repetimos 100 veces esa estrategia de dos apuestas en 25 de las repeticiones esperamos un resultado de 4, en 50 un resultado de 2 y en 25 un resultado de 0. Pero, si la estrategia es apostar todo lo que se tiene, también en dos rondas, los resultados serán de 8 un 25% y de 0 un 75% de las veces.


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CAMINANDO AL AZAR EN SUPERFICIES DE RIEMANN 70 Seguimos con una ruleta matemáticamente ideal con 50% de probabilidades para rojo y 50% para negro, y permitiremos, ¡somos así!, que se juegue sin límite de crédito. Queremos señalar ahora cuanta flexibilidad dan las estrategias de apuestas para doblegar el azar a nuestro antojo, casi.

A

P

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A

Para comenzar: con una estrategia adecuada de apuestas podemos remedar con la fortuna tras n rondas cualquier distribución de probabilidad que nos plazca, siempre que su valor medio coincida con la fortuna inicial; eso sí, si esperamos lo suficiente, si n es grande. Esto significa que podemos crear un protocolo que anticipando el estado de la fortuna que pueda haber tras cada ronda de apuestas, nos dice cuánto hemos de apostar en la siguiente ronda, con el fin de lograr que los valores de la fortuna tras un número amplio de rondas esencialmente alcance los valores prescritos con las frecuencias prescritas. Antes de comenzar a apostar no sabemos cuál de las evoluciones de caras y cruces va a ocurrir, pero la estrategia permitirá garantizar la frecuencia de resultados posibles. Veámoslo en acción en un ejemplo. Partimos de una fortuna de 100 euros. Queremos un libro de instrucciones de apuestas para que un 1/3 de las veces la fortuna final sea de 300 y 2/3 de las veces sea 0. La instrucción es la siguiente: apostar 1 hasta que la fortuna sea 300 o sea 0 y en cuanto eso ocurra se deja de apostar. A priori podemos determinar cuántas rondas de apuestas nos garantizan que la fortuna tras ese número de rondas será 300 un tercio de las veces y 0 dos tercios de las veces, aproximadamente. Pero más aún: una hábil estratega puede forzar a que las sendas en sí de la fortuna, y no sólo los posibles valores tras n rondas de apuestas, se tuerzan, se alabeen y sigan prescripciones de comportamiento bastante arbitrarias. Veamos con un ejemplo lo que se puede conseguir. Se exige 71 que tras n rondas, la fortuna Fn se encuentre con seguridad entre ciertas cotas prefijadas: entre F0 + mn y F0 − mn, y esto para cada n, donde mn va creciendo hacia a infinito. ¡Bah!, esto no es problema, y se conseguirá simplemente con ir apostando progresivamente menos. Pero además se exige que ninguna apuesta sobrepase 1, y, sobre todo, que en una sucesión de rondas la apuesta media sea al menos ½. Lo que se exige es un pequeño tour de force, porque si la estrategia es tal que la fortuna se hallase siempre entre dos cotas fijas, entonces la apuesta media tendrá, necesariamente, que ser cada vez más pequeña y tender a cero. Así que… Para lograrlo, el libro de instrucciones muy del gusto de Sísifo puede ser como sigue. Partamos, por simetría, de fortuna cero y recordemos que no hay límite de crédito. Como se trata de cálculos de frecuencias, conviene que imaginemos que 100 jugadores simultáneamente siguen nuestras indicaciones, luego estudiaremos las frecuencias de las sendas que van obteniendo. Una etapa introductoria, la etapa cero 72 , para dar margen de maniobra: durante un buen rato apuestan fijo una cantidad pequeña, pero cuando las fortunas se hacen 1 o –1 dejan de apostar, o mejor apuestan cero; tras un tiempo todos tendrán fortuna 1 o –1, más o menos la mitad (unos 50) de cada alternativa. Vale. Ahora, primera etapa: con una apuesta fija pero algo más pequeña que la anterior, seguirán jugando hasta que su fortuna se hace 10 ó 0, para los que tenían fortuna 1, o se hace 0 ó –10, para los que tenían fortuna –1. Esperamos un buen rato, y veremos que más o menos el 90% de los jugadores tendrán fortuna 0, aproximadamente un 5% tendrán fortuna 10 y alrededor de un 5% tendrán fortuna –10. ¡Ajá!, ya estamos listos para la etapa segunda, que sólo tiene una ronda. ¡Atención!: los que tengan fortuna cero apuesten 1, por ejemplo, los que no, quietos parados en esta ronda (apuestan 70

¡Advertencia! Aquí la cosa se pone un punto subidita de tono matemático. ¡Hay gente pá tó! 72 ¿Cuál es el ordinal de cero? 71

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0). ¿Cuál es la apuesta media en esta ronda?… 0,9, pues aproximadamente un 90% apostarán 1, y el resto nada. Bien. Los jugadores ahora respiran un rato y dejan pasar bastantes rondas en las que los 100 jugadores charlan animadamente sin apostar. Y ahora, una etapa tercera, análoga a la primera, con la cota 10 reemplazada por un número bien grande, 100, por ejemplo, y luego una etapa cuarta como la segunda pero con una apuesta de digamos 4, para los que justo arrancan con fortuna y así sísificamente: un respiro, una etapa impar, una etapa par, un respiro... ¡Voilà, prueba conseguida! En el párrafo anterior he deslizado aquí y allá varios bastantes, aproximadamente, alrededor de, que con un poco de técnica relojera se pueden calibrar y ajustar adecuadamente para que todo encaje y el argumento se sostenga. El gráfico LA MARTINGALA DE SÍSIFO recoge una simulación de las sendas de fortuna de esos 100 jugadores en las etapas cero, primera y segunda, con una escala de tiempos que se ha manipulado (más o menos logarítmicamente) para que se pueda percibir el comportamiento de las sendas.

A P E R T U

LA MARTINGALA DE SÍSIFO

R

En pentagrama matemático, el resultado anterior se codifica así: Dada un sucesión creciente mn de números reales que tiende a ∞, existe una estrategia de apuestas que nunca superan 1 y es tal que la fortuna resultante {Gn }n parte de G0=0 y cumple que −mn ≤ Gn ≤ mn en cualquier senda y en cualquier ronda y además

lim sup E(G n +1 − Gn ) = 1 n →∞

(E denota esperanza matemática, promedio de la distribución de valores). Los iniciados en los arcanos de la secta de la Variable Compleja, secta matemática particularmente subrepticia de la que uno, por un servidor, es más que compañero de viaje, pueden apoyarse en estrategias de apuestas como la que he descrito para construir funciones de variable compleja, y obtener 73 73

On the growth and coefficients of analytic functions (Annals of Mathematics, 120 (1984), 505-516), cuyos resultados respondían a cuestiones planteadas tiempo antes por John E. Littlewood y Walter K. Hayman.

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TEOREMA.


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TEOREMA. Sea Ω un dominio en el plano cuyo complemento tiene capacidad nula. Entonces, hay una ∞

función f analítica en el disco unidad D, f ( z ) = ∑ an z n , que cumple n =0

i) f (D) ⊂ Ω ii) || lim supn → ∞ | an |≥ A || Ω ||B donde || Ω ||B es el radio del mayor disco que cabe en Ω.

Quizás pueda sorprender algo que este modo de pensar probabilístico se pueda incluso adaptar para ayudar a entender el comportamiento a largo plazo de las geodésicas de las superficies completas de curvatura negativa. Ahí hay poco margen para el azar, aparentemente, porque si nos situamos en un punto de la superficie y elegimos una dirección en que movernos de forma óptima, el camino geodésico a seguir está completamente determinado, y se tarda una eternidad en recorrerlo a velocidad constante. Para ello conviene estar versado en las sutilezas y familiarizado con los vericuetos de las superficies de Riemann a que las funciones holomorfas dan lugar, como se vanaglorian de estarlo los miembros de la tendencia Teoría Geométrica de Funciones, lealmente integrados, ¡oiga!, en la secta de la Variable Compleja. Un ejemplo 75 : consideremos una superficie completa de curvatura negativa M, no compacta para obviar situaciones triviales, fijemos un punto cualquiera p, y sea I el conjunto de aquellas direcciones para las que la geodésica que parte en esa dirección se alejan indefinidamente de p.

TEOREMA. Hay sólo tres posibilidades: i) si M es tiene área finita, I es numerable; ii) si M tiene área infinita y no tiene función de Green, I tiene dimensión 1 y medida nula; iii) si M tiene función de Green, I tiene medida plena.

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La relación entre objetos (matemáticos) tan deterministas como las funciones analíticas de la Variable Compleja y la Teoría de la Probabilidad es asombrosa, y aunque viene de lejos, sigue fascinando 74 a los investigadores. Tuve la suerte de ser iniciado en esa mística conexión por Albert Baernstein II y he tenido la fortuna de compartirla, aprendiendo y disfrutando, con José M. Rodríguez, José G. Llorente, Mavi Melián, Domingo Pestana, Alicia Cantón y Ana Granados y con el tardano Juan José Arrieta.

¡No hay gradaciones ni situaciones intermedias!

74

Para muestra reciente: la teoría de las ecuaciones de Loewner estocásticas, cf. Basic properties of SLE, de Steffen Rohde y Oded Schramm (Annals of Mathematics, 161 (2005), 883–924.) 75 Escaping geodesics of Riemannian surfaces, con Mavi Melián (Acta Mathematica, 187 (2000) 213-236).

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LA BOMBA SUBPRIME En Casablanca, tras la emotiva escena de La Marsellesa, un indignado mayor Strasser le exige al capitán Louis Renault, ese inefable cínico, que cierre el Café Américain: Rick: How can you close me up? On what grounds? Captain Renault: I’m shocked, shocked to find that gambling is going on in here! Croupier: Your winnings, sir. Captain Renault: Oh, thank you very much. Captain Renault: Everybody out at once!

E R

Por lo visto, nadie aprendió la lección de 1998, cuando Long Term Capital Management estuvo a punto de quebrar y necesitó un rescate pactado por parte del Banco de la Reserva Federal de Nueva York. La ingeniería financiera es lo que nos permite pasar del apalancamiento cero hasta, pongamos, un apalancamiento de 50 a 1. Y cuando el riesgo acumulado resultante explota, de nuevo todo lo que ocurre es que el director general y el director financiero se van al banco partiéndose de risa por el camino.

T

77

Presidente de la Reserva Federal durante casi veinte años, 1987-2006. En un artìculo que apareció en diario EL PAÍS: Adiós al capitalismo de Friedman y Hayek.

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Bien, hasta aquí un hecho de la naturaleza, pero, ¡ajá! –se dice un avispadillo–, ¿qué ocurriría si pudiéramos acumular un gran número de esos créditos a grandes o medianas empresas comprándoselos a distintas entidades financieras de todo el mundo, de este mundo tan pequeño, compacto y global en que vivimos, de manera que la cartera resultante si esté en situación de Ley de Grandes Números? La cuenta entonces es la siguiente: si la probabilidad de pérdida es de 5%, si la pérdida en caso de incumplimiento se estima en un 50% y si el diferencial es pongamos de un 4%, entonces por cada 100

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Recordemos. En los préstamos minoristas, el diferencial sobre Euribor compensa las pérdidas producidas por incumplimiento en una cartera amplia y homogénea. La Ley de los Grandes Números dice que la tasa de incumplimientos en la cartera será aproximadamente la probabilidad de incumplimiento, de manera que si la probabilidad de ese incumplimiento es de un 5% y si en caso de incumplimiento se pierde un 50% del préstamo, ese diferencial será de un 2,5%. Pero, como hemos comentado más arriba, cuando el préstamo es a una empresa de mediano o gran tamaño, de los que no hay suficientes en una entidad para que la Ley de los Grandes Números sea válida, y en la que los incumplimientos no se compensan unos con otros, el diferencial será más elevado que el que acabamos de derivar.

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Apuestas apalancadas, ¡hum! Les describiré a continuación una estrategia de inversión, típica de hedge funds, en cuya estructuración la Ley de los Grandes Números, en su versión más ingenua, desempeña un papel pivotal.

76

P

El premio Nobel Paul Samuelson 77 explicaba:

A

Alan Greenspan 76 compareció hace unos meses ante un comité del Congreso de los Estados Unidos para que explicara, o mejor, expusiera su versión, de las causas de la crisis financiera y económica que explotó en el verano de 2007, y en auto de fe, admitiera sus errores, renunciara a sus ideas y expiara sus culpas. Uno de los congresistas, impaciente ante lo que consideraba rodeos procrastinantes, le recordó la escena de Casablanca y le espetó: Pero bueno, Mr. Greenspan, no nos diga usted ahora que no sabía que se apostaba.


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prestados se ganaría un 1,5%, porque los incumplimientos supondrán un impacto de 2,5%, pero como compensación se recibe un 4%. Si las economías de escala y la capacidad de acceso a los mercados lo permiten, hay ahí una oportunidad de ganar con seguridad, ¿no?

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Ya puesto, y babeante ante la oportunidad de arbitraje y dinero fácil, el ambicioso avispadillo del ¡ajá!, decide rebuscar en la zona gris, sector lado oscuro, que consiste de aquellas compañías, emisoras de deuda, que tienen una determinada probabilidad de incumplimiento, lo que las agencias de rating 78 califican de BBB, pero para las que los diferenciales son los más altos disponibles, es decir, las que las entidades prestatarias y los mercados secundarios donde esa deuda se negocia consideran más arriesgadas, para así magnificar la discrepancia entre diferencial y probabilidad de incumplimiento. El avispadillo se deleita ya con una ganancia casi segura, casi sin riesgo, muchos meses seguidos. No; entre otros muchos caveats a considerar, recordemos primero que la asignación de probabilidad de incumplimiento a una gran empresa es una tarea que tiene mucho de subjetiva, lo que hace que el resultado en sí de esa asignación sea bastante incierto; y, en segundo lugar, que en cualquier caso esa asignación pretende ser válida para un año típico. Debe preguntarse: ¿qué ocurre si la tasa de incumplimiento pasa a ser de un 10%, y la pérdida en caso de incumplimiento de un 75%, por ejemplo, si el año no es precisamente típico? para responderse que aquella ganancia segura de 1,5% se transforma en una pérdida de 3,5%. ¡Oops! Esto es un ejemplo típico de estrategia de hedge fund, alistando a la ley de los grandes números para combatir en los mercado de renta fija. Si postulamos un ingenuo modelo sobre la incertidumbre de esas asignaciones de probabilidad, como el que subyace en la regulación mundial actual de cálculo de capital en las entidades financieras, el conocido como Basilea II, la distribución de posibles resultados de esa estrategia sería algo así como el que aparece en el gráfico de la izquierda. Familiar, ¿verdad?, el mismo perfil suicida de la huida hacia adelante, de la martingala de Casanova: ganancia pequeña casi segura, con pérdidas enormes poco probables. Impertérrito e insaciable, el avispadillo del ¡ajá!, quiere más, mucho más, quiere exprimir su ¡ajá! al máximo. Quizás incluso tenga acceso a una versión virtual apalancada. Sin comprar los préstamos, simplemente declara un nominal nocional, virtual, para participar directamente de las pérdidas y las ganancias en proporción al nocional declarado. Insistimos, sin aportar fondos obtiene esa rentabilidad aparentemente casi segura, y por contra paga la rentabilidad negativa en caso de que ésta se produjera. La inversión es ahora una apuesta pura y dura a favor de que la estrategia vaya a funcionar. Obviemos, y es mucho obviar, la pregunta de qué interés social pueda tener todo esto 79 y cómo se llega a que estas operaciones sean posibles, sin prestar oídos a explicaciones cínicas de que puedan redundar en una mayor eficiencia de los mercados. Se podría argumentar, que, en principio, si estos contratos se establecen entre dos inversores privados, consenting adults, arriesgando sus propios fondos, no habría problema. Pero no, ni siquiera en ese caso, no es así, porque los montantes nocionales 78

Empresas que se dedican justamente a asignar probabilidad de incumplimiento a las empresas grandes, que emiten deuda, e incluso a medianas. 79 Respuesta: ninguno.

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de los que estamos hablando son enormes, porque el número de participantes es amplio, y porque la liquidación de estos contratos en condiciones adversas puede desestabilizar al propio sistema financiero global, como ocurrió en el caso de Long Term Capital Management al que aludía Samuelson, y como ha ocurrido en la presente crisis.

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Como, por ejemplo, titulizaciones de las minutas de los despachos de abogados neoyorquinos que litigan contra las compañìas tabaqueras. Es decir, instrumentos por los que se le da dinero ahora a esos despachos a cambio de lo que puedan recaudar en sus litigios futuros que duran años.

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80

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Si la propia entidad que concede estos créditos asumiera estos riesgos tan volátiles, los vigilase y controlase y tuviera capital adecuado, uno hasta casi diría que tiene una función social. Pero si lo que hace es empaquetarlos hasta su opacidad y los transfiere, y quienes los aceptan los vuelven a transferir, de nuevo empaquetados y apalancados… bueno, pues lo visto.

E

La bomba subprime es una variante de esta tecnología: ahora se empaquetan y apalancan hasta lo explosivo carteras de créditos hipotecarios concedidos a personas de limitada solvencia sobre montantes muy próximos al nivel de la garantía. En condiciones económicas muy estables, los diferenciales deberían compensar el impacto de los incumplimientos, pero un mínimo empeoramiento de esas condiciones afectará substancialmente a la capacidad de pago y al valor de la garantía: riesgo explosivo.

P

Al final, y en esencia, todo esto es un puro comportamiento a la Casanova en todos sus extremos, invirtiendo ahorro de otros a la busca de espejismos de griales de rentabilidad segura, para el propio solaz y beneficio y el bonus correspondiente. Y recuerden Casanova era un… sin descuento. Con volúmenes enormes de estos paquetes virtuales, opacos y apalancados, con los mismos préstamos básicos de referencia multiplicándose en una espiral de espejos en multitud de estructuras, se crea una bomba sistémica, una bomba racimo, que a la larga, necesariamente, explota con un poder destructivo insidioso y masivo.

A

Una vuelta de tuerca más: la cosa pasa de castaño oscuro cuando se amalgaman estos contratos con otros similares 80 en contratos madre que se envuelven y empaquetan hasta adquirir apariencia de instrumentos de inversión estándar, incluso registrados en mercados organizados y avalados por una inspección light que les adjudica un rating de respetabilidad –para así adquirir la consideración de instrumentos admisibles que superan los ingenuos controles de una regulación patéticamente desfasada e indolente hasta la connivencia–, y cuando los inversores finales son ahora, por ejemplo, ¡atención!, fondos de pensiones o planes de jubilación, por ejemplo. En estos instrumentos apalancados y virtuales, opacos – en el sentido de que tras tantas idas y vueltas y tantos intermediarios, es ya imposible saber en qué se está invirtiendo–, las rentabilidades potenciales superan, por supuesto, lo que se puede obtener en mercados tradicionales de instrumentos normales de deuda, de esos títulos que como piezas de Lego básicas han servido para crear estos… monstruos. Nota bene: el inversor institucional, el gestor de fondos, ante estas ofertas sabe, por supuesto, que las rentabilidades positivas tan jugosas con las que se le seduce tienen como contrapartida asumir riesgos y, aunque no alcance a entenderlos, acepta, no inocentemente, sino claudicando ante los incentivos propiciados por accionistas; y todo esto en nombre de otros que son los que aportan su ahorro y cuyos intereses parecen no formar parte de la ecuación.


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En uno de sus concisos y jugosos artículos, Julio Camba 81 resume la llamada de ley de Gresham con esta coplilla flamenca: Gitana te pasa a ti lo que a la farsa monea, que de mano en mano va y ninguno se la quea…

El papel de los matemáticos, físicos y estadísticos, de los versados en técnicas cuantitativas y 82 llamados quants, en la crisis, ha sido instrumental . No sólo han desarrollado las tecnologías de fabricación sino que además han aportando un halo de respetabilidad, de alta ciencia, actuando como fedatarios públicos de todos estos montajes.

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Ha fallado todo: los bancos centrales, la regulación, la supervisión, el control, las agencias de rating, los incentivos…y también, y no en pequeña medida, los quants. Pero como matemático cercano a todo esto, de lo que puedo y debo hablar y de lo que hablaré, es del comportamiento y del papel de –algunos de– estos últimos. Steve Ross, catedrático de Yale, ha afirmado en alguna ocasión que cuando se dedica a la Finanza Forense, a la autopsia de cadáveres financieros, siempre observa la concurrencia de dos pecados capitales: soberbia y avaricia. Dejémos a un lado la obvia avaricia, no sin antes recalcar que doblegarse a la presión de los incentivos no es inocente. La arrogancia intelectual de los quants, tan alejada de la intrínseca humildad del método científico, los ha hecho sentirse y comportarse como prepotentes masters of the universe y olvidar las limitaciones de los modelos matemáticos como meras representaciones de la realidad. Modelos matemáticos significa desde sencillos modelos que intentan explicar un poco el porqué de ciertas concatenaciones causales como la urna de Pólya, hasta modelos que prescriben con precisión asombrosa los efectos de ciertas condiciones de partida, como muchos modelos de la Física. En los sistemas económicos y financieros, los modelos matemáticos están a mitad de camino, mucho más cerca de la urna de Pólya que de la Física Cuántica. Y se aplican bajo condiciones iniciales inestables y cambiantes, que rápidamente distan de las postuladas y sobre las que actúan agentes con psicología, intereses… Las ecuaciones de los modelos de los sistemas biológicos son, de entre todas las que produce la modelización matemática, aquellas de las que tenemos más incertidumbre sobre su validez estable, y las más imprecisas. Obvio, bien conocido, ¿verdad? Pero en una huida hacia adelante, en una delusión masiva, en un alarde de estulticia, algunos quants, bastantes, se han comportado como si no fuera así, como si entendieran, más de lo que honestamente en fuero interno entendían, abusando. Mal, muy mal. 83

Pasemos, finalmente, a modo investigador científico. El fenómeno a analizar es el mercado financiero, el complejo mundo de las transacciones financieras. Queremos un modelo-modelo, con todo su aparato de predicciones exactas y su esquema de refutabilidad. Para llegar ahí, le dijo el Arquitecto al Emperador de Asiria, aún distamos mucho, si nos mantenemos en el enfoque de la ingeniería descrita. […]. Hay que incluir los efectos cuánticos, la dosis precisa de behavioral finance, los componentes informacionales. Yo no sé qué es eso de la ciencia 81

La recopilación en Austral se titula Millones al horno y el artìculo en cuestión, Una partida de póquer. Sin comentarios. 82 Algún que otro equipo de quants se dedica, ¿dedicaba?, al arbitraje de modelo: diseñar instrumentos cuyo objetivo es que parezcan como más rentables y menos arriesgados de los que en realidad son, cuando se analizan a la luz de modelos que se sabe que usa la competencia. Perversion capital del espìritu cientìfico –vale– y, sobre todo, comportamiento amoral. 83 Artìculo de un servidor en la revista Arbor, febrero de 2007, con el tìtulo de Quants, Inc.

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informacional, pero la modelización científica de las Finanzas ha de ser modelización informacional. […] Los esquemas basados en procesos estocásticos, incorporando movimiento browniano y saltos, son cándidos, ingenuos. Los modelos actuales no captan detalles de comportamiento. Pero esto no invalida el uso. Invalida creérselos más de la cuenta. Es un enfoque inocente, pero es el mejor de que disponemos, una aproximación si acaso de orden cero. Permite operar y actuar, con sus riesgos de todo tipo. Y permite analizar y medir y gestionar riesgos, para generar suficientes escenarios en los que discernir el potencial comportamiento de la cartera y de las inversiones o del casamiento de flujos. […]

Un ejemplo de esta estúpida arrogancia intelectual es aquel comentario que los técnicos del Tesoro sueco deslizaban en su documentación de cómo gestionaban los riesgos derivados de la variabilidad de los pagos de intereses de sus emisiones de deuda, apuntando que no incluían previsiones ni análisis sobre la inflación porque, como era ya obvio, ése era asunto técnicamente resuelto, completamente dominado.

A

Volvamos a Samuelson, en el artículo ya citado 84 :

P

[…] pasaré a los nuevos “diabólicos monstruos de Frankesntein” de la nueva “ingeniería financiera”. Puede que yo y otros compañeros de MIT, de Chicago, de Wharton, Penn y otras universidades, lo pasemos mal cuando nos enfrentemos a San Pedro en las puertas del Cielo.

E R

¿Cuál es el problema? Es verdad que los derivados y los créditos recíprocos pueden proporcionar un reparto racional del riesgo y, por consiguiente, reducir el riesgo total, pero también pueden destruir por completo cualquier transparencia.

T U

Durante décadas he participado en consejos directivos sin ánimo de lucro con directores generales desde Nueva York hasta California. Ninguno de ellos entendió nunca nada de las fórmulas de Black, Scholes y Merton para valorar activos. Todo lo que sabían, o pensaban que sabían, era que los nuevos y maravillosos centros de beneficios libres de riesgo habían invadido sus despachos. Era mejor que la alquimia que convertía el estiércol en oro.

R

While it is not exactly true that I have caused the two great financial crisis of the late twentieth century –the 1987 stock market crash and the Long Term Capital Managemenet (LTCM) hedge fund debacle 11 years later– let’s just say I was in the vicinity. If Wall Street is the economy’s powerhouse, I was definitely one of the guys fiddling with the controls. My actions seemed insignificant at the time, and certainly the consequences were unintended. You don’t obliterate hundreds of billions of dollars of investor money. And that is that the heart of this book–it is going to happen again. The financial markets that we have constructed are now so complex, and the speed of transactions so fast, that apparently isolated actions and even minor events can have catastrophic consequences.

Casandras como Bookstaber 85 hubo much@s. Y Casandras retrospectivas ahora hay legión, fenómeno típico de la Economía, dismal science tan ágil en predecir el pasado, pero es tan fácil to be wise after the fact, o, en castizo, a toro pasado 86 . 84

Véase la nota 76.

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Abundando en monstruosidades, he aquí el párrafo inicial del libro A Demon of Our Own Design: Markets, Hedge Funds, and the Perils of Financial Innovation, de Richard Bookstaber, publicado, ¡atención!, en 2006:


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Hasta el denostado Greenspan, por cierto, en unos de sus últimos discursos al frente de la Reserva Federal 87 , en encarnación Casandra, advirtió claramente aunque con recomendaciones más bien tibias que casi invitaban a la inacción, a un deja ver, de los peligros de tanta concentración de riesgo de contrapartida en el mercado de instrumentos derivados de crédito. En los tiempos que corren, conviene analizar y criticar con discriminación, y no hacer causa general, contra toda la innovación financiera. Los instrumentos financieros derivados cumplen la función de transferir adecuadamente riesgos, de trasladarlos desde aquéllos que no pueden gestionarlos a aquéllos con el apetito y la capacidad para asumirlos: una función innegablemente útil. Pero el riesgo sin diluir, sin grandes números que lo compensen, como la energía, ni se crea ni se destruye, solo se transforma…y se concentra …explosivamente, y se tiene que controlar, regular, supervisar, poner coto a las apuestas perversas que juegan con el dinero y los ahorros de otros.

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SÍSIFO IRREDENTO John K. Galbraith publicó en el año 1955 su libro The crash of 1929. El libro, en el catálogo de la editorial Ariel, acaba de ser reeditado por n-ésima vez, dos años después de la muerte de su autor. En el prefacio de una edición de quizás de los años 70, el autor, con la medida justa de orgullo y sin vanagloria, comenta las causas de su éxito perenne; arguye que sin duda algún mérito intrínseco tiene el libro, pero que la verdadera razón de su éxito no es otra que su permanente actualidad: justo cuando toca ser descatalogado, su libro, al menos su título, cobra inmediata actualidad porque otra crisis, una más, con matices distintos, pero raíces similares (¿avaricia, soberbia, exuberancia?) se cierne sobre el panorama económico y esto, más o menos, cada diez o quince años. Cometemos los mismos errores, ¡ay si Zenón hubiera charlado sin las prisas de Aquiles, el de los pies ligeros, con el impenitente Sísifo!, porque la sociedad no tiene memoria y los individuos no recordamos, porque la memoria social dura una generación, que en términos orteguianos es, ¡hum!, de quince años, porque la sociedad, como masa, es intrínsecamente bipolar. ¡Naturaleza humana! 88 Creo que todo lo anterior es cierto, pero que hay más, que con vehemencia creciente, el ruido oculta las señales, que como dice Daniel Innerarity en La sociedad invisible el futuro ya no es lo que era, que el presente no existe y que el futuro es como un tren desbocado que avanza sin avisos de silbatos hacia nosotros sin que tengamos tiempo de asimilar su novedad, sus intrínsecas diferencias con la historia, –¡maestra, sí!, pero ajada, ¡la pobre!–, y no da tiempo de cambiar, a amoldarse, a refugiarse. Estoy con Bookstaber en que hemos creado un sistema financiero tan complejo, tan interrelacionado, tan pequeño y compacto, donde las transacciones son tan inmediatas, donde acciones aparen85

Quién iba a creer las advertencias y admoniciones de un insider, ¡bah, un resentido!, de tan improbable nombre. 86 En una retransmisión televisiva de atletismo comentaban carreras al unìsono dos glorias nacionales, Fermìn Cacho y José Luis González. En una primera tanda de 1500 metros, en la repetición José Luis González se hacìa cruces de por qué el representante español no habìa atacado justo en aquella curva, en aquel momento tan decisivo. Cacho mantuvo un discreto y prudente silencio durante la agresiva perorata de González. En la siguiente tanda, en un momento dado, justo antes de la misma curva, Cacho le pidió en antena a González que decidiera si habìa que atacar ya o esperar, González cogido por sorpresa, no respondió; y Cacho, elevando el tono de voz le espetó: Ahora, Jose Luis, ahora es cuando hay que decidirlo y decirlo, no después cuando ya la carrera ha terminado, porque a toro pasado… Sea. 87 Remarks by Chairman Alan Greenspan: Risk Transfer and Financial Stability To the Federal Reserve Bank of Chicago’s Forty-first Annual Conference on Bank Structure, Chicago, Illinois (via satellite) May 5, 2005. http://www.federalreserve.gov/Boarddocs/Speeches/2005/20050505/default.htm. 88 Que gusta decir Daniel Manzano, el economista sonriente, senequista ocasional, admirado socio.

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temente inocuas, aisladas y menores tienen efectos catastróficos. Y, quizás, no sólo éste el caso del sistema financiero, sino en toda la estructura social. La complejidad del propio sistema convoca irremediablemente al caos, ¡aleteos de mariposa generando tifones!, y su compacidad fuerza irreductiblemente que lo impredecible, lo caótico, suceda casi de inmediato, como a traición, sin capacidad de respuesta ante sus efectos. Imaginen una bola de billar perfectamente esférica rodando por una plano horizontal, perfectamente plano; le damos un golpe con un taco de billar y empieza a rodar; hemos apuntado en una dirección, nuestra puntería no es perfecta, pero tras unas pocas mediciones, que llevan un tiempo, podremos saber en qué dirección exacta nos estamos moviendo. Pero si en lugar de rodar por un plano, la bola rueda sobre una mesa de billar pequeña y octogonal, donde los rebotes son perfectamente elásticos, quizás nuestras mediciones tarden más que el tiempo entre sucesivos rebotes y pronto nos daremos cuenta de que sólo nos resta dejarnos llevar por este devenir cáotico y sin fin, con garantía de eterno retorno. Como dice William Gibson en su Pattern recognition, novela negra de tecno-ficción (¿ficción?),

A

Fully imagined cultural futures were the luxury of another day, one in which “now” was of some greater duration. For us, of course, things can change so abruptly, so violently, so profoundly, that futures like our grandparents’ have insufficient “now” to stand on. We have no future because our present is too volatile… We have only risk management. The spinning of the given moment’s scenarios. Pattern recognition.

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CODA

Desde aquel lejano septiembre, hasta aquí y ahora, deformado ya sin remedio casi como aquel personaje de Paul Auster en La música del azar: He tratado con números toda mi vida. Tanto que he acabado por darme cuenta de que cada número tiene su propia personalidad. Por ejemplo, el 12 es muy distinto del 13. El 12 es estirado, concienzudo, metódico, inteligente, mientras que el 13 es solitario, un tipo sospechoso que no se lo pensaría dos veces antes de quebrantar la ley para conseguir lo que desea. El 11 es fuertote, un deportista que disfruta desbrozando caminos en un bosque o escalando montañas. El 10 es simplón, un personajillo blandurrio que siempre hace lo que le dicen; el 9 es profundo, místico, un buda contemplativo. No quiero aburrirle con todo esto, pero creo que ya se puede hacer una idea de lo que quiero decir.

¡Puf! Gracias por esta catarsis, con su punto expiatorio.

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Tras esa dosis de moralina, tan casándrica y, a qué negarlo, tan terapéutica 89 , ¡sursum corda!… permítanme una coda sobre lo bueno y lo bello.

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Hay mucho que aprender, mucho que cambiar en la sociedad del riesgo en que vivimos, que parece diseñada en su compacidad global para generar caos incontrolado. Hace falta una cultura global de permanente vigilancia para desactivar tanto riesgo, para no generarlo, no con voluntad ingenua de que no se repitan crisis, que se repetirán, sino para que no sean devastadoras, porque de éstas sólo hace falta una para que no haya vuelta atrás. Y no hablo de la Economía o del sistema financiero que también, sino de la maltrecha ecología, de la brutal desigualdad… Y se hará, ¡claro que sí!

E

Un panorama desasosegante, un diagnóstico amedrentante, de muchos frentes abiertos inestables, susceptibles de cambios vertiginosos, con suficientes escritos en la pared, suficientes avisos y señales, como la velocidad y vehemencia con la que se ha desencadenado esta crisis. Sin duda.


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Un tiempo que me ha dado tanto, sobre todo la fortuna de compartir…

A Chanquete, al gran Antonio Ferrandis, le concedieron hace años el premio al mejor actor en el festival de cine de Karlovy Vary en la actual Chequia. En la consiguiente entrevista, en una exhibición de original imaginación le preguntaron que qué sentía, si se sentía orgulloso. Y respondió que sí, que algo sí, pero que en realidad, él era irrelevante, que lo que la gente retendría en su memoria durante un tiempo era que un actor español había sido premiado. Así me siento yo. Abrumado y desbordado por un honor desmesurado fruto del afecto, que me llena de orgullo, de orgullo sobre todo por la fortuna de haber generado tanto cariño en mis amigos y colegas Pepe Méndez, Antonio Martinón y Fernando Pérez, en la Facultad de Matemáticas, y en la Universidad de La Laguna. Me hacen un inmenso honor a mí, pero lo que queda, lo que espero que permanezca, es que uno de aquí, que empezó aquí… José Luis Fernández Pérez (Santa Cruz de Tenerife, 1956) inició los estudios de Matemáticas en la Universidad de La Laguna y los concluyó en la de Zaragoza. Realizó su tesis doctoral en la Washington University de Saint Louis. Ha sido profesor de las universidades de Wisconsin y Maryland, siendo en la actualidad catedrático de Análisis Matemático de la Autónoma de Madrid. Su campo de investigación es el Análisis Complejo, en el que está considerado como un especialista de primer orden. Su obra ha sido publicada en las más influyentes revistas matemáticas. Su trabajo ha sido reconocido con el nombramiento de académico correspondiente de la Real Academia de Ciencias. Además de su labor como docente e investigador ha desarrollado una intensa actividad a favor de la cultura matemática. Ha sido presidente del Comité Español ante la Unión Matemática Internacional y del Comité Español del Año Mundial de las Matemáticas 2000. También presidió el Comité promotor de la candidatura de Madrid como sede del International Congress of Mathematicians del 2006, designación que se logra en 2002. Es codirector de Revista Matemática Iberoamericana, revista de investigación de alto impacto, y lo fue asimismo de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Además de su trabajo universitario, es consultor de Analistas Financieros Internacionales y dirige el Máster Ejecutivo de Finanzas Cuantitativas.

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…la discusión [con] colegas matemáticos haciendo malabarismos en el vacío con algún concepto ideal difuso y preciso, elemental y complejo, esencialmente compartido, transmitiendo matices sutiles con lenguaje e imágenes de secreta complicidad, persiguiendo un cierto enfoque, una idea tránsfuga y feliz, una conexión inesperada que ilumine una verdad científica (teorema) razonablemente novedosa que le atañe, exige una generosa voluntad de compartir, una, asaz breve, comunión de espíritu que crea vínculos de puro hermanamiento, de hermandad de las mentes. Ese milagro raro de la experiencia mística de estar en posesión de una verdad, pequeña quizás, pero nueva, que tan poéticamente relataba Schrödinger al rememorar el “advenimiento” de su ecuación, pero ahora en versión compartida. 90

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De una nota en el Boletín de la Real Sociedad Matemática Española recordando al añorado Juha Heinonen.

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 35–51

Otras deducciones o extensiones del teorema de Pitágoras a lo largo de la historia como recurso didáctico Julio C. Barreto García (Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre) Fecha de recepción: 10 de septiembre de 2008 Fecha de aceptación: 28 de febrero de 2009

Resumen

En este artículo mostraremos unas extensiones del Teorema de Pitágoras en su acepción geométrica, tomando en consideración el área de las figuras geométricas que están sobre los lados de un triángulo rectángulo y de esta manera ver que se cumple la relación Pitagórica para cualquier tipo de figuras que cumplan cierta condición. En particular, esta extensión la vamos a realizar usando las cuadraturas del rectángulo o del triángulo, como por ejemplo para el triángulo equilátero y luego para los semicírculos o las lúnulas, para lo cual cuadratura es lo mismo que decir área.

Palabras clave

Área, Teorema de Pitágoras, Cuadratura, Media geométrica, Lúnula.

Abstract

In this article we consider an extension of the classical geometric Pythagoras theorem, taking into consideration the areas of the geometric figures which by on the side of rectangular triangle. In this way we see that the Pythagoras relationship holds for every kind of figures which satisfy certain conditions. In particular, this extension we will make using the quadrature of the rectangle or triangle, like for example for the equilateral triangle and soon for the semicircles or the lune, for which squaring is the same as saying the area.

Keywords

Area, Pythagoras theorem, Quadrature, Geometrical mean, Lune.

1. Introducción El desarrollo de los procesos cognitivos en el campo de la Didáctica de la Matemática es capaz de ayudar a nuestros estudiantes en la resolución de problemas de geometría, los cuales se deben realizar coordinando la caracterización propuesta por Duval (1998) y desarrollados por Torregrosa, G. y Quesada, H (2007) en la ultima referencia, en donde el proceso cognitivo de visualización está íntimamente relacionado con la forma geométrica de la figura, es decir, su configuración y el razonamiento se basa en aplicar las afirmaciones matemáticas que les corresponda algebraicamente. La coordinación de estos procesos cognitivos les permitirá construir una teoría que generalizara un poco el Teorema de Pitágoras, tomando en consideración los triángulos equiláteros, semicírculos, lúnulas o cualquier otra figura geométrica que se coloque sobre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera, tomando en consideración la idea de área, y partiendo de una demostración hecha para el caso donde son cuadrados los que están sobre esos lados, esto es, si A y B son las áreas de los cuadrados construidos sobre las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo y C es el área del cuadrado construido sobre la longitud de la hipotenusa, entonces se debe cumplir que A + B = C.

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2. Relevancia del trabajo para la educación matemática En la historia de la matemática, se le atribuye a Bhaskara una demostración del Teorema de Pitágoras en el siglo XII en donde asocio la formula a 2 + b2 = c 2 con el área de los cuadrados que estaban sobre los lados de un triángulo rectángulo ( a y b sobre las longitudes de los catetos y c sobre la longitud de la hipotenusa) y operando con los cuadrados que estaban sobre las longitudes de los catetos logro formar el cuadrado que esta sobre la longitud de la hipotenusa. Ahora, durante mucho tiempo, tomando en consideración la idea de área se ha pensado en la posibilidad de construir figuras geométricas sobre los lados del triángulo rectángulo que cumplan esta relación y operando con los triángulos equiláteros, polígonos regulares, semicírculos y lúnulas nos damos cuenta que efectivamente se cumple. Esta nueva forma de ver el Teorema de Pitágoras, diferente en cierto modo a la de Bhaskara, permitirá a nuestros estudiantes divertirse operando con figuras geométricas junto a sus compañeros, fomentando la unión grupal y les servirá para ir conociendo un poco lo que en matemática significa el concepto de generalización o extensión, no solo por el hecho de no ser ya cuadrados, sino por que aprenderá a cuadrar (transformando los triángulos equiláteros en rectángulos mediante una reconfiguración aplicando la Proposición 13 del sexto libro de los Elementos la cual es la cuadratura del rectángulo), los triángulos cualesquiera mediante la cuadratura del triángulo (Proposición 10 del primer libro de los Elementos) y a partir de allí podemos aplicárselos a cualquier polígono por aplicaciones repetidas dividiéndolos en triángulos. Siguiendo la misma línea nos damos cuenta que de una manera muy aproximada podemos extender el Teorema de Pitágoras al caso en el cual sean semicírculos los que estén sobre los lados del triangulo rectángulo, tal como lo señala Jiménez, 2004, pp 103-117, cuando dice: Manteniendo la línea de pensamiento griego orientada hacia la comparación de figuras, Arquímedes demuestra que cualquier círculo “es igual” (es decir tiene la misma área) que un triángulo rectángulo uno de cuyos catetos es igual al radio y el otro igual a la circunferencia del círculo. En tal sentido, cuando tengamos lo semicírculos sobre los lados del triángulo rectángulo podemos aplicarle lo anterior a cada uno, y luego que obtengamos los triángulos rectángulos respectivos usamos la cuadratura del triángulo a cada uno para transformarlos en cuadrados y volvemos a usar la parte primera para ver que se cumple la relación Pitagórica para los semicírculos. Por su parte, existen otras figuras geométricas curvilíneas como lo son las lúnulas, las cuales cumplen la relación del Teorema de Pitágoras cuando están sobre los lados de un triángulo rectángulo, en ese sentido lo que podemos obtener para cada lúnula son triángulos isósceles que sean de área “igual” al de las lúnula y aplicarle la cuadratura respectiva a cada una de ellas hasta obtener la relación deseada a través de los cuadrados que se forman, los cuales cumple con todo lo mencionado al principio.

3. Marco teórico y calidad bibliográfica El campo de la Didáctica de la Matemática ha tomado un auge en los últimos años, debido al estudio que ella ha realizado en relación a los procesos cognitivos que deben desarrollar nuestros estudiantes al resolver los problemas de geometría en los cuales estén envueltos.

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En este articulo usaremos el modelo propuesto por Duval, en el cual se restringe un poco el concepto de visualización al de aprehensión en el cual “Concebimos las especies de las cosas sin hacer juicio de ellas o sin negar o afirmar” según el Diccionario de la Real Academia Española (2001). En estas aprehensiones, nos desplazaremos de una que empieza cuando el estudiante ve intuitivamente el Teorema de Pitágoras y la cual es llamada aprehensión perceptiva e iremos hacia una que conlleva a modificar la configuración inicial y es llamada aprehensión operativa, esto nos llevara a un razonamiento configural de un anclaje visual (ver por ejemplo los triángulos equiláteros) a un anclaje discursivo (Teórico: Usar las cuadraturas). Cabe destacar además que aprovechamos las acepciones geométricas del producto notable del cuadrado de una suma y de una diferencia de dos cantidades dado en 8vo grado, para deducir el Teorema de Pitágoras usado en 9no grado pero también desde un punto de vista geométrico y más aun cuando sean cuadrados los que están sobre los lados del triángulo rectángulo, así mismo la noción geométrica de la media geométrica nos permitirá extender el Teorema de Pitágoras cuando estas sean diferentes figuras poligonales (triángulos equiláteros, pentágono, hexágono, etc.) y estén sobre los lados del triángulo rectángulo, o también cuando sean semicírculos, o lúnulas las que estén sobre estos lados del triángulo rectángulo cualquiera.

4. Resultados 4.1. Teorema de Pitágoras: Extensiones a través de algunos Métodos Geométricos conocidos “La Geometría existe en todas partes... En el disco del sol, en la forma del datilero, en el arco iris, en el diamante, en la estrella de Mar, en la tela de araña y hasta en un pequeño grano de arena”. Platón. Filosofo griego. Motivación: El Teorema de Pitágoras en su acepción geométrica (comparación de áreas) dice que las áreas A B y C de los cuadrados que se forman sobre las longitudes de un triángulo rectángulo como el de la Figura 1 de abajo:

Figura 1: Conclusión hallada para el Teorema de Pitágoras en su acepción geométrica para un triángulo rectángulo cualquiera, en el cual se cumple que C = A + B.

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Esto lo podemos ver analizando las siguientes formas de triángulos rectángulos, como los de la Figura 2 de abajo:

Figura 2: A la izquierda se muestra un triángulo rectángulo notable de magnitudes 3, 4 en los catetos y 5 en la hipotenusa. A la derecha un triángulo rectángulo isósceles (triángulo isorrectángulo) de lados iguales a la unidad en los catetos.

Luego tenemos, lo siguiente mostrado en la Figura 3 de abajo:

Figura 3: A la izquierda vemos la división de cada cuadrado en tantos cuadraditos como unidades tenga los cuadrados originales construidos sobre los lados del triángulo rectángulo notable, aplicando una aprehensión operativa de cambio figural 1 . A la derecha dividimos los dos cuadrados construidos sobre los lados del triángulo isorrectángulo, siguiendo las diagonales, para obtener ocho piezas de forma triangular, aplicando una aprehensión operativa de cambio figural en el triángulo isorrectángulo.

Así, nos queda en la Figura 3 de arriba a la izquierda tenemos la siguiente igualdad numérica: 16 + 9 = 25, O bien, se cumple que: a 2 + b 2 = c 2 . Además según la Figura 3 de arriba a la derecha, nos queda que se cumple de nuevo lo siguiente: a 2 + b 2 = c 2 . Pero estos dos métodos geométricos no son mutuamente aplicables 2 . Ahora bien, si llamamos: ⎛ ab ⎞ c 2 = (a - b) 2 + 4⎜ ⎟. ⎝ 2 ⎠

Donde este cuadrado lo formamos con un cuadrado de lado (a − b ) de color negro y cuatro triángulos rectángulos verdes que salen de los dos rectángulos verdes, como veremos en la Figura 4 de abajo: 1

Es cuando se añaden (quitan) a la configuración inicial nuevos elementos geométricos (creando nuevas subconfiguraciones). 2 Para mayor información ver Barreto, 2008, en la tercera referencia.

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Figura 4: Producto notable del cuadrado de la diferencia de dos cantidades visto desde una perspectiva geométrica.

Veremos que efectivamente c es otro cuadrado de lado c, es decir, se puede formar de la 2 2 suma de estas dos áreas ( a y b ). Y este también es un cuadrado de lado c, mediante la construcción 2

que se realizo. Es decir, colocando el cuadrado de lado (a − b ) de color negro y cuatro triángulos rectángulos verdes con el color amarillo buscado en la Figura 5 de abajo se muestra:

Figura 5: A la izquierda se muestra como se forma aplicando una aprehensión operativa de reconfiguración 3 este cuadrado de lado c usando los cuatro triángulos rectángulos verdes y el cuadradito negro. En la derecha vemos que efectivamente este es el cuadrado de color amarillo de lado c buscado.

Y además, esa es la longitud del triángulo rectángulo que tiene en la hipotenusa longitud igual a

c, así por el razonamiento como un proceso configural 4 , nos queda el siguiente truncamiento 5 mostrado en la Figura 6 de abajo:

Figura 6: Conclusión hallada para el Teorema de Pitágoras en su acepción geométrica para un triángulo rectángulo cualquiera.

3

Es cuando las subconfiguraciones iniciales se manipulan como piezas de un puzzle. Es la coordinación entre la aprehensión discursiva y la operativa. 5 Es cuando la coordinación proporciona la “idea” para resolver deductivamente el problema (conjeturando afirmaciones que se prueban). Conduce a la solución de un problema. 4

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Y así podemos concluir lo siguiente: Teorema 1: En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre las longitudes de los catetos. 4.1.1 Veamos la siguiente Pre-generalización (Figuras poligonales) Aceptando la versión usual del Teorema de Pitágoras (Teorema 1), mediante una aprehensión perceptiva 6 , se puede demostrar que: Teorema 2: En todo triángulo rectángulo, el área del triángulo equilátero construido sobre la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre las longitudes de los catetos. Geométricamente veamos la Figura 7 de abajo:

Figura 7: En la figura vemos geométricamente el Teorema de Pitágoras, donde se extiende el caso a otras figuras geométricas como los triángulos equiláteros, es decir, CT = AT + BT .

Prueba: Una ilustración de la proposición a demostrar es la siguiente: Sea la Figura 8 de abajo:

Figura 8: Nueva subconfiguración de la Figura 7, a la cual le aplicamos una aprehensión operativa de cambio figural.

6

Es la primera en ser usada a lo largo de toda la etapa educativa y también la primera que aparece en el desarrollo cognitivo del alumno. Es un proceso más intuitivo e identificativo.

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Donde ABC es un triángulo rectángulo de hipotenusa c y catetos a , b . Además, ha , hb y hc son las alturas correspondientes a los lados a, b y c respectivamente. Luego, pasando de este anclaje visual a uno discursivo 7 donde tenemos que si AT , BT y CT representan las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre los lados del triángulo rectángulo ABC , entonces aplicando la versión lineal del Teorema de Pitágoras tenemos que:

BT =

bhb = 2

b2 2 4 = 3b . 2 4

b b2 −

Análogamente,

AT =

aha = 2

a2 2 4 = 3a . 2 4

a a2 −

Y también ocurre que,

CT =

chc = 2

c2 2 4 = 3c . 2 4

c c2 −

Así, AT + BT =

(

)

3a 2 3b 2 3 2 3 2 + = a + b2 = c = CT . 4 4 4 4

Por tanto, AT + BT = CT .

Vamos a usar las dos siguientes formas a través de cuadraturas, esto no es más que conseguir el área de una figura la cual equivale a compararla con otra figura. El cuadrado, es la figura rectilínea perfecta por excelencia, y se impuso desde el principio como el principal patrón de comparación, de allí que la palabra “cuadratura” fuera utilizada como una forma de referirse a lo que hoy denominamos calculo del área, según Jiménez, 2004, pp 103-117. Hagámoslo construyendo con regla y compás, ya que tiene un significado “sui generis”, puesto que esto fue lo que hicieron los propios griegos, según nos cuenta el mismo Jiménez, 2004, pp 103117. 7

Es la asociación de un dibujo a una afirmación matemática.

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4.1.1.1. Usando la cuadratura del rectángulo Este problema es el mas sencillo de plantear ya que consiste en encontrar un cuadrado equivalente a un rectángulo dado. La solución de este problema según Jiménez, 2004, pp 103-117, está en la proposición 13 del sexto libro de los Elementos, en la que se muestra como construir un segmento que sea media geométrica entre otros dos. La construcción en cuestión la haremos haciendo una circunferencia cuyo diámetro es la suma de los lados del rectángulo y en el punto de enlace de ambas longitudes dibujamos una perpendicular al diámetro hasta la circunferencia: El segmento así generado es el lado del cuadrado buscado. Veamos la siguiente Figura 9, aplicando una aprehensión discursiva 8 , cambiando del anclaje discursivo al anclaje visual 9 :

Figura 9: Representación geométrica de la cuadratura del rectángulo.

Así, formemos unos rectángulos dividiendo a través de la altura de los triángulos equiláteros dados en la figura geométrica del Teorema 2, es decir, la Figura 7, mediante un mediante una aprehensión operativa de reconfiguración 10 , es decir veamos la Figura 10 de abajo:

Figura 10: Rectángulos formados al dividir mediante una aprehensión operativa de cambio figural los triángulos equiláteros construidos sobre los lados del triángulo rectángulo de la Figura 7, los cuales se logran formar aplicando una aprehensión operativa de reconfiguración. 8

Es la acción cognitiva que produce una asociación de la configuración identificada con afirmaciones matemáticas (definiciones, teoremas, axiomas). Tal vínculo puede realizarse de dos maneras, según las direcciones de la transferencia realizada, a la que se denomina cambio de anclaje. 9 Es la asociación de una afirmación matemática a un dibujo. 10 Es cuando las subconfiguraciones iniciales se manipulan como piezas de un puzzle.

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Luego, busquemos el cuadrado que se equivalente a estos rectángulos, usando la afirmación anterior. El razonamiento teórico 11 nos dice que lo podemos hacer a través de la cuadratura del rectángulo, como veremos en la Figura 11 de abajo:

Figura 11: Aplicación geométrica de la cuadratura del rectángulos a los rectángulos de la Figura 10, dado lo planteado en la Figura 9.

Ahora solo basta ver que el área del cuadrado amarillo es igual a la suma del área del cuadrado rojo más el área del cuadrado azul. Esto lo hacemos utilizando del procedimiento realizado en la parte anterior para deducir el Teorema 1, para cuadrados, y esta igualdad de estas áreas de estos cuadrados implica por transitividad la igualdad para los triángulos rectángulos de donde se originaron y por tanto también para los triángulos equiláteros . 4.1.1.2. Usando la cuadratura del triángulo La cuadratura de un triángulo, por su parte, según Jiménez, 2004, pp 103-117, se sustenta en la proposición 10 del primer libro de los Elementos, es decir, dividir en dos partes iguales una recta finita dada y en la cuadratura anterior, pues bastaría prolongar la base del triángulo en la mitad de la altura del triángulo y tomar la media geométrica de estas dos cantidades como el lado del cuadrado buscado. Así, cambiando del anclaje discursivo al anclaje visual, tenemos la Figura 12 de abajo:

Figura 12: Representación geométrica de la cuadratura del rectángulo.

11

Utiliza sólo teoremas, axiomas o definiciones para llegar a la conclusión, esta estructurado deductivamente. Se coordina la aprehensión discursiva-operativa en el proceso configural.

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Luego se puede utilizar el procedimiento mencionado en la cuadratura del rectángulo a los triángulos equiláteros de la Figura 7, pero tomando ahora la base del triángulo equilátero y la mitad de la altura para cada uno de esos triángulos equiláteros. Con estas herramientas a la mano es sencillo cuadrar cualquier polígono por triangulación y aplicaciones repetidas del Teorema de Pitágoras (Proposición 47 del primer libro de los Elementos) esto según Jiménez, 2004, pp 103-117. Así, el polígono de la figura de abajo se descompone en los triángulos T1 , T2 y T3 cuyas cuadraturas producen los cuadrados C1 , C2 y C3 de lados c1 , c2 y c3 , respectivamente.

Figura 13: Geométricamente vemos la cuadratura del polígono verde.

Así podemos aplicar todo lo anterior a cualquier polígono que este sobre los lados del triángulo rectángulo, como por ejemplo los pentágonos como los de la Figura 14 siguiente:

Figura 14: Geométricamente vemos una extensión del Teorema de Pitágoras en su acepción geométrica a otras figuras poligonales. En este caso los pentágonos regulares también satisfacen que A + B = C, donde A, B y C denotan las áreas de los pentágonos que están sobre los lados del triángulo rectángulo.

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Tomando uno de los pentágonos como el de la Figura 15 de abajo:

Figura 15: Pentágono regular al que se le aplico una aprehensión operativa de cambio figural trazando unas diagonales a través de algunos de su vértices opuestos

Este polígono de la Figura 15 de arriba se puede descomponer en los triángulos T1 , T2 y T3 cuyas cuadraturas producen los cuadrados C1 , C2 y C3 de lados c1 , c2 y c3 , respectivamente y nuevamente una 2 2 aplicación del teorema de Pitágoras nos da un cuadrado K1 de área c1 + c2 y la siguiente el cuadrado K2

2 2 2 de área c1 + c2 + c3 .

Además podemos enunciar un teorema de Pitágoras en su acepción geométrica para este caso de polígono regular como el pentágono y así sucesivamente para otros polígonos regulares como los hexágonos, heptágono, etc. Esto lo hacemos construyendo con regla y compás, ya que tiene un significado “sui generis”, puesto que esto fue lo que hicieron los propios griegos, según nos cuenta el mismo Jiménez, 2004, pp 103-117. Al Margen: La construcción de los triángulos rectángulos exigidos se sustenta en las proposiciones 2 y 11 del primer libro de los Elementos. La primera permite construir segmentos de cualquier tamaño y la segunda, ángulos rectos en puntos dados de un segmento. De acuerdo a Evariste Galois (1811-1832), el proceso para llegar a la solución para resolver un problema con regla y compás es el siguiente: Cada una de las etapas de un problema a resolver con regla y compás se reduce a una ecuación de primero o segundo grado y, por consiguiente, todos los problemas resolubles con regla y compás se reducen a una ecuación algebraica con una incógnita cuya solución implica la extracción de una cadena de raíces cuadradas. Recíprocamente: Si la solución de un problema geométrico se reduce a la solución de una ecuación algebraica de este tipo, dicho problema puede ser resuelto con regla y compás; ello es así porque las raíces cuadradas pueden construirse con regla y compás. Entonces, para demostrar que un problema geométrico puede ser resuelto con regla y compás debe plantearse, en primer lugar, una ecuación algebraica equivalente al problema dado (En nuestro Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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caso las cuadraturas del triángulo y el rectángulo), luego si no es posible hallar tal ecuación entonces el problema no tiene solución. Por ejemplo, en la cuadratura del rectángulo cambiando del anclaje discursivo al anclaje visual, nos queda la Figura 16 de abajo:

Figura 16: Aquí tenemos un rectángulo ABCD donde tenemos que las longitudes AB y BC forman 2 el diámetro de la semicircunferencia en la que se cumple: BE = AB × BC.

4.1.2. Otra Pre-generalización (Figuras curvilíneas) Sin embargo, todos estos procedimientos mencionados anteriormente sólo funcionan bien cuando se trata de cuadrar figuras poligonales, mas no para regiones cuya frontera es curva como por ejemplo, el círculo. En este sentido, hay un resultado recogido en los Elementos que es clave en todo este asunto: La proposición 2 del décimo segundo libro de los Elementos de Euclides que dice que los círculos son uno a otro como los cuadrados de sus diámetros. En el lenguaje moderno, si Ai es el área de un círculo i de diámetro d i , entonces 2

A1 d1 = . A2 d 2 2

Independientemente de los círculos A1 y A2 . Ésta demostrada en los Elementos con una base teórica provista por uno de los mejores discípulos de Platón, el matemático Eudoxo. Se conoce como método de exhaución y es uno de los antecedentes del moderno cálculo integral. La demostración procede por comparación del área del círculo con las áreas de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y el análisis de las pequeñas diferencias entre estas áreas, que se reducen al aumentar el número de lados de los polígonos. Sin embargo, demostraciones como estas, basadas en procesos que potencialmente estamos en capacidad de repetir cuantas veces deseemos, es decir lo que hoy llamamos procesos infinitos, mostraban la dificultad de conseguir la cuadratura del círculo. Aceptando la versión usual del Teorema de Pitágoras, mediante una aprehensión perceptiva, se puede demostrar que:

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Teorema 3: En un triángulo rectángulo, el área de un semicírculo construida sobre la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los semicírculos construidas sobre las longitudes de los catetos. Geométricamente veamos la Figura 17 de abajo:

Figura 17: En la figura vemos geométricamente el Teorema de Pitágoras, donde se extiende el caso a otras figuras geométricas como los semicírculos, es decir, C SC = ASC + BSC .

Veamos la Figura 18 de abajo:

Figura 18: Subconfiguración de la Figura 17.

Calculando, cambiando del anclaje visual al anclaje discursivo: 2

• Área del semicírculo de diámetro OB : ABEOH = π OB . 8 2

• Área del semicírculo de diámetro AB : ABCAG = π AB . 8 2

• Área del semicírculo de diámetro OA : AADOF

π OA = . 8

Así, comparando las sumas de las áreas obtenidas por una aprehensión discursiva en (1), (2) y (3) tenemos mediante un razonamiento como un proceso configural, el siguiente truncamiento:

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2

2

(

)

2

2 2 π OB π AB π π OA + = OB + AB = . 8 8 8 8

O lo que es lo mismo:

ABEOH + ABCAG = AADOF . Sin duda que en este aspecto quien recoge los más cerrados aplausos es Arquímedes, en particular con su pequeña obra Medida del círculo, de la que queremos comentar algunos puntos. Sabiendo que hay una razón constante entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, así como también una razón constante entre el área de un círculo y el cuadrado de su diámetro, Arquímedes se interrogó sobre la relación entre estas dos constantes. Nos cuenta Jiménez, 2004, pp 103-117, que manteniendo la línea de pensamiento Griego orientada hacia la comparación de figuras, Arquímedes demuestra que cualquier círculo “es igual” (es decir, tiene la misma área) que un triángulo rectángulo uno de cuyos catetos es igual al radio del círculo y el otro igual a la circunferencia del círculo, como se muestra en la Figura 19 de abajo:

Figura 19: Cuadratura aproximada del circulo según Arquímedes.

La demostración de esta equivalencia es una joya intelectual tallada con dos herramientas que el analista de hoy maneja con soltura, pero que para la época en que fueron aplicadas significaron un salto intelectual de magnitud. Ahora bien, a partir de esta forma de cuadrar aproximadamente los semicírculos que están en los lados del triángulo rectángulo podemos aplicarlo a cada uno de estos semicírculos, luego usar la cuadratura de los triángulos y seguir usando todo este procedimiento para lograr comparar estas áreas como lo hecho para el Teorema 2. Como consecuencia de la resolución del problema de cuadrar un círculo, es decir, de construir con regla y compás el lado de un cuadrado de área igual a la de un círculo de radio dado es lo que condujo al descubrimiento de los números trascendentes, lo cual fue un desarrollo de la matemática. De los intentos por resolver este problema condujeron a la demostración de que no existe una ecuación algebraica que relacione el cuadrado con el radio del círculo; en otras palabras, el lado de ese cuadrado no es expresable en función del radio a través de una cadena de raíces cuadradas.

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4.1.3. Otra Pre-generalización (Más figuras curvilíneas) Aceptando la versión usual del Teorema de Pitágoras, mediante una aprehensión perceptiva, se puede demostrar que: Teorema 4: En un triángulo rectángulo, el área de la lúnula construida sobre la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las lúnulas construidas sobre las longitudes de los catetos. Geométricamente, veamos la Figura 20 de abajo:

Figura 20: En la figura vemos geométricamente el Teorema de Pitágoras, donde se extiende el caso a otras figuras geométricas como las lúnulas, es decir, C L = AL + B L .

La proposición 2, del décimo segundo libro de los Elementos de Euclides se atribuye según Jiménez, 2004, pp 103-117, a un matemático del siglo V a.C. que tiene el mismo nombre de un también famoso medico griego: Hipócrates. El nuestro (el matemático) era originario de la isla de Chios y fue el primero que, motivado por la imposibilidad de conseguir la cuadratura del círculo, llevó las soluciones de cuadraturas mas allá de las figuras con fronteras poligonales. Hipócrates logró cuadrar una figura que conocemos como lúnula y que mostramos en la Figura 21 a la izquierda tomando en consideración la Figura 21 a la derecha y abajo:

Figura 21: Lúnulas

Aquí lo que debemos obtener antes es que el área de la lúnula es equivalente al del triángulo AOC como vemos en la Figura 21 de arriba para mayor información ver referencia de Jiménez, 2004,

pp 103-117, y como el triángulo es una figura cuadrable, este resultado garantiza por transitividad que la lúnula también lo es.

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Luego, podemos aplicar la Proposición 10 del primer libro de los Elementos el cual es la cuadratura del triángulo para hallar los cuadrados equivalentes y ver que se cumple la relación hicimos igual que la demostración del Teorema 2. “Ninguna investigación merece el nombre de ciencia si no pasa por la demostración”. Leonardo da Vinci (1452-1519). Pintor, arquitecto, ingeniero italiano.

5. Interpretaciones y Conclusiones En el estudio de está generalización o extensión del Teorema de Pitágoras, nuestros estudiantes aprenderán a cuadrar triángulos equiláteros con regla y compás (tal y como lo hacían los propios griegos según esta escrito el historia de la matemática) aplicando la teoría dada en la cuadratura de un rectángulo o en la cuadratura de un triángulo de los Elementos de Euclides. En otro orden de ideas, así como podemos transformar un rectángulo en un cuadrado como vimos en la Figura 3 parte derecha, también podemos mantener un triángulo equilátero que tenga la misma área que la suma de otros dos triángulos equiláteros de base dada usando este teorema tan importante. Así mismo podemos hacer con dos círculos con diámetros dados formar un círculo de área igual a la suma de estas dos, con las lúnulas, etc. Por lo que puedo decir que si de Leonardo da Vinci tenemos forma de perfecta en la cuadratura humana del hombre de Vitruvio donde en el pensamiento renacentista: El hombre medida de todas las cosas, la belleza ajustada a cánones, equilibrio, proporción… en los Pitagóricos tenemos: La belleza de las cuadraturas de las formas geométricas y en la hipotenusa la razón áurea de la perfección geométrica en donde descansa la perfección del mundo en general, de acuerdo a sus diferentes formas, patrones y dimensiones…originando nuevas formulas en diversas ramas de las ciencias con sus respectivas demostraciones. En todo caso, al demostrar el Teorema de Pitágoras lo podemos usar para deducir diferentes 2 2 relaciones como en la Identidad Trigonométrica cos φ + sen φ = 1 en 1er año del ciclo diversificado, la Ecuación de la Circunferencia en 2do año del ciclo diversificado, Distancia, Valor Absoluto, Coordenadas Polares, Cilíndricas, Esféricas, etc. en Cálculo y Métrica a través de la distancia definida en Cálculo en Topología. "No estoy de acuerdo con tus ideas, pero defiendo tu sagrado derecho a expresarlas." Francois Marie Arouet Voltaire.

Bibliografía Barreto, J. (2007). Otras deducciones del teorema de Pitágoras a lo largo de la historia de la matemática, como recurso didáctico en el proceso de enseñanza-aprendizaje. F González (Presidente). Memorias del VI Congreso Venezolano de Matemática. (pp. 537-546). Maracay: Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Barreto, J. (2008). Deducciones de las formulas para calcular las áreas de figuras geométricas a través de procesos cognitivos. Números [en línea] 69. Recuperado el 10 de abril de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 53–65

El aprendizaje de las matemáticas a los tres años: Narración reflexiva sobre la construcción de un mercado medieval Carlos de Castro Hernández (CSEU La Salle, Universidad Autónoma de Madrid) Ares González Hueso (CSEU La Salle, Universidad Autónoma de Madrid) Beatriz Escorial González (CEIP Virgen de Peña Sacra) Fecha de recepción: 27 de agosto de 2008 Fecha de aceptación: 15 de diciembre de 2008

Resumen

Narración de un proyecto en el que los niños, conjuntamente con sus maestros, y con la colaboración de madres y padres, construyen un mercado medieval. La actividad matemática desarrollada en este proyecto resulta muy rica y variada, aunque difícil de predecir o planificar. Esto es debido a que el trabajo por proyectos está orientado al desarrollo de procesos, más que al aprendizaje de contenidos concretos. Los maestros intervienen, dentro del proyecto, para plantear situaciones complementarias que permitan a los pequeños aprender destrezas tales como el conteo de hasta cinco objetos.

Palabras clave

Matemáticas, Método de Proyectos, Educación Infantil, Interés Infantil, Aprendizaje de destrezas.

Abstract

Narrative of a project where children, together with their teachers, and with the collaboration of parents, build a medieval market. Mathematical activity developed in this project is very rich and varied, although difficult to predict or plan. This is because project approach is guided to the development of processes, rather than to the learning of contents. Teachers involved in this project, intervene to plan complementary situations that enable children to learn skills such as counting up to five objects.

Keywords

Mathematics, Project Approach, Preschool, Children’s Interest, Skills Learning.

1. Introducción Desde el nacimiento hasta los dos años de edad el niño está inmerso en el periodo de desarrollo sensoriomotor (Delval, 1996). Durante dicho periodo, los niños aprenden muchas matemáticas, según se desprende de investigaciones realizadas desde la Psicología en los últimos veinte años con bebés (Lago, Jiménez, y Rodríguez, 2003). En esta etapa, el tipo de experiencias que las maestras y educadoras ofrecen a los bebés y niños de hasta dos años, para promover el aprendizaje de las matemáticas, tiene unas características bien definidas. Los pequeños se implican en situaciones de juego libre e individual con materiales para la educación sensorial (alfombras sensoriales, cubos encajables de colores, puzles). También ha alcanzado gran difusión la actividad infantil que se desarrolla en torno al Cesto de los Tesoros y en el Juego Heurístico (Majem y Ódena, 2005) que tiene un importante contenido matemático (Alsina, 2006). Se asume que, en este periodo, la actividad infantil es fundamentalmente exploratoria y de experimentación sensorial a través del juego con objetos. Los materiales pueden tener un diseño que favorezca el aprendizaje de las matemáticas (como los puzles orientan al reconocimiento de formas geométricas, o el Juego Heurístico hacia la

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clasificación), pero la interacción de los niños con los materiales es libre y la actividad infantil no está dirigida durante su desarrollo (sí por el diseño de materiales, como hemos explicado) hacia el aprendizaje de conceptos matemáticos específicos. A partir de los 4 años, la actividad infantil en muchos centros educativos suele tomar un carácter ‘preescolar’, en el sentido de considerarse preparatoria para la Educación Primaria. Los niños comienzan a leer y a escribir numerales, a resolver problemas aritméticos verbales sencillos e incluso, en algunos centros, a hacer operaciones aritméticas, más propias de la Educación Primaria. Así, de los 4 a los 6 años, se asume que parte de la actividad matemática deja de tener un carácter exploratorio, tan abierto como en etapas anteriores, y pasa a estar orientada al aprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos concretos. Esto, por supuesto, no quiere en absoluto decir que el curso de 5 y 6 años deba anticipar contenidos de primero de Educación Primaria. Debemos ser sensibles al desarrollo, necesidades e intereses de los niños y niñas de estas edades y proporcionarles experiencias matemáticas adecuadas (De Castro y Escorial, 2006, 2007a, y 2007b; Edo y Masoliver, 2008). Queda entonces un tiempo, entre los 2 y los 4 años de edad, con unas características muy específicas en el desarrollo infantil, en el que está menos claro cómo deben “enseñarse” las matemáticas. Piaget describe tres subniveles dentro del subperíodo preoperatorio (aproximadamente de los 2 a los 7 años). De los 2 a los 4 años, aparece la función semiótica y los pequeños comienzan a interiorizar las acciones en representaciones, mientras que de los 4 a los 5 años y medio se pasa a un nivel distinto de organización de estas representaciones surgidas en el nivel anterior (Delval, 1996, p. 130). Esta diferencia, estudiada por los psicólogos, tiene un correlato evidente en la práctica educativa de los profesionales de la Educación Infantil. Los niños de la clase de 3 años parecen todavía “muy pequeños”, mientras que los de la de 4 son ya “mayores”, existiendo diferencias muy notables en aspectos fundamentales como la autonomía de los niños o el desarrollo lingüístico. La Ley General de Educación de 1970 (BOE, 187, 6 de agosto de 1970) reconocía dos etapas distintas dentro de la Educación Preescolar: El Jardín de Infancia, para niñas y niños de 2 y 3 años, para el que se proponía una educación semejante a “la vida del hogar” y la Escuela de Párvulos, para 4 y 5 años, que ya incluía “juegos, ejercicios lógicos y prenuméricos” (p. 12529). Esta organización de la Educación Preescolar recogía bastante bien la distinción entre los niños de 2 y 3 años con respecto a los de 4 y 5 que hemos comentado en el párrafo anterior. Con la aparición de la actual Educación Infantil, de 0 a 6 años, el segundo ciclo de Infantil, de 3 a 6 años, resulta una etapa heterogénea desde el punto de vista del desarrollo infantil. En este contexto nos planteamos el siguiente interrogante, desde un punto de vista profesional y de investigación: ¿Cómo se puede favorecer el aprendizaje de las matemáticas de niñas y niños de 3 años? ¿Qué carácter deben tener las experiencias matemáticas planteadas en esta edad? ¿Deben mantener el carácter exploratorio y totalmente abierto del periodo anterior (0 a 2 años) o comenzar a orientar el aprendizaje a contenidos matemáticos concretos, como suele hacerse de los 4 a los 6 años? En este trabajo pretendemos dar una respuesta parcial a estas preguntas al presentar la narración de una experiencia de aula con niños de 3 años y las reflexiones sobre el aprendizaje de las matemáticas que nos sugiere dicha experiencia al observarla desde la teoría.

2. ¿Qué matemáticas hacen las niñas y los niños de 3 años? La primera cuestión que debemos plantearnos en cualquier experiencia matemática con niños de tres años es qué matemáticas nos indican las investigaciones que pueden hacer los pequeños de esta edad. Hemos adoptado como referencia el trabajo de Clements (2004) sobre el currículo matemático

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de la Educación Infantil. En los siguientes párrafos, presentamos un resumen advirtiendo previamente del carácter orientativo, aproximado, y nunca prescriptivo de las afirmaciones que hacemos sobre contenidos matemáticos para la edad de tres años. A los tres años, los niños utilizan cuantificadores como ‘muchos’, ‘pocos’ o ‘ninguno’, pueden formar colecciones de hasta 4 objetos tomando una colección como muestra (sin que les den la cantidad verbalmente), contar oralmente hasta 10, indicar qué número va después de uno dado hasta el 9 recitando la secuencia numérica (por ejemplo: ¿Qué número va después de cuatro? “uno, dos, tres, cuatro y cinco. El cinco.”), pueden contar hasta 4 objetos sabiendo que la última palabra representa el número de objetos de la colección. También forman colecciones de hasta 4 objetos si les pedimos la cantidad oralmente (“dame cuatro lápices”). Pueden reconocer sin contar (subitizándolas) cantidades de tres objetos o formar colecciones de 3 dedos con sus manos. Pueden determinar visualmente cuando en una colección de objetos hay más que en otra si la diferencia es suficientemente grande. Comprenden términos ordinales como “primero” y “último”. Pueden hacer pequeñas “sumas” y “restas” (planteadas como acciones de añadir o quitar cantidades) con cantidades de hasta 3 objetos. Comienzan a razonar cualitativa e intuitivamente sobre las relaciones de parte-todo, de modo que reconocen que aumentar (o disminuir) el tamaño de una de las partes aumenta (o disminuye) el total. En el ámbito del conocimiento de las formas y el espacio, emparejan formas iguales, primero con el mismo tamaño y orientación y después con distinto tamaño y orientación. Juegan informalmente con formas geométricas tridimensionales y realizan “composiciones” con figuras aisladas. Comprenden y utilizan conceptos como: encima, debajo, en, al lado de, cerca de. Crean informalmente formas bidimensionales y construcciones tridimensionales con un eje, centro o plano de simetría. En la clasificación, juntan, dentro de una colección de objetos, los que sirven para comer, vestirse, etc., agrupan objetos con un atributo común (juntar fichas rojas), y comienzan a clasificar Bloques Lógicos atendiendo al color, a la forma, al tamaño y al grosor. También pueden formar conjuntos con dos atributos (figuras grandes y rojas). Por último, relacionado con la medición, establecen comparaciones informales de atributos y emplean expresiones del tipo “más grande”, “más alto” y “más largo”.

3. El proyecto del mercado medieval La experiencia se ha desarrollado en un aula de tres años (con 22 niños y niñas) del Colegio Público Virgen de Peña Sacra, de Manzanares el Real, localidad madrileña que cuenta con un famoso castillo que, junto con el mercado medieval que se organiza cada año, forman parte de la experiencia de los niños y niñas del colegio. Las vivencias de los pequeños en este entorno hacen que la Edad Media, con sus castillos, reyes y, por supuesto, “dragones”, susciten el interés de niños y niñas convirtiéndose en un extraordinario eje vertebrador de un proyecto infantil. La maestra, Beatriz, trabaja por proyectos siguiendo la inspiración de las escuelas de Reggio Emilia, pero adaptándola a un contexto muy diferente del de dichas escuelas italianas. Nuestro interés en el trabajo por proyectos y en el aprendizaje de las matemáticas con niños de tres años, nos llevó a orientar el interés de los niños por la Edad Media hacia la construcción de un mercado medieval, considerado un contexto apropiado para la construcción infantil de numerosos aprendizajes matemáticos. Los adultos participantes en el proyecto nos planteábamos al inicio de la experiencia diversos objetivos como: construir un contexto significativo para la iniciación al número, utilizar el conteo en Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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situaciones prácticas de compra y venta, reflexionar sobre el valor/precio de las cosas, aprender conceptos básicos como caro/barato, clasificar objetos al organizar el mercado, valorar el dinero, comprender la acción de pagar al hacer una compra, etc. Aunque estos objetivos están muy próximos a las matemáticas (conteo, aprendizaje de la medición, clasificación…), no son menos importantes los aprendizajes que deben producirse en esta situación relativos a la iniciación a la lectoescritura, la expresión plástica, el desarrollo psicomotor, o la propia colaboración y cooperación entre los pequeños. Aunque en este trabajo enfaticemos más los aspectos matemáticos, el relato de la experiencia nos dejará un sabor de aprendizaje globalizado, que responde a la necesidad de los niños a estas edades. La experiencia tuvo una duración de algo más de un mes, durante el cual se trabajaba en el proyecto de lunes a viernes, de 9:00 a 11:15. La tabla siguiente puede utilizarse como referencia para seguir la evolución de las actividades que tuvieron lugar durante el desarrollo del proyecto. Lu ne s 18-22 febrero 25-29 febrero 3-7 abril 10-14 abril

Ma rte s

Pintamos el castillo Asamblea: vida medieval. Cuento del Castillo Asamblea previa al mercado. Carta a los padres

24-28 abril

Asamblea: 2 cuentos Medievales Llueve: Salida mercado Asamblea: ¿Qué necesitamos? Asamblea matemática. Castillo Manzanares. Comprobación material. Cascos con globos.

M iér co le s

Ju ev es

V ier ne s

Nos medimos. Clasificamos briks Construimos el castillo Pichurrona (la dragona). Carta a los padres Preparación visita. Presentación caja Visitamos la panadería. Vemos la Flauta mágica registradora. Asamblea: conclusiones Juego libre ¿Quién necesita…?

Talleres: escudos, coronas, espadas…

Ponemos precios. Hacemos carteles. Carta a los padres.

Preparación del mercado Reparto de monedas. Mercado Medieval. Actuación malabares.

3.1. La construcción del castillo Al inicio del proyecto, los niños estaban construyendo un castillo como resultado de un proyecto anterior. Se había escrito una carta a los padres para pedirles briks de leche o zumo. Durante los primeros días de la semana se fueron recopilando los briks, hasta que el miércoles llegó el día de organizar el material que habíamos conseguido para construir el castillo. Dado que había briks de tres tamaños distintos (20 centilitros, 1 litro y 1 litro y medio), se propuso a los niños que clasificaran los briks por tamaños para facilitar la tarea posterior de construcción. Una vez explicada la diferencia de tamaño a los niños, dejamos briks en las mesas de los cuatro grupos. La Figura 1 muestra el momento en el que los niños exploran y observan los tamaños de los briks y esperan su turno para ir a clasificar.

Figura 1. La actividad de clasificación, su resultado, y rellenando los briks con arena

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Antes de comenzar con la construcción del castillo, nos dimos cuenta de que los ladrillos de los castillos pesan mucho, así que nos pusimos a pensar cuál sería la mejor manera para hacer que nuestros briks pesasen. Guille pensó que si los llenásemos de agua pesarían más, así que se fue al baño, trajo un brik lleno de agua y se lo fue pasando a los demás. Todos comprobaron que Guille tenía razón. Sin embargo, no dimos la solución por válida porque “si llenásemos todos de agua, se secarían los ríos”. Así que seguimos pensando y las soluciones fueron variadas: leche, zumo, lentejas, arroz,… hasta que a Elena se le ocurrió que podíamos llenarlos de arena del jardín (Figura 1). Los maestros recortaron la parte superior de los briks y los niños los llenaron de arena. Después, los maestros los cerraron con celofán y quedaron guardados para el día de la construcción.

Figura 2. Calculando la altura de la puerta

Para hacer la puerta del castillo, se planteó el problema de qué altura darle. Para ello tuvimos que ver cómo éramos de altos, registrando la altura de cada alumno sobre papel continuo. Cada niño intentaba escribir su nombre junto a la marca que representaba su altura. Como todavía no tienen una escritura reconocible para un adulto, nosotros escribimos sus nombres al lado (Figura 2). Al comparar las líneas sobre el papel, vimos que Guille era el más alto. Nuestra puerta tenía que ser, por tanto, más alta que Guille para que todos pudieran pasar. Al final, se decidió hacer la puerta con unos tubos de cartón, de modo que resultó mucho más alta de lo que habíamos previsto.

Figura 3. La construcción del castillo

La dinámica de la construcción se realizó por grupos. Un grupo construía, otro pintaba con ceras los banderines que decorarían el castillo. Para construir, los niños cogían un brik, le echaban cola con una brocha, y después lo pegaban en hilera junto a los demás. Los maestros colaboraban en el momento de pegarlos. El trabajo fue arduo porque la construcción se cayó varias veces hasta que conseguimos que con celo y unas estacas quedase firme y estable (Figura 3). Una vez terminada la estructura del castillo, los maestros lo forraron con papel continuo y los pequeños lo pintaron con rodillo y pintura de dedos (Figura 4). Acabado el castillo, los niños pidieron hacer un dragón. Uno de los maestros pintó una dragona que los niños decoraron con brochas. Mario sugirió para la dragona el nombre de “Pichurrona”, y su propuesta fue muy bien acogida por todos.

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Figura 4. Pintando el castillo y la dragona

Otra nueva carta a los padres informa de la evolución del proyecto y solicita información sobre la vida medieval: libros, cuentos, música. Esto nos llevó a investigar sobre los personajes de aquella época (reyes, caballeros, campesinos), a ver qué comían, cómo vestían, dónde dormían o cómo cocinaban. A partir de este momento, la música medieval nos acompañará hasta el final del proyecto. 3.2. El mercado medieval Al investigar sobre la vida en el medievo, aparecen las figuras del panadero y el mercader, que nos servirán de enlace con nuestra idea inicial de hacer un mercado medieval con los niños de 3 y 4 años. La experiencia de organizar un mercado en clase es muy habitual en la Educación Infantil y es plenamente compatible con el trabajo por proyectos (Cagliari y Rubizzi, 2005) que seguíamos en clase. Es una experiencia que puede perfectamente plantearse con niños de 3 y 4 años (Selmi y Turrini, 1988) y que resulta muy interesante desde el punto de vista del aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Infantil (Edo y Masoliver, 2008). No obstante, Gifford (2005) advierte que cuando a los niños y niñas de Educación Infantil se les deja jugar con plena libertad, dentro del entorno del juego de un mercado, no suelen interesarse por los números como cantidades exactas de cosas o de monedas. Suelen intentar llevarse muchos productos, pagan cantidades arbitrarias de monedas… Es decir, debemos imponer ciertas reglas sobre el uso del dinero, por ejemplo, para garantizar que dentro de la situación de juego del mercado se produzcan aprendizajes matemáticos. Con respecto al uso del dinero, Dickson, Brown y Gibson (1991) presentan una propuesta sobre las destrezas matemáticas básicas necesarias para que los niños aprendan a utilizar el dinero. Según estos autores, los primeros pasos en este aprendizaje vienen marcados por el reconocimiento de monedas, el aprendizaje de la equivalencia entre las mismas, y el uso del dinero en situaciones prácticas de compra y venta. Más adelante, adquiere mayor relevancia la relación del sistema monetario con el sistema de numeración decimal para el aprendizaje del valor posicional y de los números decimales (imprescindibles, por ejemplo, para leer precios en euros). Dependiendo de la edad de los pequeños con los que trabajamos, podremos abordar, o no, el estudio de las destrezas señaladas. En el caso de niños de 3 años, asumíamos que no tenía sentido tratar de que reconocieran las distintas monedas, ni la equivalencia entre las mismas. Sin embargo, las situaciones de compra venta en el mercado, con un sistema monetario simplificado, cuyo uso estaría basado únicamente en el conteo de una a cinco monedas (destreza que muchos de los niños dominaban y que es objetivo claro de aprendizaje para la edad) resultaban claramente adecuadas. Estos planteamientos sobre el uso del dinero y la pertinencia de organizar un mercado con niños de tres años constituyen parte importante de las reflexiones que hicimos previamente al inicio del proyecto, y que lo enmarcan y justifican las elecciones que hicimos durante el desarrollo del mismo cuyo relato dejamos avanzar a continuación.

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3.3. La elaboración del mercado Como respuesta de los padres a nuestra última carta, Pedro y Guille han traído un cuento sobre castillos y vida medieval. El cuento de Guille, que leemos primero por sorteo, habla del castillo con sus habitantes, los animales, las guerras… El de Pedro es sobre un caballero que acude a un torneo en una ciudad en la que hay un mercado medieval. Después de alusiones variadas al mercado medieval, decidimos hacer una visita a una panadería cercana al colegio. Una vez allí, han podido ver que estaba todo muy organizado (Figura 5). Esto fue lo que más les llamó la atención y lo único por lo que preguntaron a la panadera. Ella les ha mostrado a los pequeños el proceso de comprar, haciendo referencia a la utilidad de la caja registradora.

Figura 5. Salida a la panadería

Una situación que se dio en la panadería es que todos querían cosas y les hemos dicho que si tenían dinero podían comprar algo. Al no tener ninguno, ha quedado claro que sin dinero no podían comprar. A la vuelta de la panadería, hemos hecho una pequeña asamblea para sacar conclusiones: • Para nuestro mercado medieval necesitamos una caja “distradora” (como dijo Nerea) para poder vender y comprar. • En un mercado, las “cosas tienen que estar organizadas”, tal como vimos en la panadería. • “Para comprar, necesitamos dinero. Si no, no se puede comprar.” En ese momento, Irene plantea la siguiente pregunta: “¿Y de dónde vamos a sacar una caja registradora?” El regalo inesperado de una caja registradora “de verdad”, irrumpe en el aula. Una vez mostrado el funcionamiento de la caja, pasamos a hacer juego libre con ella por turnos. Para que sea más cómodo, los dividimos en dos grupos, uno tiene la caja registradora y el otro tiene una pequeña caja de juguete que nos presta la clase de los “tigres” (Figura 6).

Figura 6. La caja registradora

Al día siguiente, durante esta asamblea, llegamos a la conclusión de que los niños quieren disfrazarse de personajes medievales y damos un pequeño giro para adaptarnos a sus intereses. La idea inicial era preparar diferentes productos para el mercado: comida, pulseras o anillos. Sin embargo, siguiendo la iniciativa de los niños, decidimos centrarnos únicamente en sus disfraces, los cuales harán y después comprarán. Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Durante el proyecto, alguna iniciativa se ve frustrada por las circunstancias. Así, tuvimos que anular una visita programada al mercado medieval en Manzanares el Real por la lluvia y la fiebre que tenían más de la mitad de los pequeños. En lugar de esto, seguimos trabajando en los vestidos preguntando a cada niño de qué quería disfrazarse y qué necesitaba para su disfraz. Para hacer esto, los niños debían elaborar una lista dibujada de los objetos que iban a necesitar para disfrazarse. Todos tuvieron necesidad de dibujarse a sí mismos con los objetos, en lugar de dibujar los objetos sin más. Según los niños cuentan lo que necesitan a los maestros, utilizando los dibujos que han hecho, los maestros lo van apuntando en la pizarra. Al final, se juntaron un rey, una reina, doce caballeros, seis princesas y una bailarina. Los objetos necesarios eran: cetro, capa, corona de rey, caballo, espada, funda de espada, escudo, gorro, armadura, flauta, corona de caballero, casco, cinturón de la funda, falda de princesa, corona de princesa, cinta para el pelo, falda de bailarina, corona de reina y cuchillo (Figura 7).

Figura 7. Qué necesitamos y en qué cantidad

Al terminar el listado de cosas que necesitábamos vimos que no servía para determinar cuántas cosas necesitábamos de cada tipo. Así, dimos papeles a los niños con sus nombres y les pedimos que los pegaran al lado de cada objeto que necesitaran, dando lugar a la representación, semejante a un pictograma, de la Figura 7. Para ayudarles, los maestros dibujaron un icono representativo de cada objeto que colocaron a la izquierda de cada palabra. Como ya teníamos decidido qué necesitaba cada uno para su disfraz y de qué iba a ir disfrazado, empezamos a diseñar todo lo que necesitábamos: • El cetro de David con un tubo de cartón y una bola de papeles. • Las coronas las recortamos y las decoramos. • Las espadas fueron de goma espuma; una vez cortadas por los maestros, fueron pintadas por los pequeños. • Escudos de cartón bien decorados. • El gorro de mago de Óscar con cartulinas y gomets plateados.

Figura 8. Los caballeros pintando escudos y espadas y las princesas decorando sus coronas

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A partir de ahí, nos organizamos por mesas para fabricar todo lo que necesitábamos para disfrazarnos (Figura 8). En la asamblea, después de toda la semana, todos ellos tienen mucho que contar. Seguimos recogiendo información sobre los castillos y hacemos un recuento de todas las cosas que hemos hecho y de las que quedan por hacer. Las armaduras y los caballos aún no sabemos cómo hacerlos pero los cinturones los haremos con cuerda de pita y los cascos… ¡con globos!

Figura 9. Los niños experimentan con los globos

Lo primero que hacemos es enseñarles como se puede hacer un casco, una introducción “teórica” antes de que cojan ellos el globo. Repartimos un globo a cada niño para que ahora ellos intentasen hacerlo por sí mismos. Aunque era una tarea excesivamente compleja para ellos, dio lugar a numerosas situaciones de juego y exploración. En la figura 9, vemos a Aurora que ve todo morado al mirar a través del globo y a Irene que intenta aplicar una técnica de doblado. Al final, con ayuda de los maestros, conseguimos terminar los cascos (Figura 10).

Figura 10. Con ayuda de los maestros, todos los niños y niñas tienen su casco

El momento de poner los precios fue de los más complicados. Los niños no conocen nuestro sistema monetario ni tienen una idea todavía del precio de las cosas. Decidimos preguntar a los niños qué precio podíamos poner a cada objeto, comenzando por el cetro de David. Hubo sólo dos respuestas pero nos dieron suficientes pistas para acotar las cantidades. Uno de los niños dijo “nueve” y Martín propuso… “tropecientos cuarenta mil” [sic]. También fue una buena orientación para nosotros el conocimiento que teníamos de las destrezas de conteo (oral y con objetos) de los niños. Antes de empezar a poner los precios, vimos todas las cosas y las representamos en la pizarra de forma icónica y por escrito. Después de mucho darle vueltas, decidimos que los precios irían desde 1 hasta 5 monedas. Para ello, escribimos las cifras del 1 al 5 en la pizarra haciendo la distinción entre lo que era caro y barato y lo que costaba mucho y poco. Dado que no había consenso para poner los precios, preguntamos a David por el precio del cetro, pues iba a ser su propietario. Nos dijo que sería poco (dinero) y le dio un valor de tres monedas. Al lado del icono del cetro y de la palabra “cetro”, dibujamos tres monedas y escribimos la cifra ‘3’ (Figura 11). Con todos los demás objetos en venta repetimos el proceso. Las razones para poner los precios eran del tipo: porque es largo, porque es corto, porque lo dice mi mamá… Nosotros pintamos Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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las primeras monedas y las siguientes las pintaron los niños imitando nuestro procedimiento. También se representaron, en las cajas donde se guardaban los productos, el tipo de producto y el precio.

Figura 11. Los precios de las cosas

Una nueva carta solicitaba a los padres colaboración para facilitar el disfraz de los pequeños, trayendo a las niñas con leotardos y a los niños con pantalones apretados, y solicitando algunos productos que nos faltaban para el mercado. La disposición final del mercado ocasionó no pocos problemas de organización del espacio. El material se amontonó en el suelo y los niños comenzaron a clasificarlo en las cajas que habían traído de sus casas. Sin embargo, al no caber tantas cajas como productos, tuvimos que cambiar el criterio de clasificación, para utilizar cajas más grandes que contuvieran clases más amplias de objetos.

Figura 12. El mercado medieval y David eligiendo lo que quiere comprar

Una vez preparada la caja registradora y la pizarra con las indicaciones del precio de cada objeto, sólo faltaban las monedas. Las monedas fueron todas hechas de cartón por los profesores y cada una tenía valor unidad, de modo que evitábamos la dificultad, excesiva para esta edad, de introducir monedas de distintos valores y el procedimiento para determinar la cantidad a pagar se establecía a través del conteo. Los roles asumidos por los pequeños en la actividad de compra-venta tuvieron un carácter rotatorio. El niño que vendía, después pasaba a comprar, de modo que todos los niños y niñas pasaron por todos los papeles.

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Figura 13. El momento de pagar, contando las monedas y guardándolas en la caja

Para comprar, los pequeños se acercaban al mostrador e indicaban al tendero lo que querían. Éste miraba en la pizarra el precio del artículo y se lo comunicaba al comprador, que sacaba las monedas requeridas por el vendedor. Al final del proceso, el vendedor guardaba las monedas en la caja registradora (Figura 13). En el conteo de las monedas, pudimos observar grandes diferencias individuales: algunos niños contaban las cinco monedas sin aparente dificultad y las entregaban al tendero; otros niños no sabían contar, equivocándose en la correspondencia entre palabras numéricas recitadas y objetos señalados, recitando la secuencia numérica hasta que ya no se sabían más números (llegando, por ejemplo, a ‘diecisiete’), señalando objetos más de una vez al contar o señalando espacios vacíos al contar. Una de las mayores satisfacciones que tuvimos los maestros fue observar cómo algunos niños mejoraban sus destrezas de conteo al fijarse e imitar los procedimientos de conteo correctos de un compañero.

Figura 14. La Guerrera Nerea, el Caballero Pedro, el Rey David y la Bailarina Elena

Todos los niños pudieron disfrazarse (Figura 14) según lo planeado por cada uno. Para acabar el proyecto, tuvieron un espectáculo de malabares, ofrecido por uno de los maestros participantes en el proyecto, evocando el arte de los juglares de la Edad Media al entretener a la corte. En esta exhibición se invitó a todos los niños de 3 y 4 años del Colegio (Figura 15).

Figura 15. La actuación final de malabares

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4. Conclusiones Trabajar por proyectos con niños y niñas de 3 años no resulta fácil. Al hecho de que los pequeños de esta edad no suelen estar acostumbrados a trabajar así, debemos añadir que, a falta de un mayor desarrollo de su autonomía intelectual, suelen mantenerse a la espera de las iniciativas adultas, más que tomar la propia iniciativa de la acción, algo que se considera característico en los proyectos. A esto se le une la dificultad de realizar asambleas en las que los pequeños lleguen a conclusiones a través del debate y la colaboración, ya que cada uno suele centrarse en su propio pensamiento. Sin embargo, en nuestro proyecto, a partir de la visita a la panadería, los niños comenzaron a marcar la pauta del trabajo. Al decidir disfrazarse, quedó determinado casi completamente el tipo de objetos que se venderían en el mercado, cambiando por completo nuestras previsiones iniciales. Además, los pequeños fueron tomando las riendas en actividades tales como decidir lo que necesitaban para disfrazarse, o poner los precios. La autonomía y la iniciativa se van ganando en pequeños detalles y decisiones, antes que en los grandes “acontecimientos” del proyecto, como la visita a la panadería o la disposición del mercado, organizados por los adultos. Un elemento fundamental del proyecto ha sido la relación con los padres, imprescindible para adoptar cualquier forma de trabajo en el aula pero, especialmente, para trabajar por proyectos. El envío de cartas solicitando su colaboración (para recoger briks), o para explicarles el trabajo que se estaba realizando con sus hijos, ha sido continuo durante el proyecto. Además, una vez acabado el mismo, cada familia recibió un dossier en el que se narraba el desarrollo del proyecto y un DVD con las fotos del mismo y un vídeo que explicaba qué habíamos hecho. Cada vez más autores señalan la importancia de la relación con los padres como una de las bases sobre las que se construye la Educación Matemática Infantil (Alsina, Aymerich, y Barba, 2008; Copley, 2000). El diálogo con los padres es un instrumento muy valioso para posibilitar cualquier tipo de innovación que suponga cierta ‘ruptura’ con las expectativas puestas por los padres en el proceso de aprendizaje de sus hijos. En cuanto al aprendizaje de las Matemáticas, una lectura atenta de la narración del proyecto permite observar que las Matemáticas están presentes continuamente: clasificación (de briks para construir, de productos para vender), conocimiento espacial (en la construcción del castillo y la organización del mercado), conocimiento de las formas geométricas (al diseñar todos los productos para venderlos en el mercado), representación de datos u organización de la información (en los pictogramas realizados para señalar el precio de las cosas o el número de objetos necesarios para el mercado), medición (al decidir la altura de la puerta del castillo, marcando previamente la altura de todos los niños, o al valorar el tamaño de las cajas necesarias para guardar los productos que se iban a vender) y, por supuesto, conocimientos numéricos (al utilizar el dinero). Sin embargo, para finalizar, queremos insistir en una característica del aprendizaje de las matemáticas propia del trabajo por proyectos. Si la actividad de los niños está orientada por su propia iniciativa (no dirigida, al menos parcialmente, por los adultos) sabemos que los niños van a aprender matemáticas (como hemos visto en el párrafo anterior), pero nos resulta muy difícil predecir exactamente qué matemáticas van a aprender. Si deseamos, por ejemplo, que los niños de 3 años consigan contar hasta 5 objetos, tenemos dos opciones: trabajar esta destreza fuera del trabajo por proyectos en otro tipo de actividad diseñada para el aprendizaje de esta destreza concreta; o dirigir la actividad infantil dentro del proyecto (como hemos hecho con el uso de las monedas en este proyecto) para asegurarnos de que los alumnos tengan oportunidad de aprender esta destreza en concreto. Así, si entendemos los proyectos como un tipo de trabajo en el aula que surge del interés de los niños, es necesario que conceptualicemos el interés no como apetencia infantil, sino como punto de encuentro entre el deseo de hacer infantil y la percepción adulta sobre qué resulta de interés para el desarrollo integral de los pequeños.

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 67–74

Derivadas y Antiderivadas Félix Martínez de la Rosa (Universidad de Cádiz) Fecha de recepción: 6 de octubre de 2008 Fecha de aceptación: 13 de abril de 2009

Resumen

Se analizan algunos resultados relacionados con la función derivada, y se aplican al estudio de la derivabilidad y antiderivabilidad de funciones

Palabras clave

Continuidad, Derivada, Antiderivada, Darboux, Cálculo

Abstract

There are analyzed some results related to the derivative function, and are applied to the study of the derivability and antiderivability of functions

Keywords

Continuity, Derivative, Antiderivative, Darboux, Calculus

1. Introducción Los resultados que exponen las propiedades de las funciones continuas y derivables son piezas claves, tanto en las asignaturas de matemáticas en el bachillerato como en los cursos iniciales de Cálculo. Dentro del conjunto de esas propiedades, el teorema de los valores intermedios para funciones continuas, el teorema de Rolle y el del valor medio para funciones derivables se sitúan en lugares destacados. Esto es así porque con ellos, logramos comprender y visualizar el comportamiento de esas funciones en un intervalo. Además nos abren las puertas a todo un abanico de teoremas que desarrollan el análisis de esas funciones. Existen dos enunciados que describen la relación entre la continuidad y la derivabilidad: a) Si f es derivable en x0 , entonces f es continua en x0 b) Si f es continua en [ a, b] , entonces f es una derivada. El apartado a) no requiere muchas más explicaciones. El apartado b) se refiere al hecho de que exista una función F que verifique f = F ' . A esta función F se le denomina la antiderivada o primitiva de f . Si f es continua, sabemos que el apartado b) es cierto, por el teorema fundamental del Cálculo integral. Los resultados recíprocos de éstos dos resultados no se cumplen. Sin embargo, mientras que no hay ninguna duda de que una función continua no tiene porqué ser derivable, existe cierta confusión en lo que se refiere al recíproco de b). De la igualdad f = F ' :

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-

¿Podemos deducir que f es continua? ¿Puede existir F aunque f no sea continua? ¿Cualquier tipo de discontinuidad de f permite que exista F ?

En este artículo, mostraremos los resultados relacionados con estas cuestiones, y los aplicaremos al estudio de la derivabilidad de funciones continuas y a la existencia de la antiderivada de una función. El artículo se divide en tres partes: -

En la primera, se muestran los resultados teóricos relativos a las propiedades de una función derivada. En la segunda, se utilizan esos resultados en el análisis de la derivabilidad de funciones continuas. En la tercera, abordamos el análisis de la antiderivabilidad de funciones desde dos puntos de vista: gráfico y analítico.

2. Resultados teóricos El primer resultado que ofrece información sobre las características de una función derivada puede encontrarse en el conocido libro (Spivak, M., 1986, p.262). En él se muestra una primera relación entre la existencia de la derivada de una función en un punto y la continuidad de la función derivada en ese punto: Teorema 1 Supongamos que una función F es continua en x0 , y que F ' ( x ) existe para todos los x de algún intervalo que contiene a x0 , excepto posiblemente x = x0 . Supongamos, además, que existe

lim F ' ( x) . Entonces existe también F ' ( x0 ) y se verifica que F ' ( x 0 ) = lim F ' ( x) .

x→ x0

x→ x0

Notas sobre el teorema 1. El teorema 1, arroja la primera luz acerca de la función derivada de una función continua: si lim F ' ( x) existe entonces la función derivada F ' es continua en x0 .

x→ x0

Interpretación visual: si en la gráfica de una función f definida en un intervalo se aprecia una discontinuidad evitable, entonces f no es de la forma f = F ' , es decir f no tiene antiderivada. Por tanto la función derivada de una función continua no puede tener una discontinuidad evitable. Además, la existencia de F ' ( x0 ) no implica que exista lim F ' ( x) . Esto significa que una x→ x0

función F puede tener derivada en un punto x0 , aunque F ' puede tener una discontinuidad en ese punto. Para saber más acerca del tipo de discontinuidad que una función de la forma f = F ' puede tener, se necesita el teorema de Darboux. En 1875, Darboux probó que la función derivada cumple la propiedad de los valores intermedios (la misma que cumplen las funciones continuas). El teorema de Darboux es uno de los enunciados clásicos del Cálculo que, sin embargo, pasa inadvertido en muchos libros y no se suele ser incluido en los temarios, ni en el bachillerato ni en la Universidad. Para darse

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cuenta del poco interés que despierta este resultado, basta observar que en el libro (Spivak, M., 1986) se le menciona sólo como un ejercicio de la sección de problemas del capítulo 11: Teorema 2 (de Darboux) Sea F (x ) derivable en [a, b] y F ' ( a ) < F ' (b ) (análogamente para F ' ( a ) > F ' (b) ). Sea γ ∈ R tal que F ' ( a ) < γ < F ' (b) , entonces existe c ∈ ( a, b) tal que F ' (c ) = γ . Notas sobre el teorema 2. Del teorema 2 se deduce que una función f que no cumpla la propiedad de los valores intermedios en un intervalo, no puede ser la derivada de otra, es decir no es del tipo f = F ' . Interpretación visual: si en la gráfica de una función f se aprecia un agujero en su rango, entonces f no tiene antiderivada. El análisis completo del tipo de discontinuidad que puede tener una función derivada, puede verse, por ejemplo, en el artículo (Klippert, J., 2000). Su demostración (que no incluimos aquí), se logra gracias al teorema de Darboux: Teorema 3 Sea F derivable en [a, b] , y x0 ∈ (a, b) . Si F ' es discontinua en x0 entonces: a) F ' no tiene una discontinuidad evitable en x0 . b) F ' no tiene una discontinuidad de salto en x0 . c)

lim F ' ( x) ≠ ±∞ y lim+ F ' ( x) ≠ ±∞ .

x → x0 −

x → x0

Notas sobre el teorema 3. La única posibilidad de que F ' tenga una discontinuidad en un punto x0 es que o bien

lim F ' ( x) no exista, o bien lim+ F ' ( x) no exista.

x → x0 −

x → x0

Interpretación visual: Si en la gráfica de una función f no se aprecian discontinuidades evitables, de salto, o de salto infinito, entonces la función f podría ser del tipo f = F ' . Por tanto, la única discontinuidad que se le permite a una función f antiderivada es la no existencia de alguno de los límites laterales en algún punto.

para que tenga

A este último tipo de discontinuidad generalmente no se le presta demasiada atención: la no existencia de algún límite lateral en un punto no parece aportar mucha información, más allá de la manera errática con el que la función parece comportarse cerca del punto. Pero con el teorema 3 se puede apreciar que, mientras que una función f con una discontinuidad evitable, de salto o infinita en un punto no puede tener antiderivada, una función que no tenga límite lateral en un punto sí puede tenerla.

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3. Estudio de la derivabilidad de funciones continuas Los problema acerca de la continuidad y derivabilidad de funciones, son habituales tanto en bachillerato como en los primeros cursos de Cálculo. Una vez que se comprueba que la función es continua en un punto x0 , se estudia la derivabilidad en ese punto calculando el límite de la definición de Cauchy:

lim

x → x0

F ( x) − F ( x0 ) x − x0

Esto funciona bien para funciones sencillas, pero si las expresiones se complican algo, el cociente que aparece dentro del límite también lo hace, y su cálculo se vuelve farragoso. En estos casos los recursos teóricos anteriores son una alternativa válida para resolver estos problemas. Los tres ejemplos que damos a continuación, abarcan todas las situaciones que nos podemos encontrar al estudiar la derivabilidad de las funciones. Ejemplo 1. Hallar a y b, para que sea derivable en x = −1 la función:

⎧ ax 2 + b si x ≤ −1 F ( x) = ⎨ 3 ⎩ax + x + 2b si x > −1 Solución. Igualando los límites laterales en x = −1 , se obtiene la condición a + b = − a − 1 + 2b , que hay que fijar para asegurar la continuidad. Además

F ' ( x ) = 2ax si x < −1 ; F ' ( x) = 3ax 2 + 1 si x > −1 Se verifica que lim− F ' ( x) = −2a y lim+ F ' ( x) = 3a + 1 , por tanto: x → −1

x → −1

a) Si − 2a = 3a + 1 , existe lim F ' ( x) , y del teorema 1 se deduce que F es derivable en x → −1

x = −1 . b) Si − 2a ≠ 3a + 1 , entonces F no tiene derivada en x = −1 , pues si existiese entonces F ' tendría una discontinuidad de salto en x = −1 , lo que no es posible por el teorema 3(b).

⎧ 13 ⎪ Ejemplo 2. Estudiar la derivabilidad en x = 0 de F ( x) = ⎨ x ⎪⎩ x 3

si x ≤ 0 si x > 0

Solución. Esta función es continua en x = 0 . Además 2

1 − F ' ( x) = x 3 si x < 0 ; F ' ( x) = 3x 2 si x > 0 3

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En este caso F no tiene derivada en x = 0 . Observemos que lim− F ' ( x) = ∞ , por tanto si x →0

existiese F ' en x = 0 , tendríamos una contradicción con el teorema 3(c). Ejemplo 3. Estudiar la derivabilidad en x = 0 de la función:

1 ⎧ 2 ⎪ x sen F ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0

si x ≠ 0 si x = 0

Solución. Esta función es continua en x = 0 . Observemos que

F ' ( x) = 2 xsen

1 1 si x ≠ 0 − cos x x

Por tanto lim F ' ( x) no existe. En este ejemplo, el teorema 3 no decide acerca de la x→0

derivabilidad de F en x = 0 y debemos usar la definición para saberlo. Se verifica que

lim x →0

F ( x) − F (0) = 0 . Por tanto, F es derivable en x = 0 mientras que F ' no es continua en x = 0 . x−0

4. Estudio de la existencia de antiderivadas Se dice que una función f tiene antiderivada (o primitiva) en [a, b] si existe F tal que

F ' ( x ) = f ( x ) para cada x de [a, b] .

El teorema fundamental del Cálculo integral es uno de los tópicos que se explican en segundo de bachillerato y en los primeros cursos de Cálculo. Este teorema asegura que si f es continua en

[a, b] ,

x

entonces F ( x) =

∫f

es derivable y F ' ( x ) = f ( x ) para cada x de [a, b] . Por tanto cada

a

función continua posee antiderivada. 4.1 Análisis gráfico de la existencia de antiderivada En los cursos de bachillerato y de Cálculo, se utiliza mucho el recurso de la observación directa de una gráfica para deducir las propiedades de la misma, independientemente de la fórmula que tenga la función. Así, los alumnos aprenden a visualizar la continuidad, derivabilidad, crecimiento, puntos críticos, concavidad y otras propiedades, lo que les ayuda a representar correctamente la gráfica de funciones. Con esta filosofía se propone el ejemplo 4. En él se dan una serie de gráficas, sin detallar la fórmula de la función, con el objetivo de analizar, mediante la observación apoyada en los resultados teóricos, la existencia de la antiderivada. Ejemplo 4. Analizar la existencia de antiderivada de las funciones cuyas gráficas son las siguientes:

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-1

-1

1

Figura 1

-1

1

Figura 2

1

Figura 3

1

1/n

1

1/2

1

-1

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Solución. La función de la figura 1 es continua, por tanto tiene antiderivada por el teorema fundamental del Cálculo. La función de la figura 2 tiene una discontinuidad evitable, y la de la figura 3 tiene una discontinuidad de salto. Ambas cumplen la propiedad de los valores intermedios pero no tienen antiderivada debido al teorema 3(a) y 3(b). La función de la figura 4 tiene una discontinuidada en el origen y en cada x =

1 . Ya que su n

rango sólo está formado por 0 y 1, no tiene antiderivada por el teorema de Darboux. La función de la figura 5 tiene una asíntota vertical por la derecha en el eje x. Debido al teorema 3(c) no tiene antiderivada. Las función de las figura 6 no tiene límite ni por la derecha ni por la izquierda en el origen. Por tanto los resultados teóricos no resuelven si existe o no existe antiderivada. 4.2 Existencia de antiderivada en casos “raros” Ya dijimos antes que cada función continua posee antiderivada, gracias al teorema fundamental del Cálculo integral. El que una función discontinua tenga antiderivada es una circunstancia rara, pero no tanto. El ejemplo 3 ya nos proporciona una función que ilustra este hecho. Tomemos:

1 1 ⎧ ⎪2 xsen − cos f ( x) = ⎨ x x ⎪⎩ 0

si x ≠ 0 si x = 0

La función f tiene antiderivada, aunque tiene una discontinuidad en 0. Observemos que se verifica que f ( x ) = F ' ( x ) , donde F es la función del ejemplo 3.

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En el ejemplo 5, damos otras dos funciones que verifican este hecho. Un estudio más intensivo (y más complicado) de este tipo de funciones puede verse en el artículo (Hartmann, F.; Sprow, D., 1995) Ejemplo 5. Probar que las siguientes funciones tienen antiderivada en cada punto de R. a)

f ( x) = 2 x cos

b) g ( x) = sen

1 1 + sen si x ≠ 0 ; f (0) = 0 x x

1 si x ≠ 0 ; g (0) = 0 x

Solución. Las gráficas de f (x ) y g (x) tienen un comportamiento similar a la figura 6. Ninguna de las dos funciones son continuas en x = 0 , porque no existen sus límites cuando x tiende a 0 . Por el teorema 3, podrían tener antiderivada. La función F ( x ) = x 2 cos

x ≠ 0 , y F ' ( 0) = 0 .

1 1 1 si x ≠ 0 ; F (0) = 0 , verifica que F ' ( x) = 2 x cos + sen si x x x

Por otro lado la función h( x) = 2 x cos

1 si x ≠ 0 ; h(0) = 0 , es continua en todo R, y su x

x

antiderivada es H ( x) = h . 0

Por último, la función F − H es la antiderivada de g (otra solución puede verse en el artículo (Klippert, J., 2000). Finalmente, en los primeros cursos de Cálculo se explica que una función puede ser integrable aún no siendo continua. En todo caso, si f es integrable en [a, b] , entonces la función F ( x) =

x

∫f a

verifica que F ' (c ) = f (c ) en cada punto c del intervalo en el que f sea continua (ver Spivak, M., 1986, p. 357). En el ejemplo 6 veremos que la igualdad anterior puede darse, también, en puntos donde f no sea continua. Ejemplo 6. Dada la función (cuya gráfica es la de la figura 4):

1 ⎧ ⎪1 si x = f : [0,1] → R tal que f ( x) = ⎨ n ⎪⎩0 en otro caso Probar que no es continua en x = 0 , que es integrable en

[0,1]

y que la función

x

F ( x ) = ∫ f (t )dt verifica que F ' (0) = f (0) . 0

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Solución. Es claro que f no es continua en x = 0 ya que lim f ( x ) no existe. x→0

Para ver que la función es integrable en [0,1] es suficiente probar que para cada ε > 0 existe

una partición P de [0,1] tal que U ( f , P ) − L ( f , P ) < ε .

Es evidente que para cada partición P de [0,1] , la suma inferior de f en P, L( f , P ) , vale cero. Comprobemos que para cada ε > 0 existe una partición P tal que la suma superior de f en P verifique que U ( f , P ) < ε . Dado ε > 0 , existe k ∈ N tal que para cada n ≥ k es partición P = {t 0 = 0, t1 = de longitud menor que

ε

ε 2

2 n +1

,..., t n = 1} tal que cada

1 ε ∈ (0, ) . Por tanto si elegimos una n 2

1 , n < k , esté contenido en un único intervalo n

, tenemos:

U ( f , P) <

ε 2

+

ε 2

2

+ 1

Por tanto f es integrable en

[0,1] , ∫ f 0

ε 2

3

+ ... +

ε 2

k

<∑ i =1

ε 2i

=ε x

= 0 , y la función F ( x ) = ∫ f (t )dt verifica que 0

F ' ( 0) = f ( 0) .

Bibliografía Hartmann, F.; Sprow, D. (1995). “Oscillating Sawtooth Functions”. Mathematics Magazine, vol. 68, nº 3, pp. 211-213. Klippert, J. (2000). “On a discontinuity of a derivative”. Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., Vol.31, nº 2, pp. 282-287. Spivak, M. (1986). “CALCULUS. Cálculo infinitesimal”. Ed. Reverté. Félix Martínez de la Rosa. Catedrático de E. U. de Matemática aplicada en la Facultad de CC. EE. y Empresariales de la Universidad de Cádiz. Investigaciones en educación matemática acerca de la diferenciación de funciones reales de una y dos variables, y sobre la visualización. E-mail: felix.martinez@uca.es

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 75–87

Diofanto, Hilbert y Robinson: ¿Alguna relación entre ellos? Isabel Hernández Fernández (Universidad de Sevilla) Consuelo Mateos Contreras (Universidad de Sevilla) Juan Núñez Valdés (Universidad de Sevilla) Fecha de recepción: 2 de mayo de 2008 Fecha de aceptación: 7 de abril de 2009

Resumen

A lo largo de la Historia son bastantes los matemáticos a los que no se les ha valorado su contribución. Éste es el caso de muchas mujeres matemáticas, que han realizado importantes trabajos pero cuyo reconocimiento no ha sido el suficiente y han tenido que afrontar muchas dificultades para desarrollar su labor. En este artículo se resalta la importancia de una de ellas: Julia Bowman Robinson, cuya mayor aportación se centra en la resolución del décimo problema de Hilbert.

Palabras clave

Julia Robinson, ecuaciones diofánticas, décimo problema de Hilbert.

Abstract

At present, there are many mathematicians whose contributions have not been conveniently appreciated throughout the history. It is the case of many mathematician women, who have developed important tasks but they have not been sufficiently recognized and, moreover, have had to overcome lots of difficulties to face up her work. In this paper the importance of one of them is remarked: Julia Bowman Robinson, whose main contribution consists in having participated in the Hilbert’s Tenth Problem solution.

Keywords

Julia Robinson, diophantine equations, Hilbert’s tenth problem.

“Nuestra recompensa se encuentra en el esfuerzo y no en el resultado. Un esfuerzo total, es una victoria completa” Ghandi

1. Introducción Las ecuaciones algebraicas de varias variables y coeficientes enteros cuyas soluciones son también enteras se denominan ecuaciones diofánticas, en honor del matemático griego Diofanto de Alejandría. Son poco precisos los datos que se conocen actualmente sobre la vida de Diofanto. Según las investigaciones más fiables, que proceden de la Antología griega, escrita por Metrodoro en el siglo V d. C., Diofanto debió vivir en el siglo III a.C., durante aproximadamente unos 84 años, ya que en una antología griega de problemas algebraicos en forma de epigramas, se recoge el siguiente epitafio, al parecer grabado en su tumba:

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“¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! la duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte.” Entre las obras más conocidas de este autor, por muchos considerado como “el padre del Álgebra”, merecen ser citadas “Numeris Multangulis” (sobre los números poligonales), los “Porismas” (colección de lemas, ya totalmente perdida) y sobre todo, la “Arithmetica”. Esta última es en realidad un tratado de 13 libros, del que sólo han llegado 6 hasta nuestros días, que no es propiamente un texto de álgebra, sino una colección de 150 problemas (que surgen sin criterio u orden aparente), que Diofanto resuelve dando una solución para cada uno de ellos, aunque sin preocuparse de la unicidad de la misma. En particular, el problema 8 del Libro II (que consta de unos 35 problemas en total) ha sido el que dio lugar al conocido “Teorema de Fermat: descomponer un cuadrado en suma de dos cuadrados”.

Foto 1. Tumba de Diofanto

Foto 2. Portada de Arithmetica

Es conocido, no obstante, el hecho de que Diofanto buscaba soluciones racionales positivas de lo que posteriormente se dieron en llamar ecuaciones diofánticas, y no exclusivamente enteras (de hecho, fue Fermat el que realmente inició el estudio de las soluciones exclusivamente enteras de estas ecuaciones). Más aún, Diofanto llegó a conocer métodos generales para encontrar soluciones racionales de estas ecuaciones, dadas una o unas soluciones iniciales. En notación y terminología habituales, una ecuación diofántica es una ecuación de la forma P( x1 ,..., xm ) = 0 , donde P es un polinomio de m variables, con coeficientes enteros. Las ecuaciones diofánticas más habituales son las lineales con dos incógnitas, del tipo A x + B y = C, siendo A, B y C números enteros, como por ejemplo la siguiente: 3x + 2y + 5 = 0, que admite entre sus infinitas soluciones, la siguiente: x = y = - 1. Es ya conocido que para que una de estas ecuaciones tenga solución (entera, como ya se presupone) es condición necesaria y suficiente que el coeficiente C sea divisible entre el máximo común divisor de los coeficientes A y B, resultado al que se llega por aplicación de la teoría de las congruencias. Veintidós siglos después de Diofanto, en 1862, en Konigsberg, Prusia del este, nació David Hilbert, un matemático que a sus 38 años, en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas

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celebrado en París el día 8 de Agosto de 1900, impartió una conferencia titulada “Problemas Matemáticos”, en la que presentó una lista de 23 problemas matemáticos diseñados para servir de ejemplo de tipos de problemas cuya resolución significaría un notable avance en el desarrollo de diversas ramas de las Matemáticas, aunque algunos no fuesen estrictamente problemas, sino más bien áreas abiertas de investigación (Hilbert, 1902). De esta lista de problemas propuestos por Hilbert a la comunidad matemática internacional, el décimo plantea probar la existencia de un algoritmo universal que permita resolver las ecuaciones diofánticas: determinar la resolubilidad de una ecuación diofántica. A la resolución de este problema es a lo que Julia Robinson dedicó prácticamente toda su vida de matemática. Foto 3. David Hilbert

El trabajo que se presenta está estructurado como sigue: tras esta Introducción, vienen dos secciones en las que se presentan, en la primera de ella unas notas biográficas de Julia Robinson, en las que aparecen intercaladas su vida, su obra profesional en general, y su contribución a la resolución del décimo problema de Hilbert, en particular. En esta sección se han intentado también remarcar las dificultades, tanto de género como personales, que tuvo que superar Julia Robinson para desarrollar su labor como matemática. En la segunda sección se presenta una panorámica, muy resumida, de la evolución seguida en la resolución del décimo problema de Hilbert, haciéndose especial énfasis en la contribución de Julia a la misma.

2. Julia Bowman Robinson: una vida dedicada a resolver el décimo problema de Hilbert Julia Bowman Robinson, que nació en St. Louis, Missouri, el 8 de Diciembre de 1919, fue la segunda hija del matrimonio formado por Ralph Bowers Bowman y Helen Hall Bowman. Cuando Julia tenía 2 años, su madre falleció y ella y su hermana mayor, Constance, se fueron a vivir a Phoenix (Arizona) con su abuela. En 1923 las dos hermanas regresaron con su padre y con la nueva esposa de éste, Edenia Kridelbaugh, yéndose a vivir a San Diego (California), donde tres años más tarde nació su hermana menor, Billie. A pesar de ser su madrastra, Julia siempre consideró a Edenia como a una verdadera madre, de la que recibió grandes apoyos tanto para el estudio de las matemáticas como para su vida misma. Foto 4. Julia Robinson

La infancia de Julia estuvo repleta de enfermedades. A los 9 años contrajo la escarlatina, lo que hizo que toda la familia tuviera que estar en cuarentena durante un mes (como anécdota, decir que toda la familia celebró el final de esa cuarentena asistiendo a la primera película hablada que se proyectó). Un año más tarde, cuando Julia ya estaba recuperada de esa enfermedad, contrajo fiebre reumática y tras varias recaídas, tuvo que pasar un año en casa de una enfermera. Como en ese tiempo el tratamiento para la fiebre reumática era la exposición al sol y el aislamiento de otras personas, Julia se vio obligada a pasar una infancia muy solitaria, separada de sus hermanas y prácticamente aislada de los demás (curiosamente, este aislamiento a edades tempranas suele aparecer con bastante frecuencia en la vida de muchos matemáticos, como Descartes y Newton, por ejemplo). Esto hizo que Julia tuviese mucho tiempo para entretenerse y aprendiese a tener paciencia, aunque no dedicara casi nada del mismo al estudio. Como debido a su enfermedad Julia perdió dos años de colegio, sus padres le pusieron un tutor en casa durante un año, que le enseñaba materias de quinto a octavo curso. A ella le fascinaba la afirmación de su tutor en la que decía que en la raíz cuadrada de dos no podían aparecer Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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cifras decimales repetidas (sin duda, debía referirse a que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como un número decimal periódico). Ésta fue la primera vez que Julia mostró verdadero interés por algún tema matemático, llegando a intentar demostrar el hecho anterior por sí misma, aunque sin llegar a conseguirlo. Julia regresó al colegio en noveno curso, asistiendo al Theodore Roosevelt Junior High School. Allí se adentró en el mundo del Álgebra, gracias a su profesora de matemáticas. Es importante notar que, anteriormente, Julia había mostrado una cierta habilidad e interés por las ciencias en general, pero no por las matemáticas en particular. A Julia también le gustaban el deporte y la cultura. Como ella misma cuenta (Reid, 1986): “Mi amiga Virginia, con la que iba a montar a caballo una vez a la semana, estudiaba arte, y ella me animó para que me matriculara en un curso de arte, en el que aprendí algo sobre perspectiva y entre otras cosas, dibujé un balón de béisbol que parecía totalmente real. Yo era muy aficionada al béisbol y gastaba parte de mi paga en periódicos deportivos. También, y a pesar de mi gran falta de habilidad musical, sentía una gran admiración por Lawrence Tibbett, que era un barítono de la Ópera Metropolitana que había protagonizado varias películas. También aprendí de mi padre a disparar con pistolas y rifles. Retrospectivamente, veía mis años escolares muy relajados en comparación con los de los jóvenes de hoy.” Poco a poco, Julia continuó mostrando un profundo interés por las matemáticas. Incluso cuando todas sus otras compañeras del colegio optaron por no elegir esta disciplina, Julia continuó tanto en Matemáticas como en Física, siendo la única mujer que asistía a estas clases de estas dos disciplinas. Mientras triunfaba en el trabajo escolar, fue aumentando la confianza en sí misma y venciendo sus inseguridades, dos cualidades que ella no había desarrollado anteriormente a causa de su aislamiento. De hecho, Julia, en sus peores momentos de aislamiento, llegó incluso a tener que depender de su hermana Constance para que fuera ésta la que hablara por ella. Sin embargo, una vez superadas estas dificultades, Julia consiguió graduarse en 1936 con honores en ciencia y obtuvo la medalla honorífica Bausch-Lomb por obtener excelentes resultados Foto 5. Julia Robinson en matemáticas y ciencias. Como premio a sus calificaciones, sus padres le regalaron una regla de cálculo transparente que ella bautizó como “slippy”. De esta época, Julia escribe lo siguiente (Reid, 1986): “Al principio de mis estudios escolares, a Constance y a mí nos pidieron que hiciéramos un test I.Q. (relativo al cociente intelectual). Constance lo hizo muy bien, pero yo, desacostumbrada a hacer esas pruebas y por mis problemas de comprensión lectora, lo hice muy mal, sacando un resultado de 98, dos puntos por debajo de lo normal. Sin embargo, algún tiempo después, todavía en el colegio, a Constance, que había abandonado algo sus estudios para dedicarse de lleno al periódico de la escuela, la llamó a su despacho el Jefe de Estudios para preguntarle por qué estaba bajando tanto en su rendimiento, mientras que yo también fui llamada pero para comentarme que estaba mejorando mucho en el mío”.

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En 1936, cuando Julia tenía dieciséis años, sus padres decidieron que ella siguiera los pasos de su hermana Constance y fuera a estudiar a San Diego State College (posteriormente, San Diego State University). Allí, Julia eligió estudiar Matemáticas, pensando especializarse en Geometría Analítica y Cálculo. Por aquel entonces, en el College había 35 ó 40 alumnos que deseaban estudiar matemáticas, aunque la mayoría de ellos, al igual que Julia, no pensaba dedicar su vida a la investigación matemática. Lo que Julia deseaba en realidad era trabajar en la enseñanza, ya que, para ella, no había otras salidas para un matemático. Al respecto, indicar que Julia no recuerda que en el College hubiese profesoras de matemáticas, aunque sí las recuerda de otras asignaturas, como Biología o Psicología. En 1937, el padre de Julia perdió todos sus ahorros a consecuencia de la Gran Depresión que asoló a los Estados Unidos en los años 30 y eso le llevó al suicidio. Hacía años que había perdido el interés en sus negocios y se había jubilado, viviendo de sus ahorros. Por eso no pudo soportar la pérdida de los mismos. A pesar de la muerte de su padre, Julia continuó sus estudios en San Diego ayudada económicamente tanto por una tía suya como por su hermana Constance, que apoyada por su madre había empezado a estudiar en Berkeley y posteriormente fue contratada como profesora en San Diego High School, lo que le permitió aportar también fondos para sufragar los gastos de estudio de Julia en San Diego, que ascendían a unos 12 dólares al trimestre. De esa forma, Julia continuó sus estudios de cálculo y realizó cursos de Álgebra, Historia de las Matemáticas y Geometría Moderna. Su entusiasmo por las matemáticas seguía en aumento, aunque ella misma reconocía que no sabía lo que la asignatura era realmente. En este periodo destaca su interés por leer libros de matemáticas, en especial los de E. T. Bell. A través de uno de ellos, Men of Mathematics (Bell, 1965), comenzó a tener sus primeras ideas sobre el análisis real. Al año siguiente, Julia ya se cambió a la Universidad de Berkeley. Era frecuente que los alumnos de San Diego permaneciesen en ese centro durante dos años y luego continuasen sus estudios bien en UCLA (Universidad de Los Ángeles, en California) o en la Universidad de Berkeley. Como hemos comentado, Julia eligió esta última opción. Durante su primer año en Berkeley, Julia recibió cinco cursos, uno de ellos sobre Teoría de Números, que impartía el profesor asistente, Raphael M. Robinson. Debido a que sólo había cuatro estudiantes en sus clases y a causa de los paseos que Julia tenía con él para discutir sobre matemáticas modernas, ella aprendió mucho y aprendió también a conocer a Raphael como persona, con el que se casaría al año siguiente. Tras un año en Berkeley, Julia recibió su A. B. (Bachelor of Arts: el bachelor es el equivalente al grado de licenciatura en nuestro país) en 1940 y solicitó trabajo en varias empresas, si bien llegó a la conclusión de que los empresarios estaban más interesados en sus cualidades mecanográficas que en sus conocimientos matemáticos. La única posibilidad que se le presentó para trabajar fue en el estado de Oregon, pero tuvo que renunciar a ese puesto que se le ofrecía por no poderlo compatibilizar con sus estudios. Como ya se ha comentado antes, los encuentros de trabajo que mantuvieron Julia y su profesor Raphael Robinson como consecuencia de las clases que éste impartía permitieron que ambos llegaran a desarrollar una amistad personal y a sentir una atracción mutua, lo que trajo como consecuencia que después del primer semestre de su segundo año en Berkeley, cuando Julia había empezado a enseñar Estadística en esa Universidad bajo la supervisión del profesor Jerzy Neyman, Raphael y ella se casaran en Diciembre de 1941. No obstante, debido a una norma vigente en la Universidad de Berkeley que impedía a los miembros de una misma familia trabajar juntos en un mismo departamento, Julia no pudo continuar trabajando en el departamento de Matemáticas, aunque en aquel momento a Julia aquello no llegó a preocuparle en demasía, ya que según ella misma escribió, ahora ella ya estaba casada y quería tener una familia. No obstante, y dado que en este artículo tratamos de analizar las dificultades que una mujer encuentra en su carrera sólo por el hecho de serlo, Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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el hecho anterior no puede decirse, en honor a la verdad, que fuese una discriminación sufrida por Julia sólo por el hecho de ser mujer, dado que a la inversa la norma se aplicaba también, es decir, que si ella hubiese estado trabajando primero en el departamento, entonces su marido tampoco hubiese podido ser contratado (aunque lógicamente, la probabilidad de ocurrencia de este segundo caso era muchísimo menor que la del primero). En cualquier caso, Neyman pudo conseguir que Julia compartiera trabajo con Elizabeth Scott. En cierta ocasión, le pidieron a Julia que hiciera una descripción sobre lo que hacía cada día en su despacho particular, y ella contestó: “Lunes: intento probar el teorema; Martes: intento probar el teorema; Miércoles: intento probar el teorema; Jueves: intento probar el teorema; Viernes: teorema falso.” Durante la segunda guerra mundial, Julia también trabajó para Neyman en el Laboratorio Estadístico de Berkeley, en proyectos militares secretos.

Foto 6. Universidad de Berkeley

Durante todo aquel tiempo, Julia se había sentido muy bien en Berkeley. Así, ella misma afirma: “Yo era muy feliz, sumamente feliz, en Berkeley. En San Diego no había nadie como yo. Si, como dijo Bruno Bettleheim, todo el mundo tiene su propio cuento de hadas, el mío es la historia del patito feo. De repente, en Berkeley, yo me di cuenta de que realmente era un cisne. Había mucha gente, tanto estudiantes como miembros de la facultad, entusiasmada como yo en las matemáticas y había bastante actividad social del departamento en el cual yo estaba incluida. Además, allí estaba Raphael”. Tras su boda, Julia se concentró en amueblar su casa y fundar una familia, aunque pronto llegaron los infortunios. Se quedó embarazada, pero perdió el bebé debido a una neumonía que había contraído en una visita a San Diego y al aumento de cicatrices en el tejido del corazón debido a la fiebre reumática. Su médico le aconsejó que no intentara tener más niños. De hecho, el doctor llegó a comentarle a la madre de Julia en privado que Julia sería muy afortunada si lograba vivir hasta los cuarenta años (entonces ella tenía veintidós) (Reid, 1986). Este consejo desoló tanto a Julia, que atravesó un periodo de depresión del que sólo salió cuando su marido volvió a interesarla por los estudios de matemáticas. Al respecto, comentar que Mina Rees (primera mujer matemática Presidente de la American Association for the Advancement of Science, en 1970) había observado que en aquel tiempo era difícil encontrar a una mujer matemática que no estuviera casada con un matemático. Según Julia, lo que Mina decía era cierto en su época, pero pensaba que no iba a serlo por mucho tiempo. De hecho, Julia siempre pensó que parte de su éxito se debía a la ayuda de Raphael. Él la enseñó, la animó y la ayudó incluso de forma económica en sus estudios.

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Incorporada de nuevo a sus estudios, Julia empezó a trabajar en funciones generales recursivas durante 1946-1947, publicando un trabajo sobre las mismas al año siguiente (Robinson, 1948). Julia también empezó a trabajar en su doctorado con el matemático polaco Alfred Tarski, uno de los lógicos más importantes de la época, que se encontraba en Berkeley durante la Guerra Mundial. Tarski ha sido uno de los dos matemáticos lógicos más importantes del siglo XX (el otro fue Kurt Gödel). Los principales temas objeto de estudio por Tarski fueron las Metamatemáticas, la Teoría de Conjuntos, la Teoría de Modelos y el Álgebra Abstracta Universal. Tarski dirigió durante un periodo de más de treinta años después de la guerra una serie de Tesis Doctorales a sus alumnos más adelantados, la primera de las cuales fue la de Julia. Foto 7. Julia y Raphael

En esa tesis, titulada: “Definatibility and decision problems in arithmetic” y presentada en 1948, Julia probó la irresolubilidad algorítmica del cuerpo de los números racionales. Ya en el mismo año en el que obtuvo su doctorado, Julia comenzó a trabajar en el Décimo Problema de Hilbert, relativo a la determinación de la resolubilidad de una Ecuación Diofántica: dada una ecuación diofántica con cualquier número de incógnitas y con coeficientes enteros, idear un proceso conforme al cual pueda determinarse en un número finito de operaciones si la ecuación es resoluble en números enteros. Este problema ya le ocuparía prácticamente el resto de su carrera profesional. Sobre 1949, Julia estuvo interesada en trabajar en UCLA para adquirir experiencia como profesora. Sin embargo, terminó trabajando un año en la RAND Corporation en Santa Mónica, en donde se desarrollaba una ingente investigación en teoría de juegos. Allí coincidió con Oliver Gross, que estaba estudiando un problema de juegos suma-cero propuesto por George Brown para un concurso. Julia consiguió resolverlo, pero no se le concedió el premio que la corporación entregaba a la persona que encontrara la solución por el hecho de estar trabajando para la misma, lo cual iba en contra de las bases. Este resultado fue publicado en 1951 bajo el título: “An iterative method of solving a game” (Robinson, 1951). No obstante, incluso siendo empleada de RAND, Julia continuó trabajando en el décimo problema de Hilbert. En 1950, en el Congreso Internacional de Matemáticas en Cambridge, Massachussets, primer congreso de Matemáticas tras la guerra, Julia presentó parte de su trabajo sobre ese problema en una charla de 10 minutos. En aquel congreso, Julia conocería a Martin Davis, con el que pasados unos años colaboraría en la resolución de ese problema. Por cierto que Julia recuerda que Martin le dijo que él no veía cómo su trabajo (el de Julia) podía ayudar a resolver el Décimo Problema de Hilbert. Por aquellos años, Julia también trabajó en un problema de hidrodinámica para la oficina de investigación naval, así como en las campañas para la presidencia de Adlai Stevenson (candidato rival del luego Presidente de los Estados Unidos Eisenhower, en 1952 y en 1956). Después lo haría para el partido democrático en los 6 siguientes años. No obstante, y a pesar de estas incursiones en la política, Julia no cesó su trabajo en la investigación matemática y publicó varios escritos (como por ejemplo, Robinson, 1955 y 1959), aparte de continuar trabajando en el Décimo Problema de Hilbert.

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En el verano de 1959, Martin Davis y un colega suyo, filósofo, Hilary Putnam, enviaron a Julia para que lo revisara un resultado de ambos que más tarde llegaría a ser una parte importante de la solución del décimo problema. Davis recuerda de Julia que: Foto 8. Julia en los años 50

“Su primera respuesta, “casi a vuelta de correo”, fue mostrarnos cómo evitar el análisis tan confuso que aparecía en nuestro trabajo. Unas semanas después nos mostró como cambiar las hipótesis no demostrables sobre primos en progresión aritmética por la teoría de números primos para progresiones aritméticas… Después felizmente simplificó la prueba, que había llegado a ser bastante compleja. En la versión publicada, la prueba era simple y elegante.” Como resultado de esta colaboración conjunta, Davis, Putman y Julia publicaron un trabajo conjunto en 1961 (véase Davis et al., 1961). Sin embargo, en ese mismo año Julia vio agravarse su problema de corazón y tuvo que ser operada. Su salud mejoró un mes después de la intervención. Después de esto, Julia siguió trabajando como habitualmente en el Décimo Problema de Hilbert, al que dedicó más de 20 años de su vida, pasando incluso por muchos momentos de crisis al ver que no conseguía resolverlo. Es curioso que en sus cumpleaños ella siempre pedía como deseo encontrar la solución. No obstante, logró encontrar la base teórica que Yuri Matijasevic usó posteriormente en 1970 (Matijasevic, 1971) para probar que no existe un método general para determinar la resolubilidad. Durante esos años Julia publicó varios trabajos sobre dicho problema, hasta que finalmente, en 1970, Julia se enteró de que un matemático ruso de 22 años llamado Yuri. Foto 9. Julia y Yuri

Matijasevich, había resuelto la prueba del Décimo Problema de Hilbert, construyendo una función de crecimiento aproximadamente exponencial, a partir de la sucesión de Fibonacci, con la que pudo probar el carácter diofántico de la función exponencial y, en consecuencia, que todo conjunto recursivamente enumerable es diofántico, lo que completaba la prueba (es conveniente notar, no obstante, que según algunos historiadores, otro joven matemático ruso de similar edad, Gregory Chudnovsky, aseguraba también haber resuelto el problema, independientemente de Matijasevich). A través de Martin Davis, Julia se puso en contacto con Yuri, y le escribió (Reid, 1996): “Si realmente tienes 22 años, me agrada saber que cuando yo hice la conjetura, tú eras un bebe y yo he tenido que esperar a que tú crecieras”. Posteriormente, Julia y Yuri publicaron junto dos trabajos, “Two universal three quantifier representations of enumerable sets” y “Hilbert’s Tenth Problem. Diophantine ecuations: positive aspects of a negative solution” (este último con la colaboración de Martin Davis) (Davis et al., 1974).

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En reconocimiento a sus varias contribuciones excepcionales y por su papel determinante en el trabajo que llevó a la solución del Décimo Problema de Hilbert, Julia Robinson tuvo el honor de ser la primera mujer que fue elegida miembro de la “National Academy of Sciences” en 1975, aunque en opinión de ella misma, había mujeres que se merecían este honor más que ella. Posteriormente, Julia consiguió un empleo de profesora a tiempo completo en Berkeley en 1976, aunque por su delicado estado de salud le fue permitido impartir solamente una cuarta parte de la carga lectiva normal. En 1979, el “Smith Collage” le otorgó un grado honorífico. También fue elegida Presidente de la “Association of Presidents of Scientific Societies”, aunque tuvo que renunciar por sus problemas de salud. En 1980, la “Association for Women in Mathematics” estableció las “Emmy Noether Lectures” para honrar a aquellas mujeres que hubiesen realizado contribuciones fundamentales en el estudio de las matemáticas. Estas charlas, de una hora de duración, tenían lugar en Enero de cada año en los “Joint Mathematical Meetings” y el nombre de las mismas se puso en honor de Emmy Noether (19821935), matemática alemana importante de su época. Emmy, que por ser mujer nunca había conseguido una posición relevante en su país, tuvo que emigrar a los Estados Unidos en 1933, junto con otros científicos e intelectuales, cuando Hitler llegó al poder en Alemania en esa fecha. Julia fue invitada a impartir la tercera de estas charlas, en 1982, con el título “Functional Equations in Aritmetic”, siendo precedida en 1980 (año en el que se establecieron estas charlas) por F. Jessie Mc Williams (“Survey of Coding Theory”) y en 1981 por Olga Taussky-Todd (“Many aspects of Pythagorean Triangles”). Anteriormente, Julia también había sido invitada en 1980 para dar una charla dentro de las “American Mathematical Society Colloquium Lecturers”. Otras mujeres matemáticas que también participaron en las mismas fueron Anna Pell-Wheeler, en 1927, y posteriormente, Karen Uhlenbeck, en 1985. Estas charlas fueron instauradas en 1896. Fue sin embargo en ese mismo año de 1982 cuando Julia recibió la más alta distinción nunca anteriormente conseguida por una mujer matemática, al ser elegida Presidenta de la “American Mathematical Society”, después de cuatro años de ser la primera mujer que ocupara un cargo directivo en la Sociedad. Ella siempre pensó que había sido elegida Presidenta sólo por el hecho de ser mujer, es decir, como si fuese una concesión de género por parte del estamento de matemáticos varones. Por esa razón, cuando fue nominada para ese cargo, ella no aceptó inmediatamente, reservándose varios días para tomar una decisión. Una de las razones que la llevaron a aceptar el cargo fue pensar que una mujer nunca había sido Presidente y que si ella no aceptaba, pudiera pasar mucho tiempo hasta que a otra mujer le fuese ofrecido ese cargo. Al respecto, posteriormente, ella misma escribió (Reid, 1986): “Raphael pensaba que yo debía declinar el ofrecimiento y reservar mi energía sólo para investigar en matemáticas. Pero una mujer matemática no tenía más alternativa que aceptar. Yo siempre he intentado hacer todo lo que pudiese para animar a las mujeres de talento a investigar en matemáticas y consideré mi paso como Presidente de la Sociedad como muy satisfactorio”. Por eso, tras meditarlo durante un tiempo, Julia decidió que, como mujer y como matemática, no tenía más alternativa que aceptar. Julia desempeñó esa presidencia durante los años 1983 y 1984, siendo Cathleen Morawetz, del “Courant Institute of Matemáticas Sciencies” la segunda mujer matemática en ostentar tal honor, en los años 1995 y 1996. También, al año siguiente, en 1983, Julia fue galardonada con una beca de la Fundación McArthur (65.000 dólares anuales por un periodo de cinco años). Esta beca, (generalmente conocida como “la recompensa de los genios”) es un premio en metálico, que puede ser utilizado por el galardonado en la forma que él/ella estime más conveniente, otorgado por la “Fundación John D. and Catherine T. MacArthur” cada año a unos 20 ó 40 ciudadanos o residentes de los Estados Unidos, de Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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cualquier edad y trabajo en cualquier campo, arte, humanidades, ciencias, ciencias sociales o asuntos públicos, que “hayan mostrado algún mérito especial”. Otras mujeres matemáticas que también han recibido esta beca han sido, por ejemplo, Karen Uhlembeck, en 1983, Nancy Kopell, en 1990, e Ingrid Dwbechies, en 1992. Finalmente, en 1985, Julia fue también aceptada por la “American Academy of Arts and Sciences”. Como puede verse, la importancia de los trabajos de Julia y su capacidad como matemática les fueron reconocidas en vida (puede consultarse (Bermúdez, 2002) al respecto). No obstante, a Julia, todo este interés por su trabajo la avergonzaba: “Todo este interés -escribió en un significativo pasaje- ha sido gratificante pero a la vez embarazoso. Lo que yo realmente soy es una matemática. Antes que ser recordada como la primera mujer que hizo esto o aquello, yo preferiría ser recordada como un matemático debería serlo, simplemente por los teoremas que he probado y por los problemas que he resuelto”. Foto 10. Julia Robinson

Incluso cuando se le requirió material autobiográfico para hacer una biografía de su vida por parte de la American Mathematical Society, Julia se resistía a entregarlo. Solamente, cuando pensó que la presión a la que estaba siendo sometida para que lo hiciera fue insostenible, Julia cedió a estos deseos, diciéndole a su hermana Constance: “Constance, hazlo tú” (Reid, 1996). A Julia no le gustaba tampoco recibir honores por algo que no hubiera hecho sin la ayuda de los demás. Así, referente a su aportación a la solución del décimo problema de Hilbert, escribió (Reid, 1986): “Yo he comentado tan poco sobre mis más de veinte años de trabajo sobre el décimo problema de Hilbert porque Martin [Davis], que ha contribuido tanto como yo a dar su solución, ha publicado varios excelentes artículos contando la historia completa”. Y a este respecto, Martin Davis opinaba así sobre ella: “Una fuerte característica de Julia fue su insistencia en estar siempre segura de darle a cada persona su mérito. Ella y Yuri [Matijasevich] se negaron a aceptar honores que consideraban inapropiados”. En referencia a sus otros gustos vitales y a sus aficiones, a Julia le gustaba mucho montar en canoa y hacer excursiones, aunque su principal afición fue montar en bicicleta. De hecho, Julia llevaba su bicicleta consigo en todos los viajes profesionales que hacía. Ella mismo escribió (Reid, 1986): “Un mes después de mi operación de corazón (Julia fue operada del corazón en 1961 y a esa intervención le siguieron dos más posteriores en esa misma década) yo compré mi primera bicicleta, que luego fue seguida por otra media docena de bicicletas, cada una de ellas mejor que la anterior. Yo hice muchos salidas en bicicleta por el país y también en Holanda. Raphael siempre se quejaba de que mientras las esposas de otros hombres compraban joyas y pieles, la suya compraba bicicletas”.

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En el verano de 1984, Julia enfermó de leucemia mientras se encontraba presidiendo el Congreso de la American Mathematical Society en Eugene (Oregon). Tras un prolongado tratamiento y estancias en el hospital, Julia tuvo una etapa de mejoría de varios meses, en la primavera de 1985. Finalmente, ella falleció a causa de esta enfermedad casi un año después, el 30 de Julio de 1985, a la edad de 65 años, siendo sobrevivida por su marido Raphael y por sus dos hermanas Constante Reid y Billie Comstock. A pesar de todos los problemas de salud y personales que tuvo, Julia siempre supo afrontarlos sin perder su entusiasmo por las matemáticas. A lo largo de toda su vida intentó ofrecer oportunidades a todos los estudiantes, animando a la gente joven a que tuvieran más confianza en sus habilidades. Siempre pensó que las mujeres y minorías matemáticas necesitaban especialmente este apoyo, para que todas aquellas personas, de cualquier género y condición, que tuviesen el deseo y la habilidad de investigar en el campo de las matemáticas pudiesen siempre tener la oportunidad de hacerlo. De hecho, fiel a esta filosofía hasta su muerte, uno de sus últimos deseos fue que no hubiese funerales en su honor y que aquellas personas que quisiesen contribuir de alguna forma a recordar su memoria entregasen un donativo a la Fundación Alfred Tarski, administrada por el departamento matemático de Berkeley, que ella misma, junto con otros compañeros, había fundado en honor de su profesor, director de Tesis, amigo y colega. Foto 11. Julia Robinson y Raphael

3. La resolución del décimo problema de Hilbert Aunque somos conscientes de que resultaría muy pretencioso por nuestra parte intentar explicar en pocas palabras una solución tan compleja y que tanto tiempo ha llevado conseguir como la del décimo problema de Hilbert, nos gustaría terminar este artículo comentando unas breves notas sobre la evolución de la misma. Una visión más general sobre este tema puede verse en (Davis et al., 1974). Básicamente, los intentos realizados para obtener una solución negativa del décimo problema de Hilbert comenzaron alrededor de 1950, cuando Martin Davis conjeturó que toda relación recursivamente enumerable era diofántica y demostró que esta relación podía representarse en la después denominada Forma Normal de Davis. Posteriormente, Julia Robinson comenzó a atacar el problema de forma más directa estudiando qué relaciones diofánticas podía encontrar (Robinson, 1955). Al no encontrar muchas, permitió el uso de la exponenciación en la representación de las relaciones. A partir del éxito obtenido en sus trabajos, Julia demostró que para probar que el grafo de la exponenciación era diofántico, bastaba mostrar la naturaleza diofántica de cualquier relación de crecimiento aproximadamente exponencial. En 1961, Davis, Putnam y J. Robinson publicaron un trabajo conjunto en el que mostraban que toda relación recursivamente enumerable es exponencial diofántica. La prueba consiste en usar las relaciones exponencial diofánticas Foto 12. Martin Davis, Julia y Yuri de Robinson para eliminar el cuantificador universal acotado que aparece en la Forma Normal de Davis de una relación recursivamente enumerable. Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Finalmente, en 1970, Yuri Matijasevic (Matijasevic, 1971) construyó una función de crecimiento aproximadamente exponencial, a partir de la sucesión de Fibonacci, con la que pudo probar el carácter diofántico de la función exponencial y, en consecuencia, que todo conjunto recursivamente enumerable es diofántico, lo que completaba la solución al décimo problema de Hilbert. Posteriormente, Julia y Yuri publicaron juntos dos trabajos sobre la resolución de este problema: “Two universal three quantifier representations of enumerable sets” y”Hilbert’s Tenth Problem. Diophantine ecuations: positive aspects of a negative solution”, el último de ellos con la colaboración de Martin Davis (Davis et al., 1974).

Foto 13. Costance Reid y Yuri Matiyasevich

Todo ello supuso la resolución de un problema planteado unos setenta años atrás, más o menos, pero cuyo origen se remonta, como ya se ha indicado, unos veintidós siglos atrás.

4. Bibliografía En MathSciNet pueden verse hasta 31 referencias de artículos y comunicaciones de Julia Robinson, realizados a nivel individual o en colaboración con otros autores. Indicamos aquí, a continuación, las referencias citadas en el texto: Bell, E. T. (1965). Men of Mathematics: Simon and Schuster. New York (last edition). Bermúdez, T. (2000). Julia Robinson: una mujer matemática. Las matemáticas del Siglo XX, Una mirada en 101 artículos, Nivola libros y ediciones, 419-422. Davis, M.; Matijasevic, Y.; Robinson, J. (1974). Julia, Hilbert’s tenth problem: Diophantine equations: positive aspects of a negative solution, Mathematical developments arising from Hilbert problems. Proc. Sympos. Pure Math. XXVIII, 323-378. Davis, M.; Putnam, H.; Robinson, J. (1961). The decision problem for exponential diophantine equations. Ann. of Math. 74, 425-436. Hilbert, D. (1902). Mathematical Problems. Bull. Am. Math. Soc. 8, 437-479 (traducción de Mary Winston). Matijasevic, Y. (1971). Diophantine representation of the set of prime numbers. Soviet Math. Doklady 12:4, 249-254.

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Reid, C. (1986). The autobiography of Julia Robinson. College Math. J. 17:1, 3-21. Reid, C. (1996). Being Julia Robinson,’ sister. Notices Amer. Math. Soc. 43:12, 1486-1492. Robinson, J. (1948). A note on exact sequential analysis. Univ. California Publ. Math. (N.S.) 1, 241246. Robinson, J. (1951). An iterative method of solving a game. Ann of Math 54:2, 296-301. Robinson, J. (1955). A note on primitive recursive functions. Proc. Amer. Math. Soc. 6, 667-670. Robinson, J. (1959). “The undecibility of algebraic rings and fields” Proc. Amer. Math. Soc. 10, 950957. Isabel Hernández Fernández, nacida en Huelva el 18 de Enero de 1985, es licenciada en Matemáticas por la Universidad de Sevilla (2003-2008). Investiga en Teoría de Lie, habiendo publicado algunos artículos al respecto, así como también tiene varias publicaciones en Matemáticas Recreativas y Divulgativas, en las que está muy interesada. E-mail: isa_hdez_fdez@hotmail.com Consuelo Mateos Contreras, nacida en Cádiz el 16 de Enero de 1985, es licenciada en Matemáticas por la Universidad de Sevilla (2003-2008). Investiga en Teoría de Lie, habiendo publicado algunos artículos al respecto, así como también tiene varias publicaciones en Matemáticas Recreativas y Divulgativas, en las que está muy interesada. E-mail: conmatcon@gmail.es Juan Núñez Valdés (Sevilla – 1952), Licenciado y Doctor en Matemáticas, es Profesor Titular del Dpto. de Geometría y Topología de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla. Tiene numerosas publicaciones sobre Teoría de Lie. Es asimismo vocal a la Junta Directiva de la Delegación Provincial de Sevilla de la S.A.E.M. THALES, siendo autor de varias publicaciones sobre Matemáticas Recreativas y Divulgativas, así como también sobre Historia de las Matemáticas. E-mail: jnvaldes@us.es

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http://www.sinewton.org/numeros

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 89–104

Geometría intuitiva desde el cuarto de baño

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Carlos Duque Gómez (IES Mencey Bencomo) Eva Mª Quintero Núñez (IES Mencey Bencomo)

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Geometry, Manipulation, Spatial vision, Experience of classroom.

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Martin Gardner, Carnaval Matemático, Prólogo (1975).

A

El mejor método para mantener despierto a un estudiante es seguramente proponerle un juego matemático intrigante, un pasatiempo, un truco mágico, una chanza, una paradoja, un modelo, un trabalenguas o cualquiera de esas mil cosas que los profesores aburridos suelen rehuir porque piensan que son frivolidades.

I

Keywords

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We describe an experience of intuitive geometry, which relates the three dimensional geometry to the two-dimensional one from the manipulation of the cylinders of carton of hygienic paper roles. With these activities it is fomented the recognition of different geometric forms and the symmetry, and it helps to develop the spatial and flat vision. It can be carried out in any educational level (even with adults) and it is done in a practical and playful way.

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Abstract

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Geometría, Manipulación, Visión espacial, Experiencia de aula.

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Palabras clave

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Describimos una experiencia de geometría intuitiva, que relaciona la geometría tridimensional con la bidimensional a partir de la manipulación de los cilindros de cartón de papel higiénico. Con estas actividades se fomenta el reconocimiento de distintas formas geométricas y la simetría, y se contribuye a desarrollar la visión espacial y plana. Se puede realizar en cualquier nivel educativo (incluso con adultos) y se plantea de manera esencialmente práctica y lúdica.

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Resumen

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Durante años, la geometría ha estado relegada a los últimos lugares del currículo que se desarrolla en el aula y que nunca da tiempo de abordar porque se acaba el curso. Cuando esto no sucede, ocurre con cierta frecuencia que la geometría enseñada (y aprendida) es una geometría algebraizada, consistente básicamente en la memorización de fórmulas y su aplicación inmediata. Es común ver cuadernos, ejercicios o exámenes de geometría en los que no hay dibujos, sino que el alumno pasa directamente del enunciado a la fórmula mágica que resuelve el problema sin necesidad de visualizarlo y, por supuesto, sin comprender realmente lo que está haciendo.

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El resultado final de este tipo de enseñanza-aprendizaje es deficiente. Al cabo de un cierto tiempo (por lo general bastante corto), los alumnos olvidan las fórmulas y entonces no saben nada de geometría. No desarrollaron en su momento una adecuada visión espacial, no manipularon las figuras, los cuerpos, ni otros elementos geométricos, no son capaces de ver, dividir, deformar, predecir... Esta

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1. Introducción


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última es la verdadera geometría, la que queda en el conocimiento una vez que las fórmulas se olvidan (y parece inevitable que se olviden).

En los últimos años observamos una tendencia a recuperar el pensamiento geométrico y la intuición espacial en los currículos de Matemáticas. Muchos autores consideran inaplazable la recuperación de algunos contenidos espaciales e intuitivos de las Matemáticas, y en particular de la geometría. Nosotros también, y en esa línea se inscribe la actividad que presentamos, intentando que los niños se convenzan de que las matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y algoritmos, sino que, por el contrario, tienen sentido, son lógicas y son divertidas 1 . Esta actividad pretende que los alumnos desarrollen su visión geométrica, sin necesidad de aprender fórmulas, usando permanentemente una lógica geométrica que debe ser practicada, pues no siempre se adquiere espontáneamente. La teoría y las fórmulas geométricas también pueden usarse e incorporarse a la actividad, en la medida que cada profesor estime conveniente y en función del nivel de los alumnos y del tiempo que se le quiera dedicar. En este artículo describimos la actividad y su puesta en práctica, y exponemos algunas impresiones, respuestas, anécdotas y conclusiones fruto de nuestra experiencia en el aula. La hemos llevado a cabo en 3 cursos escolares y en 3 niveles diferentes de la Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO): 2.º curso (13 años), 3.º curso (14 años) y 1.º curso del PCE 2 (15 y 16 años).

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2. Objetivos y metodología El objetivo principal es contribuir al desarrollo de la visión geométrica del alumnado, imaginando, intuyendo y prediciendo situaciones que contrastarán de forma manipulativa. Se repasan, además, las características de varias figuras planas (triángulo, cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecio, hexágono…). También se inician en el conocimiento del cilindro, la elipse y el número Pi.

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2.1. Material Cada alumno debe tener el siguiente material, aunque el profesor decide si debe tenerlo todo desde el comienzo o se le va suministrando a medida que vaya siendo necesario:

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1

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática (1992). 2 Programa de Capacitación profesional inicial Conducente al título de graduado en ESO. Este programa consta de dos años y los alumnos que lo cursan han repetido uno o los dos cursos del primer ciclo de ESO, sin haber superado en la mayoría de los casos prácticamente ninguna asignatura. Es una de las modalidades de los PCPI (Programas de Capacitación Profesional Inicial).

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La actividad puede ser simplificada, y no usar los materiales marcados con asterisco (*). En nuestras primeras prácticas lo hicimos así, y lo hemos ido ampliando en función de nuestra propia experiencia.

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Cilindros de cartón (de papel higiénico), como mínimo 5 por alumno. Mejor si son 10 ó más. Tijeras. Cinta métrica, preferentemente de papel (como las que ofrecen algunos comercios de muebles o bricolaje para que sus clientes tomen las medidas por sí mismos). Lápiz y regla. (*) Calculadora. (*) Transportador de ángulos. (*) Folios (para escribir, recortar plantillas de ángulos, experimentar...). (*) Cinta de papel (rollo de papel de máquinas sumadoras). Para el póster o mural que cierra la actividad, será necesario también disponer de cartulinas y pegamento, así como rotuladores, acuarelas, o los elementos de pintura y decorativos que se estimen convenientes.

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2.2. Temporalización

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En el anexo incluimos una temporalización real para dos sesiones de la experiencia llevada a cabo con 2.º curso de ESO.

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Lo ideal sería dedicarle a esta actividad 3 sesiones de clase completas, si bien puede recortarse y hacer solamente 1 ó 2. En función del curso, de las preferencias del profesor, de la dinámica y respuesta de los alumnos y del tiempo disponible, se seleccionan las cuestiones que se quieren llevar al aula, de entre las que componen la actividad completa.

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2.3. Organización del aula

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• En forma de U para el trabajo individual y por parejas. Así se destaca el papel central del profesor, como director de la actividad, se propicia la atención del alumnado y es más fácil el seguimiento de la sesión en el aula. El uso de la pizarra como apoyo a las explicaciones e instrucciones es también importante. • Con los pupitres agrupados en 2 ó 3 para realizar los murales al final de la actividad.

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2.4. Tratamiento de la diversidad

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Ningún alumno se quedará parado o descolgado en las tareas a realizar. Todos saben trazar líneas y cortar con unas tijeras. Unos lo hacen midiendo con exactitud y buscando la perfección, otros a ojo. A estos últimos les pedimos reflexionar sobre el resultado obtenido, y repetir el corte para que salga mejor. Es importante que aprendan solos, que vean el resultado de su trabajo, sea correcto o erróneo. El método de ensayo y error es fundamental en esta actividad.


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2.5. Método de trabajo Todas las actividades deben ser pensadas e imaginadas antes de realizarlas. Primero se comprende lo que hay que hacer; luego se imagina cómo será el resultado; a continuación, se traza sobre el cilindro las líneas que marcarán los cortes; finalmente se realizan los cortes y se comprueba si todo ha salido bien.

3. Desarrollo de la experiencia 3.1. Sin cortar el cilindro

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1.

Mostrar un cilindro a los alumnos y pedir que lo describan. Conseguir, entre todos, una descripción verbal correcta y completa, que incluya los términos matemáticos y geométricos que sean necesarios. Reconocimiento del objeto como figura geométrica. Descripción por comparación o similitud con otros objetos conocidos.

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Lógicamente, no surge en las descripciones de los alumnos el cilindro como «cuerpo de revolución», que es la más típica de las definiciones que encontramos en los libros de texto. Este cilindro sin tapas surge como cuerpo de revolución a partir de un segmento paralelo al eje de rotación. Nos parece un nivel de abstracción innecesario y hemos prescindido de esta visión. Surgen muchas palabras y expresiones llenas de imprecisiones («redondo» es la más frecuente), pero sí es rica la colección de objetos que ellos encuentran con forma cilíndrica: latas de conserva, un cd-rom («...es casi plano, pero es en realidad un cilindro, ¿verdad, profe?»), un euro, un pedazo de farola de la calle, el bote donde vienen las pelotas de tenis, las patas de los pupitres...

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2. Medidas del cilindro. ¿Qué medidas lo definen?

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¿Cuántas? Tomar las medidas con la máxima precisión posible. Hacer notar que obtendremos con seguridad medidas diferentes por parte de distintos alumnos, fruto de que no todos los cilindros serán completamente iguales (diferencias en el proceso de fabricación), no todos están en perfectas condiciones, y errores en el proceso de medición. La colección de datos obtenidos de las medidas realizadas por todos los alumnos nos facilita realizar una incursión en el mundo de la estadística. Probablemente la medida más acertada sea la media de todos los datos. La moda, si se dispone de una clara mayoría, también es adecuada.

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La respuesta típica es que son suficientes dos medidas: el alto del cilindro y el diámetro. Es correcto, pero el diámetro tiene mucho margen de error, porque el cilindro es flexible y la presión de la mano al cogerlo y medirlo hace que la circunferencia del borde se

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4. Definir el número pi (π) como el cociente entre la longitud y el diámetro de cualquier

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Estas dos últimas tareas se apartan de la esencia de la actividad (manipulativa, lúdica, centrada en la visión geométrica). Sólo las abordamos si vamos a disponer de las tres sesiones y si estimamos que el grupo de alumnos puede ser receptivo a este «formalismo».

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circunferencia. Estimarlo midiendo circunferencia y diámetro con la mayor precisión posible. Observar, también, que se obtendrán muchos valores diferentes. La misma incursión estadística es válida aquí. Aportar otros cilindros (cd-rom, tubo donde se guardan los cd-rom, pedazo de tubería de plástico o pvc, lata de refresco, barra de pegamento, lata de conservas, el borde de un vaso…). Llegar a la conclusión de que cuanto más grande sea el diámetro del cilindro (y más rígido, para que no se deforme la circunferencia en el momento de la medición) mejor aproximación de pi conseguiremos… ¿por qué?

P

Calcular área y volumen. Recordar la fórmula del volumen del cilindro. Comparar con una lata de refresco, ¿cuánto refresco más (o menos) cabría en el cilindro de cartón que en la lata? Para calcular el área, provocar su deducción como rectángulo. ¿Y si tuviera tapas?

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3.

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deforme en mayor o menor medida. Ver que las medidas de los diámetros tomados por todos tienen mayor variabilidad que si miden el contorno de la circunferencia.

3.2. Cortando el cilindro sin doblarlo

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Buscar similitudes con situaciones conocidas, por ejemplo, el corte inclinado típico de las lonchas de salchichón. ¿Cómo se llaman las figuras obtenidas (tridimensionales y planas)?

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5. ¿Qué figuras obtendremos si realizamos un corte recto, sin doblar ni deformar el cilindro?

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Se puede pedir a los alumnos que tomen notas en su cuaderno de clase, y que formalicen (en la medida de lo posible) lo que van descubriendo. Nosotros no somos partidarios de hacerlo. Esto le resta espontaneidad y sentido lúdico a la experiencia y conduce a los alumnos al demasiado frecuente cartesianismo escolar, que intentamos evitar en esta actividad.

I

Todas las actividades de recorte deben ser planteadas de forma verbal, mostrando el cilindro y apoyándonos con dibujos en la pizarra. Con esa descripción verbal el alumno debe imaginar qué sucederá al cortar y expresarlo verbalmente. Es interesante provocar una discusión en la clase y ver si ellos llegan a una conclusión clara, si hay alumnos que son capaces de convencer a otros de sus conclusiones, y observar cómo expresan verbalmente situaciones y resultados de tipo claramente geométrico.

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6. Si realizamos un corte longitudinal, ¿qué obtendremos, un cuadrado, un rectángulo apaisado

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o un rectángulo vertical?, ¿cómo podemos estar completamente seguros de la respuesta antes de cortar? (midiendo, por supuesto).

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Longitudinal


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Es importante exigir un minuto de silencio para pensar las respuestas. Hay alumnos que tienen una buena visión espacial y dan rápidamente la respuesta correcta. Esto impide que otros alumnos mediten sobre la situación planteada. Esta reflexión es la que verdaderamente contribuye a desarrollar la visión geométrica que perseguimos.

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Aparecen siempre las tres respuestas: cuadrado, rectángulo horizontal y rectángulo vertical. Para llegar a la conclusión de que saldrá un rectángulo horizontal hay que medir la longitud de la circunferencia, que será precisamente el lado horizontal del rectángulo resultante. Mostrar el cartón alternativamente en forma de rectángulo y de cilindro aclara de forma evidente cómo se calcula el área del cilindro y hace innecesario memorizar una fórmula.

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¡UN MINUTO PARA PENSAR! A partir de aquí hay que repetir continuamente esta frase. Los alumnos que «ven» una respuesta quieren decirla rápidamente en voz alta.

7. ¿Y si hacemos un corte oblicuo, qué figura obtendremos? ¿siempre la misma? ¿da igual lo

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inclinado que hagamos el corte? Comparamos los resultados de diversos cortes inclinados que han hecho varios alumnos. Serán distintos romboides…

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8. Provocamos la discusión del cálculo del área de todas las figuras obtenidas hasta ahora:

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Para no gastar demasiados cilindros, pedimos a tres alumnos que hagan cada uno un corte con distinto grado de inclinación (poco, medio y muy inclinado). El resto de la discusión se hace mostrando los 3 romboides obtenidos, apoyándonos con dibujos en la pizarra y, si es necesario, cortando algún cilindro más.

Aquí es importante llegar con los alumnos a estas conclusiones: (a) el área del romboide es b · h, ¡exactamente igual que el rectángulo! No importa la inclinación que tengan los lados laterales (los lados horizontales son siempre iguales y coinciden con la longitud de la circunferencia del cilindro); (b) las áreas son todas iguales… ¡porque todas tienen la misma cantidad (y por tanto superficie) de cartón!

X

P

rectángulo y distintos romboides…

9. ¿Se podrá obtener un rombo? ¿Podrías marcar la línea por la que hay que cortar para que la

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figura plana que resulte sea un rombo?

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No siempre surge espontáneamente la idea de que si inclinamos suficientemente el corte conseguiremos un rombo. En caso necesario la inducimos a partir del dibujo de un romboide en la pizarra, al que le vamos inclinando cada vez más los lados laterales, hasta que se hacen iguales que los lados superior e inferior.

P E R

Normalmente el trabajo de medir y trazar la línea de corte no lo puede hacer un alumno solo, es complicado colocar la cinta métrica de forma oblicua sobre el cilindro, de manera que el 0 se sitúe en el borde inferior y el punto de los 15 cm (aprox. mide 15 cm la circunferencia del cilindro) se sitúe en el borde superior. Una vez que se ha conseguido colocar la cinta hay que trazar la línea, uno sujeta la cinta y el otro hace el trazado.

I E N C I A S

Si el grupo de alumnos es receptivo, en este momento podemos mostrar otra manera de calcular el área del rombo. En lugar de la clásica fórmula A=(D·d)/2, o de la división del rombo en 2 ó 4 triángulos, también lo podemos calcular como si se tratara de un caso particular de romboide (A = base · altura), lo que a su vez coincide con la suma de las áreas de los dos triángulos rectángulos iguales y el rectángulo en que se divide el rombo (ver figura). No es, en absoluto, la mejor forma de calcular el área, pero se trata de darles siempre ejemplos de que «muchas cuestiones se pueden hacer bien de maneras distintas, siguiendo diferentes caminos».

D E A U L

10. ¿Y al revés? ¿Si unimos los lados inclinados de cualquier romboide obtendremos siempre un

cilindro? ¿Y a partir de un rombo?

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3.3. Cortes con el cilindro doblado También aquí se debe imaginar primero y cortar después. El doblado del cilindro es siempre el mismo: aplastar el cilindro, de forma que quede plano, quedando dos rectángulos verticales superpuestos que tienen sus lados izquierdo y derecho unidos.

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11. Doblamos, hacemos un corte recto (longitudinal u horizontalmente) y desdoblamos. ¿Qué

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figura(s) se obtiene se cada caso?

Corte longitudinal

Corte transversal

A

S

El corte transversal no presenta ninguna dificultad. Obtendremos dos cilindros igual de «anchos» pero la mitad de altos. Esto lo ven rápidamente todos los alumnos.

N

Una vez aclarado y demostrado que son rectángulos, la siguiente pregunta será: ¿por dónde debemos cortar para obtener un cuadrado? Lógicamente, saldrá un cuadrado y un rectángulo vertical más estrecho, que «sobra»… esto no lo ven de forma inmediata algunos alumnos.

I

I C

Se producirá la discusión sobre si lo que sale son dos cuadrados o dos rectángulos. Resulta sorprendente comprobar que muy pocos alumnos ven que el resultado del corte longitudinal por el centro es un par de rectángulos iguales del mismo tamaño que el que vemos al observar el cilindro aplastado.

E

12. Seguimos trabajando con el corte longitudinal...

Puede desarrollarse así, más o menos: ¿Salen las dos piezas del mismo tamaño? ¿Son cuadrados o rectángulos? ¡Compruébalo! ¿Y si «rodamos» el corte? Si quiero obtener una pieza (cuadrado o rectángulo) que tenga, por ejemplo, 4 cm de base (la altura será la altura total del cilindro), ¿por dónde hay que cortar? e. ¿Por dónde hay que hacer el corte para que obtengamos un cuadrado? f. ¿Por dónde debemos hacer el corte para que una pieza sea el doble de grande que la otra?

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a. b. c. d.

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pueden obtener? Debemos guiar a los alumnos sucesivamente por los distintos tipos de cortes que se pueden realizar:

E

13. Aplastamos el cilindro, realizamos un corte recto inclinado y desdoblamos. ¿Qué figuras se

X

c)

Si el corte supera las esquinas... ...quedarán dos «troncos» de cilindro con la peculiaridad de que el borde cortado no será elíptico; tendrá «picos», producto de que el cilindro estaba «aplastado» cuando se cortó.

d)

¿Qué ocurre si, partiendo del caso (a), vamos inclinando el corte cada vez más? Los lados paralelos del trapecio se van ensanchando y estrechando. ¿Y si cortamos justo de esquina a esquina?... ¡Dos triángulos! ¿Serán triángulos rectángulos? Muchos alumnos responden afirmativamente (lo que se ve antes de cortar tiene efectivamente un ángulo recto), pero es fácil deducir lo contrario, pues al abrir el doblez, el ángulo superior (que es menor de 45º) se duplica.

e)

Volvemos al caso (a), pero realizamos un corte sin pasar por el centro. ¿Qué obtenemos? Dos trapecios invertidos… pero no iguales. ¿Y si el corte inclinado toca solamente una de las esquinas? ¡Un triángulo y un trapecio!

I

Si hacemos el mismo corte, pero hacia el otro lado, ¿qué figuras obtendremos?

R

b)

E

Pasando por el centro del rectángulo visible (cilindro aplastado) y sin llegar a las esquinas. Siempre saldrán dos trapecios iguales, invertidos uno con respecto a otro. A muchos alumnos les salen los trapecios de tamaños diferentes, porque no marcaron con exactitud el punto medio o no hicieron un corte recto y preciso (con el doble cartón y una tijera pequeña es fácil torcerse).

P

a)

E N C I A S D E A U

En función del tiempo y la cantidad de cilindros disponibles se pueden realizar todos estos últimos cortes, o ninguno, o sólo algunos, y dejar el resto exclusivamente para la discusión verbal. En este caso es importante el apoyo de la pizarra, aunque primero intentamos que los alumnos «vean» las figuras propuestas sólo con nuestra descripción verbal.

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14. Doblamos, realizamos un corte con esquina y desdoblamos. ¿Qué figuras se podrán obtener?

A

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Si conseguimos un buen dominio de la figura cilíndrica aplastada, ¿podremos definir los cortes necesarios para obtener cualquier polígono regular o irregular?

Pentágono

Rombo

Hexágono

E

Cuadrado

Pentágono regular más grande posible

D

En estos cortes juega un papel fundamental la simetría. En el momento en que los alumnos descubren que basta con «imaginar» la mitad de la figura y trazarla sobre el cilindro aplastado, se les abre un mundo de posibilidades.

S

− Profe, ¿y se pueden hacer líneas curvas? − Claro... ¿por qué no? ¿Qué figura quieres − ¡Una mariposa!

obtener?

E

N

C

I

A

Todos estos polígonos (y más) los abordamos de la siguiente manera: proponemos y realizamos uno de ellos con la explicación del profesor, los comentarios de los alumnos, el apoyo de la pizarra, comparando los distintos resultados obtenidos y «desvelando» cómo debemos hacer el corte para obtener un resultado «perfecto». Nosotros lo hicimos con el cuadrado. A continuación, proponemos todas las demás figuras, con una muy breve explicación y un dibujo en la pizarra. A partir de ese momento, cada alumno (o pareja) trabaja a su ritmo y elige la figura que prefiere. Les pedimos siempre que una vez trazada la línea de corte, pero antes de cortar, avisen al profesor. Nos deben explicar cuál ha sido su reflexión y cómo han trazado las líneas. Normalmente les dejamos cortar, incluso cuando sabemos que el resultado no va a ser correcto... el siguiente intento saldrá mejor. Apuntamos a continuación algunos comentarios breves sobre la realización de estos polígonos:

E

R

I

Cuadrado: superponiendo la esquina de un folio (que nos ofrece rápidamente un ángulo recto) se consigue un cuadrado. Para que sea máximo debemos meter la mayor cantidad posible de folio dentro del cartón. Normalmente, el primer intento sale mal, pues no es tan evidente para ellos tener la precaución de que la esquina del folio esté sobre la línea horizontal que divide en dos mitades el cilindro plegado. En el segundo intento les proponemos que dibujen la línea sobre la que se debe apoyar la esquina del folio.

P X E

Octógono

Octógono: es el más fácil (aparentemente), a partir del cuadrado y cortando las esquinas. No de este último cuadrado, sino del realizado anteriormente, con un único corte vertical sobre el cilindro aplastado. En su primer intento, los alumnos dividen en tres partes iguales el lado del cuadrado, pero... ¡el octógono no es regular! Sólo a los más avanzados o interesados les proponemos que realicen los

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cálculos para conseguir un octógono regular. El resto (la gran mayoría) realizan un segundo intento a ojo, que sale suficientemente aproximado.

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Pentágono: mediante ensayo y error, cortando varios cilindros, cada uno mejor que el anterior. Es un buen método, indica que el alumno ha comprendido y va perfeccionando y ajustando los elementos geométricos (longitudes de los lados y ángulos). Utilizando la misma idea del cuadrado y del hexágono, necesitamos recortar un ángulo de... ¡a calcular! (108º). Es un momento excelente para enseñarles a construir un pentágono regular a partir de una tira de papel.

E

P

Hexágono: midiendo lados y ángulos, recortando uno o dos ángulos de 120º en el folio y superponiéndolos al cilindro doblado, de forma similar a lo realizado con el cuadrado. Los ángulos de 120º se pueden conseguir de dos formas: midiendo con el transportador sobre el folio y recortando una plantilla, o bien doblando la esquina del folio en tres partes iguales (esto se hace a ojo, pero normalmente sale con una aproximación bastante buena). Con esto conseguimos un ángulo de 60º. Dos ángulos de 60º (o uno de 90º más otro de 30º) forman uno de 120º.

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3.4. Para terminar, un mural

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Como trabajo final encargamos a los alumnos, en grupos, realizar un mural con las distintas figuras que obtuvieron en esta experiencia. Deben dar nombre a todas las figuras y puede decorarse de forma libre. Incluso pueden añadirse definiciones, explicaciones, o cualquier otro tipo de texto. La perspectiva de hacer el mural y exponerlo es motivador y varios alumnos decidieron realizar más figuras (no tan matemáticas) para mejorar su mural. Comenzamos a hacerlo en la segunda mitad de la tercera sesión de clase, y los alumnos lo terminaron en casa.


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4. Elementos del currículo Por supuesto, aunque planteemos esta experiencia como eminentemente lúdica, sin registro en el cuaderno de clase del alumno, ni evaluación formal, las actividades desarrolladas tienen relación con distintos elementos de los currículos de la ESO, tanto en sus objetivos y contenidos como en las competencias básicas que contribuye a desarrollar. La idea de competencia descrita en el Proyecto PISA se manifiesta a través de la capacidad de los alumnos para emplear el conocimiento en la práctica al resolver tareas matemáticas en contexto. A continuación relacionamos algunos de estos elementos (objetivos, contenidos y competencias básicas) que se trabajan directamente con las actividades descritas en esta experiencia:

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Objetivos (LOE) para el área de Matemáticas en la E.S.O. • Incorporar el razonamiento y las formas de expresión matemática (numérica, gráfica, geométrica, algebraica, estadística, probabilística, etc.) al lenguaje y a los modos de argumentación habituales en los distintos ámbitos de la actividad humana. • Reconocer situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos, y analizar y emplear diferentes estrategias para abordarlas aplicando adecuadamente los conocimientos matemáticos adquiridos. • Localizar y describir formas y relaciones espaciales en la vida cotidiana, analizar propiedades y relaciones geométricas y utilizar la visualización y la modelización, tanto para contribuir al sentido estético como para estimular la creatividad y la imaginación. • Proceder ante problemas que se plantean en la vida cotidiana, mostrando actitudes propias de las matemáticas tales como el pensamiento reflexivo, la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas, la exploración sistemática, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones. • Manifestar una actitud positiva y confianza en las propias habilidades ante la resolución de problemas que permitan disfrutar de los aspectos lúdicos, creativos, estéticos, manipulativos y prácticos de las matemáticas.

P E R I E N

Tabla 1. Objetivos del currículo que se trabajan en esta experiencia

C

Contenidos (LOE) para el área de Matemáticas en la E.S.O. • Estrategias generales y técnicas simples de la resolución de problemas: el análisis del enunciado, el ensayo y error, la resolución de un problema más simple y la comprobación de la solución obtenida. • Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas. • Sensibilidad y gusto por las experimentaciones y la resolución de problemas. • Determinación y confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. • Descripción, construcción y/o trazado de figuras planas elementales: triángulos, cuadriláteros, otros polígonos, circunferencia y círculo. Propiedades características y clasificación de figuras atendiendo a diferentes criterios (número de lados, número de vértices, características de los ángulos, regularidades...). Medida y cálculo de ángulos en figuras planas. • Movimientos en el plano: simetría de figuras planas. Apreciación de la simetría en la naturaleza, la arquitectura y el arte. • Figuras elementales en el espacio: poliedros, prismas, pirámides, cilindros y conos. Propiedades características y clasificación atendiendo a distintos criterios (n.º de lados, n.º de caras o vértices, ángulos, simetrías, regularidades…). Obtención e identificación de desarrollos planos de cuerpos geométricos. • Utilización de la visualización, el razonamiento espacial y la modelización geométrica con procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros. • Volúmenes de cuerpos geométricos. Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes. • Utilización de la terminología y notación adecuadas para describir con precisión situaciones, formas, propiedades y configuraciones geométricas. Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. • Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas en contextos reales.

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Tabla 2. Contenidos del currículo que se trabajan en esta experiencia

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Competencias básicas, subcompetencias e indicadores

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Competencia en comunicación lingüística: − −

− − −

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− −

Dialogar: escuchar y hablar. Expresar e interpretar de forma oral y escrita, pensamientos, emociones, vivencias, opiniones, creaciones. Adaptar la comunicación al contexto. Generar ideas, hipótesis, supuestos, interrogantes. Formular y expresar los propios argumentos de una manera convincente y adecuada al contexto. Adoptar decisiones. Tener en cuenta opiniones distintas a la propia.

Competencia matemática: − Conocer los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.). − Manejar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. − Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la obtención de información o a la solución de los problemas. − Conocimiento e interacción con el mundo físico. − Aplicar el pensamiento científico técnico para interpretar, predecir y tomar decisiones con iniciativa y autonomía personal. − Planificar y manejar soluciones técnicas. − Comprender e identificar preguntas o problemas y obtener conclusiones. − Interpretar la información que se recibe para predecir y tomar decisiones

Competencia social y ciudadana: − Ser conscientes de la existencia de diferentes perspectivas para analizar la realidad. − Tomar decisiones y responsabilizarse de las mismas. Competencia cultural y artística: − Poner en funcionamiento la iniciativa, la imaginación y la creatividad para expresarse mediante códigos artísticos. − Disponer de habilidades de cooperación y tener conciencia de la importancia de apoyar y apreciar las iniciativas y contribuciones ajenas. − Emplear algunos recursos para realizar creaciones propias y la realización de experiencias artísticas compartidas. Competencia para aprender a aprender: − Plantearse preguntas. − Identificar y manejar la diversidad de respuestas posibles. − Aceptar los errores y aprender de ellos. Autonomía e iniciativa personal: Afrontar los problemas y aprender de los errores. Elegir con criterio propio. Ser creativo y emprendedor. Ser perseverante y responsable. Buscar las soluciones y elaborar nuevas ideas. Identificar y cumplir objetivos. Valorar las posibilidades de mejora.

− − − − − − −

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Tabla 3. Competencias básicas e indicadores que se trabajan en esta experiencia

La experiencia que hemos expuesto en este artículo es eminentemente lúdica. No es necesario plantearse metas concretas, e incluso existe la opción de realizar sólo algunas partes de la misma. Podemos terminarla cuando queramos, cuando se acabe el tiempo que nos habíamos reservado para esto o cuando se acaben los cilindros que hayamos conseguido recopilar (nuestras familias y amigos saben que los coleccionamos y nos los guardan durante todo el año). Tres sesiones de clase sin aparentes contenidos curriculares, sin evaluación... ¡merece la pena! La visión espacial y el gusto por la geometría no se adquieren aprendiendo fórmulas y realizando exámenes.

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5. Conclusiones

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La realización de esta experiencia nos deja la sensación (y la satisfacción) de estar en sintonía con Miguel de Guzmán: «Al hablar del pensamiento geométrico no me refiero a la enseñanza de la geometría más o menos fundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo mucho más básico y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática que provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre para explorar racionalmente el espacio físico en que vive, la figura, la forma física».

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Los alumnos disfrutan mientras manipulan elementos geométricos, piensan en ellos y desarrollan su visión espacial. Los profesores disfrutamos viéndolos participar y pasarlo bien mientras hacen matemáticas. Con eso nos basta. No hemos diseñado ninguna evaluación para esta actividad, ni queremos hacerlo (¿por qué tenemos que evaluar de manera formal todo lo que hacemos?). Una semana después de terminada la actividad preguntamos cuántos alumnos cogieron en casa un cilindro de cartón cuando se acabó el papel higiénico o el rollo de servilletas de la cocina, y cuántos de ellos le mostraron a sus padres qué cosas se pueden hacer con ellos. El número de manos levantadas y las sonrisas mostradas constituyen la verdadera evaluación del trabajo realizado.

E N C I

Anexo

S

Act iv idad

A

En las siguientes tablas presentamos la temporalización exacta de algunas actividades llevadas a cabo con un curso de 2.º de ESO. Los tiempos fueron medidos en la realización de la experiencia realizada en marzo de 2009. Pretendemos que sirva, a título orientativo, para rediseñar la estructura de las sesiones de clase, en función del tiempo disponible, las características de los alumnos y el enfoque que quiera imponer cada profesor. Tiempo

- Discusión sobre el cálculo de las dimensiones

5 minutos

- Discusión de los cortes rectos sin deformar el cilindro: longitudinal, transversal, oblicuo - Corte longitudinal. Rectángulo. Medidas. Superficie. Dibujar 1 cm2. Comprobar que caben 139 cm2 en el rectángulo

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5 minutos

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- Descripción del cilindro y ejemplos

10 minutos 10 minutos

- Corte oblicuo necesario para obtener un rombo. Dibujos en la pizarra y discusión. Trazado y corte

15 minutos

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10 minutos

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- Corte oblicuo. Romboide. Comparación de su área con la del rectángulo

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Tabla 4. Primera sesión con 2.º curso de ESO

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Tiempo 10 minutos 10 minutos 20 minutos 15 minutos

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Act iv idad - Corte vertical con el cilindro plegado para obtener un cuadrado. Discusión, trazado y corte - Corte inclinado con el cilindro plegado para obtener dos trapecios iguales. Discusión, trazado y corte - Propuesta y discusión de todas las formas posibles de cortes oblicuos. Discusión, trazado y corte para obtener trapecios y triángulos - Propuesta y discusión para la obtención de polígonos, teniendo en cuenta la simetría. Trazado y corte de uno ó dos

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Eva M.ª Quintero Núñez, IES Mencey Bencomo, Los Realejos, Tenerife. Profesora de Enseñanza Secundaria (Matemáticas).

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Carlos Duque Gómez, IES Mencey Bencomo, Los Realejos, Tenerife. Profesor de Enseñanza Secundaria (Matemáticas).

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Tabla 5. Segunda sesión con 2.º curso de ESO

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 105–113

Problemas comentados (XXI) J.A. Rupérez Padrón y M. García Déniz -Club Matemático 1 Muchos de los problemas que hemos propuesto en los artículos de esta serie han sido tomados, casi sin modificación, de diferentes convocatorias del concurso de problemas conocido como Rally Matemático Transalpino (RMT). Este concurso se celebra anualmente, desde 1993, hasta la actualidad en que se ha celebrado el 16º Rally.

1

El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón, del IES de CanariasCabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz, del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife). mgarden@gobiernodecanarias.org / jruppad@gobiernodecanarias.org

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

S

Hoy son muchos los Colegios y Organizaciones de profesores que siguen el concurso a través de sus páginas web. Dos de esos sitios web sobre el Rally Matemático Transalpino, muy recomendables para buscar problemas, son los siguientes:

A

Estas dos personas, Grugnetti y Jaquet, son los coordinadores internacionales del concurso y han dedicado muchos artículos a difundir el RMT y el modo de afrontar los problemas propuestos.

M

“L’educazione Matematica”, revista cuatrimestral a cargo del Centro di ricerca e sperimentazione dell’educazione matematica de Cagliari (Italia); directora: Lucia Grugnetti. “Math-École”, revista trimestral del Institut de Mathématiques de Neuchâtel (Suiza); director François Jaquet.

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Nuestro primer contacto con estas pruebas se realizó a través de dos revistas, que llegaban, y siguen llegando, a la biblioteca de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas:

B

La aplicación, la evaluación y el análisis de la prueba están bajo la entera responsabilidad de los enseñantes. La decisión de participar en el RMT debe ser tomada por la clase, de acuerdo con el profesor.

O

En el RMT, no es la respuesta correcta lo único que cuenta, sino que también la calidad de las explicaciones y el rigor científico de los razonamientos son tenidos en cuenta. Es necesario insistir sobre este punto ante los alumnos después de la prueba de ensayo y atribuir tanto valor a las explicaciones como a las respuestas correctas.

R

Su característica principal es que se realiza por clases, no individualmente, y por niveles educativos. Se inicia con una prueba de ensayo a comienzos de curso y continúa con otras tres eliminatorias, en enero, marzo y mayo. Las clases seleccionadas tienen una prueba final en junio.

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Empezó celebrándose en Suiza y, casi enseguida, pasó a Italia y Luxemburgo, por lo cual recibió el nombre que ahora detenta. En estos momentos se realiza en otros muchos países como Bélgica o Israel.


Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

http://www.primoassari.it/esem/rally.htm (Italiana; deben buscar en ella el apartado “esempi di problemi”.) http://www.rmt-sr.ch/archives.htm

COLOREADO RARO (Edades: 8, 9 y 10 años) Máximo ha coloreado una cuadrícula respetando, para cada línea, una regla de coloreado diferente:

O

Ha coloreado ya correctamente las 15 primeras columnas. Constata que las columnas 1, 9 y 13 están completamente coloreadas. Continúa el coloreado más allá de la columna 16. ¿La columna 83 estará completamente coloreada? ¿Y la columna 265?

R

Este problema tiene algo de Lógica (formulación de hipótesis, razonamiento deductivo) y algo de Aritmética (división con resto).

P

B

L

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A

Veremos ahora las soluciones de los cuatro problemas del artículo anterior que quedaron propuestos para resolver; los cuatro se corresponden con problemas aparecidos en la prueba nº 2, marzo-abril de 2004, del Rally Matemático Transalpino. Recordamos a nuestros lectores que los problemas aparecen categorizados por niveles educativos después del título de cada problema, aunque esa clasificación es muy relativa. Cualquier problema puede ser adaptado a las características de cualquier aula. Para unificar criterios pondremos las edades recomendadas por el RMT entre paréntesis.

M

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(Suiza; esta vez deben buscar el apartado “anciens rallyes”.)

Puede ser trabajado mediante estrategias de modelización o de organización de la información, pero sobre todo es importante que el alumno investigue la propuesta alargando la secuencia dibujada hasta entender la situación y que busque los patrones que regulan su formación. Ver que el patrón está determinado por la observación de las filas y no por las columnas: la 1ª línea con alternancia de 1 negra - 1 blanca, la 2ª línea con alternancia 2 negras - 2 blancas, la 3ª línea con alternancia 3 negras - 3 blancas. Ver que: -

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sobre la línea 1 : las columnas impares están coloreadas sobre la línea 2 : las columnas coloreadas están asociadas a un número cuyo resto en la división por 4 es 1 o 2 sobre la línea 3: las columnas coloreadas están asociadas a un número cuyo resto en la división por 6 es 1, 2 o 3.

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Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

Deducir que las columnas completamente coloreadas deben verificar las tres condiciones anteriores. Buscar el resto en la división por 2, 4 y 6 de cada uno de los números propuestos. 83 da resto 3 en la división por 4, por tanto no cumple las condiciones. (Se podría ver también coloreando o mediante la escritura de las tres series de «números coloreados») 265 da siempre resto 1 en las divisiones por 2, 4 y 6, por tanto estará coloreado 3 veces.

P

Otra posibilidad : ver que una misma «serie de columnas coloreadas» se repite cada 12 columnas y, por tanto, dividir 83 y 265 por 12; la coloración de las columnas es la misma que la de las columnas correspondientes a los restos obtenidos (11 para 83 y 1 para 265). Por consiguiente, sólo la columna 265 estará completamente coloreada. O buscar una regla que permita encontrar las columnas completamente coloreadas:

R O

y verificar que con esta regla se llega a 256 pero no a 83.

B

Solución:

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La columna 83 no está completamente coloreada; la columna 256 sí lo está.

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JUEGO DE CARTAS (Edades: 10 y 11 años)

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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Este problema tiene algo de Aritmética (adición, potencias) y un poco de Combinatoria. Si se fijan, este juego tiene un cierto parecido al juego de la escoba, con menos complicaciones y utilizando una baraja de póquer.

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Lucas y sus amigos juegan a las cartas con un mazo de 52, compuesto de 4 series de cartas numeradas de 1 a 13. Para este juego se giran 4 cartas, a cara descubierta, y se forma un mazo con las otras cubiertas. Por turno, cada jugador toma la carta superior del mazo y, cuando es posible, toma las cartas descubiertas cuya suma corresponda al número de la carta tomada del mazo. Por ejemplo, si se toma un " 8", se puede tomar una carta descubierta " 8" o bien dos, tres o cuatro cartas descubiertas cuya suma sea 8. Le toca a Lucas. Él observa las cuatro cartas descubiertas y dice, antes de tomar la carta del mazo, "soy afortunado, estoy seguro de poder tomar al menos una de las cartas descubiertas". ¿Qué números se pueden escribir con estas características?


Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

Puede ser trabajado mediante estrategias de modelización con ensayo y error o de organización de la información, pero sobre todo es importante que el alumno investigue la propuesta jugando un rato con una baraja hasta entender la situación y así buscar las combinaciones ganadoras. Comprender que los cuatro números deben ser todos diferentes e inferiores o iguales a 13, y que puedan formar todas las sumas diferentes de 1 a 13. Ver que el 1 y el 2 deberán necesariamente formar parte de los cuatro números (éstos no pueden ser obtenidos como suma de otros) y que los números más elevados como 12 y 13 deben ser excluidos.

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Proceder mediante ensayos partiendo de 1 y excluyendo las sumas que se puedan obtener con los números ya conseguidos: 2 sí; 3 no porque 3 = 1 + 2; 4 sí; 5, 6 y 7 no (se obtienen de números precedentes mediante las sumas: 4 + 1, 4 + 2 y 4 + 1 + 2), 8 sí; sumando los números anteriores se pueden obtener todas las sumas de 9 a 13.

L

E

M

La solución 1, 2, 4, 8, y solamente ella, puede ser obtenida por una de las estrategias que siguen:

A

Proceder mediante ensayos para darse cuenta que el tercer número debe ser el 3 o el 4; en el primer caso se obtiene la solución 1- 2 - 3 - 7; en el segundo caso se obtiene una de tres posibilidades: 1 - 2 - 4 - 6, 1 - 2 - 4 - 7 y 1 - 2 - 4 - 8.

Observar que cada número par es la suma de potencias de 2, y obtener así 2 (21) , 4 (22), 8 (23) y el número 1 (20) que permite obtener todos los números impares. Esto resulta interesante porque se puede enlazar con los sistemas de numeración, sistema de base dos y utilizar la calculadora de Papy o juegos de matemagia basados en este conocimiento.

Las cuatro combinaciones de cartas posibles son: 1 – 2 – 3 – 7 ; 1 – 2 – 4 – 6 ; 1 – 2 – 4 – 7 y 1 – 2 – 4 – 8.

O

B

Solución:

R

CIFRAS MÓVILES (Edades: 10 y 11 años)

P

Un número de 4 cifras es tal que: - las cifras que lo componen son todas distintas entre sí y de 0 - colocando las unidades en el lugar de los millares, las decenas en el lugar de las centenas, las centenas en el lugar de las unidades, los millares en el lugar de las decenas se obtiene un número que sumado con el de partida da 9613. ¿Qué números se pueden escribir con estas características? Este problema tiene algo de Aritmética (operaciones, cifra y número) y un poco de Lógica. Puede ser trabajado mediante estrategias de modelización con ensayo y error o de organización de la información, pero sobre todo es importante que el alumno investigue la propuesta con distintos ejemplos y utilizar la eliminación como estrategia específica.

Representar la situación con un esquema, como el siguiente:

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NÚMEROS


Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

Ver que, puesto que el número que representa la suma termina en 3, el primero y el segundo números deben tener como cifras de las unidades 1-2, 2-1, 5-8, 8-5, 6-7, 7-6, 9-4, 4-9. Ver que las parejas 4-9, 9-4 y 8-5 conducen a un callejón sin salida. Hallar que haciendo d = 1 y b = 2 sale la solución 8231; haciendo d = 2 y b = 1 sale la solución 7142; haciendo d = 5 y b = 8 sale la solución 3875; haciendo d = 6 y b = 7 se encuentra la solución 2786; y, finalmente, si d = 7 y b = 6 se llega a la solución 1697. Solución: Los números que se pueden escribir son: 8231; 7142; 3875; 2786 y 1697.

P

¿TARTAS: GRANDES O PEQUEÑAS? (Edad: 11 años)

R O

Cada domingo, la señora Boulanger prepara su masa con huevos, azúcar, mantequilla y harina y llena hasta el borde un molde cilíndrico. Una vez horneado, le sale un excelente pastel. Pero hoy, con la misma cantidad de masa, hace muchos pequeños pasteles en lugar de un único gran pastel, utilizando moldes cuyo diámetro y altura son la mitad del que utiliza habitualmente. ¿Cuántos pequeños pasteles obtendrá con la misma cantidad de masa? Este problema tiene algo de Geometría (volumen del cilindro), algo de Aritmética (proporcionalidad) y, también, algo de Álgebra (cálculo literal).

B

Comprender que los moldes corresponden a cilindros de volúmenes diferentes y que la suma de los volúmenes de los pequeños cilindros (V1) debe ser igual al volumen del cilindro grande (V2).

L M

Deducir que hacen falta 8 cilindros pequeños para obtener el volumen correspondiente a un cilindro grande.

E

Comprender que la razón V1/V2 corresponde a 1/8, visto que el área de la base del cilindro pequeño corresponde a 1/4 de la del cilindro grande y la altura corresponde a la mitad.

A Calcular los volúmenes de los cilindros y deducir que 8 cilindros pequeños corresponden a uno grande. Aunque también se pueden realizar conjeturas y someterlas a un control, atribuyendo valores a las dimensiones de los moldes (por ejemplo: 20 y 10 para los radios, 12 y 6 para las alturas). Solución: Se obtendrán ocho pasteles pequeños. El quinto problema propuesto estaba basado en una idea original de José Fernando Rodríguez, ligeramente modificada por nosotros. Comprendemos que resulta difícil de comprender para aquellos que vivan en ciudades que no tengan tranvías o autobuses con pago mediante tarjetas magnéticas (bono). Se trata de un problema muy localizado, pero estimamos que muchos podrán adaptarlo a su Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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S

También se puede indicar como « r » y « h » el radio y la altura del cilindro grande y como «r/2» y «h/2» el radio y la altura de los cilindros pequeños.


Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

propia ciudad. Nos perdonarán, pues, que hagamos aquí el tratamiento necesario para su resolución. Resulta muy interesante plantearlo a los alumnos como una investigación de campo.

EL BONO VÍA (GUAGUA+TRANVÍA)

P

R

O

B

L

E

M

A

S

Cuando se introduce el Bono Vía en la máquina de validación del viaje, se graba en él un código numérico de diecinueve cifras partido en dos bloques: un primero de siete y un segundo de doce, separados por un espacio en blanco. ¿Qué significan?

Se daban las siguientes sugerencias de trabajo: ¿Qué información debe contener? La necesaria para conocer el dónde y el cuándo de cada uso del bono, puesto que el precio de cada viaje y el resto de dinero que nos queda aparece claramente reflejado en las 3ª y 4ª columnas. ¿A quién interesa? Especialmente al posible revisor de la compañía, pero también al usuario para posibles reclamaciones o justificaciones de viajes. Está claro que las dos columnas primeras se corresponden con los bloques de información posibles: localización temporal y localización física, en ese orden. Debemos tener en cuenta que se necesita menos información para codificar los datos temporales (hora y día, tal vez mes y año) y que, además, éstos deben aparecer en unas secuencias crecientes. Las localizaciones físicas harán referencia al vehículo, línea, parada y dirección; parece más lógico que se corresponda con la segunda columna. Pero si no fuese así, una vez detectado el error se vuelve a trabajar cambiando el razonamiento para los bloques.

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Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

Los alumnos podrán investigar. Hacer hipótesis y verificarlas. Con un poco de observación y una discusión abierta y crítica se llega fácilmente a posibles Soluciones. De inmediato se ve que de las siete cifras de la primera columna, las cuatro últimas se corresponden con las horas y los minutos, el instante en que se ha cogido el vehículo y se ha introducido el bono para su validación. Las tres primeras cifras, pues, han de corresponder a la fecha; de las distintas opciones posibles, la más sensata parece hacer corresponder el día con su orden dentro del año. Es decir, un número entre 1 y 365 (366 para los bisiestos). En la primera línea podemos leer entonces que el primer viaje realizado con ese bono sucedió el 1 de febrero (día 032 del año), a las 19 horas y 20 minutos.

L E M A

En principio, de las doce cifras que posee parece conveniente dividirlas en tres grupos de cuatro; las cuatro centrales casi siempre vienen dadas por 0001, excepto en la sexta línea, donde aparece 0908. Justamente, sólo hay una línea de tranvía (Santa Cruz-Laguna) que será, por tanto, la 0001; mientras que hay varias líneas de guagua y, en este caso, se corresponde con la línea urbana 908 (Intercambiador-Ofra) de Santa Cruz.

B

3 min 4 min 6 min 8 min 10 min 12 min 14 min 15 min 17 min 19 min 20 min 23 min 24 min 27 min 29 min 30 min 32 min 33 min 36 min 37 min

O

Intercambiador Fundación Teatro Guimerá Weyler La Paz Puente Zurita Cruz del Señor Conservatorio Chimisay Principes de España Hospital La Calendaria Taco El Cardonal Hospital Universitario Las Mantecas Campus Guajara Gracia Museo de la Ciencia Cruz de Piedra Padre Anchieta La Trinidad

R

La segunda parte es más compleja y averiguar completamente su codificación deberá venir de una abundante observación e investigación con uso de bonos usados y también nuevos para la parte de exploración, predicción y verificación. No olvidemos que esta solución se corresponde con las líneas de tranvía y autobús (guagua) de la isla canaria de Tenerife.

Tiempos

P

Hecha esta predicción se puede realizar una comprobación. Basta con disponer de un bono y realizar un viaje, indicando antes lo que deberá aparecer en él después de su validación.

01/02 03/04 05/06 07/08 09/10 11/12 13/14 15/16 17/18 19/20 21/22 23/24 25/26 27/28 29/30 31/32 33/34 35/36 37/38 39/40 41/42

Paradas

Finalmente, las cuatro últimas cifras deberán corresponderse con la información del trayecto. En el caso del tranvía, las cuatro cifras se interpretan dos a dos, correspondiéndose con las distintas paradas y la dirección del viaje. Las dos primeras indican la parada en que se toma el vehículo y las otras dos la parada final del viaje. Cuando aparece 01 es que se viaja hacia Santa Cruz. Si aparece el 42 es que se viaja hacia La Laguna. Hay 42 paradas, emparejadas de dos en dos: 01 y 02 son las primeras de Santa Cruz (Intercambiador), 41 y 42 son las últimas en La Laguna (Avenida de La Trinidad). Las impares están todas en dirección a La Laguna, las pares en la dirección a Santa Cruz. ¿Y la guagua? Muy simple; cada parada está numerada de manera independiente con un número de cuatro cifras.

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S

Con un poco de observación y dándose cuenta que todos los coches (vagones del tranvía o guaguas) están numerados en su exterior o en su interior, podemos ver que las cuatro primeras cifras se corresponden con el número del vehículo que hemos abordado.


Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

En la primera línea podemos leer entonces que el primer viaje realizado con ese bono se utilizó en el coche nº 0102 de la línea 0001 del tranvía y la parada utilizada fue en la Avenida de La Trinidad en La Laguna y en dirección, naturalmente, hacia Santa Cruz. No se puede saber donde se bajó la persona porque no se valida el bono al salir sino al entrar. Como curiosidad, en el metro de Londres sí se valida al salir. Solución: El código es:

dddhhmm vvvvlllldddd ppp rrr(r)

1ª columna - 3 cifras para el día + 2 cifras para hora + 2 cifras minuto:

S

2ª columna – 4 cifras para vehículo + 4 cifras para línea + 4 cifras para dirección

A

(dddhhmm)

(vvvvlllldddd)

M

3ª columna – 3 cifras para el precio del viaje

E

(ppp) 4ª columna – 3 o 4 cifras para indicar el resto de dinero existente en el bono

P

R

O

B

L

(rrr(r)) Damos ahora una nueva propuesta de problemas para pensar y resolver hasta el próximo artículo del siguiente ejemplar de la revista NÚMEROS, naturalmente sacados también del RMT, concretamente los números 7, 8, 11 y 14 de la Prueba Final del 12º Rally.

¡PROBLEMA CUBO QUID! Sobre este cubo hay seis números enteros diferentes, inscrito cada uno sobre una cara. La suma de todos estos números es inferior a 350 y cada cara tiene un número que es el tercio, el cuarto, el triple o el cuádruplo del número inscrito sobre la cara opuesta. ¿Cuál es la suma de los números inscritos sobre el cubo?

LA HORMIGA PASEANTE Partiendo del punto D, una hormiga quiere llegar al punto A tomando un camino lo más corto posible. ¿Entre cuántos caminos, lo más corto posibles, puede elegir la hormiga?

D

A 112

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Problemas comentados (XXI) -Club Matemático-

TABLA TRIANGULAR Se colocan los enteros naturales en una tabla según la disposición siguiente. Una línea está señalada por el primer número de esta línea partiendo de la izquierda. Una columna está señalada por el primer número de esta columna partiendo de lo alto. Un número está por tanto señalado por la línea y la columna donde se encuentra. Por ejemplo, el número 14 está en (10, 4). ¿Cuáles son la línea y la columna de 1998?

1

2

3

4

5

6

..

..

..

..

..

..

..

P

0 7

..

R

EL CARTERO

L E M A

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera del próximo número de la revista NÚMEROS.

B

Y aquí queda todo de momento. Pero recuerden nuestro sempiterno mensaje. Esta sección estará más viva si recibimos sus soluciones, sus comentarios o sus propuestas. Hágannos caso, escríbannos. Todos los lectores agradecerían leer mensajes y experiencias de otros compañeros.

O

En un edificio de X pisos (2 apartamentos por piso), el cartero debe distribuir N cartas. En el primer piso, entrega 1 carta al inquilino de la izquierda, y la octava parte de las cartas restantes al inquilino de la derecha. En el segundo piso, entrega 2 cartas al inquilino de la izquierda, y la octava parte de las cartas restantes al inquilino de la derecha. En el tercer piso, entrega 3 cartas al inquilino de la izquierda, y la octava parte de las cartas restantes al inquilino de la derecha, y así sucesivamente. En el piso X, entrega X cartas al inquilino de la izquierda, y no le queda ninguna carta para entregar al inquilino de la derecha. ¿Cuál es el número X de pisos del edificio y el número N total de cartas distribuidas por el cartero?

S

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 115–122

INTERGEO: una guía para profesores (http://www.i2geo.net) Carlos Ueno Jacue (IES Jandía)

1. Introducción

D

Tabla 1

E

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Germany France Germany France Germany Luxembourg Spain Netherlands Spain Czech Republic

R

University of Education Schwaebisch Gmuend University of Montpellier German Research Center for Artificial Intelligence Cabrilog SAS University of Bayreuth University of Luxembourg University of Cantabria Eindhoven University of Technology Maths for More SL University of South Bohemia

A

1. Facilitar la búsqueda y elaboración de recursos relacionados con la Geometría Dinámica. 2. Crear un formato estándar de archivo que permita al docente usar su software preferido, ya sea de naturaleza comercial o libre. 3. Establecer estándares de calidad que permitan a la comunidad educativa evaluar adecuadamente los diversos recursos existentes.

L

Los países que participan inicialmente en esta iniciativa son Alemania, la República Checa, Francia, Holanda, Luxemburgo y España. Las instituciones colaboradoras se relacionan en la Tabla 1. Los objetivos primordiales del proyecto pueden resumirse en los siguientes puntos:

N

“Algunas de las causas de esta situación son: la dificultad, para los profesores, de encontrar materiales que se adapten a su realidad docente; el desconocimiento o la incertidumbre sobre su utilidad práctica real en el aula, la falta de información sobre su calidad y sobre el potencial aprovechamiento didáctico de los mismos; la complejidad de adaptación de los materiales en el marco curricular vigente o, incluso, el formato poco aprovechable de los materiales desde el punto de vista de los recursos informáticos que el profesor tiene disponibles.”

E

El proyecto Intergeo nace como una iniciativa perteneciente al programa econtentplus, desarrollado por la Unión Europea para hacer más accesibles al público los contenidos digitales existentes en la red. En particular, Intergeo se centra en las matemáticas y en la geometría interactiva y tiene por misión racionalizar los recursos relacionados con esta materia, recursos que en la actualidad se encuentran diseminados en múltiples lugares (páginas Web personales, educativas, de centros escolares y universitarios,…) y formatos. Esta dispersión es una de las dificultades que el profesor encuentra cuando quiere utilizar recursos de este tipo en su aula. El enseñante a menudo se ve desorientado y tiene dificultades para elegir los materiales específicos que necesita al desarrollar su labor docente. Citando a Tomás Recio [1],


INTERGEO: una guía para profesores C. Ueno Jacue

Evidentemente, sin la colaboración de los creadores de software este proyecto se vería muy limitado. Sin embargo, en Intergeo participan los principales desarrolladores: Cabri, Geogebra, Cinderella, Wiris, Tracenpoche, Geoplan-Geospace, Geonext, Openmath y Activemath entre otros han decidido involucrarse en esta iniciativa europea. En el desarrollo del proyecto cobra especial relevancia la puesta en marcha del portal Intergeo (http://i2geo.net) en Internet, que centralizará toda la información relativa al mismo. Este artículo está enfocado principalmente a la presentación de este portal y a su utilización, para facilitar así una primera toma de contacto del educador con los diversos recursos y contenidos que ofrece.

E

N

L

A

R

E

D

2. Aportaciones españolas Como indica Jose Antonio Mora [2,3], la enseñanza de la Geometría y el uso de la Geometría Dinámica no es precisamente el punto fuerte de la educación matemática en nuestro país, y es por ello que Intergeo puede resultar una buena oportunidad para que los profesores españoles encuentren finalmente un medio cómodo e integrado de acceder a los numerosos recursos que ya existen hoy en día en la web. En España hay dos equipos participando en Intergeo: uno en Barcelona, liderado por la compañía Maths for More (creadores de WIRIS), y otro con base en la Universidad de Cantabria. El primero de ellos juega un papel importante en la implementación de un formato universal (interoperable) de archivo, válido para las diversas variantes de software de geometría interactiva que existen hoy en día, tanto de naturaleza comercial como libre. El segundo coordina un grupo de matemáticos y profesores de educación secundaria que tienen por principal objetivo aportar su experiencia en el mundo de la geometría dinámica y contribuir a la elaboración, uso y evaluación de recursos en el área. En cuanto a la presencia de materiales didácticos en español, su calidad y variedad es notoria, y a fecha de hoy el portal de Intergeo recoge cerca de 1000 muestras elaboradas por profesores españoles que tienen una amplia experiencia en la creación de actividades de geometría interactiva para el aula, y que próximamente estarán disponibles públicamente 1 . En particular, cabe destacar las aportaciones de Manuel Sada, José Antonio Mora, José Manuel Arranz y Rafael Losada.

3. Organización y situación actual del proyecto El proyecto Intergeo se encuentra en fase de desarrollo, y tiene una duración prevista de 3 años (2008-2010). Su portal en Internet se está actualizando periódicamente con nuevos contenidos y funcionalidades, que se describirán en las siguientes secciones con más detalle. Hay que tener en cuenta que un proyecto de estas características no es sencillo; existen diversas tareas (traducción de documentos, creación de metadatos, adecuación a los currículos educativos de los distintos países,…) que en el ámbito de la Unión Europea suponen un esfuerzo importante, dada la enorme diversidad de idiomas, sistemas educativos, y tipos de software utilizados en la zona. Los trabajos a desarrollar dentro del proyecto se han organizado en varios bloques de tareas, que se detallan a continuación:

1

En la actualidad muchos recursos todavía se encuentran en fase previa (en forma de “trazas”) a su publicación en el portal, y puede accederse a ellos en http://i2geo.net/static/BigListTraces.html

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INTERGEO: una guía para profesores C. Ueno Jacue

Bloque 1. Gestión: Coordinación técnica y administrativa entre los socios y colaboradores del proyecto. Bloque 2. Clasificación de contenidos: Creación de estructuras de metadatos y ontologías que permitan clasificar coherentemente los recursos de Intergeo. Bloque 3. Integración de contenidos: Creación de una base central de datos que recoja los recursos disponibles, así como de un formato de archivo común que pueda ser reconocido por el diverso software de geometría dinámica que existe en el mercado. Bloque 4. Plataforma comunitaria: Desarrollo de la plataforma web que permita alojar los contenidos del proyecto. Bloque 5. Formación de Comunidades de Práctica: Establecimiento de comunidades de profesores y usuarios que utilicen los recursos disponibles y los evalúen.

E

Bloque 6. Evaluación de Calidad: Establecimiento de estándares de calidad para los materiales de geometría interactiva, que permitan una utilización y eficacia más fiables en el entorno escolar.

N

Bloque 7. Diseminación y Sostenibilidad: Difusión del proyecto en la comunidad educativa, factor fundamental a la hora de mantener la sostenibilidad y mejora del mismo.

L

Bloque 8. Evaluación: Valoración global del desarrollo y la gestión de Intergeo.

R

4. El portal de Intergeo: estructura

E

La dirección Web de la plataforma Intergeo es http://www.i2geo.net. Esta plataforma se encuentra actualmente en fase beta, y su portal de acceso está basado en CURRIKI, sistema de gestión de contenidos que tiene por misión establecer una comunidad educativa global en la que los profesores puedan diseñar e intercambiar materiales curriculares digitalizados. La página principal se muestra en la Ilustración 1.

D

Ilustración 1

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A

Cada uno de estos bloques tiene su propio calendario de trabajo, de tal manera que al finalizar el año 2010 el proyecto debería haber conseguido todos los objetivos inicialmente propuestos. A partir de ese momento tan sólo quedarían por realizar las inevitables tareas de mantenimiento y actualización necesarias para mantener el funcionamiento del sistema.

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INTERGEO: una guía para profesores C. Ueno Jacue

El registro del usuario en la plataforma es sencillo, y permite acceder a los contenidos principales de la misma. Estos contenidos pueden clasificarse en los siguientes grupos:

Otro aspecto muy interesante es la filosofía colaborativa del portal: Intergeo ofrece la opción de reunir grupos de trabajo ([CONECTARÆCrear un nuevo grupo]), de modo que se facilita la colaboración entre colegas y se enfocan mejor los objetivos que un equipo de docentes quiera establecer como prioritarios.

L

A

R

E

D

- Recursos de geometría interactiva: Recopilación de numerosos y diversos materiales sobre geometría interactiva, realizados por los socios y colaboradores de Intergeo. En la actualidad esta base de recursos ya cuenta con más de 3000 construcciones que próximamente estarán listas para ser utilizadas y/o evaluadas (accesibles desde la opción [ENCONTRAR] del menú principal). Por supuesto, también es posible subir nuevas actividades (accediendo al apartado [CONTRIBUIR]). - Instrucciones sobre el uso de la plataforma: Para familiarizarse con su funcionamiento, Intergeo ofrece manuales y videos que explican con claridad cómo aprovechar al máximo las posibilidades disponibles. A esta información se accede desde el menú principal, haciendo clic sobre la opción [AYUDAÆDocumentación]. - Documentos relativos al desarrollo del proyecto: Información sobre la marcha de Intergeo, programación de las tareas a realizar, calendario de reuniones y conferencias, etc… (opción [ACERCA DE I2GEO] del menú principal). - Lista de correo: En estas primeras fases la participación de todos es vital para conseguir subsanar las carencias que se detectan en el sistema o para recomendar las mejoras pertinentes en su organización y funcionamiento. El registro en esta lista se realiza a través de http://lists.inter2geo.eu/mailman/listinfo/users, y puede visualizarse en [CONECTARÆUsers Mailing List]. Esta lista de correo informa sobre los avances que se van realizando día a día, y permite a los usuarios comunicar incidencias o comentarios sobre la plataforma.

En la actualidad la herramienta de búsqueda de actividades se encuentra en proceso de desarrollo, y esto implica que la forma de acceder a las mismas no es todavía muy amigable y presenta carencias importantes. Lo mejor que podemos hacer es ir a [ENCONTRARÆBuscar recursos por tema] y seleccionar uno de los recursos disponibles. Una vez hecho esto, se nos mostrará una nueva pantalla con la información principal del recurso (ver Ilustración 2):

E

N

5. Utilizar recursos de la plataforma

9 9 9 9 9 9 9 9

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Descripción de la actividad Autor Temas y competencias entrenados Niveles educativos Valoración de Calidad Comentarios Revisiones Localización del recursos

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E N

Ilustración 2

L A

Una vez utilizada, se pueden insertar comentarios breves o una revisión detallada que incluye diversos apartados. Los recursos pueden estar alojados en Intergeo o depender de enlaces externos, de modo que la plataforma es muy flexible en cuanto al almacenamiento de los mismos se refiere. Cuando las herramientas de búsqueda y selección (por tema, idioma, nivel educativo,…) estén completamente implementadas será mucho más sencillo acceder directamente a los materiales que el docente necesite en cada momento.

6. Subir recursos a la plataforma

• Lecciones (Lesson Plans): Permiten crear una completa unidad de aprendizaje en la que se especifican entre otras cosas los objetivos, los materiales necesarios y los contenidos de la unidad, así como el lugar que ocupa en el currículo educativo.

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D

• Videos explicativos: El sistema también admite la posibilidad de subir videos informativos relacionados con Intergeo y la geometría interactiva.

E

• Construcciones realizadas con software de geometría dinámica: Las construcciones pueden enviarse en forma de archivo en el formato adecuado o también puede indicarse el enlace donde se encuentran alojadas.

R

Para los interesados en aportar sus propias creaciones al portal de Intergeo, basta acceder a la sección [CONTRIBUIRÆAñadir un recurso]. Podemos distinguir los siguientes tipos de recursos que pueden aportarse a la plataforma:


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R

E

D

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Ilustración 3

E

N

L

A

7. Evaluación y mejora Uno de los objetivos fundamentales de Intergeo es, no sólo hacer más accesibles los recursos geométricos digitales, sino permitir a la comunidad educativa calificarlos y evaluarlos de modo que las experiencias previas sobre su uso en el aula sirvan de guía y consejo para otros usuarios potenciales. Así el profesor estará mejor informado sobre la adecuación de la actividad a los objetivos de enseñanza que necesita en el desempeño de su labor. Es por esto que se está realizando un esfuerzo importante a la hora de crear un modelo de evaluación de recursos que sea completo, orientativo para el docente y al mismo tiempo claro y conciso. Una vez el enseñante ha utilizado en el aula un recurso, puede proceder a su revisión en la página donde el mismo se aloja. Esta revisión contiene varios apartados principales, que se desglosan en subapartados que el evaluador puede o no completar en función del grado de especificidad que quiera dar a su valoración, y que se pueden puntuar de 1 a 5 estrellas (ver Tabla 2). 2

8. Conclusiones En este artículo hemos querido mostrar las características principales del proyecto Intergeo y acercar su portal Web a los usuarios potenciales, de modo que la primera toma de contacto con el mismo resulte más familiar y sencilla. Cuando Intergeo haya finalizado su desarrollo el educador tendrá a mano un banco de recursos digitales sobre matemática y geometría interactivas completo, bien organizado y que ofrecerá unos estándares de calidad válidos, no sólo a nivel nacional, sino en todo el entorno de la Unión Europea. Desde aquí animamos a todos aquellos docentes interesados en

2

El autor agradecería que los profesores que estén interesados en llevar a cabo una evaluación de cierta envergadura de los recursos disponibles en Intergeo se pongan en contacto a través de su correo electrónico con él (para coordinar esfuerzos, contabilizar y distribuir ítems evaluados, etc.).

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ampliar su experiencia con las nuevas tecnologías a que aprovechen las posibilidades que ofrece esta iniciativa y a que contribuyan a su crecimiento y maduración, ya sea aportando materiales, o utilizando y evaluando los que ya alberga en su base de datos. He encontrado fácilmente el recurso, y la audiencia, competencias y temas son adecuados El tema es el que estaba buscando Los prerrequisitos matemáticos son los que necesito Los prerrequisitos técnicos son adecuados Las competencias desarrolladas son adecuadas y se mencionan todas Los objetivos están descritos con claridad La implementación propuesta (aula, materiales, trabajo individual) es apropiada Se indica la duración, y es correcta

La figura es técnicamente correcta y fácil de usar

E

Puedo acceder al fichero Puedo abrir el recurso con mi software favorito No hay errores en el recurso

N

El contenido es matemáticamente correcto y se puede usar en el aula Las matemáticas son correctas El contenido se ajusta al plan de estudios de su nivel El contenido se ajusta a los objetivos

La conversión de la actividad matemática a la geometría interactiva es coherente

L

Las matemáticas y las figuras se corresponden La figura se comporta consistentemente con lo estudiado La figura no muestra efectos indeseados Los valores numéricos (ángulos, longitudes) son consistentes Los comportamientos específicos, como reglas deslizantes, funciones del teclado y macros, están bien descritos

A

En este recurso, la geometría interactiva añade algo a la experiencia de aprendizaje

R

Los dibujos que obtengo son claros y se ven los detalles Es fácil producir diferentes configuraciones Ayuda al usuario a explorar, experimentar y hacer conjeturas Las conjeturas se pueden comprobar visualmente con facilidad Se pueden comparar diferentes representaciones Conduce más a un entendimiento geométrico que a un cálculo numérico La actividad no se puede llevar a cabo con lápiz y papel La geometría interactiva ayuda a conseguir los objetivos Se puede ilustrar, identificar, o conjeturar propiedades invariantes arrastrando cosas Se puede inferir relaciones entre objetos arrastrando cosas

E D

Esta actividad me ayuda a enseñar matemáticas Los estudiantes se interesan y entienden de qué se trata Se proporcionan sugerencias para que los estudiantes empiecen Se anima a que los estudiantes tomen la iniciativa La información o los comentarios me han ayudado a prever las situaciones que pueden ocurrir La información me ha ayudado a identificar las estrategias de resolución, tanto correctas como inválidas, que los estudiantes pueden emprender Se discuten las reacciones del software y se proponen acciones para usarlas Las reacciones del software estimulan a que los estudiantes alcancen el objetivo Se describen acciones para recuperarse de aparentes bloqueos Se proponen acciones para ayudar a que los estudiantes cambien estrategias Se da consejo sobre cómo y cuándo sintetizar los descubrimientos Se describe cómo, cuándo y quién valida las conclusiones Se describen otras posibilidades y beneficios de la actividad

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Sé cómo preparar mi clase para llevar a cabo esta actividad Se describen configuraciones posibles (un ordenador por estudiante, etc.) Se describen diferentes roles y/o fases Se describe cómo intercambiar información, conjeturas, validaciones y conclusiones Se propone un horario de la actividad

He encontrado fácilmente una forma de usar esta actividad en de mi curso La experiencia obtenida será mencionada en el aula La actividad se relaciona fácilmente con mi enseñanza normal Ayuda a entender las nociones matemáticas empleadas Los experimentos que han hecho sirven de introducción al próximo tema

9. Enlaces Web

E

N

L

A

R

E

D

Tabla 2

http://www.i2geo.net

Portal de Intergeo

http://www.geometriadinamica.es

Página española de Geometría Dinámica

http://www.geogebra.org

Sitio oficial del software Geogebra

http://www.cabri.com/es/

Sitio oficial de Cabri

http://www.wiris.com

Sitio oficial de Wiris

http://www.cinderella.de

Sitio oficial de Cinderella

http://tracenpoche.sesamath.net/

Sitio oficial de TracenPoche

http://geonext.uni-bayreuth.de/

Sitio oficial de Geonext

http://www.aid-creem.org/

Sitio oficial de Geoplan-Geospace

http://www.openmath.org

Sitio oficial del proyecto Openmath

http://www.activemath.org

Sitio oficial del proyecto Activemath

10. Bibliografía [1] Recio, Tomás: “El Proyecto Europeo de Geometría Dinámica INTERGEO”. Boletín informativo de la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria, Nº. 10, 2008-2009, páginas 9-12 [2] Mora, Jose Antonio: “Geometría Dinámica en Secundaria”. Ponencia presentada en la XIII JAEM. Descargable desde http://jmora7.com/. [3] Mora, Jose Antonio: “Situación de la Geometría Dinámica en el Sistema Educativo Español”. Intergeo Rendez-vous, Castro-Urdiales (Cantabria). [4] Mercat, C., Soury-Lavergne, S., Trgalova, J.: “Quality Assesment”. Consorcio INTERGEO. Descargable desde http://i2geo.net/xwiki/bin/view/Main/Publication.

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 123–127

La exportación a HTML con Geogebra Pablo Espina Brito (Coordinador del Área de Matemáticas del Proyecto Medusa. Tenerife, España)

1. La exportación a html con GeoGebra

L A

La exportación es muy sencilla y directa. Una vez realizada se generará una carpeta con el archivo html y un conjunto de ficheros necesarios para ver la escena dinámica en el navegador. Para efectuar la exportación basta desplegar el menú Archivo, y en el submenú Exporta seleccionar Planilla Dinámica como Página Web (html), tal y como se muestra en la Fig. 1.

N

Una posibilidad muy interesante que nos ofrece el programa, desde el punto de vista didáctico, es la exportación a formato html. Esta opción permitirá al alumnado manipular escenas dinámicas en un navegador Web y, así, analizar comportamientos, visualizar conceptos, propiedades, modificar las construcciones, etc. Todo ello a través de la interacción con diversos elementos que aparecen en dichas escenas. Para poder visualizarlas no es necesario tener instalado el software en el ordenador, basta tener instalada en el equipo la máquina virtual Java (se puede descargar desde la dirección http://www.java.com/es/download/).

E

GeoGebra es un software que permite abordar la geometría, el cálculo y el álgebra a través de construcciones dinámicas.

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Figura 1

A continuación, nos vamos a centrar en las posibilidades que nos ofrece las distintas opciones de configuración de la exportación.

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La exportación a HTML con Geogebra P. Espina Brito

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Cuando realizamos los pasos mostrados en la figura anterior nos aparecerá la ventana que permite realizar dicha configuración (Fig. 2)

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Figura 2

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En la zona superior podremos escribir el título que tendrá la página html, la autoría y la fecha de creación. Podemos observar que disponemos de dos pestañas: General y Avanzado. En la Fig. 2 se nos muestra los parámetros que podemos definir en la pestaña General. Así, tenemos un recuadro que nos da la posibilidad de escribir un texto anterior a la escena dinámica (a la derecha del mismo aparecen dos listas desplegables con caracteres especiales para matemáticas) y otro para un texto posterior a la misma. Comprobamos, también, que existen dos botones de opción (Planilla dinámica y Botón para abrir la ventana de aplicación con construcción). Por defecto aparece seleccionada la primera. Esta opción hace que al exportar aparezca la escena dinámica incrustada en la página html. Si optamos por la seguna posibilidad, al exportar aparecerá en la página web un botón (Fig. 3) que permitirá abrir la aplicación GeoGebra con la construcción realizada.

Figura 3

En la ficha Avanzado (Fig. 4) aparecen un conjunto de casillas de verificación que nos permitirán configurar la escena que contendrá el archivo html, cuando optamos por la exportación como Planilla dinámica.

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Figura 4

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Podemos distinguir tres apartados: 1.1. Funcionalidad

2.

Exhibe icono para reponer construcción. Al seleccionar esta opción podemos restaurar la escena a su estado inicial (si hemos manipulado la misma) pulsando el botón , que aparecerá en la esquina superior derecha.

3.

Un doble clic abre la ventana de aplicación en Área Gráfica. Al activar esta opción, cuando hacemos doble clic sobre la escena, se abre una ventana del programa GeoGebra con la construcción que aparece en la misma.

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Clic derecho habilitado. Con esta opción activada, al hacer clic con el botón derecho sobre la escena, aparecerá el menú contextual habitual de la zona gráfica de la ventana de GeoGebra.

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1.

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La exportación a HTML con Geogebra P. Espina Brito

1.2. Interface de Uso Exhibe la barra de menú. Si habilitamos esta opción dispondremos de la barra de menús de GeoGebra en la escena. De esta forma, podremos utilizar las opciones que nos ofrecen los distintos menús del programa y modificar las construcciones sobre la propia página Web. Un aspecto a destacar es que podremos utilizar la función “Guardar como” del menú “Archivo”. Así, se podrá almacenar la construcción una vez manipulada como un archivo de GeoGebra (*.ggb), con las posibilidades que esto nos abre (por ejemplo, podríamos plantearle al alumnado que realice una actividad sobre una escena determinada y que, una vez finalizada, la guarde en su ordenador y nos la envíe por correo electrónico para su corrección).

2.

Expone barra de herramientas. Activando esta opción se nos mostrarán en la escena los botones de la barra de herramientas de GeoGebra, con las consiguientes posibilidades que nos ofrece para modificar la construcción.

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La exportación a HTML con Geogebra P. Espina Brito

Al utilizar esta opción, se habilita la posibilidad de activar la casilla “Expone Ayuda de la Barra de Herramientas”. En caso de utilizarla, aparecerá un texto a la derecha de la barra de herramientas con información sobre el botón de la barra que en ese momento se encuentre seleccionado. Esto podrá facilitar al alumnado la manipulación de las escenas.

Exhibe el campo de entrada. Esta opción permite que en la parte inferior de la escena aparezca la barra de entrada de comandos, para poder manipular la construcción a través de los distintos comandos que nos ofrece el programa.

4.

Ancho y Altura. Nos da la posibilidad de definir la achura y altura que tendrá la escena dinámica.

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3.

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2. Enlaces relacionados Página Web de GeoGebra http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=es El área de Matemáticas en el Portal Medusa (ver apartado “Taller de GeoGebra”) http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/4/Medusa/GCMWEB/Code/Recursos/DetalleRec urso.aspx?IdNodo=253 Actividad “Rectas y puntos notables del triángulo” http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/4/Medusa/GCMWEB/Code/Recursos/DetalleRec urso.aspx?IdNodo=278&IdRecurso=10835&Preview=Si

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Si activamos esta opción no se incluirán los archivos .jar en la carpeta que se crea en la exportación. En lugar de esto se crea una referencia a una URL donde se encuentran dichos archivos, que son necesarios para la visualización de las escenas dinámicas en los navegadores Web.

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1.3. Java Applet


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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 129–133

Graduación de la dificultad en los Juegos de Nim J.A. Rupérez Padrón y M. García Déniz -Club Matemático 1 -

Los juegos de tipo NIM tienen como característica común ser para dos jugadores que disponen de una cierta cantidad de piezas al comienzo del juego y que deben tomar alternativamente en una determinada cantidad (fija o variable) hasta conseguir que sólo quede una sola pieza sobre la mesa que al ser tomada por el último jugador da por terminado el juego. Las diferencias entre las distintas variantes del juego están en las tres fases del mismo:

Veamos algunos ejemplos de cada una de estas variaciones en el juego del NIM.

1

El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón, del IES de CanariasCabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz, del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife). mgarden@gobiernodecanarias.org / jruppad@gobiernodecanarias.org

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S

• El que toma la última pieza pierde (la más común). • El que toma la última pieza gana.

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En cuanto al objetivo final, solamente hay dos posibilidades:

G

Una tercera variación consistirá en que las piezas puedan estar alineadas según una configuración geométrica determinada: en una línea recta, en varias líneas rectas, en una circunferencia, en los vértices de un polígono cualquiera, o configurando el interior de un rectángulo. En cada caso las reglas para tomar las piezas son más bien del segundo tipo, exigiéndose la contigüidad para tomar más de una a la vez.

E

Una segunda situación consiste en que las piezas iniciales formen dos o más montones con diferente cantidad de piezas cada uno. En ese caso hay elección entre dos posibilidades para tomar las piezas en cada jugada: o coger cualquier cantidad de un montón, o coger una misma cantidad fija en cada uno de los montones.

U

Con respecto a las piezas iniciales, el caso más sencillo consiste en que éstas estén todas acumuladas en un único montón. En este caso, las piezas se pueden tomar en número variable (1, 2 o 3 en cada ocasión, por ejemplo).

J

a. En la cantidad y disposición de las piezas iniciales. b. En las reglas para tomar las piezas. c. En el objetivo final.


Graduación de la dificultad en los Juegos de Nim -Club Matemático-

Quién coge el último pierde (primera versión) Se colocan 23 palillos sobre una mesa, tal como indica la figura. Cada jugador tomará, alternativamente, uno, dos o tres palillos por vez, según prefiera. Perderá el jugador que se vea forzado a coger el último.

Se forman tres montones de piedras (o palillos, monedas, fichas, etc.), poniendo en cada uno de ellos, por ejemplo, de 5 a 10 piezas. Los jugadores retiran alternativamente una o más piezas de un solo montón. Gana el que coge la última pieza.

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Simetría

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Quién coge el último pierde (segunda versión)

Se colocan las fichas en las esquinas de un polígono grande (ver el ejemplo con un octógono). Cada jugador extrae por turnos una ficha o dos adyacentes. El jugador que extrae la última ficha gana.

Último movimiento Necesitas 9 fichas. Las reglas son: 1. Los jugadores ponen las 9 fichas, una en cada celdilla, en el tablero y eligen quién es el primero en jugar. 2. Los jugadores, por turno, retiran una ficha o dos adyacentes (si existen dos de tales fichas). 3. El ganador es el jugador que retira la última o las dos últimas fichas.

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Juego de clavas Este es un juego del famosísimo Henry E. Dudeney. En este antiguo juego las clavas eran generalmente cónicas y se disponían en una línea recta. Al principio eran tumbadas con una maza que se arrojaba desde cierta distancia. Más tarde, los jugadores introdujeron las bochas, como mejora a la maza. Simplemente se colocan en línea recta trece clavas o peones, unos cerca de otros, y luego se retira el segundo, como muestra la figura.

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Todo lo que hay que hacer es derribar con el dedo, o retirar cualquier clava individual, o dos clavas vecinas, jugando alternativamente hasta que uno de los dos jugadores realice el último acierto, y, por tanto, gane.

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El acertijo de la margarita

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Esta vez el autor es Sam Loyd, rival de Dudeney en el campo de los acertijos.

El juego se plantea en la ilustración por medio de una margarita de trece pétalos. Lo juegan dos personas que deben turnarse para dejar pequeñas marcas en uno o dos pétalos contiguos. Gana la persona que cubre el último pétalo, dejándole a su contrincante el tallo. ¿Puede alguno de nuestros aficionados decirnos quién ganará este juego –el primero o el segundo jugador-, y qué sistema debe seguir para poder ganar?

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Recuerden que la segunda clava debe ser retirada antes de comenzar a jugar, y que si derriban dos a la vez, deben ser dos vecinas, ya que en el juego verdadero, la bocha no podía hacer más que esto.

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Los jugadores son tan expertos que siempre podrán derribar cualquier clava aislada, o dos clavas que estuvieran una al lado de otra. Ganará el jugador que derribe la última.

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Cómo ganar al siete-cinco-tres El juego del “siete-cinco-tres”, tan simple como engañoso, requiere dos participantes. Tres hileras de palillos es cuanto hace falta para su desarrollo. Los jugadores se turnan para retirar los palillos y el ganador será aquel que obligue a su adversario a retirar el último que quede en la última hilera.

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Solamente existe una regla: en cada turno pueden retirarse tantos fósforos como se desee, a condición, sin embargo, de que todos ellos se tomen de la misma hilera.

Quién llega a cien gana

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Distribuya 15 palillos en tres hileras de este modo:

Ésta es una variante curiosa pues no se juega con objetos sino con números y adiciones. Consiste en lo siguiente: ƒ Partiendo de cero y alternativamente, los participantes deben ir sumando cantidades hasta

llegar a 100. ƒ Estas cantidades no deben ser superiores a 10. Es decir, sólo son válidas las comprendidas

entre 1 y 10, ambas inclusive. ƒ Gana quien totaliza 100. Existe una estrategia con la que resulta casi imposible perder. ¿Cuál es? Este tipo de juegos lógicos son fáciles de utilizar en la clase por la sencillez del material utilizado, por la simplicidad de las reglas de juego, por el escaso tiempo que consumen las partidas y, especialmente, porque resulta una manera atractiva de enseñar pensamiento lógico, resolución de problemas y la búsqueda de estrategias ganadoras. Los juegos de extracción de piezas como el NIM tienen una cosa muy interesante desde ese punto de vista: pueden ser completamente analizados y, además de diversas maneras. Si sabes lo que estás haciendo, puedes ganar siempre.

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Graduación de la dificultad en los Juegos de Nim -Club Matemático-

Las estrategias que pueden ser utilizadas en estos juegos son de tres tipos fundamentalmente: a. Estrategias numéricas. En los más sencillos se trata simplemente de encontrar una secuencia numérica ganadora. En los más complejos, encontrar una asimilación entre las reglas del juego y el sistema de numeración de base 2. b. Estrategias de configuración. Encontrar figuras formadas por las piezas en situaciones ganadoras y tratar de usarlas en los distintos momentos del juego. c. Estrategias de simetría. Tratar de encontrar situaciones que restablezcan el equilibrio después de la jugada del adversario. Usar para ello estructuras espacialmente simétricas. Es importante tener un buen método de acercar esta manera de trabajar con los alumnos. Primero se ha de presentar el juego y explicar las reglas hasta que hayan sido comprendidas. A continuación se pedirá que jueguen libremente para familiarizarse con él. Después de esta fase se debe preguntar si creen que algún jugador tiene ventaja. Si creen que podrán ganar siempre a cualquier otro jugador. Si tienen asegurada la “estrategia” a seguir en cualquier circunstancia, haga lo que haga el contrario.

J En este momento se les invita a descubrir esa estrategia ganadora como si de resolver un problema se tratase. Utilizar una estrategia general y, en el momento oportuno, utilizar las estrategias específicas.

U

Las que se dan a continuación provienen de las publicaciones del Shell Center y dan muy buen

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juego. Intenta algunos casos simples Encuentra un diagrama práctico Organiza sistemáticamente Haz una tabla Patrones de puntos Usa los patrones Encuentra una regla general Explica por qué funciona Comprueba regularidades

G O S

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Esperamos que encuentren atractivo este juego en alguna de sus variantes y lo prueben, primero ustedes y luego con sus alumnos. Tendrán muchas satisfacciones, se lo aseguramos. En el próximo artículo de esta sección, aparte de lo que pueda venir desde nuestros lectores, haremos una segunda parte dedicada al tratamiento de este juego en la clase, donde daremos un amplio panorama sobre estrategias, notaciones, desarrollos, soluciones y ampliaciones o variantes del mismo, así como bibliografía y sitios web donde se pueden encontrar simulaciones de estos juegos, y por supuesto las estrategias ganadoras, detalladamente explicadas, de cada uno de los juegos presentados. Buen provecho. Afectuosamente, Club Matemático.

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 135–136

El Hombre Anumérico

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John Allen Paulos

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Tusquets Editores, 2007 ISBN: 978-84-7223-149-8 210 páginas

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O de la propia Biblia, como el relato que aparece en el Génesis sobre el Diluvio Universal: “...quedaron cubiertos todos los montes sobre la faz de la Tierra...” Si se toma la frase anterior del Génesis literalmente, resulta que la capa de agua sobre la Tierra tendría entre 5000 y 6000 metros de grosor, lo que equivaldría a más de 2500 millones de kilómetros cúbicos de agua. Como según el relato bíblico del Diluvio, la lluvia duró 40 días con sus noches, es decir, sólo 960 horas, la tasa de caída de agua tiene que haber sido suficiente para echar a pique un arca cargada con miles de animales a bordo.

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En este libro de carácter divulgativo y de fácil lectura, J.A. Paulos pone de relieve como el ciudadano medio malinterpreta los datos numéricos, las estadísticas y el concepto de probabilidad. El “anumerismo” (incapacidad de manejar los conceptos fundamentales de número y azar) hace que muchas personas, a las que se les proporcionan datos erróneos, acepten las conclusiones sin discutirlas. Para ilustrar estas ideas, el autor utiliza multitud de ejemplos a lo largo del libro, tales como el uso equivocado de los datos o del concepto de probabilidad para obtener una conclusión falsa: “... el hombre del tiempo dijo que la probabilidad de que lloviera el sábado era del 50 por ciento y también era del 50 por ciento la de que lloviera el domingo, de donde concluyó que la probabilidad de que lloviera durante el fin de semana era del 100 por ciento”. “Otro hombre del tiempo anunció que al día siguiente iba a hacer el doble de calor, pues la temperatura pasaría de 5 a 10 grados.”


El Hombre Anumérico. John Allen Paulos Reseña: J. R. Franco Brañas

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O humorísticos: “Un hombre que viajaba mucho estaba preocupado por la posibilidad de que hubiera una bomba en su avión. Calculó la probabilidad de que fuera así y, aunque ésta era baja, no lo era lo suficiente para dejarlo tranquilo. Desde entonces lleva siempre una bomba en la maleta. Según él, la probabilidad de que haya dos bombas a bordo es infinitamente pequeña.” Paulos trata de hallar las razones por las qué el anumerismo está tan extendido entre personas que, por otra parte, son instruidas. La razón fundamental, según él, está en una enseñanza elemental pobre. En este sentido afirma: “Las escuelas primarias consiguen, por lo general, enseñar las operaciones elementales de sumar, restar, multiplicar y dividir, y también los métodos para manejar fracciones, decimales y porcentajes. Por desgracia, no son tan eficaces a la hora de enseñar cuándo hay que sumar o restar, cuándo multiplicar o dividir, o cómo convertir fracciones en decimales o porcentajes. Raramente se enseña que el redondeo de números y las estimaciones razonables tengan algo que ver con la vida real. No se enseña a razonar inductivamente, ni se proponen enigmas, juegos o adivinanzas. Parte de la culpa de la pobre instrucción que se recibe en la escuela primaria recae en los maestros poco competentes y que en el fondo sienten poco aprecio por las matemáticas.” En términos análogos se refiere el autor a la escuela secundaria: “Los estudiantes de bachillerato deberían oír hablar de las ideas principales de lo que se conoce como matemática finita. La combinatoria, la teoría de grafos, la teoría de juegos y la probabilidad son cada vez más importantes.” Asimismo, Paulos critica con dureza las “pseudociencias”, como la astrología y la numerología, las supersticiones y los embaucadores que “revisten sus mentiras con un aura falsamente científica”. El mayor defecto que encontramos en el libro es que no cita las fuentes de los múltiples datos y estadísticas que aparecen en el texto. No obstante, creemos que es un libro que profesores y estudiantes no deben dejar de leer. Por último, en la conclusión final del libro, el autor nos dice: “Los test estadísticos y los intervalos de confianza, la diferencia entre causa y correlación, la probabilidad condicional, la independencia y la regla del producto, el arte de hacer estimaciones y el diseño de experimentos, los conceptos de valor esperado y de distribución de probabilidad, así como los ejemplos y contraejemplos más comunes de todo lo anterior, deberían ser más conocidos y divulgados. La probabilidad, como la lógica, ya no es algo exclusivo de los matemáticos. Impregna nuestra vida”.

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José Ramón Franco Brañas (Universidad de La Laguna)

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 137–139

Congresos

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XIV Jornadas para el aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas 1 al 4 de Julio de 2009 Auditori-Palau de Congresos de Girona. España http://www.xivjaem.org/

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International Group for the Psychology of Mathematic Education PME33 19 al 24 de Julio de 2009 Thessaloniki. Grecia http://www.pme33.eu

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23 Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa RELME 23 13 al 17 de julio de 2009 Universidad Autónoma de Santo Domingo República Dominicana http://www.relme-clame.org/

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Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática 10 al 12 de septiembre de 2009 Facultad de Ciencias. Universidad de Cantabria. Santander. España www.seiem.es


8º International Conference on Teaching Statistics ICOTS 8 11 al 16 de Julio de 2010 Universidad Nacional de Luján Ljubljan. Eslovenia http://icots8.org/

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XIII Conferencia Iberoamericana de Educación Matemática 26 al 29 de junio de 2011 Universidad Federal de Pernambuco Recife. Brasil http://www.ce.ufpe.br/ciaem2011

Conclusiones del Seminario sobre el Prácticum de Máster de Profesor de Secundaria en la especialidad de Matemáticas Durante los días 26 y 27 de febrero de 2009 se celebró en Madrid (Facultad de CC. Matemáticas de la Universidad Complutense) un seminario organizado por la Comisión de Educación del Comité Español de Matemáticas (CEMAT) con la cooperación de la Cátedra UCM Miguel de Guzmán. El tema tratado fue el Prácticum del Máster de Profesor de Secundaria en la especialidad de Matemáticas. Los objetivos, programa y desarrollo del seminario pueden verse en el Informe Final: http://www.ce-mat.org/educ/icmies/icmies.html

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Un resumen de las conclusiones alcanzadas se presenta a continuación. 1. El Prácticum es una parte esencial en el Máster que se va a poner en marcha a partir del próximo curso académico. Supone la necesaria conexión entre el conocimiento teórico y la práctica. Ésta suscita, a su vez, interrogantes que llevarán de nuevo a la reflexión teórica. 2. Los distintos módulos teóricos, el trabajo de fin de Máster y el Prácticum deben planificarse con una visión de conjunto que permita la interrelación entre ellos y la secuencia temporal más adecuada para el Prácticum. 3. Los profesores al cargo del Prácticum y los tutores de los centros de Secundaria en que se realicen las prácticas deben colaborar estrechamente tanto en el diseño de las actividades que se van a desarrollar como en el seguimiento y acompañamiento de los estudiantes del Máster. 4. La regulación y organización del Prácticum debe ser objeto de convenio entre Administraciones Públicas y Universidades, con reconocimiento del trabajo de los profesores tutores y coordinación con el trabajo de los otros módulos. Este necesario reconocimiento del trabajo de los tutores por parte de las universidades y, por parte de las autoridades educativas debe ser efectivo a la hora de valorar la tarea que se les va a encomendar. 5. El decreto que regula el Máster hace referencia a la formación y selección de tutores y centros de prácticas. Las administraciones educativas y las universidades deben colaborar también en este aspecto para facilitar que los tutores y los centros elegidos tengan las características adecuadas para que haya coherencia entre lo que se imparta en los módulos teóricos y las prácticas que realicen los estudiantes.

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Comisión de Educación de CEMAT

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6. Las tasas del Máster se ajustarán a precios públicos, dado que se trata de un título oficial y obligatorio para ejercer la docencia en la Enseñanza Secundaria privada, concertada y pública. 7. Se apoya la existencia de la especialidad de Matemáticas en el Máster y se entiende que esta especialidad debe ser requisito para la oposición de Profesor de Matemáticas, porque no es coherente que se requiera un Máster de Formación de Profesores para acceder a la oposición de Profesor de Matemáticas y que se establezca en dicho Máster la especialidad de Matemáticas, pero no se requiera la misma, específicamente, para la oposición en Matemáticas. 8. Las fechas de convocatoria de oposiciones los plazos establecidos para su inscripción y el calendario del Máster deberán coordinarse de manera que hagan posible que los alumnos que lo cursen puedan, al finalizar éste, presentarse a la oposición convocada ese mismo año. 9. El criterio de selección para acceder a la especialidad de Matemáticas del Máster dependerá de las universidades que lo impartan con el visto bueno de ANECA y las Comunidades Autónomas. En el debate surgido durante el seminario se informó del escaso número de créditos de formación específica en Matemáticas que algunas universidades estaban proponiendo para poder acceder a la especialidad de Matemáticas del Máster. Las universidades deberán en todo caso requerir un nivel de conocimientos y de competencias matemáticas adecuado para los estudiantes admitidos en el Máster. 10. Las experiencias previas de cursos tipo CAP o equivalentes tienen aspectos muy valiosos que habrá que tener en cuenta a la hora de diseñar el Prácticum del nuevo Máster, pero también son indicadores de los riesgos que pueden correr el Máster y el Prácticum y que lleven a la devaluación de éstos por un número excesivo de estudiantes, poca exigencia para obtener el título o un escaso reconocimiento de la tarea de los tutores que lleve a que éstos puedan limitarse a un cumplimiento de mínimos que no garantice la necesaria formación práctica de los estudiantes. 11. Las sesiones y debates del seminario dejaron claro que el diseño propuesto para la formación inicial de los profesores en forma de Máster es una opción válida y aceptable, dentro de los modelos de formación existentes. 12. Uno de los aspectos valorados positivamente se centra en que la iniciación a la profesión de profesor de matemáticas se sostiene en competencias profesionales establecidas para la titulación. Las prácticas deben contribuir al desarrollo de esas competencias y al conocimiento de los centros. 13. En este sentido, estas conclusiones quieren poner de manifiesto que la formación inicial de los profesores de secundaria requiere necesariamente la existencia de un buen Prácticum que debe de estar bien gestionado y apoyado con recursos suficientes. 14. El trabajo conjunto de especialistas en el campo de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas con profesores de Matemáticas, tanto universitarios como de Secundaria, en el diseño y organización del futuro Máster y en concreto el Prácticum será un elemento clave para que se cumplan de modo efectivo los objetivos que se pretenden.


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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas. 2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: numeros@sinewton.org 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de revisión o publicación en ninguna otra revista. 4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características: • Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista. • Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía. • Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página. • Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen. • Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords. • Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos. • Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares. • Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones. • Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de texto (no enviarlas por separado). • Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto, ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York. o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218. o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/ 5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique. 6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, página 141


Revista NÚMEROS - Volumen 70, Abril 2009  

Volumen 70 de la revista NÚMEROS

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