Olimpiady i konkursy matematyczne - Henryk Pawłowski

Page 1


Henryk Paw³owski

Olimpiady i konkursy matematyczne Zadania dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów

strona – 1 — czarny


Henryk Paw³owski

Olimpiady i konkursy matematyczne Zadania dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów Redaktor wydania:

Zdzis³aw G³owacki Korekta merytoryczna:

Pawe³ Rochman, Tomasz Szumny Redakcja techniczna, opracowanie graficzne, ³amanie i przygotowanie do druku:

Robert Ciechanowski, RC PRO (www.rc-pro.eu) Projekt ok³adki:

Miros³aw G³odkowski, Zdzis³aw G³owacki Ilustracja na ok³adce:

Katarzyna Danielewska Korekta:

Iwona Cieœlak Ksi¹¿ka ta jest kontynuacj¹ wydanego wczeœniej zbioru Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i w gimnazjach. Przeznaczona jest g³ównie dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów, chocia¿ niektóre jej rozdzia³y mog¹ okazaæ siê pomocne równie¿ w pracy pozalekcyjnej z licealistami. Wszystkie prezentowane w niniejszym zbiorze zadania pochodz¹ z olimpiad i konkursów matematycznych organizowanych w wielu krajach dla uczniów szkó³ podstawowych — tak¿e w klasach najm³odszych. Maj¹ ró¿ny stopieñ trudnoœci, niektóre charakter ³amig³ówek. ¯adne zaœ nie wymaga wiedzy wykraczaj¹cej poza obowi¹zuj¹cy program szkolny matematyki.

© Copyright by Oficyna Wydawnicza „Tutor” Wydanie III. Toruñ 2011 r. Oficyna Wydawnicza „Tutor” 87-100 Toruñ, ul. Warszawska 14/2, tel./fax 56 65-999-55, 56 66-408-66 Wysy³kowa Ksiêgarnia Internetowa: www.tutor.edu.pl

ISBN 978-83-89563-48-4

strona – 2 — czarny


Spis treœci Od Autora

5

Rozdzia³

1

Zadania — figielki

7

Rozwi¹zania – Rozdzia³

1

Zadania — figielki

10

Rozdzia³

2

Zadania arytmetyczne

13

Rozwi¹zania – Rozdzia³

2

Zadania arytmetyczne

21

Rozdzia³

3

Dzia³ania na u³amkach

31

Rozwi¹zania – Rozdzia³

3

Dzia³ania na u³amkach

40

Rozdzia³

4

W³asnoœci liczb

57

Rozwi¹zania – Rozdzia³

4

W³asnoœci liczb

65

Rozdzia³

5

Diagramy, rebusy i inne ³amig³ówki

83

Rozwi¹zania – Rozdzia³

5

Diagramy, rebusy i inne ³amig³ówki

94

Rozdzia³

6

Zadania geometryczne

107

Rozwi¹zania – Rozdzia³ Zadania geometryczne

strona – 3 — niebieski

6 130

strona – 3 — czarny

strona – 3 — czerwony


7

Rozdzia³ Nierównoœci

164

7

Rozwi¹zania – Rozdzia³ Nierównoœci

169

Rozdzia³

8

Zadania ró¿ne

182

Rozwi¹zania – Rozdzia³

8

Zadania ró¿ne

186

Ma³e vademecum pocz¹tkuj¹cego olimpijczyka

197

1. Arytmetyka i algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Elementy teorii podzielnoœci . . . . . . . . . . . Przydatne to¿samoœci i nierównoœci . . . . . . . Symbol Newtona, dwumian Newtona i trójk¹t Pascala Wartoœæ bezwzglêdna liczby rzeczywistej . . . . . Czêœæ ca³kowita (cecha) i czêœæ u³amkowa (mantysa) liczby rzeczywistej x . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

197 201 203 205

. . . . . . .

207

2. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

Elementy geometrii trójk¹ta . . . . . . . . . . Okr¹g i prosta . . . . . . . . . . . . . . . W³asnoœci ³uków i ciêciw okrêgu . . . . . . . . K¹ty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . Czworok¹ty wpisane w okr¹g . . . . . . . . . Dwa okrêgi . . . . . . . . . . . . . . . . . Kilka faktów o trapezie . . . . . . . . . . . . n-k¹ty (n ³ 3) . . . . . . . . . . . . . . . . Twierdzenie Talesa i doñ odwrotne . . . . . . . Geometryczny dowód zale¿noœci miêdzy œrednimi dwóch liczb dodatnich . . . . . . . . . . . . 2.11. Bry³y Platona . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

197

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

208 213 215 216 217 219 222 223 224

. . . . . . . . . . . . . . . .

225 225

Literatura

227

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227

Ksi¹¿ki, po które warto siêgn¹æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228

strona – 4 — czerwony

strona – 4 — czarny

strona – 4 — niebieski


Od Autora

Ksi¹¿ka ta jest kontynuacj¹ wydanego wczeœniej zbioru Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i w gimnazjach. Przeznaczona ona jest g³ównie dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów, chocia¿ niektóre jej rozdzia³y mog¹ okazaæ siê pomocne równie¿ w pracy pozalekcyjnej z licealistami. Wszystkie prezentowane w niniejszym zbiorze zadania pochodz¹ z zagranicznych olimpiad i konkursów matematycznych organizowanych w wielu krajach dla uczniów szkó³ podstawowych — tak¿e w klasach najm³odszych. Maj¹ ró¿ny stopieñ trudnoœci. Wiele z tych zadañ ma charakter ³amig³ówek. ¯adne zaœ nie wymaga wiedzy wykraczaj¹cej poza obowi¹zuj¹cy program szkolny matematyki. W ksi¹¿ce tej znajdziemy zadania, które nie tylko znakomicie przygotuj¹ ucznia do udzia³u w olimpiadzie, ale tak¿e uatrakcyjni¹ lekcje czy zajêcia ko³a. Pozwalam sobie mieæ tak¿e nadziejê, ¿e praca z t¹ ksi¹¿k¹ rozbudzi zainteresowania matematyczne ucznia oraz rozwijaæ bêdzie jego uzdolnienia w tym zakresie. Na koniec pragnê serdecznie podziêkowaæ Panu Zdzis³awowi G³owackiemu za podjêcie siê trudu wydania tej ksi¹¿ki, moim uczniom: Paw³owi Rochmanowi i Tomaszowi Szumnemu za wnikliw¹ korektê oraz tym wszystkim, którym zawdziêcza ona swój ostateczny kszta³t. Toruñ, 18 czerwca 2001 r.

strona – 5 — niebieski

Henryk Paw³owski

strona – 5 — czarny


Rozdzia³

1

Zadania — figielki Zadanie 1.1

Dwaj ch³opcy grali w szachy 4 godziny. Ile godzin gra³ ka¿dy z nich? Zadanie 1.2

Ka¿dy z siedmiu braci ma po jednej siostrze. Ile jest wszystkich dzieci? Zadanie 1.3

Lecia³ klucz gêsi: 1 gêœ na przodzie, a 2 z ty³u; 1 z ty³u, 2 na przodzie; 1 miêdzy dwiema i 3 w jednym rzêdzie. Ile by³o wszystkich gêsi? Zadanie 1.4

Pokój ma 4 k¹ty. W ka¿dym k¹cie siedzi kot. Naprzeciw ka¿dego kota siedz¹ 3 koty. Ile jest wszystkich kotów w pokoju? Zadanie 1.5

Ojciec kupi³ na rynku 2 sto³ki i zap³aci³ za nie 80 z³. Ile trzeba zap³aciæ za 5 takich sto³ków? Zadanie 1.6

U r¹k jest 10 palców. Ile palców jest u 10 r¹k? Zadanie 1.7

Ile koñców maj¹ 3 kije? 5 kijów? 5 i pó³ kija? Zadanie 1.8

Œlimak wspina siê na drzewo wysokie na 10 m. W ci¹gu dnia podnosi siê o 4 m, a w ci¹gu nocy obsuwa siê o 3 m. Po ilu dniach œlimak dostanie siê na wierzcho³ek drzewa? Zadanie 1.9

G¹sienica pe³za po pniu lipy. W nocy posuwa siê o 4 m do góry, a w dzieñ opuszcza siê o 2 m na dó³. Ósmej nocy g¹sienica dotar³a na wierzcho³ek drzewa. Jaka jest wysokoœæ lipy?

strona – 7 — niebieski

strona – 7 — czarny

strona – 7 — czerwony


8

Rozdzia³ 1

Zadanie 1.10

Mamy dwie patelnie. Na ka¿dej zmieœcimy tylko jednego kotleta. Jedna strona kotleta sma¿y siê w ci¹gu 1 minuty. W jakim najkrótszym czasie usma¿ymy na tych patelniach 3 kotlety? Zadanie 1.11

Ceg³a wa¿y 1 kg i jeszcze pó³ ceg³y. Ile wa¿y ta ceg³a? Zadanie 1.12

5 paj¹ków ³apie 5 much w ci¹gu 5 godzin. Ile much ³apie 100 paj¹ków w ci¹gu 100 godzin? Zadanie 1.13

Dwaj ojcowie i dwaj synowie zjedli razem trzy jab³ka, ka¿dy po ca³ym jab³ku. Jak to mo¿liwe? Zadanie 1.14

U³ó¿ z trzech zapa³ek liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11 i 17. Zadanie 1.15

Napisz 2 za pomoc¹ trzech pi¹tek. Zadanie 1.16

Napisz 5 za pomoc¹ trzech pi¹tek. Zadanie 1.17

Napisz 31 za pomoc¹ piêciu pi¹tek. Zadanie 1.18

Napisz 28 za pomoc¹ piêciu dwójek. Zadanie 1.19

Napisz 23 za pomoc¹ czterech dwójek. Zadanie 1.20

Napisz 100 za pomoc¹ czterech jednakowych cyfr. Zadanie 1.21

Napisz 100 za pomoc¹ piêciu jedynek, piêciu trójek, piêciu pi¹tek. Zadanie 1.22

Napisz 100 za pomoc¹ szeœciu jednakowych cyfr.

strona – 8 — czarny

strona – 8 — niebieski


Zadania — figielki

9

Zadanie 1.23

Napisz 100 za pomoc¹ 9 ró¿nych cyfr. Zadanie 1.24

7 ludzi ma po 7 kotów, ka¿dy kot zjada po 7 myszy, ka¿da mysz zjada po 7 k³osów jêczmienia, a z ka¿dego k³osa mo¿e wyrosn¹æ 7 miar ziarna. Ile by³oby wszystkich miar ziarna? Zadanie 1.25

Postaw znaki dzia³añ arytmetycznych i nawiasy, aby otrzymaæ prawdziwe równoœci: 4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4

4=5 4 = 10 4 = 17 4 = 20 4 = 32 4 = 64 4 = 48

Zadanie 1.26

Postaw nawiasy tak, aby otrzymaæ prawdziwe równoœci:

6 × 8 + 20 : 4 - 2 = 58, 3248 : 16 - 3 × 315 - 156 × 2 = 600, 350 - 15 × 104 - 1428 : 14 = 320. Zadanie 1.27

Za pomoc¹ 4 siódemek i byæ mo¿e znaków dzia³añ arytmetycznych oraz nawiasów przedstaw wszystkie liczby ca³kowite od 0 do 10.

strona – 9 — niebieski

strona – 9 — czarny


Rozwi¹zania – Rozdzia³

1

Zadania — figielki Rozwi¹zanie 1.1

4 godziny. Rozwi¹zanie 1.2

Oœmioro. Rozwi¹zanie 1.3

Lecia³ klucz sk³adaj¹cy siê z 3 gêsi. (Ale klucz!?) Rozwi¹zanie 1.4

4 koty (zob. rys.).

Rozwi¹zanie 1.5

200 z³. Rozwi¹zanie 1.6

50 palców. Rozwi¹zanie 1.7

6, 10, 12. Rozwi¹zanie 1.8

Po up³ywie 7 dni (bo 6 · 1 + 4 = 10). Rozwi¹zanie 1.9

18 m (bo 2 · 7 + 4 = 18).

strona – 10 — niebieski

strona – 10 — czarny

strona – 10 — czerwony


11

Zadania — figielki

Rozwi¹zanie 1.10

3 minuty. W pierwszej minucie mamy usma¿one po jednej stronie dwa kotlety. W drugiej — jednego ca³ego i trzeciego z jednej strony. W trzeciej minucie koñczymy sma¿enie dwóch kotletów usma¿onych z jednej strony. Rozwi¹zanie 1.11

Z treœci zadania wynika, ¿e pó³ ceg³y wa¿y 1 kg, st¹d ca³a wa¿y 2 kg. Rozwi¹zanie 1.12

2000 much. 1 paj¹k ³apie muchê w ci¹gu 5 godz., a wiêc 20 much w ci¹gu 100 godzin. Zatem 100 paj¹ków ³apie 2000 much w ci¹gu 100 godzin. Rozwi¹zanie 1.13

Byli to: dziadek, ojciec i syn. Rozwi¹zanie 1.14

0=

7=

1=

9=

2=

3=

10 =

Rozwi¹zanie 1.15

2 = (5 + 5) : 5 Rozwi¹zanie 1.16

5 ´ 5:5 Rozwi¹zanie 1.17

5 ´ 5 + 5 + 5: 5 Rozwi¹zanie 1.18

2 + 2 + 2 + 22 Rozwi¹zanie 1.19

22 + 2 : 2

strona – 11 — czerwony

strona – 11 — czarny

4=

11 =

6=

17 =


12

Rozwi¹zania — Rozdzia³ 1

Rozwi¹zanie 1.20

100 = 99 + 9 : 9 Rozwi¹zanie 1.21

100 = 111 - 11 = 3 × 33 + 3 : 3 = 5 × 5 × 5 - 5 × 5 Rozwi¹zanie 1.22

100 = 99 + 99 : 99 Rozwi¹zanie 1.23

100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 × 9, 3 9 100 = 74 + 25 + + , 6 18 5+3 6 1 + + . 100 = 97 + 8 4 2 Rozwi¹zanie 1.24

16807 miar. Rozwi¹zanie 1.25

5 = (4 × 4 + 4) : 4, 10 = (44 - 4) : 4, 17 = 4 × 4 + 4 : 4,

32 = 4 × 4 + 4 × 4, 64 = ( 4 + 4) × ( 4 + 4), 48 = ( 4 + 4 + 4) × 4.

20 = (4 : 4 + 4) × 4, Rozwi¹zanie 1.26

6 × 8 + 20 : (4 - 2) = 58, (3248 : 16 - 3) × (315 - 156 × 2) = 600, 350 - 15 × (104 - 1428 : 14) = 320. Rozwi¹zanie 1.27

0 = 77 - 77, 1 = 7 : 7 + ( 7 - 7) = 77 : 77, 2 = 7 : 7 + 7 : 7, 3 = ( 7 + 7 + 7) : 7,

4 = 77 : 7 - 7, 5 = 7 - ( 7 + 7) : 7, 6 = ( 7 × 7 - 7) : 7, 7 = 7 + ( 7 - 7) × 7,

strona – 12 — czarny

8 = ( 7 × 7 + 7) : 7, 9 = ( 7 + 7) : 7 + 7, 10 = ( 77 - 7) : 7.

strona – 12 — czerwony