Appunti Matematici 38 39

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

LA TEORIA DEGLI INSIEMI UN PASSO IN PIÙ numeri 38/39 - febbraio/marzo 2018



INTRODUZIONE

Gia’ in una occasione, nel passato, avevo ritenuto utile riprendere in considerazione la teoria degli insiemi.

In allora mi ero limitato alla cosiddetta teoria ingenua degli insiemi, peraltro sempre riportata nelle pagine iniziali di molti testi, anche universitari, di analisi matematica o di algebra.

Successivamente in altri miei elaborati avevo incluso parti della teoria che solitamente sono ricomprese nella teoria degli insiemi, quali ad esempio quelle relative alla nozione di relazione, di funzione e di ordine.

Ho quindi sentito l’esigenza di riconsiderare l’intera materia in un unico breve saggio che non si limita agli aspetti piu’ noti ma introduce compiutamente gli assiomi di Zermelo, che rappresentano uno degli approcci teorici dominanti.

Il risultato della mia sintesi e’ contenuto nelle pagine seguenti.

Nella redazione di questo elaborato ho attinto abbondantemente da diverse pregevoli fonti quali, Casalegno, Mariani, Teoria degli insiemi. Un’introduzione, Carocci editore, oltre alle dispense universitarie del prof. Berarducci.


Per la parte ingenua, come detto, mi sono limitato a raccogliere quanto indicato in miei pregressi elaborati.

Ogni manchevolezza o imprecisione e’ a me solo imputabile.

Nel futuro approntero’ un terzo fascicolo con le ulteriori assiomatizzazioni e lo sviluppo di alcune parte qui contenute.

Roma, Nizza, dicembre-gennaio, 2017-2018

Patrizio Gravano patrizio.gravano@libero.it


PARTE PRIMA - LA TEORIA INGENUA

Nozioni di insiemistica elementare

Il punto di partenza della teoria degli insiemi è costituita dal concetto di insieme.

Si tratta di un concetto primitivo (quindi non definito da concetti matematici formalizzati) intuitivamente definibile come una collezione di oggetti, detti elementi dell’insieme.

In luogo del termine “collezione” è possibile usare altri termini similari, quali “classe” “famiglia”, etc. La scrittura x ∈ X significa che l’elemento x appartiene all’insieme X.

Se è vero il contrario si usa il simbolo “non appartiene” e si scrive x ∉ X.

Un elemento qualunque può appartenere oppure no ad un dato insieme. Non è data una terza condizione. Il criterio che consente di affermare che x ∈ X (oppure x ∉ X) è oggettivo e dato a priori.

Non sono ammissibili proprietà caratteristiche confutabili o soggettivamente interpretabili, del tipo “ l’insieme dei libri interessanti”.


Tale relazione, che consente di dire senza ombra di dubbio, se un elemento è parte o meno di un dato insieme, è chiamata proprietà caratteristica.

Viene definito, per dare completezza logica alla teoria, un particolare insieme, detto insieme vuoto.

Per insieme vuoto si intende l’insieme privo di elementi. Esso è denotato dal simbolo ∅.

Gli insiemi possono avere un numero finito oppure un numero infinito di elementi.

Il numero degli elementi di un insieme finito costituisce la cardinalità dell’insieme.

Per esempio l’insieme A = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?,đ?‘‘} è un insieme costituito da 4 elementi, a, b, c, d e quindi la sua cardinalitĂ vale 4.

Formalmente si scrive card(A) = 4, oppure |A| = 4.

Tutti e soli gli insiemi aventi quattro elementi hanno cardinalitĂ 4. Essa conduce al concetto di numero cardinale.

Alcuni matematici in luogo di cardinalitĂ utilizzano il termine potenza.

Gli insiemi aventi la stessa cardinalitĂ si dicono equipotenti.


Due insiemi equipotenti A e B sono indicati con il formalismo A âˆź B.

E’ intuitivo comprendere che se due insiemi hanno lo stesso numero di elementi (e sono quindi equipotenti) può essere associato ad ogni elemento del primo un elemento del secondo e viceversa. A distinti elementi del primo corrispondono distinti elementi del secondo.

Si dice che gli insiemi A e B sono posti in corrispondenza biunivoca.

Nella rappresentazione degli insiemi non conta l’ordine di successione degli elementi.

Per esempio gli insiemi A = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?,đ?‘‘} e A’ = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘‘,đ?‘?} sono lo stesso insieme.

Formalmente si scrive A = A’.

Questa modalità di rappresentazione è detta tabulare. Detto insieme è anche rappresentabile utilizzando la rappresentazione caratteristica nel modo seguente:

A = { x : x è una delle prime quattro lettere dell’alfabeto }.

Per la rappresentazione degli insiemi esiste una ulteriore forma di rappresentazione costituita dai cosiddetti diagrammi di Eulero-Venn.


Due insiemi sono eguali se sono lo stesso insieme.

Quando due insiemi non sono eguali si scrive A ≠ B. Uno stesso insieme può essere rappresentato in ⦋card(A)⦌ ! modi differenti (ove ! è il simbolo di fattoriale).

Dato un insieme è possibile definire un suo sottoinsieme.

Un insieme B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B e anche elemento di A ma esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B.

Detto sottoinsieme di B è detto sottoinsieme proprio.

In termini formali si ha A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A ≠ B.

In termini alternativi possiamo anche scrivere

A ⊂ B ⇔ A ⋂ B = A.


Un insieme può essere considerato sottoinsieme di se stesso.

In questo caso si parla di sottoinsieme improprio. Nel caso generale della definizione si parla di sottoinsieme proprio e si scrive che B ⊂ A quando ogni b ∈ B è anche elemento di A ma esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B.

Dato A = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?,đ?‘‘} possiamo dire che B = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?} è un sottoinsieme proprio di A e scrivere B ⊂ A da cui consegue A ⊄ B.

Dato un insieme A si ammette che esso abbia tra i suoi sottoinsiemi pure l’insieme vuoto, potendo scrivere che ∅ ⊂ A, ∀ A : A ≠∅.

E’ immediato dimostrare che A = B â&#x;ş (A ⊂ B and B ⊂ A).

Un insieme avente un numero infinito di elementi è detto infinito.

Nel novero degli insiemi sono ricompresi pure gli insiemi numerici. Tali sono l’insieme dei numeri naturali, quello dei razionali, quello dei reali e quello dei numeri complessi.

E’ bene ricordare che detti insiemi hanno un numero infinito di elementi.


Ciò vale anche per l’insieme â„• dei numeri naturali.

La potenza (o cardinalità ) dell’insieme infinito dei numeri naturali si indica con �0.

Essa è detta potenza del numerabile. Un insieme ha la potenza del numerabile se è ponibile in corrispondenza biunivoca con â„•, insieme dei naturali. Due insiemi sono detti essere in corrispondenza biunivoca se ad un elemento di uno corrisponde uno ed uno solo elemento del secondo e viceversa se ad ogni elemento del secondo corrisponde uno ed uno solo elemento del primo. Per gli insiemi sono definite due fondamentali operazioni, l’unione e la intersezione insiemistica.

Dati due insiemi A e B si definisce unione insiemistica, definita dal simbolo âˆŞ, quella operazione che consente di ottenere un terzo insieme C, avente per elementi tutti e soli gli elementi appartenenti ai due insiemi, considerato una sola volta e a prescindere dall’ordine. Formalmente si ha C = A âˆŞ B ove C = {a ∈ A, b ∈ b}.


PoichÊ è possibile che un medesimo elemento (o piÚ di uno) appartenga ad entrambi gli insiemi non è detto che sia card(C) = card(A) + card(B).

In generale card(C) ≤ card(A) + card(B).

Nel caso degenere A = B allora da C = A âˆŞ B si ottiene che card(C) = card(A) = card(B).

Il caso card(C) = card(A) + card(B) si ha quando non esiste alcun elemento comune agli insiemi A e B.

Queste considerazioni sono valide quando i due insiemi hanno un numero finito di elementi e ad essi è associato un numero cardinale nel senso di Russell.

L’unione insiemistica è definibile per un numero finito qualunque di insiemi. C = ⋃ đ??´đ?‘–

La seconda fondamentale operazione è detta intersezione insiemistica. Essa consente di ottenere un nuovo insieme C avente per elementi tutti e soli gli elementi comuni ai due insiemi presi una sola volta.

Il simbolo insiemistico dell’intersezione è il seguente: â‹‚.


Formalmente si scrive C = A ⋂ B, essendo C = {a ∈ A : a ∈ b et b ∈ B : b ∈ A }.

Si prescinde dall’ordine e gli elementi comuni (e solo essi) sono considerati una sola volta.

Ad esempio dato A = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?,đ?‘‘} e B = {đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘&#x;,đ?‘ } si ha che C = A â‹‚ B = {đ?‘Ž,đ?‘?}.

E’ immediato studiare come si comporta la cardinalitĂ rispetto all’operazione di intersezione. L’operazione di intersezione conduce, a prescindere dalle cardinalitĂ degli insiemi, al risultato dell’insieme vuoto ∅ quando i due insiemi considerati non hanno elementi in comune.

Due insiemi privi di elementi comuni sono detti disgiunti. In questo caso si ha A ⋂ B = ∅.

Anche la intersezione è estensibile a un numero maggiore di due di insiemi formalizzando come segue C = â‹‚ đ??´đ?‘–


Affinchè card(C) = 0 è sufficiente che esista almeno un đ??´đ?‘˜ tale che đ??´đ?‘˜ â‹‚đ??´â„Ž đ??´â„Ž con h ≠k e k ≤ n.

Nella teoria ingenua degli insiemi viene solitamente definito anche un insieme detto insieme universo. Intuitivamente lo si può definire come l’insieme avente per elementi tutti (e soli) i possibili elementi. In un alfabeto l’insieme universo è costituito da tutte le lettere. In un sistema di numerazione esso è l’insieme avente come elementi tutte le cifre.

Un elemento dell’insieme universo, U, è anche elemento di un possibile sottoinsieme proprio di esso.

Un x ∉ U non può essere elemento di alcun sottoinsieme proprio di U.

Dal concetto di insieme universo U è possibile definire assegnato un insieme A ⊂ U un nuovo insieme, detto complemento di A rispetto ad U, definito formalmente come segue:


đ??´đ??ś = {x ∈ U tale che x ∉ A}.

đ??żđ?‘Ž scrittura “tale cheâ€? è usualmente formalizzata dai due simboli : oppure |, entrambi letti “tale cheâ€?.

đ??´đ?‘? è pertanto quell’insieme avente come elementi tutti gli elementi di U che non appartengono ad A, ove A è un sottoinsieme proprio di U.

đ?‘†đ?‘’ A = U allora đ??´đ?‘? = ∅. đ?‘‰đ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘’ definita una ulteriore operazione sugli insiemi detta complementazione relativa.

Dati due insiemi A e B la scrittura B ∖ A viene chiamata insieme differenza di B ed A.

Per definizione si ha B ∖ A = { x ∈ B : x ∉ A}

Solitamente è A ⊂ B.

Non è ammesso B ⊂ A in quanto A è costituito da x : x ∈ A essendo ogni b ∈ B anche elemento di A. Evidentemente in generale B ∖ A ≠A ∖ B.


Se A = B si ha B ∖ A = { x ∈ A : x ∉ A} = ∅.

Viene definita quindi una ulteriore operazione sugli insiemi A e B, detta prodotto cartesiano e indicata con il formalismo A ⨯ B.

Il prodotto cartesiano conduce ad un insieme i cui elementi sono coppie ordinate (a, b) ove la prima componente è un a ∈ A e la seconda un b ∈ B.

Formalmente si scrive C = A ⨯ B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B }.

Per come è definito il prodotto cartesiano non è commutativo, pertanto, in generale: A ⨯ B ≠ B ⨯ A.

E’ ammesso, ed ampiamente utilizzato, un prodotto cartesiano del tipo A ⨯ A.

Ci si chiede quando dati due insiemi A e B risulti A ⨯ B = ∅.

Si dimostra che A ⨯ B = ∅ ⇔ ( A = ∅ or B = ∅)

Dal concetto definitorio di prodotto cartesiano scaturisce un concetto importante, quello di coppia ordinata.


Una coppia ordinata è costituita da due elementi risultando rilevante l’ordine di elencazione degli elementi.

La coppia ordinata (a , b) e la coppia ordinata (b , a) sono diverse quando a ≠b.

Due coppie ordinate (a , b) e (x , y) sono eguali se e solo se a = x e b = y.

Il prodotto cartesiano è estensibile ad un numero finito di insiemi.

In questo caso gli elementi di esso sono n-ple ordinate di elementi.

Ad esempio A ⤍ B ⤍ ‌. ⤍ Z = {(a, b, ‌., z) con a ∈ A, b ∈ B, ‌‌, z ∈ Z}

In modo analogo vengono definite le n-ple ordinate eguali. Date le n-ple (a, b, c, ‌. , z) e (a’ , b’, c’, ‌.., z’) si ha la loro eguaglianza se e solo se a = a’, b = b’, c = c’, ‌.., z = z’.

Assegnato un insieme A viene definito un insieme detto insieme delle parti. L’insieme delle parti di un insieme A è l’insieme avente come elementi tutti e soli i sottoinsiemi dell’insieme A.

L’insieme delle parti di A si indica con il formalismo �(A) avendo che

�(A) = {B : B ⊆ A}.


Giova osservare che gli elementi che compongono l’insieme delle parti sono insiemi e non elementi!

Tra essi è ovviamente ricompreso anche l’insieme vuoto, ∅.

Appartiene all’insieme delle parti pure l’insieme dato.

Dato ad esempio l’insieme A = { x, y } l’insieme delle parti di esso è rappresentato come segue đ?’Ť(A) = {∅ , {x}, {y}, {x, y} }

La scrittura {x} ∈ đ?’Ť(A) si intende come l’insieme avente come elemento x appartiene all’insieme delle parti dell’insieme dato.

PoichĂŠ esso è costituito da un unico elemento esso è detto singleton (singoletto). Assegnato un insieme A di n elementi allora l’insieme delle parti đ?’Ť(A) è costituito da 2đ?‘› insiemi.

Una interessante e semplice dimostrazione per induzione è contenuta in Introduzione alla geometria e all’algebra elementare, di Paolo Maroscia, Editore Zanichelli, cui si rimanda ampiamente.


Giova osservare che le forme ∅ e {∅} hanno significato diverso.

La prima si intende come l’insieme vuoto, mentre la seconda è intesa come l’insieme avente come elemento l’insieme vuoto. Viene definito un ulteriore concetto insiemistico, quello di partizione specie se riferita all’insieme universo.

Un insieme generico non vuoto può essere considerato come l’unione insiemistica di un numero finito di sottoinsiemi propri tali che essi siano a due a due disgiunti e che la loro unione insiemistica riproduca l’insieme assegnato. Gli insiemi đ??´đ?‘– costituiscono una partizione di A se:

1) Ahâ‹‚đ??´k = ∅ ∀ (h,k) : h ≠k con 1 ≤ h ≤ n, 1 ≤ k ≤ n;

2) ⋃ đ??´i = A

3) đ??´i ≠∅

Possono essere costituite distinte partizioni al variare di n.

In informatica è stato istituito un criterio di rappresentazione dei sottoinsiemi di un insieme universo U nel modo seguente.


Abbia U cardinalità k finita. Esso è costituito da k elementi e rappresentabile come segue

U = { đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ‌ . . đ?‘Žđ?‘› } La scrittura A {1, 1, 0, 0,‌.. , 0} è modalitĂ operativa per definire l’insieme A = {đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 } quindi A ⊂ U.

Le operazioni insiemistiche godono di particolari proprietĂ .

Esse sono le seguenti. ∀ A, B, C : A ⊆ U, B ⊆ U, C ⊆ U si ha:

1) A âˆŞ A = A

2) A â‹‚ A = A

Esse sono dette relazioni (o leggi) di idempotenza e discendono immediatamente dalla definizione di unione e di intersezione insiemistica. Le proprietĂ di idempotenza si giustificano molto semplicemente partendo dalla osservazione che A âˆŞ A contiene tutti e soli gli elementi di A (per la definizione di unione insiemistica); pertanto è immediato scrivere A âˆŞ A = A.


In modo analogo si evidenzia che A ⋂ A contiene solo gli elementi a : a ∈ A (per la definizione di intersezione insiemistica), quindi A ⋂ A = A.

3) A âˆŞ B = B âˆŞ A

4) A â‹‚ B = B â‹‚ A

Esse esprimono la proprietĂ commutativa dell’unione e dell’intersezione. La commutativitĂ dell’unione e dell’intersezione di insiemi discende dalla circostanza che A âˆŞ B contiene gli elementi dei due insiemi e che prescindendo dall’ordine di elencazione degli elementi scrivere A âˆŞ B è la stessa cosa che scrivere B âˆŞ A.

Il caso dei singleton chiarisce bene cosa si intende al riguardo.

Da A = {a} e B = {b} si ha A âˆŞđ??ľ = {a, b } ma anche B âˆŞ A = {b, a}.

Ma {a, b} e {b, a} sono il medesimo insieme in quanto non conta l’ordine di elencazione degli elementi.

Pertanto A âˆŞđ??ľ = B âˆŞ A.


Queste considerazioni sono estensibili a un numero di insiemi qualunque, a prescindere dalla loro cardinalità.

Le operazioni di unione e di intersezione insiemistica sono definite anche su insiemi infiniti, e astrattamente anche il relazione a un numero infinito di insiemi.

Riflessioni analoghe possono essere fatte relativamente all’intersezione. Nel caso siano A e B due insiemi disgiunti si ha A ⋂ B = B ⋂ A = ∅ ed anche in questo caso la proprietà vale conducendo al caso particolare dell’insieme vuoto.

Valgono pure le seguenti proprietà associative (dell’unione e dell’intersezione): 5) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

6) A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C

In relazione alla proprietà 5) osservo che se x è elemento di A ∪ (B ∪ C) deve essere pure elemento di (A ∪ B) ∪ C.

Infatti dall’essere x elemento di A ∪ (B ∪ C) discende che x è elemento di almeno uno degli insiemi A, B, C.

Questa osservazione conduce a ritenere che x sia elemento del secondo membro.


Se invece y ∉ A ∪ (B ∪ C) allora y ∉ A, y ∉ B, y ∉ C.

Da ciò discende che y ∉ (A ∪ B) ∪ C, non essendo elemento di C ma neppure di A ∪ B, non essendo y elemento né di A né di B.

Si può anche scrivere A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C.

Argomentazioni analoghe possono essere fatte per dimostrare la relazione 6) ovvero che A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C

Infatti se x ∈ A ⋂ (B ⋂ C) allora deve essere x ∈ A, x ∈ B ed anche x ∈ C.

Dall’aver posto ciò consegue che x ∈ (A ⋂ B) ⋂ C.

Se x ∉ A ⋂ (B ⋂ C) vuol dire che x non è elemento di almeno uno degli insiemi considerati.

x ∉ (A ⋂ B) ⋂ C perché non può appartenere a tutti e tre gli insiemi.

Ammesso che x ∈ C allora x ∉ A oppure x ∉ B oppure x ∉ A ∪ B. Quindi x ∉ (A ⋂ B) ⋂ C.


Se x ∉ C immediatamente si ha x ∉ (A ⋂ B) ⋂ C anche quando fosse x ∈ A et x ∈ B,ovvero risultasse x ∈ A ⋂ B.

Valgono le seguenti proprietà distributive

7) A ∪ (B ⋂ C) = (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C)

8) A ⋂ (B ∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C)

Si consideri la relazione insiemistica 7.

E’ possibile dire che x ∈ A ∪ (B ⋂ C) ⟹ x ∈ A oppure x ∈ (B⋂C) oppure x appartiene ad entrambi gli insiemi A e B ⋂ C, ovvero x ∈ A ⋂ (B ⋂C).

Se x ∈ A allora è immediato osservare che A ∪ (B ⋂ C) = (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C).

Se x ∈ B ⋂ C allora discende che x ∈ B e x ∈ C.

Ma se è così allora x ∈ (A ∪ B) ed anche x ∈ (A ∪ C), ovvero x ∈ (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C).

Se x ∈ A ⋂ (B ⋂C) allora x ∈ A, x ∈ B, x ∈ C.

Da ciò discende che x ∈ (A ∪ B) ed anche x ∈ (A ∪ C), ovvero x ∈ (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C).

Questa relazione di appartenenza è vera anche quando x ∈ B oppure x ∈ C essendo comunque x ∈ A.


Considero ora la proprietà 8.

Se x ∈ A ⋂ (B ∪ C) vuol dire che x ∈ A ed anche x ∈ (B ∪ C). Primo sottocaso x ∈ B et x ∈ C.

Considero il secondo membro (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C) ed ho x ∈ (A ⋂ B) e x ∈ (A ⋂ C) quindi x ∈ (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C).

Si hanno pure le seguenti proprietà:

9) A ⊆ B ⇔ A ⋂ B = A

Trattandosi di una implicazione logica (o condizione necessaria e sufficiente, c.n.e.s.) occorre considerare i due casi, ovvero

9’) A ⊆ B ⟹ A ⋂ B = A

9’’) A ⋂ B = A ⟹ A ⊆ B

Considero la relazione di inclusione A ⊆ B.

Per essa va considerato il caso A = B. Per esso si ha immediatamente che A ⋂ A = A (per la proprietà di idempotenza).


Sia A ⊂ B. Allora ogni a ∈ A è anche elemento di B. Ma esiste almeno un x ∈ B tale che x ∉ A.

Sotto questa condizione è evidente che A ⋂ B contiene tutti e soli gli elementi comuni ad A e a B.

Ma detti elementi comuni sono tutti e soli gli a ∈ A.

Con ciò è provata la 9’).

Considero ora la 9’’).

A ⋂ B = A vuol dire che l’insieme A è eguale all’insieme avente come elementi tutti e solo gli elementi comuni ad A e a B. Quindi che B è costituito da tutti gli elementi di A. In questo caso sarebbe A ⋂ A = A.

Ma è possibile anche un secondo caso, ovvero che esista almeno un x ∈ B tale x ∉ A.

In questo caso sarebbe A ⊂ B.

10) A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B


E’ possibile distinguere due casi A = B e A ⊂ B.

A = B conduce a A = B ⇔ A ∪ B = B da cui A = A ⇔ A ∪ A = A ovvero A = A ⇔ A = A.

Considero il caso A ⊂ B. La 10) diviene la seguente

A⊂B⇔A∪B=B

avendosi: α) A ⊂ B ⟹ A ∪ B = B

β) A ∪ B = B ⟹ A ⊂ B

La α) si giustifica facilmente considerando che B contiene tutti gli elementi di A esistendo elementi di B non appartenenti ad A.

Pertanto l’unione di A e B contiene tutti gli elementi di A pure elementi di B ma anche gli elementi di B non appartenenti ad A. Tale insieme è l’insieme B. Da A ⊂ B discende A ∪ B = B.

Viceversa si dimostra la β).


A âˆŞ B = B significa che ogni a ∈ A è pure elemento di B dovendo esistere almeno un b ∈ B tale che b ∉ A. B ⊈ A ovvero A ⊂ B.

Vorrei ricordare che vige la proprietà transitiva dell’inclusione.

11.0) A⊆ B, B ⊆ C â&#x;š A ⊆ C

Vi è un caso banale per il quale A = B e B = C conduce a A = C. Considero un secondo caso per il quale A ⊂ B e B ⊂ C conduce a A ⊂ C.

Ciò perchĂŠ ogni a ∈ A è tale che a ∈ B esistendo comunque elementi di B per i quali b ∈ B : b ∉ A.

Ma poichĂŠ B ⊂ C per ipotesi allora ogni b : b ∈ b ( e quindi anche gli a : a ∈ A) è elemento di C.

Quindi C contiene anche tutti gli a ∈ đ??´.

In modo analogo è possibile studiare i sottocasi: Îą) A = B , B ⊂ C;

β) A ⊂ B , B = C.


In definitiva si addiviene a A⊆ B, B ⊆ C â&#x;š A ⊆ C

Valgono pure le seguenti proprietĂ 11) (A⊆ C, B ⊆ C) ⇔ A âˆŞ B ⊆ C

12) (A⊇ C, B ⊇ C) ⇔ A ⋂ B ⊇ C

Queste sono le proprietĂ elencate nella preposition 3-1.3. del testo Fundamentals of Abstract Analysis del Gleason, Addison-Wesley unitamente al seguente teorema 13) ∀ A, B, C : A ⊆ B si ha AâˆŞ B ⊆ B âˆŞ C ed anche A â‹‚ B ⊆ B â‹‚ C

Per gli insiemi valgono due ulteriori proprietĂ dette leggi di DeMorgan come segue:

14) (đ?‘¨â‹‚đ?‘Š)đ?‘Ş = đ?‘¨đ?’„ âˆŞđ?‘Šđ?’„

Sia x ∈ (đ??´â‹‚đ??ľ)c allora x ∉ đ??´â‹‚đ??ľ quindi x ∉ A oppure x ∉ B, oppure non appartiene ad entrambi. Ma se x ∉ đ??´ (o se x ∉ B) allora x ∈ đ??´đ?‘? (x ∈đ??ľđ?‘?) quindi x ∈ đ??´đ?‘? âˆŞđ??ľđ?‘?.

Se x ∉ A e x ∉ B allora x ∉ đ??´ â‹‚đ??ľ.


Ma x ∈ đ??´đ?‘? âˆŞđ??ľđ?‘? e pure x ∈ (đ??´â‹‚đ??ľ)đ??ś.

Nel caso x ∈ A, x ∈ B allora x ∈ A â‹‚ B, da cui x ∉ (đ??´ â‹‚đ??ľ)c e x ∉ đ??´đ?‘? âˆŞđ??ľđ?‘?.

15) (đ?‘¨âˆŞđ?‘Š)c = đ?‘¨đ?’„â‹‚đ?‘Šđ?’„

Se x ∈ (đ??´âˆŞđ??ľ)c allora x ∉ A âˆŞ B. Da ciò discende che x ∉ A et x ∉ B.

Da ciò si evidenzia che x ∈ đ??´đ?‘? e x ∈ đ??ľđ?‘? ovvero x ∈ đ??´đ?‘?â‹‚đ??ľđ?‘?.

Vale anche la seguente relazione

16) B ∖ A = B â‹‚ đ?‘¨c

Il primo membro definisce un insieme i cui elementi b sono tali che contiene tutti e soli gli elementi di B che non sono elementi di A.

B ∖ A = {b : b ∈ B, b ∉ A}

Per il secondo membro la scrittura B â‹‚ đ??´đ?‘? definisce l’insieme {b : b ∈ B, b ∈đ??´đ?‘?}.

Ma se b ∈đ??´đ?‘? allora b ∉ A.

Ciò una diretta conseguenza del principio di non contraddizione.

Esso è solitamente messo nella forma đ??´ â‹‚đ??´đ?‘? = ∅


đ?‘†đ?‘’ a ∈ A allora a ∉ đ??´đ?‘? (per la definizione di insieme complementare) quindi a ∉ đ??´ â‹‚đ??´đ?‘?.

đ??śđ?‘–ò è đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ ∀a : a ∈ A.

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ??´ â‹‚đ??´đ?‘? = ∅.

Quindi è verificato il teorema.

Occorre poi ricordare anche la seguente 17) ∀A si ha che (đ?‘¨c)c = A

Tale proprietĂ insiemistica è detta involuzione. Sia x ∈ A. Allora x ∉ đ??´đ?‘?.

Sia đ??´đ?‘?= B allora x ∉ B. Ma sicuramente x ∈ đ??ľđ?‘? ovvero x ∈ (đ??ľ)đ?‘? ovvero x ∈ (đ??´đ?‘?)đ?‘?.

In definitiva ogni x ∈ A appartiene pure a (đ??´c)đ?‘?.

In alcuni testi l’insieme complementare đ??´đ?‘? di un insieme A è scritto con il formalismo đ??´.

Tra insieme vuoto ∅ e insieme universo U valgono le seguenti relazioni

∅c = U

đ?‘ˆđ?‘? = ∅


đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x; l’insieme vuoto esistono infinite proprietĂ caratteristiche che lo rappresentano.

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x; gli insiemi vale la ulteriore proprietĂ di assorbimento per la quale si ha

đ?‘¨â‹‚(BâˆŞC)=A

đ?‘’ dualmente

đ?‘¨âˆŞ(Bâ‹‚C)=A

Nell’algebra degli insiemi viene definita una ulteriore proprietà detta differenza simmetrica cosÏ definita

A ⊕ B = (A ∖ B) âˆŞ (B∖A)

Per essa valgono le seguenti proprietĂ

18) A ⊕ A = ∅

19) A ⊕ ∅ = A

20) A ⊕ B = B ⊕ A

21) A ⊕ B ⊕ C = (A ⊕ B)⊕ C

22) A ⋂ (B ⊕ C) = (A ⋂ B) ⊕ (A ⋂ C)


Relazioni e funzioni

Nel paragrafo relativo alla teoria matematica degli insiemi e’ stata introdotta la nozione di prodotto cartesiano di insiemi estensibile al caso di n insiemi.

Il prodotto cartesiano di n insiemi đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— đ??´3 Ă— đ??´4 Ă— ‌ . .Ă— đ??´đ?‘› e’ un insieme i cui elementi sono le n-ple (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ . đ?‘Žđ?‘– , ‌ . . , đ?‘Žđ?‘› ) tali che đ?‘Žđ?‘˜â‰¤đ?‘› ∈ đ??´đ?‘˜ . Si tratta di un n-pla ordinata. Cio’ premesso, e’ possibile dare la definizione di relazione n-aria, o relazione si arita’ n, intesa come un qualche sottoinsieme di đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— đ??´3 Ă— đ??´4 Ă— ‌ . .Ă— đ??´đ?‘› .

Dalla definizione si comprende che la relazione e’ costituita da n-ple ordinate e se essa si denota come insieme R allora risulta R ⊆ đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— đ??´3 Ă— đ??´4 Ă— ‌ . .Ă— đ??´đ?‘› .

Essendo insiemi le relazioni godono di tutte le proprieta’ formali della teoria degli insiemi e in particolare delle proprieta’ di commutativita’, associativita’ e distributivita’. In particolare si hanno due relazioni dette rispettivamente relazione vuota, per la quale si utilizza il simbolo di insieme vuoto, ∅, per la quale nessun elemento e’ in relazione con nessun altro, e la relazione universal, per la quale ogni elemento (quindi ogni n-pla) e’ in relazione con un altro elemento.


Anche le relazioni vengono indicate con le lettere maiuscole, ad esempio R e T e sono legittime scritture del tipo: R⊆T

T=R R ⊂ T.

L’ultima scrittura si interpreta semplicemente che tutte le n-ple della relazione R sono nple della relazione T ma che esiste almeno una n-pla della relazione R che non appartiene alla relazione T. Come caso particolare delle relazioni n-arie si possono considerare le relazioni binarie, ovvero le R tali che R ⊆ đ??´1 Ă— đ??´2

La relazione binaria viene formalizzata in due modalita’ equivalenti, ovvero scrivendo: đ?‘Ž1 đ?‘…đ?‘Ž2 ≥ (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘… Il membro sinistro si legge “ đ?‘Ž1 đ?‘’ đ?‘Ž2 sono in relazione tra loroâ€?. La coppia (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) deve intendersi quale coppia ordinate, quindi deve intendersi che đ?‘Ž1 ∈ đ??´1 e đ?‘Ž2 ∈ đ??´2 .


Gli elementi di đ??´1 individuano il dominio della relazione R, ovvero dom R = {đ?‘Ž1,đ?‘– |đ?‘Ž1,đ?‘– đ?‘… đ?‘Ž2,đ?‘— , đ?‘Ž1,đ?‘– ∈ đ??´1 , đ?‘Ž2,đ?‘— ∈ đ??´2 }.

Gli elementi di đ??´2 individuano il codominio della relazione R, ovvero cod R = {đ?‘Ž2,đ?‘— |đ?‘Ž1,đ?‘– đ?‘… đ?‘Ž2,đ?‘— , đ?‘Ž1,đ?‘– ∈ đ??´1 , đ?‘Ž2,đ?‘— ∈ đ??´2 }.

Quando gli insiemi đ??´1 đ?‘’ đ??´2 sono finiti, ovvero quando hanno un numero finito e intero di elementi per la rappresentazione delle relazioni vengono usati il grafo di incidenza e la matrice di incidenza. Occorre quindi partire dalla nozione di grafo, inteso come un oggetto matematico definite da una coppia di insiemi, V, detto insieme dei vertici, e E detto insieme degli archi.

Un arco puo’ essere inteso come una coppia ordinata di vertici, detti, rispettivamente, vertice iniziale e vertice finale.

Ad esempio, dati gli insiemi A e B seguenti A ={a, b, c, d, e} si cardinalita’ 5 e B ={u, v, z, t, đ?›ź, đ?›˝} di cardinalita’ 6 e data la relazione R ⊆đ??´ Ă—B | R ={(a, v) , (a, đ?›ź ) (c, z), (d, β) , (e, v)}


Si noti che ad un medesimo elemento di A possono corrispondere distinti elementi di B come nel caso di specie ove ad a corrispondono due disitni elementi di B, ovvero v e �.

E’ ora possibile disegnare il grafo di incidenza per la assegnata relazione R.

Il passo successivo e’ la costruzione della matrice di incidenza della relazione. Piu’ propriamente per una data relazione e’ possibile costruire una matrice di incidenza e non la matrice di incidenza. Questa pseudoambiguita’ nasce dal fatto che un insieme puo’ essere rappresentato in modi distinti non essendo rilevante l’ordine di elencazione dei suoi elementi.

Un insieme di cardinalita’ n (costituito cioe’ da n elementi) ha n! distinte modalita’ rappresentative.


Si puo’ rappresentare il tutto come segue.

u

v

z

t

�

β

a

0

1

0

0

1

0

b

0

0

0

0

0

0

c

0

0

1

0

0

0

d

0

0

0

0

0

1

e

0

1

0

0

0

0

L’allocazione degli zeri e degli uni nella tabella a doppia entrata e’ immediata. 1 viene collocato all’incrocio di due elementi che sono in relazione, altrimenti si mette uno 0.

La matrice di incidenza della relazione e’:

đ?‘€đ?‘…⊆đ??´Ă—đ??ľ

010010 000000 = 001000 000001 (0 1 0 0 0 0)

Le cose si complicano leggrmente quando e’ A ∊ đ??ľ ≠∅ ove e’ necessario utilizzare il grafo bipartito.


Data la matrice di incidenza delle relazioni R e T e’ possibile ricavare le matrici di incidenza delle relazioni R∊ đ?‘‡ e R âˆŞ T.

Un esempio semplice dovrebbe poter chiarire bene la situazione. Siano dati due insiemi non vuoti A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4} siano quindi date le due relazioni R ={(a, 3), (c, 2)} e T ={(a, 2), (b, 1), (c, 2), (d,4) }.

Da questi dati si desume che R ∊ T ={(c, 2)} mentre R âˆŞ T = ={(a,3),(c, 2), (a,2), (b, 1), (d, 4)}

0000 0010 Pertanto la matrice di incidenza di đ?‘€đ?‘…∊đ?‘‡ = ( ). 0000 0000

Infatti l’unico uno si trova all’incrocio tra gli elementi c e 1.

La matrice di incidenza riferita alla relazione RâˆŞT risulta essere:

đ?‘€đ?‘…âˆŞđ?‘‡

0100 1010 =( ). 1000 0001


đ??źđ?‘› buona sostanza una matrice di incidenza di una relazione intersezione di due assegnate relazioni gli uni sono assegnati alle posizioni (e solo ad esse) per le quali le matrici di incidenza delle due relazioni, per quella posizione corrispondente, sono entrambi uni. Per la matrice di incidenza associata ad una relazione unione di due relazioni date gli uni sono posti nelle posizioni cui corrispondono uni nelle corrispondenti posizioni delle due matrici di incidenza riferite alle due relazioni. Nel caso della intersezione l’elemento đ?‘?đ?‘–,đ?‘— della matrice di incidenza đ?‘€đ??´âˆŠđ??ľ si ha đ?‘?đ?‘–,đ?‘— = 1 quando (e solo quando) đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = đ?‘?đ?‘–,đ?‘— = 1 al variare di (i, j) essendo đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— đ?‘’ đ?‘?đ?‘–,đ?‘— gli elementi delle matrici di incidenza delel trasformazioni R e T, rispettivamente.

Va ora esaminato il prodotto di relazioni.

Sono assegnate due relazioni R e T come segue: R ⊆ đ??´1 Ă— đ??´2

T ⊆ đ??´2 Ă— đ??´3

Sulla base di queste premesse viene ad essere definita la relazione RT, comunemente detta

prodotto di funzioni.


Si osservi che lo stesso insieme đ??´2 compare nei due prodotti cartesiani.

Questa e’ una condizione di procedibilita’ del prodotto di relazioni.

La relazione prodotto RT viene formalizzata come segue: RT = { (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž3 ) | ∃ đ?‘Ž2 ∈ đ??´2 : (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘…, (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ) ∈ đ?‘‡}

L’elemento đ?‘Ž2 ∈đ??´2 e’ detto elemento di passaggio.

E’ forse utile esemplificare con le tabelle sottoelencate.


Relazione R

a

b

1

c

d

1

2 3

1

4

(le caselle vuote devono intendersi come zeri)

Si consideri quindi una assegnata T seguente

x a

1

b c d

y

1

z

t


Da queste due tabelle rappresentative delle matrici di incidenza delle due relazioni si evince che l’elemento c dell’insieme đ??´2 e’ l’elemento di collegamento in quanto e’ possibile avere un arco (1, x) tramite c avvero tramite gli archi (1, c) e (c, x).

Con riferimento al caso di specie detto elemento e’ unico.

Cio’ non e’ vero in generale.

Per concludere si puo’ considerare la tabella e la matrice di incidenza della relazione prodotto, RT, avendosi che:


x

y

z

t

1

1

0

0

0

2

0

0

0

0

3

0

0

0

0

4

0

0

0

0

L’inesistenza di elementi di passaggio conduce alla conseguenza che RT = ∅.

Solitamente per determinare la matrice di incidenza di una relazione prodotto ⌋AA.VVâŚŒ si effettua la moltiplicazione delle matrici di incidenza delle due relazioni e si eguagliano a 1 i valori non nulli diversi da 1. Questo metodo ha il pregio di indicare il numero di volte che si puo’ “andareâ€? da un nodo all’altro. Va poi osservato che in generale risulta RT ≠đ?‘‡đ?‘…, ovvero si afferma che in generale il prodotto di due relazioni non e’ commutativo. E’ possibile che in casi particolari sia RT = TR.

In questo caso si dice che le due relazioni sono permutabili.


A questo punto e’ possibile considerare la relazione inversa. Data una relazione R | R ⊆ đ??´1 Ă— đ??´2 per la quale ∃ (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ??´1 Ă— đ??´2 | đ?‘Ž1 đ?‘…đ?‘Ž2 viene definita una relazione, detta inversa, e indicata come đ?‘… − tale che si possa scrivere: đ?‘… − = {(đ?‘Ž2 , đ?‘Ž1 ) | (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ R } đ??źđ?‘› definitiva đ?‘… − ⊆ đ??´2 Ă— đ??´1 .

Un esempio concreto chiarira’ la situazione.

Sono dati due insiemi A e B e una relazione R tra di essi tale che: A = { a, b, c, d, e}

B = { x, y, z, t, u}

R = { (a, y), (d, z), (c, t), (e,u)}

La relazione inversa e’: đ?‘… − = { (y, a), (z, d), (t, c), (u, e)}

đ??ˇđ?‘Žta R e quindi anche đ?‘€đ?‘… allora si ha che đ?‘€đ?‘…− = đ?‘€đ?‘…đ?‘‡ .


In definitiva la matrice di incidenza di una relazione inversa e’ la trasposta della matrice di incidenza della matrice di incidenza della relazione.

E’ ora possibile considerare le relazioni binarie su un insieme.

Una relazione binaria su un insieme e’ del tipo: R=đ??´ Ă—A

Vengono definite la relazione vuota e la relazione identica.

La relazione vuota e’:

đ?‘…∅ = { (a, b) ∈ đ??´ Ă—A | aRb } = ∅.

E’ bene considerare la relazione detta identica.

Essa puo’ essere scritta nel modo seguente: đ?‘…đ??ź = { (a, a) ∈ đ??´ Ă—A | aRa } = ∅.

Quindi (a, b) ∉ đ?‘…đ??ź quando a ≠b.

Vanno quindi considerate le proprieta’ delle relazioni a partire dalla proprieta’ seriale.


Una relazione R su un insieme A e’ detta seriale se ∀đ?‘Ž1 tale che đ?‘Ž1 ∈ A ∃đ?‘Ž2 ∈ đ??´ tale che (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘…đ??´ .

E’ possibile fare un esempio di relazione seriale. Dato un insieme A ={ a, b, c, d} e sia data la seguente relazione tra elementi di A, ovvero đ?‘…đ??´ ={(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)}. Essa e’ seriale perche’ ad ogni elemento di a ne corrisponde un secondo in relazione con esso.

La matrice di incidenza della relazione assegnata e’:

a

b

c

d

a

0

1

0

0

b

0

0

1

0

c

0

0

0

1

d

1

0

0

0

Come vuole la teoria ogni riga della matrice di incidenza ha un uno.

Una ulteriore proprieta’ e’ la proprieta’ riflessiva.


Per essa si ha che ∀đ?‘Ž | đ?‘Ž ∈ đ??´ si ha che đ?‘…đ??´ e’ riflessiva se (a, a) ∈ đ?‘…đ??´ .

Dato un insieme A ={ a, b, c, d} đ?‘…đ??´ e’ riflessiva se risulta che (a,a) (b,b), (c, c), (d, d) sono elementi di đ?‘…đ??´ .

Poiche’ una data relazione puo’ godere di piu’ proprieta’, nella matrice di incidenza ho prefeito introdurre una condizione di indeterminatezza, limitandomi all’aspetto della riflessivita’ di essa, evincibile dal fatto che la diagonale principale di essa e’ costituita da valori identicamente eguali a 1.

Con riferimento al caso concreto si ha la seguente matrice di incidenza.

A

b

c

d

a

1

-

-

-

b

-

1

-

-

c

-

-

1

-

d

-

-

-

1


Se gli elementi ��� sono identicamente eguali a 0 allora la relazione gode della sola proprieta’ riflessiva e si puo’ scrivere che:

đ?‘…đ??´ ={(a,a), (b,b), (c, c), (d, d)}

đ??źđ?‘› generale le relazioni binarie godono contemporaneamente di piu’ proprieta’.

đ?‘ˆđ?‘›đ?‘Ž ulteriore proprieta’ tipica delle relazioni e’ la cosiddetta proprieta’ simmetrica.

đ?‘ˆđ?‘›a relazione R gode della proprieta’ simmetrica se per ogni elemento (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) della relazione anche (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž1 ) e’ un elemento della relazione assegnata.

Formalmente sarebbe: đ?‘‘đ?‘’đ?‘“

((đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ R â&#x;ş (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž1 ) ) ⇒ R e’ simmetrica.

Dato il solito insieme A={ a, b, c, d} e’ possibile costruire la matrice di incidenza della relazione đ?‘…đ??´ simmetrica quando, ad esempio e’ noto che (a, b), (b, c) e (c, d) sono elementi di đ?‘…đ??´ .


Detta matrice e’ la seguente:

a

b

c

d

a

-

1

-

-

b

1

-

1

-

c

-

1

-

1

d

-

-

1

-

Si dimostra agevolmente che per le relazioni che godono della proprieta’ simmetrica la matrice di incidenza e la matrice trasposta di essa sono eguali. Ovvero, per le relazioni simmetriche si ha: đ?‘€đ?‘…đ??´ =đ?‘€đ?‘…đ?‘‡đ??´ . Una ulteriore importante proprieta’ delle relazioni e’ la proprieta’ antisimmetrica.

La proprieta’ antisimmetrica e’ formalizzata come segue: ( (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘…, (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž1 ) ∈ đ?‘… ) ⇒ đ?‘Ž1 = đ?‘Ž2

Detto altrimenti se (a, b) ∈ R allora (b, a) ∉ đ?‘….


Ulteriore fondamentale proprieta’ delle relazioni e’ la proprieta’ transitiva per la quale si puo’ scrivere che: ( (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘…, (đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ) ∈ đ?‘… ) ⇒ ( đ?‘Ž1 , đ?‘Ž3 ) ∈ đ?‘… Con riferimento al solito semplice insieme di studio A={ a, b, c, d} e’ possibile costruire la matrice di incidenza della relazione đ?‘…đ??´ transitive quando, ad esempio e’ noto che (a, b) e (c, d) sono elementi di đ?‘…đ??´ .

La transitivita’ impone che sia pure (a, d) elemento di đ?‘…đ??´ .

Si ha la seguente matrice di incidenza:

a

b

c

d

a

-

1

-

-

b

-

-

-

-

c

-

-

-

-

d

-

-

-

-


Se la relazione e’ transitiva dalla appartenenza di (a, b) e (b, d ) si evidenzia l’esistenza di (a,d) e dalla di esistenza di (c, b) e (b,a) si ottiene, se vige la proprieta’ transitive l’appartenenza di (c, a). E’ possibile enunciare un semplice teorema sulla serieta’ per il quale se R e T sono distinte relazioni seriali allora il prodotto di esse, ovvero la relazione RT, e’ pure seriale.

Il solito insieme A={ a, b, c, d} e’ utile. Sia infatti data una relazione R tale che R ={ (a,b), (b, c), (c, d), (d, a)} e si consideri la distinta relazione T ={ (a,c), (b, d), (c, a), (d, b)}. T e’pure simmetrica.

R

a

b

c

d

a

0

1

0

0

b

0

0

1

0

c

0

0

0

1

d

1

0

0

0


Per la relazione T si ha la seguente matrice di incidenza.

T

a

b

c

d

a

0

0

1

0

b

0

0

0

1

c

1

0

0

0

d

0`

1

0

0

Un metodo grafico per ottenere la matrice di incidenza di RT, ovvero ��� e’ il seguente.

a b c d

a b c d

a b c d


La matrice di incidenza si ottiene considerando che dall’elemento a si passa tramite b all’elemento d, e questo ragionamento e’ estensibile ad ogni elemento.

Gli elementi di colonna sono riferiti al primo insieme mentre quelli di riga son oriferiti al terzo insieme, che nel caso di specie coincidono.

La matrice di incidenza e’ la seguente:

RT

a

b

c

d

a

0

0

0

1

b

1

0

0

0

c

0

0

1

0

d

0

0

1

0

Volendo si puo’ trovare la matrice di inciedenza di TR.

Vi sono molte importanti proprieta’ delle relazioni seruali, quali la seguente: Se R e’ una relazione seriale allora R ∪ T e’ una relazione seriale a prescindere dalla serialita’ di T.


Si ammetta che anche T sia seriale.

Se T = R allora R âˆŞ đ?‘… = đ?‘… e non vi e’ nulla da dimostrare.

Ammetto che sia T ⊂ R allora R âˆŞ đ?‘‡ = đ?‘… e non vi e’ nulla da dimostrare.

Sempre nell’ipotesi sia T seriale considere il caso T ∊ R = ∅.

Sia dato il solito insieme A={ a, b, c, d} e siano date due relazioni sicuramente disgiunte (condizione garantita dal fatto che le due matrici di incidenza non hanno mai gli uni nella spessa posizione‌..).


a

b

c

d

a

0

1

0

0

b

0

0

1

0

c

0

0

0

1

d

1

0

0

0

đ?‘…đ??´

Relativamente ad una seconda relazione seriale e’ possibile considerare la seguente tabella, o matrice di incidenza.

đ?‘‡đ??´

A

b

c

d

a

0

0

1

0

b

0

1

0

0

c

1

0

0

0

d

0

0

1

1


La matrice di incidenza dell’unione đ?‘…đ??´ âˆŞ đ?‘‡đ??´ e’ tale che đ?‘?đ?‘–đ?‘— = 1 quando đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = 1, oppure bij = 1 oppure quando entrambi i valori valgono 1.

Evidentemente se esiste una coppia (đ?‘–0 , đ?‘—0 ) per la quale sia đ?‘Žđ?‘–0 đ?‘—0 = đ?‘?đ?‘–0 đ?‘—0 = 1 allora corrispondentemente si puo’ scrivere T ∊ R ≠∅.

La sostanza delle cose non cambia.

Vi sono evidenti nessi con la somma logica.

Va citata un importante teorema che rigaurda la proprieta’ simmetrica.

Esso e’ il seguente: R,T sono simmetriche allora R âˆŞ đ?‘‡, đ?‘’ đ?‘… ∊ đ?‘‡ đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘œ simmetriche.

Si consideri al solito l’insieme di lavoro A={ a, b, c, d} e due disitnte relazioni simmetriche tra elementi del medesimo insieme, siano esse đ?‘…đ??´ đ?‘’ đ?‘…đ??ľ .

Gli uni delle due tabelle ben evidenziano le coppie elementi delle due relazioni. Per la prima relazione đ?‘…đ??´ si ha la seguente tabella.


Per la relazione đ?‘‡đ??´ si ammetta sia

Nel caso di đ?‘…đ??´ âˆŞ đ?‘‡đ??´ gli uni saranno collocati nelle posizioni nelle quali sono collocate gli uni delle due distinte relazioni.


Con riferimento alle due relazioni date risulta che đ?‘…đ??´ ∊ đ?‘‡đ??´ = ∅ in quanto nessuna coppia di una e’ anche coppia elemento dell’altra. In questo caso si ammette che đ?‘…đ??´ ∊ đ?‘‡đ??´ = ∅ e’ riflessiva in quanto la relazione priva di coppie e’ definita riflessiva. Non determina particolari problemi il caso che risulti đ?‘…đ??´ ∊ đ?‘‡đ??´ ≠∅.

Detta ipotesi corrisponde al caso che esista almeno una coppia (x, y) che sia commune alle due relazioni. Ma poiche’ le due relazioni sono simmetriche per ipotesi pure la coppia (y, x) e’ comune alle due relazioni quindi la relazione đ?‘…đ??´ ∊ đ?‘‡đ??´|

đ?‘…đ??´ ∊đ?‘‡đ??´â‰ ∅

e’ simmetrica.

Per la loro importanza vanno sicuramente ricordate le relazioni di equivalenza. Una relazione binaria R su un insieme A e’ detta relazione di equivalenza se essa gode delle proprieta’ riflessiva, simmetrica e transitiva.

Un esempio sui generis di relazione NON di equivalenza a partire dal solito insieme A = {a, b, c, d} potrebbe essere il seguente.


In essa sono evidenziati con distinti colori gli uni riconducibili alle diverse proprieta della data relazione di equivalenza in oggetto.

R

a

b

c

d

a

1

1

0

0

b

1

1

0

0

c

0

0

1

0

d

0

0

0

1

In questo caso la transitivita’ ( in quanto (a, b) e (b, a) ∈ R ⇒ (a, a) ∈ R ) e la riflessivita’ convivono. La relazione R ={(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c) } non e’ una relazione di equivalenza.

Infatti, basta, ad esempio, osservare che mentre (a, a) e (c , c) sono elementi della relazione, la coppia (a, c) non lo e’.

Ho tratto motivo di profondo interesse dalla lettura di un testo riportato in bibliografia ⦋AA. VV⦌ e in praticolare di un evidente esempio di relazione di equivalenza, rispetto al quale ho costruito la corrispondente matrice di incidenza, pur dopo aver dovuto osservare


che nella definita relazione (pag. 18, figura 1.2), tra gli elementi di essa, mancava la coppia (d,d) che mi risulta essenziale per dichiarare di equivalenza detta relazione.

La relativa matrice di incidenza e’ la seguente:

A

B

c

d

e

a

1

1

0

0

0

b

1

1

0

0

0

c

0

0

1

1

0

d

0

0

1

1

0

e

0

0

0

0

1

Per avere una relazione di equivalenza su un dato insieme occorre avere un numero discreto di sottomatrici quadrate i cui elementi siano tutti uni.

Nell’esempio riportato dette sottomatrici sono riquadrate in rosso.

Dette sottomatrici sono a due a due disgiunte. Le relazioni di equivalenza sono intimamente collegate al concetto insiemistico di partizione.


Dato un insieme I di indici e assegnato un insieme A quale quello dell’esempio, ovvero i cui elementi siano a, b, c, d, ed e, si dice partizione di A una famiglia B ={đ??ľđ?‘– | i ∈ đ??ź} tale

che nessun đ??ľđ?‘– sia vuoto, che due elementi distinti đ??ľđ?‘– e đ??ľđ?‘— siano disgiunti per ogni coppia di indici i e j distinti. L’unione di essi definisce un ricoprimento di A. A questo punto e’ possibile definire la classe di equivalenza rispetto ad R come rappresentante di un dato elemento di A.

Essa e’ detta R classe di un dato elemento. Per esempio quando si scrive đ?‘…đ?‘Ž ci si riferisce all’insieme i cui elementi sono tutti e solo quelli che sono in relazione con a. Nel caso di specie si ha đ?‘…đ?‘Ž = {a, b} mentre si ha đ?‘…đ?‘? = {c, d} e đ?‘…đ?‘’ = {e}.

Sviluppando la teoria si perviene alla nozione di insieme quoziente. Le relazioni d’ordine sono relazioni binarie su un dato insieme che godono della proprieta’ riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Quando una relazione d’ordine e’ verificata per ogni coppia di elementi dell’insieme si utilizza la locuzione relazione d’ordine totale.


Due elementi a e b di A tali che (a,b) e (b,a) non appartengano alla relazione R su A si dice che non sono confrontabili rispetto alla relazione R.

Una relazione d’ordine totale non ammette elementi non confrontabili.

A mo’ di sintesi e’ utile precisare e ricapitolare alcuni concetti. Sia data una relazione R di equivalenza su un assegnato insieme A. Si definisce classe di equivalenza modulo R di un elemento a dell’insieme A, che viene indicata come ⦋a⦌ l’insieme di tutti gli a che sono equivalenti ad a.

Con metodi formali si scrive che: ⦋a⦌ ={ b | bRa}

Si disse che una delle conseguenze era costituita dalla introduzione della nozione di insieme quoziente. L’insieme quoziente di A rispetto alla relazione R su quell’insieme e’, per definizione, l’insieme i cui elementi sono tutte le classi di equivalenza di A rispetto alla relazione R, ovvero: A/R = {⦋a⦌ | a ∈ A }


Si perviene quindi alla nozione di elemento rappresentativo della classe (ognuna delle quali costituita da tutti e soli gli elementi di A, equivalenti ad esso.)

Come fu gia’ osservato, le classi di equivalenza di A rispetto ad R costituiscono una partizione di A.

Si deve ricordare ⌋Piacentini Cattaneo âŚŒ che “le classi di equivalenza o coincidono o sono disgiunteâ€? Una ultima precisazione molto concreta sulla relazione inversa đ?‘…đ??´âˆ’1 di una relazione đ?‘…đ??´ assegnata. Data đ?‘…đ??´ = { (a,b) , (b, c), (c, d) , (d, a)} la relazione inversa ovvero đ?‘…đ??´âˆ’1 risulta il seguente insieme đ?‘…đ??´âˆ’1 = { (b, a) , (c, b), (d, c) , (a, d)}. In buona sostanza per ottenere la relazione inversa di una relazione data si invertono le componenti delle coppie, e in termini formali il tutto e’ cosi’ sintetizzabile: bđ?‘…đ??´âˆ’1a â&#x;ş ađ?‘…đ??´ đ?‘? o, equivalentemente, (a , b) ∈ đ?‘…đ??´ â&#x;ş (b, a) ∈ đ?‘…đ??´âˆ’1


Funzioni

Il concetto di funzione e’ piu’ restrittivo di quello gia’ introdotto di relazione.

E’ bene partire dalla definizione di funzione. Dati due insiemi A e B una funzione f e’ una legge di corrispondenza che associa ad ogni elemento di A un elemento di B.

Piu’ precisamente ad ogni elemento a ∈ đ??´ e’ associate uno ed uno solo b ∈ B.

I due insiemi A e B vengono chiamati rispettivamente dominio e codominio. La funzione f e’ una relazione, ovvero ∀ đ?‘Ž | đ?‘Ž ∈ đ??´ si ha che la relazione e’ costituita dalle coppie (a, f(a)).

L’insieme F tale che F ⊆ A Ă— đ??ľ ovvero tale che F ={ (a, f(a)) | a ∈ A} e’ comunemente chiamato grafico della funzione f. Gli elementi b = f(a) ∈ đ??ľ sono detti imagine di a mendiante la funzione f.

Si deve sottolineare che il concetto di funzione e’ piu’ restrittivo di quello di relazione.


Per avere una funzione, infatti, occorre ed e’ sufficiente che ogni elemento di A sia prima componente di una coppia della relazione e che non esistano due distinte coppie aventi la medesima prima componente e distinto b ∈ đ??ľ).

A questo punto sono introducibili le nozioni di immagine e di controimmagine. Dato S ⊆ A l’immagine f(S) di S mendiante f e’ per definizione l’insieme i cui elementi sono gli elementi di b che sono in relazione con un qualche s appartenente a S.

Si scrive che: Im f = { b ∈B | b = f(s) }

L’immagine inversa, detta anche controimamgine e’: đ?‘“ −1 (T) = {a ∈A | f(a) ∈ T}

đ??ˇđ?‘’đ?‘Łđ?‘œđ?‘›đ?‘œ essere ora date alcune definizioni fondamentali.

đ??żđ?‘Ž prima fondamentale definizione e’ quella di iniezione (funzione iniettiva).

đ?‘ˆđ?‘›đ?‘Ž funzione f: A → B e’ detta iniettiva (o mappa iniettiva) se comunque siano presi due elementi a e a’ dell’insieme A da f(a) = f(a’) discende (o equivalentemente implica) che a ed a’ sono eguali, ovvero sono lo stesso elemento.


đ??żđ?‘Ž definizione puo’ essere data equivalentemente dicendo che una funzione f da A a B e’ iniettiva se e solo se da a ≠a’ ⇒ f(a) ≠f(a’), ∀đ?‘Ž, đ?‘Žâ€˛ | đ?‘Ž ∈ đ??´ , đ?‘? ∈ đ??ľ.

đ??źđ?‘™ secondo concetto rilevante e’ quello di funzione suriettiva (detta anche suriezione)

Si parla di funzione suriettiva quando ∀ đ?‘Žđ?‘– |đ?‘Žđ?‘– ∈ A si ha che ∃! đ?‘?đ?‘– = đ?‘“(đ?‘Žđ?‘– ) ∈ đ??ľ | { đ?‘?đ?‘– = đ?‘“(đ?‘Žđ?‘– )} = đ??ľ = Im f.

In buona sostanza una funzione e’ suriettiva allorquando gli elementi che sono immagine di un elemento di A sono tutti e soli quelli dell’insieme B.

Il codominio della funzione e im f coincidono, quindi sono lo stesso insieme.

Esistono funzioni che sono al contempo iniettive e suriettive.

Esse sono collettivamente chiamate funzioni biiettive, o biiezioni, o, piu’ comunemente, corrispondenze biunivoche e continue. Per dette funzioni a distinti elementi đ?‘Žđ?‘– di A corrispondono distinti đ?‘?đ?‘– secondo l’assegnata funzione (o legge di corrispodnenza) e l’insieme dei đ?‘?đ?‘– coincide con l’insieme B.

E’ poi di findamentale importanza dare la definizione di funzione (o applicazione) composta.


In questo caso sono “coinvolti� tre insiemi e le funzioni sono la f e la g, secondo il seguente schema.

f:

A→B

g:

B→C

La corrispodente funzione composta g â‹„ f viene scritta simbolicamente come segue:

g⋄f:A→C

Si osservi preliminarmente che il codominio di f deve coincidere con il dominio di g.

La funzione composta viene, in via di definizione, formalizzata come segue:

g ⋄ f (a) = g(f(a)) ∀a | a ∈ A.

L’iter logico che consente di ricavare l’espressione analitica di g ⋄ f (a) e’ la seguente:

đ?‘“

đ?‘”

a → f(a) → g(f(a))

Nel considerare la funzione composta (si parla al riguardo di composizione di funzioni) si e’ considerato il caso della funzione g ⋄ f.


Relativamente a detta situazione va rimarcato che avrebbe senso considerare il caso della funzione composta f â‹„ g che sarebbe operazione ammissibile quando fosse A = C

Va comunque ricordato che anche verificata la ammissibilita’ contemporanea delle due composizioni, in generale risulta che g ⋄ f ≠f ⋄ g.

In generale, quindi, la composizione di due funzioni non e’ commutativa.

E’, come caso particolare, dare significato a operazioni di composizione come la seguente:

f â‹„ f nella quale si ammette si ammette che il codominio di f coincida con il dominio della seconda f, ovvero in ultima analisi che A = B = C.

Va ora esaminato il caso della funzione inversa. Vanno quindi ricavate le condizioni per le quali data una funzione f esista (e sia unica) la funzione inversa đ?‘“ −1 .

Affinche’ si abbia una funzione, e quindi anche đ?‘“ −1 occorre che ad un elemento di un insieme ne corrisponda un altro di un altro insieme.

Evidentemente da

f:

A→B


dovrebbe essere che đ?‘“ −1 : B → A Ma affinche’ đ?‘“ −1 sia una funzione occorre che non risulti per un dato b ∈ B che b sia in relazione con due distinti elementi di A, per esempio đ?‘Ž1 đ?‘’ đ?‘Ž2 .

Nel qual caso si avrebbe una relazione e non una funzione.

Ne consegue che f deve essere iniettiva. Ma f deve essere anche suriettiva in quanto dalla coppia (a, f(a)) della relazione f deve potersi avere la coppia (f(a) , đ?‘“ −1 (f(a))) = ( f(a) , (đ?‘“ −1 f )(a)) = (f(a) , a).

L’insieme degli f(a) deve coincidere con il dominio della funzione inversa. L’insieme degli a deve coincidere con il codominio dalla funzione inversa che e’ il dominio di f.

Va evidenziato il caso di una relazione come la seguente che NON e’ una funzione.


Non si tratta di una funzione in quanto vi sono le coppie (x, r) ed (x, s) che hanno entrambe la stessa prima componente x e come seconda componente r ed s.

In modo abbastanza intuitivo siano dati gli insiemi A = { a, b, c} e B ={ x, y, z, t } sia data una f per la quale sia f(a) = �, f(b) = �, f(c) = �.

Graficamente si ha

Gli elementi x, y, z possono essere intesi quali elementi di un insieme B’⊂ đ??ľ.

Gli insiemi A e B’ sono in corrispondenza biunivoca.

Ho modificato alcuni esercizi solitamente proposti nella manualistica.

Una di queste modifiche mi ha indotto a considerare i seguenti insiemi.


A ={ a, b, c} e B ={ 1, 2, 3}

Si chiede di determinare quante funzioni di A a B si possono avere. Dette funzioni possono essere denotate con đ?‘“đ?‘› .

Si puo’ osservare che esistono tre funzioni suriettive. Una di esse e’ la �1 per la quale si ha �1 (a) = 1, �1 (b) = 2 e �1 (c) = 3.

La relativa matrice di incidenza per essa e’:

Ragionando analogamente si ottengono le altre due funzioni biiettive.

Per esse oggni colonna della matrice contiene un solo 1.

Esistono poi tre funzioni che potremmo definire costanti, đ?‘“4 , đ?‘“5 e đ?‘“6 .


Per esempio di puo’ porre �4 (a) = �4 (b) = �4 (c) = 1 che in termini di matrice di incidenza si puo’ formalizzare come segue:

Per esempio se si considera la matrice di incidenza seguente

(Si noti che in ogni riga compare un 1)

Una tabella di incidenza di una funzione non puo’ contenere una riga costituita ta tutti zeri.


Se cosi’ fosse allora non si potrebbe parlare di funzione in quanto esisterebbe un elemento di A che non ha immagine in B.

A volte in luogo del termine funzione si usa quello equivalente di applicazione.

Resta da considerare il caso della funzione identita’. Dato un insieme non vuoto A e’ possibile considerare una funzione che associa ad un elemento di A l’elemento medesimo. Cio’ per ogni elemento di A.

In termini di matrici di incidenza la funzione identita’ puo’ essere formalizzata come segue.

Gli elementi della relazione (che e’, in questo caso, anche funzione) sono (a,a), (b,b), (c,c) e (d, d). La funzione identita’ viene denotata come 1đ??´ .


Una funzione e’ una relazione seriale nella quale ad ogni elemento di A corrisponde uno ed uno solo elemento di B.

Affiche’ si possa parlare di funzione occorre che la legge di corrispondenza sia instaurata per tutti gli elementi di A.

In termini di matrici di incidenza, avuto riguardo al solito insieme A si osserva che la matrice di incidenza sottoindicata non e’ riferibile ad una funzione.

Basta porre l’attenzione sull’ultima riga ache evidenza che d ∈ A non e’ in relazione con alcun elemento distinto da esso di A.


Viene meno la condizione di serialita’.

In definitiva una matrice di incidenza contenente almeno una riga costituita da zeri non e’ riferibile ad una funzione. Un ulteriore concetto che puo’ essere inserito in questa nota introduttiva e’ la nozione di relazione nucleo di f, indicate come đ?‘˜đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“ .

Data una funzione f tale che sia f:A→B

la coppia (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) di elementi di A appartiene a đ?‘˜đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“ se e solo se f(đ?‘Ž1 ) = đ?‘“(đ?‘Ž2 )

In termini formali possiamo scrivere che: (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) ∈ đ?‘˜đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“ â&#x;ş f(đ?‘Ž1 ) = đ?‘“(đ?‘Ž2 ).

Ho tratto questa nozione dalla letteratura consultata ⌋ AA.VV.âŚŒ.

Essa non attiene agli aspetti elementari dell’algebra ed e’ di pertienza della logica matematica.

Si e’ introdotta nel paragrafo la nozione di corrispodenza biunivocal tra insiemi non vuoti.


Due insiemi finiti sono ponibili in corrispondenza biunivoca quando hanno la stessa cardinalita’, cioe’ quando sono equipotenti.

La relazione di equipotenza tra insiemi e’ una relazione di equivalenza e come tale gode della proprieta’ transitiva, riflessiva e di quella simmetrica.

Si puo’ scrivere che: |A| = |A|

|A| = |B| ⇒|B| = |A|

(|A| = |B|, |B| = |C|) ⇒|A| = |C|

Formalmente, la equipotenza tra insiemi viene anche scritta con il seguente formalismo: A ~ đ??ľ.

Un insieme non vuoto A e’ finito se e’ ponibile in corrispidenza biunivoca con l’insieme {1, 2, 3, ‌., n} per un assegnato intero n.

L’insieme vuoto ∅ ha, e’ bene ricordarlo, cardinalita’ 0.


Deve ora essere data la definizione di insieme infinito.

Un insieme e’ infinito se esso non e’ vuoto e se non ha cardinalita’ n, al variare di n in N.

La seguente e’ una importante proprieta’ – definizione per gli insiemi infiniti. Un insime e’ infinito se e solo se puo’ essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Dalla letteratura consultata ⌋đ??´đ??´. đ?‘‰đ?‘‰âŚŒ riporto che “l’insieme N e’ infinito, infatti se indichiamo con P = {2n |n ∈ N} l’insieme dei numeri pari, allora la funzione f : N → B definite da f(n) = 2n e’ una biiezione e P e’ un sottoinsieme proprio di Nâ€?.

Tale dimostrazione sembra insoddisfacente in quanto per affermare che N e’ infinito in quando ponibile in corrispondenza con P occorre previamente avere dimostrato che P e’ infinito. Un insieme A ha potenza del numerabile se e’ vero che A ~ N, ove N e’ l’insieme dei naturali.

Al naturale n corrisponde l’elemento �� .


Un insieme Y ha la potenza del continuo se e’ equipotente ad R, cioe’ all’insieme dei numeri reali.

Due insiemi qualunque (a, b) e (r, s) hanno la potenza del continuo e si puo’ scrivere che (a, b) ~ (r, s) ~ R.

Solitamente si utilizza l’intervallo ⦌ 0, 1 ⦋ per dimostrare che esso non e’ numerabile, ovvero non e’ ponibile in corrispondneza biunivocal con N. Piu’ oltre si dimostrera’ un noto teorema, dovuto a Cantor, per il quale R ha potenza maggiore di N. Ho rielaborato con esemplificazione una parte che ho rinvenuto nella bigliografia ⦋Piacentini Cattaneo⦌ di grande importanza per gli sviluppi della materia.

Siano dati due insiemi non vuoti A e B e una funzione f : A → B ben esemplificata dai diagrammi di Eulero Venn seguenti.

a b c d e

r s t x


La tabella di incidenza corrispondente e’:

f: A → B

r

s

t

x

a

1

0

0

0

b

0

1

0

0

c

1

0

0

0

d

0

0

1

0

e

1

0

0

0

Si porocede ora con la rappresentazione delle classi di equivalenza.

Esse definiscono una partizione di f.

(a,r) (d,t)

(c,r) (e,r)

(b, s)

( (


Si osservi che esiste un x ∈ R che non e’ in relazione con alcun elemento di A.

Sia đ?œ‘ un generico elemento di B.

Si puo’ scrivere che Im f = { đ?œ‘ ∈ B | đ?œ‘ = f(đ?›ź) | đ?›ź ∈ A }.

Nel caso di specie risulta Im f = { r, s, t}.

đ?œ‘ ∈ B | đ?œ‘ ∉ Im f e’ l’elemento x.

L’esemplificazione conduce alla nozione di fibra su un elemento del codominio di f. đ?‘“ −1 ( đ?‘&#x;) =⌋ a âŚŒ ={ a, c, e } â†? fibra sull’elemento r

đ?‘“ −1 ( đ?‘ ) =⌋ b âŚŒ ={ b } â†? fibra sull’elemento s đ?‘“ −1 ( đ?‘Ą) =⌋ d âŚŒ ={ d } â†? fibra sull’elemento d.

đ??żđ?‘Ž partizione di A determinata dalla relazione di equivalenza đ?œŒđ?‘“ e’ un insieme i cui elementi sono le fibre. L’insieme A/đ?œŒđ?‘“ ={⌋aâŚŒ, ⌋bâŚŒ, ⌋dâŚŒ} e’ detto insieme quoziente.

La teoria ⌋Piacentini CattaneoâŚŒ ha introdotto la nozione di proiezione canonica sul quoziente.


Data una relazione di equivalenza Ďƒ su un insieme A e quindi data A/Ďƒ si ha una corrispondenza đ?œ‹ : A → A/Ďƒ e quindi una funzione che associa ad un elemento a di A la rispettiva classe di equivalenza tale che đ?œŒđ?œ‹ = đ?œŒ.

Le funzioni che mandano un elemento di N in uno di R ovvero le funzioni f: N → R sono dette successioni e sono coppie del tipo (n, �� ) o anche n → �� .

E’ definto ⌋CitriniâŚŒ l’insieme i cui elementi sono tutte le funzioni f : X → Y e viene solitamente indicato come đ?‘Œ đ?‘‹ .

Si definisce anche la cosiddetta funzione caratteristica đ?œ’đ??´ (x) che vale 1 oppure 0 a seconda che x ∈ A, oppure x ∉ A.

Legge di composizione

Siano dati n insiemi đ??´đ?‘–≤đ?‘› non necessariamente tutti eguali.

Sia data una legge di composizione che associa alla n-pla (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ . đ?‘Žđ?‘– , ‌ . đ?‘Žđ?‘› ) elemento di đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— ‌ ‌ đ??´đ?‘– Ă— ‌ . .Ă— đ??´đ?‘› corrisponde un a ∈ A tale che a = f (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ . đ?‘Žđ?‘– , ‌ . đ?‘Žđ?‘› ).

L’elemento a esiste ed e’ unico.


Detto elemento e’ comunemente chiamato risultato della composizione f della n-pla (�1 , �2 , ‌ . �� , ‌ . �� ).

E’ possibile sia A =đ??´đ?‘–≤đ?‘› per ogni i.

In questo caso si parla di legge di composizione interna (o di arita’ n) su A. Quando A e’ finite si ha la rappresentazione grafica della legge di composizione che viene comunemente detta tavola di compsizione.

Per semplicita’ ci si limita al caso n = 2 e si parla di operazione binaria.

Le varie operazioni binarie vengono indicate con simboli particolari, quali *.

Esistono almeno due rappresentazioni per una data legge di composizione interna binaria.

Esse sono sostanzialmente le seguenti:

đ?‘Ž1 ∗ đ?‘Ž2 e ∗ (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ), da intendersi equivalenti.

đ??´ titolo puramente esemplificativo ne ho elaborata una cosi’ formalizzata.


a

b

c

d

e

a

b

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

c

c

c

b

c

c

d

d

d

d

b

d

e

e

e

e

e

B

∗

Essa e’ ottenuta a partire dalla seguente regola: (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) = đ?‘? quando đ?‘Ž1 = đ?‘Ž2 e (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ) = đ?‘Ž1 quando đ?‘Ž1 ≠đ?‘Ž2 .

Va ora fatto qualche cenno alle proprieta’ delle leggi di composizione interna. đ?‘Ž1 ∗ đ?‘Ž2 = đ?‘Ž2 ∗ đ?‘Ž1 → proprieta’ commutativa

đ?‘Ž1 ∗ (đ?‘Ž2 ∗ đ?‘Ž3 ) = (đ?‘Ž1 ∗ đ?‘Ž2 ) ∗ đ?‘Ž3 → proprieta’ associativa

đ?‘’ ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž ∗ đ?‘’ = đ?‘Ž ∀đ?‘Ž ∈ đ??´ → esistenza dell’elemento neutro a sinistra e a destra

đ?‘§ ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž ∗ đ?‘§ = đ?‘§ ∀đ?‘Ž ∈ đ??´ → esistenza dello zero

đ?‘Ž ∗ đ?‘Ž −1 = đ?‘Žâˆ’1 ∗ a = e.


đ??żâ€˛elemento đ?‘Ž −1 e’ detto elemento inverso di a.

Date due distinte leggi di composizione si dice che la legge ° e’ distributiva a sinistra se risulta: đ?‘Ž ∗ (đ?‘?°đ?‘?) = (a∗ đ?‘?)°(a∗c)

đ??żđ?‘Ž distributivita’ a destra e’ descritta come segue:

(b°đ?‘?) ∗ đ?‘Ž = (b∗ đ?‘Ž)°(đ?‘? ∗ đ?‘Ž)


PARTE SECONDA - LA TEORIA DEGLI INSIEMI ASSIOMATIZZATA DA ZERLEMO

Anche a livello avanzato la nozione di insieme e’ un concetto primitivo, costituito da oggetti detti elementi, concreti o astratti. Gli insiemi vanno intesi sempre quali entita’ astratte.

In generale si considerano insiemi i cui elementi sono pure essi degli insiemi.

Dati gli elementi e’ definito l’insieme.

Il primo assioma della teoria degli insiemi e’ detto di estensionabilita’, enunciabile come segue:

Dati due insiemi A e B essi sono eguali se e solo se essi contengono gli stessi elementi.

Esso parte da un dato di fatto. E’ presupposta l’esistenza di insiemi. Si e’ scritto “l’identita’ di un insieme e’ determinata dai sui elementi”.

E’ un ragionamento astratto nella misura in cui ammette che si parli di eguaglianza identita’.


E’ cosa diversa dal definire eguali due insiemi quando costituiti da elementi ritenuti eguali ma fisicamente distinti. Per esempio un insieme A costituito da un mattone rosso e da un mattone nero potrebbe essere ritenuto eguale ad un insieme B costituito pure esso da un distinto mattone rosso e da un mattone nero, quando di ipotizzi di ritenere “eguali” o indistinguibili i due mattoni rossi e i due mattoni neri. Questa eguaglianza insiemistica non e’ riconducibile alla assiomatizzazione di Zermelo.

In questo modo di intendere la cardinalita’ sembra avere un ruolo del tipo: medesima cardinalita’ puo’ determinare eguaglianza…..

In ogni caso, piu’ opportunamente ritornando a Zermelo, il punto di partenza e’ rappresentato dalla nozione di elemento.

Questo sembra un aspetto alquanto complesso anche facendo ricordo alla nozione di proprieta’ caratteristica di un insieme quale proprieta’ caratterizzante l’insieme, goduta solo ed esclusivamente dagli elementi di un dato insieme. Ma per certi aspetti la stessa esistenza di un insieme e’ connaturata alla descrizione dello stesso mediante una data proprieta’ caratteristica.


Ma se poi si giunge – come risulta dalla teoria – ad avere in insieme i cui elementi sono, di norma pure essi degli insiemi, allora sembra una ricerca senza fine.

In definitiva la stessa riflessione puo’ essere fatta a livello di insiemi elementi di un dato insieme.

Come stabilirne la esistenza ?

Come stabilire quale elemento di un insieme e’ a sua volta un insieme ?

Una possibile chiave di lettura e’ la esistenza di proprieta’ riferite a questi elementi, intendibili alla stregua di insiemi.

Questo intendere sembra assolutamente compatibile con l’impostazione ampia riferita alla nozione di proprieta’ caratteristica in chiave definitoria per un insieme.

In ogni caso nella teoria di Zermelo ci si riferisce a insiemi dati, ovvero a insiemi la cui esistenza e’ assunta per via assiomatica, salva la possibilita’, per via assiomatica, di costruire nuovi insiemi, a partire da insiemi assegnati, come ben si avra’ modo di verificare.

Il principio di estensionalita’ sembra di ampia portata in quanto assume per dati potremmo dire per esistenti, gli insiemi in senso astratto.


Ma, dati gli insiemi sono dati parimenti gli elementi di essi, e, quindi, e’ data la proprieta’ caratteristica di essi.

A rigore la sequenza sarebbe proprieta’ → elementi che godono di detta proprieta’ → insieme.

Come si vedra’ piu’ oltre non ogni proprieta’ definisce un insieme.

Ma e’ parimenti possibile che due o piu’ distinte proprieta’ definiscano il medesimo insieme.

Dette proprieta’ devono risultare compatibili.

Un testo consultato riporta l’esempio “istituzionaleâ€? dell’insieme dei presidenti della Repubblica italiana e dei presidenti del Consiglio superiore della magistratura‌‌

In termini formali il primo assioma della teoria di Zermelo puo’ essere scritto come segue, con una sembianza forse piu’ tipica di un teorema, comunque molto chiara, e senza il formalismo della logica:

A, B insiemi | ∀ a ∈ đ??´ ∃! b ∈ B | a = đ?‘? â&#x;š A= B

∀a ∈ A ∄ x | a = x


Su questo punto si avra’ modo di ricordare che un dato insieme non puo’ contenere due elementi eguali, in quanto due elementi eguali sono il medesimo elemento.

Ma dovrebbe ritenersi valido anche il ragionamento opposto, ovvero assumere che due insiemi eguali hanno i medesimi elementi ed e’ vero che ∀ a ∈ đ??´ ∃! b ∈ B | a = đ?‘?

La prima parte – che in definitiva e’ un modo per intendere il principio di estensionalita’ di Zermelo, e’ piu’ rilevante in quanto dalla constatazione che A e B sono insiemi che che ad ogni elemento a di A corrisponde un elemento b di B tale che a = b discende la eguaglianza insiemistica.

Tale assioma non e’ incompatibile con quanto correntemente si dice e cioe’ che đ??´ = đ??ľ e’ un modo di intendere per il quale A e B sono il medesimo oggetto.

In effetti ⌋Casalegno , MarianiâŚŒ il citato assioma viene distinto da un proposizione ulteriore che limitandosi ad un formalismo matematico elementare ho condensato come segue:

(A e B sono insiemi tali che A = B ) â&#x;š A e B hanno gli stessi elementi.

L’eguaglianza insiemistica presuppone quindi che esista una proprieta’ ammissibile di cui godano tutti e soli gli elementi a di A e b di B.


Gli elementi non appartenenti ai due insiemi non godono di detta proprieta’.

Sono note e date le modalita’ notazionali per la rappresentazione e la definzione segli insiemi (vedasi la parte prima di questo elaborato).

La proprieta’ caratteristica dell’insieme {a, b, c} costituito dalle prime tre lettere del nostro alfabeto e la conseguente rappresentazione e’ sostanzialmente la seguente:

{ x | x e’ una delle prime tre lettere dell’alfabeto}.

In altri termini data una proprieta’ P allora un insieme e’ costituito da tutti e soli gli x per i quali tale proprieta’ e’ vera.

In definitiva l’insieme e’ rappresentabile come: {x | P(x) e’ vera}.

Le questioni relative alle proptieta’ sono alquanto delicate in quanto su di esse interviene un secondo postulato della teoria di Zermelo.

Si avra’ modo di osservare che l’insieme preesite alla proprieta’ che ha quindi un significato ricognitivo.


Se e’ data una proprieta’ P ci si puo’ chiedere se un elemento a possiede detta proprieta’ ovvero se P(a) e’ vera, e in questo caso si dice che a ∈ A mentre se P(a) e’ falsa si dice che a ∉ đ??´.

Ma in ogni caso si ammette A esistente. In definitiva, la proprieta’ P di cui gode A, o meglio di cui godono tutti e soli i suoi elementi non genera A, che deve intendersi dato.

Se nessun a gode di una data proprieta’ P e quindi se P(a) e’ identicamente falsa ci si riconduce al caso dell’insieme vuoto, privo di elementi.

Non e’ possibile, a questo punto, non citare Bertrand Russell.

Fu suo merito smenire un luogo comune pregresso, cioe’ che ogni proprieta’ definisse un insieme.

Egli infatti rifiuto’ il cosiddetto principio di comprensione.

Egli parti’ dalla proprieta’ seguente: “non essere elemento di se stessoâ€? in altri termini la proprieta’ per la quale a, o x, non e; elemento di a, o di x‌‌


Bertrand Russell face in effetti rilevare che se si ammette che detta proprieta’ definisce un insieme allora gli elementi di esso si esauriscono (“sono tutti e solo�) quelli che non sono elementi di se stesso.

Sarebbe quindi assegnato un insieme formalizzato come segue:

{x | x ∉ x}.

Detto insieme viene solitamente indicato ⌋Casalegno , MarianiâŚŒ con la lettera r.

Pertanto risulterebbe che ∀đ?‘Ľ đ?‘Ľ ∈ đ?’“ â&#x;ş đ?‘Ľ ∉ đ?’“

Si tratta di una evidente contraddizione in quanto x sarebbe al contempo elemento di un insieme e non apparterrebbe al medesimo insieme‌..

Quindi per evitare una assurdita’ del genere si ammesso che non esiste un insieme definito dalla proprieta’ “non e’ elemento di se stesso�.

Punto cruciale e’ assiomatizzazione della teoria degli insiemi che consente di dire che un insieme esiste.


Gli sviluppi di questa impostazione risalgono in gran parte al matematico tedesco Ernest Zermelo.

La teoria assiomatica di Zermelo amplia gli studi di George Cantor, prevedendo insiemi costituiti di due tipi di elementi, insiemi oppure elementi che non sono insiemi, detti in tedesco Urelmente.

Si avra’ infatti modo di evidenziare che alcuni insiemi sono - la loro esistenza verra’ peraltro giustificata assiomaticamente - costituiti da elementi che non sono insiemi.

Ulteriormente e’ ragionevole ammettere che l’esistenza di elementi che non sono insiemi sia un dato di fatto che precede l’assiomatizzazione.

Nel novero degli insiemi contemplati dalla teoria di Zermelo vi sono anche i cosiddetti insiemi puri, costituiti da elementi che sono da intendersi quali insiemi.

Gia’ e’ stato introdotto un assioma ed ora vanno considerati gli ulteriori assiomi della teoria proposta da Zermelo.


La teoria di Zermelo amplia Cantor prevedendo insiemi costituiti da due tipi di elementi, insiemi oppure elementi che non sono insiemi e che nella lingua tedesca vengono chiamati “urelmente”.

Dati elementi che non sono insiemi esiste l’insieme i cui elementi sono detti elementi che non sono insiemi. Che esistano detti elementi e’ una verita’ che tutto sommato potrebbe intendersi alla stregua di un assioma.

Gli insiemi i cui elementi sono insiemi sono collettivamente detti insiemi puri.

Solitamente ⦋Casalegno, Mariani⦌ gli assiomi della teoria di Zermelo vengono sostanzialmente distinti in:

 assiomi relativi alle proprieta’ generali degli insiemi, quali ad esempio gli assiomi di estensionalita’, e di fondazione;  assiomi che postulano l’esistenza di insiemi specifici, quali, ad esempio, l’assioma di esistenza dell’insieme vuoto;  gli assiomi di generazione, che consentono la costruzione di insiemi a partire da insiemi dati.


Tra gli assiomi di generazione va innanzitutto ricordato l’assioma di separazione.

L’assioma di separazione puo’ essere enunciato come segue:

Dato un insieme A ed una proprieta’ P esiste ed e’ unico l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi di A che godono della proprieta’ P.

Un insieme e’ costituito dai soli elementi che godono di una data proprieta’ P quando e’ dato che l’insieme A esista.

Deve quindi ritenersi che la esistenza di una proprieta’ P e di un certo numero di elementi per i quali la proprieta’ P e’ vera di per se’ non consente di affermare che detti elementi costituiscono un insieme.

Sia ad esempio dato l’insieme A = {a, b, c}. Va ricordato che a, b, c non sono elementi di se stesso in quanto non hanno elementi.

Se si considera l’insieme A = {a, b, c , {a, b} } si osserva che {a, b} non e’ elemento di se stesso perche’ a e b sono elementi.

Per questa via viene confutata la esistenza dell’insieme universale.


Infatti, l’insieme universale conterebbe tutti gli oggetti che non sono elementi di se stesso in contraddizione con il principio di Russell.

In particolare, l’insieme universale dovrebbe contenere se stesso‌..

Successivamente a Zermelo, il matematico ungherese naturalizzato americano, John von

Neuman ha introdotto nella teoria degli insiemi un ulteriore assioma detto di fondazione.

Esso viene enunciato come segue:

A e’ un insieme dato che contiene qualche insieme. Se cio’ e’ vero allora detto insieme A contiene almeno un insieme (quindi uno o piu’ di uno‌.) con cui A non ha alcun elemento in comune.

La teoria di Zermelo contempla al suo interno la nozione di sottoinsieme di un insieme dato. Quindi nel suo seno sono ammissibili scritture del tipo: A ⊆ đ??ľ. Si deve partire dal presupposto che B sia un insieme dato.


Andrebbe rafforzato l’iter che consente di dire che dato l’insieme B esiste un insieme A tale che A ⊆ đ??ľ.

Si puo’ scrivere che A ⊆ đ??´.

Si assumono due particolari implicazioni logiche, che sono le seguenti:

(A ⊆ đ??ľ , B ⊆ đ??ś) â&#x;š A ⊆ đ??ľ

Nel caso dell’inclusione propria si ha la nota visualizzazione con i diagrammi di Eulero e Venn ben noti dalla teoria ingenua.

Pure la seconda implicazione importante ha valore nella teoria ingenua.

Essa e’ la seguente:

( (A ⊆ đ??ľ , B ⊆ đ??´) â&#x;š A = đ??ľ)


Anche nella teoria di Zermelo l’eguaglianza tra insiemi viene intesa nel senso che due insiemi eguali sono il medesimo insieme.

La teoria di Zermelo contempla l’inclusione propria e quindi scritture del tipo:

A ⊂ B nel senso che ogni elemento a | a ∈ A e’ tale che a ∈ B ma esiste almeno un b ∈ B | b ∉ A.

Inclusione ed appartenenza, ovviamente, non sono da intendersi quali sinonimi.

E’ possibile fare qualche esempio banale.

Se A = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘} e se B = {đ?‘Ž, đ?‘? } allora si potra’ dire che B ⊂ đ??´, cioe’ che B e’ propriamente incluso in A, o come solitamente si dice, che B e’ un sottoinsieme proprio di A.

La scrittura A = {đ?‘Ž, đ?‘?, { đ?‘?, đ?‘‘}} va intesa che l’insieme { đ?‘?, đ?‘‘} e’ un elemento di A, potendo dire che { đ?‘?, đ?‘‘} ∈ đ??´.

Nel modello Zermelo viene introdotto anche l’insieme vuoto, il cui simbolo e’ ordinariamente ∅. ∀ đ?‘? ∃ đ?‘‰ | đ?‘? ∉ đ?‘‰ allora V = ∅.

Si deve precisare che b indica ogni Urelemente oppure ogni possibile insieme. Ci si puo’ domandare se la scrittura ∅ = {{∅}} abbia senso. Si deve ritenere di no anche perche’ l’insieme vuoto viene definito assiomaticamente e nel definirlo non si puo’ usare una nozione non ancora definita.

L’insieme vuoto esiste ed e’ unico.


Sia A l’insieme vuoto e sia B un qualunque insieme non vuoto. Astrattamente un insieme non vuoto V’ e’ un insieme che contiene almeno un b | b ≠∅ quando b e’ un insieme oppure tale che b sia un Urelmente.

Se B e’ un insieme non vuoto allora sarebbe A ⊂ B. Quando fosse anche B vuoto allora sarebbe A = B. Questo due aspetti conducono a A ⊆ B. L’insieme A e’ dato ed esso non ha elementi, in quanto e’ l’insieme vuoto ∅. Se A = B allora A = ∅ â&#x;š B = ∅.

A e B sono il medesimo insieme. Si ammette sia ∅ ⊆A ∀đ??´| đ??´ e’ un insieme. Esiste un fascio di proprieta’ riferite agli elementi x, cioe’ đ?‘ƒđ?‘Ľ per le quali sia: {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ ‌ . . } = ∅

Assegnati due oggetti x ed y l’insieme {�, �} e’ detto la coppia di x ed y.


A questo punto e’ possibile introdurre il cosiddetto assioma della coppia.

Infatti, per via assiomatica si ammette che per ogni coppia non ordinata (a, b) esiste un insieme i cui elementi sono a e b.

La coppia si intende non ordinata e quindi le due coppie (a, b) e (b, a) devono intendersi equivalenti. Pertanto si puo’ scrivere che {đ?‘Ž, đ?‘?} = {đ?‘?, đ?‘Ž}.

Questo e’ un esito gia’ noto dalla teoria ingenua, laddove si afferma che in un insieme non ha rilevanza l’ordine con il quale vengono elencati gli elementi che lo compongono.

Sulla scorta di quanto detto ci si deve chiedere quali considerazioni vadano fatte per evidenziare che {đ?‘Ž, đ?‘?} = {đ?‘Ľ, đ?‘Ś}.

Deve essere a = x (y) â&#x;š b = y (x) vera intendendo la scrittura a = x (y) nel senso che a = đ?‘Ľ oppure a = y ma non vere entrambe quando x ≠đ?‘Ś.

Una coppia (a, b) non ordinata definisce un insieme anche nel caso sia a = b (da intendere che a e b sono il medesimo elemento).

In questo caso si puo’ scrivere che:


{đ?‘Ž, đ?‘?}|đ?‘Ž =đ?‘? = {đ?‘Ž} = {đ?‘?} â†? singleton

Dato l’oggetto a cui e’ univocamente associata la coppia (a, a) l’insieme avente a come elemento, indicato come {đ?‘Ž} e’ detto singleton. Se a e’ un insieme – e in particolare esso e’ l’insieme vuoto ∅ − allora si avrebbe {∅}.

Deve essere chiarita la distinzione tra le due scritture seguenti:

{đ?‘Ž, đ?‘?} insieme avente come elementi a e b che possono essere insiemi.

{{đ?‘Ž, đ?‘?}} insieme avente come elemento l’insieme {đ?‘Ž, đ?‘?}.

Quando, con riferimento ad un dato insieme, si introduce la proprieta’ caratteristica P essa puo’ essere intesa in senso logico, quindi del tipo: P = đ?‘ƒ1 and đ?‘ƒ2 oppure P = đ?‘ƒ1 or đ?‘ƒ2 o comunque in termini di composizione booleane.

In generale deve essere dichiarata l’inesistenza di insiemi che siano elementi di se stessi (ex assioma di fondazione).

In ogni caso tale postulato e’ ritenuto poco rilevante ai fini degli sviluppi della teoria.


In questo senso ad esempio non e’ lecito scrivere che ∅ = {∅} in quanto l’insieme vuoto sarebbe eguale ad un insieme avente come elemento l’insieme vuoto.

Piu’ in generale comunque sia A, insieme vuoto o non vuoto, non e’ lecito affermare che đ??´ = {đ??´}.

A al contempo sarebbe un insieme che avrebbe A come elemento (elemento di se stesso‌.).

L’assioma dell’insieme vuoto e l’assioma della coppia consentono di affermare che esistono infiniti insiemi. Se esistono gli insiemi {đ?‘Ž} e {đ?‘?} allora esiste anche l’insieme {đ?‘Ž, đ?‘?}.

Un ulteriore assioma della teoria di Zermelo e’ quello della unione. L’insieme âˆŞ đ??´đ?‘– e’ costituito da tutti e soli gli elementi appartenenti agli insiemi đ??´đ?‘– al variare di i in N. La esistenza dell’insieme âˆŞ đ??´đ?‘– (detto insieme unione) e’ garantita dal postulato dell’unione. Sia A un insieme i cui elementi sono insiemi ∃B | đ?‘? ∈ B â&#x;ş ∃đ??ˇ | (D∈A , c ∈ D)

In particolare si ha:

âˆŞ ∅ = ∅.


Si puo’ fare un esempio esplicativo.

⋃{{1,2,3}, {1,7,8,9}, ∅ , {10} } = {1,2,3,7,8,9,10}

Questo perche’:

⋃{{1,2,3}, {1,7,8,9}, ∅ , {10} } = {1,2,3} âˆŞ {1,7,8,9} âˆŞ ∅ âˆŞ {10}

In generale si puo’ scrivere che: ⋃{đ??źđ?‘–≤đ?‘› } = đ??ź1 âˆŞ đ??ź2 âˆŞâ€Śâ€Ś âˆŞ đ??źđ?‘› In particolare ⋃{đ?‘Ž } = a

Solitamente si opera con riferimento a due insiemi a e b (che solitamente vengono scritti ocn lettere maiuscole‌).

Cio’ premesso si puo’ scrivere che: ⋃{đ?‘Ž, đ?‘? } = a âˆŞ b.

Per tale operazione sono valide le seguenti relazioni:

aâˆŞa=đ?‘Ž

(idempotenza)

aâˆŞb=bâˆŞa

(commutativita’)


(a âˆŞ b) âˆŞ đ?‘? = a âˆŞ (b âˆŞ đ?‘?)

(commutativita’)

aâˆŞâˆ…=âˆ…âˆŞa

(neutralita’ dell’insieme vuoto rispetto all’unione)

L’esistenza di un insieme qualunque costituito da un numero finito di elementi e’ ricavata dall’assioma della coppia e dall’assioma dell’unione. Assegnati gli elementi a, b, c, d, 1,2, 3 va dimostrata l’esistenza dell’insieme {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, 1,2, 3}.

Per l’assioma della coppia sono, ad esempio, esistenti gli insiemi {đ?‘Ž, đ?‘?} {đ?‘?, đ?‘‘} {1,2} e {đ?‘Ž, 3}.

A questo punto si ammette esistente (assioma dell’unione) l’insieme {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, 1,2, 3} ottenuto da {đ?‘Ž, đ?‘?} âˆŞ {đ?‘?, đ?‘‘} âˆŞ {1,2} âˆŞ {đ?‘Ž, 3}.

Si osservi che il presupposto e’ che gli elementi siano tutti distinti ovvero sia đ?‘Ž ≠đ?‘? ≠đ?‘? ≠đ?‘‘. Per i numeri cio’ e’ evidente.

Gli sviluppi della assiomatizzazione portano alla nozione di intersezione di insiemi. Sia đ??´đ?‘– un qualunque insieme non vuoto. L’insieme â‹‚ đ??´đ?‘– e’ l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi comuni a tutti gli insiemi, se essi esistono.


In termini formali si puo’ scrivere che: b ∈ â‹‚ đ??´đ?‘– â&#x;ş đ?‘? ∈ đ??´đ?‘– ∀i Se ∃đ?‘– | đ??´đ?‘– = ∅ allora â‹‚ đ??´đ?‘– = ∅ e in generale â‹‚ ∅ = ∅ E’ possibile fare un esempio.

â‹‚ ∅ = {{đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?}, {đ?‘?}, {đ?‘?, đ?‘?}} = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} ∊ {đ?‘?} ∊ {đ?‘?, đ?‘?} = {đ?‘?}

Il risultato dell’operazione deve essere un insieme {‌ ‌ } il cui contenuto e’ b che e’ l’unico elemento comune agli insiemi assegnati.

Ove gli insiemi fossero {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?}, {đ?‘Ľ}, {đ?‘?, đ?‘?} allora sarebbe â‹‚ ∅ = ∅ quando x ≠đ?‘? oppure x ≠đ?‘?.

Ha senso una scrittura del tipo: â‹‚{đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} quando a ≠đ?‘? ≠đ?‘?. In generale da un insieme A qualunque e’ possibile scrivere A â‹‚ đ??´ = A. Cio’ e’ vero anche in relazione all’insieme vuoto, potendo dire che ∅ â‹‚ ∅ = ∅. Questo e’ vero in generale avendo che â‹‚{∅} = ∅.

Occorre peraltro ribadire che esiste un unico insieme vuoto: l’insieme vuoto e’ unico.


Relativamente all’intersezione insiemistica valgono le proprieta’ formali gia’ note dalla teoria ingenua, cioe’: đ??´âˆŠđ??´ =đ??´ đ??´âˆŠđ??ľ = đ??ľâˆŠđ??´ (đ??´ ∊ đ??ľ) ∊ đ??ś = đ??´ ∊ (đ??ľ ∊ đ??ś) vere per ogni A, B, C con B ≠đ??´ ≠đ??ś.

Esse portano a casi particolari quando A oppure B oppure C sono eguali all’insieme vuoto.

Ad esempio da (đ??´ ∊ đ??ľ) ∊ đ??ś = đ??´ ∊ (đ??ľ ∊ đ??ś) ponendo C = ∅ si ha (đ??´ ∊ đ??ľ) ∊ ∅ = đ??´ ∊ (đ??ľ ∊ ∅) da cui si ha (đ??´ ∊ đ??ľ) ∊ ∅ = đ??´ ∊ ∅ da cui si ha ∅ = ∅.

Le relazioni indicate sono vere anche per A = đ??ľ = đ??ś = ∅ Due insiemi sono disgiunti se A ∊ đ??ľ = ∅

Anche nella teoria di Zermelo e’ definito l’insieme differenza o insieme complemento.

Dati due insiemi A e B, per l’assioma di separazione, esiste un insieme indicato come A – B avente come elementi tutti gli elementi di A che non sono elementi di B.


Una rappresentazione di detti insiemi usando i diagrammi di Eulero Venn e’ molto indicativa.

Gia’ da questa rappresentazione si comprende che A e B devono avere almeno un elemento in comune, che nella figura e’ indicato con la lettera y.

Se i due insiemi fossero disgiunti allora tali elementi (come y comuni ad A e a B) non esisterebbero. In questo caso sarebbe A – B = A quando A∊ đ??ľ = ∅.

In questo caso ogni elemento di A non e’ elemento di B


Se A ⊂ B allora tutti gli elementi di A sono elementi di B. Non esiste alcun x ∈ A | x ∉ đ??ľ. Pertanto si ha A – B = ∅ đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ A ⊂ B. La differenza insiemistica A – B ha un caso particolare dato dalla condizione B ⊂ A.

In questo caso ci si puo’ riferire ad una figura come quella seguente.

In questo caso A –B e’ costituito da tutti gli elementi x ∈ A | x ∉ đ??ľ. per la condizione di inclusione posta un elemento x ∉ đ??ľ esiste perche’ B non e’ vuoto. Come caso particolare di esso si ha che sia B =∅. In questo caso A −∅ = đ??´ Esistono quindi due ipotesi distinte per le quali A – B = A, quando B = ∅ đ?‘œđ?‘?đ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘’ A ∊ đ??ľ = ∅. Non e’ ammissibile il caso sia A = ∅.

Anche in questo caso e’ possibile esemplificare.

Dati gli insiemi {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} e {đ?‘Ž, đ?‘?}


Occorre considerare la differenza insiemistica {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} - {đ?‘Ž, đ?‘?}.

In questo caso l’unico elemento del primo insieme che non e’ elemento del secondo insieme risulta essere c quindi si puo’ scrivere che {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} - {đ?‘Ž, đ?‘?} = {đ?‘?}.

In particolare {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} - ∅ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?}

Nella teoria di Zermelo non esiste la complementazione assoluta.

Dato A il complementare assoluto di A sarebbe l’insieme avente come elementi tutti gli x tali che x ∉ A.

Detto insieme non e’ ammissibile. Per A = {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ ∈ đ??´} sarebbe B = {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ ∉ đ??´}. Ma allora sarebbe dato l’insieme A âˆŞ đ??ľ. Ma allora esisterebbe l’insieme universo.

Si puo’ ora considerare la potenza di un insieme, cioe’ la nozione di insieme potenza.

E’ stato introdotto un assioma dell’insieme potenza che afferma che dato un insieme A esiste un insieme i cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi di A medesimo. ∀đ??´| đ??´ đ?‘’ ′ đ?‘˘đ?‘› đ?‘–đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘’ ∃ P(A) ={đ?‘‹| đ?‘‹ ⊆ đ??´}.

L’insieme P(A) e’ detto insieme potenza o anche insieme delle parti.


Al riguardo e’ possibile fare un esempio concreto.

Dato l’insieme A = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} l’insieme delle parti di A, P(A) e’ il seguente insieme:

{{đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} {đ?‘Ž, đ?‘?}, {đ?‘Ž, đ?‘?}, {đ?‘?, đ?‘?}, {đ?‘Ž}, {đ?‘?}, {đ?‘?}, ∅}

Si ammette che l’insieme delle parti dell’insieme vuoto sia P(∅) =∅.

Se un insieme finito ha n elementi allora l’insieme delle parti contiene 2� elementi (insiemi) costitutivi.

Anche nella teoria avanzata diviene rilevante la nozione di coppia ordinata e quindi di prodotto cartesiano tra insiemi.

Una coppia ordinata si indica con il formalismo (a, b). La lettera a e’ detta prima componente della coppia, mentre la lettera b e’ detta seconda componente della coppia ordinata.

Poiche’ si considerano coppie ordinate allora (a, b) e (b, a) sono due coppie distinte quando a ≠đ?‘?.

Le due componenti sono anche dette coordinate o proiezioni. L’eguaglianza (a, b) = (x, y) impone sia a = � e b = �.

Sono ammesse coppia del tipo (a, a) aventi eguali la prima e la seconda componente.


Si osservi che negli sviluppi della teoria saranno considerate terne o n-ple ordinate, dette anche tuple.

A questo punto e’ possibile dare la definizione di prodotto cartesiano di due insiemi A e B non vuoti. Dati due insiemi A e B non vuoti (anche nel caso sia A = đ??ľ) A livello di definizione il prodotto cartesiano di A e di B, indicato con il formalismo A Ă— đ??ľ e’ l’insieme avente come elementi le coppie (a, b) con a elemento di A e b elemento di B.

In simboli si scrive: A Ă— đ??ľ ={(đ?‘Ž, đ?‘?)| đ?‘Ž ∈ đ??´, đ?‘? ∈ đ??ľ}

E’ possibile spiegare il prodotto cartesiano con una tabella ponendo il primo insieme nel senso della riga e il secondo nel senso della colonna.

a

b

c

d

x

(a,x)

(b,x)

(c,x)

(d,x)

y

(a,y)

(b,y)

(c,y)

(d,y)

z

(a,z)

(b,z)

(c,z)

(d,z)


Le coppie sono m∙ đ?‘› ove m ed n e’ il numero degli elementi di A e di B.

La nozione di coppia ordinata evidenzia la non commutativita’ del prodotto cartesiano di insiemi non vuoti. In generale si ha A Ă— đ??ľ ≠đ??ľ Ă— đ??´ in quanto in generale risulta (a, b) ≠(đ?‘?, đ?‘Ž). Un caso di commutativita’ del prodotto cartesiano e’ che sia A = đ??ľ. Che la commutativita’ insiemistica sia un evento raro - mi sia consentita la battuta ! - lo testimonia questo esempio insiemistico naĂŻve per il quale sia: A = {đ?‘Ž, đ?‘?} e B = {đ?‘Ľ}. Il prodotto cartesiano di A e di B e’ per definizione C ={(a, x), (b,x)} Il prodotto cartesiano di B e di A sarebbe per definizione D ={(x, a), (x, b)} Ove detto prodotto cartesiano fosse commutativo dovrebbe essere C = đ??ˇ, ma con riferimento al caso concreto dovrebbe risultare che: (a, x) = (x, a) and (b,x) = (x, b) Dalla prima sarebbe a = đ?‘Ľ e dalla seconda risulterebbe b = đ?‘Ľ. Applicando la proprieta’ transitiva della eguaglianza sarebbe vero che a = đ?‘?.


Ma per definizione deve essere a ≠đ?‘?. Altrimenti A sarebbe un singleton.

Ad analoga contraddizione si giunge ove si decidesse di considerare vera la relazione seguente tra coppie: (a, x) = (x, b) per la quale sarebbe a = đ?‘Ľ e x = đ?‘?, onde, ancora una volta, l’assurdo a = đ?‘?.

Questo consente di chiudere la questione. Ci potremmo chiedere cosa accade quando x = a oppure x = đ?‘? (non potendo essere x = đ?‘Ž = đ?‘? per la condizione a ≠đ?‘?). Si ponga x = đ?‘Ž (ad analoghe risultanza si giungerebbe per x = đ?‘?). Sotto questa condizione il prodotto cartesiano AĂ— đ??ľ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ), (đ?‘?, đ?‘Ľ)} La coppia (x,x) origina da (a,x) quando si sia posto a = đ?‘Ľ o piu’ formalmente x = đ?‘Ž. Per dimostrare che in questo caso AĂ— đ??ľ ≠BĂ— đ??´ basta concentrarsi sulla seconda coppia di AĂ— đ??ľ cioe’ sulla coppia (b,x). Per detta coppia si ha (b,x) ≠(đ?‘Ľ, đ?‘?) in quanto deve essere b ≠đ?‘Ľ poiche’ si era posto che fosse x = đ?‘Ž.

Dal che consegue la non commutativita’.


A questo punto divengono rilevanti le nozioni di relazione, funzione e ordine, peraltro gia’ trattate nella parte ingenua.

La relazione, come noto, e’ intendibile come un insieme di coppie ordinate. Una relazione puo’ essere indicata con la lettera R. La scrittura (a, b) ∈ R si intende che gli elementi a e b sono collegati dalla relazione data R. (a, b) ∈ R si puo’ anche scrivere aRb. Si osservi che non necessariamente e’ vero che aRb â&#x;ş bRa.

Assegnata una relazione R deve essere definito il dominio di essa, indicato con dom R.

Si ha: dom R ={đ?‘Ľ|(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ?‘…} ={đ?‘Ľ|đ?‘Ľđ?‘…đ?‘Ś}

Il codominio di una relazione indicato con codR e’ il seguente insieme: cod R = {đ?‘Ś|∃đ?‘Ľ|đ?‘Ľđ?‘…đ?‘Ś}

Per una assegnata R dom R e cod R sono insiemi esistenti. Sia ad esempio data la relazione R = “ e’ padre di�. In questo caso e’ evidente che aRb ⤃ bRa (ovviamente, in quanto se a e; padre di b allora b non puo’ essere padre del proprio padre).


Una ulteriore nozione rilevante e’ quella di immagine di un insieme rispetto ad R data.

Tale nozione viene formalizzata come segue, tenendo conto che l’insieme che si considera e’ A: R[đ??´]= {y | y R x , ∀đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ??´ } Un esempio concreto potrebbe essere il seguente. Data la relazione R = “essere multiplo diâ€? e dato l’insieme A = {12}. In questo caso y = 12 e bisogna riempire la scrittura 12 e’ multiplo di ‌‌. Ma i numeri interi di cui 12 risulta essere multipli sono 1, 2, 3, 4, 6, 12. In definitiva R[{12}] = {1 ,2, 3, 4, 6, 12}.

Quindi, e’ possibile formalizzare la restrizione di R ad un dato A (insieme). R|A = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)| (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ?‘… , đ?‘Ľ ∈ đ??´ } Risulta immediatamente che R|A ⊆ R Assegnata che sia una relazione R allora ∃! đ?‘… −1 detta relazione inversa.

Si puo’ scrivere che: R ={(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)| đ?‘Ľđ?‘…đ?‘Ś} â&#x;ş đ?‘… −1 = {(đ?‘Ś, đ?‘Ľ)| đ?‘Ľđ?‘…đ?‘Ś}


Due relazioni R ed S possono essere intese l’una l’inversa dell’altra se e’ verificata la condizione piu’ sopra formalizzata.

A titolo esemplificativo se R e’ la relazione “essere multiplo diâ€? la sua inversa e’ “essere un divisore diâ€?. Come caso particolare e’ possibile che đ?‘… = đ?‘…−1 (come nel caso della eguaglianza).

E’ immediato constatare che: dom R = đ?‘?đ?‘œđ?‘‘ đ?‘…−1 dom đ?‘… −1 = cod R

E’ data anche la nozione di composizione di relazioni (relazione composta) che pero’ non e’ strettamente necessaria per gli sviluppi di queste note.

Dal caso generale della nozione di relazione si puo’ giungere al caso della nozione di funzione.

Una funzione e’ intendibile come un insieme di coppie rispetto alle quali opera una “ restrizione� per la quale non possono esistere due coppie distinte nelle quali alla prima componente possano essere associati due distinti elementi della seconda componente.

Una modalita’ chiara per comprendere la distinzione tra relazione e funzione potrebbe essere la seguente.

Se xRa e xRb, con a ≠b allora R e’ una relazione ma non e’ una funzione.


Se xRa e (x, b) ∉ R ∀đ?‘? ∈ đ??´ | đ?‘? ≠đ?‘Ž allora R e’ una funzione.

Il nesso relazioni – funzioni e’ ben rappresentato dai diagrammi di Eulero Venn.

relazioni

funzioni

Tutte le funzioni sono relazioni. Non ogni relazione e’ una funzione.

Una modalita’ grafica visiva utile (ampiamente riportata dalla manualistica) per rimarcare il carattere di non funzione di una relazione e’ il seguente (riferito alle funzioni monodrome)


A questo punto e’ ben evidente a quali condizioni soggiace la bipartizione tra relazioni che non sono funzioni e funzioni.

Anche per le funzioni, come ben noto, e’ definito il dominio e il codominio.

La funzione come insieme di coppie ordinate si coordina con le nozioni di dominio nel senso che se la coppia data e’ (x, y) allora si intende che x e’ un elemento del dominio della funzione ed y e’ un elemento del codominio di essa.

Il dominio f di una funzione puo’ essere formalizzato come segue: dom f ={đ?‘Ľ| ∃! đ?‘Ś |đ?‘Ľđ?‘…đ?‘Ś} coerente in quanto una f e’ comunque una relazione.

In altri termini il dominio di f puo’ essere formalizzato dicendo che esso e’ costituito da tutti e soli gli elementi x per i quali esiste ed e’ unico l’elemento y in relazione con x, per ogni x.

Ma certamente la formalizzazione del dominio presuppone che sia data la funzione, o, in altri termini, che sia vero che xRa e (x, b) ∉ R ∀đ?‘? ∈ đ??´ | đ?‘? ≠đ?‘Ž.

Specie in analisi matematica per indicare che x ed y sono collegate da una relazione funzionale si e’ soliti scrivere che: y = �(�)


Un caso particolare di funzione e’ la cosiddetta funzione identita’ caso particolare di funzione matematica per la quale risulta x R y â&#x;ş đ?‘Ľ = đ?‘Ś.

E’ ammissibile la utilizzazione del simbolo di coimplicazione in quanto il lato destro contiene il simbolo di eguaglianza e l’eguaglianza e’ una relazione.

Riveste fondamentale importanza la definizione di funzione iniettiva.

Per una funzione iniettiva si scrive: a ≠đ?‘? â&#x;š f(a) ≠đ?‘“(đ?‘?) â†? definizione di funzione iniettiva (iniezione). In altri termini, data una relazione R che e’ una funzione allora la funzione f (≥ đ?‘…) e’ iniettiva se per ogni coppia di relazioni aRx , bRy allora a ≠đ?‘? â&#x;š đ?‘Ľ ≠đ?‘Ś. Poiche’ per ipotesi si ammette che R sia una funzione, indicata con la lettera f allora e’ ben evidente che a = đ?‘? â&#x;š đ?‘Ľ = đ?‘Ś non potendo valere (per la definizione di funzione) che a = đ?‘? â&#x;š đ?‘Ľ ≠đ?‘Ś.

Se e’ vero che per ogni R esiste ed e’ unica la relazione inversa đ?‘… −1 non necessariamente e’ vero che per ogni funzione f esiste la funzione inversa đ?‘“ −1 .


Senza scendere in dettagli formali infatti possiamo osservare che se f non e’ iniettiva esistono almeno due elementi distinti del dom f, detti x’ ed x’’, tali che esiste un y | y ∈ cod f tali che sia: (x’, y) ∈ f (x’’, y) ∈ f. Considerando la funzione inversa đ?‘“ −1 dovrebbe risultare che: (y, x’) ∈ đ?‘“ −1 e (y, x’’) ∈ đ?‘“ −1 .

Queste due condizioni non sono compatibili con la definizione di funzione, in quanto ad unico y | y ∈ đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ −1 esisterebbero due distinti elementi x’ ed x’’ tali che x’ ∈ đ?‘?đ?‘œđ?‘‘đ?‘“ −1 e x’’ ∈ đ?‘?đ?‘œđ?‘‘đ?‘“ −1 .

In estrema sintesi si puo’ dire che la condizione necessaria e sufficiente affinche’ una funzione f ammetta la funzione inversa (che, se esiste, e’ unica) e’ che sia f iniettiva.

A questo punto e’ utile chiarire il significato delle due scritture seguenti. A ≈ đ??ľ da intendersi che esiste una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e B. In questo caso esiste una f che associa a distinti elementi di A distinti elementi di B tramite una funzione f. Ogni elemento di B e’ associato ad un elemento di A tramite una funzione đ?‘“ −1.


La funzione f e’ una funzione suriettiva, o suriezione. A ≟ B che afferisce al caso della esistenza di una funzione iniettiva costituita da coppie aventi come prima componente un a ∈ A e come seconda un elementi b di B ma esiste almeno un b∗ tale che (a, b∗ ) ∉ f.

Un esempio di funzione iniettiva e’ quella che associa al numero n il numero kn, ove k e’un intero dato. Essa e’ una iniezione perche’ a distinti n, ad esempio n’ ed n’’, corrispondono distinti f(n), cioe’ i numeri kn’ e kn’’.

Un esempio ben noto di funzione non iniettiva e’ la funzione costante ovvero la funzione per la quale ogni a e’ associato ad un dato valore b.

La funzione inversa della funzione costante non esiste, non sarebbe una funzione, in quanto ad un dato b sarebbero associabili tutti gli a.

Giova fare qualche cenno alla nozione di funzione binaria da A a B. In questo caso si parte da un insieme A e si considera il prodotto cartesiano A Ă— A. Detto insieme e’ costituito dalle coppie (đ?‘Žđ?‘– , đ?‘Žđ?‘— ) con i = đ?‘— oppure i ≠j. Ad ogni coppia (đ?‘Žđ?‘– , đ?‘Žđ?‘— ) corrisponde un đ?‘?đ?‘˜ .


E’ una funzione A Ă— A→ B 0, in altri termini, (đ?‘Žđ?‘– , đ?‘Žđ?‘— )→ đ?‘?đ?‘˜ . Si osservi che la definizione non implica sia necessariamente A ≠đ??ľ.

Ad esempio A e B potrebbero essere l’insieme N dei numeri naturali. Come esempio concreto si potrebbe considerare la somma che alla coppia (đ?‘Žđ?‘– , đ?‘Žđ?‘— ) fa corrispondere il numero đ?‘?đ?‘˜ | đ?‘?đ?‘˜ = đ?‘Žđ?‘– + đ?‘Žđ?‘— .

Si puo’ anche scrivere: f(�� , �� ).

Vanno considerati gli ordini. Gli elementi di un insieme possono essere ordinati. Il punto cruciale e’ il seguente: data una relazione R su un insieme A ci si chiede a quali condizioni R e un ordine su A ?

Il punto di partenza e’ alquanto evidente.

E’ dato un insieme A ed e’ data una relazione R.

Dato un insieme A una relazione e’ detta asimmetrica su A se non esistono due distinti elementi di A, detti x ed y, distinti, per i quali siano contemporaneamente vere le due relazioni seguenti:

xRy

yRx

Una ulteriore definizione da fornire e’ quella di relazione connessa su A.


Una relazione R e’ connessa su un insieme A se comunque si prendano due distinti elementi di A, detti x ed y, risulta essere:

xR y oppure yRx

Una nozione particolarmente importante e’ quella di ordine lineare su un insieme.

Le condizioni per le quali la relazione R sia un ordine lineare su un insieme A e’ che valgano la proprieta’ antisimmetrica, formalizzata come ∀đ?‘Ľ| đ?‘Ľ ∈ đ??´ (x, x) ∉ R, e la proprieta’ transitiva per la quale si puo’ scrivere che: (aRb, bRc) â&#x;š aRc.

La relazione “minore eguale�, solitamente rappresentata con il simbolo ≤, gode delle due proprieta’ sopra citate. Stesse considerazioni valgono per la relazione “e’ minore di�, solitamente rappresentata col simbolo <.

Una relazione R che gode della proprieta’ antisimmetrica e della proprieta’ transitiva e’ detta “un ordine lineare� su A, essendo A un insieme dato.

Quindi puo’ essere introdotta la definizione di buon ordine. Sia data una relazione R. Occorre dare significato al formalismo x ≤� y. Essa deve essere interpretata nel senso che e’ vera una delle due condizioni x = � o xRy.


Quando R equivale a < si puo’ scrivere che x ≤< �. Si ha che x ≤< y equivale a x ≤ �.

Sia data una relazione R ed un insieme A. L’elemento b e’ detto elemento R minimo se si puo’ scrivere che: b≤đ?‘… đ?‘? ∀đ?‘?| đ?‘? ∈ đ??´. Ad esempio 0 ≤ đ?‘› per ogni n naturale.

Dato A tale che A e’ un insieme e’ ricavato l’insieme delle parti P(A). Si consideri la relazione di inclusione rispetto all’insieme delle parti, cioe’ ⊂đ?‘ƒ(đ??´) . L’insieme vuoto ∅ e’ ⊂đ?‘ƒ(đ??´) – minino di P(A). Si puo’ scrivere che ∅ ⊆ X | X ∈ P(A).

Se R e’ un ordine su A allora esiste al massimo un solo R-minimo di A.

Fatte tutte queste considerazioni si puo’ giungere alla definizione di buon ordine.

Data infatti una relazione R e dato un A tale che A sia un insieme.

Si ammetta che R sia un ordine lineare su A. ∀đ?‘‹ ⊆ đ??´ | X ≠∅ affinche R sia un buon ordine e’ necessario e sufficiente che ∃! x | x ∈ đ?‘‹ | đ?‘Ľ e’ un R minimo.

L’esempio e’ N insieme dei numeri naturali.


Un ordine lineare non necessariamente e’ un buon ordine.

Pero’ dato un insieme finito A ogni ordine lineare su A e’ un buon ordine su A. ⌋ parte da approfondire anche in relazione alla esistenza di diversi buoni ordini per A finitoâŚŒ

La situazione e’ comunque semplificata dal seguente teorema. Un ordine lineare R su A e’ un buon ordine su A quando ogni X tale che X ⊆ A essendo X ≠∅ contiene un x tale che x sia un R minimo. La coppia < đ??´, đ?‘… > costituita da un insieme A e da una relazione R e’ detta insieme relato. Quando la relazione R riferita all’insieme A e’ un ordine lineare, la coppia < đ??´, đ?‘… > e’ un insieme linearmente ordinato. Se, rispetto ad A, R e’ un buon ordine allora la coppia < đ??´, đ?‘… > e’ un insieme bene ordinato. Assegnati due insiemi relati < đ??´, đ?‘… > e < đ??ľ, đ?‘† > la funzione f e’ un morfismo da < đ??´, đ?‘… > a < đ??ľ, đ?‘† > se sono verificate entrambe le condizioni seguenti: ďƒź f e’ una funzione iniettiva da A su B, cioe’ se ∀đ?‘Žđ?‘– , đ?‘Žđ?‘— |đ?‘Žđ?‘– , đ?‘Žđ?‘— ∈ đ??´ sia đ?‘Žđ?‘– ≠đ?‘Žđ?‘— đ?‘ đ?‘– â„Žđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Žđ?‘– ) ≠đ?‘“(đ?‘Žđ?‘— ) dove si ha va inteso come implicazione logica (â&#x;š). ďƒź ∀đ?‘Žđ?‘– , đ?‘Žđ?‘— |đ?‘Žđ?‘– , đ?‘Žđ?‘— ∈ đ??´ risulti vero che đ?‘Žđ?‘– đ?‘… đ?‘Žđ?‘— â&#x;ş đ?‘“(đ?‘Žđ?‘– )đ?‘†đ?‘“( đ?‘Žđ?‘—)


A questo punto e’ possibile introdurre la nozione di numero naturale a partire dagli assiomi di Peano.

Si puo’ certamente partire dai numeri naturali per poi identificare questi numeri con particolari insiemi.

Cio’ e’ accettabile se detti insiemi godono delle proprieta’ dei numeri naturali.

L’insieme dei numeri naturali e’ ordinariamente indicato con la lettera N, mentre il numero zero e’ indicato con il simbolo 0.

Viene definita una particolare funzione, solitamente indicata con la lettera s, che associa ad un elemento n dell’insieme N il suo successore indicato come (n+1), formalizzando il tutto come: đ?‘

n → n+1

n

s

n+1

Gli assiomi di Peano sono abbondantemente noti in ogni caso si tratta dei seguenti: ďƒź Il numero 0 e’ un elemento di N. Formalmente 0 ∈ N. ďƒź La funzione s e’ una iniezione da N in N tale che s(n) = đ?‘› + 1. ďƒź Il numero 0 non e’ il successivo di alcun numero reale. In termini formali questa asserzione si scrive nel modo seguente: ∄ n ∈ đ?‘ | s(n) = 0. ďƒź La funzione s e’ una iniezione (quindi se đ?‘›1 ≠đ?‘›2 | đ?‘›1 , đ?‘›2 ∈ N allora s(đ?‘›1 ) ≠đ?‘ (đ?‘›2 )


ďƒź Dato un insieme A tale che 0 ∈ N e ∀ n ∈ N se n ∈A e s(n) ∈ A allora N ⊆ A â†? principio di induzione matematica.

E’ importante ricordare l’impiego del principio di induzione matematica per finalita’ dimostrative. Si evidenzia la validita’ di una relazione per un dato valore, in genere per n = 0. Si ammette che la relazione sia verificata per un n = �0 . Questo e’ legittimo quando ad esempio e’ stata verificata per n = 0 = �0 .

Ammesso il passo precedente si verifica se la relazione e’ vera per s(n).

Un esempio di applicazione dell’induzione matematica potrebbe essere il seguente. Verificare al variare di n in N che quando q e’ un numero reale diverso dall’unita’ allora e’ vero che: ∑đ?‘›đ?‘˜=0 đ?‘ž đ?‘˜ =

1−đ?‘ž đ?‘›+1 1−đ?‘ž

Si puo’ partire dal caso sia n = 1 e si ha � 0 + �1 =

1−đ?‘ž 2 1−đ?‘ž

â&#x;ş 1 +đ?‘ž =

(1+đ?‘ž)(1−đ?‘ž) 1−đ?‘ž

.

Da cui immediatamente si ricava 1 +đ?‘ž =1 +đ?‘ž. Questo equivale a dichiarare di aver dimostrato che ∑đ?‘›đ?‘˜=0 đ?‘ž đ?‘˜ = 1−đ?‘ž đ?‘›+1 1−đ?‘ž

e’ vera per n = 1. Quindi si e’ dimostrato che esiste un �0 – che nel caso di specie vale 1 – per il quale

∑đ?‘›đ?‘˜=0 đ?‘ž đ?‘˜ =

1−đ?‘ž đ?‘›+1 1−đ?‘ž

e’ vera.

Occorre ora dimostrare che la relazione e’ vera per �0 + 1.

In definitiva per dimostrare che che la relazione di eguaglianza e’ vera per ogni intero e’ sufficiente dimostrare che essa e’ vera per n = 2.


In pratica occorre dimostrare che e’ vera la relazione ∑2đ?‘˜=0 đ?‘ž đ?‘˜ =

đ?‘ž 0 + đ?‘ž1 + đ?‘ž 2 =

1 + đ?‘ž + đ?‘ž2 =

1−đ?‘ž 3 1−đ?‘ž

1−đ?‘ž 3 1−đ?‘ž

1−đ?‘ž 3 1−đ?‘ž

che puo’ essere riscritta come

o anche

.

Questa relazione di eguaglianza e’ vera. Basta eseguire la divisione polinomiale a secondo membro per convincersene.

Merita un ulteriore approfondimento la nozione di insieme delle parti ed anche la definizione dell’insieme P(P(A)) solitamente abbreviato con il formalismo đ?‘ƒ2 (đ??´). Piu’ in generale nella teoria degli insiemi viene dato significato al formalismo đ?‘ƒđ?‘› (đ??´), essendo A un insieme dato.

Nella teoria ingenua l’insieme delle parti, P(A), dell’insieme A viene indicato come: P(A)= {đ??ľ|đ??ľ ⊆ đ??´}

E’ forse utile fare un esempio applicativo.

Dato A = {đ?‘Ž, đ?‘?} allora si ha: P(A) ={ {đ?‘Ž}, {đ?‘?}, { đ?‘Ž, đ?‘?}, ∅ }

Occorre ora individuare gli elementi dell’insieme P(P(A)).

Gli elementi (insiemi) {đ?‘Ž}, {đ?‘?}, { đ?‘Ž, đ?‘?}, ∅ sono elementi di P(P(A)).


Gli ulteriori elementi di esso sono:

{{đ?‘Ž}, {đ?‘?}, { đ?‘Ž, đ?‘?}, ∅ } , {{đ?‘Ž}, {đ?‘?}, { đ?‘Ž, đ?‘?} } , {{đ?‘?}, { đ?‘Ž, đ?‘?} } , {{đ?‘Ž}, { đ?‘Ž, đ?‘?} } , {{đ?‘Ž}, {đ?‘?}, ∅ } { {đ?‘?}, ∅ } , {{đ?‘Ž}, ∅ } ,

{{đ?‘Ž}, { đ?‘Ž, đ?‘?}, ∅ } {{ đ?‘Ž, đ?‘?}, ∅ } , { {đ?‘?}, { đ?‘Ž, đ?‘?}, ∅ }.

Tra gli esercizi proposti dal Gleason vi e’ il seguente: Prove If A ⊆ B then P(A) ⊆ P(B).

Con la sintetica risposta che si riporta. If X ∈ đ?‘ƒ(đ??´) then X ⊆ đ??´. Since A ⊆ đ??ľ, X ⊆ đ??ľ. Thus X ∈ đ?‘ƒ(đ??ľ). Alternativamente dalla ipotesi A ⊆ đ??ľsi hanno due casi possibili. Il caso A = đ??ľ conduce alla coimplicazione evidente (A = đ??ľ)â&#x;ş P(A)=P(B) per la definizione di insieme delle parti. Va considerato il caso A ⊂ đ??ľ. In questo caso ∃đ?‘Ľ| đ?‘Ľ ∈ đ??ľ , đ?‘Ľ ∉ đ??´. Sia đ??´đ?‘– un qualunque elemento di P(A). Risulta anche đ??´đ?‘– ∈ P(B). Ma tra gli elementi di P(B) vi sono anche quelli aventi x come elemento. E’ sufficiente considerare che tra gli elementi di P(B) vi e’anche, per definizione, l’insieme {đ?‘Ľ} per evincere immediatamente che se A ⊂ B allora P(A) ⊂ P(B).

Tra le operazioni insiemistiche elementari non puo’ essere sottaciuta la cosiddetta differenza simmetrica.


Essa viene formalizzata come segue: A ⊕ đ??ľ = (đ??´ − đ??ľ) âˆŞ (đ??ľ − đ??´) Tale operazione gode di particolari proprieta’ ⌋GleasonâŚŒ quali le due seguenti: A⊕đ??´ =∅ A⊕∅ =đ??´

Le enunciate proprieta’ di cui non e’ data la dimostrazione possono peraltro essere spiegate con estrema semplicita’. Infatti, A ⊕ đ??´ equivale a calcolare (đ??´ − đ??´) âˆŞ (đ??´ − đ??´) = ∅ âˆŞ ∅ = ∅. Pertanto A ⊕ đ??´ = ∅.

In modo altrettanto elementare si dimostra la seconda proprieta’. A ⊕ ∅ = đ??´.

Infatti si ha: A ⊕ ∅ = (đ??´ − ∅) âˆŞ (∅ − đ??´) = đ??´ âˆŞ ∅ = A, immediatamente. Sono molto interessanti le osservazioni dell’autore ⌋GleasonâŚŒ in sede di risoluzione di alcuni esercizi, cui si rimanda.


Si osservi che la differenza simmetrica e’ commutativa come conseguenza della commutativita’ dell’unione.

Si puo’ scrivere che:

A ⊕ đ??ľ = (đ??´ − đ??ľ) âˆŞ (đ??ľ − đ??´)

B ⊕ đ??´ = (đ??ľ − đ??´) âˆŞ (đ??´ − đ??ľ)

Infatti si ha (đ??´ − đ??ľ) âˆŞ (đ??ľ − đ??´) = (đ??ľ − đ??´) âˆŞ (đ??´ − đ??ľ) per la commutativita’ dell’unione.

Per le eguaglianze, vere per definizione, si ottiene A ⊕ đ??ľ = B ⊕ đ??´.

Una modalita’ alternativa ⌋GleasonâŚŒ rispetto a quella data di funzione iniettiva e’ sicuramente la seguente: f e’ iniettiva se per ogni x, y tali che siano del dominio di f allora e’ vero che f(x)= đ?‘“(đ?‘Ś) â&#x;š đ?‘Ľ = đ?‘Ś.

La struttura per A e’ ogni B | B e’ un elemento (=insieme) di A, essendo A un insieme. A volte si considera la coppia ordinata < đ??´, đ??ľ >. Sia Q ≠A | ∃ f | f ={ (q, a) ∈ đ?‘“ â&#x;ş (đ?‘Ž, đ?‘ž) ∈ đ?‘“}

Quella data per f e’ sostanzialmente la definizione di biiezone.


Se B e’ una struttura per A allora f(B) e’ una struttura per Q. Per effetto dell’isomorfismo f assegnato tra A e Q le coppie < đ??´, đ??ľ > e < đ?‘„, đ?‘“(đ??ľ) > sono isomorfe. Dati due insiemi A= {a, b, c, d} e A= {p, q, r,s} sia data B ={ {a, b}, {đ?‘Ž, đ?‘?}}. Si tratta di una struttura per A.

Si osservi che per gli insiemi finiti l’esistenza di una biiezione e’ possibile se e solo se |A| e |B|, cioe’

se i due insiemi contengono lo stesso numero di elementi.

Si ipotizzi che la f coincida con la seguente: f = {(đ?‘Ž, đ?‘ ), (đ?‘?, đ?‘?), (đ?‘?, đ?‘&#x;), (đ?‘‘, đ?‘ž)} Evidentemente data f esiste la funzione inversa đ?‘“ −1 che e’ unica.


Se f = {(đ?‘Žđ?‘– , đ?‘?đ?‘— )| đ?‘Žđ?‘– ∈ đ??´, đ?‘?đ?‘— ∈ đ?‘„ } ∀đ?‘Žđ?‘– ∈ đ??´ allora đ?‘“ −1 = {(đ?‘?đ?‘— , đ?‘Žđ?‘– )| đ?‘?đ?‘— ∈ đ?‘„, đ?‘Žđ?‘– ∈ đ??´ } ∀đ?‘?đ?‘— ∈ đ?‘„.

Occorre definire f(B).

Ho sintetizzato Gleason con insiemi meno popolosi. < đ?‘„, đ?‘“(đ??ľ) > e’ isomorfo di < đ??´, đ?‘“ >.

E’ possibile dare la seguente definizione di insieme ordinato. Un insieme ordinato e’ una coppia < đ??´, đ??ľ > tale che A e’ un insieme e B ∈ P(AĂ— đ??´) quando sono verificate le due seguenti condizioni: 1. ∀ x | x ∈ đ??´ allora (x, x) ∉ B 2.∀ x,y,z | x,y,z ∈ đ??´ se (x,y) ∈ B, (y,z) ∈ B allora (x, z) ∈ B. Gli insiemi che verificano la condizione đ?œƒ = {< đ??´, đ??ľ > | đ??ľ ∈ đ?‘ƒ(đ??´ Ă— đ??´), 1, 2 } sono detti insiemi ordinati.


Un insieme ordinato e’ ordinato linearmente se e solo se: ∀x,y | x, y ∈ A e’ verificata una ed una soltanto delle tre seguenti condizioni: x=đ?‘Ś (x, y) ∈ B (y, x) ∈ B. Piu’ sinteticamente un insieme e’ ordinato quando da (x, y) ∈ B discende che (y, x) ∉ B.

A questo punto e’ possibile esemplificare. Dato A tale che A e’ un insieme e’ possibile considerare il prodotto cartesiano A Ă— đ??´. Sia ad esempio A = {đ?‘Ľ, đ?‘Ś}. Il prodotto cartesiano e’ rappresentabile con la seguente tabella.

x

y

x

(x,x)

(x,y)

y

(y, x)

(y, y)

In queste righe, come in quelle successive si sono utilizzate le partentesi tonde in luogo delle parentesi angolate utilizzate dall’autore americano.

Il prodotto cartesiano viene scritto come segue:


A Ă— đ??´ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ), (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ś, đ?‘Ľ), (đ?‘Ś, đ?‘Ś)| đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ??´} Lo step successivo e’ costruire l’insieme P(AĂ— đ??´) cioe’ l’insieme i cui elementi sono tutti e soli i possibili sottoinsiemi propri e impropri del dato prodotto cartesiano. P(A Ă— đ??´) e’ costituito dai seguenti elementi (intesi come insiemi): ∅ , {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ)} , {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)} , {(đ?‘Ś, đ?‘Ľ)} , { (đ?‘Ś, đ?‘Ś)}, {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ), (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)}, {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ), (đ?‘Ś, đ?‘Ľ)} , {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ), (đ?‘Ś, đ?‘Ś)}, { (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ś, đ?‘Ś)}, { (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ś, đ?‘Ľ)}, {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ), (đ?‘Ś, đ?‘Ľ), (đ?‘Ś, đ?‘Ś)}, {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ), (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ś, đ?‘Ľ)} , { (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ś, đ?‘Ľ), (đ?‘Ś, đ?‘Ś)}, {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ), (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ś, đ?‘Ľ)} , {(đ?‘Ś, đ?‘Ľ), (đ?‘Ś, đ?‘Ś)}, {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ), (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ś, đ?‘Ľ), (đ?‘Ś, đ?‘Ś)}. Essi sono ovviamente 16 cioe’ 24 .

Occorre fare qualche cenno alle relazioni d’ordine. Una relazione d’ordine stretto e’ riferita ad un insieme relato < đ??´, đ?‘… > per la quale si ha: 1) (a , a) ∉ R per ogni a tale che a ∈ đ??´ 2) aRb and bRc â&#x;š aRc

A titolo esemplificativo si puo’ citare il caso della relazione < (minore di) riferita ad insiemi quali N, Q, R. Ad esempio non si puo’ scrivere che 3 < 3.

Ma ad esempio e’ corretto scrivere che da 4 < 5 e da 5 < 6 si ha che 4 < 6.


Con riferimento ad un insieme relato, quindi data la coppia < đ??´, đ?‘… > l’ordine debole consente di affermare che: 1) aRa ∀đ?‘Ž|đ?‘Ž ∈ đ??´ â†? proprieta’ riflessiva 2) ∀đ?‘Ž, đ?‘? | đ?‘Ž ∈ đ??´, đ?‘? ∈ đ??ľ (aRb, bRa) â&#x;š a = đ?‘? â†? proprieta’ antisimmetrica 3) ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? | đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´ (aRb, bRc) â&#x;š aRc â†? proprieta’ transitiva.

E’ il caso della relazione (minore eguale di) sintetizzata dal simbolo ≤ verificabile per i numeri naturali, N, per i numeri razionali, Q, e per i numeri reali, R.

E’ possibile intendere un insieme ordinato come una terna (A, S, W) ove A e’ un insieme, S e’ una relazione di ordine stretto e W e’ una relazione di ordine debole.

In altri termini dire che e’ assegnato un insieme ordinato A equivale ad affermare che e’ dato un insieme A e due relazioni d’ordine, una stretta e una debole. Ad esempio ⊆ e’ una relazione d’ordine debole di X. In altri termini ⊆ ordina debolmente i sottoinsiemi di X.

Russell e Frege avevano postulato l’identificazione tra numeri naturali e insiemi finiti di assegnata cardinalita’.


Questo approccio fu successivamente criticato in quanto non esiste l’insieme i cui elementi sono tutti e solo gli insiemi finiti di data cardinalita’.

Von Neumann suggeri’ di identificare il numero naturale n con un particolare insieme costituito da n elementi. L’identificazione tra un insieme e il numero naturale 0 e’ immediata in quanto il solo insieme avente zero elementi e’ l’insieme vuoto, ∅.

Per von Neumann un qualsiasi numero naturale n si identifica con l’insieme dei numeri naturali minori di n, cio’ perche’ l’insieme dei numeri naturali minori di n ha esattamente n elementi.

Come identificae il numero 1 ? L’insieme dei numeri naturali minori di 1 e’ {∅}. In definitiva al numero 1 e’ associato l’insieme {∅} I numeri naturali minori di 2 sono 0 đ?‘’ 1.

Quindi al numero 2 e’ associato l’insieme {∅, {∅}}.

Il numero 3, successivo di 2, e’ associato all’insieme rappresentativo dei numeri minori di 3, cioe’:

{∅, {∅} {∅{∅}}}.


L’interessante testo utilizzato per questa parte ⌋Casalegno, MarianiâŚŒ chiede di definire l’insieme rappresentativo del numero 4 che e’ il seguente insieme:

{ ∅, {∅ }, {∅, {∅}}, {∅, {∅} {∅{∅}}} }

Per fornire una spiegazione piu’ rigorosa si utilizza la nozione di insieme induttivo. Un insieme A non vuoto e’ detto induttivo se l’insieme vuoto, ∅, e’ appartenente ad A, cioe’ se ∅ ∈ đ??´. Ulteriormente deve essere per ogni B | B ∈A allora s(B) ∈ A. Per definizione s(B) = B âˆŞ {B}.

Come gia’ ricordato in relazione agli assiomi di Peano il successore di n, cioe’ il numero (n+1) e’ indicato con s(n). L’equivalente insiemistico della somma aritmetica, +, e’ l’operazione di unione, âˆŞ.

In questi termini solitamente si scrive che: 0=∅ s(0) = 1 = ∅ âˆŞ {∅} = {∅}

Si ammette per via assiomatica l’esistenza di un insieme induttivo.

Assioma dell’insieme induttivo.


Esiste almeno un insieme induttivo. Dato un qualunque insieme induttivo I possiamo dire che X ∈ ad ogni insieme induttivo se X ∈ đ??ź ha la proprieta’ di appartenere ad ogni insieme induttivo.

L’esistenza e’ una conseguenza dell’assioma di separazione.

Distinzione tra insiemi finiti e insiemi infiniti.

Insieme finito. Un insieme e’ detto finito se e’ costituito da n elementi, ove n e‘ un numero naturale e pertanto i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza con l’insieme dei naturali {1, 2, 3, ‌., n}. đ?‘“

∃ f : A → đ??ľ ⊂ đ?‘ − {0} | ∀đ?‘Žđ?‘˜ | đ?‘Žđ?‘˜ ∈ đ??´ âˆś đ?‘Žđ?‘˜ → đ?‘– | i≤ đ?‘› con n = đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľđ??ľ , k = đ?‘– L’insieme B e’ {1,2, ‌ . , đ?‘›}.

Si scrive che: A ~ {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ ∈ đ?‘ − {0} , 1 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘› } Nel caso particolare n = 0 si ha A ~∅ â&#x;ş đ??´ = ∅.

Con riferimento agli insiemi costituito da un numero intero di elementi, insiemi quindi finiti, si utilizza la nozione di cardialita’ o di numero cardinale.


In definitiva un insieme A e’ finito se esiste un intero n tale che si possa dire che card(A) = �.

Insiemi infiniti.

Un insieme e’ infinito se non e’ finito. La scrittura A ~ B, ove ~ e’ il simbolo che definisce la nozione di equivalenza ha una implicazione. Se essa e’ vera allora i due insiemi sono entrambi finiti oppure entrambi infiniti.

Non si tratta di una c.n.e.s..

Non necessariamente, infatti, due insiemi finiti hanno la stessa cardinalita’ e non necessariamente due insiemi infiniti hanno la cardinalita’ del numerabile.

Nella teoria assiomatica considerata fu inserito un ulteriore assioma detto di rimpiazzamento.

Tale contributo e’ dovuto ai matematici Franenkel e Skolem.

L’assioma di rimpiazzamento si enuncia affermando che dato un insieme A e data una operazione F sugli elementi di A allora esiste un un insieme i cui elementi sono tutti e soli gli F(a), per ogni a di A. In buona sostanza l’esistenza di A e dato F consente di affermare che l’insieme {F(a)| a ∈ đ??´ } esiste.

Ultimo aspetto di base della teoria assiomatica introdotta e’ l’assioma di scelta.


Tale assioma era gia’ presente nella versione originale degli studi di Zermelo, pubblicati nel 1908.

E’ dato un insieme A. Un insieme B e’ un insieme di scelta per l’insieme dato A se ∀C | C ∈ đ??´ esiste un d tale che risulti vero che B ∊ đ??ś = {đ?‘‘}. B e’ un insieme di scelta per A se ⌋Casaleggio, MarianiâŚŒ B ha in comune con ciascun elemento di A “esattamente un elementoâ€?.

Al riguardo si puo’ esemplificare.

Sia, ad esempio, dato il seguente insieme A = {{1,2,6}{3}{5,6,9}}.

Un possibile insieme di scelta per A potrebbe essere l’insieme B tale che B ={ 2, 3, 5 }.

Infatti considerati i tre insiemi che sono elementi di A si ha:

B ∊ {1,2,6} = {2}

B ∊ {3} = {3}

B ∊ {5, 8, 9} = {5}

Si parla di un insieme di scelta ad evidenziare la non unicita’ dell’insieme di scelta per un assegnato insieme A non avente tra i suoi elementi l’insieme vuoto, ∅.

Per A dato e’ possibile dare una rappresentazione formale degli insiemi di scelta đ??ľđ?‘– .


A ={{đ?‘Žđ?‘–≤đ?‘›1 }, {đ?‘?đ?‘—≤đ?‘›2 }, ‌ ‌ . , {đ?›źđ?œ?≤đ?‘›đ?‘˜ }}

La scrittura {��≤�1 } si intende come {�1 , �2 , ‌ . . , ��1 } ed ha cardinalita’ �1 .

Analogamente si spiega il formalismo relativo agli altri insiemi che costituiscono A.

L’insieme B ha la stessa cardinalita’ dell’insieme A. Cio’ e’ vero se gli elementi di esso (intendo di A) sono a due a due disgiunti.

A deve essere finito.

L’insieme B puo’ essere scritto come segue:

B ={ đ?‘?1 , đ?‘?2 , ‌ . , đ?‘?đ?‘? } , ove c indica la comune cardinalita’ dei due insiemi.

Gli elementi di B sono tali che đ?‘?1 ∈ {đ?‘Žđ?‘–≤đ?‘›1 } e tale che sia B ∊ {đ?‘Žđ?‘–≤đ?‘›1 } = {đ?‘?1 } e questo con riferimento ad ogni insieme elemento di A.

Non necessariamente un insieme assegnato ammette insiemi di scelta per esso.

Cio’ e’ immediatamente vero per un insieme avente come suoi elementi costitutivi l’insieme vuoto.

In questi casi per un ipotetico insieme di scelta B per A sarebbe B ∊ ∅ = ∅.

Una prima formulazione dell’assioma di scelta e’ la seguente:


Se A e’ un insieme finito i cui elementi sono insiemi non vuoti a due a due disgiunti allora esiste almeno un insieme di scelta per A.

Un caso di insieme di scelta unico per A si ha nel caso sia A costituito da singoletti non vuoti, come nel caso seguente.

Sia A ={{�}{�}{1}} cui corrisponde l’insieme di scelta per A, unico, dato da B= {1, �, �}.

La verifica e’ immediata Infatti B ∊ { đ?‘Ž} = {đ?‘Ž} , B ∊ { đ?‘Ľ} = {đ?‘Ľ} e B ∊ { 1} = {1}.

Una seconda formulazione dell’assioma di scelta presuppone la nozione di funzione di scelta per l’insieme A.

Si puo’ considerare un insieme A quale il seguente: A ={{0,1,4}{3,4, }{5,6}}

La funzione f e’ una funzione di scelta per A se: dom f = A ∀ đ??ś | đ??ś ∈ đ??´ allora f (C ) ∈ C.

Una possibile funzione di scelta per A e’ quella per la quale risulta, ad esempio che:


f( {0,1,4}) = 0

f({3,4, }) = 3

f{5,6}= 5.

La funzione di scelta e’ tale che associa ad un elemento di A un elemento di detto insieme.

Si osservi che in generale la funzione di scelta per A non e’ unica.

Ad esempio f potrebbe essere tale che:

f( {0,1,4}) = 1

f({3,4, }) = 3

f{5,6}= 6.

La seconda formulazione dell’assioma di scelta e’ la seguente:

Se A e’ un insieme i cui elementi sono insiemi non vuoti allora esiste una funzione di scelta per A.

Le due formulazioni dell’assioma di scelta sono equivalenti.

La seconda formulazione non distingue tra insiemi che sono elementi di A essendo essi a due a due disgiunti oppure no.


L’unicita’ della funzione di scelta si ha nel caso in cui l’insieme A sia costituito da elementi singleton del tipo {đ?‘˜đ?‘– }. In questo caso la funzione f e’ tale che {đ?‘˜đ?‘– } → đ?‘˜đ?‘– .

Questi aspetti, oltre alla teoria degli insiemi induttivi sono meritevoli di approfondimento.

Un esempio di insieme che non ammette insieme di scelta e’ il seguente: {{đ?‘Ž, đ?‘?}, {đ?‘?, đ?‘?}, {đ?‘Ž, đ?‘?}}

Ci si convince facilmente della non esistenza di un insieme di scelta per A perche’ se si ammette che esso sia {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} allora sarebbe, ad esempio, che: {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} ∊ {đ?‘Ž, đ?‘?} = {đ?‘Ž, đ?‘?}.

A situazioni inaccettabili si perviene anche considerando insiemi di due elementi o singoletti.

In altri termini poi se detto insieme di scelta per A fosse B allora dovrebbe risultare che: B ∊ {đ?‘Ž, đ?‘?} che deve essere eguale a {đ?‘Ž} oppure a {đ?‘?} il che preclude che B possa contenere a e b contemporaneamente. Ma tale riflessione vale pure per b e c, ed anche per a e c.


FOCUS INTRODUTTIVO ALLA LOGICA MATEMATICA

Poiche’ e’ necessario potenziare la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con modalita’ piu’ formali occorre fare qualche breve cenno introduttivo alla logica matematica.

E’ utile introdurre un piccolo glossario.

Proposizione (o enunciato). Ogni frase per la quale si puo’ dire che essa e’ vera oppure che e’ falsa. Tertium non datur. (principio fondamentale della logica proposizionale).

Una asserzione che e’ vera e falsa al contempo, oppure che non e’ ne’ vera ne’ falsa non e’ una proposizione, non e’ quindi un enunciato.

Le proposizioni (o enunciati) vengono indicate con lettere maiuscole, solitamente P, Q, etc..

La parte della logica che studia le proposizioni e’ detta logica proposizionale.

Due o piu’ proposizioni possono essere coordinate, a costituire una nuova proposizione (detta molecolare) come combinazione di proposizioni elementari dette atomiche, coordinate da particolari connettivi logici.

Un fondamentale ed essenziale connettivo logico e’ la negazione, che nel linguaggio parlato e’ espressa dalla particella “non�.

Data la proposizione P la proposizione negata si indica con il formalismo âŒ? P oppure con đ?‘ƒ.


Detti formalismi si leggono “non P� oppure anche “P negato�.

Si tratta di un connettivo unario, essendo riferito ad un solo argomento, cioe’ ad una sola proposizione.

Poiche’ la proposizione P puo’ essere vera (V) o falsa (F) la tavola di verita’ sara’ immediata e avra’ la seguente sembianza.

P

đ?‘ƒ

V

F

F

V

Ancorche’ unario il connettivo negazione puo’ essere applicato ad una proposizione molecolare, costituita da piu’ proposizioni atomiche.

I successivi connettivi logici sono tutti binari, operando, quindi su due proposizioni.

Il secondo connettivo da introdurre e’ comunemente chiamato congiunzione.

Esso corrisponde alla et latina.

Date due proposizioni P e Q il connettore congiunzione (et) si scrive come segue: P∧đ?‘„


Si puo’ costruire la seguente tabella.

P

Q

P∧đ?‘„

Q∧đ?‘ƒ

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

Il terzo connettore che puo’ essere esaminato e’ la disgiunzione alternativa, in cui simbolo e’ ⋠, che corrisponde al vel latino.

Date due proposizioni P e Q allora si puo’ costruire la seguente proposizione connessa, P⋠�.

Si ha la seguente tabella di verita’.

P

Q

P â‹ đ?‘„

Q â‹ đ?‘ƒ

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F


Condizione necessaria e sufficiente affinche’ P vel Q sia vera e’ che sia vera almeno una delle due proposizioni.

L’implicazione logica e la coimplicazione logica sono formalizzate come segue: P → Q (che si legge P implica Q) P ↔ Q (che si legge P coimplica Q). Si puo’ partire dall’implicazione logica, cioe’ da P → Q.

P e’ detta proposizione antecedente, Q e’ detta proposizione conseguente.

La tabella di verita’ della implicazione logica (detta anche implicazione materiale) e’ ottenuta tenendo conto che le tabelle di P → Q e di ÂŹđ?‘ƒ â‹ Q. Questo e’ quanto solitamente risulta dalla manualistica ⌋Swirner, ScagliantiâŚŒ.

In ogni caso la tabella puo’ essere posta come segue.


P

Q

P→Q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

La prima riga e’ vera per definizione.

Infatti se P = piove e Q = dormo allora l’implicazione logica P → Q sara’ se piove allora dormo, ed e’ ben posta.

La seconda riga deve necessariamente condurre ad una implicazione non ben posta.

Infatti se P e’ vera, cioe’ se piove, e Q e’ falsa, e quindi non dormo, non e’ possibile avere una implicazione del tipo piove → non dormo.

Infatti se piove dormo. Se anche la seconda implicazione fosse vera allora al contempo quando piove dormirei e non dormirei……. In questo caso si puo’ scrivere che: piove ⇸ non dormo.


Ho utilizzato il simbolo ⇸ per indicare la non implicazione ( a ⇸ đ?‘? si legge “a non implica bâ€?). Quando affermo vero che piove → dormo , nulla posso dire circa la conseguenza del mio non

dormire. Quando non piove posso sia dormire che non dormire. In definitiva dal dire se piove

dormo non si puo’ dire se quando non piove dormo oppure non dormo.

Queste considerazioni sono sintetizzabili come segue, quando si considerino due proposizioni

A e B qualunque. (A → B ) ↔ (ÂŹđ??´ → ÂŹđ??ľ) (A → B ) → ((ÂŹđ??´ → đ??ľ ), (ÂŹđ??´ → ÂŹđ??ľ))

L’implicazione materiale non sottende un nesso causale tra A e B.

Il successivo connettivo e’ costituito dalla implicazione materiale, detta anche bicondizionale, per il quale viene utilizzato comunemente il simbolo ↔.

Esso e’ il simbolo del connettivo “se e solo seâ€?. La scrittura P ↔ đ?‘„ sintetizza le due seguenti: P→ đ?‘„ e Q → P, vere contemporaneamente.


La tavola di verita’ della coimplicazione logica e’ la seguente.

P V

Q V

P↔� V

F

V

F

V

F

F

F

F

V

La coimplicazione e’ vera quando P e Q sono entrambe false o entrambe vere. Negli altri casi la coimplicazione e’ falsa.

Alla tavola del bicondizionale si arriva agevolmente a partire dalla tavola delle due implicazioni.

Lo schema e’ sostanzialmente il seguente.


P

Q

P→ �

Q→đ?‘ƒ

P↔ �

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

P↔ đ?‘„ e’ falsa quando P ⇸ đ?‘„ oppure Q ⇸ đ?‘ƒ. Si osservi che P↔ đ?‘„ anche quando P e Q sono contemporaneamente false.

Ho utilizzato piu’ sopra la locuzione “ben formata� intendendo che P → Q e’ vera.

A questo punto sono state considerate le prime fondamentali formule proposizionali, costituite da proposizioni elementari, che possono essere vere (V) oppure false (F), coordinate dai connettivi logici appena introdotti.

Dette formule proposizionali basiche non elementari sono le seguenti:


negazione

�

congiunzione

P∧Q

disgiunzione

Pâ‹ Q

implicazione materiale

P→�

coimplicazione materiale

P↔Q

Le proposizioni composte costituite a partire da proposizioni semplici coordinate dai connettivi ÂŹ , ∧ , â‹ , →, e ↔ sono dette formule del calcolo delle proposizioni.

Nel considerare le formule proposizionali va ricordato che:

ďƒź il connettivo di negazione, ÂŹ , e’ riferito alla proposizione semplice che lo precedere immediatamente ⌋Swirner, ScagliantiâŚŒ , pertanto scritture del tipo (ÂŹđ?‘ƒ)â‹ đ?‘„ e ÂŹđ?‘ƒâ‹ đ?‘„ si equivalgono.

Si osservi che la formula ÂŹ (đ?‘ƒâ‹ đ?‘„) non e’ equivalente alle prime due considerate.


Questa ultima presuppone infatti che al valore della tabella di verita’ di đ?‘ƒâ‹ đ?‘„ si faccia corrispondere il negato di essa. In buona sostanza si puo’ procere per step. Il primo e’ costruire la tabella di verita’ di đ?‘ƒâ‹ đ?‘„ e quindi per ogni valore trovato considerare il negato di esso.

ďƒź l’ordine di precedenza dei connettori logici e’ il seguente:

ÂŹ , ∧ , â‹ , →, ↔ La scrittura đ?‘ƒâ‹ đ?‘„ → đ?‘„ ad esempio equivale a (đ?‘ƒâ‹ đ?‘„) → đ?‘„ ďƒź i connettivi logici sono associati a sinistra.

La formula P ∧ Q ∧ R si puo’ intendere come (P ∧ Q )∧ R.

Una formula proposizionale che risulta essere comunque vera, per ogni possibile combinazione dei valori che possono assumere le proposizioni elementari che la costituiscono e’ detta identicamente vera o anche tautologia.

La tautologia definisce una legge logica.

Il caso polare della tautologia e’ la contraddizione.

Una contraddizione e’ una proposizione identicamente falsa, ovvero falsa per ogni possibile valore delle proposizioni elementari che la definiscono.


La relazione tra tautologia e contraddizione puo’ essere sintetizzata come segue: A e’ una tautologia â&#x;ş la negazione di A e’ una contraddizione.

Cio’ e’ una evidente conseguenza della definizione di negazione di una proposizione P qualunque per la quale l’univo valore ammesso e’ V. La manualistica consultata ⌋Swirner, ScagliantiâŚŒ riporta tra gli esempi di tautologie il principio aristotelico del terzo escluso, tertium non datur.

Esso viene formalizzato come segue: A â‹ ÂŹđ??´

Vorrei osservare che detto principio puo’ essere formalizzato come segue: A â‹ (ÂŹđ??´)

Ho quindi operato considerando la seguente tabella, costruita partendo dalla circostanza che A possa essere V oppure F e quindi il negato possa essere F oppure V. Quindi si e’ “calcolato� il valore logico per le ipotesi date.


�

A

V F

F V

A ⋠(�)

V V

Infatti la disgiunzione alternativa e’ vera se e’ vera almeno una delle due proposizioni.

In questo caso particolare non ha senso considerare il caso V, V che non e’ possibile in quanto le due proposizioni elementari non sono qualunque ma l’una il negato dell’altra.

Con riflessioni analoghe si discute il principio di non contraddizione.

Il principio aristotelico di non contraddizione viene formalizzato come segue: A ∧ ÂŹđ??´

Esso introduce una contraddizione.

Anche in questo caso si parte dai valori che sono attribuibili alla proposizione A (V, F) e ai corrispondenti del negato, ovvero (F, V). Quindi si considera la congiunzione ∧

Qui si puo’ procedere per step, avendo che:


�

A V

F

F

V

Il valore e’ sempre F in quanto A ∧ ÂŹđ??´ e’ vera se e solo se sono veri i valori delle due proposizioni elementari.

In questo caso tale possibilita’ e’ preclusa dalla relazione che coinvolge le proposizioni elementari, una delle quali e’ il negato dell’altra.

Accanto a questi due principi della logica detti principi fondamentali della logica, opera un ulteriore principio, detto di identita’.

Il principio di identita’ per il quale una proposizione ha un valore di verita’ intrinseco ed oggettivo, non mutevole nel tempo, intendendo l’identita’ come l’“identico a se stesso�.

A questo punto occorre precisare la nozione di implicazione logica.

Una formula proposizionale A implica logicamente una formula B se e solo se per tutti i valori per i quali A e’ vera allora anche B e’ vera.


A contrariis, se esiste almeno una una sequenza di valori delle componenti elementari di B per le quali A non e’ vera allora A non implica B.

Se A e B sono vere per gli stessi valori delle proposizioni componenti allora si puo’ affermare che A implica (logicamente) B e si scrive che A â&#x;š B. Si scrive che A â&#x;š A immeditamente intuitiva.

E’ ragionevole ritenere che in generale sia ammissibile se A e’ una funzione di Boole allora si possa scrivere A â&#x;š đ??¸đ??´ ove đ??¸đ??´ e’ una qualunque espressione booleana della funzione A.

Accanto alla implicazione logica e’ possibile introdurre anche la coimplicazione logica.

In questo caso le proposizioni A e B si dicono logicamente equivalenti. In questo caso si scrive A â&#x;ş B. Scrivere A â&#x;ş B equivale ad ammettere che e’ vero che A â&#x;š B e che e’ pure vero che B â&#x;š A. Si e’ detto che A â&#x;š A e che cio’ e’ immeditamente intuitivo. E’ anche vero che A â&#x;ş A ∀A. Vale la proprieta’ riflessiva.


La relazione “essere logicamente equivalente� e’ una relazione di equivalenza e come tale gode pure della proprieta’ transitiva e simmetrica. Se A e B sono logicamente equivalenti allora A ↔ B e’ una tautologia, cioe’ A ↔ B e’ sempre vera e se A ↔ B e’ una tautologia allora A e B sono logicamente equivalenti.

Si ha a che fare con una condizione necessaria e sufficiente.

A e B sono logicamente equivalenti quando esse sono costituite da n proposizioni elementari đ??´1 ‌.., đ??´đ?‘› e đ??ľ1 ‌.. đ??ľđ?‘› tali che tra le 2đ?‘› sequenze di possibili valori di esse ne esistano k ≤ 2đ?‘› per le quali siano contemporaneamente vere le due proposizioni (A e B) per le sequenze (đ?‘Ž1,đ?‘— ‌ . . đ?‘Žđ?‘›,đ?‘— ) e (đ?‘?1,đ?‘— ‌ . . đ?‘?đ?‘›,đ?‘— ) per qualche j | 1 ≤ đ?‘— ≤ 2đ?‘› quando sia đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = đ?‘?đ?‘–,đ?‘— con i | 1≤ đ?‘– ≤ đ?‘›. Per le rimanenti (2đ?‘› −đ?‘˜) sequenze le due proposizioni sono false.

A questo punto si puo’ scrivere che A ↔ B e’ una tautologia in quanto si puo’ costruire la seguente tabella di verita’ condizionata dal fatto che A e B sono logicamente equivalenti.

La tabella assume una forma semplice del tipo.

A

B

A↔ �

V

V

V

F

F

V


La parte sinistra della tabella si giustifica semplicemente osservando che quando A e’ vera pure B e’ vera (e viceversa‌..) e quando A e’ falsa anche B e’ falsa (e viceversa quando B e’ falsa pure A e’ falsa). La terza colonna e’ espressione banale della co-implicazione materiale.

La seconda parte del teorema assume per dato che si abbia una tautologia ovvero che sia assegnata per ipotesi la tabella piu’ sopra rappresentata.

Quindi la esistenza della tautologia A↔ đ??ľ evidenzia che deve essere che A e B sono vere contemporaneamente oppure sono false contemporaneamente non essendo possibili casi per i quali sia A vera e B falsa oppure A falsa e B vera.

Non puo’ quindi esistere una sequenza per un assegnato j per il quale sia (đ?‘Ž1,đ?‘— ‌ . . đ?‘Žđ?‘›,đ?‘— ) | A e’ falsa (vera) e una sequenza (đ?‘?1,đ?‘— ‌ . . đ?‘?đ?‘›,đ?‘— ) | B e’ vera (falsa).

Ne consegue che sono vere le due proposizioni (A e B) per le sequenze (đ?‘Ž1,đ?‘— ‌ . . đ?‘Žđ?‘›,đ?‘— ) e (đ?‘?1,đ?‘— ‌ . . đ?‘?đ?‘›,đ?‘— ) per qualche j | 1 ≤ đ?‘— ≤ 2đ?‘› quando sia đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = đ?‘?đ?‘–,đ?‘— con i | 1≤ đ?‘– ≤ đ?‘›.

Si potrebbe obiettare che esista una coppia di tuple (đ?‘Ž1,đ?‘— ‌ . . đ?‘Žđ?‘›,đ?‘— ) e (đ?‘?1,đ?‘— ‌ . . đ?‘?đ?‘›,đ?‘— ) tali che sia (đ?‘Ž1,đ?‘— ‌ . . đ?‘Žđ?‘›,đ?‘— ) | A e’ vera (falsa) e (đ?‘?1,đ?‘— ‌ . . đ?‘?đ?‘›,đ?‘— )| B e’ falsa (vera) per almeno una coppia (đ?‘Žđ?‘–′,đ?‘— đ?‘?đ?‘–,đ?‘— ) tale che đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— ≠đ?‘?đ?‘–,đ?‘— .

La scrittura đ?‘Žđ?‘–′,đ?‘— ≠đ?‘?đ?‘–,đ?‘— si intende che se đ?‘Žđ?‘–′,đ?‘— e’ V allora đ?‘?đ?‘–,đ?‘— e’ falso (e viceversa).

Si osservi che puo’ essere i’ = � oppure i’ ≠�.

Questa asserzione e’ incompatibile con la condizione di tautologia data per ipotesi.


Cio’ in quanto esisterebbe almeno una coppia di valori e quindi due tuple per le quali e’ A vera (falsa) e B falsa (vera).

Questa asserzione e’ incompatibile con il fatto che sia data una tautologia. Pertanto dalla tautologia discende che A e B sono logicamente equivalenti.

Nella logica elementare esiste una nutrita serie di equivalenze logiche dette notevoli.

In queste forme le lettere V ed F indicano rispettivamente una tautologia e una contraddizione.

Le equivalenze logiche notevoli sono le seguenti: ÂŹ(ÂŹđ??´) â&#x;ş đ??´

(legge della doppia negazione)

A∧A â&#x;ş đ??´ e Aâ‹ A â&#x;ş đ??´

(proprieta’ di idempotenza)

A∧B â&#x;ş B∧A e Aâ‹ B â&#x;ş Bâ‹ A

(proprieta’ commutativa)

Vale la proprieta’ associativa espressa dalla due seguenti implicazioni: (A∧B )∧ C â&#x;ş A∧(B ∧ C) (Aâ‹ B )â‹ C â&#x;ş Aâ‹ (B â‹ C)


Di fondamentale importanza sono le due leggi di De Morgan per le quali si ha: ÂŹ (Aâ‹ B ) â&#x;ş (ÂŹđ??´) ∧(ÂŹđ??ľ) ÂŹ (A∧B ) â&#x;ş (ÂŹđ??´)â‹ (ÂŹđ??ľ)

Le due leggi distributive sono date dalle seguenti relazioni. A ∧ (B â‹ C) â&#x;ş (A ∧ B) â‹ (A ∧ C) A â‹ (B ∧ C) â&#x;ş (A â‹ B) ∧ (A â‹ C)

Tra le relazioni notevoli vi sono alcune leggi di assorbimento, quali le seguenti: A â‹ (A ∧ B) â&#x;ş A A ∧ (A â‹ B) â&#x;ş A (A ∧ B) â‹ (ÂŹB) â&#x;ş A â‹ (ÂŹB) (A â‹ B) ∧ (ÂŹB) â&#x;ş A ∧ (ÂŹB) A∧Vâ&#x;şA A∧Fâ&#x;şA Vâ‹ Aâ&#x;şV


Fâ‹ Aâ&#x;şF

Nel corso di questo elaborato gia’ si e’ avuto modo di considerare la cosiddetta legge di contrapposizione.

Questa legge viene formalizzata come segue: A → B â&#x;ş (ÂŹA) → (ÂŹB)

Da ultimo si devono considerare le due seguenti proprieta’ di eliminazione.

L’eliminazione del condizionale viene scritta come segue: A → B â&#x;ş (ÂŹA) â‹ B A → B â&#x;ş ÂŹ(A ∧ (ÂŹB))

Da ultimo va dato conto della eliminazione del bicondizionale. A ↔ B â&#x;ş (A ∧ B) â‹ (ÂŹđ??´ ∧ ÂŹB) A ↔ B â&#x;ş (ÂŹA â‹ B) ∧ (ÂŹđ??ľ ∧ đ??´)

Ogni formula logica ammette una forma detta duale.


Data una formula A la formula duale di essa, indicata come đ??´đ??ˇ , si ottiene da A sostituendo il connettore â‹ (∧) con il connettore ∧ (â‹ ). Si ricordi che se F e V sono la contraddizione e la tautologia, si ha che đ??šđ??ˇ = V e che đ?‘‰đ??ˇ = F. Le operazioni â‹ e ∧ sono comunemente dette duali.

Il principio di dualita’ puo’ essere scritto come segue: (A â&#x;ş đ??ľ ) â&#x;ş ( đ??´đ??ˇ â&#x;ş đ??ľđ??ˇ )

E’ possibile fare qualche esempio esplicativo, ad esempio considerando la prima legge di De Morgan. ÂŹ (Aâ‹ B ) â&#x;ş (ÂŹđ??´) ∧(ÂŹđ??ľ) E’ possibile costruire la tavola della verita’ di ÂŹ (Aâ‹ B ).

A V V F F

B V F V F

Aâ‹ B V V V F

ÂŹ (Aâ‹ B ) F F F V

In modo del tutto analogo e’ possibile costruire la tavola di verita’ di (ÂŹđ??´) ∧(ÂŹđ??ľ)


A

ÂŹ (A)

B

ÂŹ (B )

(ÂŹđ??´) ∧(ÂŹđ??ľ)

V

V

F

F

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

L’utilizzazione del simbolo di coimplicazione ( â&#x;ş ) si giustifica confrontando le due tavole e osservando che le due espressioni sono vere per la medesima sequenza FF e false per le altre tre possibili sequenze.

Le dimostrazioni delle equivalenze notevoli sono tutte simili e si possono formulare sempre in modo agevole utilizzando le tavole e facendo le osservazioni pertinenti.

Un ulteriore esempio potrebbe essere costituito dalla cosiddetta legge di contrapposizione per la quale si scrive che: A → B â&#x;ş (ÂŹA) → (ÂŹB)

E’ possibile raccogliere tutto in un’unica tavola, quale la seguente.

A

B

A→B

ÂŹA

ÂŹB

(A) → (B)

V F V F

V F F V

V V F V

F V F V

F V V F

V V V F


Entrambe le espressioni (lato sinistro e lato destro) sono F per la sequenza VF. In ogni altro caso le due espressioni sono V. Questo giustifica la relazione di equivalenza logica e il relativo formalismo.

Uno degli aspetti piu’ importanti della logica elementare e’ costituito dal problema della decidibilita’, cioe’ del procedimento che, con un numero finito di operazioni, conduca a dire se una formula e’ oppure non e’ una tautologia.

Il problema si risolve portando una formula data alla cosiddetta forma normale.

Esistono due tipi di forme normali. La prima di esse e’ detta forma normale disgiuntiva.

Una formula viene quindi ridotta alla sua forma normale.

Data una formula proposizionale A la forma normale disgiuntiva di essa e’ una proposizione equivalente ad A della forma đ??ś1 â‹ đ??ś2 â‹ đ??ś3 ‌...

Un esempio di forma normale disgiuntiva e’ la seguente: P⋠P

Ordinaramente ⋠ha il significato dell’operatore or.

La forma normale disgiuntiva di A puo’ essere scritta come segue:


đ??ˇ1 ∧ đ??ˇ2 ∧ đ??ˇ3 ‌..

Un esempio elementare di forma normale disgiuntiva e’ il seguente: ÂŹP∧P

Vale il seguente importante teorema:

Ogni forma proposizionale e’ riconducibile sia a forma normale congiuntiva che a forma normale disgiuntiva.

E’ importante ricordare che: ďƒź una formula e’ una tautologia – quindi e’ identicamente vera – se e soltanto se ogni termine della sua forma normale congiuntiva contiene almeno una proposizione insieme alla sua negazione, ďƒź una formula e’ una contraddizione – quindi e’ identicamente falsa – se e soltanto se ogni termine della sua forma normale disgiuntiva contiene almeno una proposizione insieme alla sua negazione.

La seconda parte di questa breve introduzione alla logica riguarda i predicati.

Esiste una logica dei predicati che deve essere intesa come una estensione della logica proposizionale, in quanto in questo contesto (predicati‌) i valori vero o falso, V oppure F, dipendono dagli elementi scelti per formare la frase.


La frase “ x e’ un multiplo di 5 “ non e’ una affermazione vera o falsa in se’. Il valore di verita’ di detta frase, detta in logica “predicato�, dipende dal valore della x. Essa risulta vera per particolari valori di x e falsa per altri valori.

Con un certo formalismo si scrive:

F(x) : “ x e’ un multiplo di 5 “. Ad esempio si ha che F(2) e’ falsa in quanto 2 non e’ multiplo di 5.

F(25) e’ vera in quanto 25 e’ multiplo di 5.

Analoghe riflessioni possono farsi per G(x, y) : “ x ≼ yâ€? che e’ vera o falsa a seconda di quale coppia ordinata si considera di volta in volta.

A titolo esemplificativo si puo’ affermare che G(4,5) e’ falsa in quanto 4 < 5.

Tornando al caso di F(x) si puo’ dire che e’ definita una funzione in N – quando x ∈ đ?‘ – il cui codominio e’ costituito dai due possibili valori, vero o falso, V oppure F.

In modo del tutto analogo si puo’ affermare che G (x, y) e’ una funzione di NĂ— N a valori di C | C = {đ?‘‰, đ??š}.

Si osservi che il dominio puo’ essere anche Z, o nel secondo caso Z Ă— đ?‘?, o insiemi simili.


Queste tipologie di funzioni sono dette funzioni logiche o anche predicati o formule proposizionali, o altrimenti, frasi aperte o anche funzioni proposizionali.

E’ utile ribadire che in generale P(x) e G(x,y) sono vere o false a seconda dei valori di x che si considerano o, rispettivamente, dei valori delle coppie (x,y) da intendersi ordinate che si considerano di volta in volta.

Gli elementi a tali che P(a) e’ vera si dice che verificano la P(.).

Le coppie ordinate (a, b) che verificano la G(a,b) nel senso che per esse la G(.) e’ vera si dice che verificano la G(.).

Se e’ dato N allora esiste un E ⊆ N tale che ∀đ?‘’| đ?‘’ ∈ đ??¸ allora P(e) e’ vera e P(k) e’ falsa quando k ∉ đ??¸.

Se si parte da N Ă— đ?‘ allora esiste un H | H ⊆đ?‘ Ă— đ?‘ tale che G(h, k) e’ vera se e solo se (h, k) ∈ đ??ť.

In questi casi si dice che P e G rappresentano una proprieta’ (o predicato) definito su E o su H a seconda del caso considerato.

Si osservi che ogni funzione proposizionale e’ sempre riferita ad un insieme assegnato.


In generale la funzione proposizionale risulta vera per un sottoinsieme proprio o improprio dell’insieme di riferimento.

Con riferimento al formalismo introdotto si dice che gli e ∈ đ??¸ hanno la proprieta’ P. Essi soddisfano il predicato P.

Non e’ detto che l’insieme di partenza sia N. Potrebbe essere anche Z o Q od anche R, insieme dei numeri reali. Dipende dal particolare contesto.

Sia E l’insieme di partenza.

E

formula proposizionale P(.)

∃đ??¸ ′ ⊆ đ??¸| ∀đ?‘’|đ?‘’ ∈ đ??¸ âˆś đ?‘ƒ(đ?‘’) e’ vera. Equivalentemente esiste un E’’ | Eâ€™â€™âˆŞ đ??¸â€˛ = đ??¸ and E’’∊ đ??¸â€˛ = ∅ | P(e’’) e’ falsa per ogni e’’∈ E’’.

P(x) e’ vera oppure e’ falsa ∀đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ??¸. ∄đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ∈ đ??¸ âˆś đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) e’ do not care.

Si osservi che E’ puo’ coincidere con E. In questo caso P(x) e’ sempre vera e quindi E’’ = ∅.

Polarmente P(x) puo’ essere sempre falsa, quindi sarebbe E’ =∅.


E’ e’ chiamato insieme associato alla P(.) rispetto ad E.

I predicati possono essere coordinati a mezzo di connettivi consentendo di ottenere nuovi predicati.

Dati P(x) e Q(x) si puo’ definire il predicato P(x)*Q(x) ove * puo’ essere uno dei connettivi noti, cioe’ ∧ , â‹ , →, ↔, ÂŹ.

Banalmente si puo’ considerare il caso di P(x)∧ Q(x).

Essa e’ vera quando sono contemporaneamente vere le P(x) e Q(x).

In definitiva P(x)∧ Q(x) e’ vera per ogni x tale che x ∈ E’ ∊ E’’ essendo E’ l’insieme i cui elementi sono gli e’ tali che P(e’) e’ vera e E’’ e’ l’insieme degli e’’ per i quali Q(e’’) e’ vera.

I predicati possono essere riferiti ad una tupla di variabili indipendenti.

In questo caso si scrive A(�1 , �2 , �3 , ‌ . . , �� ). E’ possibile che sia sempre verificata vera, ovvero sia n!. Quindi si ha il caso che sia sempre vero.

Rileva la nozione di deduzione logica.

Dati i predicati A(�1 , �2 , �3 , ‌ . . , �� ) e B(�1 , �2 , �3 , ‌ . . , �� ) il predicato B(�1 , �2 , �3 , ‌ . . , �� ) e’ detto deduzione logica del predicato A(�1 , �2 , �3 , ‌ . . , �� ) se A → B e’ identicamente vero.


In questo caso si scrive:

Aâ&#x;šB

E’ possibile esemplificare. Se x ∈ đ?‘ e si ammette sia R(x) : “x e’ un numero pariâ€? e P(x): “x e’ un multiplo di 4â€?. In questo caso e’ evidente che P(x) â&#x;š Q(x) in quanto ogni numero multiplo di 4 e’ pari mentre non ogni numero pari e’ multiplo di 4.

Non e’ vero il contrario in quanto non ogni numero pari e’ multiplo di 4. In effetti l’insieme dei multipli di 4 e’ un sottoinsieme proprio dell’insieme del numeri pari. Se đ?‘?đ?‘– e’ l’i-esimo numero pari esso e’ multiplo di 4 se i e’ pari.

Si puo’ scrivere che R(x) ⤃ P(x).

Occorre considerare la nozione di predicati logicamente equivalenti.

I predicati A e B si dicono logicamente equivalenti se A ↔ đ??ľ e si scrive A â&#x;ş B.

(A â&#x;ş B ) â&#x;š (A = B , B = A) ∀đ?‘Ľđ?‘– .

Il predicato A(�1 , �2 , �3 , ‌ . . , �� ) e’ identicamente falso se A(�1 , �2 , �3 , ‌ . . , �� ) e’ sempre falso.

Un esempio di predicato identicamente falso e’ il seguente:

x +đ?‘˜ = đ?‘Ľ quando k ≠0.


Infine e’ utile dare significato e senso a scritture del tipo:

(∀x ∈ đ??¸) P(x)

che e’ intesa come “ogni x appartenente ad E e’ tale che P(x) e’ vera, cioe’ ogni x di E verifica la P�.

Come e’ noto, il simbolo ∀ e’ detto quantificatore universale e si legge “per ogni‌.â€?.

Una ulteriore scrittura da spiegare e’ la seguente:

(∃ đ?‘Ľ ∈ đ??¸)đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)

Il simbolo ∃ e’ detto quantificatore esistenziale.

Detta scrittura si spiega affermando che esiste almeno un elemento di E tale che P(x) sia vera, cioe’ esiste almeno (quindi uno o piu’) di E che verifica la P.

Si osservi che la definizione data non presuppone l’unicita’ dell’elemento x per il quale P(x) e’ vera.

Infine occorre dare conto del significato della scrittura ∃!.


Essa si intende nel senso di esistenza ed unicita’. Quindi esiste ed e’ unico l’elmento x di E tale che P(x) e’ vera.

La proposizione (∀x ∈ đ??¸) P(x), intesa come “ogni x appartenente ad E e’ tale che P(x) e’ vera, cioe’ ogni x di E verifica la Pâ€? e’ vera per ogni x tale che x ∈ E. P(y) e’ falsa quando y ∉ đ??¸.

La scrittura (∃! x ∈ đ??¸)đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) e’ vera se esiste un x di E per il quale P(x) e’ vera. Detto unico elemento si indica con đ?‘Ľ0 .

Se e’ assegnato un insieme finito per esempio E ={đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘}.

Si ammette ⌋Swirner, ScagliantiâŚŒ che le due scritture seguenti siano equivalenti.

(∀x ∈ đ??¸) P(x) equivale a P(a)∧P(b)∧P(c)∧P(d)

(∃x ∈ đ??¸) P(x) equivale a P(a)â‹ P(b)â‹ P(c)â‹ P(d)

Il linguaggio della logica consente di formalizzare anche le nozioni della teoria ingenua degli insiemi.

Un esempio potrebbe essere il seguente:

A ⊂ B â&#x;ş ∀đ?‘Ľ (đ?‘Ľ ∈ đ??´ â&#x;š đ?‘Ľ ∈ đ??ľ)


Il secondo lato (a destra del simbolo di coimplicazione) dice che comunque si prenda un x tale che esso sia elemento di A (x ∈ A) allora detto x e’ pure elemento di B. Non e’ vero il contrario in quanto non ogni elemento di B e’ anche elemento di A. Esiste almeno un elemento di B tale che esso non appartiene ad A.

In altri termini x ∈ B ⤃ x ∈ A. Altrimenti si avrebbe una complicazione del tipo

∀đ?‘Ľ (đ?‘Ľ ∈ đ??´ â&#x;ş đ?‘Ľ ∈ đ??ľ). Questo e’ il caso della eguaglianza degli insiemi e quindi a questo punto si puo’ dire che si ha:

A = B â&#x;ş ∀đ?‘Ľ (đ?‘Ľ ∈ đ??´ â&#x;ş đ?‘Ľ ∈ đ??ľ)

In questo caso risulta A ~ đ??ľ.

Tornando al caso A ⊂ đ??ľ se si ammette che ∃a ∈ đ??´| đ?‘Ž ∉ đ??ľ si puo’ dire che e’ vero che a ∈ đ??´ â&#x;š đ?‘Ž ∉ đ??ľ.

Ma cio’ e’ in contraddizione con l’assunto a ∈ đ??´ â&#x;š đ?‘Ž ∈ đ??ľ.

Si osservi che non e’ possibile costruire una formalizzazione per A ⊆ B in quanto detta relazione di inclusione ingloba due distinte relazioni insiemistiche A ⊂ B e A ~đ??ľ.


In questo caso il lato destro dovrebbe contenere il simbolo di implicazione (corrispondente al caso della inclusione forte) o il simbolo di coimplicazione (riferito al caso della eguaglianza tra gli insiemi A e B).


PARTE TERZA - SINTESI DEGLI ASSIOMI DELLA TEORIA DI ZERMELO

A questo punto e’ possibile formalizzare gli assiomi di Zermelo e Fraenkel come segue.

E’ invalsa la prassi di scrivere con caratteri minuscoli gli insiemi.

Assioma di estensionalita’.

Se a e b sono due insiemi ed essi contengono gli stessi elementi allora essi sono eguali e si scrive a = b.

In linguaggio formale si scrive:

∀đ?‘Ľâˆ€đ?‘Ś (∀đ?‘§(đ?‘§ ∈ đ?‘Ľ ↔ đ?‘§ ∈ đ?‘Ś) → đ?‘Ľ = đ?‘Ś

Assioma di separazione.

Dato un insieme a ed una proprieta’ P esiste un insieme i cui elementi sono tutti e solo gli elementi di a che godono di tale proprieta’ P.


∀đ?‘Śâˆƒđ?‘˘âˆ€đ?‘Ľ(đ?‘Ľ ∈ đ?‘˘ ↔ (đ?‘Ľ ∈ đ?‘Ś ∧ đ?œŒđ?œ‘(đ?‘Ľ))) ove đ?œ‘(đ?‘Ľ) e’ una formula ben formata nella teoria di ZFS.

Assioma di fondazione.

Se a e’ un insieme che contiene qualche insieme allora a contiene almeno un insieme con cui non ha nessun elemento in comune.

Formalmente si scrive che:

∀đ?‘Ľ(∃đ?‘Ś(đ?‘Ś ∈ đ?‘Ľ) → ∃đ?‘Ś(đ?‘Ś ∈ đ?‘Ľ ∧ ~∃đ?‘§(đ?‘Ľ ∈ đ?‘Ľ ∧ đ?‘§ ∈ đ?‘Ś))

Assioma dell’insieme vuoto.

Esiste un insieme vuoto.

∃đ?‘Ľâˆ€đ?‘Ś ~(đ?‘Ś ∈ đ?‘Ľ)

Assioma della coppia.

Per ogni oggetto a e per ogni oggetto b esiste un insieme i cui elementi sono a e b.


∀đ?‘Ľâˆ€đ?‘Śâˆƒđ?‘§âˆ€đ?‘˘(đ?‘˘ ∈ đ?‘§ ↔ (đ?‘˘ ∈ đ?‘Ľâ‹ đ?‘˘ ∈ đ?‘Ś))

Assioma dell’unione.

Se a e’ un insieme i cui elementi sono insiemi, esiste un insieme b tale che per qualsiasi oggetto c, con c ∈ đ?‘? se e soltanto se c’e’ qualche insieme d tale che d ∈ đ?‘Ž e c ∈ đ?‘‘.

Assioma dell’Insieme potenza.

Per ogni insieme a esiste un insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di a sia propri che impropri.

Assioma dell’infinito.

Esiste almeno un insieme infinito.

La teoria si chiude con due ulteriori assiomi sviluppati nella parte descrittiva.

Si tratta dell’assioma di rimpiazzamento e di quello di scelta.


APPENDICE

Un esercizio rielaborato da Archimede 2017

Tra gli esercizi di Archimede 2017 per il triennio ho rinvenuto il seguente.

Sapendo che i coefficienti del polinomio p(x) = đ?‘Žđ?‘Ľ 5 + đ?‘?đ?‘Ľ 4 + đ?‘?đ?‘Ľ 3 + đ?‘‘đ?‘Ľ 2 + đ?‘’đ?‘Ľ + đ?‘“ possono assumere i soli valori Âą 1 e sapendo che p(2) = 11 si determini p(3).

Il problema e’ facilmente gestibile con le tecniche combinatorie.

Infatti sia n il numero dei possibili valori che possono essere assegnati ai parametri. Nel caso di specie, poiche’ ogni variabile puo’ assumere solo i valori ¹ 1, si ha n = 2. Il numero dei parametri e’ p =6. Pertanto il numero delle possibili sequenze di valori ammissibili e’ 26 .

Cio’ e’ abbastanza intuitivo in quanto si hanno a disposizione 6 caselle in ognuna delle quali puo’ essere inserito o il valore 1 oppure il valore opposto. Nel caso generale il numero delle possibili sequenze sarebbe đ?‘›đ?‘˜ .


Affinche’ il problema possa essere risolto e’ necessario conoscere il valore p(h) con h non necessariamente intero.

E’ ben evidente che essendo noto p(2) un approccio lungo presuppone di costruire la matrice i cui elementi di riga sono le combinazioni di tutti i possibili valori dei parametri che sono 26 . Quindi si tratta di vedere per quale combinazione di valori dei parametri si ha p(2) = 1.

Una modalita’ risolutiva alternativa potrebbe essere la seguente. E’ dato per ipotesi che e’ f = ¹1.

Relativamente a queste due condizioni si puo’ scrivere che: p(2) − đ?‘“ = đ?‘“(2) ∓ |đ?‘“| ed in definitiva đ?‘“(2)|đ?‘“ =1 = 10 đ?‘“(2)|đ?‘“ =−1 = 12 Essendo f(x) =đ?‘Žđ?‘Ľ 5 + đ?‘?đ?‘Ľ 4 + đ?‘?đ?‘Ľ 3 + đ?‘‘đ?‘Ľ 2 + đ?‘’đ?‘Ľ +đ?‘“ A questo punto si puo’ osservare che il parametro e e’ tale che e = Âą 1. Sia h(x) =đ?‘Žđ?‘Ľ 5 + đ?‘?đ?‘Ľ 4 + đ?‘?đ?‘Ľ 3 + đ?‘‘đ?‘Ľ 2


A questo punto possono essere introdotti i polinomi h(x) tenendo conto dei possibili valori dei parametri e ed f. Si ha: f(x) = h(x) + đ?‘’đ?‘Ľ + đ?‘“ â&#x;ş h(x) = đ?‘“(đ?‘Ľ) − (đ?‘’đ?‘Ľ + đ?‘“) Ma risulta dato f(2) = 11 quindi si puo’ dire che h(2) = đ?‘“(2) − 2đ?‘’ − đ?‘“ = 11 − (đ?‘’đ?‘Ľ + đ?‘“)

Pertanto e’ possibile costruire i possibili polinomi al variare dei parametri e ed f.

Si puo’ scrivere che: â„Ž(2)|đ?‘’=đ?‘“=1 = 11 − 3 = 8. â„Ž(2)|đ?‘’=1 ,đ?‘“=−1 = 11 − 1=10. â„Ž(2)|đ?‘’=− 1 ,đ?‘“=−1 = 11 + 3= 14 â„Ž(2)|đ?‘’=− 1 ,đ?‘“=1 = 11 + 1 =12. Occorre, pertanto, verificare quale combinazione di valori puo’ garantire la condizione f(2) = 11.

I possibili valori di h(2) sono quelli individuati piu’ sopra.

Detto valore puo’ essere scritto come segue:


24 (2 a +đ?‘?) + 22 (2c +đ?‘‘) > 0. Per la limitazione si h(2) che puo’ assumere i soli valori 8, 10, 12, 14 dall’ipotesi 2a +đ?‘? > 0 discende che deve essere 2c +đ?‘‘ < 0 ma per i vincoli su a e b allora deve essere anche vero che: a = 1 (infatti fosse a = −1 allora sarebbe −2đ?‘Ž + đ?‘? < 0 per b = Âą1) c = −1 in quanto se fosse c= 1 đ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘œra sarebbe 2c +đ?‘‘ > 0.

Con queste osservazioni il polinomio h(x) puo’ essere riscritto come segue: h(x) = đ?‘Ľ 5 + đ?‘?đ?‘Ľ 4 − đ?‘Ľ 3 + đ?‘‘đ?‘Ľ 2 Pertanto si puo’ scrivere che h(2) = 25 + đ?‘?24 − 23 + đ?‘‘22 = 2 ∙ 24 + đ?‘?24 − 2 ∙ 22 + đ?‘‘22 = 24 (2 +đ?‘?) − 22 (2 − đ?‘‘).

A questo punto e’ possibile calcolare il valore di h(2) in dipendenza dei valori ammissibili per i parametri.

Si puo’ pertanto scrivere che: â„Ž(2)|đ?‘?=đ?‘‘=1 = 24 (2 +1) − 22 (2 − 1) = 24 (3) − 22 valore non accettabile â„Ž(2)|đ?‘?=1 đ?‘‘=−1 = 24 (2 +1) − 22 (2 + 1) = 24 (3) − 3 ∙ 22 valore non accettabile â„Ž(2)|đ?‘?=−1 đ?‘‘=1 = 24 (2 −1) − 22 (2 − 1) = 24 − 22 = 16 − 4 = 12


Detto valore e’ ammissibile. I parametri ulteriori sono quindi b = −1 e d = 1

I valori ottenuti sono pertanto: a = 1 , b = −1 , c = −1 , d = 1 , e = −1 , f = 1 Sotto queste condizioni il polinomio p(x) = đ?‘Žđ?‘Ľ 5 + đ?‘?đ?‘Ľ 4 + đ?‘?đ?‘Ľ 3 + đ?‘‘đ?‘Ľ 2 + đ?‘’đ?‘Ľ + đ?‘“ diviene il seguente: p(x) = đ?‘Ľ 5 − đ?‘Ľ 4 − đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 1

Per verificare si calcola p(2) avendo che: p(2) = 25 − 24 − 23 + 22 − 2 + 1 = 11 , c.v.d.. Il calcolo di p(3) si ottiene determinando il valore della seguente banale espressione p(3) = 35 − 34 − 33 + 32 − 3 + 1

Volendo e’ possibile risolvere il problema secondo una modalita’ piu’ sintetica, quale e’ la seguente.

Il valore p(2) puo’ essere riscritto come segue:


p(2) = 24 (2 a +đ?‘?) + 22 (2c +đ?‘‘) + 2đ?‘’ + đ?‘“ = 11 f = Âą1 â&#x;š h(2) = 10 quando f = 1 e h(2) = 12 quando f = −1 essendo h(2) = 24 (2 a +đ?‘?) + 22 (2c +đ?‘‘) + 2đ?‘’.

Al secondo membro si puo’ raccogliere 2 a fattore comune, avendo che: h(2) = 2⌋23 (2 a +đ?‘?) + 2(2c +đ?‘‘) + đ?‘’âŚŒ. Ne consegue che la quantita’ 23 (2 a +đ?‘?) + 2(2c +đ?‘‘) + đ?‘’ puo’ assumere i valori 5 oppure 6 a seconda del valore assegnato al parametro f.

Deve essere, poiche’ la quantita’ data e’ comunque un numero positivo, 2 a +đ?‘? > 0 e per le limitazioni su a e su b deve essere necessariamente a > 0. Poiche’ 23 (2 a +đ?‘?) > max(5, 6) dovendo essere a = 1 allora deve essere necessariamente 2c +đ?‘‘ < 0 â&#x;š đ?‘? = −1 (per la limitazione su c). Occorre quindi studiare 23 (2 +đ?‘?) + 2(đ?‘‘ − 2) + đ?‘’ che puo’ assumere i valori 5 oppure 6.

Il valore 6 non e’ ammissibile in quanto detto numero deve essere necessariamente dispari, per la limitazione su e. Deve quindi essere: 23 (2 +đ?‘?) + 2(đ?‘‘ − 2) = 5 − đ?‘’. Pertanto deve essere : 23 (2 +đ?‘?) + 2(đ?‘‘ − 2) = 4 oppure 6.

Ho constatato che ponendo valido il valore 4 nasce una assurdita’. Infatti sarebbe 23 (2 +đ?‘?) + 2(đ?‘‘ − 2) = 22 e cioe’: 2⌋22 (2 +đ?‘?) +(đ?‘‘ − 2)âŚŒ = 22


e in definitiva sarebbe 22 (2 +đ?‘?) +(đ?‘‘ − 2) = 2 e quindi 22 (2 +đ?‘?) = 4 − đ?‘‘ che per le limitazioni poste conduce alla eguaglianza assurda tra un numero pari e un numero sempre dispari. Deve essere allora 2⌋22 (2 +đ?‘?) +(đ?‘‘ − 2)âŚŒ = 6 quindi 22 (2 +đ?‘?) +(đ?‘‘ − 2) = 3

Tale ultima eguaglianza e’ verificata per b = −1 e per d = 1

Da ultimo si ricava il valore di f.


BIBLIOGRAFIA

AA.VV., Appunti di logica e algebra con esercizi, Maggioli Editore

Berarducci, Elementi di teoria degli insiemi, 2010-11 (paper in Internet)

Berarducci, Elementi di teoria degli insiemi, 2012-13 (paper in Internet)

Casalegno, Mariani, Teoria degli insiemi. Un’introduzione, Carocci editore

Gleason, Fundamentals of Abstract Analysis, Addison-Wesley Publishing Company

Swirner, Scaglianti, Algebra. Strutture e funzioni, Cedam


ANTICIPAZIONE

Il prossimo numero di Appunti matematici sara’ dedicato alle macchine sequenziali.

La copertina sara’ riservata al matematico americano Edward Moore che con Mealy ha introdotto uno dei modelli teorici che descrivono le macchine con memoria.


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