Contents
Preface ix
CHAPTER 1 PROBLEM SOLVING 1
Spotlight on Teaching and Learning 1
1.1 Introduction to Problem Solving 3
Math Activity 1.1: Peg-Jumping Puzzle * Problem Solving and Polya’s Four Steps * Making a Drawing * Guessing and Checking * Making a Table * Using a Model * Working Backward * Tower Puzzle Applet
1.2 Patterns and Problem Solving 21
Math Activity 1.2: Pattern Block Sequences * Finding a Pattern * Patterns in Nature * Number Patterns * Inductive Reasoning * Solving a Simpler Problem
Chapter 1 Test 37
CHAPTER 2 SETS AND REASONING 39
Spotlight on Teaching and Learning 39
2.1 Sets and Venn Diagrams 41
Math Activity 2.1 Sorting and Classifying Attribute Pieces * Sets and Their Elements * Venn Diagrams * Relationships between Sets * Operations on Sets
2.2 Introduction to Deductive Reasoning 61
Math Activity 2.2 Deductive Reasoning Game * Deductive Reasoning * Venn Diagrams and Deductive Reasoning * Conditional Statements * Reasoning with Conditional Statements
Chapter 2 Test 78
CHAPTER 3 WHOLE NUMBERS 81
Spotlight on Teaching and Learning 81
3.1 Numeration Systems 83
Math Activity 3.1 Numeration and Place Value with Base-Five Pieces * Grouping and Number Bases * Ancient Numeration Systems * Reading and Writing Numbers * Rounding Numbers * Deciphering Ancient Numeration Systems Applet * Models for Numeration
3.2 Addition and Subtraction 100
Math Activity 3.2 Addition and Subtraction with Base-Five Pieces * Models for Addition Algorithms * Number Properties * Inequality of Whole Numbers * Models for Subtraction Algorithms * Mental Calculations * Approximation of Sums and Differences
3.3 Multiplication 122
Math Activity 3.3 Multiplication with Base-Five Pieces * Models for Multiplication Algorithms * Number Properties * Mental Calculations * Approximation of Products
3.4 Division and Exponents 145
Math Activity 3.4 Division with Base-Five and Base-Ten Pieces * Models for Division Algorithms * Division Algorithm Theorem * Mental Calculations * Approximation of Quotients * Exponents * Order of Operations
Chapter 3 Test 168
CHAPTER 4 NUMBER THEORY 171
Spotlight on Teaching and Learning 171
4.1 Factors and Multiples 173
Math Activity 4.1 Divisibility with Base-Ten Pieces * Models for Factors and Multiples * Odd and Even Numbers * Divisibility Tests * Prime and Composite Numbers * Prime Number Test * Sieve of Eratosthenes
4.2 Greatest Common Factor and Least Common Multiple 193
Math Activity 4.2 Factors and Multiples from Tile Patterns * Prime Factorizations * Fundamental Theorem of Arithmetic * Factor Trees * Factors of Numbers * Greatest Common Factor * Least Common Multiple * Analyzing Star Polygons Applet Chapter 4 Test 213
CHAPTER 5 INTEGERS AND FRACTIONS 215
Spotlight on Teaching and Learning 215
5.1 Integers 217
Math Activity 5.1 Addition and Subtraction with Black and Red Tiles * Integers * Uses of Integers * Models for Integers * Addition * Subtraction * Multiplication * Division * Using Calculators for Integer Operations * Inequality * Number Properties * Mental Calculations * Approximation
5.2 Introduction to Fractions 241
Math Activity 5.2 Equality and Inequality with Fraction Bars * Fraction Terminology * Fraction Concepts * Equality of Fractions * Simplifying Fractions with Calculators * Common Denominators * Inequality * Density of Fractions * Mixed Numbers and Improper Fractions * Mental Calculations * Approximation * Taking A Chance Applet
5.3 Operations with Fractions 270
Math Activity 5.3 Operations with Fraction Bars * Addition * Subtraction * Multiplication * Division * Using Calculators for Fraction Operations * Number Properties * Mental Calculations * Approximation
Chapter 5 Test 299
CHAPTER 6 DECIMALS: RATIONAL AND IRRATIONAL NUMBERS 301
Spotlight on Teaching and Learning 301
6.1 Decimals and Rational Numbers 303
Math Activity 6.1 Decimal Place Value with Base-Ten Pieces and Decimal Squares * Decimal Terminology and Notation * Models for Decimals * Equality of Decimals * Inequality of Decimals * Rational Numbers * Density of Rational Numbers * Approximation * Competing At Place Value Applet
6.2 Operations with Decimals 328
Math Activity 6.2 Decimal Operations with Decimal Squares * Addition * Subtraction * Multiplication * Division * Order of Operation * Properties of Rational Numbers * Mental Computation * Approximation
6.3 Ratio, Percent, and Scientific Notation 353
Math Activity 6.3 Percents with Percent Grids * Ratios * Rates * Proportions * Percent * Calculations with Percents * Mental Calculations with Percents * Approximation * Scientific Notation
6.4 Irrational and Real Numbers 380
Math Activity 6.4 Irrational Numbers on Geoboards * Pythagorean Theorem * Square Roots * Irrational Numbers * Cube Roots and Other Roots * Real Numbers * Properties of Real Numbers * Operations with Irrational Numbers
Chapter 6 Test 402
CHAPTER 7 STATISTICS 403
Spotlight on Teaching and Learning 403
7.1 Collecting and Graphing Data 405
Math Activity 7.1 Forming Bar Graphs with Color Tiles * Bar Graphs * Pie Graphs * Pictographs * Line Plots * Stem-and-Leaf Plots * Histograms * Line Graphs * Scatter Plots * Curves of Best Fit
7.2 Describing and Analyzing Data 436
Math Activity 7.2 Averages with Columns of Tiles * Measures of Central Tendency * Box-and-Whisker Plots * Measures of Variability
7.3 Sampling, Predictions, and Simulations 460
Math Activity 7.3 Simulations in Statistics * Sampling * Skewed and Symmetric Distributions * Normal Distributions * Distributions Applet * Measures of Relative Standing * Simulations
Chapter 7 Test 482
CHAPTER 8 PROBABILITY AND COUNTING 485
Spotlight on Teaching and Learning 485
8.1 Single-Stage Experiments 487
Math Activity 8.1 Experimental Probabilities from Simulations * Probabilities of Outcomes * Probabilities of Events * Probabilities of Compound Events * Odds * Experimental Probability * Simulations
8.2 Multistage Experiments 510
Math Activity 8.2 Determining the Fairness of Games * Probabilities of Multistage Experiments * Probabilities of Events * Independent and Dependent Events * Complementary Events * Expected Value * Door Prizes Applet
8.3 Counting, Permutations, and Combinations 530
Math Activity 8.3 Counting Arrangements * Counting Questions and Venn Diagrams * Permutations * Combinations * Combination Patterns * Binomial Coefficients and the Binomial Theorem
Chapter 8 Test 549
CHAPTER 9 ALGEBRA 551
Spotlight on Teaching and Learning 551
9.1 Problem Solving with Algebra 553
Math Activity 9.1 Extending Tile Patterns * Variables and Expressions * Equations * Inequalities * Using Algebra as a Problem-Solving Strategy
9.2 Coordinates, Slope, and Lines 572
Math Activity 9.2 Slopes of Geoboard Line Segments * Rectangular Coordinates * Slope * Equations of Lines * Systems of Linear Equations * Hunting for Hidden Polygons Applet
9.3 Functions and Graphs 593
Math Activity 9.3 Sorting by Rules * Functions * Linear Functions * Nonlinear Functions * Interpreting Graphs
Chapter 9 Test 613
CHAPTER 10 GEOMETRIC FIGURES 617
Spotlight on Teaching and Learning 617
10.1 Plane Figures 619
Math Activity 10.1 Angles in Pattern Block Figures * Mathematical Systems * Points, Lines, and Planes * Half-Planes, Segments, Rays, and Angles * Angle Measurements * Perpendicular and Parallel Lines * Curves and Convex Sets * Polygons * Triangle and Quadrilateral Definitions
10.2 Polygons and Tessellations 642
Math Activity 10.2 Tessellations with Polygons * Angles in Polygons * Congruence * Regular Polygons * Drawing Regular Polygons * Tessellations with Polygons
10.3 Space Figures 659
Math Activity 10.3 Views of Cube Figures * Planes * Polyhedra * Regular Polyhedra * Pyramids and Prisms * Cones and Cylinders * Spheres and Maps * Cross-Sections of a Cube Applet
10.4 Symmetric Figures 682
Math Activity 10.4 Symmetries of Pattern Block Figures * Reflection Symmetry for Plane Figures * Rotation Symmetry for Plane Figures * Reflection Symmetry for Space Figures * Rotation Symmetry for Space Figures
Chapter 10 Test 702
CHAPTER 11 MEASUREMENT 705
Spotlight on Teaching and Learning 705
11.1 Systems of Measurement 707
Math Activity 11.1 Perimeters of Pattern Block Figures * Nonstandard Units of Length * English Units * Metric Units * Precision and Small Measurements * International System of Units
11.2 Area and Perimeter 730
Math Activity 11.2 Areas of Pattern Blocks Using Different Units * Nonstandard Units of Area * Standard Units of Area * Perimeter * Areas of Polygons * Circumferences and Areas of Circles
11.3 Volume and Surface Area 754
Math Activity 11.3 Surface Area and Volume for Three-Dimensional Figures * Nonstandard Units of Volume * Standard Units of Volume * Surface Area * Volumes and Surface Areas of Space Figures * Irregular Shapes * Creating Surface Area * Filling 3-D Shapes Applet
Chapter 11 Test 781
CHAPTER 12 TRANSFORMATIONS: CONSTRUCTIONS, CONGRUENCE, AND SIMILARITY MAPPING 785
Spotlight on Teaching and Learning 785
12.1 Congruence and Constructions 787
Math Activity 12.1 Tracing Figures from Motions with Tiles * Mappings * Constructing Segments and Angles * Constructing Triangles and Triangle Congruence Properties * Constructing Bisectors * Constructing Perpendicular and Parallel Lines * Circumscribing Circles About Triangles * Constructions With A Mira
12.2 Congruence Mappings 813
Math Activity 12.2 Rotating, Reflecting, and Translating Figures on Grids * Translations * Reflections * Rotations * Composition of Mappings * Wallpaper Patterns * Congruence * Mapping Figures Onto Themselves * Using Translations, Rotations, and Reflections to Create Escher-Type Tessellations * Tessellations Applet
12.3 Similarity Mappings 840
Math Activity 12.3 Enlargements with Pattern Blocks * Similarity and Scale Factors * Similar Polygons * Similar Triangles * Scale Factors, Area, and Volume * Sizes and Shapes of Living Things
Chapter 12 Test 865
References R-1
Answers to Selected Math Activities A-1
Answers to Problem Openers A-7
Answers to Try Its A-11
Answers to Problem-Solving Applications A-27
Answers to Odd-Numbered Exercises, Problems, and Chapter Tests A-35
Credits C-1
Index I-1
Preface
The authors of Mathematics for Elementary Teachers: A Conceptual Approach believe that all students should learn mathematics in a way that fosters conceptual understanding and that prospective teachers should learn in a manner that generates enthusiasm for learning and teaching mathematics.
New to the tenth edition is a special emphasis on the Common Core State Standards and Practices for Mathematics. Each section of the book now highlights connections between these practices and standards and the concepts and skills discussed in that section.
This edition also continues to embody the standards and practices developed over many years by the National Council of Teachers of Mathematics in their Principles and Standards and Focal Points publications.
OUR APPROACH
Our primary goal is to support future teachers in their journey toward becoming effective teachers who can help their own students succeed in mathematics.
Effective teachers
• Understand deeply the mathematical concepts they will be teaching, and also understand the larger scope of concepts that precede and follow them.
• Look for ways to help students build bridges connecting to new knowledge.
• Are problem solvers and have a readily available tool kit of problem-solving techniques.
• Are familiar with the Common Core State Standards and Practices for Mathematics.
• Are comfortable using hands-on activities that model mathematical concepts.
• Understand the connections between their own study of mathematics and the elementary school curriculum.
To get the most from this book you should
• Be an active learner as you seek to acquire a clear understanding of mathematical concepts.
• Use manipulatives as you work through the Math Activity at the beginning of each section.
• Answer each Try It! question as you read through a text section.
• Answer the questions embedded within each Problem-Solving Application as you work on a section.
• Read the margin notes to help see how the Common Core State Standards for Mathematics are connected to the topics in each section.
• Reflect about how your learning will impact your future classroom teaching.
NEW TO THE TENTH EDITION
• The Common Core State Standards and Practices for Mathematics are connected to all chapters and sections of the text.
◦ A new Spotlight on Teaching and Learning opens each chapter connecting its contents to the Common Core.
◦ Margin notes relate specific Practices and Standards to specific concepts and skills.
◦ End-of-section Classroom Connections pose questions for reflection on the Common Core State Standards and Practices for Mathematics
• Section 8.3: Counting, Permutations, and Combinations is new to this edition, expanding our treatment of permutations and combinations, and includes new subsections on Pascal’s triangle, the Binomial Coefficients, and the Binomial theorem.
• Chapter 9: Algebra is new to this edition and collects and expands our treatment of Problem Solving with Algebra, Coordinates, Slopes and Lines, and Functions and Graphs.
• New Try It! questions have been added to every section to increase student involvement as they read the text.
• The Problem-Solving Applications have been reformatted so students must answer intermediary questions before moving to the next step.
• New Technology and Lab Explorations are featured in some sections and in some Exercises and Problem sets and offer an opportunity to explore an interesting topic in more depth.
FEATURES OF THE TENTH EDITION
Chapter Level
• Each chapter begins with a new Spotlight on Teaching and Learning, showing connections between the topics and materials in the chapter and the Common Core State Standards and Practices for Mathematics.
• Each chapter ends with a Chapter Review and a Chapter Test.
Section Level
• Each section begins with a Math Activity that fosters group discussions and uses manipulatives from the manipulative kit (cardstock and virtual, see Student Resources) or other commonly available classroom supplies.
• A Problem Opener poses an interesting problem to be solved and serves as a warmup to the topics of the section.
• Try It! questions in every section take the place of many examples and put more responsibility on the student to become involved in the learning of important concepts and skills.
• Problem-Solving Applications offer an emphasis on problem solving and Polya’s four steps and provide opportunities to practice problem solving skills.
• Common Core and NCTM standards relating to the topics under consideration are noted throughout each section, and questions corresponding to these standards are found in the Classroom Connections section of the Exercises and Problems at the end of each section.
• Historical Highlights describe the origins and evolution of key mathematical ideas and provide background on some of history’s outstanding mathematicians.
• Elementary School Text Pages taken from current grade school textbooks show how key concepts from the section are presented to K–8 students. Questions corresponding to these pages can be found in the Teaching Questions section of the Exercises and Problems at the end of each section.
• Technology and Lab Explorations offer the opportunity to explore an interesting topic in more depth.
• Interactive Math Applets, described in many sections, can be found at www.mhhe.com/ bbne and are designed for interactive explorations of some of the key concepts of the text.
• McGraw-Hill’s Connect is a web-based assignment and assessment platform that helps students connect to their coursework and prepares them to succeed in and beyond the course. A full color e-book is available for each Connect user.
STUDENT AND INSTRUCTOR RESOURCES
Student Resources
• Companion Website The Student Center at www.mhhe.com/bbne offers a variety of resources, including
◦ Virtual Manipulatives
◦ Interactive Math Applets
◦ Downloadable grid and dot paper
◦ Printable manipulative sheets to make your own manipulative sets for individual or classroom use
◦ Puzzlers with fun math problems
• Answers to text features Selected answers to each Math Activity (marked with a*), complete answers to all of the Problem Openers, Try Its! and Problem Solving Applications, and brief answers to the Odd Exercises and Problems for each section are found at the back of the text.
• Student Solutions Manual Detailed explanations and diagrams for the odd-numbered exercises are available—see the “Additional Supplements for Students” for more information.
• Cardstock and Virtual Manipulatives A kit with ten colored punch-out-ready cardstock manipulatives for use with the activities, examples, problems and exercises in this textbook may be packaged with your text. Printable Virtual Manipulative workspaces with electronic versions of each cardstock manipulative are available at www.mhhe.com/bbne.
Instructor-Only Resource Center
Available for download at the password-protected Instructor Center (www.mhhe.com/ bbne) or through the Instructor Resource library feature of Connect:
• Daily Planning Guides Ideas for teaching every section of the Conceptual Approach text. For each section the guide includes
◦ A guide for the material and exercises of the sections promoting time for class discussions and questions
◦ Comments, tips, and teaching suggestions
◦ Suggestions for integrating Math Activities in your classroom
• Complete Instructor’s Manual Complete solutions to all Math Activities, Problem Openers, Try Its!, Problem-Solving Applications, Lab and Computer Explorations, and all Exercises and Problems
• Editable Chapter Tests Three versions per chapter, with solutions.
ADDITIONAL RESOURCES FOR STUDENTS
Mathematics for Elementary Teachers: An Activity Approach, Tenth Edition
The Activity Approach contains Activity Sets that correspond to each section of the text and augment the ideas presented in the sections. Each Activity Set consists of a sequence of hands-on inductive activities and experiments that enable the student to build an understanding of mathematical ideas through the use of models and the discovery of patterns. ISBN 13: 9781259298387, ISBN 10: 1259298388
Manipulative Kit
The Manipulative Kit containing 10 colorful manipulatives commonly used in elementary schools is available for use with this text and for use with the Activity Approach text This kit includes labeled envelopes for each type of manipulative. ISBN 13: 9781259293474, ISBN 10: 1259293475
Student’s Solution Manual
The Student’s Solutions Manual contains detailed solutions to the odd-numbered exercises and Chapter Tests. The introduction offers suggestions for solving problems and for answering the Teaching and Classroom Connections questions in the text. Additional questions and comments have been included at the ends of some of the solutions to give students opportunities to extend their learning. ISBN 13: 9781259294754, ISBN 10: 1259294757
COMMON PACKAGING OPTIONS
Mathematics for Elementary Teachers: A Conceptual Approach, Tenth Edition, and Mathematics for Elementary Teachers: An Activity Approach, packaged with Manipulative Kit Mathematics for Elementary Teachers, Tenth Edition. ISBN 13: 9781259542190, ISBN 10: 125954219X
Mathematics for Elementary Teachers: A Conceptual Approach, Tenth Edition, packaged with Manipulative Kit Mathematics for Elementary Teachers, Tenth Edition. ISBN 13: 9781259542213, ISBN 10: 1259542211
Mathematics for Elementary Teachers: An Activity Approach, Tenth Edition, packaged with Manipulative Kit Mathematics for Elementary Teachers, Tenth Edition. ISBN 13: 9781259542084, ISBN 10: 1259542084
For additional packaging options please consult your McGraw-Hill sales representative. To find your rep, please visit www.mhhe.com/rep.
ACKNOWLEDGMENTS
We wish to thank Albert B. Bennett, III for his assistance in preparing the polydron graphics used on the cover of this book. We thank the many students and instructors who have used the first nine editions of this text, along with instructors who reviewed this text and Mathematics for Elementary Teachers: An Activity Approach and have supported our efforts by contributing comments and suggestions. We especially acknowledge the following reviewers who contributed excellent advice and suggestions for the tenth edition and previous editions:
Reviewers of This Edition
Eddie Cheng, Oakland University
Linda Fitzpatrick, Western Kentucky University
Jerrold Grossman, Oakland University
Jeff Hovermill, Northern Arizona University
Joan Jones, Eastern Michigan University
Klay Kruczek, Southern Connecticut State University
Sean Larsen, Portland State University
Lyn J. Miller, Slippery Rock University
Bethany Noblitt, Northern Kentucky University
Douglas Puharic, Edinboro University
Eva Thanheiser, Portland State University
John Wilkins, California State University, Dominguez Hills
Reviewers of the Previous Editions
Paul Ache, Kutztown University
Khadija Ahmed, Monroe County Community College
Margo Alexander, Georgia State University
Angela T. Barlow, State University of West Georgia
Shari Beck, Navarro College
Sue Beck, Morehead State University
William L. Blubaugh, University of Northern Colorado
Patty Bonesteel, Wayne State University
Judy Carlson, Indiana University–Purdue University, Indianapolis
Carol Castellon, University of Illinois–Urbana-Champaign
Kristin Chatas, Washtenaw Community College
Chris Christopher, Bridgewater College
Janis Cimperman, St. Cloud State University
Porter Coggins, University of Wisconsin–Stevens Point
Ivette Chuca, El Paso Community College
Joy Darley, Georgia Southern University
Jean F. Davis, Texas State University–San Marcos
Tandy Del Vecchio, University of Maine
Linda Dequire, California State University, Long Beach
Ana Dias, Central Michigan University
Joyce Fischer, Texas State University–San Marcos
Grant A. Fraser, California State University–Los Angeles
Maria Fung, Western Oregon University
Krista Hands, Ashland University
Karen Heinz, Rowan University
Vanessa Huse, Texas A&M University–Commerce
Kathy Johnson, Volunteer State Community College
Joan Jones, Eastern Michigan University
Kurt Killion, Missouri State University
Gregory Klein, Texas A&M University–College Station
Peggy Lakey, University of Nevada, Reno
Pamela Lasher, Edinboro University of Pennsylvania
Elsa Lopez, El Paso Community College
Sarah E. Loyer, Eastern Mennonite University
Judy McBride, Indiana University–Purdue University, Indianapolis
Nicole Muth, Concordia University–Wisconsin
Linda Padilla, Joliet Junior College
Winnie Peterson, Kutztown University
Kimberley Polly, Parkland College and Indiana University
Michael Price, University of Oregon
Sue Purkayastha, University of Illinois–Champaign
Laurie Riggs, California State University–Pomona
F. D. Rivera, San Jose State University
Kathleen Rohrig, Boise State University
Eric Rowley, Utah State University
Thomas H. Short, Indiana University of Pennsylvania
Pavel Sikorskii, Michigan State University
Elizabeth Smith, University of Louisiana–Monroe
Mary Ann Teel, University of North Texas
William N. Thomas, Jr., University of Toledo
Patricia Treloar, University of Mississippi
Hazel Truelove, University of West Alabama
Agnes Tuska, California State University, Fresno
Laura Villarreal, University of Texas at Brownsville
Tammy Voepel, Southern Illinois University–Edwardsville
Candide Walton, Southeast Missouri State University
Hiroko Warshauer, Texas State University–San Marcos
Pamela Webster, Texas A&M University–Commerce
Andrew White, Eastern Illinois University
Henry L. Wyzinski, Indiana University Northwest
Finally, at McGraw-Hill Education, thanks to Ryan Blankenship, Managing Director; Ashley Zellmer McFadden, Product Developer; Alex Gay, Marketing Director; Robert Brieler, Director of Digital Content; and Peggy Selle, Content Project Manager.
SUPPLEMENTS
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• McGraw-Hill’s Connect is a web-based assignment and assessment platform that helps students connect to their coursework and prepares them to succeed in and beyond the course.
• Connect enables math and statistics instructors to create and share courses and assignments with colleagues and adjuncts with only a few clicks of the mouse. All exercises, learning objectives, and activities are vetted and developed by math instructors to ensure consistency between the textbook and the online tools.
• Connect also links students to an interactive eBook with access to a variety of media assets and a place to study, highlight, and keep track of class notes.
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Give students the tools they need. Right when they need them. McGraw-Hill LearnSmart adaptively assesses students’ skill levels to determine which topics students have mastered and which require further practice. Then it delivers customized learning content based on their strengths and weaknesses. The result: students learn faster and more efficiently because they get the help they need, right when they need it—instead of getting stuck on lessons or being continually frustrated with stalled progress.
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SECTION 1.1 INTRODUCTION TO PROBLEM SOLVING
There is no more significant privilege than to release the creative power of a child’s mind.
Franz F. Hohn
PROBLEM OPENER
Practices & Processes
Problem solving is the hallmark of mathematical activity and a major means of developing mathematical knowledge.
National Council of Teachers of Mathematics
Figure 1.1
Alice counted 7 cycle riders and 19 cycle wheels going past her house. How many tricycles were there?
“Learning to solve problems is the principal reason for studying mathematics.”* This statement by the National Council of Supervisors of Mathematics represents a widespread opinion that problem solving should be the central focus of the mathematics curriculum.
A problem exists when there is a situation you want to resolve but no solution is readily apparent. Problem solving is the process by which the unfamiliar situation is resolved. A situation that is a problem to one person may not be a problem to someone else. For example, determining the number of people in 3 cars when each car contains 5 people may be a problem to some elementary school students. They might solve this problem by placing chips in boxes or by making a drawing to represent each car and each person (Figure 1.1) and then counting to determine the total number of people.
You may be surprised to know that some problems in mathematics are unsolved and have resisted the efforts of some of the best mathematicians to solve them. One
*National Council of Supervisors of Mathematics, Essential Mathematics for the 21st Century
Practices & Processes
Doing mathematics involves discovery. Conjecture—that is, informed guessing—is a major pathway to discovery. Teachers and researchers agree that students can learn to make, refine, and test conjectures in elementary school.
National Council of Teachers of Mathematics
such problem was discovered by Arthur Hamann, a seventh-grade student. He noticed that every even number could be written as the difference of two primes.*
For example,
After showing that this was true for all even numbers less than 250, he predicted that every even number could be written as the difference of two primes. No one has been able to prove or disprove this statement. When a statement is thought to be true but remains unproved, it is called a conjecture.
PROBLEM SOLVING AND POLYA’S FOUR STEPS
The first of the Common Core State Standards for Mathematical Practice states that students should make sense of problems and persevere in solving them. Problem solving is also an overarching focus within the standards of the National Council of Teachers of Mathematics. And it is the subject of a major portion of research and publishing in mathematics education. Much of this research is founded on the problem-solving writings of George Polya, one of the foremost twentieth-century mathematicians. Polya devoted much of his teaching to helping students become better problem solvers. His book How to Solve It has been translated into more than 20 languages. In this book, he outlines the following four-step process for solving problems.
Understanding the Problem Polya suggests that a problem solver needs to become better acquainted with a problem and work toward a clearer understanding of it before progressing toward a solution. Increased understanding can come from rereading the statement of the problem, drawing a sketch or diagram to show connections and relationships, restating the problem in your own words, or making a reasonable guess at the solution to help become acquainted with the details.
Sometimes the main difficulty in solving a problem is knowing what question is to be answered.
Devising a Plan The path from understanding a problem to devising a plan may sometimes be long. Most interesting problems do not have obvious solutions. Experience and practice are the best teachers for devising plans. Throughout the text you will be introduced to strategies for devising plans to solve problems.
Carrying Out the Plan The plan gives a general outline of direction. Write down your thinking so your steps can be retraced. Is it clear that each step has been done correctly? Also, it’s all right to be stuck, and if this happens, it is sometimes better to put aside the problem and return to it later.
*M. R. Frame, “Hamann’s Conjecture,” Arithmetic Teacher
Looking Back When a result has been reached, verify or check it by referring to the original problem. In the process of reaching a solution, other ways of looking at the problem may become apparent. Quite often after you become familiar with a problem, new or perhaps more novel approaches may occur to you. Also, while solving a problem, you may find other interesting questions or variations that are worth exploring.
Polya’s problem-solving steps will be used throughout the text. The purpose of this section is to help you become familiar with the four-step process and to acquaint you with some of the common strategies for solving problems: making a drawing, guessing and checking, making a table, using a model, and working backward. Additional strategies will be introduced throughout the text.
Many problems can be approached successfully in a variety of ways. Even when using the same general strategy, different problem solvers may come up with different variations in how the approach is used. For each of the five problems discussed in this section, we invite you in a Try It! to work on the problem yourself first, before reading our approach to a solution. Your approach may be as good, or better than, ours.
You will find Try It! questions throughout the text. When you come to a Try It! you should stop reading, grab a pencil, and work through the given question. Answers to the Try It! questions can be found in the back of the text.
To learn mathematics, and especially to learn problem solving, it is important to learn by doing. Take your time, think through the problems, and don’t be afraid to try a variety of ideas. Even wrong answers and unproductive approaches are opportunities for learning. The joy that comes from seeing persistence pay off in a correct solution to a difficult problem is very gratifying for learners of all ages.
MAKING A DRAWING
PROBLEM-SOLVING APPLICATION
Problem
One of the most helpful strategies for understanding a problem and obtaining ideas for a solution is to draw sketches and diagrams. Most likely you have heard the expression “A picture is worth a thousand words.” In the following problem, the drawings will help you to think through the solution.
For his wife’s birthday, Mr. Jones is planning a dinner party in a large room. There will be 22 people, and in order to seat them he needs to borrow card tables, the size that seats one person on each side. He wants to arrange the tables in a rectangular shape so that they will look like one large table. What is the smallest number of tables that Mr. Jones needs to borrow?
ng the
Before reading further, use a method that makes sense to you to work on this problem. Then read through our Making a Drawing approach, answering the questions along the way.
Practices & Processes
Practice 1
Make sense of problems and persevere in solving them. Younger students might rely on using concrete objects or pictures to help conceptualize and solve a problem. Mathematically proficient students check their answers to problems using a different method, and they continually ask themselves, “Does this make sense?”
Understanding the Problem The tables must be placed next to each other, edge to edge, so that they form one large rectangular table.
Onelargetable
Question 1: If two tables are placed end to end, how many people can be seated?
Devising a Plan Drawing pictures of the different arrangements of card tables is a natural approach to solving this problem. There are only a few possibilities. The tables can be placed in one long row; they can be placed side by side with two abreast; etc.
Question 2: How many people can be seated at five tables if they are placed end to end in a single row?
Carrying Out the Plan The following drawings show two of the five possible arrangements that will seat 22 people. The X’s show that 22 people can be seated in each arrangement. The remaining arrangements—3 by 8, 4 by 7, and 5 by 6—require 24, 28, and 30 card tables, respectively.
Question 3: What is the smallest number of card tables needed?
Looking Back The drawings show that a single row of tables requires the fewest tables because each end table has places for 3 people and each of the remaining tables has places for 2 people. In all the other arrangements, the corner tables seat only 2 people and the remaining tables seat only 1 person. Therefore, regardless of the number of people, a single row is the arrangement that uses the smallest number of card tables, provided the room is long enough.
Question 4: What is the smallest number of card tables required to seat 38 people?
GUESSING AND CHECKING
PROBLEM-SOLVING APPLICATION
Even though guessing can sometimes lead to going down a wrong pathway, many problems can be better understood and even solved by trial-and-error procedures. As Polya said, “Mathematics in the making consists of guesses.” If your first guess is off, it may lead to a better guess. Even if guessing doesn’t produce the correct answer, you may increase your understanding of the problem and obtain an idea for solving it. The
Practices & Processes
Practice 2
Reason abstractly and quantitatively. Mathematically proficient students make sense of quantities and their relationships in problem situations. . . . Quantitative reasoning entails habits of creating a coherent representation of the problem at hand; considering the units involved; attending to the meaning of quantities, not just how to compute them; and knowing and flexibly using different properties of operations and objects.
guess-and-check approach is especially appropriate for elementary schoolchildren because it puts many problems within their reach.
Problem
How far is it from town A to town B in this cartoon?
Peanuts: © United Feature Syndicate, Inc.
ng and
Before reading further, use the information in the first two panels of the cartoon to see if you can answer the question. Then read through our Guessing and Checking approach, answering the questions along the way.
Understanding the Problem There are several bits of information in this problem. Let’s see how Peppermint Patty could have obtained a better understanding of the problem with a diagram. First, let us assume these towns lie in a straight line, so they can be illustrated by points A, B, C, and D, as shown in (a). Next, it is 10 miles farther from A to B than from B to C, so we can move point B closer to point C, as in (b) It is also 10 miles farther from B to C than from C to D, so point C can be moved closer to point D. Finally, the distance from A to D is given as 390 miles.
Question 1: The problem requires finding what distance?
Devising a Plan One method of solving this problem is to make a reasonable guess and then use the result to make a better guess. If the 4 towns were equally spaced, as in (a), the distance between each town would be 130 miles (390 4 3). However, the distance from town A to town B is the greatest. So let’s begin with a guess of 150 miles for the distance from A to B.
Question 2: In this case, what is the distance from B to C and C to D?
Carrying Out the Plan Using a guess of 150 for the distance from A to B produces a total distance from A to D that is greater than 390. If the distance from A to B is 145, then the B-to-C distance is 135 and the C-to-D distance is 125. The sum of these distances is 405, which is still too great.
Question 3: What happens if we use a guess of 140 for the distance from A to B?
Looking Back One of the reasons for looking back at a problem is to consider different solutions or approaches. For example, you might have noticed that the first guess, which produced a distance of 420 miles, was 30 miles too great.
Question 4: How can this observation be used to lead quickly to a correct solution of the original problem?
MAKING A TABLE
PROBLEM-SOLVING APPLICATION
Problem
A problem can sometimes be solved by listing some of or all the possibilities. A table is often convenient for organizing such a list.
Sue and Ann earned the same amount of money, although one worked 6 days more than the other. If Sue earned $36 per day and Ann earned $60 per day, how many days did each work?
he way
Before reading further, use a method that makes sense to you to work on this problem. Then read through our Making a Table approach and compare it to the way that you thought about the problem.
Understanding the Problem Answer a few simple questions to get a feeling for the problem.
Question 1: How much did Sue earn in 3 days? Did Sue earn as much in 3 days as Ann did in 2 days? Who worked more days?
Devising a Plan One method of solving this problem is to list each day and each person’s total earnings through that day.
Question 2: What is the first amount of total pay that is the same for Sue and Ann, and how many days did it take each to earn this amount?
Carrying Out the Plan The complete table is shown on page 10. There are three amounts in Sue’s column that equal amounts in Ann’s column. It took Sue 15 days to earn $540.
Practices & Processes
Practice 4
Model with mathematics.
Mathematically proficient students can apply the mathematics they know to solve problems arising in everyday life.
Question 3: How many days did it take Ann to earn $540, and what is the difference between the numbers of days they each required?
Looking Back You may have noticed that every 5 days Sue earns $180 and every 3 days Ann earns $180.
Question 4: How does this observation suggest a different way to answer the original question?
USING A MODEL
Models are important aids for visualizing a problem and suggesting a solution. The recommendations by the Conference Board of the Mathematical Sciences (CBMS) in their document, The Mathematical Education of Teachers, say: “Future teachers will need to connect fundamental concepts to a variety of situations, models, and representations.”*
PROBLEM-SOLVING APPLICATION
The next problem uses whole numbers 0, 1, 2, 3, . . . and is solved by using a model. It involves a well-known story about the German mathematician Karl Gauss. When Gauss was 10 years old, his schoolmaster gave him the problem of computing the sum of whole numbers from 1 to 100. Within a few moments the young Gauss wrote the answer on his slate and passed it to the teacher. Before you read the solution to the following problem, try to find a quick method for computing the sum of whole numbers from 1 to 100.
*Conference Board of the Mathematical Sciences (CBMS), The Mathematical Education of Teachers, “Chapter 7: The Preparation of Elementary Teachers.”
Practices & Processes
Practice 6
Attend to precision.
Mathematically proficient students try to communicate precisely to others. They try to use clear definitions in discussion with others and in their own reasoning. They state the meaning of the symbols they choose, including using the equal sign consistently and appropriately.
Problem
Find an easy method for computing the sum of consecutive whole numbers from 1 to any given number.
reate a
Before reading further, think about different ways you might try Using a Model to illustrate sums of consecutive numbers. For example, how could you create a model of 1 1 2 1 3 1 4?
Understanding the Problem If the last number in the sum is 8, then the sum is 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8. If the last number in the sum is 100, then the sum is 1 1 2 1 3 1 1 100.
Question 1: What is the sum of whole numbers from 1 to 8?
Devising a Plan One method of solving this problem is to cut staircases out of graph paper. The one shown in (a) is a 1-through-8 staircase: There is 1 square in the first step, there are 2 squares in the second step, and so forth, to the last step, which has a column of 8 squares. The total number of squares is the sum 1 1 2 1 3 1
1 8. By using two copies of a staircase and placing them together, as in (b), we can obtain a rectangle whose total number of squares can easily be found by multiplying length by width.
Question 2: What are the dimensions of the rectangle in (b), and how many small squares does it contain?
Carrying Out the Plan Cut out two copies of the 1-through-8 staircase and place them together to form a rectangle. Since the total number of squares is 8 3 9, the number of squares in one of these staircases is (8 3 9) 2 5 36. So the sum of whole numbers from 1 to 8 is 36. By placing two staircases together to form a rectangle, we see that the number of squares in one staircase is just half the number of squares in the rectangle. This geometric approach to the problem suggests that the sum of consecutive whole numbers from 1 to any specific number is the product of the last number and the next number, divided by 2.
Question 3: What is the sum of whole numbers from 1 to 100?
1-through-8staircase (a)
Two 1-through-8 staircases (b)
Looking Back Another approach to computing the sum of whole numbers from 1 to 100 is suggested by the following diagram, and it may have been the method used by Gauss. If the numbers from 1 to 100 are paired as shown, the sum of each pair of numbers is 101.
Question 4: How can this sum be used to obtain the sum of whole numbers from 1 to 100?
Question 5: Can this method be used for sums of consecutive whole numbers that do not begin with 1?
370–415
Athenaeus, a Greek writer (ca. 200), in his book Deipnosophistae mentions a number of women who were superior mathematicians. However, Hypatia in the fourth century is the first woman in mathematics of whom we have considerable knowledge. Her father, Theon, was a professor of mathematics at the University of Alexandria and was influential in her intellectual development, which eventually surpassed his own. She became a student in Athens at the school conducted by Plutarch the Younger, and it was there that her fame as a mathematician became established. Upon her return to Alexandria, she accepted an invitation to teach mathematics at the university. Her contemporaries wrote about her great genius. Socrates, the historian, wrote that her home as well as her lecture room was frequented by the most unrelenting scholars of the day. Hypatia was the author of several treatises on mathematics, but only fragments of her work remain. A portion of her original treatise On the Astronomical Canon of Diophantus was found during the fifteenth century in the Vatican library. She also wrote On the Conics of Apollonius. She invented an astrolabe and a planisphere, both devices for studying astronomy, and apparatuses for distilling water and determining the specific gravity of water.*
*L. M. Osen, Women in Mathematics, pp. 21–32.
WORKING BACKWARD
PROBLEM-SOLVING APPLICATION
Problem
A businesswoman went to the bank and sent half of her money to a stockbroker. Other than a $2 parking fee before she entered the bank and a $1 mail fee after she left the bank, this was all the money she spent. On the second day she returned to the bank and sent half of her remaining money to the stockbroker. Once again, the only other expenses were the $2 parking fee and the $1 mail fee. If she had $182 left, how much money did she have before the trip to the bank on the first day?
Hypatia,
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elle a pu travailler comme un homme. Elle n’avait aucun besoin comme ils disent : mais elle savait manger, se promener, dormir, se taire, causer. Et à Paris on la croyait à la campagne : elle habitait dans n’importe quelle caserne comme un paysan qu’on a recruté mais qui, rêvant la nuit, déploie des prairies pleines de bêlements. Elle n’occupait que deux pièces : une salle de bains et une chambre où elle avait son lit, ses livres : on pouvait les compter et ils étaient macérés dans l’odeur forte de son âme. Sur une petite table, elle se faisait servir une grillade, un morceau de fromage, un fruit. Elle fumait du tabac français, tout naïf, qui n’est que du tabac. Elle s’habillait de la fraîcheur d’un bain et d’une robe unie. Personne n’a jamais vu cette robe, qui s’anéantissait sur elle, entièrement dévorée par sa personne.
« Elle n’avait pas des pieds ni des mains selon les conventions exténuées, elle avait des mains et des pieds. L’ivoire de ses dents témoignait de la réalité du monde. « Elle est belle mais elle est bête », j’ai entendu cette phrase-là dans un salon. Un salon ! moins que le ruisseau de la rue, quand ce n’est pas le promenoir où je rencontre une femme que je couche sur mes tablettes que vous brûlerez avec mes intestins à ma mort ; brûlez-les aux magnanimes effluves du terreau. Sa beauté était une décision comme l’intelligence. Elle n’était qu’elle-même, mais elle était entièrement elle-même : c’est ainsi qu’elle était bornée.
« Ses dents encore ! C’était sa santé, son bonheur, sa justice.
« Son corps, je n’y pense guère. Je n’ai pas subi le pouvoir de la mort qui déjà l’avait abîmé. Il n’y avait pas entre nous une question de plus ou de moins. Je l’ai mangé, ce fruit avant qu’il soit pourri le moins du monde, et dans mon ventre et parmi les métamorphoses que je lui assure il se conserve, le frais miracle.
« Le dessin, le dessin, il nous faut encore et toujours du dessin, nous ne serons jamais las de découper la Nature. Je ne comprends rien à ces visages sans nez, il me faut un nez. Mais ce qu’on ne peut pas décrire c’est un menton. Dieu les rate presque toujours, dégoûté. Il y a là un secret. Chez la femme ce trait n’est pas mâle,
mais c’est pourtant celui qui la marie hautement avec l’homme ; il dit les maternités, les régences, et la guerre quand l’homme fait défaut.
« Je pourrais retourner pendant des heures les bottes odorantes dans ma grange.
« Je puis satisfaire largement à mon appétit. Sa beauté parle dans l’éternité. »
Gille revint vers Finette et elle ne vit rien. On ne croit pas qu’un autre homme puisse sortir du bois que celui qu’on y a vu entrer et qui vous plaît. Il la regardait, plus éloigné d’elle qu’à aucun moment, plein d’une tendresse renaissante qui n’était pas pour elle. Il croyait alors que c’était pour Jacqueline. Mais qui sait ? N’était-ce pas pour une autre, qui se formait dans les flancs de cette Jacqueline du passé, prête à se reproduire par la vertu de ces mélanges inévitables que Dieu prépare inlassablement ?
XII
Elle était arrivée, depuis quelques jours déjà, et, sous prétexte de fatigue, avait à peine paru chez Finette qui disait : « Ce sont des ours, laissons-les. » Cependant, elle se promenait dans les champs et Gille l’y avait rencontrée.
Un coup d’œil fit entrer cet homme jeune dans les mystères du temps. Jacqueline était la même, alors que tout avait changé autour d’elle : ce qui n’avait pas changé, il découvrait donc avec un horrible dépit que pour être si résistant, cela lui avait échappé à lui, comme cela se dérobait à son successeur, comme cela s’était gardé contre son prédécesseur.
Elle avait vieilli ; dans un corps qu’elle abandonnait, qu’elle oubliait comme un autre vêtement, sous une robe plus que jamais dédaignée, sa beauté, devenue tout intérieure, frappait des coups irréparables.
« Grande amoureuse, tu sais préserver encore ta longue ambition, tu as mis la main sur un homme qui ne peut s’arrêter à tes superficielles déchéances, mais par le génie aveugle de son désir il reste sensible à tes vertus essentielles, et il engrange paisiblement, parmi les incendies et les ruines, ta dernière, ta plus riche moisson. Avec mes yeux émerillonnés, je ne pouvais être celui-là. »
Il recevait l’accueil de son sourire toujours admirable. Il s’inclina devant cette blancheur indestructible, cette jeunesse indomptable des dents. Elle avait moins de rides que lui, ses cheveux gris étaient joyeux. Toute la mystique que nourrissait la mémoire amaigrie de Gille tombait en poussière devant cette santé toujours triomphante qui requérait une admiration plus vivante. Les herbes et les branches rentrent dans un temple où une religion s’est fatiguée.
— Qu’est-ce que vous êtes devenu, Gille ? Avez-vous été heureux ? Avez-vous fait quelque chose ?
Ces derniers mots « avez-vous fait quelque chose ? » firent tiquer Gille, ils creusaient un côté du caractère de Jacqueline : pour elle un homme devait faire quelque chose, peu lui importait du reste ce que ce fût, et elle se tenait près de lui avec son amour, toujours prêt à approuver et à aider
« Faire quelque chose » ! Certes, il craignait sa sévère franchise. Mais si cette question le révoltait, ce n’était pas tant qu’elle allât audevant de tristes aveux, mais qu’au delà de la faiblesse que ses aveux allaient découvrir, elle heurtât une défense irréductible en lui, la croyance inavouée qui était le ressort qui le maintenait debout :
« Je ne fais rien, mais qu’on me laisse suspendre à cette seule parole de vie, à ce hameçon déchirant : « que ne mérite de vivre que l’absolu. » Peut-être un absolu se forme en moi, laissez-moi à mon attente. »
— Jacqueline, je n’ai point retrouvé de femme comme vous.
— Allons, allons ! Ne me dites pas de banalités. Vous n’avez pas voulu. Du reste, vous avez été amoureux, on m’a montré de jolies filles qui…
— Peuh ! si vous saviez… Non… je suis seul.
— Faut-il vous croire ? C’est vrai, je me rappelle qu’il y avait en vous des dispositions pour gâcher tout, autour de vous. Mais vous êtes peut-être très bien, seul.
— Vous ne pouvez soupçonner comme j’ai mal tourné.
— Oh ! j’imagine ce que vous appelez votre solitude : lâcher une femme tous les quinze jours, mais en essayer une nouvelle tous les mois. Et naturellement vous leur avez infligé bien plus de mal que vous n’en avez supporté.
— Hélas !… eh bien, non. Je ne leur laisse pas le temps de m’aimer, et pourtant, Dieu sait qu’elles sont toujours prêtes à chérir et à souffrir.
— Voilà de quoi calmer vos scrupules.
— Mais je souffre assez de la facilité avec laquelle je réussis à les détacher de moi, pour que vous me croyiez. Vous-même…!
Il s’arrêta.
— Je vous ai beaucoup aimé, Gille, beaucoup plus que vous n’avez pu le sentir. Vous étiez trop jeune, vous pensiez trop à la guerre, et à tout le reste de la vie que je vous empêchais de connaître… et à la mort.
— Mais c’est vous qui m’avez fait connaître la vie et je ne l’ai connue que par vous, vous avez été tout pour moi. Mais je n’ai guère compté pour vous ; vous avez renoué votre vie, après mon départ, si promptement.
— J’aurais pu vous aimer beaucoup plus encore et longtemps.
— Mais vous avez pu ne pas le faire. Non, il vaut mieux ne pas réfléchir sur notre amour, ce que j’ai de mieux dans ma vie, et pourtant si douteux.
— Ce n’est jamais moi qui ai cessé d’aimer, mais on m’arrachait l’amour du cœur.
— En tout cas, je vous vois aujourd’hui amoureuse encore et heureuse…
Ils marchèrent sans parler. Puis il reprit :
— Mais cette tranquillité, je vois de quoi elle est faite. Quand l’amour se confond avec la paix, je me prépare à le haïr.
— Un travail écrasant. Jacques est pauvre. Et il ne peut refuser ce qui est en lui et qui est immense. Et il n’a aucune facilité, il lui faut des heures pour préparer un concert, il a besoin de moi à chaque minute.
— Vous êtes dévorante, vous vous repaissez de son travail autant que de lui-même.
— Oui. Eh bien ! quoi ? Vous trouvez cela terre à terre, mais je ne vois rien d’autre. C’est cela, l’amour : il faut le nourrir de quelque chose.
— Justement, je ne pouvais rien vous donner, je n’étais que ce cri : « je vis, avant de mourir ». Vous n’avez guère pu m’aimer.
— Vous, c’était autre chose, la jeunesse, son incroyable promesse.
— Oui, autre chose, mais peu de chose. Vous ne vous êtes jamais lancée de mon côté. Mais peu importe, le peu qui a été entre nous c’est tout le bien de ma vie, c’est mon seul bien.
— Mais je n’ai pas oublié, j’ai le droit de ne pas oublier. Votre jeunesse, Gille, comme elle me fait encore du bien !
— Ça, je n’y comprends rien. Moi, qui n’ai qu’un pauvre amour, je me demande comment vous pouvez en accorder plusieurs. Cela me décourage mortellement.
— Gille, j’ai toujours senti que vous étiez menacé par quelque chose qui m’est si étranger que je ne le vois pas. La menace semble s’être rapprochée. Mais Finette ?
— Croyez-vous que je l’aime ?
— Ma foi !
— Jacqueline, je suis bien tranquille, vous ne croyez pas que je l’aime.
— Mon petit Gille, c’est vrai, mais au fond j’ai tort et vous aussi. Elle a l’air d’avoir du bon cette femme, et un homme peut faire ce qu’il veut d’une femme.
— Oui, c’est étonnant qu’elle ne me touche pas un peu. Je suis impossible.
— Il ne faut pas vous forcer, non plus. Comme vous êtes drôle. Laissez-vous aller, faites-lui l’amour et qui vivra verra.
— Comme ça vous ressemble, ces conseils pour miséreux. Et puis, ma pauvre Jacqueline, si vous saviez !
— Quoi encore ?
— C’est lamentable. Et devant vous tout à coup cela me paraît invraisemblable. Quel être je suis. Comment, après vous avoir
connue, ai-je pu retomber ? Car vous n’avez jamais su d’où je sortais déjà quand je vous ai rencontrée…
Quand Gille tenait ces propos il y avait pourtant un semblant de nouveau dans ses jours.
Après un déjeuner, Finette avait décidé de se laisser aller, et cela n’avait pas manqué : il était devenu tout d’un coup son amant, sans y penser. Mais non qu’il ne pensât pas, bien au contraire : ses yeux avaient achevé de s’ouvrir et ils prodiguaient maintenant ces regards studieux qu’amorce le désir et dont il se nourrit ensuite.
Gille crut que ce résultat était obtenu grâce au repos qu’on lui avait fait prendre, mais ce n’était pas tant le repos physique que le repos de l’esprit. L’isolement avait été le seul vulnéraire dont il pût s’accommoder pour panser son âme déchiquetée. Peu à peu les mille images qui le démangeaient de toutes parts comme des orties s’étaient effacées et dans son âme déblayée il avait pu recevoir une femme suffisamment au large pour qu’elle pût se déployer et lui imposer sa forme.
Tout semblait s’arranger Aux yeux de tous les faux témoins qui habitaient dans cette maison, leur liaison se déclara régulière et paisible, en dépit des airs détachés qu’ils prenaient. Car ils n’oubliaient jamais, ni l’un, ni l’autre, de se justifier aux yeux de Luc et de Bernard. Finette laissait entendre à son frère que la simplicité qui la poussait vers Gille était un vice de plus, inattendu et curieux. Gille se posait comme un jeune cheval qu’on a mis au vert et qui remet à plus tard les ruades.
Ainsi donc se dénouait cette crise considérable à laquelle Gille venait de faire une si longue allusion. Il y avait deux ou trois ans qu’il avait commencé de sentir la terre se dérober sous ses pas et toutes les femmes lui échapper, aussi bien celles qui lui donnaient à rêver que celles qui un instant le mettaient en possession d’une partie de lui-même. Et voilà qu’il suffisait d’une conjoncture aussi simple que
cette halte à la campagne, la courte persévérance d’une femme plus curieuse que dévouée, pour tout résoudre.
XIII
A peine était-il devenu l’amant de Finette, que Gille s’était dit : « Eh bien ! voilà ! le cauchemar est fini. Maintenant cela ira comme sur des roulettes. Mais je m’étonne d’avoir pu croire si gros un obstacle qui à cette heure est derrière moi. Et il est vrai que ce succès ne me met qu’au niveau de tout le monde. Et cet élan, qui n’eut pas besoin d’être fort, ne me portera pas loin dans son cœur. »
Pourtant il était obligé de se rendre à l’art délicieux avec lequel, recevant enfin des marques de tendresse attendues longtemps en secret, elle lui cédait lentement l’aveu de son impatience et contenait encore ses transports de reconnaissance. La pudeur, après beaucoup de hardiesse, est savoureuse, et si Finette n’avait de pudeur qu’au lit, elle en avait de jolie qualité qui momentanément ne manqua pas de toucher Gille, et cette flatterie de la femme amoureuse qui caresse avec des mains sournoises et sagaces la vanité de l’homme. Finette lui faisait oublier les échecs passés en même temps qu’elle faisait valoir la réussite présente. Enfin Gille pour la première fois peut-être appréciait la volupté du moment, se rappelant en désespoir de cause qu’elle est rare et prenant soin de la relier aux points de comparaison dont il disposait.
Finette avait, au-dessous de sa tête de laideron fin et piquant, assis sur des hanches et des cuisses assez mal tournées, un buste gracile, fait d’une ligne délicate, tremblée et pourtant nerveuse qui allégeait des bras potelés, flattait des épaules fléchissantes et ployait une nuque et des reins brisés par l’antique plaisir. Par devant, de la plus fine terre de pipe, un ventre et deux seins, d’un contour si mince.
Mais Gille n’avait pas une très forte nature, il était bientôt las, et le temps passait avant qu’il retrouvât ses esprits. Quand il avait fait
l’amour, il lui semblait qu’il n’aurait jamais envie de recommencer ; paresseux et primesautier, il ne lui fallait pas plus pour renoncer décidément à prolonger ses ébats.
Pourtant il lui arrivait de s’animer au jeu et de demeurer au lit. Quand le débat amoureux a assez duré, le désordre se répand et s’installe enfin entre deux corps.
« Je n’aime que les premiers baisers, parce que j’y découvre la saveur d’une âme et qu’ils te ferment la bouche : je peux imaginer la pudeur sur tes lèvres muettes. Tes lèvres et ta langue sont bien souples et me figurent de tes désirs une héraldique délicate. Mais comment les mouvements limités de ces petits bouts de chair, de ces petits poissons peuvent-ils te troubler aussi loin, comme si le siège de ton âme était dans ce charmant petit bocal, plein d’idées justes mais prisonnières ? Je crains que l’abondance de ton discours n’empâte ta langue et que notre agitation ne tourne au barbouillage. Et puis, je réfléchis, garce, que tu as toujours donné ta bouche plus aisément que ton sexe, prostituée, bouche d’égout. Oh ! ces aveux que je leur ai arrachés à toutes, à toutes. Elles n’ont pas le sens de la noblesse du visage.
Allons ailleurs ! Quittons cette région que tu n’as pas su garder pour la lumière. J’ai hâte de te manger, de te ravager, de mettre toute ta peau sens dessus dessous.
Je ne suis pas pressé, je veux te donner mon temps, égrener mes minutes sur ton corps. Je veux te faire languir, te crisper, jeter un désaccord incroyable entre toutes les parties de toi-même, te tirer par les cheveux dans les sables mouvants. Mais ne crie pas avant d’être écorchée. Oui, c’est cela, mords ta langue, sournoise, fanatique.
Je veux… qu’est-ce que je ne veux pas ? je veux te prendre, te vaincre, que tu dépendes de moi au bout d’une corde, au fond du puits. Je veux bien d’autres choses, et peut-être le contraire. Regarde-moi, aveugle, viande de sommeil. Je veux. Voici que tout mon espace s’éveille, je me multiplie : c’est de là que naît la contradiction. Car si je veux te prendre, je veux aussi être pris.
Pourquoi n’as-tu pas souci de moi ? pourquoi ne te jettes-tu par sur moi ? Pourquoi n’as-tu pas faim de tout ce qui est moi ?
Ah ! tu y viens ! Mais alors tu m’aimes, tu souhaites mon bonheur !
Ah ! cette caresse ! Il y a longtemps qu’elle s’est insinuée en moi, il y a longtemps qu’elle m’a mordu à jamais, cette caresse aux seins. Comme c’est drôle, comme cela me trouble ; d’abord c’est fort piquant, tout à fait délicieux, ces deux points de mon corps sont devenus les plus sensibles. Effet d’un long exercice, sans doute d’autres parties de mon corps pourraient devenir aussi troubles. Pourtant mes seins frémirent très vite sous la langue de cette prostituée, tandis qu’en d’autres endroits, après bien des tentatives, cela reste une gêne, et mon ventre même, ce n’est qu’un recours à la fatigue, ou une coutume des prostituées, à moins qu’un art exquis… mais allez chercher un art exquis.
Mais comment peux-tu t’intéresser à mon bonheur ? Vicieuse, fallacieuse, sorcière. Si tu recherches l’image précise de mon plaisir, est-ce donc que ma seule présence ne te transporte pas ? Hélas ! je me méfie, tout d’un coup. Tu veux échapper de quelque manière à la servitude, esclave. Arrête ! je ne veux pas que tu me vainques.
Ah non ! pas me vaincre. Je ne veux pas être seul avec le plaisir, cela me fait peur. Et puis il ne s’agit pas de moi. Il s’agit de toi, de t’anéantir. Assez. D’ailleurs tes caresses m’ennuient déjà. Viens. Il ne s’agit pas de moi. Oubliées, ces longues heures où tout mon corps sensible… Un devoir farouche m’appelle… Il s’agit de toi, mon amour… Grandis, grandis mon cœur. Hélas ! je vois bien qu’il ne s’agit pas de moi. Arrête, arrête. Ne me quitte pas encore. Dis-moi ! sais-tu qui te tient ? Enfer et damnation. Elle ne sait plus, elle ne sait pas, elle n’a jamais su. Si maintenant un autre prenait mon masque de nuit, derrière ses paupières closes elle verrait le même feu. Femme perdue, écoute. Je t’interroge. Je suis là. Elle grogne. Quel nom va sortir de ses lèvres ? Adam, Adam. Je ne m’appelle pas Adam, je m’appelle Gille. Oui, je te comprends bien, peu importe ; tu sais bien que moi seul. Ah ! merci ! tu me soulages. Oui, n’est-ce pas, ce ciel, cet enfer : moi seul. Je suis Gille. Eh bien ! alors, le
temps est venu, tout va finir. Perds-toi, perds-moi ! Dieu, je passe la main. »
XIV
Il regardait un corps charmant. Il entrevoyait dans le mouvement des seins s’écartant l’un de l’autre comme un troupeau passe la barrière, ou dans la flexion de l’épine dorsale qui semblait crier grâce à la mort, des formules heureuses. « Ces courbes forment un vocable émouvant, tout cela veut dire quelque chose. Tout cela s’enchaîne aux autres grâces du monde. Pourtant pour Finette il n’y a rien dans le monde au delà de son nom. Elle se recourbe pour s’aspirer toute. « Quoi ? murmure-t-elle, ne jamais s’arrêter, ne jamais jouir ? » Et dans ses bras, elle croit que je m’arrête et que je jouis comme elle-même. Mais moi je m’effraie devant ce vase clos où le monde s’engouffre et devient néant.
Néant ! J’ai vite fait de prononcer ce mot que je ne comprends pas. Il est impossible pourtant que mes gestes autour de Finette ne fassent aucune réalité. Je m’interromprai bientôt, selon un certain ordre de faits qui concerne cette planète, je mourrai, comme nous disons, mais quelque chose de moi qui est aussi bien dans l’accent de mon corps que dans celui de mon esprit, rayonne éternellement. Si peu attaché que je sois à Finette, l’esprit souffle quand je tourne mon visage vers elle ou lève ma main sur son épaule. Il s’élève entre nous si peu que j’y sois un chant. Or, un chant est-il jamais perdu ? »
Mais alors il repensait à Jacqueline, et une vieille pensée le poignait encore. « Aucun moment de ma vie n’a eu ou n’aura la réalité de ce moment qui s’appelle Jacqueline. Toutes les autres femmes tombent en ruines dans mes mains. A peine suis-je dans leur lit que d’un brillant fantôme il ne me reste qu’un amas de fragments : beautés, laideurs, ridicules. Je ne puis pétrir cette matière défaillante. » Et de nouveau il tournait un œil inquiet sur la
substance de Finette. Mais la pulpe de cette bouche, de ce sexe était bien serrée. Alors il s’écriait encore : « Pourquoi repenser à Jacqueline, quand je tiens Finette dans mes bras ? Toujours la paresse, alors ? Pourquoi ne pas accorder enfin au présent la réalité qui lui est due ? »
Peu à peu il voyait quel obstacle Jacqueline était entre Finette et lui.
Alors il voulait mieux connaître la valeur de ce qui le gênait.
« Tant pis, je penserai à Jacqueline encore, mais ce sera pour rompre les molles légendes de ma mémoire. Je mets une pointe neuve sur ce disque d’une autre année et j’écoute d’une oreille mieux percée ces sons bien connus. D’ailleurs j’ai tant rêvé de Jacqueline, je peux bien y penser, une fois. Allons. Voyons. Mettons au moins de l’ordre dans tout cela. Il y a eu les circonstances et leur solennité éblouissante de cymbales, le coup de désir, l’envie de vaincre, l’effort pour la séparer du monde, et puis la descente, le freinage désespéré, la peur, la peur de s’avouer si vite vaincu par sa victoire, la peur de finir ; enfin, après l’hallucination de posséder, le refus effaré de lâcher ce qu’on tient, pour que cela aille à un autre. »
Mais tandis qu’il essayait de discerner ses souvenirs qu’il s’était plu jusqu’alors à garder en masse comme il les recevait et à ne point diviser par une réflexion qu’il n’imaginait que triviale, il fut encore souvent repris par des mouvements anciens où se mêlaient le regret, la dévotion, les tâtonnements de son âme.
« Il me semble pourtant avoir vécu, que diable ! Je n’ai pas eu la berlue. Jacqueline existe, avec sa belle nature, avec son âme qui est bien à elle, qui m’offre des traits uniques, inoubliables. Nous n’avons pas rêvé, mon cœur. J’ai aimé tout cela, et d’une jolie force !
Alors quoi ! si je l’ai aimée, je l’aime encore. Comment pourrai-je dire : j’ai aimé ! Si cet amour a été, donc il est. Je ne vois pas un moyen honorable de sortir de là. L’amour, c’est en dehors du temps, je ne vois pas comment le temps peut en venir à bout. Et deux amours ne peuvent se superposer dans mon âme : si un nouvel amour fait son chemin dans mon cœur, c’est qu’il ne rencontre
aucun obstacle, il est seul. Ah ! ma tête, mon cœur ! Comment dans ma vie accorder plusieurs chants ? Comment l’âme peut-elle admettre une succession ?
Je ne vois pas du tout comment, par exemple, Finette pourrait cohabiter dans mon cœur avec Jacqueline. Même si cela était vraiment dans mon cœur, cela ne m’entrerait jamais dans la tête, et j’en resterai tout dérangé et finalement perdu. Et puis j’ai peur, peur de disperser irrémédiablement le pouvoir des mots que j’ai chuchotés à Jacqueline certains soirs avec passion. J’ai peur de casser, de perdre le fil de ma vie en reniant aujourd’hui un moment sur lequel j’ai évoqué solennellement la force de l’éternité. Car, encore une fois, ce serait renier Jacqueline que d’en aimer une autre. Si un jour je dis : « Je t’aime » à une autre femme — sans doute, ce ne sera pas Finette — une voix décisive prononcera au même moment dans l’infini (mon Dieu, qu’est-ce encore que ce mot que je ramasse ?) « il n’a pas aimé Jacqueline » ou au contraire « il n’aime pas cette femme, il aime Jacqueline en tout temps et en tout lieu ». Un « je t’aime » ne peut coexister avec un autre « je t’aime » dans l’immobilité d’une âme forte. Ceux qui disent que c’est possible, ce sont des faibles. »
Mais plus la conception de l’amour qui s’imposait à lui était rigoureuse, plus il sentait péniblement le joug de Jacqueline qui l’incarnait.
« Donc mon amour pour Jacqueline continue. Mais où ? ni dans mes nerfs, ni dans mes muscles. C’est un point abstrait. Or je ne veux pas qu’il y ait dans mon esprit, le moindre frisson qui ne se prononce dans un effort musculaire. Certes, je ne renonce pas à rêver ma vie, mais je prétends aussi vivre mes rêves. On m’a forcé à croire que les actes, c’était du rêve. Mais je sais aussi, tant par l’expérience que par l’étude de ceux qui ont tiré le plus d’eux-mêmes et de la nature, qu’on peut mettre une formidable réalité dans les rêves. Je puis bien fondre tout cela dans un seul jet où fuse tout mon sang. »
Gille ne pouvait admettre le pouvoir de simultanéité de son âme, que Jacqueline vécût en lui, et fît place à côté d’elle à Finette ou à
toute autre. Il voulait lui donner tout, ou lui retirer tout. Si elle était actuelle, en lui, il n’y en avait que pour elle. Si Finette s’accrochait, Jacqueline, du coup, devait lui céder tout le terrain.
« Mais comment puis-je réduire ma vie à un souvenir ? Est-ce que je ne confonds pas le souvenir de l’amour avec l’amour ? Et comment puis-je réclamer l’éternité pour quelque chose d’humain ?
Car mon âme est éternelle, mais non point les actes qu’elle accomplit. Il n’y a d’éternel en moi que mon amour de Dieu. Mais pourquoi ne serait pas aussi éternel mon amour pour une des âmes qu’il a créées aussi éternelles que lui ? »
« Jacqueline n’est qu’un souvenir », en vint à s’écrier Gille.
Coup terrible pour Jacqueline. « Car », se disait-il depuis quelque temps, effrayé par le poids, soudain senti, de son passé et des idées qu’il en tirait sur lui-même, « j’ai horreur de la mémoire, je ne veux plus accorder une minute à la mémoire. Si Jacqueline n’est que cette creuse poupée que se façonnent cette sorte d’hommes qui, à vingt ans, se retournent sur leur dix-neuvième année pour en vivre déjà, je m’en vais la casser tout de suite. Je n’ai pas vécu, soit ; mais je m’en tiendrai là ; pas de substitut imaginaire, pas de prestige du passé. »
C’est ainsi que Gille commença de prendre Finette en méfiance et en doute.
La seule issue pour lui c’était de se prouver qu’il n’avait pas aimé Jacqueline, que son âme était vierge. Ainsi seulement il pouvait croire à l’avenir.
C’est pourquoi il voulut revoir Jacqueline et il revint vers elle, tout changé, avec un parti-pris de cruauté et de destruction.
Gille regardait le mari de Jacqueline. Il aurait voulu lui poser des questions décisives, déchiqueter avec lui le secret de sa femme. Mais le musicien aveugle était immobile, gras, fermé. N’ayant jamais vu Jacqueline, il semblait ignorer la jalousie, qui surgit à la vue d’un visage infiniment mobile, ouvert à tout. Il était plongé dans sa fonction, dans l’infini ruminement de la musique universelle, comme un bœuf dans la luzerne.
Gille se demanda si ce puissant captif différait de ce qu’il était, de ce qu’il serait jamais, lui, le jeune homme, aux yeux ouverts. « Il presse une forme avec des doigts qui la voient mieux que mes yeux. Hors cela, il rêve d’un cœur invisible pour moi comme pour lui et ce rêve se perd dans le rêve de son travail, comme un caillou dans une mare. Elle, avec son sens patient et rude de l’amour, elle dit que c’est bien. »
Gille, à contempler ce spectacle impassible, s’exaspérait d’un reste de jalousie, qui encore mieux que ses autres raisons fouillait son ancien amour.
— Jacqueline, lui demanda-t-il, avec une curiosité qui dans des yeux sans fond, essayait de savoir les rapports oscillants des mondes, qui avez-vous aimé dans votre vie ? Moi je me mets hors de cause. Mais qui, des quatre que je connais, vous le savez, avezvous aimé ?
— Gille, votre seule excuse pour une question aussi enfantine, serait de m’aimer encore.
— Non, non, ne blaguez pas. Sans doute, ne vous êtes-vous jamais posé la question. Mais faites cet effort pour moi, j’ai besoin de savoir.
— Je jouerai peut-être à ce petit jeu-là quand je serai tout à fait vieille. Mais où voulez-vous en venir ? Ah ! je vois. Non, tout de même, je n’entre pas dans vos manèges de coquetterie. Vous savez bien que je vous ai aimé.
— Je vous en supplie, ne parlez pas de moi. Non qu’il ne s’agisse de mon sort, mais seulement à travers vous. Je veux savoir si l’on aime une femme ou un courant d’air
— Eh bien ! je ne sais pas, Gille. Ces choses-là nous dépassent. Tout ce qu’on peut dire, c’est qu’on a été loyal.
— Eh bien ! moi je vais vous dire qui vous avez aimé. Votre premier amant.
« Ses amants ! Hourra ! voilà ! je ne l’ai pas aimée ! J’ai appelé amour, la jalousie. Je me rongeais le cœur comme le fou qui ne peut supporter de ne point vivre au temps de Cléopâtre qu’il aime. Le regret du bonheur qu’elle avait eu alors que j’étais enfant, adolescent, donnait leur sens soudain aux criailleries de mon berceau, aux lassitudes de ma puberté. Je m’impatientais de ne pouvoir la joindre dans le temps, je voulais briser ses heures, les jeter à la refonte. Je soupçonnais dans son passé des minutes irréductibles.
« C’était autre chose », disait-elle, me dira-t-elle encore. Mais cette phrase la déchire, je n’ai plus dans les bras qu’une proie déjà rongée. Peut-elle être plusieurs ? Je veux qu’elle ne soit qu’une.
Pourtant je profitais de sa maturité ; comment puis-je dire que je jouis d’elle comme d’un tout en dehors du temps ?
Ce mûrissement s’était fait sous l’influence de plusieurs astres, et mon amour, à certaines heures détendu, faisait une louange et un merci aux hommes qui l’avaient façonnée et des mains de qui je l’avais reçue.
Il y a eu autre chose que la jalousie. Je l’ai aimée parce qu’elle était Jacqueline…
… Je me rappelle, je me rappelle. Gille s’entendait chantonner et ce chantonnement de souvenir était engourdissant. Je me rappelle
cette soirée où Jacqueline et moi nous sommes aimés si fort que nous sentions que c’était le seul point vraiment vivant de nos années et que tout le reste tirait sa substance de ce moment-là. C’est pendant la guerre que nous nous sommes aimés. Et je pourrais faire pleurer tous ceux qui vivent encore, et qui déjà avaient assez vécu, je n’aurais qu’à murmurer : « Bienheureux ceux qui se sont aimés dans la flamme et dans la brièveté de l’heure et qui possédaient l’amour en dehors du temps… alors l’homme était séparé de la femme comme il convient et la femme voyait revenir à elle pour une passion de foudre entre l’arrivée et le départ un mâle bronzé par l’amitié sous les armes… ils avaient retrouvé la saveur de la chair parce qu’ils avaient rappris la nécessité du pain et du vin, et la volupté avait retrouvé son frein et son éperon dans la sueur et les engelures. Nous étions pauvres, nous étions forts. »
Elle était venue me voir sur le front… Jacqueline était comédienne, depuis qu’elle ne joue plus, on peut dire qu’elle a été la dernière actrice qui fût une femme, la dernière femme. Elle avait toujours refusé de paraître devant les soldats parce qu’elle avait deviné ce sens du théâtre qu’ils avaient découvert, ce sens antique qu’ils avaient exhumé de cette profondeur du sol où dorment Eschyle et Sophocle. Elle jouait à l’arrière avec une rage pudique…
Elle vint me voir à B… Elle qui n’avait jamais voulu soigner un blessé, quand je la vis sauter de son auto de contrebande, elle portait une petite croix secrète, sur son beau front, entre ses deux yeux gris. Je la regardais de la fenêtre de l’hôtel. Savez-vous ce que c’est qu’une femme petite qui, faisant un pas, vous donne toute l’idée de la majesté, cette majesté qui, je crois, est le bien propre des femmes et qui nous fait sentir, avec un respect si émouvant, qu’elles détiennent notre vie, notre sens de la terre, et que sans elles, nos âmes hagardes, d’une pureté trop glaciale, s’exileraient trop tôt.
Jacqueline était mince et drue comme une fille de quinze ans. On m’a dit qu’elle était lourde, mais je n’ai jamais vu ces kilos de viande que les années essayaient de faire peser sur ses reins, je ne lui ai
jamais vu de chair que celle qui convenait strictement à son âme et c’est cette chair-là qui m’a été donnée.
Jacqueline était vive, presque bruyante. Elle a toujours pu rire à travers ses larmes. J’ai pu admirer, autant que j’aimais, ce visage largement construit, solidement équilibré, mais d’où Dieu avait si bien retiré ses mesures qu’il paraissait fin. La beauté existe, je vous en assure, elle circule dans les rues. Prenons patience. Elle avait un rire sonore et sa blancheur vous faisait atteindre à la moelle même de l’énergie qui fait bondir les mondes. Une peau bien serrée vous persuade à jamais que sont de lugubres hurleurs ceux qui peuvent croire que la chair est autre chose qu’une propriété de l’âme. Son âme était nerveuse et d’un parfum de gibier dans la forêt.
Je serai trop plein d’elle à mon lit de mort, pour faire sentir à un ami ce qu’elle était.
Nous atteignîmes, une nuit, dans la plus misérable chambre du monde, la parfaite fusion des larmes, du sang et des étoiles. La guerre jalouse m’avait relancé jusque dans cette trêve, et sa ronde ronflante au ciel, au-dessus de notre lit, semblait se résoudre dans le sombre effondrement d’une bombe, mais reprenait bientôt à travers le réseau craquant des mitrailleuses, aussi sotte et aussi têtue qu’un moustique.
Jacqueline n’avait pas peur mais elle me cachait dans son sein avec le mouvement féroce d’une mère. Les femmes ont le courage des animaux.
Nous nous aimions, pendant ces minutes, comme peuvent s’aimer un homme et une femme ; menacés, cernés, perdus. La mort et la volupté montraient enfin le même visage. L’étreinte de Jacqueline était si irrésistiblement neuve qu’elle me donnait en même temps le sentiment que cette vie que nous allions quitter avait eu dans chacune de ses minutes une valeur absolue et qu’ensemble, ayant sauté le seuil de la mort, nous allions nous élancer allègrement dans une carrière infinie. Je vois toujours, au petit jour, sa face sérieuse, ardente et saturée de satisfactions, en
