Page 1


Henryk Paw³owski

Olimpiady i konkursy matematyczne Zadania dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów

strona – 1 — czarny


Henryk Paw³owski

Olimpiady i konkursy matematyczne Zadania dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów Redaktor wydania:

Zdzis³aw G³owacki Korekta merytoryczna:

Pawe³ Rochman, Tomasz Szumny Redakcja techniczna, opracowanie graficzne, ³amanie i przygotowanie do druku:

Robert Ciechanowski, RC PRO (www.rc-pro.eu) Projekt ok³adki:

Miros³aw G³odkowski, Zdzis³aw G³owacki Ilustracja na ok³adce:

Katarzyna Danielewska Korekta:

Iwona Cieœlak Ksi¹¿ka ta jest kontynuacj¹ wydanego wczeœniej zbioru Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i w gimnazjach. Przeznaczona jest g³ównie dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów, chocia¿ niektóre jej rozdzia³y mog¹ okazaæ siê pomocne równie¿ w pracy pozalekcyjnej z licealistami. Wszystkie prezentowane w niniejszym zbiorze zadania pochodz¹ z olimpiad i konkursów matematycznych organizowanych w wielu krajach dla uczniów szkó³ podstawowych — tak¿e w klasach najm³odszych. Maj¹ ró¿ny stopieñ trudnoœci, niektóre charakter ³amig³ówek. ¯adne zaœ nie wymaga wiedzy wykraczaj¹cej poza obowi¹zuj¹cy program szkolny matematyki.

© Copyright by Oficyna Wydawnicza „Tutor” Wydanie III. Toruñ 2011 r. Oficyna Wydawnicza „Tutor” 87-100 Toruñ, ul. Warszawska 14/2, tel./fax 56 65-999-55, 56 66-408-66 Wysy³kowa Ksiêgarnia Internetowa: www.tutor.edu.pl

ISBN 978-83-89563-48-4

strona – 2 — czarny


Spis treœci Od Autora

5

Rozdzia³

1

Zadania — figielki

7

Rozwi¹zania – Rozdzia³

1

Zadania — figielki

10

Rozdzia³

2

Zadania arytmetyczne

13

Rozwi¹zania – Rozdzia³

2

Zadania arytmetyczne

21

Rozdzia³

3

Dzia³ania na u³amkach

31

Rozwi¹zania – Rozdzia³

3

Dzia³ania na u³amkach

40

Rozdzia³

4

W³asnoœci liczb

57

Rozwi¹zania – Rozdzia³

4

W³asnoœci liczb

65

Rozdzia³

5

Diagramy, rebusy i inne ³amig³ówki

83

Rozwi¹zania – Rozdzia³

5

Diagramy, rebusy i inne ³amig³ówki

94

Rozdzia³

6

Zadania geometryczne

107

Rozwi¹zania – Rozdzia³ Zadania geometryczne

strona – 3 — niebieski

6 130

strona – 3 — czarny

strona – 3 — czerwony


7

Rozdzia³ Nierównoœci

164

7

Rozwi¹zania – Rozdzia³ Nierównoœci

169

Rozdzia³

8

Zadania ró¿ne

182

Rozwi¹zania – Rozdzia³

8

Zadania ró¿ne

186

Ma³e vademecum pocz¹tkuj¹cego olimpijczyka

197

1. Arytmetyka i algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Elementy teorii podzielnoœci . . . . . . . . . . . Przydatne to¿samoœci i nierównoœci . . . . . . . Symbol Newtona, dwumian Newtona i trójk¹t Pascala Wartoœæ bezwzglêdna liczby rzeczywistej . . . . . Czêœæ ca³kowita (cecha) i czêœæ u³amkowa (mantysa) liczby rzeczywistej x . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

197 201 203 205

. . . . . . .

207

2. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

Elementy geometrii trójk¹ta . . . . . . . . . . Okr¹g i prosta . . . . . . . . . . . . . . . W³asnoœci ³uków i ciêciw okrêgu . . . . . . . . K¹ty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . Czworok¹ty wpisane w okr¹g . . . . . . . . . Dwa okrêgi . . . . . . . . . . . . . . . . . Kilka faktów o trapezie . . . . . . . . . . . . n-k¹ty (n ³ 3) . . . . . . . . . . . . . . . . Twierdzenie Talesa i doñ odwrotne . . . . . . . Geometryczny dowód zale¿noœci miêdzy œrednimi dwóch liczb dodatnich . . . . . . . . . . . . 2.11. Bry³y Platona . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

197

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

208 213 215 216 217 219 222 223 224

. . . . . . . . . . . . . . . .

225 225

Literatura

227

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227

Ksi¹¿ki, po które warto siêgn¹æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228

strona – 4 — czerwony

strona – 4 — czarny

strona – 4 — niebieski


Od Autora

Ksi¹¿ka ta jest kontynuacj¹ wydanego wczeœniej zbioru Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i w gimnazjach. Przeznaczona ona jest g³ównie dla uczniów szkó³ podstawowych i gimnazjów, chocia¿ niektóre jej rozdzia³y mog¹ okazaæ siê pomocne równie¿ w pracy pozalekcyjnej z licealistami. Wszystkie prezentowane w niniejszym zbiorze zadania pochodz¹ z zagranicznych olimpiad i konkursów matematycznych organizowanych w wielu krajach dla uczniów szkó³ podstawowych — tak¿e w klasach najm³odszych. Maj¹ ró¿ny stopieñ trudnoœci. Wiele z tych zadañ ma charakter ³amig³ówek. ¯adne zaœ nie wymaga wiedzy wykraczaj¹cej poza obowi¹zuj¹cy program szkolny matematyki. W ksi¹¿ce tej znajdziemy zadania, które nie tylko znakomicie przygotuj¹ ucznia do udzia³u w olimpiadzie, ale tak¿e uatrakcyjni¹ lekcje czy zajêcia ko³a. Pozwalam sobie mieæ tak¿e nadziejê, ¿e praca z t¹ ksi¹¿k¹ rozbudzi zainteresowania matematyczne ucznia oraz rozwijaæ bêdzie jego uzdolnienia w tym zakresie. Na koniec pragnê serdecznie podziêkowaæ Panu Zdzis³awowi G³owackiemu za podjêcie siê trudu wydania tej ksi¹¿ki, moim uczniom: Paw³owi Rochmanowi i Tomaszowi Szumnemu za wnikliw¹ korektê oraz tym wszystkim, którym zawdziêcza ona swój ostateczny kszta³t. Toruñ, 18 czerwca 2001 r.

strona – 5 — niebieski

Henryk Paw³owski

strona – 5 — czarny


Rozdzia³

1

Zadania — figielki Zadanie 1.1

Dwaj ch³opcy grali w szachy 4 godziny. Ile godzin gra³ ka¿dy z nich? Zadanie 1.2

Ka¿dy z siedmiu braci ma po jednej siostrze. Ile jest wszystkich dzieci? Zadanie 1.3

Lecia³ klucz gêsi: 1 gêœ na przodzie, a 2 z ty³u; 1 z ty³u, 2 na przodzie; 1 miêdzy dwiema i 3 w jednym rzêdzie. Ile by³o wszystkich gêsi? Zadanie 1.4

Pokój ma 4 k¹ty. W ka¿dym k¹cie siedzi kot. Naprzeciw ka¿dego kota siedz¹ 3 koty. Ile jest wszystkich kotów w pokoju? Zadanie 1.5

Ojciec kupi³ na rynku 2 sto³ki i zap³aci³ za nie 80 z³. Ile trzeba zap³aciæ za 5 takich sto³ków? Zadanie 1.6

U r¹k jest 10 palców. Ile palców jest u 10 r¹k? Zadanie 1.7

Ile koñców maj¹ 3 kije? 5 kijów? 5 i pó³ kija? Zadanie 1.8

Œlimak wspina siê na drzewo wysokie na 10 m. W ci¹gu dnia podnosi siê o 4 m, a w ci¹gu nocy obsuwa siê o 3 m. Po ilu dniach œlimak dostanie siê na wierzcho³ek drzewa? Zadanie 1.9

G¹sienica pe³za po pniu lipy. W nocy posuwa siê o 4 m do góry, a w dzieñ opuszcza siê o 2 m na dó³. Ósmej nocy g¹sienica dotar³a na wierzcho³ek drzewa. Jaka jest wysokoœæ lipy?

strona – 7 — niebieski

strona – 7 — czarny

strona – 7 — czerwony


8

Rozdzia³ 1

Zadanie 1.10

Mamy dwie patelnie. Na ka¿dej zmieœcimy tylko jednego kotleta. Jedna strona kotleta sma¿y siê w ci¹gu 1 minuty. W jakim najkrótszym czasie usma¿ymy na tych patelniach 3 kotlety? Zadanie 1.11

Ceg³a wa¿y 1 kg i jeszcze pó³ ceg³y. Ile wa¿y ta ceg³a? Zadanie 1.12

5 paj¹ków ³apie 5 much w ci¹gu 5 godzin. Ile much ³apie 100 paj¹ków w ci¹gu 100 godzin? Zadanie 1.13

Dwaj ojcowie i dwaj synowie zjedli razem trzy jab³ka, ka¿dy po ca³ym jab³ku. Jak to mo¿liwe? Zadanie 1.14

U³ó¿ z trzech zapa³ek liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11 i 17. Zadanie 1.15

Napisz 2 za pomoc¹ trzech pi¹tek. Zadanie 1.16

Napisz 5 za pomoc¹ trzech pi¹tek. Zadanie 1.17

Napisz 31 za pomoc¹ piêciu pi¹tek. Zadanie 1.18

Napisz 28 za pomoc¹ piêciu dwójek. Zadanie 1.19

Napisz 23 za pomoc¹ czterech dwójek. Zadanie 1.20

Napisz 100 za pomoc¹ czterech jednakowych cyfr. Zadanie 1.21

Napisz 100 za pomoc¹ piêciu jedynek, piêciu trójek, piêciu pi¹tek. Zadanie 1.22

Napisz 100 za pomoc¹ szeœciu jednakowych cyfr.

strona – 8 — czarny

strona – 8 — niebieski


Zadania — figielki

9

Zadanie 1.23

Napisz 100 za pomoc¹ 9 ró¿nych cyfr. Zadanie 1.24

7 ludzi ma po 7 kotów, ka¿dy kot zjada po 7 myszy, ka¿da mysz zjada po 7 k³osów jêczmienia, a z ka¿dego k³osa mo¿e wyrosn¹æ 7 miar ziarna. Ile by³oby wszystkich miar ziarna? Zadanie 1.25

Postaw znaki dzia³añ arytmetycznych i nawiasy, aby otrzymaæ prawdziwe równoœci: 4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 4

4=5 4 = 10 4 = 17 4 = 20 4 = 32 4 = 64 4 = 48

Zadanie 1.26

Postaw nawiasy tak, aby otrzymaæ prawdziwe równoœci:

6 × 8 + 20 : 4 - 2 = 58, 3248 : 16 - 3 × 315 - 156 × 2 = 600, 350 - 15 × 104 - 1428 : 14 = 320. Zadanie 1.27

Za pomoc¹ 4 siódemek i byæ mo¿e znaków dzia³añ arytmetycznych oraz nawiasów przedstaw wszystkie liczby ca³kowite od 0 do 10.

strona – 9 — niebieski

strona – 9 — czarny


Rozwi¹zania – Rozdzia³

1

Zadania — figielki Rozwi¹zanie 1.1

4 godziny. Rozwi¹zanie 1.2

Oœmioro. Rozwi¹zanie 1.3

Lecia³ klucz sk³adaj¹cy siê z 3 gêsi. (Ale klucz!?) Rozwi¹zanie 1.4

4 koty (zob. rys.).

Rozwi¹zanie 1.5

200 z³. Rozwi¹zanie 1.6

50 palców. Rozwi¹zanie 1.7

6, 10, 12. Rozwi¹zanie 1.8

Po up³ywie 7 dni (bo 6 · 1 + 4 = 10). Rozwi¹zanie 1.9

18 m (bo 2 · 7 + 4 = 18).

strona – 10 — niebieski

strona – 10 — czarny

strona – 10 — czerwony


11

Zadania — figielki

Rozwi¹zanie 1.10

3 minuty. W pierwszej minucie mamy usma¿one po jednej stronie dwa kotlety. W drugiej — jednego ca³ego i trzeciego z jednej strony. W trzeciej minucie koñczymy sma¿enie dwóch kotletów usma¿onych z jednej strony. Rozwi¹zanie 1.11

Z treœci zadania wynika, ¿e pó³ ceg³y wa¿y 1 kg, st¹d ca³a wa¿y 2 kg. Rozwi¹zanie 1.12

2000 much. 1 paj¹k ³apie muchê w ci¹gu 5 godz., a wiêc 20 much w ci¹gu 100 godzin. Zatem 100 paj¹ków ³apie 2000 much w ci¹gu 100 godzin. Rozwi¹zanie 1.13

Byli to: dziadek, ojciec i syn. Rozwi¹zanie 1.14

0=

7=

1=

9=

2=

3=

10 =

Rozwi¹zanie 1.15

2 = (5 + 5) : 5 Rozwi¹zanie 1.16

5 ´ 5:5 Rozwi¹zanie 1.17

5 ´ 5 + 5 + 5: 5 Rozwi¹zanie 1.18

2 + 2 + 2 + 22 Rozwi¹zanie 1.19

22 + 2 : 2

strona – 11 — czerwony

strona – 11 — czarny

4=

11 =

6=

17 =


12

Rozwi¹zania — Rozdzia³ 1

Rozwi¹zanie 1.20

100 = 99 + 9 : 9 Rozwi¹zanie 1.21

100 = 111 - 11 = 3 × 33 + 3 : 3 = 5 × 5 × 5 - 5 × 5 Rozwi¹zanie 1.22

100 = 99 + 99 : 99 Rozwi¹zanie 1.23

100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 × 9, 3 9 100 = 74 + 25 + + , 6 18 5+3 6 1 + + . 100 = 97 + 8 4 2 Rozwi¹zanie 1.24

16807 miar. Rozwi¹zanie 1.25

5 = (4 × 4 + 4) : 4, 10 = (44 - 4) : 4, 17 = 4 × 4 + 4 : 4,

32 = 4 × 4 + 4 × 4, 64 = ( 4 + 4) × ( 4 + 4), 48 = ( 4 + 4 + 4) × 4.

20 = (4 : 4 + 4) × 4, Rozwi¹zanie 1.26

6 × 8 + 20 : (4 - 2) = 58, (3248 : 16 - 3) × (315 - 156 × 2) = 600, 350 - 15 × (104 - 1428 : 14) = 320. Rozwi¹zanie 1.27

0 = 77 - 77, 1 = 7 : 7 + ( 7 - 7) = 77 : 77, 2 = 7 : 7 + 7 : 7, 3 = ( 7 + 7 + 7) : 7,

4 = 77 : 7 - 7, 5 = 7 - ( 7 + 7) : 7, 6 = ( 7 × 7 - 7) : 7, 7 = 7 + ( 7 - 7) × 7,

strona – 12 — czarny

8 = ( 7 × 7 + 7) : 7, 9 = ( 7 + 7) : 7 + 7, 10 = ( 77 - 7) : 7.

strona – 12 — czerwony

Olimpiady i konkursy matematyczne - Henryk Pawłowski  

Książka ta jest kontynuacją wydanego wcześniej zbioru zadań Na olimpijskim szlaku. Przeznaczona jest głównie dla uczniów szkół podstawowych...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you