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1. (Ita 2013) Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por f ( x) = e x

2

+ ax + b

 ax  e g ( x ) = ln  ÷,  3b 

em que a e b são números reais. Se f ( −1) = 1 = f ( −2 ) , então pode-se afirmar sobre a função composta g o f que a) g o f ( 1) = ln 3. b) ∃/ g o f ( 0 ) . c) g o f nunca se anula. d) g o f está definida apenas em { x ∈ ¡ : x > 0} . e) g o f admite dois zeros reais distintos. 2. (Ufg 2013) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado 10% a cada mês em relação ao mês anterior. Assim, a produção no mês m, em toneladas, tem sido de 1800 × 1,1m−1. Se a indústria mantiver este crescimento exponencial, quantos meses, aproximadamente, serão necessários para atingir a meta de produzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um? Dado: log1,1 ≈ 0,04. 3. (Unicamp 2013) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740°C. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40°C. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função T ( t ) = ( T0 − TAR ) × 10− t 12 + TAR sendo t o tempo em minutos, T0 a temperatura inicial e TAR a temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140°C é dado pela seguinte expressão, com o log na base 10: a) 12 log ( 7 ) − 1 minutos. b) 12 1 − log ( 7 )  minutos. c) 12log ( 7 ) minutos.

d) 1 − log ( 7 )  12 minutos. 4. (Uem 2013) Assinale o que for correto. 01) log3 ( 3 )

10

−2

 1 > ÷ . 2

02) 202 > 29. 04) A equação log2 x = x não tem solução inteira. 08) log2 10 = 1 + log2 5. 3

  16)  1 ÷ < log5 5.  5 5. (Ufsm 2013) Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5% ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior, podese expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo t(em anos), por Página 1 de 10


V = 6,775 ( 1,05 )

t −1

com t = 1 correspondendo a 2011, t = 2, a 2012 e assim por diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,55 bilhões de dólares? Dados: log 2 = 0,3 e log 1,05 = 0,02. a) 2015. b) 2016. c) 2020. d) 2025. e) 2026. 6. (Fuvest 2013) O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo t, de acordo com a expressão N ( t ) = N0 e− λt , sendo N0 o número de átomos deste isótopo em t = 0 e λ a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do log10N em função de t, obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável (99mTc), muito utilizado em diagnósticos do coração.

A partir do gráfico, determine a) o valor de log10N0; b) o número N0 de átomos radioativos de 99mTc ; c) a meia-vida (T1/2) do 99mTc. Note e adote: A meia-vida (T1/2) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade; log10 2 = 0,3; log10 5 = 0,7. 7. (Cefet MG 2013) O conjunto solução da inequação e2log x – 11.elog x + 28 < 0 é o intervalo a) ]4, 7[. b) ]104, 107[. c) ]log4, log7[. d) ]10ln4, 10ln7[. e) ]elog4, elog7[. 8. (Unicamp 2013) A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320.000 m2 de área, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma faixa de terra livre, denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100 m, medidos a partir da borda do reservatório.

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a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso. b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão V (t ) = V0 2− t , em que V0 é o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10% do volume inicial? Utilize, se necessário, log10 2 ≈ 0,30. 9. (Ufrgs 2013) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência, e o número de bactérias dobra a cada 12 horas. Tomando como aproximação para log2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma semana, o número de bactérias está entre a) 104,5 e 105. b) 105 e 105,5. c) 105,5 e 106. d) 106 e 106,5. e) 106,5 e 107. 10. (Uerj 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir. - A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. - O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: T(x) = T0 ×(0,5)0,1x Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 11. (G1 - cftmg 2013) Sendo log 2 = m e log 3 = n, aplicando as propriedades de logaritmo, escreve-se log 3,6 em função de m e n como a) 2mn. b) c)

m2n2 . 10 ( m + n)

. 10 d) 2 ( m + n ) − 1.

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6 − logam 12. (Espcex (Aman) 2013) Se 1 + log m = 2, com a > 0, a ≠ 1 e m > 0, então o valor de 2 a

m a+ m a) 4 1 b) 4 c) 1 d) 2 1 e) 2

é

13. (Ufpr 2012) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log2 (1,06) ≈ 0,084.) 14. (Ime 2012) Os números reais positivos x1, x2 e x3 são raízes da equação b x3 − ax 2 = ab − x, sendo b ∈ ¥ (natural), a ∈ ¡ (real) e a ≠ 1. Determine, em função de a e 2 b

2 2 2 b, o valor de log  x x x ( x + x + x ) x1 + x2 + x3  . a  1 2 3 1 2 3 

15. (Ufg 2012) Em um experimento hipotético com cinco espécies de bactérias em meio de cultura, cada uma com população inicial de 10 células, registraram-se as populações apresentadas na tabela a seguir, uma hora após o início do experimento. Bactéria Chlamydia trachomatis Escherichia coli Leptospira interrogans Streptococcus pneumoniae Vibrio cholerae

Número de células uma hora após o início 160 50 40 100 80

Considerando-se que o número de bactérias duplica a cada geração, define-se o número de geração, n, quando a população chega a N células, pela fórmula N = N0 2n em que N0 é o número inicial de células. O tempo de geração é definido como o tempo necessário para a população dobrar de tamanho, e pode ser obtido dividindo-se o tempo decorrido para a população passar de N0 a N pelo número de geração correspondente. O bacilo, nesse experimento, causa diarreia e seu tempo de geração, em minutos, foi de: Dado: log 2 = 0,3 a) 30 b) 26 c) 20 d) 18 e) 15

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Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Como f(−1) = 1 = f( −2), segue que 2

+a×− ( 1)+b

= 1⇔ b = a −1

2

+a×− ( 2)+b

= 1 ⇔ b = 2a − 4.

e( −1) e

e( −2) Logo,

a − 1 = 2a − 4 ⇔ a = 3 e, portanto, b = 3 − 1 = 2. Assim, x g(x) = ln  ÷ = ln x − ln 2. 2 A função composta g o f é dada por (g o f )(x) = ln (e x

2

+ 3x + 2

) − ln 2

= x 2 + 3x + 2 − ln 2. Para que a função g o f tenha dois zeros reais e distintos o discriminante da equação x 2 + 3x + 2 − ln 2 = 0 deve ser um número real positivo. De fato, como h : ¡ h(x) = ln x, é uma função crescente, temos que ln 2 > ln 1 = 0. Daí,

∗ +

→ ¡ , definida por

Δ = 32 − 4 ×1×(2 − ln 2) = 1 + 4 ×ln 2 > 0 e, por conseguinte, g o f possui dois zeros reais e distintos. Resposta da questão 2: ∗

, definida por p(m) = 1800 × 1,1m−1, com p(m) sendo a capacidade de produção, em toneladas, no mês m. Seja a função p : ¡

+

→¡

+

O valor de m para o qual p(m) = 12,1×p(1) é tal que

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12,1×1800 = 1800 ×1,1m−1 ⇔ 1,1m−1 = 12,1 ⇔ log1,1m−1 = log12,1 ⇔ (m − 1) ×log1,1 = log(1,1)2 ×10 ⇔ (m − 1) ×log1,1 = 2 ×log1,1 + log10 ⇒ (m − 1) ×0,04 = 0,08 + 1 ⇔ m = 27 + 1 ⇔ m = 28. Resposta da questão 3: [C] De acordo com os dados do problema, temos: T ( t ) = ( T0 − TAR ) × 10− t 12 + TAR 140 = ( 740 − 40 ) × 10 − t 12 + 40 100 = 700 × 10 − t 12 1 10− t 12 = 7 log10− t 12 = log7−1 t − = − log7 12 t = 12 log7 minutos Resposta da questão 4: 01 + 04 + 08 + 16 = 29. [01] Verdadeira, pois log3

( ) 3

10

−2

 1 = 10 ×log3 3 = 10 ×0,5 = 5 e  ÷ 2

= 22 = 4.

[02] Falsa, pois 202 = 400 e 29 = 512 e 400 < 512. [04] Verdadeira, pois log2 x = x ⇒ 2x = x, equação que não possui solução, isso pode ser verificado graficamente.

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[08] Verdadeira. log2 10 = 1 + log2 5 ⇒ log2 10 − log2 5 = 1 ⇒ log2

10 = 1 ⇒ log2 2 = 1. 5

3

 1  1 5 5 1 [16] Verdadeira, pois  e log5 5 = e < . ÷ = 2 25 25 2  5 Resposta da questão 5: [E] 13,55 = 6,775 ×( 1,05 ) 2 = ( 1,05 )

t −1

t −1

log ( 2 ) = log ( 1,05 )

t −1

0,3 = ( t − 1) ×log1,05

0,3 = (t − 1) ×0,02 15 = t − 1 t = 16 t = 1 , representa 2011. t = 16 , representa o ano de 2026. Resposta da questão 6: a) No gráfico, log10No = 6. b) log10No = 6 ⇒ No=106 = 1 000 000. c) N(t) =

No 2

N  logN(t) = log  o ÷  2  logN(t) = logNo − log2 logN(t) = 6 − 0,3 logN(t) = 5,7 Observando o gráfico, logN(t) = 5,7 ⇒ t = 6 horas. Resposta da questão 7: [D] e2log x – 11.elog x + 28 < 0 (elogx)2 – 11.elogx + 28 < 0 4 < elogx < 7 ln4 < logx < ln7 10ln4 < x < 10ln7 Resposta da questão 8: Página 7 de 10


Determinando as dimensões do retângulo, temos: 2x.x = 320.000. Resolvendo a equação, temos: x = 400 e 2x = 800.

a) Considerando A como a área de terra APP. A = 2.A1 + 2.A 2 + 4.A 3 A = 2. ( 800.100 ) + 2. ( 400.100 ) + 4.

π .1002 4

A = 160.000 + 80.000 + 10.000 π A = 10 0000(24 + π ) m2 b) V (t ) = V0 2− t ⇒ 0,1.V0 = V0 2− t ⇒ 2− t = 10 −1 ⇒ log2− t = log10 −1 ⇒ 1 1 1 ⇒t; ⇒ t ; 3 meses log2 0,3 3 Resposta: aproximadamente 3 meses e 10 dias. ⇒ − t.log2 = −1 ⇒ t =

Resposta da questão 9: [B] O número N de bactérias após t períodos de 12 horas é igual a 10 ×2t. Logo, em uma semana, teremos N = 10 ×214 ⇔ logN = log10 ×214 ⇔ logN = log10 + 14 ×log2 ⇒ logN = 1 + 14 ×0,3 ⇔ N = 105,2. Portanto, 105 < N < 105,5. Resposta da questão 10: [C]

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T(x) = 10 −1 ×T0 10−1 ×T0 = T0 ×0,50,1x log10 −1 = log(0,5)0,1x −1 = 0,1x ×(log1 − log2) −1 = 0,1x ×(0 − 0,3) −1 = −0,03x x = 33,3333... Logo, D = 34. Resposta da questão 11: [D] log3,6 = log

36 = log36 − log10 = log(22 ×3 2 ) − 1 = log22 + log32 − 1 = 2log 2 + 3log3 − 1 = 10

= 2 ×(m + n) − 1 Resposta da questão 12: [E] 1 Sabendo que log r p = ×logq p, para quaisquer reais positivos p, q e r, com q ≠ 1, vem q r 6 − loga m 1   = 2 ⇔ 2 × 1 + ×loga m ÷ = 6 − loga m 1 + log 2 m 2   a

⇔ 2 + loga m = 6 − loga m ⇔ loga m = 2 ⇔ m = a2 . Portanto, m a+ m

=

a2 a+ a

2

=

a 1 = . a+a 2

Resposta da questão 13: M → mon tan te C → capital  t Cálculo de Juros Compostos M = C(1 + i) onde   i → taxa  t → tempo Portanto: 2000 = 1000(1 + 0,06)t ⇒ 1,06 t = 2 ⇒ log2 1,06 t = log2 2 ⇒ t(0,084) = 1 ⇒ t ≈ 11,9 anos Resposta da questão 14: b b x3 − ax 2 = ab − x ⇒ x 3 − ax 2 + x − ab = 0 2 2

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( x1 + x2 + x3 ) = − ( −1)

1= 1

x1.x 2 + x1.x3 + x2 .x3 = b 2

( )

x1 x2 x3 = − −ab

1 = ab

(x1 + x 2 + x3 )2 = x12 + x 22 + x 32 + 2.(x1.x 2 + x1.x 3 + x 2 .x 3 )

( −a ) 2 = x12 + x22 + x32 + 2 ×b 2 a2 − b = x12 + x 22 + x32 a2 – b = x12 + x 22 + x32 Logo,  x 2 +x 2 +x 2  loga  x1 x 2 x 3 ( x1 + x 2 + x 3 ) 1 2 3 

b

= loga [ab .aa

2

−b b

2

] = b.loga aa = a2 .b

Resposta da questão 15: [B] Na tabela, o bacilo que causa diarreia é o Escherichia coli. 50 = 10.2n 2n = 5 log 2n = log 5 n.log 2 = log 10 – log 2 n.0,3 = 1 – 0,3 n = 7/3 Logo, t = 1/(7/3) = 3/7 horas, aproximadamente 26 minutos.

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Rev2013log