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palavras-chave

Avaliação, Aprendizagem, Tecnologia, Modelos, Objectivos.

resumo

No presente trabalho pretende-se mostrar o desenvolvimento de uma estratégia de utilização de uma plataforma de ensino assistido. A experiência recaiu sobre um tema bastante explorado nos primeiros anos de cursos de Ensino Superior de Ciências e Engenharia, a Primitivação, onde nesta se propõe uma abordagem dos modelos existentes (ou a criar) por forma a produzir Avaliação e Aprendizagem fiáveis ao processo ensino-aprendizagem e à relação Professor-Saber-Aluno. O modelo é aqui entendido como gerador de questões com objectivos pedagógicos muito precisos. A ideia base deste trabalho é a junção dos modelos da unidade tratada com uma nova estratégia de avaliação e aprendizagem dos conhecimentos.


keywords

Evaluation, Learning, Technology, Models, Objectives

abstract

The main goal of this work is to present the development of a strategy of using a platform of assisted teaching. The experiment was on a well explored theme on the early years of some degrees of Sciences and Engineering, the Primitives, where an approach of the existing models is proposed in order to produce Evaluation and Learning reliable to the process teaching-learning and to the relation Professor-Knowledge-Student. Here the model is understood as a question generator with very precise pedagogic objectives. The main idea of this work is the junction of the models of the treated unity with a new strategy of evaluation and learning.


Conteudo 1 Introduc~ao

1

I Primitivac~ao

5

2 Algumas noc~oes preliminares

7

2.1 De nica~o de derivada Regras de derivac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Noca~o de diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Primitivas

3.1 De nica~o de Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Quando existe, a primitiva e unica? . . . . . 3.1.2 Sera que existe sempre? . . . . . . . . . . . 3.1.3 Quest~oes de notaca~o . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Relac~ao entre Derivaca~o e Primitivac~ao . . . 3.2 Primitivas Imediatas; Primitivas \quase" imediatas 3.2.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Primitivas \quase" imediatas . . . . . . . . 3.3 Metodos de Primitivaca~o . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Primitivaca~o por partes . . . . . . . . . . . 3.3.2 Primitivaca~o por substituic~ao . . . . . . . . 3.3.3 Primitivas de funco~es racionais . . . . . . . 3.3.4 Observac~oes nais . . . . . . . . . . . . . . . i

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7 9 12

13 14 15 17 19 20 20 25 33 34 41 52 67


ii

 CONTEUDO

II Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador

69

4 Avaliac~ao e Aprendizagem

71

5 Ensino assistido por computador

75

6 Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador

84

4.1 Construtivismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2 Professor e Aluno, avaliadores da Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1 \e-learning" versus \blended-learning" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Alguns exemplos de sistemas para ensino assistido por computador . . . . . 77 6.1 Modelos geradores de quest~oes . . . . . . . . . . . 6.2 Lista de objectivos ordenada; Papel do professor . 6.3 Tipos de movimentos na navegaca~o . . . . . . . . 6.3.1 Movimento lateral direito Movimento ascendente . . . . . . . . . . . 6.3.2 Movimento lateral esquerdo Movimento descendente . . . . . . . . . . 6.4 Repetica~o de percurso; Navegac~ao bloqueada . . . 6.5 Contagem de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Medidas a tomar . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Conclus~oes

. . . . . . . . . . . . . . . 86 . . . . . . . . . . . . . . . 88 . . . . . . . . . . . . . . . 92

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95 98 102 104 108


Captulo 1 Introduc~ao Avaliar o desempenho, atitudes e grau de conhecimento de alunos ao longo de um determinado tempo sempre foi um dever a cumprir pelas instituico~es educativas, mas esta longe de ser uma tarefa facil. A avaliac~ao esta no cerne do processo educativo porque se desenvolve com base na relaca~o de comunicaca~o que se estabelece entre professores e alunos. Tal relac~ao e, muito provavelmente, o factor que mais in uencia os processos e os resultados inerentes ao Ensino e a Aprendizagem. Trata-se de uma relac~ao que tem lugar num contexto micro-social e cultural muito espec co e complexo, e que esta condicionada por factores internos e externos a escola e a turma [46]. A avaliac~ao e \atravessada" por in u^encias de natureza poltica, social, loso ca, cultural, economica e tecnologica e e, por natureza [...] uma area geradora de polemica, de debate e de permanente re ex~ao. E , indiscutivelmente, uma problematica n~ao linear, sem uma soluca~o unica, cuja caracterstica mais marcante e a complexidade que resulta de uma verdadeira teia de factores que a in uenciam e das multiplas e recprocas relac~oes entre esses mesmos factores [46]. Esta complexidade do processo de avaliac~ao foi o ponto de partida para a elaborac~ao desta dissertaca~o.


2

Introduc~ao

Pretende-se que aluno e professor encarem a avaliaca~o como objecto de re ex~ao do trabalho desenvolvido por cada um deles. E necessario que a avaliaca~o seja um instrumento

avel, auxiliador do processo ensino-aprendizagem e n~ao apenas uma mera classi caca~o no

nal de um ano lectivo. O desa o e, pois, procurar instrumentos e mecanismos que permitam uma avaliac~ao ampla, abrangente e ao mesmo tempo objectiva, capaz de valorizar o ambiente de aprendizagem e veri car o desenvolvimento do processo de aprendizagem. Uma populaca~o escolar com uma grande variedade de origens socio-culturais exige a diversi cac~ao dos instrumentos e tecnicas de avaliaca~o. So esta diversi caca~o de instrumentos e procedimentos permite avaliar de forma adequada a aprendizagem, as capacidades e as atitudes de uma tal populaca~o. Isto implica o alargamento da \rede" que constitui o processo de avaliaca~o [46]. O trabalho ja desenvolvido pelo Projecto Matematica Ensino (PmatE)1 foi como que o catalisador na procura de um sistema de avaliac~ao e aprendizagem assistidas por computador. Cientes das di culdades e problemas que os alunos apresentam em Matematica, temos como objectivo perceber o porqu^e desta situaca~o e como ultrapassa-la. Na dissertaca~o apresentada procura-se de nir o per l de cada aluno que sera um conjunto de compet^encias que este adquire na sua passagem pelo sistema de ensino. Pretende-se diagnosticar as suas di culdades e mesmo os seus interesses para que aluno e professor colaborem mutuamente na mesma direcc~ao. Estes ambientes de aprendizagem oferecidos ao estudante devem ter em conta a condic~ao socio-economica e cultural dos alunos. Entre outros aspectos, devem ser considerados os nveis de desenvolvimento cognitivos, os conhecimentos previamente construdos pelo aluno, e mesmo, as suas ambic~oes. 1O

Projecto Matematica Ensino (PmatE) e um Projecto de Investigac~ao e Desenvolvimento de

Matematica que interage com escolas de varios graus de ensino.


3

Na dissertac~ao e criado um modulo espec co para o tratamento do tema Primitivaca~o. O modulo esta estruturado por forma a que o aluno evolua na plataforma, ao mesmo tempo que vai sendo conduzido atraves de diferentes objectivos. Pretende-se com esta evoluc~ao desenvolver, sobretudo, o gosto pela Matematica ao permitir que o aluno mostre o seu potencial e habilidades em diferentes momentos da aprendizagem, utilizando um sistema que o informe permanentemente das suas lacunas, de como as podera ultrapassar, onde procurar ajuda, de forma a colmatar frustraco~es e desist^encias. Acreditamos que um ambiente deste tipo possa motivar tanto o aluno como o professor a empenharem-se cada vez mais nos seus papeis.

Estrutura da dissertac~ao A presente dissertaca~o encontra-se dividida em duas partes. Uma primeira parte e dedicada a um tema bem conhecido da maioria dos cursos superiores, a \Primitivac~ao", e numa segunda parte teremos oportunidade de nos dedicarmos por inteiro ao tema \Avaliaca~o e aprendizagem assistidas por computador". Apesar de distintas, cada uma das partes foi elaborada tendo em conta o que se pretendia com a outra. Na verdade, o objectivo principal na elaboraca~o desta dissertac~ao e de facto, e tal como temos vindo a destacar, propor um sistema informatico avaliador do processo ensinoaprendizagem. Ora, sendo a Primitivaca~o um tema usual em diferentes cursos aquando da chegada ao Ensino Superior, ousamos usa-la como exemplo de como poderia ser feita a ja referida avaliac~ao e aprendizagem assistidas por computador dentro deste tema. Desta forma, a parte dedicada a Primitivaca~o dirige-se essencialmente ao aluno, funcionando como uma especie de gui~ao, orientador da sua aprendizagem, apresentado de uma forma simples e breve, esperando que este seja capaz de colmatar as di culdades quando estas surgem durante o processo de aprendizagem. Nesse gui~ao encontram-se dois captulos. O captulo 2 e dedicado a algumas noco~es preliminares consideradas importantes numa primeira analise


4

Introduc~ao

sobre Primitivac~ao. No captulo 3 encontram-se de nico~es, conceitos, teoremas, metodos e muitos exemplos e exerccios propostos. Para que a criaca~o desse gui~ao fosse possvel, a autora desta dissertaca~o teve a preocupac~ao de se colocar no lugar do aluno (relembrando algumas das suas experi^encias tambem como aluna quando enfrentou pela primeira vez este tema) e do professor, como mostram quest~oes que foram surgindo ao longo da escrita. \Como reagira o aluno perante este desa o?" \Como devo abordar esta de nic~ao?" \Como fazer para que este conceito seja adquirido pelo aluno?" No captulo 4 encontra-se uma breve abordagem sobre avaliaca~o e aprendizagem resultante dos muitos textos analisados com atenc~ao e esprito crtico ao longo da elaboraca~o da dissertaca~o apresentada. O captulo 5 e dedicado ao tema \Ensino assistido por computador". Os termos \elearning" e \b-learning" s~ao analisados e confrontados com as suas diferencas. E tambem apresentado um breve texto sobre a evoluca~o das tecnologias dos sistemas de Educaca~o. Este captulo conta ainda com a descrica~o dos resultados obtidos com a utilizaca~o pelo Departamento de Matematica da Universidade de Aveiro, de um arrojado programa de ensino para as disciplinas iniciais de Matematica, Calculo I e Calculo II, no ano lectivo de 2003-2004. No captulo 6 da dissertaca~o e proposta uma nova metodologia de trabalho a adoptar na sala de aula baseada no trabalho ja desenvolvido pelo PmatE. Este captulo dedica-se essencialmente a descric~ao de um sistema informatico de avaliaca~o e aprendizagem idealizado tendo em conta as ideias focadas no primeiro captulo desta segunda parte. Por m e feita uma discuss~ao sobre as principais ideias resultantes.


Parte I Primitivac~ao


6

Atraves de um texto simples e objectivo, pretende-se com esta parte do trabalho apresentar uma alternativa a bibliogra a existente sobre Primitivac~ao. Foi a pensar no aluno, nas suas incertezas, nas suas duvidas, nos erros mais frequentemente cometidos, que o corpo do texto foi sendo construdo. Pretendemos, sobretudo, construir uma especie de gui~ao, aliado do processo ensino-aprendizagem, no tema a que nos propomos explorar. Contudo, n~ao e nossa intenc~ao, de modo algum, substituir os bons manuais ja existentes sobre este tema. Pelo contrario, as presentes notas dever~ao ser encaradas como um gui~ao a ser completado, sempre que possvel, com outras consultas para um maior aprofundamento dos conhecimentos. Como teremos oportunidade de observar, ser~ao apresentadas algumas resoluco~es de exerccios, mas tambem ser~ao propostas outras, assim como varias quest~oes que ir~ao surgindo ao longo da leitura. Com isto, pretende-se criar condico~es para o desenvolvimento das capacidades de raciocnio e de express~ao do aluno, para que assim seja capaz de aplicar devidamente os conhecimentos adquiridos.


Captulo 2 Algumas noc~oes preliminares Antes de entrarmos no campo propriamente dito da Primitivac~ao, convem ter em conta algumas noco~es que ser~ao mais tarde importantes para a consolidac~ao de conhecimentos. Note-se que daremos apenas uma breve descric~ao dessas noco~es, cando a cargo do leitor a procura de outros materiais mais extensos se assim o entender.

2.1 De nic~ao de derivada Regras de derivac~ao Antes da chegada ao Ensino Superior os alunos tiveram oportunidade de explorar exaustivamente este tema. Recorde-se que antes do conceito de derivada recebe-se em primeira m~ao a noca~o de declive de recta tangente a curva que representa o gra co de f num ponto (x; f (x)) e de taxa de variaca~o. Em qualquer manual do secundario encontram-se explicaco~es para determinar o declive da recta tangente a uma curva num determinado ponto P. N~ao iremos apresenta-las nesta dissertaca~o, pois poderamos cair no risco de nos estendermos em demasia neste tema, mas aconselhamos vivamente uma leitura de revis~ao por esses manuais se o leitor assim o entender. Sugerimos [1] (paginas 88 a 108). No entanto, e importante que que registada nesta apresentac~ao a de nica~o de derivada:


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Algumas noc~oes preliminares

De nic~ao 2.1.1 Sejam f : D  R ! R e a 2 D. Se a e ponto de acumulaca~o de D e

lim f (xx)

x! a

f (a) a

existe e e nito, este limite e a derivada da funca~o f no ponto a e denota-se por f 0 (a) (l^e-se \f linha de a"). Sendo assim, diz-se que f e derivavel (ou diferenciavel) no ponto a. [3]

Resulta, ent~ao, que a derivada da funca~o f no ponto a coincide com o declive da recta tangente ao gra co de f no ponto a. [3] Sejam f : D ! R e D  D o conjunto formado por todos os pontos em que f e derivavel. Fica ent~ao de nida uma func~ao f 0 de domnio Df 0 = D, dita funca~o derivada de f , que a cada ponto x 2 D associa um valor f 0 (x): f 0 : D  D

!R x ! f 0 (x)

dy df Em varios textos encontram-se tambem as notaco~es y0, dx ou dx para funca~o derivada de f . Por vezes, D pode n~ao coincidir com D, como mostra o seguinte exemplo:

Exemplo 2.1.1 Seja

: R+0 ! R p x ! x 1 Pela de nica~o de derivada tem-se que f 0 (x) = p (veri que), logo 2 x f 0 : R+ ! R 1 x ! p 2 x f

Note-se que, pela de nica~o de derivada, tambem temos que f (x + h) f (x) f 0 (x) = lim h!0

h

Trata-se de uma outra formulac~ao que se utiliza frequentemente (por vezes mais comoda no calculo de derivadas), procedendo-se a mudanca de variavel h = x a.


2.2 Noc~ao de diferencial

9

Atraves da de nic~ao de derivada demonstram-se as regras de derivaca~o que nos habituamos a utilizar. Essas regras de derivac~ao s~ao apresentadas em anexo (anexo 1) Como n~ao pretendemos alongar-nos muito nesta exposic~ao sobre derivadas, disponibilizamos um modulo sobre derivadas em [3], ja referenciada, onde os leitor pode testar os seus conhecimentos, tendo o cuidado de \apostar" na resoluc~ao dos exerccios propostos, ja que assim podera mais facilmente dissipar duvidas e lacunas neste tema.

2.2 Noc~ao de diferencial A noca~o de diferencial ser-nos-a util quando introduzirmos, mais tarde, determinadas notaco~es utilizadas no tema a que nos propusemos explorar, pelo que se torna importante ter a devida atenca~o para com esta noca~o. Considere-se, ent~ao, a seguinte gura onde esta representado o gra co de uma funca~o real de variavel real, Gr(f ) = f(x; y) 2 R2 : x 2 Df ^ y = f (x)g, diferenciavel no seu domnio e, sobre o gra co um ponto P, de coordenadas (x0; f (x0)).

Figura 2.1:


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Algumas noco~es preliminares Legenda:

P

= (x0; f (x0)) 2 Gr(f )

Q = (x0 + x; f (x0 + x)) 2 Gr(f ) R = (x0 + x; f 0 (x0 )y) 2 t S = (x0 + x; f (x0 ))

E usual chamar-se acrescimo da func~ao f , correspondente ao acrescimo x da variavel x (dado a partir do ponto x0 ), a diferenca f (x0 + x) f (x0 ), tambem denominada por diferenca nita de f , no ponto x0 e em relaca~o ao acrescimo x. Designemos essa diferenca por y, ou seja, y = f (x0 + x) f (x0) Supondo que f e diferenciavel e x0 e nita, chama-se tangente ao gra co de f no ponto P = (x0 ; f (x0 )) 2 Gr(f ) a recta que passa por este ponto e tem declive igual a f 0 (x0 ), isto e t:y

y0 = f 0 (x0 )(x x0 )

Do acrescimo x, resulta sobre a tangente t um acrescimo, dy, na ordenada dado por dy = y

y0 = f 0 (x0 )x

Repare-se que dizer que sendo f contnua no ponto x0 tem-se que limx!0 y = 0 e dizer que f e diferenciavel no mesmo ponto e o mesmo que a rmar que existe e e nito o limite, quando x tende para zero, de xy . Note-se, tambem, que o declive da recta secante que passa por P e Q e dada pela express~ao f (x0 + x) f (x0 ) x

= xy

Observemos, ent~ao, que quando f e diferenciavel no ponto x0, a funca~o y e um in nitesimo, quando x tende para zero; com efeito:

f 0 (x0 )x


2.2 Noc~ao de diferencial

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y dy = lim y f (x0)x lim  x !0  x !0  x x 0

y = lim x !0  x

dy dx

f (x0 + x) = lim x !0 x

f (x0 )

f 0 (x0 )

= 0 Intuitivamente isto signi ca que para pequenos valores de jxj o produto f 0(x0)x = dy e a diferenca nita f (x0 + x) f (x0) = y t^em valores muito proximos. Habitualmente, o acrescimo da variavel x e designado pelo smbolo dx. O uso deste smbolo para o efeito indicado (embora, no passado, tivesse estado frequentemente ligado a muitas confus~oes e obscuridades) tem a apreciavel vantagem de facultar uma notaca~o particularmente sugestiva e maleavel [5]. Recorrendo ent~ao a este nova simbologia, pode escrever-se: dy = f 0 (x)dx

donde se deduz (supondo dx 6= 0): dy dx

= f 0(x) A dy da-se habitualmente a designaca~o de diferencial de f no ponto x0, em relaca~o ao acrescimo dx.


Captulo 3 Primitivas Numa primeira abordagem a este tema, a palavra primitiva, num contexto matematico, pouco ou nada nos dira. No entanto, pouco a pouco, tomaremos consci^encia que de certa forma, aquilo que este tema acarreta n~ao nos e totalmente desconhecido, sen~ao vejamos: No secundario era usual assistirmos a problemas do tipo: dada uma funca~of , determinar a sua derivada f 0 ; agora estaremos mais direccionados para problemas relacionados com: dada uma funca~o f determinar uma funca~o F , tal que F 0 = f . Exemplo 3.0.1 Seja f : R ! R dada por f (x) = 5. Pensemos tambem que existe uma funca~o F , tal que F 0 (x) = f (x) 8x 2 R. Qual sera ent~ao F (x)? Pelas regras de derivaca~o sabe-se que (5x)0 = 5, logo F (x) = 5x. Mas sera a unica? Se pensarmos bem, F (x) = 5x +3 ou F (x) = 5x 14 , ja que derivando todas estas funco~es o resultado sera sempre igual a f (x) = 5. Qual sera ent~ao a funca~o a escolher? E tambem notoria a relaca~o que existe neste tipo de problemas com a derivaca~o. Mas, ate que ponto esta de nida essa relaca~o? Sera que para qualquer funca~o f sera sempre possvel obter F ?

As quest~oes que aqui surgiram ter~ao as suas respostas ao longo das secco~es que se seguem.


3.1 De nic~ao de Primitiva

13

3.1 De nic~ao de Primitiva Interessa-nos neste momento saber exactamente o que e uma primitiva, qual a melhor forma de a de nir. De nic~ao 3.1.1 [4] Seja f : I  R diz-se uma primitiva de f em I se

! R.

Uma funca~o F

F 0 (x) = f (x)

: I  R ! R derivavel em I

8x 2 I

(I designa um intervalo de numeros reais n~ao degenerado, isto e, com mais do que um ponto).

Nestas condic~oes diz-se que f e primitivavel em I . Vejamos alguns exemplos simples de primitivas de uma func~ao f num dado intervalo de numeros reais, I . Exemplo 3.1.1 Dada uma funca~o f , primitivar f (x) e encontrar uma funca~o F : I ! R cuja derivada e f . Exercitemos esse processo com os exemplos da tabela que se segue (complete a tabela).

Func~ao

Primitiva

( )=3

F x

( )=x

F x

f x f x

( ) = x2

f x

( )=

f x

p 3

x

3 ( ) = x3

R R R

( ) =?

?

( ) =?

?

( ) = 3x + C 2 ( ) = x2 + C F x

F x

( ) = sin x

F x

( ) = sec2 x

F x

( ) = 2x

F x

f x f x

f x

Intervalo

( ) =? ( ) =?

]

; [ 2 2

?


14

Primitivas

3.1.1 Quando existe, a primitiva e unica?

Um dos problemas ja apontado e a quest~ao da unicidade de primitiva de uma func~ao. O exemplo (3.0.1) mostrou-nos que e possvel obter varias primitivas para uma mesma funca~o, bastando para isso adicionar a F uma constante.Vejamos mais um exemplo: Exemplo 3.1.2 Considere-se f (x) = cos x

8x 2 R.

p F1 (x) = sin x; F2 (x) = sin x + 3; F3 (x) = sin x + 32 s~ao primitivas de f porque

F10 = F20 = F30 = f

Sera que todas as primitivas de uma dada func~ao diferem entre si de uma constante? O seguinte teorema da-nos uma resposta para esta quest~ao. Teorema 3.1.1 [17] Seja f : I  R ! R. Sejam ainda F; G : I ! R duas primitivas de f . Ent~ao existe C 2 R tal que G(x) = F (x) + C 8x 2 R

Demonstraca~o: 8x 2 I G0(x) F 0(x) = f (x) f (x) = 0 Chamando H = G F temos ent~ao que para todo o x 2 D : H 0(x) = 0. Sejam a e b dois pontos quaisquer de D. Ent~ao (pelo teorema do valor medio)1 existe c entre a e b tal que: H (b) H (a) = H 0 (c)(b a) = 0 Note-se que H 0(0) = 0 pois c 2 I . Portanto H (b) = H (a) para todo a; b em I . 1 Recordemos

esse Teorema e respectivo corolario:

Teorema de Lagrange (ou teorema do valor medio):Seja f um func~ao contnua no intervalo [a; b] (a,b

R;

a < b) e diferenciavel em ]a; b[. Ent~ao existe c 2]a; b[ tal que f 0 (c) =

f (b) b

f (a) : a

Corolario: Se f e g s~ao func~oes diferenciaveis num intervalo I e se f 0 (x) = g 0 (x); constante em I

2

8x 2 I , ent~ao a diferenca f

g e


3.1 De nic~ao de Primitiva

15

Isto e, H e constante em I . Portanto, existe C 2 R tal que: H (x) = C;

8x 2 D

Isto equivale a dizer que existe C 2 R tal que: G(x) = F (x) + C;

8x 2 I 2

Atraves deste teorema podemos concluir que se F e uma primitiva de f , num intervalo I , ent~ao toda a primitiva de f se pode escrever na forma F + C , C 2 R. 3.1.2 Sera que existe sempre?

Atente-se ao seguinte resultado:  Toda a func~ao contnua em I tem primitiva nesse intervalo2

Observe-se, porem, que a primitiva pode ser ou n~ao expressa por meio de func~oes elementares- funco~es que podem obter-se mediante um numero nito de operac~oes de adica~o, multiplicaca~o, divis~ao e composic~ao, efectuadas a partir de funco~es racionais, exponenciais, logartmicas e trigonometricas, directas ou inversas. Acontece, ent~ao, que muitas funco~es elementares t^em primitivas que o n~ao s~ao, n~ao podendo, portanto, calcular-se por tecnicas/metodos de primitivaca~o que falaremos de seguida (por exemplo, perante func~oes como sin x ; e x2 ; 1 x ln x devemos ter sempre presente esta limitaca~o). Convem no entanto salientar que nada disto signi ca que seja pouco importante o conhecimento dos metodos e tecnicas de primitivaca~o que ser~ao descritos neste gui~ao. Na realidade, 2 Optou-se

por n~ao se explorar a demonstrac~ao deste resultado no gui~ao que aqui apresentamos, uma vez

que requer alguns conhecimentos de calculo integral que o aluno podera n~ao estar familiarizado nesta etapa da aprendizagem. Alias, a demonstrac~ao deste resultado encontra-se disponvel nos mais variados \cadernos" dedicados ao calculo integral. Aconselhamos a refer^encia [6] que nos parece ser de facil leitura e compreens~ao para posterior consulta


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Primitivas

uma relativa facilidade no seu manejo e sem duvida uma das facetas indispensaveis numa preparaca~o matematica normal a este nvel e, alem disso, os metodos de primitivaca~o de maior utilidade correspondem efectivamente a teoremas importantes que, em termos teoricos, s~ao aplicaveis- e s~ao muitas vezes aplicados- n~ao apenas as func~oes elementares, mas a quaisquer outras funco~es que veri quem as condico~es requeridas nas hipoteses correspondentes [5]. Ha, tambem a ter em atenca~o que ha funco~es que n~ao s~ao primitivaveis. Vejamos um exemplo: Exemplo 3.1.3 A seguinte funca~o, conhecida como funca~o de Heaviside, n~ao e primitivavel em R.

H (x) =

8 <

1 : 0

se x  0 se x < 0

Suponhamos, por reduca~o ao absurdo, que F e uma primitiva de H em R, ent~ao,

F 0 (x) = H (x); 8x 2 R. Em R , F (x) = C1 , porque H (x) = 0, isto e, F 0 (x) = 0 3 . Por outro lado, em R+ , F (x) = x + C2 , porque H (x) = 1. Portanto, F ( x) =

8 < :

x + C1 se x > 0 C2 se x < 0

Mas para que F seja primitiva de H , F 0 (x) = H (x);

8x 2 R.

Ora, em x = 0 a funca~o

F tem que ser contnua para admitir derivada.Vejamos, ent~ao que: F (x) = C2 = F (0) lim F (x) = C1 = xlim !0

x!0+

Ent~ao

F ( x) =

8 < :

x + C1 se x  0 C1 se x < 0

Mas sera que F 0 (0) = H (0)? Ou seja, sera que a seguinte igualdade veri ca-se?

F (x) F (0) lim = 1 = H (0) x !0 x 0 3 Relembre-se

que se F e diferenciavel num intervalo e F'=0 nesse intervalo, ent~ao F e constante


3.1 De nic~ao de Primitiva

17

Calculemos a derivada de F em x = 0:

F 0 (0

Ou seja, F 0 (0

) = xlim !0

C1

x

C1

=0

e F 0 (0+ ) =

x + C1 lim + x !0 x

C1

=1

) 6= F 0(0+), logo n~ao existe F 0(0).

Portanto, H n~ao e primitivavel em qualquer intervalo que contenha o zero no seu interior. No entanto, H e primitivavel em

] 1; 0[ e em [0; +1[

3.1.3 Quest~oes de notac~ao

Para denotar a famlia de todas as primitivas de f , num dado intervalo I , iremos usar a express~ao Z f (x)dx (3.1) Sendo ent~ao F uma primitiva de f 4, num intervalo I , escreveremos Z

f (x)dx = F (x) + C; C 2 R

Atente-se para o facto de so se considerar a primitiva de uma func~ao de nida num intervalo. So neste caso e verdadeiramente relevante e o que se ganha em termos de facilidade na exposica~o supera claramente o que se perde em termos de generalidade [6]. Vejamos os seguinte exemplo: Exemplo 3.1.4 Podemos cair na tentaca~o em considerar

(ln x)0 = x1 .

Mas tal resultado e falso se for x < 0, pois ent~ao

1 entanto mesmo nesse caso existe primitiva para .

Z

1 = ln x + C;

x

C

2 R, ja que

ln(x) n~ao tem exist^encia real, e, no

x

4 Por

de f

vezes, apenas por simpli cac~ao de escrita, utilizaremos a notac~ao P (f ) para indicar uma primitiva


18

Primitivas No entanto, atendendo a que

dizer que

Z

(ln jxj)0 =

1 (como facilmente se prova), ent~ao podemos

x

1 = ln jxj + C; C 2 R; x =6 0 x

representa a famlia de todas as primitivas de x1 em I

 R+ ou em I  R

e n~ao em R nf0g.

De facto, repare que [4] dada uma funca~o h tal que

p ln x + 5 se x > 0 h(x) = : ln( x)  se x < 0 8 <

se tem h0 (x) = x1 ; 8x 2 R n f0g Note-se que a primitiva de uma funca~o f foi de nida num intervalo I subconjunto qualquer de R, como por exemplo a reuni~ao de intervalos.

 Df

e n~ao num

Sempre que considerarmos a primitiva de uma funca~o apenas deveremos ter em conta que os resultados s~ao validos num intervalo contido no domnio da funca~o. Sempre que necessario esse intervalo sera explicitado. Parece-nos pertinente, nesta altura, abordar a \estranheza" da presenca do ja nosso conhecido factor dx na express~ao (3.1). De facto, a partcula dx n~ao tem nenhum signi cado particular, servindo apenas para indicar qual a variavel independente em causa no processo, n~ao sendo ent~ao um factor \mudo", como pode ilustrar-se pelo seguinte exemplo: Exemplo 3.1.5 Considerem-se as primitivas I1 =

Z

xy dx e I2 =

Z

xy dy.

No primeiro caso estamos a procurar as primitivas da funca~o f (x)

=

xy (y e um

par^ametro) e no segundo caso as primitivas da funca~o g (y ) = xy (x e um par^ametro).


3.1 De nic~ao de Primitiva

19

Ou seja, em I1 onde a variavel independente em causa e x, pretende-se ent~ao descobrir F , tal que F 0 (x) = f (x); 8x 2 I . Assim, F (x) =

x2

2 y + C;

C 2 R (encara-se y como sendo uma \constante"), ou seja I1 =

Z

xy =

x2

2 y + C;

C2R

Relativamente a I2 , teremos que encontrar G, tal que G0 (y ) = g (y ). Ent~ao G0 (y ) seja

2

= x y2 + C

C

2 R (encara-se agora x como sendo uma \constante"), ou

I2 =

Z

xydx = x

y2

2 +C C 2R Como vemos, os resultados podem variar quando alteramos dx para dy.

Ent~ao, se escrev^essemos simplesmente R xy n~ao saberamos por qual dos resultados optar, o processo de calculo caria bloqueado. 3.1.4 Relac~ao entre Derivac~ao e Primitivac~ao

Neste momento ja nos apercebemos da relac~ao que existe entre Derivaca~o e Primitivac~ao. De facto, parece-nos que a Primitivaca~o funciona como que \operac~ao" inversa da Derivac~ao. Mas ate que ponto podemos a rmar que tal a rmaca~o e totalmente correcta? O seguinte exemplo podera elucidar-nos sobre este aspecto. Exemplo 3.1.6 Seja f (x) = sin x. Uma primitiva de f podera ser F (x) = F 0 (x) = sin x.

cos x, ja que

Contudo, e como vimos, F n~ao e a unica primitiva de f . Na verdade, o conjunto das primitivas de f sera qualquer funca~o do tipo F

+ C , em que C e uma constante.

N~ao podemos portanto, dizer que a Derivaca~o e a Primitivaca~o s~ao \operaco~es inversas" no mesmo sentido que o dizemos por exemplo para a multiplicaca~o e a divis~ao, na medida


20

Primitivas

em que a Derivaca~o de uma funca~o conduz a uma outra funca~o, mas a Primitivaca~o conduz a uma famlia de funco~es. No entanto aceita-se que se diga que primitivar e um processo inverso de derivar numa breve e sucinta forma de apresentar um raciocnio facil para a obtenca~o de primitivas, como alias ja o zemos.

3.2 Primitivas Imediatas; Primitivas \quase" imediatas Vamos agora distinguir dois tipos de primitivas, as imediatas e as \quase" imediatas. Dissemos distinguir, mas n~ao queremos com isso dizer que s~ao distintas ou que n~ao ha nenhuma ligac~ao entre elas. Muito pelo contrario, como teremos oportunidade de concluir com a apresentac~ao que se segue. 3.2.1 Primitivas imediatas

As primitivas imediatas s~ao as consideradas mais simples por resultarem da identi caca~o imediata de uma func~ao como derivada. Alias, estas ja n~ao nos s~ao estranhas, uma vez que as temos vindo a estudar nos mais diversos exemplos e exerccios ate ao momento. De facto, a consulta de uma tabela de derivaca~o \da direita para a esquerda" permite-nos determinar as primitivas das funco~es resultantes da derivaca~o. Por exemplo, [17] a partir de f ( x) = x n

! f 0(x) = nxn

1 n 2 N; n  1

facilmente se conclui que: g(x) =

xm

Z

m+1

! G(x) = g(x)dx = mx + 1 + C; m 2 R n f 1g; C 2 R


3.2 Primitivas Imediatas; Primitivas \quase" imediatas

Como ja tivemos oportunidade de observar  x3 0 + C = x2 , 8x 2 R. 3

Z

x2 dx =

21

x3

3 + C; C 2 R, porque

No anexo 2, encontra-se uma tabela de primitivas imediatas, facilmente detectaveis. Alias, algumas delas ja foram por nos utilizadas. Propriedades das Primitivas

Convem conhecer ainda as propriedades das primitivas que nos poder~ao ajudar em futuros calculos: Proposic~ao 3.2.1 [4]Sejam F e G primitivas de f e g, respectivamente, isto e, F 0 = f e G0 = g 1. Se 2 R, e uma constante, F e uma primitiva de f ; 2. F

+ G e uma primitiva de f + g;

3. Generalizando, F + G e uma primitiva de f + g , quaisquer que sejam e

(Lineariedade da Primitivaca~o)

Demonstraca~o: Tem-se ( F + G)0 = F 0 + G0 = f + g donde

P ( f + g) = P (( F + G)0 ) = F + G = P (f ) + P (g)

Na notac~ao anteriormente introduzida, temos respectivamente: 1.

Z Z

f (x)dx =

Z

f (x)dx

2. (f (x) + g(x))dx =

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx

2

2R


22

Primitivas Z

3. ( f (x) + g(x))dx =

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx

Exemplo 3.2.1 Z

(2 + 7x + x3)dx

= =

Z

Z

2dx + 7xdx +

Z

2dx + 7 2

Z

Z

xdx + 4

= 2x + 7 x2 + x4 + C;

x3 dx (P ropriedade 2)

Z

x3 dx (P ropriedade 1) C2R

Como e obvio, n~ao sera sempre \obrigatorio" demonstrar as propriedades das primitivas utilizadas, basta t^e-las em mente. Com a experi^encia os resultados aparecer~ao rapidamente. Exemplo 3.2.2 Considere-se

Z

(x 1)2 + q 3 x2 x

1 4

p ! 4 dx.

x x

Para determinar esta famlia de primitivas, convem relembrar que:

p  am = a (a  0; n; m 2 Z) n

m n

 an:am = an+m (a; n; m 2 R)  n    ab = ab

Ent~ao:

n

(a 2 R; b 2 R n f0g; n 2 R) p1x = 112 = x 12 x p 1 3 x x = x:x 2 = x 2

Repare-se tambem em algo que n~ao nos e de todo desconhecido

(x 1)2 = x2 2x + 1


3.2 Primitivas Imediatas; Primitivas \quase" imediatas

23

Considerando todas estas sugest~oes, mostre que Z

(x 1)2 + q 3 x2 x

1 4

r p ! 1 1 1 p x5 dx = x 2 ln jxj + 6 x 4 x 4 10

x x

Tenha sempre presente a de nica~o de primitiva, suas propriedades e como auxiliar (se necessario) a tabela das primitivas imediatas em anexo.

Sugerem-se ainda os seguintes exerccios: Exerccios Propostos

1. (2x3 3 sin x + 5px)dx Z

2. 3. 4. 5.

Z  Z Z Z

1 + p4 + 2dx x2 x x

x3 + 5 x2 x2

4 dx

2a2x6dx (a 2 R) p1x dx; n 2 f2; 3; 4; 5; :::g n

Import^ancia da constante

Ja vimos que a presenca da constante C 2 R na express~ao R f (x)dx = F (x) + C , n~ao e em v~ao, como tivemos oportunidade de descobrir em secc~oes anteriores. Interessa-nos agora mostrar como por vezes e tambem importante conhecer um valor particular para C . p

Exemplo 3.2.3 [9] Calculemos f , sabendo que f 0 (x) = x x e f (1) = 2. Comecemos por calcular as primitivas F de f 0 , pois na verdade, f e uma dessas funco~es.


24

Primitivas

2 5

5

F (x) = x 2 + C; C 2 R (V erifique!) Mas,

f (1) = 2 ,

2 5 + 8. 5 5

2 +C =2,C = 8 5 5

portanto, f (x) = x 2

Exerccios Propostos

1. Pretende-se calcular f sabendo que f 00(x) = 12x2 + 6x 4, f (0) = 4 e f (1) = 5. A func~ao f pertence ao conjunto das func~oes F tais que F 0 (x) = 4x3 + 3x2

4x + C

Qual a express~ao de F (x)? Qual e ent~ao a express~ao de f (x)? Adaptado de [9] 2.

Problema: Se a taxa de crescimento da populac~ao de uma cidade e dada como func~ao do tempo x (em anos) por f (x) = 117 + 200x

e actualmente existem 1000 pessoas na cidade, qual sera o numero total de habitantes da cidade daqui a 5 anos? Adaptado de [4] Sugest~ao: A taxa de crescimento e a derivada, P 0 (x) = f (x). Podemos obter a funca~o

P primitivando f . Pense no signi cado de P no contexto do problema.


3.2 Primitivas Imediatas; Primitivas \quase" imediatas

25

3.2.2 Primitivas \quase" imediatas

As chamadas primitivas \quase" imediatas s~ao como que uma vers~ao mais geral das primitivas imediatas. Por mais extensas que sejam as tabelas de primitivas imediatas utilizadas, na maioria das vezes acontece que o processo a desenvolver n~ao esta directamente expresso nessas tabelas por uma formula aplicavel ao caso pretendido. E, ent~ao, decide-se, erradamente, que a primitiva em causa n~ao e do tipo imediato, e envereda-se por caminhos que por vezes mostram-se muito complicados. Como agir, ent~ao? Considere-se o seguinte teorema: Teorema 3.2.1 [4] Sejam f : I  R ! R uma funca~o primitivavel e g : J funca~o tal que g (J )  I (I , J intervalos)

 R ! R uma

Se g e derivavel em J ent~ao (f  g ):g 0 e primitivavel e Z

f (g(x))g0 (x)dx = F (g(x)) + C; C 2 R

em que F e uma primitiva de f .

Demonstraca~o: Por de nica~o de primitiva e atendendo a regra de derivaca~o da funca~o composta, basta derivar o 2o membro desta igualdade e veri car que se obtem f (g (x))g 0 (x).

2

Este teorema ajuda-nos a perceber o raciocnio utilizado no seguinte exemplo: Exemplo 3.2.4 Consideremos a funca~o f (x) = sin(3x2

1).


26

Primitivas Pela regra da derivaca~o da funca~o composta, tem-se:

f 0 (x) = (3x2 Assim,

1)0 sin0(3x2 1) = 6x cos(3x2 1)

Z

6x cos(3x2 1)dx = sin(3x2 1) + C; C 2 R Neste caso f (g (x)) = cos(3x2 1); g (x) = 3x2 1 e g 0 (x) = 6x. Mas imaginemos que se pretendia descobrir a seguinte famlia de primitivas: Z

x cos(3x2

1)dx 1) e g(x) = 3x2 1, mas n~ao temos g0(x) = 6x,

Neste caso tambem f (g (x)) = cos(3x2

mas sim a funca~o h(x) = x. Como fazer?

Atraves da multiplicaca~o e divis~ao da funca~o a primitivar por constantes adequadas conseguimos obter uma funca~o que nos permita aplicar o teorema acima enunciado. Vejamos ent~ao como fazer para o exemplo que estamos a considerar: Temos

Z

x cos(3x2 Z

Z

1)dx, mas da mais \jeito" ter 6x cos(3x2 1)dx, ent~ao,

x cos(3x2

1)dx =

Z

= 16

1  6 x cos(3x2 1)dx 6 Z

6 x cos(3x2 1)dx (lineariedade)

= 16 sin(3x2 1) + C; C 2 R Atraves deste exemplo, conclui-se que, no geral, e atendendo uma vez mais ao teorema dado, tem-se : Z g0 (x) cos(g(x))dx = sin(g(x)) + C; C 2 R (3.2)


3.2 Primitivas Imediatas; Primitivas \quase" imediatas

27

admitindo que g e uma funca~o derivavel e que a composta de funco~es considerada esta de nida num intervalo. Repare-se que ja tnhamos conhecimento que Z

cos(x)dx = sin(x) + C; C 2 R

A express~ao (3.2) n~ao e mais do que uma generalizac~ao desta. Esta e uma situaca~o que iremos veri car constantemente quando trabalhamos com primitivas \quase" imediatas. Exemplo 3.2.5 Pretende-se calcular Z

x2 1 x3 dx

Vamos ter de \alterar" a funca~o a primitivar, Z para conseguir algo que conhecamos. 1 dx = ln jxj + C; C 2 R (x0 = 1). Repare-se que (1 x3 )0 = 3x2 . Sabe-se que

x

Sera que estamos perante uma generalizaca~o desta primitiva imediata? Das regras de derivaca~o tambem se tem que

ln jg(x)j =

teorema (3.2.1) conclui-se que Z

Fazendo g (x) = 1

g0 (x) dx = ln jg(x)j + C; C 2 R g(x)

x3 temos que g0 (x) =

Observaca~o: Este resultado e valido em ]

contido num deles.5

Z

g 0 ( x) . Considerando ent~ao o g(x)

3 x2 . 1; 1[, em ]1; +1[ ou em qualquer subintervalo

Mas, estamos novamente num impasse ja que a express~ao que pretendemos calcular e Z 2 2 x 3x dx. Mas, como ja vimos, basta-nos multiplicar e dividir a funca~o 3 dx e n~ao 3

1

x

1

x

a primitivar por constantes convenientes. 5 Note-se

que g (x) < 0 se x > 1 e g (x) > 0 se x < 1.


28

Primitivas Assim, Z

x2 1 x3 dx

= =

1 Z 3x2 dx 3 1 x3 1 ln j1 x3j + C; C 2 R 3

No anexo 3 encontra-se uma lista das primitivas \quase imediatas". Veja-se com atenc~ao, e necessario aprender como funciona cada um dos elementos presentes na tabela. As decis~oes a tomar tornar-se-~ao mais faceis na procura de famlias de primitivas. Exemplo 3.2.6 Vejamos como, por vezes, conhecendo bem as primitivas \quase" imediatas os resultados surgem num apice.

 

Z

2x dx = ln(1 + x2) + C; C 2 R (Veri que!) 1 + x2

Z 

1 : ln(x)dx = (ln(x))2 + C; C 2 R (x > 0) x 2 ln(x) = (ln(x))1; (ln(x))0 = x1 . A primitiva \quase" imediata considerada g(x)n+1 g0 (x)g(x)n dx = + C (n 2 R n f 1g); C 2 R , neste caso g(x) = ln(x). n+1

Repare que foi



Z

Z

1 dx = ln j ln(x)j + C; C 2 R (resultado valido em ]0; 1[ ou ]1; +1[)(Veri que!) x ln(x)

Exerccios Propostos

1. Determine: Z

(a) (2xex2 )dx


3.2 Primitivas Imediatas; Primitivas \quase" imediatas

(b)

Z 

2



p x 3 dx 1 x

Sugest~ao: Note que

(c) (d)

29

2

p x 3 = x2(1 x3) 1 x

Z

p px +1 xpx earctan( x)dx =

Z

1 dx 4 + 9x2

Sugest~ao: Note que

1 2 . Identi que agora

g e g0.

  2  4 + 9x2 = 4 1 + 32x . r

Z

 2. Mostre que a +1bx2 dx = p1 arctan ab

b  x + C; C 2 R a

Recordar as formulas trigonometricas

Estudemos com atenc~ao o seguinte exemplo: Exemplo 3.2.7 Considere-se

Z

sin2(x)dx.

N~ao nos parece ser imediata a obtenca~o da famlia de primitivas. Temos, ent~ao de \alterar" a funca~o a primitivar. Do ensino secundario sabe-se que

u) sin2(u) = 1 cos(2 8u 2 R. 2

Assim, Z

sin2(x)dx

Z

1 cos(2x) dx 2 Z = 12 (1 cos(2x))dx   = 12 x 21 sin(2x) + C = 12 x 41 sin(2x) + C =


30

Primitivas

Este exemplo mostra como atraves do conhecimento de formulas trigonometricas se podem reduzir primitivas aparentemente complicadas a primitivas de calculo imediato. Sugere-se pois a revis~ao destas formulas. Segue-se a respectiva lista em anexo (anexo 4). Z

Exemplo 3.2.8 Pretende-se descobrir a famlia de primitivas I =

sin(7x) sin(5x)dx

O aspecto da funca~o a primitivar sugere a aplicaca~o da formula

sin(u) sin(v) = 12 [cos(u

v)

cos(u + v)]

Mostre, ent~ao que: Z

Vejamos no geral:

sin(7x) sin(5x)dx = 241 sin(12x) 14 sin(2x)

Exemplo 3.2.9 Considere-se

Z

sin(nx) sin(mx)dx (n2 6= m2).

Tendo em conta que:

 sin(nx) sin(mx) = 12 cos((n

ent~ao, teremos Z

sin(nx) sin(mx)dx

Exerccios Propostos

m)x)



cos((n + m)x)

Z  Z 1 = 2 cos((n m)x)dx cos((n + m)x)dx   sin(( n m)x) sin((n + m)x) 1 = 2 + C; C 2 R n m n+m

Recorrendo as formulas trigonometricas em anexo: 1. Mostre que  Z 1 cos(nx) cos(mx)dx = 2 sin((nn++mm)x) + sin((nn

2. Mostre que  Z 1 sin(nx) cos(mx)dx = 2 cos((nn++mm)x) + sin((nn

m)x) m



m)x) m

+ C;



+ C;

C 2 R (n 6= m) C 2 R (n 6= m)


3.2 Primitivas Imediatas; Primitivas \quase" imediatas

31

Pot^encias de func~oes trigonometricas Z

Express~oes do tipo sinm(x) cosn(x)dx; m; n; inteiros positivos levantam muitas duvidas e confus~oes aquando da sua resoluca~o. Mas, com o \background" ja adquirido ate este momento os raciocnios a utilizar tornam-se mais faceis. Z Exemplo 3.2.10 Pretende-se calcular sin5 x cos2 xdx Comecemos por decompor a funca~o trigonometrica com expoente mpar. Z

sin5 x cos2 xdx

= = = = = = =

Z

Z

Z

Z

Z

Z

sin x: sin4 x: cos2 xdx sin x(1 cos2 x)2 cos2 xdx

(Relembre-se que

sin x(1 2 cos2 x + cos4 x) cos2 xdx

(Desenvolvimento de

(1 cos2 x)2)

sin x(cos2 x 2 cos4 x + cos6 x)dx (sin x cos2 x 2 sin x cos4 x + sin x cos6 x)dx sin x cos2 xdx 

Z

2 sin x cos4 xdx +

cos3 x 2 cos5 x + cos7 x  + C 3 5 7

= 13 cos3 x + 25 cos5 x 71 cos7 x + C; Um pouco trabalhoso, mas n~ao muito difcil. Z

sin2 x = 1 cos2 x)

No geral, para sinm(x) cosn(x)dx; casos:

Z

sin x cos6 xdx

(Porqu^e? Veri que!)

C2R

m; n; inteiros positivos podemos ter os seguintes


32

Primitivas

(i)

Suponhamos que m e mpar (n~ao necessariamente o maior), isto e, da forma m = 2k +1 (caso explorado no exemplo anterior). Ent~ao I=

Z

sin(x)(sin2(x))k cosn(x)dx =

Z

sin(x)(1 cos2(x))k cosn(x)dx

Desenvolvendo, agora, o binomio (1 cos2(x))k , camos com uma soma de primitivas Z imediatas do tipo g0(x)(g(x))ndx. Se for n mpar procederamos de modo analogo, obtendo um factor da forma

(ii)

cos(x)(1 sin2(x))k (iii)

Se ambos os expoentes forem mpares, qualquer dos processos e profcuo, mas e recomendavel decompor a func~ao trigonometrica com menor expoente.

(iv)

Se ambos os expoentes forem pares sugere-se que se comece por p^or em evid^encia a maior pot^encia possvel de (sin(x) cos(x)) e, seguidamente, aplicar adequadas formulas trigonometricas apresentadas no anexo 4.

Exemplo 3.2.11 Pretende-se conhecer

Z

Z

sin2(x) cos9(x)dx

Tem-se, aplicando o metodo exposto:

sin2(x) cos9(x)dx

= =

Z

Z

cos(x)(1 sin2(x))4 sin2(x)dx cos(x)(1 4 sin2(x) + 6 sin4(x) 4 sin6(x) + sin8(x)) sin2(x)dx

Continue a resoluca~o 6 e veri que que Z

sin2(x) cos9(x)dx = 31 sin3(x) 45 sin5(x)+ 76 sin7(x) 49 sin9(x)+ 111 sin11(x)+ C;

6 Relembre

como se desenvolve (a  b)n ; (n 2 N)

C2R


3.3 Metodos de Primitivac~ao

33

Exerccio Proposto

Utilizando o metodo exposto, mostre que Z sin2(x) cos4(x)dx = 161 x 641 sin(4x) + 481 sin3(x) + C;

C2R

Considere agora o seguinte exemplo. Esteja bem atento a todos os passos seguidos.7 Exemplo 3.2.12 Pretende-se calcular T

= = =

Z Z Z

Z

tan2 x sec8 xdx

tan2 x(1 + tan2 x)3 sec2 xdx sec2 x tan2 x(1 + 3 tan2 x + 3 tan4 x + tan6 x)dx

sec2 x(tan2 x + 3 tan4 x + 3 tan6 x + tan8 x)dx = 31 tan3 x + 35 tan5 x + 73 tan7 x + 91 tan9 x + C; C 2 R

Exerccio Proposto Z

 Considere agora tanm x: secn xdx (m; n; positivos).

Aproveitando as conclus~oes que retirou da resoluc~ao do exemplo anterior procure tambem expor metodos para cada um dos casos possveis.

3.3 Metodos de Primitivac~ao Estamos agora em condico~es de mostrar diferentes metodos (processos), tecnicas de primitivac~ao de uma dada func~ao. 7 Observa c~oes

importantes: (tan(x))0 = sec2 (x) ; 1+tan2 (x) = sec2 (x) e (sec(x))0 = sec(x) tan(x). Usando

isto, escolhe-se a decomposic~ao adequada. Esta discuss~ao e fundamental para que se entenda o procedimento n~ao como uma receita.


34

Primitivas

Atraves da de nica~o de primitiva vimos o raciocnio a utilizar o que tambem nos permitiu chegar as primitivas imediatas e /ou quase imediatas. Mas, suponhamos que queremos encontrar a famlia de primitivas da funca~o f (x) = x arctan(x)

N~ao nos parece que seja uma primitiva \quase" imediata, nem t~ao pouco imediata. N~ao tendo como \simpli car" a func~ao, as hipoteses de descobrir uma famlia de primitivas tornam-se escassas. N~ao existem outras alternativas? Agora, primitivar n~ao nos parece t~ao simples como tem sido ate este momento. Os metodos de primitivac~ao que aqui iremos analisar pretendem colmatar este impasse. Como teremos oportunidade de concluir, poder~ao ser uma ferramenta util e por vezes ate mesmo indispensavel, para mais facilmente chegar a resultados. 3.3.1 Primitivac~ao por partes

A primitivac~ao de um produto de duas func~oes pode levantar algumas di culdades, como e o caso de f (x) = x arctan(x). Contudo, se um dos factores tiver uma primitiva imediata a Primitivaca~o podera tornarse numa simples primitiva imediata. O seguinte teorema mostra-nos como esse processo podera ser feito atraves de um metodo de calculo que resulta da \regra de derivac~ao de um produto de funco~es": Teorema 3.3.1 [9][Primitivaca~o por partes] Sejam I um intervalo, F uma primitiva de f em I e g uma funca~o diferenciavel em I . Ent~ao P (fg) = F g

P (F g 0 )


3.3 Metodos de Primitivac~ao

35

Para simpli car a escrita optou-se por usar a notaca~o P (fg) e P (F g0) para indicar uma primitiva de fg e uma primitiva de F g 0 , respectivamente Demonstraca~o [9]: Pela regra da derivac~ao do produto (F g)0 = F 0g + F g0 com F'=f, ent~ao

fg = (F g)0

F g0

e, portanto, P (fg)

= P ((F g)0) P (F g0) pela lineariedade = F g P (F g0) 2

Com a notaca~o que temos vindo a utilizar temos ent~ao Z

f (x)g(x)dx = F (x)g(x)

Z

F (x)g(x)dx

(3.3)

com F , g e f nas condic~oes enunciadas no teorema acima. Exemplo 3.3.1 Calcule-se

Z

x arctan(x)dx

Repare-se que f (x) = x e facil de primitivar, ao contrario de g (x) = arctan(x), mas este e facil de derivar. Tendo em conta o teorema de Primitivaca~o por partes e a express~ao (3.3) considere-se ent~ao

f (x) = x (funca~o a primitivar) F (x) = g(x) = arctan(x) (funca~o a derivar) g0 (x) =

x2

2

1 1 + x2


36

Primitivas Assim, Z

x

Z

x2 1 : 2 dx arctan xdx = 2 arctan x 2 x +1 Z 2 2 = x2 arctan x 12 x2x+ 1 dx 8 Z x2 1 = 2 arctan x 2 (1 x2 1+ 1 )dx 2 = x2 arctan x 12 (x arctan x) + C 2 = x2 arctan x(x2 + 1) 12 x + C x2

Observac~ao

 O metodo de primitivac~ao por partes pode ser por vezes \traicoeiro". Z

[4]Sabemos que x1 dx = ln jxj + C; C 2 R com x 2 R+ ou x 2 R Contudo, se tentarmos primitivar por partes, Z 1 dx = Z 1: 1 dx = x 1 Z x 1 dx = 1 + Z 1 dx x

x

Ou seja,

x2

x

Z

x

1 dx = 1 + Z 1 dx

x

x

Esta igualdade poderia levar-nos (erradamente) a fazer uma simpli caca~o e a concluir que 0 = 1. Atenc~ao que a formula de primitivaca~o por partes Z

f (x)g(x)dx = F (x)g(x)

e valida, para alguma primitiva da famlia Z F (x)g(x)dx.

Z

Z

F (x)g(x)dx

f (x)g(x)dx e outra primitiva da famlia


3.3 Metodos de Primitivac~ao

37

Z

Ou seja, x1 dx na formula de primitivaca~o por partes pode representar primitivas distintas de x1 (no exemplo anterior diferem de uma unidade) O metodo de primitivaca~o por partes e extensivo a primitivaca~o de uma so funca~o, tomando para segunda func~ao a unidade. E classico o exemplo seguinte: Exemplo 3.3.2 Z

arcsin x dx =

Z

1: arcsin x dx Z

= x arcsin x Continue a resoluca~o e veri que que

Z

x: p

1

1

x2

p arcsin x dx = x arcsin(x) + 1

x2 + C; C 2 R:

E importante escolher convenientemente a funca~o a primitivar e a funca~o a derivar. Duvidas sobre essa escolha podem surgir mais vezes do que gostaramos. Com o tempo e com experi^encia esperemos que este impasse se dissipe. Ilustremos com o seguinte exemplo como podem surgir essas incertezas. Exemplo 3.3.3 Considere-se

Z

x2 e 2 dx. x

x Tanto x2 como e 2 s~ao faceis de primitivar e derivar,

(x2)0 = 2x ; Z

Z

x3 x2 dx =



e2

x

0

= 12 e 2

x

2 2 3 + C; C 2 R ; e dx = 2e + C; C 2 R (V erifique!) Se considerarmos f (x) = x2 como sendo a funca~o a primitivar temos: Z Z 3 3 x x 1 2 2 x e 2 dx = e2 e 3 3 2 Z x3 2 1 = 3 e 6 x3e 2 dx x

x

x

x

x

x

x


38

Primitivas N~ao estaremos a complicar? Inicialmente pretendia-se descobrir

Z

x2 e 2 dx. Aplicou-se o metodo de Primitivaca~o por x

partes, fazendo-se a escolha das funco~es a primitivar e a derivar, mas o resultado obtido n~ao trouxe qualquer conclus~ao, ja que se obteve

R

x3 e 2 dx, cuja primitiva n~ao e directa e e mais x

complicada do que a inicial. O que fazer? Seguindo o mesmo raciocnio, sera conclusivo voltar a primitivar por partes considerando

agora f (x) = x3 como a funca~o a primitivar? Se o zermos vamos aumentar ainda mais o expoente de x, complicando cada vez mais os calculos, sem chegarmos a nenhuma conclus~ao. Talvez o erro esteja em n~ao considerar g (x) = x2 como a funca~o a derivar e f (x) = e 2

x

como a funca~o a primitivar. Seja, ent~ao g (x) = x2 a funca~o a derivar. Assim Z

x2 e 2 dx = 2e 2 :x2

2

x

x

Novo impasse! Tambem acontece que

Z

Z

xe 2 dx x

xe 2 dx n~ao e imediato. x

Mas, etodo de primitivaca~o por partes Z repare no que acontece se voltarmos a repetir o m

para

xe 2 dx: x

Z

x e 2 dx x

Z

= 2e 2

x

2e 2 :1 dx x

Z

= 2 2 e 2 dx = 2xe 2 2(2e 2 ) + C = 2e 2 (x 2) + C xe 2

x

x

x

x

x

Repare-se que voltamos a primitivar a funca~o f (x)

= e2 . x

De facto, se se repete o metodo

de primitivaca~o por partes deve usar-se sempre a mesma funca~o para primitivar, de forma


3.3 Metodos de Primitivac~ao

39

a evitar novos transtornos. Ent~ao,

Z

x2 e 2 dx x

Z

2e 2 :x2

= 2 xe 2 dx = 2e 2 :x2 2[2e 2 (x 2)] = 2e 2 :x2 4e 2 (x 2) + C; C 2 R x

x

x

x

x

x

Por vezes ao primitivar uma funca~o atraves de primitivaco~es sucessivas por partes, voltamos a encontrar a funca~o inicial que pretendamos primitivar. Obtem-se ent~ao uma equaca~o que facilmente podemos resolver, obtendo o resultado desejado. 9 Z Exemplo 3.3.4 Considere-se cos(ln(x))dx. Sejam f (x) = 1 funca~o a primitivar F (x) = x g(x) = cos(ln(x)) (funca~o a derivar) g0 (x) = Ent~ao, Z

cos(ln x)dx = x cos(ln x)

Z

x:(

1 sin(ln(x))

x

1 ) sin(ln x)dx

x

Z

= x cos(ln x) + sin(ln x)dx Z

Z

 

sin(ln x)dx = x sin(ln x) x: x1 cos(ln x)dx)   Z = x cos(ln x) + x sin(ln x) x: x1 cos(ln x)dx (Mostre que

= x(cos(ln x) + sin(ln x)) Portanto

9 Se

Z

Z

cos(ln x)dx

cos(ln x)dx = x2 (cos(ln x) + sin(ln x)) + C

a equac~ao admitir soluc~ao. Se assim n~ao suceder, o processo n~ao e aplicavel ao caso em estudo.


40

Primitivas Exerccio Proposto Z

1. Pretende-se determinar ex cos(x)dx utilizando o metodo de Primitivaca~o por partes. Considerando g(x) = ex como sendo a func~ao a derivar e f (x) = cos(x) como sendo a funca~o primitivar, obtem-se Z

ex

cos(x)dx = sin(x) ex

Z

ex sin(x)dx

Z

N~ao sendo ex sin(x)dx uma primitiva directa teremos de a calcular aplicando novamente o meZtodo de Primitivac~ao por partes. Determine ex sin(x)dx considerando que: (a) g(x) = ex como sendo a funca~o a derivar e f (x) = cos(x) como sendo a funca~o a primitivar. Z

Conseguiu obter um resultado para ex cos(x)dx? (b) g(x) = cos(x) como sendo a funca~o a derivar e f (x) = ex como sendo a funca~o a primitivar. Conseguiu obter um resultado para

Z

ex cos(x)dx?

Com este exerccio pretende-se mostrar que, quando e necessario aplicar mais do que uma vez a Primitivac~ao por partes, e necessario manter o factor a primitivar e o factor a derivar. Adaptado de [17] Exerccios Propostos Determine as famlias de primitivas

1. 2. 3.

Z

Z Z

x sec2 (x)dx x ln(x)dx

ln(x)dx


3.3 Metodos de Primitivac~ao

4. 5. 6. 7.

Z Z Z Z

41

cos x ln(sin(x))dx ln3(x)dx ex sin(x)dx

sec3(x)dx

3.3.2 Primitivac~ao por substituic~ao

Por vezes, para determinar variavel, digamos x = '(t).

Z

f (x)dx

convem considerar x como uma funca~o de outra

Deste modo, a funca~o a primitivar passa a ser uma funca~o de t, (t), que podera ser mais simples de primitivar do que a funca~o f inicialmente dada. O seguinte teorema mostra-nos como e porqu^e se pode fazer essa substituica~o Teorema 3.3.2 [Primitivaca~o por substituica~o][5] Sejam I e J dois intervalos de R, f : I ! R uma funca~o primitivavel e ' : J ! R uma funca~o diferenciavel que aplique bijectivamente J sobre o intervalo I . Nestas condico~es, a funca~o (f  ')'0 e primitivavel e, designando por  uma sua primitiva,   ' 1 e uma primitiva de f .

Demonstraca~o [5]: Designando por F uma primitiva qualquer de f , ter-se-a: (F  ')0 = (F 0  ')'0 = (f  ')'0 = 0 A diferenca F  '  sera assim uma constante (em J ), donde resulta que (F  ' )  ' 1 = F  ('  ' 1)   ' sera constante (em I ) e portanto   ' 1 sera uma primitiva de f . Este processo esta ilustrado no exemplo que se segue:

1

2


42

Primitivas

Exemplo 3.3.5 Calcule-se

Z

p x dx, com x 2]1; +1[. x 1

1o passo: Mudanca de variavel Qual sera a funca~o '? Facamos x

1 = t2, ou seja, x = t2 + 1.

Temos ent~ao que,

':

' e bijectiva, logo invertvel e

]0; +1[ !]1; +1[ t ! t2 + 1 p ' 1 (x) = x

1

Isto e,

' 1: ' e diferenciavel e '0 (t) = 2t

]1; +1[ !]0; +1[ p x ! x 1

8t 2]0; +1[

Observac~ ao:Por vezes, a notaca~o diferencial podera ser utilizada como utilidade

mnemonica.Relembre-se que o diferencial da funca~o e o produto da sua derivada pelo diferencial do argumento (reveja a pagina 14)

2o passo: Primitivar a funca~o da nova variavel Substituindo x por '(t) tem-se que

f ('(t)) =

t2 + 1 t


3.3 Metodos de Primitivac~ao Assim,

Z

f ('(t))'0 (t)dt =

43

Z

t2 + 1 2tdt t

Z

= 2 (t2 + 1)dt 

3



= 2 t3 + t + C;

C2R

3o passo: Regressar a variavel inicial 

3



(t) = 2 t3 + t e uma primitiva de f ('(t))'0(t). Pelo teorema visto atras temos que (' 1 (x)) e uma primitiva de f , ou seja  (px 1)3 p  1 F (x) = (' (x)) = 2 + x 1 3 A funca~o

e uma primitiva de f . Logo, Z

px x

Curiosidade

p  x 1)3 p ( + x 1 + C; C 2 R dx = 2 3 1 

Na primitivaca~o designada \quase imediata" tambem se pode utilizar o metodo de primitivac~ao por substituica~o. Vejamos um exemplo: Exemplo 3.3.6 Tendo em conta as primitivas \quase" imediatas ja se sabe que Z 6 sin5(x)cos(x)dx = sin (x) + C; C 2 R (Veri que!)

6

Vejamos se obtemos este resultado utilizando uma substituica~o conveniente. Ensaiemos a substituica~o

sin(x) = t (t 2 [0; 1]) (3.4) Em vez de diferenciar a invers~ao correspondente x = arcsin t = '(t) que muito complicaria os calculos subsequentes, vamos diferenciar directamente a express~ao (3.4), que conduz a

cos(x)dx = dt10 10 utiliza c~ao

da notac~ao de diferencial como utilidade mnemonica


44

Primitivas

e este conduz automaticamente a Z

t5 dt =

t6

6 + C; C 2 R

Voltando a variavel inicial, obtem-se Z

sin5(x)cos(x)dx = sin6(x) + C 6

Exerccio proposto

Use o metodo de primitivaca~o por substituica~o para mostrar as seguintes igualdades: Z 4 1. (2x + 1)3dx = 21 (2x +4 1) + C; C 2 R 2.

Z

x

1+x

3 dx =

1 ln j1 + x3j + C; C 2 R 3

S~ao bastante comuns os integrais em que a funca~o a primitivar contem radicais da forma p p p ax + b ; ax + b ; ax + b ; ::: m

n

p

Neste caso, aconselha-se a substituic~ao ax + b = t

em que e o mnimo multiplo comum dos expoentes dos radicais de forma a obtermos uma substituica~o que nos permita trabalhar sem radicais, como teremos oportunidade de veri car no seguinte exemplo. Exemplo 3.3.7 Seja

Z

px +1 p3 x dx x 2]0; +1[

Faremos, neste caso, x = t6 ; t > 0, logo

':

]0; +1[ ! R t ! t6


3.3 Metodos de Primitivac~ao Desta forma,

dx dt

45

= '0(t) = 6t5 e dx = 6t5.

Ent~ao, temos que Z

Repare que :

1 6t5dt = 6 Z t3 dt t3 + t2 t+1 t3

= t2 t+1

t

1 + t +1 1

(Como se obteve esta express~ao?) Assim, Z

1 6t5dt = 6 Z t3 dt t3 + t2 t+1 Z   1 2 = 6 t t 1 + t + 1 dt = 2t3 3t2 6t + ln jt + 1j + C; C 2 R

Regressando a variavel x, chegamos ao resultado Z

px +1 p3 x dx = 2x 21 3x 13 6x 16 + ln jx 61 + 1j + C; C 2 R

O metodo de primitivaca~o por substituic~ao por tudo aquilo que envolve, n~ao e por vezes de rapida percepc~ao. Pede-se atenca~o e sobretudo perseveranca na escolha das substituic~oes a fazer. Por vezes, sera necessario \ensaiar" diferentes substituico~es para chegar ao que se pretende. Com a experi^encia acumulada e com a construca~o do conhecimento no campo das primitivas, esperamos que os \ensaios" tendam a diminuir. Para ja, propomos alguns exerccios onde podera exercitar este metodo.


46

Primitivas Exerccios propostos

Calcule as seguintes famlias de primitivas utilizando substituic~oes convenientes. 1. 2. 3. 4.

Z

Z

3

p x dx x+1 px 1 + p3 x dx

Z

ex Z r

1 +e

x dx

1 px dx x

Substituico~es Trigonometricas

Particularmente uteis s~ao as chamadas \substituico~es trigonometricas" para primitivar p p p funco~es que envolvam os radicais a2 x2, a2 + x2, x2 a2. Note-se que p 2 2 r  x 2  a x =a 1 a p 2 2 r  x 2  a +x =a 1+ a p 2 2 r x 2  x a =a a 1 Qual sera ent~ao a substituic~ao adequada a cada caso? Para responder a esta quest~ao e importante ter em mente as seguintes relaco~es trigonometricas ja nossas conhecidas: sin2(u) + cos2(u) = 1


3.3 Metodos de Primitivac~ao

e

47

1 + tan2(u) = sec2(u)

Vejamos porque damos tanta import^ancia a estas relaco~es com o seguinte exemplo. Z p 12 dx, com x 2]2; +1[. Exemplo 3.3.8 Seja x x 4 Note que:

p

p

x2

r

 x 2

4= 4 2



r

1 =2

 x 2

2

1

Pretende-se ao primitivar uma funca~o que envolve um radical do tipo rent~

x2

a2 = a

 x 2

a

1

Da relaca~o trigonometrica

1 + tan2 u = sec2 u tem-se que sec2(u) 1 = tan2(u)

Fazendo

x

2 = sec t resulta que r  x 2 p2 x 4=2 2 1 = = =

p 2 sec2 t 1 p 2 tan2 t 2j tan tj

Desta forma temos

':

]0; 2 [ ! R t ! 2 sec t

]0; 2 [ sobre ]2; +1[ p Repare-se que como t 2]0; 2 [, tan t > 0 e assim j tan tj = tan t, ent~ao x2 4 = tan t.

uma funca~o diferenciavel que aplica bijectivamente Alem disso:

dx = 2(sec t)0 dt = 2 sec t tan tdt


48

Primitivas Assim,

Z

1 2 sec t tan tdt = 1 Z 2 sec t tan t dt 2 sec t2 tan t 2 Z 2 sec t tan t = 12 1dt = 12 t + C; C 2 R

Mas temos de voltar a variavel inicial. Pela substituica~o feita, tem-se:

x 1 = sec t , = 2 2 cos t

x

, x2 = cos t , t = arccos x2

 

Portanto:

Z

p 12

x x

4

dx =

tendo em conta que t 2



0; 2 

1 arccos  2  + C; C 2 R 2 x

Este exemplo ajuda-nos a constatar que para uma funca~o que envolva  x 2 1 a substituica~o aconselhada e a

r

a

x a

Exemplo 3.3.9 Seja Notando que

Z

p

x2

4

x

p

x2

= sec t , x = a sec t

2 dx =

Z r

2 1

x2

 2 dx x

com x 2]0; 2[

2

cos2(u) = 1 sin2(u) efectua-se a substituica~o x2 = sin t, em que ' : ]0; 2 [ ! R t ! 2 sin t

a2

=


3.3 Metodos de Primitivac~ao

49

(' diferenciavel, que aplica bijectivamente

]0; 2 [ sobre ]0; 2[) que conduz a

x = 2 sin t dx = 2 cos tdt e t = arcsin

x

2

Continue a resoluca~o e veri que que Z

p

x2

4

x

2 dx = 2 arcsin

Exemplo 3.3.10 Como calcular Ora,

Z

Notando que

p

Z

9

xp

x

2 4

2

p 1 2 dx 9+x x2 dx =

Z

x2 + C; C 2 R

com x 2]0; +1[? r

 x 2

3 1+ 3

dx

1 + tan2(u) = sec2(u)

ent~ao efectua-se a substituic~ao x

i

h

3 = tan t t 2 0; 2

que conduz a

x = 3 tan(t) e dx = 3 sec2 tdt

Continue a resoluca~o e veri que que

Z

r

 2

p 1 2 dx = ln

x3 + 1 + x3

+ C; 9+x

C2R

Portanto, sendo a > 0 Formas contendo Substituica~o aconselhada r   p2 2 x 2 x x a x =a 1 = sin t ou = cos t a a a p 2 2 r  x 2 x a +x =a 1+ = tan t a a r  x 2 p2 2 x x a =a 1 = sec t a a

Chama-se a atenca~o para o facto de nas substituico~es aconselhadas consideram-se domnios adequados por forma a que a funca~o substituic~ao, x = '(t), seja invertvel e diferenciavel.


50

Primitivas

p

Primitivac~ao de funco~es com radicais da forma ax2 + bx + c (a 6= 0)

Nos exemplos anteriormente apresentado consideramos casos particulares de funco~es enp volvendo radicais da forma ax2 + bx + c, onde (b = 0), isto e, onde n~ao aparecia o termo em x. Vimos ent~ao que uma mudanca de variavel baseada em funco~es trigonometricas adequadas permitia eliminar o radical da funca~o a primitivar. A ideia base para lidar com o caso em que b e possivelmente diferente de zero e transformar a express~ao (em x) ax2 + bx + c numa outra do tipo z2 + , agora na variavel z. O p radical ax2 + bx + c ca ent~ao transformado em z2 + que pode ser tratado como nos exemplos anteriores. Mas como transformar ax2 + bx + c numa outra do tipo z2 + ? O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a transformaca~o: Exemplo 3.3.11 Calcule-se

Z

p

5

x 4x x2 dx; x 2]

5; 1[.

Vamos transformar o radicando baseando-nos no \metodo de completar quadrados":

5 4x

x2 =



(x2 + 4x) + 5 = (x2 + 4x + 4) + 4 + 5 = 9 (x + 2)2 = 3 1

x

+ 2 2 3

Com este raciocnio e fazendo uma substituica~o adequada continue a resoluca~o e veri que que

Z

p

5

x 4x x2 dx =

p

9

(x + 2)2

2 arcsin



x+2

3




3.3 Metodos de Primitivac~ao

51

No geral, [17] temos ent~ao que: ax2 + bx + c

De nindo

= =

b b2 a x2 + x + 2 b 2 a 4a 4a2

=

b a x2 + 2 x + 2a

=

 b 2 4ac b2 a x+ 2a + 4a

a

b 2a

2. 3. 4.

 ! b 2 2a

b2 4a + c

;

=a e =

4ac b2 4a

Sera necessaria uma substituic~ao trigonometrica no calculo de p3 x12 2x dx?

2

p x 2 dx 1 x p 2 1 x dx x2

Z

(x + 3) Z

+c

Z

Determine a famlia de primitivas:

Z



!



Exerccios propostos

1.

+c

ax2 + bx + c = z 2 + :

Quest~ao:

Z



b a x2 + x

z =x+

vem que:



3

p 12 x

p x 2 dx 2 x

+ 6x + 5 dx


52

Primitivas

5. 6.

Z

p

x2 + 1 dx x

Z

(x

1

p 2)2 x2

4x + 8 dx

3.3.3 Primitivas de funco~es racionais

Nesta secca~o vamos ver como se determinam primitivas de funco~es racionais, isto e, de funco~es dadas por express~oes do tipo ND((xx)) onde N (x) e D(x) s~ao polinomios em x (D(x) n~ao nulo). A ideia fundamental do metodo que vamos seguir consiste em decompor uma fracca~o qualquer numa soma de outras fracco~es elementares, mais faceis de primitivar [17]. Divis~ao de polinomios

Se o grau de N e maior ou igual ao grau de D e regra geral efectuar previamente a divis~ao dos dois polinomios. Considere-se o seguinte esquema da divis~ao N (x) D(x) R(x) Q(x)

Da \identidade da divis~ao" resulta que N (x) = D(x)Q(x) + R(x)

ou seja Portanto

N (x) D(x) Z

N (x) dx = D(x)

= Q(x) + DR((xx)) Z

Q(x)dx +

Z

R ( x) dx D ( x)


3.3 Metodos de Primitivac~ao

53

onde Q(x) e de primitivaca~o imediata, e R e de menor grau que D. Z

Exemplo 3.3.12 Considere

2x3 + 6x 12 dx x2 + 1

x4

Efectuando a divis~ao dos dois polinomios obtem-se:

x4 + 2 x3 + 6 x ou seja

x4

12 = (x2 + 1)(x2 + 2x 1) + (4x 11)

2x3 + 6x 12 = x2 + 2x 1 + 4x 11 x2 + 1 x2 + 1

Portanto Z

x4

2x3 + 6x 12 dx = x2 + 1

Z 

 4 x 11 1 + x2 + 1 dx

x3

Z

x2 + 2 x

= 3

3

+ x2

= x3 + x2

Z 4 x x+ dx 11 x2 + 1

x + 2 ln(x2 + 1)

1

dx x2 + 1

11 arctan x + C; C 2 R

Func~oes racionais proprias

Vamos agora considerar apenas func~oes racionais proprias, isto e com numerador N (x) de grau inferior ao do denominador D(x). A ideia fulcral sera a de decompor ND((xx)) em elementos simples com o proposito de obter primitivas \faceis" de se calcular (ou mesmo primitivas imediatas). Atente-se a seguinte proposica~o: Proposic~ao 3.3.1 Um polinomio f (x) e divisvel por x se e so se for raiz de f (x). 11

Demonstraca~o: 11 Tamb em

se diz \zero" de f (x)


54

Primitivas

[2] Seja f (x) divisvel por x ; ent~ao existe um polinomio q(x) tal que, para todo x 2 R; f (x) = (x ):q(x). Ora, f ( ) = ( ):q(x)

donde, f ( ) = 0, e, portanto, e raiz do polinomio f (x). Reciprocamente: Se e raiz do polinomio f (x), ent~ao f ( ) = 0. Sendo f (x) = an xn + an 1 xn 1 + ::: + a1 x + a0

ent~ao

f ( ) = an n + an 1 n 1 + ::: + a1 + a0 = 0

Fazendo f (x) = f (x)

f ( ), uma vez que f ( ) = 0 tem-se que

f (x) = an (xn

n ) + an 1 (xn 1

Considere-se xk

n 1 ) + ::: + a1 (x )

k = (x )qk (x)

onde qk (x) e um polinomio de grau k 1, 8k 2 f1; :::; ng. Portanto, f (x) = (x )(an qn 1 (x) + an 1 qn 2 (x) + ::: + a2 q1 (x) + a1 )

Desta ultima igualdade conclui-se que f (x) e divisvel por (x ), como queramos provar. 2

Diz-se que o produto (x )q(x) e uma factorizac~ao do polinomio f (x) e que f (x) esta decomposto num produto de factores [2].


3.3 Metodos de Primitivac~ao

55

O Teorema Fundamental da A lgebra 12 diz que um polinomio de grau n admite n razes reais complexas (que podem ser ou n~ao reais, distintas ou n~ao). Neste caso, se admitir a raiz a + bi tambem admite a raiz a bi. Uma consequ^encia deste famoso teorema, demonstrado pelo matematico alem~ao Gauss (1777-1855)13 e o facto de todo o polinomio de coe cientes reais poder ser decomposto num produto de factores do primeiro ou segundo grau. Iremos mostrar agora, alguns casos particulares muito simples de primitivac~ao de funco~es racionais, para que desta forma se alcance situac~oes de generalidade cada vez maior, capazes de transmitir todas as ideias essenciais nesta secc~ao. A Exemplo 3.3.13 Considere-se uma fracca~o propria de dominador de grau um, , com ax + b a 6= 0. A primitivaca~o e neste caso bastante facil. Repare-se que Z

A ax + b

= Aa log jax + bj + C;

C2R

em qualquer intervalo contido no domnio da funca~o considerada. Z

rx + s Exemplo 3.3.14 Seja dx, com a 6= 0, r, s n~ao simultaneamente nulos e ax2 + bx + c rx + s e irredutvel, ou seja, n~ao ha qualquer raiz comum ao numerador e ao denomi2 ax + bx + c

nador.

12 Nesta

secc~ao iremos omitir a demonstrac~ao de alguns teoremas importantes, pelo facto de n~ao poderem

provar-se de modo natural sem recorrer a alguns resultados da analise no campo complexo, que n~ao nos parece conveniente tratar neste momento. 13 o

 Teorema Fundamental da Algebra foi enunciado, mas n~ao demonstrado, pelo matematico franc^es

D'Alembert (1717-1783) em 1746. Dedicou grande parte da sua vida a sua demonstrac~ao, mas caberia a Gauss essa proeza. Essa demonstrac~ao foi tema da sua tese de doutoramento, com o ttulo pomposo \Nova demonstrac~ao do teorema que diz que toda a func~ao algebrica racional inteira a uma variavel pode ser decomposta em factores reais do primeiro ou segundo grau". Mais tarde, Gauss acabaria por se referir ao  tema apenas como \Teorema fundamental da Algebra".


56

Primitivas Para este caso, teremos tr^es diferentes casos. Para maior simplicidade suporemos ainda

que a

= 1 (caso a que sempre poderamos reduzir-nos dividindo por a o numerador e o

denominador)

 b2 4c > 0 Neste caso, o polinomio do denominador, com duas razes (reais) distintas, e , e decomponvel no produto de dois factores do primeiro grau, x

ex

. Tem-se,

ent~ao, que

rx + s

x2 + bx + c

= (x

Se considerarmos que poderemos escrever:

rx + s )(x ) A=

= (r + (s )(x )( x) ( r )(x+ s)( )x

)

r + s r + s e B=

rx + s

x2 + bx + c

= x A + xB

Desta forma, a fracca~o inicial foi decomposta numa soma de duas fracco~es cuja primitivaca~o e imediata. Assim, em qualquer intervalo contido no domnio de f , terse-a:

 b2 4c = 0

Z

rx + s

dx = A log jx x2 + bx + c

j + B log jx j + C; C 2 R

O polinomio do denominador tem uma so raiz (dupla), =

Fazendo, A = r e

b

2 . Neste caso tem-se: rx + s rx + s r(x ) + (s + r ) = = x2 + bx + c (x )2 (x )2 B = s + r , obtem-se: rx + s A B = + 2 x + bx + c x (x )2

O que nos conduz a: Z

rx + s

dx = A log jx x2 + bx + c

j

B

x

+ C;

C2R


3.3 Metodos de Primitivac~ao

57

 b2 4c < 0 p 4c b2 e q= p= 2 2

Faca-se

b

Desta forma, pode-se escrever:

 b  4c 2 x + bx + c = x + +

2

b2

4 = (x

p)2 + q2 (verifique)

Ao contrario dos casos anteriores, desta vez n~ao nos e possvel decompor o polinomio do denominador num produto de dois polinomios do primeiro grau, com coe cientes reais. 14

Teremos, ent~ao de conduzir o processo de primitivaca~o de outra forma. Iremos utilizar o metodo de substituica~o ja analisado em paginas anteriores. Considere-se, ent~ao

x = p + qt = '(t) ; Assim, teremos ent~ao de primitivar Z

Note-se que Logo, Z

dx dt

= '0(t) = q

e dx = qdt

r(p + qt) + s qdt q2 (1 + t2 )

r(p + qt) + s r 2t rp + s 1 q= + 2 2 2 q (1 + t ) 21+t q 1 + t2

r(p + qt) + s r rp + s qdt = log(1 + t2 ) + arctan t + C; C 2 R 2 2 q (1 + t ) 2 q

(verifique)

Visto estes casos particulares e a forma como procedemos a primitivaca~o de cada um dos casos, estamos agora em condico~es para passarmos ao caso geral. Comecemos, ent~ao por ter em atenc~ao a seguinte de nic~ao: 14 Para

o reconhecer basta notar que o valor que ele assume num ponto qualquer x

2 R e sempre posi-

tivo, enquanto qualquer polinomio que seja decomponvel num produto de factores do primeiro grau tem certamente alguma raiz real [5].


58

Primitivas

De nic~ao 3.3.1 Um polinomio P de grau maior ou igual a um, diz-se redutvel se existem os polinomios P1 e P2 tais que grau Pi < grau P (i = 1; 2) e P (x) = P1 (x)P2 (x). O polinomio P diz-se irredutvel se n~ao for redutvel [9]. Observac~oes:

 Todos os polinomios de grau 1, P (x) = x a s~ao irredutveis [9].  Um polinomio de grau dois, P (x) = x2 + bx + c e irredutvel se, e so se, n~ao tem razes reais, isto e, b2 4ac < 0. Assim, os polinomios de grau dois irredutveis s~ao precisamente os polinomios da forma P (x) = (x )2 + 2; ; 2 R; 6= 0; associado as duas razes complexas conjugadas  i [9].

Suponhamos que D(x) admite a seguinte factorizaca~o em polinomios irredutveis: D ( x)

= (x 1)r1 :::(x n)r (x2 + b1x + c1)s1 :::(x2 + bmx + cm)s n m Y Y r = (x i) (x2 + bj x + cj )s n

i

i=1

m

j

j =1

com b2j + 4cj < 0 e (r1 + ::: + rn) + 2(s1 + ::: + sm) = grau(D) Note-se que os polinomios irredutveis da forma (x i)r correspondem as razes reais i, com multiplicidade ri, enquanto que a cada polinomio irredutvel da forma (x2 + bj x + cj )s com b2j + 4cj < 0 corresponde a um par de razes complexas, com multiplicidade sj .15 i

j

Na pratica, so em casos particulares e possvel obter a decomposic~ao de um dado polinomio em factores irredutveis; da decorre uma limitaca~o seria do metodo que vamos descrever, no qual para primitivar ND((xx)) , se requer o conhecimento da decomposic~ao em factores irredutveis do polinomio D(x) [5]. Esse metodo baseia-se essencialmente num teorema que n~ao provaremos aqui e que pode enunciar-se nos termos seguintes: 15 O

numero de vezes que um determinado factor redutvel intervem na decomposic~ao e usual chamar-se

grau de multiplicidade desse factor na decomposic~ao do polinomio considerado. Por exemplo, x3

x(x

x =

1)(x + 1) tem factores irredutveis de multiplicidade 1, ja x4 + 3x3 + 3x2 + x = x(x + 1)3 possui o

factor x de multiplicidade 1 e o factor x+1 de multiplicidade 3.


3.3 Metodos de Primitivac~ao

59

Teorema 3.3.3 [5] Convencionando designar por facco~es simples todas as fracco~es da forma

(x

A

(A; 2 R; r 2 N)

)r

e ainda as da forma

Bx + C

(x2 + bx + c)s

(com

b2

4c < 0

e B; C 2 R; s 2 N)

N (x) e igual a uma soma de D(x) fracco~es simples cujos denominadores s~ao divisores do polinomio D(x). pode a rmar-se que qualquer fracca~o racional propria

Ou seja, segundo este teorema teremos ent~ao: N (x) D(x)

=

n  X

Ai1 Air + ::: + (x i) (x i)r i=1



i

i

B x + Cjs Bj 1 x + Cj 1 + + ::: + 2 js 2 x + bj x + c (x + bj x + c)s j =1 m  X

j

onde Ai1; :::; Air (i = 1; :::; n) e Bj1; Cj1; :::; Bjs ; Cjs (j = 1; :::m) s~ao constantes. i

j



j

j

(3.5)

j

Esta complicada express~ao transmite-nos uma ideia bastante simples sobre como poderemos decompor a fracc~ao ND((xx)) :  cada factor de D(x) da forma (x )r da origem a uma soma de r elementos simples da forma : A2 A3 Ar A1 + + + ::: + 2 3 (x ) (x ) (x ) (x )r  cada factor de D(x) da forma (x2 + bx + c)s (com b2 4c < 0) da origem a uma soma de s elementos da forma : B1 x + C1 B2 x + C2 B x + Cs + + ::: + 2 s 2 2 2 x + bx + c (x + bx + c) (x + bx + c)s

As constantes A1; :::; Ar ; B1; C1; :::; Bs; Cs dever~ao ser determinadas posteriormente de modo que a igualdade 3.5 se veri que (iremos mostrar com alguns exemplos, diferentes processos de calculo dessas constantes, cando ao cargo do leitor a escolha do processo que considere mais acessvel).


60

Primitivas

Exemplos para diferentes casos

Uma vez determinadas as razes do denominador, temos a considerar os casos seguintes, que vamos analisar com atenc~ao, tendo em conta as ideias transmitidas atras. (i) O denominador admite, apenas, razes reais simples, 1 ,..., n .

Neste caso deveremos calcular as constantes A1,...,An que veri cam a seguinte decomposica~o em fracco~es simples: N (x) A1 A2 An = + + ::: + D(x) x 1 x 2 x n Uma vez determinadas essas constantes, todas as parcelas admitem primitivas imediatas do tipo Ai ln jx xij. Veja-se o exemplo que se segue: Exemplo 3.3.15 Pretende-se descobrir a seguinte famlia de primitivas: Z

x3

x2

2x + 5 dx x+2

2 x2

Notando que o denominador

x3

2 x2

x + 2 = (x + 1)(x

1)(x 2)

(Veri que!)

teremos, ent~ao, de determinar as constantes A, B e C que cumprem a condica~o

2x + 5 A B C = + + (x + 1)(x 1)(x 2) x + 1 x 1 x 2 x2

O metodo mais expedito de as determinar consiste, neste caso, em \desembaracar de denominadores" e fazer x, sucessivamente, igual a cada uma das razes:

x2

2x + 5 = A(x 1)(x 2) + B (x + 1)(x 2) + C (x + 1)(x 1)

Sabendo que dois polinomios P e Q s~ao iguais se 8x0 ; P (x0 ) = Q(x0 ) [4], ent~ao


3.3 Metodos de Primitivac~ao

61

Fazendo x = 1, vem: Para x =

4 = B (2)( 1) , B = 2

1, vem:

8 = A( 2)( 3) , A = 34

E, para x = 2,

5 = C (3)(1) , C = 53

Assim

I

=

Z 

5  2 + + 3 dx x+1 x 1 x 2 4 3

= 34 ln jx + 1j 2 ln jx + 1j + 35 ln jx 2j + C (ii) O denominador contem razes reais multiplas.

A cada raiz , de multiplicidade k, far-se-a corresponder na decomposica~o o conjunto de fracco~es A1 A2 Ak 1 Ak + + ::: + + 2 k 1 x (x ) (x ) (x )k Exemplo 3.3.16 Seja Tem-se, neste caso, x4

J=

Z

x2 8 3 x3 + 3 x2

x4

3 x3 + 3 x2

x = x( x3

x

dx

3x2 + 3x 1)

O polinomio entre par^entesis e o desenvolvimento de (x

1)3 (se esta circunst^ancia n~ao ocorresse poderia notar-se que a soma dos coe cientes e 0, de modo que e divisvel por (x 1). O quociente da divis~ao, obtido pela regra de Runi 16 , seria 16 Relembre-se

a Regra de Runi: 1 1

3 1

1

2

3

1

2 1 1

0


62

Primitivas x2

2x + 1 = (x 1)2).

Ent~ao, veri camos que o denominador admite a raiz simples

0 e a raiz tripla 1, de

modo que a decomposica~o em fracco~es simples sera da forma

x2 x(x

8 =A+ B + C + D 1)3 x x 1 (x 1)2 (x 1)3

que conduz a

x2

8 = A(x 1)3 + Bx(x 1)2 + Cx(x 1) + Dx

Uma vez que so dispomos de duas razes distintas, n~ao se recomenda o metodo seguido no exerccio anterior. E prefervel efectuar primeiro alguns calculos simples:

x2

8 = A(x3 3x2 + 3x 1) + B (x3 2x2 + x) + C (x2

x) + Dx

\arrumar", em seguida, os coe cientes dos termos do mesmo grau, de acordo com o algoritmo seguinte:

A x3 B

3A 2B

x2

3A

x

A

B C D

C

Logo,

(A + B )x3 + ( 3A 2B + C )x2 + (3A + B

C + D)x A = x2

8

Uma vez que dois polinomios s~ao iguais se e so se os coe cientes dos termos do mesmo grau s~ao iguais temos que: 8 > > > > > > < > > > > > > :

A= 8 3A + B C + D = 0 3A 2B + C = 1 A+B =0

8 > > > <

,> > > :

A=8 B+D =1 B= A= 8


3.3 Metodos de Primitivac~ao

63

donde, nalmente, A = 8; B

= 8; C = 9; D = 7 (este processo para encontrar os

valores das constantes e conhecido como o metodo dos coe cientes indeterminados). Por consequ^encia,

J

=

Z 

8 + 8 + 9(x 1) x x 1

= ln jxj 8 ln jx 1j

2

7(x 1)



3 dx

9 + 7 1 +C x 1 2 (x + 1)2

(iii) O denominador contem razes imaginarias.

Uma vez que os coe cientes do polinomio denominador s~ao, por hipotese, reais, se o denominador admitir uma raiz da forma + i, admitira, necessariamente, a raiz conjugada i. E, a cada par de razes complexas conjugadas, correspondera, na decomposic~ao em factores reais, um polinomio de 2o grau, da forma x2 + bx + c, com b2 4c < 0. A este polinomio far-se-a corresponder, na decomposica~o, uma fracca~o do tipo Bx + C ax2 + bx + c No geral, e como ja vimos, para s > 1 tem-se: N (x) B1 x + C1 B2 x + C2 B x + Cs = + + ::: + 2 s 2 2 2 D(x) x + bx + c (x + bx + c) (x + bx + c)s Exemplo 3.3.17 Considere-se

Z

x2 12 dx x3 + 4 x

A decomposica~o em factores reais do denominador sera, obviamente x(x2 + 4) (uma raiz real x = 0 e duas razes imaginarias

2i)


64

Primitivas Fazendo

x2 12 x(x2 + 4)

tem-se:

x2

+N = Ax + Mx 2 x +4

12 = A(x2 + 4) + Mx2 + Nx

E pelo metodo dos coe cientes indeterminados 8 > > > < > > > :

A+M =1 N =0 4A = 12

Logo

8 > > > <

,> > > :

Z 

A= 3 M =4 N =0

3 + 4x dx = 3 ln jxj + 2 ln jx2 + 4j + C x x2 + 4

Note-se que nem sempre e facil primitivar as func~oes resultantes da decomposic~ao. Vejamos o exemplo seguinte: Exemplo 3.3.18 Seja o integral J= O denominador admite a raiz real

que x3 + 8 = (x + 2)(x2

Z

12x + 6 dx x3 + 8

2, e, por aplicaca~o da \Regra de Runi", obtemos

2x + 4), de modo que a decomposica~o sera, para este caso,

da forma seguinte:

12x + 6 A Bx + C = + 2 2 (x + 2)(x 2x + 4) x + 2 x 2x + 4 que conduz a

12x + 6 = A(x2 2x + 4) + Bx2 + 2Bx + Cx + 2C


3.3 Metodos de Primitivac~ao 8 > > > < > > > :

A+B =0 2A + 2B + C = 12 4A + 2 C = 0

65 8 > > > <

,> > > :

Portanto,

J

= =

Sera que

Z

Repare que:

x

A = 32 B = 23 C=6

Z 

3 2

x+2

3 +6 2

+ x2 2 x + 4

3 ln jx + 2j + Z 2

3x + 6 2 dx e directo? 2

x



dx

3 2 x + 6 dx 2

2x + 4

2x + 4

Z

x

3x + 6 2 dx 2

2x + 4

Z 3 = 2 x2 x +2x4+ 4 dx Z 3 = 4 x2 2x2+x 8+ 4 dx Z Z 3 2 x 2 = 4 x2 2 x + 4 +

x2

10  2x + 4

Continue a resoluca~o e veri que ent~ao que

p   x 1 3 3 3 5 2 J= 2 ln jx + 2j + 4 ln jx 2x + 4j + 2 arctan p3 + C;

Exerccios propostos

Determine: Z + 6 dx 1. x(x2 3x1)( x + 3) 2. 3.

Z

x2 + 2 x + 3 (x 1)(x + 1)2 dx

Z

x2

3x + 5 dx 6x + 9

C2R


66

Primitivas

Primitivac~ao de funco~es racionais de

sin x e cos x

A primitivaca~o de uma funca~o racional em sin x e cos x (isto e, de uma func~ao f (sin x; cos x) dada por um quociente de polinomios em sin x e cos x) pode ser reduzida a primitivaca~o de  uma func~ao racional atraves da substituic~ao u = tan x2 [17]. De facto, partindo das conhecidas relaco~es 1 tan2 sin(2 ) = 1 +2 tan ; cos(2 ) = tan2 1 + tan2 e fazendo 2 = x, deduzimos que     2 tan x2 1 tan2 x2   ; cos x =   sin x = 1 + tan2 x2 1 + tan2 x2 donde 2 sin x = 1 +2t t2 ; cos x = 11 + tt2 (3.6)

Por outro lado, de tan

  x

= t , x = 2 arctan t resulta que 2dt dx = 1 + t2 As formulas (3.6) e (3.7) resolvem o problema proposto. 2

Exemplo 3.3.19 Apliquemos a substituica~o tan Z

p

1

(3.7)

x

2 = t ao calculo de:

3 cos x sin x dx

Temos, sucessivamente Z

p

1

3 11+tt22

Z 2 2dt 2t 2 : 1 + t2 dt = p3t2 + 2t p3 dt 1+t

Continue a resoluca~o e veri que que Z

1 tan p 1 dx = ln 2 tan 3 cos x sin x

x 2 x

2

p

+ p 3

+ 33


3.3 Metodos de Primitivac~ao

67

Para express~oes da forma

Z

f (sin2 x; cos2 x)dx

em que f e uma func~ao algebrica racional recomenda-se a substituica~o tan x = t

(3.8)

Como 1 + tan2 x = sec2 x = cos12 x segue-se cos2 x = 1 +1 t2

e

2

sin2 x = 1 cos2 x = 1 +t t2

de modo que a substituica~o (3.8) leva a utilizaca~o das formulas 2 sin2 x = 1 +t t2 ; cos2 x = 1 +1 t2 ; dx = 1 +dtt2 Z sin2 x dx Exemplo 3.3.20 Seja 1 + cos2 x

(3.9)

Utilizando as formulas (3.9) obtem-se sucessivamente,

Q=

Z

t2

1+t2 : dt 1 + 1+1t2 1 + t2

Z

2

t = (1 + t2)(2 + t2) dt

Continue a resoluca~o e veri que que Z

 x sin2 x dx = 2 arctan  tan p 1 + cos2 x 2

x + C; C 2 R

3.3.4 Observac~oes nais

Como tivemos oportunidade de veri car, as primitivas imediatas ou \quase" imediatas s~ao como que os \elementos basicos" das tecnicas de primitivac~ao. Por outro lado, as func~oes racionais formam uma classe interessante de func~oes. Ha tecnicas muito claras e de nidas para calcular as suas primitivas. Quando a funca~o a primitivar n~ao e nem de primitivaca~o imediata ou \quase" imediata nem func~ao racional os metodos de primitivac~ao por partes e primitivaca~o por substituic~ao s~ao artifcios indispensaveis na procura de uma soluc~ao. Recorrendo as respectivas formulas


68

Primitivas

de primitivaca~o por partes e/ou por substituic~ao esperamos conseguir passar o problema da primitiva da funca~o em quest~ao para cada uma das duas categorias iniciais: primitivas imediatas e/ou \quase" imediatas ou primitivas de funco~es racionais. Por vezes, podemos chegar a resultados equivalentes utilizando \caminhos" diferentes (alguns mais simples do que outros). Cabe, portanto, a cada um, escolher o melhor \caminho" a ser seguido, na primitivac~ao de uma determinada funca~o (para isto, porem, aconselha-se a aquisic~ao de uma certa pratica atraves da resoluc~ao de diferentes exerccios, com diferentes nveis de di culdade). E fundamental que n~ao \baixemos os bracos" perante os impasses que possam surgir no campo da primitivac~ao. Pede-se sobretudo, persist^encia e atenca~o para com todos os pormenores, para mais facil chegar a resultados plausveis. Para nalizar, recordemos ainda a quest~ao da primitivac~ao elementar das func~oes primitivaveis referida na pagina 15 deste gui~ao, aquando da discuss~ao sobre a exist^encia de primitiva. Apos o estudo de varios metodos/tecnicas de primitivaca~o e da sua aplicac~ao a muitos e diferentes exemplos/exerccios, alguns deles exigentes ao nvel da concentraca~o e da persist^encia, resistem ainda func~oes aparentemente simples, cuja primitiva n~ao se consegue obter pelos metodos propostos. O estudo dessas funco~es e respectivas primitivas est~ao relacionadas com func~oes n~ao puramente algebricas, necessitando, portanto de um aprofundamento do tema, que nos obrigara a lidar com analises mais detalhadas e complexas. Por tudo isso, considerou-se que n~ao seria proveitoso para o aluno, nesta fase de aprendizagem, uma apresentaca~o detalhada deste tema. No entanto, apos a consolidac~ao dos conhecimentos na area da Primitivaca~o, tudo ca em aberto para uma nova viagem pelo calculo e analise matematica atraves da vasta informaca~o que temos ao nosso dispor nos dias que hoje correm. Encerramos assim esta nossa 1a parte, tendo ent~ao a esperanca que os objectivos a que nos propusemos aquando da construca~o deste gui~ao para o tema \Primitivaca~o", sejam alcancados.


Parte II Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador


70

O progresso das tecnologias dos nossos dias, obriga a que se repense na forma de ensinar ou nas metodologias do ensino, recorrendo a tecnologia. Com a sociedade que temos hoje t~ao \ocupada" com as tecnologias, nomeadamente informaticas, e oportuno avaliar como esta a ser construdo o conhecimento, quais as lacunas e quais os sucessos que condicionam a forma de crescermos mais como \sociedade do saber". A Educaca~o deve transmitir cada vez mais saberes, em permanente evoluc~ao, adaptados a uma sociedade que aprende (learning society ), como base das compet^encias do futuro. Da tradicional transmiss~ao dos saberes evolui-se para uma \sociedade do saber" baseada na capacidade individual da construca~o do conhecimento, onde as tecnologias da informaca~o e comunicaca~o s~ao instrumentos ao servico dessa construc~ao [36]. Toda esta quest~ao nos leva ao tema aglutinador desta parte da dissertaca~o, que designamos por Avaliaca~o e Aprendizagem assistidas por Computador.


Captulo 4 Avaliac~ao e Aprendizagem A aprendizagem, objectivo central do ensino, e um dos processos chave do conhecimento humano, esta em tudo o que fazemos e pensamos. Dentro deste contexto, a nossa preocupaca~o como professores, sera encontrar formas de entender o processo de aquisica~o do conhecimento e suas in u^encias no conhecimento do ser humano. Atraves de um processo gradual, a aprendizagem muitas das vezes acontece apoiada em conhecimentos anteriores para aprender outros, ou, ent~ao melhorar o ja existente. De facto, n~ao podemos esperar que a transfer^encia de conhecimentos ocorra sempre automaticamente. E necessario que o aluno explore cada contexto onde esta inserido. Torna-se necessario destacar as principais caractersticas entre contextos, compara-los, abordar os \problemas" sob diferentes perspectivas. Mas, de um aspecto n~ao podemos esquecer, a motivaca~o deve ser tida em conta para qualquer aprendizagem, pois, sem ela, sera pouco provavel que a atenc~ao do indivduo esteja voltada para o que queremos que aprenda. E neste sentido, que acreditamos que a motivac~ao, aliada a um programa computacional, construtivo do conhecimento e ao mesmo tempo avaliador de compet^encias/aprendizagem, podera contribuir signi cativamente para o processo ensino-aprendizagem e para a relac~ao Professor- Saber- Aluno. Desta forma, cada um dos intervenientes nesta relaca~o sofre alteraco~es, tornando-a mais forte e solida:  O professor e o orientador do estudo em oposic~ao a um professor leitor, detentor do saber e mero expositor desse saber. O professor agora estimula o aluno a querer saber mais ao inves de pesquisar por ele;  O aluno e o agente da aprendizagem em oposica~o a um receptor passivo. O aluno


72

Avaliac~ao e Aprendizagem

torna-se responsavel (autonomo) pelo crescimento da sua aprendizagem/aquisica~o de compet^encias. Procura-se uma reduc~ao da intimidac~ao e frustrac~ao entre alunos;  A sala de aula e um local de cooperac~ao e construca~o onde existe o desejo de partilhar o conhecimento em oposica~o a um ambiente de escuta e recepc~ao. Neste novo paradigma, ha troca de experi^encias entre Aluno-Aluno e Professor-Aluno.

4.1 Construtivismo A apresentaca~o dos pontos anteriores, leva-nos, inevitavelmente, a teoria contrutivista do pensamento. O construtivismo, numa rapida explicac~ao, e uma proposta pedagogica derivada da teoria de Jean Piaget, cuja principal premissa e que o conhecimento e um constructo mental, produto da interacca~o do Homem com o meio, assim como a intelig^encia [13]. Na \escola construtivista" e reservado ao estudante o papel de agente activo no processo de aprendizagem, preocupada em perceber como a mente recebe, interpreta, armazena e recupera informac~ao, em clara oposic~ao a teorias como o conhecimento behavorismo, centrada numa loso a que ignora os processos cognitivos, que trata o aluno como objecto que deve ser treinado pelos moldes comportamentalistas. Em suma, a contempor^anea teoria construtivista da aprendizagem reconhece que os indivduos s~ao agentes activos que se comprometem com a construca~o do seu proprio conhecimento, integrando a nova informac~ao no seu esquema mental e representando-a de uma maneira signi cativa. Discute-se a desvantagem de despejar a informaca~o para os alunos, sem os envolver no processo de tomada de decis~ao e sem avaliar as suas capacidades de construir o conhecimento. E aconselhada a aprendizagem guiada, que facilita a colocaca~o do aluno no centro do processo de aprendizagem, e fornece a orientaca~o e o ensino concreto sempre que necessario [39].


4.2 Professor e Aluno, avaliadores da Aprendizagem

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4.2 Professor e Aluno, avaliadores da Aprendizagem A medida que o conhecimento e construdo, cabera ao Professor e Aluno os papeis de avaliadores de todo o processo de aprendizagem. Entendemos que a avaliaca~o n~ao deve ser encarada como mero momento exclusivo de atribuic~ao de notas quantitativas ao trabalho desenvolvido pelo aluno. A avaliaca~o do processo ensino-aprendizagem deve analisar n~ao so o desempenho do aluno, mas tambem do professor e de toda a situac~ao de ensino que se realiza no contexto escolar. Tradicionalmente, a avaliac~ao foca-se na medida de conhecimento do aluno, o quanto ele acumulou ao longo do estudo, ao passo que a aprendizagem passou a reconhecer outro aspecto - a construca~o do conhecimento [40]. Avaliac~ao e sinonimo de evoluca~o; e, basicamente, acompanhamento da evoluca~o do aluno no processo de construca~o do conhecimento, e para responder sobre essa evoluca~o o Professor precisa de caminhar com o Aluno, passo a passo. Acreditamos que diante desta concepc~ao, a avaliac~ao assume um senso de orientac~ao, de suporte e de co-produca~o, revelando ao Aluno o seu progresso, o seu fracasso, as suas di culdades e os seus meritos, indicando caminhos, apontando possibilidades e participando da sua transformaca~o [40]. Na refer^encia [40] encontramos diferentes modalidades de avaliac~ao que n~ao quisemos deixar de apresentar nesta dissertaca~o:  Avaliac~ao diagnostica - tem como objectivo identi car alunos com padr~ao aceitavel de conhecimentos, constatar as de ci^encias em termos de pre-requisitos e as particularidades dos alunos. Ao identi car os alunos com problemas de aprendizagens, o correcto e propor actividades com vista a superar tais de ci^encias. Em suma, e uma preparaca~o inicial para a aprendizagem.  Avaliac~ao formativa - esta e contnua e ocorre durante o processo de instruc~ao. Fornece feedback ao Aluno no que toca ao que aprendeu e do que precisa aprender. Fornece feedback ao Professor quanto a identi cac~ao das falhas dos alunos e quais os


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Avaliac~ao e Aprendizagem

aspectos da instruca~o que devem ser modi cados, atendendo as diferencas individuais dos alunos e, ainda, preescrevendo medidas alternativas para a recuperac~ao das falhas de aprendizagem.  Avaliac~ao sumativa - ocorre no nal da instruc~ao com a nalidade de veri car o que o Aluno efectivamente aprendeu; visa a atribuica~o de notas; fornece feedback ao Aluno; presta-se a comparac~ao de resultados obtidos com diferentes alunos, metodos e materiais de ensino. En m, ha um controle se os alunos atingiram os objectivos previamente xados.

O feedback referido aquando da descrica~o da avaliaca~o formativa, e uma ferramenta importantssima para o processo educacional em todas as suas vertentes. A partir do momento em que Professor e Aluno obt^em informaco~es dos respectivos desempenhos, o Professor tera oportunidade de regular as suas estrategias e o Aluno, por sua vez, identi cara as suas di culdades e erros, podendo, porventura, corrigi-los (a ultrapassagem dos erros so pode ser feita por aqueles que os cometem e n~ao por aqueles que os assinalam, uma vez que as logicas de funcionamento s~ao diferentes [40]). Sendo assim, [a avaliac~ao], e um instrumento indispensavel para ambos, permitindo regular os seus proprios processos tanto de ensino, como de aprendizagem [40]. Importa, pois, privilegiar uma educaca~o consciente e sistematicamente concebida e realizada em func~ao da consideraca~o permanente de cada indivduo e n~ao o predomnio de praticas educativas que, face a necessidade de responder as exig^encias de grande numero de alunos, deixe para segundo plano, diludo no grupo, o indivduo concreto, verdadeiro protagonista da Educaca~o [41].


Captulo 5 Ensino assistido por computador Actualmente, os construtivistas, preocupam-se com dois aspectos que in uenciam a aprendizagem. O desenvolvimento de materiais que permitam uma actividade re exiva por parte do aluno e a criaca~o de \ambientes" em cujo contexto a aprendizagem pode ocorrer [13]. A educac~ao e uma das areas com grande potencial para a aplicac~ao de novas tecnologias, e onde se veri cam grandes esforcos no sentido de as utilizar no processo de ensinoaprendizagem. No entanto, as possibilidades das novas tecnologias em Educac~ao dependem das pessoas que as utilizam, dos recursos disponveis e das estrategias aplicadas. Os computadores e os multimedia, em geral, s~ao importantes ferramentas cognitivas, mas nada resolvem sem o utilizador - Professor ou Aluno - que as manipula e se envolve para explorar as suas potencialidades [36].

5.1 \e-learning" versus \blended-learning" \O sucesso da aprendizagem esta no interesse, intelig^encia e habilidade do aprendiz em tomar decis~oes sobre sequ^encia, momento e ^enfase"

[13]

Esta frase transporta-nos uma vez mais a necessidade de autonomia por parte do aluno. Segundo a teoria construtivista, o aluno e o principal catalisador da selecca~o e desenvolvi-


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Ensino assistido por computador

mento de estrategias e objectivos. No entanto, torna-se evidente que a espera de uma autonomia por parte deste na construca~o do conhecimento e arriscada e podera trazer consequ^encias graves numa avaliaca~o nal, na medida em que podera ser difcil prever como esta a apreender os conhecimentos e compet^encias pretendidas. O papel do professor como orientador e fulcral. O aluno devera ter algum conhecimento para iniciar a construc~ao do saber, pelo que, pensamos que se dever~ao continuar a projectar os conhecimentos basicos bem como domnios bem estruturados aliados posteriormente a uma tecnologia contextualizada, em sala de aula, permitindo que a aprendizagem ocorra dentro da relac~ao Professor-Saber-Aluno. Um domnio de conhecimento deve ser especi cado e o estudante deve ser encorajado a buscar novos domnios do conhecimento que sejam importantes para a quest~ao [13]. O termo blended-learning, ou b-learning, tem vindo a obter muita aceitaca~o e tem respondido satisfatoriamente as necessidades de formac~ao em empresas. O termo blended em ingl^es signi ca mistura, ou seja, uma combinaca~o com o objectivo de atingir melhores resultados. Associado a este termo, encontramos o e-learning, express~ao inglesa para o ambiente de aprendizagem pela Internet ou por uma serie de tecnologias desde as cassetes de audio aos CDs ou DVDs. O e-learning, mais vocacionado para o ensino a dist^ancia, procura assim com este material criar um ambiente que aproxime as dist^ancias entre alunos e professores, permitindo que todos estejam \juntos" na rede de computadores. No entanto, esta barreira de espaco-tempo e apontada por muitos como uma das desvantagens do e-learning (se bem que n~ao e essa a sua intenca~o), capaz de questionar a qualidade do ensino, sendo esta a principal raz~ao pela qual a escolha do b-learning e considerada a mais acertada para ambientes de ensino-aprendizagem. De facto, a ideia de blended-learning consiste em identi car os meios mais apropriados para disponibilizar ao aluno/aprendiz, seja atraves de tecnologias como o e-learning ou da tradicional modalidade presencial em sala de aula (s~ao os chamados semi-presenciais). Uma sala de aula construtivista e o ambiente ideal para a troca livre de ideias. De acordo com a


5.2 Alguns exemplos de sistemas para ensino assistido por computador

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loso a construtivista, as novas tecnologias de informac~ao podem contribuir decisivamente na formac~ao dos indivduos. Optando por utilizar estas tecnologias como complemento as aulas [ditas] \normais", pode obter-se [se para isso estivermos receptivos] o melhor rendimento dos dois mundos [15].

5.2 Alguns exemplos de sistemas para ensino assistido por computador A evoluca~o das tecnologias dos sistemas de educac~ao pode ser dividida em varias fases. Inicialmente os CBT (Computer Based Training ) utilizavam cursos baseados em computadores como complementos tutoriais atraves de uma modelizac~ao do conhecimento e do modo como esse conhecimento era veiculado aos alunos, colocando grande ^enfase nos formalismos utilizados para representar o conhecimento, o per l do estudante e a interface com os utilizadores. Depois os sistemas ITS (Intelligent Tutoring Systems ) complementaram os sistemas CBT com modelos explcitos de ensino usados em determinados domnios do conhecimento [42]. Os sistemas ILS (Interactive Learning Systems ), que vieram a seguir, ja permitiam aos utilizadores manipular os conteudos sob varias perspectivas. Mais recentemente os CLS (Cooperative Learning Systems ) permitiam a partilha de ideias e conceitos entre estudantes, facilitando a permuta e a discuss~ao dos seus pontos de vista. Estes sistemas cooperativos enriquecem o ambiente de trabalho pois possibilitam a troca de informaca~o e a sua evoluca~o ou adaptac~ao incremental [42]. Mais tarde, cresceram os sistemas CSCL (Computer Supported Collaborative Learning ) em torno de um vasto leque de investigac~oes sobre trabalho colaborativo assistido por computador (CSCW-Computer Supported Collaborative Work ). CSCW e de nido com um sistema de redes de computadores que suporta grupos de


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Ensino assistido por computador

trabalho com tarefas comuns, fornecendo um interface que possibilita a realizac~ao de trabalho em conjunto [39]. A aprendizagem colaborativa 1 assistida por computador (CSCL - Computer Supported Collaborative Learning) pode ser de nida como uma estrategia educativa em que dois ou mais sujeitos constroem o seu conhecimento atraves da discuss~ao, da re ex~ao e tomada de decis~oes, e onde os recursos informaticos actuam (entre outros) como mediadores do processo de ensino-aprendizagem [39]. Os sistemas tradicionais de CSCW e CSCL foram talhados para serem utilizados por multiplos alunos trabalhando numa mesma estac~ao de trabalho, ou atraves de computadores ligados em rede. Estes sistemas suportam transfer^encia de ideias e informac~ao, acesso a informac~ao e documentos, emiss~ao de respostas em actividades de resoluca~o de problemas. A investigaca~o actual neste domnio abrange n~ao somente as tecnicas de groupware (tecnologia usada para agrupar as pessoas), mas tambem os seus aspectos sociais, psicologicos, organizacionais e de aprendizagem. O objecto principal e a aprendizagem, a aprendizagem especi camente colaborativa, e como pode ser suportada pelo computador [39]. Os sistemas informaticos de suporte a comunicaca~o mediada pelo computador e de apoio a aprendizagem colaborativa (tambem conhecidos como tecnologias de groupware) s~ao tpica e tradicionalmente classi cados por categorias segundo uma matriz de tempo / localizaca~o dos utilizadores: sncronos (mesmo tempo), assncronos (tempo diferente), presenciais (mesmo lugar) e remotos (lugar ou lugares diferentes). As ferramentas sncronas suportam a interacca~o em simult^aneo entre membros do grupo como por exemplo a videoconfer^encia, IRC; sistema de suporte a decis~ao, etc. As ferramentas assncronas, como o correio electronico, os newsgroups, as listas de distribuic~ao de correio electronico, o hipertexto, etc., suportam o trabalho individual ou de pequenos grupos, de modo a contribuir para o processo geral. Actualmente, existe uma variada gama de plataformas tecnologicas de apoio ao trabalho colaborativo e a teleformac~ao (Learning Space, First Class, Web Course, Top Class, Learning Server, Web-CT, etc.), que integram muitas das possibilidades encontradas em cada uma 1 Aprendizagem

colaborativa e basicamente de nida como um processo educativo em que grupos de alunos

trabalham em conjunto tendo em vista uma nalidade em comum.


5.2 Alguns exemplos de sistemas para ensino assistido por computador

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ferramentas que enumeramos anteriormente. Embora, cada software de CSCL possa ter funco~es diferentes, uma caracterstica geral e a de promover a re ex~ao, a pesquisa e a troca de ideias e experi^encias que apoiam o trabalho colaborativo e um estudo mais aprofundado [39]. No entanto, na sua maioria, estes sistemas aqui apresentados, entre outros, foram criados com o intuito de serem utilizados a \dist^ancia", como podemos comprovar pelas caractersticas das suas funcionalidades. Em geral o que se pode observar e que as varias ferramentas disponveis s~ao sub-utilizadas. Em quase todos os casos, nota-se que houve um grande investimento no que diz respeito as quest~oes tecnologicas de comunicaca~o a dist^ancia. Quase sempre, isso signi ca que as quest~oes praticas e a vertente mais ligada ao ensino foi de alguma forma descurada [15]. S~ao, por isso, sistemas acusados de despersonalizar o ensino, de desmobilizar alunos e professores pela falta de contactos pessoais, e, por conseguinte, de comprometer a qualidade do ensino. A avaliac~ao do processo ensino-aprendizagem e tambem posta em causa. Ate que ponto esses sistemas permitem uma avaliaca~o avel? Sera possvel aplicar conscientemente as diferentes modalidades de avaliac~ao (diagnostica, formativa e sumativa)? Pensamos que a criac~ao de sistemas de avaliac~ao e aprendizagem assistidas por computador, com uma componente presencial, e importante com vista a oferecer alternativas aos sistemas puros de ensino a dist^ancia. Exemplo inovador da Universidade de Aveiro

O PmatE, Projecto Matematica Ensino, da Universidade de Aveiro, tem vindo a desenvolver desde 1990 um software especial destinado, por um lado, a aumentar o gosto pela Matematica, e, por outro, a diminuir de uma forma progressiva o abandono escolar nesta


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Ensino assistido por computador

disciplina, o que levou este Projecto de Investigac~ao e Desenvolvimento a interagir com escolas de varios graus de ensino, desde o Ensino Basico ao Ensino Superior. Tem como proposito, desde o seu incio, a utilizaca~o destas ferramentas como instrumento de avaliaca~o e aprendizagem. Por exemplo, direccionado para o Ensino Superior, o Teste Diagnostico em Matematica, TDMat, desenvolvido pelo PmatE, e constitudo por um conjunto de diferentes quest~oes/a rmac~oes, cada uma delas constituda por 4 proposico~es do tipo verdadeiro/falso generalizado, cujo objectivo incide sobretudo em avaliar as compet^encias dos alunos aquando da sua chegada a Universidade de Aveiro, em topicos fundamentais de Matematica. Com caracter obrigatorio, este teste diagnostico, foi realizado em primeira m~ao pelos alunos de Ci^encias e Engenharia da Universidade de Aveiro, que se inscreveram na disciplina de Calculo I, no ano lectivo de 2003/2004. Ao analisar os resultados obtidos, facilmente se tiram diferentes proveitos da utilizaca~o do TDMat, de acordo com o utilizador em quest~ao: Aluno, Professor, Director de Curso. Aluno

 Atraves de uma \ferramenta de aferica~o do per l de compet^encias adquiridas pelo aluno", o acesso ao diagnostico das suas di culdades2  Melhor domnio da Matematica Professor

 Atraves da \ferramenta de aferica~o do per l de compet^encias adquiridas por aluno", um melhor conhecimento das compet^encias adquiridas pelos alunos e maior capacidade de trabalhar as di culdades Direcc~ao de curso

 Atraves de uma \ferramenta de aferica~o do per l de compet^encias adquiridas no curso", o desempenho das turmas ilustrado de uma forma segura 2 os

resultados do TDmat s~ao gravados na base de dados associada ao PmatE, sendo posteriormente

tratados atraves de tecnicas estatsticas


5.2 Alguns exemplos de sistemas para ensino assistido por computador

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 Instrumento para a orientaca~o do ensino

[12] No Ensino Superior o insucesso escolar nas disciplinas dos primeiros anos, em particular nas disciplinas de Matematica, e fonte de preocupac~ao para os diferentes org~aos que gerem a Universidade [16]. No ano lectivo de 2003/2004 o Departamento de Matematica da Universidade de Aveiro (U.A.), preocupado em encontrar uma forma diferente de ensinar/aprender nas disciplinas de Matematica, utilizou, com o apoio incondicional da Reitoria, um arrojado programa de ensino para as disciplinas iniciais de Matematica, Calculo I e Calculo II. Cientes de que a transica~o do Ensino Secundario para o Ensino Superior e muitas vezes acompanhada por grandes di culdades de adaptaca~o no que diz respeito ao nvel exigido e ao metodo de ensino, a equipa responsavel por este projecto inovador pretendia, sobretudo, suavizar esta transica~o, mas simultaneamente obrigar o aluno a integrar-se num sistema de aprendizagem que privilegiasse o raciocnio em detrimento da mecanizac~ao [16]. Com este objectivo em mente, os assuntos inerentes aos diferentes temas das disciplinas eram abordados em primeira inst^ancia nas chamadas aulas teorico/teorico-praticas (TTP). Para que o aluno apreendesse efectivamente os conceitos fundamentais, fez-se a fus~ao entre a introduca~o dos conceitos e respectiva exploraca~o (quer sob a forma de exerccios, quer sob a forma teorica). Pretendia-se que o aluno entendesse a disciplina como um todo e n~ao como uma componente pratica, que se adquire por treino e que frequentemente basta para obter a aprovaca~o [16]. Depois dessa primeira abordagem os alunos teriam as aulas de Ensino Assistido (EA) em laboratorio informatico onde punham a prova os conhecimentos/compet^encias adquiridas num programa desenvolvido para o efeito pelo PmatE. Constitudo por dez nveis para cada modulo sobre os varios temas estudados, o aluno encontra em cada um desses nveis proposico~es as quais atribui um valor logico (Verdadeiro ou Falso). Tendo duas tentativas para cada nvel, so passaria ao seguinte se respondesse correctamente a quest~ao do nvel em


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Ensino assistido por computador

que se encontrava. Ao longo de um semestre o aluno realizaria dois testes informatizados do mesmo teor dos realizados nas aulas EA e um exame nal (escrito) na epoca de exames da UA. No entanto, a experi^encia obtida com Calculo I no primeiro semestre originou algumas mudancas nesta metodologia no segundo semestre com Calculo II. Embora o software desenvolvido pelo PmatE continuasse a ocupar uma boa parte das aulas de EA foi proposto ao aluno a elaboraca~o de diferentes trabalhos por escrito e apresentados nestas aulas com o intuito de promover a escrita e a discuss~ao Matematica entre Alunos-Alunos e Alunos-Professor. Esta pequena, mas importante, alterac~ao parece ter dado frutos, uma vez que, embora no primeiro semestre tenham usado mais os modulos disponibilizados pelo PmatE (nas aulas de EA e Internet), cremos devido ao efeito da novidade, no segundo semestre, na disciplina de Calculo II, os alunos empenharam-se mais na disciplina [16], como apontaram os resultados de aprovaca~o obtidos3. Esses resultados apontam ainda alguns aspectos a melhorar. Em primeiro lugar a di culdade de atribuica~o de salas para as aulas de EA, devido a utilizaca~o de computadores. Por outro lado, temos a motivaca~o e empenho por parte de alguns alunos4, que cam muito aquem das expectativas iniciais de todos aqueles que se empenharam neste projecto. Veri cou-se, que parte das di culdades residiam em conhecimentos pre-universidade que deveriam de ja estar consolidados [16]. Tambem associada a esta situac~ao, encontramos os alunos repetentes que criaram uma certa \avers~ao" aos temas leccionados originados pelo pessimismo de que n~ao conseguem alcancar sucesso. A novidade desta nova metodologia de ensino, diferente de uma normal situaca~o de sala de aula, dita \normal", podera tambem ter assustado alguns destes alunos, em parte devido a exig^encia de empenho requerida. 3 Obtiveram aprova c~ao na disciplina de Calculo I, 47% dos avaliados,

enquanto que na disciplina de Calculo

II obtiveram aprovac~ao cerca de 69% dos alunos avaliados [16]. 4 31% dos alunos inscritos em C alculo I n~ao se propuseram a nenhuma forma de avaliac~ao, e em Calculo II s~ao cerca de 35% os alunos nesta mesma situac~ao [16].


5.2 Alguns exemplos de sistemas para ensino assistido por computador

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A seguinte proposta pretende colmatar todos estes impasses, mas estamos de facto cientes que por mais esforco que o \construtor" tenha, e muito difcil saber como a outra parte reagira, ja que estamos a falar da complexa relaca~o Professor-Saber-Aluno.


Captulo 6 Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador Imaginemos que a aprendizagem do aluno seria feita ao longo de um roteiro que teria de percorrer. A mochila, t~ao caracterizadora da gura de estudante, que transporta nas suas costas e a sua bagagem de conhecimentos/compet^encias que possui no momento em que inicia o dito roteiro. Orientado por mensagens que lhe v~ao surgindo, percorre lentamente o percurso que lhe esta destinado, tendo muitas vezes de recorrer a bagagem para recordar conhecimentos/compet^encias necessarias no confronto com diferentes quest~oes cuja exist^encia tem como objectivo aumentar o tamanho da sua \mochila" quer ao nvel do conhecimento, quer ao nvel das compet^encias. Seria, ent~ao, uma especie de \navegaca~o" por diferentes \portos" com objectivos espec cos, baseada n~ao so na forma como estes se interligam entre si, mas tambem nos movimentos do aluno ao longo do roteiro a percorrer. O professor, atraves das informac~oes que tira deste processo, conclui sobre aquilo que o aluno ja sabe e/ou precisa de melhorar, podendo ao mesmo tempo orienta-lo no seu estudo, ou aplicar metodologias diferentes, adaptadas ao aluno em quest~ao (maior acompanhamento do trabalho desenvolvido pelo aluno). E tambem uma forma de saber como os conceitos e tecnicas que esta a ensinar est~ao a chegar ao outro \lado", ou seja, aos seus alunos.


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Prop~oe-se, ent~ao, uma nova metodologia de trabalho a adoptar na sala de aula. Alunos heterogeneos provocar~ao, assim, metodologias de ensino tambem heterogeneas, adaptadas a cada situaca~o. Podera acontecer que enquanto uns ainda \navegam", outros precisem de uma maior atenc~ao por parte do professor, maior tempo de estudo e pesquisa, para conseguir chegar ao maior numero de \portos" possvel. A maior independ^encia atribuda aos alunos [...] permite que os \melhores" pratiquem as actividades num ritmo superior, o que lhes da, simultaneamente, mais prazer e constitui um factor de encorajamento. [Por outro lado], a distribuic~ao dos alunos por varias actividades de aprendizagem permite que os \menos bons" disponham de mais tempo para as concluir, evitando a frustraca~o por n~ao as conseguirem realizar [41]. Ainda na refer^encia [41] s~ao apontadas mais algumas vantagens para esta personalizaca~o do ensino 1, tais como:  a intervenca~o dirigida a um unico aluno, alem da maior probabilidade de ser adequada, tem um efeito muito mais profundo e duradouro do que a dirigida a um grupo de alunos;  reduz a tend^encia para o agravamento da diferenca entre os nveis de aprendizagem iniciais;  desenvolve o sentido de cooperac~ao e de sociabilizac~ao na medida em que o clima criado pela atribuic~ao de responsabilidades ao aluno e pela sua actuaca~o em grupo, com objectivos e interesses comuns, favorece o desenvolvimento da cooperac~ao e da sociabilizaca~o;  propicia a automotivac~ao e o desenvolvimento de capacidades avaliativas.

E dentro deste esprito, aliado ao trabalho ja desenvolvido pelo Departamento de Matematica da U.A. e PmatE e as ideias focadas atras que iremos, ja de seguida, analisar com atenca~o 1A

express~ao \ensino personalizado" (ou \ensino individualizado") foi divulgada aquando da revoluca~o

social dos anos 60 originada por uma re ex~ao crtica sobre o modo como se orientavam as aulas no ensino em geral, embora ja existissem alguns estudos e iniciativas esporadicas sobre a sua utilizac~ao.


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Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador

como poderia ser feita a referida \navegac~ao" por objectivos de uma maneira geral.

6.1 Modelos geradores de quest~oes Ao longo do chamado roteiro, o aluno/utilizador sera confrontado com quest~oes de resposta multipla do tipo verdadeiro-falso generalizado, o que signi ca que tera um conjunto de quatro proposico~es cuja resposta so pode ser verdadeiro ou falso. Pelo facto de serem do tipo verdadeiro-falso generalizado, todas as respostas podem ser falsas ou todas verdadeiras ou ainda coexistirem respostas falsas e verdadeiras (de modo aleatorio). Tal como em outros projectos do PmatE, nomeadamente o TDMat, as quest~oes apresentadas s~ao geradas por aquilo a que chamamos de modelos geradores de quest~oes. Um modelo e um gerador de quest~oes sobre um certo tema escolhido a partida, obedecendo a uma determinada classi caca~o - classi cac~ao por objectivos cient co-didacticos (de ensino e aprendizagem) e por nveis de di culdade [28]. Cada quest~ao consta de um texto comum e de quatro itens (frases ou porc~oes de frases) que designamos, para simpli car, por respostas, constituindo quatro proposico~es distintas [28]. As quest~oes s~ao geradas aleatoriamente por express~oes parametrizadas onde os domnios dos par^ametros 2 dependem do nvel etario e escolar a que se destinam. A estas express~oes com k (k  4) opco~es de respostas chamamos modelo gerador dos enunciados ou apenas modelo gerador das quest~oes. Os quatro itens de cada quest~ao gerada podem resultar dos k possveis por sada totalmente aleatoria ou com uma aleatoriedade condicionada a prescrica~o 2 Designa-se

por par^ametro tudo o que e susceptvel de ser escolhido aleatoriamente, num certo domnio.

Os par^ametros podem ser numeros, express~oes, sinais, etc.. De nem essencialmente os valores numericos e os conjuntos onde eles podem assumir valores (o seu domnio), sendo escolhidos adequadamente, do ponto de vista matematico e educacional [15].


6.1 Modelos geradores de quest~oes

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de certos objectivos [28]. A seguinte gura mostra-nos duas concretizaco~es do mesmo modelo sobre identi cac~ao de primitivas de uma func~ao pot^encia (dois utilizadores utilizando simultaneamente o mesmo modelo t^em quest~oes formalmente equivalentes, mas distintas).

Figura 6.1: Duas concretizaco~es do mesmo modelo Os modelos e respectivas respostas s~ao elaborados com base na identi caca~o do que se pretende avaliar, nos erros mais frequentemente cometidos pelos alunos, em alguns prerequisitos e em certos objectivos espec cos, no ^ambito de um determinado tema que se


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Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador

pretende explorar. No estudo dos factores susceptveis de melhorar a e ci^encia dos programas mediatizados por computador, o feedback assume um papel central tanto pelas variadas funco~es que pode desempenhar como pelas multiplas formas que pode assumir. Para se poder implementar tal tipo de feedback e necessario que haja previamente uma analise e uma classi cac~ao cuidadosa dos diferentes tipos de erros que os alunos cometem aquando da aprendizagem dos conteudos em causa. Tal analise devera ter em conta as representaco~es e pre-representaco~es que est~ao na origem de muitos dos erros, pois sabemos, que para corrigir com e ci^encia determinados erros temos que conseguir modi car as representaco~es e as concepc~oes erradas que est~ao na sua origem [47]. Cada modelo envolve um grande trabalho de pesquisa e catalogac~ao que so e possvel se criado por uma equipa coesa e altamente quali cada na area cient ca a qual o modelo diz respeito. E um trabalho que, por um lado, exige uma pesquisa exaustiva e o estudo detalhado dos conceitos a abordar, por outro lado, a sua catalogaca~o num sistema multidimensional [15]. A designac~ao dos elementos constituintes de um modelo encontra-se em anexo (anexo 5).

6.2 Lista de objectivos ordenada; Papel do professor O projecto ambicioso que pretendemos mostrar na presente dissertaca~o tem em vista o desenvolvimento de um sistema informatico onde a avaliac~ao e aprendizagem sejam assistidas por computador, atraves de um conjunto de modelos devidamente seleccionados que orientem a navegac~ao/percurso do aluno nas diferentes fases de aprendizagem, apos, obviamente, a introduca~o dos conceitos e respectiva exploraca~o em aulas planeadas para este efeito (relembre-se o exemplo inovador da U.A. pelo departamento de Matematica, descrito atras). Cabera ao professor fazer essa escolha adequada, mas so apos ordenar uma lista de objectivos de um determinado tema que pretenda que o aluno explore em diferentes nveis de di culdade e aprendizagem assistidas por computador. Ou seja, a ideia e que o professor


6.2 Lista de objectivos ordenada; Papel do professor

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seja o \arquitecto" do roteiro, bastando para isso que de na onde, como e quando quer que determinado objectivo seja explorado, tendo como material de construca~o diferentes modelos e como ferramenta um sistema informatico criado para o efeito. Para que isso seja possvel (num futuro proximo) o PmatE disponibiliza na sua pagina Web todos os modelos criados ate ao momento3.

Figura 6.2: Pagina da Web onde se encontram os modelos Como se pode ver por esta imagem, a pesquisa pode tambem ser feita por objectivos, ja que os modelos s~ao colocados criteriosamente numa arvore multidimensional de objectivos com a estrutura de nida na seguinte gura:

3 Actualmente,

esta pagina faz parte da area de administrac~ao do sistema, a qual t^em acesso apenas os

utilizadores com per l de administrador [15].


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Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador

Figura 6.3: Estrutura da arvore de objectivos onde se encontram os modelos A seguinte imagem mostra como podemos encontrar um determinado modelo dentro da estrutura referida anteriormente.

Figura 6.4: Procura de modelos na arvore de objectivos O exemplo presente nestas imagens faz-nos voltar ao tema a que nos dedicamos na parte I da dissertac~ao. Agora, servir-nos-emos novamente do tema \Primitivaca~o" para abordar exemplos particulares de diferentes situaco~es analisadas nesta parte do trabalho. Aproveitamos desde ja para mostrar como os modelos relativos a este tema est~ao guardados numa base de dados associada ao PmatE. Essa organizaca~o encontra-se em anexo (anexo 6).


6.2 Lista de objectivos ordenada; Papel do professor

91

Analisando todo este material, o professor podera agora adquirir modelos que satisfacam a sua lista ordenada de objectivos do tema que deseja explorar. Em anexo (anexo 7) encontra-se tambem uma lista, que denominamos por lista ordenada de objectivos para o tema da Primitivaca~o. Essa lista foi elaborada de acordo com o gui~ao criado na 1a parte e com a forma como a autora desta dissertaca~o gostaria que o conhecimento e aprendizagem no campo da primitivac~ao fossem construdas ao longo da navegac~ao de um roteiro com diferentes objectivos pelos \portos", pelo que n~ao se trata de uma lista unica, mas sim dependente do professor. A relac~ao Professor-Saber-Aluno toma aqui o seu lugar. Tudo depende como esta relaca~o esta de nida. E t~ao importante o papel do professor na elaborac~ao da lista de objectivos e roteiros como e o do aluno e do saber. Poderamos, ent~ao, pensar em disponibilizar ao aluno diferentes roteiros a percorrer, informando-o de como os objectivos se encontram distribudos por estes, para que assim a construca~o do conhecimento seja feita ao ritmo da capacidade de aprendizagem de cada um. Temos aqueles que procuram um estudo mais minucioso, mais pormenorizado, necessitando de mais tempo para assimilar todos os conhecimentos e outros que, por diversas raz~oes, n~ao necessitam de tanto \cuidado" para construir o seu conhecimento. Por exemplo, pode acontecer que determinado aluno n~ao precise explorar os objectivos O1 (de nica~o de primitiva (veja-se anexo 7)) e O2 (primitivas imediatas) por considerar que essas noc~oes ja foram devidamente apreendidas. Sera sempre arriscado disponibilizar essa informaca~o, mas cabera ao aluno saber identi car as suas capacidades, com a orientac~ao do professor, se assim achar necessario, e atraves de um conjunto de mensagens, topico retratado mais a frente, que ir~ao surgindo ao longo do desempenho do aluno nos diversos \portos" de navegaca~o. O seguinte esquema ajuda-nos a visualizar de uma forma muito geral como podera ser construdo um determinado roteiro.


92

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Objectivos Nivel de di culdade

O1

(...)

Oi 1

5

O 3 _F _ _ _/ O :L_: L_

4

3

O Y3 Fo F

2

O

1

33 F 33 F F 33 F"   _ _33_ _ / O FFF 333xx< O FFxx33 xF xx FFF33 x  x " 

/

O :L_: L_

_ _ _/

:: L :: L L :: L%  _ _ _:: _ _/ LL :: r9 O LL r LL rr:r: LL : r r r LL :: LL   rr rr %

O \:Lo :LL

/

O

< 33 FF xxx E Fx 33 xx FF  xxx33 FF" o 3 / O bFFF 33xx< FFxx33 xxxFFF 33 F  xx

9 rr B :: LLL rrr LL  ::rrr L  rrrr:: LLL% / o : O eLLLL ::rrr9 : r  LLr Lr :  rrr LLL :::  LL  rrr



Msg



Msg







Oi _ _ _/

Oi+1

(...)

On

O 4_F _ _ _/ O 4_F _ _ _/ O 3 _F _ _ _/ O 3

33 F 44 F 33 33 F F 44 F 33 F 33 44 33 F"  F#   33_ _/ 33 _ _44_ _ / _ _ O FFF 444xx; O FFF 333xx< O FFF 333 FF 3 FFxx4 FFxx33 FF 33 xF 4 xF FF 3 xx FFF33 xx FFF44 x x  x "  "  #  x

44 F :: L 44 F :: L L 44 F F :: L%  # : _ _ _: _ _/ _ _44_ 44 _/; LL :: r9 O F FF 4xx LL r LL rr:r: FFxx4 LL : r xF 4 r xx FFF44 rr LLL:: r x   L r x # r % / o o / L 9 \::LLL x; E rrB O Y44FFF r x 44 FFxx

:: LL rr  LL  44xxFF

::rrr r: LLL r xx44

FF#  L r x : r %  / o o

/ eLLL ::: r9 O cFF

444 x; LL r:rr F F x4x r :: x 4

F rL  L rL

 xxFFF444 : L r x L r

:  LL  xx F rrr

O Y44oFF



Msg



Msg



Msg

Msg Msg Figura 6.5: Roteiro geral

/

o

/

O

x; E O Y33FFF x< E 44 FFFxxx

33 FFxxx

F F x x 44x F

3 x F  xxx44

FF#  xxx33 FF" o o

4 / 3 / O cFFF

44xx; O bFFF 33xx< 4

FFxx 4 FFxx33

xxxFFF444 xxxFFF 33

F F  xx  xx



As setas a tracejado representam os movimentos que entendemos ser como os menos frequentes, na medida em que se aconselha que a explorac~ao de cada objectivo se inicie se possvel a um nvel de di culdade igual a 3 ou a 2. Nas secc~oes que se seguem iremos abordar cada um dos movimentos retratados neste esquema geral, assim como, sugest~oes de medidas e regras a tomar na elaboraca~o e navegaca~o de roteiros deste tipo.

6.3 Tipos de movimentos na navegac~ao Durante o referido percurso poderemos assistir a movimentos ascendentes ou descendentes em qualidade (mudanca de nvel de di culdade) e/ ou movimentos laterais direitos ou laterais esquerdos, de acordo com o tipo de objectivos alcancados ou n~ao. Represente-se por k, o numero de respostas correctas (este numero varia entre 0 e 4 4, 4 Relembre-se

/

Msg

< E xx xx x x  xxx O 

que cada modelo apresenta-nos quatro proposic~oes do tipo verdadeiro-falso generalizado


6.3 Tipos de movimentos na navegac~ao

93

e sera determinante para a escolha do movimento seguinte), por ND o nvel de di culdade (que varia entre 1 e 5) e por O o objectivo considerado. 6.3.1 Movimento lateral direito Movimento ascendente

O \movimento ideal" sera da esquerda para a direita e/ou ascendente, o que equivale a dizer que sera feito por um aluno que consegue atingir com relativo sucesso os objectivos propostos de um determinado tema em diferentes nveis de di culdade. Exempli quemos esta hipotetica situac~ao com o seguinte esquema: Oi ND = l

k 3 /

Oj (j  i) ND = m

Figura 6.6: Movimento lateral direito e/ou movimento ascendente Ao obter k  3, o movimento seguinte podera ser feito ainda dentro do mesmo objectivo Oi ou para um superior Oj (j > i). Para cada um destes casos e importante ter em atenca~o ao nvel de di culdade (ND) que o novo \porto" devera ter.  Se o objectivo seguinte for o mesmo, o ND devera ser maior e nunca menor ou igual;  Se o objectivo seguinte for superior ao anterior (na lista ordenada de objectivos elaborada pelo professor), o ND devera ser maior ou igual ou menor desde que o nvel de di culdade do objectivo anterior n~ao seja igual a 2 (isto porque, aconselha-se que a exploraca~o de cada um dos objectivos se inicie se possvel a um ND = 3 ou 2, nunca abaixo destes nveis).


94

Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador

Exemplo 6.3.1 Suponhamos que o aluno se encontra perante a seguinte concretizaca~o de um modelo formal para aplicar a de nica~o de primitiva (O1 , de acordo com a nossa lista ordenada de objectivos (anexo 7)

Figura 6.7: O1=De nica~o de primitiva, nvel de di culdade 3 Ao obter k

 3 poderamos por exemplo elevar o aluno a um nvel de di culdade maior

ainda dentro do mesmo objectivo como nos mostra o seguinte esquema:

O1 ND = 4 k 3

O

O1 ND = 3

Figura 6.8: Maior nvel de di culdade para o mesmo objectivo Se o professor considerar que esta situaca~o n~ao e necessaria, pode permitir que o aluno siga para o objectivo seguinte. No exemplo que estamos a abordar, o objectivo seguinte sera

O2 = Primitivas imediatas:


6.3 Tipos de movimentos na navegac~ao

O1 ND = 3

k 3 /

95

O2

ND = 2 ou 3

Figura 6.9: Passagem para um objectivo diferente A seguir encontra-se uma concretizaca~o de um modelo que permite explorar O2 .

Figura 6.10: O2- Primitivas imediatas, nvel de di culdade 2 Para este caso em especial, e uma vez que dentro de O2 temos muito por onde \navegar", nomeadamente por diversos tipos de funco~es, poderamos, por exemplo, pensar num roteiro que elevasse este objectivo ao nvel de di culdade mais alto. E tambem uma forma de mostrar ao professor e aluno se os conhecimentos est~ao mal ou bem alicercados.

6.3.2 Movimento lateral esquerdo Movimento descendente

Para k = 0; 1 ou 2 (k < 3) num determinado \porto", daremos oportunidade ao aluno de mostrar os seus conhecimentos dentro do mesmo objectivo, mas a um nvel de di culdade inferior - movimento descendente - o mais basico possvel. Se tambem aqui as di culdades n~ao


96

Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador

se mostrarem ultrapassadas, ent~ao o aluno parece n~ao estar ainda preparado para o objectivo em quest~ao e devemos, se possvel, faz^e-lo regredir na rede de objectivos- movimento lateral esquerdo. O seguinte esquema apresenta-nos este movimento: Oi (i < j ) ND = l iRRR

RRR RRR R k< RRRRR

3

Oj ND = m 

k<3

Oj ND = n (n < m)

Figura 6.11: Movimento lateral esquerdo; movimento descendente Exemplo 6.3.2 Considere-se que neste momento nos encontramos a explorar o objectivo O9 (metodo de primitivaca~o por partes: aplicaca~o pratica a um produto de funco~es), a um nvel de di culdade igual a 2. A seguinte imagem mostra-nos uma concretizaca~o de um modelo que nos permite explora-lo.

Figura 6.12: Aplicac~ao pratica da regra de primitac~ao por partes


6.3 Tipos de movimentos na navegac~ao

97

Imagine-se que o aluno obtem k < 3. Para este caso, o aluno seria conduzido a um nvel mais baixo deste objectivo, neste caso sera para um nvel de di culdade igual a 1. Mas se tambem aqui obtiver insucesso, poderamos pensar num movimento lateral esquerdo que o conduzisse ao objectivo anterior a este. Para o exemplo em quest~ao esse objectivo seria O8 = Metodo de primitivaca~o por partes: aplicaca~o formal. Apresenta-se de seguida, uma concretizaca~o de um modelo dirigido para tal.

Figura 6.13: Aplicac~ao formal da regra de primitivac~ao por partes Esquematizando podemos ter algo do tipo:

O8 ND = 2 gPPP

PPP PPP PP k< PPPPP P

3

O9 ND = 2 

k<3

O9 ND = 1

Figura 6.14: Movimento descendente; movimento lateral esquerdo


98

Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador Se falhar em O8 ND

= 2, o sistema devera conduzir o aluno ate O8ND = 1?

E se

tambem aqui ocorrer insucesso? Uma soluca~o seria, por exemplo, faz^e-lo regredir ainda mais na lista ordenada de objectivos. Mas, quando parar? Sera vantajosa e conclusiva uma regress~ao t~ao grande? o aluno n~ao se sentira frustrado? N~ao estaremos a desmoraliza-lo? Pensemos, agora, que o aluno obtem sucesso em O9 ND

= 1.

Aqui parece-nos plausvel

deixa-lo voltar novamente para O9 ND = 2. Por outro lado, aquando da regress~ao, se tambem obtiver sucesso em O8 ND = 2, voltara novamente a O9 ND = 2.

Imediatamente apercebemo-nos que desta forma podemos cair no risco de repetir os

mesmos movimentos vezes sem conta se se tornar a assistir a k < 3.

Apresentar soluco~es para estes impasses e o que nos propomos fazer ja de seguida.

6.4 Repetic~ao de percurso; Navegac~ao bloqueada As situaco~es apresentadas na secca~o anterior provocam quest~oes evidentes. Assim, para que n~ao existam repetico~es de percurso, nem regress~oes muito longas, prop~oe-se que no caso de existir insucesso por duas vezes num mesmo objectivo no mesmo nvel de di culdade (apos uma regress~ao ou apos ter atingido o nvel de di culdade mais baixo deste objectivo) o sistema bloqueie, por breves momentos, a navegac~ao do aluno. Sugere-se, tambem, que uma mensagem de alerta apareca no ecr~a do computador, para que o aluno re icta sobre eventuais justi caco~es para o seu desempenho ate este momento. Exemplo 6.4.1 Os seguintes esquemas mostram-nos diferentes situaco~es que impedem repetico~es e regress~oes muito longas de percursos para o exemplo que analisamos anteriormente, de acordo com a regra estabelecida.


6.4 Repetic~ao de percurso; Navegac~ao bloqueada

99

Situa ca~o A

O9 ND = 2 

O9 ND = 2 k 3

k<3

O9 ND = 1

O

O9 ND = 1

Figura 6.15: Movimento 1

Figura 6.16: Movimento 2 O9 ND = 2 

k<3

Mensagem Figura 6.17: Movimento 3 

Movimento 1:

Insucesso no objectivo onde se encontra (1a falha em O9 ND = 2) \Desce" ate O9 ND = 1



Movimento 2:



Movimento 3:

Sucesso no nvel mais basico. Volta para O9 ND = 2 Novo insucesso em O9 ND = 2 . O sistema bloqueia a navegac~ao e surge uma mensagem de alerta.


100

Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador Situa ca~o B

O8 ND = 2

k 3 / aCC

O9 ND = 2

CC CC k< CC

3



O9 ND = 2

k<3

O9 ND = 1

Figura 6.18: Movimento 1,2 e 3 



k<3

Mensagem Figura 6.19: Movimento 4

Movimento 1,2 e 3:

Insucesso no objectivo onde se encontra, em O9 ND = 2 (1a falha em O9 ND = 2) \Desce" ate O9 ND = 1

Insucesso no nvel mais basico Regress~ao na lista ordenada de objectivos

Sucesso na regress~ao (sucesso em O8 ND = 2) De novo em O9 ND = 2.



Movimento 4:

Novo insucesso em O9 ND = 2(2a falha em O9 ND = 2) O sistema bloqueia a navegaca~o e surge uma mensagem de alerta.


6.4 Repetic~ao de percurso; Navegac~ao bloqueada

101

Situa ca~o C

O8 ND = 2 

k<3

aCC

O9 ND = 2

CC CC k< CC

3

O8 ND = 1



O8 ND = 2 k 3

k<3

O9 ND = 1

O

OS8 ND = 1

Figura 6.20: Movimento 1,2 e 3

Figura 6.21: Movimento 4 O8 ND = 2 

k<3

Mensagem Figura 6.22: Movimento 5 

Movimento 1,2 e 3:

Insucesso no objectivo onde se encontra, em O9 ND = 2 (1a falha em O9 ND = 2) \Desce" ate O9 ND = 1 Insucesso no nvel mais basico.

Regress~ao na pasta de objectivos

Insucesso na regress~ao em O8 ND = 2(1a falha em O8 ND = 2) \Desce" em O8 ND = 1



Movimento 4: Sucesso no nvel mais basico



Movimento 5:


102

Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador 2a falha em O8 ND = 2 O sistema bloqueia a navegaca~o e surge uma mensagem de alerta.

De seguida, apresentam-se possveis mensagens de alerta para o exemplo em estudo:  ATENCA~ O: O objectivo metodo de primitivaca~o por partes n~ao foi alcancado. Procure dissipar as suas duvidas  A sua navegaca~o foi interrompida. Registaram-se erros na apreens~ao do metodo de primitivac~ao por partes.

Para que o utilizador que mais esclarecido sobre as suas lacunas, sugere-se, tambem, que o sistema ao contabilizar o numero de respostas erradas, contabilize dentro dessas respostas a percentagem de erro para cada objectivo das respostas. Poderia ser tambem uma informaca~o a fornecer nas mensagens. Vejamos como se pretende que o sistema organize esses dados.

6.5 Contagem de erros Cada uma das respostas associadas ao modelo e tambem codi cada segundo uma estrutura semelhante a dos modelos (veja-se a pagina (89)), embora neste caso, exista ainda mais alguma informac~ao. Cada resposta pode, no contexto do modelo, ter um objectivo particular, pelo que as respostas ainda e possvel associar mais do que um objectivo. Os varios objectivos, n~ao devem no entanto sair do ^ambito do objectivo da quest~ao. O objectivo do modelo ca, por conseguinte, automaticamente associado a resposta [15]. A codi caca~o das respostas baseia-se na mesma arvore de objectivos dos modelos. Desta forma garante-se que existe sempre um vertice que une qualquer resposta a um conjunto de modelos e n~ao exclusivamente ao modelo ao qual a resposta diz respeito [15]. Veja-se o exemplo da seguinte concretizac~ao de um modelo onde se pretende explorar O2:


6.5 Contagem de erros

103

Figura 6.23: O2- Primitivas imediatas, nvel de di culdade 2 Analisando-o, conclui-se que o objectivo principal e a primitivac~ao de uma constante. No entanto, repare-se nos objectivos \por tras" deste: pretende-se a primitivac~ao de uma funca~o cuja variavel e diferente da variavel de primitivac~ao; a famlia de funco~es F esta tambem de nida por uma notaca~o que o aluno pode conhecer ou n~ao; exige-se tambem o conhecimento de algumas relaco~es trigonometricas5. Estes objectivos, digamos secundarios, podem, inevitavelmente, in uenciar o desempenho do aluno. Ou seja, perante uma determinada concretizaca~o de um modelo, podemos pensar por exemplo que o que leva o aluno a responder incorrectamente s~ao varios factores que se t^em vindo a acumular ao longo da navegaca~o e das aulas, como conceitos mal apreendidos, desconhecimento de formas de calculo, entre outras. Sendo assim, geradas as quest~oes, pretende-se que o sistema contabilize os objectivos presentes em cada resposta errada da seguinte forma:

5 Algumas

destas informac~oes podem ser obtidas antes da concretizac~ao do modelo. Veja-se a gura (6.4)

da pagina (90)


104

Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador

Objectivos Soma de Controle Contador de erros Frequ^encia relativa (%)

tj ii

O1

t1

i1

O2

t2

i2

O3

t3

i3

i1 t1 i2 t2 i3 t3

...

...

...

...

Identi quemos os itens nesta tabela: numero total de vezes que o objectivo Oj esta presente nas respostas (n~ao no modelo) contador que acumula um ponto sempre que uma resposta que envolva o objectivo Oj esteja errada

este quociente, apresentado sob a forma de percentagem, quanti ca a aquisica~o de um determinado objectivo.6 Essa informac~ao, como ja tnhamos referido atras, tambem podera ser fornecida na mensagem de alerta quando o sistema bloqueia por erros sucessivos em determinados objectivos como vimos atras. Assim, caremos a conhecer em qual dos objectivos houve mais falhas. Essa contabilidade devera estar em permanente actualizac~ao ao longo da navegaca~o pelos diferentes \portos". Desta forma, sera mais facil descobrir os possveis motivos da \estagnaca~o". ii =tj

6.6 Medidas a tomar Perante uma mensagem de alerta com todas as informac~oes sobre o estado do seu desempenho, o aluno poder-se-a sentir \desamparado" relativamente as medidas a tomar. Poderamos, por exemplo, pensar em disponibilizar novas concretizaco~es de diferentes modelos que voltassem a explorar os objectivos falhados, de forma a minimizar a percentagem de erro. Por breves momentos, o aluno sairia do percurso principal, para um outro 6 Por

exemplo, se todas as respostas que envolvam Oj estiverem erradas, este quociente sera igual a 100%,

logo estaremos perante um objectivo n~ao atingido.


6.6 Medidas a tomar

105

onde pudesse colmatar as suas duvidas e fraquezas, voltando mais tarde ao inicial, quando a percentagem de erros fosse nula. Por exemplo, se o aluno apresentasse um numero signi cativo de erros na presenca das funco~es trigonometricas (como n~ao saber derivar ou n~ao reconhecer as relaco~es trigonometrica) em diferentes momentos de navegaca~o do tema \Primitivas" apresentaramos um roteiro extra, fora do principal, onde pudesse explorar o ou os objectivos falhados relativos ao tema \Func~oes trigonometricas". O \contador" de objectivos n~ao atingido podera ser, se o professor assim o entender, o criterio de paragem ou de volta. Isto e, ao inves de regredir na lista ordenada de objectivos, poderamos permitir o movimento lateral direito, mesmo que o aluno n~ao consiga responder com sucesso as quest~oes colocadas num determinado objectivo. Entretanto, as \falhas" v~ao sendo registadas. O professor quando de ne os objectivos em analise, podera tambem de nir regras de movimento de \volta" a um determinado objectivo quando o contador atingisse um determinado limite. A navegaca~o bloqueia e o aluno so voltara ao normal percurso quando a reduc~ao de percentagem de erro do objectivo com falhas for satisfatoria. Mas, se por um lado esta medida pode n~ao trazer qualquer resoluca~o ao problema, por outro poder~ao n~ao estar disponveis roteiros espec cos para o objectivo em falha, ja que este pode n~ao ter sido programado pelo Professor. Mais uma vez e de extrema import^ancia a intervenc~ao do professor. Relembre-se a relac~ao Professor - Saber - Aluno. Aspectos exteriores poder~ao n~ao ser reconhecveis pelo sistema informatico utilizado, pelo que, muitas das vezes sera necessario estabelecer um dialogo aberto e sincero entre aluno e professor para que mais facilmente se chegue a uma conclus~ao sobre o porqu^e das di culdades sentidas. O passado escolar do aluno, ha quanto tempo n~ao exercita os conhecimentos adquiridos, a disponibilidade para estudar, poder~ao ser alguns dos topicos a focar.


106

Sistema de Avaliac~ao e Aprendizagem assistidas por Computador

O Professor pode rever o caminho percorrido pelo Aluno e, assim, identi car em que momentos ele se afastou do objectivo pretendido, discutindo com o aluno o que o levou a fazer tais escolhas e ajudando-o a repensa-las e, assim, de nir novos rumos [35]. A elaborac~ao de trabalhos escritos e apresentados nas aulas, de forma a promover a escrita e discuss~ao Matematica na sala de aula, pode tambem ser uma medida a tomar. O exemplo inovador da U.A descrito atras mostra bem como esta opc~ao se tornou compensadora. Para que estas medidas d^eem frutos, em cada mensagem de alerta que surja ao longo da navegac~ao, prop~oe-se que seja apresentada uma pequena lista de textos referentes aos objectivos falhados no \porto" onde se encontra. Essa lista, podera, por exemplo, ser feita pelo professor encarregue pela disciplina. No entanto, chama-se a atenca~o para o facto de n~ao ser bene ca uma lista muito longa, pois pode-se cair no risco do aluno se desinteressar e de se perder no meio de tanta informaca~o. O acesso a estes textos seria imediata, bastando para isso um simples clic em cada elemento dessa lista, para que, sem desligar o computador, o aluno possa ter as informac~oes que necessita. O gui~ao apresentado na primeira parte desta dissertaca~o podera ser uma ferramenta de apoio sempre que hajam duvidas e receios ao longo da navegac~ao. Como ja foi referido, a lista ordenada de objectivos por nos apresentada em anexo (anexo 7), base da elaborac~ao do roteiro, foi elaborada de acordo com esse gui~ao, pelo que qualquer duvida, incerteza, pode (ou n~ao) ser dissipada com a ajuda deste. Esta medida n~ao e inedita, ja que as propostas de bibliogra a que os professores apresentam no incio das apresentac~oes das suas disciplinas t^em em vista este mesmo objectivo. No entanto, com a ajuda das novas tecnologias informaticas, o aluno tera acesso directo ao gui~ao e ao texto exacto daquilo que procura, sem perder muito tempo com isso. Por exemplo, se se notar sucessivos erros na primitivaca~o de funco~es racionais na mensagem de alerta podemos encontrar diferentes orientac~oes como a que a seguir se apresenta:


6.6 Medidas a tomar

107

 Consulte paginas 52-67 do gui~ao sobre \Primitivaca~o" e resolva os exerccios a propostos.

Na verdade, as facilidades com que o aluno chega a diferentes textos de apoio atraves de meios informaticos e uma realidade nos dias de hoje, n~ao podemos, ent~ao, nega-lo no sistema informatico de avaliaca~o e aprendizagem que aqui idealizamos. Note-se que no referido gui~ao teve-se o cuidado de expor de forma sucinta e simples o tema que nos propusemos abordar. A tambem se encontram diversos exemplos, quest~oes e exerccios propostos cuja funca~o e permitir ao aluno crescer no conhecimento e adquirir gradualmente compet^encias no campo das primitivas. Poder-se-ia tambem pensar em disponibilizar um ou dois sites que o professor considere que tenham a informaca~o desejada. Tal como e referido em [36], o professor do presente e do futuro deve aceitar uma posic~ao de \facilitador" da aprendizagem, sem receio de estar, igualmente a aprender. Na escola, ou fora dela, podera criar ambientes de troca de conhecimentos que permitam encarar a realidade social em qualquer perspectiva. Nesta aprendizagem integrada, o aluno fara uma re ex~ao crtica sobre a in nidade de informac~oes disponveis, preparando-se assim para a \sociedade do conhecimento" e para as multiplas val^encias que o mundo do trabalho cada vez mais exige. Mostra-se assim a import^ancia da motivaca~o e interesse do aluno em superar as suas di culdades perante tais medidas de resoluca~o dos muitos bloqueios possveis da navegaca~o por diferentes \portos" de um roteiro.


Captulo 7 Conclus~oes O primeiro passo, natural em todo o momento de transica~o, e a adaptaca~o do antigo ao novo. E um desa o que envolve aspectos como a propria construca~o dos ambientes, a formaca~o dos professores e novas propostas curriculares [34].

Qualquer projecto proposto para a Educaca~o, para qualquer nvel nvel de escolaridade e, na maioria das vezes, encarado com um certo cepticismo, mesmo que o queiramos negar. E um sentimento que n~ao deixa de ser normal, assim como receios e incertezas em qualquer um dos envolvidos, a comecar exactamente por quem o prop^os. Falar em mudar acarreta muitas interrogaco~es e duvidas. Torna-se difcil mudar rotinas e praticas de muitos anos dos nossos professores. Porque n~ao e facil mudar opini~oes e atitudes, s~ao admissveis estas preocupac~oes. Todos reconhecem o papel fundamental das instituico~es escolares no desenvolvimento intelectual, social e afectivo do indivduo. Assim, numa sociedade de bases tecnologicas, com mudancas contnuas, em ritmo acelerado, n~ao e mais possvel ignorar as alterac~oes que as tecnologias provocam na forma como as pessoas v^em e apreendem o mundo, bem como desprezar o potencial pedagogico que tais tecnologias apresentam quando incorporados a Educaca~o [35]. E importante contribuir para que o aluno transforme os seus pensamentos, seja motivado a compreender conceitos, a re ectir sobre eles e consequentemente a criar novos signi cados.


109

Neste contexto, o papel do professor e fulcral, indispensavel. E ele o primeiro orientador do processo de aprendizagem. A forma como o professor desencadeia as suas acc~oes pedagogicas esta impregnada pela concepca~o que tem sobre um determinado tema [35]. E a partir do professor que todo o processo de ensino-aprendizagem se inicia. Alias, todos os projectos direccionados para a Educac~ao n~ao devem descurar desta ideia. O projecto apresentado nesta dissertac~ao n~ao prescinde do professor ou de outro envolvido no processo ensino-aprendizagem. As novas tecnologias da informac~ao e do conhecimento n~ao substituem os professores, embora possam alterar a relaca~o pedagogica [36]. Para que haja avanco no conhecimento e importante, por um lado, que o professor projecte as actividades a serem desenvolvidas, e por outro que o aluno esteja plenamente motivado a responder positivamente ao que lhe e proposto. Este sera o ponto de partida para que o projecto proposto tenha perspectivas de sucesso. Estamos cientes que n~ao sera facil, mas os resultados ja obtido pelo PmatE, nomeadamente do TDMat e do exemplo inovador descrito nesta dissertaca~o, levam-nos a acreditar que a adaptac~ao n~ao sera t~ao morosa como o esperado. Um optimo tema de estudo sera certamente, a analise dos resultados obtidos com a aplicaca~o do projecto proposto. Como reage o aluno a este tipo de avaliac~ao e aprendizagem assistidas por computador? Aumentou o gosto pela Matematica? Melhorou a qualidade de ensino? Alterou-se o ritmo de trabalho? A avaliaca~o tornou-se mais avel e objectiva? Infelizmente, por motivos de calendario, n~ao nos foi possvel responder a estas quest~oes nesta dissertaca~o. Contudo, pretende-se que dentro em breve, seja possvel a aplicabilidade do projecto apresentado, nomeadamente na disciplina de Calculo I do Departamento de Matematica da Universidade de Aveiro, onde possamos responder a todas as quest~oes levantadas.


110

Conclus~oes

Saliente-se ainda que apesar do tema \Primitivaca~o" ter servido como exemplo para o sistema de avaliaca~o e aprendizagem assistidas por computador, qualquer outro tema teria servido. Poderamos, por exemplo, pensar em aplicar o sistema a alunos de Matematica do 12o ano. Com a chegada dos exames nacionais e com a perspectiva de um curso superior em mente, muitos s~ao aqueles que procuram um maior acompanhamento junto de \explicadores" e centros de estudo, por considerarem que muitas das suas di culdades n~ao s~ao satisfatoriamente colmatadas na sala de aula. A introduca~o do metodo de trabalho descrito nesta dissertaca~o podera ser uma soluca~o. Espera-se que a evoluca~o dos sistemas de ensino e dos ambientes de aprendizagem, possam abrir as portas a um projecto deste tipo. Temos sempre em mente a relaca~o Professor-Aluno-Saber. Pretende-se que esta seja sempre mais forte qualquer que seja o nvel de escolaridade considerado. Apercebemo-nos cada vez mais que as gerac~oes futuras v~ao necessitar de ambientes de aprendizagem apoiados por computadores e redes interactivas e onde professores e alunos possam interagir na busca e partilha de conhecimentos. Tendo em conta as potencialidades das novas tecnologias, julgamos que o caminho das mudancas e inovaco~es no sistema actual do ensino n~ao pode prescindir do seu contributo.


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I

Anexo 1 Regras de derivac~ao Func~ ao

Derivada

( )n

( )n

f x

n:f x

f (x)

e

f

f (x)

a

f

ln f (x)

( )

sin(f (x))

f

cos(f (x)) f

0 (x)

cot(f (x)) f

f

arccos(f (x)) arctan(f (x))

0 (x) sin(f (x)) =

f

0 (x): sec2 f (x)

0 (x) csc2 (f (x))

0 ( x) + g 0 ( x)

0 (x):g (x) + f (x):g 0 (x) 0 0 f (x):g (x) f (x):g (x)

( ) ( )

f

( )

f x

para estas duas funco~es.

f

f

f x :g x

( )

( )2

g x

g x

)(x) = f (g (x))

Observac~ao : Relembre-se que sec x =

+

1 + (f (x))2

( ) + g (x)

g

2 R n f1g)

0 (x) cot(f (x)) csc(f (x)) 0 f ( x) p 1 (f (x))2 0 f (x) p 1 (f (x))2 0 f ( x)

f x



(a

0 (x) tan(f (x)) sec(f (x))

arcsin(f (x))

(f

0 (x):ef (x)

2R

0 (x) cos(f (x))

f

csc(f (x))

(n

( )

cos2 (f (x))

sec(f (x))

0 (x)

f x

0 (x)

f x :lna

tan(f (x))

:f

0 (x):af (x) : ln a (a 2 R+ n f1g) 0 f ( x) f

loga f (x)

1

1 cos x

g

e csc x =

0 (x):f 0 (g (x))

1 sec x

. Veri que ent~ao as derivadas apresentadas


II

Anexo 2 Primitivas Imediatas Z Z

(a constante)

adx

n

6

(n =

x dx

Z

Z

1)

x

a

Z

Z Z Z Z Z

+

x

+1

1

sin xdx

a

2R C

C

+ C;

j j+ x

C

+ C;

+ C; x

ln a ln

dx

C;

cos x + C;

C

C

C

sin x + C;

C

sec2 xdx

tan x + C;

C

p

1 1

1

x

2

1 + x2

dx

2R

2R 2R 2R 2R 2R 2R 2R 2R 2R

cos xdx

csc2 xdx

Z

n

+ C;

n+1

e

2 R n f 1g 1

x

x

x

e dx

a dx

ax

cot x + C;

C

arcsin x + C;

C

arctan x + C;

C


III

Anexo 3 Primitivas \Quase" Imediatas Observac~ao: g e uma funca~o derivavel e a composta de funco~es considerada, em cada um dos seguintes

casos, esta de nida num intervalo: Z 0 n g (x)g (x) dx (n 6= 1) Z 0 g (x) g (x)e dx Z g (x)

a

Z

a g

2 R n f 1g

0 (x) ( )

Z

g x

g

Z

g

Z Z

dx

+

dx

0 (x) sin(g (x))dx

0 (x) cos(g (x))dx

( )n+1

g x

:::::::::: g

0 (x)

ln a ln

+ C;

+1

n

j

+ C;

g (x)

a

::::::::::

C

+ C;

j

( ) + C;

g x

C

+ C;

C

C

C

sin(g (x)) + C;

C

g

0 (x) sec2 (g (x))dx

::::::::::

+ C;

C

g

0 (x) csc2 (g (x))dx

::::::::::

+ C;

C

Z

0 g (x) p dx 2 1 g ( x) Z 0 g (x) 1 + g (x)2

2R 2R 2R 2R 2R 2R 2R 2R 2R

arcsin(g (x)) + C; arctan(g (x)) + C;

C

C

2R

Complete os espacos a tracejado. Oriente-se pela tabela das primitivas imediatas ou pela tabela das regras de derivaca~o.


IV

Anexo 4 F ormulas Trigonometricas



sin2 (u) + cos2 (u) = 1



1 + tan2 (u) = sec2 (u)



1 + cot2 (u) = csc2



1 sin(u)cos(u) = sin(2u) 2 1 sin2 (u) = (1 cos(2u)) 2 1 cos2 (u) = (1 + cos(2u)) 2 u + v  u v  cos sin(u) + sin(v ) = 2 sin 2 2 u v  u + v  sin(u) sin(v ) = 2 sin cos 2 2 u + v  u v  cos(u) + cos(v ) = 2 cos cos 2 2 u + v  u v  sin cos(u) + cos(v ) = 2 sin 2 2 1 sin(u) sin(v ) = [cos(u v ) cos(u + v )] 2 1 sin(u) cos(v ) = [sin(u + v ) + sin(u v )] 2 1 cos(u) cos(v ) = [cos(u + v ) + cos(u v )] 2

        

(u e v s~ao funco~es de x)


V

Anexo 5 Caracterizac~ao dos elementos constituintes de um modelo MODELO Observa c~ oes/indica co ~es de programa c~ ao

Escreve as observaco~es e/ou indicaco~es para a programaca~o Nota co ~es e Abreviaturas

 2 f+ g;

n, n

o

;

n=

o

n; r, 4 2 f g ;

Aqui s~ao descritos os smbolos elaborados na elaboraca~o do modelo. Os simbolos acima indicados s~ao exemplos frequentemente utilizados, por forma a que a linguagem usada seja perceptvel para todos os intervenientes na elaboraca~o do modelo [28] Dom nio dos Par^ ametros

Designamos por par^ametro tudo o que e susceptvel de ser escolhido aleatoriamente, num certo domnio. Podem ser numeros, express~oes, sinais, etc[28]. Texto

O modelo propriamente dito, e descrito nos campos que se seguem: Texto, Respostas e Validaca~o. O texto consta, em geral, de um conjunto de palavras e/ou express~oes, matematicas ou de linguagem, geradas aleatoriamente ou n~ao, que em cada concretizaca~o do modelo e comum as quatro asserco~es [28]. Respostas

Verdadeira se e s o se:

R1 R2 R3 R4 :::

Cada resposta

:::

Rk

e composta por palavras e/ou express~oes matematicas geradas aleatoriamente

nos respectivos domnios, que, conjuntamente com o texto, forma a asserca~o Ak a qual sera atribudo


VI um valor logico, Verdadeiro ou Falso, dependendo dos par^ametros gerados. A validaca~o consiste em avaliar em que condico~es a asserca~o se torna verdadeira [28]. Para mais informaco~es sobre modelos geradores de quest~oes, ver [28].


VII

Anexo 6 Lista de objectivos Tema - Antiderivada ou primitiva S T1

- De nic~ao de Primitiva OP1

- De nica~o de Primitiva OS11

= De nica~o de primitiva de uma func~ao 11

OM1 OS12

= Derivabilidade da primitiva 12

OM1 OS13

13

14

= Todos os anteriores

- Propriedades das primitivas OS21

= Linearidade (aditividade/produto por uma constante) 21

- Aditividade

21

- Produto por uma constante

21

- Todos os anteriores

OM1

OM2 OM3 OS22

= Todos os anteriores 22

OM1 OP3

= Todos os anteriores

= Todos os anteriores

OM1 OP2

= Todos os anteriores

= Variavel de primitivaca~o

OM1 OS14

= Todos os anteriores

= Todos os anteriores

- Teoremas sobre exist^encia de Primitivas OS31

= N~ao unicidade 31

OM1 OS32

= Diferenca entre duas primitivas 32

OM1 OS33

= Todos os anteriores = Todos os anteriores

= Primitivas de funco~es contnuas


VIII 33

OM1 OS34

= Primitiva da composta 34

OM1 OS35

35

= Todos os anteriores

- Todos os anteriores OS41

= Todos os anteriores 41

OM1

S T2

= Todos os anteriores

= Todos os anteriores

OM1 OP4

= Todos os anteriores

- Todos os anteriores

- Primitivas imediatas e/ou quase imediatas OP1

- Primitivas imediatas OS11

= Funca~o constante 11

OM1 OS12

= Funca~o a m 12

OM1 OS13

13

14

- Todos os anteriores

= Funca~o exponencial de base a 15

OM1 OS16

- Todos os anteriores

= Funca~o exponencial de base e

OM1 OS15

- Todos os anteriores

= Funca~o pot^encia

OM1 OS14

- Todos os anteriores

- Todos os anteriores

= Funco~es trigonometricas directas 16

= sin(x)

16

= cos(x)

16

= tan(x)

16

= cot(x)

16

= sec(x)

16

= csc(x)

OM1 OM2

OM3 OM4

OM5

OM6


IX 16

= sec2 (x)

16

= csc2 (x)

16

= sec(x) tan(x)

16

= csc(x) cot(x)

16

= Todos os anteriores

OM7 OM8 OM9

OM10

OM10 OS17

= Funco~es cujas primitivas s~ao as funco~es trigonometricas inversas 17

OM1

17

= Primitiva de  1 1x2

17

= Todos os anteriores

OM2

OM3 OS18

= Todos os anteriores 18

OM1 OP2

= Primitiva de  p11 x2

- Todos os anteriores

- Primitivas quase imediatas OS21

= Funco~es pot^encia (un :u0 ) 21

OM1 OS22

= Funco~es do tipo 22

OM1 OS23

u0 u

cuja primitiva e a funca~o logartmica

- Todos os anteriores

= Funca~o exponencial (eu :u0 ) 23

OM1 OS24

- Todos os anteriores

- Todos os anteriores

= Exponencial de base a 6= e (au :u0 ) 24

OM1

- Todos os anteriores

= Funco~es trigonometricas directas 26 OM = sin(u)u0

OS25

1

= cos(u)u0 26 OM = tan(u)u0 26

OM2

3

= cot(u)u0 26 OM = sec(u)u0 26

OM4

5

26

= csc(u)u0

26

= sec2 (u)u0

OM6 OM7


X 26

OM8

= csc2 (u)u0

= sec(x) tan(u)u0 26 OM = csc(x) cot(u)u0 26

OM9

10

26

OM11 OS26

= Funco~es cujas primitivas s~ao as funco~es trigonometricas inversas 27

OM1

0

= Primitiva de  1 uu2

27

= Todos os anteriores

OM3

0

- Todos os anteriores OS31

= Todos os anteriores 31

OM1

S T3

= Primitiva de  p1u u2

27

OM2

OP3

= Todos os anteriores

- Todos os anteriores

- Metodos de Primitivaca~o OP1

-Metodo de Primitivaca~o por partes OS11

= Deduca~o do metodo 11

OM1 OS12

= Aplicaca~o formal 12

OM1 OS13

- Todos os anteriores - Todos os anteriores

= Aplicaca~o pratica 13

= Aplicaca~o de uma unica funca~o

13

= Aplicaca~o a um produto de funco~es

13

= Todos os anteriores

OM1 OM2 OM3

= Primitivaca~o de funco~es trigonometricas inversas 14 OM = arctan(u)u0

OS14

1

( ) 0 14 0 OM3 = arcsin(u)u 14 OM = arccos(u)u0 14

OM2

=

arccotg u u

4

14

OM5

= Todos os anteriores


XI OS15

= Primitivaca~o da funca~o logartmica 15

OM1 OS16

= Primitivaca~o por recorr^encia 16

= Casos gerais

16

= Casos especiais:

16

= Todos os anteriores

OM1 OM2

OM3 OS17

17

ou eu sin(u)u0

- Todos os anteriores

= Metodo de primitivaca~o por substituica~o OS21

= Deduca~o do metodo 21

OM1 OS22

22

OS23

23

- Todos os anteriores

= Substituica~o trigonometrica 24

= Seno

24

= Cosseno

24

= Tangente

24

= Cotangente

24

= Secante

24

= Cossecante

24

= Todos os anteriores

OM1 OM2 OM3 OM4 OM5 OM6 OM7 OS25

- Todos os anteriores

= Substituica~o simples

OM1 OS24

- Todos os anteriores

= Aplicaca~o formal

OM1

= Todos os anteriores 25

OM1 OP3

u cos(u)u0

e

= Todos os anteriores

OM1 OP2

- Todos os anteriores

- Todos os anteriores

= Primitivaca~o de funco~es racionais OS31

= Decomposica~o em fracco~es simples 31

OM1

= Condico~es de aplicabilidade


XII 31

= Aplicaca~o em factores do denominador de grau 1

31

= Aplicaca~o em factores do denominador de grau 2

31

= Aplicaca~o em factores do denominador de grau 1 e 2

31

= Todos os anteriores

OM2 OM3 OM4 OM5 OS32

= Primitivaca~o de alguns factores simples 32

= Primitivaca~o de

1 (1+x2 )p

32

= Primitivaca~o de

(x

32

= Todos os anteriores

OM1

OM2 OM3 OP4

- Todos os anteriores OS41

= Todos os anteriores 41

OM1

S T3

- Todos os anteriores

- Todos os anteriores OP1

-Todos os anteriores OS11

= Todos os anteriores 11

OM1

- Todos os anteriores

1

a)n


XIII

Anexo 7 Lista ordenada de objectivos O1

= De nica~o de primitiva de uma funca~o

O2

= Primitivas imediatas

O3

= Primitivas quase imediatas das funco~es trigonometricas directas

O4

= Primitivas quase imediatas da funca~o exponencial de base e e a 6= e

O5

= Primitivas quase imediatas da funca~o do tipo

O6

= Primitivas quase imediatas da funca~o pot^encia

O7

=Primitivas quase imediatas cujas primitivas s~ao as funco~es trigonometricas inversas

O8

= Metodo de primitivaca~o por partes: aplicaca~o formal

O9

=Metodo de primitivaca~o por partes: aplicaca~o pratica a um produto de funco~es

u0 u

O10

=Metodo de primitivaca~o por substituica~o: aplicaca~o formal

O11

= Metodo de primitivaca~o por substituica~o: substituica~o simples


XIV O12

= Metodo de primitivaca~o por substituica~o: substituica~o trigonometrica

O13

= Primitivaca~o de funco~es racionais: divis~ao de polinomios

O14

= Primitivaca~o de funco~es racionais proprias em que o denominador admite apenas razes reais simples

O15

= Primitivaca~o de funco~es racionais proprias em que o denominador contem razes reais multiplas

O16

= Primitivaca~o de funco~es racionais proprias em que o denominador contem razes imaginarias

O17

= Primitivaca~o de funco~es racionais de sin x e cos x


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e

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mento de Software Educativo, 1997

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