Appunti Matematici 46 - 47 - 48

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

NOTE INTRODUTTIVE DI MECCANICA RAZIONALE E ANALITICA numeri 45 / 46 / 47 - ottobre / novembre / dicembre 2018



PREFACE

This paper contains a synthetic exposition of rational and analytical mechanics.

This syntesis concerns all aspects of the subjects starting from the basic ones.

All contents are explained in an original and accurate way, escaping from a merely explanatory reconstruction of the contents .

Even the most basic notions are explained in detail and the simplest way possible.

They constitute specifications of the contents of the very interesting consulted bibliography.

I hope there are no serious mistakes !

December, 2018

Patrizio Gravano patrizio.gravano@libero.it


NOTE INTRODUTTIVE DI MECCANICA RAZIONALE E ANALITICA


PARTE I - NOZIONI DI ALGEBRA VETTORIALE E LINEARE

Nello studio della meccanica razionale e analitica si ha a che fare con grandezze fisiche vettoriali, quali gli spostamenti, le forze, le accelerazioni, ragion per cui e’ utile ripassare la nozione di vettore e di spazio vettoriale.

E’ sicuramente utile partire da un esempio concreto, il piano cartesiano, solitamente rappresentato come � 2 .

E’ noto che ad ogni punto del piano cartesiano corrisponde una coppia ordinata di numeri reali e viceversa ad ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde uno ed un solo punto.

� 3 denota lo spazio euclideo ordinario nel quale ad ogni punto di esso e’ associabile una ed una sola terna ordinata e viceversa ad una terna ordinata corrisponde uno ed un solo punto. Tali argomentazioni possono essere generalizzate introducendo un insieme � � costituito da elementi del tipo (�1 , �2 , ‌ . , �� ), detti n-ple o tuple. Ad ogni n-pla corrisponde un punto dello spazio ad n dimensioni e viceversa.

In uno spazio ad n dimensioni i punti di esso e le n-ple sono in corrispondenza biunivoca e continua con le n-ple. Cio’ e’ vero quando si stabilisce arbitrariamente di considerare un punto qualunque di detto spazio, detto 0 , come associato alla n-pla (0, 0, 0).


Tale scelta ovviamente e’ arbiraria. Ma una solta stabilita tale corrispondenza ad ogni punto dello spazio puo’ essere fatto corrispondere una sola tupla e viceversa (corrispondenza biunivoca).

Nel dominio della meccanica razionale si utilizzano, a seconda delle circostanze, lo spazio euclideo, đ?‘… 3 , oppure il piano euclideo, denotato con đ?‘… 2.

Per pervenire alla nozione di vettore e’ utile partire dalla nozione di segmento orientato.

Ci si puo’ riferire all’ordinario piano euclideo, inteso come nozione intuitiva e primitiva.

In esso si possono considerare due punti distinti A e B. Per essi passa una ed una sola retta. Istituito un criterio formale e convenzionale che consente di affermare che A precede B il segmento di estremi A e B, ordinariamente indicato con il formalismo (A, B)≥ đ??´đ??ľ e’ detto segmento orientato di estremi A e B.

I punti A e B sono detti

rispettivamente primo e secondo estremo del segmento orientato AB.

Nel linguaggio corrente il primo estremo e’ detto punto di applicazione.

Relativamente ai segmenti orientati si definisce direzione del segmento dato quella retta (unica) che passa per essi e verso l’orientamento corrispondente ai criteri di definizione della precedenza dei punti estremi del segmento. Nello scrivere AB si intende che si e’ introdotto un criterio per il quale il punto A precede il punto B.


Per contro, nello scrivere BA si intende affermare che e’ assegnato un criterio per il quale il punto B precede A. In definitiva, con riferimento a due distinti punti A e B sono possibili due versi. I segmenti AB e BA hanno la medesima direzione ma verso opposto.

La comune direzione e’ quella della retta che passa per essi.

Tanto e’ che si afferma che per verso si intende “uno dei due orientamenti possibili della retta� (Benvenuti, Maschio).

Una ulteriore caratteristica dei segmenti orientati e’ data dalla lunghezza.

Tale nozione metrica sara’ considerata nel proseguo dell’elaborato.

E’ peraltro noto dalla geometria elementare che la lunghezza di un segmento orientato Ě…Ě…Ě…Ě… . AB viene indicata con il formalismo đ??´đ??ľ

Se si ammette di avere un piano euclideo đ?œ‹ e’ possibile considerare due rette perpendicolari che si incontrano in un punto detto origine. Si ammette che all’origine sia associata la coppia (0, 0) . I due assi (le due rette perpendicolari considerate) sono detti, rispettivamente assi delle ascisse e delle ordinate.

Quindi si considerano due punti X ed Y distinti dall’origine O e si ammette convenzionalmente che Ě…Ě…Ě…Ě… 0đ?‘‹ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ?‘Œ = 1. Pertanto ogni punto dei due assi puo’ essere


espresso da un numero reale r che esprime la distanza di tale punto dall’origine O, la cui scelta e’ comunque arbitraria.

Ogni punto del piano puo’ essere posto in corrispondenza con una coppia ordinata di numeri reali ottenuta facendo passare per detto punto due rette perpendicolari tra loro e ciascuna perpendicolare ad ognuno dei due assi. In altri termini le coordinate del Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…đ?‘Ľ e Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… punto P sono eguali alle misure dei segmenti orientati đ?‘‚đ?‘ƒ đ?‘‚đ?‘ƒđ?‘Ś . I deponenti x ed y assegnati alla P indicano che ci si riferisce alle proiezioni (ortogonali) del punto P sugli assi delle ascisse e delle ordinate rispettivamente. Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…đ?‘Ľ , đ?‘‚đ?‘ƒ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Al punto P qualunque del piano euclideo corrisponde la coppia ordinata (đ?‘‚đ?‘ƒ đ?‘Ś ).

Mutatis mutandis, e’ possibile ammettere che ad un punto P dello spazio euclideo ordinario e’ possibile associare univocamente una terna ordinata di numeri reali e viceversa ad una terna di numeri reali corrisponde uno ed un solo punto dello spazio euclideo.

Come si e’ detto tali argomentazioni sono estensibili al caso di uno spazio ad n dimensioni ricordando che ad ogni punto di esso corrisponde univocamente un elemento di đ?‘… đ?‘› solitamente rappresentato come (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ) ∈ đ?‘… đ?‘› .

E’ ora necessario dati due punti distinti del piano euclideo ai quali e’ stato associato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale definire la nozione di distanza euclidea tra di essi. Tale distanza e’ solitamente detta norma euclidea .


Siano A e B detti punti e sia A ≥ (đ?‘Žđ?‘Ľ , đ?‘Žđ?‘Ś ) e B ≥ (đ?‘?đ?‘Ľ , đ?‘?đ?‘Ś ). La distanza euclidea tra i due punti d(A, B) = √(đ?‘Žđ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘Ľ )2 + (đ?‘Žđ?‘Ś − đ?‘?đ?‘Ś )2 = ||đ??´đ??ľ|| .

Si osservi che la nozione di norma e’ arbitraria nel senso che con riferimento ai due punti dati possono essere definite ulteriori norme, distinte da quella appena definita.

In ogni caso ci si riferisce ampiamente alla enunciata norma euclidea ordinariamente chiamata distanza euclidea, o semplicemente distanza tra i punti A e B.

Come e’ ben noto, la norma euclidea gode di particolari proprieta’ risultando che:

d(A, B) = đ?‘‘(đ??ľ, đ??´)

d(A,A) = 0

Vale per tre punti non allineati (cioe’ non giacenti sulla medesima retta) la nota diseguagliaza triangolare ben evidenziale come nella figura che segue.

A

B

C

AB > đ??ľđ??ś − đ??´đ??ś .

Nel caso di punti allineati evidentemente AB = đ??ľđ??ś − đ??´đ??ś .

A questo risultato si puo’ pervenire agevolmente osservando che si puo’ da A mandare la perpendicolare alla retta per B e C, risultando H il piede della perpendicolare. Risulta AB > đ??ľđ??ť e AC > đ??ťđ??ś .


Sommando membro a membro queste due relazioni si ha AB +đ??´đ??ś > đ??ľđ??ť + đ??ťđ??ś = đ??ľđ??ś . Da AB +đ??´đ??ś > đ??ľđ??ś si ottiene

AB > đ??ľđ??ś − đ??´đ??ś .

Fatte queste premesse introduttive occorre introdurre la nozione di spazio vettoriale normato.

Possiamo partire dalla definizione di spazio vettoriale (reale), inteso come un insieme V non vuoto di elementi detti vettori, risultando definite due operazioni, dette rispettivamente somma vettoriale e prodotto di un vettore per uno scalare.

Questa ultima operazione consente di associare alla coppia (a, v) il vettore av.

Esemplificando con riferimento ai vettori dello spazio tridimensionale si avra’ modo di evidenziare che la somma vettoriale e’ commutativa e associativa, che esiste un elemento neutro rispetto alla somma vettoriale, detto vettore 0, che per ogni vettore v esiste il vettore opposto −đ?‘Ł .

L’operazione di prodotto di uno scalare per un vettore e’ distributiva rispetto alla somma scalare e rispetto alla somma vettoriale, e’ associativa e lo scalare 1 ha la funzione di elemento neutro rispetto a tale operazione.

Sono di immediata dimostrazione i seguenti teoremi:

Il vettore nullo e’ unico.

L’opposto di un vettore e’ unico.


Come noto non necessariamente l’operazione di moltiplicazione di uno scalare e’ limitata al caso reale potendo essere riferita ad un campo distinto, quale C, insieme dei numeri complessi C = đ?‘ Ă— N.

Dalla nozione di spazio vettoriale puo’ essere fornita quella di sottospazio vettoriale S ⊂ V, con S ≠∅, con V spazio vettoriale, rispetto alle gia’ ricordate operazioni interne.

S e’ un sottospazio vettoriale di V se e solo se (quindi, condizione necessaria e sufficiente) se per ogni coppia di suoi elementi, pure la loro somma vettoriale e’ elemento di S e pure il vettore moltiplicato per lo scalare k qualunque e’ elemento di S.

S viene definito chiuso rispetto a tali operazioni. Come caso degenere vi e’ lo spazio nullo, indicato con {đ?&#x;Ž} .

Uno spazio vettoriale ha dimensione intera qualunque. Piu’ pragmaticamente ci si puo’ riferire agli spazi vettoriali a tre dimensioni.

L’insieme dei vettori a tre dimensioni, che solitamente vengono utilizzati nello studio della meccanica razionale, e’ lo spazio vettoriale � 3 .

Tali elementi (i vettori) hanno tre componenti e, considerata una origine, quindi un punto dello spazio cui corrisponde il vettore nullo đ?&#x;Ž ≥ (0, 0, 0) , avente verso e direzione indeterminati, sono tutti rappresentabili come v = (đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘Łđ?‘Ś , đ?‘Łđ?‘§ ) , essendo đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘Łđ?‘Ś , đ?‘’ đ?‘Łđ?‘§ le tre coordinate cartesiane rispetto all’origine O ≥ (0, 0, 0) .


La terna (đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘Łđ?‘Ś , đ?‘Łđ?‘§ ) indica un segmento orientato OP ove si ammetta che al punto O corrisponda la terna (0, 0, 0) e al punto P corrisponda la terna ordinata (đ?‘?đ?‘Ľ , đ?‘?đ?‘Ś , đ?‘?đ?‘§ ) quando sia (đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘Łđ?‘Ś , đ?‘Łđ?‘§ ) = (đ?‘?đ?‘Ľ , đ?‘?đ?‘Ś , đ?‘?đ?‘§ ) .

Ma tale terna ordinata, cioe’ la terna (�� , �� , �� ), rappresenta ogni segmento orientato AB distinto da OP tale che risulti:

đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ = đ?‘Łđ?‘Ľ đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ = đ?‘Łđ?‘Ś đ?‘§đ??ľ − đ?‘§đ??´ = đ?‘Łđ?‘§ đ?‘ˆđ?‘›a notazione equivalente a OP e’ (P−đ?‘‚) .

Si afferma (Vaccaro, Carfagna, Piccolella) che “un segmento orientato AB definisce completamente la traslazione dello spazio che porta la sua origine A nell’estremo B� quando si consideri il segmento orientato AB.

Si argomenta

(Vaccaro, Carfagna, Piccolella) che “poiche’ tutti i segmenti

equipollenti ad AB definiscono una classe di equivalenza e quindi un vettore v determina una traslazione dello spazio. I citati autori ricordano che “per esprimere che il vettore v determina la traslazione che porta per esempio il punto A nel punto B si suole scrivere:

A +đ?’— = B ,

e si dice che il punto B e’ la somma del punto A e del vettore v.�


Equivalentemente, come gia’ detto, un vettore e’ intendibile come differenza tra due punti.

Nei termini piu’ generali e’ possibile affermare che assegnato un segmento orientato OP esistono infiniti segmenti orientati, distinti da OP, aventi la medesima direzione di OP (giacendo essi sulla medesima retta o su rette parallele), lo stesso verso e la stessa lunghezza (norma euclidea). Tali segmenti costituiscono una classe detta di equivalenza.

Dalla nozione di segmento orientato si giunge a quella di vettore considerando uno qualunque degli infiniti segmenti orientati equivalenti. Tale elemento rappresentativo e’ detto vettore.

Due segmenti orientati AB e RS appartengono alla stessa classe di equivalenza se e solo se:

đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ = đ?‘Ľđ?‘† − đ?‘Ľđ?‘… đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ = đ?‘Śđ?‘† − đ?‘Śđ?‘… đ?‘§đ??ľ − đ?‘§đ??´ = đ?‘Śđ?‘† − đ?‘Śđ?‘… La rappresentazione di un segmento ordinario in termini cartesiani e’ unica qualora sia stata stabilita l’origine O del sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico. Essa ordinariamente avviene rappresentandolo come somma vettoriale nel modo che segue:


v = (đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘Łđ?‘Ś , đ?‘Łđ?‘§ ) = đ?‘Łđ?‘Ľ đ?’Š + đ?‘Łđ?‘Ś đ?’‹ + đ?‘Łđ?‘§ đ?’Œ .

Il segmento orientato MN e’ il segmento nullo se e solo se M ≥ đ?‘ .

La direzione e il verso del segmento orientato nullo (e quindi anche del vettore nullo sono indeterminati).

Nel linguaggio matematico corrente si danno le seguenti definizioni: 

sono paralleli due vettori che hanno la medesima direzione e lo stesso verso;



sono ortogonali (o perpendicolari) se le loro direzioni sono due rette perpendicolari.

Si suole affermare (Vaccaro, Carfagna, Piccolella) che “lo spazio vettoriale dei vettori liberi dello spazio ordinario e’ finitamente generato perche’ (‌.) ogni vettore dello spazio puo’ esprimersi come combinazione lineare di tre vettori non complanariâ€?.

Nelle applicazioni pratiche e operative il vettore v = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) viene, come noto, convenientemente rappresentato come v = ai +bđ?’‹ + cđ?’Œ. (i ,j, k) costituisce infatti una base (detta ortonormale) di vettori (unitari, detti versori), rappresentabili come segue:

i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).

Uno spazio vettoriale V e’ detto normato se e’ definita su di esso una norma. Per gli sviluppi ci si riferisce alla ordinaria norma euclidea.


Definiti in astratto gli spazi vettoriali normati e’ possibile operare concretamente sugli elementi a tre dimensioni. � 3 ha struttura di spazio vettoriale, quindi tali vettori verranno intesi come elementi di � 3 .

Sia v = (�� , �� , �� ) un vettore dello spazio � 3 (equivalentemente un punto di esso).

Viene introdotta la moltiplicazione di un vettore per uno scalare che nel caso nostro deve intendersi come un numero reale.

Tale operazione viene definita come segue:

kv = k(đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘Łđ?‘Ś , đ?‘Łđ?‘§ ) = (đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Ś , đ?‘˜đ?‘Łđ?‘§ ) .

Solitamente si scrive che k đ?œ– đ??ž e K puo’ essere l’insieme dei numeri reali oppure dei numeri complessi.

Si ammette che il vettore nullo (0, 0, 0) sia un elemento di K.

Esso puo’ essere inteso come ottenuto dalla moltiplicazione di un vettore qualunque per lo scalare 0.

I vettori v e kv hanno la stessa direzione e lo stesso verso quando k > 0 mentre hanno versi opposti qualora sia k < 0 .

Assegnata una coppia qualunque di vettori v ed u viene definita addizione vettoriale l’operazione che genera il vettore v + u secondo la regola seguente:

v + u = (�� + �� , �� + �� , �� + �� ) essendo v =(�� , �� , �� ) e u =(�� , �� , �� ) .


In generale e’ possibile provvedere alla somma di un numero intero arbitrario di vettori đ?’–đ?&#x;? + đ?’–đ?&#x;? + â‹Ż . . +đ?’–đ?’Œ .

Dalla commutativita’ della somma di numeri reali discende, riferendosi alle componenti scalari dei vettori, la commutativita’ della somma vettoriale, risultando:

u+v=v+u

Il vettore đ?&#x;Ž = (0,0,0) e’ l’elemento neutro della somma vettoriale, essendo v+đ?&#x;Ž = v .

A questo punto possono essere introdotte le proprieta’ formali.

(đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? ) + đ?’—đ?&#x;‘ = đ?’—đ?&#x;? + (đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;‘ ) â†? proprieta’ associativa

đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? â†? proprieta’ commutativa

(a+đ?‘?)đ?’— = ađ?’— + bđ?’— â†? proprieta’ distributiva, essendo a e b due scalari

Valgono ulteriormente le due seguenti proprieta’ dette di linearita’:

a(đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) = ađ?‘Ł1 + đ?‘Žđ?‘Ł2

a(bv) = (ab)v=abv

E’ ora utile introdurre la differenza vettoriale, molto semplice ricordando che a – b = a + (−b) .


Cio’ puo’ essere rappresentato graficamente come segue.

a -b

a–b b

In termini algebrici si puo’ scrivere che a – b = (đ?‘Žđ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘Ľ , đ?‘Žđ?‘Ś − đ?‘?đ?‘Ś , đ?‘?đ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘Ś ). In termini cartesiani il vettore a – b, detto vettore differenza tra i vettori a e b, si scrive nel modo seguente:

a – b = (đ?‘Žđ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘Ľ )đ?’Š + (đ?‘Žđ?‘Ś − đ?‘?đ?‘Ś )đ?’‹ + (đ?‘?đ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘Ś )đ?’Œ. đ?‘… 3 e’ uno spazio lineare rispetto ad R.

đ??ˇđ?‘– fondamentale importanza e’ la nozione di dipendenza lineare e indipendenza lineare di vettori.

Considerando vettori dello spazio a tre dimensioni, solitamente utilizzato nella meccanica razionale, si afferma che tre vettori đ?’—đ?&#x;? , đ?’—đ?&#x;? đ?‘’ đ?’—đ?&#x;‘ sono linearmente dipendenti se esistono tre scalari đ?œ†1 , đ?œ†2 , đ?œ†3 tali che (đ?œ†1 , đ?œ†2 , đ?œ†3) ≠(0, 0, 0) e se e’ vera la condizione đ?œ†1 đ?’—đ?&#x;? + đ?œ†2 đ?’—đ?&#x;? + đ?œ†3 đ?’—đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž .

E’ possibile considerare il caso di due vettori del piano linearmente dipendenti u e v scrivendo che esistono due scalari a e b tali che au+đ?’ƒđ?’— = đ?&#x;Ž da cui si ha au = −đ?’ƒđ?’— e


đ?‘? đ?‘Ž

quindi si puo’ dire che u = − v. I due vettori sono quindi paralleli. Essi hanno il medesimo verso se a e b sono scalari discordi.

La dipendenza lineare di tre vettori di � 3 conduce alla nozione di complanarita’, risultando detti vettori giacenti sullo stesso piano.

Tre vettori đ?’—đ?&#x;? , đ?’—đ?&#x;? đ?‘’ đ?’—đ?&#x;‘ sono linearmente indipendenti se e’ vera la condizione đ?œ†1 đ?’—đ?&#x;? + đ?œ†2 đ?’—đ?&#x;? + đ?œ†3 đ?’—đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž solo quando esistono tre scalari đ?œ†1 , đ?œ†2 , đ?œ†3 tali che ( đ?œ†1 , đ?œ†2 , đ?œ†3 ) = (0, 0, 0) .

Queste osservazioni possono essere generalizzate ad uno spazio vettoriale qualunque di dimensione intera. Un vettore w di � � e’ detto combinazione lineare di n vettori se risulta:

w = Îť1 đ?’—1 + Îť2 đ?’—2 + â‹Ż . . +Îťđ?‘› đ?’—đ?’? .

Tale relazione puo’ essere eguagliata a đ?&#x;Ž.

Se Îť1 đ?’—1 + Îť2 đ?’—2 + â‹Ż . . +Îťđ?‘› đ?’—đ?’? = đ?&#x;Ž quando Îťđ?‘– = 0 ∀đ?‘– ≤ đ?‘› si dice che i vettori đ?’—đ?’Š sono linearmente indipendenti.

Quando invece Îť1 đ?’—1 + Îť2 đ?’—2 + â‹Ż . . +Îťđ?‘› đ?’—đ?’? = đ?&#x;Ž per almeno un Îťđ?‘– ≠0 si dice che i vettori đ?’—đ?’Š sono linearmente dipendenti.


Dato il carattere operativo di questo breve elaborato e’ sicuramente utile richiamare alcune semplici nozioni di algebra vettoriale a partire dalla nozione di versore, peraltro limitandosi allo spazio vettoriale reale a tre dimensioni.

Dato un vettore v il versore di esso e’ un vettore di lunghezza unitaria avente la stessa 1

direzione e lo stesso verso di v ed e’ espresso dalla formula �̂ = vv . In buona sostanza 1 v

1 v

1 v

le componenti cartesiane del versore del vettore v sono ( vx , vy , vz ), essendo v il modulo del vettore v .

Lo studio delle grandezze fisiche scalari (energia, lavoro, ad esempio), quelle la cui quantificazione avviene solo indicando il valore numerico riferito alla unita’ di misura assegnata, e’ semplificato dalla nozione di prodotto scalare di due vettori.

Date due grandezze vettoriali definite da due vettori u e v e’ possibile associare a tale coppia una grandezza scalare secondo particolari regole algebriche.

In effetti esistono due distinte formule che definiscono il prodotto scalare. Esse sono le seguenti:

u∙v = |u||v| cosđ?›ź

u∙v = đ?‘˘đ?‘Ľ đ?‘Łđ?‘Ľ + đ?‘˘đ?‘Ś đ?‘Łđ?‘Ś + đ?‘˘đ?‘§ đ?‘Łđ?‘§

Dalla prima delle due formule si evince chiaramente che u∙v = 0 quando essendo ambo i vettori diversi dal vettore nullo tali vettori sono perpendicolari (ortogonali) in


quanto in questo caso, a meno della periodicita’ della funzione, cos� = 0 ⇒ � =

đ?œ‹ 2

(in

rad.).

Il prodotto scalare di due vettori gode delle seguenti importanti proprieta’ formali utili operativamente:

u∙v = v∙u (commutativita’ del prodotto scalare)

(u+v)z = uz + vz (proprieta’ distributiva)

(au)(bv) = (ab) (u∙v) (linearita’ del prodotto scalare).

Se si considera la base ortonormale (i, j, k) allora risultano vere le seguenti relazioni:

i∙j = đ?‘— ∙ đ?‘˜ = đ?‘– ∙ đ?‘˜ = 0

i∙ đ?‘– = đ?‘˜ ∙ đ?‘˜ = đ?‘— ∙ đ?‘— = 1

Puo’ essere utile la seguente identita’:

(đ?‘Ž + đ?‘?) ∙ (đ?‘? + đ?‘‘) = đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘‘


E’ possibile definire una seconda operazione sui vettori detta prodotto vettoriale per la quale ad ogni coppia di vettori a e b e’ associato univocamente un terzo vettore, detto prodotto vettoriale di essi, indicato con il formalismo a×b, perpendicolare al piano dei dati vettori, avente lunghezza (o norma) |a||b|sin� , la direzione del vettore e’ quello della retta ortogonale al piano dei vettori a e b . Quanto al verso di tale prodotto occorre riferirsi al fatto che deve generarsi una terna , utilizzando la regola della mano destra.

Una notazione ampiamente utilizzata per il prodotto vettoriale e’ la seguente c = �⋀b.

Il prodotto vettoriale genera quindi un vettore le cui componenti scalari sono determinabili a partire dal determinante simbolico di Laplace.

Il determinante simbolico di Laplace e’ il seguente:

đ??˘ đ??Ł đ??¤ c = đ?’‚ Ă— đ?’ƒ = |đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘Žđ?‘§ | = (đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘?đ?‘§ − đ?‘Žđ?‘§ đ?‘?đ?‘Ś )đ?’Š + (đ?‘Žđ?‘§ đ?‘?đ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘?đ?‘§ )đ?’‹ + (ax by − ay bx )đ?’Œ đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Ś đ?‘?đ?‘§

Il prodotto vettoriale gode di notevoli proprieta’ a partire dalla anticommutativita’ per la quale đ?’‚ Ă— đ?’ƒ = −(đ?’ƒ Ă— đ?’‚).


Il prodotto vettoriale e’ distributivo risultando essere (đ?’– + đ?’—) Ă— đ?’ƒ = (đ?’– Ă— đ?’ƒ) + (đ?’— Ă— đ?’ƒ).

Una proprieta’ ulteriore del prodotto vettoriale e’ la linearita’ per la quale rđ?’‚ Ă— sđ?’ƒ = rs(đ?’‚ Ă— đ?’ƒ), essendo r ed s due scalari.

Occorre, a questo punto, dare la definizione di momento polare di un vettore. Nota la nozione di vettore applicato in un punto A, ovvero (v, A), il momento polare (che e’ una grandezza vettoriale) rispetto ad un punto Ί ≠đ??´, detto polo (o anche centro di riduzione) e’ il vettore libero m = đ?’“ Ă— đ?’— .

La figura sottostante ben rappresenta la situazione.

m

d

Il vettore m e’ per definizione ortogonale al piano definito dai vettori r e v, risultando il vettore r riferito al segmento orientato ΊA.

Il segmento di lunghezza d (ortogonale alla direzione della retta che individua il vettore applicato v) e’ detta braccio.

Risulta immediatamente che |m| = |đ?’“||đ?’—|đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ— = đ?‘‘đ?‘Ł.


Se il punto di applicazione A varia ma giacendo sulla retta passante per A ed avente la direzione del vettore libero v il momento non varia.

Puo’, quindi, essere introdotta la nozione di momento assiale. La figura e’ semplificata in quanto si puo’ ragionare nel piano (in un piano dato).

Tale grandezza non dipende dal polo Ί .

Il momento assiale rispetto ad un asse avente la direzione del versore u e’ lo scalare đ?‘šđ?‘˘ = (đ?’“ Ă— đ?’—)đ?’– nella quale đ?’“ = đ?œ´đ?‘¨ .

Invarianza delle componenti di un vettore La rappresentazione cartesiana di un vettore presuppone sempre che sia data una terna ortogonale di data origine O. Quindi date distinte terne destrorse, quindi distinte basi ortonormali (i, j, k) e (i’, j’, k’) e distinte origini O e O’, sono date distinte rappresentazioni del vettore v. Sotto queste ipotesi e’ necessario avere le formule di trasformazione che consentono di passare da una terna di componenti scalari all’altra.


Un esempio molto particolare di trasformazioni e’ gestibile elementarmente e riguarda il caso che gli assi x’, y’, z’ della prima terna siano paralleli e distinti rispetto agli assi x, y, z della prima. La figura sottostante giustifica ampiamente le successive formule di trasformazione.

OO’ = đ?‘š Le formule di trasformazione sono le seguenti: đ?’—′đ?’™ = đ?’—đ?’™ + đ?‘šđ?’™ đ?’—′đ?’š = đ?’—đ?’š + đ?‘šđ?’š đ?’—′đ?’› = đ?’—đ?’› + đ?‘šđ?’› E; molto utile riferirsi al caso della rotazione attorno ad uno dei tre assi che, quindi, deve considerarsi fisso. La figura sottostante illustra il caso della rotazione attorno all’asse k di un angolo đ??‘.


i

Dalla definizione di prodotto scalare di due vettori risulta agevolmente che: đ?’Š ∙ đ?’Šâ€˛ = đ?’‹ ∙ đ?’‹â€˛ = đ?’„đ?’?đ?’”đ??‘ đ??…

Si dimostra poi che đ?’‹ ∙ đ?’Šâ€˛ = đ?’”đ?’Šđ?’?đ??‘ in quanto đ?’Šâ€˛ ∙ đ?’‹ = đ?’„đ?’?đ?’”( đ?&#x;? − đ??‘) = đ??Źđ??˘đ??§(đ??‘) . La formula matriciale delle trasformazioni e’ la seguente: đ?’—′đ?’™ (đ?’Šđ?’Šâ€˛ )(đ?’‹đ?’Šâ€˛ ) (đ?’Œđ?’Šâ€˛ ) đ?’—đ?’™ ′ (đ?’—đ?’š ) = ((đ?’Šđ?’‹â€˛ ) (đ?’‹đ?’‹â€˛ ) (đ?’Œđ?’‹â€˛ )) ( đ?’—đ?’š ) đ?’—đ?’› (đ?’Šđ?’Œâ€˛ )(đ?’‹đ?’Œâ€˛ )(đ?’Œđ?’Œâ€˛ ) đ?’—;đ?’› I prodotti dei versori devono essere intesi quali prodotti scalari.


PARTE II – NOZIONI DI ANALISI MATEMATICA

Per gli scopi di questa sintesi e’ sufficiente considerare operativamente funzioni scalari nel dominio del tempo đ?‘“đ?‘Ľ (t), đ?‘“đ?‘Ś (t) e đ?‘“đ?‘§ (t) ordinariamente definite per t ≼ 0 . Si ammette che esse siano continue e doppiamente derivabili in ogni t ∈ ⌋0 , +∞) .

Senza troppi formalismi puo’ essere definita una funzione vettoriale associando ad ogni punto dello spazio euclideo munito di un sistema di riferimento cartesiano di origine O il vettore v (x, y, z, t) = �� (t)i + �� (t)j + �� (t)k .

La scrittura v (x, y, z, t) non deve essere intesa come sinonimo di vettore velocita’. Da un punto di vista cinematico tale vettore deve essere inteso quale una traiettoria, intesa come sequenza di posizioni nel tempo.

Poiche’ si ammette che le funzioni scalari di una variabile reale siano derivabili due volte e’ possibile considerare agevolmente le derivate prima e seconda della funzione v = (�, �, �, �).

In particolare si scrive

v’ (�� (t), �� (t), �� (t), t) =

�′� (t)i + �′� (t)j + �′� (t)k,

ricordando che l’apice ‘ indica la derivata prima rispetto al tempo (ad esempio đ?‘“′đ?‘Ľ (t)≥ đ?‘‘ đ?‘“ (t)). đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ľ

Analogamente si scrive v’’ (�′� (t), �′� (t), �′� (t), t) = �′′� (t)i + �′′� (t)j + �′′� (t)k .


Come si avra’ modo di approfondire se v (f(x, y, z, t) indica la traiettoria (corrispondentemente v (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 , đ?‘Ąđ?‘œ ) indica la posizione del corpo al tempo đ?‘Ąđ?‘œ ) allora v’ = v’ ( đ?‘“đ?‘Ľ (t), đ?‘“đ?‘Ś (t), đ?‘“đ?‘§ (t), t) e v’’ = v’’ ( đ?‘“′đ?‘Ľ (t), đ?‘“′đ?‘Ś (t), đ?‘“′đ?‘§ (t), t) indicano rispettivamente la velocita’ vettoriale e l’accelerazione vettoriale istantanee della particella in moto.

La notazione v’ scrivere che v’ =

deve essere intesa come derivata di v rispetto al tempo potendo đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

v.

Poiche’ le coordinate sono dipendenti dal tempo e’ sufficiente scrivere che v= v(t) e �2

đ?‘‘

conseguentemente che v’(t) = �� v(t) ed anche che v’’(t)= �� 2 v(t).

A partire dalla funzione vettoriale v= v(t) e’ possibile associare una funzione scalare v = v(đ??Ż(đ??­)) tale che tramite essa al vettore v(t) possa essere associata la norma |v(t)|, come definita nella parte I di questo elaborato.

In termini concreti e operativi se si ammette che v= v(t) indica la velocita’ vettoriale allora la norma |v(t)| rappresenta la velocita’ scalare istantanea.

Relativamente alle funzioni vettoriali sono validi alcuni teoremi relativi alle regole di derivazione che sono simili a quelli validi per le funzioni scalari.

In particolare risulta che:

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

đ?‘‘

a(t)v(t) = đ?‘Ž(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą đ??Ż(t) + đ?’—(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą a(t)


đ?‘‘ (đ??Ż(t) + đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘ (đ??Ż(t) ∙ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?’–(đ?‘Ą)) =

đ?‘‘ đ?‘‘ đ??Ż(t) + đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

đ?’–(đ?‘Ą)

đ?‘‘

đ?’–(đ?‘Ą)) = đ??Ż(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą đ??Ž(t) + đ?’–(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą đ??Ż(đ?‘Ą)

đ?‘‘ (đ??Ż(t) Ă— đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?’–(đ?‘Ą)) = (đ??Ż(đ?‘Ą) Ă— đ?‘‘đ?‘Ą đ??Ž(t)) + (đ?‘‘đ?‘Ą đ??Ż(đ?‘Ą) Ă— đ?’–(đ?‘Ą))

�i osservi incidentalmente che v(t) e’ una funzione vettoriale qualunque che non indica necessariamente la velocita’ vettoriale.

Per le funzioni vettoriali vale la seguente coimplicazione identicamente vera

đ?‘‘ đ??Ż(t) đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?&#x;Ž ⇔ đ??Ż(t) = cost. .

Una funzione che ad un punto dello spazio, nel caso di specie quello a tre dimensioni, fa corrispondere un vettore v(x,y,z) e’ detta campo vettoriale.

La funzione f che ad ogni punto (x,y,z) dello spazio tridimensionale consente di associare un valore (unico, se esiste‌.) f(x,y,z) e’ detta campo scalare.

Se f = f(x, y, z) e’ una funzione che ammette la derivata prima e la derivata seconda finita in ogni (x,y,z) del dominio di f e se si ammette che e’ x = đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘Ą), đ?‘§ = đ?‘§(đ?‘Ą) e’ possibile istituire un particolare campo vettoriale detto gradiente definendo un vettore le cui componenti sono le derivate parziali prime della funzione f = f(x, y, z) come segue: grad f = ( đ?œ• đ?œ• đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) + đ?œ•đ?‘§ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)) đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), đ?œ•đ?‘Ś đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), đ?œ•đ?‘§ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)) đ?œ•đ?‘Ľ

= ∇đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§).

=

đ?œ• đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) đ?œ•đ?‘Ľ

+


Il gradiente ∇đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) e’ ortogonale alla superficie đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§).

Una particolare funzione vettoriale e’ v(P) = đ?’‚ Ă— đ?‘śđ?‘ˇ, dove a e’ un qualunque vettore non nullo cioe’ se ci si riferisce allo spazio euclideo ordinario in tre dimensioni a ≠(0,0,0) . v(0) = đ?&#x;Ž ed in generale v(P) = đ?&#x;Ž quando P≠đ?‘‚ ∀ P | P ∈ đ?‘&#x; ′ essendo r’ la retta parallela alla retta r che definisce la direzione del vettore a.

La retta luogo dei P per i quali v(P) = đ?&#x;Ž e’ detta asse centrale del campo.

Da ultimo e’ necessaria la distinzione tra vettore libero e vettore applicato in un punto P.

La nozione di vettore libero e’ quella gia’ introdotta. Per quanto riguarda i vettori applicati questi possono essere intesi come una coppia costituita da un vettore libero v e da un punto P, detto punto di applicazione.

In altri termini tra gli infiniti segmenti orientati appartenenti alla classe di cui il vettore libero v e’ il rappresentante ne viene individuato uno particolare, applicato nel punto P.

Il vettore applicato in P sara’ AP ed il punto ausiliario A e’ univocamente determinato quando e’ dato P ed il vettore libero v.

Per gli sviluppi si rimanda alla manualistica (Benvenuti, Maschio, per esempio).


Se sono dati due punti đ?‘ƒ1 đ?‘’ đ?‘ƒ2 e’ immediato definire la distanza euclidea tra essi, avendo che:

||đ?‘ƒ1 đ?‘ƒ2 || = √(đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2 + (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 + (đ?‘§2 − đ?‘§1 )2

E’ agevole introdurre i cosiddetti coseni direttori di una retta.

Dato un vettore a = (đ?‘Žđ?‘Ľ , đ?‘Žđ?‘Ś , đ?‘Žđ?‘§ ) il prodotto scalare i∙ đ?’‚ = (1, 0, 0) (đ?‘Žđ?‘Ľ , đ?‘Žđ?‘Ś , đ?‘Žđ?‘§ ) = đ?‘Žđ?‘Ľ .

Ma dalla seconda formula del prodotto scalare si ha i∙ đ?’‚ = |đ?‘–||đ?‘Ž|đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?›ź da cui in modo đ?‘Ž

immediato si ottiene cos� = |�|� . �

đ?‘Ž

In modo analogo si ottengono cos� = |�|� e cos� = |�|� .

Elevando al quadrato e sommando membro a membro i tre coseni si ottiene una notissima relazione, cioe’: (đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?›ź)2 + (đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?›˝)2 + (đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?›ž)2 = 1

E’ possibile definire un versore unitario �� avente la medesima direzione di a. Esso viene

scritto

đ?’–đ?’‚ = (cosÎą)đ?’Š + (cosβ)đ?’‹ + (cosÎł)đ?’Œ .

rappresentazione vettoriale della retta nello spazio.

a

đ?‘&#x;0

r - đ?‘&#x;0

r

Puo’

risultare

utile

la


L’equazione vettoriale della retta e’:

đ?’“ − đ?’“đ?&#x;Ž = đ?‘˜đ?’‚ La retta considerata passa per i punti đ?‘ƒ0 đ?‘’ đ?‘ƒ.

La relazione vettoriale viene esplicitata come segue:

(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 )đ?’Š + (đ?‘Ś − đ?‘Ś0 )đ?’‹ + (đ?‘§ − đ?‘§0 )đ?’Œ = k(ax + ay + az )

Eguagliando le componenti scalari omologhe si ha:

đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 = kax da cui k =

đ?‘Ľ −đ?‘Ľ0 ax

Analogamente si ottiene k =

.

đ?‘Ś −đ?‘Ś0 ay

ed anche k =

đ?‘§ −đ?‘§0 az

.

In definitiva si ottiene l’equazione della retta in forma scalare: đ?‘Ľ −đ?‘Ľ0 ax

=

đ?‘Ś −đ?‘Ś0 ay

=

đ?‘§ −đ?‘§0 az

.

đ?‘Ž

đ?‘Ž

đ?‘Ž

Si puo’ affermare che i coseni direttori della retta sono (|�|� , |�|� , |�|� ) .

Un piano đ?œ‹ passante per đ?‘ƒ0 = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) e’ il luogo dei punti dello spazio appartenenti all’insieme delle rette perpendicolari ad una retta la cui direzione e’ quella del vettore a.

L’equazione del piano e’: (đ?’“ − đ?’“đ?&#x;Ž )đ?’‚ = 0 .


Si puo’ concludere questa parte con la definizione di curva sghemba arrivando alla equazione della retta tangente ad essa in un punto qualsiasi di essa (x, y, z) essendo noto che (�0 , �0 , �0 ) e’ un punto dato di essa.

Sia tale curva sghemba data dal formalismo �(�) = (� = �(�), � = �(�), � = �(�)) avendo le tre funzioni scalari � = �(�), � = �(�), � = �(�) derivabili con le due prime derivate continue.

Sia

đ?‘‘đ?’“ đ?‘‘đ?‘

il vettore tangente la curva come si evince da questa figura.

t

R e’ il vettore posizione sulla retta tangente in P 0 = (�0 , �0 , �0 ) .

L’equazione vettoriale della retta avente la direzione di t e’ la seguente:

R − đ?’“ = kđ?’• , essendo k un numero reale.

In termini scalari si puo’ scrivere che: đ?’™đ?&#x;Ž −đ?’™ đ?’…đ?’™ đ?’…đ?’”

=

đ?’šđ?&#x;Ž −đ?’š đ?’…đ?’š đ?’…đ?’”

=

đ?’›đ?&#x;Ž −đ?’› đ?’…đ?’› đ?’…đ?’”

In ogni punto di đ?›ž e’ dato un versore n ortogonale a t . Tali versori individuano un piano detto piano normale di equazione (đ??‘ − đ??Ť)đ??­ = 0 . Il versore normale n ha la đ?‘‘đ?’•

đ?‘‘đ?’•

direzione di đ?‘‘đ?‘ e si dimostra che đ?‘‘đ?‘ = |đ??ž|đ?’? .


In altri termini n=

1 đ?‘‘đ?’• |đ??ž| đ?‘‘đ?‘

. Tale vettore e’ detto normale principale in P.

Viene definito infine un vettore unitario b = đ?’• Ă— đ?’? detto binormale in P.

∀đ?‘ƒ|đ?‘ƒ ∈ đ?›ž: ∄đ?œ‹|{đ?œ‹} âˆŞ {đ?›ž} ≠{đ?œ‹}∃(đ?’ƒ, đ?’•, đ?’?)| b = đ?’• Ă— đ?’? ≠đ?&#x;Ž

Ricapitolando, possono essere scritte le equazioni di tre piani che contengono il punto P della curva � .

(R −đ?’“)đ?’ƒ = O (piano osculatore)

(R −đ?’“)đ?’• = O (piano normale)

(R −đ?’“)đ?’? = O (piano rettificante).

R e’ il vettore posizione del punto đ?‘ƒ0 = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) .

Poiche’ non mancano formule nelle quali e’ impiegata la nozione di curvatura e’ bene darne la nozione.

Data una curva y = �(�) la curvatura e’ un parametro puntuale cioe’ e’ riferita ad un punto P ≥ (�0 , �0 ) di � , luogo definito da f(x,y)= 0 .


Senza entrare in dettagli la formula e’ la seguente e utile a comprendere il significato e’ la sottostante figura.

In formula si scrive k =

đ?‘‘đ?œ? đ?‘‘đ?‘

=

∆đ?œ? lim ∆đ?‘ →0 ∆đ?‘

=

đ?‘‘2 đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ś 2 3 ) ) đ?‘‘đ?‘Ľ

√(1+(

Dalla definizione di curvatura si perviene a quella di raggio di curvatura R che risulta 1

essere R = |đ?‘˜| .

Dato un punto P di � tale che in esso la curvatura sia k allora si considera un cerchio 1

di raggio R = |đ?‘˜| tantenge la curva đ?›ž nel punto P.

Tale cerchio e’ detto osculatore.

A questo punto e’ utile sviluppare ulteriormente le nozioni di curva nel piano e di curva nello spazio date dall’Analisi.

Per curva del piano si intende il luogo dei punti (x, y) tali che sia f(x, y)= 0.


Ad esempio un classico luogo del piano e’ dato dalla circonferenza avente il centro nell’origine, cioe’ nel punto (0, 0) , e di raggio r, di equazione cartesiana đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − đ?‘&#x; 2 = 0.

Dalla geometria analitica dello spazio e’ noto che f(x,y,z)= 0 definisce una superficie.

Una curva dello spazio puo’ essere intuitivamene pensata come l’intersezione di due distinte superfici, espresse analiticamente dalle relazioni

�(�, �, �) = 0 { �(�, �, �) = 0

Curva dello spazio e’ una funzione đ?›ž: đ??ź ⊂ đ?‘… → đ?‘… 3 risultando đ?›ž(đ?‘Ą) immagine di un t ∈đ??ź.

Si scrive �(�) = (�(�), �(�), �(�)) . Le tre funzioni scalari sono dette equazioni parametriche di � .

�(�), �(�), � �(�) sono funzioni di I ⊂ R → � (sono, in buona

sostanza, le funzioni reali di una variabile reale, nelle quali la variabile indipendente e’ il tempo).

L’insieme dei punti { �(�) = (�(�), �(�), �(�)) } e’ detta sostegno della curva �.

Il sostegno di una curva in termini cinematici corrisponde alla traiettoria.

Sono date due ipotesi cioe’ che esista un piano đ?œ‹ tale che { đ?›ž(đ?‘Ą) = (đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą), đ?‘§(đ?‘Ą)) }, e si parla, conseguentemente, di curva piana, risultando

{

đ?œ‹} ∊ { đ?›ž(đ?‘Ą) =


(đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą), đ?‘§(đ?‘Ą)) } ={ đ?›ž(đ?‘Ą) = (đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą), đ?‘§(đ?‘Ą)) } oppure non esiste alcun piano đ?œ‹ per il quale sia vero đ?›ž ∈ đ?œ‹, risultando tale curva (piu’ propriamente il sostegno) sghemba.

In questo caso se { đ?œ‹} indica l’insieme dei punti del piano đ?œ‹ allora { đ?œ‹} âˆŞ{ đ?›ž(đ?‘Ą)} ≠{ đ?œ‹} , ∀đ?œ‹ .

Quanto alla condizione per la quale una curva sia sghemba l’inesistenza di un piano đ?œ‹ tale che {đ?›ž} ∊ {đ?œ‹} ≠{đ?›ž} ≠∅ va intesa nel senso che ogni piano dello spazio e’ tale che tale relazione sia vera.

Infatti, tale condizione potrebbe essere vera per un piano particolare ma la curva potrebbe essere planare, ove si consideri un distinto piano đ?œ‹2 che interseca đ?œ‹ come nell’esempio seguente.

E’ proprio il caso della � costituita dalle due semirette di comune origine O passante per i punti A e B di due distinti piani.

La curva non e’ sghemba in quanto esiste un piano che contiene i punti O, A e B

Se si complica la figura e’ possibile disegnare una curva sghemba, come nell’esempio seguente.


Come nell’esempio precedente i tratti giacenti sui due piani devono essere intesi rettilinei, mentre il tratto successivo non lo e’.

Tre punti non allineati (A,B, C) definiscono un piano e quindi distinte terne di punti non allineati definiscono distinti piani.

Nel caso di curve costituite da tratti non rettilinei, rimuovendo quindi l’ipotesi della prima figura e rendendo le due semirette curve non rettifile e’ immediato convincersi che esistono infinite terne di punti tutte aventi O come punto comune che definiscono infiniti distinti piani. Dal che discende la non planarita’ della curva considerata.

Il seguente esempio dovrebbe chiarire la situazione.


La terna di punti non allineati (A, O,B) definisce un piano, mentre la terna (A’, O, B’) definisce un distinto piano. Dal che la curva non e’ contenuta in un piano‌. Quindi e’ sghemba.

Un esempio fondamentale di curva parametrica e’ la cosiddetta elica cilindrica (o scala đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ą) elicoidale) di equazioni { đ?‘Ś(đ?‘Ą) = đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ą) đ?‘§(đ?‘Ą) = đ?‘˜đ?‘Ą

nelle quali t rappresenta l’indeterminata tempo e k e’ una costante sperimentale.

Sia data una curva dello spazio cartesiano a tre dimensioni, rappresentabile, come gia’ detto come segue:

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = 0 essendo f e g due funzioni definite in un aperto A ⊂ đ?‘… 3 mentre x, y, z { đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = 0 sono tre funzioni della variabile t | t ∈ đ??ź (risulta, ad esempio, x = đ?‘Ľ(đ?‘Ą) ) .

Tali funzioni hanno derivate continue in I e risulta (x’(t), y’(t), z’(t)) ≠(0,0,0) ∀đ?‘Ą ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?).

Verificate queste condizioni si parla di curva regolari.

Data una curva e’ possibile stabilire un verso di percorrenza. Una curva rispetto alla quale e’ stato instaurato un verso di percorrenza e’ detta orientata. Tale verso di percorrenza e’ assunto arbitrariamente come positivo.


Una curva e’ detta semplice se per ogni coppia (�1 , �2 ) tale che �1 ≠�2 risulta che �(�1 ) ≠�( �2 ).

Se per I = ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ si ha đ?›ž(đ?‘Ą1 ) = đ?›ž( đ?‘Ą2 ) si dice che la curva e’ chiusa.

đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘Ą) Data una curva semplice e regolare di equazioni parametriche {đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘Ą) con t ∈ ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ đ?‘§ = đ?‘§(đ?‘Ą) risultando che le derivate prime delle tre funzioni scalari esistono finite in ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ la lunghezza

L

della

curva

�

di

estremi

a

e

b

risulta

essere

L

=

đ?‘?

âˆŤđ?‘Ž √đ?‘Ľâ€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘Śâ€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘§â€˛(đ?‘Ą)2 dt. Ricordando che đ?›ž(đ?‘Ą) = (đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą), đ?‘§(đ?‘Ą)) su puo’ ulteriormente scrivere che:

đ?‘?

L = âˆŤđ?‘Ž || đ?›žâ€˛(đ?‘Ą)|| dt. Ove poi si consideri l’estremo inferiore di integrazione alla stregua di una costante e si consideri variabile l’estremo superiore e’ possibile introdurre la funzione ascissa curvilinea definita come segue: đ?‘Ą

L(t) = âˆŤđ?‘Ž || đ?›žâ€˛(đ?œ?)|| dđ?œ? . E’ infine necessario ricordare la nozione di integrale curvilineo.


Sia f : A ∈ đ?‘… 3 → đ?‘… essendo A un aperto ed essendo assegnata una funzione đ?›ž il cui đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘Ą) sostegno sia semplice e regolare di equazioni parametriche {đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘Ą) essendo đ?‘§ = đ?‘§(đ?‘Ą) considerate nella restrizione t ∈ ⌋đ?‘Ž, đ?‘?âŚŒ.

L’integrale curvilineo e’ definito come segue:

đ?‘?

âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?›ž(đ?‘Ą))||đ?›ž ′ (đ?‘Ą)||đ?‘‘đ?‘Ą essendo đ?›ž(đ?‘Ą) = (đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą), đ?‘§(đ?‘Ą)).

In forma concisa tale integrale viene scritto âˆŤđ?›ž đ?‘“ đ?‘‘đ?‘ .

đ?‘‘đ?‘

Per passare da una forma all’altra e’ sufficiente ricordare che �� = ||� ′ (�)||. Operativamente gli estremi di integrazione sono gli estremi di I, quindi a e b, termine iniziale e termine finale.

Gli integrali curvilinei riferiti ad una curva C sono spesso rappresentati in forma vettoriale, una forma ritenuta piu’ concisa e operativa (Spiegel).

Tale notazione e’ la seguente:

âˆŤđ?‘? đ?‘¨ đ?‘‘đ?’“ âˆŤđ?‘? đ??´1 đ?’Š + đ??´2 đ?’‹ + đ??´3 đ?’Œ)(đ?‘‘đ?‘Ľđ?’Š + đ?‘‘đ?‘Śđ?’‹ + đ?‘‘đ?‘§đ?’Œ)

đ??¸â€˛ utile una piccola digressione sulla nozione di campo vettoriale prima di chiudere la parte con l’enunciato del teorema fondamentale degli integrali di linea.


Sia A ⊂ đ?‘… 3 . Ad ogni (x,y,z) di A e’ associato un vettore F(x,y,z) = đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Š + đ?‘„(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’‹ + đ?‘…(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Œ .

La relazione che ad ogni punto di A fa corrispondere F(x,y,z) e’ – come gia’ detto – campo vettoriale.

Se e’ vera la relazione F(x,y,z) = grad f(x,y,z) = ∇ f(x,y,z) cioe’ se esiste una funzione f(x,y,z) il cui gradiente e’ F(x,y,z) , di dice che f(x,y,z) e’ il potenziale di F(x,y,z).

Il potenziale e’ un campo scalare in quanto fa corrispondere al punto (x,y,z) il valore f(x,y,z).

Il campo F(x,y,z) e’ detto campo conservativo.

Concludo la parte con l’enunciato formale del teorema fondamentale degli integrali di linea.

âˆŤđ?‘? đ?‘­ đ?’…đ?’“ = âˆŤđ?‘? ∇đ?‘“ đ?‘‘đ?’“ = đ?‘“(đ?‘&#x;(đ?‘?) − đ?‘“(đ?‘&#x;(đ?‘Ž)) = đ?‘“(đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ) − đ?‘“(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ).

Integrazione di vettori Dato un vettore F= (đ?’™(đ?’•). đ?’š(đ?’•), đ?’›(đ?’•)) e’ possibile definire un vettore G = ( âˆŤ đ?’™(đ?’•)đ?’…đ?’• + đ?’„đ?&#x;? , condizioni iniziali.

âˆŤ đ?’š(đ?’•)đ?’…đ?’• + đ?’„đ?&#x;? , âˆŤ đ?’›(đ?’•)đ?’…đ?’• + đ?’„đ?&#x;‘ ) Le đ?’„đ?’Š esprimono le


Ulteriormente (Spiegel) dato un vettore F = đ?‘­(đ?’–) ove u e’ una funzione scalare e’ possibile definire đ?‘­â€˛(đ?’–) risultando âˆŤ đ?‘­â€˛ (đ?’–)đ???đ??Ž + đ??œ , essendo c indipendente dalla funzione. đ?’ƒ

Si puo’ scrivere che: âˆŤđ?’‚ đ?‘­â€˛ (đ?’–)đ???đ??Ž = ⌋đ?‘­(đ?’–)âŚŒđ?’ƒđ?’‚ = đ?‘­(đ?’ƒ) − đ?‘­(đ?’‚)

Molti problemi di meccanica razionale consistono nello studio di moti che avvengono in un piano e che per questa ragione sono detti moti planari.

Nel piano, come gia’ si e’ detto, una curva (recte: il sostegno di essa) e’ l’insieme dei punti (x,y) tali che f(x, y) = 0 .

Nelle applicazioni poi si si fa spesso ricorso alla rappresentazione parametrica di curva, introducendo una variabile che ordinariamente, come e’ noto, e’ il tempo t.

In buona sostanza di pone x = đ?‘Ľ(đ?‘Ą) e y = y(t).

Cio’ posto, ordinariamente si considerano funzioni doppiamente derivabili in un dato I con derivate ivi continue.

Cio’ posto esistono le derivate prime delle due funzioni rispetto a t e si scrive che:

đ?‘‘

x’(t)= ��x(t) �

y’(t)= �� �(t)


In termini di composizione dei moti, essendo la traiettoria y = đ?‘“(đ?‘Ľ) il moto risultante, non va inteso che y(t) sia dipendente da x(t).

đ?‘‘đ?‘Ś

In ogni caso, usando la notazione di Leibnitz, si ricava đ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ľ

.

Analogamente si puo’ operare in riferimento alla derivata seconda.

Derivazione di vettori E’ sicuramente utile considerare il caso nel piano, considerando quindi il moto planare, ovvero con una traiettoria đ?œ¸ appartenente ad un dato piano, solitamente il piano xy. In questo caso in un dato istante đ?’•đ?&#x;Ž il vettore posizione e’: r(đ??­ đ?&#x;Ž ) = đ??ą(đ??­ đ?&#x;Ž )đ?’Š + đ??˛(đ??­ đ?&#x;Ž )đ?’‹ Nella manualistica (Spiegel) si fa distinzione tra vettori liberi e vettori applicati. Ordinariamente r indica un vettore applicato in P, associato al segmento orientato OP. Si fa distinzione quindi, come peraltro gia’ ricordato, tra il vettore applicato r = đ??šđ?’Š + đ??›đ?’‹ e vettore libero c = đ??šđ?’Š + đ??›đ?’‹ . Un vettore applicato puo’ essere espresso con il formalismo (v, O) oppure (v, P). Il punto di applicazione puo’ essere O oppure P. In ogni caso dato il vettore libero v e’ definita la direzione e il verso ed anche ||v||.


Pertanto noto un punto O (oppure P) e’ univocamente definito il secondo punto P (oppure Q). Dato il vettore r tangente la curva đ?œ¸ in un punto P di essa. Si puo’ compendiare il tutto in questa figura.

đ?’…đ?’“

đ?’…đ?’™

đ?’…đ?’š

Si ha đ?’…đ?’• = đ?’…đ?’™ đ?’Š + đ?’…đ?’• đ?’‹ Il vettore

đ?’…đ?’“ đ?’…đ?’•

ha la direzione della retta tangente la curva nel punto P.

Si osservi che đ??­đ??šđ??§ đ??‘ =

đ?’…đ?’š đ?’…đ?’™

misura la pendenza della curva in P.

In altri termini il vettore

đ?’…đ?’“ đ?’…đ?’•

la risultante dei vettori

đ?’…đ?’™ đ?’…đ?’š đ?’Š đ??ž đ?’…đ?’• đ?’‹. đ?’…đ?’•

viene scomposto in unico modo e risulta

đ?’…đ?’š đ?’‹ đ?’…đ?’• đ?’…đ?’™ đ?’Š đ?’…đ?’™


Immediatamente, applicando Pitagora, si ha: đ?’…đ?’“ | đ?’…đ?’•

|

đ?’…đ?’™ đ?’…đ?’•

đ?’…đ?’š đ?’…đ?’•

= √( )đ?&#x;? + ( )đ?&#x;? =

đ?’…đ?’” đ?’…đ?’•

đ?’…đ?’“

đ?’…đ?’™

đ???đ??˛

Puo’ essere quindi definito un versore t = đ?’…đ?’” = đ?’…đ?’” đ?’Š + đ???đ??Źj Che si tratti di un versore lo si prova immediatamente in quanto đ?’…đ?’“

đ?’…đ?’™

đ?’…đ?’š

đ?’…đ?’™

đ?’…đ?’š

| đ?’…đ?’” | = √(đ?’…đ?’” )đ?&#x;? + ( đ?’…đ?’” )đ?&#x;? = đ?&#x;? atteso che (đ?’…đ?’” )đ?&#x;? + ( đ?’…đ?’” )đ?&#x;? = (đ?’…đ?’”)đ?&#x;? (đ?’…đ?’”)đ?&#x;?

(đ?’…đ?’™)đ?&#x;? +(đ?’…đ?’š)đ?&#x;? (đ?’…đ?’”)đ?&#x;?

=

=đ?&#x;?

t e’ detto versore tangente in P.

Derivata di un vettore costante Dato un vettore a= đ?’‚(đ?’•) tale che |a|= đ?’„đ?’?đ?’”đ?’•. ≠đ?&#x;Ž . Si dimostra che i vettori a e đ?’…đ?’‚ đ?’…đ?’•

sono ortogonali.

Per dimostrare che i due vettori sono ortogonali si ricorre al seguente teorema, gia’ enunciato: � ��

(đ?’‚ ∙ đ?’‚) = đ?’‚

đ?’…đ?’‚ đ?’…đ?’•

đ?’…đ?’‚

đ?’…đ?’‚

+đ?’‚ đ?’…đ?’• =đ?&#x;?đ?’‚ đ?’…đ?’•

Poiche’ đ?’‚ e’ costante allora a đ?’† đ?’Œ > đ?&#x;Ž e đ?’’đ?’–đ?’Šđ?’?đ?’…đ?’Š

đ?’… đ?’…đ?’•

(đ?’‚ ∙ đ?’‚) ≥

đ?’…đ?’‚ đ?’…đ?’•

đ?’… (k) đ?’…đ?’•

devono essere ortogonali perche’ (đ?’‚ ∙ đ?’‚) = =đ?&#x;Ž.


Un ultimo aspetto che puo’ risultare utile e’ la cosiddetta derivazione implicita.

La notazione f(x,y)= 0 definisce y come funzione implicita della x (Ayres Jr.).

Ad esempio, l’equazione đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘? − 2 = 0 definisce una y = đ?‘“(đ?‘Ľ). Infatti si puo’ scrivere đ?‘Žđ?‘Ľđ?‘Ś = 2 − đ?‘? − đ?‘Ľ e quindi đ?‘Ś =

2−đ?‘?−đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ľ

dovendo essere a ≠0, definita per ogni

x tale che x ≠0.

Senza i passaggi dati e’ possibile derivare direttamente la relazione đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘? − 2 = 0 rispetto alla x come segue:

đ?‘‘ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

+

đ?‘‘ đ?‘‘ (đ?‘Žđ?‘Ľđ?‘Ś) + (đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ś

− 2) =

đ?‘‘ 0 đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ

1 + đ?‘Ž(đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ)= 0 đ?‘‘đ?‘Ś

1 + đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘Ś = 0 đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = −(1 + đ?‘Žđ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

=−

1+đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘Žđ?‘Ľ

In modo analogo possono essere trovate le derivate di ordine superiore.


La nozione di differenziale di una funzione e la notazione del differenziale di una funzione composta

Sia đ?’™đ?&#x;Ž un punto del dominio di una funzione f ivi continua e derivabile. Il differenziale della funzione f(.) in detto punto indicato con il formalismo d f(đ?’™đ?&#x;Ž ) e’ dato da d f(đ?’™đ?&#x;Ž ) = đ?’‡â€˛(đ?’™đ?&#x;Ž )∆đ?’™. Solitamente si considera la relazione d f(đ?’™đ?&#x;Ž ) = đ?’‡â€˛ (đ?’™đ?&#x;Ž )đ?’…đ?’™ ottenuta ponendo ∆đ?’™ → đ?&#x;Ž+. Ferme restando le considerazioni sull’invarianza

1

(Mencuccini, Silvestrini) il

differenziale di una funzione di funzione (cosiddetta funzione composta) puo’ essere ottenuto con immediatezza a partire dal teorema della derivata di una funzione composta, potendo quindi scrivere che d f(x(t)) = ⌋f’(x(t)âŚŒx’(t)dt

1

Si afferma che il differenziale df di una funzione e’ invariante per cambiamento della variabile .


PARTE III – CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

La cinematica del punto materiale studia il moto di corpi le cui dimensioni sono trascurabili, in termini di ordini di grandezza, rispetto alle altre grandezze coinvolte nel moto, specie le distanze, senza indagare sulle cause che lo determinano. Quindi sotto queste particolari condizioni un corpo esteso ben puo’ essere rappresentato nel modello matematico come un punto materiale (o particella).

Il moto di un corpo viene in ogni caso sempre descritto con riferimento ad un particolare sistema di riferimento cartesiano ortogonale e con riferimento alla variabile tempo . La nozione di tempo e di intervallo temporale tra eventi e’ da intendere in senso assoluto nel senso che distinti osservatori, qualunque siano le loro condizioni di moto relativo, daranno la stessa misura di un intervallo temporale tra due eventi.

In definitiva se un osservatore constata che tra due eventi intercorre un dato ∆đ?‘Ą allora ogni altro osservatore distinto da esso dira’ che tra gli eventi intercorre un intervallo ∆đ?‘Ąâ€˛ = ∆đ?‘Ą .

Cio’ vale anche quando si considera la durata di un evento.

Il tempo non dipende dal sistema di riferimento che si considera ne’ dalle condizioni di moto relativo di un osservatore rispetto ad un altro.


Assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico dello spazio euclideo a tre dimensioni ogni punto di esso corrisponde ad una terna cartesiana ordinata (x, y, z).

Occorre partire dal vettore posizione che indica la posizione della particella nel tempo.

Tale vettore, indicato in grassetto, viene indicato con il seguente formalismo:

OP= xi +đ?‘Śđ?’‹ + đ?‘§đ?’Œ

Il vettore OP puo’ essere studiato nel dominio del tempo.

La traiettoria viene formalizzata come segue:

OP(t) = x(t)i +đ?‘Ś(đ?‘Ą)đ?’‹ + đ?‘§(đ?‘Ą)đ?’Œ

Si e’ scritto x(t), y(t) e z(t) ad evidenziare la dipendenza dal tempo.

Si tratta delle tre leggi orarie riferite ai tre assi, ognuna delle quali indipendente dalle altre due.

Ordinariamente i, j, k sono i versori ortonormali. Ad esempio j = (0, 1, 0).

Il numero delle coordinate indipendenti, tre, e’ anche detto numero dei gradi di liberta’.

Nella descrizione del moto e’ possibile utilizzare l’ascissa curvilinea.

In questo caso la traiettoria del moto e’ data dall’equazione s = đ?‘ (đ?‘Ą) che definisce una curva dello spazio tridimensionale.


In questo caso il numero dei gradi di liberta’ e’ uno.

Viene quindi definito il vettore spostamento inteso come vettore differenza tra i vettori posizione riferiti agli istanti t e t +∆đ?‘Ą.

In termini formali il vettore spostamento viene indicato come:

∆đ?’“ = đ?’“(đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą) − đ?’“(đ?‘Ą)

E’ possibile dare di tale vettore la seguente rappresentazione grafica.

r(t)

∆r

traiettoria

r(t+∆đ?‘Ą)

La distanza percorsa nel tempo ∆đ?‘Ą risulta essere data dalla lunghezza dell’arco percorso đ??ľ

(traiettoria). Tale lunghezza e’ âˆŤđ??´ đ?‘‘đ?‘ essendo A e B sono rispettivamente il punto di partenza e il punto di arrivo sulla traiettoria s.

Dalla nozione di spostamento vettoriale si perviene immediatamente a quella di velocita’ vettoriale – grandezza vettoriale – definita come segue:

v=

∆đ?’“ ∆đ?‘Ą

.


I vettori v e ∆đ?’“ hanno la stessa direzione e lo stesso verso. Si tratta di vettori linearmente dipendenti.

∆đ?’“

La grandezza | ∆đ?‘Ą | e’ detta velocita’ scalare e la sua equazione dimensionale e’ del tipo ⌋đ??ż1 đ?‘‡ −1 đ?‘€0 âŚŒ . Nel sistema internazionale di misure (S.I.) la velocita’ viene misurata in đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘?

.

Sicuramente piu’ utile e’ il riferimento alla velocita’ istantanea intesa come il limitedella velocita’ quando si fa tendere a 0 l’intervallo di tempo ∆đ?‘Ą.

đ?’—đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą = lim

∆đ?’“

∆đ?‘Ąâ†’0 ∆đ?‘Ą

In pratica đ?’—đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą puo’ essere scritto nel modo seguente: đ?‘‘

đ?‘‘đ?’“

đ?’—đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą = đ?‘‘đ?‘Ą (∆đ?’“) = đ?‘‘đ?‘Ľ . Anche questa grandezza puo’ essere intesa, oltre che come vettoriale, anche in termini scalari scrivendo che đ?‘Łđ?‘–đ?‘ đ?‘Ą = |đ?’—đ?‘–đ?‘ đ?‘Ą | .

Nella pratica la velocita’ istantanea v(t) puo’ essere rappresentata dalle componenti delle velocita’ lungo le tre direzioni (assi cartesiani x, y, z). Analoga considerazione vale per il vettore r(t) che descrive la traiettoria del corpo puntiforme nel dominio del tempo.

In estrema sintesi si puo’ scrivere:


đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ed anche v(t) = ( x(t),

đ?‘‘ đ?‘‘ y(t), z(t)) đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

.

In meccanica, per prassi risalente a Sir Isaac Newton, le derivate vengono sinteticamente rappresentate apponendo un puntino sopra la funzione scalare e pertanto il formalismo introdotto puo’ essere modificato come segue:

v(t) = (�̇ (t), �̇ (t), �̇ (t) )

Qualora dovesse essere necessario calcolare il modulo della velocita’ si puo’ usare la notissima formula | v(t)| = √(đ?‘ĽĚ‡ (t))2 + (đ?‘ŚĚ‡ (t))2 + (đ?‘§Ě‡ (t))2 .

Come gia’ accennato una particolare modalita’ di rappresentazione formale del moto e’ quello dell’ascissa curvilinea, cioe’ utilizzando la relazione s = đ?‘ (đ?‘Ą), essenso s una curva dello spazio tridimensionale.

E’ alquanto intuitivo che considerando un punto A del luogo s sia definibile un verso positivo e che la posizione del corpo puntiforme vincolato a muoversi su s sia definibile in termini di lunghezza dell’arco di curva descritta. Il luogo s viene detto “spazio� o “ascissa curvilinea� ed il punto A “origine degli spazi� (Zeuli).

La relazione funzionale s = s(t) e’ detta legge del moto.

Dato un punto A cui corrisponde il valore di ascissa pari a 0 (convenzionalmente) si associa a tale posizione il tempo iniziale đ?‘Ą0 , avendosi la condizione iniziale s(đ?‘Ą0 ) = 0 .


đ?‘Ą

Cio’ premesso si puo’ scrivere che s(t) = âˆŤđ?‘Ą √(đ?‘ĽĚ‡ (đ?œ?))2 + (đ?‘ŚĚ‡ (đ?œ?))2 + ( đ?‘§Ě‡ (đ?œ?))2 dđ?œ? . 0

Molte volte e’ sufficiente descrivere il moto nel piano e in questo caso il precedente formalismo diviene:

đ?‘‘

đ?‘‘

r(t) = (x(t), 0 , z(t)) ed anche v(t) = ( đ?‘‘đ?‘Ą x(t), 0, đ?‘‘đ?‘Ą z(t)) , quando si ammetta, per esempio, che il moto si svolga nel piano xz.

Si avra’ modo di considerare esempi di moti che avvengono nel piano utilizzando le coordinate polari.

Continuando nella trattazione del moto in coordinate cartesiane partendo dalla relazione v(t) = (đ?‘ĽĚ‡ (t), đ?‘ŚĚ‡ (t), đ?‘§Ě‡ (t) ) si puo’ osservare che se le tre componenti scalari della velocita’ sono costanti nel tempo, cioe’ se đ?‘ĽĚ‡ (t) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą1 đ?‘ŚĚ‡ (t) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą2 , đ?‘§Ě‡ (t) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą3 allora risulta

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

In altri termini

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

v(t) = đ?&#x;Ž.

v(t) = đ?’—′(đ?‘Ą) = đ?&#x;Ž ⇔ đ?’—′(đ?‘Ą) = (0, 0, 0) per ogni t, quindi

identicamente.

Nel caso sia

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

v(t) ≠đ?&#x;Ž il moto si dice accelerato. La grandezza đ?’—′ (đ?‘Ą) ≠đ?&#x;Ž e’

ordinariamente chiamata accelerazione vettoriale istantanea. Si osservi che il simbolo đ?&#x;Ž e’ da intendere in termini vettoriali quindi đ?&#x;Ž = (0, 0, 0) .


Nei termini piu’ generali viene introdotta una grandezza detta accelerazione vettoriale nel modo seguente:

a=

đ?’—(đ?‘Ą+∆đ?‘Ą)−đ?’—(đ?‘Ą) ∆đ?‘Ą

.

Dimensionalmente

l’accelerazione

e’

definita

dall’espressione

dimensionale

⌋đ??ż1 đ?‘‡ −2 đ?‘€0 âŚŒ. Nel sistema internazionale di misure (S.I.) l’accelerazione viene misurata đ?‘š

in đ?‘ đ?‘’đ?‘? 2 .

L’accelerazione istantanea e’ il limite dell’accelerazione per ∆đ?‘Ą → 0. Formalmente si puo’ scrivere:

���� (�) = �′(�) = lim

∆đ?‘Ąâ†’0

đ?’—(đ?‘Ą+∆đ?‘Ą)−đ?’—(đ?‘Ą) ∆đ?‘Ą

.

Ovviamente anche il vettore accelerazione istantanea e’ rappresentabile considerando le componenti scalari delle accelerazioni riferite alle tre direzioni ortogonali.

Si puo’ infatti scrivere che:

a(t) = (đ?‘ĽĚˆ (đ?‘Ą), đ?‘ŚĚˆ (đ?‘Ą), đ?‘§Ěˆ (đ?‘Ą)) .

In tale rappresentazione sono stati utilizzati i due puntini di Newton. Ad esempio la scrittura đ?‘ĽĚˆ (đ?‘Ą) deve essere intesa come la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo. Tali valori scalari sono comunemente chiamati componenti cartesiane dellaccelerazione.


La velocita’ scalare v puo’ essere definita – con riferimento all’ascissa curvilinea – come segue:

đ?‘‘

v(t) = đ?‘‘đ?‘Ąs(t) = đ?‘ ̇ (t). Secondo questa modalita’ (Zeuli) e’ possibile pervenire alla definizione di velocita’ vettoriale considerando un versore r la cui direzione e’ quella della retta tangente, in ogni punto di essa, al luogo s = đ?‘ (đ?‘Ą) .

Per questa via si scrive v(t) = đ?‘ ̇ (t)r. Il vettore v(t) ha la direzione della retta tangente alla curva s.

Ma e’ stato ulteriormente fatto notare (Zeuli) che v(t) e’ la derivata del punto P rispetto al tempo e quindi si scrive che v(t)=

đ?‘‘đ?‘ƒ(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą

ricordando pure che r(t) =

đ?‘‘đ?‘ƒ đ?‘‘đ?‘

.

Un moto viene detto uniforme quando v(t) e’ costante non risultando necessariamente vero che e’ costante il vettore v(t) . Il caso notevole e’ il moto circolare uniforme nel quale v(t) e’ costante non risultando costante il vettore v(t) .

A questo punto occorre ragionare sull’accelerazione vettoriale utilizzando la formula che coinvolge l’ascissa curvilinea. Infatti dalla relazione vettoriale v(t) = đ?‘ ̇ (t)r applicando ad ambo i membri l’operatore derivata rispetto al tempo e’ possibile scrivere che

đ?‘‘ v(t) đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?‘‘ đ?‘‘ ⌋ đ?‘ ̇ (t)râŚŒ = r đ?‘ ̇ (t)+ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘ ̇ (t)

đ?‘‘ đ?’“ đ?‘‘đ?‘Ą

= sĚˆ (t)r + đ?‘ ̇ (t)

đ?‘‘ đ?’“ đ?‘‘đ?‘Ą

.


In altri termini l’accelerazione vettoriale puo’ essere intesa come costituita da due componenti (che non hanno un significato fisico effettuale) dette rispettivamente �

accelerazione tangenziale, sĚˆ (t)r , e accelerazione normale, đ?‘ ̇ (t) đ?‘‘đ?‘Ą đ?’“ . L’accelerazione đ?‘‘

(unica) che un osservatore potrebbe misurare e’ quella ricavata, ovvero đ?‘‘đ?‘Ąv(t) = sĚˆ (t)r + đ?‘ ̇ (t)

đ?‘‘ đ?’“ đ?‘‘đ?‘Ą

. Le due componenti hanno un significato reale quando una delle

componenti vale 0 (Benvenuti, Maschio) .

Lo strumento dell’ascissa curvilinea e’ particolarmente utile per la tassonomia dei moti, come si avra’ modo di vedere nelle pagine successive.

E’ pero’ utile ritornare alla rappresentazione del moto dei corpi in coordinate cartesiane.

Se e’ nota la traiettoria, cioe’ se e’ nota la grandezza OP(t) o, in altri termini, se sono note le tre funzioni scalari x(t), y(t), z(t) e possibile ottenere, derivando una prima volta e una volta successiva, anche le velocita’ scalari e le accelerazioni scalari riferite alle tre dimensioni. Anche in questo caso si puo’ affermare che le componenti riferite alle tre direzioni, a due a due ortogonali, non hanno un significato fisico sperimentale.

Questa prima parte della trattazione definisce il problema cinematico diretto. Evidentemente e’ possibile introdurre un problema cinematico inverso nel senso che, a partire dalle accelerazioni, e’ possibile pervenire alla traiettoria.


Ci si puo’ limitare, per ragioni di semplificazione, a considerare il moto che avvenga lungo una direzione, in buona sostanza su una retta. Sia tale direzione quella delle x.

đ?‘‘

Si ha che đ?‘ĽĚˆ (t) = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘ĽĚ‡ (đ?‘Ą) . đ?‘‘

In altri termini si puo’ scrivere che đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘ĽĚ‡ (đ?‘Ą) = đ?‘ĽĚˆ (t) e applicando l’operatore integrale ad ambo i membri si ha đ?‘ĽĚ‡ (đ?‘Ą) = âˆŤ đ?‘ĽĚˆ (t)dt + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. Cost esprime la condizione iniziale.

Tale relazione puo’ essere scritta come segue: �

đ?‘Łđ?‘Ľ (t) = âˆŤ0 đ?‘Žđ?‘Ľ (đ?‘Ą) + đ?‘Łđ?‘Ľ (0) Analogamente per le altre due componenti si puo’ scrivere: đ?‘Ą

đ?‘Łđ?‘Ś (t) = âˆŤ0 đ?‘Žđ?‘Ś (đ?‘Ą) + đ?‘Łđ?‘Ś (0) đ?‘Ą

đ?‘Łđ?‘§ (t) = âˆŤ0 đ?‘Žđ?‘§ (đ?‘Ą) + đ?‘Łđ?‘§ (0) Si osservi che non necessariamente le grandezze đ?‘Žđ?‘Ľ (đ?‘Ą), đ?‘Žđ?‘Ś (đ?‘Ą) e đ?‘Žđ?‘§ (đ?‘Ą) sono costanti.

Con riferimento alla grandezza riferita all’asse delle x (ma la stessa cosa vale, �

ovviamente, per le altre due direzioni y e z) si puo’ lavorare su đ?‘Łđ?‘Ľ (t) = âˆŤ0 đ?‘Žđ?‘Ľ (đ?‘Ą) + đ?‘Ą

đ?‘Łđ?‘Ľ (0) ponendo âˆŤ0 đ?‘Žđ?‘Ľ (đ?‘Ą) = đ??´đ?‘Ľ (t).

Con questa sostituzione si scrive đ?‘Łđ?‘Ľ (t) = đ??´đ?‘Ľ (t) + đ?‘Łđ?‘Ľ (0) .


Tale relazione e’ immediatamente integrabile ottenendo che x(t) = âˆŤ đ??´đ?‘Ľ (t) + đ?‘Łđ?‘Ľ (0) đ?‘‘đ?‘Ą + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą.. In essa si puo’ osservare che đ?‘Łđ?‘Ľ (0) puo’ essere, ovviamente, inteso come una costante e quindi si puo’ scrivere che x(t) = âˆŤ(đ??´đ?‘Ľ (t)dt + âˆŤ đ?‘Łđ?‘Ľ (0)đ?‘‘đ?‘Ą + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. đ?‘Ą

đ?‘Ą

In altri termini si puo’ scrivere che x(t) = âˆŤ0 đ??´đ?‘Ľ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą + âˆŤ0 đ?‘Łđ?‘Ľ (0)đ?‘‘đ?‘Ą + đ?‘Ľ(0) . Per la precedente osservazione sulla velocita’ istantanea si puo’ scrivere che: đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

x(t) = âˆŤ0 đ??´đ?‘Ľ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą +đ?‘Łđ?‘Ľ (0) âˆŤ0 đ?‘‘đ?‘Ą + đ?‘Ľ(0) = âˆŤ0 đ??´đ?‘Ľ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą +đ?‘Łđ?‘Ľ (0)đ?‘Ą + đ?‘Ľ(0) . Per le altre direzioni possono scriversi, ovviamente, le corrispondenti relazioni: đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

y(t) = âˆŤ0 đ??´đ?‘Ś (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą +đ?‘Łđ?‘Ś (0) âˆŤ0 đ?‘‘đ?‘Ą + đ?‘Ś(0) = âˆŤ0 đ??´đ?‘Ś (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą +đ?‘Łđ?‘Ś (0)đ?‘Ą + đ?‘Ś(0) . đ?‘Ą

z(t) = âˆŤ0 đ??´đ?‘§ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą +đ?‘Łđ?‘§ (0) âˆŤ0 đ?‘‘đ?‘Ą + đ?‘§(0) = âˆŤ0 đ??´đ?‘§ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą +đ?‘Łđ?‘§ (0)đ?‘Ą + đ?‘§(0) . Si osservi che le varie A(t), quali ad esempio, đ??´đ?‘Ś (đ?‘Ą) sono funzioni del tipo tk, con k costante quando e solo quando đ?‘Žđ?‘Ś (đ?‘Ą) e’ costante.

Se ad esempio si considera il moto in una dimensione, ad esempio quella delle x, si avra’ che esso e’ descritto come segue, quando sia data l’accelerazione: �

x(t) = âˆŤ0 đ??´đ?‘Ľ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą +đ?‘Łđ?‘Ľ (0)đ?‘Ą + đ?‘Ľ(0) y(t) = 0 ∀đ?‘Ą ≼ 0 z(t) = 0 ∀đ?‘Ą ≼ 0.

In questo caso se si ammette sia đ?‘Žđ?‘Ľ (đ?‘Ą) = đ?‘˜đ?‘Ľ costante distinta da 0 si ha che đ??´đ?‘Ľ (đ?‘Ą) = đ?‘Ą

1

tđ?‘˜đ?‘Ľ . Pertanto x(t) = âˆŤ0 tđ?‘˜đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą +đ?‘Łđ?‘Ľ (0)đ?‘Ą + đ?‘Ľ(0) = 2 đ?‘˜đ?‘Ľ t +đ?‘Łđ?‘Ľ (0)đ?‘Ą + đ?‘Ľ(0).


đ?‘˜đ?‘Ľ e’ l’accelerazione costante, reale se il moto avviene in una dimensione, ovvero teorica, riferita quindi ad una componente astratta del vettore accelerazione almeno costante in quella particolare dimensione considerata, qualora il moto sia in due o tre dimensioni, come solitamente avviene.

Nella formula generale (per accelerazioni costanti) x(t) =

1 đ?‘˜ t 2 đ?‘Ľ

+đ?‘Łđ?‘Ľ (0)đ?‘Ą + đ?‘Ľ(0)

ponedo đ?‘˜đ?‘Ľ = 0 si ottiene la formula cartesiana del moto rettilineo e uniforme in una dimensione coincidente con l’asse delle x che risulta essere nel dominio del tempo la seguente: x(t) = đ?‘Łđ?‘Ľ (0)đ?‘Ą + đ?‘Ľ(0). In questo caso infatti đ?‘Łđ?‘Ľ (0) deve intendersi come una costante.

La condizione necessaria e sufficiente affiche’ un corpo puntiforme si nuova nello spazio euclideo tridimensionale e’ che siano verificate queste tre relazioni:

x(t) = �� (0)� + �(0) y(t) = �� (0)� + �(0) z(t) = �� (0)� + �(0).

Ulteriori precisazioni possono essere fatte a partire dalla nozione di accelerazione istantanea. Nelle considerazioni che seguono si omette ogni indice di direzione in quanto le argomentazioni possono essere riferite ad ognuna delle tre distinte direzioni possibili, cioe’ x, y, o z.


Da a(t) = đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

si ottiene a(t)dt = đ?‘‘đ?‘Ł e integrando definitamente ambo i membri si đ?‘Ą

đ?‘Ą

ottiene âˆŤ0 đ?‘Ž(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ0 đ?‘‘đ?‘Ł e quindi âˆŤ0 đ?‘Ž(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘Ł(đ?‘Ą) − đ?‘Ł(0). A titolo esemplificativo, con riferimento alla direzione delle x si puo’ scrivere che đ?‘Ą

âˆŤ0 đ?‘Žđ?‘Ľ (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘Łđ?‘Ľ (đ?‘Ą) − đ?‘Łđ?‘Ľ (0). I moti possono essere trattati anche utilizzando, come gia’ annunciato, l’ascissa curvilinea. In particolare possono essere utilizzate le equazioni parametriche intrinseche. In altri termini si puo’ scrivere che OP(s(t)) ⇔ (x = đ?‘Ľ((đ?‘ (đ?‘Ą)), y = đ?‘Ś((đ?‘ (đ?‘Ą)), z= đ?‘§((đ?‘ (đ?‘Ą)) ). Tali relazioni ovviamente presuppongono un đ?‘ 0 = 0 ed un verso di percorrenza che consenta di individuare il senso delle s positive.


La condizione iniziale – riferita all’inizio dei tempi – s(đ?‘Ą0 ) = đ?‘ 0 non necessariamente vale đ?‘ 0 = 0, potendo il corpo trovarsi in qualunque punto di đ?›ž .

Viene quindi utile definire la cosiddetta terna intrinseca relativa al corpo puntiforme in moto. Tale terna viene indicata con il formalismo (T, N, B).

đ?‘‘

In primis si considera il vettore T= đ?‘‘đ?‘ OP . Tale vettore e’ tangente alla curva đ?›ž ed indica la variazione del vettore OP per effetto di una variazione infinitesima di ds.

â– â– â–

E’ possibile fornire una sintetica tassonomia dei moti con riferimento allo strumento dell’ascissa curvilinea. In questo contesto e’ utile ricordare che s = đ?‘ (đ?‘Ą) indica la traiettoria del corpo sulla curva đ?›ž, đ?‘ ̇ = đ?‘ ̇ (đ?‘Ą) = đ?‘‘

đ?‘‘ đ?‘ (đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą

indica la velocita’ scalare del

đ?‘‘

corpo mentre đ?‘ Ěˆ = đ?‘ Ěˆ (t) = đ?‘‘đ?‘Ą ( đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘ (đ?‘Ą)) definisce l’accelerazione scalare del corpo in oggetto.

Cio’ premesso, occorre ricordare che:



đ?‘‘

se đ?‘ ̇ (đ?‘Ą) = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘ (đ?‘Ą) ≼ 0 il moto avviene nella direzione delle s positive ed il moto e’ detto essere progressivo;



đ?‘‘

se đ?‘ ̇ (đ?‘Ą) = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘ (đ?‘Ą) ≤ 0 il moto avviene nella direzione delle s negative ed il moto e’ detto essere regressivo (Benevenuti, Maschio).


Occorre in ogni caso osservare che đ?‘ ̇ (đ?‘Ą) puo’, ad esempio, assumere valori positivi (negativi) per 0 ≤ đ?‘Ą ≤ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘›đ?‘Ł e valori negativi nell’intervallo đ?‘Ąđ?‘–đ?‘›đ?‘Ł ≤ đ?‘Ą ≤ đ?‘Ąđ?‘“ . Possono essere definiti e ipotizzati casi ancora piu’ complessi. In ogni caso si puo’ ipotizzare che esistano particolari istanti detti istanti di inversione nei quali sia verificata la ̇ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ł ) = 0 . condizione đ?‘ (đ?‘Ą

Nel moto accelerato (e decelerato, rispettivamente) si intende vera la relazione |đ?‘ ̇ | = đ?‘Ł ≠đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. nel dominio del tempo.

Posto đ?‘Ł = |đ??Ż| :

se

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

> 0 il moto e’ accelerato;

đ?‘‘đ?‘Ł

se �� > 0 il moto e’ decelerato. In un moto accelerato (decelerato) non necessariamente, come gia’ visto in occasione dello studio delle relazioni cartesiane del moto, risulta essere a(t) costante neppure con riferimento al valore scalare.

Il moto viene definito uniforme se e solo se risulta costante il modulo della velocita’, cioe’ se |v| = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. .

La relazione funzione in termini di ascissa curvilinea e’ la seguente:

s(t) = đ?‘ ̇ (đ?‘Ą)(t −đ?‘Ą0 ) +đ?‘ (đ?‘Ą0 ) con la condizione đ?‘ ̇ (đ?‘Ą) costante.


L’istante đ?‘Ą0 e’ l’istante inziale per il quale vale la relazione đ?‘ (đ?‘Ą0 ) = đ?‘ 0 che e’ il punto di đ?›ž ove l’osservatore dichiara essere la particella al tempo đ?‘Ą0 .

Si osservi che non necessariamente đ?‘ 0 = 0 .

Il moto di un corpo puntiforme puo’ essere studiato come moto in un piano, per esempio nel piano xy .

In questi casi (moti planari) puo’ risultare particolarmente utile l’utilizzazione delle coordinate polari .

Sono note le formule di trasformazione che permettono di passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari e viceversa.

La seguente rappresentazione ben illustra la situazione.

Date le coordinate polari, cioe’ la (đ?œŒ, đ?œ—) e’ possibile ottenere quelle cartesiane (x, y) con le formule seguenti:

đ?‘Ľ = đ?œŒ cos(đ?œ—) đ?‘Ś = đ?œŒ sin(đ?œ—)


Le formule inverse, cioe’ quelle che consentono di passare delle coordinate cartesiane a quelle polari sono le seguenti:

đ?œŒ = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 đ?‘Ś

đ?œ— = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘Ľ ) con đ?‘Ľ ≠0 . Utilizzando le coordinate polari il moto e’ descritto dalle due equazioni parametriche (in funzione del tempo). Esse sono le seguenti:

đ?œŒ = đ?œŒ(đ?‘Ą) đ?œƒ = đ?œƒ(đ?‘Ą)

Solitamente (Benvenuti, Maschio) “si puo’ assegnare la traiettoria assegnandone l’equazione polareâ€?. Si tratta, come e’ noto, della seguente relazione funzionale đ?œŒ = đ?œŒ(đ?œ—).

Il moto e’ descritto dalla đ?œ— = đ?œ—(đ?‘Ą) .

Questa figura aiuta sicuramente nella comprensione.

j

đ??

Îť

l

x

I versori Îť e đ?? indicano, rispettivamente la direzione radiale e quella trasversale. I due versori sono ortogonali.


Sussistono due relazioni fondamentali:

Îť = cosđ?œ—đ?’Š + đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒđ?’‹

đ?œ‡ = −đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ—đ?’Š + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ—đ?’‹

Tali relazioni sono derivabili rispetto đ?œ—, considerando quindi i versori i e j come delle costanti.

A questo punto si puo’ quindi scrivere che

đ?‘‘đ??€ đ?‘‘đ?œ—

= −đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ—đ?’Š + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ—đ?’‹ e

đ?‘‘đ?? đ?‘‘đ?œ—

= −

cosđ?œ—đ?’Š − đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒđ?’‹ .

Viene quindi definita la derivata di Îť rispetto al tempo đ??€Ě‡ = derivata, sempre rispetto al tempo, đ?? ̇ =

đ?‘‘đ?? đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?‘‘đ?? đ?‘‘đ?œ— đ?‘‘đ?œ— đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?›Œ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?›Œ đ?‘‘đ?œ— đ?‘‘đ?‘Ą

= đ?‘‘đ?œ—

= đ?œƒđ?? ̇ e la

= −đ?œ—̇Ν .

Diventa rilevante l’espressione della velocita’ in coordinate polari che si ottiene a partire da OP = rđ??€ .

đ?‘‘

Quindi si scrive đ?‘‘đ?‘Ą OP =

đ?‘‘ (rđ??€) đ?‘‘đ?‘Ą

= ṙ Îť + ϑ̇r = ṙ Îť + ϑ̇đ??

In sintesi la velocita’ reale del corpo data in coordinate polari puo’ essere scissa in due componenti ortogonali dette rispettivamente componente radiale đ?‘Łđ?‘&#x; = ṙ Îť , e componente trasversale đ?‘Łđ?œ— = ϑ̇đ?? .

Anche nel sistema delle coordinate polari e’ possibile definire la velocita’ angolare, misurata, ovviamente, in

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘?

đ?‘‘đ?œ— , đ?œ—̇ = đ?‘‘đ?‘Ą .


Per ottenere l’accelerazione in coordinate polari occorre derivare temporalmente la velocita’ espressa in coordinate polari.

Per gli aspetti ulteriori del moto in coordinate polari si rimanda alla successiva sintesi, contenuta in questa stessa parte.

Particolare interesse suscita il moto centrale. Per definizione un moto centrale di centro O (detto comunemente polo) e’ tale che sia verificata, per ogni t, la seguente relazione tra il vettore accelerazione e il vettore posizione:

đ?’‚ Ă— OP = đ?&#x;Ž

In altri termini il vettore OP e il vettore accelerazione sono paralleli.

Tra i moti elementari un certo rilievo assume il moto circolare uniforme descritto dalle sue seguenti equazioni:

x(t)= đ?‘…đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ—(đ?‘Ą) y(t)= đ?‘…đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ—(đ?‘Ą)

In termini di ascissa curvilinea si scrive s(t) = đ?‘…đ?œ—(đ?‘Ą) . đ?œ—(đ?‘Ą) e’ ordinariamente misurato in radianti (rad.).

đ?œ—0 e’ la condizione iniziale quindi đ?œ—0 = đ?œ—(0) ma non necessariamente đ?œ—0 = 0 .

Noto đ?œ—0 si ottengono immediatamente le coordinate del punto P all’istante iniziale. Esse sono: đ?‘Ľ0 = đ?‘…đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ—(0)) e đ?‘Ś0 = đ?‘…đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?œ—(0)). Ad esempio, se il punto


P in moto fosse, nell’istante iniziale di misurazione nel punto (1, 0) allora sarebbe đ?œ—0 = 0 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘.. Nel moto circolare uniforme viene ampiamente utilizzata una grandezza fisica detta velocita’ angolare đ?œ” , misurata in

đ?œ”(đ?‘Ą) =

đ?‘‘đ?œ— đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘?

, definita come segue:

= đ?œ—̇(t).

La velocita’ scalare v e’ ordinariamente v =

đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą

.

Le grandezze v e đ?œ” sono coordinate tra di loro utilizzando il raggio R .

Anche con considerazioni dimensionali e’ agevole evidenziare che :

v = đ?‘…đ?œ”

đ?‘‘đ?‘

đ?‘‘đ?œ—

Equivalentemente si scrive che đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘… đ?‘‘đ?‘Ą o anche đ?‘ ̇ (t) = đ?‘…đ?œ—̇(t). đ?‘ ̇ (t) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’1 ⇔ đ?œ—̇(t) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’2

L’equazione del moto e’ la seguente:

đ?œ—(đ?‘Ą) = đ?œ—̇(đ?‘Ą) (t −đ?‘Ą0 ) +đ?œ—0 .

Alcuni moti hanno la caratteristica di essere periodici.

Utilizzando le notazioni cartesiane si puo’ rappresentare il moto periodico nel modo seguente:


x(t) = �(� + �) y(t) = �(� + �) z(t) = �(� + �)

T e’ detto periodo del moto periodico.

Nel moto circolare uniforme il periodo T e’ dato dalla formula seguente:

T=

2đ?œ‹đ?‘… |đ?œ—̇|

.

Il valore assoluto del denominatore e’ giustificato dovendosi considerare i due possibili versi di percorrenza.

Un caso di moto particolarmente interessante e’ quello comunemente chiamato armonico. Trattasi sostanzialmente del moto della proiezione di un corpo puntiforme che si muove su una circonferenza di raggio R descrivendola con un moto circolare uniforme, che avviene quindi a velocita’ angolare costante nel tempo.

L’equazione del moto armonico e’ :

x(t) = đ?‘…đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ—̇đ?‘Ą + đ?œ—0 ) . La grandezza đ?œ—̇ = đ?œ” e’ detta pulsazione del moto armonico. La condizione iniziale đ?œ—0 e’ detta fase. R e’ detta ampiezza del moto armonico.

Solitamente la legge oraria del moto armonico e’ la seguente:


x(t) = đ?‘…đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘ ).

Applicando due volte il teorema della derivata di una funzione composta si ottengono rispettivamente la velocita’ istantanea e l’accelerazione istantanea che risultano essere rispettivamente:

đ?‘ĽĚ‡ (t) = −đ?œ”đ?‘…đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘ )

đ?‘ĽĚˆ (t) = −đ?‘…đ?œ”2cos(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘ ).

Per i moti armonici vale una particolare relazione detta equazione dei moti armonici di pulsazione đ?œ”. Essa e’ la seguente: đ?‘ĽĚˆ (t)+đ?œ”2x(t) = 0 .

Relativamente al moto armonico e’ possibile rinvenire (Ageno) formule piu’ semplici ottenute ponendo R = 1 e đ?œ‘ = 0 rad. .

Sintesi operativa del moto curvilineo planare (in coordinate cartesiane e in coordinate polari) La traiettoria e’ data dalla curva planare di equazione � . v

r

�

Le equazioni parametriche del moto sono quelle ben note, cioe’:


� = �(�) � = �(�) In termini vettoriali si puo’ scrivere che: r(t) = �(�)� + �(�)� . Occorre ricordare che v(t) e’ sempre tangente la curva � . �

đ?‘‘

Si puo’ scrivere che v(t) = ⌋đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ľ(đ?‘Ą)âŚŒi +⌋đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘Ś(đ?‘Ą)âŚŒđ?’‹ =vx (t)đ?’Š + vy (t)j dđ?’” dt

|v| = √đ?’— ∙ đ?’— = √(vx )2 + (vy )2 = | | =

ds dt

.

E’ di immediata dimostrazione che: vx = |đ?’—|đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ— vy = |đ?’—|sinđ?œ—

v a

Data la curva e dato v il vettore accelerazione e’ in ogni punto P ortogonale al vettore velocita’. In definitiva đ?’‚ ∙ đ?’— = 0 . Anche il vettore accelerazione puo’ essere scomposto secondo due direzioni ortogonali, come da figura seguente.


ay đ?’‹

a đ?‘Žđ?‘Ľ i

đ?‘‘

Dalla definizione di v di ha che v = đ?‘‘đ?‘Ąr . đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘

Moltiplicando per

si ha che v =

đ?‘‘đ?’“ đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘

=

đ?‘‘đ?’“ đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą

=đ?’•

đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ą

.

t e’ il versore di direzione eguale a quella del vettore velocita’, tangente la curva in ogni suo punto. Occorre ricordare che

đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?’”

= |đ?‘˜|đ?’?

đ?‘‘đ?‘

La relazione v = � �� e’ derivabile rispetto al tempo avendo che: � v ��

đ?’…

đ?‘‘đ?‘

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘đ?‘ đ?‘‘ ( ) + đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?’• đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

= đ?’…đ?’• (đ?’• đ?‘‘đ?‘Ą ) = đ?’•

d2 s

.

dy

In definitiva đ?’‚ = t dt2 +đ?‘˜đ?’?(dx)2 Sono quindi immediate le due componenti, radiale e normale che vangono, rispettivamente,: d2 s

|đ?‘Žđ?‘Ą | = | dt2 | dy

1

|đ?‘Žđ?‘› | = (dx)2 đ?‘… =

|đ?‘Ł|2 đ?‘…

.

Occorre passare ora al moto in coordinate polari. In questo caso si hanno le due seguenti relazioni: đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?œ—) = đ?œŒđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ— { đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?œ—) = đ?œŒđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ—


e il raggio vettore (vettore posizione) viene scritto come: r = đ?‘Ľ(đ?œ—)đ?’Š + đ?‘Ś(đ?œ—)j = Ď âŚ‹đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ—đ?’Š + đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ—đ?’‹âŚŒ In questo contest e’ immediate derivare tale vettore una prima volta e quindi una seconda volta rispetto al tempo t ed ottenere le espressioni della velocita’ e della accelerazione.

Criterio per la determinazione della condizione di urto tra due corpi e dell’istante in cui avviene la collisione Ho inteso affrontare in via generale lo studio delle condizioni per le quali e’ possibile, assegnate le traiettorie di due corpi, stabilire se essi si urtano e, alla risposta affermativa, al primo quesito ove si urtano e in quale istante di tempo tale urto si verifica. Ho ritenuto che il metodo piu’ semplice per gestire il problema sia quello di utilizzare lo strumento della funzione vettoriale. Tanto premesso, ho considerato due distinte funzioni vettoriali, associate ai due corpi in moto. Siano A e B i corpi e siano date le seguenti funzioni vettoriali đ?‘“đ??´ = đ?‘“đ??ľ . E’ noto che il moto di un corpo nello spazio tridimensionale e’ equivalentemente riconducibile al moto lungo le tre dimensioni a due a due ortogonali che individuano il sistema di riferimento cartesiano assegnato. Questa e’ la sostanziale ragione che induce a legittimare l’uso dello strumento analitico della funzione vettoriale. E’ noto che una modalita’ operativa di gestione della nozione astratta conduce a scrivere che: đ?‘“ = (đ?‘Ľ(đ?‘Ą)đ??´ , đ?‘Ś(đ?‘Ą)đ??´ , đ?‘§(đ?‘Ą)đ??´ ) = (đ?‘Ľ(đ?‘Ą)đ??´ đ?’Š + đ?‘Ś(đ?‘Ą)đ??´ đ?’‹ + đ?‘§(đ?‘Ą)đ??´ đ?’Œ ) { đ??´ đ?‘“đ??ľ = (đ?‘Ľ(đ?‘Ą)đ??ľ , đ?‘Ś(đ?‘Ą)đ??ľ , đ?‘§(đ?‘Ą)đ??ľ ) = (đ?‘Ľ(đ?‘Ą)đ??ľ đ?’Š + đ?‘Ś(đ?‘Ą)đ??ľ đ?’‹ + đ?‘§(đ?‘Ą)đ??ľ đ?’Œ ) I deponenti A e B sono necessari in quanto riferiti a due distinti corpi. La condizione di impatto e’ ricondotta alla soluzione del seguente sistema: đ?‘Ľ(đ?‘Ą)đ??´ = đ?‘Ľ(đ?‘Ą)đ??ľ {đ?‘Ś(đ?‘Ą)đ??´ = đ?‘Ś(đ?‘Ą)đ??ľ đ?‘§(đ?‘Ą)đ??´ = đ?‘§(đ?‘Ą)đ??ľ e al fatto che le tre equazioni abbiano la medesima radice. In definitiva c.n.e.s. affinche’ due corpi vengano a collisione e’ che le tre equazioni del sistema ammettano una comune soluzione, cioe’ siano vere per t = đ?‘Ą0 . A questo punto ricavato l’istante nel quale i corpi sono collisi e’ possibile ricavare il punto đ?‘Ľđ?‘? = đ?‘Ľ(đ?‘Ą0 )đ??´ di collisione tenuto conto che esso e’ dato da {đ?‘Śđ?‘? = đ?‘Ś(đ?‘Ą0 )đ??´ đ?‘§đ?‘? = đ?‘§(đ?‘Ą0 )đ??´ Qualora siano note le velocita’ vettoriali đ?’—A e đ?’—B il problema e’ immediatamente risolvibile considerando le componenti scalari di esse e da esse ottenendo (problema cinematico inverso) le equazioni scalari del moto e quindi le corrispondenti funzioni vettoriali.


PARTE IV – LA FISICA CLASSICA. LE FORZE, LE ACCELERAZIONI E IL LAVORO

La dinamica del punto

E’ utile partire dalle leggi del moto di Galilei e Newton, dai cosiddetti principi della dinamica classica, valida per corpi in moto con velocita’ molto minori della velocita’ della luce.

La prima legge della dinamica e’ il principio di inerzia, dovuto a Galilei.

Per essa un corpo non soggetto a forze, o nel caso che la risultante di esse sia đ?&#x;Ž, resta in quiete, se in quiete, oppure continua a muoversi di moto rettilineo e uniforme ove fosse in moto relativo.

Il secondo principio della dinamica e’ compendiato dalla relazione vettoriale F = m�, ove F indica la risultante delle forze applicate al corpo di massa m e a indica l’accelerazione che si puo’ misurare sperimentalmente.

I vettori F ed a hanno la medesima direzione e il medesimo verso in quanto la costante m (quando ci si riferisce ad un dato corpo puntiforme) e’ positiva.

Infatti, ad un dato corpo e’ associata una massa m, cioe’ una costante scalare, misurata, nel Sistema internazionale di misura (S.I.) in đ?‘˜đ?‘”đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘ đ?‘Ž .

Tale massa viene ordinariamente chiamata inerziale.


Essa (Zeuli) non dipende nel dal tempo ne’ dalla risultante delle forze applicate al corpo.

Se su un corpo agiscono piu’ forze đ?‘­đ?&#x;? , đ?‘­đ?&#x;? , ‌ . , đ?‘­đ?’? allora l’accelerazione conseguente đ?’‚đ?’•đ?’?đ?’• e’ la somma vettoriale delle accelerazioni đ?’‚đ?&#x;? , đ?’‚đ?&#x;? , ‌ . , đ?’‚đ?’? dovute alle singole forze.

La terza legge della dinamica e’ il cosiddetto principio di azione e reazione per il quale se un corpo A esercita una azione sul corpo B, il corpo B esercita una forza di reazione sul corpo A, eguale e contraria. Cioe’ risulta che đ?‘­đ?‘¨đ?‘Š = − đ?‘­đ?‘Šđ?‘¨ .

Le due forze sono rappresentate da vettori aventi la medesima direzione e versi opposti, e sono intese riferite alla retta passente per i due punti.

Le leggi di Newton valide in un dato sistema di riferimento sono parimenti valide in ogni altro sistema di riferimento in quiete rispetto ad esso oppure in moto rispetto ad esso, qualora si tratti di un moto rettilineo e uniforme.

Tali sistemi sono detti inerziali o anche galileiani.

Il riferimento fondamentale e’ costituito da quello delle stelle fisse. Pertanto ogni riferimento associato ad una terna rispetto al sistema delle stelle fisse e’ galileiano per definizione. Ogni riferimento distinto da esso e in quiete con esso e’ pure galileiano. Ogni sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema galileiano e’ parimenti galileiano.


La Terra in moto rotatorio attorno al proprio asse e traslatorio rispetto al sole che occupa uno dei fuochi dell’ellisse non e’ un sistema di riferimento galileiano.

Solo in via di approssimazione si puo’ considerare, come sperimentalmente accade, la Terra come un sistema di riferimento inerziale.

Solitamente si fa rimando al cosiddetto sistema delle stelle fisse. Con tale locuzione ci si intende riferire ai corpi celesti che appaiono fissi sulla sfera celeste.

E’ noto (Scudieri) che “con nessuna esperienza di meccanica e’ possibile porre in evidenza il moto traslatorio rettilineo uniforme di un sistema rispetto ad un altro parimenti inerziale (principio di relativita’ galileiana)�.

Quantita’ di moto

Come noto, si tratta di una grandezza fisica vettoriale ottenuta moltiplicando la massa m del corpo per la sua velocita’ vettoriale.

In formule si scrive p = m� . Il modulo della quantita’ di moto |p| viene misurato in �

đ??žđ?‘”đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘? . Con semplici passaggi si ottiene una relazione fondamentale della dinamica.

Derivando la quantita’ di moto rispetto al tempo si ha:

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

p = m đ?‘‘đ?‘Ąv = đ?‘šđ?’‚ = đ?‘­


đ??źđ?‘› definitiva si ottiene đ?‘­ =

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

p

đ?‘ đ?‘’đ?‘™ contesto che qui si considera si ammette che le forze incidano sulla condizione di moto e non si considerano gli effetti di deformazione dei corpi che le forze possono avere.

La nozione di impulso di una forza

Da đ?‘­ =

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

p si ottiene che đ?‘­dt = dp che integrata indefinitamente porta alla seguente

relazione âˆŤ đ?‘­ đ?’…đ?’• = âˆŤ đ?‘‘đ?’‘ + đ??Šđ?&#x;Ž

Tale relazione cioe’ âˆŤ đ?‘­ đ?’…đ?’• = âˆŤ đ?‘‘đ?’‘ + đ??Šđ?&#x;Ž puo’ essere scissa nelle tre componenti scalari, avendosi: âˆŤ đ??šđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ đ?‘‘đ?‘?đ?‘Ľ dt +đ?‘?0,đ?‘Ľ âˆŤ đ??šđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ đ?‘‘đ?‘?đ?‘Ś dt +đ?‘?0,đ?‘Ś âˆŤ đ??šđ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ đ?‘‘đ?‘?đ?‘§ dt +đ?‘?0,đ?‘§

La grandezza âˆŤ đ?‘­ đ?’…đ?’• viene chiamata impulso della forza, o semplicemente impulso.

L’impulso viene misurato nel S.I. in N∙ đ?‘š .

L’impulso di una forza e’ eguale alla variazione della quantita’ di moto, e in termini piu’ specifici alla variazione del vettore velocita’ istantanea.


đ?‘Ą

đ?’‘

1

đ?&#x;Ž

I = âˆŤđ?‘Ą 2 đ?‘­ đ?’…đ?’• = âˆŤđ?’‘ đ?&#x;? đ?‘‘đ?’‘ = ∆đ?’‘ .

Le componenti del vettore ∆đ?’‘ sono ( đ?‘?đ?‘Ľ,1 − đ?‘?đ?‘Ľ,0 , đ?‘?đ?‘Ś,1 − đ?‘?đ?‘Ś,0 , đ?‘?đ?‘§,1 − đ?‘?đ?‘§,0 ).

Quando si e’ derivata la quantita’ di moto rispetto al tempo si e’ assunto che la massa m sia una costante. Cio’ e’ vero nel dominio della meccanica classica ma non e’ vero in generale (meccanica relativistica).

In questo caso si avrebbero i seguenti passaggi che si riportano.

F=

đ?‘‘đ?’‘ đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?’… mv đ?’…đ?’•

=đ?’—

dm + dt

đ?’… dt

m v

Nella fisica classica la massa e’ una grandezza invariante rispetto alle condizioni di moto, quindi

dm dt

=0.

Massa inerziale

La massa inerziale di un corpo e’ la massa che si ottiene misurando l’accelerazione che subisce in corpo, quando ad esso sia applicata una forza F di intensita’ nota.

đ??š

In formula si puo’ scrivere che m = � ove F ed a sono rispettivamente a =|a| e F = |�| , essendo F la risultante delle forze applicate al corpo considerato.

Il principio di inerzia e’ una conseguenza del principio di relativita’. Non e’ vero il contrario. Al riguardo si rimanda alla manualistica (Mencuccini, Silvestrini, p.e.).

Il terzo principio della dinamica. Azione e reazione.


Quando si introduce il terzo principio della dinamica di Newton, comunemente noto come principio di azione e reazione, ci si deve necessariamente riferire ad un sistema fisico costituito da due distinti punti materiali.

Prima di introdurlo sub specie di principio di azione e reazione e’ utile parire da una osservazione e cioe’ rilevare che assegnato un sistema di riferimento inerziale, nel senso piu’ sopra detto, la quantita’ di moto totale del sistema e il momento angolare rispetto ad O si conservano se non vi sono sollecitazioni (forze esterne).

Tale principio e’ ordianariamente noto nella forma di principio di azione e reazione.

Si ammette l’esistenza di due distinti corpi A e B.

Esso afferma che se il corpo A esercita una forza sul corpo B, indicata come ��� allora il corpo B esercita sul corpo B una forza ��� .

Tra le due forze vale la relazione đ?‘­đ?‘¨đ?‘Š = −đ?‘­đ?‘Šđ?‘¨ .

Le due forze sono esecitate lungo la congiungente i due punti. Tale retta e’ la direzione delle due forze che hanno versi opposti.

Poiche’ da đ?‘­đ?‘¨đ?‘Š = −đ?‘­đ?‘Šđ?‘¨ si puo’ scrivere che

d � dt �

=−

d đ?’‘ dt đ?‘Š

.

Introducendo un indice temporale e considerando variazioni discrete si puo’ scrivere che:

đ?’‘A,2, − đ?’‘A,1 = −(đ?’‘B,2 − đ?’‘B,1 )


đ?’‘đ?‘¨.đ?&#x;? + đ?’‘đ?‘Š,đ?&#x;? = đ?’‘đ?‘¨,đ?&#x;? + đ?’‘đ?‘Š,đ?&#x;?

Quindi se q e’ la quantita’ di moto totale e il sistema e’ isolato, allora q(t) e’ costante.

Tale relazione e’ espressione della conservazione della quantita’ di moto totale per un sistema isolato, sul quale non agiscono forze esterne.

Lavoro elementare ed energia cinetica.

Il lavoro e l’energia sono grandezze scalari. La formula elementare del lavoro e’ quella del prodotto scalare di due vettori.

Per definizione il lavoro L viene definito come L = |đ?‘­||∆đ?’“|cosĎ‘

Da tale formula si puo’ evincere che:

L = 0 quando cosĎ‘ = 0 cioe’ quando đ?œ— =

đ?œ‹ 2

L > 0 quando 0 < cosĎ‘ ≤ 1 e quindi 0 ≤ đ?œ— <

đ?œ‹ 2

đ?œ‹

L < 0 quando −1 ≤ cosĎ‘ < 0 cioe’ 2 < đ?œ— ≤ đ?œ‹ . Un esempio di lavoro positivo e’ schematizzato in questa figura.

F

s


Solitamente viene introdotta la nozione di lavoro elementare scrivendo che:

dL = đ?‘­ ∗ đ?‘‘đ?’”

E’ immediato comprendere che il lavoro viene misurato in N∗ đ?‘š . Tale unita’ di misura viene chiamata jaule (J) in onore del fisico inglese Jaule.

Ragionando sui vettori si puo’ al solito scrivere che F = (đ??šđ?‘Ľ , đ??šđ?‘Ś , đ??šđ?‘§ ) e che ds = (dx, dy, dz) e, quindi applicare la seconda formula del prodotto scalare coordinandosi con la definizione di lavoro elementare per ottenere che dL = đ?‘­ ∗ đ?‘‘đ?’” = Fx dx + đ??šđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś + đ??šđ?‘§ dz

Questa figura ben illustra il significato del lavoro elementare.

In questo caso quando si integra definitamente e’ opportuno ricordare che ds = ��� che consente di ottenere il lavoro L come integrale definito potendo pertanto scrivere che: �

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘–

đ?‘–

đ?‘–

đ?‘–

L = âˆŤđ?‘Ą đ?‘“ đ?‘­ ∗ đ?’—đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤđ?‘Ą đ?‘“ đ??šđ?‘Ľ đ?‘Łđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą + âˆŤđ?‘Ą đ?‘“ đ??šđ?‘Ś đ?‘Łđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą + âˆŤđ?‘Ą đ?‘“ đ??šđ?‘§ đ?‘Łđ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ą


Una modalita’ alternativa ma equivalente di definire il lavoro elementare e’ scriverlo nella forma đ?›żđ??ż = đ?‘­ ∗ đ?‘‘đ?’“ e quindi, con riferimento ad una curva đ?›ž, dati due distinti đ??ľ

punti A e B di essa si e’ soliti scrivere đ??żđ??´đ??ľ = âˆŤđ?›ž đ??´ đ?‘­ ∗ đ?‘‘đ?’“ o, in altri termini, đ??żđ??´đ??ľ = đ??ľ

đ??ľ

đ??ľ

âˆŤđ?›ž đ??´ đ??šđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤđ?›ž đ??´ đ??šđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś + âˆŤđ?›ž đ??´ đ??šđ?‘§ đ?‘‘đ?‘§ đ??ľ

Se đ??żđ??´đ??ľ = âˆŤđ?›ž đ??´ đ?‘­ ∗ đ?‘‘đ?’“ non dipende dalla traiettoria ma assume lo stesso valore per ogni possibile curva e quindi anche nel caso che i punti A e B siano riferiti ad una retta allora si dice che il campo e’ conservativo.

Non necessariamente un campo e’ conservativo.

Se A ≥ đ??ľ si ha un particolare integrale detto circuitazione e, se il campo e’ conservativo, risulta essere ∎ đ?’‡đ?‘‘đ?’“ = 0 .

A≥ đ??ľ


La nozione di potenza

đ??ż

Viene definita potenza media P il rapporto ∆đ?‘Ą e in termini infinitesimi p =

đ?‘‘đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą

.

đ??˝

Si tratta di una grandezza scalare che viene misurata in đ?‘ đ?‘’đ?‘? cioe’ in watt (W).

Determinazione dell’energia cinetica traslazionale.

L’espressione dell’energia cinetica traslazionale puo’ essere ottenuta a partire dall’espressione del II principio della dinamica in forma vettoriale (Zeuli).

Sia r il vettore posizione. Il secondo principio della dinamica puo’ essere scritto come segue.

F = đ?‘šđ?’‚ = mđ?’“Ěˆ .

I due puntini sopra la r indicano che si tratta della derivata seconda di r rispetto al tempo.

Pertanto âˆŤ đ?‘­đ?‘‘đ?’“ puo’ convenientemente essere scritto come âˆŤ đ?‘šđ?’“Ěˆ dr = đ?‘š âˆŤ đ?’“Ěˆ vdt = đ?‘‘đ?’—

đ?‘š âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ą vdt = đ?‘š âˆŤ đ?’—dv.

L’integrale âˆŤ đ?’—dv a meno di una costante vale

1 2 đ?‘Ł 2

in quanto ( đ?’—)2 ≥ đ?’— ∗ đ?’— , da

intendersi alla stregua di un prodotto scalare risultando đ?’— ∗ đ?’— = đ?‘Łđ?‘Ľ đ?‘Łđ?‘Ľ + đ?‘Łđ?‘Ś đ?‘Łđ?‘Ś + đ?‘Łđ?‘§ đ?‘Łđ?‘§ = (đ?‘Łđ?‘Ľ )2 + (đ?‘Łđ?‘Ś )2 + (đ?‘Łđ?‘§ )2 = |đ?’—|2 = đ?‘Ł 2


1 2

In altri termini đ?‘š âˆŤ đ?’—đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘šđ?‘Ł 2 + đ?‘˜

đ?‘Ł(đ?‘Ą)

1

Si puo’ scrivere che L = đ?‘š âˆŤđ?‘Ł(đ?‘Ą=0) đ?’—đ?‘‘đ?’— = 2m ((đ?‘Ł(đ?‘Ą))2 − (đ?‘Ł(0))2 ) 1

La quantita’ T = 2 đ?‘šđ?‘Ł 2 e’ detta energia cinetica traslazionale. Si scrive che đ??ż12 = đ?‘‡2 − đ?‘‡1

I pedici 1 e 2 indicano due distinti istanti di tempo.

Essa puo’ essere messa in una forma ulteriore cioe’ đ?‘‡2 =đ??ż12 +đ?‘‡1 .

Tale relazione indica che l’energia cinetica al tempo 2 (successivo all’istante 1) e’ eguale all’energia cinetica al tempo 1 cui si aggiunge il lavoro compiuto per accelerare la particella, in coerenza con la conservazione dell’energia.

La funzione potenziale

Ho seguito l’impostazione del Zeuli con modeste varianti formali.

Possiamo partire dalla dipendenza delle forze dalla posizione, dalla velocita’ e dal tempo secondo lo schema seguente. Da F = (Fx , Fy , Fz ) si ottengono le seguenti dipendenze funzionali scalari:

đ??šđ?‘Ľ = đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ľ,̇ đ?‘Ś,̇ đ?‘§Ě‡ đ?‘Ą)

đ??šđ?‘Ś = đ??šđ?‘Ś (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ľ,̇ đ?‘Ś,̇ đ?‘§Ě‡ đ?‘Ą)

đ??šđ?‘§ = đ??šđ?‘§ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ľ,̇ đ?‘Ś,̇ đ?‘§Ě‡ đ?‘Ą)


La regione dello spazio “entro il quale la forza F si manifesta viene anche detto “campo di forze� e si dice “intensita’ del campo di forze� la forza che nel campo agirebbe su un punto materiale libero di massa unitaria� (Zeuli).

Gia’ e’ stata data la nozione di forza conservativa.

Sia dato un campo di forze conservativo . Ad ogni punto (x,y,z) ∈ đ??´ ⊆ R e’ associato un vettore F(x,y,z) ∈ đ?‘˝đ?&#x;‘ .

Come noto se il campo e’ conservativo si puo’ scrivere ∎đ?›ž đ?‘­dđ?’“ = 0 . đ?‘ƒ

Dato un punto đ?‘ƒ0 ∈ đ?›ž puo’ essere definita la grandezza U(P≠đ?‘ƒ0 ) = âˆŤđ?‘ƒ đ?‘­dđ?’“ . 0

Tale funzione viene comunemente chiamata potenziale.

Si puo’ evidenziare la linearita’ della funzione potenziale scrivendo: đ?‘ƒâ€˛

đ?‘ƒ

U(P) = âˆŤđ?‘ƒ đ?‘­dđ?’“ + âˆŤđ?‘ƒâ€˛ đ?‘­dđ?’“ . 0

Il lavoro nel passaggio da A a B e’ đ?‘Šđ??´đ??ľ = đ?‘ˆđ??ľ − đ?‘ˆđ??´ .

Si puo’ scrivere đ?‘­dđ?’“ = Fx dx + Fy dy + Fz dz = đ?‘‘đ?‘ˆ essendo U = đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) .

Il luogo U = đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = đ?‘˜ e’ detto superficie equipotenziale.

Tra il potenziale e le componenti scalari della forza valgono le seguenti relazioni:


đ??šđ?‘Ľ = đ??šđ?‘Ś = { đ??šđ?‘§ =

đ?‘‘đ?‘ˆ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘ˆ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘ˆ đ?‘‘đ?‘§

đ??´ volte ci si riferisce alla componente đ??šđ?‘ della forza F secondo una direzione s individuata da una retta passante per il versore t tangente la curva in ogni suo punto.

In casi del genere si scrive đ??šđ?‘ = đ??… ∙ đ??­ =

đ?‘‘đ?‘ˆ đ?‘‘đ?‘

.

Nei campi conservativi vale la relazione F = ∇đ?‘ˆ = gradU .

Un esempio di forza costante. La forza peso.

F costante equivale ad affermare che le tre componenti scalari sono costanti in ogni (x,y,z) di A.

F = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ⇔ Fx = k1 , Fy = k 2 , Fx = k 3 , essendo đ?‘˜1 , đ?‘˜2 đ?‘’ đ?‘˜3 tre costanti reali non tutte nulle.

La nota relazione �d� = Fx dx + Fy dy + Fz dz puo’ essere integrata indefinitamente avendo

âˆŤ đ?‘­dđ?’“ = âˆŤ Fx dx + âˆŤ Fy dy + âˆŤ Fz dz

+ costante = Fx x + Fy y + Fz z +

costante.

Nel caso della forza peso si puo’ porre đ??šđ?‘Ľ = đ??šđ?‘Ś = 0 e đ??šđ?‘§ = −đ?‘š|đ?’ˆ| ove g e’ il vettore che definisce il campo di gravita’.


La forza peso viene usualmente indicata come P = đ?‘šđ?’ˆ = −đ?‘š|đ?’ˆ|đ?’Œ

g

Le forze centrali Dato un punto O una forza F e’ detta centrale se e’ espressa matematicamente da una relazione del tipo F = φ(r)

�� r

o equivalentemente F = φ(r)

�� |��|

.

Nel caso sia φ(r) > 0 la forza e’ repulsiva. Nel caso φ(r) < 0 la forza e’ attrattiva. E’ possibile esprimere la relazione precedente utilizzando il versore đ?’“Ě‚ . Si puo’ quindi scrivere F = φ(r)đ?’“Ě‚ . E’ possibile riconsiderare il noto prodotto scalare F∙ dr applicato al caso concreto, ponendo cioe’ F = φ(r)đ?’“Ě‚ per ottenere quanto segue: F∙ dr = F = φ(r)đ?’“Ě‚ dđ?’“ . I vettori r e dr (in questo caso particolare ! ) hanno la medesima direzione e sono equiverse. Pertanto il calcolo del prodotto scalare e’ banale e si scrive F∙ dr = φ(r)dr in quanto đ?’“Ě‚ dđ?’“ = |đ?’“Ě‚ ||dđ?’“|cos(0) = 1 ∙ dr ∙ 1 = dr .


In definitiva si puo’ scrivere che φ(r)dr = đ?‘‘đ?‘ˆ . Tale relazione puo’ essere integrata indefinitamente potendo affermare che U = âˆŤ φ(r)dr + cost. Si haun caso particolarmente rilevante e noto , quello costituito dal caso di forze centrali inversamente proporzionali al quadrato della distanza compendiate dall’esistenza di una funzione scalare radiale del đ?‘˜

tipo đ?œ‘(đ?‘&#x;) = Âą đ?‘&#x;2 , essendo k una costante fisica positiva opportunamente dimensionata. Ad esempio, con riferimento al campo gravitazionale k indica la costante gravitazionale G. In casi del genere (proporzionalita’ inversa al quadrato della distanza) possono essere formulati i seguenti passaggi validi a meno di una costante arbitraria. đ?‘˜

đ?‘˜

U( r) = âˆŤ đ?‘&#x;2 đ?‘‘đ?‘&#x; = âˆŤ đ?‘˜đ?‘&#x; −2 dr = −2+1 đ?‘&#x; −2+1 =

đ?‘˜đ?‘&#x; −1 −1

đ?‘˜

= −đ?‘˜đ?‘&#x; −1 = − đ?‘&#x; (caso della forza repulsive).

In realta’ ho constatato (Zeuli) che le formule possono essere trattate complessivamente scrivendo đ?‘˜

U( r) = − đ?‘&#x; + costante, considerando k > 0 per le forze repulsive e k < 0 per le forze attrattive. Un caso particolare e’ quello delle cosiddette forze elastiche, per le quali si pone đ?œ‘(đ?‘&#x;) = −đ?‘˜đ?‘&#x; .

La nozione di energia potenziale. Relazione con il potenziale. Data la funzione potenziale U viene definita una distinta grandezza scalare detta energia potenziale V. La relazione che collega queste due grandezze e’ V = − đ?‘ˆ . L’energia potenziale indica il lavoro che bisogna compiere contro le forze del campo per spostare il punto materiale dal punto dello spazio P al punto đ?‘ƒ0 .


L’energia potenziale e’ sostanzialmente l’energia potenziale del corpo. Da V = − đ?‘ˆ si puo’ scrivere ∆V = − ∆đ?‘ˆ cioe’ đ?‘‰2 − đ?‘‰1 = −(đ?‘ˆ2 − đ?‘ˆ1 ) e quindi đ?‘‰2 − đ?‘‰1 = đ?‘ˆ1 − đ?‘ˆ2 . Dalle relazioni {

đ?‘Š12 = đ?‘‡2 − đ?‘‡1 (essendo đ?‘Š12 il lavoro necessario per spostare il corpo) đ?‘Š12 = đ?‘‰1 − đ?‘‰2

si ottiene đ?‘‡2 − đ?‘‡1 = đ?‘‰1 − đ?‘‰2 cioe’ đ?‘‡2 + đ?‘‰2 = đ?‘‡1 + đ?‘‰1 . Tale relazione esprime la condizione di conservazione dell’energia . La somma delle due energie, cinetica e potenziale, e’ comunemente detta energia totale o anche energia meccanica totale del punto materiale. Si scrive T(t) + V(t) = đ??¸(đ?‘Ą). Con riferimento all’energia potenziale si puo’ scrivere: đ?œ•đ?‘‰

đ??šđ?‘Ľ = − đ?œ•đ?‘Ľ F = ∇đ?‘‰ ≥

đ?œ•đ?‘‰

đ??šđ?‘Ś = − đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘‰

{ đ??šđ?‘§ = − đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘‰

Si ha pure đ??šđ?‘ = − đ?œ•đ?‘

Il problema fondamentale della dinamica. Il problema consiste nel partire dall’ipotesi che sia nota la forza F che agisce su un corpo di massa e nel determinare il moto del corpo. L’equazione vettoriale F = đ?’Žđ?’‚ e’ riscribile in termini scalari con le seguenti relazioni: mđ?‘ĽĚˆ = đ??šđ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘ĽĚ‡ , đ?‘ŚĚ‡ , đ?‘§Ě‡ , đ?‘Ą) mđ?‘ŚĚˆ = đ??šđ?‘Ś (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘ĽĚ‡ , đ?‘ŚĚ‡ , đ?‘§Ě‡ , đ?‘Ą)


mđ?‘§Ěˆ = đ??šđ?‘§ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘ĽĚ‡ , đ?‘ŚĚ‡ , đ?‘§Ě‡ , đ?‘Ą) Queste relazioni sono dette equazioni del moto. E’ evidentemente necessario conoscere le cosiddette condizioni iniziali del moto. Quindi per un dato istante đ?‘Ą0 devono essere note la posizione data dalla terna ( x(đ?‘Ą0 ) , y(đ?‘Ą0 ), đ?‘§(đ?‘Ą0 ) ) e le tre componenti della velocita’ đ?‘ĽĚ‡ (đ?‘Ą0 ) , đ?‘ŚĚ‡ (đ?‘Ą0 ), đ?‘§Ě‡ (đ?‘Ą0 ) ) . Saranno quindi necessarie sei condizioni iniziali, cioe’ sei costanti. Le funzioni f = f( đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘ĽĚ‡ , đ?‘ŚĚ‡ , đ?‘§Ě‡ , đ?‘Ą) tali che al variare di đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘ĽĚ‡ , đ?‘ŚĚ‡ , đ?‘§Ě‡ nel tempo risulti essere f(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘ĽĚ‡ , đ?‘ŚĚ‡ , đ?‘§Ě‡ , đ?‘Ą) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. sono dette integrale primo delle equazioni del moto. Ad esempio se F = đ?&#x;Ž il momento lineare, come gia’ detto, rimane costante e si dice (Zeuli) che “sussistono i tre integrali primi mđ?‘ĽĚ‡ = đ?‘?1 , mđ?‘ŚĚ‡ = đ?‘?2 , mđ?‘§Ě‡ = đ?‘?3 ".

Teorema del momento angolare I vettori OP e v giacciono su un piano đ?œ‹ . Il vettore L e’ ortogonale a detto piano. La figura sottostante ben compendia la situazione.

L O

v P


In termini formali si puo’ scrivere che L = đ?‘śđ?‘ˇ Ă— mđ?’— = đ?‘š(đ?‘śđ?‘ˇ Ă— đ?’—) I vettori p e v hanno la medesima direzione e lo stesso verso. Il punto O, ordinariamente detto polo, puo’ ben essere inteso (o associato) all’origine di un sistema di riferimento cartesiano potendosi di fatto scrivere che L = |đ?‘ł|đ?’Œ nel caso particolare che i vettori OP e v siano complanari e contenuti nel piano Oxy.

Il segmento OH deve intendersi ortogonale alla retta che definisce la direzione di v . I vettori OP e v giacciono nel piano Oxy . Nel caso piu’ generale il vettore momento della quantita’ di moto L e’ ottenuto utilizzando il determinante di Laplace, avendo quindi che: đ?‘– đ?‘— đ?‘˜ đ?‘Ś đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘§ L=| ′ | = |đ?‘Śâ€˛ đ?‘Ľ đ?‘Śâ€˛ đ?‘§â€˛

đ?‘§ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘§ đ?‘§â€˛| đ?’Š − |đ?‘Ľâ€˛ đ?‘§â€˛| đ?’‹ + |đ?‘Ľâ€˛

đ?‘Ś (yz ′ − zy ′ )đ?’Š − (xz ′ − zx ′ )đ?’‹ + (xy ′ − xy ′ )đ?’Œ = đ?‘Śâ€˛| đ?’Œ =

(yz ′ − zy ′ )đ?’Š − (zx ′ − xz′)đ?’‹ + (xy ′ − xy ′ )đ?’Œ Da tale determinante sono immediatamente ricavate le componenti scalari del vettore momento della quantita’ di moto L, avendo ad esempio che đ??żđ?‘Ľ = (yz ′ − zy ′ ), etc. .


Il momento di una forza e’ N = �� × � = �� ×

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?’‘.

E’ di fondamentale importanza il teorema del momento angolare scritto vettorialmente come segue: �

N = đ?‘‘đ?‘ĄL

Condizioni del moto. Da E = đ?‘‡ + đ?‘‰ costante e tenendo conto che T e’ strettamente positivo, si afferma che il moto puo’ avvenire nella regione di spazio nella quale risulta E +đ?‘ˆ > 0 . La condizione U(x,y,z) +đ??¸ = 0 e’ usualmente chiamata superficie di velocita’ nulla.


PARTE VI – SISTEMI CONTINUI

Un corpo continuo tridimensionale occupa una certa regione dello spazio tridimensionale e viene modellizzato ammettendo che esso sia costituito da un numero infinito di particelle ognuna delle quali “occupa, in ogni istante, una sua posizione, senza sovrapporsi a nessun’altra particella.� (Benvenuti, Maschio).

In ogni istante di tempo t e’ definita la cosiddetta “figura del corpo� intesa come la regione dello spazio occupata. Essa puo’ variare sia come forma sia come ubicazione nello spazio (p.e., per effetto di un moto traslatorio).

Viene definita una particolare grandezza detta massa volumica đ?œ‡ definita puntualmente e con riferimento ad un dato istante di tempo come đ?œ‡ = ∆đ?‘š ∆đ?‘‰â†’0 ∆đ?‘‰

quindi come lim

�� ��

intesa

.

Tale valore non e’ in generale costante nei vari punti (x, y, z) e neppure nel tempo ragione per cui viene introdotta una funzione massa volumica, detta anche densita’, del tipo đ?œ‡ = đ?œ‡(x, y, z, t).

Nel caso piu’ semplice e banale si pone che sia đ?œ‡ = costante. La densita’ viene misurata in

đ??žđ?‘”đ?‘š . đ?‘š3


Nel caso piu’ generale a partire dalla đ?œ‡ = đ?œ‡(x, y, z, t) viene utilizzato un integrale che quantifica la massa del corpo M = âˆŤđ??ś đ?œ‡(x, y, z, t) dV, Per i corpi deformabili la densita’ in un dato punto dipende dal tempo.

La funzione massa volumica e’ continua ed ammette derivate prime continue.

Si ammette che la massa M del corpo sia costante nel tempo. In generale non si puo’ ammettere che sia V = �(�) costante.

Questa parte sara’ sviluppata in un successivo elaborato dedicato alla meccanica dei fluidi.


PARTE VII – VINCOLI E SISTEMI DI PUNTI . ATTI DI MOTO E GRADI DI LIBERTA’ . EQUAZIONI CARDINALI . BARICENTRO

Esistono situazioni concrete nelle quali la schematizzazione di un corpo di massa m non e’ riconducibile all’ipotesi semplificatrice del punto materiale (o particella).

Una modellizzazione piu’ complessa presuppone che i corpi siano introdotti con riferimento alla proprie e reali dimensioni (Sette).

Occorre introdurre una importante nozione, quella di grado di liberta’.

Il numero dei gradi di liberta’ corrisponde al “minimo numero di coordinate necessarie per determinare la configurazione del sistema” (Sette).

Per un punti materiale sono sufficienti le tre coordinate spaziali, qualora il corpo puntiforme sia libero di muoversi nello spazio tridimensionale. Nel qual caso si dice che esso ha tre gradi di liberta’.

Per un punti materiale vincolato a muoversi su un piano o su una superficie non piana dello spazio tridimensionale, cioe’ nel luogo f(x,y,z), il numero dei gradi di liberta’ si riduce a due .

Per un punto materiale vincolato a muoversi su una curva dello spazio tridimensionale e’ sufficiente un solo parametro (ascissa curvilinea) . In questo particolare caso il numero dei gradi di liberta’ vale 1.


Un punto materiale e’ un caso limite di sistema. Ad esempio due distinti punti materiali costituiscono un sistema, situazione fisica gia’ peraltro introdotta quando e’ stato enunciato il III principio della dinamica (principio di azione e reazione, intesi come forze eguali in modulo e opposte in verso e dirette lungo la direzione della retta congiungente i punti (retta passante per essi)).

Se un sistema fisico e’ costituito da N punti materiali, senza che tra essi sussistano vincoli, sono necessarie 3N coordinate e quindi il sistema ha 3N gradi di liberta’.

Nel caso piu’ generale per un sistema fisico costituito da N punti materiali (o equivalentemente da N parti assimilabili a punti materiali) il numero dei gradi di liberta’ e’ k ≤ 3đ?‘ .

Nei termini piu’ generali lo studio del sistema fisico presuppone che siano note le forze interne e le forze esterne che agiscono sul sistema.

Le forze interne si esercitano tra parti del corpo (equivalentemente tra i punti che lo costituiscono). Tali forze (vedi infra) solitamente non vengono considerate.

Ulteriori considerazioni sui gradi di liberta’ sono riportate nella Parte VIII dedicata al corpo rigido.

Si puo’ considerare il caso piu’ semplice di sistema discreto di corpi puntiformi, quello costituito da due masse đ?‘š1 e đ?‘š2 soggette a forze esterne đ??š1 đ?‘’ đ??š2 , che , e’ appena il


caso di ricordarlo possono anche essere intese come le risultanti delle forze, rispettivamente applicate ai corpi đ?‘š1 e đ?‘š2 .

Si puo’ ammettere il sistema contempli una forza đ?’‡ esercitata da uno dei due corpi sull’atro, a cui, in ossequio al III principio della dinamica, deve corrispondere una forza eguale e contraria −đ?’‡ esercitata dal secondo corpo sul primo.

Con le ipotesi fatte il primo corpo e’ soggetto ad una forza risultante e ad una conseguente accelerazione compendiate dalla seguente equazione vettoriale

đ?‘­đ?&#x;? − đ?’‡ = đ?‘š1 đ?’‚đ?&#x;?

Per il secondo corpo e’ data la seguente equazione vettoriale

đ?‘­đ?&#x;? + đ?’‡ = đ?‘š2 đ?’‚đ?&#x;? Sommando membro a membro queste due equazioni vettoriali si ottiene

đ?‘­đ?&#x;? + đ?‘­đ?&#x;? − đ?’‡ + đ?’‡ = đ?‘š1 đ?’‚đ?&#x;? + đ?‘š2 đ?’‚đ?&#x;?

đ?‘­đ?&#x;? + đ?‘­đ?&#x;? = đ?‘š1 đ?’‚đ?&#x;? + đ?‘š2 đ?’‚đ?&#x;? In questa ultima relazione vettoriale la grandezza đ?‘­đ?&#x;? + đ?‘­đ?&#x;? puo’ essere intesa come la forza risultante esterna che agisce sul sistema (risultante delle forze esterne applicate al sistema). Essa viene indicata con la lettera F, ammettendo quindi F = đ?‘­đ?&#x;? + đ?‘­đ?&#x;? .

A tale relazione vettoriale corrispondono le seguenti tre relazioni scalari:


đ??šđ?‘Ľ = đ?‘š1 đ?‘Ž1,đ?‘Ľ + đ?‘š2 đ?‘Ž2,đ?‘Ľ

đ??šđ?‘Ś = đ?‘š1 đ?‘Ž1,đ?‘Ś + đ?‘š2 đ?‘Ž2,đ?‘Ś

đ??šđ?‘§ = đ?‘š1 đ?‘Ž1,đ?‘§ + đ?‘š2 đ?‘Ž2,đ?‘§

Evidentemente la massa totale del sistema e’ � = �1 + �2 .

Si opera per equivalente, quindi dato un sistema di masse e note le forze esterne e quindi la loro risultante, introducendo un punto C, detto centro di massa per il quale deve valere la seguente equazione vettoriale:

�� = ��� Il punto C, detto centro di massa, corrisponde al punto nel quale si puo’ considerare concentrata la massa � = �1 + �2 che si muove sotto l’azione della forza F risultante delle forze esterne applicate alla distribuzione di masse.

Le coordinate del centro di massa sono :

đ?‘Ľđ?‘? = đ?‘Śđ?‘? = {

đ?‘§đ?‘? =

�1 �1 +�2 �2 � �1 �1 +�2 �2 � �1 �1 +�2 �2 �

essendo (�1 , �1 , �1 ) � ( �2 , �2 , �2 ) sono le coordinate dei punti di massa �1 � �2 .

Le coordinate del centro di massa dipendono dalla distribuzione delle masse nello spazio e dal valore di esse.


Il passaggio da due a piu’ componenti puntiformi e’ immediato, tenendo conto che comunque (a prescindere da N) la somma delle forze interne che un punto (ogni punto) esercita sugli altri e’ eguale e contraria (per il terzo principio della dinamica di Newton) a quella esercitata si di esso dai rimanenti (N−1) punti materiali.

Se N e’ il numero dei punti materiali che costituiscono il sistema la massa complessiva del sistema e’ M= ∑ đ?‘šđ?‘– .

Le coordinate del centro di massa sono cosi’ espresse: 1

đ?‘Ľđ?‘? = đ?‘€ ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘? = { đ?‘§đ?‘? =

1 đ?‘€ 1 đ?‘€

∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘§đ?‘–

Con notazione vettoriale il centro di massa puo’ essere rappresentato a mezzo del vettore di posizione di tale punto.

Si ha đ?’“đ?’„ =

1 ∑ đ?‘šđ?‘– đ?’“đ?’Š đ?‘€

Concisamente, e con significato inequivoco, anche nel caso di N masse si puo’ scrivere:

F = ∑ đ?‘šđ?‘– đ?’‚đ?’Š = đ?‘€đ?’‚đ?’„

I sistemi fisici costituiti da un numero intero N di punti materiali e’ detto discreto.

Un sistema puo’ essere pensato come costituito da un numero infinito di corpi puntiformi di massa m → 0+ . Tale sistema e’ detto continuo.


Per i sistemi continui e’ necessario considerare la densita’ (o massa volumica) đ?œŒ = ∆M ∆đ?‘‰â†’0 ∆V

lim

=

đ?‘‘đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ą

.

Laddove si considerano corpi riconducibili a superfici o a curve dello spazio si ∆M ∆đ?‘†â†’0 ∆S

introducono nozioni analoghe intese rispettivamente come lim

∆M ∆đ??żâ†’0 ∆L

e lim

.

Nel caso piu’ generale, cioe’ nel caso di un corpo costituito da una distribuzione di massa che occupa un volume V, possono essere introdotte le coordinate del centro di massa che risultano essere:

đ?‘Ľđ?‘? = đ?‘Śđ?‘? = { đ?‘§đ?‘? =

1 đ?‘€ 1 đ?‘€ 1 đ?‘€

âˆŤđ?‘† đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘š âˆŤđ?‘† đ?‘Śđ?‘‘đ?‘š âˆŤđ?‘† đ?‘§đ?‘‘đ?‘š

Per descrivere il moto del sistema continuo e’ sufficiente riferirsi al moto del suo centro.

Occorre ora introdurre la quantita’ di moto di N corpi puntiformi di massa đ?‘šđ?‘– con i ≤đ?‘ .

In questo caso si puo’ scrivere, coerentemente con il fatto che la quantita’ di moto e’ una grandezza vettoriale, che đ?’‘đ?’• = đ?’‘đ?&#x;? + đ?’‘đ?&#x;? + â‹Ż ‌ + đ?’‘đ?‘ľ = ∑ đ?’‘đ?’Š = đ?’‘đ?‘Ş , ove đ?’‘đ?‘Ş indica la quantita’ di moto del centro di massa del sistema.

La quantita’ di moto del centro di massa e’ đ?’‘đ?‘Ş = Mđ?’—đ?’„ essendo M = ∑ đ?‘šđ?‘– .


Il teorema della quantita’ di moto riferito al caso di un sistema di N corpi materiali �

đ?‘‘

consente di affermare che đ?‘­đ?’† = đ?‘‘đ?‘Ą đ?’‘đ?‘Ş Se đ?‘­đ?’† = đ?&#x;Ž per ogni t allora đ?‘‘đ?‘Ą đ?’‘đ?‘Ş = đ?&#x;Ž pertanto đ?’‘đ?‘Ş e’ costante nel tempo. Verificate queste condizioni si dice che il sistema e’ isolato.

E’ ora possibile introdurre il teorema del momento della quantita’ di moto riferito a corpi puntiformi di massa đ?‘šđ?‘– con 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘ . A tali corpi puntiformi costituenti il sistema fisico sono applicate le forze esterne đ?‘­đ?’Š .

Assegnato un polo O viene definito il vettore đ?‘´đ?’† = ∑ đ?‘´đ?’Š = ∑ đ?’“đ?’Š Ă— đ?‘­đ?’Š .

đ?‘´đ?’Š indica il momento della forza esterna (intendibile anche in termini di risultante delle forze esterne applicate alla particella i-esima). I momenti sono riferiti al punto O.

E’ quindi possibile definire il momento della quantita’ di moto del sistema scrivendo che b = ∑ đ?’ƒđ?’Š = ∑ đ?’“đ?’Š Ă— đ?’‘đ?’Š

Anche in questo caso, considerando il III principio della dinamica con riferimento alle forze interne (tra le particelle del sistema) si ricava la relazione vettoriale che collega đ?‘‘

le grandezze considerate, cioe’ risulta đ?‘‘đ?‘Ąb = đ?‘´đ?’† . Il momento interno e’ nullo in quanto e’ nulla la risultante delle forze interne in quanto per ogni coppia (i, j) di corpi materiali con i ≠đ?‘— risulta evidentemente (III principio della dinamica) che đ?’‡đ?’Š + đ?’‡đ?’‹ = đ?&#x;Ž .


Ictu oculi si ha che se đ?‘´đ?’† = đ?&#x;Ž allora đ?’ƒ = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’•. .

L’energia cinetica del sistema fisico considerato e’ la somma delle energie cinetiche 1

delle singole parti. In formula si scrive đ??¸đ?‘?đ?‘–đ?‘› = ∑ đ??¸đ?‘?đ?‘–đ?‘› 1,‌,đ?‘ = 2 ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Łđ?‘–2 . Si tratta dell’energia cinetica che viene misurata da un osservatore solidale con il sistema di riferimento Oxyz, in quiete rispetto al riferimento delle stelle fisse.

Occorre ora considerare il Teorema di đ??žĂśnig che completa le considerazioni sulla misura dell’energia cinetica del sistema in esame.

Si hanno due distinti sistemi di riferimento, Oxyz in quiete rispetto al sistema delle stelle fisse e un sistema Cx’y’z’ in moto traslatorio con velocita’ �� . Tale sistema di riferimento e’ il sistema di riferimento del centro di massa.

La velocita’ di un corpo rispetto a Oxyz e’ đ?’—đ?&#x;Ž mentre la velocita’ di tale punto rispetto alla terna solidale con il punto C (centro di massa) e’ đ?’—′đ?&#x;Ž . La relazione tra le tre velocita’ e’ đ?’—đ?&#x;Ž = đ?’—đ?’„ + đ?’—′đ?&#x;Ž . 1 2

1 2

1 2

L’energia cinetica totale e’ T = ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Łđ?‘–2 = ∑ đ?‘šđ?‘– (đ?’—đ?’Š ∙ đ?’—đ?’Š ) = ∑ đ?‘šđ?‘– (đ?’—đ?’„ + đ?’—′đ?’Š,đ?&#x;Ž ) ∙ 1

1

(đ?’—đ?’„ + đ?’—′đ?’Š,đ?&#x;Ž ) = 2 ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Łđ?‘?2 + 2 ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Łâ€˛2đ?‘–,0 + ∑ đ?‘šđ?‘– đ?’—đ?’„ ∙ đ?’—′đ?’Š,đ?&#x;Ž . Ma ∑ đ?‘šđ?‘– đ?’—đ?’„ ∙ đ?’—′đ?’Š,đ?&#x;Ž = 0 .


Infatti ∑ đ?‘šđ?‘– đ?’—đ?’„ ∙ đ?’—′đ?’Š,đ?&#x;Ž = đ?’—đ?’„ ∑ đ?‘šđ?‘– đ?’—′đ?’Š,đ?&#x;Ž . A questo punto si puo’ osservare che ∑ đ?‘šđ?‘– đ?’—′đ?’Š,đ?&#x;Ž e’ la quantita’ di moto (o meglio la somma delle quantita’ di moto) misurata da un osservatore solidale con il centro di massa .

Tale grandezza vale 0 in quanto un osservatore solidale con C misura nulla la velocita’ del corpo (perche’ osservatore idealizzato e centro di massa sono solidali e non in moto relativo).

In altri termini si puo’ scrivere che 1 ∑ đ?‘šđ?‘– 2

T =

1 ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Łđ?‘?2 2

+

1 ∑ đ?‘šđ?‘– 2

�′2�,0 =

1 đ?‘šđ?‘Łđ?‘?2 2

+

�′2�,0 .

Massa ridotta di un sistema isolato di due corpi Al solito si considera un sistema inerziale costituito da due corpi A e B di masse đ?‘šđ??´ đ?‘’ đ?‘šđ??ľ in generale non eguali. Si indica đ?’‡đ?‘¨đ?‘Š la forza esercitata da B su A e con đ?’‡đ?‘Šđ?‘¨ la forza esercitata dal corpo A su B. Tali forze sono tali che đ?’‡đ?‘¨đ?‘Š = −đ?’‡đ?‘Šđ?‘¨ . A questo punto vanno considerate le accelerazioni. L’accelerazione sul corpo A e’ dovuta alla forza esercitata dal corpo B, quindi si ha đ?’‡đ?‘¨đ?‘Š = mA đ?’‚đ?‘¨ . Ulteriormente si ha đ?’‡đ?‘Šđ?‘¨ = mB đ?’‚đ?‘Š . In definitiva si ha mA đ?’‚đ?‘¨ + mB đ?’‚đ?‘Š = đ?&#x;Ž . L’accelerazione del moto relativo e’ a = đ?’‚đ?‘Š − đ?’‚đ?‘¨ =

��� ��

đ?‘­

− ( đ?’Žđ?‘Šđ?‘¨ ) = đ?‘Š

��� ��

+

��� . ��


1 mA

Posto ��� = � si puo’ scrivere a = �( 1

+

1 ). mB

1

La grandezza m + m e’ detta massa ridotta. A

B

E’ utile fare qualche ulteriore considerazione sulle proprieta’ del centro di massa di un sistema di punti materiali. Il centro di massa determinabile per ogni sistema fisico costituito da un numero discreto di punti materiali e’ quel particolare punto che puo’ essere sostituito, in termini quindi di equivalenza, al sistema per finalita’ descrittive del sistema qualora si ammetta che tutta la massa del sistema sia ivi concentrata.

Al riguardo (Zeuli) per ogni punto i del sistema sono valide le seguenti due relazioni vettoriali:

∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘śđ?‘ˇđ?’Š = (∑ đ?‘šđ?‘– )đ?‘śđ?‘Ž ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘ˇđ?’Š G= đ?&#x;Ž

che, come ricorda il citato autore, conducono alle seguenti interessanti proprieta’ del centro di massa: 

se i punti đ?‘ƒđ?‘– sono giacenti su una retta o appartengono ad un piano allora anche G appartiene a quella retta o a quale piano;




se i punti đ?‘ƒđ?‘– del sistema sono interni ad una superficie (oppure ad una linea piana) chiusa e convessa anche il centro di massa e’ interno al luogo considerato.

Occorre poi ricordare che il centro di massa gode della proprieta’ distributiva. Cio’ vuol dire che dato un sistema di N punti materiali e’ sempre possibile calcolare il centro di massa di N – đ?‘˜ di tali punti e calcolare il corrispondente centro di massa, riferito a tali punti. Per calcolare il centro di massa degli N punti e’ possibile adottare la finctio di introdurre il centro di massa degli N − đ?‘˜ punti e sostituire ad essi il centro di massa e considerare un punto la cui massa e’ la somma delle masse di detti N − đ?‘˜ punti e lavorare quindi sui rimanenti k punti.

Un esempio chiarisce bene il senso della citata proprieta’. Si voglia (esempio forse banale, ma credo utile a chiarire‌.) calcolare il centro di massa di 4 punti materiali di eguale massa posti ai vertici di un quadrato di lato d.


Si puo’ procedere come segue. Si parte col dire che il sistema e’ equivalente al seguente, ottenuto considerando il sistema del centro di massa riferito alle masse �1 +�2 avendo il seguente sistema fisico.

đ?‘š1 +đ?‘š2

Il punto cui corrisponde �1 +�2 si trova nel punto di mezzo tra i punti cui corrispondono le masse 1 e 2. Analoga riflessione puo’ essere fatta con riferimento ai corpi 3 e 4.

Da ultimo si puo’ arrivare a questa situazione equivalente.

Il centro di massa e’ nel punto medio del segmento congiungente �1 +�2 e �3 +�4. In definitiva il centro di massa e’ collocato nel centro geometrico del quadrato e in esso


in termini di equivalenza deve ritenersi in esso collocata l’intera massa del sistema considerato.

Si riportano a fianco le due situazioni equivalenti.

Se si vuole dare piu’ immediatezza alla circostanza che il centro di massa in questo caso e’ collocato nel centro geemetrico del quadrato si puo’ ragionare sulle masse in diagonale‌.. Un ulteriore semplice esempio puo’ essere utile. Si chiede di individuare il centro di massa di due corpi di masse distinte poste a distanza d tra di loro.

Il problema e’ evidentemente studiabile su una retta, in quanto due punti dello spazio definiscono comunque una retta.

Il problema e’ ricondotto alla istituzione di un sistema di ascisse sulla retta, ammettendo che al punto G corrisponda il valore 0 e alla utilizzazione della relazione vettoriale ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘ˇđ?’Š G= đ?&#x;Ž che con riferimento al caso concreto puo’ essere posta in


forma scalare, scrivendo che deve risultare ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘ƒđ?‘– G= 0 . In questo caso i vale 2, avendosi un sistema costituito da due soli punti.

Deve in definitiva risultare che đ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘š2 đ?‘Ľ2 = 0 da cui si ottiene la relazione đ?‘š2 đ?‘Ľ1

−đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2

=

da cui si ottiene la relazione che collega le distanze delle masse dal centro di massa

quando siano note le masse medesime.

Essa vale immediatamente |

−đ?‘Ľ1 | đ?‘Ľ2

=

đ?‘š2 đ?‘Ľ1

cioe’

|−đ?‘Ľ1| |đ?‘Ľ2 |

=

đ?‘š2 đ?‘Ľ1

.

Se le masse sono eguali allora | − đ?‘Ľ1| = |đ?‘Ľ2 | cioe’ il centro di massa si trova nel punto medio della distanza tra le masse (eguali).


PARTE VIII – MOTO DI SISTEMI RIGIDI. MOMENTO DI INERZIA. TENSORE DI INERZIA.

Un sistema rigido e’ un sistema, solitamente continuo, rispetto al quale si ammette che la distanza tra due distinti punti di esso e’ costante nel tempo. Cio’ e’ vero per ogni coppia di punti distinti di esso.

In assenza di vincoli un sistema rigido ha sei gradi di liberta’.

Infatti qualora si considerino tre punti A, B, e C non allineati tali che appartengono al corpo considerato si avrebbero 9 gradi di liberta’. In realta’ i gradi di liberta’ sono solo 6 in quanto, poiche’ si considera un corpo rigido allora d(A,B) , d(A, C) e d (B, C) sono date. Allora date le coordinate di A si hanno le coordinate di B e di C.

Ci si deve convincere della necessita’ anche del terzo parametro d(B,C) quando siano dati i primi due‌..

La seguente figura che va intesa nello spazio tridimensionale ed evidenzia punti đ??ľđ?‘– distinti da B e i punti đ??śđ?‘– distinti da C tali che d(A,B)= đ?‘‘(đ??´, đ??ľđ?‘– ) e d(A,C)= đ?‘‘(đ??´, đ??śđ?‘– )

Nello spazio i punti B e i vari đ??ľđ?‘– definiscono una circonferenza di centro A e di raggio d(A,B) , mentre i punti C e đ??śđ?‘– sono i punti di una circonferenza di centro A e di raggio C.


E’ ovvio che la distanza d(đ??ľđ?‘– đ??śđ?‘– ) non e’ in generale costante.

E’ necessario avere anche tale distanza. Fissata essa il problema e’ risolto.

Alle coordinate di un punto (qualunque tra i tre dati) vanno sommate le tre distanze. Quindi sono necessarie almeno sei parametri (tre coordinate e tre distanze) .

Una nozione basica solitamente introdotta in relazione ai corpi e’ la cosiddetta invarianza.

Poiche’ ci si muove nel contesto della geometria euclidea e’ utile precisare che lo spazio viene inteso come omogeneo.

Relativamente ai corpi rigidi si ammette che nelle traslazioni le dimensioni e la forma del corpo in esame non cambiano, parlando al riguardo di invarianza per le traslazioni.

Una ulteriore fondamentale proprieta’ dello spazio euclideo e’ l’isotropia.

Tutte le direzioni sono equivalenti, non ne esiste una privilegiata. La rotazione non muta la forma o le dimensioni dei corpi.

Ove valesse la condizione di non invarianza i corpi muterebbero forma e/o dimensione per traslazione e/o per rotazione.

Le conseguenze fisiche di tali principi sono rappresentati dalla conservazione della quantita’ di molto lineare e del momento della quantita’ di moto.


Un corpo rigido che puo’ solo traslare ha tre gradi di liberta’, mentre nel caso della traslorotazione il numero dei gradi di liberta’ risulta essere sei.

Una particella nel solido ha tre gradi di liberta’. Se un punto M di un corpo solido e’ fisso, allora per un distinto punto di esso sono possibili solo due gradi di liberta’.

Se i punti fissi divengono due allora il terzo punto ha un solo grado di liberta’.

Vengono definite alcune nozioni basiche – peraltro gia’ prese in considerazione nella precedente parte – quali quella di densita’ (o come piu’ propriamente si dovrebbe dire di massa volumica) intesa come il rapporto tra la massa del corpo e il volume da essa occupato, cioe’ đ?œŒ =

� �

, ordinariamente misurata in

đ??žđ?‘”đ?‘š đ?‘š3

.

Di norma si ammette sia đ?œŒ = đ?œŒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) sia costante (distribuzione uniforme di massa) anche se cio’ non e’ necessariamente vero.

Nel caso di distribuzioni di massa non uniformi di utilizza la nozione di densita’ riferita ad un intorno spaziale del punto dato (x,y,z), indicato con dV.

In questo caso si scrive đ?œŒ =

�� ��

. Nel volume infinitesimo dV la densita’ puo’ ritenersi

costante.

Dalla relazione đ?œŒ =

�� ��

si ottiene đ?œŒđ?‘‘đ?‘‰ =dM e quindi M = âˆŤđ?‘‰ đ?œŒđ?‘‘đ?‘‰ .

Moto di traslazione di un corpo rigido


Ogni punto del corpo si muove con la medesima velocita’ traslazionale che e’ anche la velocita’ del suo centro di massa.

Per conoscere la velocita’ traslazionale di un corpo e’ sufficiente conoscere la velocita’ di un suo punto qualunque.

La quantita’ di moto del corpo vale Q = đ?‘šđ?’— e tale quantita’ vettoriale si conserva se la risultante delle forze esterne vale đ?‘­đ?’† = đ?&#x;Ž .

Nel caso piu’ generale vale la prima equazione cardinale scritta nella forma vettoriale � ��

p = đ?‘­đ?’† .

Moto di rotazione del corpo attorno ad un asse fisso

La seguente figura va intesa come riferita ad un corpo che occupa un volume V dello spazio tridimensionale, anche se appare appiattita.

I punti đ?‘ƒđ?‘œ đ?‘’ đ?‘ƒ1 sono le posizioni del medesimo punto P visti nel tempo per effetto della rotazione. Essi sono su una circonferenza di raggio OP.


I punti 0, đ?‘ƒđ?‘œ đ?‘’ đ?‘ƒ1 giacciono in un piano đ?›˝ .

Si puo’ rappresentare il vettore velocita’ angolare come da figura che segue.

k

đ?‘‘

Se đ?œ‘ e’ l’angolo descritto da P nell’unita’ di tempo allora si puo’ scrivere che đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ‘(đ?‘Ą) = đ?œ‘̇ (t) indica il modulo della velocita’ angolare, vista quindi da un punto di vista scalare.

In termini vettoriali si scrive đ??Ž(đ?‘Ą) = đ?œ‘̇ (t)k .

Tale vettore ha la direzione dell’asse di rotazione del corpo.

Derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene si ottiene l’accelerazione angolare che ovviamente ha la medesima direzione del vettore velocita’ angolare.

Tra la velocita’ vettoriale e la velocita’ angolare sussiste una particolare relazione compendiata dalla seguente relazione v = đ??Ž Ă— đ?’“ .


Quanto vidi per la prima volta questa relazione me ne chiesi la ragione, partendo dal fatto che ci si riferisce ad un punto che dista |r| dall’asse di rotazione e che il vettore v e’ ordinariamente tangente la traiettoria in ogni suo punto‌.. L’ulteriore riflessione da fare e’ l’ammettere che i vettori r e đ??Ž giacciono sullo stesso piano. Cio’ e’ vero‌.. Quindi se si vuole essere eccessivamente formali si puo’ spostare il vettore v parallelamente a se stesso in modo che i tre vettori coinvolti siano passanti per O punto dell’asse di rotazione del solido.

I tre vettori costituiscono una terna destra (altrimenti detta sinistrorsa) .

Con la regola della mano destra avendo il pollice la direzione di v si da conto della direzione angolare (come se il vettore đ??Ž ruotasse fino a sovrapporsi al vettore r) come dalla freccia che indica l’angolo.

Qualora si considerasse la rotazione opposta, quella che sovrappone il vettore r al vettore đ??Ž si otterrebbe un distinto prodotto vettoriale risultando, come noto dalla anticommutativita’ del prodotto vettoriale, che r Ă— đ??Ž = −đ?’— .

Per comodita’ si disegna il solo primo caso, ovvero v = đ??Ž Ă— đ?’“ .

w

r

v


I vettori w ed r sono complanari, cioe’ giacciono su uno stesso piano. Il vettore e’ perpendicolare al piano dei due vettori complanari.

Il vettore đ??Ž e’ anche detto rotazione. Dalla relazione che collega i tre considerati vettori e’ possibile, derivando rispetto al tempo ottenere l’accelerazione vettoriale.

Infatti, si puo’ scrivere che

Quindi

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

v=

đ?‘‘ (đ??Ž đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

v=

đ?‘‘ (đ??Ž đ?‘‘đ?‘Ą

Ă— đ?’“)= đ??Ž Ă—

d đ?‘‘ đ?’“ + ( đ??Ž) dt đ?‘‘đ?‘Ą

Ă— đ?’“.

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

Ă— đ?’“)= (đ??Ž Ă— đ?’— ) + ( đ??Ž) Ă— đ?’“) .

đ?‘‘

Alla prima componente del vettore �� v = � cioe’ a

determinante simbolico

đ??Ž Ă— đ?’— corrisponde il seguente

đ?‘– đ?‘— đ?‘˜ 0 0 đ?œ”(đ?‘Ą) | | mentre al secondo prodotto vettoriale đ?‘Łđ?‘Ľ đ?‘Łđ?‘Ś 0

đ?‘– đ?‘— corrisponde il determinante simbolico | 0 0 đ?‘Łđ?‘Ľ đ?‘Łđ?‘Ś

đ?‘˜ đ?‘¤Ě‡ (đ?‘Ą)|. 0

đ?‘‘

Il simbolo đ?‘¤Ě‡ (đ?‘Ą) deve intendersi correttamente come đ?‘¤Ě‡ (đ?‘Ą) = đ?‘‘đ?‘Ą |đ??Ž(đ?‘Ą)| . đ?‘‘ đ??Ž(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą

Cio’ coerentemente con la gestione di + đ??Ž(đ?‘Ą)

đ?‘‘ đ?’Œ đ?‘‘đ?‘Ą

=đ?’Œ

đ?‘‘ |đ??Ž(đ?‘Ą)| + đ?‘‘đ?‘Ą

0 = đ?’Œ

đ?‘‘ |đ??Ž(đ?‘Ą)| đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

= đ?‘‘đ?‘Ą |đ??Ž(đ?‘Ą)|đ?’Œ

đ?‘‘

= (đ?‘‘đ?‘Ą |đ??Ž(đ?‘Ą)|)đ?’Œ

.

Si osservi che le relazioni vettoriali che collegano i tre vettori sono sempre riconducibili alla terna seguente con i sensi di rotazione ivi indicati.


đ??Ž

r

rĂ—đ?’— =đ??Ž ,

v

đ?’—Ă—đ??Ž=đ?’“ , đ??ŽĂ—đ?’“ =v

I prodotti vettoriali qui considerati sono vincolati alla circostanza che il tre vettori sono perpendicolari a due a due.

La nozione di momento di inerzia.

Il momento di inerzia rispetto ad un asse.

Si consideri un anello metallico circolare di raggio R che ruota attorno ad un asse fisso perpendicolare al suo piano e passante per il suo centro geometrico.

Il modulo del momento della quantita’ di moto vale J = đ?‘šđ?‘Łđ?‘… = đ?‘šđ?‘… 2 đ?œ” .

La quantita’ đ?‘šđ?‘… 2 viene detta momento di inerzia rispetto all’asse z. La precedente relazione viene scritta come segue J = đ??źđ?‘§ đ?œ” .


A prescindere da queste considerazioni sempre riprese nella manualistica e’ possibile fornire la definizione di momento di inerzia rispetto ad un dato asse come segue.

Si considera un punto P ed una retta a non passante per P detta asse . Viene chiamato momento di inerzia rispetto alla retta a la grandezza đ??źđ?‘Ž = đ?‘šđ?‘&#x; 2 , essendo m la massa del punto materiale ed r la distanza di tale punto dalla retta a.

La figura sottostante ben chiarifica la situazione che si considera.

asse

�̂

P

O

Il segmento in rosso perpendicolare all’asse in termini metrici esprime la misura della distanza del punto P dall’asse, che nella formula di definizione del momento di inerzia e’ stato indicato con r.

Il punto O non e’ rilevante ai fini della definizione e pertanto puo’ essere ritenuto un punto “qualunque� .

E’ possibile porre il momento di inerzia nella forma đ??źđ?‘Ž = đ?‘š(đ?‘śđ?‘ˇ Ă— đ?’?)2 .


Nel caso di un sistema fisico costituito da N punti materiali il momento di inerzia rispetto ad un asse a risulta essere đ??źđ?‘Ž = ∑ đ?‘šđ?‘– (đ?‘śđ?‘ˇđ?’Š Ă— đ?’?)2 .

Nel caso di sistemi continui il sistema puo’ essere immaginato da elementi di massa đ?œŒđ?‘‘đ??´ e il momento di inerzia rispetto ad un asse a sara’ dato dal seguente integrale:

đ??źđ?‘Ž = âˆŤđ??´ đ?œŒđ?‘‘đ??´ Se m e’ la massa del sistema costituito dalle masse đ?‘šđ?‘– il momento di inerzia risulta đ??ź đ?‘š

dato dalla relazione đ??źđ?‘Ž = đ?‘šđ?‘…đ?‘Ž2 da cui immediatamente e’ possibile ricavare đ?‘…đ?‘Ž = Âąâˆš đ?‘Ž , ritendendo, ovviamente, accettabile la sola soluzione positiva.

Tale grandezza e’ usualmente detta raggio di inerzia.

La manualistica (Zeuli) riporta un caso notevole. Quello di un sistema di punti che appartengono tutti ad un medesimo piano essendo richiesto di considerare il momento di inerzia rispetto ad un asse z perpendicolare al piano Oxy .

In questo caso si dimostra una relazione notevole tra i momenti di inerzia rispetto ai tre assi compendiata come segue: đ??źđ?‘§ = đ??źđ?‘Ľ + đ??źđ?‘Ś .

Questa relazione cosi’ semplice tiene conto della nozione di distanza di un punto (x,y) del piano sul quale giacciono tutti i punti che costituiscono il sistema dall’asse z che e’ data dal teorema di Pitagora. Poiche’ vi sono piu’ punti, in generale N, sara’ necessario notate le coordinate con un pedice i .


Ricordando che đ?‘&#x;đ?‘–2 = đ?‘Ľđ?‘–2 + đ?‘Śđ?‘–2 e tenendo conto della linearita’ di ∑(. ) si puo’ scrivere đ??źđ?‘§ = ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– đ?‘&#x;đ?‘–2 = ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– (đ?‘Ľđ?‘–2 + đ?‘Śđ?‘–2 ) = ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–2 + ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– đ?‘Śđ?‘–2 . Da cui la tesi.

Momenti di inerzia riferiti ad assi paralleli. Teorema di Huygens-Steiner.

Ci si deve chiedere quale relazione sussista tra il momento di inerzia rispetto all’asse z e il momento misurato rispetto ad un asse z’ parallelo all’asse z.

Si puo’ partire dalla relazione đ?‘&#x;đ?‘–2 = đ?‘Ľđ?‘–2 + đ?‘Śđ?‘–2 valida anche quando i punti del sistema discreto di punti non sono complanari. Infatti questa non e’ una ipotesi restrittiva contenuta nel teorema in oggetto.

Sia d la distanza tra gli assi z e z’ cui sono associati i versori k e k’.

đ??źđ?‘§ = ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– đ?‘&#x;đ?‘–2 = ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– (đ?‘Ľđ?‘–2 + đ?‘Śđ?‘–2 ) Si puo’ disegnare una figura rappresentativa delle relazioni con riferimento ad un punto qualunque del sistema che si considera.

k

k’

j

i


Si pone OO’ = � . Pertanto la relazione tra le ascisse e’ x = � + �, essendo x la ascissa del punto considerato misurata da un osservatore in O e X la ascissa misurata da un osservatore collocato in O’.

Tale osservazione puo’ essere riferita ad ogni punto del sistema.

Si osservi che per le altre due coordinate non si sono differenze di misurazione da parte dei due ipotetici osservatori, collocati rispettivamente in O e in O’.

A questo punto e’ possibile, per quanto detto, scrivere che

đ??źđ?‘§ =

∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– đ?‘&#x;đ?‘–2 = ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– (đ?‘Ľđ?‘–2 + đ?‘Śđ?‘–2 ) = ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– ((đ?‘‹đ?‘– + đ?‘‘)2 + đ?‘Śđ?‘–2 )) = ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– ⌋(đ?‘‹đ?‘– )2 + 2đ?‘‹đ?‘– đ?‘‘ +

đ?‘‘2 +(đ?‘Śđ?‘– )2

= ∑đ?‘–((đ?‘‹đ?‘– )2 + (đ?‘Śđ?‘– )2 ) +2đ?‘‘ ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– đ?‘‹đ?‘–

+ ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– đ?‘‘2

= ∑đ?‘–((đ?‘‹đ?‘– )2 + (đ?‘Śđ?‘– )2 )

+2đ?‘‘ ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– đ?‘‹đ?‘– +đ?‘€đ?‘‘2 . Ma 2đ?‘‘ ∑đ?‘– đ?‘šđ?‘– đ?‘‹đ?‘– = 0 quindi đ??źđ?‘§ = đ??źđ?‘§â€˛ + đ?‘€đ?‘‘2 essendo đ??źđ?‘§â€˛ ≥ đ??źđ??ś . Essendo đ?‘€đ?‘‘2 > 0 ne consegue che đ??źđ?‘§ > đ??źđ??ś .

E’ stato ben precisato (Scudieri) che “il momento di inerzia di un sistema e’ la misura della tendenza del corpo, ruotante attorno ad un asse fisso, a non variare la propria velocita’ angolare sotto l’azione di un momento assiale costante�


PARTE IX – CINEMATICA RELATIVA. LA RELATIVITA’ GALILEIANA.

Tutti i testi di fisica generale e di meccanica razionale riportano pagine dedicate alla relativita’ galileiana. Sostanzialmente la totalita’ di essi riporta le cosiddette formule di trasformazione da un sistema di riferimento in quiete rispetto al sistema delle stelle fisse ad un sistema di riferimento i cui assi sono, nel dominio del tempo, sempre paralleli agli assi del sistema di riferimento in quiete.

Per fissare le idee si puo’ partire da un universo fisico costituito da una retta, considerando un riferimento (quindi un osservatore) in quiete nel punto O, detto origine che misura la velocita’ di un corpo K che si muove sulla destra di esso e che dichiara che tale velocita’ e’ ��,� cui corrisponde una velocita’ scalare |��,� |. I deponenti K e O indicano che si misura la velocita’ di K rispetto all’osservatore O in quiete.

Si ipotizzi quindi un osservatore che si muove rispetto a O con una velocita’ ��′ ,� che in termini scalari viene indicato come |��′ ,� |.

Nell’universo semplificato costituito da una sola retta le grandezze vettoriali hanno una sola direzione possibile, rappresentata ovviamente dalla retta e due versi possibili, percorrenza a destra oppure a sinistra.

Dalla teoria elementare dei vettori e’ noto che dato un vettore v ne esiste uno opposto di esso indicato come −đ?’— = −đ?&#x;?đ?’—.


In questa realta’ semplificata puo’ essere assunta come positiva una grandezza vettoriale orientata verso destra, e negativa una grandezza vettoriale orientata nel senso opposto, come avviene ordinariamente nel mondo dei vettori dello spazio tridimensionale. In ogni caso operando su una retta e’ sufficiente ragionare sulle velocita’ scalari dotate di un segno positivo se il moto avviene da sinistra verso destra e con segno negativo se il moto avviene nel verso opposto, cioe’ da destra verso sinistra.

Se il corpo K e O’ si muovono rispetto ad O nello stesso verso (si spostano entrambi da sinistra verso destra, o entrambi da destra verso sinistra) la relazione che collega le velocita’ e’ immediatamente data da đ?‘Łđ??žđ?‘‚′ = đ?‘Łđ??žđ?‘‚ − đ?‘Łđ?‘‚′đ?‘‚ . đ?‘š

Ho poi fatto questo semplice esempio. Si ammetta che sia đ?‘Łđ??žđ?‘‚ = 2 đ?‘ đ?‘’đ?‘? . Cio’ vuol dire che il corpo puntiforme K si muove da sinistra verso destra, rispetto ad un osservatore in quiete, posto in O, alla velocita’ di

2

đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘?

. Si ammetta poi che l’osservatore O’ in �

moto relativo rispetto ad O si sposti con una velocita’ đ?‘Łđ?‘‚′đ?‘‚ = 6 đ?‘ đ?‘’đ?‘? . Con questi dati e’ possibile determinare la velocita’ del corpo K rispetto all’osservatore O’ che immediatamente risulta essere đ?‘Łđ??žđ?‘‚′ = đ?‘Łđ??žđ?‘‚ − đ?‘Łđ?‘‚′ đ?‘‚ = 2 − 6 = −4 metri al secondo. Il valore negativo della velocita’ trovata indica che l’osservatore solidale con O’ misura una velocita’ che esprime l’allontanamento del punto materiale K rispetto ad O’.

E’ poi evidente che se đ?‘Łđ??žđ?‘‚ = đ?‘Łđ?‘‚′đ?‘‚ l’osservatore in O’ afferma che K e’ in quiete rispetto ad esso. In questo caso si conserva nel tempo la distanza d(K ,O’).


La relazione scalare đ?‘Łđ??žđ?‘‚′ = đ?‘Łđ??žđ?‘‚ − đ?‘Łđ?‘‚′đ?‘‚ diviene una relazione vettoriale quando si ha uno spazio di dimensione d = 2, 3.

Si puo’ pertanto scrivere che đ?’—đ?‘˛đ?‘śâ€˛ = đ?’—đ?‘˛đ?‘ś − đ?’—đ?‘śâ€˛ đ?‘ś cui corrispondono le tre seguenti relazioni scalari: đ?’—đ?‘˛đ?‘śâ€˛ ,đ?’™ = đ?’—đ?‘˛đ?‘ś,đ?’™ − đ?’—đ?‘śâ€˛ đ?‘ś,đ?’™ đ?’— { đ?‘˛đ?‘śâ€˛ ,đ?’š = đ?’—đ?‘˛đ?‘ś,đ?’š − đ?’—đ?‘śâ€˛ đ?‘ś,đ?’š đ?’—đ?‘˛đ?‘śâ€˛ ,đ?’› = đ?’—đ?‘˛đ?‘ś,đ?’› − đ?’—đ?‘śâ€˛ đ?‘ś,đ?’›

Queste sono le relazioni tra le velocita’, rese nel modo piu’ immediato possibile‌‌

La cosiddetta realativita’ galileiana e’ legata al principio di equivalenza tra sistemi inerziali (Bernardini) per il quale “nello studio di un fenomeno la scelta di un sistema di riferimento e di un orologio e’ in linea di principio a discrezione di chi si propone di osservare detto fenomeno.� Questo modo di intendere e’ comune alla meccanica classica e alla teoria della relativita’ einsteniana.

Gia’ dal banale esempio fatto si ha la conferma di quanto scrive il noto fisico (Bernardini) e cioe’ che “i valori specifici delle grandezze fisiche e quindi la formulazione quantitativa di qualsiasi fenomeno, dipendono dal sistema di riferimento scelto�.

In base al moto di un sistema rispetto ad un altro, note le grandezze misurate in un sistema si possono ricavare quelle misurate dal secondo osservatore (e viceversa).


Mentre nel modesto esempio introdotto ci si e’ riferiti alle velocita’ e’ possibile ragionare sulle coordinate di due sistemi di riferimento uno dei quali in quiete (o, come si dice, “fissoâ€?) mentre il secondo e’ animato, rispetto al primo da una velocita’ đ?‘Ł ≥ (đ?‘Łđ?‘Ľ , đ?‘Łđ?‘Ś , đ?‘Łđ?‘§ ).

Per fissare le idee e’ possibile riferirsi ad un esempio dato nel piano, quindi in due dimensioni, considerando due distinti riferimenti aventi gli assi mutuamente paralleli come nella figura sottostante.

đ?›˝

đ?‘‘2

�

đ?‘‘1

Questa rappresentazione rappresenta la situazione all’inizio dei tempi (una “condizione iniziale�) . Al tempo t = 0 i due sistemi di riferimento sono tali che la relazione tra le coordinate del punto P in blu rispetto ai due sistemi di riferimento siano date dalle due seguenti relazioni:

� = �1 + � { � = �2 + �


Si ammetta ora che il sistema O’ si muova con velocita’ v rispetto al sistema O in quiete rispetto al sistema delle stelle fisse. Le relazioni assegnate diventano immediatamente le seguenti:

� = �1 + � + �� � {� = � + � + � � 2 �

Nella relativita’ classica si ammette che il tempo scorra uniformemente e non sia pertanto influenzato dalle condizioni di moto relativo di un sistema di riferimento inerziale in moto rispetto ad un altro. In altri termini se un osservatore inerziale munito di orologio evidenzia che un fenomeno e’ durato t secondi ogni altro osservatore munito di orologio e solidale con un qualunque sistema di riferimento inerziale in moto relativo rispetto ad esso affermera’ che l’evento osservato e’ durato t secondi.

� = �1 + � + �� � Se si ragiona nello spazio il sistema di relazioni { � = � + � + � � deve essere 2 � � = �1 + � + �� � sostituito dal seguente { � = �2 + � + �� � . � = �3 + � + �� �

La assolutezza del tempo giustifica la possibilita’ di derivare rispetto al tempo avendo che risulta essere

đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘Ľ(đ?‘Ą)) = đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘‘1 + đ?›ź + đ?‘Łđ?‘Ľ đ?‘Ą) = đ?‘Łđ?‘Ľ { đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘Ś(đ?‘Ą)) = đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘‘2 + đ?›˝ + đ?‘Łđ?‘Ś đ?‘Ą) = đ?‘Łđ?‘Ś đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘§(đ?‘Ą)) = đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘‘3 + đ?›ž + đ?‘Łđ?‘§ đ?‘Ą) = đ?‘Łđ?‘§


Analoghe riflessioni possono essere fatte per le accelerazioni.

Scrive un bravo fisico (Bernardini) che “la meccanica classica rinunzia allo spazio assoluto, ma non al tempo assoluto. In particolare si puo’ parlare di eventi simultanei” quando si hanno nello stesso istante assoluto.

Da cio’ consegue (Berrnardini) che in realta’ “non esiste per i fenomeni meccanici, uno spazio assoluto, cioe’ un sistema di riferimento privilegiato che si possa considerare fisso rispetto a tutti gli altri. Infatti, in un qualunque altro sistema in moto rettilineo e uniforme rispetto a quello che noi pretendiamo di considerare fisso, i fenomeni meccanici (in generale tutti i fenomeni fisici) partendosi dalle stesse condizioni iniziali si svolgono nello stesso identico modo. I due sistemi sono perfettamente equivalenti (….).

Si suole anche dire (Kittel, Knight, Ruderman) che “le leggi fondamentali della fisica hanno la stessa forma in due sistemi di riferimento collegati da una trasformazione galileiana”.

Occorre ora rimuovere l’ipotesi che i due sistemi di riferimento di origini O e O’ siano lo stesso orientamento (assi corrispondenti paralleli).

Si considerano quindi due distinti sistemi di riferimento, il primo dei quali fisso e il secondo in moto rispetto al primo e un punto P in moto relativo rispetto ad entrambi.


Il secondo moto descrive un moto risultante di una traslazione e di una rotazione attorno ad un asse passante per O’ origine del secondo riferimento. La rotazione avviene con velocita’ angolare đ??Ž .

Il punto P rispetto ad O (fisso) e’ individuato dal vettore r(t) = đ?‘śđ?‘ˇ(đ?‘Ą). Rispetto al riferimento mobile (rispetto al riferimento di origine O) il punto P e’ descritto sal vettore posizione r’(t) = đ?‘śâ€˛đ?‘ˇ(đ?‘Ą). Come ben si evidenzia dalla figura che segue vale la seguente relazione vettoriale nella quale per semplicita’ si e’ omesso di rappresentare la dipendenza dal tempo che deve ritenersi, ovviamente, sussistente. đ?‘&#x; = đ?‘‚đ?‘ƒ = đ?‘‚đ?‘‚′ + đ?‘‚′đ?‘ƒ = đ?‘‚đ?‘‚′ + đ?‘Ľđ?’Šâ€˛ + đ?‘Śđ?’‹â€˛ + đ?‘§đ?’Œâ€˛ essendo (i’, j’, k’) e’ la base ortonormale riferita al riferimento mobile di origine O’.

Ecco la figura che rappresenta la situazione in un dato istante.

d

đ?‘‘

Da OP = ��′ + �′ � e’ possibile applicare la derivata temporale avendo dtOP = �� ��′ + � ′ �� �� � ��

d

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘

ed in definitiva dtOP = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘śđ?‘śâ€˛ + đ?‘‘đ?‘Ą (đ?‘Ľđ?’Šâ€˛ + đ?‘Śđ?’‹â€˛ + đ?‘§đ?’Œâ€˛) = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘śđ?‘śâ€˛ + đ?‘‘đ?‘Ą (đ?‘Ľđ?’Šâ€˛ ) + đ?‘‘

(đ?‘Śđ?’‹â€˛)+ đ?‘‘đ?‘Ą (đ?‘§đ?’Œâ€˛) .


Ognuno degli ultimi tre termini deve essere sviluppato applicando il noto teorema della derivata del prodotto di due funzioni. Poiche’ il sistema ruota attorno ad un asse passante per O’ ma non coincidente con nessuno degli assi cartesiano aventi come origine (punto comune) il punto O’ allora i tre versori non possono essere intesi alla stregua di tre costanti ma hanno una dipendenza dal tempo. Quindi, ad esempio si puo’ scrivere che: � ��

(��′ ) = �′

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(đ?‘Ľ) + x

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(�′) dove x e i’ devono essere intesi come due funzioni del tempo.

Analogamente si procede per gli altri due addendi. Ove invece l’asse di rotazione coincidesse con uno degli assi cartesiani allora tale relazione sarebbe vera per gli altri due versori. Ad esempio qualora l’asse di rotazione coincidesse con la direzione del vettore i’ sarebbe in quanto

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(��′ ) = �′

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(đ?‘Ľ)

(�′) = 0 in quanto �′ deve essere inteso come una costante nel dominio del tempo.

E’ ovvio che sotto questa condizione i vettori j’ e k’ ruotano e quindi non possono essere trattiti quali delle costanti. Lo sviluppo della formula

d dt

OP =

� ��′ ��

+

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(��′ ) +

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(��′ ) +

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(đ?‘§đ?’Œâ€˛ ) presuppone

l’utilizzazione di particolari relazioni vettoriali dette equazioni di Poisson. Al momento tali relazioni vengono considerate date anche se successivamente esse saranno dimostrate. Si dimostra che assegnata una base ortonormale (i’, j’ , k’) e data una velocita’ angolare đ??Ž valgono le seguenti relazioni vettoriali: đ?‘‘đ?’Šâ€˛ đ?‘‘đ?‘Ą

= đ??Ž Ă— đ?’Šâ€˛

đ?‘‘đ??Łâ€˛ đ?‘‘đ?‘Ą

= đ??Ž Ă— đ?’‹â€˛


đ?‘‘đ?‘˜â€˛ đ?‘‘đ?‘Ą

= đ??Ž Ă— đ?’Œâ€˛

Operando sui termini del tipo

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(��′ ) tenuto conto che nessuno dei tre versori puo’ essere

considerato costante e tenendo conto delle formule di Poisson appena enunciate si ottiene la relazione ordinariamente utilizzata cioe’: d OP dt

=

� ��′ ��

+ [đ??Ž Ă— (đ?’Šâ€˛ đ?‘Ľ + đ?’‹â€˛ đ?‘Ś + đ?’Œâ€˛ đ?‘§)] + đ?’Šâ€˛

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

+�′

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą

+ đ?’Œâ€˛

�� ��

.

In dette formule ho considerato la terna (x,y,z) come riferita al sistema di origine O’ in quanto nella trattazione non c’e’ esigenza di considerare le terne riferite al sistema di origine O, quello fisso, tanto per intenderci. La relazione

d OP dt

=

� ��′ ��

+ [đ??Ž Ă— (đ?’Šâ€˛ đ?‘Ľ + đ?’‹â€˛ đ?‘Ś + đ?’Œâ€˛ đ?‘§)] + đ?’Šâ€˛

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

+�′

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą

+ đ?’Œâ€˛

�� ��

puo’ a sua volta

essere ulteriormente derivata rispetto al tempo ottenendo quindi la relazione tra le accelerazioni. d

d

d

La derivata di dtOP cioe’ dt (dtOP) e’ detta accelerazione assoluta. �

La derivata prima di đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘śđ?‘śâ€˛ + [đ??Ž Ă— (đ?’Šâ€˛ đ?‘Ľ + đ?’‹â€˛ đ?‘Ś + đ?’Œâ€˛ đ?‘§)] cioe’ la grandezza (funzione)

d � ( ��′ dt ��

+

[đ??Ž Ă— (đ?’Šâ€˛ đ?‘Ľ + đ?’‹â€˛ đ?‘Ś + đ?’Œâ€˛ đ?‘§)]) e’ detta accelerazione di trascinamento. La grandezza

d dt

(�′

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

+�′

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą

+ đ?’Œâ€˛

�� ) ��

e’ detta accelerazione complementare o anche di Coriolis.

Tale accelerazione viene compattata con la formula vettoriale seguente: đ?’‚đ?’„ = đ?&#x;?(đ??Ž Ă— đ?’—đ?’“ ) dove đ?’—đ?’“ indica la velocita’ vettoriale di P rispetto al riferimento O’ in moto rispetto al riferimento di origine O.


Le formule di Poisson Nel contesto del moto traslatorio puo’ risultare che đ?œ´đ?‘ś(đ?’•) = đ?œś(đ?’•)đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž) ove đ?œś(đ?’•) e’ una funzione scalare. đ?œ´ indica l’origine del sistema di riferimento fisso mentre O indica l’origine del sistema di riferimento in moto rispetto al primo e solidale con il punto P. In questo particolare caso i tre versori (i, j, k) del sistema di riferimento mobile di origine O conservano il loro orientamento nel tempo . In ogni caso e’ possibile considerare il primo banale caso di traslazione quello per il quale đ?œ´đ?‘ś(đ?’•) = đ?œś(đ?’•)đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž) che nel caso di allontanamento di O rispetto a Ί impone sia đ?œś(đ?’•) ≼ đ?&#x;? dovendo essere đ?œś(đ?’• = đ?&#x;Ž) = đ?&#x;? . Questo e’ un caso alquanto elementare che conduce immediatamente alla seguente relazione scalare |đ?œ´đ?‘ś(đ?’•)| = đ?œś(đ?’•)|đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž)| risultando intuitivo che si puo’ anche scrivere |đ?œ´đ?‘ś(đ?’•)| = |đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž)| + |đ?’—|t . A questo punto si puo’ scrivere che đ?œś(đ?’•)|đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž)| = |đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž)| +|đ?’—|t da cui si puo’ esplicitare immediatamente đ?œś(đ?’•) =

|đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž)| +|đ?’—|đ??­ |đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž)|

|đ?’—|

= đ?&#x;? + |đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž)| đ??­ .

Se al tempo t = đ?&#x;Ž le coordinate del punto O (quello che si muove nel tempo‌) sono rispetto al punto (“fissoâ€?) đ?œ´ espresse come O(đ?&#x;Ž) = (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž , đ?’›đ?&#x;Ž) mentre le coordinate del punto O al tempo t sono O(đ?’•) = (đ?’™đ?&#x;Ž +đ?’—đ?’™ đ?’•, đ?’šđ?&#x;Ž + đ?’—đ?’š đ?’•, đ?’›đ?&#x;Ž + đ?’—đ?’› đ?’•). Non ogni traslazione e’ riconducibile a tale caso. Anche nel caso |v(t)| = cost. non necessariamente si puo’ affermare che sia v(t) = cost. Ad esempio i vettori radiali di una data circonferenza hanno eguale modulo (pari al raggio di essa) ma non son eguali variando per la direzione‌.. Nel caso che i vettori |đ?œ´đ?‘ś(đ?’•)| e |đ?œ´đ?‘ś(đ?&#x;Ž)| non siano linaearmente dipendenti cioe’ quando sia v(t) ≠cost. occorre utilizzare una funzione che associa ad ogni t un valore v(t) cui sono associate tre funzioni scalari del tempo đ?’—đ?’™ (đ?’•), đ?’—đ?’š (đ?’•), đ?’† đ?’—đ?’› (đ?’•) .


Quindi il problema del moto di O rispetto a đ?œ´ e’ ricondotto al caso della composizione dei tre moti di O rispetto alle direzioni dei tre assi che individuano il sistema di riferimento di origine đ?œ´. In questo caso ci si riconduce alle formule del problema cinematico inverso (data una velocita’ ricavare una posizione) e la relazione che collega O( đ?&#x;Ž ) a O (đ??‰ ) e’ đ??‰

đ??‰

compendiata come O(đ?&#x;Ž)= (đ?’™, đ?’š, đ?’›) e O(đ??‰)= (đ?’™ + âˆŤđ?&#x;Ž đ?’—đ?’™ (đ?’•)đ?’…đ?’•, đ?’š + âˆŤđ?&#x;Ž đ?’—đ?’š (đ?’•)đ?’…đ?’•, đ?’› + đ??‰

âˆŤđ?&#x;Ž đ?’—đ?’› (đ?’•)đ?’…đ?’• ). Si e’ usato đ??‰ per evitare confusione con l’indice muto t usato nell’integrale definito. Fatte queste considerazioni si puo passare alla rotazione, considerando la terna ortonormale del riferimento O, mobile rispetto a quello di origine Ί . Con riferimento ai tre versori e’ noto che valgono le seguenti relazioni: đ?’Šđ?&#x;? = đ?’‹đ?&#x;? = đ?’Œđ?&#x;? = đ?&#x;? (in esse, ad esempio, đ?’Šđ?&#x;? ≥ đ?’Š ∙ đ?’Š da intendere, ovviamente, come un prodotto scalare) đ?’‹âˆ™đ?’Œ =đ?’Œâˆ™đ?’Š =đ?’Šâˆ™đ?’‹ =đ?&#x;Ž ed anche đ?’Š Ă— đ?’‹ = đ?’Œ , đ?’‹ Ă— đ?’Œ = đ?’Š , đ?’Œ Ă— đ?’Š = đ?’‹, ove Ă— denota il prodotto vettoriale. Queste ultime relazioni sono tutte derivabili rispetto al tempo. đ?’… đ??? đ??? Ad esempio đ?’…đ?’• đ?’‹ ∙ đ?’Œ = đ?’‹ đ???đ??­k + đ?’Œ đ???đ??­j = đ?&#x;Ž da cui si ha jđ?’ŒĚ‡ = −đ?’Œđ?’‹Ě‡

Parte in elaborazione

Risoluzione dell’equazione vettoriale c = đ?’‚ Ă— đ?’™, dove il vettore x deve ritenersi incognito. E’ possibile utilizzare il determinante simbolico di Laplace. đ?’Š đ?’‹ đ?’Œ đ?’‚đ?&#x;? đ?’‚ c = | đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;‘ | = |đ?’™ đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘

đ?’‚đ?&#x;‘ đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘ | đ?’Š − |đ?’™đ?&#x;?

đ?’‚đ?&#x;‘ đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘ | đ?’‹ + |đ?’™đ?&#x;?

đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? | đ?’Œ


Il vettore c puo’ essere reso in forma cartesiana come segue: c = 𝒄𝟏 𝒊 + 𝒄𝟐 𝒋 + 𝒄𝟑 𝒌 essendo 𝒂𝟐 𝒄𝟏 = |𝒙 𝟐

𝒂𝟑 𝒙𝟑 | = 𝒂𝟐 𝒙𝟑 − 𝒂𝟑 𝒙𝟐

𝒂𝟏 𝒄𝟐 = − |𝒙 𝟏

𝒂𝟏 𝒄𝟑 = |𝒙 𝟏

𝒂𝟑 𝒙𝟑 | = −(𝒂𝟏 𝒙𝟑 − 𝒂𝟑 𝒙𝟏 ) = 𝒂𝟑 𝒙𝟏 − 𝒂𝟏 𝒙𝟑 𝒂𝟐 𝒙𝟐 | = 𝒂𝟏 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 𝒙𝟏

Pertanto ci si puo’ ricondurre al seguente sistema: 𝒂𝟐 𝒙𝟑 − 𝒂𝟑 𝒙𝟐 = 𝒄𝟏 {𝒂𝟑 𝒙𝟏 − 𝒂𝟏 𝒙𝟑 = 𝒄𝟐 𝒂𝟏 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 𝒙𝟏 = 𝒄𝟑


PARTE X – ATTRITO

Fino a questo punto sono state considerate le forze esterne applicate ad un corpo rigido e le forze interne che si esercitano tra i punti materiali che costituiscono un corpo discreto. Esiste una ulteriore tipologia di forze detta reazione vincolare legate ai vincoli cui puo’ essere soggetto il moto di un corpo. Il classico caso di reazione vincolare e’ quella che viene esercitata su un corpo costretto (vincolato) mantenersi su una data superficie, come accade nel caso di un oggetto poggiato su un tavolo. In questo caso la forza peso P = đ?‘šđ?’ˆ e’ bilanciata da una forza eguale e contraria R e il corpo si mantiene a contatto con la superficie, risultando essere P +đ?‘š = đ?&#x;Ž .

In casi del genere il moto verticale che si avrebbe per effetto del campo g e’ impedito. In casi del genere anche il moto orizzontale, dell’oggetto sul tavolo quado non impedito da qualche altro vincolo e’ , nella realta’, limitato da un ulteriore tipo di forza che si oppone al moto, la cosiddetta forza di attrito.

In altri termini se sul corpo di massa m viene esercitata una forza F parallela alla superficie che costituisce il vincolo potra’ essere misurata una accelerazione a’ minore dell’accelerazione prevedibile teoricamente sulla base del II principio della dinamica, �

cioe’ a = � . L’accelerazione a’ puo’ essere interpretata come quella conseguente alla risultante delle due forze aventi versi opposti, la forza F applicata al corpo e l’attrito A.


In altri termini si puo’ scrivere a’ =

đ?‘­âˆ’đ?‘¨ đ?‘š

.

Ma sperimentalmente si puo’ dire di piu’ e cioe’ che se si esercita una forza F il corpo resta in quiete (non trasla sul vincolo) quando F ≤ đ?œ‡đ?‘ .

La grandezza adimensionata sperimentale e’ detta coefficiente di attrito statico.

Quando F > đ?œ‡đ?‘ il corpo si mette in moto e per tenerlo in moto rettilineo uniforme occorre esercitare una forza F = đ?›żđ?‘ con đ?›ż < đ?œ‡.

La grandezza adimensionata � e’ detta coefficiente di attrito dinamico (radente).

Tali coefficienti variano al variare della natura e dallo stato delle superfici a contatto e non sono relazionate all’area della superficie di contatto (precisando che la stessa nozione di superfici a contatto e’ impropria in quanto tra le superfici vi sono dei punti di contatto (cosiddette saldature) per cui e’ necessario esercitare una forza per rompere questi punti, detti di saldatura tra le superfici).

Se si esercita una forza F variabile nel tempo cresce parimenti la forza di attrito (due forze eguali e contrarie). Questo avviene non indefinitamente ma fino a quando F ≤ đ?œ‡đ?‘ . Quando F > đ?œ‡đ?‘ la forza di attrito statico si annulla e il corpo si muove.

Per mantenere il corpo in moto occorre che la forza F sia tale che F ≼ đ?›żđ?‘ .

Si osservi che la condizione per la quale il moto del corpo sia rettilineo e uniforme e’ che F = đ?›żđ?‘ .


L’accelerazione a’ delle prime righe di questa parte e’ riferita all’attrito dinamico quindi si puo’ scrivere che a’ =

đ?‘­âˆ’đ?œšđ?‘ľ . m

Della presenza dell’attrito si deve tenere conto anche quando si studia la conservazione dell’energia in quanto allo strofinamento e’ associato un incremento di energia termica (calore) che risulta eguale al prodotto della forza di attrito dinamico per il relativo spostamento.

La reazione vincolare R e’ legata a N e alla forza di attrito statico đ?œ‡đ?‘ľ dalla seguente relazione vettoriale compendiata nella figura che segue.

R− đ?‘ľ − đ?œ‡đ?‘ľ = đ?&#x;Ž

La reazione vincolare R puo’ essere scomposta nelle due componenti perpendicolare N e radiale đ?œ‡đ?‘ľ .


PARTE XI – REAZIONI VINCOLARI

Gia’ nella parte relativa all’attrito e’ stata introdotta la nozione di reazione vincolare che ora in questa parte puo’ essere sviluppata opportunamente.

Un punto P e’ vincolato se il suo movimento non e’ libero essendo il suo moto possibile solo secondo una certa direzione (se esso si muove su una retta) oppure se esso si muove su una curva data o su un luogo di � 3, quale un piano o una data superficie z = �(�, �).

Come gia’ detto gli spostamenti cineticamente possibili (cosi’ vengono chiamati gli spostamenti compatibili con un vincolo assegnato) piu’ rilevanti sono quelli del punto appoggiato su una superficie (e quindi libero di muoversi solo su di essa), del punto ritenuto da una superficie (come ad esempio una pallina contenuta nell’intercapedine tra due piani paralleli), del punto ritenuto da una linea che quindi scorre su di essa .

Un vincolo e’ detto fisso quando esso e’ indipendente dal tempo quando esso non varia nel tempo cioe’, come si dice, non si muove ne’ si deforma nel corso del tempo.

Un vincolo e’ detto bilaterale se ogni spostamento e’ invertibile.

Un vincolo e’ bilaterale se per un punto P sono egualmente ammissibili lo spostamento dP che porta il punto P dalla posizione iniziale đ?‘ƒ0 alla posizione đ?‘ƒ0 + đ?‘‘đ?‘ƒ e lo spostamento đ?‘ƒ0 − đ?‘‘đ?‘ƒ .


Se questa condizione non e’ ammessa allora il vincolo e’ detto unilateriale.

In questo caso si e’ in presenza di spostamenti non invertibili.

I vincoli unilaterali impediscono al sistema di accedere a verte porzioni di spazio ma non costringono il corpo a mantenere il contatto con il vincolo.

Nel vincolo bilaterale il corpo e’ a contatto con il vincolo.

L’esistenza o meno di un vincolo e’ rilevante ai fini dell’applicazione dei principi della dinamica. Il comportamento di un corpo sul quale agisce una data forza F varia a seconda che vi sia presente un vincolo o meno. La forza F e’ detta forza attiva applicata al punto.

La formulazione del II principio della dinamica nel caso dell’esistenza di un vincolo, e quindi di una forza di reazione vincolare e’ in termini vettoriali data dalla seguente relazione:

F + đ?‘š = đ?‘šđ?’‚

Tale relazione e’ ovviamente scalarizzabile secondo le tre direzioni a due a due ortogonali.

Nello studio dei vincoli ci sono i nessi con la teoria dell’attrito. E’ utile ricordare che un vincolo e’ detto liscio (cioe’ privo di attrito) se la reazione vincolare e’ normale al vincolo.


Nota l’accelerazione a rilevata del corpo e noto il valore della F applicata al corpo e’ possibile per differenza ricavare il valore di R per poi ottenere le due componenti radiale e ortogonale.

Qualche osservazione elementare sul pendolo matematico Un esempio classico di reazione vincolare e’ quella del cosiddetto pendolo matematico. Nella sua modellizzazione si ipotizza che esista un angolo massimo đ?œ˝đ?&#x;Ž che esprime una condizione iniziale (e astrattamente periodica) di massimo scostamento rispetto alla direzione ortogonale rispetto al suolo.

đ??‘đ?&#x;Ž

r

A questa condizione iniziale corrisponde la seguente rappresentazione delle forze (peso e reazione vincolare) seguente. R mg

L’angolo in giallo e’ quello di massimo spostamento dalla verticale.


La manualistica (Mencuccini, Silvestrini) indica compiutamente come si ottiene il valore della reazione vincolare in funzione dell’angolo đ??‘ risultando che: R = đ?’Žđ?’ˆ(đ?&#x;‘ đ??œđ??¨đ??Ź(đ??‘) − đ?&#x;?đ??œđ??¨đ??Ź(đ??‘đ?&#x;Ž ). La reazione vincolare per un angolo đ??‘ ∈ (−đ??‘đ?&#x;Ž , đ??‘đ?&#x;Ž ) e’ scomponibile nelle due direzioni ortogonali date dai due assi cartesiani di cui e’ dato pure il verso. Rsinđ??‘ Rcosđ??‘ mg

Per come sono considerati gli assi cartesiani la componente lungo l’asse delle x della reazione vincolare, indicata in modulo come Rcosđ??‘, deve essere intesa negativa risultando Rcosđ??‘ = đ?’Žđ?’‚đ?’™ da cui immediatamente si ricava il modulo dell’accelerazione lungo la direzione delle x, che, vettorialmente e’ diretta nel verso delle x negative. Ragionando sull’asse delle ordinate, per il verso convenzionale assegnato a tale asse e’ possibile mettere il II principio della dinamica nella formula scalare: −đ?’Žđ?’ˆ + đ?‘šđ?’”đ?’Šđ?’?đ??‘ = đ?’Žđ?’‚đ?’š . E’ immediato mettere in evidenza la grandezza đ?’‚đ?’š ottenendo che: đ?’‚đ?’š =

−đ?’Žđ?’ˆ+đ?‘šđ?’”đ?’Šđ?’?đ??‘ đ?’Ž

= −đ?’ˆ +

đ?‘šđ?’”đ?’Šđ?’?đ??‘ đ?’Ž

per |đ??‘| < đ??‘đ?&#x;Ž



PARTE XII – STATICA

Statica del punto materiale

Un punto P libero o soggetto a vincoli fissi (che quindi non variano nel tempo) e lisci (cioe’ in assenza di attriti) e’ in una condizione di equilibrio in un dato punto đ?‘ƒ0 se qualora su di esso agiscono forze esterne esso mantiene la propria posizione nel punto đ?‘ƒ0 . Esso rimane in tale posizione indefinitamente.

In termini formali si puo’ scrivere che (đ?’“ = đ?‘śđ?‘ˇ(đ?’•) = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ⇔ đ?’—(đ?‘Ą) = 0) ⇒ đ?‘­ + đ?œą = đ?&#x;Ž )⤃ (đ?’“ = đ?‘śđ?‘ˇ(đ?’•) = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ⇔ đ?’—(đ?‘Ą) = 0) .

Il simbolo di non coimplicazione ⤃ ci sta tutto in quanto dato un riferimento Oxyz si puo’ pensare esistente un distinto riferimento O’x’y’z’ tale che OO’(t) ≠đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą. seppure đ?‘‘

sotto la condizione đ?‘‘đ?‘ĄOO’(t) = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’•. . In altri termini la relazione đ?‘­ + đ?œą = đ?&#x;Ž e’ compatibile con la condizione ( đ?’“ = đ?‘ˇđ?‘ś(đ?’•) ≠đ?’„đ?’?đ?’”đ?’• ⇔ đ?’—(đ?‘Ą) = đ?’Œ ≠đ?&#x;Ž) .

Al tempo iniziale

Istante successivo


Configurazione di equilibrio statico Sia đ?‘ƒ0 una configurazione di equilibrio. Tale configurazione di equilibrio si dice stabile se lo spostamento del corpo da tale punto al punto đ?‘ƒ1 tale che d(đ?‘ƒ0 , đ?‘ƒ1 ) → 0 e’ tale che le forze agenti sul punto P riportano il corpo nel punto đ?‘ƒ0 compiano un lavoro negativo, risulti cioe’ che đ??ż0→1 < 0. La seguente tabella riporta sinteticamente la relazione tra lavoro e tipologia di equilibrio. Tipo di equilibrio

đ??ż0→1 Negativo

stabile

Nullo

indifferente

Positivo

instabile

E’ stato osservato (Mencuccini, Silvestrini) che quantunque la nozione di equilibrio sia “cinematicaâ€? diventano rilevanti le “condizioni dinamiche per l’equilibrioâ€?. Qualora si consideri un solo grado di liberta’ (cioe’ quando ci si riferisca al moto vincolato su una retta o con riferimento ad una curva in termini di ascissa curvilinea) la condizione di equilibrio e’ data dalla đ?œ•đ?‘ˆ

relazione đ?œ•đ?‘Ľ = đ?‘“đ?‘Ľ = 0 . In tale relazione U indica l’energia potenziale. In generale la relazione e’

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ľ

= −đ?‘“đ?‘Ľ .

Se lo scenario del moto e’ costituito dallo spazio tridimensionale allora la condizione di equilibrio e’ đ?œ•đ?‘ˆ

data da đ?œ•đ?‘Ľ =

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ś

=

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘§

=0 .


Se si limita l’attenzione ad una sola dimensione e quindi si rappresenta l’andamento di U = đ?‘ˆ(đ?‘Ľ) dove i punti di equilibrio corrispondono ai punti cosiddetti stazionari della curva.

I tre segmenti verticali tratteggiati indicano tre punti cui corrispondono altrettante condizioni di equilibrio. Le figure seguenti esemplificano altrettanti casi di equilibrio, il primo dei quali di equilibrio instabile. Il punto di massimo e’ un punto di equilibrio instabile.

đ?‘Ľ0

Si ha che U(đ?‘Ľ0 ) > đ?‘ˆ(đ?‘Ľ) ∀ x ∈ (đ?‘Ľ − đ?›ż, đ?‘Ľ + đ?›ż) − {đ?‘Ľ0 } con đ?›ż → 0+ . đ?œ•đ?‘ˆ

Nell’intorno sinistro di đ?‘Ľ0 si ha đ?œ•đ?‘Ľ > 0 conseguentemente la forza repulsiva allontana il punto dalla condizione di equilibrio (instabile) đ?‘Ľ0 . đ?œ•đ?‘ˆ

đ?œ•đ?‘ˆ

Si puo’ scrivere che đ?‘“đ?‘Ľ (đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ľ0 − đ?›ż, đ?‘Ľ0 ) = − đ?œ•đ?‘Ľ < 0 in quanto đ?œ•đ?‘Ľ > 0 . Analoghe riflessioni possono essere formalizzate per un intorno destro di đ?‘Ľ0 .


Statica dei sistemi Un sistema fisico costituito da N punti materiali e’ in una condizione di equilibrio se e solo se sono in condizione di equilibrio i singoli punti che lo compongono. Quindi devono essere verificate le due seguenti condizioni (necessarie ma non sufficienti per l’equilibrio) dette equazioni cardinali della statica. đ?‘­đ?’†đ?’”đ?’• = đ?&#x;Ž { đ?‘´đ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž ∀punto O Nelle equazioni cardinali e’ sempre necessario tenere conto della presenza (eventuale) di reazioni vincolari esterne.

Statica del corpo rigido. Si puo’ partire dalle due equazioni cardinali seguenti d � = �es� dt d { � = ���� � dt

nelle quali �es� e ���� � indicano rispettivamente la risultante delle forze esterne applicate e del momento risultante dei momenti delle forze, quando si considera un punto O che puo’ anche coincidere con il centro di massa del sistema. La condizione di equilibrio

d đ?’‘ dt

=đ?&#x;Že

d đ?‘ł dt

= đ?&#x;Ž per la quale e’ p = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’•. e L = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’•. non riconduce

alla condizione di corpo in quiete. Tale condizione e’ garantita da p = đ?&#x;Ž e L = đ?&#x;Ž. .


In particolare se ci si riferisce al sistema del centro di massa si puo’ scrivere che đ?’‘đ?‘Ž = đ?&#x;Ž porta immediatamente a đ?’—đ?‘Ž e pertanto G resta in quiete. L = đ?&#x;Ž implica che đ??Ž attorno ad un asse passante per G e’ il vettore nullo.


PARTE XIII – MECCANICA ANALITICA

E’ opportuno sviluppare le nozioni relative ai vincoli, alla loro formalizzazione matematica e la parte relativa agli spostamenti virtuali.

Dati N punti distinti di coordinate (đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Śđ?‘– , đ?‘§đ?‘– ) con i ≤ đ?‘ un vincolo di posizione bilaterale viene formalizzato con una funzione matematica đ?‘“ tale che risulti:

đ?‘“(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 , ‌ ‌ , đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ , đ?‘§đ?‘ , đ?‘Ą) = 0

Nel caso di un vincolo unilaterale risulta vera la seguente condizione:

đ?‘“(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 , ‌ ‌ , đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ , đ?‘§đ?‘ , đ?‘Ą) ≼ 0 .

Questa relazione puo’ essere scissa nelle due seguenti:

đ?‘“(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 , ‌ ‌ , đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ , đ?‘§đ?‘ , đ?‘Ą) > 0 (che definisce le configurazioni ordinarie)

đ?‘“(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 , ‌ ‌ , đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ , đ?‘§đ?‘ , đ?‘Ą) = 0

che definisce formalmente le cosiddette

configurazioni di confine.

I vincoli indipendenti dal tempo sono detti scleronomi, mentre quelli dipendenti dal tempo sono detti reonomi.

E’ possibile, ad esempio, considerare il caso di un sistema rigido fisso. Con riguardo a questo caso particolare i vincoli bilaterali fissi sono costituiti dalla invarianza nel tempo – anche rispetto a distinti osservatori – della costanza della distanza tra i punti


che li costituiscono. In sintesi se i e j sono due distinti punti qualunque del corpo rigido in esame risulta ∀(đ?‘–, đ?‘—) đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘– ≠đ?‘— che d(đ?‘ƒđ?‘– , đ?‘ƒđ?‘— ) = cost..

Tale costanza va intesa sia rispetto al tempo che rispetto ad ogni osservatore inerziale.

Ecco ora alcuni casi elementari.

Caso del punto materiale ritenuto da una superficie. Il vettore posizione nel dominio del tempo OP(t) e’ tale che esiste una f | f(x,y,z,t) = 0 . In questo caso per determinare la posizione del punto materiale sono sufficienti due parametri . Qualora ci si riferisca ad una superfice piana generalmente si utilizzano quali parametri di descrizione le due cartesiane ortogonali o quelle polari.

Caso di un punto materiale appoggiato ad una superficie (vincolo unilaterale). In questo caso il vincolo e’ descritto dalla funzione f ponendo f(x, y, z, t) ≼ 0 .

Caso dei un punto ritenuto da una linea. In questo caso la formalizzazione del vincolo e’ la seguente:

f(x,y,z,t) = 0 ∊ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ą) = 0 | f ≠đ?‘” , (f(x,y,z,t) = 0 ∊ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ą) = 0) ≠∅ .

Se esiste una funzione f tale che đ?‘“(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 , ‌ ‌ , đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ , đ?‘§đ?‘ , đ?‘Ą) = 0 si puo’ derivare rispetto al tempo.

E’ possibile impostare un esempio elementare considerando un corpo ideale costituito da tre distinti punti.


In presenza di un vincolo bilaterale e’ possibile impostare la seguente espressione del vincolo, avendo che:

f(�1 , �1 , �1 , �2 , �2 , �2 , �3 , �3 , �3 , �) = 0

Tale espressione puo’ essere derivata rispetto al tempo avendo

đ?‘‘đ?‘“ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ1 1 đ?œ•đ?‘Ą

= (đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘§3 đ?œ•đ?‘“ )+ đ?œ•đ?‘§3 đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ś1 1 đ?œ•đ?‘Ą

+ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘§1 1 đ?œ•đ?‘Ą

+ đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ2 2 đ?œ•đ?‘Ą

+ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ś2 2 đ?œ•đ?‘Ą

+ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘§2 2 đ?œ•đ?‘Ą

+ đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ3 3 đ?œ•đ?‘Ą

+ đ?œ•đ?‘Ľ

+

= 0.

Qualora il vincolo e’ fisso nel dominio del tempo allora la funzione

nulla, quindi

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ś3 3 đ?œ•đ?‘Ą

+ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ą

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ą

e’ identicamente

≥ 0 per ogni t.

đ?œ•đ?‘Ľđ?‘– đ?œ•đ?‘Ą

Ordinariamente si pone

= �̇ � ,

đ?œ•đ?‘Śđ?‘– đ?œ•đ?‘Ą

= �̇ � e

đ?œ•đ?‘§đ?‘– đ?œ•đ?‘Ą

= �̇� , utilizzando i puntini di

Newton.

Solitamente, poiche’ si ha a che fare con corpo costituiti da un numero qualunque, arbitrariamente grande di punti, la formula introdotta per ragioni esplicative, viene riferita ad un numero N qualunque di punti distinti scrivendo:

đ?œ•đ?‘“

đ?œ•đ?‘“

đ?œ•đ?‘“

đ?‘—

đ?‘—

đ?‘—

đ?œ•đ?‘“

∑đ?‘ đ?‘—=1(đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ‡đ?‘— + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘ŚĚ‡đ?‘— + đ?œ•đ?‘§ đ?‘§Ě‡đ?‘— ) + đ?œ•đ?‘Ą = 0.

Nel caso di introduzione di un vincolo fisso nel tempo si pone:


đ?‘‘đ?‘“ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œ•đ?‘“ đ?‘ĽĚ‡ đ?œ•đ?‘Ľđ?‘— đ?‘—

= ∑đ?‘ đ?‘—=1(

+

đ?œ•đ?‘“ đ?‘ŚĚ‡ đ?œ•đ?‘Śđ?‘— đ?‘—

+

đ?œ•đ?‘“ đ?‘§Ě‡ ) đ?œ•đ?‘§đ?‘— đ?‘—

= 0 , essendo

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ą

identicamente nulla, come gia’

detto.

La manualistica (Zeuli) sintetizza il tutto ricordando che i vincoli bilaterali, fissi o meno nel dominio del tempo, sono tutti e soli quelli riconducibili alla seguente forma compatta ∑đ?‘ đ?‘—=1(đ?›źđ?‘— đ?‘ĽĚ‡đ?‘— +đ?›˝đ?‘— đ?‘ŚĚ‡đ?‘— + đ?›žđ?‘— đ?‘§Ě‡đ?‘— ) +đ?œ‡ = 0, đ?‘œđ?‘Łđ?‘’ đ?œ‡ = 0 nel caso di vincolo fisso.

Gli spostamenti virtuali

Occorre sicuramente partire dalla nozione di spostamento elementare effettivo del sistema, riconducendosi all’insieme degli spostamenti elementari dei punti đ?‘ƒđ?‘– compatibilmente con i vincoli, se esistenti, del sistema. Occorre in particolare distinguere lo spostamento effettivo dal novero, potenzialmente infinito, degli spostamenti cineticamente possibili.

Occorre ripartire dalla tassonomia dei vincoli, come risulta dalla seguente tabella.

Tipologia di vincolo

Tipologia di spostamento

Spostamenti cineticamente possibili. Tra essi e’ Vincolo fisso nel tempo

Vincolo variabile nel tempo

ricompreso lo spostamento effettivo.

Spostamenti virtuali. Si considera un �0 e un dt tale che si possa affermare che nell’intervallo ( �0 + ��) il vincolo e’ fisso. Si considerano quindi gli spostamenti compatibili con la fissita’ del vincolo in tale intervallo, detti virtuali. Tali


spostamenti non sono cineticamente possibili. I vincoli virtuali divengano cineticamente possibili se per t ≼ �0 + �� il vincolo diviene fisso.

Per definizione (Zeuli) “si dicono spostamenti virtuali del sistema corrispondenti all’istante đ?‘Ą0 quegli spostamenti elementari compatibili con i vincoli irrigiditi all’istante đ?‘Ą0 â€?.

Esiste anche formalmente una distinta rappresentazione degli spostamenti effettivi e degli spostamenti virtuali.

Uno spostamento elementare effettivo viene rappresentato come dđ?‘ƒđ?‘– , mentre uno spostamento virtuale e’ đ?›żđ?‘ƒđ?‘– . Analogo formalismo viene utilizzato per il lavoro elementare effettivo dL e per il lavoro elementare virtuale đ?›żđ??ż .

E’ possibile dare una definizione formale di spostamento virtuale invertibile riconoscendolo come tale se l’insieme i cui elementi sono tutti i possibili spostamenti del punto i detti đ?›żđ?‘ƒđ?‘–đ?‘˜ (ove il k indica il k-esimo spostamento virtuale, riferito all’iesimo punto P, in genere sono infiniti‌.) allora per ogni i e per ogni k anche lo spostamento − đ?›żđ?‘ƒđ?‘–đ?‘˜ e’ ammissibile e quindi elemento dell’insieme degli spostamenti virtuali. Detta in termini alternativi ma equivalenti la condizione di spostamento virtuale invertibile presuppone che comunque di consideri un punto di un sistema, quindi per ogni i ≤ đ?‘ essendo N il numero dei punti costitutivi del sistema risulti che ad ogni


possibile spostamento virtuale possa corrispondere lo spostamento virtuale opposto. In altri termini dato il punto đ?‘–0 allora ogni possibile spostamento virtuale del punto đ?‘–0 identificato come đ?›żđ?‘ƒđ?‘–đ?‘˜0 ∀đ?‘˜ < +∞ anche lo spostamento elementare − đ?›żđ?‘ƒđ?‘–đ?‘˜0 ∀đ?‘˜ < +∞ e’ uno spostamento virtuale compatibile quindi con la fissita’ del vincolo in đ?‘Ą0 + đ?‘‘đ?‘Ą .

Un vincolo virtuale non e’ invertibile qualora esista almeno un đ?‘–0 per il quale ad un đ?‘˜

possibile spostamento virtuale del punto đ?‘–0 identificato come đ?›żđ?‘ƒđ?‘–0 0 lo spostamento đ?‘˜

elementare − đ?›żđ?‘ƒđ?‘–0 0 non e’ uno spostamento virtuale nel senso della compatibilita’ con la fissita’ del vincolo in đ?‘Ą0 + đ?‘‘đ?‘Ą .

I vincoli bilaterali sono intimamente correlati agli spostamenti invertibili.

In un istante t = �0 la funzione f(t) e’ costante e pertanto

đ?‘‘đ?‘“ đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ą

= 0.

La sommatoria vale zero per lo spostamento đ?›żđ?‘ƒđ?‘– ≥ (đ?›żđ?‘Ľđ?‘– , đ?›żđ?‘Śđ?‘– , đ?›żđ?‘§đ?‘– ) e come si constata immediatamente anche per lo spostamento opposto −đ?›żđ?‘ƒđ?‘– ≥ −(đ?›żđ?‘Ľđ?‘– , đ?›żđ?‘Śđ?‘– , đ?›żđ?‘§đ?‘– ) .

Tale argomentazione non e’ in generale vera per i vincoli unilaterali.

Lavoro virtuale di reazioni e vincoli privi di attrito (cosiddetti vincoli lisci)

Dato un sistema di N punti, đ?‘ƒđ?‘– , i ≤ đ?‘ . Sul sistema agiscono le cosiddette forze attive đ?‘­đ?’Š indipendentemente dall’azione dei vincoli. Come gia’ detto la presenza dei vincoli viene formalizzata con l’introduzione delle cosiddette reazioni vincolari, che, come noto, hanno le dimensioni fisiche di una forza. Esse sono indicate come đ??‹đ?’Š .


Si considerano solo vincoli privi di attrito, quindi si opera in condizioni ideali.

Il lavoro virtuale elementare viene indicato come đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?’Š da intendersi come un prodotto scalare.

Possono essere esaminati alcuni casi elementari, quali quello di un punto ritenuto da una superficie, quale potrebbe essere il piano di equazione � = 3.

đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?’Š

I due vettori sono ortogonali. Conseguentemente đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?’Š = 0 . Per gli spostamenti virtuali invertibili si puo’ scrivere che ∑đ?‘›đ?‘– đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?’Š = 0. Principio dei lavori virtuali E’ utile analizzare le configurazioni di equilibrio dei sistemi materiali soggetti a vincoli privi di attrito. Si considerano sistemi materiali soggetti a vincoli fissi, non variabili nel tempo, per i quali risulta essere

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ą

= 0 ∀đ?‘Ą.

Lo spostamento effettivo del sistema e’ descritto dal II principio della dinamica per il quale si puo’ scrivere che đ?‘šđ?‘– đ?’‚đ?’Š = đ?‘­đ?’Š + đ??‹đ?’Š . Sia đ?›żđ??ż = ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ??šđ?‘– đ?›żđ?‘ƒđ?‘– il lavoro virtuale di tutte le forze attive applicate al corpo puntiforme i.


Condizione necessaria e sufficiente affinche’ una configurazione đ??ś0 di un sistema materiale qualunque di punti

soggetta a vincoli lisci non variabili nel tempo sia di equilibrio e’ che risulti đ?›żđ??ż =

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ??šđ?‘– đ?›żđ?‘ƒđ?‘– ≤ 0 . Se lo spostamento virtuale e’ invertibile risulta đ?›żđ??ż = 0 mentre si ha đ?›żđ??ż < 0 se lo spostamento virtuale non e’ invertibile. Necessita’. Se si ha una configurazione di equilibrio allora risulta đ?‘­đ?’Š + đ??‹đ?’Š = đ?&#x;Ž. Tale relazione vettoriale puo’ essere moltiplicata scalarmente per đ?œšđ?‘ˇđ?‘– ottenendo đ?‘­đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?‘– + đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?‘– = 0. Tale relazione e’ vera per đ?‘ ogni i ≤ đ?‘ e quindi si possono usare le sommatorie avendo che ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘­đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?‘– = − ∑đ?‘–=1 đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?‘– ed in đ?‘ definitiva đ?›żđ??ż = − ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?‘– ≤ 0. Cio’ in quanto, se il vincolo e’ bilaterale risulta ∑đ?‘–=1 đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?‘– = 0 đ?‘ mentre nel caso di vincolo unilaterale risulta ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?‘– > 0 da cui − ∑đ?‘–=1 đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?‘– < 0.

Sufficienza. Si ammette che il sistema sia in una condizione di equilibrio e si ipotizza sia (per ipotesi) che đ?›żđ??ż = − ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ??‹đ?’Š đ?œšđ?‘ˇđ?‘– ≤ 0. Si ammette che per effetto di una forza esterna almeno uno elemento (al limite solo uno) del sistema indicato con đ?‘–0 si metta in movimento. Per esso deve valere la seconda legge della dinamica risultando quindi đ?‘šđ?‘–0 đ?’‚đ?’Šđ?&#x;Ž = đ?‘­đ?‘–0 + đ??‹đ?‘–0 . A tale condizione corrisponde uno spostamento elementare che idealmente ha la direzione e il verso della forza risultante đ?‘­đ?‘–0 + đ??‹đ?‘–0 . Se si considera il lavoro elementare come costituito da due componenti si puo’ scrivere che esso vale la seguente somma di due prodotti scalari đ?‘­đ?‘–0 đ?œšđ?‘ˇđ?‘–0 + đ??‹đ?‘–0 đ?œšđ?‘ˇđ?‘–0 . Ma il secondo membro deve valere 0 in quanto se lo spostamento si realizzasse effettivamente al tempo đ?‘Ą0 allora sarebbe đ??‹đ?‘–0 (đ?‘Ą0 + đ?‘‘đ?‘Ą) = 0. In altri termini quando il corpo si stacca dalla superficie la reazione vincolare si annulla. A livello di sistema la relazione đ?‘­đ?‘–0 đ?œšđ?‘ˇđ?‘– + đ??‹đ?‘–0 đ?œšđ?‘ˇđ?‘– diviene ∑đ?‘ đ?‘–=1(đ?‘­đ?‘– + đ??‹đ?‘– ) đ?œšđ?‘ˇđ?‘– > 0 in quando fosse ∑đ?‘ đ?‘–=1(đ?‘­đ?‘– + đ??‹đ?‘– ) đ?œšđ?‘ˇđ?‘– = 0 allora il corpo sarebbe in quiete. In caso di spostamento effettivo đ?‘ risulterebbe đ??‹đ?‘– = đ?&#x;Ž . Pertanto risulterebbe ∑đ?‘ đ?‘–=1(đ?‘­đ?‘– ) đ?œšđ?‘ˇđ?‘– > 0 e non ∑đ?‘–=1(đ?‘­đ?‘– ) đ?œšđ?‘ˇđ?‘– ≤ 0.

La relazione ∑đ?‘ đ?‘–=1(đ?‘­đ?‘– ) đ?œšđ?‘ˇđ?‘– ≤ 0 viene equazione simbolica della statica.


Alcune semplici applicazioni del principio dei lavori virtuali Punto ritenuto da una linea, per esempio da una retta. Si parte dalla relazione ∑đ?‘ đ?‘–=1(đ?‘­đ?‘– ) đ?œšđ?‘ˇđ?‘– ≤ 0. Lo spostamento e’ invertibile. Infatti su una retta o su una curva qualunque, quando cioe’ si ha un solo grado di liberta’, si ha uno spostamento virtuale invertibile. In questo caso, anche tenuto conto che ci riferisce ad un corpo puntiforme, si scrive Fđ?›żđ?‘ˇ = 0. Pertanto F e đ?›żđ?‘ˇ sono ortogonali. Punto ritenuto da una superficie. Ad esempio potrebbe considerarsi il caso di una superficie piana (piano euclideo). Nel caso di un corpo che non si puo’ “staccareâ€? dalla superficie si e’ in presenza di uno spostamento virtuale invertibile, in quando ogni spostamento virtuale ammette uno spostamento virtuale opposto. Pertanto deve essere F đ?›żđ?‘ˇ = 0 e conseguentemente F e đ?›żđ?‘ˇ devono risultare ortogonali. Punto appoggiano ad una superficie, ad esempio un piano. Nella figura sottostante data F sono evidenziati uno degli infiniti spostamenti tangenziali, per i quali cioe’ il vettore forza e il vettore spostamento virtuale sono ortogonali, oltre a due vettori non tangenziali, quindi non giacenti sul piano evidenziato. Il vettore disegnato in rosso esprime una condizione non accettabile per i risultati ottenuti, cioe’ considerando l’equazione generale della statica.

L‘angolo đ?›ž >

đ?œ‹ 2

esprime una condizione compatibile. Esso corrisponde ad uno spostamento non

tangenziale che non ammette lo spostamento opposto .


Modello di sollecitazione conservativa La condizione di equilibrio stabile e’ data dalla condizione đ?‘ˆ = đ?‘ˆđ?‘šđ?‘–đ?‘› ove U e’ l’energia potenziale o anche, equivalentemente, V = đ?‘‰đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ essendo V il potenziale e ricordando che U = −đ?‘‰ . In termini fisici ad esempio nel campo g se il corpo si trova in una condizione di equilibrio cui corrisponda una energia potenziale

đ?‘ˆ = đ?‘ˆđ?‘šđ?‘–đ?‘› il lavoro đ?›żđ??ż contro le forze del campo e’ tale che

l’energia potenziale U sia tale che U = đ?‘ˆđ?‘šđ?‘–đ?‘› + đ?›żđ??ż con đ?›żđ??ż > 0 .


PARTE XIV – OSCILLATORE ARMONICO ED EQUAZIONI DI LAGRANGE

Oscillatore armonico lineare

E’ dato un punto materiale P mobile su una retta r dello spazio attratto verso un punto convenzionale di essa detto O da una forza F variabile nel tempo proporzionale alla distanza del corpo puntiforme P dal punto O, risultando quindi F = đ?‘­(đ?’“) . Il corpo P e’ vincolato a muoversi nel segmento di estremi Âąđ??´ essendo d(−đ??´, đ?‘‚) = đ?‘‘ (đ?‘‚, đ??´) = đ?‘Ž >0.

Si ammette F = −đ?‘˜đ?’“ essendo |r| ≤ a ed essendo k una costante positiva del moto.

La relazione che compendia |F| con |r| e’ immediatamente quella del grafico seguente.

|F|

0

a

|r|

Coerentemente con il formalismo usato le relazioni del moto divengono: r(t) = asin(đ?‘¤đ?‘Ą) e đ?‘&#x;̇ (t) = đ?œ”acos(đ?œ”đ?‘Ą). Operando un condizioni ideali trova applicazione il principio di conservazione dell’energia nella forma E = đ??ž(đ?‘Ą) + đ?‘‰(đ?‘Ą), nella quale E indica l’energia meccanica, o


energia totale, costante nel tempo, mentre K(t) indica l’energia cinetica, funzione variabile nel tempo e V(t) indica l’energia potenziale parimenti variabile nel tempo. L’energia cinetica puo’ essere compendiata dalla formula: 1

K(t) = 2m⌋đ?œ”acos(đ?œ”đ?‘Ą)âŚŒ2 . Fissata una direzione positive delle ascisse (quella del vettore unitario rosso della figura sottostante) la forza attrattiva variabile nel tempo con riferimento a punti simmetrici rispetto all’origine e’ data dai vettori antiparalleli in blu.

-A

A

Si tenga conto che il corpo e’ attratto vero il punto O. Si puo’ determinare il valore del lavoro compiuto, partendo dalla nozione di lavoro elementare dL = F(r)dr per calcolare il lavoro compiuto per spostare il corpo materiale puntiforme dal punto − A al punto O, avendo, immediatamente che đ??żâˆ’đ??´â†’đ?‘‚ = 0

0

0

đ?‘&#x;2

0

âˆŤâˆ’đ?‘Ž đ??š(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤâˆ’đ?‘Ž −đ?‘˜đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Ą = −đ?‘˜ âˆŤâˆ’đ?‘Ž đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = −đ?‘˜âŚ‹ 2 âŚŒ0−đ?‘Ž = −đ?‘˜ ⌋2 −

đ?‘Ž2 âŚŒ 2

=đ?‘˜

đ?‘Ž2 . 2

Per le particolari condizioni del problema ad analogo risultato si giunge considerando il lavoro đ??ż đ?‘‚→đ??´ . La quantita’ đ?‘˜

đ?‘Ž2 2

e’ l’energia totale e deve considerarsi una costante.

L’energia potenziale V(r) puo’ ottenersi per differenza tra l’energia meccanica (costante) e l’energia cinetica (variabile) come segue: V(r)= đ??¸ − đ??ž(đ?‘Ą) = đ?‘˜

đ?‘Ž2 2

1

− 2m⌋đ?œ”acos(đ?œ”đ?‘Ą)âŚŒ2 .


Si osservi che V(0) = đ?‘˜

đ?‘Ž2 2

mentre V(a) = 0.

E’ possibile una rappresentazione cartesiana elementare della dipendenza di E, K e V come segue.

E

-A

A

La curva in blu deve intendersi come un arco di parabola e indica il valore variabile dell’energia cinetica, variabile nel tempo. Il segmento verticale con doppia freccia indica, per un dato r < đ?‘Ž il valore dell’energia potenziale. Anche in questo caso la relazione tra energia potenziale e funzione potenziale e’ del tipo U +đ?‘‰ = 0. Per ora e’ sufficiente evidenziare l’andamento dell’energia potenziale scrivendo che: V(r) = đ??¸ − đ??ž(đ?‘&#x;). Tale relazione e’ differenziabile avendo che dV(r) = đ?‘‘đ??¸ − đ?‘‘đ??ž(đ?‘&#x;) da cui si ottiene dV(r) = −đ?‘‘đ??ž(đ?‘&#x;), in ragione della costanza di E. Dalla relazione K(a) = đ??žđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘˜

đ?‘Ž2 2

ci si puo’ convincere che per r < đ?‘Ž vale la relazione K(r) = đ?‘˜ 1

đ?‘&#x;2 2

Eguagliando tale relazione con quella ordinariamente usata per l’energia cinetica (2 đ?‘šđ?‘Ł 2) si ottiene đ?‘‘đ?‘&#x;

đ?‘˜

con passaggi elementari che đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘&#x;√đ?‘š , considerando accettabile la sola soluzione positiva.


Nella figura suindicata e’ possibile inserire anche l’arco di parabola che descrive l’energia potenziale massima in O e nulla in x = Âąđ?‘Ž . Si evidenzia che esistono due punti simmetrici dell’origine detti x = Âąđ?‘Žâˆ— | | đ?‘Žâˆ— | < |đ?‘Ž| tali che K(Âąđ?‘Žâˆ— ) = đ?‘‰(Âąđ?‘Žâˆ— ) La nozione di grado di liberta’ di un sistema fisico e’ utile per semplificare la descrizione del moto. Come gia’ detto in precedenza i gradi di liberta’ sono gli n parametri indipendenti necessari a descrivere in ogni istante il moto. Tali parametri indipendenti dono comunemente detti “coordinate generalizzateâ€? o, alternativamente, “parametri di posizioneâ€? . Tali parametri sono ordinarianente indicati come đ?‘ž1 , đ?‘ž2 , ‌ . . , đ?‘žđ?‘› . Fermo restando quanto gia’ detto nelle varie distinte parti di questo elaborato e’ possibile riferire ad ogni sistema fisico, eventualmente vincolato, il corrispondente numero di parametri indipendenti. Sistema Sistema rigido con un punto fisso Punto libero nello spazio Punto libero di muoversi nel piano Punto vincolato ad una curva

Sistema rigido libero Asta rigida

Sistema di N punti soggetto a m vincoli bilaterali

Numero di gradi di liberta’ I tre angoli di Eulero Le tre coordinate cartesiane, o polari o cilindriche Le due coordinate cartesiane o polari Un grado di liberta’ corrispondente all’ascissa curvilinea Sei. Le coordinate di un punto e gli angoli di Eulero intorno ad esso Cinque, cioe’ le coordinate di un estremo e due delle tre coordinate dell’atro punto. 3N – �

Sistema olonomo Per definizione un sistema fisico costituito da N punti materiali soggetto a vincoli di posizione bilaterali e’ detto olonomo.


Esiste una relazione funzionale tra le coordinate cartesiane ortogonali e i parametri di posizione, espressa dalle seguenti relazioni: xi = xi (q1 , q2 , ‌ . , qn , t) {yi = yi (q1 , q2 , ‌ . , qn , t) zi = zi (q1 , q2 , ‌ . , qn , t) Esistono quindi tre relazioni scalari per ogni punto, e quindi complessivamente 3N relazioni. Il vettore posizione di ogni punto i puo’ essere espresso come funzione dei parametri generalizzati e del tempo scrivendo đ?‘śđ?‘ˇđ?’Š = đ?‘śđ?‘ˇđ?’Š (đ?‘ž1 , ‌ . . , đ?‘ž2 , đ?‘Ą) . Le đ?‘žđ?‘— con j ≤ 3đ?‘ − đ?‘š sono dette coordinate lagrangiane del sistema. Ad ogni đ?‘žđ?‘— e’ associata una grandezza đ?‘žĚ‡ đ?‘— ≥

đ?œ•đ?‘žđ?‘— đ?œ•đ?‘Ą

dette “velocita’ lagrangiane�. Ulteriormente e’

possibile definire le accelerazioni lagrangiane formalizzate come đ?‘žĚˆ đ?‘— =

đ?œ• đ?œ•đ?‘žđ?‘— ( ). đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą

Anche l’ordinaria velocita’ di un punto puo’ essere espressa utilizzando le coordinate lagrangiane. La velocita’ del punto i puo’ essere cosi’ scritta: �� =

��� ��

đ?œ•đ?‘ƒ

đ?œ•đ?‘ƒ

= đ?œ•đ?‘ž đ?‘– đ?‘žĚ‡ 1 +‌.+ đ?œ•đ?‘ž đ?‘– đ?‘žĚ‡ đ?‘› + 1

đ?‘›

đ?œ•đ?‘ƒđ?‘– . đ?œ•đ?‘Ą

Tale formula puo’ essere scritta in forma piu’ compatta usando la sommatoria e avendo �� =

��� ��

đ?œ•đ?‘ƒ

= (∑đ?‘›đ?‘&#x;=1 đ?œ•đ?‘ž đ?‘– đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; ) + đ?‘&#x;

đ?œ•đ?‘ƒđ?‘– đ?œ•đ?‘Ą

al variare di i (con i ≤ đ?‘ ).

Osservazione sulla moltiplicazione scalare di una equazione vettoriale Solitamente viene rappresentato un triangolo utilizzando una equazione vettoriale e scrivendo che a + b + c = đ?&#x;Ž . Non si tratta evidentemente di una identita’ bensi’ di una


equazione vettoriale vera solo per particolari valori. Le relazioni tra le norme di tali vettori sono quelle della geometria razionale. Cio’ premesso ho individuato una altrettanto legittima alternativa modalita’ di rappresentazione formale vettoriale di un triangolo quale la seguente, che ho mutuato proprio dalla fisica generale, quando ad esempio, deve essere rappresentato un vettore spostamento. La figura sottostante e la corrispondente equazione vettoriale sono immediatamente intelligibili. ι

b Îł

a β

c

b= c–a ⇔a+đ??›=c A questo punto e’ possibile considerare a + đ??› = c e moltiplicare ambo i membri per il vettore a ottenendo a(a + đ??›) = ac da cui si ricava aa+ ab = ac . Sviluppando i prodotti scalari si ottiene a2 + abcos(Ď€ − Îą) = ac cosβ. Analogamente da a + đ??› = c moltiplicando scalarmente per il vettore b si ottiene b(a + đ??›) =bc dalla quale si ricava abcos(Ď€ − Îą)+ b2 = bccosÎł. Da ultimo da a + đ??› = c moltiplicando scalarmente per il vettore c si ottiene c(a + đ??›) = cc cioe’ ca + cb = cc che scalarmente diviene ac cosβ + bccosÎł = c 2. a2 + abcos(Ď€ − Îą) = ac cosβ Si considerano le tre relazioni scalari cosi’ ottenute { abcos(Ď€ − Îą) + b2 = bccosÎł ac cosβ + bccosÎł = c 2 Sommando membro a membro e portando un termine al secondo membro si ottiene una relazione equivalente a quella del teorema del coseno (o del coseno). Risulta che a2 + b2 = c 2 − 2accos(Ď€ − Îą). Alla ordinaria formulazione del teorema dovuto a Lazare Carnot si perviene ricordando che, a meno del periodo, risulta cosÎą =cos(Ď€ − Îą).


a2 + abcos(Ď€ − Îą) = ac cosβ Dalle relazioni { abcos(Ď€ − Îą) + b2 = bccosÎł dividendole rispettivamente per a, b e c ac cosβ + bccosÎł = c 2 diversi da 0 si ottiene – tenuto conto della precitata identita’ trigonometrica fondamentale relativa al coseno – si ottengono le seguenti relazioni: a + bcos(Îą) = c cosβ { acos(Îą) + b = ccosÎł acosβ + bcosÎł = c

Una piccola osservazione sull’ordinario prodotto scalare Nell’elaborare la precedente dimostrazione a partire da una data equazione vettoriale, relativa ad un triangolo mi sono imbattuto nella esigenza di trattare opportunamente il prodotto scalare con riferimento ad un assegnato orientamento dei vettori “lati� del triangolo. Quando ho ricavato una relazione nota (il teorema del coseno, detto, anche di Carnot) entro i limiti del mio self control ho comunque esultato ! Tutti noi sappiano calcolare il prodotto scalare in un contesto come quello appena sotto descritto (che molte volte si trova alla base della risoluzione dei piu’ semplici esercizi di Fisica I).

a b

Risultando, per definizione, che a ∙ b = ||a|| ||b|| cosđ?œś. Dovendo gestire i prodotti scalari con riferimento alle direzioni e ai versi dei vettori compatibilmente con la condizione di esistenza dei triangoli ho dovuto ammettere di avere a che fare con vettori liberi traslando opportunamente uno o piu’ vettori. La sottostante figura ben fa comprendere il senso di quanto fatto !


L’uso dei colori ben evidenzia quali vettori sono stati traslati e quali angoli (uno dei quali supplementare di un angolo interno del dato triangolo) sono stati opportunamente considerati ai fini del prodotto scalare, riferito a vettori liberi.

Ritornando alle coordinate generalizzate e riferendoci al caso di vincoli indipendenti dal tempo si ha che

đ?œ•đ?‘ƒđ?‘– đ?œ•đ?‘Ą

≥ 0 al variare di i intero tale che i ≤ đ?‘ , per ogni t. đ?œ•đ?‘ƒ

Lo spostamento elementare dđ?‘ƒđ?‘– di un generico punto i-esimo e’ dđ?‘ƒđ?‘– = ∑đ?‘›đ?‘&#x;=1 đ?œ•đ?‘ž đ?‘– đ?‘‘đ?‘žđ?‘&#x; + đ?‘&#x;

Tale relazione diviene dđ?‘ƒđ?‘– = ∑đ?‘›đ?‘&#x;=1

đ?œ•đ?‘ƒđ?‘– đ?‘‘đ?‘žđ?‘&#x; đ?œ•đ?‘žđ?‘&#x;

đ?œ•đ?‘ƒđ?‘– đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą

.

quando i vincoli non sono dipendenti dal tempo.

Gli spostamenti virtuali possono essere indicati con il formalismo đ?›żđ?‘ƒđ?‘– . Nei vincoli bilaterali allo spostamento virtuale đ?›żđ?‘ƒđ?‘– e’ associato lo spostamento opposto − đ?›żđ?‘ƒđ?‘– , detto spostamento inverso. In un contesto con due gradi di liberta’ gli spostamenti infinitesimi dal punto đ?‘ƒ0 sono infiniti essendo infinite le possibili direzioni e ad ogni direzione potendo associarsi due distinti versi di percorrenza. Lavoro virtuale delle forze attive Lo spostamento virtuale infinitesimo e’ evidentemente scomponibile nelle tre componenti ortogonali avendo che đ?›żđ?‘ƒđ?‘– ≥ (đ?›żđ?‘Ľđ?‘– , đ?›żđ?‘Śđ?‘– , đ?›żđ?‘§đ?‘– ) ∀đ?‘– ≤ đ?‘› e intero. Si puo’ scrivere đ?›żđ??ż = ∑ đ??šđ?‘– đ?›żđ?‘ƒđ?‘– ed đ?œ•đ?‘ƒ

anche đ?›żđ??ż = ∑ đ??šđ?‘– ∑ đ?œ•đ?‘ž đ?‘– đ?›żđ?‘žđ?‘&#x; . đ?‘&#x;


Le quantita’ ∑

đ?œ•đ?‘ƒđ?‘– đ?œ•đ?‘žđ?‘&#x;

đ?›żđ?‘žđ?‘&#x; = đ?‘„đ?‘&#x; sono dette “componenti della sollecitazione attiva secondo le

coordinate lagrangianeâ€?, o anche, “forze lagrangianeâ€?. Si dimostra, per sostituzione, che đ?›żđ??ż = ∑ đ?‘„đ?‘&#x; đ?›żđ?‘žđ?‘&#x; . Un esempio solitamente citato nella manualistica e’ costituito dal punto nel piano riferito a coordinate polari. In questo caso si scrive đ?‘ž1 = đ?‘&#x; e đ?‘ž2 = đ?œƒ (se ci si riferisse al caso delle coordinate cartesiane ortogonali allora sarebbe đ?‘ž1 = đ?‘Ľ e đ?‘ž2 = đ?‘Ś essendo (x,y) le coordinate del punto). Si puo’ partire dalla seguente figura. F dđ?œƒ

Fr

đ?œƒ

Lo spostamento radiale del punto P sulla retta di arco đ?œƒ da r a r + đ?›żr permette si scrivere che đ?›żđ??ż1 = đ??šđ?‘&#x; đ?›żđ?‘&#x; essendo đ?‘„1 = đ??šđ?‘&#x; . Variando đ?œƒ di đ?›żđ?œƒ allo spostamento rđ?›żđ?œƒ corrisponde il lavoro virtuale đ?›żđ??ż2 = đ??šđ?œƒ đ?‘&#x;đ?›żđ?œƒ risultando đ?‘„2 = đ?‘&#x;đ?›żđ?œƒ . Sommando i due lavori si ottiene che đ?›żđ??ż = đ??šđ?‘&#x; đ?›żđ?‘&#x; + đ??šđ?œƒ đ?‘&#x;đ?›żđ?œƒ . Nel caso di sollecitazione conservativa applicata ad un sistema si puo’ ha đ?œ•đ?‘ˆ

đ?‘­đ?’Š = (đ??šđ?‘Ľđ?‘– , đ??šđ?‘Śđ?‘– , đ??šđ?‘§đ?‘– ) dovendo risultare le seguenti relazioni đ??šđ?‘Ľđ?‘– = đ?œ•đ?‘Ľ etc. . đ?‘–

đ?œ•đ?‘ˆ đ?œ•đ?‘Ľđ?‘– đ?‘– đ?œ•đ?‘žđ?‘&#x;

Risulta essere đ?‘„đ?‘&#x; = ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?œ•đ?‘Ľ liberta’.

đ?œ•đ?‘ˆ

+ â‹Ż ‌ . ) = đ?œ•đ?‘ž con r intero ≤ n ove n e’ il numero dei gradi di đ?‘&#x;


Le forze lagrangiane sono le derivate parziali del potenziale U. Posto, come e’ noto, che V = −đ?‘ˆ (essendo V l’energia potenziale) si puo’ agevolmente scrivere đ?œ•đ?‘‰

che đ?‘„đ?‘&#x; = − đ?œ•đ?‘ž . đ?‘&#x;

Per i sistemi olonomi si ha đ?›żđ??ż = 0 cioe’ ∑ đ?‘„đ?‘&#x; đ?›żđ?‘žđ?‘&#x; = 0 o piu’ propriamente đ?‘„đ?‘&#x; = 0 . Il principio di D’Alembert Si puo’ partire dalla condizione di equilibrio del sistema nella forma gia’ introdotta cioe’ scrivendo la seguente equazione vettoriale đ?‘­đ?’Š + đ??‹đ?’Š = đ?&#x;Ž . L’equazione del moto e’ mi đ?’‚đ?’Š = đ?‘­đ?’Š + đ??‹đ?’Š da cui mi đ?’‚đ?’Š − đ?‘­đ?’Š = đ??‹đ?’Š ed in altri termini đ?‘­đ?’Š − mi đ?’‚đ?’Š = −đ??‹đ?’Š poiche’ = −đ??‹đ?’Š + đ??‹đ?’Š = đ?&#x;Ž . Per le posizioni fatte si puo’ scrivere che (đ?‘­đ?’Š − mi đ?’‚đ?’Š ) + đ??‹đ?’Š = đ?&#x;Ž . I vettori (đ?‘­đ?’Š − mi đ?’‚đ?’Š ), uno per ogni i intero ≤ đ?‘ , sono detti forze perdute. Durante il moto in ogni istante t le forze perdute soddisfano le condizioni di equilibrio del sistema. Le forze đ?‘­â€˛đ?’Š = −mi đ?’‚đ?’Š = đ?’‡đ?’Š sono dette forze di inerzia. Da mi đ?’‚đ?’Š = đ?‘­đ?’Š + đ??‹đ?’Š sommando −mi đ?’‚đ?’Š = đ?’‡đ?’Š ad ambo i membri si ottiene immediatamente che đ?‘­đ?’Š + đ??‹đ?’Š + đ?’‡đ?’Š = đ?&#x;Ž . Tale condizione di equilibrio vale per il sistema in ogni istante t. E’ quindi possibile considerare le equazioni di Lagrange per la dinamica.â„‘ L’equazione simbolica della dinamica per un sistema olonomo con n gradi di liberta’ ed in đ?‘› assenza di attrito risulta essere đ?›żđ??ż = ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ??šđ?‘– đ?›żđ?‘ƒđ?‘– = ∑đ?‘&#x;=1 đ?‘„đ?‘&#x; đ?›żđ?‘žđ?‘&#x; .

đ?œ•đ?‘ƒ

đ?‘– In tale relazione đ?‘„đ?‘&#x; = â„‘đ?‘&#x; = ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘šđ?‘– đ?’‚đ?’Š đ?œ•đ?‘ž al variare intero di i ≤ đ?‘› . đ?‘&#x;


Fu merito di Lagrange utilizzare una trasformazione che consentisse di mettere in forma conveniente le sue equazioni. Egli ottenne le seguenti relazioni: đ?‘‘ đ?œ•đ?‘‡ đ?œ•đ?‘‡ ( ) − đ?œ•đ?‘ž đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; đ?‘&#x;

= đ?‘„đ?‘&#x;

Nel caso T = 0 si hanno configurazioni di equilibrio. La funzione lagrangiana Se la sollecitazione e’ conservativa, usando ovviamente le coordinate lagrangiane, si ha per r intero assoluto ≤ đ?‘› che: đ?‘„đ?‘&#x; = −

đ?œ•đ?‘‰ đ?œ•đ?‘žđ?‘&#x;

risultando V = (đ?‘ž1 , đ?‘ž2 , ‌ . , đ?‘žđ?‘&#x; , đ?‘Ą ) ma non e’ data una dipendenza di V da đ?‘žĚ‡ đ?‘–≤đ?‘› . Si procede quindi alla riscrittura dell’equazione di Lagrange đ?‘‘ đ?œ•đ?‘‡ đ?œ•(đ?‘‡âˆ’đ?‘‰) ( ) − đ?œ•đ?‘ž đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; đ?‘&#x;

=0

La grandezza â„’ = T −đ?‘‰ e’ detta funzione lagrangiana, dipendente dalle coordinate lagrangiane, dalle loro derivate e dal tempo t. La non dipendenza di V dalle derivate prime e la linearita’ della derivata conduce alla forma standard dell’equazione di Lagrange) đ?‘‘ đ?œ•â„’ đ?œ•â„’ ( ) − đ?œ•đ?‘ž đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; đ?‘&#x;

=0 đ?‘‘

đ?œ•đ?‘‡

La giustificazione e’ immediata in quanto, atteso che â„’ = T −đ?‘‰ e’ possibile lavorare su đ?‘‘đ?‘Ą (đ?œ•đ?‘žĚ‡ ) đ?‘&#x;

rilevando che

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(

đ?œ•đ?‘‡ đ?‘‘ )= đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ą

(

đ?œ•(â„’+đ?‘‰) đ?‘‘ )= đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ą

(

đ?œ•â„’ đ?‘‘ )+ đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ą

(

đ?œ•đ?‘‰ đ?‘‘ )= đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘Ą

(

đ?œ•â„’ ) đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x;

. L’ultimo passaggio si


giustifica tenendo conto che

(

đ?œ•đ?‘‰ )= đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x;

đ?‘‘

đ?œ•đ?‘‰

0 al variare di r in quanto V non dipende da đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; .

Conseguentemente risulta pure đ?‘‘đ?‘Ą (đ?œ•đ?‘žĚ‡ )= 0. đ?‘&#x;

Dalla manualistica (Zeuli) con quale passaggio ulteriore e’ possibile riportare il semplice caso del moto di un punto nello spazio considerando le coordinate cartesiane (x, y, z). In questo caso ad una coordinata cartesiana corrisponde una distinta coordinata generalizzata �1 = � 1 secondo lo schema di corrispondenza {�2 = � . E’ poi noto che l’energia cinetica T vale m� 2 . 2 �3 = �

Equivalentemente si puo’ scrivere che T =

1 �(�̇ 12 2

+

�̇ 22

+ �̇ 32 ),

đ?‘„1 = đ??šđ?‘Ľ dovendo ricordare che {đ?‘„2 = đ??šđ?‘Ś đ?‘„3 = đ??šđ?‘§

ove i secondi membri denotano le componenti scalari della forza F riferite alle tre direzioni. 1

La relazione T = 2 đ?‘š(đ?‘žĚ‡ 12 + đ?‘žĚ‡ 22 + đ?‘žĚ‡ 32 ) e’ derivabile parzialmente . Limitando i ragionamenti nella đ?œ•đ?‘‡

direzione x si puo’ dire che đ?œ•đ?‘ž = 0 data la non dipendenza di T da đ?‘ž1 e in generale da đ?‘žđ?‘&#x; con r 1

= 1, 2, 3. Cio’ e’ evidente in quanto l’energia cinetica non dipende dalla posizione del corpo nello spazio. Non nulle sono le derivate di T rispetto alle derivate prime delle coordinate di Laplace. đ?œ•đ?‘‡

1

đ?œ•đ?‘‡

Infatti si ha đ?œ•đ?‘žĚ‡ = 2 2 đ?‘šđ?‘žĚ‡ 1 = đ?‘šđ?‘žĚ‡ 1 e in generale si puo’ evidentemente scrivere che đ?œ•đ?‘žĚ‡ = đ?‘šđ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; 1

đ?‘&#x;

In altri termini si e’ lavorato sul primo termine dell’equazione che puo’ essere scritto nel modo đ?‘‘ đ?œ•đ?‘‡

đ?‘‘

đ?‘‘ đ?œ•đ?‘‡

đ?‘‘

seguente đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘žĚ‡ = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘šđ?‘žĚ‡ 1 e, in generale, đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘žĚ‡ = đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘šđ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; . 1

đ?‘&#x;

Formalmente tali relazioni esprimono, come si comprende, osservando i secondi membri, delle accelerazioni, risultando agevole scrivere che

đ?‘‘ đ?œ•đ?‘‡ đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ•đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x;

đ?‘‘

đ?‘‘

= đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘šđ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; = đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; = mđ?‘žĚˆ đ?‘&#x; .


I secondi membri hanno le dimensioni di una forza e nel contesto lagrangiano si scrive đ?‘„đ?‘&#x; = mđ?‘žĚˆ đ?‘&#x; . Da un punto di vista formale si puo’ riflettere sul secondo termine del primo membro dell’equazione di Lagrange avendo la seguente serie di passaggi: đ?œ•â„’ đ?œ•đ?‘žđ?‘&#x;

=

đ?œ•(đ?‘‡âˆ’đ?‘‰) đ?œ•đ?‘žđ?‘&#x;

đ?œ•đ?‘‡

đ?œ•đ?‘‰

đ?œ•đ?‘‰

đ?‘&#x;

đ?‘&#x;

đ?‘&#x;

= đ?œ•đ?‘ž − đ?œ•đ?‘ž = − đ?œ•đ?‘ž

In altri termini sono date le equazioni di Lagrange in questa forma mđ?‘žĚˆ đ?‘&#x; = −

đ?œ•đ?‘‰ đ?œ•đ?‘žđ?‘&#x;


PARTE XV – FUNZIONE HAMILTONIANA Si e’ avuto modo di precisare nella parte precedente che se n e’ il numero dei gradi di liberta’ allora per la descrizione del moto sono sufficienti n parametri indipendenti, comunemente detti coordinate lagrangiane, dette anche coordinate generalizzate, solitamente indicate con i simboli �1 , �2 , ‌ . , �� . Si puo’ quindi considerare uno spazio vettoriale �� di dimensione n.

Ad una data configurazione (đ?‘ž1 , đ?‘ž2 , ‌ . , đ?‘žđ?‘› ) corrisponde il punto P = đ?‘ƒ(đ?‘ž1 , đ?‘ž2 , ‌ . , đ?‘žđ?‘› ).

La successione delle configurazioni assunte da P nel dominio del tempo e’ dato da una đ?‘ž1 = đ?‘ž1 (đ?‘Ą) linea â„“ di equazioni parametriche { ‌ ‌ ‌ . . Si consideri quindi un intervallo đ?‘ž1 = đ?‘ž1 (đ?‘Ą) ⌋đ?‘Ą1 , đ?‘Ą2 âŚŒ e siano đ?‘€1 đ?‘’ đ?‘€2 e per ogni t | t âˆˆâŚ‹đ?‘Ą1 , đ?‘Ą2 âŚŒ si consideri lo spostamento virtuale (đ?›żđ?‘ž1 , đ?›żđ?‘ž2 , ‌ . , đ?›żđ?‘žđ?‘› ) tale che il sistema passi dalla configurazione M = (đ?‘ž1 , đ?‘ž2 , ‌ . , đ?‘žđ?‘› ) alla configurazione variata sincrona riferita allo stesso istante t indicata come đ?‘€đ?‘ = đ?‘€đ?‘ (đ?‘ž1 + đ?›żđ?‘ž1 , đ?‘ž2 + đ?›żđ?‘ž2 , ‌., đ?‘žđ?‘› + đ?›żđ?‘žđ?‘› ).

Le equazioni riferite alla retta ℓ∗ , linea delle configurazioni đ?‘€đ?‘ , sono

đ?‘žđ?‘&#x; = đ?‘žđ?‘&#x; (đ?‘Ą) + đ?›żđ?‘žđ?‘&#x; una per ogni r intero con r ≤ đ?‘› .

Gli spostamenti virtuali đ?›żđ?‘ƒđ?‘– dei punti Pi sono funzioni del tempo t e devono ritenersi đ?‘‘

dati i vettori đ?‘‘đ?‘Ą đ?›żđ?‘ƒđ?‘– . Sia f una grandezza del moto, quale ad esempio la velocita’ v o l’energia cinetica T.


La grandezza đ?›żđ?‘“ designa la variazione infinitesima istantanea che intercorre tra i valori che alla grandezza f in considerazione competono in đ?‘€đ?‘ e M.

Si puo’ scrivere che đ?›żđ?’—đ?’Š = δ

dPi dt

d

= dt δPi .

Nel caso di vincoli bilaterali privi di attriti il moto naturale fra le due configurazioni đ?‘€1 , đ?‘€2 iniziale e finale, quindi relativa agli istanti đ?‘Ą1 đ?‘’ đ?‘Ą2 e di tutti i possibili moti variati che hanno in comune con đ?‘€1 đ?‘’ , đ?‘€2 e’ (Zeuli) tale che đ?›żđ?‘ƒđ?‘– = 0 con i intero e i ≤ đ?‘ per t = đ?‘Ą1 e t = đ?‘Ą2 . đ?‘Ą

Il principio di Hamilton e’ scritto nella forma âˆŤđ?‘Ą 2(đ?›żđ?‘‡ + đ?›żđ?‘Š)đ?‘‘đ?‘Ą = 0 per ogni moto 1

variato sincrono che abbia in comune la configurazione estrema.

Tale principio assurge a postulato fondamentale della dinamica.

Nei sistemi conservativi nei quali si ha đ?›żđ?‘Š = −đ?›żđ?‘‰ đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

1

1

1

đ?‘Ą

si ha âˆŤđ?‘Ą 2(đ?›żđ?‘‡ + đ?›żđ?‘Š)đ?‘‘đ?‘Ą = 1

đ?›ż âˆŤđ?‘Ą 2(đ?‘‡ + đ?‘Š)đ?‘‘đ?‘Ą = đ?›ż âˆŤđ?‘Ą 2(đ?‘‡ − đ?‘‰)đ?‘‘đ?‘Ą = đ?›ż âˆŤđ?‘Ą 2 â„’đ?‘‘đ?‘Ą detta funzione principale di Hamilton.

In un qualunque sistema conservativo a vincoli bilaterali e privi di attrito il moto naturale e’ quello che rende stazionario l’integrale di Hamilton rispetto a tutti i moti sincroni variati di comuni configurazioni estreme (Zeuli).

Il momento canonico


Occorre ora dare la definizione di momento generalizzato, detto anche momento cinetico o momento canonico.

đ?œ•â„’

Data la grandezza đ?‘žđ?‘– la grandezza đ?‘?đ?‘– = đ?œ•đ?‘žĚ‡ e’ comunemente detta momento canonico . đ?‘–

Si precisa che non necessariamente il momento canonico ha le dimensioni fisiche di un momento lineare o di un momento della quantita’ si moto (o momento angolare).

Un esempio puo’ essere il seguente. Se le coordinate generalizzate coincidono con �

đ?‘š

quelle cartesiane allora đ?‘žĚ‡ đ?‘– ≥ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘žđ?‘– e’ misurata in đ?‘ đ?‘’đ?‘? allora poiche’ ordinariamente â„’ e’ una energia sara’ misurata in jaule (J). Ragionando sulle unita’ di misura delle grandezze si osserva che il secondo membro e’ misurato in

đ?‘š

đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?‘š

đ?‘š

đ?‘—đ?‘Žđ?‘˘đ?‘™đ?‘’ đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘?

đ?‘ đ?‘’đ?‘?

= jaule đ?‘š = newton∗

đ?‘š

= newton∗ đ?‘ đ?‘’đ?‘? = đ??žđ?‘”đ?‘š (đ?‘ đ?‘’đ?‘?)2 sec= đ??žđ?‘”đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘? .

Quindi si e’ pervenuti alla unita’ di misura della quantita’ di moto lineare.

In altri termini, molto semplicemente si scrive, con riguardo al caso considerato, che

đ?‘?̇đ?‘– = đ?‘šđ?‘žĚ‡ đ?‘– con i = 1, 2, 3.

Con riferimento ad un sistema conservativo di N punti si puo’ schematizzare in questi termini.


Se dđ?‘žđ?‘– indica una traslazione elementare del sistema si dice che đ?‘žđ?‘– e’ una coordinata lagrangiana si traslazione lungo la direzione n e đ?‘?đ?‘– e’ la componente del momento lineare del sistema secondo la medesima direzione n .

Qualora d đ?‘žđ?‘– indica una rotazione elementare del sistema si dice che đ?‘žđ?‘– e’ una coordinata lagrangiana si rotazione attorno ad una retta orientata e đ?‘?đ?‘– e’ la componente del momento angolare del sistema rispetto al dato polo.

Coordinate ignorabili

Alcune coordinate lagrangiane sono dette cicliche o, altrimenti, ignorabili se e solo se non compaiono nell’espressione analitica della funzione lagrangiana ℒ. Occorre pero’ precisare che l’assenza di una di esse non implica l’assenza del momento coniugato.

đ?œ•â„’

Nel caso sia đ?‘žđ?‘— con j intero e per 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘› allora risulta essere đ?‘?đ?‘— = đ?œ•đ?‘žĚ‡ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą.. đ?‘—

Si afferma che il momento generalizzato đ?‘?đ?‘— associato ad una coordinata ciclica e’ costante durante il moto del sistema.

Con la manualistica (Zeuli) possiamo concludere ricordando che se una coordinata di traslazione e’ ciclica allora il sistema e’ invariante per le traslazioni rigide nella direzione definita dalla coordinata ignorabile e che se una coordinata di rotazione e’ ciclica la lagrangiana non varia se la coordinata viene aumentata di una costante.

Le equazioni di Hamilton.


Hamilton ha introdotto la modalita’ di descrizione del moto utilizzando 2n parametri indipendenti costituiti dalle n coordinate generalizzate di Lagrange đ?‘žđ?‘– e dai đ?œ•â„’

corrispondenti momenti coniugati đ?‘?đ?‘— = đ?œ•đ?‘žĚ‡ . Le equazioni di Lagrange possono essere đ?‘—

scritte nel modo seguente:

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œ•â„’

đ?‘?đ?‘— = đ?œ•đ?‘ž

đ?‘–

�i possono considerare le 2n equazioni seguenti:

đ?‘žĚ‡ đ?‘– = đ?œ‘đ?‘– (đ?‘žđ?‘—≤đ?‘› , đ?‘?đ?‘—≤đ?‘› , đ?‘Ą)

đ?‘?̇đ?‘– = đ?œ—đ?‘– (đ?‘žđ?‘—≤đ?‘› , đ?‘?đ?‘—≤đ?‘› , đ?‘Ą)

Tali relazioni sono dette equazioni di Hamilton.

Lo spazio delle fasi

Si considera uno spazio vettoriale euclideo a 2n dimensioni indicato come đ?‘†2đ?‘› interpretando le coordinate generalizzate e i momenti come dimensioni di un punto P sotto la condizione che per un punto P≥ đ?‘ƒ(đ?‘ž1 , ‌ , đ?‘žđ?‘› , đ?‘?1 ‌ . . , đ?‘?đ?‘› ) passa una ed una sola traiettoria. Viene utilizzata una particolare funzione detta funzione di Hamilton o anche hamiltoniana H, scritta con il seguente formalismo:

H(q,p,t) = âŚ‹âˆ‘ đ?‘?đ?‘– đ?‘žĚ‡ đ?‘– − â„’(đ?‘ž, đ?‘žĚ‡ , đ?‘Ą)âŚŒđ?‘žĚ‡

đ?‘– =đ?‘žĚ‡ đ?‘– (đ?‘ž,đ?‘?,đ?‘Ą)

Tale funzione generalmente rappresenta l’energia totale del sistema.


Il suo differenziale totale e’:

đ?œ•đ??ť

đ?œ•đ??ť

đ?‘–

đ?‘–

đ?œ•đ??ť

dH = ∑ đ?œ•đ?‘ž đ?‘‘đ?‘žđ?‘– + ∑ đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘?đ?‘– + đ?œ•đ?‘Ą dt

đ?œ•đ??ż

che conduce a dH = ∑ đ?‘žĚ‡ đ?‘– đ?‘‘đ?‘?đ?‘– − ∑ đ?‘?̇đ?‘– đ?‘‘đ?‘žđ?‘– − đ?œ•đ?‘Ą dt Si ottengono quindi le equazioni, detta canoniche, di Hamilton del moto:

đ?œ•đ??ť

đ?‘žĚ‡ đ?‘– = đ?œ•đ?‘?

đ?‘–

đ?œ•đ?‘Ś đ?‘žĚ‡ đ?‘– = đ?œ•đ?‘ž đ?‘– đ?œ•đ??ż đ?œ•đ??ť {− đ?œ•đ?‘Ą = đ?œ•đ?‘Ą

Il principio di minima azione di Maupertius-Hamilton

Nel caso del moto variato sincrono partendo dalle equazioni đ?‘žđ?‘&#x; = đ?‘žđ?‘&#x; (đ?‘Ą) con r intero e r ≤ n si considerano le equazioni đ?‘žđ?‘&#x; = đ?‘žđ?‘&#x; (đ?‘Ą) + đ?›żđ?‘žđ?‘– della configurazione đ?‘€đ?‘† con riferimento quindi ad una traiettoria infinitamente vicina a quella del moto naturale.

Si puo’ considerare il moto variato asincrono di equazioni đ?‘žđ?‘&#x; = đ?‘žđ?‘&#x; (đ?‘Ą) + ∆đ?‘žđ?‘&#x; considerando cioe’ il tempo variato di un ∆đ?‘Ą .

Si ha a che fare con un moto variato asincrono di equazioni đ?‘žđ?‘&#x; = đ?‘žđ?‘&#x; (đ?‘Ą) + ∆đ?‘žđ?‘&#x;

L’autore al quale mi sono rapportato (Zeuli) ricorda che ∆đ?‘Ą ≠0 l’incremento della variabile ∆đ?‘žđ?‘&#x; e’ la somma di due componenti, quella incrementale sincrona (che avviene istantaneamente) e quella che avviene nel ∆đ?‘Ą ≠0 . Tale ultimo incremento vale

đ?‘‘đ?‘žđ?‘&#x; ∆đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

≥ đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; ∆đ?‘Ą (questo formalismo non deve preoccupare piu’ di tanto. Se si opera


nella equivalenza tra coordinate cartesiane e generalizzate lagrangiane si tratta di uno spazio percorso, mentre, ovviamente đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; indica una velocita’ e ∆đ?‘Ą indica un intervallo di tempo, qualora invece đ?‘žđ?‘&#x; indica un valore angolare allora đ?‘žĚ‡ đ?‘&#x; indicherebbe una velocita’ angolare misurata in

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ ). đ?‘ đ?‘’đ?‘?

Il ∆đ?‘žđ?‘&#x; e’ quindi dato dalla seguente somma ∆đ?‘žđ?‘&#x; = đ?›żđ?‘žđ?‘&#x; + đ?‘žĚ‡ đ?‘– ∆đ?‘Ą .

In altri termini si puo’ scrivere che đ?‘žđ?‘&#x; = đ?‘žđ?‘&#x; (đ?‘Ą) + ∆đ?‘žđ?‘&#x; = đ?‘žđ?‘&#x; (đ?‘Ą) + đ?›żđ?‘žđ?‘&#x; + đ?‘žĚ‡ đ?‘– ∆đ?‘Ą .

A questo punto viene introdotta una funzione che descrive il moto detta f = đ?‘“(đ?‘ž, đ?‘Ą) e viene studiata la variazione ∆f = ∆đ?‘“(đ?‘ž, đ?‘Ą) che risulta essere

∆đ?‘“ = ∑ đ?‘–≤đ?‘›

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘“ ∆đ?‘žđ?‘&#x; + ∆đ?‘Ą = ∑ (đ?›żđ?‘žđ?‘&#x; + đ?‘žĚ‡ đ?‘– ∆đ?‘Ą) + ∆đ?‘Ą = đ?›żđ?‘“ + đ?‘“̇ ∆đ?‘Ą đ?œ•đ?‘žđ?‘– đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ą đ?‘–≤đ?‘›

Ricorda il citato autore (Zeuli) che “in meccanica, per ogni possibile moto del sistema materiale considerato si da’ generalmente il nome di azione (‌.) alla grandezza A đ?‘Ą

đ?‘Ą

1

1

definita da A = âˆŤđ?‘Ą 2 ∑đ?‘– đ?‘?đ?‘– đ?‘žĚ‡ đ?‘– đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤđ?‘Ą 2 (â„’ + đ??ť)đ?‘‘đ?‘Ą “

In estrema sintesi tale principio afferma che tra i due considerati istanti il moto natuale del sistema e’ tale che ∆đ??´ = 0.

Si afferma (Zeuli) che il moto naturale e’ quello per il quale e’ stazionaria l’azione A in corrispondenza ad ogni moto variato isoenergetico avente in comune le configurazioni estreme. E’ isoenergetico il moto per il quale H= đ??ť(đ?‘Ą) e’ una costante.


BIBLIOGRAFIA

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Vaccaro, Carfagna, Piccolella, Lezioni di geometria e algebra lineare, Zanichelli, 1995

Zeuli, Nozioni di meccanica razionale, Levrotto e Bella,


ANTICIPAZIONE SUL PROSSIMO NUMERO

Il prossimo numero di Appunti matematici sara’ dedicata all’Analisi di Fourier e la copertina sara’ riservata al celebre matematico francese Jean-Baptiste Fourier, uno degli iniziatori della fisica matematica.


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