Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos
Para o vestibulaR 6
Como D - (A ) C), então somente o diagrama da alternativa c pode representar tal situação.
2 Observe o diagrama:
A
B 5
14 2
4
3 6
15 C
Portanto: n((A 0 B) ) C) 5 2 1 4 1 6 5 12
3 c Observe o diagrama a seguir: A 8–x–z–t z
x t
B 4–x–y–t y 7–y–z–t C
n(A 0 B 0 C) 5 5 (8 2 x 2 z 2 t) 1 (4 2 x 2 y 2 t) 1 (7 2 y 2 z 2 t) 1 1(x 1 y 1 z 1 t) 5 19 2 x 2 y 2 z 2 2t 5 16 ] ] x 1 y 5 3 2 z 2 2t } n((A ) B) 0 (B ) C)) 5 x 1 y 5 3 2 z 2 2t Como x, y, z e t são números naturais, o maior valor que (A ) B) 0 (B ) C) 5 x 1 y pode assumir é 3.
4 c Somando os homens e as mulheres, temos 2.000 pessoas; entre elas, 2.000 2 500 5 1.500 tinham o antígeno A ou o B. Se 1.080 pessoas tinham o antígeno A e 900 o antígeno B, então 1.980 2 1.500 5 480 pessoas tinham os antígenos A e B. Como o resultado da pesquisa é proporcional ao número de homens (H) e mulheres (M): 1.200 __ 3 3 H H _____ 5 ] __ 5 __ ] H 5 __ M 800 2 M 2 M Mas H 1 M 5 480; logo: 3 __ M 1 M 5 480 } M 5 192 2
5
Futebol
Natação
18
21
12
(18 1 12) 60
C x
25
95 1 x 1 25 5 150 Portanto, 30 pessoas utilizaram os produtos B e C.
7 A partir dos dados do enunciado temos: 242 2 96 5 146 eram não brasileiros 242 2 64 5 178 eram mulheres 242 2 47 5 195 eram não fumantes a) Se 36 eram brasileiros fumantes e 20 eram homens brasileiros fumantes, então 36 2 20 5 16 eram mulheres brasileiras fumantes. Se 96 eram brasileiros e 51 eram homens brasileiros, então 96 2 51 5 45 eram mulheres brasileiras, e se 16 eram mulheres brasileiras fumantes, então 45 2 16 5 29 eram mulheres brasileiras não fumantes. b) Se 25 eram homens fumantes e 20 eram homens brasileiros fumantes, então 25 2 20 5 5 eram homens fumantes não brasileiros. c) Se 47 eram fumantes e se 36 eram fumantes brasileiros, então 47 2 36 5 11 eram fumantes não brasileiros, e se 5 eram homens fumantes não brasileiros, então 11 2 5 5 6 eram mulheres fumantes não brasileiras. Se 64 eram homens e 51 eram homens brasileiros, então 64 2 51 5 13 eram homens não brasileiros, e se 146 eram não brasileiros, então 146 2 13 5 133 eram mulheres não brasileiras. Se 133 eram mulheres não brasileiras e 6 eram mulheres fumantes não brasileiras, então 133 2 6 5 127 eram mulheres não brasileiras não fumantes.
8 A ) B 1 A ) C 5 90 2 28 2 8 5 54 A ) B 1 B ) C 5 84 2 26 2 8 5 50 A ) C 1 B ) C 5 86 2 24 2 8 5 54 A ) B 5 54 2 A ) C (I) A ) B 5 50 2 B ) C (II) A ) C 1 B ) C 5 54 (III) De (I) e (II), tem-se: 54 2 A ) C 5 50 2 B ) C } B ) C 5 A ) C 2 4 (IV) Substituindo (IV) em (III), tem-se: A ) C 1 A ) C 2 4 5 54 ] 2(A ) C) 5 58 } A ) C 5 29 Substituindo (IV) em (III), tem-se: B ) C 5 A ) C 2 4 ] B ) C 5 29 2 4 5 25 A ) C 5 54 2 A ) C ] A ) B 5 54 2 29 5 25 Portanto, tem-se o diagrama a seguir: A 28
9
29
Não praticam futebol ou natação.
a) ________ 5 0,5 5 50%
B 95
9 60
b) ___ 5 0,15 5 15%
24
25
B 26
8 25
a) 28 1 26 1 24 5 78 C b) 25 1 29 1 25 1 8 5 87 c) 28 1 25 1 29 1 26 1 25 1 24 1 8 5 165
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1 c
9 c Telespectadores que gostaram das novelas A, B e C: 100 Telespectadores que gostaram apenas das novelas A e B: 350 2 100 5 250 Telespectadores que gostaram apenas das novelas A e C: 400 2 100 5 300 Telespectadores que gostaram apenas das novelas B e C: 300 2 100 5 200 Telespectadores que gostaram apenas da novela A: 1.450 2 (250 + 300 + 100) 5 800 Telespectadores que gostaram apenas da novela B: 1.150 2 (250 + 200 + 100) 5 600 Telespectadores que gostaram apenas da novela C: 900 2 (300 + 200 + 100) 5 300 Total de telespectadores que gostaram de alguma novela: 100 + 250 + 300 + 200 + 800 + 600 + 300 5 2.550 Total de telespectadores que não gostaram de nenhuma novela: 3.000 2 2.550 5 450
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10 d Pede-se apenas o percentual de homens na turma. Isso permite considerar um total de 100 alunos. Sendo x o número de homens, 100 2 x será o número de mulheres. Como 30% dos homens somados a 10% das mulheres resultam em 18% do total: 0,3x 1 0,1 ? (100 2 x) 5 0,18 ? (100) ] 0,3x 1 10 2 2 0,1x = 18 ] 0,2x 5 18 2 10 5 8 ] x 5 8 : 0,2 5 40 Ou seja, a porcentagem de homens é 40%.
11 d (x 1 3)4 (x2 1 5) > 0 para qualquer x 3. (3 2 x)6 Portanto, o sinal da expressão depende exclusivamente de (x 2 3)3. Como x 3: (x 2 3)3 , 0 ] x 2 3 , 0 ] x , 3 Então, x está no intervalo ]−∞, 3[.
14 d Na tabela, há alguns exemplos numéricos, com n e p irracionais; logo, resta avaliar apenas o item V. n
p
1 __ n
1 __ p
1 1 __ 1 __ n p
1 1 _____ 1 1 d ll _______ 2 2dll 2 1 1 d ll 2 2dll 2
1
2 2 2 2dll 2 _____ 1 1 d ll _______ _____ _______ 2 1 1 d ll 2 2dll 2 2
1 __ 2
1 ___ d ll 2
1 ___ d ll 2
d 2 ll
dll 2
2dll 2
1 ___ d ll 2
1 _____ 2dll 2
d 2 ll
2 2dll
0
Mas se n e p são irracionais, seus inversos também serão; 1 1 portanto, são também reais e pode-se dizer que __ e __ n p são números complexos com parte imaginária nula; po1 1 1 1 de-se então escrever __ 5 __ 1 0i e __ 5 __ 1 0i. Assim: p p n n 1 1 1 1 1 1 __ 1 __ 5 __ 1 0i 1 __ 1 0i 5 __ 1 __ 1 0i p n p n n p
15 a) Pode-se associar a soma dos primeiros números ímpares ao número que representa a área do quadrado cujo lado é igual à posição do último número da soma. Assim, a soma dos 8 primeiros ímpares é numericamente igual à área do quadrado de lado 8 e, portanto, igual a 64. b) Sn 5 n2 5 3.600 ] n 5 dlllll 3.600 ] n 5 60 Observe que o corredor n tem 2n 2 1 bolas (n na respectiva coluna e n 2 1 na linha respectiva). Portanto: 2n 2 1 5 2 3 60 2 1 5 119
16 Soma dos 12 dígitos:
12 b Sendo x o número de funcionários e y o número de cestas, tem-se: I. 10x 5 y 2 36 II. 12x 5 y 1 10 Isolando y em I e substituindo em II: y 5 10x 1 36 ] 12x 5 10x 1 36 1 10 ] ] 12x 2 10x 5 36 1 10 ] 2x 5 46 ] x 5 23
13 d
x O menor número da forma __ ocorrerá quando x for o míy x 2 1 nimo e y for o máximo, isto é, quando __ 5 __ 5 __ . y 8 4 x __ O maior número da forma ocorrerá quando x for o máy x 15 ximo e y for o mínimo, isto é, quando __ 5 ___ 5 5. Logo, y 3 1 x __ os números da forma pertencem ao intervalo __ , 5 . y 4 1 1 __ __ Mas , 5 - , 5 e a única alternativa que está de 4 9
E R E R
acordo é a d.
E R
7 1 8 1 9 1 0 1 1 1 0 1 X 1 5 1 1 1 2 1 4 1 0 5 37 1 X Soma dos números de ordem par: 8 1 0 1 0 1 5 1 2 1 0 5 15 Logo, o dobro será igual a 30. Portanto: N 5 37 1 X 1 30 5 67 1 X Como d 5 6 % 0, então 67 1 X não é múltiplo de 10, 67 1 X será dividido por 10 e deixará resto 4, pois d 5 10 2 4 5 6; logo, N 5 74 5 67 1 X, ou seja, X 5 7.
17 a) 71 2 (7 1 1) 5 63
30 2 (3 1 0) 5 27 Como 63 e 27 são múltiplos de 9, a afirmação é verdadeira para os números 71 e 30. b) z 5 xy 2 (x 1 y) 5 10x 1 y 2 x 2 y 5 9x Como x é um número inteiro, então 9x é múltiplo de 9.
18 0,2222... 1 0,2333... 5 0,4555... x 5 0,4555... 10x 5 4,555... ] 100x 2 10x 5 45,555... 2 4,555... 100x 5 45,555... 41 } x 5 ___ 90
19 (12,34)2 5 (12 1 0,34)2 5
1 5 144 1 2 3 12 3 0,34 1 0,342 . 144 1 __ 3 12 5 150 2 Agora: (12,34)3 . 150 3 12,34 . 150 3 12 5 1.800 Portanto, 12,34 é maior que 3d llll 1.800.
59 1 4 1 5 5 1 ___ 5 5 1 ___ 5 ___ 26 5 1 _________ 11 11 11 1 ___ 2 1 _____ 4 1 11 __ 3 Portanto, a 1 b 5 59 1 11 5 70.
20 c racionais não inteiros. II. Verdadeira, pois 6 2 9 5 3 é um número inteiro. III. Falsa, pois 5 é um número real e inteiro. IV. Falsa, pois dll 9 5 3 é um número real e racional. V. Verdadeira, pois a raiz cúbica de um número negativo é um número real.
21 b Observe o conjunto dos quadrados perfeitos: 0² 5 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² 5 5 36, 7² 5 49, 8² 5 64, 9² 5 81, 10² 5 100. Nota-se que o algarismo das unidades será sempre 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. Logo, a única opção válida é 552.049. De fato, esse número corresponde a 743².
22 d Se José recebeu R$ 2,45, então Geraldo recebeu R$ 5,25 2 R$ 2,45 5 R$ 2,80. Se Luiz deu R$ 5,25 por 5 broas de milho, então cada broa custou R$ 1,05. José deu 2 broas de milho e Geraldo 3, pois todos deveriam ficar com 5 broas. Logo, por justiça, José deveria receber 2 3 R$ 1,05 5 5 R$ 2,10, e Geraldo deveria receber 3 3 R$ 1,05 5 R$ 3,15. Portanto, Geraldo deveria receber R$ 0,35 a mais.
23 V Como os relógios A e B não registram os segundos, as seguintes situações são possíveis: Situação I: A 2 11h51min59s e B 2 11h53min00s Situação II: A – 11h51min00s e B – 11h53min59s No caso da situação I, a defasagem é de 61 segundos e, no caso da situação II, 179 segundos. Portanto, nenhum deles está correto.
24 172 5 289 e 182 5 324, logo, 17 , dllll 299 , 18
# 5 17 } E@ dllll 299 log5 127 5 k ] 5k 5 127 . 53 5 125 ] 53 , 5k , 54 } E(log5 127) 5 E(k) 5 3 21 , sen 233w , 0 } E(sen 233w) 5 21 7 7 0 , __ , 1 } E __ 5 0 8 8 2 , 2 } E@ d ll 2 # 5 1 1 , dll
@ #
4__________________ 3 17 1 2 3 3 2 (21) 68 1 6 1 1 y 5 5 __________ } y 7 75 1 011
25 b 30 [
5 4 1,2 2 0,5 ] 2 √13 5 2 ][ 6 10 5 2 3, 7
25 2 12 0,7 ][ ] 2 √13 5 1,3 30 7 5 13 [ 13 ] 2 √13 5 7 2 √13 ]
5 30 [
] 7 2 4 < 7 2 √13 < 7 2 3 ] 3 < 7 2 √13 < 4
27 a √3 1 1 [ √2 ] (20,25)22 2 [ 6√3 ] 5
2
5[ 5[
6
√3 1 1 √2 ] (220,5) 2 (612√3) 5 2
√
√2 ] [ 1 ] 2 6(12√3)(√3 1 1) 5 2 2 1 1 1 1 5 5 2 6123 5 2 622 5 2 2 2 2 36 18 2 1 17 5 5 36 36
28 d O número de crianças vacinadas foi: 98 2 12 5 86. O número de vacinas dadas foi: 60 1 32 5 92. Logo, a quantidade de crianças que tomaram as duas vacinas pode ser encontrada fazendo-se 92 2 86 5 6. As crianças que não tomaram exatamente duas vacinas, ou seja, tomaram uma ou nenhuma, totalizam: 98 2 6 5 92.
29 a I. Verdadeira, pois 0 , b , c. II. Falsa, pois a , 0 e OaO . ObO. III. Verdadeira, pois b , 1 e multiplicando a expressão por c, obtém-se bc , c. IV. Falsa, pois a , 0 e c . 0; logo: ac , 0 e, portanto, ac , b.
30 d As condições de existência de log são: I. 6 2 x . 0 ] x , 6 II. x 2 3 . 0 ] x . 3 III. x 2 3 1 ] x 4 Então, 3 , x , 6 e x 4.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I. Verdadeira, pois os elementos do conjunto B 2 b são
ESTUDANDO Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos
Para o ENEM 1 c 2 c 3 d 4 e 5 d
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
6 a
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Funções: conceitos básicos
Para o vestibular De acordo com o enunciado e o gráfico, 7% dos 1.500 alunos praticam apenas vôlei. Calculando esse valor: 1.500 3 0,07 5 105 O valor de x 5 105 pertence ao intervalo [2100, 200] ∩ [100, 300].
2 a Como função, a imagem da parcela 2 b ? x 1 c é ]0, 1`[; então, a imagem de f(x) 5 a 1 2b ? 0 1 c é ]a, 1`[. Mas, de acordo com o enunciado, ]a, 1`[ 5 ]21, 1`[ ; portanto, a 5 21. Substituindo os dados na função, tem-se: {
f(0) 5 21 1 2b ? 0 1 c Æ f(1) 5 21 1 2b ? 1 1 c
3 1 Æ 2c 5 Æ c 5 22 4 4 Æ 21 1 2b 1 c 5 0 Æ 2b 2 2 5 1 Æ b 5 2
{
21 1 2c 5 2
a ? b ? c 5 (21) ? 2 ? (22) 5 4
3 a) x 5 __7 9 [22, 2] e, nesse intervalo, o gráfico de f(x) é um 4 segmento de reta com extremos nos pontos (22, 3) e (2, 22); logo:
5 1 f(x) 5 ax 1 b ] 3 5 a(22) 1 b ] a 5 2 __ e b 5 __ 22 5 a2 1 b 4 2 5 1 } f(x) 5 2 __ x 1 __ 4 2
@ #
@ #
5 7 35 1 7 1 27 f __ 5 2 __ 3 __ 1 __ 5 2 ___ 1 __ 5 2 ___ 4 4 4 16 2 16 2
b) f (31) 5 f (23 1 8) 5 f (23) 5 f (15 1 8) 5 f (15) ] ] f (15) 5 f (7 1 8) 5 f (7) ] f (7) 5 f (21 1 8) 5 f (21) } f (31) 5 f (21) x 5 21 9[22, 2]; então, (21, f(21)) é um ponto no trecho de f definida nesse intervalo e dada no item a; logo: 5 1 7 f(31) 5 f(21) 5 2 __ 3 (21) 1 __ 5 __ 4 2 4 c)
4 As funções que fornecem aproximadamente a média
de concentração de CO2 na atmosfera em ppm e a média de variação do nível do mar, em cm, em função do número de anos x a partir de 1960 são, respectivamente: 1 y 5 f(x) 5 x 1 320 e g(x) 5 __ x. Substituindo x 5 y 2 320 5 1 em g(x) 5 __ x, obtém-se a expressão da função h, que for5 nece a média de variação do nível do mar, em cm, em 320 função da concentração de CO2 h(y) 5 y 2 ____ . 5 } h(400) 5 16 cm.
5 Com base no gráfico, conclui-se que a função g(x) 5 b 3 2kx sofreu translação de uma unidade para cima; logo, a 5 1. Além disso, tem-se: f(0) 5 3 ] 3 5 1 1 b ] b 5 2 f(21) 5 5 ] 5 5 1 1 2 3 22k ] 4 5 2 3 22k ] ] 22 5 21 2 k ] 2 5 1 2 k ] k 5 21 Logo: f(x) 5 1 1 2 3 22x 5 1 1 21 2 x. Cálculo da função inversa f 21 (x): 21 21 x 5 1 1 212 f ] x 2 1 5 212 f ] 21 log(x 2 1) 5 log212 f ] log(x 2 1) 5 (1 2 f 21) log2 ] 21 log(x 2 1) ]12 f 5 _________ log2 log(x 2 1) 5 1 2 log2(x 2 1) } f 21(x) 5 1 2 _________ log2 g(x) h(x) h(x) % 0; logo, desde que h % g, quando g 5 0, as raízes de f coincidem com as de g(x): 3 g(x) 5 4x2 2 6x 5 2x(2x 2 3) 5 0 } x 5 0 ou x 5 __ 2 Raízes de h(x): h(x) 5 2x2 2 3x 2 28 5 0 ] ] S 5 (23)2 2 4 3 (21) 3 (228) 5 9 2 112 5 2103 , 0 Logo, h(x) não possui raízes reais, e sua imagem é estritamente negativa.
6 A função f é racional, de modo que: f(x) 5 ____ , com
+ ++ + g(x) =
6
−3 −4
4x2 – 6x –x2 – 3x – 28
{
1
−2
– 6x
– – – –
7
8
9
10 11
12
13
14 x
3 2
+ + + + + + 0
}
3 Portanto: S 5 x 9 Vox , 0 ou x . __ . 2
2
−1
– – – – – –
+ + +
– – – – – – – – – – – – – – – – –
f(x) =
3
0
h(x) = –x2 – 3x – 28
Figura B 4
4x2
– – – –– 3 2
x x x
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1 c
7 Nesse problema, vamos supor que f e g sejam funções
de V em V. a) O gráfico de f(x) 5 o4 2 x2O é obtido refletindo-se, em relação ao eixo x, a parte do gráfico de y 5 4 2 x2, que corresponde aos valores negativos que a função assume. (x 1 7) 7 é a reta que passa por 0, __ O gráfico de g(x) 5 2 2 e (1, 4). Com isso, conseguimos construir ambos os gráficos.
@ #
y
f(x) g(x) 4
7 2
9 a) x2 1 5x 1 6 < 2x 1 16 ] x2 1 3x 210 < 0
x2 1 3x 2 10 5 0 ] x 5 25 ou x 5 2 O coeficiente do termo quadrático é igual a 1 . 0; logo, a concavidade da parábola que representa a função correspondente está voltada para cima, e o intervalo que contém os valores negativos dessa função está entre as raízes da equação resolvida. } S 5 {x 9 Vo25 < x < 2}
b) x2 1 bx 1 c < 2x 1 3 ] x2 1 (b 2 2)x 1 c 2 3 < 0
x2 1 (b 2 2)x 1 c 2 3 5 0 ] x 5 4 ou x 5 7 2(b 2 2) ________ 5 4 1 7 5 11 1 2b 1 2 5 11 ] c 2 3 5 28 c23 _____ 5 4 3 7 5 28 1 } b 5 29 e c 5 31
10 a) Se x 5 1, temos: 2p(1) 2 p(2 21) 5 2p(1) 2 p(1) 5 22
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} p(1) 5 22
1
x
2
b) 2p(21) 2 p(2 2(21)) 5 2p(21) 2 p(3) 5 4 ] 2p(3) 2 p(2 2 3) 5 2p(3) 2 p(21) 5 16 Æ p(3) 5 12 e p(21) 5 8 } p(21) 1 p(3) 5 8 1 12 5 20
11 As abscissas dos pontos P e Q são soluções da equação: x17 2
x17 2
x17 2
b) O4 2 x2O < _____ ] 2 _____ < 4 2 x2 < _____ ] 2 ] 2x 2 72 < 8 2 2x 8 2 2x < x 1 7
]
2x2 2 x 2 15 < 0 ] 2x2 1 x 2 1 > 0
5 2 __ < x < 3 2 ] 1 x < 21 ou x > __ 2
Fazendo a intersecção desses intervalos, obtém-se: 5 1 2 __ < x < 2 1 ou __ < x < 3. 2 2
E
R E R
5 1 } S 5 2 __ , 2 1 0 __ , 3 2 2
8 c Sejam os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices do triângulo em questão. Pelo gráfico, supondo que AB seja paralelo ao eixo x, temos: xB 5 0 e yB 5 f(xB) 5 22 3 0 5 1; yA 5 yB 5 1 e yA 5 g(xA) 5 1 ] log2(xA 1 1) 5 1 ] ] xA 5 1; xC 5 xA 5 1 e yC 5 f(xC) 5 22 3 1 5 4 Assim, os vértices são: A(1, 1), B(0, 1) e C(1, 4); AB 5 xA 2 xB 5 1, AC 5 yC 2 yA 5 3. Portanto, a área do △ABC é: AB 3 AC ____ 1 3 3 __ 3 _______ 5 5 2 2 2
f(x) 5 g(x) ] x3 1 x2 1 2x 2 1 5 x3 1 3x 1 1 ] Æ x2 2 x 2 2 5 0 ] x 5 21 ou x 5 2 Logo: P 5 (21, f(21)) e Q 5 (2, f(2)) e, pelo gráfico: f(x) > g(x) ] x < 21 ou x > 2 } S 5{x 9 Vox < 21 ou x > 2}
12 g(x) 5 a(x 2 (23))2(x 2 5) 5 a(x 13)2(x 2 5), em que a % 0; então: g(f(x)) 5 a((x2 2 6x 1 5) 1 3)2 ((x2 2 6x 1 5)25) ] Æ a(x2 2 6x 1 8)2(x2 2 6x) 5 0 ] 2 2 Æ (x2 2 6x 1 8) 5 0 ] x 5 2 ou x 5 4 (x 2 6x) 5 0 ] x 5 0 ou x 5 6 } S 5 {0, 2, 4, 6}
13 d Para x 5 3, tem-se: (3 1 1) ? f (3) 1 f (1 2 3) 5 33 1 32 2 3 1 2 Æ Æ 4 ? f (3) 1 f (2) 5 27 1 9 2 3 1 2 Æ Æ 4 ? f (3) 1 f (2) 5 35 Para x 5 21, tem-se: (21 1 1) ? f(21) 1 f(1 2 (21)) 5 (21) 3 1 (21)2 2 2 (21) 1 2 Æ 0 ? f(21) 1 f(2) 5 21 1 1 1 1 1 2 Æ Æ f(2) 5 3 Assim: 4 ? f(3) 1 3 5 35 Æ 4 ? f(3) 5 32 Æ f(3) 5 8
@ 2 #
18 a
14 a) g(3) 5 f(3 2 1) 1 1 5 f(2) 1 1 5 f __1 3 4 1 1 5
De acordo com o enunciado: f W g 5 g W f Æ f (g(x)) 5 g(f (x)) Æ 3(ax 1 b) 1 5 5 5 a(3x 1 5) 1 b Æ 3ax 1 3b 1 5 5 3ax 1 5a 1 b Æ Æ 2b 5 5a 2 5 Æ 2b 5 5(a 2 1)
1 1 5 __ 3 f(4) 1 1 5 __ 3 2 1 15 2 2 2 b) Substituindo a por 4, tem-se: x f(4x) 5 4f(x) 5 xf(4) 5 x 3 2 } f(x) 5 __ 2 c) g(x) 5 8 ] f(x 2 1) 1 1 5 8 ] x21 Æ _____ 5 7 } x 5 15 2
A função f não é bijetora; portanto, não possui uma inversa. A segunda afirmativa equivale à definição de função inversa.
#
15 f(2x) 5 O1 2 xO e f 2 3 __x 5 f(x) } f(x) 5 e1 2 __x u f(x) 5 2 ]
2
20 b
2
22x _____ 5 2 2 22x 5 22 _____ 2
Essa trajetória não configura uma função h(d), pois não passa no teste da vertical. Isso invalida as afirmações I e III. Independentemente de ser uma função ou não, a trajetória apresenta periodicidade, o que é uma evidência de regularidade. Isso invalida a afirmação II. A escolha de escala para os eixos coordenados segue condições de conveniência e convenção; portanto, não constitui restrição para a configuração de função. Isso invalida a afirmação IV. Finalmente, considerando o movimento do inseto decomposto em vertical e horizontal, haverá apenas um valor de altura e um de deslocamento horizontal, ambos relacionados a cada instante de tempo. Isso é necessário e suficiente para afirmar que existe uma função para cada componente do movimento em que o tempo é a variável independente.
S 5 {22, 6 }
16 (g W f )(x) 5 g(f(x)) 5 Ox2 2 3O ] 2 3 ou x > dll 3 3 5 0, se x < 2dll ] x 2 2x2 1 3 5 0, se 2dll 3 < x < dll 3
5 x2 2 3 5 2 ] x2 5 5 ] x 5 !dll 2x2 1 3 5 2 ] x2 5 1 ] x 5 !1 } S 5 { !dll 5 ; !1 } A equação tem quatro soluções, conforme representado no gráfico ao lado.
17
y 3
f(g(x))
2 1 x
0 −2 −1
−1
0
1
2
x22
a) Como x 9 V, tem-se _______ 9 V se, e somente d lllll x 2 2
se, x 2 2 . 0, ou seja, x . 2, isto é, Df 5 {x 9 V O x . 2}. Como x 9 V e g(x) 5 O3 2 2xO 1 1, tem-se g(x) > 1, pois, para todo real x, O3 2 2xO > 0. Nota-se que, para todo real y > 1, existe x 9 V, tal que y 5 O3 2 2xO 1 1. Portanto, o conjunto imagem de g é Ig 5 {y 9 V O y > 1}. g(x) 2 2
b) Tem-se f(g(x)) 5 _________ , com g(x) . 2. dlllllll g(x) 2 2
Com x 9 V, tem-se g(x) . 2 se, e somente se: O3 2 2xO 1 1 . 2 ] O3 2 2xO . 1 ] ] 3 2 2x . 1, se x , 1 ] Df g 5 {x 9 V O x , 1 3 2 2x , 21, se x . 2 ou x . 2}
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
@
19 b
ESTUDANDO Funções: conceitos básicos
Para o ENEM 1 c Pode ser que uma ou nenhuma das pessoas do conjunto de trabalhadores seja funcionário da empresa. Nesses casos, a condição para o domínio não é respeitada e, portanto, não configura uma função.
2 c O limite de uma cúbica para os valores da variável independente tendendo ao infinito cresce também ao infinito, e isso conflita com o trecho da função em que ela é constante.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
3 b Sobre o número de gatos, pode-se afirmar que não diminuiu em momento algum, pois nenhum gato morreu, e somaram-se outros abandonados. Portanto, em qualquer momento analisado o número de gatos é maior do que nos momentos anteriores.
4 d Espera-se que exista uma correspondência um a um entre o conjunto de pessoas e um conjunto de números para determinado documento. Além disso, sabe-se que o padrão de constituição da íris humana não se repete em duas pessoas, assim como o padrão de digitais e das ondas de voz. Essa propriedade permite que um número ou uma característica biológica identifique uma única pessoa, e que uma pessoa seja identificada por um único número ou característica biológica. Trata-se do mecanismo de funções bijetoras e funções inversas.
5 e Considerando que os círculos pretos representam as regras de ortografia de uma língua e os círculos azuis, as palavras que pertencem ao mesmo código de regras gramaticais, a alternativa e é a única que representa a relação descrita no enunciado, pois mostra que uma regra se aplica à maioria das palavras de um conjunto, mas não a todas.
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Função afim
Para o vestibular 8,25 5 a 3 3,6 1 Q0 ] a 5 1,25 e Q0 5 3,75 7,25 5 a 3 2,8 1 Q0 } Q 5 1,25D 1 3,75 a) Q0 5 R$ 3,75. b) Se o taxista fez 10 corridas, ele recebeu 10 vezes o valor inicial Q0: 10 3 3,75 5 37,5 75 2 37,5 5 1,25D ] D 5 30 km
2 c f(x) 5 ax 1 b 780 5 a100 1 b ] a 5 2 e b 5 580 480 5 a(250) 1 b } f(x) 5 2x 1 580 a) Falso. f(2100) 5 2 3 (2100) 1 580 5 380. b) Falso. f(0) 5 580. c) Verdadeiro. f(120) 5 2 3 120 1 580 5 820.
3 Gastando R$ 10.000,00 mensais com propaganda, têm-se
R$ 80.000,00 de receita; gastando 2 3 10.000 5 20.000, têm-se 80.000 1 50% de 80.000 5 120.000. y 5 ax 1 b 80.000 5 a 10.000 1 b ] a 5 4 e b 5 40.000 120.000 5 a 20.000 1 b } y 5 4x 1 40.000 a) Logo, se x 5 30.000, então y 5 4 3 30.000 1 40.000 ] ] y 5 160.000. b) y 5 4x 1 40.000.
4 a) y 5 qx 1 b 2.700 5 q 500 1 b 11 ] q 5 ___ 5 2,2 e b 5 1.600 3.800 5 q 1.000 1 b 5 b) Do item a tem-se que C(x) 5 2,2x 1 1.600. Se x 5 800, então: y 5 2,2 · 800 1 1.600 ] y 5 R$ 3.360,00. 5(F 2 32) 9 5(2C 2 32) b) F 5 2C e C 5 __________ ] 9C 5 10C 2 5 3 32 ] 9 ] C 5 160 wC
5 a) 35 5 ________ ] F 2 32 5 63 ] F 5 95 wF
6 d Sejam A(x) 5 1,4 ? x 1 3,8 e B(x) 5 2,4 ? x as funções que representam os valores cobrados em função da distância pelas empresas A e B, respectivamente. Igualando as expressões, tem-se: 1,4 ? x 1 3,8 5 2,4 ? x Æ x 5 3,8 Como ambas são funções crescentes, em corridas inferiores a 3.800 m a empresa B é mais vantajosa.
7 b Seja x o preço pago pelo primeiro eletrodoméstico; então, o segundo custou 3.500 2 x. 0,9x 1 0,92 ? (3.500 2 x) 5 3.170 Æ 0,9x 1 0,92 ? 3.500 2 2 0,92x 5 3.170 Æ 0,02x 5 50 Æ x 5 50 5 2.500 0,02
8 c Seja d a distância procurada. Então: 19 5 4,60 1 0,96 3 d ] 0,96d 5 14,4 ] d 5 15 km.
9 A comissão porcentual é representada pelo coeficiente
angular da reta que passa nos pontos (6.000, 1.000) e (12.000, 1.600); logo: Sy _____________ 1.600 2 1.000 600 a 5 ___ 5 5 _____ 5 0,1 12.000 2 6.000 6.000 Sx Portanto, a proposição é falsa, pois a comissão do vendedor não é de 20%, mas de 10%.
10 e P 5 aC 1 b ou y 5 ax 1 b Sy 48 2 40 ___ 8 1 1 a 5 ___ 5 _______ 5 5 __ e 40 5 __ 3 20 1 b ] 5 Sx 60 2 20 40 5 1 __ ] b 5 36 } P 5 C 1 36 5 Para C 5 100 wC, tem-se: 1 P 5 __ 3 100 1 36 ] P 5 56 wP 5
11 F V F F V Sejam C o custo mensal de fabricação das peças, R a receita mensal da venda das peças e L o lucro mensal das vendas das peças (L 5 R 2 C ): C(x) 5 800 1 6x R(x) 5 10x L 5 R 2 C ] L(x) 5 10x 2 (800 1 6x) ] ] L(x) 5 4x 2 800 Falso, pois a receita é R(x) 5 10x. Verdadeiro. Falso, pois L(500) 5 4 3 500 2 800 5 1.200,00. Falso, pois: L(x) 5 2.500 ] 2.500 5 4x 2 800 ] ] x 5 825 unidades. Verdadeiro, pois: 800 L(x) 5 0 ] 4x 2 800 5 0 ] x 5 ____ ] 4 ] x 5 200 unidades.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1 Q 5 a 3 D 1 Q0
12 a
16 d
Seja x o valor da parcela em n pagamentos: x ? n 5 valor da geladeira Para pagamentos em 3 parcelas, tem-se: x ? n 5 (x 1 60) ? (n 2 3) Æ xn 5 xn 2 3x 1 60n 2 180 Æ Æ 3x 5 60n 2 180 Æ x 5 20n 2 60 Em 5, tem-se: x ? n 5 (x 1125) ? (n 2 5) Æ xn 5 xn 2 5x 1 1 125n 2 625 Æ 5x 5 125n 2 625 Æ x 5 25n 2 125 Portanto: x 5 20n 2 60 Æ 20n 2 60 5 25n 2 125 Æ { x 5 25n 2 125 Æ 5n 5 65 Æ n 5 13
13 e No período considerado, o grupo I está representado por uma função estritamente crescente; o grupo II, por uma estritamente decrescente.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
14 b Nas condições do enunciado, os pontos (1, 70) e (3, 65) pertencem ao gráfico representado pelo grupo II. Substituindo na função y 5 ax 1 b: 70 5 a ? 1 1 b Æ 2a 5 25 Æ a 5 2 5 e b 5 145 65 5 a ? 3 1 b 2 2 5 145 . Portanto, y 5 2 x 1 2 2
15
A reta passa pelos pontos A(2, 3) e B(a, 6), com a % 2; logo: y 5 mx 1 b 6 5 ma 1 b 3 3a 2 12 ] m 5 _____ e b 5 _______ 3 5 m2 1 b a22 a22
@
#
3 3a 2 12 } y 5 _____ x 1 _______ a22 a22 O ponto de intersecção da reta AB com o eixo x é o ponto (x0, 0); então: 3 3a 2 12 x 1 _______ ] 0 5 3x0 1 3a 2 12 ] 0 5 _____ a22 0 a22 12 2 3a ] x0 5 _______ ] x0 5 4 2 a 3
@
#
17 c O gráfico do valor da locação da empresa A passa pelos pontos (0, 30) e (300, 165); logo: y 5 ax 1 b 135 9 165 2 30 5 ____ 5 ___ 5 0,45 e b 5 30 (corte no a 5 ________ 300 2 0 300 20 eixo y) } yA 5 0,45x 1 30 O gráfico do valor da locação da empresa B passa pelos pontos (0, 50) e (500, 250); logo: y 5 ax 1 b 200 __ 250 2 50 ____ 2 5 5 0,4 e b 5 50 (corte no eixo y) 5 a 5 ________ 500 2 0 500 5 } yB 5 0,4x 1 50
a) f(x) 5 22x 1 4 b 5 4 (coeficiente linear) ] corte no eixo y no ponto (0, 4) 0 5 22x 1 4 ] 22x 5 24 ] ] x 5 2 ] corte no eixo x no ponto (2, 0)
a) Falso, pois a empresa A cobra 0,45 centavos por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de 30 reais.
b) Falso, pois a empresa B cobra uma taxa fixa de 50 reais. c) Verdadeiro, pois yA (400) 5 R$ 210,00. yB (400) 5 R$ 210,00
y
yA (300) 5 R$ 165,00 , ou seja, é mais vanyB (300) 5 R$ 170,00 tajoso alugar um carro na empresa A.
d) Falso, pois
4
3
yA (500) 5 R$ 255,00 , ou seja, é mais vanyB (500) 5 R$ 250,00 tajoso alugar um carro na empresa B.
e) Falso, pois
2
1
18 c –2
–1
0
1
2
3
x
b) Se o gráfico de g é paralelo ao de f, tem-se: ag 5 af ] g(x) 5 22x 1 b Se g passa pelo ponto (23, 1), tem-se: 1 5 22 3 (23) 1 b ] b 5 25 ] g(x) 5 22x 2 5 c) Se o gráfico de g é perpendicular ao de h, tem-se:
1 1 1 1 ag 5 2 __ ] 22 5 2 __ ] ah 5 __ ] h(x) 5 __ x 1 b ah ah 2 2
Se h passa pelo ponto (3, 8), tem-se: 13 13 1 1 8 5 __ 3 3 1 b ] b 5 ___ ] h(x) 5 __ x 1 ___ 2 2 2 2
O gráfico do tipo y 5 ax 1 b passa nos pontos (22, 0) e (0, 1); logo: Sy 1 120 a 5 ___ 5 ________ 5 e b 5 1 (corte no eixo y) 2 Sx 0 2 (22) } a1b5
1 3 115 2 2
19 a) P(0) 5 2 ? 1 1 8 ? 0 5 2 No instante inicial o ponto P está a 2 m da origem. b) P [ 3 ] 5 2[1 2 3 ] 1 8 ? 3 5 21 1 12 5 11 2 2 2 A função P(t) é estritamente crescente; então, 2 < P(t) < 11 para todo t 50, 3 6. 2 Agora, P [ 3 ] 2 P(0) 5 11 2 2 5 9. 2 Assim, o segmento tem 9 m de comprimento.
20 a) Por n dias são cobrados 90n pela empresa A e 210 1 80n
21 d De acordo com o enunciado: Preço de custo: R$ 600 5 R$ 4/caixa 150 caixas Lucro mínimo: Lm 5 R$ 150 5 R$ 1/caixa 150 caixas Lucro máximo: LM 5 R$ 300 5 R$ 2/caixa 150 caixas Preço de venda: V 5 C 1 L 1,L,2ÆC11,C1L,C12Æ Æ411,V,412Æ5,V,6
22 e A afirmação I é falsa, pois o gráfico representa uma função estritamente decrescente. A afirmação II é verdadeira, pois a raiz da função é igual a 1 e para valores de x maiores, f (x) , 0. A afirmação III é falsa, pois f (2) 5 2 1 (2 2 1) 5 2 5 2 1 22. 2 Como cada função tem uma única lei de formação associada, a alternativa IV está correta, pois o gráfico de f passa pelos pontos (1, 0) e (−1, 1). Substituindo na função considerada pela alternativa, tem-se: f (1) 5 2 1 (1 2 1) 5 0 e f (21) 5 2 1 (21 2 1) 5 1 2 2
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
pela B. A empresa A será preferível se, e somente se, 90n , 210 1 80n, ou seja, se n , 21. b) Seja x o valor fixo cobrado pela locadora B. Assim, a empresa B será preferível se, e somente se, 90n . x 1 80n, isto é, se x , 10n. Logo, para que B seja preferível para n . 27, deve-se ter que, para todo n > 28, x , 10n, ou seja, x deve ser menor que R$ 280,00.
ESTUDANDO Função afim
Para o ENEM 1 c A lei de formação, conforme descrita no enunciado, é um caso de função linear. Isso descarta as alternativas d e e. Em uma função linear, as grandezas variam proporcionalmente. Isso descarta a alternativa b. O cálculo da densidade do material em questão é suficiente para escolher a alternativa correta. m 80 d5 5 5 16 g/cm3 Æ m 5 16v v 5 O gráfico que tem coeficiente angular igual a 16 é o da alternativa c.
2 a Se o início foi em 1990, então t 5 0 e tem-se:
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
PA (0) 5 5,2 1 0 5 5,2 PB (0) 5 4,8 1 2 ? 0 5 4,8 Lembrando que as populações estão contadas em milhares de habitantes, tem-se que PA 5 5.200 e que P B 5 4.800. Portanto, o total de habitantes das duas cidades é de 10.000.
3 b Estacionando por 5 horas em A, paga-se: 4,00 1 4 ⋅ 3,00 5 16,00; e em B paga-se: 8,00 1 4 ⋅ 2,00 5 16,00. Portanto, os valores são os mesmos.
4 a A afirmação I é verdadeira. R$ 350 1a parcela: 5 R$ 175 2 2a parcela: R$ 175,00 ⋅ (1 1 0,04) 5 R$ 182,00 A afirmação II também é correta. R$ 182,00 2 R$ 175,00 5 R$ 7,00 A afirmação III é falsa. R$ 175,00 1 R$ 182,00 5 R$ 357,00
5 e As afirmativas corretas são: 1, 3 e 5; portanto, a soma é 9. A afirmação 1 é verdadeira, pois o volume considerado no gráfico considera a vazão das duas torneiras. A afirmação 2 é falsa e a 3 é verdadeira, pois: V(t) 5 2.000 1 (10 − 2)t ⇒ 20.000 5 2.000 1 8t ⇒ ä t 18.000 2.250 8 2.250 min : 60 5 37,5 h 30 h < 37,5 h < 40 h A afirmação 4 é falsa, pois a torneira que enche o tanque tem vazão maior do que a torneira que o escoa. Além disso, o cálculo acima mostra o tempo necessário para encher o tanque. A afirmação 5 é verdadeira, pois o gráfico descreve que a variação do volume é constante em relação ao tempo.
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Função quadrática
Para o vestibular 7 b
A parábola tem vértice (22, 3) e passa pelo ponto (0, 5). Tem-se: y 5 a(x 2 xV)2 1 yV ] 5 5 a[0 2 (22)]2 1 3 5 4a 1 3 1 } a 5 __ 2 x2 1 4x 1 10 1 1 __ y 5 [x 2 (22)]2 1 3 5 __ (x 1 2)2 1 3 5 ___________ Æ 2 2 2 ] y 5 0,5x2 1 2x 1 5 ] a 5 0,5; b 5 2; c 5 5
2 a) 2x 1 2y 5 10 ] x 1 y 5 5 ] y 5 5 2 x
Aretângulo 5 xy } A(x) 5 2x2 1 5x 5 b) Amáx. para x 5 xV } xV 5 2 _______ ] xV 5 2,5 cm 2 3 (21)
3 d s(0) 5 0 ] c 5 0 s(1) 5 32 ] a 1 b 5 32 (I) s(2) 5 128 ] 4a 1 2b 5 128 (II) Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II, obtêm-se a 5 32 e b 5 0. Logo, s(t) 5 32t2. Assim: s(2,5) 5 32 ? (2,5)2 5 32 ? 6,25 5 200
4 d f (g(x)) 5 f ((x2 1 5x 1 3)) 5 2(x2 1 5x 1 3) 2 9 Æ Æ f (g(x)) 5 2x2 1 10x 2 3 f (g(x)) 5 g(x) Æ 2x2 1 10x 2 3 5 x2 1 5x 1 3 Æ Æ x2 1 5x 2 6 5 0 A soma dos valores absolutos das raízes x 5 26 e x 5 1 é 7.
5 a
De acordo com o gráfico, a função tem uma raiz dupla. Assim: D 5 m2 2 4 ? (8 2 m) 5 0, ou seja, m 5 4 ou m 5 28. Para m 5 4, tem-se y 5 x2 1 4x 1 4 Æ 24 24 √0 Æx5 5 5 22 5 k. 2 2?1 Para m 5 28, tem-se y 5 x2 2 8x 1 16 Æ 8 2(28) √0 Æx5 5 5 4 5 k. 2 2?1 Mas k , 0. Então, m 5 4. p 5 02 1 m ? 0 1 (8 2 4) 5 4 Portanto, k 1 p 5 22 1 4 5 2.
8 a A função (x 1 2) 2 é resultado de um deslocamento horizontal para a esquerda de x2. O ramo esquerdo da primeira cruza o ramo direito da segunda em um único ponto. A função x 2 1 2 não toca x 2, pois é resultado de um deslocamento vertical de x 2, e ambas têm a mesma concavidade. Ela também não toca a função nula. Isso descarta as alternativas b e d. O gráfico de x 1 2 é resultado de um deslocamento horizontal para a esquerda da função identidade e, por isso, tem dois pontos de cruzamento com x2. Isso descarta a alternativa c. O gráfico de x 2 2 é resultado de um deslocamento horizontal para a direita da função identidade e, por isso, não tem pontos de cruzamento com (x 1 2)2. Isso descarta a alternativa e.
9 a
x2 2 3x 1 2 5 2x 2 3 |x 2 3x 1 2| 5 |2x 2 3| Æ 2 x 2 3x 1 2 5 2(2x 2 3)
y 5 |22x 2 1| 5
• x2 2 3x 1 2 5 2x 2 3 Æ x2 2 5x 1 5 5 0 • x2 2 3x 1 2 5 22x 1 3 Æ x2 2 x 2 1 5 0
São dois ramos de exponenciais. Gráfico número 3.
2
c O produto das raízes de uma quadrática é dado por . a c 5 x1 ? x2 5 a 5 5 5 1 Æ x1 ? x2 ? x3 ? x4 5 5 ? (21) 5 25 21 c 5 21 x3 ? x4 5 a 5 1 O produto das raízes é igual a 5 ? (21) 5 25.
5[ x 1 1 [
2
2
5 5
1 2 2[ ] 2 ?
4
1 Æ h[ ] 5 2
5
2
5[ [ 1 1 2
2
5[
2
1 1 1 1 4 4
5 5 5
1 ? 4
1 2 1 1 [x2 2 ] 1 4 2
1 1 4
[
2
5 5
1 ? 4
5 [22 2
5
x2 2 3x 1 2, se x < 1 ou x > 2 2x2 1 3x 2 2, se 1 , x , 2
São dois ramos de parábolas. Gráfico número 4. y 5 2 2 |x 1 1| 5
y 5 √|x| 5
h(x) 5 [f W g](x) ? [g W f](x) 5 5
y 5 |x2 23x 1 2| 5
2 2 (x 1 1) 5 1 2 x, se x > 21 2 2 (2x 2 1) 5 3 1 x, se x , 21
São dois ramos de funções afins. Gráfico número 1.
6 a 1
22x 2 1, se x > 0 1 2 22x, se x , 0
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1 d
São dois ramos de funções inversas da quadrática x2. Gráfico número 2.
Æ
10 d
5
1 5 1 12 1 [ 2 [1 4 4 4
1 ] ? 4 5 15 4
√x, se x > 0 √2x, se x , 0
2 2 2x 1 168) (14 1 x)(12 2 x) (2x ______________ _______________ 5 x2 1 5 Asombreada 5 x2 1 2 2 2 2 2x 1 168 __ x____________ 1 5 5 x2 2 x 1 84 2 2 2(21) xV 5 ______ } xV 5 1 cm 1 2 3 __ 2
11 a) f(x) 5 800 1 40x 2 20x 2 x2 5 2x2 1 20x 1 800 Como a , 0, f tem valor máximo (que ocorre para xV): 20 xV 5 2 _______ 5 10 } 10 lugares 2 3 (21) b) ymáx. 5 yV 5 2(xV)2 1 20xV 1 800 5 2(10)2 1 20 3 10 1 800 ymáx. 5 900 Portanto, o faturamento máximo é de R$ 900,00.
12 a) Área da figura C: f(x) 5 (50 2 x)x ] f(x) 5 50x 2 x2.
Se os perímetros são iguais, as áreas das figuras A, B e C são descritas da mesma forma, ou seja, se x é uma das dimensões do retângulo A, sua área também pode ser expressa da forma 50x 2 x2. Assim: 50x 2 x2 5 400 ] x2 2 50x 1 400 5 0 } x 5 10 cm ou x 5 40 cm b) Como em f(x) 5 50x 2 x2 tem-se a . 0, a área da figura C é máxima (Amáx.) para ymáx. 5 yV. Daí: 2
ymáx.
4a } Amáx. 5 625 cm2
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
50 2 4 3 (21) 3 0 S _______________ 5 2 ___ 5 2
13 a)
4 3 (21)
t
y
Hora do dia (h)
Temperatura (wC)
8
20
18
20
tV
yV 5 ymáx. 5 30
0 = a 3 20 1 b e 30 = a 3 0 1 b ] b 5 30 e a 5 21,5 } Y 5 21,5X 1 30 Para o ponto (y, x), tem-se: 2(30 2 x) 3 2 x 5 2 __ y 1 30 ] y 5 _________ ou y 5 20 2 __ x 2 3 3 2 b) Acasa 5 x 3 y ] A(x) 5 20x 2 __ x2 } Amáx. para x 5 xV 3 20 2 2 ________ 5 15 e y 5 20 2 __ x 5 20 2 __ 3 15 5 10. xV 5 2 3 3 2 2 3 2 __ 3
@ #
Logo, x 5 15 m e y 5 10 m.
16
a b
Terreno
a 1 2b 5 120 ] a 5 120 2 2b Aterreno 5 ab 5 120b 2 2b2 A maior área é o valor máximo de y 5 120b 2 2b2. 2 2 4 3 (22) 3 0 120 S _______________ Amáx. 5 yV 5 2 ___ 5 2 } Amáx. 5 1.800 m2 4a 4 3 (22)
17 a) Quando S > 0, a função tem pelo menos um zero. Daí: S 5 b2 2 4 3 (22) 3 (26) > 0 ] b2 2 48 > 0 y=0 y>0 –4 3
y>0 4 3 b
8 1 18 5 13 } vértice: (13, 30) tV 5 ______ } b < 24dll 3 ou b > 4dll 3 2 2 2 2 __ b) Nota-se que x e x são as raízes da função f. Daí: A B y 5 a(t 2 tV) 1 yV ] 20 5 a(8 2 13) 1 30 ] a 5 2 5 (x 2 x )(0 2 y ) 12 B A C ______________ 22t2 1 52t 2 188 2 5 xB 2 xA AABC 5 5 6 ] ________________ } y 5 2 __ (t 2 13)2 1 30 ] y(t) 5 2yc 2 5 5 12 Mas yC 5 f(0) 5 26. Daí: ___ 5 xB 2 xA ] xB 5 2 1 xA. b) y(t) 5 26,4 ] t 2 226t 1 160 5 0 ] 6 26 c ___ __ ] t 5 10 h ou t 5 16 h Além disso: xA 3 xB 5 5 ] xA 3 xB 5 3 a 22 Substituindo xB por (2 1 xA) em xA 3 xB 5 3, tem-se: 14 y–6 6 xA 3 (2 1 xA) 5 3 ] (xA)2 1 2xA 2 3 5 0 Muro } xA 5 1 ou xA 5 23 (não convém, pois xA . 0) x x Assim: xB 5 2 1 xA 5 2 1 1 ] xB 5 3 xB 1 xA 2b e xV 5 ___ . Daí: Nota-se que xV 5 ______ y 2a 2 xB 1 xA ___ 2b 2b ______ 2x 1 y 1 y 2 6 5 34 ] 2x 1 2y 5 40 ] y 5 20 2 x ] b 5 8 5 ] 2 5 _______ 2a 2 3 (22) 2 A 5 x 3 y ] A(x) 5 20x 2 x2 } A para x 5 x cercado
2b 20 xV 5 ___ 5 2 _______ 5 10
máx.
V
2a 2 3 (21) y 5 20 2 x 5 20 2 10 5 10 Portanto, as dimensões do cercado são x 5 10 m e y 5 10 m.
15 a) Representando esse triângulo retângulo no plano cartesiano de modo que os catetos fiquem sobre os eixos X e Y, as extremidades da hipotenusa são os pontos (20, 0) e (0, 30), que determinam a reta de equação Y 5 aX 1 b. Daí, tem-se:
Y (0, 30)
30 m y
(y, x) x
0
20 m
(20, 0) X
18 a) A população cresce até y 5 yV, com y 5 f(t). 2 2 4 3 (210) 3 100 _______ 20 24.400 __________________ yV 5 2 5 5 110 240 4 3 (210) 220 b tV 5 2 ___ 5 2 ________ 51 2 3 (210) 2a A partir do esboço do gráfico abaixo, pode-se concluir que a população de insetos cresce durante uma semana.
f(t) 110 100
2
@
4
#
8 2m2 2m ______ Coordenadas do vértice: ____ , 4 2
b) Como a 5 1 . 0, a concavidade da parábola é para cima. Daí, Im(f) 5 {y 9 Voy > yV}. Logo: 8 2 m2 {y 9 Voy > 1} - Im(f) [ yV < 1 [ _______ < 1 [ 4 2 [ 4 2 m < 0 ] m < 22 ou m > 2
t
b) A população inicial é 100 (para t 5 0). Daí, f(t) 5 100: 210t 2 1 20t 1 100 5 100 ] ] 210t 2 1 20t 5 0 } t 5 0 ou t 5 2 Logo, a população de insetos será igual à inicial quando t 5 2, ou seja, ao final da 2a semana. c) População exterminada ] f(t) 5 0 } 210t 2 1 20t 1 100 5 0 ] t 2 2 2t 2 10 5 0 S 5 4 2 4 3 1 3 (210) 5 44 ] dll S 5 dlll 44 5 2dlll 11 dlll d lll 11 2(22) ! 2 11 2 ! 2 _____________ 5 1!dlll 11 5 _________ t 5 231 2 11 (não convém). Logo, a popu} t 7 4,31 ou t 5 1 2dlll lação seria exterminada entre a 4a e a 5a semana.
19 a) Pelo gráfico, conclui-se que o número de peças que torna o lucro nulo (zeros da função) é 100 ou 500. b) Pelo gráfico, os intervalos são 0 , x , 100 ou x . 500. c) A parábola tem vértice (300, 800) e passa pelo ponto (0, 21.000); logo: L 5 a(x 2 xV)2 1 LV ] ] 21.000 5 a(0 2 300)3 1 800 ] 2
2(x 2 300) 21.800 1 ] a 5 _______ 5 2 ___ } L 5 ___________ 1 800 90.000 50 50 Para L 5 350, tem-se: 2x2 1 600x 2 50.000 __________________ 350 5 ] 50 ] 2x2 1 600x 2 67.500 5 0 Resolvendo a equação, tem-se x 5 150 ou x 5 450; portanto, devem ser vendidas 150 peças ou 450 peças.
20 a (x 2 2)2 , 2x 2 1 ] x2 2 4x 1 4 2 2x 1 1 , 0 } x2 2 6x 1 5 , 0 1
–
5 +
x
8 2 m2 ] 4 2 m2 5 0 ] m 5 22 ou m 5 2 yV 5 _______ 2 Se f é crescente para x > 0, então xV < 0. Assim: m xV 5 2 __ < 0 ] m > 0 } m 5 2 2 d) Para m 5 2, f(x) 5 y 5 x2 1 2x 1 2 > 2. Daí: y 5 (x 1 1)2 1 1 ] !dlllll y 2 1 5x11 Como x > 0, tem-se x 5 dlllll y 2 1 2 1.
22 a y está na imagem de f se existe x 22 e a quadrática em x, x2 1 p 5 (x 1 2)y Æ x2 2 yx 1 (p 2 2y) 5 0 admite solução real. Para tanto, é necessário e suficiente que y2 2 4(p 2 2y) > 0 Æ y2 1 8y − 4p > 0. Essa desigualdade quadrática em y tem solução para todo y real se, e somente se, 64 1 16p < 0 ou p < 24.
23 c De acordo com o gráfico: – a parábola tem sua concavidade voltada para baixo (a , 0); – intercepta o eixo x em 2 pontos distintos (D 5 b2 2 2 4ac . 0).
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1
}1,x,5
2a
c) Como a . 0 e Im(f) 5 {y 9 Voy > 1}, tem-se yV 5 1.
0
+
2
S
b 8 2 m m 5 2 __ e yV 5 2 ___ 5 ______ 21 a) xV 5 2 ___ 4a
ESTUDANDO Função quadrática
Para o ENEM 1 d
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Chamando de x a largura do canil, o comprimento será 1 1 10 2 x 5 11 2 x. Dessa forma, a área A será dada por: A(x) 5 (11 2 x) ? x 5 −x² 1 11x. Isso define uma função do 2-o grau, e seu gráfico tem concavidade voltada para baixo. Assim, o valor de x que b 11 fornece área máxima é o x v 5 2 5 2 5 2a 2 ? (21) 5 5,5. Se x 5 5,5 m, 112 x, que é o comprimento, será também 5,5 m. Logo, se Pedro construir um canil com essas dimensões (5,5 m 3 5,5 m), ele terá a maior área para seu canil. Professor: A atividade pode ser resolvida por um método mais prático e sem o uso de equações do 2-o grau. Sabe-se que, fixado um perímetro, o quadrilátero com maior área é um quadrado. 10 m de alambrado mais 1 m de portão fornecem 11 m para a construção do cercado. 11 : 2 5 5,5
2 b I. Falsa. A partir de 2.500 unidades, a empresa passa a ter prejuízo. II. Falsa. A empresa tem lucro mantendo a produção entre 500 e 2.500 unidades. III. Verdadeira. 1.500 é coordenada do vértice da parábola. IV. Verdadeira. No intervalo [1.500, 2.000], a função é estritamente decrescente. Então, 1.500 , , 1.800 , 2.000 Æ f(2.000) 5 7.500 , f(1.800) , , 10.000 5 f(1.500). V. Verdadeira. De acordo com o gráfico, f(1.000) 5 5 f(2.000).
3 c Se o preço do carro continuar a seguir esse modelo quadrático, então, por simetria, como o preço decresceu por 30 anos (de 1970 até 2000), levará mais 30 anos (2030) para voltar ao valor inicial.
4 a 35 andares de 3 m equivalem a 105 m. Substituindo na fórmula: 105 5 4,9 ? t² Æ t² 5 105 : 4,9 Æ t² 7 21,43. Assim, t 5 √21,43. Portanto, t está entre 4 e 5 segundos.
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Função exponencial e função logarítmica
Para o VESTIBULAR 1 Se L é o lucro em reais e t, o tempo em anos, tem-se:
5 a) Como a população tem taxa de crescimento de 1%
L(t) 5 109 1,2t L(t) . 1012 ] 109 1,2t . 1012 ] 1,2t . 1.000 ] ] ln (1,2t ) . ln 1.000 ] t ln 1,2 . ln 1.000 ] ] t 0,182 . 6,907 ] t . 37,95 Portanto: t 5 38 anos.
ao ano, e t anos após 1o de agosto de 2000 ela será de 2 3 170 5 340 milhões, então, adotando as aproximações dadas: 170(1 1 0,01)t 5 340 ] (1,01)t 5 2 ] log 2 ] ] log (1,01)t 5 log 2 ] t 5 _______ log 1,01 10 log ___ log 10 2 log 5 5 ________________ ___ ______ ] ] t 5 ] t 5 log 101 2 log 100 101 log ____ 100
2 A população após n anos pode ser dada por:
@ # @ #
#
Partindo de P(n) 5 2 P(0), tem-se:
@
#
@ #
25 n 1 n 5 2 P(0) ] ___ P(0) 1 1 ___ 5 2 ] 24 24 n 2 n n 102 10 100 _____ 5 log 2 ] 2 ] _____ ] _____ 5 5 2 ] log 5 2 3 24 4 25 3 ] n(2 log 10 2 5 log 2 2 log 3) 5 log 2 ] ] n(2 1 2 5 0,30 2 0,48) 5 0,30 ] 0,30 ] n 0,02 5 0,30 ] n 5 ____ ] n 515 0,02
@
#
C 2
@ #
C 2
@ #
3 C(5.600) 5 __0 ] __0 5 C0 10k 5.600 ]
@ #
1 1 ] __ 5 10k 3 5.600 ] log __ 5 5.600k (I) 2 2 C0 C0 1 ___ ___ C(t) 5 ] 5 C0 10k t ] ___ 5 10k t ] 32 32 32 1 1 1 5 ] kt 5 5 log __ (II) ] kt 5 log ___ ] kt 5 log __ 32 2 2
@ #
@ #
@ #
Substituindo (I) em (II), temos: kt 5 5 5.600k ] t 5 28.000 anos 3
10 4 a) log 200 5 log ___ ] log 200 5 3 log 10 2 log 5 ]
5 ] log 200 5 3 2 0,7 ] log 200 5 2,3 De m 2 M 5 5(21 1 log d), com d 5 200 e m 5 8,5, tem-se: 8,5 2 M 5 5(21 1 2,3) Partindo dessa igualdade, resulta M 5 2; b) Da condição d > 100, tem-se log d > 2. Nessas condições, tem-se: 21 1 log d > 1 ] m ] 5(21 1 log d) > 5 Como m 2 M 5 5(21 1 log d), tem-se m 2 M > 5, ou seja, m > M 1 5. 5 –5
0
M
1 2 0,699 301 ] t 5 _________ anos ] t 5 ____ 4 2,004 2 2 Portanto: t 5 75 anos e 3 meses. Ou seja, a população terá dobrado de tamanho em novembro de 2075. b) Para i 5 0, 1, ..., 5, temos: 2,3 ] P 5 P (1,023)i Pi 5 P0 1 1 ____ i 0 100 Então, adotando a aproximação dada: log Pi 5 log P0 (1,023)i ] Pi x5 log P0 1 ilog (1,023) ] 1 ____ i ] Pi x5 P0x 1 ilog 10 100 ] Pix 5 P0x 1 ____ 100 5 1 5 ___ , e os pontos do Em particular: P5x 2 P0x 5 ____ 100 20 gráfico que relacionam P0x, P1x, ..., P5x com os respectivos 1 . anos estão contidos numa reta de inclinação ____ 100 População
@
#
P5 P4 P3 P2 P1 P0 00
@
01
02 03 04 05
Ano
#
3 1 1 #@ dll 3 2 1 # 22@ dll __________________ 6 @ 10 1 4dll2 # log2 5 dll 2
@
5 @ 10 1 4dll 2 # log2
2 d ll 2
2
#
2 2 ______ 5 dll 2 2 d ll 2
d 2 #R 5 2 # E log2 23 2 @ log2 2 ll2 1 log2 dll 5 @ 10 1 4dll
E
@
1 __
#R
2 # 3 log2 2 2 dll 5 @ 10 1 4dll 2 log2 2 1 log2 2 2 5
E @
#R
2 1 1 2dll 6 5 2 # __ 2 ________ 5 @ 10 1 4dll 2 2
@
#
2 5 2 2dll 5 17 2 # ________ 5 @ 10 1 4dll 2
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
@
1 n P(n) 5 P(0) 1 1 ___ . 24
7 Temos:
t(x) 5 3 ] 0,01 3 20,05x 5 3 ] 20,05x 5 3 100 ] ] 0,05x 5 log2 (3 102) ] ] x 5 20[log2 3 1 2 log2 (2 5)] ] ] x 5 20(log2 3 1 2 1 2 log25) ] ] x 7 20(1,6 1 2 1 2 2,3) ] ] x 5 164, adotando as aproximações dadas. Assim, com base na função dada, a temperatura média da Terra terá aumentado 3 wC em 2044 em relação à temperatura média de 1870 (1880 1 164).
8 a) Em t 5 0, tem-se: C(0) 5 377,4
Em t 5 1, tem-se: C(1) 5 377,4 1,005 Em t 5 2, tem-se: C(2) 5 377,4 1,0052 Em t 5 3, tem-se: C(3) 5 377,4 1,0053 Logo: C(t) 5 377,4 (1,005)t. b) Deseja-se que C(t) 5 1,5 C(0) 5 1,5 377,4 377,4 (1,005)t 5 1,5 377,4 ] (1,005)t 5 1,5 3 log __ Logo: log 1,5 2 t _________ ________ log (1,005) 5 log 1,5 ] t 5 ] ] log 1,005 2,01 ____ log 3 2 log __ 2 0,4771 2 0,3010 ______________ ] t 5 ] t 5 _________ ] 0,3032 2 0,3010 2,01 ____ log 2 0,1761 ______ ] t 7 80 anos ] t 5 0,0022 Portanto, o ano procurado é o de 2084.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
@ #
@ #
@ #
@ #
9 b Aplicando a propriedade da média aritmética dos termos extremos de uma PA:
log2 x log8 (8x) log4 (4x) ä log2 x log8 (8x) 2 2 [log4 (4x)] ä log2 x log8 8 log23 x 2 (log4 4 log22 x) ä 1 1 log2 x 2 [1 log2 x] ä 3 2 1 ä log2 x1 log2 x 2 log2 x ä 3 1 ä log2 x 1 ä log2 x 3 ä x 8 3 ä log2 x1
Como x = 8: a1 5 log2 x 5 log2 8 5 3 1 a2 5 log4 4x 5 log4 4 8 5 log4 4 8 5 (log2 4 log2 8)
2
1 5 (23) 2 2 a3 5 log8 8x 5 log8 8 8 5 2 Então, a1 a2 a3 3
5 15 2 . 2 2
10 a log 1 x 5 log 1 x; substituindo-se na inequação: 4
4
log 1 x log 7 ä log4 x log4 7 ä log4 x log4 7 4
4
1 1 log4 ä x 7 7 1 1 14 7
11 d R log10 [ 32.000 I0 ] log10 32.000
I0
log10 25 103 log10 25 log10 103 5 log10 2 3 log10 10 ≃ 5 0,30 3 1 1,5 3 4,5
12 b a) A alternativa está correta, pois representa a aplicação da propriedade do logaritmo do quociente. b) In[
MA ] > 0 Æ MA > e0 Æ MA > 1 Æ M > x A i xi xi xi
para todo xi . 0, tal que i 5 1, 2, ..., N.
Por ser absurda, a afirmação está incorreta, pois contraria o conceito de média. c) De fato, xi < MA Æ
xi < M A. N
d) Se todos os valores xi forem iguais, então: MA 5 MG Æ
Æ
MA 5 1 Æ T 5 In 1 5 0. MG
e) Trata-se do desenvolvimento algébrico da expressão para o cálculo do índice de Theil.
13 d Decaimento exponencial N 5 N0 ? e–kt. Para t 5 5.730, tem-se a meia-vida do isótopo, ou seja, N 5
N0 . 2
Calculando o decaimento para t 5 5.730, obtém-se o valor da constante k:
N0 5 N0 e–k 5.730 Æ 0,5 5 e–k 5.730 Æ ln 0,5 5 –k 5.730 2
(In e) Æ k 7 1,2 10–4
Calculando a idade da castanheira: 0,84 N0 5 N0 e–kt Æ 0,84 5 e–kt Æ ln 0,84 5 (–kt) ln e Æ 20,17 5 (21,2 1024 t) Æ t 5 1.411 anos
14 log 450 5 log (32 3 5 3 10) 5 log 32 1 log 5 1 log 10 ] ] 2 3 log 3 1 log 10 2 log 2 1 log 10 5 2 3 0,48 1 1 2 0,30 1 1 Portanto: log 450 5 2,66. lll 32 5 9 15 a) 3d 4,1 . 3dll4 5
lll 4,1 b) 3dlll 5 x ] log 3d 4,1 5 log x ]
] √4,1 3 log 3 = log x ] 0,48 3 2,03 = log x ] ] 0,9744 = log x ] 100,9744 = x , 101 4,1 ∴ 3dlll , 10
16 Seja V(t) o valor da dívida em reais, V0 o valor inicial da dívida, também em reais, e t o tempo em meses. Assim: V(t) 5 V0 3 1,09t e V(t) 5 3 3 V0 5 5 V0 3 1,09t ] 3 5 1,09t ] t 5 log1,09 3 ] 1,08 In 3 ] t 5 ______ ] t 7 ____ ] t 7 12 meses 0,09 In 1,09
20 b
011
6 17 a) f(0) 5 2 3 3 4 2 25 30 g(0) 5 3 3 2 5 48
Portanto, 6 bactérias do tipo I e 48 bactérias do tipo II.
b)
y 48
f(t)
É sabido que o crescimento quadrático é maior que o exponencial até ambos se igualarem e, partindo desse ponto, passa a ser menor. • F1(2) 5 22 1 96 5 100 e F2(2) 5 9 ? 22 1 64 5 100 • F1(3) = 32 + 96 = 105 e F2(3) = 9 ? 23 + 64 5 136 Portanto, após o instante t 5 2, o crescimento populacional de B1 é menor que o de B2.
21 a 24
Substitui-se f(x) por x e x por g(x) 5 f 21(x):
18
f(x) 5 9 ? e 3 1 1 Æ x 5 9 ? e
12 g(t)
6 0
g(x) x21 e 3 Æ 9 g(x) x21 x21 Æ In [ ]52 Æ 23 ? In [ ] 5 g(x) Æ 3 9 9 9 3 x 2 1 23 Æ g(x) 5 In [ ] 5 In[ ] x21 9 x
1
x (horas)
24 2
g(x) 3
11Æ
] c) f(t) 5 g(t) ] 2 3 3t 1 1 5 3 3 24 2 2t ] 2 3 3 3 3t 5 3 3 ___ 2t
0,90 ] t 5 ____ ] t 7 0,8411 1,07 Ou seja, após cerca de 50 min e 28 s.
18 e A população da espécie A tem um crescimento multiplicativo. Isso se reflete em uma curva exponencial. Portanto, sua evolução corresponde ao gráfico III. A população da espécie B tem um aumento aditivo. Isso se reflete em uma curva de inclinação constante. Assim, sua evolução corresponde ao gráfico II. A população da espécie C permanece estável ao longo dos anos. Isso se reflete em uma curva horizontal. Portanto, sua evolução corresponde ao gráfico I.
19 e 3 ? 22t . 0 Æ 4 2 3 ? 22t , 4 Æ Æ P(t) 5
1 1 . Æ 4 4 2 3 ? 22t
P0 P . 0 5 0,25 ? P0 4 2 3 ? 22t 4
Então, P(t) . 25% ? P0.
22 c 28 5 (100 2 20) ? 0,5t 1 20 Æ 28 5 80 ? 0,5t 1 20 Æ Æ 8 5 80 ? 0,5t Æ 0,1 5 0,5t Æ Æ log 0,1 5 log 0,5t Æ 2log 10 5 t ? log 0,5 Æ Æt5
2log 10 2log 10 5 5 log2 10 Æ log 221 2log 2
Æ 8 , 10 , 16 Æ 23 , 10 , 24 Æ log2 23 , , log2 10 , log2 24 Æ 3 , t , 4
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
23 ] (3 3 22)t 5 23 ] t 5 log(3 3 22) 23 ] 3t 5 ____ (22)t log 23 3 3 0,30 ] t 5 _____________ ] ] t 5 _________ 0,47 1 2 3 0,30 log (3 3 22)
ESTUDANDO Função exponencial e função logarítmica
Para o ENEM 1 d A diferença de intensidade desses dois terremotos é de 2 unidades na escala Richter. A amplitude sísmica do primeiro foi 100 vezes maior do que a do segundo.
2 c log 140 5 log (2 ? 7 ? 10) 5 log 2 1 log 7 1 log 10 5 5 0,301 1 0,845 1 1 5 2,146
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
3 c De fato, o crescimento acentuado é uma característica das curvas exponenciais; além disso, o número de bactérias em uma colônia sempre é representado por um número natural e, portanto, trata-se de um conjunto discreto. As funções de R em R são usadas como modelos para o estudo das populações, e isso é permitido pelo uso de hipóteses de aproximação.
4 d I. Falsa. Funções inversas não são usadas para representar casos de decrescimento. São usadas em contextos de composição de funções. II. Falsa. Idem ao comentário da afirmação I. III. Verdadeira. A afirmação questiona a continuidade do conjunto imagem da função, que, de fato, como não existe, solicita a escolha de modelos de funções contínuas para estudar a relação de dependência entre as variáveis. IV. Verdadeira. O gráfico não mostra o processo de desintegração até o fim. V. Falsa. O fato de alguns elementos terem meia-vida de bilhões de anos torna necessário o uso de escala adequada para a representação gráfica, mas o processo como um todo ainda é passível de descrição por um exponencial. Não se deve confundir a escala temporal de ocorrência do fenômeno com a taxa de variação da curva.
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Sequências numéricas, progressões aritméticas e geométricas
Para o VESTIBULAR 6 A sequência de camadas de moedas é (1, 6, 12, 18, ..., 84).
1 1 1 2 5 3 1 1 2 1 3 5 6 (a 1 a ) 3 n (1 1 n) 3 n ______ 1 n n2 1 n 1 1 2 1 ... 1 n 5 __________ 5 _________ 5 2 2 2 b) Sendo an21 e an (n . 1) dois termos consecutivos da sequência (an): [(n 2 1)2 1 (n 2 1)] ______ n2 1 n 2n2 _________________ an 2 1 1 an 5 5 n2 1 5 ___ 2 2 2
2 Os ângulos formam uma PA em que a1 5 30w e r 5 30w; logo: a458 5 30 1 (458 2 1) 3 30 ] a458 5 13.740w
1 Portanto: cos 13.740w 5 cos 60w 5 __ . 2
3 Se a é o lado do quadrado, d sua diagonal e A sua
área, tem-se a PA (a, d, A), ou seja (a, adll 2 , a 2 ). Logo, se r é a razão da PA: r 5 a 2 2 adll 2 5 adll 2 2 a ] a 2 2 2adll 2 1 a 5 0 ] ] a(a 2 2dll 2 1 1) 5 0 ] a 5 0 (não convém) ou a 5 (2dll 2 2 1)
4 a)
4 3 2 1
x
1 2 3 4
–2
b) S 5 f(1) 1 f(2) 1...1 f(199) 1 f(200) ] S 5 22 1 1 1 1 4 1 7 1 ... 1 592 1 595. Portanto, os termos da soma S formam uma PA de razão 3, a1 5 22 e a200 5 595: (22 1 595) 3 200 _______________ S200 5 5 593 3 100 5 59.300 2
5 a)
a 1 d 1 D 5 180w (I) d 2 a 5 D 2 d ] 2d 5 a 1 D (II)
(II) em (I): 2d 1 d 5 180w ] d 5 60w c b) a 5 __ ] c 5 2a 2
a
D
b
d
a c = 2a
Pela lei dos cossenos, tem-se: b2 5 a2 1 (2a)2 2 2 3 a 3 2a 3 cos 60w ]
] b2 5 3a2 ] b 5 adll 3 Pela lei dos senos, tem-se: 3 dll ___ sen D sen d sen D 2 _____ 5 _____ ] ___ 5 _____ ] sen D 5 1 ] D 5 90w c 2 b dll 3
Portanto: a 5 30w.
7 Sendo 2sr o comprimento de cada camada de tecido e o tubo cilíndrico com raio igual a 5 cm, tem-se: comprimento da 1a camada de tecido: 2s 3 5 5 10s comprimento da 2a camada de tecido: 2s 3 (5 1 0,1) 5 10,2s Logo, os comprimentos das camadas de tecido formam uma PA (10s; 10,2s; 10,4s; 10,6s; ...), cuja razão é 0,2s. Portanto: {10s 1 [10s 1 (n 2 1) 3 0,2s]} 3 n ] Sn 5 C(n) 5 ____________________________ 2 ] C(n) 5 0,1sn2 1 9,9 sn
8 Seja (a1, ..., an) uma PA de razão r e (b1, ..., bn 2 1), dada por ak 1 ak 1 1 ak 1 1 2 ak 2 1 ____________ bk 5 _________ . Então: bk 2 bk 2 1 5 5r 2 2
f
y 7
A partir da 2a camada, a sequência forma uma PA em que a1 5 6, a razão 5 6 e an 5 84; logo: 84 5 6 1 (n 2 1) 3 6 ] n 5 14 (6 1 84) 3 14 90 3 14 Sn 5 ___________ ] Sn 5 ______ ] Sn 5 630 2 2 Portanto, a quantidade de moedas será igual a 631 moedas (630 1 1), e, assim, R$ 63,10.
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1 a) Tem-se a situação:
Ou seja, a sequência (b1, ..., bn 2 1) é uma progressão aritmética de razão r. a1 1 a2 _________ an 2 1 1 an 1 5 Além disso: b1 1 bn 2 1 5 _______ 2 2 1 a ) 2(a 1 n 5 a1 1 an 5 _________ 2 Sejam S1, ..., Sn as somas referentes a cada camada, com Sk representando a soma da camada composta por k tijolos, k(a1 1 an) . k 5 1, ..., 100. Nota-se que Sk 5 _________ 2 (a1 1 an) _________ 2(a1 1 an) 1 1 ... 1 Logo: S1 1 S2 1 ... 1 S100 5 ________ 2 2 (a1 1 an) 100(a1 1 an) ________ (1 1 2 1 ... 1 100) 5 1 ___________ 2 2 (10 1 490) (1 1 100) 3 100 _____________ 3 5 Assim: S1 1 S2 1 ... 1 S100 5 _________ 2 2 5 250 3 5.050 5 1.262.500.
9 a) As figuras são compostas de quadrados cujos lados têm a medida de 1 palito e, a partir da figura 2, a figura n é obtida acrescentando-se (n 2 1) 3 2 quadrados à figura 1. Portanto, para formar a figura n é Fn 5 4 3 [11 (n 2 1) 3 2] 5 8n 2 4, para n > 1, e, sendo assim, F10 5 8 3 10 2 4 5 76. b) Ao exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras, são necessários (8 3 1 2 4) 1 (8 3 2 2 4) 1 1 (8 3 3 2 4) 1 ... 1 (8 3 50 2 4) palitos de fósforo. Observando que, anteriormente, havia a soma de uma PA com a1 5 4 e a50 5 396, o número de palitos
(4 1 396) 3 50 ____________ de fósforo será 5 10.000. 2
10 Nenhum dos dois escolheu a opção correta. Observe que os caminhos 1 e 2 têm os mesmos comprimentos. De fato, traçando-se as paralelas indicadas na figura abaixo, obtém-se: • A0 A1 A2 A3 A4 A5 ... A10 A11 A0C2 • A1 A2 A3 A4 A5 A6 ... A11 A12 C2 A12
C1
A1 A0
B2
A3
A2
A4
A5
A6
A7
A9
A8
A11
A10
B1C2 C2D B1C1 C1D e C1D DB2 C1B2 C2
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B1
a1 a2 a3 a4 a5 100 e
700 ä 8 1 1 175 1 a ä (a3 a4 a5) ä (a3 a5) 4 2 2 2 2 2 175 a4 175 175 ä a4 ä a4 6 4 2 4 1 a a5 1 (a1 a2 a3 a4 a5) 100 ä 1 • 2 2 2 a a4 100 a 100 a ä a3 3 a3 ä a3 20 3 2 2 2 2 2 2 ä a3 a4 a5
A12
Por outro lado, prolongando o segmento B1C1, obtém-se D, tal que:
C1
De acordo com o enunciado, tem-se uma PA de 5 termos e uma relação entre seus termos:
a1 a2 a3 a4 a5 ä 7 (a1 a2) a3 a4 a5 . 7 A parte maior da divisão é representada pelo termo a5. • 7 (a1 a2 a3 a4 a5) 7100 ä 7 (a1 a5) 7 (a3 a4 a5) 700 ä a3 a4 a5 7 (a3 a4 a5) 700 ä 8 (a3 a4 a5) 700 ä
C2
B1
13 a
D
B2
175 175 175 ä 20 a5 ä 2 6 2 6 175 175 120 175 3 [ ] 20 [ ] ä a5 6 3 6 2 6 230 115 ä a5 6 3
• a3 a4 a5 A0
A12
Logo: B1C2 C2B2 B1C2 C2D DB2 B1C1 C1D DB2 B 1C 1 C 1B 2 Portanto, o caminho mais curto é o da opção 3.
11 e (a1 a20) 20 2 40 ä a1 a20 80 20 Subtraindo-se a1 e a20 , tem-se: M20
(a1 … a20) 20
M18 (a2 … a19) 18
(a2 a19) 18 2 a2 a19 2 18
Utilizando-se a propriedade dos termos equidistantes da PA, tem-se: a2 a19 a1 a20 80 40 2 2 2
12 e Observa-se que o número de barras aumenta de dois em dois na sequência. A sequência de barras na ordem configura uma PA de primeiro termo 3 e razão 2. Assim, N = an an a1 (n 1) 2 3 2n 2 2n 1
14 a) O percurso de uma meia-volta é igual à metade do percurso da meia-volta anterior, portanto, formam PG 1 de razão __ . 2 9 1 __ 2 1 2 1.000 3 ________ 7 1.996 metros. Assim, o atleta 1 __ 2 1 2 1 9 __ 2 1 2 1 percorreu 1.000 3 ________ 5 2.000 1 2 __9 7 1.996 1 2 __ 2 1 2
@ #
@ #
@
#
b) A distância desejada é igual a: 1 1 1 1.000 2 1.000 3 __ 1 1.000 3 __2 2 1.000 3 __3 1 ... 5 2 2 2 1.000 2.000 metros 5 _________ 5 _____ 3 1 __ 1 2 2 2
@ #
E @ #
R
1 n 1 3 __ 2 1 2 8.191 8.191 1 _____________ ] 2 1 2 __n . _____ ] . _____ 15 1 4.096 4.096 2 __ 2 1 2 8.191 1 1 1 ] 2 1 ] __n , 2 _____ ] 2 __n . _____ 8.192 8.192 2 2
@
#
1 ] 2n , 213 ] n . 13 ] 22n , ___ 213 Portanto, o menor inteiro positivo que satisfaz a desigualdade é 14.
1 1 16 a4 5 a1 3 q4 2 1 ] 800 5 6.400 3 q3 ] q3 5 __8 ] q 5 __2 21 d
17 d Os valores de 12 depósitos seguidos formam uma PG de razão 2. Somando-se estes 12 pagamentos, tem-se: 1 ? (212 2 1) S12 5 5 4.095 221 A cada ano serão depositados R$ 4.095,00. Em 21 anos: 21 ? 4.095 5 85.995
18 a Se a razão da PG é tal que 21 , q , 1, então a1 Sn 1q 1 100 Como a1 100 e q , então: Sn 200 2 1 [1 ] 2
19 e x x , a3 , ..., a6 48 2 4 1 8 255 x [1 [ ] ] x [ ] 2 256 a1 (1qn) Sn Æ S8 1 1 12q 1 [ ] 2 2 255 x 128 1 5 a6 48 x [ ] ä x 48 32 2 255 255 (48 32) 3.060 S8 x 128 128
a1 x, a2
20 c PG: (√2 , a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, 16√2 ) a1 5 √2 e a9 5 16√2 a9 5 a1 ? q8 Æ 16√2 5 √2 ? q8 Æ 16 q8 Æ q 5 √2 PG: (√2 , 2, 2√2 , 4, 4√2 , 8, 8√2 , 16, 16√2 ) A soma procurada é: 2 1 4 1 8 1 16 5 30.
Realizar essas operações repetidas vezes pode gerar: • u ma PA de razão 3; nesse caso, o resultado da diferença entre a alternativa correta e 1 deve ser um múltiplo de 3. • uma PA de razão −6; não poderia ser, pois nenhuma das alternativas é um número negativo. • uma PG de razão 4; nesse caso, a alternativa correta seria uma potência de 4. • uma PG de razão 7; semelhantemente, a alternativa correta seria uma potência de 7. De fato: 2.008 2 1 5 2.007 5 3 ? 669 Ou seja, 2.007 é um múltiplo de 3.
22 b Trata-se de uma PG decrescente de razão 21 , q , 1: a1 7 5 Sn Æ 42 Æ 42 2 42q 5 7 Æ q 12q 6 12q
23 e Como a colônia de bactérias dobra de tamanho a cada 10 minutos, o crescimento dessa colônia será definido por uma PG em que o primeiro termo é 25 [ufc/mL] e a razão é 2. Calcula-se n tal que an , 100.000. an 5 a1 ? qn 2 1 , 100.000 Æ 25 ? 2n 2 1 , 100.000 Æ 100.000 Æ 2n 2 1 , 4.000 , 4.096 5 2¹² Æ 2n 2 1 , 25 Æ n 2 1 , 12 Æ n , 13 Se a colônia tiver 12 oportunidades de se reproduzir, precisará de 12 ? 10 min 5 120 min para isso. • a13 5 25 ? 4.096 5 102.400 . 100.000 Analogamente, se tiver 11, precisará de 110 min. • a12 5 25 ? 2¹¹ 5 51.200 , 100.000 Como o exame de diagnóstico precisa de 30 min e 110 min , t , 120 min, então o tempo que o médico tem para administrar a medicação está representado no intervalo 80 min , t 2 30 , 90 min.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
E @ # R
1 4 6.400 3 __ 2 1 2 192.000 ________________ ] ] S4 5 _______ Portanto, S4 5 1 16 __ 2 1 2 ] S4 5 12.000 Portanto, o valor da dívida é R$ 12.000,00.
ESTUDANDO Sequências numéricas, progressões aritméticas e geométricas
Para o ENEM 1 e Se escritas em ordem crescente as porcentagens de 2004, 2005 e 2007, tem-se: 98,07 , 98,12 , 98,17. De fato, 98,07 1 0,05 5 98,12 e 98,12 1 0,05 5 98,17. Portanto, nessa ordem configuram uma PA.
2 b
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
A sequência de cavalos é: a1 = 1, a2 5 3, a3 5 5, ... an 5 1 1 (n 2 1) ? 2 5 1 1 2n 2 2 5 2n 2 1 Com isso é possível calcular a posição do cavalo 13: 2n 2 1 5 13 Æ 2n 5 14 Æ n 5 7 Æ a7 5 13 Se o a7 é oposto ao a3, então o a6 é oposto ao a2 e o a5 está de frente para o a1. Logo, a5 5 2 ? 5 2 1 5 10 2 1 5 9.
3 a Os seguintes pares representam cavalos opostos no carrossel: (a5, a1), (a6, a2), (a7, a3), (a8, a4). Como a5 já apareceu na primeira linha, não é possível ter o próximo par (a9 e a5). Logo, há apenas 8 cavalos.
4 b 2015 2 1990 5 25 Como o primeiro termo representa o ano de 1990, 2015 representará o 26o. Usando o termo geral da PA, em 2015: a26 5 a1 1 25r 5 5% (o último termo é metade do primeiro) 10% 1 25r 5 5% Æ 25r 5 5% 2 10% 5 25% Æ 5% 5 20,2% Ær5 2 25 De 1990 até 2012 se passaram 22 anos, então: 10% 1 22 ? (20,2%) 5 10% 2 4,4% 5 5,6%
5 c Observa-se que o padrão de formação dessa sequência é a repetição da unidade nas duas primeiras posições e, a partir da terceira posição, cada termo é a soma dos dois termos anteriores. Logo: an 5 an 2 1 1 an 2 2, para n . 2.
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Razões, proporções e porcentagens
Para o vestibular 20
5 7 a outra, ___ de 1.280 e a terceira, ___ de 1.280, ou seja, 20 20 R$ 512,00, R$ 320,00 e R$ 448,00, respectivamente. 1 5
1 10 1 __ 5 ceberá ___ 5 8 ___ 10 1 2
21511 10
8 10
b) __ 1 __ 1 ___ 5 _________ 5 ___ ; logo, uma pessoa re1 __ 5 2 1 __ de 1.280, a outra, ___ 5 __ de 1.280 4 8 8 ___ 10 1 ___ 10 1 ___ e a terceira, 5 __ de 1.280, ou seja, R$ 320,00, 8 8 ___ 10 R$ 800,00 e R$ 160,00, respectivamente. 3 2 de A, ___ de B 2 A substância X é composta (volume) de ___ 10 10 5 e ___ de C. 10 E as massas dos elementos A, B e C obedecem às relações: A 5 3C B 5 2C 3 5 2 ___ 3 3C 1 ___ 3 2C 1 ___ 3 C 10 10 10 X _______________________ __ x 5 5 5 C C 6C 1 6C 1 5C
____________ 10 17C 1 17 ____________ 5 5 ____ 3 __ 5 ___ 5 1,7 C
10
C
10
3 a) A distância entre Paraguaçu e Piripiri é de 47 2 13 5 34 km. Entre essas duas cidades há oito espaços de 1 cm cada. Logo, 1 cm no mapa corresponde à distância de 34 ___ 5 4,25 km 5 425.000 cm, ou seja, a escala do 8 mapa apresentado é 1 4 425.000. b) Medindo-se a partir do ponto do início da estrada, o posto se encontra no quilômetro 13 1 5 3 4,25 5 34,25. c) A distância entre essas duas cidades é 34 km 5 3.400.000 cm. Usando a escala 1 4 500.000, a dis3.400.000 5 6,8 cm. tância entre elas na folha será de _________ 500.000
4 a) Para a produção do fertilizante F1, em cada 8 par-
tes desse fertilizante 5 são do produto P e 3 são do 5 3 produto Q; logo, __ são de P e __ são de Q. Portanto: 8 8 3 3 __ de 260 5 __ # 260 5 97,5 litros do produto Q. 8 8 b) Composição errada: 80% de 2.200 5 1.760 litros de P 20% de 2.200 5 440 litros de Q Seja x a quantidade de F1 a ser acrescentada à mistura e y a quantidade total da mistura (y 5 2.200 1 x), tem-se: 5 7 1.760 1 __ x 5 __ y (I) 8 9 3 9 3 2 __ __ 440 1 x 5 y ] y 5 __ 440 1 __ x (II) 8 9 2 8 Substituindo (II) em (I), vem: 5 3 7 9 1.760 1 __ x 5 __ 3 __ 440 1 __ x ] 8 9 2 8
@
#
@ # 5 7 3.520 1 3x ] 1.760 1 x 5 @ # ] 8 2 8 __
__ __________
] 28.160 1 10x 5 24.640 1 21x ] ] 11x 5 3.520 ] x 5 320 litros. Portanto, devem ser acrescentados à mistura 320 litros do fertilizante F1.
5 Se V é o volume da caixa-d’água, em m3, temos: V V Vazão (A) 5 __ m3/h e Vazão (B) 5 ___ m3/h 5 7,5 Calculando o volume na caixa-d’água na primeira 1,5 h, tem-se: 1,5V V x __ 5 ___ ] x 5 ____ 5 0,3V; portanto, faltam V 2 0,3V 5 0,7V 5 1,5 5 para completar o volume total da caixa-d’água. 3V 1 2V ___ 5V V V V Vazão (A 1 B): __ 1 ___ 5 _______ 5 5 __ m3/h 5 7,5 15 15 3 0,7V V ____ __ ] t 5 2,1h Logo: 5 t 3 Assim: 7 1 1,5 1 2,1 5 10,6 h. Como 0,6 h corresponde a 36 min, as bombas terminaram de encher totalmente a caixa às 10h36min da manhã.
6 No intervalo de 700 dias entre os alinhamentos, o pla700 1 neta A percorreu ____ 5 2 1 __ voltas em torno de x, de 300 3 1 modo que J corresponde a __ de volta. 3 4 1 __ __ Assim, B percorreu 1 1 5 de volta durante os mes3 3 700 ____ 4 5 525 dias mos 700 dias e, portanto, o ano de B tem ____ 3 terrestres.
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8 1 a) 8 1 5 1 7 5 20; logo, uma pessoa receberá ___ de 1.280,
13 c
7 c x 1 y 1 z 5 310 z x z y x y Æ 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 5 2 5 3 2 3 5
x1y1z 310 5 31 1 1 1 1 1 30 2 3 5
x y 310 310 5 5 Æ x 5 150, Æ y 5 100 e 1 1 31 31 2 3 30 30 z 310 5 Æ z 5 60 1 31 5 30
Seja V a capacidade da primeira garrafa. A capacidade da segunda garrafa será 2V e a da terceira garrafa, 3V. 2 V. Conteúdo do produto A na primeira garrafa: 3 3 Conteúdo do produto A na segunda garrafa: ? 2 V. 5 2 6 28 Conteúdo de A na terceira garrafa: V1 V5 V. 3 5 15 Portanto, a fração do produto A na terceira garrafa é: 28 [ ]V 15 28 . 5 45 3V
14 d Consumo de álcool:
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8 a Porcentual de votos do candidato X: 75% de 75% 5 0,75 # 0,75 5 0,5625 5 56,25% dos votos. Como 56,25% é maior que 50%, então o candidato X ganha as eleições no primeiro turno.
9 47 # 40% 5 18,8 gramas. Na fabricação do pão foram perdidos 47 2 35 5 12 gramas. Fazendo-se a proporção: 18,8 p 100% ] 18,8x 5 1.200% ] x 7 63,8% 12 p x Portanto, evaporou-se aproximadamente 63,8% da água contida na massa inicial desse pão.
350 km 5 50 L. km 7 L
Gasto total com álcool: 50 ? 2,05 5 102,5. Consumo de gasolina:
350 km 5 35 L. km 10 L
Gasto total com gasolina: 35 ? 2,68 5 93,8 102,5 − 93,8 5 8,7 Houve uma economia de R$ 8,70.
15 e 37 L ? x 34 L ? R$ 2,20 5 Æ x 5 R$ 1,40 259 km 374 km
10 Dos 25.000 litros de água consumidos na residência, 25% foram destinados à higiene pessoal. Ou seja, 0,25 # 25.000 5 6.250 litros. Outros 33% foram consumidos com a descarga do banheiro, ou seja, 0,33 # 25.000 5 8.250 litros. A adolescente foi responsável por 40% desse consumo. Assim, ela consumiu 0,40 # 6.250 5 2.500 litros com higiene pessoal e 0,40 # 8.250 5 3.300 litros com o uso da descarga, totalizando um consumo de 5.800 litros.
11 Sejam R a receita da empresa, T os gastos com a conta telefônica e E os gastos com energia elétrica. Assim: T 1 E 5 0,15R 0,5T 5 1.000 ] 0,05R 5 1.000
T 1 E 5 0,15R T 5 2.000 ] R 5 20.000
] T 1 E 5 0,15R ] 2.000 1 E 5 0,15 3 20.000 ] E 5 1.000 Portanto, a empresa gasta R$ 1.000,00 com a conta de energia elétrica.
12 a O 0,002% da população do estado de Rondônia corresponde a: 0,002 1.050.000 ? [ ] 5 21 100
16 a Cálculo da quantidade de nitrato em 12.000 L de água que apresenta concentração de 15 mg/L: 15 mg 1L Æ x 5 180.000 mg 5 x 12.000 L Cálculo do volume de água ideal para essa quantidade de nitrato: 10 mg 1L Æ y 5 18.000 L 5 180.000 mg y Diferença entre o volume ideal e o do reservatório: 18.000 L − 12.000 L 5 6.000 L
17 c E1 5
44,5 ? 400.744 5 178.331,08 100
E2 5
71,3 ? 1.457.000 5 1.038.841,00 100
E2 1.038.841,00 5 7 5,82 178.331,08 E1 E2 5 5,82E1 5 E1 1 E1 ? 4,82 5 E1 1 482% ? E1
18 Soma: 01 1 08 5 9 (01) Correta. Fabiano tem x bezerros e y cabritos: x y 4 x 3 0,04 ? 1 0,03 ? 5 400.000 Æ ? 1 ? 4 3 100 4 100 y ? 5 400.000 Æ 0,01 ? x 1 0,01 ? y 5 400.000 Æ 3 Æ 0,01 ? (x 1 y) 5 400.000 Æ x 1 y 5 40.000.000 (02) Incorreta. 20% ? 53.000 5 10.600 3.600
(08) Correta. Um valor x sofre um aumento inflacionário de 700%: 700x x 1 700% ? x 5 x 1 5 x 1 7x 5 8x 100 Aplicando a fórmula de juros compostos com inflação de 20% a.m.: 8x 5 x ? (1 1 0,2)t Æ 8 5 1,2t Æ 23 5 1,2t Aplicando-se log aos dois membros da equação: 3 ? log 2 5 t ? (log 12 – log 10) Æ Æ 3 ? log 2 5 t ? [log(22 ? 3) – log 10] Æ Æ 3 ? log 2 5 t ? [2 ? log 2 1 log 3 – log 10] Æ Æ 3 ? 0,301 5 t ? [2 ? 0,301 1 0,477 – 1] Æ Æ 0,903 5 t ? 0,079 Æ t 7 11,43 meses
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
(04) Incorreta. 5 j 5 800.000 ? 0,05 ? 6 5 800.000 ? ? 6 5 8.000 ? 5 ? 100 ? 6 5 240.000 20.000
ESTUDANDO Razões, proporções e porcentagens
Para o ENEM 1 c
3 e
Seja y o volume do cubo que se deseja construir e k o valor do ajuste na aresta feito pelo maquinário. Então: • y 5 2x3 5 (x 1 kx)3 Æ 2x3 5 (1 1 k)3x3 Æ Æ 2 5 (1 1 k)3 Æ 3
Æ k 5 √2 2 1 5 1,23 2 1 5 5 0,23 • 0,23 7 0,25 5
1 4
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2 a Investidor A: 6 ? R$ 250,00 5 R$ 1.500,00 Investidor B: 8 ? R$ 150,00 5 R$ 1.200,00 Total investido por A e B juntos 5 R$ 2.700,00 Sabendo que a administração distribui os rendimentos de forma proporcional às quantias investidas por cada membro: A1B A B 100 A Æ 5 5 5 5 1.500 1 1.200 1.500 1.200 2.700 1.500 B 5 1.200 A 1 B 5 100 100 A Æ A 7 R$ 55,55 5 2.700 1.500 100 B Æ B 7 R$ 44,44 5 2.700 1.200
De acordo com o enunciado, x é o valor inicial de operação ou depósito 1: 35 x 20 x x 5 1.500 1 1 250 1 1 500 Æ 100 100 45 x Æ 5 2.250 Æ x 5 5.000 100 Saque 2 ou operação 3: 35% do valor inicial de operação: 35% ? 5.000 5 1.750 Saque 4 ou operação 5: 20% do valor inicial de operação 5 20% ? 5.000 5 5 1.000 Operação 1 2 3 4 5 6 7
Transação Depósito 1 Saque 1 Saque 2 Saque 3 Saque 4 Saque 5
Valor sacado R$ 5.000,00 R$ 1.500,00 R$ 1.750,00 R$ 250,00 R$ 1.000,00 R$ 500,00 (saldo zero)
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Tópicos da matemática financeira
Para o vestibulaR 6 Fazendo a proporção: 600 mL p R$ 1,80 900 ] 600x 5 500 ? 1,8 ] x 5 ____ ] x 5 1,5 500 mL p x 600 O refrigerante de 500 mL deveria ser vendido por R$ 1,50, ou seja, houve aumento. 1,65 2 1,50 ____ 0,15 Percentual do aumento: __________ 5 0,10 ou 10%. 5 1,50 1,50
2 (21.600 2 P) ? 15% 5 1.620 ] ] (21.600 2 P) ? 0,15 5 1.620 ] 3.240 2 0,15P 5 1.620 ] 3.240 2 1.620 ____________ ] P 5 ] P 5 10.800,00 0,15
3 a [(1.000 ? 1,05) ? 0,9] ? 1,05 5 1.000 ? 0,99225 5 992,25
4 30% de R$ 50.000 5 R$ 15.000. O saldo será R$ 50.000 2 R$ 15.000 5 R$ 35.000. Logo, Denise teria pago R$ 47.600 2 R$ 35.000 5 R$ 12.600 de juros nos seis meses, ou seja, R$ 2.100 de juros por 2.100 mês. Portanto, a taxa mensal de juros seria ______ 5 0,06 5 6%. 35.000 R$ 15.000 1 R$ 47.600 5 R$ 62.600 R$ 62.600 ? 20% 5 R$ 12.520 (lucro) Portanto, a porcentagem de lucro sobre o preço à vista é 12.520 de ______ 5 0,2504 7 25%. 50.000
5 Soma: 01 1 02 5 3 No primeiro empréstimo: • 6.200 2 5.000 5 1.200 • 1.200 : 5.000 5 0,24 Os juros foram de R$ 1.200,00, que correspondem a 24% do capital. 24% : 2% 5 12 Ou seja, 2% a.m. de juros simples aplicados em 12 meses. No segundo empréstimo: • 3.300 2 2.500 5 800 • 800 : 2.500 5 0,32 Os juros foram de R$ 800,00, que correspondem a 32% do capital. 32% : 8 5 4% Ou seja, 4% a.m. de juros simples aplicados em 8 meses. Portanto: (01) Verdadeira (12 meses 5 1 ano). (02) Verdadeira (4% ao mês, 12 meses 5 4 ? 12 5 48% ao ano). (04) Falsa (4% . 2%). (08) Falsa (o valor dos juros foi de R$1.200,00).
A juros compostos, o montante é dado por: M 5 C ? ? (1 1 i )n. De acordo com a condição do enunciado, o montante deve ser 80% superior ao capital. Então: 1,8C 5 C ? 1,08n Æ 1,08n 5 1,8 ] log1,8 0,255 ] n 5 log1,081,8 5 ]n5 7,29 log1,08 0,035 Portanto, serão necessários, aproximadamente, 7 anos e 3,5 meses.
7 b • Montante após 1 ano: M 5 10.000 1 0,1 ? 10.000 5 11.000 Saldo após o 1-o pagamento: 11.000 2 3.000 5 8.000 • Montante após 2 anos: M 5 8.000 1 0,1 ? 8.000 5 5 8.800 Saldo após o 2-o pagamento: 8.800 2 4.000 5 4.800 • Montante após 3 anos: M 5 4.800 1 0,1 ? 4.800 5 5.280 Logo, a 3-a parcela foi de R$ 5.280,00.
8 b Seja V o valor do carro novo. Após n anos seu valor será 0,25V. Como a taxa de desvalorização anual é de 20%, tem-se: 0,25V 5 V ? (1 2 0,20)n Æ n 5 log0,80,25 ] Æ n 5 log
8 10
1 log222 22 ? 0,3 56 5 5 4 3 ? 0,3 2 1 log23 2 log10
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1
11 O preço pago pelo comerciante por uma camisa é __ x e
9 b Seja x o valor disponibilizado mensalmente à taxa de 1% a.m. Convertido em meses, o período de 30 anos equivale a 360 meses. Portanto, o objetivo será cumprido no 361-º mês. O montante do primeiro depósito no valor x é dado por: M0 5 x ? (1 1 1%)360 5 x ? 1,01360 De modo semelhante, os montantes dos depósitos seguintes são: x ? 1,01360 M2 5 x ? (1 1 1%)359 5 x ? 1,01359 5 1,011 M3 5 x ? (1 1 1%)358 5 x ? 1,01358 5
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
a) O comerciante vende cada calça por x(1 1 20%) 5 1,4x x e cada saia 1,2x, cada camisa por __ 3 (1 1 40%) 5 ____ 3 3 1,3x x . por __ 3 (1 1 30%) 5 ____ 2 2 Assim, na compra, considerando-se o desconto de 10% dado, o cliente pagou 1,4x 1,3x 1 2 3 ____ 3 (1 2 10%) 5 4,17x. 2 3 1,2x 1 2 3 ____ 3 2
@
x ? 1,01360 1,012
x ? 1,01360 M4 5 x ? (1 1 1%)357 5 x ? 1,01357 5 1,013 . . . x ? 1,01360 M360 5 x ? (1 1 1%)0 5 x ? 1,010 5 5x 1,01360 Observe que os montantes formam uma PG com 361 termos. Na ordem inversa essa PG tem o primeiro termo 360
igual a x e razão 1,01. Portanto, a soma x ? 1,01i
3
x por uma saia é __ . 2
#
b) O comerciante pagou pelas duas calças, duas camisas x x 11x e duas saias: 2 3 x 1 2 3 __ 1 2 3 __ 5 ____ . 3 2 3 A porcentagem de lucro obtido foi de 11x 4,17x 2 ____ 3 ___________ 13,73% sobre o preço de custo. 11x ____ 3
i50
equivale à soma dos termos dessa PG e é dada por: 1 2 1,01361 1 2 36 ]5 ] 5x[ x [ 20,01 1 2 1,01 5 x ? 3.500 5 1.000.000 ] x 286
12 d Sendo w o valor da poupança, x a quantia de Vítor e y a quantia de Valentina: 1 x 5 2w 4 1 ] w 1 y 5 3w 2 1 1 w 1 x 1 y 5 w 1 4.947 4 2
w1
10 c Seja x o valor que o consorciado tomou emprestado de seu irmão. Assim: 30.000 2 x Parcela do consórcio 5 25 Parcela do empréstimo 5
1,25x 25
De acordo com a condição do enunciado, somando os valores das parcelas, tem-se: 30.000 2 x 1,25x 1 < 1.300 ] 25 25 ] 30.000 1 0,25x < 32.500 ] ] 0,25x < 2.500 ] x < 10.000 1 Esse valor corresponde a do valor do consórcio, ou 3 seja, aproximadamente 33%.
x 5 y 5 4w ] 4w 1 8w 5 19.788 ] w 5 1.649 ]{ x 1 2y 5 19.788
13 c Sejam x e y os valores procurados: x 1 y 5 875.000 ] 2x 1 2y 5 1.750.000 Æ x 2 5 y 5 Æ 2x 1 5x 5 1.750.000 Æ 1.750.000 ] x5 5 250.000 7 5 ? 250.000 y5 5 625.000 2 y 2 x 5 625.000 2 250.000 5 375.000
17 O tempo de aplicação do capital é n 5 150 meses. Se C0 é o capital investido, ao final de n meses o montante será:
O lucro L é dado por: L 5 R 2 C. a) Falsa, pois R 2 C 5 0 se a quantidade produzida é 10. b) Falsa, pois R 2 C , 0 para quantidades superiores a 30. c) Falsa, pois, para a quantidade 50, R 2 C , 21.000. d) Falsa, pois (R 2 C ) , 200. e) Verdadeira, pois (R 2 C ) . 0 para quantidades entre 10 e 30.
Cn 5 C0(1 1 0,005)n Aplicando a fórmula do binômio de Newton, tem-se: (1 1 0,005)150 5 [1 1 150
[
k50
15 e
5[
Observe que t {1, 2, 3, ..., 12}. O valor de P é mínimo se sen[ Nesse caso,
pt p 1 ] 5 21. 6 2
Equação da reta: y 2 62 5 24(x 2 20) ] y 5 24x 1 142 Receita diária: R 5 x ? y 5 x(24x 1 142) 5 24x² 1 142x O valor de x que maximiza a receita, em reais, é dado por: 2142 142 xv 5 5 17,75 5 2(24) 8
3 3 149 1 ? 4 4 400
149 1 . , tem-se: 400 3 3 3 1 (1 1 0,005)150 . 1 1 1 ? 52 4 4 3
Assim, ao final de 150 meses, o rendimento será superior a 100%.
18 e Sendo x o número de camisas e y o custo mensal, o gráfico de y em função de x é uma reta que passa pelos pontos (400, 17.000) e (600, 23.000). O coeficiente angular dessa reta é dado por: m5
23.000 2 17.000 5 30 600 2 400
Tomando o ponto (400, 17.000), a equação da reta é: y 2 17.000 5 30 ? (x 2 400) O custo procurado é o valor de y para x 5 750, ou seja: y 2 17.000 5 30 ? (750 2 400) ] y 5 27.500
16 a Sendo x o preço da diária e y o número de carros estacionados, o gráfico de y em função de x é uma reta que passa pelos pontos (20, 62) e (28, 30). O coeficiente angular dessa reta é dado por: 62 2 30 m5 5 24 20 2 28
150 150 1 0 1 1 1 2 150 ]?[ ]?[ ] 1[ ] 1[ ] 5 ]?[ 2 0 200 200 200 1
Como
Portanto: pt p 3p t 1 5 1 2kp ] 5 1 + 2k ] t 5 6 1 12k 6 2 2 6 5 1 Æk50 1 < t < 12 ] 1 < 6 1 12k < 12 ] 2 < k < 12 12 Então, t = 6, que representa junho de 2010. pt p O valor de P é máximo se sen [ 1 ] 5 1. 6 2 pt p p Nesse caso, 1 5 1 2kp, com k inteiro. 6 2 2 Portanto: t pt p p 1 5 1 2kp ] 5 2k ] t 5 12k 6 6 2 2 1 1 < t < 12 ] 1 < 12k < 12 ] <k<1]k51 12 Então, t 5 12, que representa dezembro de 2010.
150 1 k 2 150 1 k ]?[ ]?[ ] . [ ] 5 k k 200 200 k 50
511
pt p 3p 1 5 1 2kp, com k inteiro. 6 2 2
1 150 ] 5 200
19 Soma: 04 1 08 1 16 5 28 (01) Falsa. Se a taxa é de 5% ao mês, em um mês a dívida de R$ 1.000,00 passará a ser de 1.000 ? (1 1 0,05) 5 5 1.000 ? 1,05 5 R$ 1.050,00. (02) Falsa. M 5 C(1 1 0,05)10 ] M 5 C(1,05)10 Os juros, nesse caso, serão de: J 5 M 2 C 5 C(1,05)10 2 C 5 C(1,0510 2 1) (04) Verdadeira. M 5 C(1 1 0,05)n 5 C ? 1,05n (08) Verdadeira. VF 5 VP ? (1 2 i ? t) ] VF 5 2.000 ? (1 2 0,02 ? 3) ] ] VF 5 1.880 (16) Verdadeira VF 5 VP ? (1 2 i ? t) = VP ? (1 2 0,02 · 1) 5 VP ? 0,98 5 5 VP ? 98%
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
14 e
20 b
24
Sendo v o valor do vestido pago à vista, o valor a ser pago após um mês é 2% mais caro, portanto, 102% de v ou 1,02v. Ao descontar desse valor a parcela de R$ 119,34, o saldo devedor é de 1,02v – 119,34. Após mais um mês, esse saldo devedor vai estar 2% mais caro. Ou seja, os R$ 260,10 representam 102% do saldo devedor. Assim: 1,02(1,02v 2 119,34) 5 260,10 ] ] 1,0404v 2 121,7268 5 260,10 ] ] 1,0404v 5 260,10 1 121,7268 5 381,8268 ] 381,8268 ] v5 5 367 1,0404 Então, o preço de venda à vista seria de R$ 367,00.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
21 c Taxa de juros (i ) nesse período de 6 meses: 1.600 1.600 5 i ? 80.000 ] ] i 5 0,2 5 20% 80.000 Logo, admitindo que seja constante, em um ano (12 meses), tem-se duas aplicações com essa taxa, ou seja: 1 1 i 5 1,22 ] 1 1 i 5 1,44 ] i 5 44%
22 a C 5 2.400 2 1.200 5 1.200 Após 2 meses, o saldo de R$ 1.200,00 com juros será de R$ 1.452,00. 1.452 1.452 5 1.200(1 1 i )2 ] (1 1 i )2 5 5 1,21 ] 1.200 ] 1 1 i 5 √1,21 5 1,1 ] i 5 1,1 2 1 5 0,1 5 10% ao mês
23 a) O valor presente da segunda parcela é dado por: 200 200 198,02 VP 5 5 1,01 1 1 [1 1 ] 100 Somando esse valor à primeira parcela, tem-se o valor presente da mercadoria: 200,00 1 198,02 5 398,02 b) Se não há entrada, o valor presente da primeira p p mercadoria é VP1 5 . 5 1,01 1 1 [1 1 ] 100 Já o valor presente da segunda mercadoria é: p p VP2 5 5 1,012 1 2 [1 1 ] 100 Somando esses dois termos, tem-se: VP 5 VP1 1 VP2 5
p p 2,01 1 ] 1,97 p 5 p[ 1,01 1,012 1,012
Considerando que a mercadoria custa 2p, deve-se dar um desconto de, ao menos: 2 2 1,97 5 0,015 5 15% 2
Observe o esquema: 30 dias
60 dias
90 dias
X
X
X
x 1,135
x 1,1352
x 1,1353
A soma das parcelas atualizadas monetariamente, isto é, sem a aplicação do juro, resulta no preço à vista: x x x 1 1 5 3.423 Æ 1,135 1,1352 1,1353 2 11 Æ x [ 1,135 1 1,135 ] 5 3.423 Æ 1,1353
Æ x 5 3.423 ? 1,462 1.462,00 3,423 Portanto, o valor de cada parcela será de, aproximadamente, R$ 1.462,00. O valor total da dívida é de R$ 4.386,00.
ESTUDANDO Tópicos da matemática financeira
Para o ENEM 1 c
5 c
R$ 132,00 (R$ 145,00 2 R$ 132,00) 13 ? 100 x5 % 9,8% 132
100% x
Se 10 < 9,8 , 20, o desempenho financeiro da empresa fica classificado como bom.
2 c x 2 30% ? x 1 20% ? (30% ? x) 5 3.800 Æ ] x ? (1 2 0,3 1 0,06) 5 3.800 Æ 0,76x 5 3.800 Æ Æ x 5 5.000
a) Incorreta. 23.000 ? 1,219 2 22.000 5 28.037 2 22.000 5 6.037 . 5.000 b) Incorreta. 22.000 2 19.000 ? 1,051 5 22.000 2 19.969 5 2.031 , 3.000 c) Correta. Guilherme pagou R$ 22.000,00 pelo carro. 22.000 2 19.000 5 3.000 . 969 d) Incorreta. 969 , 1.000 5 23.000 2 22.000 e) Incorreta. 12.000 1 10.000 ? 1,051 5 22.510 , 23.000
• 500 ? 1,00560 5 502,80000 • 500 ? 1,00876 5 504,38000 504,38 2 (504,38 2 500) ? 4% 5 504,2048
4 c Sabe-se que a expressão para o montante M de uma aplicação a juros compostos sobre um capital C é dado por: M 5 C ? (1 1 i )t O quadro do enunciado mostra os valores do fator (1 1 i )t. Então, para n 5 12, o investimento A rende 42,6%. Isso mostra que esse investimento é mais rentável do que o B. Agora, para analisar o investimento C, tem-se i 5 0,18 e n 5 2: (1 1 0,18) 2 5 1 2 1 2 ? 1 ? 0,18 1 0,18 2 5 1 1 0,36 1 1 0,0324 5 1,3924 Ou seja, o investimento C rende 39,24% ao ano. Portanto, o investimento A é o mais rentável dos três no período de um ano.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
3 d
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Geometria plana: conceitos e relações básicas
Para o vestibular 6
1 Seja h a altura da árvore. Por semelhança de triângulos, tem-se:
AA, tem-se: m(Aå BD) 5 m(Tå DC) m(Cå TD) 5 m(Aå BD) 5 90w
30h 2 45 5 10x 1 100 20h 2 30 5 10x
BD 1 BD tg Bå AD 5 ___ ] __ 5 ___ } BD 5 5 m 2 10 AD Pelo Teorema de Pitágoras: BD2 1 AD2 } AD 5 5dll 5 m AD 5 dlllllllll Seja r o raio da esfera, então, BC 5 CT 5 r e CD 5 BD 2 BC 5 5 2 r Assim, da semelhança entre os triângulos ABD e CTD: 5 5dll 10 AB AD ___ 5 ___ ] ___ 5 _____ } r 5 10@ dll 5 2 2 #m r 52r CT CD
a) Considerando o ângulo de vértice å A da figura, tem-se:
h sen å A 5 __ } h 5 c 3 sen å A c b) Sabe-se que a área SABC do triângulo ABC é dada por:
] ABD 8 CTD
b) No triângulo ABD:
} h 5 11,5 m
2
a) S e AT é tangente à esfera, m(Cå TD) 5 90w, pelo caso
b 3 (c 3 senå A) b__________ 3 c 3 sen å A b3h ; logo: SABC 5 ___________ SABC 5 ____ 5 2 2 2
7
3 Os triângulos BDC e DEC são semelhantes, logo:
Soma: 01 1 08 5 9 O triângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo pitagórico de lados 3, 4 e 5. Logo, AB 5 40 km. Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos:
BC DC 4EC ___ 4 ___ 5 ___ ] ____ 5 ] EC2 5 4 4 DC EC EC } EC 5 2 cm Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: DC2 5 DE2 1 EC2 ] 42 5 DE2 1 22 } DE 5 2dll 3 cm
BC2 5 AB ? CX
302 5 40 ? CX Æ CX 5 18
AB 5 AC ? AX Æ 402 5 50 ? AX Æ AX 5 32 2
4 a) Seja x a aresta dessa caixa-d’água cúbica. Para que o volume seja máximo, ela deve ter a maior aresta x possível. Esse fato ocorre quando uma das arestas do cubo estiver totalmente contida no plano BCD. Pelo caso AA de semelhança de triângulos, tem-se: 62x x ___ 5 _____ } x 5 1,2 m 1,5 6 b) O volume de água que corresponde a uma altura de 85% da altura da caixa é igual a: (1,2 m)2 3 (0,85 3 1,2 m) 5 1,4688 m3 5 1.468,8 litros
BX2 5 AX ? CX
BX2 5 32 ? 18 Æ BX 5 24
(01) Verdadeiro. BC 30 3 5 5 Æ Bå AC 30º AC 50 5 (04) Falso: XC 5 18 , 20 (08) Verdadeiro: AX 5 32 . 30 (02) Falso: sen BåAC 5
8 d Observe a figura:
5
T
A
1
a) Observe a fi-
2 2
O
gura ao lado.
3
1
J a d
S
D 4m P
Nos triângulos OPT e OPS, OT 5 OS 5 1 metro, OP é comum aos dois triângulos. Pelo Teorema de Pitágoras, PT 5 PS; logo, pelo caso LLL os triângulos OPT e OPS são congruentes e, portanto, os ângulos a e d também são congruentes, ou seja, OP é a bissetriz do ângulo J.
@ J2 #
OT PT
1
1
2 dll 4
b) tg __ 5 ___ 5 ________ 5 ___ 5 ____ d 2 llllll 32 2 12 2dll
@ # J 1 2 tg @ # 2
J 2 dll 2tg __ 2 ? ___ 2 4dll 2 4 __________ __________ 5 ____ 5 tg J 5 2
__
@ #
2 2 dll 1 2 ___ 4
7
B 1m
17 m
2m
d+2
E
Os triângulos ABC e DEC são semelhantes, logo: AB DE 2 4 ___ 5 ___ ] __________ ] 5 ______ BC EC 17 1 d 1 2 d12 4 2 ] 4d 1 8 5 38 1 2d ] ] ______ 5 _____ 19 1 d d 1 2 ] 2d 5 30 } d 5 15 m
C
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
10 10 h 2 1,5 ___ 5 ___ 5 _______ 30 x 1 10 c1 ] h 2 1,5 10 10 ___ ___ _______ 5 5 x 20 c2
14
9 Cálculo do terceiro ângulo do △ABC: 180º − (60º 1 75º) 5 45º
a) Apontando uma semelhança de triângulos na figura,
Cálculo de outro lado do △ABC, por meio da lei dos senos: x 35 5 x 35 sen 75º sen 45º Æ x 5 45 Æ 5 0,9 0,7 sen 75º 5 sen 105º 5 0,9
22x servando que AQ 5 _____ , tem-se: 2 0,8 1,6 2 0,8x x ___ 5 _____ ] 1,2x 5 _________ 1,2 _____ 2 22x 2 } x 5 0,5 m
Área do △ABC, em cm2: 35 ? x ? sen 60º 35 ? 45 ? 0,8 5 630 5 2 2
15
10 d med (FåNP) 5 75º, med (MåNF) 5 105º e med (Må FN) 5 45º Pela lei dos senos: FN MN FN 8 Æ Æ FN 5 4√2 5 5 sen 30º sen 45º 1 √2 2 2
11 a Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
pode-se concluir que d 5 2J.
b) Pela mesma semelhança de triângulos do item a e ob-
a) OAK 5 dll K , K 9 v* } OA2 5 dll 2 ; OA3 5 dll 3 ; OA4 5 2 e OAn 1 1 5 dlllll n 1 1 1 1 ______ _______ b) an 5 sen Jn 5 5 OAn 1 1 d lllll n 1 1 Assim: 1 1 1 1 ] a1 5 ___ ; a2 5 ___ ; a3 5 ___ e a9 5 ____ d d d d ll 4 ll 2 ll 3 lll 10
O ângulo BåAC 5 60º e, pela lei dos cossenos, tem-se: BD2 5 AB2 1 AD2 2 2AB 3 AD cos 60º ] 1 ] BD2 5 12 1 22 2 2 3 1 3 2 3 __ 5 5 2 2 2 } BD 5 √3 cm
3 10 dll dlll 2 dll 1 ] a1 5 ___ ; a2 5 ___ ; a3 5 __ e a9 5 ____ 2 3 2 10
16 c G
12 d
H F
massa ABC 5 massa ADE 1 massa BCED Æ Æ 1.250 g 5 massa ADE 1 700 g Æ massa ADE 5 550 g 2 Área△ADE 550 AD 550 11 AD 5[ ] 5 1.250 Æ BC 5 1.250 5 25 Área△ABC BC
√
6
√
A
6
B
4 6
C
4 D
4
E
7 0,664
13
AB 5 BC 5 BH 5 6
a) MS 5 MR 1 RS e NT 5 RS
CD 5 DE 5 DF 5 4
dll 3 MR cos 30w 5 ___ 5 ___ ] MR 5 5dll 3 2 10
1 NT cos 60w 5 __ 5 ___ ] NT 5 RS 5 10 ]
2 20 ] MS 5 MR 1 RS
3 + 2 #m } MS 5 5@ dll
SP 5 ST 1 TP e ST 5 NR 1 NR sen 30w 5 __ 5 ___ ] NR 5 ST 5 5 2 10 d 3 TP ll 3 ] sen 60w 5 ___ 5 ___ ] TP 5 10dll 2 20 ] SP 5 ST 1 TP } SP 5 5@ 2dll 3 1 1 #m
med (HAB) 5 med (FCD) 5 45º Æ AG // CF med (FED) 5 med (HCB) 5 45º Æ CH // FG Portanto, HG 5 CF 5 4dll 2 e GF 5 CH 5 6dll 2 . 2 (6dll 2 ) 1 2 (4dll 2 ) 1 2 ? 6 1 2 ? 4 5 20dll 2 + 20 7 48,2
b) O ângulo Må NP mede 360º 2 (60º 1 90º 1 60º) 5 150º; logo, a lei dos cossenos fornece a medida MP: MP 2 5 MN2 1 NP2 2 2 3 MN 3 NP 3 cos 150º 5 3 dll 5 102 1 202 2 2 3 10 3 20 3 2 ___ 5 2
@ #
5 100 1 400 1 200dll 3 } MP 5 dlllllllllll 500 1 200dll 3 5 10dlllllll 5 1 2dll 3
17 d Seja r o raio da região 1, h e b a altura e a base da região 3, respectivamente. Então, em dm2, tem-se: A1 5
p52 25p 5 5 39 2 2
A3 5
h?b 7 ? 10 5 5 35 2 2
A figura toda compreende um retângulo com 120 dm2 de área. 120 dm2 2 A1 2 A3 5 46 dm2 Por simetria, A2 5 23 dm2. Para economizar, as peças com maior área superficial serão feitas com os materiais mais baratos. A2 , A3 , A1
18
A
Q
E H
F I
O P G C
B
a) Seja P o ponto de tangência entre o círculo de centro D e o lado tABu. O triângulo APD é retângulo de √3 hipotenusa e ângulo DåAP 5 30º. 2 1 √3 DP Æ DP 5 5 sen 30º 5 2 4 √3 2 √3 b) Seja Q o ponto médio de tADu, ou seja, DQ 5 . 4 O ponto Q é também o ponto médio de tEFu e o triângulo FQG é retângulo em Q. 1 Por semelhança, QF 5 . Por simetria, FG 5 EG 5 4 √3 √2 . Assim, por Pitágoras, QG 5 . Logo, 5r5 4 4 √3 2 √2 . DG 5 4 c) O triângulo GHI é equilátero. Seja O o centro de ABC e de GHI. 1 √3 3√2 2 √3 Æ OG 5 OD 2 DG 5 OD 5 AD 5 3 6 12 3√2 2 √3 3√2 2 √3 12 3 GH OG GH Æ Æ ? 5 5 5 12 2 √3 √3 AB AO 1 ? 3 2 √6 2 1 Æ GH 5 4
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
D
ESTUDANDO Geometria plana: conceitos e relações básicas
Para o ENEM 1 d 400 5 8. 50 3 5 2. Razão entre as medidas lineares dos rótulos: √8 Logo, qualquer comprimento no rótulo menor tem metade do comprimento correspondente no rótulo maior. Consequentemente, a relação entre as áreas é 2² 5 4. Razão entre os volumes das latas:
3 e Se x é o comprimento e c é a projeção horizontal da rampa, tem-se: x 1m 5o
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2 d Como os triângulos formados pelos raios de luz dentro e fora do projetor são semelhantes, então a imagem projetada na parede é proporcional à imagem do slide. Pode-se então escrever a razão de proporção entre os dois triângulos da figura a fim de determinar a altura x da imagem projetada: x 12 5 Æ 5 cm ? 12 m 5 30 cm ? x Æ 5 30 Æ 30x 5 60 Æ x 5 2 m Assim, a distância entre a primeira fileira de cadeiras e o telão deve ser também de 2 m. Dessa forma, como cada fileira ocupa 50 cm ou 0,5 m, caberão 20 fileiras nos 10 m restantes.
c
1 1 5 0,0875 Æ c 5 5 c 5 11,43 Æ c 0,0875 1 ? 100 5 8,75% . 5% Æi5 11,43 tg 5º 5
Isso torna as afirmações I e II falsas. A afirmação IV também é falsa, pois: x² 5 1² 1 c² 5 1 1 11,43² 5 1 1 130,65 5 131,65 Æ Æ x 5 11,47
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Geometria plana: polígonos, círculos e áreas
Para o vestibular 1 d
4 b
Um setor circular de 45° corresponde a 1 de um círculo. 8 Nesse caso, o raio do círculo tem 4 km: 2 AS 5 p ? 4 5 2p 5 2 ? 3,14 Æ AS 5 6,28 8 Área região retangular: AR 5 7 ? 4 5 28
Área região triangular: 7?7 5 24,5 2
40 2 a ___ 40 2 ______ 5 5 __ ] 2b 5 120 2 3a 60 3 b 120 2 3a ________ } b 5 2 Como a área da base do galpão é igual a 504 m2, tem-se o sistema:
A1 1 A2 1 A3 5 6,28 1 28 1 24,5 5 58,78
2 d A
B B
120 2 3a b 5 ________ 120 2 3a 2 5 504 ] ] a ________ 2 ab 5 504
@
120a 2 3a2 5 1.008 ] a2 2 40a 1 336 5 0
A
40 ! 16 a 5 _______ 2
I C
D
#
E F H
} a 5 12 ou a 5 28
Se a 5 12, então b 5 42, e o perímetro da base do galpão tem medida igual a 2 3 (12 1 42) m 5 108 m. Se a 5 28, então b 5 18, e o perímetro da base do galpão tem medida igual a: 2 3 (28 1 18) m 5 92 m , 108 m.
G
5 b D
LA – LB 5 LC Æ LA 1 LC 5 LE Æ LB – LC 5 LD Æ L D – L C 1 L F 5 L E LB 1 LD 5 LI Æ LE 1 LF 5 LG Æ LF 1 LG 5 LH Æ
C
LC 5 9 – 8 Æ LC 5 1 LE 5 9 1 1 Æ LE 5 10 LD 5 8 – 1 Æ LD 5 7 Æ 7 – 1 1 LF 5 10 Æ LF 5 4 LI 5 8 1 7 Æ LI 5 15 LG 5 10 1 4 Æ LG 5 14 LH 5 4 1 14 Æ LH 5 18
AD 5 LI 1 LH 5 15 1 18 5 33 CD 5 LH 1 LG 5 18 1 14 5 32 ÁreaABCD 5 AD ? CD 5 33 ? 32 5 1.056
3 c O triângulo retângulo MAN está inscrito na circunferência de raio r; logo, MN é diâmetro da circunferência. Seja O o centro da circunferência, como M é ponto médio do lado do quadrado ABCD, P é o seu centro. O ponto T é tangente à circunferência; logo, o triângulo CTO é retângulo em T. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: OC2 5 OT2 1 CT2 ] (3r)2 5 r2 1 k2 ] 8r2 5 k2 2 kdll } r 5 ____ 4 A diagonal do quadrado ABCD é igual a 4r 5 kdll 2 ; novamente pelo Teorema de Pitágoras, kdll 2 5 ABdll 2 ] AB 5 k. Portanto, a área do quadrado ABCD 5 AB2 5 k2.
O diâmetro de duas semicircunferências ocupa uma distância horizontal de 6 mm 5 0,006 m. Dividindo o comprimento de papel em uma bobina em grupos de 0,006 m, tem-se: 102 : 0,006 5 17.000 Assim, 17.000 circunferências divididas nessa configuração ocupam 102 m. O comprimento de uma circunferência, em mm, é: C 5 2πr 5 2 ? 3,14 ? 1,5 5 9,42 17.000 ? 9,42 mm 5 160 3 140 mm 5 160 m e 14 cm
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
AT 5
O terreno triangular possui 1.200 m2 de área e 60 m de base; logo, sua altura mede 40 m. Sejam a e b o comprimento e a largura do retângulo, respectivamente, de uma semelhança de triângulos, tem-se:
6 a V V V
9 c De acordo com o enunciado, tem-se: Área△ABC 5
(V) Os ângulos opostos em um paralelogramo são congruentes; a soma dos quatro é igual a 360º. Disso conclui-se que a soma de quaisquer dois ângulos consecutivos é igual a 180°. (V) O traçado das bissetrizes dos ângulos opostos de um paralelogramo produz quatro ângulos congruentes, pois os ângulos opostos têm mesma medida. Dois dos quatro ângulos estão na região interna às bissetrizes e são opostos um ao outro. Conclui-se que a área entre elas, comum ao paralelogramo inicial, é a região interna de outro paralelogramo. (V) Todo quadrado tem, respectivamente, dois lados opostos paralelos, quatro ângulos congruentes e dois lados adjacentes congruentes.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
7 a No primeiro movimento, o vértice P faz uma rotação de 90º em torno do vértice oposto no quadrado, sobre uma circunferência de raio √2 (medida da diagonal do quadrado). No segundo movimento, P faz uma rotação de 90º em torno do vértice consecutivo, sobre uma circunferência de raio 1 (medida do lado do quadrado). No terceiro movimento, P fica fixo. No quarto, P repete a trajetória do segundo movimento e passa a ocupar a mesma altura inicial. Para calcular a distância percorrida por P, basta somar os arcos de circunferência percorridos.
Áreas ACDE, AFGB e BHIC 5 1 ? 1 5 1 Áreas dos triângulos AEF, BGH e CID, em função de dois lados e do ângulo entre eles: √3 1 ? 1 ? sen 120º 5 4 2 ÁreaDEFGHI 5
Sendo x e y as medidas das partes do fio, tem-se:
[4] x
2
5 4[
y 4
]
2
Æ x 5 2y
60 5 x 1 y Æ x 5 40 e y 5 20 x 5 2y • L1 é a medida do lado do quadrado maior: 40 L1 5 5 10 4 • L2 é a medida do lado do quadrado menor: 20 55 4 (01) Verdadeiro: x 5 4 ? L1 5 40 L2 5
(02) Verdadeiro: (L2)2 5 52 5 25 (04) Verdadeiro: L1 5 2 ? L2 5 10 (08) Verdadeiro: A1 1 A2 5 (L1)2 1 (L2)2 5 102 1 52 5 125
√3 √3 13?113? 5 3 1 √3 4 4
10 a Seja x a medida do lado do hexágono. Observa-se que a área do △ABF equivale à sexta parte da área do hexágono ABCDEF; isso, por sua vez, equivale à área de um triângulo equilátero de lado x. • AD 5 2x •
3 3 AD 5 (2x) 5 3 Æ x 5 2 4 4
• A△eq 5
22 √3 x2 ? √3 5 √3 5 4 4
11 De acordo com a figura, os retângulos internos têm lados com medida x e 2x. O perímetro de cada retângulo, em cm, é dado por 6x. 12 2 A área, em cm2, é igual a 5 . Portanto: 18 3
2p ? 1 2p√2 1 4p p 2p√2 5 (√2 1 2) 12[ ]5 4 4 2 4
8 Soma: 01 + 02 + 04 + 08 = 15
√3 12 ? √3 5 4 4
2x2 5
2 √3 Æx5 3 3
Finalmente: 6x 5 6 √3 5 2 √3 3
12 Sejam: • G, a medida da área do pentágono grande; e • p, a medida da área do pentágono pequeno. Dois pentágonos regulares são sempre semelhantes, e a razão das áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança: 2 G 4L 5 [ ] Æ G 5 16p p L Logo, as áreas A e B são iguais.
16 d
Sejam o raio da circunferência, o lado e altura do triângulo equilátero, respectivamente, R, L e H, então:
R
L
L
A soma de todos os ângulos θ é igual a 360°, ou seja, há 25 palitos, pois 360 : 14,4 5 25. A medida , equivale ao comprimento dos n palitos dispostos na horizontal do arranjo. Há n palitos na fileira de cima e mais n na de baixo; e ainda n 1 1 palitos na vertical. Portanto, são 3n 1 1 palitos ao todo. 3n 1 1 5 25 Æ n 5 8
H R
L
17 Soma: 004 + 008 = 12 (001) Falsa. Nos triângulos equiláteros, os pontos notáveis coincidem.
L 2
1 3
[
Ln √3 L √3 ] 5 n6 2
• R 5 40 5 20 2
Rn 5
2 H Æ H 5 30 3 L •H5 √3 Æ L 5 20√3 2
Aplicando uma rotação nos triângulos consecutivos, observa-se que o maior pode ser decomposto em quatro menores, semelhantes a ele e congruentes entre si.
•R5
Bn
Área do triângulo recortado:
Bn 1 1
20√3 ? 30 L?H 5 5 300√3 2 2
Rn 5
14 a △ABC △345 Æ AC 5 5 EC 5 x, BE 5 3 – x, DB 5 y e AD 5 4 – y tDEu // tFCu Æ △ABC ~ △DBE 3 32x DE BD 2 y BE Æ Æ 5 5 5 5 3 AC BA 5 4 BC 21 6 Æx5 ey5 10 5 21 6 63 ? 5 ÁreaDECF 5 EC ? BD 5 x ? y 5 10 5 25
15 a P
O
√
3p ,√3 5 √3 e 5 √3 Æ , 5 2 p 2 A área do hexágono é igual a 6 vezes a área do triângulo equilátero menor. 3√3 12 ? √3 AH 5 6 ? AT 5 6 5 2 4 r5
Ln Ln 1 1
]
2
Æ[
Ln Ln 1 1
]
2
5 4 Æ Ln 5 2Ln 1 1
Ln √3 4L √3 5 n11 5 4Rn 1 1 6 6
Portanto, cada termo da sequência (Rn) é igual a um quarto do termo anterior. (002) Falsa. Bn 5
Ln √3 4L √3 5 n11 5 4Bn 1 1 4 4
Portanto, cada termo da sequência (Bn) é igual a um quarto do termo anterior. (004) Verdadeira. Tomando-se um triângulo Tn de lado Ln e uma circunferência Cn de raio Rn inscrita à Tn, tem-se:
∙
Bn 5
(Ln)2 √3 4
] (Ln)2 12 (L )2 √3 (L )2 p ] Sn 5 Bn 2 An 5 n 2 n 5 4 12 (L )2 ? (3√3 2 p) 5 n 12 An 5 p(Rn)2 5 p
(Ln)2 ? (3√3 2 p) 4(Ln+1)2 ? (3√3 2 p) 5 5 4Sn 1 1 12 12 Portanto, cada termo da sequência (Sn) é igual a um quarto do termo anterior. (008) Verdadeira. O cálculo se encontra nas justificativas das afirmações 001 e 004. (016) Falsa. 6Rn L √3 5 2√3 Rn Rn 5 n Æ Ln 5 √3 6
Sn 5
O raio da circunferência equivale à altura do triângulo equilátero médio de lado , e, em cm, são dados, respectivamente, por:
5[
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13 c
18 a O quadrado n, n . 1, tem área An e lado de medida ln, dado por: I I √2 1 An In [ n 2 1 ] √2 Æ n 5 Æ 5 In 2 1 2 2 2 An 2 1 Então, as áreas desses quadrados configuram uma PG 1 decrescente de razão , cuja soma é dada por: 2 x2 A 1 Æ x2 5 25 √2 Æ 64√2 5 S5 1 12q 1 2 2 l 1 5 x e A 1 5 x 2. A10 5 (A1)2 ? q9 5 x2 ? [
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Æ A10 5
√2 16
1 2
]
9
Æ A10 5
x2 25√2 5 Æ 9 2 29
ESTUDANDO Geometria plana: polígonos, círculos e áreas
Para o ENEM 1 e
3 b 1 1 1 ? 360º 5 120º Æ AS 5 pR2 5 ? 3,14 ? 902 Æ 3 3 3 50
50 50
30 80
80 50 5 1,6 e 5 1,666... 50 30 1,666... 2 1,6 5 0,066... 80 cm × 50 cm Æ
AS 5 8.478 m² Área da praça incluindo o palco: 1 Apalco 5 ? 3,14 ? 92 Æ Apalco 5 84,78 m² 3 A área da praça, ocupada por pessoas, em m2, é de: 8.478 – 84,78 5 8.393,22 8.393,22 ? 4 7 33.573
60 60
30 90
90 60 5 1,5 e 52 90 cm × 60 cm Æ 60 30 2 2 1,5 5 0,5 Como 0,5 . 0,066..., o retângulo de 80 cm × 50 cm atende melhor às preferências do artista.
2 c Área total, em m2, é dada por: 3 ? 52 pR2 5 137,5 5 100 1 Aterreno 5 10² 1 2 2 Preço do material 5 137,5 ? 3,30 5 453,75 Preço da mão de obra 5 10 ? 137,5 5 1.375,00 Preço total 5 1.375,00 1 453,75 5 R$ 1.828,75
4 e Esta sala tem formato trapezoidal e sua área, em m2, é dada por: (8 1 5) ? 8 Asala 5 5 52 2 Se x é o número de alunos, então: 4,5 1 1,2 ? x 5 52 Æ x 7 39,58 De acordo com a situação, portanto, o número máximo de alunos é 39.
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60
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Ciclo trigonométrico
Para o vestibular 4
1 e
O ângulo formado entre a capital do Amapá, o centro da Terra e a capital do Equador é de 78w 2 52w 5 26w, ou 13s seja, ____ rad. 90 2s
2sr
13s ____ 90
2 d No triângulo retângulo WXY, tem-se: x tg 60w 5 ______ ] x 2 90 3 2 1 #5 90dll 3 ] ] x@ d ll
W 45° x
60°
X
45°
x – 90
Y
5
Z
x (medidas em centímetros)
270 1 90 3 1,73 _____________ 5 x 5 2 5 212,85 7 212,8 cm.
13s ] x 5 6.400 3 ____ ] x 7 2.902,8 km 90 r
Sol a pino z 60° x Sombra x
3 90dll ] x 5 270 1 _____ 2 Portanto,
90
x
y
z – comprimento da rampa; x – comprimento da sombra projetada; y – largura da sombra. Asombra 5 x 3 y 5 36 m2 36 x Arampa 5 z 3 y 5 _______ 3 y 5 ___ 5 72 m2 1 cos 60w __ 2
6 d Considere os pontos a seguir em que B, C e D são colineares: A
3
a A C 3 dm P
7 dm
B 2 dm Q
2a d
r
d 2 5 d 2B, Q 1 d 2P, Q ] d 2P, B 5 22 1 @ 4dll 3 #2 ]
■ P, B
] dP, B 5 2dlll 13 dm dB, Q _____ 2 ____ Desse modo, sen(BBPQ) 5 5 ] dP, B 2dlll 13 13 dlll ____ ] sen(BBPQ) 5 . 13 b) Perímetro da roda maior: 2s 3 3 5 6s dm 60w Distância percorrida pelas duas rodas: ____ 3 6s 5 s dm. 360w 360ws 360w ] a 5 ______ 2s 3 2 dm ] a 5 90w 4s s dm a
Portanto, os raios da circunferência menor descreverão um ângulo reto. 80 voltas da roda maior correspondem a 80 # 6s 5 480s dm. Perímetro da roda menor: 2s 3 2 5 4s dm. 480s Assim, essa roda terá dado _____ 5 120 voltas. 4s
C
D
No :ABC: 2a 1 J 5 a 1 90w ] a 5 90w 2 J (I) Sabe-se que sen J 5 cos (90w 2 J) (II) De (I) e (II), então, sen J 5 cos a.
a) Na figura, PQ 5 CB e AC 5 1 dm (3 dm 2 2 dm). Portanto: 2 2 2 2 2 2 ■ d A, B 5 d A, C 1 d B, C ] 7 5 1 1 d B, C ] dB, C 5 4dll 3 dm
J
B
7
s 2 llllllll 3 2 ■ c os a 5 dllllllll 1 2 sen2 a ] cos a 5 1 2 __ ] 5 4 __ ] cos a 5 5 3 __ 5 sen a 3 _____ __ ■ t g a 5 ] tg a 5 ] tg a 5 __ cos a 4 4 __ 5 3 36 36 Assim: tg a 5 ___ ] __ 5 ___ ] x 5 48 m. x x 4 3 __ 2 3 2tg a 4 24 5 ________ b) tg 2a 5 ________ 5 ___ 2 7 3 2 1 2 tg a 1 2 __ 4 36 24 36 Portanto: tg 2a 5 ___ ] ___ 5 ___ ] xe 5 10,5 m. 7 xe xe
a) Sendo 0 , a , __ , tem-se:
d
@ #
@ #
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
O comprimento do arco que corresponde a 1 rad será: 2s 3 1 cm 2s rad ] x 5 1 cm 1 rad x Portanto, o perímetro do referido “monstro” será igual a (2s 3 1 2 1) 1 2 5 (2s 1 1) cm.
8
12 b s s 3s s 3s 2s 1 3s 5s 5 ___ 5 __ , ou seja, __ e ___ são __ 1 ___ 5 _______ 5
5 10 2 10 10 10 complementares. Logo, o produto de suas tangentes é igual a 1. s 3s s 3s log tg __ 1 log tg ___ 5 log tg __ 3 tg ___ 5 5 5 10 10 5 log 1 5 0
E @ # R
E @ # R
E @ # @ # R
OM 5 OP 5 PQ 5 2 Æ OQ 5 4 PM QN 3 QN 5 Æ 5 Æ QN 5 6 OP OQ 2 4
13 Seja A a área da quadra, tem-se:
9 a
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
10 F
E
120° a
Fio 1 1
1 3
a)
60°
H
G
No :EHF, tem-se: a 1 120w 1 d 5 180w (II) De (I) e (II): 30w 1120w 1 d 5 180w, isto é, d 5 30w. Sendo a 5 d, o :EHF é isósceles e, portanto, EH 5 HF. No triângulo retângulo GHF, tem-se: 1 ___ d 3 ___ ll 3 dll GF ___ ___ sen 60w 5 ] 5 ] 2 HF HF 2 2 ] HF 5 __ ] EH 5 __ 3 3 2 2 C 5 __ 3 103 3 12 1 __ 3 103 3 30 ] C 5 28.000 3 3
10 b A CB B 5
1 p B B 5 rad A O 2 6
m(ABBC ) 5 m(CBAB) Æ CA 5 CB AnABC 5
1 1 1 a2 p ? BC ? AC ? sen 5 ? a2 ? 5 2 2 2 4 6
[ cos (p 2 x) ? sen (p 1 x) ? tg (2x) 5 4 3 4 16 5 2 ? ? 5 2 5 5 3 25
x cos J 5 ___ 10
x
]
y 5 10 3 sen J x 5 10 3 cos J
A 5 2x 3 y 5 2 3 (10 3 sen J) 3 (10 3 cos J) 5 100 3 sen 2J s s 2J 5 __ ] J 5 __ rad 4 2 2 dll s y 5 10 3 ___ y 5 10 3 sen __ 2 4 ] s ] 2 dll x 5 10 3 cos __ ___ x 5 10 3 4 2
2 y 5 5dll x 5 5dll 2
2 m e 10dll 2 m. As dimensões são 5dll
14 5 3 cos 2x 1 3 3 sen x 5 4 ] ] 5(1 2 2 3 sen2 x) 1 3 3 sen x 5 4 ] ] 10 3 sen2 x 2 3 3 sen x 2 1 5 0 ] 49 2 (23)!dlll ____________ ] sen x 5 ] 2 3 10 1 1 ] sen x 5 __ , ou sen x 5 2 __ 5 2 x 9 Q3 ] sen x , 0 e cos x , 0. Dessa forma:
d
@ #
lllllllll 6 2dll 1 2 ____ cos x 5 2 dllllllll 1 2 sen2 x 5 1 2 2 __ 5 5 5
Como x é um arco do segundo quadrante, sen x . 0.
4 5 sen x 4 5 5 2 ■ tg x 5 3 cos x 3 2 5 3 ■ cos (p 2 x) 5 2cos x 5 5 4 ■ sen (p 1 x) 5 2sen x 5 2 5 4 ■ tg (2x) 5 2tg (x) 5 3
y sen J 5 ___ 10
b) Será máxima, se sen 2J for máximo:
11 a sen2 x 1 cos2 x 5 1 4 Æ sen x 5 3 5 cos x 5 2 5
y
J
d Fio 2
Considere a figura ao lado: No triângulo retângulo EGF, tem-se: 1 ___ d ll 3 FG tg a 5 ___ ] tg a 5 ___ ] 1 EG ] a 5 30w (I)
15 c A cada hora, o ponteiro dos minutos varre um ângulo de 2π rad; o das horas varre p rad. 6 Uma superposição demora mais de 1 h. Depois desse tempo, o ponteiro dos minutos varre um ângulo x até a próxima superposição. O ponteiro das horas varre exatamente o ângulo x. Como o movimento de ambos é constante, vale a seguinte proporção: p 2p x 5 6 Æx5 11 (2p 1 x) 2p 2p 24p Ponteiro dos minutos: 2p 1 x 5 2p 1 5 . 11 11
20 a a) Perigeu (ponto P): a 5 0w ou a 5 360w ]
@
#
7.980 ] 264 1 __________ 3 102 5 1.200 km 100 1 5 3 1 Apogeu (ponto A): a 5 180w ]
@
#
7.980 3 102 5 2.000 km. ] 264 1 _____________ 100 1 5 3 (21 )
b) Quando h 5 1.580 km:
@
#
7.980 264 1 ____________ 3 102 5 1.580 ] 100 1 5 cos a
7.980 ] ____________ 5 79,8 ] cos a 5 0 ] 100 + 5 cos a ] a 5 90w ou a 5 270w
cos x 21 5 sen x cotg x cos x 1 sen x 5 5 cos x ? cotg x 1 sen x 5 cos x ? sen x 5
2
2
cos x cos x 1 sen x 1 5 5 1 sen x 5 sen x sen x sen x
5 cossec x
tg x . 0 e cotg x . 0 Æ
#
det log(tg x) log(cotg x) 5 0 Æ 1 1 Æ log (tg x) 2 log (cotg x) 5 0 Æ log (tg x) 5 log (cotg x) Æ sen x cos x Æ Æ tg x 5 cotg x Æ 5 cos x sen x p Æ sen² x 5 cos² x Æ sen x 5 ± cos x Æ x 5 ou 4 5p x5 4 (para sen x 5 cos x) Para sen x 5 2cos x Æ tg x , 0, o que não é possível. Portanto, há somente duas soluções.
19 b sen² x 1 cos² x 5 1 ] 4 2 16 ] ] [ ] 1 cos2 x 5 1 ] cos2 x 5 1 2 5 25 3 ] cos x 5 2 5 2?
tg x 5
3 4 2 ] 5 1 ] sen x 5 2 5 5
sen x 3 5 3 52 5 sen x ? sec x 5 2 ? cos x 5 4 4
21 a Como x está no II quadrante, os valores de cos x, sec x, tg x e cotg x são negativos; sen x e cossec x são positivos. 3 5 cos x 5 2 ] sec x 5 2 5 3
tg x 5
4 5 3 2 ] 5 1 ] sen x 5 5 ] cossec x 5 4 5
4 sen x 3 4 3 : 2 5 5 2 ] cotg x 5 2 5 [ 5] cos x 3 4
Portanto: 3 4 4 3 5 5 2 2 2 1 5 2 1 5 5 3 4 3 4 236 1 48 2 80 2 45 2 100 1 75 5 60 138 23 ? 6 5 22,3 52 52 60 10 ? 6
5
18 a
@
] sen2 x 1 [
sen2 x 1 [2
17 e
2
x IV quadrante e, portanto, sen x , 0. 1 5 4 ] ] cos x 5 sec x 5 5 cos x 4 5
4 3 8 9 1 1 3 ? [2 ] 5 2 52 5 5 5 5 5
22 c cos (2x 2 1) 5 0 ] 2x 2 1 5
p 1 kp, k Z ] 2
p p1 2 kp 1 1 1 kp ] x 5 1 ,5] 2 4 2 ] π(1 1 2k) 1 2 , 20 ] 3,14 1 6,28k , 18 ]
] 2x 5
] k , 18 2 3,14 7 2,37 6,28 Se k é inteiro e x [0, 5], então k {0, 1, 2}. Para cada valor de k há um valor de x. Portanto, a equação tem três soluções.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
16
ESTUDANDO Ciclo trigonométrico
Para o ENEM 1 b a 5 m (IBOP) 5
4 b p2 2
p 3
p 5 3
Altura do triângulo OPP9: sen a 5 sen
π 3 3 2
Metade da base do triângulo OPP9: cos a 5 cos ÁreanOPP95 2 [
p 1 5 3 2
1 3 1 3 ] 2 2 2 4
2 d
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Cálculo do ângulo percorrido pelo ponteiro menor em 15 min: 60 min 30° Æ x 5 7,5° 5 15 min x 60 2 x 5 60° 2 7,5° 5 52,5°
3 e p rad. 6 Por definição, a medida em radianos de um ângulo é igual à razão entre o comprimento do arco e a medida do raio da circunferência correspondente. O raio desse círculo tem 5 cm, então:
Cada setor é determinado por um ângulo de
m)AB p Æ Æ m)AB 5 r ? a 5 5 cm ? r 6 5p Æ m)AB 5 cm 6 a5
A soma S de n arcos nesse círculo cromático é dada, em cm, por: 5p S5n? 6 Para 6 cores (primárias e secundárias), tem-se: 5p 5p ] S5n? 56? S 5 5p 6 6
De acordo com a figura: AB 5 OA 5 5 m BC 5 OB 2 OA 5 5 2 2 5 m π mAC 5 π m. ⇒ mAC 4 5 4 5p 5 AB 1 BC 1 m)AC 5 5 1 ( 5 2 5 ) 1 4 5p 5 15 2 4 4 Como são dois espelhos de água simétricos, a resposta é2 [
5π 5 2 ] m. 4
Revisão em 22 volumes – Matemática – Gabarito ESTUDANDO Funções trigonométricas
Para o vestibular 4
T
R
a) S(1) 5 2 ] 2 5 H 2 cos (1 2 1) __ 5 H 2 cos 0 ]
3sx @ #5 0 ] sen ____ x 2 1 21 1 d lllll
b) 3 5 3 2 cos (t 2 1) __ ] cos (t 2 1) __ 5 0 ]
} H 5 2 1 1 5 3
@ 2 # 3sx ] sen @ #5 0 ou 21 1 x 2 1 5 0 ] 2 ____
dlllll
3sx 5 ks, k 9 b ou ] ____ 3 2k x 5 2 ] x 5 ___ , k > 2 9 b 3 Desse modo, as coordenadas dos quatro primeiros pontos de intersecção de f com o eixo das abscissas são 8 10 4 P 5 __ , 0 , Q 5 (2,0), R 5 __ , 0 e S 5 ___ , 0 3 3 3
@ #
@ #
2
s 6
As abscissas dos pontos de intersecção do gráfico da função f, domínio [1, 1`[ com o eixo das abscissas são as raízes da equação f(x) 5 0:
@
@
E
s 6
R
R
T
@
s 6
R
#
s s ] cos (t 2 1) __ 5 cos __ 1 ks ] 6 2 s s __ __ ] (t 2 1) 5 1 ks ] t 5 4 1 6k 6 2
} t 5 4 (maio) ou t 5 10 (novembro)
5 a) Para t 5 0:
#
E
R
s h(0) 5 11,5 1 10 3 sen ___ 3 (0 2 26) 5 12 s 5 11,5 1 10 3 sen 22s 2 __ 5 6 s 1 5 11,5 1 10 3 sen 2 __ 5 11,5 1 10 3 2 __ 6 2
@ @ #
#
s A função f terá valor máximo se cos x 1 __ for mínimo, 3 ou seja, igual a 21; logo:
@
T
#
@ #
} h(0) 5 6,5 m
#
s cos x 1 __ 5 cos (s 1 2ks) 5 21 ]
b) As alturas máxima e mínima são obtidas quando sen
s 2s ] x 1 __ 5 s 1 2ks ] x 5 ___ 1 2ks, k 9 b 3 3
s ___ 3 (t 2 26) é, respectivamente, máximo e míni12 mo, ou seja, 1 e 21. Desse modo, a altura máxima é
2s } x 5 ___ 3
11,5 1 10 3 1 5 21,5 e a mínima, 11,5 1 10 3 (21) 5 1,5, ambas em metros.
a) P(4) 5 500 1 0,5 3 4 1 20 cos ___ ]
O tempo gasto em uma volta completa é igual ao período da f unção h(t); assim, em segundos: 2s _____ 5 24 s ___ 12
3
3 } P(4) 5 492
E
@ 4s6 #
e u
Portanto, em 2004 o valor do PIB era de 492 bilhões de dólares.
b) P(x 1 12) 2 P(x) 5
@
#
s(x 1 12) 5 500 1 0,5 (x 1 12) 1 20 cos ________ 2 6 sx 2 500 1 0,5x 1 20 cos ___ 5 6
E
@ @ @ #
@ # R
@ # #
sx xs sx 5 6 1 20 cos ___ cos 2s 2 sen ___ sen 2s 2 cos ___ 5 6 6 6 sx sx 5 6 1 20 cos ___ 2 cos ___ 6 6
} P (x 1 12) 2 P (x) 5 6
@ # #
R
6
@ s6
5s 4
#
a) cos __ t 1 ___ 5 1
A solução geral é:
s 5s 5 t __ t 1 ___ 5 0 1 2ks ] __ 5 2 __ 1 2k 6 4 4 6
15 } t 5 2 ___ 1 12k, k 9 b 2 O primeiro instante positivo acontece para k 5 1 e 9 vale __ s. 2 9 Assim, para t . 0 pode-se escrever: t 5 __ 1 12k, k 9 v. 2 b) A primeira maré alta ocorreu no primeiro instante s 5s positivo em que cos __ t 1 ___ 5 1. De acordo com o 4 6 item a, 4,5 horas depois do início da observação.
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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
1
7 a) Tem-se:
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s s 2 1 < sen 2sx 2 __ < 1 ] 0 < 1 1 sen 2sx 2 __ < 2 2
2
} 0 < y < 2 2s 5 1. Logo, a função f tem imagem [0, 2] e período _____ e 2su s b) y 5 1 ] 1 1 sen 2sx 2 __ 5 1 ] 2 s s __ ] sen 2sx 2 5 0 ] sx 2 __ 5 ks 2 2 k 1 } x 5 __ 1 __ , k 9 b 4 2 3 1 Como x 9 [0, 1], tem-se x 5 __ ou x 5 __ . 4 4
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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
8 a Sabe-se que a resposta é da forma y 5 a 1 b sen (mx 1 n). Observando o gráfico da função seno, verifica-se que sua imagem está no intervalo [21, 3], logo, a 5 1 e s 12s 13s __ b 5 2. O período será igual a ____ 5 4s, logo: 2 5 ____ 3 3 3 2s 1 4s 5 ___ ] m 5 __ m 2 Como a função está deslocada horizontalmente para s a direita __ radianos, em relação à função f(x) 5 sen x, 3 s então, n 5 2 __ . 3 x s Portanto, a equação da onda será: y 5 1 1 2 sen __ 2 __ 2 3
@
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9 Soma: 001 + 004 + 008 = 13 π π √2 Æ 52? (001) F(0) 5 2 ? cos [2 ? 0 1 ] 5 2 ? cos 4 4 2 Æ F(0) 5 √2 (002) A imagem da função é o intervalo [22, 2]. π (004) 2 ? cos [2x 1 ] 5 0 4 π π Æ 3π 2x 1 5 x5 π 4 2 8 ∫ ∫ 3π 5π π Æx5 π 2x 1 5 2 8 4 Portanto, a função F tem duas raízes no intervalo fechado [0, π]. (008) F(x) assume valores mínimos quando: π 3π 3π 2x 1 1 2kπ Æ x 5 5 π 1 2kπ Æ 2x 5 1 kπ, 4 8 8 kZ (016) A função assume valores máximos quando: π π π 2x 1 5 0 1 2kπ Æ 2x 5 1 2kπ Æ x 5 1 8 4 4 1 kπ, k Z
10 a Como a imagem de f está no intervalo [21,5; 1,5] o valor de a é igual a 1,5, e como período de f é 12,4 horas, tem-se: 2s 2s 5s ___ 5 12,4 ] b 5 ____ 5 ___ 12,4 31 b 5πt . } f (x) 5 1,5 sen 31
@ #
11 a) h(x) 5 f (g(x)) 5 (cos x 2 sen x)2 1 1 5 5 cos2 x 2 2 sen x cos x 1 sen2 x 1 1 5 } h(x) 5 2 2 sen 2x
b) h(x) será máximo se sen 2x for mínimo; logo, sen2 x 5 21, portanto, h(x) 5 2 2 (21) 5 3.
12 b Como a imagem de f está no intervalo [22, 2] o valor de 8s k é igual a 2, e como o período de f é ___ , tem-se: 3 2s 8s 3x 3 ___ = ___ ] m 5 __ } f(x) 5 2 sen ___ m 4 4 3 29s ____ 3 3 29s 29s 3 f ____ 5 2 sen ____ 5 2 sen _______ 4 4 3 29s ___ 5s ; logo: Mas ____ 4 4 2 dll 29s 5s 2 5 2 sen ___ 5 2 2 ____ 5 2dll f ____ 2 4 3
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13 a) Como y varia de 9,6 a 14,4: 14,4 2 9,6 OBO 5 _________ 5 2,4 e 2 A 1 2,4 3 (21) 5 9,6 } A 5 12
b) Do item a:
E
R
s f(t) 5 12 ! 2,4 3 sen 2 ___ (t 2 105) 90 A função f assume o seu valor médio quando: s sen 2 ___ (t 2 105) 5 0 ] 90 s ] 2 ___ (t 2 105) 5 ns, n 9 b ] 90 } t 5 105 1 90n, n 9 b
E
R
Para n 5 21, temos t 5 105 1 90 3 (21) 5 15 que é o menor valor positivo para o qual t assume seu valor médio.
14 O tempo de uma oscilação, em segundos, é o período da 3 2s s 5 __ s. Assim, em seis segundos 8s 4 3 6 5 8 oscilações completas. o atleta faz com o braço 3 4 função f(t), que é
π f(x) 5 √2 ? sen [x 2 ] . 4 a) f(0) 5 √2 ? sen [0 2
π π ] 5 2√2 ? cos [ ] Æ f (0) 5 21 4 4
√2 , para 0 < x < 2π, se e somente se 2 π 1 sen [x 2 ] 5 , que tem soluções 4 2 π π 5π π 5π 13π . 1 5 ,x5 1 5 x5 4 6 12 4 6 12
b) f(x) 5
c) f(x) 5 √3 , para 0 < x < 2π, se e somente se √3 √3 π sen [x 2 ] 5 e como . 1, não existe 4 √2 √2 solução.
16 e Na sequência de gráficos, o primeiro é uma parábola; o segundo tem o eixo x como assíntota horizontal e aumenta rapidamente conforme os valores de x aumentam; o terceiro é uma reta; e o quarto é uma função periódica. Essas características descrevem funções do 2º- grau, exponencial, polinomial do 1º- grau e trigonométrica, respectivamente.
17 e • sen x > 0 Æ |sen x| 5 sen x Os gráficos y 5 |sen x| e y 5 sen x coincidem. • sen x , 0 Æ |sen x| 5 2sen x Os gráficos y 5 |sen x| e y 5 sen x são simétricos em relação ao eixo x. Assim, a função f é par, pois f(x) 5 f(2x) tem período igual a π, Im f 5 [0, 1], Df 5 (2∞,1 ∞). π Restrita ao intervalo 50, 6, a função f é bijetora e, por2 tanto, possui inversa nesse intervalo.
18 e O maior e o menor preço ocorrem, respectivamente, 2πt 2πt ] 5 1 e cos [ ] 5 21. Nesses quando cos [ 360 360 casos, p(t) 5 5 e p(t) 5 1, respectivamente. Portanto, a alternativa e está incorreta.
19 Soma: 04 + 08 + 16 = 28 (01) A descrição remete a uma função linear, mas h(t) é uma função trigonométrica. Portanto, a afirmativa é falsa. 2kπ (02) sen 2pt 5 1 Æ t 5 5 kp 2 10 0,3 0,2t 1 0,3 > 10 Æ t > 5 9,7 10 5 48,5 0,2 2 Portanto, para t > 48,5 existem valores de h(t) > 10. (04) h(t) 5 0,2t 1 0,03 sen (2pt) ] ] h(14 1 k) 5 0,2 (14 1 k) 1 0,03 sen [2p (14 1 k)] ] ] h(14 1 k) 5 2,8 1 0,2k 1 0,03 sen [2p (14 1 k)] sen (2pn) 5 0, então 2,8 1 0,2k é uma PA de razão 0,2 para k 5 1, 2, 3, ... (08) • sen (2pt) 5 0 para t 7 N ] h(t) 5 0,2t 1 0,03 sen (2pt) 5 5 0,2t • h(t 1 1) 5 0,2 (t 1 1) 1 0,03 sen (2pt 1 2p) 5 5 0,2t 1 0,2 1 0,03 sen [2p(t 1 1)] 5 0,2t 1 0,2 1 0 5 5 0,2t 1 0,2 ] h(t 1 1) 5 h(t) 1 0,2 (16) t é dado em dias. Portanto, 72 h correspondem a 3 dias. Em polegadas: h(3) 5 3 0,2 1 0,03 sen 6p 5 0,6 1 0 5 0,6.
20 e π 3π t] 5 1. 1 A temperatura é máxima quando sen [ 12 2 Então: 3π π π • 1 t5 Æ t 5 14 2 12 2 • F(t) 5 24 1 8 ? 1 5 32
21 a) •p5p π π •x kp ] x + kp ] 3 3 π + kp, k 7 b } ] D { x7V O x 3 b) 2π •p5 π 2 π π π ] 1 kp ] x +k • 2x 2 2 4 π π ] D {x7V O x + k ,k 7 b } 2 4 c) • p 5 2p π π •x+ + kp ] kp ] x 4 4 π + kp, k 7 b } ] D { x7V O x 4
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
15 As condições do enunciado implicam:
22 e Sendo k 7 b , de acordo com a condição de existência da função: kπ π π π 1 kp ] x kp ] 2x 1 2x 2 3 6 3
23 a f[
π π π ] 5 √3 cos sec [2 ] cos [8 ] 6 6 6
√3 cos sec [ cos [
π 4π ] cos [ ] √3 3 3
1 sen [
π ] 3
2 1 1 3 π 2 ] √3 2 2 2 3 √3
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24 d
cos x cos2 x f (x) 5 s cos x d [ sen x ] 5 sen x 2 Para qualquer valor de x, cos x 0. Então o sinal de f 1 depende do fator [ sen x ] . No intervalo p; 3π a 2 função é estritamente positiva, pois, nesse intervalo, sen x é negativo.
I
T
25 c Dado que x π ± kp, k 7 b, então: 2 cos x sec x ] 1 ] cos2 x 1 ] | cos x | 1 ] ] cos x cos x ] x 0 + kp Solução gráfica: y ê função secante 1 ê função cosseno – 3π 2
–π
–π 0 2
π 2 –1
π 3π 2
x
ESTUDANDO Funções trigonométricas
Para o ENEM 1 c
3 b
De acordo com o enunciado, a projeção das exportações é dada pela função E(t) 5 2 sen t 1 3, com t no intervalo [0, t4]. I. Falsa. O declínio ocorre entre os instantes de t1 e t3 e retoma o crescimento em t3. II. Verdadeira. III. Falsa. –1 sen t 1 ] 2 1 3 2 sen t 1 3 2 1 3 ] ] 1 2 sen t 1 3 5 Ocorrerá um valor mínimo entre os instantes t2 e t3, mas o valor correto é de 1 milhão. IV. Verdadeira. Entre os instantes t1 e t3 E(X) atinge os valores máximo e mínimo: 5 1 5 4.
A função expressa no enunciado tem, no denominador, uma componente trigonométrica cosseno que varia de −1 a 1. Portanto, a soma dos valores de r no apogeu e no perigeu vale: s
5.865 5.865 1 12.000 10,15 110,15
A figura abaixo mostra a roda-gigante em funcionamento.
altura h = x 10 m x
10 m
10 m
altura 0
Na figura, é possível observar que a altura da cadeira é dada por um valor h x 10. O valor de x é dado por: x ] sen α x 10 sen α 10 Resta encontrar o valor do ângulo α de acordo com o tempo que a roda fica ligada. A “altura zero” corresponde ao ângulo de medida 270° e a cadeira anda mais 10°/s, então: α = 270° + 10°t. Reunindo todas as informações: h 10 + x 10 + 10 sen α 10 + 10 sen (270°+ 10°t) ] ] f(t) = 10 + 10 sen (270° + 10°t) Observe que os dados da tabela poderiam ser testados e a alternativa correta, encontrada por tentativa e erro.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
2 b