1_merged (3)

LÓGICA PROPORCIONAL

Abstracto y numérico Módulo 2

Funciones del Lenguaje En todo tipo de comunicación, el emisor fija el propósito de lo que dice. Existen tres tipos de funciones del lenguaje: • • •

Función informativa: Se usa para transmitir datos sobre la realidad. Estas frases pueden ser verdaderas o falsas. Ejemplo: "El cielo es azul."

Función emotiva: Se utiliza para expresar emociones o sentimientos del emisor. Ejemplo: "¡Estoy tan feliz hoy!"

Función directiva: Busca que el receptor realice una acción específica.

Ejemplo: "Cierra la puerta, por favor."

Proposición Una proposición es un enunciado con función informativa. Ejemplo: "2 + 2 = 4."

Conectores Lógicos Son símbolos que se utilizan para relacionar proposiciones entre sí: • • • • •

Negación (¬ ): Se expresa con la palabra “no”. Ejemplo: "No llueve."

Conjunción (∧ ): Se expresa con la palabra “y”. Ejemplo: "Hoy es lunes y hace frío."

Disyunción (∨): Se expresa con la palabra “o”. Ejemplo: "Voy al cine o me quedo en casa."

Implicación (→ ): Se expresa con la estructura “si… entonces…”. Ejemplo: "Si estudio, entonces apruebo."

Doble implicación (↔ ): Se expresa con la estructura “… si y solo si…”. Ejemplo: "A es igual a B si y solo si ambos tienen el mismo valor."

1

Forma Proposicional Una forma proposicional es una cadena de símbolos construida de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Las letras minúsculas del alfabeto español son formas proposicionales llamadas “letras proposicionales”. Ejemplo: p, q, r.

2. Dadas dos formas proposicionales P y Q, también son formas proposicionales las expresiones: ¬P, P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q. 3. Estas son las únicas formas proposicionales permitidas.

Nota: Aunque esto es un abuso del lenguaje, en general se las llama directamente “proposiciones”.

Funciones de Verdad de una Proposición Las funciones de verdad determinan el valor (verdadero o falso) de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.

A continuación, se muestra un ejemplo con dos proposiciones, p y q:

1

p q ¬p

p∨q

p∧q

p→q

p↔q

V V

F

V

V

V

V

V F

F

V

F

F

F

F V

V

V

F

V

F

F F

V

F

F

V

V

Reglas Generales de Valor de Verdad • • • •

•

Negación: Si una proposición es verdadera, su negación es falsa, y viceversa.

Ejemplo: "No es cierto que hoy es lunes."

Disyunción: La disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo: "O estudio o duermo."

Conjunción: La conjunción es verdadera solo si ambas proposiciones son verdaderas. Ejemplo: "Hace sol y no llueve."

Implicación: La implicación es falsa únicamente si la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Ejemplo: "Si hace calor, entonces me pongo bloqueador."

Doble implicación: Es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo: "Pasa si y solo si estudio y apruebo."

1

Asignación de Valores de Verdad Una forma proposicional con n letras proposicionales puede recibir una asignación de valores de verdad, que es un conjunto ordenado de valores (verdadero o falso) para cada letra proposicional. El valor final de verdad se determina evaluando la forma proposicional bajo esa asignación. Ejemplo: Para la proposición ¬p ∨ q, con p=V y q=F, el valor final es falso.

Tautología y Contradicción •

•

Una forma proposicional es una tautología si siempre tiene valor verdadero, sin importar los valores de verdad de sus partes. Ejemplo: "p ∨ ¬p" es siempre verdadero.

Es una contradicción si siempre tiene valor falso. Ejemplo: "p ∧ ¬p" es siempre falso.

Referencia Bibliográfica Johnsonbaugh, R. (2018). Discrete mathematics. Pearson Educación.

1

1