Guía práctica de Variable compleja y aplicaciones. by PubliUle

Este texto presenta a través de numerosos problemas y ejercicios la teoría fundamental de Variable Compleja, así como su aplicación a las transformadas funcionales de uso habitual en la Ciencia y en la Técnica. El enfoque es generalista, sin pensar en ninguna titulación en particular, con la vocación de ser útil al mayor número posible de estudiantes universitarios.

Guía práctica de VARIABLE COMPLEJA y aplicaciones

F. Galindo Soto J. Gómez Pérez J. Sanz Gil L. A. Tristán Vega

Guía práctica de VARIABLE COMPLEJA y aplicaciones

ISBN: 978-84-9773-964-1

F. Galindo Soto J. Gómez Pérez J. Sanz Gil

También recoge, a modo de resumen, las nociones teóricas correspondientes, sin demostraciones pero profusamente comentadas mediante ejemplos y observaciones. Como ayuda para la mejor comprensión y ágil manejo, se incluyen numerosas ilustraciones y un apéndice que compendia en forma de tablas los resultados y fórmulas de uso frecuente.

L. A. Tristán Vega

Universidad de León

Universidad de Valladolid

Los profesores F. Galindo, J. Sanz y L. Tristán están adscritos al Área de Análisis Matemático en la Universidad de Valladolid, y acumulan una dilatada experiencia en la docencia de Variable Compleja en titulaciones de Ciencia e Ingeniería. Son autores de dos manuales de Cálculo Infinitesimal, uno en una variable real y otro en varias variables reales. El profesor J. Gómez, adscrito al Área de Matemática Aplicada en la Universidad de León, también posee una amplia trayectoria en la docencia de los temas de Variable Compleja en las Ingenierías. Fruto de la experiencia de todos ellos surge este manual que, además de los problemas clásicos, se nutre de gran cantidad de ejercicios originales propuestos en las lecciones prácticas y en las pruebas de evaluación.

Guía práctica de VARIABLE COMPLEJA y aplicaciones

Guía práctica de variable compleja y aplicaciones / Félix Galindo, Javier Gómez, Javier Sanz, Luis Tristán – Valladolid : Ediciones Universidad de Valladolid : Universidad de León, 2019 488 p. ; 30 cm. ISBN 978-84-1320-014-9 (Universidad de Valladolid) ISBN 978-84-9773-964-1 (Universidad de León) 1. Variables (Matemáticas) I. Galindo, Félix, autor II. Gómez, Javier, autor III. Sanz, Javier, autor IV. Tristán, Luis, autor V. Universidad de Valladolid, ed. VI. Universidad de León, ed. VII. Serie 519.22

FÉLIX GALINDO • JAVIER GÓMEZ • JAVIER SANZ • LUIS TRISTÁN

Guía práctica de VARIABLE COMPLEJA y aplicaciones

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© LOS AUTORES, Valladolid, 2019 Ediciones Universidad de Valladolid Universidad de León – Área de Publicaciones Motivo de cubierta: Fragmento del manuscrito original “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sobre la cantidad de primos menores que un número grande dado)” de Bernhard Riemann. ISBN: 978-84-1320-014-9 (Universidad de Valladolid) ISBN: 978-84-9773-964-1 (Universidad de León) Dep. Legal: VA-484-2019 Preimpresión: Los autores Imprime: PODIPRINT, Antequera (Málaga) - España

A Henar y Daniel, con todo mi cariño. A Nuria y Rubén, ellos saben bien por qué. A mis padres, a los que tanto debo, con todo mi cariño y admiración. A Celia, sigue con tu aﬁción por las matemáticas.

Índice general Prólogo

VII

1. Números complejos 1.1. El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . 1.2. Sucesiones y series de números complejos . . . . 1.3. Nociones topológicas en C. Funciones complejas . 1.4. Argumento de un número complejo. Forma polar . 1.5. La esfera de Riemann. El punto del inﬁnito . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

1 1 3 7 12 14 17 34

2. Derivación compleja. Holomorfı́a 2.1. Derivabilidad de las funciones complejas de variable compleja 2.2. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Funciones polinómicas y racionales . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7. Funciones recı́procas de trigonométricas e hiperbólicas . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

37 37 41 41 41 42 43 44 45 46 47 78

3. Series de potencias. Funciones analı́ticas 3.1. Sucesiones y series funcionales . . . . . . . 3.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Funciones deﬁnidas por series de potencias . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

4. Integración compleja 4.1. Integral compleja a lo largo de curvas . . . . . 4.2. Fórmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . 4.3. Consecuencias de la fórmula de Cauchy . . . 4.3.1. Ceros de funciones holomorfas. Principio 4.3.2. Principio del módulo máximo . . . . . . 4.4. Teorı́a general de Cauchy . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

81 81 84 87 91 132

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

135 135 138 140 141 141 143 145 192

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Fourier. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

195 195 197 200 202 203 203 204 206 207 207

. . . . .

5. Singularidades aisladas 5.1. Singularidades aisladas y su clasiﬁcación . . . . . 5.2. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Teorema de los residuos. Aplicaciones al Cálculo . 5.4.1. Integrales trigonométricas . . . . . . . . . . 5.4.2. Integrales en la recta real . . . . . . . . . . 5.4.3. Valor principal de Cauchy. . . . . . . . . . . 5.4.4. Transformadas de Fourier. . . . . . . . . . . 5.4.5. Valor principal de Cauchy de transformadas 5.4.6. Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . V

. . . . . . .

. . . . .

5.4.7. Sumación de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 6. Aspectos de la teorı́a geométrica 6.1. Singularidades aisladas en el punto del inﬁnito . . . . . . . . 6.2. Principio del argumento. Teorema de Rouché . . . . . . . . . 6.3. Integral de Poisson. Problema de Dirichlet en el disco unidad 6.4. Notas sobre la aplicación de Riemann . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

269 269 272 274 277 279 312

7. Análisis de Fourier 7.1. Aproximación de funciones continuas 7.2. Series trigonométricas . . . . . . . . . 7.3. Transformación de Fourier en R . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . .

. . . . .

8. Transformación de Laplace 8.1. Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . 8.2. Fórmulas de inversión de la transformada de 8.3. Transformada bilateral de Laplace . . . . . . 8.4. Aplicaciones de la transformación de Laplace 8.4.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias. . 8.4.2. Teorı́a de sistemas lineales . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

315 315 317 322 326 363

. . . . . Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

369 369 373 376 377 377 378 381 407

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lineales . . . . . . . . . .

. . . . . . .

411 411 415 416 418 419 422 445

. . . . .

9. Transformación Z 9.1. Deﬁniciones y propiedades generales . . . . . . . . 9.2. La transformada Z unilateral . . . . . . . . . . . . . 9.3. Transformada inversa Z . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Relación de la T Z con otras transformaciones . . . 9.5. Ecuaciones en diferencias. Aplicación a los sistemas Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Tablas

447

Bibliografı́a

465

Índice de notación

467

Índice alfabético

471

Prólogo Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe. El camino más corto entre dos verdades del campo real pasa por el campo complejo. J ACQUES H ADAMARD , P AUL P AINLEV É

Esta guı́a universitaria se suma, con el mismo espı́ritu y pretensiones, a las dos que sobre funciones de una y varias variables reales han publicado tres de los autores ([14] y [15]). La materia que abarca, funciones de variable compleja y temas relacionados, se enfoca a los programas habituales de las distintas titulaciones de grado, cientı́ﬁcas y técnicas, de la universidad española, sin hacer especial énfasis en ninguna disciplina en particular. Los prerrequisitos para su manejo y mejor aprovechamiento son, además del Álgebra y el Cálculo, nociones elementales de Geometrı́a (Lineal y Diferencial) y de Topologı́a. Por lo demás el texto es autocontenido, lo que no es obstáculo para que, cuando sea pertinente, se haga referencia a aspectos más avanzados, a tı́tulo informativo o como primera toma de contacto para quien vaya a profundizar más en la materia. Su estructura es similar a la de las dos guı́as citadas antes, cada capı́tulo se divide en tres partes bien diferenciadas:

En primer lugar un resumen teórico que, describiendo los conceptos, la notación y los resultados teóricos fundamentales, puede servir de prontuario. Pero no sólo eso, la abundancia de ejemplos y comentarios permiten que sea usado como guión para el estudio de la teorı́a si se complementa con alguna de las numerosas referencias bibliográﬁcas que se citan.

El grueso del texto lo componen los ejercicios resueltos, de nivel variado y atendiendo tanto a los aspectos más prácticos, de cariz algorı́tmico o computacional, como a otros más sutiles, de interés en las Facultades de Matemáticas o de Ciencias. De nuevo, la profusión de comentarios adicionales persigue el objetivo didáctico de mostrar al lector las motivaciones de los procedimientos, las alternativas de cálculo, etc. con la intención de que se entienda la teorı́a y no sólo se aprendan rutinas de cálculo.

Al terminar cada tema se propone una colección de enunciados sin resolver, de diﬁcultad similar a la de los anteriores, que pueden servir para la autoevaluación del lector. La teorı́a de funciones de variable compleja es un vasto campo de las matemáticas cuyos recursos se aplican a aspectos, en apariencia tan lejanos, como las Ecuaciones en Derivadas Parciales Elı́pticas o la Teorı́a de Números (la hipótesis de Riemann es uno de los denominados problemas del milenio que aún no está resuelto). No somos nada originales mencionando la cita, muy reveladora pese a su simpleza, que se atribuye a Hadamard (aunque, parece ser, éste parafraseaba a Painlevé), pues esa frase es utilizada asiduamente en publicaciones tanto divulgativas como académicas. Atendiendo a ese enfoque multidisciplinar, pero sobre todo al afán por ser útil para cualquier estudiante y a la vista de los programas de estudio actuales, el contenido se puede observar dividido en dos bloques temáticos claramente diferenciados:

La primera parte, la principal, está dedicada propiamente hablando a las funciones de variable compleja. El objetivo es establecer los fundamentos de esta materia, intentando mostrar los tres puntos de vista: el geométrico de Riemann, el inﬁnitesimal de Cauchy y el analı́tico de Weierstrass que, sorprendentemente, desde distintos puntos de partida conducen a la misma idea. Aquı́, en la equivalencia entre las nociones de conformidad, VII

holomorfı́a y analiticidad radican la belleza y la potencia del Análisis Complejo. De forma somera, el temario se estructura ası́: 1. El primer tema consiste en una introducción (o repaso, dependiendo de quién lo consulte) de conceptos aritméticos y topológicos. 2. En el segundo se establecen las nociones relativas a la derivación compleja y holomorfı́a, el fundamento de la teorı́a de Cauchy, y se estudian las funciones elementales. 3. El tercero se dedica a la teorı́a de Weierstrass, la de las funciones analı́ticas, y se establece una primera relación entre analiticidad y holomorfı́a. 4. En el cuarto tema se presenta la teorı́a local de Cauchy, ası́ como los primeros resultados de aplicación (principios de identidad y del módulo máximo, etc.). Se presta atención también a la versión homológica del teorema de Cauchy. Las aplicaciones del teorema global de Cauchy son tan numerosas que, por razones de extensión, se reparten en los dos siguientes temas. 5. El principal foco de atención del quinto tema es el teorema de los residuos y sus aplicaciones al cálculo integral en la recta real, que por sı́ mismas justifican el estudio de estos aspectos más avanzados. 6. Para finalizar, se recogen en el sexto tema una serie de resultados bajo el denominador común de tener un alto contenido geométrico o topológico, algunos de gran importancia en el estudio de las EDPs elı́pticas. Otros temas tan interesantes como la interpolación y aproximación, funciones enteras, productos infinitos y factorización, funciones meromorfas, espacios de funciones analı́ticas... son obviados por las limitaciones fı́sicas de la obra y por su escaso interés en la inmensa mayorı́a de las titulaciones universitarias.

Los últimos tres temas se enmarcan dentro de lo que se viene llamando Métodos Matemáticos en las titulaciones técnicas y que, sin ser temas de Análisis Complejo, requieren y aprovechan en gran medida la teorı́a tratada en el primer bloque. Tanto la teorı́a como los ejercicios de esta parte abarcan todos los aspectos, pero se presta especial atención al lenguaje y a las aplicaciones de la variable compleja y se introduce de una forma sencilla, pero con el rigor posible, el concepto de distribución y se justifican las fórmulas para las transformadas de las distribuciones de uso habitual. 7. El tema siete se dedica al Análisis de Fourier, tanto al caso periódico (series trigonométricas) como a la transformación en R. 8. En el octavo se estudia la transformada de Laplace. Aunque ésta se puede presentar como función de variable real, sin la potencia del lenguaje complejo es imposible abordar las fórmulas de inversión, y el cálculo resulta más farragoso. 9. La obra se cierra con el capı́tulo dedicado a la transformación Z . También se ha elaborado un apéndice que recoge en forma de tablas los resultados principales que se presentan a lo largo de los resúmenes teóricos, unas pocas páginas que sirven de formulario al usuario. Además de esas tablas, los ı́ndices de notación y alfabético en las últimas páginas facilitarán la lectura de la materia y la consulta puntual de cada término o notación introducidos. El texto contiene abundantes referencias, tanto a los resultados teóricos expuestos en la primera parte de cada capı́tulo (teoremas, proposiciones, observaciones, etc.) como a los ejercicios resueltos. Las citas se identifican claramente por la numeración, que indica el capı́tulo, el orden dentro del mismo y, si procede, por el numeral romano que indique el apartado. Por supuesto, los resultados afamados se citan frecuentemente por su nombre, sin más. Para finalizar, un cariñoso recuerdo para nuestros maestros, que nos transmitieron la pasión por las matemáticas; el sincero agradecimeinto a nuestros compañeros, por su amable ayuda y sus acertados consejos; y a nuestras familias, por su paciente comprensión. Valladolid, abril de 2019.

Los autores.

Tema 1

Números complejos El Axioma de Completitud de la recta real garantiza que para cada a ≥ 0 la ecuación x2 = a tiene al menos una solución en R; no sucede lo mismo si a < 0. De forma más general, no todo polinomio con coeﬁcientes reales tiene una raı́z real. La recta real es “incompleta” en este sentido. Para subsanar esta deﬁciencia algebraica se introduce el concepto de número complejo. Esta ampliación de la recta real gozará de las mismas propiedades aritméticas. A cambio se pierde la estructura de orden compatible con la estructura de cuerpo que allı́ está presente. La evolución histórica comienza en el siglo XVI, cuando Cardano y Bombelli introducen los números “imaginarios”, que fueron cada vez más utilizados en el siglo XVIII, dando lugar a numerosas paradojas y debates en los que participaron matemáticos de tanto renombre como Euler, Leibniz, los Bernoulli, y D’Alembert. No se produjo una verdadera comprensión de estos números hasta la primera mitad del siglo XIX. Una etapa importante de este proceso se halla en la interpretación geométrica del número imaginario dada por Wessel y Argand. A partir de esta interpretación, la genialidad de Gauss y de Cauchy logró realizar un álgebra rigurosa de estos números, llamados “complejos”, término que poco a poco sustituyó al de imaginarios. En su tesis doctoral de 1799 Gauss presenta una prueba del teorema fundamental del Álgebra (ver el enunciado 1.9) aunque incompleta; también incompletos o parciales fueron los resultados obtenidos por D’Alembert en 1746, Euler en 1749, Lagrange en 1772 o Laplace en 1795. Finalmente, en 1806, Argand publica la primera prueba rigurosa y completa de este teorema.

1.1. El cuerpo de los números complejos Se consideran en el producto cartesiano R2 = R × R las operaciones suma ‘ + ’ y producto ‘ · ’ deﬁnidas como sigue:

(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 ) II ) (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) := (a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + b1 · a2 ) I)

Por supuesto, los signos de suma y producto a la derecha de las igualdades corresponden a las operaciones deﬁnidas en R. 1.1 Proposición. (R2 , +, · ) es un cuerpo conmutativo. Concretamente: I)

(R2 , +) es un grupo abeliano, es decir, la operación + satisface las siguientes propiedades:

a . Asociativa: Para cualesquiera (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ) ∈ R2 se veriﬁca que

(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) + (a3 , b3 ) = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) + (a3 , b3 ) .

b . Conmutativa: Para cada (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ R2 se veriﬁca que

(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a2 , b2 ) + (a1 , b1 ). c . Existencia de elemento neutro: Existe un elemento en R2 , el par (0, 0), tal que para todo (a, b) ∈ R2 se tiene que (a, b) + (0, 0) = (a, b). d . Existencia de elemento simétrico (u opuesto) respecto de la suma: Si (a, b) ∈ R2 existe un elemento, el (−a, −b) ∈ R2 , tal que (a, b) + (−a, −b) = (0, 0). 1

Tema 1. Números complejos

II )

(R2 \ {(0, 0)}, · ) es un grupo abeliano; con respecto a este producto, (1, 0) es el elemento neutro (o elemento unidad), y si (a, b) = (0, 0), su elemento simétrico (o inverso) es a −b , . a2 + b2 a2 + b2

III)

El producto es distributivo respecto de la suma, es decir, para cualesquiera (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ) ∈ R2 se veriﬁca que

(a1 , b1 ) · ((a2 , b2 ) + (a3 , b3 )) = (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) + (a1 , b1 ) · (a3 , b3 ). 1.2 Deﬁnición. La terna (R2 , +, ·) se denomina cuerpo de los números complejos. En este contexto es habitual representar R2 por C y decir que sus elementos son los números complejos. 1.3 Observaciones. I)

II )

El subconjunto {(x, 0) ∈ C : x ∈ R} , con las operaciones heredadas de C, es un subcuerpo de C. Si se le dota de la relación de orden obvia (la inducida por el orden en R en la primera componente), veriﬁca el resto de los axiomas que caracterizan R , es decir, el orden es compatible con las operaciones y se tiene el axioma de completitud. Por lo tanto, se puede decir que la recta real es un subcuerpo del de los números complejos. Cada número complejo (x, y) se puede escribir como

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) . Denotando por i al número (0, 1) (que se denomina unidad imaginaria) e identiﬁcando, de acuerdo con lo anterior, (x, 0) e (y, 0) con los números reales x e y , respectivamente, el número (x, y) se representa por x + i y . Es habitual designar a los números complejos por la letra z , y la representación

z = x + iy recibe el nombre de expresión binómica del número complejo z . En lo sucesivo, salvo que se indique lo contrario, siempre que se escriba un complejo de esta forma se entenderá que se trata de su expresión binómica, de modo que x e y son números reales (veáse la siguiente deﬁnición). III)

Por supuesto, se siguen los convenios de notación habituales para operaciones en grupos, anillos o cuerpos, y también suele escribir, de forma simpliﬁcada, z w en lugar de z·w ; se z 2 por z z ; los sı́mbolos y para abreviar sumatorios y productorios, etc.

IV )

Obsérvese que

i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1,

o bien i2 + 1 = 0,

de modo que la unidad imaginaria es solución de la ecuación x2 + 1 = 0, que carece de soluciones reales. 1.4 Deﬁnición. Sea z = x + i y un número complejo. Los números reales x e y reciben el nombre de parte real y parte imaginaria de z , respectivamente, y se denotan por x = Re(z) e y = Im(z). 1.5 Observación. De acuerdo con la obervación 1.3.II, los números reales son aquellos números complejos que tienen parte imaginaria nula, mientras que los números complejos con parte real nula se denominan imaginarios (puros). 1.6 Deﬁnición. Sea z = x + i y un número complejo. I) II )

El número complejo x − i y se denomina conjugado de z y se denota por z . El número real no negativo

√

x2 + y 2 se denomina módulo de z y se denota por |z|.

1.7 Observación. I)

Un número complejo z es real si, y sólo si, z = z .

II )

Un número complejo z es imaginario si, y sólo si, z = −z .

III)

Si z ∈ C es real, el módulo de z es el valor absoluto de z .

1.2. Sucesiones y series de números complejos

1.8 Propiedades. Sean z y w números complejos. Se veriﬁcan las siguientes propiedades:

w+z =w+z z+z II ) Re(z) = 2 2 III ) z z = |z| . I)

y e

wz = w z. z−z Im(z) = . 2i

VI ) VII) VIII) IX )

1 z IV ) Si z = 0 entonces = 2. z |z| V)

|z| = |z|.

XI )

| Re(z)| ≤ |z| y | Im(z)| ≤ |z|. |z| ≤ | Re(z)| + | Im(z)|. |zw| = |z| |w|. z |z| Si w = 0 entonces = . w |w| |z + w| ≤ |z| + |w|. |z| − |w| ≤ |z − w|.

Como vemos, los números complejos mantienen todas las propiedades algebraicas de los números reales, y lo mismo le sucede al módulo con respecto al valor absoluto. Además, el cuerpo C es algebraicamente cerrado, como muestra el siguiente resultado (que puede demostrarse como consecuencia inmediata del teorema de Liouville 4.24, que se presentará en el capı́tulo 4). 1.9 Teorema (fundamental del Álgebra). Todo polinomio con coeﬁcientes complejos de grado mayor o igual que uno admite al menos una raı́z en C. De hecho, si el polinomio es de grado n ≥ 1, tiene exactamente n raı́ces (contando sus multiplicidades). 1.10 Observaciones. Como consecuencia del teorema anterior, todo polinomio Q(z) con coeﬁcientes complejos se descompone de forma única como un producto

Q(z) = C (z − r1 )m1 (z − r2 )m2 . . . (z − rk )mk , donde C es una constante (el coeﬁciente del monomio de mayor grado), r1 , . . . , rk son las raı́ces de Q, y m1 , . . . , mk son sus multiplicidades respectivas. Esto también es relevante en la descomposición en fracciones simples de fracciones racionales (es decir, cocientes de polinomios) F (z) = P (z)/Q(z) , con el grado de P menor que el de Q, que adquiere la forma:

P (z) = Q(z)

b1,1 b1,2 b1,m1 + + ... + 2 (z − r1 ) (z − r1 ) (z − r1 )m1 .. .

(1.1)

bk,1 bk,mk bk,2 + ... + , + 2 (z − rk ) (z − rk ) (z − rk )mk

donde los bi,j son números complejos. II )

En contrapartida, la relación de orden en R no puede extenderse a C con las mismas propiedades. Por supuesto, se pueden definir relaciones de orden en C = R2 que al ser restringidas a R coincidan con la usual de la recta, por ejemplo, la “lexicográfica”, pero ninguna de ellas puede ser compatible con la aritmética. Explı́citamente, esta compatibilidad se refiere a la monotonı́a en la suma (si a < b, entonces a + c < b + c para todo c) y en el producto (si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c). Véase: si se supone que existe una relación de orden total ≺ compatible con la aritmética, entonces el producto de un número por sı́ mismo será positivo. En particular, −1 = i2 0 y 1 = 12 0, lo cual es absurdo.

1.2. Sucesiones y series de números complejos 1.11 Deﬁnición. Una sucesión de números complejos es una aplicación σ : N → C . La terminologı́a general usada para las sucesiones de términos cualesquiera se aplica a este caso, y ası́ una sucesión de números complejos se representa de forma más compacta por el sı́mbolo {zn }∞ n=1 , donde zn = σ(n); zn se denomina término n-ésimo de la sucesión.

Tema 1. Números complejos

El conjunto imagen de la aplicación σ , es decir, {zn : n ∈ N}, se denomina conjunto de términos o rango de la sucesión. Una subsucesión de una sucesión dada {zn }∞ n=1 es la composición de una sucesión estric∞ tamente creciente de números naturales {nk }∞ k=1 con aquella, y se representa por {znk }k=1 . 1.12 Observación. Otra notación de uso frecuente para designar una sucesión es (zn )∞ n=1 . representa una señal También, en ciertos campos de la Ciencia, cuando la sucesión {zn }∞ n=1 discreta (dicho más correctamente, “en tiempo discreto”), es usual representar por z[n] el término zn . Esto se hace para distinguir de las señales en tiempo continuo, denotadas de la forma usual f (t). 1.13 Deﬁnición. Se dice que una sucesión {zn }∞ n=1 de números complejos es convergente si existe un número complejo z veriﬁcando la siguiente propiedad: “Para cada número real ε > 0 existe un número natural n0 (que depende de ε) tal que para cada número natural n ≥ n0 se tiene que |zn − z| < ε ”. En este caso el número z , que es único, se llama lı́mite de la sucesión; se dice que la sucesión {zn }∞ n=1 converge hacia z y se escribe

z = lim zn . n→∞

1.14 Proposición. Si la sucesión {zn }∞ n=1 converge hacia z , toda subsucesión suya es convergente hacia el mismo lı́mite z . 1.15 Corolario. Si la sucesión {zn }∞ n=1 tiene dos subsucesiones que convergen hacia distintos lı́mites, o tiene una subsucesión que no converge, entonces no puede ser convergente. 1.16 Observación. Conviene destacar que dar una sucesión de números complejos {zn }∞ n=1 ∞ equivale a proporcionar un par de sucesiones de números reales, {xn }∞ n=1 e {yn }n=1 , relacionadas mediante las igualdades zn = xn + i yn para cada n ∈ N. Esto permite reducir el estudio de propiedades para sucesiones complejas al de esas mismas propiedades para sucesiones reales; ası́, por ejemplo, se tiene el siguiente resultado. 1.17 Proposición. Una sucesión {zn }∞ n=1 de números complejos es convergente si, y sólo si, ∞ las sucesiones de números reales {Re(zn )}∞ n=1 e {Im(zn )}n=1 son convergentes. En este caso,

lim zn = lim Re(zn ) + i lim Im(zn ).

n→∞

El concepto de sucesión de Cauchy y el criterio de convergencia de Cauchy se enuncian exactamente en los mismos términos que para sucesiones de números reales. 1.18 Deﬁnición. Sea {zn }∞ n=1 una sucesión de números complejos. Se dice que la sucesión es de Cauchy si veriﬁca la siguiente propiedad: “Para cada número real ε > 0 existe un número natural n0 (que depende de ε) tal que para cada par de números naturales n, m ≥ n0 se tiene que

|zn − zm | < ε”. 1.19 Proposición (Criterio de convergencia de Cauchy). Una sucesión de números complejos es convergente si, y sólo si, es una sucesión de Cauchy. El criterio de Cauchy es especialmente útil en ciertas situaciones en las que es imposible determinar, a priori, el posible lı́mite de la sucesión. Nótese que, mientras que para aplicar la deﬁnición 1.13 es necesario el conocimiento previo de dicho lı́mite, no sucede lo mismo para aplicar el criterio de convergencia de Cauchy. En general, se obtienen las mismas propiedades sobre la aritmética de los lı́mites que en el caso real, pero carece siquiera de sentido enunciar aquéllas que se establecen en términos de la relación de orden de los números reales; por tanto, para sucesiones de números complejos no es lı́cito hablar de monotonı́a, ni establecer propiedades como el criterio del sandwich. Respecto a la noción de acotación, se ha de establecer en términos del módulo.

1.2. Sucesiones y series de números complejos

1.20 Deﬁnición. Se dice que una sucesión {zn }∞ n=1 de números complejos es acotada si existe M > 0 tal que

|zn | =

Re(zn )2 + Im(zn )2 ≤ M

para cada n ∈ N .

1.21 Proposición. Una sucesión {zn }∞ n=1 de números complejos es acotada si, y sólo si, lo ∞ son las sucesiones de números reales {Re(zn )}∞ n=1 e {Im(zn )}n=1 . 1.22 Proposición. Si la sucesión {zn }∞ n=1 es convergente, está acotada. 1.23 Teorema (de Bolzano-Weierstrass). Si la sucesión {zn }∞ n=1 está acotada, existe una que es convergente. subsucesión {znk }∞ k=1 1.24 Propiedades. I)

∞ Si la sucesión {zn }∞ n=1 converge hacia z , entonces la sucesión {|zn |}n=1 converge hacia |z|. El recı́proco, en general, no es cierto.

II )

∞ La sucesión {zn }∞ n=1 converge hacia 0 si, y sólo si, la sucesión {|zn |}n=1 converge hacia 0.

III )

∞ Si la sucesión {zn }∞ n=1 está acotada y la sucesión {wn }n=1 converge hacia 0, entonces la ∞ sucesión {zn w n }n=1 converge hacia 0.

IV )

∞ Si la sucesión {zn }∞ n=1 converge hacia z y la sucesión {wn }n=1 converge hacia w , entonces ∞ la sucesión {zn + w n }n=1 converge hacia z + w , y la sucesión {zn w n }∞ n=1 converge hacia z w.

∞ Si la sucesión {zn }∞ n=1 converge hacia z y la sucesión {wn }n=1 converge hacia w , con ∞ z w = 0, wn = 0 para cada n ∈ N, entonces la sucesión { n/wn }n=1 converge hacia z/w.

Estas propiedades pueden verse escritas de forma compacta en la tabla A.1. Estudiamos a continuación el concepto de serie compleja y sus principales propiedades. 1.25 Deﬁnición. Dada una sucesión de números complejos {zn }∞ n=1 , se le puede asociar una de sumas parciales: sucesión {Sn }∞ n=1

Sn = z1 + z2 + · · · + zn ,

n ∈ N.

∞ Se ∞denomina serie de término general zn a la sucesión {Sn }n=1 , que se representa por n=1 zn .

∞

1.26 Deﬁnición. Se dice que una serie n=1 zn de números complejos es convergente si la sucesión de sus sumas parciales {Sn }∞ n=1 es convergente. En este caso el número complejo lim Sn se llama suma de la serie y es usual escribir, abusando de la notación,

n→∞

lim Sn =

n→∞

∞

zn .

n=1

1.27 Observaciones. I)

Estudiar la naturaleza o carácter de una serie consiste en determinar si converge o no. Si la serie es convergente, el problema de sumar la serie es el de hallar su suma.

II )

Por diversas razones, en algunas ocasiones ∞ las series ∞se indican ∞ a partir de un númez , z , ro entero k en adelante, por ejemplo p=−1 p n=0 n m=2 zm . Obviamente, el carácter de una serie de números complejos no se altera cuando se suprimen o se cambian un número ﬁnito de sus términos, o cuando todos sus términos se multiplican por una constante compleja no nula. En caso de convergencia, es sencillo analizar cómo estas alteraciones se traducen en la suma correspondiente.

El criterio de convergencia para sucesiones indicado en la proposición 1.19 proporciona el siguiente criterio para series.

Tema 1. Números complejos

1.28 Teorema (Criterio de convergencia de Cauchy para series). Es condición necesaria y ∞ suﬁciente para que una serie n=1 zn de números complejos sea convergente que para cada número real ε > 0 se pueda determinar un número natural n0 (que depende de ε) tal que para cada par de números naturales p y q con p > q ≥ n0 , se veriﬁque que

|Sp − Sq | = |zq+1 + . . . + zp | < ε . 1.29 Teorema (Condición necesaria de convergencia). Si la serie de números complejos ∞ n=1 zn es convergente, entonces lim zn = 0 . n→∞

∞

1.30 Teorema. La serie n=1 zn de números complejos es convergente si, y sólo si, las series ∞ ∞ de números reales n=1 Re(zn ) y n=1 Im(zn ) son convergentes. En este caso ∞

zn =

n=1

∞

Re(zn ) + i

n=1

∞

Im(zn ).

n=1

∞

1.31 Proposición. Sean n=1 zn y wn dos series convergentes de números complejos. n=1 ∞ Si α y β son números complejos, la serie n=1 (α zn + β wn ) es convergente. Además ∞

(α zn + β wn ) = α

n=1

∞

zn + β

n=1

∞

wn .

n=1

∞

1.32 Deﬁnición. Se dice que una serie de números complejos es absolutamente n=1 zn ∞ convergente si la serie de números reales positivos n=1 |zn | es convergente.

∞

números complejos 1.33 Teorema. La serie n=1 zn de ∞ es absolutamente convergente si, y ∞ sólo si, las series de números reales n=1 Re(zn ) y n=1 Im(zn ) son absolutamente convergentes. 1.34 Proposición. Si la serie de números complejos entonces es convergente. Además,

∞ n=1

zn es absolutamente convergente,

∞ ∞

z ≤ |zn |. n n=1

n=1

1.35 Observaciones. I)

∞

La serie n=1 |zn | es de números reales positivos, y por tanto se le pueden aplicar el criterio de comparación y los criterios usuales de convergencia que de él se derivan, tales como el del cociente, el de la raı́z, etc. El lector puede consultar estos resultados en numerosos textos y manuales de Cálculo o Análisis Matemático (ver [3] o [14]). No obstante, por su uso frecuente, mencionaremos que, al igual que en el caso real, una ∞ serie geométrica de números complejos n=0 r n converge si, y sólo si, |r| < 1, y en este caso su suma es 1/(1 − r). Mediante comparación con series geométricas se deducen los siguientes criterios: 1. Criterio de d’Alembert o del cociente: Si zn = 0 para cada n ∈ N y existe lim |zn+1 |/|zn | = λ , entonces la serie converge absolutamente si λ < 1, y no converge n→∞

si λ > 1.

n |zn | = λ , entonces la serie converge absolutalim n→∞ mente si λ < 1, y no converge si λ > 1.

2. Criterio de la raı́z: Si existe

Cabe mencionar que, si se dispone de los conceptos de lı́mite superior e inferior (que se introducirán brevemente en el tema 3), es posible dar versiones más precisas de estos criterios, véase la observación 3.28.II.

1.3. Nociones topológicas en C. Funciones complejas II )

Asimismo, la fórmula de sumación por partes de Abel (de ı́ndole puramente aritméti∞ ∞ ca) sigue siendo vnálida: dadas dos sucesiones de números complejos {zn }n=1 y {wn }n=1 , se deﬁne Sn = k=1 zk , n ∈ N; S0 = 0. Entonces, para p, q ∈ N con p ≥ q se tiene que p

zk wk = Sp wp+1 − Sq−1 wq +

k=q

Sk (wk − wk+1 ).

(1.2)

k=q

De ella se deducen diversos criterios de convergencia, denominados de Abel y Dirichlet, para series de números complejos (ver los ejercicios 1.20 y 3.5). 1.36 Deﬁnición. Sean

cn = la serie

∞ n=0

zn y

∞ n=0

wn dos series de números complejos. Si se deﬁne

zk wn−k = z0 wn + z1 wn−1 + · · · + zn−1 w1 + zn w0 ,

n ≥ 0,

k=0

cn se llama producto de Cauchy de las series dadas. ∞

∞

1.37 Teorema (Criterio de Mertens). Sean n=0 zn y n=0 wn dos series de números complejos absolutamente convergentes. Entonces el producto de Cauchy de ambas es absolutamente convergente, y se tiene que ∞

cn =

∞

n=0

∞

n=0

wn .

n=0

1.3. Nociones topológicas en C. Funciones complejas Nos ocupamos ahora del estudio de las funciones complejas y los conceptos de lı́mite y continuidad para las mismas. Esto requiere precisar la idea de proximidad entre puntos del plano complejo, lo que se traduce en la introducción de una topologı́a en C. Ahora bien, observemos que, como conjunto, el cuerpo de los números complejos es R2 . Si a esto se añade el hecho de que el módulo de un número complejo z = x + i y es la norma euclı́dea del punto (x, y) de R2 , se concluye que todos los conceptos topológicos ya conocidos en R2 se pueden trasladar a C. Para la conveniencia del lector, repasamos aquı́ las deﬁniciones y propiedades básicas. 1.38 Deﬁnición. Si z0 ∈ C y r > 0, el conjunto

B(z0 , r) := {z ∈ C : |z − z0 | < r} se denomina bola o disco abierto centrado en z0 y de radio r . Análogamente se deﬁne el disco cerrado centrado en z0 y de radio r ,

B(z0 , r) := {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} . 1.39 Deﬁnición. Sea U un subconjunto de C. I)

Se dice que un punto z0 ∈ U es interior a U si existe un disco abierto centrado en dicho punto y totalmente contenido en U . ◦

Se llama interior de U , denotado por U , al conjunto de los puntos interiores a U . II )

Se dice que un punto z0 ∈ C es adherente a U si cada disco abierto centrado en z0 tiene intersección no vacı́a con U . Se llama adherencia de U , denotado por U , al conjunto de los puntos adherentes a U .

III )

Se dice que un punto z0 ∈ C es de acumulación de U si para cada r > 0 se tiene que B(z0 , r) \ {z0 } ∩ U = Ø. Se llama derivado de U , denotado por U , al conjunto de los puntos de acumulación de U .

Tema 1. NuĚ meros complejos

1.40 ObservacioĚ n. Si se identiďŹ ca cada punto z = x + i y de C con el punto (x, y) â&#x2C6;&#x2C6; R2 y cada subconjunto U de C se considera como un subconjunto de R2 , resulta que los discos abiertos en C son las bolas abiertas en R2 para la norma euclÄąĚ dea:

B(z0 , r)

(x, y) â&#x2C6;&#x2C6; R2 : (x, y) â&#x2C6;&#x2019; (x0 , y0 ) < r

= B (x0 , y0 ), r ;

asÄąĚ , un punto z0 = x0 + i y0 es interior al conjunto U â&#x160;&#x201A; C si, y soĚ lo si, el punto (x0 , y0 ) es interior al conjunto U â&#x160;&#x201A; R2 . De esta forma, para subconjuntos de C, la nocioĚ n de ser abierto (todos sus puntos son interiores) coincide con la referida a subconjuntos de R2 . Lo mismo se puede decir respecto a los conceptos de cerrado, acotado o compacto, que se enuncian exactamente igual que en R2 sustituyendo la norma de los vectores por el moĚ dulo complejo. Nos dedicamos ahora al estudio de las funciones complejas deďŹ nidas en subconjuntos de R (habitualmente, intervalos) o en subconjuntos de C (o, si se quiere, de R2 ). De hecho, puesto que hemos identiďŹ cado de forma canoĚ nica la recta real con un subconjunto de C, basta considerar uĚ nicamente el segundo caso; no obstante, la frecuente aparicioĚ n de funciones complejas deďŹ nidas en intervalos cuando se tratan las curvas parameĚ tricas en C, las integrales complejas a lo largo de curvas, etc., puede aconsejar hacer un tratamiento especÄąĚ ďŹ co de esta situacioĚ n, lo que haremos cuando proceda. Se supone al lector familiarizado con las funciones reales de varias variables reales. La ya comentada equivalencia topoloĚ gica entre R2 y C permitiraĚ que muchas de las propiedades relativas a lÄąĚ mites y continuidad de las funciones en R2 se trasladen de forma inmediata a las funciones de variable compleja. NotacioĚ n: Si f es una funcioĚ n compleja deďŹ nida en un subconjunto A de C, las expresiones

f = u + iv

f (z) = u(z) + i v(z)

se utilizaraĚ n para signiďŹ car que el nuĚ mero complejo f (z) tiene parte real u(z) y parte imaginaria v(z). Estas funciones u y v se denominan parte real y parte imaginaria de f , y se utiliza la notacioĚ n u = Re(f ) y v = Im(f ) . De este modo, siguiendo la pauta marcada en la observacioĚ n 1.40, la funcioĚ n f se puede identiďŹ car con la funcioĚ n fË&#x153;: A â&#x160;&#x201A; R2 â&#x2020;&#x2019; R2 deďŹ nida mediante

fË&#x153;(x, y) = f (x + iy) = u(x + iy), v(x + iy) .

Los conceptos de acotacioĚ n, lÄąĚ mite y continuidad para funciones reales se adaptan al caso complejo sin maĚ s que sustituir el valor absoluto por el moĚ dulo. 1.41 DeďŹ nicioĚ n. Se dice que una funcioĚ n f : A â&#x2020;&#x2019; C es acotada en A si existe M â&#x2030;Ľ 0 tal que

|f (z)| â&#x2030;¤ M

para cada z â&#x2C6;&#x2C6; A .

Obviamente, la acotacioĚ n de una funcioĚ n compleja equivale a la de sus partes real e imaginaria. 1.42 DeďŹ nicioĚ n. Sean A un subconjunto de C, f : A â&#x2020;&#x2019; C una funcioĚ n y z0 un punto de acumulacioĚ n de A. Se dice que f tiene lÄąĚ mite â&#x2C6;&#x2C6; C en el punto z0 si para cada Îľ > 0 existe Î´ > 0 (que depende de Îľ) de modo que para todo z â&#x2C6;&#x2C6; A tal que 0 < |z â&#x2C6;&#x2019; z0 | < Î´ se tiene que

|f (z) â&#x2C6;&#x2019; | < Îľ . 1.43 ProposicioĚ n. La funcioĚ n f = u + i v tiene lÄąĚ mite en el punto z0 = x0 + i y0 si, y soĚ lo si, las funciones reales u y v tienen lÄąĚ mites Re( ) e Im( ) , respectivamente, en dicho punto. En otras palabras, f tiene lÄąĚ mite en z0 si, y soĚ lo si, la aplicacioĚ n

tiene lÄąĚ mite

Re( ), Im( )

(x, y) â&#x2C6;&#x2C6; A â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; u(x, y), v(x, y) â&#x2C6;&#x2C6; R2

en (x0 , y0 ).

1.3. Nociones topoloĚ gicas en C. Funciones complejas

1.44 Observaciones. I)

SeguĚ n la proposicioĚ n anterior, todos los resultados sobre lÄąĚ mites que se veriďŹ quen para aplicaciones de R2 en R2 se veriďŹ can para funciones complejas de variable compleja. Por ejemplo, el lÄąĚ mite, si existe, es uĚ nico y se escribiraĚ , en las condiciones anteriores, como es usual:

lim f (z) = .

zâ&#x2020;&#x2019;z0

Son vaĚ lidos tambieĚ n los criterios secuenciales del lÄąĚ mite, las propiedades aritmeĚ ticas de los lÄąĚ mites, etc. Puesto que suponemos conocidas por el lector todas estas propiedades en el caso de aplicaciones a valores en Rn , no insistiremos en estos aspectos y nos limitamos a ilustrar dos propiedades:

a . Supongamos que las funciones complejas f1 = u1 + i v1 y f2 = u2 + i v2 , deďŹ nidas en un conjunto A â&#x160;&#x201A; C, tienen lÄąĚ mites 1 y 2 , respectivamente, en un punto z0 de acumulacioĚ n de A. La funcioĚ n producto se escribe en teĚ rminos de u1 , v1 , u2 y v2 ,

f1 f2 = (u1 + i v1 )(u2 + i v2 ) = (u1 u2 â&#x2C6;&#x2019; v1 v2 ) + i (u1 v2 + u2 v1 ) , y puesto que cada una de estas cuatro funciones reales tiene lÄąĚ mite en el punto (x0 , y0 ) y es Re( 1 ), Im( 1 ), Re( 2 ) e Im( 2 ), respectivamente, se deduce que f1 f2 tiene lÄąĚ mite en el punto z0 y es precisamente 1 2 .

b . Si la funcioĚ n compleja f = u + i v , deďŹ nida en un conjunto A â&#x160;&#x201A; C, tiene lÄąĚ mite = 0 en un punto z0 de acumulacioĚ n de A, existe Î´ > 0 tal que f (z) = 0 para cada z â&#x2C6;&#x2C6; A con 0 < |z â&#x2C6;&#x2019; z0 | < Î´ . Entonces la funcioĚ n 1/f estaĚ deďŹ nida en A â&#x2C6;Š B(z0 , Î´) \ {z0 } y se expresa en este conjunto por

1 v u â&#x2C6;&#x2019;i 2 . = 2 2 f u +v u + v2 Puesto que u y v tienen lÄąĚ mites Re( ) e Im( ), respectivamente, en z0 , la funcioĚ n 1/f tiene lÄąĚ mite 1/ en este punto (noĚ tese que u2 + v 2 = |f |2 y esta funcioĚ n es no nula en los puntos z = x + i y en los que f (z) = 0). II )

En el caso de que el conjunto A se identiďŹ que con un subconjunto de R, se puede decir que la aplicacioĚ n f : A â&#x2020;&#x2019; C es una funcioĚ n compleja de variable real. Por supuesto, esta situacioĚ n no es maĚ s que un caso particular de lo anterior, aunque se aplican las simpliďŹ caciones de notacioĚ n obvias. Por ejemplo, si t â&#x2C6;&#x2C6; A se escribe f (t) = u(t) + i v(t) para indicar las partes real e imaginaria de f .

III )

No tiene sentido en el caso complejo el concepto de lÄąĚ mite inďŹ nito, +â&#x2C6;&#x17E; o â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, planteado mediante la relacioĚ n de orden. No obstante, cuando una funcioĚ n compleja veriďŹ que que limzâ&#x2020;&#x2019;z0 |f (z)| = â&#x2C6;&#x17E; diremos que tiende a inďŹ nito en z0 . La consideracioĚ n de la esfera de Riemann, que trataremos en la seccioĚ n 1.5, proporciona una interpretacioĚ n clara y rigurosa de esta terminologÄąĚ a.

La nocioĚ n de continuidad se enuncia en teĚ rminos de la distancia precisando la idea de que â&#x20AC;&#x153;puntos proĚ ximos tienen imaĚ genes proĚ ximasâ&#x20AC;?. 1.45 DeďŹ nicioĚ n. Sean A un subconjunto de C, f : A â&#x2020;&#x2019; C una funcioĚ n y z0 un punto de A. Se dice que f es continua en el punto z0 si para cada Îľ > 0 existe un Î´ > 0 tal que

|f (z) â&#x2C6;&#x2019; f (z0 )| < Îľ si z â&#x2C6;&#x2C6; A , |z â&#x2C6;&#x2019; z0 | < Î´ . Se dice que f es continua en A si es continua en cada punto de A. 1.46 ProposicioĚ n. La funcioĚ n f = u + i v es continua en z0 = x0 + i y0 si, y soĚ lo si, las funciones reales u y v son continuas en dicho punto; es decir, si, y soĚ lo si, la aplicacioĚ n

(x, y) â&#x2C6;&#x2C6; A â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; u(x, y), v(x, y) â&#x2C6;&#x2C6; R2

es continua en (x0 , y0 ).

Tema 1. Números complejos

1.47 Observación. De nuevo, los resultados sobre aplicaciones continuas de R2 en R2 se veriﬁcan para funciones complejas de variable compleja (por ejemplo, la continuidad en un punto implica acotación local; la continuidad es preservada por la suma y el producto de funciones, etc.) y por esta razón no se detallan. Citaremos no obstante dos propiedades de uso habitual: I)

Si z0 es punto de acumulación de A, la continuidad de la función f en z0 equivale a que

lim f (z) = f (z0 ) .

z→z0

II )

Si la función f está deﬁnida en un entorno de z0 ∈ C, es continua en este punto y f (z0 ) = 0, entonces existe r > 0 tal que f (z) = 0 para cada z ∈ B(z0 , r). Además la función 1/f , que está bien deﬁnida en este disco, es continua en z0 . Tratamos a continuación de manera similar el concepto de continuidad uniforme.

1.48 Deﬁnición. Sean A un subconjunto no vacı́o de C y f una función compleja deﬁnida en A. Se dice que f es uniformemente continua en A si para cada ε > 0 existe un δ > 0 (que sólo depende de ε) tal que

|f (z) − f (w)| < ε,

siempre que z, w ∈ A con |z − w| < δ . 1.49 Proposición. Si f es una función compleja uniformemente continua en el conjunto A, entonces f es continua en A. 1.50 Teorema (de Heine). Sea K un subconjunto compacto de C. Si f es una función continua en K , entonces f es uniformemente continua en K . La adaptación del concepto de derivada es también inmediata, pero existe en este caso una gran diferencia entre las funciones de variable real y aquellas de variable compleja. Mientras el estudio de la derivabilidad para las segundas será el objeto del capı́tulo 2, indicamos brevemente las propiedades para el primer supuesto. 1.51 Deﬁnición. Sea f una función compleja deﬁnida en un intervalo real I , y consideremos un punto a ∈ I . Si existe el lı́mite

lim

x→a

f (x) − f (a) , x−a

se dice que f es derivable en a. El valor del lı́mite será un número complejo que se denomina derivada de f en a, y al que se denota por f (a). El carácter derivable de una función compleja se reduce al de sus partes real e imaginaria. 1.52 Proposición. Sean I un intervalo abierto de la recta real, a un punto de I y f = u + i v una función compleja deﬁnida en I . La función f es derivable en a si, y sólo si, lo son u = Re(f ) y v = Im(f ), y en este caso se veriﬁca que

f (a) = u (a) + i v (a) . Este resultado permite generalizar a este contexto las propiedades y las reglas usuales de derivación para las funciones reales, siempre que no intervenga el orden de R. Por ejemplo, no es posible establecer teoremas de valor medio para funciones complejas, pero la derivabilidad implica la continuidad, se verifica la regla de la cadena, etc. De cara a la definición en el contexto complejo de la integral de Riemann, herramienta clásica en el estudio de las funciones reales, se ha de notar que para funciones complejas acotadas carece de sentido considerar sumas de Darboux, en cuya definición interviene de manera crucial el concepto de orden; no obstante, la integración se puede extender al caso complejo mediante la consideración de las sumas de Riemann, que son números complejos perfectamente definidos. Sin entrar en detalles, mencionamos el siguiente resultado, que bien podrı́a tomarse como definición de la integral de Riemann de una función compleja de variable real.

1.3. Nociones topoloĚ gicas en C. Funciones complejas

1.53 ProposicioĚ n. Sea f = u + i v una funcioĚ n compleja deďŹ nida en el intervalo [a, b]. La funcioĚ n f es integrable en [a, b] si, y soĚ lo si, lo son u = Re(f ) y v = Im(f ), en cuyo caso se veriďŹ ca que

b a

f (x) dx =

u(x) dx + i a

v(x) dx . a

1.54 ObservacioĚ n. Del resultado anterior se deducen criterios de integrabilidad y reglas aritmeĚ ticas de integracioĚ n similares a los que se utilizan en el caso real. TambieĚ n es cierto b b que si una funcioĚ n compleja f es integrable en [a, b] lo es su moĚ dulo y a f â&#x2030;¤ a |f | . Finalmente, son vaĚ lidos tambieĚ n para funciones complejas de variable real el teorema fundamental del caĚ lculo, la regla de Barrow, la foĚ rmula de integracioĚ n por partes y el teorema del cambio de variable (el lector puede consultar, por ejemplo, [3, 32]). En el estudio de las funciones de variable compleja es importante la clase de conjuntos que deďŹ nimos a continuacioĚ n, y que generaliza la idea de intervalo como conjunto formado por una sola â&#x20AC;&#x153;piezaâ&#x20AC;?. 1.55 DeďŹ nicioĚ n. Se dice que un subconjunto E de C es inconexo si existen dos conjuntos no vacÄąĚ os E1 y E2 tales que: I) II )

E = E1 â&#x2C6;Ş E2 . Existen dos abiertos U1 y U2 de C con E1 â&#x160;&#x201A; U1 , E2 â&#x160;&#x201A; U2 y E â&#x2C6;Š U1 â&#x2C6;Š U2 = Ă&#x2DC;.

En caso contrario se dice que E es conexo. 1.56 ObservacioĚ n. Una componente conexa de un subconjunto E de C es un subconjunto conexo maximal de E , es decir, es un subconjunto conexo A de E tal que para cualquier otro subconjunto conexo B de E se veriďŹ ca que B â&#x160;&#x2020; A o A â&#x2C6;Š B = Ă&#x2DC;. Es obvio que E es unioĚ n disjunta de sus componentes conexas. AdemaĚ s, si E es abierto, sus componentes conexas son conjuntos abiertos, lo que nos proporciona una particioĚ n de cualquier abierto formada por abiertos conexos. Al tratar con conjuntos abiertos la propiedad de conexioĚ n admite una formulacioĚ n, maĚ s faĚ cil de visualizar geomeĚ tricamente, enunciada en teĚ rminos de curvas en el abierto. 1.57 DeďŹ nicioĚ n. Un subconjunto E de C es conexo por arcos o arcoconexo si, para cada par de puntos z, w â&#x2C6;&#x2C6; E existe una aplicacioĚ n continua Îł : [a, b] â&#x2020;&#x2019; E tal que Îł(a) = z y Îł(b) = w (se dice entonces que existe un arco o curva en E que une o conecta z con w , de ahÄąĚ la denominacioĚ n de estos conjuntos). 1.58 ProposicioĚ n. Todo subconjunto de C conexo por arcos es conexo. 1.59 DeďŹ nicioĚ n. Un conjunto E es convexo si contiene a cualquier segmento cuyos extremos esteĚ n en E , es decir, si se cumple que

t z + (1 â&#x2C6;&#x2019; t) w â&#x2C6;&#x2C6; E para todos t â&#x2C6;&#x2C6; [0, 1], z, w â&#x2C6;&#x2C6; E (obseĚ rvese que, ďŹ jados z y w y haciendo variar t en [0, 1], el punto dado por la combinacioĚ n lineal anterior recorre efectivamente el segmento rectilÄąĚ neo que une z y w ). Un conjunto E es estrellado respecto de un punto z0 â&#x2C6;&#x2C6; E si cada segmento que une z0 con cualquier otro punto de E estaĚ contenido en E . Un conjunto E es estrellado si lo es respecto de alguno de sus puntos. ObseĚ rvese que un conjunto convexo es estrellado respecto de cualquiera de sus puntos. 1.60 Corolario. Si E es un subconjunto de C convexo o estrellado, entonces E es conexo. 1.61 ObservacioĚ n. Recordemos que se dice que una curva Îł : [a, b] â&#x2020;&#x2019; R2 es de clase C 1 a trozos si es continua en [a, b] y existe una particioĚ n del intervalo,

{a = Îž0 < Îž1 < . . . < Îžmâ&#x2C6;&#x2019;1 < Îžm = b} , tal que Îł es de clase C 1 en cada subintervalo [Îžjâ&#x2C6;&#x2019;1 , Îžj ] , j = 1, 2, . . . , m (en particular, se exige la existencia de las derivadas laterales correspondientes en los extremos de cada subintervalo).

Tema 1. Números complejos

1.62 Teorema. Sea U un subconjunto abierto y conexo de C. Para cada par de puntos z, w ∈ U existe una curva de clase C 1 a trozos, γ : [a, b] → U , tal que γ(a) = z y γ(b) = w. 1.63 Observación. Los resultados anteriores muestran que para conjuntos abiertos son equivalentes la conexión y la conexión por arcos. Si un conjunto E es conexo pero no abierto, no se puede garantizar que sea arcoconexo. 1.64 Proposición. Sean E un conexo de C y f : E → C continua en E . Entonces, f (E) es un conjunto conexo.

1.4. Argumento de un número complejo. Forma polar En esta sección haremos uso de las propiedades básicas de las funciones trigonométricas de variable real, tales como periodicidad, puntos de anulación, etc., que suponemos conocidas por el lector. Denotaremos por T a la circunferencia unidad,

T := {z ∈ C : |z| = 1} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} . 1.65 Proposición. I) II )

Para cada θ ∈ R se tiene que cos(θ) + i sin(θ) ∈ T. Para cada z ∈ C con z = 0 se tiene que z/|z| ∈ T, y existe un número real θ tal que z/|z| = cos(θ) + i sin(θ).

Esto justifica la siguiente definición. 1.66 Definición. Si z ∈ C, z = 0, se denomina argumento de z a cualquier θ ∈ R tal que

z = cos(θ) + i sin(θ). |z| Dicho valor θ se denota de forma genérica por arg(z). 1.67 Proposición. Sea z ∈ C , z = 0 , y sea θ ∈ R uno de sus argumentos. Entonces, el conjunto de los argumentos de z es {θ + 2 k π : k ∈ Z} . 1.68 Proposición. Sean z, w ∈ C, z = 0, w = 0. Se veriﬁca que: I ) Los argumentos de z w son precisamente los números reales de la forma θ + ϕ, donde θ es un argumento de z y ϕ es un argumento de w . II )

Los argumentos de z/w son precisamente los números reales de la forma θ − ϕ, donde θ es un argumento de z y ϕ es un argumento de w .

III)

Los argumentos de z y los de 1/z son precisamente los números reales de la forma −θ , donde θ es un argumento de z .

1.69 Ejemplos. I) II ) III)

Si x ∈ R, x > 0, entonces los argumentos de x son los números reales 2 k π , con k ∈ Z. Si x ∈ R, x < 0, entonces los argumentos de x son los números reales −π + 2 k π , con k ∈ Z. Los argumentos de i son los números π/2 + 2 k π , k ∈ Z.

1.70 Observaciones. I)

Si θ ∈ R escribiremos eiθ = cos(θ) + i sin(θ), y también exp(iθ) = eiθ . Más adelante, cuando estudiemos con detalle la función exponencial compleja quedará perfectamente justiﬁcada esta expresión que, de momento, nos conformamos con tomar como un convenio de notación. No obstante, es inmediato probar a partir de las propiedades, bien conocidas, de las funciones trigonométricas de variable real, que para todos θ, ϕ ∈ R se tiene que

ei(θ+ϕ) = eiθ eiϕ ,

e−iθ =

1 . eiθ

(1.3)