DESIGUALDADES Proyecto formativo
PRIMER AÑO
3
UNIDAD
DEFINICIÓN
Desigualdades
Son una forma paralela con el desarrollo de las ecuaciones. Sin embargo, el ser humano se ha visto en la constante necesidad de resolver desigualdades, ya que en la vida cotidiana surgían problemas sobre dinero, alimento o recursos, donde intervenían frases como “al menos ” o “a lo sumo ” .
DATOS
IMPORTANTES
Elementos
Tipos de desigualdades desigualdad triangular desigualdad media
aritmética desigualdad geométrica
Los símbolos ≤, ≥, < y > se utilizan para representar relaciones entre cantidades distintas o iguales.
≤: menor o igual que
≥: mayor o igual que
En la desigualdad a ≤ b, la cantidad
a es el miembro izquierdo y la cantidad b es el miembro derecho
Ejemplo 1:
Ejemplos
Ejemplo 3:
8(5) < 11(5); ya que 8 < 11 y se multiplican ambos miembros por un número positivo (la desigualdad se mantiene).
6(–3) < –4(–3); ya que 6 > –4 y se multiplican ambos miembros por un número negativo (la desigualdad se invierte).
Ejemplo 2:
–3(6) > –7(6); ya que –3 > –7 y se multiplican ambos miembros por un número positivo (la desigualdad se mantiene).
Ejemplo 4:
–10(–7) > –5(–7); ya que –10 < –5 y se multiplican ambos miembros por un número negativo (la desigualdad se invierte).
Ejercicios
a)3 + 7 10 + 7 b) –1 + 4 5 + 4 c) – 6 – 2 – 9 – 2 d) – 0.25 + 5 – 1/4 + 5 g) – 3 + 2.7 –1.9 + 2.7 h) –3 + 2 –1 + 2
CONCLUSIÓN
Sean a, b y c números reales tales que a < b. 1.
LA PROPIEDAD ES VÁLIDA TAMBIÉN PARA LAS DESIGUALDADES
A > B, A ≥ B, Y A
≤ B.
Escribe en el espacio en blanco el símbolo de desigualdad correcto: 2.
Sean c y d números reales positivos tales que c < d. Escribe el símbolo de desigualdad correcto, < o > (justifica tu respuesta): 3.
Sea a un número positivo. Demuestra lo siguiente: 1. Si c > 0 entonces ac < bc, es decir, si se multiplica ambos miembros de una desigualdad por un número positivo entonces la desigualdad se mantiene. 2.
Si c < 0 entonces ac > bc, es decir, si se multiplica ambos miembros de una desigualdad por un número negativo entonces la desigualdad se invierte.
DEFINICIÓN
Desigualdades lineales
Una desigualdad lineal en una variable es una expresión matemática que compara dos valores o expresiones lineales utilizando los símbolos de desigualdad 1. La forma general de una desigualdad lineal es "ax + b < c" o "ax + b > c", donde "a", "b" y "c" son números reales 2, y "x" es la variable en la que se está interesado. La solución de la desigualdad es el conjunto de valores de "x" que satisfacen la relación de desigualdad. Las desigualdades lineales son útiles en una variedad de contextos matemáticos, como en programación lineal y en la solución de ecuaciones y desigualdades en una variable.
DATOS
IMPORTANTES
Elementos
Tipos de desigualdades desigualdad triangular desigualdad media
aritmética desigualdad geométrica
Los símbolos ≤, ≥, < y > se utilizan para representar relaciones entre cantidades distintas o iguales.
≤: menor o igual que
≥: mayor o igual que
En la desigualdad a ≤ b, la cantidad
a es el miembro izquierdo y la cantidad b es el miembro derecho
Ejemplos
Ejemplo 2:
-3y + 5 ≤ 1
Ejemplo 1:
2x + 3 > 7
Esta desigualdad lineal indica que el doble de "x" más 3 es mayor que 7. Para resolverla, debes despejar la variable "x":
2x > 7 - 3
2x > 4
x > 4/2
x > 2
La solución es que "x" debe ser mayor que 2.
En esta desigualdad lineal, se tiene que el producto de -3 por "y" más 5 es menor o igual que 1. Resolviendo para "y":
-3y ≤ 1 - 5
-3y ≤ -4 y ≥ -4/-3 (ten en cuenta que al multiplicar o dividir por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia) y ≥ 4/3
La solución es que "y" debe ser mayor o igual que 4/3.
Ejercicios
Resuelve la siguiente desigualdad y representa la solución en una recta numérica:
2x + 5 > 11
Encuentra todos los valores de "y" que satisfagan la siguiente desigualdad:
-3y ≤ 9
Resuelve la siguiente desigualdad y escribe la solución en notación de intervalo:
4z - 7 ≥ 17
Como resolverlos
Para resolver una desigualdad lineal, hay algunos pasos generales que se pueden seguir: 1.
Simplificar ambas partes de la desigualdad lo más posible, asegurándose de conservar la dirección de la desigualdad. Es decir, si se multiplica o divide ambos lados por un número negativo, hay que cambiar la dirección de la desigualdad.
Despejar la variable en un lado de la desigualdad. Es decir, trasladar todas las constantes hacia el otro lado.
Si se ha multiplicado o dividido la desigualdad por un número negativo, entonces hay que cambiar la dirección de la desigualdad.
Escribir la solución en términos de la variable.
2. 3. 4.
DEFINICIÓN
Desigualdades lineales
Una desigualdad triangular es un teorema de geometría euclidiana que establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
Es una propiedad que poseen todos los triángulos y que se conoce como desigualdad triangular o desigualdad de Minkowski. Este resultado es uno de los teoremas más conocidos en la geometría y puede ser utilizado en diversas aplicaciones y cálculos relacionados con triángulos.
La desigualdad triangular establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado. Los elementos que conforman la desigualdad triangular son los tres lados del triángulo.
Ejemplo 1:
-a = 4, b = 6, c = 10
Procedimiento: Comprobamos que se cumpla la desigualdad triangular: a + b > c
4 + 6 > 10
10 > 10 (Falso)
Ejemplos
Ejemplo 2:
a = 5, b = 12, c = 20
Procedimiento: Comprobamos que se cumpla la desigualdad triangular: a + b > c
5 + 12 > 20
17 > 20 (Falso)
Explicación:
Esta combinación de lados no forma un triángulo porque la suma de las longitudes de dos lados (4 + 6) es igual
a la longitud del tercer lado (10), lo que no cumple la desigualdad triangular.
Explicación:
Esta combinación de lados no forma un triángulo porque la suma de las longitudes de dos lados (5 + 12) es
menor que la longitud del tercer lado (20), lo que no cumple la desigualdad triangular.
Ejercicios
Dado el triángulo con lados de longitudes a = 7, b = 9 y c = 5, determina si es un triángulo válido aplicando la desigualdad triangular.
Dado el triángulo con lados de longitudes a = 12, b = 18 y c = 8, determina si es un triángulo válido aplicando la desigualdad triangular.
Dado el triángulo con lados de longitudes a = 6, b = 3 y c = 10, determina si es un triángulo válido aplicando la desigualdad triangular.
Como resolverlos
Para resolver desigualdades triangulares, simplemente debes verificar si las longitudes de los lados del triángulo satisfacen las condiciones de la desigualdad. Es decir, asegurarte de que la suma de las longitudes de cualquier par de lados sea mayor que la longitud del tercer lado.
Si tienes las longitudes de los lados del triángulo, puedes seguir estos pasos para resolver una desigualdad triangular:
Verifica las tres condiciones de la desigualdad triangular 3: a + b > c, b + c > a, a + c > b.
Suma las longitudes de los lados y compáralas con la longitud del tercer lado.
Si todas las condiciones se cumplen, entonces las longitudes forman un triángulo válido. Si no se cumplen, entonces las longitudes no forman un triángulo válido.
1. 2. 3.