Odredjivanje priklonih kutova po MNK

dr. sc. Ivan Šimatović, dipl. ing. el.

Neovisni istraživač Hrvatska, Krapina ODREĐIVANJE PRIKLONIH KUTOVA PIRAMIDOLIKIH I ČUNJOLIKIH UZVIŠENJA TE KOTE NJIHOVOG VIRTUALNOG VRHA METODOM NAJMANJIH KVADRATA

"Često kažem ako znate mjeriti ono o čemu govorite i ako to znate iskazati brojevima onda nešto o tome znate, ali ako to ne znate izmjeriti i ako to ne znate iskazati brojevima vaše je znanje mršavo i nezadovoljavajuće. Ono može predstavljati početno znanje, ali ste se vi u vašim mislima jedva približili onom stupnju znanja koji se naziva znanošću, bez obzira o kojem se području radi."

William Thompson (Lord Kelvin) ‒ iz predavanja Udruženju inženjera građevinarstva, 3. svibnja 1883.

1.

Uvod

U posljednjih desetak godina zbila se nezadrživa velika globalna ekspanzija istraživanja piramida.

Diljem svijeta uočene su mnoge ogromne, manje ili više pravilna te pretežito krnja piramidolika i čunjolika uzvišenja. Ona se mogu podijeliti na: prirodne geološke tvorbe (Malezija), zemljane građevine (kineske piramide) ili prirodna uzvišenja pogodna oblika dijelom svrsishodno oblikovana te dograđivana ljudskim rukama (Visočica kod Visokog u BiH, izduženo piramidoliko uzvišenje kod Piedilucoa u sjevernoj Italiji).

Piramidolika brda u Maleziji

Piramidoliko uzvišenje kod Piedilucoa u sjevernoj Italiji

Gorostasna Bijela piramida kod Xi'ana u središnjoj Kini načinjena od zbijene zemlje i šljunka Da bi se te naočite formacije pretežito pravilna oblika mogle odgovarajuće znanstveno istražiti s geometrijskog aspekta, međusobno uspoređivati po geometrijskim značajkama te klasificirati potrebno je razraditi prikladnu metodu vjerodostojnog određivanja priklonih kutova njihovih bridova, izvodnica te osi simetrije ploha na osnovi njihova detaljnog topografskog prikaza s izohipsama, što je predmet ovog rada.

Prosječni prikloni kutovi pravčastih bridova, izvodnica i simetrala padina prirodnih te artificijelnih piramidolikih i čunjolikih uzvišenja mogu se vjerodostojno odrediti temeljem računalne obrade skupa parova podataka {(xi, hi)} pravocrtnih segmenata profila terena iščitanih s topografske karte u prikladnom mjerilu (M 1:1000, M 1:500, M 1:250) s ucrtanim izohipsama. Pri tome se, kao referentna, uzima najniža izohipsa hr = h1 ispod koje se promatrani brid ili padina parabolično poravnavaju. Na njoj se uzima ishodišna (početna) točka (x1 = 0 m) za određivanje horizontalne udaljenosti xi ostalih viših izohipsi hi > h1 duž nacrtanih tlocrtnih pravaca promatranih profila terena (bridovi, izvodnice plašta te simetrale padina).

Na taj način dobiva se skup od "n", više ili manje, pravčasto raspoređenih parova podataka (točaka) {(xi, hi)}, i = 1, 2,…, n, kao što je prikazano karakterističnim trodijelnim dijagramom rasprostiranja točaka profila terena piramidalnih i stožastih uzvišenja na slici 1. Na njega se u srednjem pravčastom dijelu, u rasponu x ∈ (x1, xn) iznad apscise, može primijeniti algoritam linearne regresije po Gaussovoj metodi najmanjih kvadrata, koji je detaljno prikazan u [1].

Slika 1 – Pravocrtan segment profila terena kao linearna regresija nad intervalom x ∈ (x1, xn) s produžetkom pravca regresije do virtualnog vrha V na vertikalnoj osi masiva 2.

Algoritam za izračun koeficijenta smjera i odsječka pravca regresije

Koeficijent smjera "b" pravca regresije h(x) = a + b·x dijagrama rasprostirana koji sadrži "n" točaka {Ti(xi, hi)} promatranog pravčastog dijela profila terena može se izračunati prema izrazu

b=

Q d ⋅ h ( x ) = hx . dx Qx

Uz prethodno izračunati koeficijent smjera "b" odsječak "a" pravca regresije na ordinati h je

a=

n

n

i =1

i =1

∑ hi − b ⋅ ∑ xi n

Q

h] − hx ⋅ [ x ] [ [ h] − b ⋅ [ x] = Qx = . n

n

Srednja kvadratno odstupanje po visini "m" (standardna devijacija) skupa od "n" točaka {(xi, hi)} promatranog profila terena od pripadnog pravca regresije izračunava se na sljedeći način n

m=

∑  hi − ( a + b ⋅ xi ) i =1

n−2

n

2

=

∑v i =1

2 i

n−2

=

[v ⋅ v ] = n−2

Qh ⋅ Qx − Qhx2 .

Qx ⋅ ( n − 2 )

Pri tome je zbroj pojedinačnih odstupanja ∑vi = [v] ≈ 0, što se uobičajeno koristi kao kontrolna veličina za provjeru točnosti provedenog računa izjednačenja pogrešaka.

Srednja pogreška (standardna devijacija) ma odsječka "a" pravca regresije profila terena je n

ma = m ⋅

∑x i =1

2 i

n ⋅ Qx

= m⋅

[ x ⋅ x] . n ⋅ Qx

Srednja pogreška (standardna devijacija) mb koeficijenta smjera "b" pravca regresije profila terena iznosi

mb =

Qh ⋅ Qx − Qhx2 m 1 . = ⋅ n−2 Qx Qx

Prosječan prikloni kut pravocrtnog dijela profila terena istovjetan je priklonom kutu β pravca regresije i određuje se iz koeficijenta smjera pravca "b" prema izrazu

β [ rad ] = arc tg b = arc tg

Qhx Qx

ili

β  0  =

Q 1800 ⋅ arc tg hx . π Qx

Pomoćne računske veličine Qh, Qx i Qhx koje sadrže prethodni izrazi računaju se, prema [1], iz skupa od "n" s topografske karte iščitanih parova podataka profila terena {(xi, hi)}, i = 1, 2,…, n na sljedeći način: 2

 n   ∑ xi  2 n x] [ i =1 2   Qx = ∑ xi − = [ x ⋅ x] − , n n i =1 2

 n   ∑ hi  2 n h] [ i =1 2   Qh = ∑ hi − = [ h ⋅ h] − , n n i =1  n   n   ∑ hi  ⋅  ∑ xi  n i =1   i =1  = h ⋅ x − [ h ] ⋅ [ x ] .

Qhx = ∑ hi ⋅ xi −  [ ] n n i =1 Simbol [ ] od dviju uglastih zagrada na desnoj strani tih izraza je Gaussova oznaka za operator sumacije Σ (zbroj istovrsnih podataka od i = 1 do i = n). On je, zbog jednostavnijeg i preglednijeg pisanja složenih matematičkih izraza te tipografskih razloga, uobičajen u računu izjednačenja pogrešaka rezultata mjerenja po metodi najmanjih kvadrata u astronomiji i geodeziji.

Iz prethodno izračunatog koeficijenta smjera "b" pravca regresije pravocrtnog dijela profila terena i pripadnu srednju pogrešku mb << b srednja pogreška mβ priklonog kuta β pravca regresije prema horizontali može se pobliže procijeniti pomoću izraza

mβ [ rad ] =

arc tg ( b + mb ) − arc tg ( b − mb ) 2

ili

1800 mβ  0  = ⋅ mβ [ rad ] . π

Područje pouzdanosti (statistički prihvatljive granice raspona) koeficijenta smjera "b" pravca regresije profila terena, uz uobičajenu vjerojatnost intervalne procjene od 95 %, određeno je izrazom

b ∈ (bmin , bmax ) = b m tn− 2; 0,05 ⋅ mb = ( b − tn − 2; 0,05 ⋅ mb , b + tn− 2; 0,05 ⋅ mb ) .

Područje pouzdanosti priklonog kuta pravca regresije profila terena, uz vjerojatnost 95 %, leži u blago asimetričnom rasponu s obzirom na izračunatu vrijednost β

β [ rad ] ∈ ( β min , β max ) = ( arc tg bmin , arc tg bmax ) =  arc tg ( b − tn −2; 0,05 ⋅ mb ) , arc tg ( b + tn −2; 0,05 ⋅ mb )  .

U prethodnim izrazima je tf; α varijabla Studentove t‒razdiobe stupnja slobode f = n ‒ 2 uz vjerojatnost prebačaja varijable b odnosno β izvan navedenih granica područja pouzdanosti od 5 % (α = 0,05).

Ona se očitava iz tablice statističkih funkcija ili se, za stupanj slobode f ≥ 8, može dovoljno točno izračunati prema brojčanom izrazu:

t f ; 0,05 = 1,96 + 3.

2,330 4,126 6, 272 + − . f f2 f3

t ‒ test za provjeru podudarnosti priklonih kutova dvaju pravaca regresije

Za procjenu da li se prikloni kutovi pravaca regresije pravocrtnih profila terena dvaju bridova ili simetrala dviju padina, statistički uzevši, podudaraju, ili se značajno razlikuju, prema [1; 2] može poslužiti dvostrani t – test koji se zasniva na razlici dviju slučajnih varijabli. Potrebni ulazni podaci za njega jesu: •

raspoloživ broj n1 i n2 točaka (xi, hi) za oba uspoređivana profila terena;

•

izračunate vrijednosti priklonih kutova β1 i β2 te pripadne standardne devijacije mβ1 i mβ2.

Zatim se iz tih vrijednosti izračuna bezdimenzijska slučajna varijabla t1-2 prema izrazu

t1− 2 =

β1 − β 2 mβ 1−2

=

β1 − β 2 mβ2 1 + mβ2 2

.

Ona je distribuirana po Studentovoj t – razdiobi sa stupnjem slobode f1-2 određenim izrazom

f1− 2 = ( n1 − 2 ) + ( n2 − 2 ) = n1 + n2 − 4 .

Ako je izračunata vrijednost varijable t1-2 veća od granične vrijednosti tf1-2; 0.05 (t1-2 > tf1-2; 0.05) prikloni kutovi β1 i β2 pravaca regresije dvaju istovrsnih uspoređivanih profila terena, statistički uzevši, značajno se razlikuju, a ako je manja od nje ili njoj jednaka (t1-2 ≤ tf1-2; 0.05) tada ima mjesta pretpostavci da se oni značajno ne razlikuju, odnosno da su (pod)jednaki.

4.

Određivanje kote virtualnog vrha piramidolikog i čunjolikog uzvišenja

Kota (apsolutna ili relativna visina) na kojoj se nalazi virtualan vrh spljoštenog piramidolikog ili čunjolikog (stožastog) uzvišenja može se odrediti ekstrapolacijom pravca regresije promatranog profila terena do vertikalne osi masiva. Uz poznatu tlocrtnu udaljenost xV točke virtualnog vrha (vertikalne osi) od početne (referentne) izohipse h1 (x1 = 0) te prethodno izračunatu vrijednost odsječka "a" i koeficijenta smjera "b" pripadnog pravca regresije ona iznosi

hV = a + b ⋅ ( xV − x1 ) = a + b ⋅ xV .

Zbog neizbježnih pogrešaka ma i mb parametara "a" i "b" pravca regresije uslijed rasipanja parova ulaznih podataka {(xi, hi)} profila terena pripadna srednja pogreška mV za tako određenu kotu (visinu) virtualnog vrha je

 [ x]   xV −  n  1  = m⋅ + . n Qx 2

mhV

1 ( xV − xsr ) = m⋅ + n Qx

2

Ako se, primjerice, za neko (polu)piramidoliko uzvišenje (PPU), poput primjerice sjevernog dijela masiva Visočice ili Bučkog Gaja kod Visokog, analiziraju četiri karakteristična profila terena (dva brida i dvije osi bočnih padina) u pravilu se dobivaju, zbog nepravilnosti terena uslijed manje ili veće izobličenosti masiva, četiri različite vrijednosti kote virtualnog vrha i pripadne standardne devijacije njezine procjene ekstrapolacijom pravca regresije do vertikalne osi masiva:

( hV 1 , mV 1 )

( hV 2 , mV 2 )

,

( hV 3 , mV 3 )

,

,

( hV 4 , mV 4 ) .

Stoga se kao najvjerojatnija kota (visina) virtualnog vrha analiziranog (polu)piramidolikog masiva uzima njihova aritmetička srednja vrijednost

hVsr =

hV 1 + hV 2 + hV 3 + hV 4 1 4 = ⋅ ∑ hVj .

4 4 j =1

Standardna devijacija shV ekstrapolacijom procijenjene kote virtualnog vrha zbog rasipanja četiriju pojedinačnih rezultata, prema [1; 2], je

∑(h 4

shV =

j =1

Vj

− hVsr )

4 −1

∑(h 4

2

=

j =1

Vj

− hVsr ) 3

2

.

Ukupna standardna devijacija hVsr procjene kote virtualnog vrha piramidolikog ili čunjolikog masiva određene temeljem ekstrapolacije nekoliko pravaca regresije profila terena je složena veličina. Ona sadrži standardnu devijaciju shV zbog rasipanja pojedinih visina te na nju geometrijski pridodate standardne devijacije pogrešaka pravaca regresije zbog rasipanja njihovih parametara "aj" i "bj". Stoga ona, prema teoremu o zbroju varijanci neovisnih slučajnih varijabli [2], iznosi 2 shVu = shV + mV21 + mV2 2 + mV2 3 + mV2 4 .

5.

Pokazatelj geometrijske pravilnosti piramidolikog ili čunjolikog masiva

Kao objektivna mjera geometrijske nepravilnosti piramidolike ili čunjolike formacije dobivena temeljem analize nekoliko (barem tri) karakterističnih profila terena i ekstrapolacije pripadnih pravaca regresije prema vertikalnoj osi masiva, u kotu virtualnog vrha, može poslužiti koeficijent varijacije relativne visine virtualnog vrha određen izrazom

vhV =

shVu s ⋅100% = hVu ⋅100% . hVsr − hr ∆hVsr

Nazivnik tog izraza je relativna visina ΔhVsr virtualnog vrha povrh odabrane referentne izohipse (nulte kote) masiva hr. Što je taj pokazatelj manji promatrana geološka ili artificijelna formacija piramidolikog/konikolikog oblika je geometrijski pravilnija jer pravci regresije njezinih karakterističnih profila terena bolje (oštrije) konvergiraju točki virtualnog vrha koji leži na vertikalnoj osi masiva.

Za idealan piramidni i čunjast (stožast) oblik on je jednak nuli jer se pravci svih bridova i izvodnica plašta tih geometrijskih tijela (polihedrona) sijeku u istoj točci (virtualnom ili stvarnom vrhu). Zbog toga je za posve pravilna piramidna i čunjasta tijela koje omataju pravčaste plohe standardna devijacija shV = 0 pa je, shodno tome, i pripadni koeficijent varijacije vhV = 0.

Kao objektivan pokazatelj geometrijske pravilnosti (Geometrical Regularity) piramidolikih i čunjolikih masiva i njihovu usporedbu s obzirom na analizirane profile terena može veoma dobro poslužiti komplementarni postotak određen izrazom

R = 100% − vhV .

Ako je vrijednost pokazatelja R ≥ 95 % analizirana prirodna/artificijelna formacija je izrazito pravilnog piramidnog ili čunjastog oblika.

6.

Zaključak

Prikazana metoda određivanja priklonih kutova piramidolikih i čunjolikih uzvišenja te kote njihovog virtualnog vrha na osnovi analize karakterističnih profila terena putem algoritma linearne regresije je univerzalna i opće primjenjiva. Uspješno je verificirana na pet markantnih uzvišenja Bosanske doline piramida uz ekvidistancu izohipsa od 2,5 m pa se stoga može preporučiti za analizu ostalih geometrijski manje ili više pravilnih piramidolikih i čunjolikih formacija velikih dimenzija razasutih diljem svijeta kao što su, primjerice: •

Kineske piramide;

•

izduženo piramidoliko brdo kod Piedilucoa u sjevernoj Italiji;

•

piramidolika brda u Maleziji;

•

dva susjedna piramidolika brda "Brat" i "Sestra" kod Nakhodke na ruskom Dalekom istoku itd.

Za sve proračune prikazane u ovom radu te grafičke prikaze profila terena s ucrtanim pripadnim pravcem regresije može se koristiti neki od tabličnih kalkulatora s dobrim grafičkim mogućnostima.

Literatura: [1] Lothar Sachs: Statistische Methoden, Springer Verlag Berlin – Heidelberg – New York, 1972.

[2] Ivo Pavlić: Statistička teorija i primjena, Tehnička knjiga, Zagreb, 1977.

[3] I. N. Bronštejn – K. A. Semendjajev: Matematički priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga, Zagreb, 1991.