Universidad Autónoma del Estado de México
M
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Basado en Competencias
Los valores máximo y mínimo de extremos de .
Nivel Medio Superior
se llaman valores extremos o simplemente
Mencionaremos a continuación un teorema que sirve para determinar los extremos de una función: Si
tiene un extremo en un punto , entonces
o bien
no existe
De esta manera, si es diferenciable en un punto en el que tiene un extremo, entonces la gráfica de tiene una tangente horizontal en ese punto. Cabe aclarar que, aunque las gráficas en las figuras anteriores tienen una tangente horizontal en el punto , también pueden aparecer valores máximos y mínimos en las abscisas de los puntos en los que las gráficas tienen esquinas o en los puntos extremos de los dominios. Igualmente, cabe mencionar que algunas funciones pueden tener un máximo y un mínimo más de una vez y otras pueden tener un valor máximo, pero no uno mínimo en un intervalo o viceversa. Otras funciones pueden no tener un valor máximo ni uno mínimo.
5.2. Criterio de la segunda derivada El criterio de la segunda derivada; es decir, la derivada de la primera derivada (denota como ) sirve para saber si una función tiene un máximo, o un mínimo, en un determinado valor y se establece de la siguiente manera. Si si si
es diferenciable en un intervalo abierto que contiene un valor existe; entonces: , tiene máximo en , tiene mínimo en
de
y
Los pasos que enunciamos a continuación resumen lo visto en los puntos 5, 5.1 y el criterio de la segunda derivada y sirven para determinar los valores extremos de una función , así como los intervalos en los que es creciente y decreciente. 1. Se obtiene la derivada de la función 2. Se iguala con 0 esta derivada 3. Se resuelve la ecuación resultante para obtener los valores o números críticos.* 4. Se obtiene la segunda derivada de la función 5. Se evalúa la segunda derivada en cada uno de los valores críticos obtenidos en el paso 3 y se aplica el criterio de la segunda derivada 6. Se obtiene la ordenada de los puntos máximos y mínimos (llamados puntos críticos) sustituyendo los valores críticos en la función original 7. Se localizan en el plano cartesiano los puntos máximos y mínimos y se traza un esbozo de la gráfica de la función
*
Un número en el dominio de tal que o no garantiza que la función tenga un extremo en
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no esté definido, se llama número o valor crítico de .
. En este paso la condición
