OSSERVAZIONI ELEMENTARI SUI NUMERI PRIMI

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Patrizio Gravano

MATEMATICA SOFT

OSSERVAZIONI ELEMENTARI giugno 2021


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Patrizio Gravano

Osservazioni elementari sui numeri primi

I numeri primi sono numeri interi assoluti che non ammettono altri divisori oltre all’unità e al numero stesso. Ad esempio, il numero 17 è un numero primo in quanto dividendolo per qualunque intero assoluto minore di esso si ottiene un resto della divisione (utilizzando l’algoritmo di Euclide) diverso dallo zero. E’ ben evidente che

17

=1e 17

17 1

=1 .

Si dice che un numero primo non ammette divisori diversi da 1 e dal numero primo stesso. L’insieme dei numeri primi è infinito. Una dimostrazione di tale circostanza è dovuta a Euclide. Si osserva che tutti i numeri primi sono numeri dispari oltre al numero 2 che, ovviamente, è primo ma pari. 𝑏

La notazione a ⎸𝑏 (che si legge a divide b) è intesa nel senso che 𝑎 = 𝑞, essendo q intero. In questo caso il resto r della divisione è eguale a 0. Qualora risulti 𝑟 ≠ 0 allora sarebbe 𝑏 = 𝑎𝑞 + 𝑟 con 𝑟 ≠ 0 e si dovrebbe scrivere 𝑎 ∤ b . Una considerazione di carattere generale che può essere affermata è la seguente: • un numero intero è primo se non è divisibile per alcun numero primo strettamente minore di esso.


Una formulazione di questo modo di intendere è la seguente. Da 𝑎 = 𝑎 𝑟 𝑏𝑞 + 𝑟 si può scrivere 𝑏 = 𝑞 + 𝑏 . Se a e b sono numeri dispari, il numero intero a è primo se ∀ 𝑏 < 𝑎 si ottiene 𝑟 ≠ 0. Più strettamente, il numero intero assoluto a è primo se 𝑟 ≠ 0 ∀ 𝑏 < 𝑎 essendo b intero primo. Sia 𝑃𝑎 l’insieme dei numeri primi strettamente minori del numero intero assoluto dispari a. Si pone 𝑃𝑎 = {𝑝𝑖 ⎸ max 𝑝𝑖 < 𝑎} . Se 𝑝𝑖 ∤ 𝑎 allora a oltre ad essere dispari è pure primo. Si evince che se k è la cardinalità dell’insieme 𝑃𝑎 = {𝑝𝑖 ⎸ max 𝑝𝑖 < 𝑎} cioè se ⎸𝑃𝑎 = {𝑝𝑖 ⎸ max 𝑝𝑖 < 𝑎} ⎸ = 𝑘, allora il numero a può essere espresso in k distinti modi, del tipo 𝑎 = 𝑝𝑖 𝑞𝑖 + 𝑟𝑖 con i intero e 𝑖 ≤ 𝑘 . (La cardinalità di un insieme è semplicemente il numero degli elementi che lo costituiscono e si indica con ⎸A ⎸ o con card(A) ). Vengono quindi definite specifiche relazioni tra potenze del numero a. Infatti, si ha: 𝑎𝑘 = ∏𝑘𝑖=1 𝑝𝑖 𝑞𝑖 + 𝑟𝑖 Alternativamente, fissato un 𝑖0 si ha : 𝑎𝑘 = (𝑝𝑖0 𝑞𝑖0 + 𝑟𝑖0 )𝑘 da cui immediatamente si ha: 𝑘⎸𝑖≠𝑖 0

Poiche’ uno degli i è eguale a 𝑖0 si ha ∏𝑖=1

𝑝𝑖 𝑞𝑖 + 𝑟𝑖 = 𝑎𝑘−1.

E’ noto, parimenti, che non esiste una successione che al variare di n in N genera numeri primi. Da a = bq + r si ottiene: 𝑎 𝑏 𝑎

=𝑞+

− 𝑏 𝑎−𝑟 𝑏

𝑟 𝑏

𝑟 𝑏

=𝑞

=𝑞

Quindi 𝑏 ⎸𝑎 − 𝑟


Devo premettere di non aver mai avuto accesso ad algoritmi di generazione di numeri primi. Tanto premesso, ho ipotizzato un algoritmo per la determinazione dei numeri primi, essendo necessario un approccio computazionale atteso che la teoria non consente neppure di determinare l’insieme infinito dei numeri primi partendo da una coppia di primi per ottenere il terzo della serie nel senso che da (𝑝𝑖 , 𝑝𝑖−1 ) si abbia 𝑝𝑖+1 . La flow-chart che ho realizzato è la seguente.

n=1 n = n+1

n = n+1 𝑝𝑛 = 2𝑛 + 1

𝑝𝑛 = 3

no

𝑝𝑛 > 3

primo

si

si

𝑝 𝑛−𝑗 ⎸ 𝑝𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛 𝑗 ≤ 𝑛−1

no Inserisci 𝑝𝑛 in P (insieme dei numeri primi)

𝑝𝑛 è 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜


La freccia nera – atteso che questo appunto non ha uno scopo di programmazione ma di mera analisi del caso – indica l’implementazione dell’insieme dei numeri primi che viene via via generato. Occorre a questo punto considerare nel dettaglio il senso di questa parte di diagramma di flusso.

si

𝑝 𝑛−𝑗 ⎸ 𝑝𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛 𝑗 ≤ 𝑛−1

no

Tale parte può essere dettagliata come segue. Occorre tenere presente che un numero intero è primo se non è il prodotto di almeno due numeri primi strettamente minori di esso. 𝜑<𝑛 In termini alternativi 𝑝𝑛 è primo se 𝑝𝜑 ⎸𝑝𝑛 essendo {𝜑 = 𝑛 − 𝑗 non è mai verificata, cioè se è 𝑝𝜑 ∤ 𝑝𝑛 ∀𝜑 .


Alla risposta “sì”, “no” dell’elemento del diagramma

𝑝 𝑛−𝑗 ⎸ 𝑝𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛 𝑗 ≤ 𝑛−1

corrisponde la seguente conseguenza Se 𝑝𝑛−𝑗 ⎸𝑝𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 allora {𝑝𝑛−1 } → {𝑝𝑛−1 } Se 𝑝𝑛−𝑗 ∤ 𝑝𝑛 per ogni 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 allora {𝑝𝑛−1 } → {𝑝𝑛−1 } ∪ {𝑝𝑛 } L’insieme {𝑝𝑛−1 } costituisce l’insieme dei numeri primi strettamente minori del numero dispari 𝑝𝑛 di cui si deve verificare la primalità cioè la condizione 𝑝𝑛−𝑗 ∤ 𝑝𝑛 per ogni 𝑗 ≤ 𝑛 − 1. In definitiva la condizione {𝑝𝑛−1 } → {𝑝𝑛−1 } cioè 𝑝𝑛 non è primo equivale alle seguenti condizioni affermative in cascata, come rappresentato nella pagina seguente.


no

𝑝 𝑛−1 ⎸ 𝑝𝑛

si 𝑝 𝑛−2 ⎸ 𝑝𝑛

no si 𝑝 𝑛−3 ⎸ 𝑝𝑛

……no……………………………………… no

𝑝 1 ⎸ 𝑝𝑛

si

Deve però ritenersi più concretamente opportuno considerare la divisibilità degli elementi di di 𝑝𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑑𝑖 {𝑝𝑛−1 } partendo da 𝑝1 fino a 𝑝𝑛−1 .

Un ulteriore punto è relativo alla ricerca dei numeri primi minori di un numero intero positivo assegnato 𝑛 0 .


𝑛0

si

𝑛0 𝑝𝑎𝑟𝑖

𝑛0 = 𝑛0 − 1 = 𝜏

si

𝑛0 n> 3

n

si no {𝜏𝑖 } → {𝜏𝑖 } ∪ {𝜏}

∃𝜏𝑖 ⎸ 𝜏

𝑛0 = 𝑛0 − 2

{𝜏𝑖 } → {𝜏𝑖 } ∪ {2,3}

no

Una modalità di determinazione dell’insieme dei numeri primi strettamente minori di un numero 𝑛 0 potrebbe essere la seguente. Tale numero naturale può essere arbitrariamente grande.


𝑛0

si

𝑛0 𝑝𝑎𝑟𝑖

𝑛0 = 𝑛0 − 1

𝑛0 − 2 > 3

no 𝑛0 = 𝑛0 − 2

{n=2k+1< 𝑛0}

{𝑝𝑖 }= {𝑝𝑖 } ∪ {2,3}

no

si

∃ 2𝑘 + 1⎸𝑛0

{𝑝𝑖 }= {𝑝𝑖 } ∪ {2,3}

La probabilità di trovare un numero primo minore di 𝑛 0 è

⎸{𝑝𝑖 }⎸⎸ 𝑛0

.

Il simbolo ⎸⎸indica in questo caso la cardinalità dell’insieme {𝑝𝑖 } , tenuto conto che detto insieme è incluso propriamente nell’insieme dei numeri primi che, come noto, non è finito, bensì infinito. La scrittura ∃2𝑘 + 1 ⎸𝑛0 si intende che esiste almeno (se si) un primo, oppure non esiste alcun primo (se no) (< 𝑛 0) che divide 𝑛0 .


Una ipotesi di flow chart che studia la generazione dell’insieme dei numeri primi è la seguente. In tale diagramma di flusso { 𝑝𝑖 } denota l’insieme dei numeri primi.

𝑛=3

and

and {𝑝𝑖 } = {2, 3}

𝑛 = 𝑛+2

{2𝑘 + 1 < 𝑛 + 2}

{𝑝𝑖 } = {2,3} ∪ {𝑛 + 2}

no

2k+1 ⎸n+k

si

{2k+1 < 𝑛 + 2} denota l’insieme (finito) i cui elementi sono gli interi dispari con i seguenti vincoli { 2𝑘 + 1 > 3 . 2𝑘 + 1 < 𝑛 + 2 Ci si potrebbe chiedere di implementare la flow chart con un comando di stampa che generi l’insieme dei primi in elaborazione. Si prospettano due ipotesi distinte. La prima è sicuramente più semplice e presuppone


banalmente la reitera della stampa dei primi interi “primi” trovati con tutta la sequenza (gli elementi 𝑝𝑖 fino a quel momento trovati). La seconda, sicuramente di maggior pregio, presuppone la stampa di max 𝑝𝑖 con 𝑝𝑖 ∈ {𝑝𝑖 } ogni volta card {𝑝𝑖 } → card {𝑝𝑖 } + 1 In questo caso lo spezzone di diagramma potrebbe essere il seguente.

{ 𝑝𝑖 } = {2,3} ∪ {𝑛 + 2}

si

no

{ 𝑝𝑖 } = {2,3}

Stampa 2, 3, ….. stampa max 𝑝𝑖

si

card{ 𝑝𝑖 } = card{ 𝑝𝑖 } + 1

no

Ho, quindi, con riferimento alla parte precedente, elaborato questo schema che riduce il numero dei passaggi.


𝑛=3 {𝑝𝑖 } = {2,3}

𝑛 =𝑛+2

no

{𝑝𝑖 } = {𝑝𝑖 } ∪ {𝑛}

∃𝑝𝑖 ⎸ 𝑛

si


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