5.2. Criterio de la segunda derivada

M 3

Basado en Competencias Los valores máximo y mínimo de se llaman valores extremos o simplemente extremos de . Mencionaremos a continuación un teorema que sirve para determinar los extremos de una función:

Si tiene un extremo en un punto , entonces o bien no existe

De esta manera, si es diferenciable en un punto en el que tiene un extremo, entonces la gráfica de tiene una tangente horizontal en ese punto. Cabe aclarar que, aunque las gráficas en las figuras anteriores tienen una tangente horizontal en el punto , también pueden aparecer valores máximos y mínimos en las abscisas de los puntos en los que las gráficas tienen esquinas o en los puntos extremos de los dominios. Igualmente, cabe mencionar que algunas funciones pueden tener un máximo y un mínimo más de una vez y otras pueden tener un valor máximo, pero no uno mínimo en un intervalo o viceversa. Otras funciones pueden no tener un valor máximo ni uno mínimo.

5.2. Criterio de la segunda derivada

El criterio de la segunda derivada; es decir, la derivada de la primera derivada (denota como ) sirve para saber si una función tiene un máximo, o un mínimo, en un determinado valor y se establece de la siguiente manera.

Si es diferenciable en un intervalo abierto que contiene un valor de y existe; entonces: si , tiene máximo en si , tiene mínimo en

Los pasos que enunciamos a continuación resumen lo visto en los puntos 5, 5.1 y el criterio de la segunda derivada y sirven para determinar los valores extremos de una función , así como los intervalos en los que es creciente y decreciente. 1. Se obtiene la derivada de la función 2. Se iguala con 0 esta derivada 3. Se resuelve la ecuación resultante para obtener los valores o números críticos.* 4. Se obtiene la segunda derivada de la función 5. Se evalúa la segunda derivada en cada uno de los valores críticos obtenidos en el paso 3 y se aplica el criterio de la segunda derivada 6. Se obtiene la ordenada de los puntos máximos y mínimos (llamados puntos críticos) sustituyendo los valores críticos en la función original 7. Se localizan en el plano cartesiano los puntos máximos y mínimos y se traza un esbozo de la gráfica de la función

* Un número en el dominio de tal que o no esté definido, se llama número o valor crítico de . En este paso la condición no garantiza que la función tenga un extremo en .

8. Se establecen los intervalos en los que la función es creciente y decreciente; en un punto máximo la función cambia de creciente a decreciente y en un punto mínimo de decreciente a creciente. Los pasos descritos se aplican en los siguientes ejemplos.

Ejemplo

Trazar la gráfica de la siguiente función determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

Solución:

Primero calculamos la primera derivada Igualamos con 0 y resolvemos la ecuación: ; a este punto se le llama valor crítico Calculando la segunda derivada: > 0, como la segunda derivada es mayor que 0, tenemos un punto mínimo. En , sustituyendo en la función original

Por lo que el punto mínimo es Gráficamente

Intervalo donde la función es creciente:

Intervalo donde la función es decreciente:

M 3

Basado en Competencias

Ejercicio

Trazar la gráfica de la siguiente función determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

Ejemplo

Trazar la gráfica de la siguiente función determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

Solución:

Primero calculamos la primera derivada: Igualamos con 0 y resolvemos la ecuación de segundo grado:

aplicando fórmula general:

Sustituyendo los datos:

Por lo que una solución es con el signo positivo:

Y otra con el signo negativo:

A los puntos y se les llama valores críticos. Calculando la segunda derivada: Sustituyendo los puntos críticos en la segunda derivada para encontrar los puntos máximos y mínimos: Si , entonces Como la segunda derivada , tenemos un punto mínimo. Y se encuentra sustituyendo el valor de en la función original. Si :

Y el punto mínimo es (3.73,-10.38) Si , entonces Como la segunda derivada , tenemos un punto máximo. Y se encuentra sustituyendo el valor de en la función original.

Si = 0.2679:

El punto máximo es (0.2679,10.39)

M 3

Basado en Competencias La gráfica queda de la siguiente manera:

Intervalo donde la función es creciente:

Intervalo donde la función es decreciente:

Ejercicio

Trazar la gráfica de la siguiente función determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

Ejemplo

Trazar la gráfica de la siguiente función determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

Solución:

Primero calculamos la primera derivada: Igualamos con 0 y resolvemos la ecuación:

A los puntos , , , se les llama valores críticos.

Calculando la segunda derivada Sustituyendo los valores críticos en la segunda derivada para encontrar los puntos máximos y mínimos: Si

< 0, hay un punto máximo Sustituyendo en la función original , por lo que el punto máximo está en (0, 0)

Si

> 0, hay un punto mínimo

M 3

Basado en Competencias Sustituyendo en la función original

, por lo que el punto mínimo está en

Si

> 0, hay un punto mínimo Sustituyendo en la función original

, por lo que el punto mínimo está en

Gráficamente

Intervalo donde la función es creciente:

Intervalo donde la función es decreciente:

Ejercicio

Trazar la gráfica de la siguiente función determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.