Funciones del Lenguaje
En todo tipo de comunicación, el emisor fija el propósito de lo que dice. Existen tres tipos de funciones del lenguaje:
• Función informativa: Se usa para transmitir datos sobre la realidad. Estas frases pueden ser verdaderas o falsas. Ejemplo: "El cielo es azul."
• Función emotiva: Se utiliza para expresar emociones o sentimientos del emisor. Ejemplo: "¡Estoy tan feliz hoy!"
• Función directiva: Busca que el receptor realice una acción específica. Ejemplo: "Cierra la puerta, por favor."
Proposición
Una proposición es un enunciado con función informativa. Ejemplo: "2 + 2 = 4."
Conectores Lógicos
Son símbolos que se utilizan para relacionar proposiciones entre sí:
• Negación (¬ ): Se expresa con la palabra “no”. Ejemplo: "No llueve."
• Conjunción (∧ ): Se expresa con la palabra “y”. Ejemplo: "Hoy es lunes y hace frío."
• Disyunción (∨): Se expresa con la palabra “o”. Ejemplo: "Voy al cine o me quedo en casa."
• Implicación (→ ): Se expresa con la estructura “si… entonces…”. Ejemplo: "Si estudio, entonces apruebo."
• Doble implicación (↔ ): Se expresa con la estructura “… si y solo si…”. Ejemplo: "A es igual a B si y solo si ambos tienen el mismo valor."
Forma Proposicional
Una forma proposicional es una cadena de símbolos construida de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Las letras minúsculas del alfabeto español son formas proposicionales llamadas “letras proposicionales”. Ejemplo: p, q, r.
2. Dadas dos formas proposicionales P y Q, también son formas proposicionales las expresiones: ¬P, P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q.
3. Estas son las únicas formas proposicionales permitidas.
Nota: Aunque esto es un abuso del lenguaje, en general se las llama directamente “proposiciones”.
Funciones de Verdad de una Proposición
Las funciones de verdad determinan el valor (verdadero o falso) de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.
A continuación, se muestra un ejemplo con dos proposiciones, p y q:
Reglas Generales de Valor de Verdad
• Negación: Si una proposición es verdadera, su negación es falsa, y viceversa. Ejemplo: "No es cierto que hoy es lunes."
• Disyunción: La disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas.
Ejemplo: "O estudio o duermo."
• Conjunción: La conjunción es verdadera solo si ambas proposiciones son verdaderas. Ejemplo: "Hace sol y no llueve."
• Implicación: La implicación es falsa únicamente si la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Ejemplo: "Si hace calor, entonces me pongo bloqueador."
• Doble implicación: Es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo: "Pasa si y solo si estudio y apruebo."
Asignación de Valores de Verdad
Una forma proposicional con n letras proposicionales puede recibir una asignación de valores de verdad, que es un conjunto ordenado de valores (verdadero o falso) para cada letra proposicional. El valor final de verdad se determina evaluando la forma proposicional bajo esa asignación. Ejemplo: Para la proposición ¬p ∨ q, con p=V y q=F, el valor final es falso.
Tautología y Contradicción
• Una forma proposicional es una tautología si siempre tiene valor verdadero, sin importar los valores de verdad de sus partes. Ejemplo: "p ∨ ¬p" es siempre verdadero.
• Es una contradicción si siempre tiene valor falso. Ejemplo: "p ∧ ¬p" es siempre falso.
Referencia Bibliográfica
Johnsonbaugh, R. (2018). Discrete mathematics. Pearson Educación.
