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Día lluvioso en París. Albert Marquet (1875-1947). Al fondo del cuadro de Marquet se divisa la silueta de la catedral de Notre Dame en la cual utilizaron el número áureo en su diseño y construcción.

La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construcción en un pentágono áureo, en el que el cociente entre la diagonal b y el lado a de dicho pentágono es el número áureo.

b ≈ϕ a

b

a


Prime numbers Anna Baldwin (artista inglesa) http://anabaldwin.com

Otras sucesiones

3

Continuando con el tercer caso: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... corresponde a una sucesión un poco díscola: la de los números primos. Hasta los momentos los matemáticos no han encontrado un patrón que sea seguido por ellos y además no se conoce ninguna fórmula capaz de generarlos a todos.

n

N, n>1 es primo si tiene sólo dos divisores: 1 y n

El polinomio p(n)=n2-n+41, genera sólo números primos si hacemos variar n desde 1 hasta 40.

Grafiquemos los valores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

...

p(n) 35 30 25 20

No hay una fórmula que genere todos los términos de la sucesión. La sucesión es creciente. Está acotada inferiormente por 2 ya que todos los demás valores están por encima de 2. No está acotada superiormente.

15 10

RETO: ¿Qué ocurre con p(41) en el polinomio anterior? ¿Será primo o compuesto?

5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 n Eratóstenes de Cirene Filósofo y matemático griego (ca. 276 a.C.- ca. 194 a.C.)

El método que empleaba el griego Eratóstenes, consistía en “cribar” los números: escribía los números y tachaba el 1 y todos los pares, salvo 2; luego, tachaba todos los múltiplos de 3, salvo 3; después, todos los múltiplos de 5, menos el 5; y así sucesivamente. Los números que quedaban al final sin tachar eran los primos. Eratóstenes siguió este procedimiento escribiendo los primeros tres o cuatro mil números sobre una plancha metálica y agujereándola en los lugares correspondientes a los números que había que eliminar.

El mayor primo conocido hasta los momentos es un número que tiene 6 320 430 dígitos y fue obtenido por Michael Shafer en el año 2003. Shafer forma parte de un proyecto computacional masivo conocido como Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), en honor a Marin Mersenne. El número obtenido es: Q = 2 p -1 donde p = 20 996 011 es un número primo. Marin Mersenne Fraile y matemático francés (1588-1648)

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4

En la secuencia de números 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,... , del cuarto caso, pareciera a primera vista que no existiera un patrón. Observada con un poco más de detenimiento se nota que los últimos términos: 4, 2, 1, se repiten (y los puntos suspensivos indican que lo seguirán haciendo indefinidamente). Por otra parte, después de cada número par el siguiente término es la mitad del anterior.

¿Qué relación existirá entre los números impares y los pares que allí aparecen? La relación que los une es que dado el número impar an, el par que le sigue en la sucesión se calcula con la fórmula 3a n +1. Así, 3 (17) + 1 = 52, 3 (13) + 1 = 40, 3 (5) + 1=16,... Hemos podido encontrar un patrón y éste se representa mediante la fórmula de recurrencia: 3an+1 si an es impar an+1 = y a1=34 (número inicial) an si an es par 2

Picos en Little Lake Valley Estados Unidos

En el caso general, a1 = k es el número seleccionado inicialmente.

Muchos de los más brillantes matemáticos del siglo XX han tratado de probar infructuosamente que comenzando con cualquier número que se les antoje (nosotros comenzamos con el 34) y aplicando el patrón que hemos dado, esta sucesión siempre terminará comportándose igual: caerá indefectiblemente en el ciclo 4, 2, 1. La sospecha generalizada es que esto es así. Se ha comprobado su veracidad para números muy grandes usando el computador. Sin embargo, no existe ninguna demostración que lo garantice, así como tampoco se ha encontrado ningún contraejemplo que lo refute. Este problema se conoce como la conjetura 3n+1. Grafiquemos los valores: 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, ... 60

Podemos observar en el gráfico que esta sucesión no es ni creciente ni decreciente. La sucesión es acotada inferiormente ya que todos los valores están por encima de 1. También es acotada superiormente puesto que ningún valor supera a 52. Como es acotada inferiormente y a la vez superiormente se dice que es acotada.

50

2

40 30 20 10 ...

0 1 2

RETO Verifica que una vez alcanzado el número 4, los números 4, 2, 1, se repetirán indefinidamente. ¡No hay forma de salir del ciclo!

3

4 5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

RETO Considera los números menores que 50. Con cada uno de ellos, como número inicial, construye la correspondiente sucesión siguiendo el patrón de la conjetura 3n+1. ¿Para cuál de esos números se requiere la mayor cantidad de pasos para alcanzar el ciclo 4, 2, 1?

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Sucesiones y dedos Mientras somos niños, usamos nuestros dedos para contar y sumar, también los podemos usar para descubrir algunas propiedades de las progresiones aritméticas. ¿Cuánto suman los números consecutivos del 1 al 10 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)? Veamos una forma de hacerlo usando los dedos. 2

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

3

8

4

7

9

1

10 5 6

Numeremos nuestros dedos del 1 al 10.

Casa natal de Gauss Ducado de Brunswick (hoy Alemania)

Unimos las manos de forma tal que el primer número corresponde con el último y así sucesivamente. 3+8 2+9

Observemos que:

4+7

1 + 10 = 11

1+10

2 + 9 = 11

5+6

3 + 8 = 11

11 · 5 = 55

4 + 7 = 11 5 + 6 = 11 Aquí recordaremos una anécdota del gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss. A los diez años su maestro le propuso a la clase calcular la suma de los números consecutivos del 1 al 100. Apenas el maestro había terminado de dictar el problema, Gauss colocó en la mesa del maestro su pizarra con el resultado de la suma. ¿Sería que Gauss ya lo había realizado con los dedos de sus manos? (1+100) + (2+99) + (3+98) + ... + (50+51) = 101 • 50 = 5 050 De la misma forma como se procedió con los primeros términos de esta progresión aritmética de razón 1 podemos hacerlo con una de razón 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 o 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 y también con una de razón 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. ¿Podemos asignar a nuestros dedos los primeros diez términos de una de estas progresiones y comprobar si ocurre algo similar a lo descrito con los números del 1 al 10? SUCESIÓN 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

Suma de números en cada dedo

Suma de los términos de la sucesión

22 20 33

22 • 5 = 110 20 • 5 = 100 33 • 5 = 165

¿Qué pasa si tomas sólo los números que hay asignados en una sola mano?

2

3

4

1

1+5=6

5

2+4=6 Queda sólo el 3 que es la mitad de 6. Si aplicamos la fórmula (1 + 5) · 5 de la suma de los términos de una progresión aritmética resulta S = =15 = 2 · 6 + 3 2

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Leonardo de Pisa Fibonacci (ca 1170-1250)

Fibonacci y el mundo En el año 1202 Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, escribió un libro enciclopédico, mezclando teoría y práctica, titulado Liber Abaci (Libro del Ábaco). En este libro se propone un problema sobre nacimientos de parejas de conejos, que conduce a una sucesión que lleva su nombre.

¿Cuántas parejas de conejos serán procreadas en un año, comenzando con una pareja, si en cada mes una pareja engendra una nueva pareja que se convierte en reproductiva al cabo de dos meses?

Descendencia

1er mes 2do mes 3er mes 4to mes 5to mes 6to mes

Sucesión de Fibonacci

11 primeros términos f(n) f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

Este es un caso de una sucesión que se puede dar por una fórmula de recurrencia, pues sus términos cumplen la relación: fn+2 = fn+1 + fn

10

,

n≥1

donde f1= f2 =1. Existe una fórmula, dada por el matemático francés François Edouard Lucas (18421891) para esta sucesión, que permite calcular fn en términos de n.

5

1 1

2

3

4

5

6

7 n

La sucesión de Fibonacci está presente en el mundo que nos rodea. Por ejemplo, las margaritas tienen generalmente 34, 55 u 89 pétalos; el número de rutas que puede seguir una abeja que va recorriendo las celdillas hexagonales de un panal de abejas son los términos de esta sucesión, así como el número de espirales en la piña.

El número de espirales en una misma dirección de la coliflor es un número de la sucesión de Fibonacci. En la figura se indican 5.

Estrella de mar (5 brazos).

En la flor de girasol el número de espirales es 21, 34 o 55. Éstos son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

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Fibonacci y el número de oro Si marcamos una hoja en la base de un tallo de una planta y contamos cuántas hojas hay en el tallo hasta situarnos directamente sobre la hoja "marcada", en general obtenemos un término de la sucesión de Fibonacci. Si nuevamente fijamos nuestra atención en el tallo y contamos cuantas vueltas le dimos antes de obtener la superposición de las hojas, nuevamente se obtiene un número de la sucesión de Fibonacci. Si consideramos los cocientes entre términos consecutivos de la Sucesión de Fibonacci, se forma una nueva sucesión vinculada con el número de oro. En efecto, se puede comprobar que éstos cocientes, para valores muy grandes del número n, se aproximan más y más al número de oro o sección aúrea, número irracional designado con la letra griega phi (ϕ ).

fn+1 fn

1

1

2

1,5

1,66...

1,6

1,625

1,6153846... 1,6190476...

1,61764705...

Este número está presente en muchas situaciones:

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que “convergen” hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

b a

b a

22

En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre la altura total y la altura del ombligo es el número áureo; la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo; la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.

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Leda atómica Salvador Dalí Pintor español (1904-1989)

El número de oro en el arte El número de oro ha sido utilizado por muchísimos artistas a través del tiempo. El cuadro de Dalí, Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

Algunos instrumentos musicales se construyen utilizando el número de oro.

a

d

b a

d c

c

a+b d+c

b

La adoración de los Reyes magos Diego Velásquez de Silva Pintor español(1599-1660)

El número de oro en la arquitectura En la Catedral de Notre Dame en París, se utilizó profusamente la relación de oro para su diseño y construcción.

a

b

a a

b

a

b

b

b a

El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triángulos áureos.

ϕ

5

5

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

5

ϕ ϕ

5

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5

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Fibonacci, el número de oro y Le Corbusier Charles Edouard Jeanneret Le Corbusier Francés de origen suizo (1887-1965)

El arquitecto, diseñador y pintor Le Corbusier, en 1948 propuso un módulo arquitectónico que contempla las dimensiones del hombre y de los objetos que lo rodean, con el fin de crear una armonía del ser humano con el lugar donde vive o se desempeña. A partir del número de oro construye dos sucesiones ideales: Sucesión roja: d , ϕd , ϕ2d, ϕ3d, ϕ4d, ϕ5d, . . . 2

3

4

5

Sucesión azul: 2d , 2ϕd , 2ϕ d , 2ϕ d, 2ϕ d, 2ϕ d, . . . La azul es el doble de la roja

RETO: Cada término es suma de los dos anteriores a partir del 3º.

donde d es la altura ideal de un hombre, que tomó como la altura promedio del hombre nórdico: 6 pies = 6 • 30,48 cm ≈ 183 cm. Con estas sucesiones, Le Corbusier diseñó obras que cumplen la misma relación que la sucesión de Fibonacci y que son usadas para determinar la dimensión de los objetos y de las construcciones, tomando en cuenta las posiciones habituales del ser humano. De esta manera, este gran arquitecto propuso un sistema de medidas usado para las construcciones llamado El Modulor.

Two women with necklace (1930) Le Corbusier

226 113

27

cm

43

70

140

183

86 2260 mm

1829

Esbozos originales de El Modulor

La altura promedio del hombre nórdico es 183 cm Con la mano en alto: 226 cm Del pecho a los pies: 140 cm Del ombligo a los pies: 113 cm Observa las relaciones:

226 ≈ 1,61 ≈ ϕ 140

183 ≈ 1,62 ≈ ϕ 113

140 ≈ 1,63 ≈ ϕ 86

113 ≈ 1,61 ≈ ϕ 70

70 ≈ 1,63 ≈ ϕ 43

43 ≈ 1,59 ≈ ϕ 27

Butaca reclinable y lámpara diseñadas por Le Corbusier

1397 1130

698 432

Unidad de habitación en Berlin, Alemania.

24

0

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cm

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La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construcción en un pentágono áureo, en el que el cociente entre la diagonal b y el lado a de...