Preparación 2 para evaluación del Módulo 3

Introducción a las matemáticas

UNIDAD DE FORMACIÓN TÉCNICA Y TECNOLÓGICA

Factorización Factorizar una expresión consiste en escribir dicha expresión en forma de producto. Es el proceso contrario a resolver un producto notable.

Tipo Factor común

Representación 𝑎 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑎𝑧

Diferencia de cuadrados

𝑎 2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏

Trinomio cuadrado perfecto

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2

Trinomio de la forma simple

𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → factorización simple

Trinomio de la forma compuesta

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → método de aspas o método tradicional

Factorización: factor común 𝑎 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑎𝑧 Para sacar factor común se debe: 1.

Identificar el valor para el cual todos los coeficientes son divisibles

2.

Identificar las variables que están presentes en TODOS los términos

3.

El factor estará compuesto por el valor identificado y las variables identificadas en la menor potencia que estén presentes en la expresión original 𝑎2 + 2𝑎𝑏 = 𝑎(𝑎 + 2𝑏) 12𝑥2𝑦2 − 3𝑥3 + 36𝑥4 = 3𝑥2(4𝑦 − 𝑥 + 12𝑥2) 15𝑎𝑏𝑐2 + 45𝑎2𝑏𝑐 2𝑎2𝑏 + 4𝑎𝑏2 − 10𝑎3𝑏3

Factorización: factor común 𝑎 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑎𝑧 Para sacar factor común se debe: 1.

Identificar el valor para el cual todos los coeficientes son divisibles

2.

Identificar las variables que están presentes en TODOS los términos

3.

El factor estará compuesto por el valor identificado y las variables identificadas en la menor potencia que estén presentes en la expresión original 𝑎2 + 2𝑎𝑏 = 𝑎(𝑎 + 2𝑏) 12𝑥2𝑦2 − 3𝑥3 + 36𝑥4 = 3𝑥2(4𝑦 − 𝑥 + 12𝑥2) 15𝑎𝑏𝑐2 + 45𝑎2𝑏𝑐 = 15𝑎𝑏𝑐(𝑐 + 3𝑎) 2𝑎2𝑏 + 4𝑎𝑏2 − 10𝑎3𝑏3 = 2𝑎𝑏(𝑎 + 2𝑏 − 5𝑎2𝑏2)

Factorización: diferencia de cuadrados Factorizar una expresión consiste en escribir dicha expresión en forma de producto.

Tipo

Representación

Diferencia de cuadrados

𝑎 2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏

Trinomio cuadrado perfecto

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2

Trinomio de la forma simple

𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → factorización simple

Trinomio de la forma compuesta

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → método de aspas o método tradicional

𝑎2 − 81 = (𝑎 − 9)(𝑎 + 9) 121𝑥2𝑦2 − 49 = (11𝑥𝑦 − 7)(11𝑥𝑦 + 7) 𝑥2 − 5 −25 + 4𝑥2

Factorización: diferencia de cuadrados Factorizar una expresión consiste en escribir dicha expresión en forma de producto.

Tipo

Representación

Diferencia de cuadrados

𝑎 2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏

Trinomio cuadrado perfecto

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2

Trinomio de la forma simple

𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → factorización simple

Trinomio de la forma compuesta

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → método de aspas o método tradicional

𝑎2 − 81 = (𝑎 − 9)(𝑎 + 9) 121𝑥2𝑦2 − 49 = (11𝑥𝑦 − 7)(11𝑥𝑦 + 7) 𝑥2 − 5 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) −25 + 4𝑥2 = (2𝑥 − 5)(2𝑥 + 5)

Factorización: trinomio cuadrado perfecto Factorizar una expresión consiste en escribir dicha expresión en forma de producto.

Tipo Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma simple Trinomio de la forma compuesta

Representación 𝑎 2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏

𝑥 − 4 2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑥 − 5𝑦𝑥 22+ 𝑏𝑥 + 𝑐 → factorización simple 2 3𝑥 + 2 2

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → método de aspas o método tradicional

𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 + 3 2 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 𝑥 − 5 2 𝑥2 − 14𝑥 + 49 = 𝑥 − 7 2 𝑥2 − 18𝑥𝑦 + 81𝑦2 𝑤 2 + 22𝑤 + 121

Factorización: trinomio cuadrado perfecto Factorizar una expresión consiste en escribir dicha expresión en forma de producto.

Tipo Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma simple Trinomio de la forma compuesta

Representación 𝑎 2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏

𝑥 − 4 2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑥 − 5𝑦𝑥 22+ 𝑏𝑥 + 𝑐 → factorización simple 2 3𝑥 + 2 2

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 → método de aspas o método tradicional

𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 + 3 2 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 𝑥 − 5 2 𝑥2 − 14𝑥 + 49 = 𝑥 − 7 2 𝑥2 − 18𝑥𝑦 + 81𝑦2 = 𝑥 − 9𝑦 2 𝑤 2 + 22𝑤 + 121 = 𝑤 + 11

Factorización simple 1.

Verificamos que temenos un trinomio de la forma simple, ordenado de mayor potencia a menor potencia 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

2.

Abra dos paréntesis con el espacio para escribir binomios (

3.

El primer término de cada paréntesis corresponderá a la raíz del primer término del trinomio (𝑥 )(𝑥 )

4.

El signo del primer binomio corresponderá al del término central del trinomio, mientras que el signo del segundo paréntesis corresponderá al producto de ley de signos entre el segundo y tercer término del binomio. (𝑥+ )(𝑥+ )

5.

Buscamos dos valores cuyo producto resulte en el último término del trinomio y su suma o resta, en el segundo término del trinomio. (𝑥 + 𝑑 )(𝑥 + 𝑒 )

)( )

Factorización simple 𝑥2 − 𝑥 − 12 (𝑥 − 4)(𝑥 + 3) 𝑥2 + 2𝑥 − 48 (𝑥 + 8)(𝑥 − 6) 𝑥2 − 11𝑥 + 24 (𝑥 − 8)(𝑥 − 3)

Factorización simple 𝑥2 − 3𝑥 − 28 = (𝑥 − 7)(𝑥 + 4) 𝑥2 − 14𝑥 + 48 = 𝑥 − 8 (𝑥 − 6) 𝑥2 + 3𝑥 − 18 = (𝑥 + 6)(𝑥 − 3) 𝑥2 − 9𝑥 − 10 = (𝑥 − 10)(𝑥 + 1) 𝑥2 + 𝑥 − 72 = (𝑥 + 9)(𝑥 − 8)

Factorización de un trinomio de la forma compuesta (método de aspas) 1.

Verificamos que temenos un trinomio de la forma compuesta, ordenado de mayor potencia a menor potencia 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

2.

Abra dos paréntesis con el espacio para escribir binomios y colóquelos uno bajo del otro (

)

3.

Los primeros términos de cada binomio deberán ser dos valores que multiplicados resulten en el primer término del trinomio.

4.

Los dos términos restantes para completar los binomios deberán ser dos valores que multiplicados resulten en el último término del trinomio

5.

Finalmente, se multiplica en cruz y se suman los valores resultantes; si el resultado coincide con el término central del trinomio, la combinación de binomios es correcta, caso contrario, deberá buscar otra combinación. (

)

Factorización de un trinomio de la forma compuesta (método de aspas) 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 (𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)

6𝑥2 − 5𝑥 − 6 (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 2)

Factorización de un trinomio de la forma compuesta (método tradicional) 1.

Verificamos que temenos un trinomio de la forma compuesta, ordenado de mayor potencia a menor potencia 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

2.

Se abra dos paréntesis con el espacio para escribir binomios y una línea de fracción

3.

El primer término de cada paréntesis y del denominador corresponderá coeficiente del primer término del trinomio, sin embargo, la variable deberá ser sometida a una raíz cuadrada.

…

𝑎

4.

El signo del primer binomio corresponderá al del término central del trinomio, mientras que el signo del segundo paréntesis corresponderá al producto de ley de signos entre el segundo y tercer término del binomio. 𝑎

5.

Buscamos dos valores cuyo producto resulte en el resultado de la multiplicación del primero y el último término del trinomio, y la suma o resta de los valores coincidan con en el segundo término del trinomio. Finalmente, simplificamos, de ser posible. 𝑎

Factorización de un trinomio de la forma compuesta (método tradicional) 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 (𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)

6𝑥2 − 5𝑥 − 6 (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 2)

Factorización de un trinomio de la forma compuesta 5𝑥2 + 13𝑥 − 6 (𝑥 + 3)(5𝑥 − 2)

10𝑥2 + 11𝑥 + 3 (2𝑥 + 1)(5𝑥 + 3)