Chapter1 Introduction
Inthisessaywestudypredicateapproachestomodality.Thatis,wewanttodiscuss andexploretheviewaccordingtowhichmodalnotionsarebestconceivedaspredicatesapplicabletonamesofsentencesorpropositions.Thiscontraststowhatmight betakentobethestandardview,atleastinlogic,thatconceivesofmodalnotionsas sententialoperators.Asententialoperatorasopposedtoapredicatetakesasentence asargumentandyieldsanewsentence.Ultimately,ourmainmotivationforexploringpredicateapproachestomodalityis,orsoweargue,thatthestandardoperator approachestomodalityareunsatisfactoryfromanaturallanguageperspective.
Inanutshellwehavetworeasonsforourassessment.Ontheonehandwethinkthat truthandthemodalnotionsareexpressionsofthesamegrammaticalcategoryand, inabsenceofanargumenttothecontrary,shouldthereforebetreatedinauniform way.Butasthingsare,truthisusuallytreatedasapredicateandthustheuniformity requirementisviolated,ifmodalnotionsaretreatedasoperators.Ontheotherhand, innaturallanguagewefrequentlyquantifyintotheargumentpositionofthemodal notions,refertoothersentencesandexpressionsandtalkaboutsubstitutionsof theseexpressions.Wearguethattheoperatorapproachtomodality,asitisusually conceived,doesnotprovidetheexpressiveresourcestoaptlyformalizetheseaspects ofnaturallanguagewhichwetaketoplayanimportantrolewithinphilosophy.We donotdenythattheoperatorapproachcanbeenrichedtothiseffect,butwedothink thatitismorestraightforwardtoaccountfortheseaspectsofnaturallanguagewithin apredicateapproachtomodality.
Optingforapredicateapproachtomodalityistantamounttoanalyzingthelogical formofmodalascriptionstobeofsubject-predicateformandthisanalysismayand hasbeencriticizedondifferentgrounds.Argumentsthatpurporttoshowthatmodal ascriptionsarenotofsubject-predicateformmaystemfromthreedifferentareasand theirinterfaces:syntax,semanticsandlogic.Argumentsfromsyntaxholdthatitis grammaticallyconfusedtoanalyzethemodalnotionasapredicatewhereasargumentsfromsemanticsholdthattakingmodalascriptionstobeofsubject-predicate formgivesafaultyaccountoftheircontentormeaning.Finally,argumentsfromlogic usuallypurporttoshowthatnosatisfactoryformaltreatmentofthemodalnotionsis possible,ifweoptforapredicateapproachtomodality.
©SpringerInternationalPublishingSwitzerland2016
J.Stern, TowardPredicateApproachestoModality, TrendsinLogic44,DOI10.1007/978-3-319-22557-9_1
Inthisessaywewanttoargue,onthecontrary,thatpredicateapproachestomodalitygiverisetosatisfactoryformaltreatmentsofmodality.InChap. 2 wetherefore discussandevaluateargumentsthathavebeenbroughtforwardagainstpredicate approachestomodalitytherebyfocussingonargumentsfromlogicandthesemantic/logicinterface.Mostprominently,wediscussMontague’stheoremwhichisoften takentoshowthattheconstitutivemodalprinciplesleadtoinconsistencyoncewe treatthemodalnotionsaspredicates.GiventheseinconsistencyresultsChap. 3 is devotedtosystematizingmodalprincipleswithrespecttotheirjointconsistency andinconsistency.Indoingsowehopetoprovideastartingpointforconsistent axiomatizationsofthemodalpredicates.Correspondingly,Chap. 4 isdevotedtothe axiomatizationofmodalpredicates.Ourstrategyistoaxiomatizeamodalpredicatebyappealtoitsinteractionwiththetruthpredicateoftwoprominentaxiomatic theoriesoftruth,namely FS (“Friedman-Sheard”)and KF (“Kripke-Feferman”). Accordingly,wewillconstructandevaluatetwoaxiomatictheoriesoftruthand modality:onebasedonthetheoryoftruth FS ,theotheron KF .
Throughoutourstudywewillassumeclassicallogic,thatisweshallnotdiscuss andinvestigateapproachesthatarebuiltonnon-classicallogic.Wethinkthatclassical logicshouldbethelastthingtogoasitisthoroughlyentrenchedinscientificpractice anditisnotclearhowwecandowithout.
Intheremainderofourworkwewill,aswehaveindicated,mostlybeconcerned withargumentsagainstthepredicateapproachstemmingfromlogicandthesemantics/logicinterface.Butbeforeweturntotheseargumentswewantatleasttotouch uponsomeoftheargumentsfromsyntax,semanticsandtheirinterface.Yet,before wedosoageneraldisclaimeronouruseof“modalnotion”and“modality”seems appropriate:weneveraimatdifferentiatingorcategorizingthenotionalcategoryof modalityandrefertheinterestedreadertotheworkofWhite[178]andKratzer[88]. Moreover,generallyspeaking,weadoptaratherbroadunderstandingofmodality andthemodalnotions,i.e.,wemeantoincludealethicaswellasdoxasticmodal notionsbutalsopropositionalattitudes.Although,sometimes,especiallytowardthe endofourinvestigation,itmightbepreferabletonarrowinonanalethicreadingof themodalityatstake.
1.1ModalPredicatesandLanguage
Proponentsoftheoperatorapproachtomodalitywhotakethecompetingview,that is,thepredicateapproachtomodalitytobeconfusedonpurelygrammaticalgrounds wouldneedtoarguethatmodalnotionsconstituteasyntacticunit,thatisacategory ofexpressions,whosegrammaticalfunctionisanalyzedinawaywhichjustifiesthe claimthatmodalnotionsactassententialoperators.However,ifonetriestoarguefor somethingalongtheselines,oneimmediatelyfacestheproblemthatwithinnatural languagemodalascriptionscanbeexpressedinseveralwayswhichcannotbeforced intoonesyntacticcategory.Thus,e.g.,Kratzerstates
“Whatbecomesobviousfromthisselection[ofdifferentwaysofexpressingmodalityin German;J.S.]isthatthereisnosyntacticcategorycorrespondingtothenotionalcategory ofmodality.”(Kratzer[88],p.292).1
Butifthereisnotasinglesyntacticcategorycorrespondingtothenotionalone,it wouldseemthatwearefreetochoosethecategorywithinlogicalgrammarwethink suitsbest,aslongaswegetthemeaning,thatis,thesemanticinterpretationofthe modalexpressionrightandcanprovideasystematicaccountthereof.
Inpractice,however,thediscussionhasfocusedontwoparticularformsofmodal ascriptionswhichadmittedlyfigureprominentlyinmanyphilosophicalarguments. Weshalloutlinethedebateusingthemodalnotion‘necessary’,thoughnothingwe sayhingesonourchoiceofthismodalnotion.Especially,everythingthatwesaywith respectto‘necessary’canbesaidwithrespectto‘truth’.Thetwomodalascriptions atstakeare
(PT ) ‘2 + 2 = 4’isnecessary. (OS ) Itisnecessarythat2 + 2 = 4.
Ingeneral, (PT ) isbroughtforwardbyproponentsofthepredicateapproachtomodality,where (OS ) isthestereotypicalexampleofproponentsoftheoperatorapproach tomodality.Thechampionoftheoperatorviewwillarguethatthegrammatical analysisof (OS ) yieldsthefollowingparsing Itisnecessarythat O 2 + 2 = 4 S .
where O issupposedtobeasyntacticunitwhosegrammaticalfunctionisthatofa sententialoperatorwhichtakesasentence S asargument.Unfortunately,noargument tothiseffectisforthcominginstandardtheoryofsyntax.2 Thatis,standardtheoryof syntaxdoesnottake O ,i.e.,‘itisnecessarythat’,toform,ortobelongto,asyntactic unitorcategoryandconsequently, (OS ) doesnotallowforaparsingasindicated above—atleastonpurelygrammaticalgrounds.Onthecontrary,inmosttheoriesof syntax3 “that2 + 2 = 4”wouldbeconsideredasaunit,namelyasacomplementizer phrase.Weshallnotdiscussthegrammaticalanalysisofsentencelike (OS ) indetail, buttoourknowledgeallstandardaccountsanalyzethegrammaticalfunctionof‘is necessary’tobethatofapredicate,thatis,ittakestermsasargumentstoform sentences.4 Thusaccordingtothetheoryofsyntaxthemodalascriptionin (OS )
1 PagenumbersrefertothereprintinPortnerandPartee[123].
2 SeeSells[149]andvanValin[174]formoreonsyntaxtheory.
3 Thatis,inallconstituent-structuregrammarswhichacceptthemainstreamcategoriesofconstituentsamongstwhichwehavecomplementizerphrases(CP).AllthedifferentversionsofChomskycountasstandardtheoryofsyntax(cf.Sells[149]andvanValin[174]).
4 Itisimportantthat‘term’isnotunderstoodsemantical,i.e.,asareferentialexpression.Whethera “term”isreferentialisacompletelydifferentissueandnotaquestionofgrammarbutofsemantics.
and (PT ) arestructurallysimilarandbothsuggestapredicateapproachtomodality. Indeed,thispointwasalreadymadebyTerenceParsons:
“Thecomplement[thecomplementizerphrase,J.S.]isaunit;itdoesnotconsistofapieceof theverb(‘that’)artificiallytransferredtothesentence.(...)Thecontraryviewthateschews that-clausesinfavorofcombining‘that’withverbsandadjectiveswouldinvolvecomplicationsinsyntactictheorysofar-reachingthattheyarenotseriouslycontemplatedin linguistics.”(Parsons[119],p.442)
However,oneshouldbecarefultodrawanystrongconclusionsfromtheobservation thatpuresyntaxtheorydoesnotprovidesupportforanoperatorapproachtomodality forthereisadistinctiontobemadebetweenthepuregrammaticalformofasentence anditslogicalform.Theremightwellbesemanticconsiderationswhichsuggesta structuralmodificationinthetransitionbetweengrammaticalformandlogicalform. Higginbothamarguesatlengthforthisview,i.e.,thedistinctionbetweenpure grammaticalformandlogicalformandstates:
“Linguisticstructureisamatterofgrammarinthenarrowsense;thatis,amatterofwhat licensescertaincombinationsofwordsandotherformativesasconstitutingasentenceofa language.Buttheconcernoflogicalformiswiththerecursivestructureofreferenceand truth.Indistinguishinglogicalformfromgrammaticalformwepostawarningagainstthe easyassumptionthatthereferentsofthesignificantpartsofasentence,inthewaystheyare composedsoastodeterminetruthconditions,lineupneatlywiththewords,inthewaythey arecomposedsoastomakethewholewellformed.”(Higginbotham[72],pp.173–174)
Accordingly,proponentsoftheoperatorapproachtomodalitysuchasPrior[125], Recanati[138]orMulligan[114]arguethataverblike‘isnecessary’doesnotexpress apropertyand,moreover,that“that-clauses”arenotsemanticunitsand,particularly, notexpressionsthatdesignateobjects.5 Therefore,theyare,semanticallyspeaking, notsingulartermsevenassumingagenerousunderstandingofthisnotion,andcannot functionastheargumentinasubject-predicateconstruction.6 Consequently,‘that’ connectswith‘isnecessary’toformaone-placeoperatororconnective‘Itisnecessarythat’whichappliedtoasentenceproducesanewsentence.Inwhatistocome weshallreferto‘Itisnecessarythat___’and‘___isnecessary’asamodaloperator and,respectively,amodalpredicate.
Againsttheviewthat“isnecessary”expressesapropertyofsentences,propositionsor,moregenerally,objectsthata“that-clause”coulddesignate,itisclaimed thatasentencelike“ItisnecessarythatHesperusisPhosphorus”isnotaboutthe propositionorthesentencethatHesperusisPhosphorusbutaboutHesperus.While theremightbesuchareadingofthesentencementioned,wedonotthinkthatthis isthesalientoneor,differentlyput,welackclearandconvincingintuitionstothis effectandwouldexpectPriortoconvinceus.
5 Ourunderstandingof‘designate’inthiscontextistheoneofKing[84].
6 Tobeprecisenoneofthementionedauthorsmakethepointusingthemodalnotion‘necessary’ yet,PriorandMulliganwouldcertainlyagreewiththeviewwehaveoutlined.Bothmakeanexplicit claimwithrespecttothe“trivial”modality,thatisthenotion‘truth’.Recanatiismostlyconcerned withpropositionalattitudesbutcommitstowhathecalls Prior’sadverbialanalysis andthustothe viewthat“that-clauses”arenotsingularterms(cf.Recanati[138],p.29f.).
Tobefair,thisargumentinfavorofanoperatorapproachprovesmoreconvincing inconnectionwithpropositionalattitudesorintensionaltransitiveverbssuchas “fears”.Prior7 discussesthesentence‘Xfearsthattherewillbeanuclearwar’and arguesthatthisshouldnotbeunderstoodassayingthatXfearsthepropositionthat therewillbeanuclearwarbutrathertobeaboutapossiblefuturenuclearwar.And herePriorhasapointalthoughmostpeoplehavetakenthisargumenttobenotso muchanargumentagainstarelationalanalysisofpropositionalattitudes8 butto suggestthatitisnotalwayspropositionsthoserelationsrelateto.Accordingtothis view“that-clauses”donotalwaysdesignatepropositionsbut,e.g.,alsofactsand eventsanditseemsthatXmaywellfearthefutureeventofanuclearwar.9
Still,slightlymodified,thelatterargumentispartofawholefamilyofarguments againsttheanalysisof“that-clauses”assingulartermsalsoknownassubstitution failures:If“that-clauses”weresingularterms,thenwecouldsubstitutethem salva veritate forcoreferentialsingularterms,orsowewouldexpect.However,itshows thatwearenotevenguaranteedsubstitution salvacongruitate.Forpresumably,‘that 2 + 2 = 4’designatesthesamepropositionas‘thepropositionthat2 + 2 = 4’but whereas (OS ) isgrammatical
(∗OS ) Itisnecessarythepropositionthat2 + 2 = 4.
isnotasentenceofEnglish.Ontheotherhand,appealingtoconsiderationsakinto thoseofPriorabove,thetwosentences
( S 1)
( S 2)
Athurremembersthat2 + 2 = 4.
Athurremembersthepropositionthat2 + 2 = 4.
shouldbeequivalentbysubstitution salvaveritate.Butclearlytheyarenot,for onemayrememberthepropositionwithoutrememberingittobetrue.Fromthese substitutionfailurespriordrawtheconclusionthat“that-clauses”arenotsingular termsand,accordingly,asentencelike (OS ) cannotbeofsubject-predicateform. Thishasledtoanabundantdiscussionbetweenadvocatesofthesingulartermtheory suchasBealer[12],Parsons[119],King[84],Künne[93]orMoffet[108]who provideexplanationsfortheallegedsubstitutionfailuresandtheiropponentssuchas Moltmann[109],Rosefeldt[143]orMulligan[114].Weshallnotenterthisdebate asitwouldtakeusbeyondthescopeofthisessay,althoughsomeofthesubstitution failuresdoposeaseriouschallengetothesemanticinterpretationof“that-clauses” assingularterms,andthusultimatelyforapredicateapproachtomodality.
7 Cf.Prior[125],pp.15/16.
8 Therelationalanalysisofpropositionalattitudesholdsthatapropositionalattitudeexpressesa relationbetweenanagentandapropositionandthusisakintotheviewthat‘isnecessary’expresses apropertyofsentencesorpropositions.
9 Cf.Vendler[175]foradiscussionofthedifferentdesignataof“that-clauses”.ThisanswertoPrior isnotwithoutproblems(cf.King[84])thoughwedothinkitclearlyundermineshisaboutness worries.
Yet,proponentsofthesingulartermtheoryhavemoretoofferthanthegram maticalevidencewediscussedbecauseinadoptingthesingulartermtheoryand therebyarelationalanalysisofmodalascriptionavastamountoflinguisticdatacan beaccountedfor.Forexample,byadoptingthisviewonecanaccountforseemingly validinferenceswedrawinnaturallanguagelikethefollowingone
a1xknowsthat2 + 2 = 4
a2Itisnecessarythat2 + 2 = 4
a3Thereissomethingwhichxknowsandwhichisnecessary.
Now,ifweadoptthealternativeview,thatisanon-relationalviewofmodalascriptions,thereisnoargumentpositionwithrespecttowhichwemayexistentially generalizeandthustheinferencedoesnotappeartobeasoundone.Moreover, appealingtopropositionalquantificationisofnohelpsinceina3thequantifierbinds anargumentpositionofapredicateandnotasentenceposition.
Therearemoreexamplesalongtheselines10 butalreadythepresentonesuffices tobringustoourmainpointofcritiqueofthenon-relationalanalysisofmodal ascriptionsand,consequently,ofoperatorapproachestomodality.Namely,whereas thisanalysisworkswellinthecarefullychosenproblemcasesofthesingularterm theory,i.e.,therelationalanalysisofmodalascriptions,itfailstoprovideauniform accountortheoryofthelogicalformofmodalascriptions.Inordertodosoone wouldneedtoprovideasynonymousreformulationofsentencesstructurallyakinto (PT ),thatis,sentenceslike
(S3)Goldbach’sconjectureisnecessary,iftrue.
inwhichnomodaloperatorbutonlyapredicateoccurs,usingthemodaloperatoronly. However,sentencesinvolvingquantificationintotheargumentpositionofamodal predicate,i.e.,sentenceslikea3andsentenceswhereamodalpredicateisappliedto whatVendler[175]calledperfectnominals,11 thatis,sentenceslike(S3)areserious troubleinthisrespect.Toaccountforthesesentences,itseemsthatonewouldneed toarguethatthereareexpressionsofEnglishwhichactlikepropositionalvariables andinthecaseofthequantifiedstatements,quantifiersbindingthesevariables.And itisnotclearwhethersuchexpressionsexistinEnglish.12
Accordingly,whereasPrior’snon-relationalanalysisofmodalascriptionshas somenicefeatures,itfailstoprovideaconvincingaccountofmodalsentencesappealingtoamodalpredicateandthuslacksthegeneralityoftherelationalanalysis.Modal ascriptionsinvolvingthemodalpredicateareveryinterestingfromaphilosophical perspectiveascanalreadybewitnessedbyappealtoa3and(S3)and,wetakeit,that
10 See,forinstance,Anderson[4].
11 Thesearenominalizedsentencesinwhichtheverbisdeadandhasbecomeanounasin‘Goldbach’sconjecture’.Cf.Vendler[175],pp.122–146.
12 Theseproblemsareofcoursewellknownfromthe“ProsententialTheoryofTruth”(cf.Grover, CampandBelnap[54],andGrover[53]).
asemantictheoryofmodalascriptionshouldbeevaluatedwithrespecttothemost interestingcases.Noneofthisismeanttoruleoutanon-relationalanalysisofmodal ascriptionsoranoperatorapproachtomodality,butwethinkthatfromalinguistic perspectivethissuggeststhatoptingforapredicateapproachtomodalityisworth atry.
1.2TheObjectsofModalAscriptionsandLewy’sArgument
Ifmodalnotionsareconceivedaspredicates,weneedtospecifytowhichkind ofobjectstheycanbeappliedto.Theusualcandidatesareeithersentence-types orpropositionsandweshalloptforsentence-typesalthoughnothinghingesonthis choiceinourstudy.Whatisimportanttousisthattheobjectsofthemodalascriptions aresufficientlyrichinstructureforoperationsanalogoustothesyntacticoperations ofthelanguagetobedefinableontheseobjects.Asweshallargueinthenext chapterwethinkthatanytheoryofpropositionsthataimsatanadequateexplanation ofthelinguisticdataisforcedtostipulatetheirpropositionstopossessthiskind ofstructure.Still,westicktosentence-typessincewedonotwanttodiscussthe prospectsofdevelopingatheoryofpropositionsthatisupforthistask.
Takingsentence-typestobetheobjectsoftruthandmodalascriptionshasbeen challengedbyatypeofargumentwhichisknownasLewy’sargument,astheargumentfiguredprominentlyinapaperbyCasimirLewy[101].13 Originally,theargumentwasdirectedagainstTarski’stheoryoftruthandpurportedtoshowthatwhereas Tarskiprovidedanextensionallyadequatetheoryoftruth,hefailedtocharacterize theintensionofthetruthpredicate,i.e.,histheoryfailedtobeintensionallyadequate.Theargumentexploitsthefactthataccordingtothecommonunderstanding asentencehasitsmeaningonlycontingently,andthusa T -sentence
(L1)‘Snowiswhite’istrueiffsnowiswhite isnotanecessarytruthoravalidityassomewouldexpect.‘Snowiswhite’might alsomeanthatgrassiswhite,indeeditmightnothaveameaningatall,andinthis case(L1)wouldbefalse.
WhereasitisunclearwhetherthistypeofargumentwasontargetsinceTarski nevercommittedtoprovidinganintensionallyadequatetheoryoftruth14 —maybe hewascontentinworkinginanextensionalsettingforwhichhisapproachwas
13 Lewywasnotthefirstnorthelasttoraisethiskindofchallengebuthisnamebecamethebrand nameforthissortofargument.SeeHalbach[62]foradiscussionofthehistoryofLewy’sargument. Interestingly,muchlaterWallace[177]usedessentiallythesameargumentinordertoshowthat nohomophonictheoryoftruthcouldbeconstructedforamodal,i.e.,intensionallanguage.A claimwhichwasunsurprisinglyshowntobe“problematic”byGupta[55,56],Peacocke[120]and Davies[35].
14 SeeHalbach[62]formoreonthis.
sufficient—itneedstobeaddressedoncewemovetoanaxiomatizationoftruthand themodalitiesasweshalldoinChap. 4.
First,itshouldbeclearthatthistypeofargumentisnotlimitedtothenotionof truthbutequallyaffectspredicateapproachestomodalitybecause,clearly,if(L1)is contingent,thensois
(L2)If‘Snowiswhite’isnecessary,thensnowiswhite andforexactlythesamereasons.
Butsecond,theproblembecomesvirulentwithinpredicateapproachestotruthand modality,becauseweleavetheextensionalsetting.AccordingtoLewy,nosentence oftheform“‘___’istrue”canbenecessary,thatis,evenaseeminglyinnocentclaim suchas
(L3)“‘Snowiswhiteorsnowisnotwhite’istrue”isnecessary. comesoutfalsewhereasintuitivelyonewouldexpectthetruthof‘Snowiswhiteor snowisnotwhite’tobeanecessaryone.FromtheseconsiderationsLewyconcluded thattruth(andthemodalpredicates)oughttobeascribedtopropositionsratherthan tosentencessince
(L1*)Thepropositionthatsnowiswhiteistrueiffsnowiswhite. seemstobeanecessarytruthatleastuponfirstreflection.Bythesametoken,using ‘TR’asabbreviationofthelengthy‘Snowiswhiteorsnowisnotwhite’
(L3*)ThepropositionthatthepropositionthatTRistrueisnecessary. comesouttruelikewise.
Now,beforewecommentonthissolutionletussayhowoneshouldnotreact towardLewy’sargument.Namely,onemightbeaskepticwithregardstothepossibilityofprovidingnecessaryprinciplesfortruthorthemodalitiesongeneralgrounds andthusbehappywiththeobservationthat(L1)doesnotturnouttobenecessary. However,orsoitseemstous,askepticismofthelatterkindshouldnotstemfromthe reasonsoutlinedabove,i.e.,that‘snowiswhite’couldhavemeantsomethingelse thansnowiswhite,butfromphilosophicallymoreprofoundreasons.Forexample, onemightthinkthattruthonlybehavesinareasonablewayontheso-calledgrounded sentencesand,accordingly,restricttherangeofthetruth-principlestogroundedsentences.Asaconsequencethetruth-principleswouldbecontingentforwhethera sentenceisgroundedornotdependsonnon-semanticandthus(atleastforthemost part)contingentfacts.15
15 ForthenotionofgroundednessseeHerzberger[71],Kripke[91],Yablo[180]or,morerecently, Leitgeb[95].
ThiskindofreactiontowardLewy’sargument,i.e.,simplyacceptingthecontingencyofsentenceslike(L1)seemssomewhatatoddswiththefactthatbyfiatwecan introducenamesthatrigidlyrefertotheobjectsatstake.Thatis,let‘ R snowiswhite R ’ beanameofthesentence‘snowiswhite’whichrigidlydenotesthesentence‘snow iswhite’quaEnglishsentence,then
(L1**) R Snowiswhite R istrueiffsnowiswhite
turnsouttobenecessary,atleastifonetakesthecontingencyof(L1)tohingeon thefactthat‘snowiswhite’couldhavemeantsomethingelsethanitdoes.Afterall thename‘ R Snowiswhite R ’rigidlydenotestheEnglishsentencethatsnowiswhite, whichjustmeansthatsnowiswhite.Onthisanalysisthecontingencyofsentences like(L1)hasnothingtodowiththestatusofthetruthorthemodalprinciplesbutwith thewayquotationandnamingwork.Aswehavejustseenthiskindofcontingency wecanandshouldgetridof.
WiththeseremarksinmindletusreturntoLewy’ssolutiontotheproblemposed byhisarguments.Lewyconcludedthattruthoughttobeattributedtopropositions ratherthantosentences,namelythattruthandthemodalitiesshouldbeattributedto propositionsratherthantosentences.However,asourpreviousdiscussionshould haverevealedtakingpropositionstobetheobjectsofthetruthandthemodalascriptionsisneitherasufficientnoranecessarysolutionforavoidingthecontingencyof (L1).Itisnotsufficientbecauseifin(L1*)wereplacethename‘thepropositionthat snowiswhite’bythecoreferential‘thepropositionexpressedby‘Snowiswhite” theresultwillnolongerbeanecessarytruth.Butitisalsonotnecessarybecausein (L1**)truthwasascribedtoasentence.
Uponreflectiontwothingsarecrucialfor(L1*)and(L1**)tobenecessarytruths. First,thenamesusedtodenotetheobjectsofthetruthascriptionrigidlydenotethese objects,thatispropositionsinthecaseof(L1*)butsentencesinthecaseof(L1**). Second,theseobjectshavetobesomewhat“meaningconstant”inthesensethat ashiftinthecircumstancesofevaluationdoesnotaffectthesemanticcontentthe objectsareassociatedwith.Nowthesemanticcontentassociatedwithaproposition isjustthepropositionitselfandthusoptingforpropositionsastheobjectsofthe truthandthemodalascriptionsguaranteesthisconditiontobefulfilled.However,if weoptforsentence-typesthingsaredifferent.Inthiscase,therearebasicallytwo optionshowtheobjectsofthetruthandthemodalascriptionscanbemade“meaning constant”,whichareduetoGupta[55,56]andPeacocke[120]respectively.Gupta proposestounderstand
(L4)‘Snowiswhite’istrue.
asmakingthefollowingassertionwhichwelabel(L4*)16
16 Infact,Guptaproposestodistinguishtworeadingsofthetruthpredicate,thatis,theoneexploited byLewyandWallaceonwhich(L1)iscontingentandthereadingtobegiven.Thisdistinctionwas
‘Snowiswhite’istruewhere‘snowiswhite’meanswhatitactuallymeans.
Peacocke,ontheotherhand,suggeststomakeexplicitthereferencetothelanguage atstake.Accordingly,Peacockereads(L4)as
(L4**)‘Snowiswhite’istruein L
where L issomefixedlanguage.If L istakentobeEnglish,then‘snowiswhite’ justmeansthatsnowiswhite.Therefore,onGupta’sandonPeacocke’sreading(L1) wouldcomeoutasnecessary,providedonetakestheprincipleitselftobenecessary.17
Onemightarguethatthisanalysisorreadingof(L4)doesnotdojusticetonatural languageforexactlythereasonsLewygave:onthisaccount(L1)comesoutas necessary,butaccordingtoLewyitisnot.However,weclaimthatthereading suggestedbyGuptaandPeacockeisavailableinnaturallanguageand,asamatter offact,itisaphilosophicallyinterestingone.Forthisreadingdoesjusticetothe intuitionthatargumentslikethefollowing
‘Nothingtravelsfasterthanlight’isaconsequenceofEinstein’stheory EveryconsequenceofEinstein’stheoryistrue Nothingtravelsfasterthanlight
areimpeccable,validarguments.18 Buttheargumentdisplayedisvalidonly,if‘Nothingtravelsfasterthanlight’couldnothavemeantsomethingelsethanitactuallydoes. Thereforeweconcludethatareadingof(L4)alongthelinesproposedbyGuptaand Peacockeisavailableinnaturallanguage.
Forourpurposebothsolutions,i.e.,theonebyGuptaandtheonebyPeacocke, willdoandwestayneutralinthisrespect.Moreover,fromatechnicalpointofview thedifferencebetweenthetwoapproachesdoesnotshowinoursetting.Whatis importantandwhatshouldbekeptinmindespeciallywhenwemoveontodiscussing axiomatictheoriesoftruthandmodalityisthattheconnectionbetweentheobjects oftruthandtheobjectsofthemodalascriptionsandtheirnamesisarigidoneand thattheseobjects,i.e.,thesentences,meanwhattheyactuallydo.
(Footnote16continued) alreadysuggestedbyThomason[165]althoughThomasondidnotusethistoovercomethechallengesraisedbyLewyandWallace.
17 WhatwetaketobearefinementofPeacocke’sapproachmaybefoundinHalbach[62]where alsotheconsequencesofadoptingPeacocke’s,thatisHalbach’sproposal,arediscussedatlength.
18 ThisargumentisduetoHalbach[62],p.176.SeealsoHalbach[62]forasimilarreactiontothese arguments.
1.3ModalPredicatesandDeReModality
Byapplyingamodalpredicatetoanameofasentenceweascribethemodalnotion atstaketoasentence.Thiskindofmodalascriptionisusuallyreferredtoas dedicto sincethemodalityisascribedtoa dictum,thatisasentenceoraproposition,as opposedtoamodalascription dere whereamodalpropertyisascribedtoanobject orthing.Forexample,tosaythat‘Sokratesisaman’isnecessarywouldbeamodal ascription dedicto whereastosaythatSocratesisnecessarilyamanwouldbe dere, ifthelatterisunderstoodasaffirmingthatSocrateshasbynecessitythepropertyof beingaman.Intheearlydaysofanalyticphilosophytherehasbeensomediscussion withrespecttotheintelligibilityof dere modality.MostfamouslyQuine[131,134] tookissuewith dere modalityandarguedthatitwouldleadusstraightintothe “metaphysicaljungleofAristotelianessentialism”. 19 Nowadays,however,tomany philosophersthe“metaphysicaljungle”doesnotseemquitethatbadandonlyfew philosopherstakeissuewith dere modality.
Inthisstudy dere modalityremainslargelyoutsidethescopeoftheinvestigation. Thereasonforthisneglectisprincipallyduetothediverginglogicalformof dere modalascriptions.Whereas dedicto modalascriptionmaybeformalizedbyaoneplacesententialpredicate, dere modalclaimsseemtorequireatwo-placepredicate akintoasatisfactionpredicate,i.e.,apredicatethatappliestoanameofanopen formulaandanameofasequenceofobjects.Thusifwetakethemodalnotionat staketobethatofnecessity,thepredicatewouldgetinterpretedasassertingthat theobjectsofthesequencehavetheproperty(orstandintherelation)expressedby theopenformulabynecessity.20 Atthisstagewewishtokeepthingsassimpleas possibleandthereforefocuson dedicto modalityandone-placemodalpredicates.
However,thelogicalformof dere modalascriptionswillbeofsomeinterestto us,asitmightallowforareconciliationofthepredicateandtheoperatorapproach tomodality.A dere modalascriptionmaybeunderstoodasanascriptionofamodal property,e.g.,thepropertyofnecessarilybeingaman,toanobjectandviewed thiswaythemodalnotionis,arguably,bestconceivedasapredicatemodifier.21 A predicatemodifiertakespredicatesasarguments,e.g.,‘isaman’andyieldsnew predicatesasoutputs,e.g.,‘isnecessarilyaman’.Fromatechnicalpointofview, modalitieswouldthusbetreatedasoperatorsalthoughnotsententialoperatorsbut operatorsonpredicates.Ifoneadoptsaloosestancetowardthenotionofapredicate, onemightconceiveofamodalnotionasanoperatorofopenformulasandonceone hasgonethisfarallowingsentencesintotheargumentpositiondoesnotappearto beabigstep.Thislattermovewouldgiveusanoperatoraccountof dedicto modal ascriptionsbutwherethemodaloperatorwouldindeedbeasententialoperator.But strictlyspeakingthisanalysisisnotwarrantedbytakingthemodalnotionsunder considerationtobepredicatemodifiersandthereforeisinneedoffurtherjustification.
19 Cf.Quine[131],p.176.
20 HalbachandWelch[68]alreadysuggesttodealwith dere modalityalongtheselineswithinthe predicatesetting.ToourknowledgethisproposalgoesbacktoQuine[132,136].
21 See,e.g.,Wiggins[179]foraproposalalongtheselines.
Now,ifwetaketheunderstandingofmodalitiesaspredicatemodifiersseriously, thenwefacethequestionofhowtoaccountfor dedicto modalascriptions.Avery naturalwaytogo,orsoitseemstous,istotakethelogicalformof dedicto modal ascriptionstobeofsubject-predicateformwherethemodalpredicateisobtainedby modificationofthetruthpredicate.Thusaccordingtothisanalysis“‘2 + 2 = 4’is necessary”wouldbeshortfor“‘2 + 2 = 4’isnecessarilytrue”.Roughly,withina formalsettingamodalpredicate‘ N ’shouldthenbedefinablebyappealtothetruth predicateandamodaloperatorinthefollowingway:
Nx := λ y Ty x
ThisanalysiswasalreadysuggestedbyKripke[91]andReinhardt[139]andhas recentlybeenworkedoutinsomedetailbyHalbachandWelch[68]andStern[161]. InChap. 4 wewilldiscusswhetherthepredicateapproachtomodalitywedevelopcan beunderstoodalongtheselines.Thatis,weinvestigatewhetherourmodalpredicate canbedefinedassuggestedbyKripke.
1.4TechnicalPrerequisitesandNotation
Fromalogicalperspectiveourworkstayspedestrianthroughoutor,usingSmorynski’swords,wecontinuouslycallexercises“theorems”(cf.Smorynski[154],p.293). Nonethelessweappealtocertaintechnicalitiesandnotationalconventions,mostof whichweshallintroduceonthefly,thatmaybeinneedofexplanation.Weusethis sectiontointroduceacertaincorpusofbackgroundassumptions.Butbeforewedo sowementiontheliteraturewerelyon.ForthegenerallogicalbackgroundanygraduatetextinmathematicallogicsuchasBoolosetal.[17],Enderton[39],Mendelson [106]orMonk[110]will—byfar—dothejob.Formodaloperatorlogicandpossible worldsemanticswerefertothestandardtextbooksbyBlackburnetal.[15],Chellas [28],FittingandMendelsohn[46],andHughesandCresswell[78].Whenitcomes toquestionsconcerningarithmeticsandarithmetizationthetextbooksonmathematicallogicjustmentionedareupforthetask.Readersinterestedinmorein-depth presentationsofthematerialarereferredtotheworksbyFeferman[41],Hayekand Pudlak[58],orKaye[82].Finally,weheavilyrelyontheworkontheoriesoftruth and,especially,axiomatictheoriestruth.Aptpresentationofthematerialmaybe foundinthemonographsbyBelnapandGupta22 [14],Halbach[66],Horsten[76] andMcGee[105].
Whenitcomestoterminologyandnotationwecloselyfollowtheoutlinesof Halbach[66].Furthermore,weassume, L beingthelanguageunderconsideration, thesyntacticalnotionsofaformula,asentence,atermandaclosedtermof L tobe definedintheusualwayandwerefertothecorrespondingsetsofexpressionsby
22 BelnapandGuptadonotdiscussaxiomatictheoriesoftruthbutstickto“semantic”approaches totruth.
1.4TechnicalPrerequisitesandNotation13
Frml L , SentL , Term L and,respectively, Cterm L .Similarly, Frml n L denotesthe setofformulasinwhichexactly n variablesoccurfreewherethenotions‘variable x isfreeinformula φ’,‘variable x isboundin φ’or‘aterm s isfreeforterm t in formula φ’etc.arethoughttobedefinedintheusualway. φ(s / t ) denotestheformula resultingfrom φ bysubstitutingeveryfreeoccurrenceof t by s whenever s isfreefor t in φ.Moreover,wesometimeswrite FV (φ) todenotethesetoffreevariablesin φ and x insteadofthelengthy x 1 ,..., x n forsome n ∈ ω .Wealsofrequentlyappeal tothenotionofthe(positive)complexityorbuiltupofaformulaasitisstandardly conceived.Wepausetostatethedefinitionsofthesetwonotions:
Definition1.1 (Complexityandpositivecomplexityofaformula)Let L bethelanguageatstake. L maycontainthefollowinglogicalconstants:theone-placeconnectives ¬ and i for1 ≤ i ≤ n ∈ ω ,thetwoplaceconnectives ∧ and ∨,andthe quantifiers ∀ and ∃.Ifaformulaisanatomicformulaoranegatedatomicformulait iscalledaliteral.Thecomplexityofaformula φ, C (φ),isdefinedasfollows:
C (φ) := ⎧ ⎨ ⎩ 0, if φ isanatomicformula; C (ψ ) + 1, if φ . = Oψ or φ . = Q x ψ ; max (C (ψ ), C (χ)) + 1, if φ . = ψ Jχ.
where O ∈{¬, i }, J ∈{∧, ∨} and Q ∈{∀, ∃}.Similarly,thepositivecomplexity ofaformula φ, PC (φ),isdefinedby
PC (φ) := ⎧ ⎨ ⎩ 0, if φ isliteral;
PC (ψ ) + 1, if φ . =¬¬ψ ,(¬) ψ , or (¬)Q x ψ ; max ( PC (ψ ), PC (χ)) + 1, if φ . = ψ Jχ or φ . =¬(ψ Jχ).
where (¬)φ conveysboth φ and (¬φ), J ∈{∧, ∨} and Q ∈{∀, ∃}.
1.4.1PossibleWorldSemantics
Throughoutpossibleworldsemanticsformodaloperatorlogicplaysanimportant roleinourstudyandweshallintroducethebasicsofthissemantics.Wefirstintroduce themodaloperatorlanguage L :
Definition1.2 (ModalOperatorLanguage)The(uni)modaloperatorlanguage L consistsofadenumerablesetofpropositionalatoms(propositionalvariables) At , apropositionalconstant ⊥,thebooleanoperators ¬ and ∧,andanone-placemodal operator .Thenotionofawellformedformulaisdefinedby
with p ∈ At
Besidestheunimodaloperatorlanguage L wealsoappealtomultimodaloperator languagesinwhichwehavemorethanonemodaloperatorinourlanguage.
Definition1.3 (MultimodalOperatorLanguage)Themultimodaloperatorlanguage L i consistsofadenumerablesetofpropositionalatoms(propositionalvariables) At i ,apropositionalconstant ⊥,thebooleanoperators ¬ and ∧,and n oneplacemodaloperators i for1 ≤ i ≤ n ∈ ω .Thenotionofawellformedformula isdefinedby
with p ∈ At i andall i with1 ≤ i ≤ n .Sometimeswedistinguishaparticular modaloperatorbywriting φ,insteadof i φ forsome i with1 ≤ i ≤ n
Thusfor n = 1amultimodaloperatorlanguageofDefinition 1.3 isjustamodal operatorlanguageinthesenseofDefinition 1.2.
Themodaloperatorlanguagescomewiththeso-calledpossibleworldsemantics wenowintroduce.Thenotionofaframeisacentralnotionofthissemantics:
Definition1.4 (Frame)Atuple F = W , R1 ,..., Rn with1 ≤ n ∈ ω thatconsists ofanonemptysetofworlds W and n accessibilityrelations Ri ⊆ W × W for 1 ≤ i ≤ n iscalleda(possibleworld)frame.
Aframetogetherwithavaluationfunctiongiverisetoapossibleworldmodel.
Definition1.5 (Valuation,Model)Let F beapossibleworldframe.Avaluationon F isafunction V : At → P ( W ) thatassignstothepropositionalatomsasubsetof W ,thesetofworldsinwhichthepropositionalatomistrue.Apossibleworldmodel M isatuple ( F , V ) where F isaframeand V avaluationon V
Definition1.6 (TruthinaModel)Let M beapossibleworldmodel.Wenowexplain thenotionoftruthinamodel M ataworld w ∈ W foraformula φ ∈ L i whichis denotedby M ,w |= φ: M ,w |= φ :⇔
⎩ w ∈ V (φ), if φ ∈ At never, if φ =⊥ M ,w |= ψ , if φ =¬ψ M ,w |= ψ & M ,w |= χ, if φ . = ψ ∧ χ ∀v ∈ W (w Ri v ⇒ M ,v |= ψ ), if φ . = i ψ
Inthecasewherewehaveadistinguishedmodaloperator thatissupposedtobea truthoperator,weadditionallyhave23 M ,w |= ψ ⇔ M ,w |= ψ
23 Thisisequivalenttostipulatingthatanyworldonlyseesitself,i.e., ∀w ∈ W (w R w & ∀v ∈ W (w R v ⇒ w = v))
1.4TechnicalPrerequisitesandNotation15
Ifforall w ∈ W ( M ,w |= φ),wewrite M |= φ andsaythat φ istruein M .Iffor allvaluations V (( F , V ) |= φ),thenwewrite F |= φ andsaythat φ isvalidin F . Similarly,ifforallvaluations V (( F , V ),w |= φ) wewrite F ,w |= φ.Finally,let F beaclassofframes.Ifforall F ∈ F ( F |= φ),wewrite F |= φ.
Variouscompletenessresultshavebeenestablishedwithrespecttopossibleworld semantics,thatis,withrespecttoclassesofframeswhereamodallogic S ⊆ L i issaidtobecompletewithrespecttoaclassofpossibleworldframes F iffforall φ ∈ L i
Mostimportantly,wehave:
Theorem1.7 Let F betheclassofallframes,Kthesmallestnormalmodallogic (cf.Definition 3.2),thenforall φ ∈ L
Completenessresultsofextensionsof K maythenbeobtainedbyrestrictingthe classofadmissibleframebyimposingcertainpropertiesontheaccessibilityrelation oftheframesuchasseriality,reflexivity,ortransitivity.
1.4.2ArithmeticandArithmetization
Inthisinvestigationweoftenworkagainstthebackdropofsomearithmetictheory, forthemostpart Peanoarithmetic (PA).In PA wemayformalizesyntaxtheory,which isessentialforformulatingaxiomatictheoriesoftruthandmodality.Moreover,if amodestamountofsyntaxtheory,isavailableonecanprovetheDiagonallemma. BytheDiagonallemmaweobtainviciousandnonviciousself-referentialsentences whichplayaprominentroleinthepresentstudy.Theprocessofformalizingsyntax theorywithinarithmeticsisalsoknownasarithmetizationandwasfirstcarriedoutby Gödelinhisseminal“ÜberformalunentscheidbareSätzederPrincipiaMathematica undverwandterSystemeI”[49].
Againweintroducethebasicconceptsemployedinthisstudy.Whenitcomesto terminologyandnotationweshallcloselyfollowHalbach[66].Wefirstintroduce thelanguageof PA andthetheoryitself:
Definition1.8 (Arithmeticallanguage)ThelanguageofPeanoarithmetic, LPA is astandardfirst-orderlanguagewithidentity.Thelogicalconstantsofthelanguage are ¬ , ∧ and ∀.Theotherbooleanconnectiveandtheexistentialquantifierare takentobedefinedintheusualway.Besidesthelogicalvocabulary LPA contains
oneindividualconstant 0,finitelymanyfunctionconstants24 amongstwhicharethe one-placefunctionconstant S andthetwoplacefunctionconstants + and ×.
Definition1.9 (Peanoarithmetic)ThetheoryPeanoarithmetic(PA)isgivenbythe followingaxiomsinthelanguage LPA
(PA1)
(PA2)
(PA3)
∀ x ( S ( x ) = 0)
∀ x , y ( S ( x ) = S ( y ) → x = y )
∀ x ( x + 0 = x )
(PA4) ∀ x ( x + S ( y ) = S ( x + y ))
(PA5)
(PA6)
∀ x ( x × 0 = 0)
∀ x , y ( x × S ( y ) = ( x × y ) + x )
(PAF ) thedefiningequationsoftheremainingfunctionconstants
andtheaxiomschema
(Ind )
(0) ∧∀ x (φ( x ) → φ( S ( x ))) →∀ x φ( x ).
OftenthelanguageofPeanoarithmeticisputforwardwithouttheadditional functionconstantsweincludedinourdefinitionof LPA .Letuscallthislanguage L Ar .Ifweformulate PA in L Ar ,thetheoryconsistsoftheaxioms (PA1)–(PA6) togetherwiththeaxiomschema (Ind ).Afurther L Ar -theory Q oftencalledRobinson arithmetic25 isofsomeinteresttous,asitis,insomesense,theminimaltheory sufficientforthepurposeofarithmetization. Q consistsoftheaxioms (PA1)–(PA6) but,differingfrom PA,theinductionscheme (Ind ) isreplacedbythefollowingsingle axiom
( Q )
∀ x ( x = 0 →∃ z ( S ( z ) = x )).
Ifwespeakof Q inthelanguage LPA wetacitlyassumethat (PAF ) hasbeenaddedto theaxiomsof Q .Similarly,weshallconsidervariantsof PA formulatedinextensions of LPA
Definition1.10 (Extensionsof LPA )Theextensionof LPA byaone-placepredicate T ( N )isdenotedby LPAT (LPAN ). LPATN isthelanguage LPA extendedbytwooneplacepredicates,namely T and N .Ifwewishtoleaveopenwhetheraone-place predicate α isaprimitiveone-placepredicateofsomeextensionof LPA oradefined complexpredicateof LPA ,werefertothearithmeticallanguagecontaining α by LPA& .
24 Wewishtoincludethosefunctionsymbolsrepresentingprimitiverecursivefunctionswhichprove tobeconvenientforourwork.
25 Boolosetal.[17],however,denotedifferenttheoriesunderthetwolabels Q andRobinson arithmetic.Butasfaraswecantellthisisnonstandard.
Definition1.11 (ExtensionsofPA) PA formulatedinthelanguage LPAT (LPAN )is called PAT (PAN ).Similarly, PA formulatedin LPATN iscalled PATN .
Fromnowonwewillconsideronly PA andextensionsthereofalthoughasfaras weknowmostofwhatwesaycanequallybesaidabout Q
Theexpressionsof LPA anditsextensionscanbecodedinthenaturalnumbers.We refertotheindicatedliteraturefordetails.Thesecodesareofcoursealsowellknown asGödelnumbersandwerefertothecodingfunctionby gn ( ).Wealsofrequently write# φ insteadof gn (φ),if φ isasentenceof LPA oroneofitsextensions.
Thenumeralofanaturalnumber n isabbreviatedby n where‘n ’standsfor nconsecutiveapplicationsofthefunctionconstant‘ S ,’thesuccessorsymbol,tothe constantsymbol‘0’.ThenumeraloftheGödelnumberofanexpression ζ ,i.e., gn (ζ ) , isabbreviatedby ζ andservesasthenameof ζ in PA anditsextensions.
Mostimportantly,certainnumbertheoreticrelationsandfunctionscanberepresentedin PA,i.e.,
Definition1.12 Let f bean m -placefunction. f issaidtoberepresentedbya formula φ( x 1 ,..., x m , y ) in PA iffforall n 1 ,..., n m ∈ ω
Similarly,wesayan m -placefunctionconstant f • representsan m -placefunction f in PA iffforall n 1 ,..., n m ∈ ω PA f • (n 1 ,..., n m ) = f (n 1 ,..., n m )
An m -placerelation R issaidtobestronglyrepresentedbyaformula φ( x 1 ,..., x m ) in PA iffforall n 1 ,..., n m ∈ ω
(i )(n 1 ,..., n m ) ∈ R ⇔ PA φ(n 1 ,..., n m ) (ii )(n 1 ,..., n m )/ ∈ R ⇒ PA ¬φ(n 1 ,..., n m )
Incaseweonlyhave (i ),wesaythat φ weaklyrepresents R in PA.Ifthereexists aformula φ whichrepresentsafunction f orarelation R in PA wesaythat f or, respectively, R canberepresentedin PA.
Theorem1.13 EveryrecursivefunctioncanberepresentedinPA.Moreover,Ris recursive 26 iffRisstronglyrepresentableinPA.
Thestandardsyntacticoperationsonexpressionsof LPA anditsextensionsare primitiverecursiveandcanthusberepresentedin PA.Forexample,thefunctions whichtakecodesofformulasasargumentsandyieldthecodeofthenegationor, respectively,theconjunctionoftheirargumentsasoutputcanberepresentedin PA Moreover,thesetsofexpressions Frml L , SentL , Term L and Cterm L arerecursive
26 Arelation R issaidtoberecursiveiffitscharacteristicfunctionis.
andcanthusberepresentedin PA. 27 Byconfusinguseandmentionweletthesesets representthemselvesandweoftendroptheindexofthelanguagewhennoconfusion canarise.
Weassume LPA tocontainfunctionsymbolsrepresentingsomestandardsyntacticaloperationsofthelanguagewhereforasyntacticoperation of LPA ,wedenotethe functionsymbolrepresenting by . .Thus ¬ . and ∧ . representthesyntacticoperationsofnegationandconjunctionwith ¬ . φ = ¬φ and φ ∧ . ψ = φ ∧ ψ Similarly, ∀ isthefunctionsymbolrepresentingthesyntacticoperationthattakes aformulaandavariableasargumentandyieldstheuniversalgeneralizationofthis formulawithrespecttothisvariable.If‘α’isapredicate,then α representsthesyntacticoperation,whichappliedtothecodeofaclosedtermyieldsthesentence,which resultsfromapplying α tothisveryclosedterm,thus,e.g., Nt = NVal (t ) (this alsoholdsforthetwoplacepredicate‘=’anditsassociatedfunctionsymbol‘ = ’).
Theexpression Val (·) wehavejustappealedtorepresentstheprimitiverecursive functionthatappliedto(thecodeof)aclosedtermgivesthevalue(thedenotation) oftheterm,e.g., Val ( gn (n )) = n .However, Val (·) isnofunctionsymbolof LPA or oneofitsextensions,rather Val (t ),where t issometerm,standsforsomecomplex expressionofthelanguage.Thestandard(ternary)substitutionfunctionwillberepresented,asusualfollowingHalbach[66],by x ( y / z ) where x ( y / z ) istheformula resultingfromsubstitutingeveryfreeoccurrenceoftheterm z bytheterm y inthe formula x .Besidesthisstandardsubstitutionfunctionweshallequallyrepresenta particulartwo-placesubstitutionfunction sub (· , ·) byafunctionsymbol,namely, sub • (· , ·) sub (· , ·) istheprimitiverecursivefunctionwhichappliedto(thecodeof) aformulainwhichonlythevariable v0 occursfreeyieldsthe(codeofthe)sentence whereeveryoccurrenceof v0 hasbeensubstitutedbysomenumeraloftheGödel codeofsomeexpressionof L.Finally,weshallequallyhaveaone-placefunction symbolrepresentingthefunctionwhichappliedto(thecodeof)anexpressionprovides(thecodeof)thecodeoftheexpression.Thefunctionsymbolwillbedenoted by num • ( ) where,e.g., num • (n ) = gn (n ),butsometimesweshallwrite x instead of num • ( x ) forvariables x .
Thesubstitutionfunctionanditsrepresentationarecrucialfortheproofofthe Diagonallemmawhichwillbeofsomeimportancetous.Sincethissufficesfor ourpurposeweshallonlystatetheDiagonallemmaforformulasinwhichexactly onevariableoccursfreealthoughtheDiagonallemmaisequallyforthcomingina parametrizedversion.
Theorem1.14 (DiagonalLemma) Let φ( y ) beaformulaof LPA withybeingthe onlyfreevariable.Thenthereexistsasentence δ suchthat
Proof Assume v0 tobeforeigntothevariablesof φ( y ) differentfrom y (ifnecessary wemayrenametheboundvariablesof φ( y )).Let gn (φ(sub • (v0 ,v0 )) = k forsome
27 Asetissaidtoberecursivethecharacteristicfunctionofthesetisrecursivetheone-placerelation correspondingtothissetis.
k ∈ ω .Thenbydefinitionof sub (· , ·)
sub (k , k ) = gn (φ(sub • (k , k ))).
Since sub • represents sub in PA thisimmediatelyyields ( Str )
Bystandardlogicofidentitywealsohave
Bymodusponensandthentaking δ tobe φ(sub • (k , k )) weobtainthedesired
Since sub • (· , ·) isafunctionsymbolofthelanguage,wehaveasacorollarythe StrongDiagonallemma28 :
Corollary1.15 (StrongDiagonalLemma) Let φ( y ) beaformulaof LPA withy beingtheonlyfreevariable.Thenthereexistsaclosedtermtwith
PA t = φ(t ) .
Proof Thisfollowsdirectlyfrom ( Str ) inthepreviousproofbytaking t tobe sub • (k , k ).Notethatthisisonlypossibleiff sub • isafunctionsymbolforotherwise sub • (k , k ) wouldnotbeatermofthelanguageandthus sub • (k , k ) = φ(sub • (k , k )) notanidentitystatementproperbutsomecomplexformula.
Wecontinuefixingsometerminology.First,foreaseofexpositionweoftenuse thesymbols ∨ , → or ∃ although,strictlyspeaking,thesesymbolsarenotpartofthe language.Rather,strictlyspeaking φ → ψ is,e.g.,shortfor ¬ ( φ ∧ ¬ ψ ). Inwhatshallcomeweoftenwrite ∀t , s (φ(t , s )) asshortfortheformula ∀ x , y (Cterm ( x ) ∧ Cterm ( y ) → φ( x , y )).Sometimes,wealsowrite ∀t α φ( t ) for someformula φ( x ) insteadof ∀t α( φ( x ) (t / x )).Finally,weassumethatthe expressionsofthelanguagehavebeencodedina“standard”or“natural”wayand, thatwehaveequallychosena“natural”representationofthesyntacticnotionsand operationsatstake.29 Ifanaturalrepresentationisguaranteed,wemayprovethe basicfactsofsyntaxtheoryin PA.Accordingly,throughoutourstudyweassume
28 FortherelationbetweentheDiagonallemmaandtheStrongDiagonallemma,andtheneedfor havingafunctionsymbolrepresentingsomediagonalfunctioninthelanguageforprovingthelatter, seeHeck[69]andMilne[107].
29 SeeHalbach[66],pp.33–35,formoreonthis.
thatthebasicfactsofsyntaxtheorycanbeprovenwithintheframeworkwehave justoutlined.
1.4.3Fixed-PointsandMonotoneOperations
Monotoneoperationsplayanimportantroleinthefixed-pointsemanticsandthe modalfixed-pointsemanticsweshallintroducelater.Monotoneoperationsare closelyrelatedtopositiveinductivedefinitionswhichhavebeendiscussedinsome detailbyMoschovakis[113].AdetailedoverviewisgivenbyAczel[2].However, everythingwehavetosayaboutthismaybefoundintheintroductoryremarksof thetwocitedworks.
Definition1.16 Let A beaset.Anoperator ϒ : P ( A ) → P ( A ) issaidtobe monotoneiffforall S , S ⊆ A
Afixed-pointofanoperator ϒ onapowerset P ( A ) isaset S ⊆ A with
S ) = S .
Thus ϒ appliedto S yields S again.Now,interestingly,ifanoperatorismonotoneon someset,thissufficestoestablishtheexistenceoffixed-points.Toseethis,itproves convenienttodefineiterativeapplicationsofamonotoneoperator ϒ withrespect toaset S .Let A besomeset, ϒ amonotoneoperationon P ( A ),thentheiterative applicationof ϒ toaset S ⊆ A atsomeordinal α, ϒα ( S ) isdefinedasfollows: ϒα ( S ) :=
S , if α = 0
β ( S )), if α = β + 1
<
ϒβ ( S ), if α isalimitordinal.
Moreover,ifwelettheset S abovebetheemptyset,itisnothardtoseethatforall ordinals α, β wehave
Thisobservationallowsustoestablishtheexistenceoffixed-points.
Theorem1.17 LetAbeaninfinitesetand ϒ amonotoneoperationonP ( A ).Then thereexistsanordinal α ofcardinality ≤| A | suchthatforall κ ≥ α
κ (∅) = ϒα (∅)
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ma mémoire; j’emporte ce trésor; je le contemplerai tous les soirs de ma vie, et je ne pleurerai plus d’être née...
—Tu as perdu toute pudeur... Tu es digne de ton amant!
—Envie-moi, Marie! Sois jalouse!
—A qui t’es-tu donnée!...
—Tu ne le connais pas...
—Ensemble, nous avons ri de lui... de son langage, de ses façons...
Les yeux d’Isabelle détestaient Marie.
—Je ne le connaissais pas...
—Tu l’aimes parce qu’il est beau, parce qu’il est flatteur et cynique, parce qu’il t’a dépravée.
—Non, tu ne sais pas pourquoi je l’aime.
—Il te perdra tout à fait! Il ruinera ta vie! Je veux te sauver, malgré toi... Tu te trompes, Belle! tu n’aimes pas cet homme d’un amour profond! Tu es dupe de ton imagination et de tes sens... L’Italie t’a ensorcelée... C’est l’Italie que tu aimes dans la personne de ce bellâtre... Si tu le revoyais ailleurs, ton Angelo, quelle désillusion!
La bougie, brûlée jusqu’à la bobèche, crépita et s’éteignit. Une blancheur dorée remplaçait la pâleur bleuâtre de la première aube. Derrière la mousseline paraissaient les silhouettes effilochées, les vertes feuilles pleurantes sur l’écorce rosâtre des eucalyptus. Dans la petite chambre au plafond peint d’hirondelles, les deux femmes, redevenues ennemies, se regardaient sans se reconnaître. Marie, si défaite qu’elle semblait amaigrie, s’adossait à la table et parlait d’une voix ferme et triste. Isabelle ne tenait plus en place. Elle tournait et piétinait dans l’espace étroit, entre la porte et le lit. La tension nerveuse raidissait son grand corps de bacchante, et sa chevelure
détordue rougissait comme une torche sous le vent qui la couche et la paillette d’étincelles.
Par moments, elle riait d’un rire démoniaque:
—Tu l’as toujours exécré, Angelo! parce qu’il est simple et qu’il suit l’impulsion de son cœur au lieu de disserter sur la philosophie de l’amour... Parbleu! je sais bien qu’il n’est pas un grand homme ou un saint homme: mais tel qu’il est, avec ses défauts, il me plaît cent fois plus que les gens pratiques, les gens corrects, les gens lugubres, et tous les empaillés qui ont ton estime et ta sympathie.
—Le connais-tu?... As-tu éprouvé son cœur, étudié son caractère?
—Et toi?
—Plus que tu ne penses.
—Vraiment?
—Depuis sept mois, je l’ai vu presque tous les jours. Je l’ai observé...
—Avec toutes tes préventions de bourgeoise flamande!
—Il n’est pas méchant, mais il n’est pas sûr... Il est de ceux qui aiment la femme la plus proche, pourvu qu’elle soit crédule et complaisante, et qui se consolent des mépris de l’une par les faveurs de l’autre...
Isabelle s’arrêta de marcher:
—Quoi?... Que veux-tu dire?
—Il t’a prise. Il ne t’a pas choisie... Ah! j’aurais dû le surveiller et comprendre ses manœuvres, et t’avertir... Mais j’avais confiance en toi! Tes moqueries n’épargnaient pas ton futur amant et je ne le croyais pas dangereux...
—Tu veux m’humilier en le rabaissant!
—Je veux t’éclairer Huit jours avant ton arrivée, Angelo pleurait d’amour aux pieds d’une autre femme...
Un frisson passa sur la figure d’Isabelle. Marie continua:
—Il a été ta revanche, mais toi aussi, pauvre folle Isabelle, tu as été sa revanche... Ton ennui, son dépit, les circonstances vous ont rapprochés... Et vous avez appelé ça: un amour!... Au fond, c’est une histoire très vulgaire et pas jolie du tout...
La jalousie, naguère éveillée par des imprudences d’Angelo, assoupie par ses serments et ses caresses, mordait Isabelle au vif de sa chair. Elle dissimula pourtant son trouble...
—Tu inventes ce que tu veux... Tu crois bien faire. Tous les moyens te semblent bons pour me dégoûter d’Angelo, mais je ne suis pas émue...
—Il te faut des preuves?
Marie ouvrit l’armoire et prit sa boîte à couleurs... Parmi les tubes et les pinceaux, il y avait une demi-douzaine de lettres pliées dans leurs enveloppes.
—Voilà!... Dieu sait que je voulais détruire, sans les montrer à personne, ces élucubrations d’Angelo di Toma!... Elles sont assez innocentes en elles-mêmes, mais elles expliquent les événements moins innocents, qui suivirent...
Isabelle avait saisi le paquet: elle maniait les enveloppes d’où tombèrent quelques pétales de narcisses... Elle reconnut la manie d’Angelo qui collait toujours des fleurs aux angles de ses lettres; elle reconnut la légère odeur d’ambre et de cigarette qu’elle avait respirée dans les billets de son amant, la même odeur qui imprégnait les mains brunes, la courte moustache frisée, les cheveux aux boucles rudes.
Cette sensation physique bouleversa l’amoureuse plus que tous les discours de Marie.
Elle lut... Ces épîtres n’exprimaient que des espérances, mais la profusion des épithètes et des adverbes, les apostrophes, les points d’exclamation, leur donnaient une force emphatique, une sorte d’éclat et de mouvement passionné... Fatalité, désespoir, mort,—ces mots revenaient comme un leitmotiv qu’Isabelle avait trop entendu; et elle reconnaissait des phrases familières à Angelo, et qu’elle croyait toutes neuves et spontanées quand il les murmurait sur ses lèvres...
Elle se rappela la scène de Ravello, le verre brisé dans un accès de fureur, le serment exigé, le regard sombre d’Angelo quand il parlait de Marie.
Il avait menti dès le premier soir! Il avait menti tout le temps!
L’orgueil d’Isabelle saignait. Elle relut deux fois les lettres, regarda les dates, et sentit encore le parfum de tabac et d’ambre qui l’empoisonna d’une atroce jalousie sensuelle... Elle était certaine qu’Angelo n’avait pas été l’amant de Marie,—mais il avait désiré l’être... Il parlait de la «beauté fine», du «chaste sourire de madone»; il comparait madame Laubespin à la «neige vierge des cimes», et, pour mieux louer l’amante idéale, il témoignait de son dégoût pour les femmes «toutes de chair et de matérialité»... qui ne savent pas dire «non»...
Isabelle l’exécra tout à coup, et elle exécra Marie qui lui infligeait une leçon humiliante...
Elle replia les papiers et les rendit à sa cousine.
—Je te remercie... Tu es trop bonne... Mais tu aurais pu me mettre au courant... Somme toute, je t’ai débarrassée d’un flirt encombrant... Je t’ai rendu service... Maintenant, je sais ce que je dois faire...
—Belle!
—Ne t’occupe pas de moi, je te prie!... Toutes mes excuses pour le désagrément que je t’ai donné cette nuit... Si tu étais restée chez
toi, nous aurions encore quelques illusions bien agréables l’une et l’autre. Adieu, ma chère! Tu as bien gagné ton repos...
Elle entra dans sa chambre. Marie, stupéfaite, n’osa la suivre.
Il y eut un moment d’absolu silence. La jeune femme remit les lettres dans la boîte. Elle éprouvait une angoisse étrange comme un remords...
Et tout à coup, un sanglot étouffé, un gémissement sourd, le cri à dents serrées, à lèvres closes, de la femme qui enfonce sa bouche dans l’oreiller, parvint jusqu’à elle...
XXII
Elles s’étaient réconciliées dans les larmes et, maintenant, Isabelle s’abandonnait aux soins consolants, à la volonté de Marie. Cette grande femme exubérante était, au fond, une molle et passive créature, capable de courtes violences, et tout de suite anéantie par le chagrin.
Si quelqu’un, près d’elle, avait plaidé la cause d’Angelo par une interprétation simplement exacte des faits, la colère de madame Van Coppenolle fût tombée bien vite; mais, de bonne foi, Marie avivait la blessure, entretenait la rancune jalouse et représentait le séducteur sans malice comme un épouvantable Machiavel. Isabelle avait manifesté l’intention de revoir Angelo pour lui signifier la rupture. Marie s’opposa vivement à cette entrevue dangereuse. Non, assez de scènes et de drame! Isabelle partirait, le plus tôt possible, après qu’Angelo aurait restitué les lettres, la photographie, les menus souvenirs qu’il conservait de la déplorable aventure.
—Et s’il refuse? S’il veut une explication? S’il provoque un scandale?
—Nous ferons intervenir mon père.
Isabelle jeta des cris... Plutôt mourir que d’avouer la vérité à M. Wallers.
—Trouve une autre solution. Parle à Angelo!
—C’est bien délicat... Veux-tu, Belle, nous confier à Salvatore, le bon Salvatore, le plus indulgent des hommes? Il fera le nécessaire pour convaincre Angelo, et, au besoin, pour l’éloigner?
Isabelle accepta la proposition de sa cousine.
—Va tout de suite à Naples. Je te promets de ne pas quitter ma chambre, de ne pas revoir ce misérable...
Salvatore allait quitter son atelier du Pausilippe quand il reçut la visite imprévue de madame Laubespin.
—Je viens à vous comme à mon meilleur ami, lui dit-elle. Il faut que vous rendiez un grand service à ma pauvre cousine, à moimême, et à toute notre famille.
—Disposez de moi, madame Marie. Je vous obéirai aveuglément.
Marie lui conta l’aventure d’Isabelle et la scène de la nuit précédente.
—Vous n’aviez aucun soupçon? dit Salvatore étonné... Moi, je savais, depuis Ravello, que mon frère aimait votre cousine... Mais à leur âge, n’est-ce pas, ils sont bien libres de faire ce qui leur plaît. Madame Van Coppenolle est une femme superbe et Angelo est un beau jeune homme... Je me disais: «Dieu, qui les a faits pour l’amour, leur pardonnera...»
—Angelo est libre, Isabelle a un mari, des enfants...
—Eh! personne ne l’a vu, ce monsieur Van Coppenolle! C’est comme s’il n’existait pas... Qu’est-ce qu’il va faire en Amérique? Quand on a une belle femme, on la garde, on la surveille... Si votre cousine était la femme d’Angelo, elle ne ferait pas dix pas toute seule, dans la rue, et ne resterait pas cinq minutes tête à tête avec un jeune homme avant d’être tout à fait vieille...
Il n’était pas indigné. Il était contrarié... Troubler de pauvres amants, venger l’honneur de M. Van Coppenolle, désespérer Angelo, quelle sotte corvée!
Alors, Marie, sentant la résistance, acheva son récit et montra les lettres délirantes d’Angelo.
Salvatore changea de couleur...
«Je comprends, dit-il...»
Il éprouvait un sentiment bizarre de peine et de plaisir Son frère avait convoité la petite reine de Thulé, la fée blonde! Et peut-être, si madame Van Coppenolle n’était pas arrivée, peut-être eût-il vaincu l’indifférence de Marie Laubespin! Il était si beau, cet Angelo, si passionné, qu’il ne trouvait point de cruelles...
—Je croyais que c’était très sérieux, son amour avec votre cousine!... Madone! Est-il possible qu’Angelo lui ait donné la comédie! Il paraissait si sincère, à Ravello! Je pensais: «Le voilà pris!... Il suivra la Van Coppenolle ou il l’enlèvera...»
—Elle l’aime encore et je crains sa faiblesse, si elle revoit Angelo. Appelez votre frère ici, retenez-le deux ou trois jours. J’emmènerai Isabelle à Rome, pour la distraire, puis à Turin, et elle sera un peu calmée et consolée en arrivant chez son mari.
—Et vous?
—Ne parlons pas de moi... J’ai été un peu folle, pendant quelques semaines, mais je sens que ma folie est passée... Je n’ai pas l’audace ou l’inconscience qu’il me faudrait pour être heureuse. Triste j’étais arrivée à Naples; je partirai plus triste...
—Et que ferez-vous?
—Mon devoir, quel qu’il soit. J’ignore l’état réel de monsieur Laubespin. S’il est perdu, je tâcherai d’adoucir ses derniers jours; s’il guérit...
—Eh! puisse-t-il mourir!... Vous ne divorcerez pas, vous abandonnerez votre Claude?
—Je l’aimerai toujours, même s’il ne me pardonne pas ma décision. Je le chéris d’une tendresse si forte, qu’elle résistera à toutes les épreuves... mais nous souffrirons...
Salvatore la vit si malheureuse qu’il faillit pleurer.
—Chère madame Marie!... si bonne, si belle, si douce!... Dieu ne permettra pas votre malheur! Il ne demande pas l’impossible à ses créatures...
Elle retournait à Pompéi. Le sculpteur l’accompagna à la gare. Le ciel, comme un fleuve ardent, coulait entre les toits aplatis du Corso Umberto et roulait quelques vagues de nuages. La lumière débordait d’un côté dans la grande rue moderne et commerçante, et faisait étinceler sur les façades grises les lettres dorées des enseignes. L’autre côté était dans l’ombre... Une cohue extraordinaire de véhicules et de piétons s’agitait dans la bande d’ombre et la bande de soleil. Les fiacres, les charrettes, les voitures à bras et les automobiles s’affrontaient, s’enchevêtraient aux carrefours en une masse mouvante qui s’ouvrait devant les tramways dont le timbre autoritaire dominait toutes les clameurs et les rumeurs. Puis les tramways mêmes s’arrêtaient pour laisser défiler un convoi funèbre, un corbillard vitré comme un carrosse, chargé de roses rouges et de roses blanches, et superbement orné à ses quatre coins d’archanges en zinc argenté, sonneurs de trompettes. Il emportait son mort à vive allure, au rythme des litanies que précipitaient des religieuses, des pénitents bleus, des moines marrons, et les vieillards délégués par l’Hospice des pauvres.
Marie observa que personne ne saluait le cercueil.
—Et pourquoi faire? dit Salvatore. On salue le Saint-Sacrement, mais pas un mort!... Un mort, ce n’est rien...
Un pianino passa, et la mesure à six-huit d’une tarentelle fit broncher les psaumes que clamaient les pénitents par les trous de leurs cagoules bleues. Des chèvres, conduites par un vieillard tout frisé, borgne comme Polyphème, sautèrent sur le trottoir et faillirent renverser le petit kiosque du glacier, tout jaune de citrons et d’oranges. Devant les boutiques, les commères assises, un tablier bariolé sur le ventre, une camisole lâche sur leur gorge de Bellones mûres, lisaient passionnément la liste des numéros sortis à la loterie. Les émigrants stationnaient, par troupeaux, à la porte des agences de navigation. Des bourgeoises en robes de soie, coiffées de chapeaux empanachés, promenaient leurs beaux enfants bruns. Des religieuses mendiaient pour les pauvres; des prêtres râpés et sales causaient avec des moines épanouis,—et de temps en temps, une des ruelles transversales, fente obscure et fétide dans le
quartier modernisé, lâchait des gamins blêmes, des filles plâtrées, des vieilles pareilles aux figures allégoriques de la Peste et de la Famine.
Marie les apercevait au passage, mais vieillesse, infamie, laideur, prises au courant de la foule, qu’en restait-il, dès que le soleil les avait touchées? Nul ne pensait à s’émouvoir, nul ne pensait à se plaindre. Les heureux oubliaient la pitié comme les malheureux oubliaient leur peine, dans la béatitude physique qu’apportait le plus précoce, le plus merveilleux des étés. Le paysan brutal assommait toujours son petit âne, mais l’âne avait une rose à l’oreille; le mendiant aveugle tendait un moignon ignoble vers les passants, mais sa mélopée lugubre avait des langueurs de romance, et derrière le corbillard-carrosse, les pénitents bleus regardaient de côté les belles filles, sans se soucier du mort «qui n’est rien»...
La joie de vivre, élémentaire et puissante, enflait les veines de toute créature, et la bienveillance infinie qui tombait du ciel avec la douceur et l’éclat du jour doré promettait déjà l’absolution aux péchés de la nuit prochaine...
Salvatore devina les pensées de Marie. Il lui dit tristement:
—Vous commenciez à aimer Naples... Maintenant, vos idées du Nord reviennent. Quand vous serez en Flandre, vous direz: «Cette Naples, quelle ville de débauche et de saleté!... Ces Napolitains, quels polichinelles!...» Tout ça parce que mon frère a aimé votre cousine.
Dans le train qui la ramenait à Pompéi, Marie Laubespin se rappelait cette phrase du sculpteur, pendant que défilait la banlieue, déshonorée déjà par des fabriques. Elle se défendait d’être injuste envers ce pays qui lui avait fait du mal, qui avait bouleversé la vie d’Isabelle, et qui pourtant laisserait dans leur mémoire, à toutes deux, un souvenir trop lumineux, trop parfumé, et peut-être une souffrance nostalgique...
Elle songeait aux images conventionnelles et peu flatteuses que les étrangers se font du peuple napolitain, aux «impressions de
voyage» écrites par des touristes naïfs qui ont fréquenté des patrons d’hôtels, des guides, des entremetteurs et des filles, et qui, n’étant jamais entrés dans une vraie famille napolitaine, dépeignent la pauvre belle cité comme un repaire de voleurs, de ruffians et de prostituées...
Ils sont sincères; ils racontent ce qu’ils ont vu, mais ils n’ont pas tout vu, et ils se trompent, de bonne foi, et trompent leurs lecteurs par des généralisations audacieuses et hâtives.
Certes, il existe à Naples une population avilie par la misère, et tous les commandements de Dieu n’y sont pas respectés, mais on y peut trouver Salvatore di Toma, et Spaniello, et donna Carmela, et tant d’autres qui leur ressemblent.
Ce sont des gens de la vieille Naples. Ils ont la bonté facile, la plasticité intellectuelle, cette chaleur de cœur qui supprime les inégalités de la fortune et du rang. Ils ne sont pas «moraux», mais le sentiment plus que l’intérêt gouverne leurs âmes mobiles. A la fois très raffinés et très primitifs, individualistes jusqu’aux moelles, par tempérament et non par doctrine, car ils ne s’embarrassent jamais de théories, ils n’ont pas les vertus du Nord, mais ils n’ont pas le dur égoïsme du lutteur, la morgue du parvenu, le snobisme. Ils ne méprisent pas le pauvre. Ils sont indulgents à «l’homme qui n’a pas réussi»; ils s’attendrissent sur les drames d’amour, même quand le mari trompé ou l’amante trahie jouent du revolver ou du couteau: «Eh! c’est l’amour! c’est la nature!...»
Leurs petits-enfants ne leur ressembleront plus, et Naples même, dans vingt ans, ne sera plus Naples. Elle deviendra une ville banale et prospère, industrielle et commerçante, et les horribles vicoli du Carmine, pleurés des peintres, seront remplacés par des cités ouvrières. Dès Granili à Torre del Greco s’étendra une Naples enfumée, active et triste, où la morale entrera avec l’hygiène. Et les dieux attardés s’en iront, et Vénus Pompéienne ne sera plus qu’une pièce de musée pour la joie des archéologues...
XXIII
Isabelle et Marie étaient à Rome depuis vingt-quatre heures. Elles avaient quitté Pompéi en l’absence d’Angelo.
Ni les musées, ni les jardins, ni les églises ne tentaient madame Van Coppenolle. Elle suivait sa cousine; mais, quand son corps était au Vatican, ou au Colisée, son âme errait à travers le monde. Elle voyait, comme un panorama, l’Europe à vol d’oiseau, Courtrai presque en haut, Naples tout en bas, et le bateau qui conduit Frédéric Van Coppenolle, à Anvers, et les trains qui filent entre Naples et Rome, et qui peut-être amènent un amoureux repentant et désespéré... Le reste de l’univers est un nuage...
Isabelle ne se plaisait qu’à dormir et à pleurer. Elle disait à Marie: «Comme nous allons être malheureuses!...» Et elle insistait, ingénument, sur le pluriel.
Maintenant, elle n’engageait plus madame Laubespin au divorce; elle ne parlait plus de Claude; elle faisait des allusions discrètes à «ce pauvre André». Elle aurait trouvé fort mauvais que Marie se ravisât, et elle pensait: «Tu as voulu que je sacrifie mon amant. Tu me dois l’exemple de l’héroïsme; sacrifie ton amour!...» Mais elle se croyait beaucoup plus malheureuse que sa cousine, parce que Marie ne pleurait jamais devant elle.
Le matin du troisième jour, Marie reçut un télégramme qui était allé de Pont-sur-Deule à Pompéi, puis de Pompéi à Rome. Madame Wallers avertissait sa fille qu’André Laubespin venait de mourir brusquement, d’une embolie.
—Tu vas être heureuse!... répéta Isabelle, en ranimant Marie qui s’évanouissait. Tes peines sont finies... André n’a plus besoin de toi. Il a emporté ton pardon, et tu penseras à lui sans remords... Tu auras tout, Marie, l’amour, le bonheur, et même la paix de ta conscience... Claude t’attend, Marie!... Tu vas être heureuse!
Ainsi elle réconfortait la jeune femme qui avait trouvé des forces pour le sacrifice et qui demeurait éperdue et faible devant le bonheur, presque honteuse de ne pas regretter André Laubespin.
—Il y a cinq ans que mon âme est veuve de lui, et je me souviens à peine de l’avoir aimé, dit Marie... Je n’affecterai pas une douleur hypocrite... Pourtant, je suis profondément émue par ce mystère terrible de la mort...
Elle s’inquiéta de l’enfant abandonné et promit de veiller sur lui.
Puis elle songea au départ.
—Veux-tu que nous prenions le train de nuit? dit Isabelle. Tu auras une journée encore pour te reposer, après cette émotion. Ton père doit être prévenu. Il faut télégraphier à Claude... Nous brûlerons Turin... J’irai, avec toi, à Versailles, pour les obsèques... Je ne te quitterai pas... Allons! Marie, sois énergique!
Elle s’agitait fébrilement, feuilletait l’indicateur, sonnait le portier pour demander la note. Marie, étendue sur un divan, la tête dans ses mains, rêvait et priait.
Mais, après le déjeuner, l’activité d’Isabelle s’arrêta, comme une pendule se ralentit. Une morne immobilité, un silence orageux remplacèrent l’agitation et le verbiage. Et tout à coup, madame Van Coppenolle dit:
—Comme je te détesterais, Marie, si je ne t’aimais pas tant!... Me voilà toute seule à souffrir... Quand je te verrai avec Claude, je me rappellerai que j’ai été heureuse aussi...
—Non, Belle, tu n’étais pas heureuse; tu étais grisée...
—Et si c’était mon bonheur à moi, la griserie?... Une illusion qui dure, c’est une réalité, la seule qui compte, puisqu’on n’en connaît pas d’autre...
Elle soupira et dit, avec une étrange nuance de vanité dans la tristesse:
—J’ai été follement heureuse, plus que tu ne le seras jamais...
Dans l’après-midi, Marie Laubespin voulut visiter quelques églises, et faire le pèlerinage des catacombes de Saint-Calixte, mais madame Van Coppenolle se déclara très suffisamment édifiée et fatiguée par Saint-Pierre, Saint-Jean de Latran et Sainte-Marie Ara Cœli, qu’elle avait vus la veille.
Elle préférait se promener au Pincio.
Marie passa une journée mélancolique et douce, errant d’église en église, et laissant un bouquet de prières à chaque autel. Délivrée du bavardage affectueux et des plaintes d’Isabelle, délicieusement seule, elle alla, en voiture, jusqu’au tombeau de Cecilia Metella. La voie Appienne, avec les statues, les exèdres funéraires envahies par la mousse, les cénotaphes croulants, lui rappela la voie des tombeaux à Pompéi. Elle ne retrouvait pas la douceur campanienne dans l’austère paysage où les files brisées des aqueducs s’en vont vers Rome, parmi les joncs des marais, les oliviers frissonnants, les pins aux larges ombelles. Ici, c’était une autre Italie, et le conseil qui émanait de cette terre romaine était mâle et grave; tout, et même la mort, parlait d’éternité. «Ne cueille pas le jour qui passe. Travaille, aime, prie et grandis ton âme à la mesure de tes espérances...»
Quand Marie revint à l’hôtel de la place d’Espagne, le portier lui dit que madame Van Coppenolle avait envoyé les bagages à la gare et qu’il avait le bulletin de consigne.
—Madame a tout réglé. Elle a dit que madame Laubespin pourrait prendre le train du soir pour la France...
—Elle est au Pincio? Elle va revenir?
—Madame Van Coppenolle a reçu des visites... Elle est sortie vers quatre heures avec ce monsieur qui était venu à midi... Madame Van Coppenolle ne pouvait pas descendre, puisqu’elle déjeunait avec madame. Alors le monsieur est revenu dans la journée... Un jeune homme brun, en gris, qui a l’accent de Naples...
—Eh bien, j’attendrai ma cousine, dit Marie qui prévoyait une catastrophe...
Elle monta dans sa chambre. Comme elle se reprochait amèrement d’être restée à Rome, au lieu d’emmener Isabelle, tout droit, en Belgique! L’amoureuse avait-elle prévu que son amant la rejoindrait? Avait-elle prolongé la halte, à Rome, pour donner une chance suprême à Angelo?
Elle l’avait reçu dans le petit salon, et dans sa chambre même... Un bout de cigarette consumée, près du divan, révélait une présence masculine...
—Qu’elle revienne! Mon Dieu, faites qu’elle revienne! disait Marie.
Elle ne revint pas... Un peu avant l’angélus, un gamin apporta une lettre.
Marie, debout près de la fenêtre, lut cette confession rapide, écrite sur un mauvais papier, avec une plume boueuse, au buffet de la gare Termini. L’écriture inégale, presque illisible, s’en allait de travers et çà et là, des larmes avaient délayé l’encre...
«... Je l’aime trop... Je ne peux pas me passer de lui... Et lui aussi m’aime... Il m’a tout expliqué... Tu l’as mal compris et mal jugé... Je le sens tellement sincère, et malheureux autant que moi... Et maintenant que je lui ai pardonné, je n’ai plus la force de recommencer ma vie d’autrefois sans lui... Nous partons. J’écrirai à Frédéric et j’espère qu’il consentira au divorce...
»Ne m’accable pas, Marie, toi qui vas être heureuse! Je te supplie de voir mes enfants, de me donner, quelquefois, de leurs nouvelles, en attendant qu’on me permette de les embrasser... Pauvres petits! C’est sur eux seuls que je pleure, mais ils ne souffriront pas de mon absence. Ils m’oublieront vite...
»Adieu, Marie! Je penserai à toi, quand tu seras la femme de Claude, et je ferai des vœux pour votre bonheur, même si vous me méprisez... Adieu, ma petite Marie!...»
Une larme tomba des cils de Marie Laubespin et fit une étoile sur la signature brouillée.
«Dieu te pardonne, pauvre Isabelle!... Je ne te juge pas. Je te recevrai, si tu reviens, déçue et repentante...»
... Le reflet du ciel colorait l’ombre de la chambre. Soudain, l’air vibra. Un immense frisson sonore passa sur la ville, et Marie, qui oubliait déjà la pécheresse amoureuse, Marie, rendue à ses beaux rêves, sentit palpiter dans le soir romain tous les anges invisibles, aux ailes d’or, d’émeraude et de vermillon, qui avaient été les compagnons mystiques de sa solitude.
Ils accouraient, ceux de Flandre et ceux de France, ceux d’Allemagne et ceux d’Italie, ceux des missels et des évangéliaires, ceux des fresques et des tableaux, ceux qui ressemblent à des faucons, ceux qui ressemblent à des colombes. Messagers de la bonne nouvelle, tenant les lis du pur amour, ils murmuraient avec la voix des cloches:
—Ave Maria!
Naples 1904—Paris 1910.
FIN
E. GREVIN—IMPRIMERIE DE LAGNY—8454-2-19
[1] Poésie, par Salvatore di Giacomo.
