Introduction
This is the second volume of our Course in Analysis and it is designed for second year students or above. In the first volume, in particular in Part 1, the transition from school to university determined the style and approach to the material, for example by introducing abstract concepts slowly or by giving very detailed (elementary) calculations. Now we use an approach that is suitable for students who are more used to the university style of doing mathematics. As we go through the volumes our intention is to guide and develop students to nurture a more professional and rigorous approach to mathematics. We will still take care with motivations (some lengthy) when introducing new concepts, exploring new notions by examples and their limitations by counter examples. However some routine calculations are taken for granted as is the willingness to “fight” through more abstract concepts.
In addition we start to change the way we use references and students should pick up on this. Calculus and analysis in one dimension is so widely taught that it is difficult to trace back in textbooks the origin of how we present and prove results nowadays. Some comments about this were made in Volume I. The more advanced the material becomes, the more appropriate it becomes to point out in more detail the existing literature and our own sources. Still we are in a territory where a lot of material is customary and covered by “standard approaches”. However in some cases authors may claim more originality and students should know about the existing literature and give it fair credit - as authors of books are obliged to do. We hope that the more experienced reader will consider our referencing as being fair, please see further details below.
The goal of this volume is to extend analysis for real-valued functions of one real variable to mappings from domains in m to n , i.e to vector-valued mappings of several variables. At a first glance we need to address three wider fields: convergence and continuity; linear approximation and differentiability; and integration. As it turns out, to follow this programme, we need to learn in addition much more about geometry. Some of the geometry is related to topological notions, e.g. does a set have several components? Does a set have
“holes”? What is the boundary of a set? Other geometric notions will be related to the vector space structure of n , e.g. quadratic forms, orthogonality, convexity, some types of symmetries, say rotationally invariant functions. But we also need a proper understanding of elementary differential geometric concepts such as parametric curves and surfaces (and later on manifolds and submanifolds). Therefore we have included a fair amount of geometry in our treatise starting with this volume.
The situation where we introduce integrals is more difficult. The problem is to define a volume or an area for certain subsets in G ⊂ n . Once this is done for a reasonably large class of subsets a construction of the integral along the lines of the one-dimensional case is possible. It turns out that Lebesgue’s theory of measure and integration is much better suited to this and we will develop this theory in the next volume. Our approach to volume (and surface) integrals following Riemann’s ideas (as transformed by Darboux) is only a first, incomplete attempt to solve the integration problem. However it is essentially sufficient to solve concrete problems in analysis, geometry as well as in mathematical physics or mechanics.
Let us now discuss the content of this volume in more detail. In the first four chapters we cover convergence and continuity. Although our main interest is in handling mappings f : G → n , G ⊂ m , in order to be prepared for dealing with convergence of sequences of functions, continuity of linear operators, etc., we discuss convergence and continuity in metric spaces as we introduce the basic concepts of point set topology. However we also spend time on normed spaces. We then turn to continuous mappings and study their basic properties in the context of metric and topological spaces. Eventually we consider mappings f : G → n and for this we investigate some topological properties of subsets of n . In particular we discuss the notion of compactness and its consequences. The main theoretical concepts are developed along the lines of N. Bourbaki, i.e. J. Dieudonné [10], however when working in the more concrete Euclidean context we used several different sources, in particular for dealing with connectivity we preferred the approach of M. Heins [24]. A general reference is also [9]
Differentiability is the topic in Chapter 5 and Chapter 6. First we discuss partial derivatives of functions f : G → , G ⊂ n , and then the differential of mappings f : G → n , G ⊂ m . These chapters must be viewed as “standard” and our approach does not differ from any of the approaches known to us. Once differentiability is established we turn to applications and here geometry is
needed. An appropriate name for Chapter 7 and Chapter 8 would be G. Monge’s classical one: “Applications of Analysis to Geometry”. We deal with parametric curves in n , with some more details in the case n = 3, and we have a first look at parametric surfaces in 3 . In addition to having interesting and important applications of differential calculus we prepare our discussion of the integral theorems of vector calculus where we have to consider boundaries of sets either as parametric curves or as parametric surfaces. These two chapters benefit greatly from M. DoCarmo’s textbook [11].
In Chapter 9 to Chapter 11 we extend the differential calculus for functions of several variables as we give more applications, many of them going back to the times of J. d’Alembert, L. Euler and the Bernoulli family. Key phrases are Taylor formula, local extreme values under constraints (Lagrange multipliers) or envelopes. However note that Taylor series or more generally power series for functions of several variables are much more difficult to handle due to the structure of convergence domains and we postpone this until we discuss complex-valued functions of complex variables (in Volume III). Of a more theoretical nature, but with a lot of applications, is the implicit function theorem and its consequence, the inverse mapping theorem. In general in these chapters we follow different sources and merge them together. In particular, since some of the classical books include nice applications, however in their theoretical parts they are now outdated, some effort is needed to obtain a coherent view. The book of O. Forster [19] was quite helpful in treating the implicit function theorem. In Chapter 12 curvilinear coordinates are addressed - a topic which is all too often neglected nowadays. However, when dealing with problems that have symmetry, for example in mathematical physics, curvilinear coordinates are essential. In our understanding, they also form a part of classical differential geometry, as can be already learned from G. Lamé’s classical treatise.
Almost every book about differential calculus in several variables discusses convexity, e.g. convex sets which are useful when dealing with the mean value theorem, or convex functions when handling local extreme values. We have decided to treat convex sets and functions in much more detail than what other authors do by including more on the geometry of convex sets (for example separating hyperplanes) where S. Hildebrandt’s treatise [26] was quite helpful. We further do this by discussing extreme points (Minkowski’s theorem) and its applications to extreme values of convex functions on compact convex sets. We also look at a characterisation of differentiable convex functions by variational inequalities as do we discuss the Legendre transform (conjugate functions) of
convex functions and metric projections onto convex sets. All of this can be done in n at this stage of our Course and it will be helpful in other parts such as the calculus of variations, functional analysis and differential geometry. Most of all, these are beautiful results.
After introducing continuity or differentiability (or integrability) we can consider vector spaces of functions having these (and some additional) properties. For example we may look at the space C(K) of all continuous functions defined on a compact set K ⊂ n , which is equipped with the norm ǁgǁ∞ := supx∈K|g(x)| a Banach space. Already in classical analysis the question whether an arbitrary continuous function can be approximated by simpler functions such as polynomials or trigonometrical functions was discussed. It was also discussed whether a uniformly bounded sequence of continuous functions always has a uniformly convergent subsequence. We can now interpret the first question as the problem to find a “nice” dense subset in the Banach space C(K) whereas the second problem can be seen as to find or characterise (pre-) compact sets in C(K). We deliberately put these problems into the context of Banach spaces, i.e. we treat the problems as problems in functional analysis. We prove the general Stone-Weierstrass theorem, partly by a detour, by first proving Korovkin’s approximatiuon theorem, and we prove the Arzela-Ascoli theorem. We strongly believe at this stage of the Course that students should start to understand the benefit of reformulating concrete classical problems as problems of functional analysis.
The final chapter of Part 3 deals with line integrals. We locate line integrals in Part 3 and not Part 4 since eventually they are reduced to integrals of functions defined on an interval and not on a domain in n , n > 1. We discuss the basic definition, the problem of rectifying curves and we start to examine the integrability conditions.
As already indicated, defining an integral in the sense of Riemann for a bounded function f : G → , G ⊂ compact, is not as straightforward as it seems. In Chapter 16 we give more details about the problems and we indicate our strategy to overcome these difficulties. A first step is to look at iterated integrals for functions defined on a hyper-rectangle (which we assume to be axes parallel) and this is done in the natural frame of parameter dependent integrals. In the following chapter we introduce and investigate Riemann integrals (volume integrals) for functions defined on hyper-rectangles. This can be done rather closely along the lines we followed in the one-dimensional case. Identifying
volume integrals with iterated integrals allows us to reduce the actual integration problem to one-dimensional integrals.
Integrating functions on sets G other than hyper-rectangles is much more difficult. The main point is that we do not know what the volume of a set in n is, hence Riemann sums are difficult to introduce. Even the definition of an integral for step functions causes a problem. It turns out that the boundary ∂G determines whether we can define, say for a bounded continuous function f : G → an integral. This leads to a rather detailed study of boundaries and their “content” or “measure”. Basically it is the intertwining of the topological notion “boundary” with the (hidden) measure theoretical notion “set of measure zero” which causes difficulties. We devote Chapter 19 to these problems and once we end up with the concept of (bounded) Jordan measurable sets, we can construct integrals for bounded (continuous) functions defined on bounded Jordan measurable sets. In our presentation of this part we combine parts of the approaches of [20], [25] and [26].
In order to evaluate volume integrals we need further tools, in particular the transformation theorem. Within the Riemann context this theorem is notoriously difficult and lengthy to prove which is essentially due to the problems mentioned above, i.e. the mixture of topological and measure theoretical notions. In the context of Lebesgue’s theory of integration the transformation theorem admits a much more transparent proof, we also refer to our remarks in Chapter 21. For this reason we do not provide a proof here but we clearly state the result and give many applications. Eventually we return to improper and parameter dependent integrals, but now in the context of volume integrals. Many of these considerations will become of central importance when investigating partial differential equations.
The final part of this volume is devoted to vector calculus in 2 , but most of all in 3 . A pure mathematician’s point of view could be to first introduce manifolds including E. Cartan’s exterior calculus, then to introduce integrals for k-forms over m-dimensional sub-manifolds of n-dimensional manifolds, and then to eventually prove the general Stokes’theorem. By specialising we can now derive the classical theorems of Gauss, Green and Stokes. This programme neither takes the historical development into account nor is it suitable for second year students. Thus we decided on a more classical approach. Chapter 23 gives in some sense a separate introduction to Part 5, hence we can be more brief here.
In Chapter 24 we discuss the problem of how to define the area of a parametric surface and then we turn to surface integrals for scalar-valued functions as well as for vector fields. With line and surface integrals at our disposal we can prove Gauss’ theorem (in 3 and later on in n), Stokes’ theorem in 3 and Green’s theorem in the plane. One part of our investigations is devoted to the question of in what type of domain can we prove these theorems? Another part deals with applications. Our aim is to give students who are interested in applied mathematics, mathematical physics or mechanics the tools (and the ideas of the mathematical background) needed to solve such problems. Only in Volume VI will we provide a rigorous proof of the general Stokes’theorem.
As in Volume I we have provided solutions to all problems (ca. 275) and since we depend on a lot of results from linear algebra we have collected these results in an appendix. Since many of our considerations are geometry related, the text contains a substantial number of figures (ca. 150). All of these figures were done by the second named author using LaTex. Finally a remark about referring to Volume I. When referring to a theorem, a lemma, a definition, etc. in Volume I we write, for example, Theorem I.25.9 etc., and when referring to a formula we write, for example, (I.25.10) etc.
As in Volume I, problems marked with a * are more challenging.
22
Improper Integrals and Parameter Dependent Integrals
Part 5: Vector Calculus
23 The Scope of Vector Calculus
24 The Area of a Surface in ℝ3 and Surface Integrals
25 Gauss’Theorem in ℝ3
26 Stokes’Theorem in ℝ2 and R3
27 Gauss’Theorem for ℝn
Appendices
Appendix I: Vector Spaces and Linear Mappings
Appendix II: Two Postponed Proofs of Part 3
Solutions to Problems of Part 3
Solutions to Problems of Part 4
Solutions to Problems of Part 5
References
Mathematicians Contributing to Analysis (Continued)
Subject Index
List of Symbols
In general, symbols already introduced in Volume I are not listed here and we refer to the List of Symbols in Volume I.
the set of all multi-indices
α! = α1! · … · αn! for α = (α1,..., αn) for α = (α1,...,αn)
α ≤ β αj ≤ βj, α, α + β = (α1 + β1,..., αn + βn), α, for α = (α1,..., αn) and x ∈ n
(X) power set of X
fj the jth component of f
prj projection on the jth factor or component
f = (f1,..., fn) vector-valued f with components
R(f ) = ran(f) range of f
Γ(f) graph of f
f|K restriction of f to K
(f ∨ g)(x) := max(f(x), g(x))
(f ∧ g)(x) := min(f(x), g(x))
f * g convolution of f and g supp f support of f
At transpose of the matrix A
βA(x, y) bilinear form associated with the matrix A
βA(x) = βA(x, x) quadratic form associated with A det(A) determinant of the matrix A
⊗a algebraic tensor product
x ⊥ y x and y are orthogonal angle between a and b
x, y , = x · y scalar product of x and y
x × y cross product of x and y
M(m, n; ) vector space of all real m × n matrices
M(n; ) = M(n, n; )
GL(n; ) general linear group
O(n) orthogonal group in n
SO(2) special orthogonal group
(X, d) metric space
d(x, y) distance between x and y (metric)
Br(y) open ball with centre y and radius r > 0
diam(A) diameter of A
C(x) connectivity component of x interior of Y closure of Y
∂Y boundary of Y
dist(A, B) distance between two sets A and B
dist(x, A) distance between a point x and a set A
disto∞(x, H) := inf{ǁx yǁǁ|y ∈ H}
(V, ǁ·ǁ) normed space
ǁ·ǁ norm , x = (x1, ..., xn) ∈ n
ǁxǁ∞ := max1≤j≤n {|xj|x =(x1, ..., xn)}
dp(x, y) = ǁx yǁp
ǁuǁ∞ = supx∈G|u(x)|
ǁhǁ∞ ,X := supx∈X ǁh(x)ǁ
dis(h) point(s) of discontinuity of h
Sn 1 unit sphere in n upper unit sphere in n partial derivative with respect to xj
second order partial derivative first with respect to xk and then with respect to xj
∂α , Dα , higher order partial derivatives
Dν derivative in the ν direction normal derivative (with respect to outer normal)
Jf(x) Jacobi matrix of f at x
(Hessf)(x) Hesse matrix of f at x
grad
φ(x) = ∇φ(x) gradient of φ(x)
divA divergence of A
curlA curl or rotation of A
n-dimensional Laplace operator applied to u
tr(γ) trace of γ
tangent vector
normal vector
l
γ length of a curve
γ1 ⊕ γ2 sum of two curves
epi(f) epi-graph of f
conv(A) convex hull of A
ext(K) set of extreme points of K
voln(G) n dimensional volume of G
J(n)(G) Jordan content of G
mesh(Z) mesh size or width of the partition Z
∫* lower integral
∫* upper integral
∫γ ψ · dp line integral of a function
∫γ Xp · dp line integral of a vector field
∫S ψ · dp surface integral of a function
∫S A · dp surface integral of a vector field
VZ(γ) Z-variation of a curve
V(γ) total variation of a curve
(X; ) vector space of all bounded functions f : X →
C([a, b]) continuous functions on [a, b]
Ck([a, b]) k times continuously differentiable functions on [a, b]
C(X) continuous functions on X
Cb(X) space of bounded functions on the metric space X
C0(X) space of all continuous functions with compact support
Ck(G) k-times continuously differentiable functions on G
C∞( n) space of all continuous functions vanishing at infinity
Cper space of all continuous 2π-periodic functions
1 Metric Spaces
In the first volume of our treatise we discussed sequences and series of real numbers or of functions from subsets of the real numbers to the real line. In every case our investigations depended heavily on the concept of a limit: limits of sequences and series; limits of functions; continuity; and differentiability and integrability. In fact we have already studied limits of sequences of functions. Even a proper understanding of the real numbers needs the notion of a limit, namely the limits of sequences of rational numbers. All these definitions of limits make use of the absolute value of a real number. A more careful analysis shows that when dealing with limits we use a function of two variables derived from the absolute value. We always look at a term |x y| for (real) numbers x, y ∈ , and we interpret |x y| as the distance between x and y. When working with limits we use the following three properties:
(a) |x y| ≥ 0 and |x y| = 0 if and only if x = y;
(b) |x y| = |y x|;
(c) |x y| ≤ |x z| + |z y|.
These properties have simple and natural interpretations:
(a’) the distance is non-negative and two distinct points have a strict positive distance while the distance from x to itself is 0;
(b’) the distance from x to y is equal to the distance from y to x, i.e. distance is symmetric;
(c’) the triangle inequality holds, meaning that the distance of “going from x to y” should be shorter than the distance of “going first from x to z” and then “going from z to y” .
The idea of a limit, say of a function f : [a, b] → at a point x0 ∈ [a, b], was that given an error bound ϵ > 0 we can find a δ < 0 such that if the distance from x ∈ [a, b] to x0 is less than δ then the distance from f(x) to f(x0) is less than ϵ:
Suppose that for each pair (x, y) of points x, y belonging to a set X we can define a distance d(x, y) such that d satisfies (a’) - (c’). It is natural to ask the following
question: can we transfer our theory of limits established in to X using the distance d? The answer to this question is yes and it leads to the theory of metric spaces.
Definition 1.1. Let ≠ X be a set. A metric (or distance or distance function) on X is a mapping d : X × X → such that the following properties
(i) d(x, y) ≥ 0 and d(x, y) = 0 if and only if x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x);
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y),
hold for all x, y, z ∈ X. The pair (X, d) is called a metric space.
Remark 1.2. A. It is possible to replace in Definition 1.1 condition (i) by the second part of (i) : d(x, y) = 0 if and only if x = y. Indeed, for x, y ∈ X we find
implying d(x, y) ≥ 0.
B. Of course (ii) is a symmetry condition and we will again call (iii) the triangle inequality.
First of all we want to look at some examples of metric spaces.
Example 1.3. A. Of course we can associate on a metric with the absolute value by defining for x, y ∈ the metric d(x, y) := |x y|.
B. Let (X, d) be a metric space and ≠ Y ⊂ X be a subset. Define
Then (Y, dY) is again a metric space. The proof is obvious, the interpretation is that if we can define the distance for every pair of points in X, we can of course restrict this distance to subsets and the restriction defines a distance on this subset.
C. On every ≠ X we can define a metric by and (X, d) is a metric space. Indeed, (i) is trivial by the definition as is (ii). In order to see (iii), i.e. the triangle inequality, note that for x ≠ y we find
Thus on every non-empty set we can introduce at least one metric, which however is not very interesting. But it is worth to note a corollary of this fact: on a given set we may have several metrics.
D. We want to return to X = and add a class of examples which later on will turn out to be quite useful. Let φ : → + be an even function such that φ(x) = 0 if and only if x = 0. Further we assume that φ is sub-additive, i.e. for all x, y ∈ we have
If we define then dφ is a metric on . From our assumptions it follows immediately that dφ(x, y) ≥ 0 and dφ(x, y) = 0 if and only if x = y, as well as
Using sub-additivity we find also the triangle inequality
Now let ψ : + → + be a monotone increasing function such that ψ(x) = 0 if and only if x = 0. Moreover assume that ψ has a continuous derivative on + (ψ′(0) is considered as one-sided derivative) which is monotone decreasing. For 0 ≤ x < y we get or
Now it follows that is again a metric on . Clearly dψ(x, y) ≥ 0 and dψ(x, y) = 0 if and only if x = y, as well as dψ(x, y) = dψ(y, x). The triangle inequality follows now as above:
More concrete examples are ψ1(t) = arctan t or ψ2(s) = ln(1 + s). We only have to note that and . In Problem 1 we will prove that for 0 < α < 1 a metric on is given by d(α)(x, y) := |x y|α .
Lemma 1.4. For a metric d on X we have for all x, y, z ∈ X that
Proof. The triangle inequality yields together with the symmetry of d or as well as or which together with (1.6) gives (1.5)).
We already know the notion of a norm on a vector space (over ), see Definition I.23.12. We recall the definition and prove that every norm induces a metric.
Definition 1.5. Let V be a vector space over or . A norm ǁ.ǁ on V is a mapping with the properties
(i) ǁxǁ =0 if and only if x = 0;
(ii) ǁλxǁ = |λ| ǁxǁ for all x ∈ V and λ ∈ (or );
(iii) ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ for all x, y ∈ V.
If ǁ.ǁ is a norm on V we call (V, ǁ.ǁ) a normed (vector) space.
Remark 1.6. A. Since 0 = ǁx xǁ ≤ ǁxǁ + ǁxǁ = 2 ǁxǁ it follows that ǁxǁ ≥ 0 for all x ∈ V.
B. A norm is defined on a vector space V. Since a subset Y of a vector space need not be a vector space we can restrict a norm to Y, but the restriction will not in general be a norm on Y.
C. Condition (ii) is called the homogeneity of the norm and (iii) is also referred to as the triangle inequality.
Proposition 1.7. Let (V, ǁ.ǁ) be a normed space. Then by a metric is defined on V.
Proof. Obviously we have ǁx yǁ = d(x, y) ≥ 0 and 0 = d(x, y) = ǁx yǁ if and only if x = y. Moreover we find
Furthermore, for x, y, z ∈ V we have
Example 1.8. A. By Corollary I.23.18 we know that for 1 ≤ p < ∞ a norm is given on n by
B. On n we define which is a further norm on n . Indeed ǁxǁ∞ = 0 holds if and only if xj = 0 for j = 1, . . . , n, i.e. x = 0. Moreover we have
Finally we observe that
Note that and by the Cauchy-Schwarz inequality we find where the first inequality follows from In addition we have since
In Problem 6 we will prove that for p, q ≥ 1 there exists constants cp, q > 0 and Cp, q > 0 such that holds for all x ∈ n . Combining (1.15) with (1.12) or (1.14) we see that (1.15) holds for all 1 ≤ p, q ≤ ∞ .
Example 1.9. (Compare with Lemma I.24.5) Let X ≠ be a set and b(X; ) the vector space of all bounded real-valued functions on X, i.e. f ∈ b(X; ) if f : X → and |f(x)| ≤ Mf < ∞ for all x ∈ X. On b(X; ) we have the norm
In Problem 9 we will see that on every real vector space a positive definite symmetric bilinear form will induce a norm. We want to combine the metrics considered in Example 1.3.D with norms. Let (V, ǁ.ǁ) be a normed space and ψ : + → + be as in Example 1.3.D, i.e. ψ is monotone increasing such that ψ(t) = 0 if and only if t = 0 and ψ has on [0, ∞) a continuous monotone decreasing derivative. On V we can define the metric
It follows as in Example 1.3.D that dψ is indeed a metric. Clearly, dψ(x, 0) need not be a norm. For example on n with the Euclidean norm ǁ.ǁ2 we find that
is a metric but x ↦ darctan(x, 0) cannot define a norm since the homogeneity condition fails to hold: In general which follows from the fact that for x ≠ 0 the right hand side is unbounded with respect to λ ∈ while the left hand side is of course bounded with respect to λ. Thus on n , or more generally, on every normed space we have a lot of different metrics, certain ones are derived from the norms given by (1.10), but others are not necessarily derived from norms.
There is an important difference between a norm and a metric with regard to subsets. We know by Example 1.3.B that we can restrict every metric to any
subset and the restriction is again a metric. This does not apply to a norm. A norm is always defined on a vector space and in general a subset of a vector space is not a vector space. However we can always restrict the metric induced by a norm to any subset of a normed space and we will get a metric space.
Example 1.10. A. Let (X, dX) and (Y, dY) be two metric spaces. On X × Y a metric dX×Y is defined by
Clearly dX×Y((x1, y1), (x2, y2)) ≥ 0 and equality implies that dX(x1, x2) = 0 and dY(y1, y2) = 0, or x1 = x2 and y1 = y2, i.e. (x1, y1) = (x2, y2). Moreover, the symmetry of dX×Y follows immediately from that of dX and dY, respectively. Finally, since the triangle inequality holds too.
B. For two normed spaces (V, ǁ.ǁV) and (W, ǁ.ǁW) we define on the product V × W
and claim that (V × W, ǁ.ǁV×W) is a normed space too. The proof goes along the lines of part A, we refer also to Problem 5.
As pointed out in the introduction to this chapter open intervals, i.e. sets of the form {y ∈ | |x y| < η} are playing a central role when introducing limits for sequences of real numbers or real-valued functions defined on a subset of . We now introduce a substitute for open intervals in general metric spaces.
Definition 1.11. Let (X, d) be a metric space and y ∈ X.
A. We call the open ball with centre y and radius r > 0.
B. A set U ⊂ X is called a neighbourhood of y ∈ X if there exists ϵ > 0 such that Bϵ(y) ⊂ U. In particular y ∈ U and Bϵ(y) is a neighbourhood of y.
Another random document with no related content on Scribd:
sammuisi hänen järkensäkin liekki. Silloin on hetki lyönyt, jolloin buddhinen intuitioni, "vaimon siemen", ihmisessä "tallaa rikki käärmeen pään", s.o. alistaa järjen toiminnan buddhisen tason tajunnan alaiseksi. Uusi työase, jolle tieteellinen maailma on antanut nimeksi intuitioni, alkaa silloin itsetietoisesti toimia ihmisessä ja hän huomaa, että sen käyttö avaa hänelle taas uudet maailmat, samoin kuin järjen valo avasi hänelle aatteiden maailman.
Ennenkuin vaimon siemen rikki polkee käärmeen pään, sanotaan: on käärme pistävä sitä kantapäähän. Merkityksensä on tälläkin lauseella. Se viittaa siihen tosiasiaan, että luonto ei tee turhaa työtä. Sillä mitä hyötyä olisi ollut, jos luonto, kehitettyään järjen sen korkeimpaan huippuunsa, olisi sitten sen kokonaan kuolettanut? Olisihan silloin yhdellä iskulla tyhjäksi tehty koko tähänastisen kehityksen saavutus. Niin ei kuitenkaan ole asianlaita. Ei järjen syttyessä kuoletettu himoluontoa, vaan se jää järjen hallinnon alaiseksi, samalla kun himoluonnon kautta valtavia ainesjoukkoja virtaili järjen mahtavan työpajan jalostettavaksi. Sama suhde on myös järjen ja intuitionin välillä, järki ei kykene Khristosmaailman eli buddhisen tason työaseeksi, yhtävähän kuin tunne eli emotioni kelpaa ajatustasolle, mutta järjellä on ääretön tehtävänsä, olla välittäjänä havahtuneelle intuitiviselle kyvylle. Täytyy löytyä yhdysside inhimillisten eri tajuntatasojen välillä. Siten ainoastaan on mahdollista tuoda päivätajuntaan ne kokemukset ja havainnot, jotka ihminen on tehnyt noissa korkeammissa henkisissä piireissä. Tätä yhteyttä näiden korkeampien kykyjen välillä kuvaa allegorinen kertomus käärmeen pistosta vaimon siemenen kantapäähän, jolloin rakkauden ja viisauden neste käärmeen myrkyn tavoin läpäisee ihmisen olemuksen ja korkeamman maailman tieto siten saa vuotaa hänen kauttansa ihmisveljien keskuuteen.
Itsekkäisyydestä vapautunut puhdas järki on ihmisen yhdysside siihen maailmaan, missä Kristuksen herrauden piirissä asustavat Viisauden vihityt Nagat eli Käärmeet. Ja kun viimeinen itsekkyyden hitunen haihtui pois ihmistajunnasta, niin lakkasi hän himoitsemasta hyvän ja pahan tiedon hedelmää. Tanhojen — Cherubimin — varjo katosi silloin paratiisin portilta, ja auenneet taivaat paljastivat onnellisen ihmislapsen silmien eteen Elämän puun — jonka hedelmän mehua hänen nyt sallittiin maistaa.
IHMISEN JÄLLEENSYNTYMINEN.
Aina siitä ajasta saakka, jolloin ihmisjärki alkoi esiintyä siksi toimintakykyisenä, että se saattoi luoda yksilöityneen, näennäisesti itsenäisen olion maailmankaikkeudessa, kuihtui sielun silmä, jolla ihminen lapsuusaikanansa näki elämänsä kuolemattomuuden ja sen identisyyden kaikkeuden elämän kanssa. Sen näön häviämisen mukana himmeni ihmiseltä hetkeksi myös hänen elämänsä päämaali ja hän jäi ikäänkuin pimeään yöhön, missä hänen oli järjellänsä etsittävä valo, joka selvittäisi hänelle ihmiselämän alun ja lopun, sen tarkotuksen maailmankaikkeudessa. Siksipä ei meidänkään päivinämme ole lakannut huuto, joka on kaikunut kautta aikojen: "mistä olemme tulleet, keitä olemme, ja mihin matkaamme?" Ja vaikka huuto onkin satojen tuhansien ehkä miljonien vuosien aikoina väreillyt ihmisten huulilla ja useita vastauksia on koetettu tuolle polttavalle kysymykselle antaa, niin ei ole voitu keksiä ainuttakaan, joka olisi ehdottomasti tyydyttänyt kaikkia.
Meidän aikanamme voidaan nuo vastaukset jakaa kolmeen, kolmesta eri tutkimus-suunnasta lähteneeseen ryhmään: materialististen epäilijöiden, kirkollisten ja salatieteilijöiden. Epäilijät eivät tahdo nähdä silmänkantamaa kauemmaksi — kun silmä on sammunut, niin on kaikki lopussa, sanovat he. Kirkollisen
katsantokannan mukaan alkaa ihmiselämä äidin kohdussa, jolloin Jumala luo ihmisen ikuiseksi olennoksi tulevaisuuteen nähden.
Salatieteilijät taas väittävät, että ihminen on ikuinen olento niinhyvin menneisyyteensä kuin tulevaisuuteensakin nähden ja maaelämä muodostaa vain tuon katkeamattoman elämän yhden kehitysjakson.
Epäilijöiden kanta on helposti ymmärrettävissä. Useinkin ovat he hyvin rehellisiä ihmisiä, jotka kylläkin ostaisivat totuuden melkein mistä hinnasta tahansa, jos vaan totuuden todistelu täyttäisi heidän vaatimansa ehdot. Elämän kuolemattomuus on todistettava heille silminnähtävällä ja kouraantuntuvalla tavalla, eli toisin sanoen fyysillisillä aisteilla tajuttavilla keinoilla. Mutta elämän lakisiteisyys ei ole asettunut tottelemaan heidän määräämiänsä vaatimuksia.
Päinvastoin osottaa Elämä epäilijälle lakiensa loukkaamattomuuden ja samalla tien, kuinka hänelle on mahdollista niiden lakien sisällä oppia tuntemaan elämänsä salaisuuksia. Eihän valokuvaajakaan voi esiintuoda ottamaansa kuvaa päivän valossa vaan tarvitsee sitä varten pimeän huoneen, jossa jotkut kuvaukselle haitalliset valonsäteet ovat ehkäistyt; samoin vaatii henkisen ihmisen olemassaolon todistelu aivan erikoiset edellytykset. Ja niinkauankuin ei olla halukkaita totuuden ilmisaamiseksi hyväksymään ja käyttämään kaikkia tarjolla olevia keinoja, ei ole syytä odottaa, että totuutta verhoava peite saataisiin täysin poistetuksi. Yhä laajempaa totuuden näkemystä varten tarvitaan ehdottomasti ennakkoluuloton mieli, mikä ei kammoksu ottaa käteensä työasetta, joka uutuutensa takia ensin näyttää oudolta, vaan tarttuu siihen rohkeasti, voidakseen vihdoin tottuneella käytöllä huomata, mihin se kykenee ja millaisia saavutuksia sillä on voitettavissa.
Niinpä ovat psyykilliset kokeilut tiedemiesten käsissä johtaneet aivan erikoisiin tuloksiin ihmisen kuolemattomuus-kysymyksen
ratkaisussa. Ei siinä kylliksi, että olisi keksitty ihmisen näkymättömät ruumiit eli ainakin useita niistä, vaan on myöskin saatu selville johonkin määrin näiden ruumiiden merkitys, kuinka fyysillinen tunto on toiselle niistä ominainen ja tunne eli sieluelämän ilmiöt toiselle, ja vielä kuinka ajatuskin vaatii itselleen erityisen "aineellisen" käyttövälineensä. Mutta vieläkin syvemmälle on kokeellisen tieteen onnistunut tunkeutua. Tuntuu uskomattomalta — mutta on epäämätön totuus — että ihmiskokeilu on voinut muuttaa ihmisessä asuvan personallisuuden aivan toiseksi, eli toisin sanoen näyttää todeksi sen ihmeellisen seikan, että samoin kuin ihmisen eri ruumilla on määrätyt vitaliset tehtävänsä erilaisia elonilmauksia varten, niin personallisuuskin on vain suurempi käyttövälineiden kollektivinen kokoelma, mutkikkaampi koneisto, jota ihminen eli jokin henkinen minuus käyttää tarpeidensa mukaan.
Tällä saavutuksella on tiede astunut mahtavan askeleen eteenpäin lähentyäkseen niitä väitteitä, joita salatieteilijät kannattavat ihmisestä, nim. että hän monen syntymän kautta vähitellen kohoutuu alemmalta asteelta ylemmäksi inhimillistä täydellisyyttä kohden, käyttäen todellakin vain eri personallisuuksia välikappaleinaan.
Niistä laajoista tutkimuksista, joita on julkaistu psyykillisen seuran aikakauskirjassa 'Proceedings' toistan erään otteen, jonka maailmankuulu kirjailija Maurice Maeterlink on teoksessaan "Kuolema" tuonut esille seuraavasti:
"Tyydyn vaan lyhyesti mainitsemaan tulokset muutamista hyvin hämmästyttävistä kokeista, jotka on tehnyt eversti Rochas.
"Olkoon heti alussa pantu huomio siihen, että eversti Rochas on oppinut, joka tieteellisellä tarkkuudella ja kaiken epäilyksen yläpuolella olevalla rehellisyydellä on tutkinut objektivista totuutta.
Nukuttamalla erikoisesti tarkotukseen sopivia henkilöitä magnetismia sivelyillä, saa hän nukutetun kertomaan koko menneen elämänsä. Siten viedään henkilö vähitellen takaisin nuoruuteensa ja aivan aikaisimpaan lapsuutensa aikaan. Kussakin näistä hypnotisista tiloista esiintyy tuossa henkilössä se tajunta-aste, se luonteen ja mielen tila, mikä hänellä oli kysymyksessä olevalla kehitysasteella.
Hän elää uudelleen niiden aikojen tapahtumat iloineen ja suruineen. Jos hän oli sairastellut, niin kävi hän läpi sairausajan ja tervehtymisajan täydelliseen parantumiseen saakka. Jos oli esim. kysymyksessä vaimo, joka oli ollut äitinä, niin sai hän uudelleen kokea äitiyden tyypilliset erikoisuudet, vieläpä synnytyksen ahdistuksen ja tuskan. Kun henkilö vietiin takaisin aikaan, jolloin hän opetteli kirjottamaan, niin kirjotti hän kuin lapsi, ja hänen käsialaansa voitiin verrata hänen kouluaikaiseen kirjotukseensa silloisten kouluvihkojen mukaan."
Tämäkin on jo kovin ihmeellistä, mutta — kuten eversti Rochas sanoo — tässä on kumminkin asteltu lujalla maaperällä; on tehty havaintoja vaikeasti selitettävästä fysiologisesta ilmiöstä, jota usean kokeilun ja tarkistelun nojalla voidaan pitää varmana. Mutta joudumme vähitellen alalle, missä yhä suuremmat arvotukset meitä yllättävät.
"Asian selvittämiseksi otettakoon yksinkertaisin koe tarkastuksen alaiseksi. Koehenkilönä on 18-vuotias tyttö nimeltä Josephine, joka asuu Voiron Iseressä. Magnetisten sivelyjen kautta on hänen tajuntansa siirretty pienen sylilapsen tilaan. Sivelyjä jatketaan ja tarina etenee. Josephine ei voi enää puhua. Hänet verhoo kapaloajan suuri hiljaisuus, jota seuraa vieläkin salaperäisempi ja syvempi vaikeneminen. Josephine vastaa nyt ainoastaan merkeillä, sillä hän ei ole vielä syntynytkään vaan häilyy synkeässä pimeydessä.
Kokeilua jatkettiin, uni tulee yhä syvemmäksi, ja äkisti puhkeaa tästä unesta esiin toisen olion ääni. Tälle tehdään kysymyksiä. Aluksi kieltäytyy hän vastaamasta, selvittäen, 'että hän tosin on läsnä, koska hän kerran voi vastata kysymyksiin, mutta hän ei näe mitään tässä häntä ympäröivässä pimeydessä.' Sivelyjä jatketaan ja vähitellen saadaan luotettavia vastauksia. Hänen nimensä on Jean Claude Bourdon, on vanha mies ja jo kauvan aikaa ollut sängyn omana sairaana, mutta kertoo silti elämänsä vaiheita. Hän on syntyisin Champvent'ista Pollitin kunnasta v 1812, käynyt koulua 18 vanhaksi, suorittanut sotapalveluksensa 7:ssä tykistörykmentissä Besanconissa. Kertoo sitten poikamaisista vehkeilyistään ja kisailuistaan samalla kun syvässä unessa makaava tyttönen tekee kädellään liikkeen kiertääkseen viiksiään sormiensa välissä.
"Sotapalveluksesta kotiin palattuaan ei hän mene naimisiin vaan elelee yhdessä rakastajattaren kanssa ja — kertomuksen lyhentämiseksi — kuolee 70-vuotisena taudin jälkeen."
Yllä olevan vainajan kertomus haudan tuolta puolen ei ole missään suhteessa erikoinen, mutta se ei suinkaan vähennä sen todenperäisyyden arvoa. "Hän tuntee kuinka hän lähtee ulos ruumiistansa", mutta pysyy siihen kiintyneenä jokseenkin kauan. Hänen hienompi-fluidinen ruumiinsa, joka ensimmältä oli kovin hienoaineista, saa vähitellen tukevamman muodon. Hän elää pimeydessä, joka alussa tuntuu kovin vastenmieliseltä, mutta kärsittävältä ja siedettävältä. Vihdoin hälvenee yönpimeys muutaman valonsäteen läpäisystä. Hän saa sisäisen aavistuksen siitä, että hänen on jälleensynnyttävä, ja hän lähestyy henkilöä, joka hänet on maailmaan synnyttävä, nimittäin Josephinen äitiä. Hän on alinomaa tämän tulevan äitinsä seutuvilla, aina synnytyshetkeen asti, ja astuu viimein sisälle tämän lapsen ruumiiseen. Aina
seitsemänteen ikävuoteen saakka oli lapsen ruumiin ympärillä jonkinmoinen haihtuva kehys, missä hän erotti useita asioita, joita hän ei koskaan sittemmin ole nähnyt.
Mutta vieläkin kauemmaksi kuin Jean Clauden personallisuuteen voitiin tunkeutua. Noin kolme neljännestuntia kestävän magnetisoimisen jälkeen vaihtuu tuon vanhan mieshenkilön ääni ilman mitään väliaikaa uudelleen pienen lapsen ääneen. Uusi hiljaisuus, uusi "limbus infantun", "lasten tuonela", sitten äkillisesti toinen ääni ja toinen personallisuus. Tällä erää on se vanhan naisen, joka on ollut kovin ilkeä ja on sen vuoksi saanut kärsiä paljon. Nykyisin, kun hän on kuollut, esiintyvät tapahtumat päinvastaisessa järjestyksessä, alkaen kokeilussa siis elämän lopulta. Hänkin on pimeydessä, pahojen henkiolentojen ympäröimänä. Hän vastailee heikolla äänellä mutta aina selvään ja seikkaperäisesti kaikkiin hänelle tehtyihin kysymyksiin, eikä hän jankkaile kuten Jean Claude teki. Tämän uuden henkilön nimi on Philomène Carteron.
"Yhä syventämällä nukkuvan unta, sanoo Rochas, saadaan ilmennyksiä Philomènen elinkaudesta. Näyttää kuin kärsivä tila haihtuisi; hän on tyyni ja vastailee aina selvällä, joskin jäykällä tavalla. Hän tietää, ettei hänestä ole pidetty kotiseudullaan, ja sen hän tahtoo tilaisuuden tullessa kostaa. Hän oli syntynyt v 1702 ja hänen syntymänimensä oli ollut Philomène Charpigny. Hänen äitinsä isä oli Pierre Machon, joka asui Ozan'issa. Vuonna 1732 oli hän Chevroux'issa mennyt naimisiin Carteron nimisen miehen kanssa, jonka yhteydessä saadut kaksi lasta olivat kuolleet.
"Ennen tätä syntymäänsä oli Philomène ollut tyttö ja kuollut pienenä lapsena. Sitä ennen oli hän ollut mies, tehnyt murhan ja sen takia saanut kärsiä kauan 'pimeydessä', mikä pimeys jatkui hänen
lapsena kuolleen elämänkin jälkeen, vaikka hän ei silloin ollut ennättänyt mitään pahaa tehdä.
"En voinut pitkittää unitilaa pitemmälle, sanoo Rochas, sillä Josephine oli kovin uupunut, ja oli sangen säälittävää nähdä häntä näiden kriisien eli vaihdosten aikana.
"Olen myöskin tehnyt kokeen, joka näkyy todistavan, että näiden medioiden havainnot ovat objektivista todellisuutta. Voiron'issa on minulla ollut kokeiluissani alituisesti mukana eräs nainen, luonteeltaan rauhallinen ja harkitseva, mutta ei ollenkaan suggestionille vastaanottavainen, nimeltään mademoisille Louise.
Tällä nuorella neidolla on melkoinen kyky havaita ihmisruumiista ulosvirtaavia valunnoksia, siis myöskin eetteri- ja astraliruumiita (mikä kyky joka ihmisessä on enemmässä tai vähemmässä määrässä ja on jokseenkin tavallinen). Kun Josephinen muistoon heräsi hänen menneet elämänsä, niin näkyi mademoiselle Louisen silmälle hänen ympärillään vaaleahko värikehä eli aura, mikä aura heti muuttui tummaksi, kun oli kysymyksessä välitila kahden elämän välillä. Joka tapauksessa reageerasi Josephine kiihkeästi, kun kosketeltiin sitä paikkaa huoneessa, jossa aura oli nähtävissä, olipa se sitten vaalea tai tumma."
Nämä ylläolevat kokeilujen tulokset pitää Maeterlink todistuksena jälleensyntymisopista, joskaan ne eivät hänen mielestänsä ole vielä täysin riittävät.
Kun hän sitten harkitsee jälleensyntymisteorian siveellisiä edellytyksiä ja vertaa sitä muihin sen rinnalla esiintyviin maailmankatsomuksiin, lausuu hän:
"Ei ole koskaan löytynyt kauniimpaa, vanhurskaampaa, puhtaampaa, siveellisempää, enemmän siunausta tuottavaa, lohdullisempaa ja vieläpä jossakin määrin todennäköisempää uskonoppia kuin jälleensyntyminen. Se on nykyisin ainut oppi, joka puhuessaan järjestelmällisistä perättäisistä parannuksista ja puhdistuksista, ottaa huomioon kaikki inhimillisen elämän niinhyvin fyysilliset kuin myös älylliset erilaisuudet, siten tasottaen näennäiset yhteiskunnalliset vääryydet ja kohtalon epätasaisuudet."
Epäjohdonmukaisin ja epäfilosofisin on kirkollinen kanta ihmisestä. Sen väite, että Jumala kullekin syntyvälle ihmiselle loisi kuolemattoman sielun, joka olisi tulevaisuuteensa nähden ikuinen, ei voi saada jalansijaa vähänkään ajattelevammassa yksilössä. Sillä kuinka iankaikkista olentoa voitaisiin luoda? Luomistapahtuma jo semmoisenaan sisältää alkamisen käsitteen — ja kaikella, jolla on kerran ollut alku, täytyy myös olla loppu. Ainoastaan ikuinen, aina olemassa oleva, aluton ja loputon — niin menneisyyteen kuin tulevaisuuteenkin nähden — voi ilmentää iankaikkisuusolennon. Siksipä ovatkin ajattelevammat ihmiset kirkonkin helmassa kaikkina aikoina kannattaneet niinkutsuttua pre-eksistensi oppia, joka edellyttää ihmissielujen olemassaolon ennen heidän syntymistään maan päälle. Onpa vielä todettu, että itse jälleensyntymis-oppikin on alkuansa ollut kristillisten kirkkojen omaisuus, koska historialliselle tutkimukselle on onnistunut toteen näyttää, että tuo oppi julistettiin pannaan, poistettiin kirkon oppijärjestelmästä keisarillisella mahtisanalla kirkolliskokouksessa Konstantinopolissa v. 553 keisari Justinianuksen hallitessa.
Ryhtymättä arvostelemaan seikkaperäisemmin kirkollista maailmankatsomusta myönnettäköön, että silläkin on ollut suuri tehtävänsä terottaissaan fyysillisen, personallisen elämän tärkeyttä,
joskin se lyhytnäköisyydessään on määritellyt sen ihmisen ainoaksi elämäksi. Yksi seikka on kumminkin länsimaiselta kirkolliselta maailmankatsomukselta pois riistettävä, joka ei sille kuulu, nimittäin sen nimilipusta sana "kristillinen". Kristillinen maailmankatsomus on jälleensyntymisopin niinkuin monen muunkin opin suhteen aivan vastakkainen kirkollisen käsityksen kanssa, ja olisi todella alentavaa kristinuskon arvolle, jos se tehtäisiin samaksi dogmatisen kirkonopin kanssa. Alkuperäinen kristinoppi eli Kristuksen oppi on aatteellisessa ylevyydessä toisten suurten maailmanuskontojen hinduismin ja buddhalaisuuden tasalla, ja niinkuin jälleensyntymisoppi on jälkimäisille aivan oleellinen, niin se on myöskin perustana ja pohjana Kristuksen opetuksissa. Sen opin edellyttäminen tekee mahdolliseksi käsittää Kristuksen vuorisaarnan huippukohdan: "olkaa täydelliset niinkuin teidän taivaallinen Isänne täydellinen on."
Sillä kuinka voisikaan matalalla oleva ihmislapsi yhdessä lyhyessä maaelämässä saavuttaa Jumalan täydellisyyden, vallankin jos Jumala olisi sattunut luomaan hänet epätäydelliseksi niinhyvin ruumiin, sielun, kuin ymmärryksenkin puolesta, jommoisia epäilemättä on suurin joukko ihmiskunnastamme. Eikä kenkään voine väittää, ettei Kristus olisi tarkottanut sitä, mitä hän sanoi, sillä siksi ylevä ja aatteellisesti korkea on se opetuksen tausta, jolle hän piirsi tuon mainitun lauseen. Se muodostaa äärimmäisen saavutuksen siinä suunnattoman korkeassa kehitysjaksossa, jonka tietä ja asteita hän kuvaili vuorisaarnan ihanissa autuudenlupauksissa. Niissä hän askel askeleelta kohottaa ihmisen tajunnan korkeammalle ja korkeammalle hyvyyden maailmaa "taivasten valtakuntaan", jonka hän sanoo kuuluvan niille, jotka "kerjäävät henkeä". Tämä hengen kerjäläisen tajunnantila on ensimmäinen aste sillä tiellä, joka avaa ihmiselle todellakin taivasten valtakunnan, missä isoova ravitaan, laupiaalle tapahtuu laupeus,
sävyisä saa periä maan, ja rauhottunut ihmisolento kutsutaan vihdoin "jumalan pojaksi" [alkutekstin mukaan Matth. 5:9]. Silloin hänen puhdas sydämensä alkaa avautua näkemään Jumalaa sekä itsessään että kaikkialla luonnossa ja paikallansa on Kristuksen opetus: "autuaat ovat puhtaat sydämestä, sillä he saavat nähdä Jumalan". Tämä näkemäsi Jumala, Hän on sinun päämääräsi, ole siis täydellinen niinkuin on sinun taivaallinen Isäsi, jota katselet nyt sielusi avautuneella silmällä.
Tämä suuremmoinen opetus kadottaisi kaiken todennäköisyytensä ja luonnollisuutensa, jos ei sen opetuksen takana olisi ollut edellytyksenä jälleensyntymisoppi, joka takaa ihmiselle mahdollisuuden jatkuvaan kehitykseen. Vasta sen opin valossa on Mestarin opetus aivan luonnollinen. Ja ettei tämä olettamus ole mikään mielivaltainen yritys anastaa tukea jollekin subjektiviselle mielipiteelle, käy selville kun seuraa Kristuksen muissa tilaisuuksissa antamia opetuksia. Hän nimenomaan omaksuu silloin vallalla olevat käsitykset ihmisen pre-eksistensistä kertomuksessa sokeana syntyneestä (Joh. 9:2) ja sairaan parantamistapauksessa Bethesdan lammikolla, ja selvemmin hän ilmaisee kantansa puheissaan Johannes Kastajasta, josta hän sanoo: "hän on Elias, jonka tuleman piti" (Math. 10:7—15 ja 17:10—13, Marc 9:11—13).
Ellei pre-eksistensi ja jälleensyntymisoppi olisi ollut aivan yleinen senaikuisten juutalaisten keskuudessa, niin ei profetta Jeremias olisi myöskään Jahven suun sanoina käyttänyt seuraavaa lauselmaa, jossa viitataan Jeremiaan kutsumuksen pätevyyteen: "Ennenkuin minä sinut siitin sinun äitisi kohdussa, niin minä sinut tunsin, ja ennenkuin tulit ulos äitisi helmasta, niin minä sinut jo pyhitin sekä määräsin kansojen profetaksi" (Jer. 1:5).
Useita muitakin raamatun paikkoja voitaisiin tuoda tueksi sille väitteelle, että jälleensyntymisoppi muodosti niinhyvin juutalaisuudessa kuin myöskin ensimäisten kristillisten seurakuntain opetuksessa tärkeän sijan ja oli tavallaan sille aivan oleellinen. Siksipä useat kirkkoisät aikakautemme ensimäisellä ja toisella vuosisadalla opettivatkin sitä julkisesti, josta todisteena on muun muassa Origeneen lauselma kirjassaan "Contra Celsum": "voipi näet tapahtua, että israelilainen jälleensyntyy skythien sekaan ja egyptiläinen joutuu juutalaisten joukkoon."
Kun lännen eri kirkkokunnat uudelleen ottavat opinkappaleidensa joukkoon ne kalliit opetuksen helmet, muiden muassa jälleensyntymisopin, joita jumalallinen Kristus kerran opetti ihmisille ja jotka kirkko sittemmin hylkäsi, silloin, mutta vasta silloin, on kirkolla oikeus käyttää nimenänsä Kristin usko, ja silloin on se astunut ulos siitä alennuksen tilasta, jossa se on yli vuosituhannen nukkunut. Samalla kertaa on se astunut arvoasemaansa tasaarvoiseksi niiden maailmanuskontojen rinnalla, joiden ääni ei koskaan ole sortunut saarnaamasta ihmisille jälleensyntymisopin lohdullista hyvääsanomaa.
Silloin on maailmalle koittava uusi päivä. Aletaan oikealla tavalla ymmärtää veljeyden aatetta ja selvenee käsitys, että koko luomakunta muodostaa Elämän suuren perheen, jonka jäsenet kukin oikeutetulla tavallaan esittävät eri-ikäisten lasten osaa.
Kehittyneelle kaukonäkevälle salatieteilijälle on jälleensyntymisoppi selviö, jolle hän ei kaipaa järjestelmällisiä todisteluja. Sen avulla ryhtyy hän ratkaisemaan pulmallista kysymystä ihmisen elämästä ja kuolemasta. Se tehtävä on hänelle sitäkin helpompi, kun hänen avautunut sielunsilmänsä näkee
ihmisen eri ruumiit ja niiden merkityksen ihmiselle. Kuolema, joka ennen niin kaameana näytti uhkaavan katkaista kaiken tajuavan elämän, on nyt kadottanut pelottavaisuutensa, kun silmä voi erottaa elämän loppumattoman jatkuvaisuuden. Itse kuoleman tapahtuma ei näytä sen erikoisemmalta kuin hetki, jolloin uupunut työntekijä laskee väsyneen ruumiinsa lepoon, ottaakseen sen taas seuraavana aamuna työaseeksi uuden päivän toimintaan. Erotus on vaan siinä, että kuoleman uneen nukkuvan yö on verrannollisesti pitempi, ja että siitä heräävä ihmislapsi ei tyydy enää vanhaan kuluneeseen ruumiiseen vaan rakentaa itselleen uuden. Näet kumpaisessakin tilassa, niin unitilassa kuin kuolemassakin, jättää ihminen fyysillisen ja eetteriruumiinsa niitä vastaavilla tasoilla vallitsevien voimien huostaan, samalla kuin ihminen itse hienommissa ruumiissansa asustaa näitä hienompia ruumiita vastaavissa tajuntatiloissa.
Tavallisen unen jälkeen, jolloin fyysillinen ruumis on virkistynyt uusien ponnistusten varalle, ottaa ihminen asuntonsa siihen uudelleen, käyttääkseen sitä työhönsä fyysillisellä tasolla, mutta kuolemassa jättää ihminen fyysillisen ruumiinsa kokonaan, sillä vanhuudesta heikontuneena, tautien ja syntien seurausten turmelemana, se ei enää kelpaa ihmisen työaseeksi. Tällöin sen aineosat jäävät hajaantumaan fyysillisen tason ainevarastoon.
Hetken aikaa fyysillisestä ruumiista erottuaan viipyy ihminen, eetteriruumiiseen verhoutuneena, fyysillisen ruumiinsa läheisyydessä, mutta kun hän on senkin yltään riisunut, niin on hän täydelleen jättänyt fyysillisen tason ja astunut siihen maailmaan, jota ahtaammassa merkityksessä kutsutaan haudantakaiseksi maailmaksi eli astralimaailmaksi.
Tässä olotilassa käyttää ihminen sitä ruumistaan, jonka opimme tuntemaan astraliruumiin nimellä. Ihmisellä on jälellä vielä kaikki
entiset tunteensa ja viettinsä, kuten konsanaankin hänen maailmassa eläessään, kumminkin sillä erotuksella, että ne nyt esiintyvät monta vertaa palavampina ja tulisempina, kun niiden väreilyä ei ole enää ehkäisemässä ihmisen karkeampi-aineiset ruumiit. Ihmisen tunne-elämän laatu, sen vietteiden ja pyyteiden voimakkuus ja karkeus, ovat ne tekijät, jotka määräävät, minkälaiseksi ihmisen elämä tässä astralimaailmassa muodostuu. Jos vietit ovat kovin alhaiset ja eläimelliset, niin voidaan täydellä syyllä semmoisen henkilön olotilaa astralimaailmassa kuvata helvettien räikeillä ja kauhistuttavilla väreillä, sillä julmempaa olomuotoa tuskin voidaan ajatella kuin himojen kiihkoisten tulien palo. Ei ole näet enää tilaisuutta niiden tyydyttämiseen sillä karkealla tavalla, jolla ihminen oli oppinut niistä nauttimaan fyysillisessä ruumiissa eläessään. Mutta kaiken sen kurjuuden ja pimeyden ohella, jota tämmöinenkin tila tarjoo, voidaan myöskin siellä nähdä päivänpaistetta, mikä syntyy niiden jalojen lähettiläiden läsnäolosta, jotka työskentelevät tässä himojen piirissä. He ovat "astuneet alas helvettiin", ollakseen opettajina näille onnettomille, jotka eivät vielä ole oppineet alkeellisempia perusteita hyvän kaidalla polulla, ja kuinka mahdottomalta tuo työ näyttäneekin, niin tuskinpa löytyy himoa, jonka voima ei vaimenisi heidän rakkautensa lauhduttavasta kasteesta tässä himojen kiirastulessa.
Sitä mukaa kuin sielu puhdistuu ja kirkastuu, sitä mukaa vaihtuvat myöskin hänen astraliset verhonsa ja hänen on vähitellen mahdollista kohoutua korkeampiin tajuntamahdollisuuksiin astralimaailman valoisimmille seuduille, joille jo heijastuu taivasmaailman kirkkaus siksi kuulakkana, että useat pitävät tätä tilaa sinä taivaana, jota he ennen ajatuksissaan unelmoivat. Todellinen taivasmaailma on kumminkin vasta niinkutsutulla ajatustasolla, puhtaassa aatteen maailmassa, missä himoilla ei ole
jalansijaa. Siksipä ihmisen ennen sinne pääsöänsä on vielä kerran "kuoltava" s.o. riisuttava yltänsä astraliruumiin puku, joka estää hänen nousuaan taivaallisen kirkkauden ihanaan asuinsijaan. Hienoon älyruumiiseensa vetäytyneenä astuu ihminen sitten todelliseen taivasmaailmaan, jonka kuvaaminen käy yli kaiken mahdollisen maisen kuvaamiskyvyn. Siellä kaikki ne hyveet, joita ihminen maaelämänsä aikana ajatteli ja harjotti, tulevat esille ja puhkeavat täyteen kukoistukseensa, niinkuin nupussaan oleva kukka nopeasti avautuu, odoteltuaan kauan auringon lämmittäviä säteitä.
Tiedäthän, että kukka sitä varten avaa kupunsa auringolle, että sen säteet vuodattaisivat elinvoiman uuden henkäyksen siemenen idulle, joka piilee kukan hennoimpien ja kauneimpien terälehtien alla. Niin on ihmisenkin laita: sen kauneimman verhon, taivasmaailman älyruumiin verhon alla on se säilyttänyt siemenensä sitä uutta muotoa varten, jossa hänen on tehtävä uusi yritys fyysillisessä maailmassa onnistuakseen voitollisemmin ponnistuksissaan kuin edellisellä kerralla. Hän vei muassaan tämän ihmismuodon idun aurinkoiseen taivasmaailmaan, jotta se kypsyisi elinvoimaiseksi uutta kylvöä varten.
Tätä kypsynyttä ihmismuodon siementä kutsutaan salatieteellisissä teoksissa nimellä älyruumis. Siihen verhoutuneena astuu ihminen maan luomakunnan Herruuden eteen — Korkeimman istuimen juurelle polvistuu ihminen, huulillansa rukous: "Oi Herra, kun tästä ihanuuden asuinsijasta katson maailmaa, näen uuden kuvan heijastuvan aineen ihmeelliseen mereen. — Se kuva onkin minun oma varjoni, uuden personallisuuteni heijastus. Salli Herra minun ruumistua uudelleen, sillä näen, että minun tuleva ruumistukseni on vievä minut suurempaa täydellisyyttä kohden, —
jolloin olen kelvollisempi olemaan huoneesi asujamena kuin mitä nyt olen."
Jos ihminen syyruumiinsa tajuntamaailmassa edelleen kyselee, mikä on sitten itse ihminen, niin saa hän vastauksen, valtavan näyn muodossa. Hänet ympäröi ihmeellisin valon kirkkaus mitä eristetty tajunta koskaan voi ajatella ja hän ymmärtää, että hänen on sallittu välähdykseltä nähdä heijastus meidän aurinkokuntamme Jumaluuden Herraudesta. Sen suunnaton valorikkaus tekee hänelle mahdottomaksi ryhtyä tavalla tai toisella määrittelemään tämän Olennon suhteita, ja ainoa, minkä hän voi tajuta, on se, että hän itse on yksi säde tuossa kirkkaudessa. Mutta polttavampana kuin koskaan ennen palaa yhä hänen hengessään kysymys, johon hän ei ole saanut vastausta, ja totuuden jano pakottaa hänet yhä vain tunkeutumaan korkeammalle löytääksensä Tiedon. Kuta lähemmäksi
Jumaluutta hän näin nousee, sitä enemmän haihtuu hänen ympäriltään harha, vihdoin häämöittää hänelle Tiedon säilytysaarre itse Jumaluuden Herrauden Sydämellä. Ja kun uskalias ihmislapsi astuu sinne — niin haihtuu hänen tajunnastaan viimeinen mainen vaippa, ja hänen uppoutuessaan Jumaluuteen kuuluu hänen huuliltansa sanat: Tat tvam asi — Minä olen Hän.
*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK IHMINEN
UUSIMPIEN TIETEELLISTEN JA SALATIETEELLISTEN
TUTKIMUSTEN VALOSSA ***
Updated editions will replace the previous one—the old editions will be renamed.
Creating the works from print editions not protected by U.S. copyright law means that no one owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United States without permission and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to copying and distributing Project Gutenberg™ electronic works to protect the PROJECT GUTENBERG™ concept and trademark. Project Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you charge for an eBook, except by following the terms of the trademark license, including paying royalties for use of the Project Gutenberg trademark. If you do not charge anything for copies of this eBook, complying with the trademark license is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, performances and research. Project Gutenberg eBooks may be modified and printed and given away—you may do practically ANYTHING in the United States with eBooks not protected by U.S. copyright law. Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial redistribution.
START: FULL LICENSE
