SOBRELAPARADOJADEEINSTEINPODOLSKYROSEN *
J.S.BELL†
DepartamentodeFísica,UniversidaddeWisconsin,Madison,Wisconsin
(Recibidoel4deNoviembrede1964)
I. Introducción
LAparadojadeEinstein,PodolskyyRosen[1]seplanteócomounargumentodequelamecánicacuánticanopodíaserunateoríacompletasinoquedeberíacomplementarseconvariablesadicionales.Estasvariablesadicionalesdebíanrestaurarlateoríadelacausalidadylalocalidad[2].Enestanotase formularámatemáticamenteesaideaysedemostraráqueesincompatibleconlasprediccionesestadísticasdelamecánicacuántica.Eselrequisitodelocalidadloquecreaestadificultadesencial,o másprecisamentequeelresultadodeunamediciónenunsistemanoseveaafectadoporoperaciones realizadasenunsistemadistanteconelquesehayainteractuadoenelpasado.Hahabidointentos [3]dedemostrarque,inclusosintalrequisitodeseparabilidadolocalidad,noesposibleunainterpretaciónde“variablesocultas”delamecánicacuántica.Estosintentossehanexaminadoenotrolugar [4]ysehanencontradodeficientes.Además,sehaconstruidoexplícitamenteunainterpretaciónde variablesocultasdelateoríacuánticaelemental[5].Esainterpretaciónparticulartiene,dehecho, unaestructuragroseramentenolocal.Estoescaracterístico,segúnelresultadoqueseprobaráaquí, decualquierteoríaquereproduzcaexactamentelasprediccionesdelamecánicacuántica.
II. Formulación
ConelejemplodefendidoporBohmyAharonov[6],elargumentoEPReselsiguiente.Considere unpardepartículasdeespín 1 2 formadasdealgunamaneraenelestadodeespínsingleteyquese muevenlibrementeendireccionesopuestas.Sepuedenrealizarmediciones,porejemplo,conimanesdeStern-Gerlach,encomponentesseleccionadosdelosespines ��1 y ��2 . Silamedicióndel componente ��1 · a,donde a esunvectorunitario,produceelvalor + 1entonces,deacuerdoconla mecánicacuántica,lamedidade ��2 · a debedarelvalor 1yviceversa.Ahoraplanteamoslahipótesis[2],ypareceunaquealmenosvalelapenaconsiderarla,quesilasdosmedicionesserealizanen lugaresalejadoselunodelotro,laorientacióndeunimánnoinfluiráenelresultadoobtenidoconel otro.Dadoquepodemospredecirdeantemanoelresultadodelamediciónencualquiercomponente elegidode ��2 ,almedirpreviamenteelmismocomponentede ��1 ,sededucequeelresultadodecualquiermedicióndeestetipodebedeestarenrealidadpredeterminado.Dadoquelafuncióndeonda mecánicacuánticainicialnodeterminaelresultadodeunamediciónindividual,estapredeterminaciónimplicalaposibilidaddeunaespecificaciónmáscompletadelestado.
Dejemosqueestaespecificaciónmáscompletaseefectúepormediodelosparámetros ��.Enloque sigue,esindiferentesi �� denotaunasolavariableounconjunto,oinclusounconjuntodefunciones, oquelasvariablesseandiscretasocontinuas.Sinembargo,escribiremoscomosi �� fueraunúnico parámetrocontinuo.Elresultado A demedir ��1 · a estadeterminadoentoncespor a y ��,yel resultado B demedir ��2 · b enelmismocasoestadeterminadopor b y ��,y *TrabajoapoyadoenparteporlaComisióndeEnergíaAtómicadeEE.UU.
Lasuposiciónvital[2]esqueelresultado B paralapartícula2nodependedelajustede a,delimán paralapartícula1,ni A de b . Si �� (��) esladistribucióndeprobabilidadde �� ,entonceselvaloresperadodelproductodelos doscomponentes ��1 · a y ��2 · b es
Perosedemostraráqueestonoesposible.
Algunospodríanpreferirunaformulaciónenlaquelasvariablesocultassedividieranen dosconjuntos,con A dependientedeunoy B delotro;estaposibilidadestácontenidaenloanterior,yaque �� representacualquiernúmerodevariablesylasdependenciasde A y B respectode lasmismasnoestánrestringidas.EnunateoríafísicacompletadeltipoprevistoporEinstein,lasvariablesocultastendríanunsignificadodinámicoyleyesdemovimiento;nuestro �� puedeentonces pensarsecomovaloresinicialesdeestasvariablesenalgúninstanteadecuado.
III. Ilustración
Lademostracióndelresultadoprincipalesbastantesencilla.Sinembargo,antesdepresentarla,una seriedeilustracionespuedenservirparaponerlaenperspectiva.
Enprimerlugar,nohayningunadificultadendarcuentadeunavariableocultadelasmedicionesdeespínenunasolapartícula.Supongamosquetenemosunasemipartículadeespínenun estadodeespínpuroconpolarizacióndenotadaporunvectorunitario p. Sealavariableoculta (porejemplo)unvectorunitario �� condistribucióndeprobabilidaduniformesobreelhemisferio �� · p > 0. Especificaqueelresultadodelamedidadeuncomponente �� · a es sign �� · a ′ , (4) donde a ′ esunvectorunitarioquedependede a y p deunaformaaespecificar,ylafunción signoes + 1o 1segúnelsignodesuargumento.Enrealidadestodejaelresultadoindeterminado cuando �� · a′ = 0,perocomolaprobabilidaddequeestoocurraesceronoharemosprescripciones especialesparaestecaso.Promediandosobre ��,elvaloresperadoes ⟨ �� · a ⟩ = 1 2 �� ′/��, (5) donde �� ′ eselánguloentre a ′ y p. Supongamosentoncesque a ′ seobtieneapartirde a por rotaciónhacia p hasta 1 − 2 �� ′ �� = cos �� (6) donde �� eselánguloentre a y p .Entoncestenemoselresultadodeseado. ⟨ �� · a ⟩ = cos �� (7)
Asíqueenestecasosimplenohaydificultadenlaopinióndequeelresultadodecadamedición estádeterminadoporelvalordeunavariableadicional,yquelascaracterísticasestadísticasdela mecánicacuánticasurgenporqueelvalordeestavariableesdesconocidoencasosindividuales.
(8)
Ensegundolugar,nohayningunadificultadenreproducir,enlaforma(2),lasúnicascaracterísticasde(3)comúnmenteutilizadasenlasdiscusionesverbalesdeesteproblema: P(a, a) = P(a, a) = 1 P(a, b ) = 0sí a · b = 0
Porejemplo,sea �� ahoraelvectorunitario ��,condistribucióndeprobabilidaduniformeentodas lasdirecciones,ytome A(a, ��) = sign a · �� B(a, b ) = sign b · ��
(9)
Estoda P(a, b ) = 1 + 2 �� ��, (10) donde �� eselánguloentre a y b,y(10)tienelaspropiedades(8).Amododecomparación,considere elresultadodeunateoríamodificada[6]enlaqueelestadodesingletepuroesreemplazadoenel transcursodeltiempoporunamezclaisotrópicadeestadosproducto;estodalafuncióndecorrelación − 1 3 a · b (11)
Experimentalmenteesprobablequeseamenosfácildistinguir(10)de(3)que(11)de(3).
Adiferenciade(3),lafunción(10)noesestacionariaenelvalormínimo −1(en �� = 0).Veremos queestoescaracterísticodelasfuncionesdeltipo(2).
Enterceryúltimolugar,nohaydificultadenreproducirlacorrelaciónmecánicacuántica(3)si sepermitequelosresultados A y B en(2)dependande b y a respectivamente,asícomode a y b . Porejemplo,reemplazar a en(9)por a ′ ,obtenidoapartirde a porrotaciónhacia b hasta 1 − 2 �� �� ′ = cos ��, donde �� ′ eselánguloentre a ′ y b . Sinembargo,paravaloresdadosdelasvariablesocultas,los resultadosdelasmedicionesconunimánahoradependendelajustedelimándistante,quees justoloquedesearíamosevitar.
IV. Contradicción
Ahorasedemostraráelresultadoprincipal.Debidoaque �� esunadistribucióndeprobabilidad normalizada,
�� (��) = 1 , (12) ydebidoalaspropiedades(1), P en(2)nopuedesermenora −1.Puedellegara −1en a = b solosi A(a, ��) = −B(a, ��) (13) exceptoenunconjuntodepuntos �� deprobabilidadcero.Asumiendoesto,(2)sepuedereescribir P(a, b ) =
�� (��) A(a, ��) A(b , ��) . (14)
Deellosesigueque c esotrovectorunitario
P(a, b )− P(a, c) = − ∫ d�� �� (��) A(a, ��) A(b , ��)− A(a, ��) A(c, ��) = ∫ d�� �� (��) A(a, ��) A(b , ��) A(b , ��) A(c, ��)− 1
utilizando(1),dedonde
P(a, b )− P(a, c) ≤ ∫ d�� �� (��) 1 A(b , ��) A(c, ��)
Elsegundotérminoaladerechaes P(b , c),dedonde 1 + P(b , c)≥ P(a, b )− P(a, c) (15)
Amenosque P seaconstante,elladoderechoesengeneraldeorden b − c para b − c pequeño.Portanto, P(b , c) nopuedeserestacionarioenelvalormínimo (−1en b = c) yno puedeigualarelvalormecánicocuánticode(3).
Tampocosepuedeaproximararbitrariamentelacorrelaciónmecánicacuántica(3)mediantela forma(2).Lapruebaformaldeestopuedeestablecersecomosigue.Nonospreocuparemosporlafalla delaaproximaciónenpuntosaislados,asíqueconsideremosenlugarde(2)y(3)lasfunciones
P (a, b ) y a · b
dondelabarraindicaelpromedioindependientede P(a ′ , b ′ ) y a ′ · b ′ sobrelosvectores a ′ y b ′ dentrodepequeñosángulosespecificadosde a y b . Supongamosqueparatodolos a y b la diferenciaestáacotadapor �� : P (a, b )+ a · b ≤ �� (16) Entoncessedemostraráque �� nopuedehacersearbitrariamentepequeño. Supongamosqueparatodo a y b a · b − a · b ≤ �� (17) Luegode(16) P ( a, b )+ a · b ≤ �� + �� (18) de(2) P ( a, b ) = ∫ d�� �� (��) A (a, ��) B (b , ��) (19) dónde A (a, ��) ≤ 1y B (b , ��) ≤ 1(20) De(18)y(19),con a = b , d�� �� (��) A (b , ��) B (b , ��)+ 1 ≤ �� + �� (21) de(19) P (a, b )− P (a, c) = ∫ d�� �� (��) A (a, ��) B (b , ��)− A (a, ��) B (c, ��) = ∫ d�� �� (��) A (a, ��) B (b , ��) 1 + A (b , ��) B (c, ��) ∫ d�� �� (��) A (a, ��) B (c, ��) 1 + A (b , ��) B (b , ��)
Usando(20)entonces P (a, b )− P (a, c) ≤ ∫ d�� ∝ (��) 1 + A (b , ��) B (c, ��) + ∫ d�� �� (��) 1 + A (b , ��) B (b , ��)
Luegousando(19)y(21) P (a, b )− P (a, c) ≤ 1 + P (b , c)+ �� + �� Finalmente,usando(18), a · c a · b 2(�� + ��)≤ 1 b · c + 2(�� + ��) o 4(�� + ��)≥ a · c − a · b + b · c − 1(22) Tomemosporejemplo a · c = 0, a · b = b · c = 1/√ 2 . Entonces 4(�� + ��)≥ √ 2 − 1
Porlotanto,paraunpequeño �� finito, �� nopuedeserarbitrariamentepequeño. Asípues,elvaloresperadodelamecánicacuánticanosepuederepresentar,niconprecisiónni conaproximaciónarbitraria,enlaforma(2).
V. Generalización
Elejemploconsideradoanteriormentetienelaventajadequerequierepocaimaginaciónparaprever quelasmedicionesinvolucradasserealicenrealmente.Deunamaneramásformal,asumiendo[7] quecualquieroperadorhermitianoconunconjuntocompletodeestadospropiosesun“observable”, elresultadosepuedeextenderfácilmenteaotrossistemas.Silosdossistemastienenespaciosde estadodedimensionalidadmayorque2,siemprepodemosconsiderarsubespaciosbidimensionales ydefinir,ensuproductodirecto,losoperadores ��1 y ��2 formalmenteanálogosalosutilizados anteriormenteyquesonceroparaestadosfueradelsubespacioproducto.Entonces,paraalmenos unestadomecánicocuántico,elestado“singlete”enlossubespacioscombinados,laspredicciones estadísticasdelamecánicacuánticasonincompatiblesconunapredeterminaciónseparable.
VI. Conclusión
Enunateoríaenlaqueseagreganparámetrosalamecánicacuánticaparadeterminarlosresultadosdemedicionesindividuales,sincambiarlasprediccionesestadísticas,debehaberunmecanismoporelcuallaconfiguracióndeundispositivodemediciónpuedainfluirenlalecturade otroinstrumento,porremotoquesea.Además,laseñalinvolucradadebepropagarseinstantáneamente,porloquetalteoríanopodríaserinvariantedeLorentz.
Porsupuesto,lasituaciónesdiferentesilasprediccionesdelamecánicacuánticatienenuna validezlimitada.Esconcebiblequesóloseapliquenaexperimentosenlosquelosajustesdelos instrumentossehacenconsuficienteantelacióncomoparapermitirlesalcanzarunaciertarelaciónmutuamedianteelintercambiodeseñalesconunavelocidadinferioroigualaladela luz.Enesesentido,losexperimentosdeltipopropuestoporBohmyAharonov[6],enlosquelos ajustessecambianduranteelvuelodelaspartículas,soncruciales.
EstoyendeudaconlosDres.M.BanderyJ.K.Perringporsusútilesdiscusionessobreesteproblema. ElprimerborradordelartículoseescribióduranteunaestanciaenlaUniversidaddeBrandeis;Estoy endeudaconmiscolegasallíyenlaUniversidaddeWisconsinporsuinterésyhospitalidad.
Referencias
[1] A.EINSTEIN,N.ROSENyB.PODOLSKY, Phys.Rev. 47,777(1935);véasetambiénN.BOHR, Ibíd. 48, 696(1935),W.H.FURRY, Ibíd 49,393y476(1936),yD.R.INGLIS, Rev.Mod.Phys. 33,1 (1961).
[2] “Pero,enmiopinión,deberíamosaferrarnosabsolutamenteaunasuposición:lasituación fácticarealdelsistema ��2 esindependientedeloquesehagaconelsistema ��1 ,elcualestá espacialmenteseparadodelanterior.”A.EINSTEINen AlbertEinstein,PhilosopherScientist, (EditadoporP.A.SCHILP)p. 85,BibliotecadeFilósofosVivos,Evanston,Illinois(1949).
[3] J.VONNEUMANN, MathematisheGrundlagenderQuanten-mechanik.VerlagJulius-Springer, Berlín(1932),[traducciónalinglés:PrincetonUniversityPress(1955)];J.M.JAUCHyC.PIRON, Helv.Phys.Acta 36,827(1963).
[4] J.S.BELL,pendientedepublicación.
[5] D.BOHM, Phys.Rev. 85,166y180(1952).
[6] D.BOHMyY.AHARONOV, Phys.Rev. 108,1070(1957).
[7] P.A.M.DIRAC, LosPrincipiosdelaMecánicaCuántica (3raEd.)p.37.TheClarendonPress,Oxford (1947).