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Basic Engineering Mathematics 7th Edition John

Bird

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Electrical Circuit Theory and Technology 6th Edition

John Bird

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BasicEngineeringMathematics

SeventhEdition

Seventheditionpublished2017 byRoutledge 2ParkSquare,MiltonPark,Abingdon,Oxon,OX144RN

andbyRoutledge

711ThirdAvenue,NewYork,NY10017

RoutledgeisanimprintoftheTaylor&FrancisGroup,aninformabusiness ©2017JohnBird

FirsteditionpublishedbyNewnes1999 SixtheditionpublishedbyRoutledge2014

BritishLibraryCataloguing-in-PublicationData AcataloguerecordforthisbookisavailablefromtheBritishLibrary

LibraryofCongressCataloging-in-PublicationData

Names:Bird,J.O.,author.

Title:Basicengineeringmathematics/JohnBird. Description:7thed.|Abingdon,Oxon;NewYork, NY:Routledge,2017.|Includesbibliographicalreferencesandindex.

Identifiers:LCCN2016055537|ISBN9781138673700(pbk.:alk.paper)|ISBN9781315561776(ebook)

Subjects:LCSH:Engineeringmathematics.

Classification:LCCTA330.B5132017|DDC620.001/51–dc23 LCrecordavailableat https://lccn.loc.gov/2016055537

ISBN:978-1-138-67370-0(pbk)

ISBN:978-1-315-56177-6(ebk)

TypesetinTimesby ServisFilmsettingLtd,Stockport,Cheshire

Visitthecompanionwebsite: www.routledge.com/cw/bird

1.4Highestcommonfactorsandlowest

2.2Addingandsubtractingfractions

2.3Multiplicationanddivisionoffractions

3.3Significantfiguresanddecimalplaces

13Solvingsimultaneousequations 111

13.1Introduction 111

13.2Solvingsimultaneousequationsintwo unknowns 111

13.3Furthersolvingofsimultaneousequations 113

13.4Solvingmoredifficultsimultaneous equations 115

13.5Practicalproblemsinvolvingsimultaneous equations 117

13.6Solvingsimultaneousequationsinthree unknowns 121

14Solvingquadraticequations

14.1Introduction 124

14.2Solutionofquadraticequationsby factorisation 125

14.3Solutionofquadraticequationsby ‘completingthesquare’ 127

14.4Solutionofquadraticequationsby formula 129

14.5Practicalproblemsinvolvingquadratic equations 130

14.6Solutionoflinearandquadraticequations simultaneously 133

15Logarithms 134

15.1Introductiontologarithms 134

15.2Lawsoflogarithms 136

15.3Indicialequations 139

15.4Graphsoflogarithmicfunctions 140

16Exponentialfunctions 141

16.1Introductiontoexponentialfunctions 141

16.2Thepowerseriesfor ex 142

16.3Graphsofexponentialfunctions 144

16.4Napierianlogarithms 146

16.5Lawsofgrowthanddecay 149

17Straightlinegraphs

17.2Axes,scalesandco-ordinates 156

17.3Straightlinegraphs 158

17.4Gradients,interceptsandequations ofgraphs 161

17.5Practicalproblemsinvolvingstraight linegraphs 168

18Graphsreducingnon-linearlawstolinearform 175

18.1Introduction 175

18.2Determinationoflaw 175

18.3Revisionoflawsoflogarithms 178

18.4Determinationoflawsinvolving logarithms 179

19Graphicalsolutionofequations 184

19.1Graphicalsolutionofsimultaneous equations 184

19.2Graphicalsolutionofquadraticequations 186

19.3Graphicalsolutionoflinearandquadratic equationssimultaneously 190

19.4Graphicalsolutionofcubicequations 190

20Graphswithlogarithmicscales 193

20.1Logarithmicscalesandlogarithmicgraph paper 193

20.2Graphsoftheform y = ax n 194

20.3Graphsoftheform y = abx 197

20.4Graphsoftheform y = aekx 198

RevisionTest7 201

21Anglesandtriangles 203 21.1Introduction 203 21.2Angularmeasurement 203 21.3Triangles 209 21.4Congruenttriangles 213 21.5Similartriangles 215 21.6Constructionoftriangles 217

22Introductiontotrigonometry 220 22.1Introduction 220 22.2ThetheoremofPythagoras 220 22.3Sines,cosinesandtangents 223

22.4Evaluatingtrigonometricratiosofacute angles 225

22.5Solvingright-angledtriangles 227 22.6Anglesofelevationanddepression 231

RevisionTest8 234

23Trigonometricwaveforms 236

23.1Graphsoftrigonometricfunctions 236 23.2Anglesofanymagnitude 237

23.3Theproductionofsineandcosinewaves 240

23.4Terminologyinvolvedwithsineand cosinewaves 240

23.5Sinusoidalform: A sin (ωt ± α) 243

24Non-right-angledtrianglesandsomepractical applications 246

24.1Thesineandcosinerules 246

24.2Areaofanytriangle 247

24.3Workedproblemsonthesolutionof trianglesandtheirareas 247

24.4Furtherworkedproblemsonthesolution oftrianglesandtheirareas 249

24.5Practicalsituationsinvolving trigonometry 250

24.6Furtherpracticalsituationsinvolving trigonometry 252

25Cartesianandpolarco-ordinates 255

25.1Introduction 255

25.2ChangingfromCartesiantopolar co-ordinates 255

25.3ChangingfrompolartoCartesian co-ordinates 257

25.4UseofPol/Recfunctionson calculators 258

30.1Introduction

30.2Scalarsandvectors 317

30.3Drawingavector 318

30.4Additionofvectorsbydrawing 319

30.5Resolvingvectorsintohorizontaland verticalcomponents 321

30.6Additionofvectorsbycalculation 322

30.7Vectorsubtraction 326

30.8Relativevelocity 327

30.9 i , j and k notation 328

31Methodsofaddingalternatingwaveforms 330

31.1Combiningtwoperiodicfunctions 330

31.2Plottingperiodicfunctions 331

31.3Determiningresultantphasorsby drawing 332

31.4Determiningresultantphasorsbythesine andcosinerules 334

26Areasofcommonshapes 266

26.1Introduction 266

26.2Commonshapes 266

26.3Areasofcommonshapes 269

26.4Areasofsimilarshapes 276

27Thecircleanditsproperties 278

27.1Introduction 278

27.2Propertiesofcircles 278

27.3Radiansanddegrees 280

27.4Arclengthandareaofcirclesand sectors 281

27.5Theequationofacircle 285

31.5Determiningresultantphasorsby horizontalandverticalcomponents 335

32Presentationofstatisticaldata

32.1Somestatisticalterminology 344

32.2Presentationofungroupeddata 345

32.3Presentationofgroupeddata 348

33Mean,median,modeandstandarddeviation 355

33.1Measuresofcentraltendency 355

28Volumesandsurfaceareasofcommonsolids 289

28.1Introduction 289

28.2Volumesandsurfaceareasofcommon shapes 289

28.3Summaryofvolumesandsurfaceareasof commonsolids 296

28.4Morecomplexvolumesandsurface areas 296

28.5Volumesandsurfaceareasoffrustaof pyramidsandcones 302

28.6Volumesofsimilarshapes 306

29Irregularareasandvolumesandmeanvalues 307

29.1Areasofirregularfigures

29.2Volumesofirregularsolids 310

29.3Meanoraveragevaluesofwaveforms

33.2Mean,medianandmodefordiscrete data 356

33.3Mean,medianandmodeforgrouped data 357

33.4Standarddeviation 358

33.5Quartiles,decilesandpercentiles 360

34Probability

35Introductiontodifferentiation

35.1Introductiontocalculus

35.2Functionalnotation

35.3Thegradientofacurve 373

35.4Differentiationfromfirstprinciples 374

35.5Differentiationof y = ax n bythe generalrule 375

35.6Differentiationofsineandcosine functions 378

35.7Differentiationof eax andln ax 380

35.8Summaryofstandardderivatives 381

35.9Successivedifferentiation 382

35.10Ratesofchange 382

35.11Differentiationofaproduct 384

35.12Differentiationofaquotient 385

35.13Functionofafunction

36Standardintegration 388

36.1Theprocessofintegration

36.2Thegeneralsolutionofintegralsofthe form ax n 389

36.3Standardintegrals 389

36.4Definiteintegrals 392

36.5Theareaunderacurve 394

38Binary,octalandhexadecimalnumbers

39Inequalities

39.1Introductiontoinequalities

39.2Simpleinequalities

39.3Inequalitiesinvolvingamodulus

39.4Inequalitiesinvolving quotients

39.5Inequalitiesinvolvingsquare functions

39.6Quadraticinequalities

Preface

BasicEngineeringMathematics,7 th Edition introducesandthenconsolidatesbasicmathematicalprinciplesandpromotesawarenessofmathematicalconcepts forstudentsneedingabroadbaseforfurthervocationalstudies.Inthisseventhedition,newmaterialhas beenaddedonmetricconversions,metrictoimperial conversions,numberingsystems,comparingnumerical methods,furtherdifferentiationmethods,togetherwith otherminormodifications.

Thetextcovers:

(i) Basicmathematics forawiderangeofintroductory/access/foundationmathematicscourses

(ii) ‘MathematicsforEngineeringTechnicians’ for BTECFirstNQFLevel2; chapters1 to 12, 16 to 18, 21, 22,24,and 26 to 28 areneededforthis module

(iii)Themandatory ‘MathematicsforTechnicians’ forBTECNationalCertificateandNational DiplomainEngineering,NQFLevel3; chapters 7 to 10,14 to 17, 19, 21 to 24, 26 to 28, 32, 33, 35 and 36 areneededforthismodule.Inaddition, chapters1 to 6, 11 and 12 arehelpfulrevision forthismodule.

(iv) GCSErevision,andforsimilarmathematics coursesinEnglish-speakingcountriesworldwide.

BasicEngineeringMathematics,7 th Edition providesa leadinto EngineeringMathematics,8 th Edition. Eachtopicconsideredinthetextispresentedinaway thatassumesinthereaderlittlepreviousknowledgeof thattopic.

Theoryisintroducedineachchapterbyanoutlineofessentialtheory,definitions,formulae,lawsand

procedures.However,thesearekepttoaminimum,for problemsolvingisextensivelyusedtoestablishand exemplifythetheory.Itisintendedthatreaderswillgain realunderstandingthroughseeingproblemssolvedand thensolvingsimilarproblemsthemselves.

Thistextbookcontainsover 800workedproblems, followedbysome 1,600furtherproblems (allwith answers–attheendofthebook).Thefurtherproblemsarecontainedwithin 168PractiseExercises;each PractiseExercisefollowsondirectlyfromtherelevant sectionofwork. Fullyworkedsolutionstoall1,600 problemshavebeenmadefreelyavailabletoallvia thewebsite –seepagexii. 425linediagrams enhance theunderstandingofthetheory.Whereatallpossible theproblemsmirrorpotentialpracticalsituationsfound inengineeringandscience.

Atregularintervalsthroughoutthetextare 15Revision Tests tocheckunderstanding.Forexample,Revision Test1coversmaterialcontainedin chapters1 and 2, RevisionTest2coversthematerialcontainedin chapters3 to 5,andsoon.TheseRevisionTestsdonothave answersgivensinceitisenvisagedthatlecturers/instructorscouldsettheTestsforstudentstoattemptaspartof theircoursestructure.Lecturers/instructorsmayobtain solutionstotheRevisionTestsonline–seepagexii.

Attheendofthebookalistofrelevant formulae containedwithinthetextisincludedforconvenienceof reference.

‘LearningbyExample’ isattheheartof BasicEngineeringMathematics,7 th Edition

JOHNBIRD

RoyalNavalDefenceCollegeofMarineandAir Engineering,HMSSultan, formerlyofUniversityofPortsmouth andHighburyCollege,Portsmouth

FreeWebdownloadsat www.routledge.com/cw/bird

Forstudents

1. Fullsolutions tothe1,600questionscontainedinthe168PracticeExercises

2.Download multiplechoicequestionsand answersheet

3. Listofessentialformulae

4. Famousengineers/scientists –Fromtime totimeinthetext,18famousmathematicians/engineersarereferredtoandemphasisedwithanasterisk ∗ .Backgroundinformationoneachoftheseisavailableviathe website.Mathematicians/engineersinvolved are: Boyle,Celsius,Charles,Descartes, Faraday,Henry,Hertz,Hooke,Kirchhoff, Leibniz,Morland,Napier,Newton,Ohm, Pascal,Pythagoras,SimpsonandYoung.

Forinstructors/lecturers

1. Fullsolutions tothe1,600questionscontainedinthe168PracticeExercises

2. Fullsolutions andmarkingschemetoeachof the 15RevisionTests

3. RevisionTests –availabletorunofftobe giventostudents

4.Download multiplechoicequestionsand answersheet

5. Listofessentialformulae

6. Illustrations –all425availableonPowerPoint

7. Famousengineers/scientists –18arementionedinthetext,aslistedpreviously.

Chapter1

Basicarithmetic

Whyitisimportanttounderstand: Basicarithmetic

Beingnumerate,i.e.havinganabilitytoadd,subtract,multiplyanddividewholenumberswithsome confidence,goesalongwaytowardshelpingyoubecomecompetentatmathematics.Ofcourseelectronic calculatorsareamarvellousaidtothequitecomplicatedcalculationsoftenrequiredinengineering; however,havingafeelfornumbers‘inourhead’canbeinvaluablewhenestimating.Donotspendtoo muchtimeonthischapterbecausewedealwiththecalculatorlater;however,trytohavesomeidea howtodoquickcalculationsintheabsenceofacalculator.Youwillfeelmoreconfidentindealingwith numbersandcalculationsifyoucandothis.

Attheendofthischapteryoushouldbeableto:

• understandpositiveandnegativeintegers

• addandsubtractintegers

• multiplyanddividetwointegers

• multiplynumbersupto12 × 12byrote

• determinethehighestcommonfactorfromasetofnumbers

• determinethelowestcommonmultiplefromasetofnumbers

• appreciatetheorderofoperationwhenevaluatingexpressions

• understandtheuseofbracketsinexpressions

• evaluateexpressionscontaining +, , ×, ÷andbrackets

1.1Introduction

Wholenumbers

WholeNumbersaresimplythenumbers 0,1,2,3, 4,5, ...

Countingnumbers

CountingNumbersarewholenumbers,but withoutthe zero,i.e. 1,2,3,4,5, Naturalnumbers

NaturalNumberscanmeaneithercountingnumbersor wholenumbers.

Integers

Integersarelikewholenumbers,butthey alsoinclude negativenumbers

Examplesofintegersinclude ... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

Arithmeticoperators

Thefourbasicarithmeticoperatorsareadd (+),subtract ( ),multiply (×) anddivide (÷) Itisassumedthatadding,subtracting,multiplyingand dividingreasonablysmallnumberscanbeachieved withoutacalculator.However,ifrevisionofthisarea isneededthensomeworkedproblemsareincludedin thefollowingsections.

When unlikesigns occurtogetherinacalculation,the overallsignis negative.Forexample,

3 + ( 4) = 3 +−4 = 3 4 = 1

BasicEngineeringMathematics.978-1-138-67370-0,©2017JohnBird.PublishedbyTaylor&Francis.Allrightsreserved.

BasicEngineeringMathematics

and

(+5) × ( 2) = 10

Likesigns togethergiveanoverall positivesign.For example, 3 ( 4) = 3 4 = 3 + 4 = 7 and ( 6) × ( 4) = +24

Primenumbers

Aprimenumbercanbedivided,withoutaremainder, onlybyitselfandby1.Forexample,17canbedivided onlyby17andby1.Otherexamplesofprimenumbers are2,3,5,7,11,13,19and23.

1.2Revisionofadditionand subtraction

Youcanprobablyalreadyaddtwoormorenumbers togetherandsubtractonenumberfromanother.However,ifyouneedrevisionthenthefollowingworked problemsshouldbehelpful.

Problem1. Determine735 + 167

HTU 735 + 167 902 11

(i)5 + 7 = 12.Place2inunits(U)column.Carry1 inthetens(T)column.

(ii)3 + 6 + 1(carried) = 10.Placethe0inthetens column.Carrythe1inthehundreds(H)column.

(iii)7 + 1 + 1(carried) = 9.Placethe9inthehundredscolumn.

Hence, 735 + 167 = 902

Problem2. Determine632 369

HTU 632 369 263

(i)2 9isnotpossible;thereforechangeoneten intotenunits(leaving2inthetenscolumn).In theunitscolumn,thisgivesus12 9 = 3

(ii)Place3intheunitscolumn. (iii)2 6isnotpossible;thereforechangeonehundredintotentens(leaving5inthehundreds column).Inthetenscolumn,thisgivesus 12 6 = 6

(iv)Placethe6inthetenscolumn.

(v)5 3 = 2

(vi)Placethe2inthehundredscolumn.

Hence, 632 369 = 263

Problem3. Add27, 74, 81and 19

Thisproblemiswrittenas27 74 + 81 19. Addingthepositiveintegers: 27 81

Sumofpositiveintegersis 108

Addingthenegativeintegers: 74 19

Sumofnegativeintegersis 93

Takingthesumofthenegativeintegers fromthesumofthepositiveintegersgives108 93 15

Thus, 27 74 + 81 19 = 15

Problem4. Subtract 74from377

Thisproblemiswrittenas377 74.Likesigns togethergiveanoverallpositivesign,hence 377 74 = 377 + 74 377 + 74 451

Thus, 377 74 = 451

Problem5. Subtract243from126

Theproblemis126 243.Whenthesecondnumberis largerthanthefirst,takethesmallernumberfromthe largerandmaketheresultnegative.Thus, 126 243 =−(243 126) 243 126 117

Thus, 126 243 =−117

Basicarithmetic 3

Problem6. Subtract318from 269

Theproblemis 269 318.Thesumofthenegative integersis

269 + 318 587

Thus, 269 318 =−587

NowtrythefollowingPracticeExercise

PracticeExercise1Furtherproblemson additionandsubtraction(answerson page436)

InProblems1 15,determinethevaluesofthe expressionsgiven,withoutusingacalculator.

1.67kg 82kg + 34kg

2.73m 57m

3.851mm 372mm

4.124 273 + 481 398

5.£927 £114 + £182 £183 £247

6.647 872

7.2417 487 + 2424 1778 4712

8. 38419 2177 + 2440 799 + 2834

9.£2715 £18250 + £11471 £1509 + £113274

10.47 + ( 74) ( 23)

11.813 ( 674)

12.3151 ( 2763)

13.4872g 4683g

14. 23148 47724

15.$53774 $38441

16.Calculatethediameter d anddimensions A and B forthetemplateshownin Fig.1.1. All dimensionsareinmillimetres.

1.3Revisionofmultiplicationand division

Youcanprobablyalreadymultiplytwonumbers togetheranddivideonenumberbyanother.However,if youneedarevisionthenthefollowingworkedproblems shouldbehelpful.

Problem7. Determine86 × 7 HTU 86 × 7 602 4

(i)7 × 6 = 42.Placethe2intheunits(U)column and‘carry’the4intothetens(T)column.

(ii)7 × 8 = 56; 56 + 4(carried) = 60.Placethe0in thetenscolumnandthe6inthehundreds(H) column.

Hence,86 × 7 = 602

Agoodgraspof multiplicationtables isneededwhen multiplyingsuchnumbers;areminderofthemultiplicationtableupto12 × 12isshownbelow.Confidence withhandlingnumberswillbegreatlyimprovedifthis tableismemorised.

Figure1.1

Problem8. Determine764 × 38 764 × 38 6112 22920 29032

(i)8 × 4 = 32.Placethe2intheunitscolumnand carry3intothetenscolumn.

(ii)8 × 6 = 48; 48 + 3(carried) = 51.Placethe1in thetenscolumnandcarrythe5intothehundreds column.

(iii)8 × 7 = 56; 56 + 5(carried) = 61.Place1inthe hundredscolumnand6inthethousandscolumn.

(iv)Place0intheunitscolumnunderthe2

(v)3 × 4 = 12.Placethe2inthetenscolumnand carry1intothehundredscolumn.

(vi)3 × 6 = 18; 18 + 1(carried) = 19.Placethe9in thehundredscolumnandcarrythe1intothe thousandscolumn.

(vii)3 × 7 = 21; 21 + 1(carried) = 22.Place2inthe thousandscolumnand2inthetenthousands column.

(viii)6112 + 22920 = 29032

Hence, 764 × 38 = 29032

Again,knowingmultiplicationtablesisratherimportant whenmultiplyingsuchnumbers. Itisappreciated,ofcourse,thatsuchamultiplication can,andprobablywill,beperformedusinga calculator However,therearetimeswhenacalculatormaynotbe availableanditisthenusefultobeabletocalculatethe ‘longway’.

Problem9. Multiply178by 46

Whenthenumbershavedifferentsigns,theresultwill benegative.(Withthisinmind,theproblemcannow besolvedbymultiplying178by46.)Followingthe procedureofProblem8gives 178 × 46 1068 7120 8188

Thus,178 × 46 = 8188and 178 × (−46) =−8188

Problem10. Determine1834 ÷ 7 262 7 1834

(i)7into18goes2,remainder4.Placethe2above the8of1834andcarrythe4remaindertothe nextdigitontheright,makingit43

(ii)7into43goes6,remainder1.Placethe6above the3of1834andcarrythe1remaindertothe nextdigitontheright,makingit14

(iii)7into14goes2,remainder0.Place2abovethe 4of1834

Hence,1834 ÷ 7 = 1834/7 = 1834 7 = 262

Themethodshowniscalled shortdivision

Problem11. Determine5796 ÷ 12

(i)12into5won’tgo.12into57goes4;place4 abovethe7of5796

(ii)4 × 12 = 48;placethe48belowthe57of5796

(iii)57 48 = 9

(iv)Bringdownthe9of5796togive99

(v)12into99goes8;place8abovethe9of5796

(vi)8 × 12 = 96;place96belowthe99

(vii)99 96 = 3

(viii)Bringdownthe6of5796togive36

(ix)12into36goes3exactly.

(x)Placethe3abovethefinal6

(xi)3 × 12 = 36; Placethe36belowthe36

(xii)36 36 = 0

Hence,5796 ÷ 12 = 5796/12 = 5796 12 = 483

Themethodshowniscalled longdivision

Basicarithmetic 5

NowtrythefollowingPracticeExercise

PracticeExercise2Furtherproblemson multiplicationanddivision(answerson page436)

Determinethevaluesoftheexpressionsgivenin Problems1to9,withoutusingacalculator.

1. (a)78 × 6(b)124 × 7

2. (a)£261 × 7(b)£462 × 9

3. (a)783kg × 11(b)73kg × 8

4. (a)27mm × 13(b)77mm × 12

5. (a)448 × 23(b)143 × ( 31)

6. (a)288m ÷ 6(b)979m ÷ 11

7. (a) 1813 7 (b) 896 16

8. (a) 21424 13 (b)15900 ÷− 15

9. (a) 88737 11 (b)46858 ÷ 14

10.Ascrewhasamassof15grams.Calculate, inkilograms,themassof1200suchscrews (1kg=1000g).

11.Holesaredrilled35 7mmapartinametal plate.Ifarowof26holesisdrilled,determinethedistance,incentimetres,between thecentresofthefirstandlastholes.

12.Abuilderneedstoclearasiteofbricksand topsoil.Thetotalweighttoberemovedis696 tonnes.Truckscancarryamaximumloadof 24tonnes.Determinethenumberoftruck loadsneededtoclearthesite.

1.4Highestcommonfactorsand lowestcommonmultiples

Whentwoormorenumbersaremultipliedtogether,the individualnumbersarecalled factors.Thus,afactorisa numberwhichdividesintoanothernumberexactly.The highestcommonfactor(HCF) isthelargestnumber whichdividesintotwoormorenumbersexactly. Forexample,considerthenumbers12and15 Thefactorsof12are1,2,3,4,6and12(i.e.allthe numbersthatdivideinto12).

BasicEngineeringMathematics

Thefactorsof15are1,3,5and15(i.e.allthenumbers thatdivideinto15).

1and3aretheonly commonfactors;i.e.numbers whicharefactorsof both 12and15

Hence, theHCFof12and15is3 since3isthehighest numberwhichdividesinto both 12and15

A multiple isanumberwhichcontainsanothernumber anexactnumberoftimes.Thesmallestnumberwhich isexactlydivisiblebyeachoftwoormorenumbersis calledthe lowestcommonmultiple(LCM) Forexample,themultiplesof12are12,24,36,48, 60,72, ... andthemultiplesof15are15,30,45, 60,75, ... 60isacommonmultiple(i.e.amultipleof both 12and 15)andtherearenolowercommonmultiples.

Hence, theLCMof12and15is60 since60isthe lowestnumberthatboth12and15divideinto. HerearesomefurtherproblemsinvolvingthedeterminationofHCFsandLCMs.

Problem12. DeterminetheHCFofthenumbers 12,30and42

ProbablythesimplestwayofdetermininganHCFisto expresseachnumberintermsofitslowestfactors.This isachievedbyrepeatedlydividingbytheprimenumbers 2,3,5,7,11,13,...(wherepossible)inturn.Thus,

12=2 × 2 × 3

30=2 × 3 × 5

42=2 × 3 × 7

Thefactorswhicharecommontoeachofthenumbers are2incolumn1and3incolumn3,shownbythe brokenlines.Hence, theHCFis2 × 3;i.e. 6.Thatis, 6isthelargestnumberwhichwilldivideinto12,30 and42.

Problem13. DeterminetheHCFofthenumbers 30,105,210and1155

UsingthemethodshowninProblem12:

30=2 × 3 × 5

105=3 × 5 × 7

210=2 × 3 × 5 × 7

1155=3 × 5 × 7 × 11

Thefactorswhicharecommontoeachofthenumbers are3incolumn2and5incolumn3.Hence, theHCF is3 × 5=15

Problem14. DeterminetheLCMofthenumbers 12,42and90

TheLCMisobtainedbyfindingthelowestfactorsof eachofthenumbers,asshowninProblems12and13 above,andthenselectingthelargestgroupofanyofthe factorspresent.Thus,

12=2 × 2 × 3

42=2 × 3 × 7

90=2 × 3 × 3 × 5

Thelargestgroupofanyofthefactorspresentisshown bythebrokenlinesandis2 × 2in12,3 × 3in90,5in 90and7in42

Hence, theLCMis2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 1260 and isthesmallestnumberwhich12,42and90willall divideintoexactly.

Problem15. DeterminetheLCMofthenumbers 150,210,735and1365

UsingthemethodshowninProblem14above:

150=2 × 3 × 5 × 5

210=2 × 3 × 5 × 7

735=3 × 5 × 7 × 7

1365=3 × 5 × 7 × 13

Hence, theLCMis2 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 13 = 95550

NowtrythefollowingPracticeExercise

PracticeExercise3Furtherproblemson highestcommonfactorsandlowest commonmultiples(answersonpage436)

Find(a)theHCFand(b)theLCMofthefollowing groupsofnumbers. 1. 8,12 2.60,72 3. 50,70 4.270,900 5. 6,10,14 6.12,30,45

7. 10,15,70,1058.90,105,300

9. 196,210,462,91010.196,350,770

1.5Orderofoperationandbrackets

1.5.1Orderofoperation

Sometimesaddition,subtraction,multiplication,division,powersandbracketsmayallbeinvolvedina calculation.Forexample,

5 3 × 4 + 24 ÷ (3 + 5) 3 2

Thisisanextremeexamplebutwilldemonstratethe orderthatisnecessarywhenevaluating. Whenweread,wereadfromlefttoright.However, withmathematicsthereisadefiniteorderofprecedence whichweneedtoadhereto.Theorderisasfollows:

Brackets

Order(orpOwer)

Division

Multiplication

Addition

Subtraction

Noticethatthefirstlettersofeachwordspell BODMAS,ahandyaide-m ´ emoire. OrdermeanspOwer.For example,4 2 = 4 × 4 = 16

5 3 × 4 + 24 ÷ (3 + 5) 3 2 isevaluatedas follows:

5 3 × 4 + 24 ÷ (3 + 5) 3 2

= 5 3 × 4 + 24 ÷ 8 3 2 (Bracketisremovedand 3 + 5replacedwith8)

= 5 3 × 4 + 24 ÷ 8 9(OrdermeanspOwer;in thiscase,32 = 3 × 3 = 9)

= 5 3 × 4 + 3 9(Division:24 ÷ 8 = 3)

= 5 12 + 3 9(Multiplication: 3 × 4 =−12)

= 8 12 9(Addition:5 + 3 = 8)

=−13 (Subtraction:8 12 9 =−13)

Inpractice, itdoesnotmatterifmultiplicationisperformedbeforedivisionorifsubtractionisperformed beforeaddition.Whatisimportantisthat theprocessofmultiplicationanddivisionmustbecompleted beforeadditionandsubtraction

1.5.2Bracketsandoperators

Basicarithmetic 7

Thebasiclawsgoverningthe useofbracketsand operators areshownbythefollowingexamples.

(a)2 + 3 = 3 + 2;i.e.theorderofnumberswhen addingdoesnotmatter.

(b)2 × 3 = 3 × 2;i.e.theorderofnumberswhen multiplyingdoesnotmatter.

(c)2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;i.e.theuseofbrackets whenaddingdoesnotaffecttheresult.

(d)2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4;i.e.theuseofbrackets whenmultiplyingdoesnotaffecttheresult.

(e)2 × (3 + 4) = 2(3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4;i.e.a numberplacedoutsideofabracketindicates thatthewholecontentsofthebracketmustbe multipliedbythatnumber.

(f) (2 + 3)(4 + 5) = (5)(9) = 5 × 9 = 45;i.e.adjacentbracketsindicatemultiplication.

(g)2[3 + (4 × 5)] = 2[3 + 20] = 2 × 23 = 46;i.e. whenanexpressioncontainsinnerandouter brackets, theinnerbracketsareremoved first

HerearesomefurtherproblemsinwhichBODMAS needstobeused.

Problem16. Findthevalueof6 + 4 ÷ (5 3)

Theorderofprecedenceofoperationsisremembered bythewordBODMAS.Thus,

6 + 4 ÷ (5 3) = 6 + 4 ÷ 2(Brackets)

= 6 + 2(Division)

= 8 (Addition)

Problem17. Determinethevalueof 13 2 × 3 + 14 ÷ (2 + 5)

13 2 × 3 + 14 ÷ (2 + 5) = 13 2 × 3 + 14 ÷ 7(B)

= 13 2 × 3 + 2(D)

= 13 6 + 2(M)

= 15 6(A)

= 9 (S)

Problem18. Evaluate

16 ÷(2 + 6) + 18[3 + (4 × 6) 21]

16 ÷ (2 + 6) + 18[3 + (4 × 6) 21]

= 16 ÷ (2 + 6) + 18[3 + 24 21](B:innerbracket isdeterminedfirst)

= 16 ÷ 8 + 18 × 6 (B)

= 2 + 18 × 6(D)

= 2 + 108 (M)

= 110 (A)

Notethatanumberoutsideofabracketmultipliesall thatisinsidethebrackets.Inthiscase,

18[3 + 24 21] = 18[6], whichmeans18 × 6 = 108

Problem19. Findthevalueof

23 4(2 × 7) + (144 ÷ 4) (14 8)

23 4(2 × 7) + (144 ÷ 4) (14 8) = 23 4 × 14 + 36 6 (B) = 23 4 × 14 + 6(D) = 23 56 + 6(M) = 29 56 (A) = −27 (S)

Problem20. Evaluate 3 + 52 32 + 23

1 + (4 × 6 ) ÷ (3 × 4) + 15 ÷ 3 + 2 × 7 1 3 × √4 + 8 32 + 1 3 + 52 32 + 23

1 + (4 × 6 ) ÷ (3 × 4 ) + 15 ÷ 3 + 2 × 7 1 3 × √4 + 8 32 + 1 = 3 + 4 + 8 1 + 24 ÷ 12 + 15 ÷ 3 + 2 × 7 1 3 × 2 + 8 9 + 1 = 3 + 4 + 8 1 + 2 + 5 + 2 × 7 1 3 × 2 + 8 9 + 1 = 15 3 + 5 + 14 1 6 + 8 9 + 1 = 5 + 18 6 = 5 + 3 = 8

NowtrythefollowingPracticeExercise

PracticeExercise4Furtherproblemson orderofprecedenceandbrackets(answers onpage436)

Evaluatethefollowingexpressions.

1.14 + 3 × 15 2.17 12 ÷ 4

3.86 + 24 ÷ (14 2)

4.7(23 18) ÷ (12 5) 5.63 8(14 ÷ 2) + 26 6. 40 5 42 ÷ 6 + (3 × 7) 7. (50 14) 3 + 7(16 7) 7 8. (7 3)(1 6) 4(11 6) ÷ (3 8) 9. (3 + 9 × 6 ) ÷ 3 2 ÷ 2 3 × 6 + (4 9) 32 + 5 10. 4 × 32 + 24 ÷ 5 + 9 × 3 2 × 32 15 ÷ 3 + 2 + 27 ÷ 3 + 12 ÷ 2 3 2 5 + (13 2 × 5 ) 4 11. 1 + √25 + 3 × 2 8 ÷ 2 3 × 4 32 + 42 + 1 (4 × 2 + 7 × 2 ) ÷ 11 √9 + 12 ÷ 2 2 3

ForfullyworkedsolutionstoeachoftheproblemsinPracticeExercises1to4inthischapter, gotothewebsite: www.routledge.com/cw/bird

Chapter2 Fractions

Whyitisimportanttounderstand: Fractions

Engineersusefractionsallthetime,examplesincludingstresstostrain ratiosinmechanicalengineering, chemicalconcentrationratiosandreactionrates,andratiosinelectricalequationstosolveforcurrent andvoltage.Fractionsarealsousedeverywhereinscience,fromradioactivedecayratestostatistical analysis.Calculatorsareabletohandlecalculationswithfractions.However,therewillbetimeswhen aquickcalculationinvolvingaddition,subtraction,multiplicationanddivisionoffractionsisneeded. Again,donotspendtoomuchtimeonthischapterbecausewedealwiththecalculatorlater;however,try tohavesomeideahowtodoquickcalculationsintheabsenceofacalculator.Youwillfeelmoreconfident todealwithfractionsandcalculationsifyoucandothis.

Attheendofthischapteryoushouldbeableto:

• understandtheterminologynumerator,denominator,properandimproperfractionsandmixednumbers

• addandsubtractfractions

• multiplyanddividetwofractions

• appreciatetheorderofoperationwhenevaluatingexpressionsinvolvingfractions

2.1Introduction

Amarkof9outof14inanexaminationmaybewrittenas 9 14 or9/14. 9 14 isanexampleofafraction.The numberabovetheline,i.e.9,iscalledthe numerator.Thenumberbelowtheline,i.e.14,iscalledthe denominator.

Whenthevalueofthenumeratorislessthanthe valueofthedenominator,thefractioniscalleda properfraction. 9 14 isanexampleofaproper fraction.

Whenthevalueofthenumeratorisgreaterthanthevalue ofthedenominator,thefractioniscalledan improper fraction 5 2 isanexampleofanimproperfraction.

A mixednumber isacombinationofawholenumber andafraction.2 1 2 isanexampleofamixednumber.In fact, 5 2 = 2 1 2

Thereareanumberofeverydayexamplesinwhich fractionsarereadilyreferredto.Forexample,three peopleequallysharingabarofchocolatewouldhave 1 3 each.Asupermarketadvertises 1 5 offasix-packof beer;ifthebeernormallycosts£2thenitwillnow cost£1.60. 3 4 oftheemployeesofacompanyare women;ifthecompanyhas48employees,then36are women.

Calculatorsareabletohandlecalculationswithfractions.However,tounderstandalittlemoreaboutfractionswewillinthischaptershowhowtoadd,subtract,

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BasicEngineeringMathematics

multiplyanddividewithfractionswithouttheuseofa calculator.

Problem1. Changethefollowingimproper fractionsintomixednumbers:

(a) 9 2 (b) 13 4 (c) 28 5

(a) 9 2 means9halvesand 9 2 = 9 ÷ 2,and9 ÷ 2 = 4 and1half,i.e.

9 2 = 4 1 2

(b) 13 4 means13quartersand 13 4 = 13 ÷ 4,and 13 ÷ 4 = 3and1quarter,i.e.

13 4 = 3 1 4

(c) 28 5 means28fifthsand 28 5 = 28 ÷ 5,and28 ÷ 5 = 5and3fifths,i.e.

28 5 = 5 3 5

Problem2. Changethefollowingmixednumbers intoimproperfractions:

(a)5 3 4 (b)1 7 9 (c)2 3 7

(a)5 3 4 means5 + 3 4 .5contains5 × 4 = 20quarters. Thus,5 3 4 contains20 + 3 = 23quarters,i.e.

5 3 4 = 23 4

Thequickwaytochange5 3 4 intoanimproper fractionis 4 × 5 + 3 4 = 23 4

(b)1 7 9 = 9 × 1 + 7 9 = 16 9

(c)2 3 7 = 7 × 2 + 3 7 = 17 7

Problem3. Inaschoolthereare180studentsof which72aregirls.Expressthisasafractioninits simplestform

Thefractionofgirlsis 72 180

Dividingboththenumeratoranddenominatorbythe lowestprimenumber,i.e.2,gives

72

180 = 36 90

Dividingboththenumeratoranddenominatoragainby 2gives

72 180 = 36 90 = 18 45 2willnotdivideintoboth18and45,sodividingboththe numeratoranddenominatorbythenextprimenumber, i.e.3,gives

72 180 = 36 90 = 18 45 = 6 15

Dividingboththenumeratoranddenominatoragainby 3gives

72 180 = 36 90 = 18 45 = 6 15 = 2 5

So 72 180 = 2 5 initssimplestform.

Thus, 2 5 ofthestudentsaregirls

2.2Addingandsubtractingfractions

Whenthedenominatorsoftwo(ormore)fractionsto beaddedarethesame,thefractionscanbeadded‘on sight’.

Forexample, 2 9 + 5 9 = 7 9 and 3 8 + 1 8 = 4 8

Inthelatterexample,dividingboththe4andthe8by 4gives 4 8 = 1 2 ,whichisthesimplifiedanswer.Thisis called cancelling. Additionandsubtractionoffractionsisdemonstratedin thefollowingworkedexamples.

Problem4. Simplify 1 3 + 1 2

(i)Makethedenominatorsthesameforeachfraction.Thelowestnumberthatbothdenominators divideintoiscalledthe lowestcommonmultiple or LCM (see Chapter1, page6).Inthisexample, theLCMof3and2is6

(ii)3dividesinto6twice.Multiplyingbothnumeratoranddenominatorof 1 3 by2gives

1 3 = 2 6 =

(iii)2dividesinto6,3times.Multiplyingbothnumeratoranddenominatorof 1 2 by3gives 1 2 = 3 6 =

(iv)Hence,

Problem 5. Simplify 3 4 7 16

(i) Make the denominators the same for each fraction. The lowest common multiple (LCM) of 4 and 16 is 16

(ii) 4 divides into 16, 4 times. Multiplying both numerator and denominator of 3 4 by4gives

3 4 = 12 16 =

(iii) 7 16 alreadyhasadenominatorof16

(iv)Hence,

Problem 8. Determine the value of

Now try the following Practice Exercise

Practice Exercise 5 Introduction to fractions (answers on page 436)

1. Change the improper fraction 15 7 into a mixed number.

2. Change the improper fraction 37 5 into a mixed number

3. Change the mixed number 2 4 9 into an improper fraction.

4.Changethemixednumber8 7 8 intoan improperfraction.

5.Aboxcontains165paperclips.60clips areremovedfromthebox.Expressthisas afractioninitssimplestform.

6.Orderthefollowingfractionsfromthesmallesttothelargest.

7.Atrainingcollegehas375studentsofwhich 120aregirls.Expressthisasafractioninits simplestform.

Evaluate,infractionform,theexpressionsgivenin Problems8to20.

Forexample,

Problem9. Simplify7 × 2

2.3Multiplicationanddivisionof

2.3.1Multiplication

Tomultiplytwoormorefractionstogether,thenumeratorsarefirstmultipliedtogiveasinglenumberandthis becomesthenewnumeratorofthecombinedfraction. Thedenominatorsarethenmultipliedtogethertogive thenewdenominatorofthecombinedfraction.

Problem10. Findthevalueof 3 7 × 14 15

Dividingnumeratoranddenominatorby3gives

Dividingnumeratoranddenominatorby7gives

Thisprocessofdividingboththenumeratoranddenominatorofafractionbythesamefactor(s)iscalled cancelling.

Problem11. Simplify

bycancelling = 4 15

Problem12. Evaluate1 3 5 × 2 1 3 × 3 3 7

Mixednumbers must beexpressedasimproperfractionsbeforemultiplicationcanbeperformed.Thus,

Problem13. Simplify3

Themixednumbersneedtobechangedtoimproper fractionsbeforemultiplicationcanbeperformed.

3 1 5 × 1 2 3 × 2 3 4 = 16 5 × 5 3 × 11 4 = 4 1 × 1 3 × 11 1 bycancelling = 4 × 1 × 11 1 × 3 × 1 = 44 3 = 14 2 3

2.3.2Division

Thesimplerulefordivisionis changethedivision signintoamultiplicationsignandinvertthesecond fraction.

Forexample,

Problem14.

Problem15. Findthevalueof5 3 5 ÷ 7 1 3

Themixednumbersmustbeexpressedasimproper fractions.Thus,

Problem16. Simplify3

Mixednumbersmustbeexpressedasimproperfractions beforemultiplicationanddivisioncanbeperformed: 3 2 3 × 1 3 4 ÷ 2 3 4

NowtrythefollowingPracticeExercise

PracticeExercise6Multiplyingand dividingfractions(answersonpage436) Evaluatethefollowing.

19.Aship’screwnumbers105,ofwhich 1 7 are women.Ofthemen, 1 6 areofficers.How manymaleofficersareonboard?

20.Ifastoragetankisholding450litreswhen itisthree-quartersfull,howmuchwillit containwhenitistwo-thirdsfull?

21.Threepeople, P , Q and R ,contributetoa fund. P provides3/5ofthetotal, Q provides2/3oftheremainderand R provides £8.Determine(a)thetotalofthefundand (b)thecontributionsof P and Q

22.Atankcontains24,000litresofoil.Initially, 7 10 ofthecontentsareremoved,then 3 5 of theremainderisremoved.Howmuchoilis leftinthetank?

2.4Orderofoperationwith fractions

Asstatedin Chapter1, sometimesaddition,subtraction, multiplication,division,powersandbracketscanallbe involvedinacalculation.Adefiniteorderofprecedence mustbeadheredto.Theorderis:

Brackets

Order(orpOwer)

Division

Multiplication

Addition

Subtraction

Thisisdemonstratedinthefollowingworkedproblems.

Problem17.

÷ 5

× 2 3 (B) = 5 2 8 20 + 15 20 ÷ 5 8 × 2 3 (B)

×

= 5 2 23 20 ÷ 5 4 × 1 3 bycancelling(B)

= 5 2 23 20 ÷ 5 12 (B)

= 5 2 23 20 × 12 5 (D)

= 5 2 23 5 × 3 5 bycancelling

= 5 2 69 25 (M)

= 5 × 25 2 × 25 69 × 2 25 × 2 (S) = 125 50 138 50 (S) =− 13 50

Problem20. Evaluate 1 3 of 5 1 2 3 3

÷ 4 5 1 2 1 3 of 5 1 2 3 3 4 + 3 1

÷ 4

+ 3

1 2 = 1 3 of1 3 4 + 3 1 5 ÷ 4 5 1 2 (B) = 1 3 × 7 4 + 16 5 ÷ 4 5 1 2 (O) (Notethatthe‘of’isreplacedwitha multiplicationsign.)

= 1 3 × 7 4 + 16 5 × 5 4 1 2 (D)

= 1 3 × 7 4 + 4 1 × 1 1 1 2 bycancelling

NowtrythefollowingPracticeExercise

PracticeExercise7Orderofoperationwith fractions(answersonpage436)

Evaluatethefollowing.

Fractions 15

ForfullyworkedsolutionstoeachoftheproblemsinPracticeExercises5to7inthischapter, gotothewebsite: www.routledge.com/cw/bird

RevisionTest1:Basicarithmeticandfractions

Thisassignmentcoversthematerialcontainedin Chapters1 and 2 Themarksavailableareshowninbracketsatthe endofeachquestion.

1.Evaluate 1009cm 356cm 742cm + 94cm.(3)

2.Determine£284 × 9 (3)

3.Evaluate (a) 11239 ( 4732) + 9639 (b) 164 ×−12 (c)367 ×−19 (6)

4.Calculate(a)$153 ÷ 9(b)1397g ÷ 11(4)

5.Asmallcomponenthasamassof27grams. Calculatethemass,inkilograms,of750such components. (3)

6.Find(a)thehighestcommonfactorand(b)the lowestcommonmultipleofthefollowingnumbers:154075120 (7)

Evaluatetheexpressionsinquestions7to12.

7.7 + 20 ÷ (9 5) (3)

8.147 21(24 ÷ 3) + 31 (3)

9.40 ÷ (1 + 4) + 7[8 + (3 × 8) 27](5)

10. (7 3)(2 5) 3(9 5) ÷ (2 6) (3)

11. (7 + 4 × 5) ÷ 3 + 6 ÷ 2 2 × 4 + (5 8) 2 2 + 3 (5)

12. (42 × 5 8) ÷ 3 + 9 × 8 4 × 32 20 ÷ 5 (5)

13.Simplify (a)

(8)

14.Atrainingcollegehas480studentsofwhich150 aregirls.Expressthisasafractioninitssimplest form. (2)

15.Atankcontains18000litresofoil.Initially, 7 10 of thecontentsareremoved,then 2 5 oftheremainder isremoved.Howmuchoilisleftinthetank? (4)

16.Evaluate

(10)

17.Calculate

(8)

18.Simplify 1 13 of 2 9 10 1 3 5 + 2 1 3 ÷ 2 3 3 4 (8)

Forlecturers/instructors/teachers,fullyworkedsolutionstoeachoftheproblemsinRevisionTest1, togetherwithafullmarkingscheme,areavailableatthewebsite: www.routledge.com/cw/bird

Chapter3 Decimals

Whyitisimportanttounderstand: Decimals

Engineersandscientistsusedecimalnumbersallthetimeincalculations.Calculatorsareabletohandle calculationswithdecimals;however,therewillbetimeswhenaquickcalculationinvolvingaddition, subtraction,multiplicationanddivisionofdecimalsisneeded.Again,donotspendtoomuchtimeon thischapterbecausewedealwiththecalculatorlater;however,trytohavesomeideahowtodoquick calculationsinvolvingdecimalnumbersintheabsenceofacalculator.Youwillfeelmoreconfidenttodeal withdecimalnumbersincalculationsifyoucandothis.

Attheendofthischapteryoushouldbeableto:

• convertadecimalnumbertoafractionandviceversa

• understandandusesignificantfiguresanddecimalplacesincalculations

• addandsubtractdecimalnumbers

• multiplyanddividedecimalnumbers

3.1Introduction

Thedecimalsystemofnumbersisbasedonthedigits 0to9

Thereareanumberofeverydayoccurrencesinwhichwe usedecimalnumbers.Forexample,aradiois,say,tuned to107.5MHzFM;107.5isanexampleofadecimal number.

Inashop,apairoftrainerscost,say,£57.95;57.95is anotherexampleofadecimalnumber.57.95isadecimal fraction,whereadecimalpointseparatestheinteger,i.e. 57,fromthefractionalpart,i.e.0.95

57 95actuallymeans (5 × 10 ) + (7 × 1 ) + 9 × 1 10 + 5 × 1 100

3.2Convertingdecimalstofractions andviceversa

Convertingdecimalstofractionsandviceversais demonstratedbelowwithworkedexamples.

Problem1. Convert0.375toaproperfractionin itssimplestform

(i)0.375maybewrittenas 0 375 × 1000 1000 i.e. 0.375 = 375 1000

(ii)Dividingbothnumeratoranddenominatorby5 gives 375 1000 = 75 200

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(iii)Dividingbothnumeratoranddenominatorby5 againgives 75 200 = 15 40

(iv)Dividingbothnumeratoranddenominatorby5 againgives 15 40 = 3 8

Sinceboth3and8areonlydivisibleby1,wecannot ‘cancel’anyfurther,so 3 8 isthe‘simplestform’ofthe fraction.

Hence, thedecimalfraction0.375 = 3 8 asaproper fraction

Problem2. Convert3.4375toamixednumber

Initially,thewholenumber3isignored.

(i)0.4375maybewrittenas 0 4375 × 10000 10000 i.e.

0 4375 = 4375 10000

(ii)Dividingbothnumeratoranddenominatorby25 gives 4375 10000 = 175 400

(iii)Dividingbothnumeratoranddenominatorby5 gives 175 400 = 35 80

(iv)Dividingbothnumeratoranddenominatorby5 againgives 35 80 = 7 16

Sinceboth5and16areonlydivisibleby1,we cannot‘cancel’anyfurther,so 7 16 isthe‘lowest form’ofthefraction.

(v)Hence,0 4375 = 7 16

Thus, thedecimalfraction3 4375 = 3 7 16 asamixed number

Problem3. Express 7 8 asadecimalfraction

Toconvertaproperfractiontoadecimalfraction,the numeratorisdividedbythedenominator.

0 875

8 7 000

(i)8into7willnotgo.Placethe0abovethe7

(ii)Placethedecimalpointabovethedecimalpoint of7.000

(iii)8into70goes8,remainder6.Placethe8above thefirstzeroafterthedecimalpointandcarrythe 6remaindertothenextdigitontheright,making it60

(iv)8into60goes7,remainder4.Placethe7above thenextzeroandcarrythe4remaindertothenext digitontheright,makingit40

(v)8into40goes5,remainder0.Place5abovethe nextzero.

Hence, theproperfraction 7 8 = 0 875asadecimal fraction

Problem4. Express5 13 16 asadecimalfraction

Formixednumbersitisonlynecessarytoconvertthe properfractionpartofthemixednumbertoadecimal fraction.

0.8125 16 13.0000

(i)16into13willnotgo.Placethe0abovethe3

(ii)Placethedecimalpointabovethedecimalpoint of13.0000

(iii)16into130goes8,remainder2.Placethe8above thefirstzeroafterthedecimalpointandcarrythe 2remaindertothenextdigitontheright,making it20

(iv)16into20goes1,remainder4.Placethe1above thenextzeroandcarrythe4remaindertothenext digitontheright,makingit40

(v)16into40goes2,remainder8.Placethe2above thenextzeroandcarrythe8remaindertothenext digitontheright,makingit80

(vi)16into80goes5,remainder0.Placethe5above thenextzero.

(vii)Hence, 13 16 = 0 8125

Thus, themixednumber5 13 16 = 5 8125asadecimal fraction.

NowtrythefollowingPracticeExercise

PracticeExercise8Convertingdecimalsto fractionsandviceversa(answerson page437)

1.Convert0.65toaproperfraction.

2.Convert0.036toaproperfraction.

3.Convert0.175toaproperfraction.

4.Convert0.048toaproperfraction.

5.Convertthefollowingtoproperfractions. (a)0.66(b)0.84(c)0.0125 (d)0.282(e)0.024

6.Convert4.525toamixednumber.

7.Convert23.44toamixednumber.

8.Convert10.015toamixednumber.

9.Convert6.4375toamixednumber.

10.Convertthefollowingtomixednumbers. (a)1.82(b)4.275(c)14.125 (d)15.35(e)16.2125

11.Express 5 8 asadecimalfraction.

12.Express6 11 16 asadecimalfraction.

13.Express 7 32 asadecimalfraction.

14.Express11 3 16 asadecimalfraction.

15.Express 9 32 asadecimalfraction.

3.3Significantfiguresanddecimal places

Anumberwhichcanbeexpressedexactlyasa decimalfractioniscalleda terminatingdecimal Forexample,

3 3 16 = 3 1825isaterminatingdecimal

Anumberwhichcannotbeexpressedexactlyasadecimalfractioniscalleda non-terminatingdecimal.For example,

1 5 7 = 1 7142857 isanon-terminatingdecimal

Decimals 19

Theanswertoanon-terminatingdecimalmaybe expressedintwoways,dependingontheaccuracy required:

(a)correcttoanumberof significantfigures,or (b)correcttoanumberof decimalplaces i.e.the numberoffiguresafterthedecimalpoint.

Thelastdigitintheanswerisunalteredifthenextdigit ontherightisinthegroupofnumbers0,1,2,3or4. Forexample,

1.714285 ... = 1.714 correctto4significantfigures = 1 714 correctto3decimalplaces

sincethenextdigitontherightinthisexampleis2 Thelastdigitintheanswerisincreasedby1ifthenext digitontherightisinthegroupofnumbers5,6,7,8or 9.Forexample,

1 7142857 = 1 7143 correctto5significantfigures = 1.7143 correctto4decimalplaces

sincethenextdigitontherightinthisexampleis8

Problem5. Express15.36815correctto (a)2decimalplaces,(b)3significantfigures, (c)3decimalplaces,(d)6significantfigures

(a)15 36815 = 15 37 correctto2decimalplaces.

(b)15 36815 = 15 4 correctto3significantfigures.

(c)15 36815 = 15 368 correctto3decimalplaces.

(d)15 36815 = 15 3682 correctto6significant figures.

Problem6. Express0.004369correctto (a)4decimalplaces,(b)3significantfigures

(a)0 004369 = 0 0044 correctto4decimalplaces.

(b)0 004369 = 0 00437 correctto3significant figures.

Notethatthezerostotherightofthedecimalpointdo notcountassignificantfigures.

NowtrythefollowingPracticeExercise

PracticeExercise9Significantfiguresand decimalplaces(answersonpage437)

1.Express14.1794correctto2decimalplaces.

2.Express2.7846correctto4significantfigures.

3.Express65.3792correctto2decimalplaces.

4.Express43.2746correctto4significant figures.

5.Express1.2973correctto3decimalplaces.

6.Express0.0005279correctto3significant figures.

3.4Addingandsubtractingdecimal numbers

Whenaddingorsubtractingdecimalnumbers,care needstobetakentoensurethatthedecimalpoints arebeneatheachother.Thisisdemonstratedinthe followingworkedexamples.

Problem7. Evaluate46.8 + 3.06 + 2.4 + 0.09 andgivetheanswercorrectto3significantfigures

Thedecimalpointsareplacedundereachotheras shown.Eachcolumnisadded,startingfromthe right.

46 8 3 06 2 4 + 0.09 52

(i)6 + 9 = 15.Place5inthehundredthscolumn. Carry1inthetenthscolumn.

(ii)8 + 0 + 4 + 0 + 1(carried) = 13.Placethe3in thetenthscolumn.Carrythe1intotheunits column.

(iii)6 + 3 + 2 + 0 + 1(carried) = 12.Placethe2in theunitscolumn.Carrythe1intothetenscolumn.

(iv)4 + 1(carried) = 5.Placethe5inthehundreds column.

Hence,

46.8 + 3.06 + 2 .4 + 0.09 = 52 .35 = 52 .4, correctto3 significantfigures

Problem8. Evaluate64.46 28.77andgivethe answercorrectto1decimalplace

Aswithaddition,thedecimalpointsareplacedunder eachotherasshown.

64 46 28 77 35 69

(i)6 7isnotpossible;therefore‘borrow’1from thetenthscolumn.Thisgives16 7 = 9.Place the9inthehundredthscolumn.

(ii)3 7isnotpossible;therefore‘borrow’1from theunitscolumn.Thisgives13 7 = 6.Placethe 6inthetenthscolumn.

(iii)3 8isnotpossible;therefore‘borrow’fromthe hundredscolumn.Thisgives13 8 = 5.Place the5intheunitscolumn.

(iv)5 2 = 3.Placethe3inthehundredscolumn.

Hence,

64.46 28.77 = 35.69 = 35.7correctto1decimalplace

Problem9. Evaluate312 64 59 826 79 66 + 38.5andgivetheanswercorrectto4significant figures

Thesumofthepositivedecimalfractions = 312 64 + 38 5 = 351 14

Thesumofthenegativedecimalfractions = 59 826 + 79 66 = 139 486

Takingthesumofthenegativedecimalfractionsfrom thesumofthepositivedecimalfractionsgives

351.140 139.486

211 654

Hence,351 140 139 486 = 211.654 = 211.7,correctto4significantfigures

Decimals 21

NowtrythefollowingPracticeExercise

PracticeExercise10Addingand subtractingdecimalnumbers(answerson page437)

Determinethefollowingwithoutusingacalculator.

1.Evaluate37 69 + 42 6,correctto3significantfigures.

2.Evaluate378.1 48.85,correctto1decimal place.

3.Evaluate68 92 + 34 84 31 223,correctto 4significantfigures.

4.Evaluate67 841 249 55 + 56 883,correct to2decimalplaces.

5.Evaluate483.24 120.44 67.49,correct to4significantfigures.

6.Evaluate738 22 349 38 427 336 + 56 779, correctto1decimalplace.

7.Determinethedimensionmarked x inthe lengthoftheshaftshownin Fig.3.1. The dimensionsareinmillimetres.

Problem10. Evaluate37 6 × 5 4

376 ×54 1504 18800 20304

(i)376 × 54 = 20304

(ii)Asthereare1 + 1 = 2digitstotherightof thedecimalpointsofthetwonumbersbeing multipliedtogether,37 6 × 5 4,then

37 .6 × 5.4 = 203.04

Problem11. Evaluate44 25 ÷ 1 2,correctto (a)3significantfigures,(b)2decimalplaces

44 25 ÷ 1 2 = 44.25 1.2

Thedenominatorismultipliedby10tochangeitintoan integer.Thenumeratorisalsomultipliedby10tokeep thefractionthesame.Thus,

.5 12

Thelongdivisionissimilartothelongdivisionof integersandthestepsareasshown.

3.5Multiplyinganddividingdecimal numbers

Whenmultiplyingdecimalfractions:

(a)thenumbersaremultipliedasiftheywereintegers, and

(b)thepositionofthedecimalpointintheansweris suchthatthereareasmanydigitstotherightof itasthesumofthedigitstotherightofthedecimalpointsofthetwonumbersbeingmultiplied together.

Thisisdemonstratedinthefollowingworkedexamples.

(i)12into44goes3;placethe3abovethesecond 4of442.500

(ii)3 × 12 = 36;placethe36belowthe44of 442.500

(iii)44 36 = 8

(iv)Bringdownthe2togive82

(v)12into82goes6;placethe6abovethe2of 442.500

Figure3.1

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The Project Gutenberg eBook of Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst. Zweiter Band.: Von der Renaissance bis zur Gegenwart

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Title: Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst. Zweiter Band.: Von der Renaissance bis zur Gegenwart

Author: Ernst Cohn-Wiener

Release date: June 8, 2022 [eBook #68263]

Language: German

Original publication: Germany: B. G. Teubner, 1917

Credits: the Online Distributed Proofreading Team at https://www.pgdp.net

*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ENTWICKLUNGSGESCHICHTE DER STILE IN DER BILDENDEN KUNST. ZWEITER BAND.: VON DER RENAISSANCE BIS ZUR GEGENWART ***

Anmerkungen zur Transkription

Der vorliegende Text wurde anhand der 1917 erschienenen Buchausgabe so weit wie möglich originalgetreu wiedergegeben. Typographische Fehler wurden stillschweigend korrigiert. Ungewöhnliche und heute nicht mehr verwendete Schreibweisen bleiben gegenüber dem Original unverändert; fremdsprachliche Begriffe wurden nicht korrigiert.

Das Original enthielt einen Gesamtkatalog der Buchreihe „Aus Natur und Geisteswelt“, welcher bereits auf Project Gutenberg veröffentlicht wurde (https://www.gutenberg.org/ebooks/53614). Die restlichen Buchanzeigen wurden zusammengefasst am Ende des Texts wiedergegeben.

Dieses Buch enthält Verweise auf Passagen im ersten Band, welcher auf Projekt Gutenberg veröffentlicht wurde und dort eingesehen bzw heruntergeladen werden kann (https://www.gutenberg.org/ebooks/68262).

Die gedruckte Ausgabe wurde in Frakturschrift gesetzt; Passagen in Antiquaschrift erscheinen im vorliegenden Text kursiv Abhängig von der im jeweiligen Lesegerät installierten Schriftart können die im Original g e s p e r r t gedruckten Passagen gesperrt, in serifenloser Schrift, oder aber sowohl serifenlos als auch gesperrt erscheinen.

Aus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher

Darstellungen

318. Bändchen

Die

Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst Von

Dr. phil. Ernst Cohn-Wiener

Dozent an der Humboldt-Akademie Freie Hochschule Berlin

Zweiter Band:

Von der Renaissance bis zur Gegenwart

Zweite Auflage

Mit 42 Abbildungen im Text

Verlag und Druck von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1917

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Erstes Kapitel. Die italienische Renaissance 1

Zweites „ Die bürgerliche Gotik in Deutschland und die sogenannte deutsche Renaissance 20

Drittes „ Der Barockstil 38

Viertes „ Der Stil Régence und der Rokokostil 63

Fünftes „ Der Stil Louis XVI. und der Stil Empire 73

Sechstes „ Die Kunst des 19. Jahrhunderts und der Gegenwart 81

Siebentes „ Das Wesen des Stilwerdens und die historische Stellung der gegenwärtigen Kunst 94

Schutzformel für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1917 by B. G. Teubner in Leipzig.

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten.

Erstes Kapitel.

Die italienische Renaissance.

In keiner anderen Äußerung des menschlichen Geistes heben sich die Hauptrichtungslinien so eindeutig klar heraus, wie in der Kunstgeschichte, unterjochen so tyrannisch feindliche Strömungen oder lassen sie in provinziellem Dunkel. Der Grund dafür könnte sein, daß das Kunstwerk, als anschauliches Resultat eines sehr verwickelten seelischen Vorganges, doch fixierter ist als die Gedankengänge beispielsweise der Literatur oder die Tonfolgen der Musik, die sozusagen durch ganze Abfolgen von Stunden laufen, während das Kunstwerk als Objekt in jedem Augenblick dasselbe bleibt. Kein Land zeigt jene Einzigkeit des kunstgeschichtlichen Stilvorganges deutlicher als Italien, das im Mittelalter neben den Ländern des Nordens nur vegetiert, um seit dem 15. Jahrhundert ihre maßgebende Führerin zu werden. Obgleich das italienische Mittelalter eines der am wenigsten erforschten Gebiete der Kunstgeschichte ist, weil der glänzende Mantel der Renaissance es allzulange dem Auge entzog, ist es doch fraglos, daß, während sich nördlich der Alpen die wichtigsten Stilbewegungen vollziehen, Italien zwar eine Fülle interessanter Stilerscheinungen, aber keinen einheitlichen Stil geschaffen hat. Seine Lage im Schnittpunkte der großen mittelalterlichen Kunstkreise mit Frankreich, Deutschland, dem maurischen Spanien und dem Byzantinischen Reich als Zentren, dazu die fortwährenden Kämpfe auf seinem Boden, die allen diesen Ländern für längere oder kürzere Zeit Anteil am Lande selbst gaben und ihnen so den direktesten Einfluß sicherten, all das brachte es mit sich, daß in Italien fast alles Autochthone mit fremden Anregungen verschmilzt und eine Fülle der verschiedenartigsten

Erscheinungen ausbildet. Während im Norden die romanische und gotische Kathedrale sich entwickeln, behält die kirchliche Architektur Italiens den altchristlichen Basilikatypus mit dem Eingange an der Schmalseite und dem freistehenden Campanile bis in den Beginn der Renaissance hinein bei; die eigengeschaffenen romanischen und die übernommenen gotischen Formen werden nicht Stilglieder, sondern nur Schmuck.

Man kann sagen, daß die Gotik auch in Italien alle anderen Formen verdrängt, aber wesentlich als Stil des Wimpergs und der Fiale angewandt wird. Während man ihre Gewölbekonstruktion und ihre Dekoration verwertet, scheut man doch jede konsequente Durchführung der Vertikalen. Vollends dekorativ gestaltet das Land dort, wo es mit orientalischen Stilelementen in Berührung kommt, wie in romanischer Zeit in Süditalien, in gotischer in Venedig. Hier verwandeln sich die gotischen Formen in eine elegante Steindekoration von der feinen Arbeit durchbrochener Spitzen. Man arbeitet, um die Zartheit des Eindrucks zu steigern, selbst mit Kontrastwirkungen, setzt auf zarte Arkaden ein derbes mauerfestes Obergeschoß, wie beim Dogenpalast, während man doch das Verhältnis umgekehrt erwartet, oder neben sie als Gegensatz das geschlossene Mauerwerk, wie an Ca d’oro. Nur daß in romanischer Zeit Oberitalien, allerdings wiederum mit Ausnahme Venedigs, in engem Zusammenhang mit Deutschland stehend, an dessen Formenergie Anteil nimmt.

Mit dieser Art, den Charakter der Bauten durch ihre Dekoration bestimmen zu lassen, stimmt es überein, daß Plastik und Malerei als Werte im Gesamtbild die Architektur überwiegen, im Gegensatz zum Norden, und die große Zahl überlieferter Künstlernamen beweist, daß sie ihren Wert kennen. Dabei ist es natürlich kein Zufall, daß auch hier die Bewegung gleichzeitig mit der Loslösung der Plastik von der Baukunst einsetzt, d. h. mit dem Ende der romanischen Periode, daß also auch hierin Italien an den nordischen Bewegungen teilnimmt. Aber das geschieht ganz unwillkürlich, genau so selbstverständlich, wie die Glieder in den Blutumlauf des Herzens miteinbezogen sind. Als Formvorbilder dienen nicht die französischen Schöpfungen, sondern die antiken Überreste im

Lande, und man hat geradezu von einer Proto-Renaissance (UrRenaissance) gesprochen, zumal diese Zeit die Vorbilder willenloser, weniger umformend übernimmt, als später die Renaissance. Die Frucht ist in Mittelitalien die antikisierende Umgestaltung des Architektur-Ornaments und die Kunst des ersten Meisters aus dem Kreis der Pisani, des Niccolo, tätig zwischen 1260–1280, dessen malerisch hohe Kanzelreliefs ohne das Vorbild der römischen Sarkophage schlechterdings nicht denkbar sind. Noch intensiver ist diese Bewegung in Süditalien, wo die geniale Persönlichkeit des Hohenstaufen Friedrich II. für die Kunst dieselbe Rolle spielt, wie Karl der Große für die karolingische Renaissance. Er errichtet Triumphbögen mit Skulpturen, in deren Überresten antiker Geist seltsam lebendig ist. Er schreibt ein Buch über die Falkenjagd, und die Illustrationen dazu geben die Tierformen mit der subtilen Genauigkeit eines zoologischen Werkes. Man muß freilich feststellen, daß der Einfluß der hohen maurischen Kultur gerade hier den Boden sehr geebnet hatte.

In der gotischen Generation, repräsentiert durch den Sohn des Niccolo, Giovanni (um 1250–1328), wirkt das jetzt voll entfaltete Frankreich stärker ein. Doch wird der Stil niemals weich, und in der Malerei vollends wird die ganz byzantinisierende romanische Generation durch den Gotiker Giotto (1266 bis nach 1317) abgelöst, der als Übergang zur Renaissance anzusehen ist. Wenn auch die religiöse Inbrunst in seinen Darstellungen aus dem Leben des heiligen Franziskus ganz gotisch im Gefühl, die Gebundenheit seiner Formen noch mittelalterlich ist, so ist doch die Bestimmtheit des Gefühlsausdruckes bei ihm die Ankündigung des neuen Zeitalters.

Für uns Heutige hat das Wort R e n a i s s a n c e nicht mehr den Sinn, den es einst hatte: Wiedergeburt der Antike. Wir, die wir einen Stil nicht mehr äußerlich nach den Detailformen analysieren, sondern nach dem Sinn, den sie im Stilbild haben — wir sehen, daß die Renaissance die antiken Formen nur in den Dienst ihrer ganz selbständig gerichteten Absichten stellt. Für uns bedeutet sie eine Wiedergeburt der starken Persönlichkeit, der schaffenden Kraft des Menschen, welche die Formen der antiken Kunst, die sie vor Augen hatte, als Hilfsmittel für das eigene Wollen mit eigenem Ausdruck

übernahm. Von hier aus beantwortet sich auch die Frage, warum man gerade an die römische Antike anknüpfte und nicht an die hellenische, deren Werke doch in Unteritalien noch vor aller Augen standen. Die Begründung, man hätte die römische Kunst gewählt, weil die italienischen Städte stolz waren, ihren Ursprung von Rom abzuleiten, scheint uns zu äußerlich für Erscheinungen, die so gesetzmäßig verlaufen. Vielmehr scheint dafür entscheidend gewesen zu sein, daß die Freude dieser enthusiastischen Zeit am Reichtum und am Prunk, die in ihren Festen und Bauten so hohen Ausdruck findet, in den reichbewegten Formen der römischen Bauornamentik sich eher befriedigen mußte, als in den schlichten, griechischen Architekturen, dann, daß die Renaissancebauten Mauerbauten waren, bei denen vor allem Wände dekoriert werden sollten, so daß sie in den reich dekorierten Mauern römischer Bauten ihr gegebenes Vorbild hatten: der strenge griechische Säulenbau mit seinen frei tragenden Stützen konnte für diese Aufgaben keine Lösungen bieten. Dafür, daß die Antike für die Renaissance im Grunde keine Triebkraft, sondern nur ein Hilfsmittel war, ist beweisend, daß sie sich nicht im päpstlichen Rom entwickelte, wo die meisten und reichsten Römerbauten damals noch standen, sondern in Florenz, das fast ohne antike Überreste war, wo aber ein freies und starkes Bürgertum sich entwickelte in einem Kampf, der halb kaufmännische Konkurrenz, halb Ringen um die Macht war.

Diese Entwicklung der Persönlichkeit ist das wichtigste Ergebnis der vorhergehenden Jahrhunderte und die Schöpferin der Renaissance, die man meist um 1420 beginnen läßt. An Stelle der christlichen Demut tritt der bürgerliche Stolz, an Stelle der Aufgabe der Persönlichkeit ihre Pflege, an Stelle des Feudalismus die städtische Freiheit. Durch ihren Handel erstarkt, erobern sich die Städte mit geworbenen Söldnern oder Bürgerheeren einen Platz in der Reihe der Fürsten. Waren sie bisher um ihres Reichtums willen Objekt des Streites zwischen diesen, so erwerben sie jetzt mit diesem Reichtum das Recht ihrer Freiheit. Diese neue Macht hat in Italien vielleicht früher ihre Erfolge errungen, als nördlich der Alpen. Es genügt an die Schlacht von Legnano zu erinnern, wo der langobardische Städtebund Friedrich Barbarossa schlug. Es war der

Stolz des Bürgers, Glied einer freien Stadt zu sein, die er mitregierte, und so entstanden alle jene kleinen, aber mächtigen Stadtrepubliken. Aber es war derselbe Bürgerstolz, der den einzelnen antrieb, in diesem Staat unter den Mitbürgern sichtbar zu sein, hervorzuragen durch Macht und Wissen, und so erscheinen jetzt alle jene Mäzene, alle jene geschmackvollen Dilettanten, erwacht jenes große bewegte Leben der Epoche, das uns Heutigen noch in seiner leuchtenden, blühenden Triebkraft wie das Ziel einer Sehnsucht vor Augen steht. In keiner Zeit war der Ehrgeiz so allgemeine Triebfeder für den Feldherrn wie für den Staatsmann, den Gelehrten wie den Künstler, in keiner Zeit aber wurde auch der Tüchtige so geschätzt. Es ist bezeichnend für die Differenz zweier Weltanschauungen, wenn Dürer aus Venedig schreibt: „Hier bin ich ein Herr, daheim ein Schmarotzer.“ Der Künstler des Mittelalters war fast stets anonym gewesen. Je mehr man sich der Renaissance nähert, auf desto mehr Künstlernamen trifft man. Während noch die Meister der Frührenaissance selten ihre Bilder signieren, und nur die allgemeine Wertschätzung das Ziel ihres Ehrgeizes ist, während Botticelli Truhenbretter bemalt, und Verocchio Turnierfahnen, also das Gefühl eines Unterschiedes zwischen Kunst und Handwerk noch völlig fehlt, setzt man später auf jedes lächerlich geringfügige Bildchen seinen Namen und arbeitet ebenso für seinen Ruhm wie für das Werk, bis schließlich die Arroganz eines Barockmeisters wie des Cellini unerträglich wird. Das geht so weit, daß man schon in der frühen Renaissance von dem kaum verlassenen Stil mit allertiefster Verachtung spricht, so daß damals das Wort „Gotik“ geprägt wird im Sinne einer barbarischen Kunst, über die man sich hoch erhaben fühlte.

Allein dieser Gegensatz war nicht so einschneidend, wie die Epoche glaubte. Das neue Kunstwollen ist zwar von vornherein sehr stark, die Problemstellung sehr neu, aber die Lösungen entwickeln sich auf der Basis der gotischen. Der erste Florentiner RenaissanceArchitekt, Brunelleschi (1377–1446), stellt die Tendenzen des neuen Stiles fast dogmatisch fest, und doch hat seine Kuppel des Florentiner Domes noch viel gotische Streckung, und seine Capella Pazzi noch die Dreiteilung mittelalterlicher Kirchen in Vorhalle, Hauptraum und Altarnische, ohne daß die Kuppel über dem

Mittelraum für mehr als nur für diesen ein Sammelbecken wäre. Erst die Hochrenaissance bringt in Bramantes Tempietto die absolute Vereinheitlichung des Raumes unter einer Kuppel. Wichtiger ist in diesem unkirchlichen Zeitalter der Profanbau, für den ebenfalls die Gotik den Typus, zugleich mit der bürgerlichen Gesinnung überhaupt, schon vorgebildet hat (Abb. 1). Die Rathäuser der Städte mußten in jenen Zeiten der Kämpfe von Stadt gegen Stadt, von Partei gegen Partei feste Gebäude, Kastelle im kleinen sein, Bauten, deren starke Mauern nur von kleinen Fenstern durchbrochen werden durften, während im Hofraum freiere Dekoration sich entfalten konnte. Das ist die gegebene Form der Feste, wie schon die deutschen Burgen der romanischen Zeit sie haben, und wie sie selbst dem Heidelberger Schloß noch zugrunde liegt. Diese kleinen Städte Italiens aber geben vielleicht ihre reinste Form, weil dort die kirchlichen Einbauten fehlen, die in Deutschland üblich sind, und nicht die Plattform einer Bergkuppe ihren Grundriß bedingt. Er ist so knapp wie denkbar, rein quadratisch, die Mauern sind nur in ganz kleinen Fenstern und knappen Türen nach außen geöffnet, der kraftvoll horizontale Abschluß des Daches ist mit wehrhaften Zinnen gekrönt; aber die kleinen Simse, die sich unter den Fenstern um das Gebäude herumziehen, zeigen doch, daß man sich der gedrungenen Kraft dieser Horizontalen bewußt ist und ihr durch die Parallele Nachdruck geben will. Nur der Turm durchbricht, senkrecht emporsteigend, die Richtung dieser ruhenden Linien, ein ungesucht starker Akzent in diesem Bau, der als Ganzes die Energie eines neuen bürgerstarken Zweckgefühls in Formen von selbstbewußter Klarheit ausspricht. Nach dem Hof zu aber öffnen sich schon jetzt im Erdgeschoß säulengetragene Arkaden, umgürten weitgeöffnete Fensterreihen die oberen Stockwerke.

Abb. 1. Florenz. Palazzo Vecchio.
Abb. 2. Florenz. Palazzo Strozzi.

Abb. 3. Rom. Fenster der Cancelleria.

Und nun ist das Verhältnis dieser gotischen Form zum Palazzo der Frührenaissance dasselbe, wie das der frühchristlichen zur romanischen Basilika. Was vorher dumpf war, wird jetzt klar funktionell ausgedrückt, wobei allerdings wichtig ist, daß dieses Zeitalter an und für sich bewußter schafft als das Mittelalter. Der Palazzo Strozzi (Abb. 2) drückt die Bauwerte viel redender aus, als St. Michael in Hildesheim, und bei ihm und seinen Stilverwandten ist die Wagerechte nicht allein Zweck- sondern schon Ausdrucksform. Ein weit ausladendes Kranzgesims ist an die Stelle des Zinnenkranzes gesetzt worden, mit der ästhetischen Funktion, das

Haus in stark betonter Horizontallinie abzuschließen. Am Fuß des Gebäudes wirken die starken wagerecht fortlaufenden Ruhebänke ebenso als Sockel, und zwischen diesen Hauptlinien wiederholt sich die Wagerechte zweimal in den Simsen, die unter den Fensterreihen hinlaufen und hier nicht mehr, wie beim gotischen Palazzo, schmale Linien, sondern regelrechte Simse von äußerst kräftiger Profilierung sind. Hier eine Parallele zur Energie der Wagerechten im romanischen Stil zu sehen, ist ganz logisch. Aber sie ist hier mehr, als nur der Steinschichtung abgewonnene Begrenzungslinie, wie auch die Wand mehr Absichten hat, als nur Raumabschluß oder Dachstütze zu sein. Indem die Renaissance die Mächtigkeit der einzelnen Quader innerhalb des Gefüges dadurch ausdrückt, daß sie die Fugen tief als beschattete Linien einschneidet (sog. Rustika), erzielt sie mehr den Eindruck von Körper als von Fläche, von Mauer als von Wand. Fenster und Türen sind nicht mehr bloße Öffnungen in der Mauer, wie noch im Palazzo Vecchio. Symmetrisch angeordnet, bestimmen sie die Gliederung der Wand, und es ist ausdrucksvoll, wie die Rustika, daß man den Bogen, der sie oben abschließt, in seiner Technik, dem Keilschnitt, angibt. Nun sieht man, wie fest die Steine ineinander verkeilt sind, und weiß, wie sicher der Bogen die darüber lastende Mauermasse trägt. Später wird sogar der mittelste Keilstein, wie der Schlußstein im gotischen Gewölbe, durch seinen Schmuck noch besonders hervorgehoben (Abb. 4), weil er dem Bogen den sicheren Zusammenhalt gibt. Ebenso schließt sich der Hof mit offenen Bogengängen im Erdgeschoß an den ursprünglichen Plan der Gotik an; aber alle gotisch eckig profilierten Formen sind auf einfachere Querschnitte unter Zugrundelegung antiker Formen zurückgeführt aus Pfeilern, die Spitzbögen trugen, sind korinthisierende Säulen mit Rundbögen geworden, besonders aber bevorzugt man den Pilaster als Rahmenform für Fenster und Türen, als Stützform bei Grabmälern oder als Wanddekoration. Aber all diese Formen werden viel schlanker, dünner und graziler; ja man kann sagen, daß in der Betonung der kantigen Randlinien beim Pilasterschaft ein Rest gotischen Gefühles liegt und ebenso in der knolligen Behandlung der Akanthusblätter, die, in springbrunnhaft aufsteigender Anordnung auf der eingesenkten Mitte des Pilasters angebracht, dessen Bewegung

mit ihrem Aufsteigen begleiten. Erst allmählich mit dem wachsenden Vollklang des Stiles werden diese Formen breiter, üppiger und gesammelter. Zugleich wird die Palastfassade auf größere Wirkungen gestimmt. Allein auch zum 16. Jahrhundert, der Hochrenaissance, vollzieht sich der Übergang ganz allmählich. Ein Palast, wie die um 1500 von Bramante gebaute Cancelleria (Abb. 3), geht noch auf einen Typus der Frührenaissance zurück, in dem indessen Keime für Zukünftiges lagen. Fest im Umriß und in der Begrenzung, sind auch bei der Cancelleria die Horizontallinien der unter den Fenstern durchgeführten Simse noch die wichtigsten Gliederungen, scheint die Wand um die kleinen Fenster von ungebrochener Festigkeit. Aber in der Gliederung der Mauerflächen machen sich dennoch neue Tendenzen fühlbar, wenn auch nur in den beiden oberen Geschossen, während das untere der starke Träger bleibt. Man muß eine ruhige Wandfläche, wie die des Palazzo Strozzi, damals beinahe schon als kühl, als unbelebt empfunden haben. Wie die Stärke der Zeit im Widerspiel der strebenden Kräfte sich äußert, so gestaltet man die Mauer ausdrucksvoller, indem man außer der wichtigen Horizontale, die die Hauptlinie bleibt, die Vertikale als Wandgliederung anwendet, zwar nur schüchtern als antikisierender Pilaster zwischen die horizontalen Simse gestellt und wenig aus der Wand hervorspringend, aber um so wirksamer, als sie zugleich den Fenstern, die sie aus der Wand herauslöst, ihren besonderen Wert innerhalb der Fläche gibt. Das Fenster ist jetzt nicht mehr ein Loch in der Mauer, sondern selbständiger Bauteil. Es wird durch einen Rahmen gegen die Mauerfläche abgegrenzt, außerordentlich energisch dadurch, daß dieser nur innen den Konturen des Fensters folgt, außen aber rechteckig ist, wie die Wandglieder. Allein obgleich diese Zusammenfassung sehr geistvoll ist, wird man gerade hier einen Zwiespalt fühlen, der für die neue Absicht charakteristisch ist. Keine Frage: gegenüber der strengen Folgerichtigkeit der Wand beim Palazzo Strozzi stellt sich nun als Gliederung eine Dekoration ein, die ihren eigenen Ausdruck hat und die Struktivität der Mauer vernichtet. Es ist kein Zufall, daß das Kranzgesims hier weit weniger vorragt, an den äußersten Ecken Pilaster die scharfen Kanten der zusammenstoßenden Wände abschwächen, die horizontalen Simse verdoppelt werden, und

dadurch den Hauptlinien viel von ihrer Kraft genommen wird, sie gewissermaßen zerfließen. Unzweifelhaft bedeutet auch hier der neue Reichtum des Ausdrucks eine Schwächung der Gesetzmäßigkeit. Und nun kann man stufenweise die konsequente Weiterentwicklung dieser Prinzipien verfolgen, wie Fenster und Pilaster allmählich immer kräftiger, die Wände immer schwächer werden, bis schließlich die Bauten des Palladio (1508–1580) in Vicenza oder des Jacopo Sansovino die letzte Stilstufe bezeichnen, auf der eine einheitliche Wirkung, allerdings bereits von ganz malerischer Art, noch möglich ist. Die Wand des Untergeschosses von Sansovinos Markusbibliothek in Venedig (Abb. 4) öffnet sich in weiten Bögen, die durch dekorierende Säulen voneinander getrennt sind. Noch ziehen über ihnen die Simse und Friese in horizontalen Reihen, aber die beherrschende Kraft ihrer Linien zersetzt sich. Ein dorischer Fries mit Tropfenregula, von deren vermittelndem Sinne schon die Rede gewesen ist, führt vom Untergeschoß aufwärts, und ebenso allmählich oberhalb des trennenden Simses die Balustergalerie. Es kommt dazu, daß nicht nur die oberen Säulen mit den unteren korrespondieren, sondern daß die oberen Säulen innerhalb der Balustergalerie auf isolierten Sockeln stehen und so die Linien der unteren für das Auge geradezu fortsetzen. Wie die Fenster dieses Stockwerks eleganter, zierlicher sind als die Bögen des Untergeschosses, auf denen es lastet, so ist auch die abschließende Horizontale noch weicher behandelt als das trennende Sims zwischen beiden. Sie ist geradezu aufgelöst, nach unten in ein breites Friesband von kränzetragenden Putten, durchbrochen von kleinen Fenstern, nach oben in eine freistehende Balustergalerie (Attika), die den ganzen Bau weich in die Luft sich lösen läßt. Allein auch diese Auflösung wird von den vertikalen Linien unterstützt. Die Putten im Fries nehmen die Linien der Säulen auf und führen sie in eine Basis hinauf, auf der jedesmal eine Statue steht, von allegorischer Bedeutung, was nebensächlich ist, aber mit der Funktion, auch die letzte Horizontallinie, die obere Begrenzung der Attika, zu zerstören und den Abschluß noch weicher zu gestalten. Es beginnt also die Auflösung der Wagerechten zugleich mit der Auflösung der Wand weiter vorzuschreiten und zu ihrer tatsächlichen Zerstörung durch die Durchbrechung gesellt sich ihre

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