Tema 1 Incremento de una función

M 3

Basado en Competencias

Introducción

Hemos llegado al módulo 3, en el que encontrarás cómo determinar derivadas de funciones utilizando primeramente su definición y posteriormente los teoremas de derivadas hasta llegar a los problemas de aplicación. Se piensa que trabajar con derivadas es algo muy complejo y que no tienen aplicación en la vida diaria, pero al profundizar en el tema, se descubrirá que es todo lo contrario. La aplicación de derivadas se puede encontrar en áreas como la economía, la administración y la física, entre muchas otras, y éstas a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes cálculos en importantes empresas, o simples operaciones en la economía familiar. Entre las principales aplicaciones de la derivada están: • Cálculo de movimientos de una partícula, como velocidad y aceleración. • Cálculo de máximos y mínimos. En una fábrica, o en un negocio de abarrotes, es importante saber cuál es la mayor ganancia que se puede obtener en cierto periodo, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente es primordial calcular si existen pérdidas en estos productos o en un lapso de tiempo.

1. Incremento de una función

El incremento de la variable independiente denotado por (léase delta ), se define como la diferencia , en la que es el valor inicial y el valor final. De manera análoga para la variable dependiente , el incremento de esta variable será la diferencia , y se denota (léase delta ).

Gráficamente se tiene:

Los incrementos de las variables se escriben de la siguiente manera:

Ahora bien, dada una función , con regla de correspondencia , el incremento de la función se define como la diferencia de su valor final con su valor inicial; es decir:

Si ; entonces tiene que: , y al sustituirla en el incremento de se

Ejemplo

En una investigación que se realizó para observar qué cantidad de desperdicios en toneladas se tira diariamente en un municipio del Estado de México para un periodo vacacional de una semana, se anotaron los siguientes datos:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Días ( ) 1 2 3 4 5 6 7

Ton. de desperdicio ( ) 0.3 1.2 2.7 4.8 7.5 10.8 14.7

Determinar el incremento entre los días 6 y 7 y el incremento de toneladas que se generan de basura entre estos días.

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Solución:

El incremento entre los días y es:

El incremento de las toneladas de basura entre estos días es:

Ejercicio

Con la información del ejemplo anterior determinar el incremento entre los días 2 y 5 y el incremento de toneladas que se generan de basura entre estos días.

Ejemplo

Dada la función

Solución:

Como: Entonces: , calcular el incremento de la función.

Ejercicio

Dada la función , calcular el incremento de la función.

Ejemplo

Determinar el cociente para la función .

Solución:

El incremento de la función se obtiene en el numerador y se divide entre el ; simplificamos y determinamos el cociente de incrementos, como se muestra en este ejercicio.

Ejercicio

Determinar el cociente para la función .