Buy cheap A first book of quantum field theory (second revised edition) amitabha lahiri ebook downlo
A First Book of Quantum Field Theory (Second Revised Edition) Amitabha Lahiri
Visit to download the full and correct content document: https://textbookfull.com/product/a-first-book-of-quantum-field-theory-second-revised-e dition-amitabha-lahiri/
More products digital (pdf, epub, mobi) instant download maybe you interests ...
There has not been any drastic changes in the present edition. Of course some of the typographical and other smaH mistakes, posted on the internet page for the book, have been corrected. In addition, we have added OCC8Ssional comments and clarifications at some places, hoping that they would make the discussions more accessible to a beginner.
The only serious departure from the first edition has been in the notation for spinor solutions of the Dirac equation. In the previous edition, we put a subscript on the spinors which corresponded to their helicities. In this edition, we change the notation 'towards what is more conventionaL This notation has been introduced in §4.3 and explained in detail in §4.6. We have received many requests for posting the answers to the exercises. In this edition, we have added answers to some exercises which actually require an answer. The web page for the errata of the book is now at
If you find any mistake in the edition, please inform us through this web page.
It is a pleasure to thank everyone who has contributed to this book by pointing out errors or asking for clarifications. On the errata page we have acknowledged all correspondence which have affected some change. In particular, comments by C. S. Aulakh, Martin Einhorn and Scan Murray were most helpful.
Amitabha Lahiri Palash B. Pal
July 2004
Preface to the first edition
It has been known for more than fifty years that Quantum Field Theory is necessary for describing precision experiments involving electromagnetic interactions. Within the last few decades of the twentieth century it has also become clear that the weak and the strong interactions are well described by interacting quantum fields. Although it is quite possible that at even smaller length scales some other kind of theory may be operative, it is clear today that quantum fields provides the appropriate framework to describe a wide class of phenomena in the energy range covered by all experiments to date.
In this book, we wanted to introduce the subject as a beautiful but essentially simple piece of machinery with a wide range of applications. This book is meant as a textbook for advanced undergraduate or beginning post-graduate students. For this reason, we employ canonical quantization throughout the book. The name of the book is an echo of various children's texts that were popular a long time ago, not a claim to primacy or originality.
Our approach differs from many otherwise excellent textbooks at the introductory level which set up the description of electrons and photons as their goal. For example, decays are rarely discussed, since the electron and the photon are both stable particles. However l decay processes are in some sense simpler than scattering processes, since the former has only one particle in the initial state whereas the latter has two.
We felt that the basic machinery of Feynman diagrams could be introduced through decay processes even before talking about the quantization of spin-l fields. With that in mind , we start with some introductory material in Chapters 1 and 2 and discuss the quantization of scalar fields in Chapter 3 and ofspin-4 fields in Chapter 4. Unlike many other texts at this level, we use a fermion normalization that should he applicable to massless as well as massive fermions. After that we discuss the generalities of the S-matrix theory in Chapter 5, and the methods of calculating Feynman diagrams, decay rates, scattering cross sections etc. with spin-O and spin-! fields, in Chapters 6 and 7.
The quantization of the spin-l fields, with special reference to the phovii
ton, is taken up next in Chapter 8. After this, we have a detailed introduction to quantum electrodynamics in Chapter 9, where we introduce the crucial concept of gauge invariance and give detailed derivations of important scattering processes at their lowest orders in perturbation theory.
Discrete symmetries can serve as a good guide in calculating higher order corrections. With this in mind, we discuss parity, time reversal, charge conjugation, and their combinations, in Chapter ] O. Unlike most other textbooks on the subject which describe the P, T, C transformations only in the Pauli-Dirac representation of the Dirac matrices, we present them in a completely representation-independent way. Since other representations such as the Majorana or the chiral representations are very useful in some contexts, we hope that the general formulation will be of use to students and researchers.
We calculate loop diagrams in Chapter 11, showing how to use symmetries of a problem to parametrize quantum corrections. In this chapter, we restrict ourselves to finite contributions only. Some basic concepts of renormalization are then described, with detailed calculations, in Chapter 12. Only the electromagnetic gauge symmetry is used in these two chapters for illustrative purpose. But this leads to a more general discussion of symmetries, which is done in Chapter 13. This chapter also discusses the general ideas of symmetry breaking, and the related physics of Nambu-Goldstone theorem as well as its evasion through the Higgs mechanism. This is followed by an introduction to the Yang-Mills (or non-Abelian) gauge theories in Chapter 14. Finally, a basic introduction to standard electroweak theory and electroweak processes is given in Chapter 15. In keeping with our overall viewpoint, we discuss decays as well as scattering processes in this chapter.
We have tried to keep the book at the elementary level. In other words, this is a book for someone with no prior knowledge of the subject, and only .a reasonable familiarity with special relativity and quantum mechanics. To set the stage as well as to help the reader, we visit briefly the relevant parts of classical field theory in Chapter 2. A short but comprehensive introduction to group theory also appears in Chapter 13, since we did not want to assume any background in group theory for the reader.
The most important tools to help the reader are the exercise problems in the book. These problems are not collected at the ends of chapters. Instead, any problem appears in the place of the text where we felt it would be most beneficial for the reader to have it worked out. Working it out at that stage should also prepare the reader for the ensuing parts of the chapter. Even if for some reason the reader does not want to work out a problem at that stage, we suggest strongly to at least read carefully the statement of the problem before proceeding further. Some of the problems come with notes or hints, some come with a relation that might be useful later. A few of the problems are marked with a * sign, implying that they
Preface
might be a little hard at that stage of the book, and the reader can leave it at that point to visit it later. A few have actually been worked out later in the book, but we have not marked them.
The book was submitted in a camera-ready form to the publishers. This means that we are responsible for all the mistakes in the book, including typographical ones. We have spared no effort to avoid errors, but if any has crept in, we would like to hear about it frum the reader. We have set up a web site at http://tnp. saha. ernet. in/rvpbpal/qftbk .html containing errata for the hook, and a way of contacting us.
The book grew out of courses that both of us have taught at several universities and research institutes in India ami ahroad. We have ben· efited from the enquiries and criticisms of OUl' students and colleagues. Indrajit Mitra went through the entire manw;cript carefully and offered numerous suggestions. Many other friends and colleagues also read parts of the manuscript and made useful comments, in particular Kaushik Bhat· tacharya, Ed Copeland, A. Harindranath, H. S. Mani, Jose Nieves, Saurabh Rindani. Those who have taught and influenced liS through their lectures, books and papers are too numerous to name sepa.rately. We thank them all.
We thank our respective institutes for extending various facilities while the book was being written.
Amitabha Lahiri Pal ash B. Pal
April 2000
Notations
JJ., II, Space-time indices of a vector or tensor.
p Magnitude of the 3-vector p, i.e., Ipl. We have used p2 and p2 interchangeably. The magnitude of the co-ordinate 3-vector has been denoted by r.
a· b Scalar product of 3-vectors a and b, a. b = aib i == I: aib i
a· b Scalar product of 4-vectors a and b, a· b = al-'b,.. =- L: aP-b,.. = aObo - a· b.
;. "'(/Jaw
!L' Lagrangian density, frequently called Lagrangian.
L Total Lagrangian (; f d3 x Z).
PI Action (; f dt L ; f Z) .
.Ye Hamiltonian density, frequently called Hamiltonian.
H Total Hamiltonian (; f d3 x£').
lA, Blp Poisson bracket of A and B.
lA, BI_ Commutator AB - BA.
lA, BI+ Anticommutator AB + BA.
a(p), at (p) Annihilation and creation operators for antiparticles of particles created by at(p) and annihilated by a(p), first encountered in §3.6.
8(x) Unit step function, defined in Eq. (3.13).
:[000]: Normal ordered product, first defined in §3.4. 5' I···j Time ordered product, first defined in §3.7.
AT Transpose of t.he matrix A.
At For any matrix A, At =::. !'oAfl'D . (Ti Pauli matrices, given in Eq. (4.55).
r i Same as (Ti, hut thought of as generators of some internal SU(2) symmetry.
le- (p, s)) Electron state of 3-mornentum p and spin s, first defined in §6.2.
6.F(p) Feynman propagator for scalar field in momentum space.
SF(p) Feynman propagator for fermion field in momentum space.
DJw{p) Feynman propagator for vector hoson field in momentum space.
e Electric charge of proton. Electron carries charge -e.
a Fine structure constant, first defined in §1.5.
e- Electron.
"'Y Photon.
S/i S-matrix element between initial state Ii) and final state If} .
.4lfi Feynman amplitude between initial sLate Ii} and final state If).
1_4f1
2 Magnitude squared of Feynman amplitude after making spin and polarization sums and averages.
lit Polarization vector for a vector boson.
,
P Parity transformation operator, defined in Ch. 10.
C Charge conjugation operator.
T Time reversal operator.
P Matrix of parity transformation acting on a fermion.
C Matrix of charge conjugation acting on a fermion.
T Matrix of time reversal acting on a fermion.
x Parity transformed system of co-ordinate::;, i = (t, -x).
r It General electromagnetic vertex, first. defined in §11.1.
E For dimen::;ional regularization in N dimensions, E = 2- !N.
dN Rank of I'-rnatrices in N-dimensional space-time, tr hpl'v) = d N 9l w '
Ta Generators of a Lie group.
fabc Structure constants of a Lie group, IT", Tbl- = ifnbcTc.
DI • Gauge covariant derivative D,! = a/. +
3.4
3.6
6
6.1
6.3
7.3
7.4
7.5
7.6
7.2.1
7.2.2
7.4.1
7.5.2
Contents
8 Quantization of the electromagnetic field
8.1 Classical theory of electromagnetic fields.
8.2 Problems with quantization
8.3 Modifying the classical Lagrangian
8.4 Propagator .... ....... ..
8.5 Fourier decomposition of the field ".
8.6 Physical states ..... . ...
8.7 Another look at the propagator
8.8 Feynman rules for photons.
9 Quantum electrodynamics
9.1 Local gauge invariance .
9.2 Interaction Hamiltonian
9.3 Lowest order processes
9.4 Electron-electron scattering
9.5 Electron-positron scattering
9.6 e-e+ --+
9.7 Consequence of gauge invariance
9.8 Compton scattering .
9.9 Scattering by an external field .
9.10 Bremsstrahlung . lOP, T, C and their combinations
10.1 Motivations from classical physics .
10.2 Parity
10.2.1 Free scalar fields
10.2.2 Free Dirac field .
10.2.3 Free photon field
10.2.4 Interacting fields
10.3 Charge conjugation.
10.3.1 Free fields .
10.3.2 Interactions.
10.4 Time reversal
10.4.1 Antilinearity
10.4.2 Free fields .
10.4.3 Interactions
10.5 CP
10.6 CPT
11 Electromagnetic form factors
11.1 General electromagnetic vertex
11.2 Physical interpretation of form factors
11.2.1 Charge form factor F 1
11.2.2 Anomalous magnetic mOE1ent F 2
11.2.3 Electric dipole moment F 2
11.2.4 Anapole moment F3 .........
11.3 Anomalous magnetic moment of the electron
11.4 Charge form factor . ...
11.5 Electron- proton scattering
12 Renormalization
12.1 Degree of divergence of a diagram .
12.1.1 Superficial degree of divergence
12.1.2 Superficial vs. real degree of divergence
12.2 Specific examples in QED
12.3 Outline of the program .
12.4 Ward-Takahashi identity .
12.5 General forms for divergent amplitudes .
12.5.1 Fermion self-energy.
12.5.2 Vacuum polarization
12.5.3 Vertex function .........
12.6 Regularization of self-energy diagrams
12.6.1 Vacuum polarization diagram
12.6.2 Fermion self-energy diagram.
12.7 Counterterms .. .. . .
12.7.1 Vacuum polarization diagram
12.7.2 Fermion self-energy diagram.
12.7.3 Vertex function .
12.8 FUll Lagrangian .
12.9 Observable effects of renormalization
12.9.1 Modification of Coulomb interaction
12.9.2 Running coupling constant
12.9.3 Cancellation of infra-red divergences
13 Symmetries and symmetry breaking
13.1 Classification of symmetries
13.2 Groups and symmetries .
13.2.1 Symmetry group .
13.2.2 Examples of continuous symmetry groups
13.2.3 Generators of continuous groups
13.2.4 Representations
13.3 Approximate symmetries. ......
13.4 Spontaneous breaking of symmetries
13.4.1 Discrete symmetry
13.4.2 U(I) symmetry .
13.4.3 Non-Abelian symmetry
13.5 Goldstone's theorem
13.5.1 Appearance of massless states.
13.5.2 Examples of Namhu-Goldstone hosons·.
14.1
14.2
14.3 Interactions of
14.3.1
14.3.2
14.4 Equations of motion and conserved
14.5 Quantization of non-Abelian
15.1
15.1.2
15.2
15.2.1
15.2.2
15.2.3
15.3 Fermions in the
15.3.1
15.3.2
15.3.3
15.3.4
15.4
15.5 Scattering
15.5.1
15.5.2
15.5.3
15.6 Propagator
15.7
A.l
A.3
A.4
Chapter 1
Preliminaries
The era of quantum mechanics began when Planck postulated that the modes of radiation of angular frequency w could be counted as particles with energy E = fu.J, and derived the iaw of blackbody radiation without running into infinities. The physical implications of this fundamental postulate became clearer when Einstein showed that quantization of radiation also explained the frequency dependence of photoelectric effect. This soon led to a proliferation of new ideas due to Bohr , Dirac, Born, SchrOdinger, Heisenberg and many others, who appiied the idea of quantization to particles and found remarkable success in describing subatomic phenomena. Dirac even constructed a relativistic theory of the electron, which was in excellent agreement with subatomic experiments. Despite its success, there were some essential shortcomings of quantum mechanics of particles.
1.1 Why Quantum Field Theory
One of these shortcomings was philosophical. Quantum mechanics started with the description of light in terms of photons, but the classical description of light was in terms of propagating electromagnetic fields. So a theory of photons required a prescription or how to quantize fields , a missing link between the two descriptions. As we shall see in the next several chapters, the structure required to quantize electromagnetic fields can be used to describe all elementary particles as quantum fields. Even the relativistic wave equation of Dirac was found to have the simplest description ill terms of quantum fields
Chapter 1. Prelirninades representing electrons and positrons.
Another problem of particle quantum mechanics is that it is valid in the non-relativistic regime by definition. This is not just because it uses non-relativistic Hamiltonians to solve various problems. In fact, the whole design of non-relativistic quantum mechanics defies relativity. For example, it uses the concept of potentials, which is untenable in any relativistic theory since it assumes the transfer of information at an infinite speed. Moreover, space and time are treated very differently in non-relativistic quantum mechanics. The spatial co-ordinates are operators, whereas time is a parameter 1 and we typically study the evolution of different operators, including the spatial co-ordinates, in time. Dirac equation, although covariant, treats space and time on different footings. In a truly relativistic theory, space and time should merge into a space-time, and one cannot make such fundamental distinction between the spatial part and the temporal part.
There is a practical problem as well. In llature there are processes in which new particles are created or annihilated. For example {3decay can be thought of as the decay of a neutron into a proton, an electron and an anti-neutrino:
(1.1)
The neutron is annihilated in this while the proton. the electron etc are created. Quantum of particles deals with stable particles and their motions in various potentials. Without quantization of fields, any calculation involving the creation or annihilation of particles was essentially ad hoc if not downright wrong. Quantum Field Theory, by incorporating creation aud annihilation of quanta or particles as its essential feature, allowed meaningful calculations of experimentally verifiable results.
When one goes to the relativistic regimc, onc cncounters the pos· sibility of creating new particles from ellcrgy. For example, if an e1ectron and a positron collide with sufficient cllergy, the collision process can create extra electron-positron pairs:
(1.2)
This of course call happell only if the total killctic energy of the initial e- e+ pair is larger than the rest mass energy of the extra pair to be
1.2. Creation and annihilation operators 3
created. To allow for such possibilities, one requires some mechanism to describe particle creation.
Even when the initial and the final states of a problem involve the same particles, a quantum process can go through intermediate states involving other particles which are created and destroyed in the process. Such intermediate states can contribute to the amplitude of the process and affect the result. It is important to consider these possibilities when one wants to make precision tests of quantum theory. The creation and annihilation of the intermediate particles in such cases can be handled only by going over to Quantum Field Theory.
1.2 Creation and annihilation operators
We now recall one problem in non-relativistic quantum mechanics which can be solved by the introduction of operators which create and annihilate quanta. This is the problem of the simple harmonic oscillator. Here we review this topic since it will be very useful for building up Quantum Field Theory in subsequent chapters.
The Hamiltonian of the one-dimensional oscillator is given by H = (p2 + m 2 w 2 x 2) . (1.3)
We define the following combinations of x and p: a=J1 (P-imwx),a t =J 1 (p+imwx),(1.4) 2mliw 2mliw
sa that the Hamiltonian is H = (ala + aa t ) (1.5)
If p and x were purely classical objects, we could have written H = aa t 1iw = atanw. But they are not. In Quantum Mechanics, they are operators which satisfy the commutation relation [x,pj_ == xp - px = ih. (1.6)
This implies that the objects a and at, defined in Eq. (1.4), are also operators. Unlike x and p, these are non-hermitian operators, and they satisfy the relation
[a,atl_ = 1. (1.7)
Chapter 1. Preliminaries
Moreover, they have the crucial property which can easily be checked directly from Eqs. (1.3) and (104):
[H,ul- = -fu.Ju, IH,atl_ = /twa!. (1.8)
If we use the commutation relation of Eq. (1.7), we can rewrite the Hamiltonian as (1.9)
The relations in Eq. (1.8) implies that, if In) is an eigenstate of H with eigenvalue En. i.e., if
H In) = En In) , (1.10)
then the states a In) and at In) are also eigenstates:
Ha In) = (En - fu.J)a In), Hat In) = (En + fu.J)a t In) . (1.11)
In other words, the operator a seems to annihilate a quantum of energy, of amount hw, from the state. On the other hand, at creates a quantum of energy. In this sense, they are the annihilation and the creation operators, respectively. Of course, in any physical process energy must be conserved, so the operators a or at cannot appear alone in the expression of any measurable quantity. For example, in the expression for the Hamiltonian they appear together 1 as we see in Eq. (1.9).
The ground state can be denoted by 10). Since this is the state of lowest energy, the annihilation operator a, acting on it l cannot produce a state of lower energy. Thus, this state must be totally annihilated by the operation of a:
alO) = 0.
Using Eq. (1.9) now, we can easily find its energy eigenvalue:
H 10) = 10) . (1.12) (1.13)
The first excited state, which we will denote by II), can be defined by the state whose energy is larger than the ground state by one quantum, i.e.,
II} = at 10) (1.14)
1.3. Special relativity
The normalized n-th excited state is defined by 5 It is easy to see that the energy eigenvalue of the state In} is given by 1
n =(n+ 2)1iw. (U6)
o Exercise 1.1 If the ground state is norma.lized, i.e., if (O 10) = 1, ShOUl tha.t the excited states defined bll Eq. (1.15) a.re also normalized.
o Exercise 1.2 The number opera.tor is de.fined b1J JV=ata.
Sh.om tha.t its eigen'Uo.lue in the state giuen in Eq. (1.15) is n. (1.17)
o Exercise 1.3 Construct the Hamiltonian for n fS'ystem of N simple harmonic oscillators of frequencies Wi. i = 1, ... , N.
Construct the normalized state in which the i-tll. oscilla.tor is in the ni·th excited state.
Construct the number operator and ShOUl that its eigen1Julue in the nbo'lle stnte is 2::i nj.
o Exercise 1.4 Suppose in a. system there nre operators which abell a.nticommuto.tion rela.tions [an a11+ == aral + = OrlJ and lar,a.lll+ = O. foT' T.S = 1.···,N. Construct the generic norm.o.l· \Zed. excited state. ShOUl that no state can huve two Of' mof'C qua.nta of the same s'Pecies.
1.3 Special relativity
Since our goal is to discuss relativistic field theories. here we give a quick summary of the mathematical structure of special relativity, which will help in setting up the notation. In special relativity, the three spatial co-ordinates and time define the four components of the position 4-vector, which we will denote by x p In keeping with established practice, we shall use Greek indices
J.l., v, A, to denote components of a four-vector. and Latin indices i,l, k, to denote its spatial components. In other words, Greek
Chapter 1.
Preliminaries
indices take on values 0,1,2,3, while Latin indices take on values 1,2,3. Thus, x" == (xO,x i ) == (cl,x) , (1.18) (1.19)
where the factor of c is put in so that all components have dimensions of length. Here c is the speed of light in the VlUOuum, which is frameindependent according to one of the fundamental axioms of special relativity. The distance I between two points x and y in space-time can be written in terms of the Cartesian coordinates as 3 [2 = (xo yO)2 yi)2 1=1
We can write this in a compact form by defining the metric tensor 9"v by (1.20)
Here, the values of the various components of the metric tensor are 9"v=diag(I,-I,-I,-I), (1.21)
which means that 900 = +1, 911 = 922 = 933 = -I, and 9"v = 0 if J.I. # v. In addition, we have used the summation convention, which says that any index which appears twice in the same term is summed over. We can use the metric to lower the indices, e.g.: (1.22)
Similarly, one can use the inverse of the matrix gpoV} which will be denoted by gpo-v} to raise the indices: x lt = glt V xv ·
The inverse matrix must satisfy gP-V gv>. = = gJJ.\. }
where denotes the Kronecker delta which is defined by ={ 1 if I" = A > 0 if I" ;l A. (1.23) (1.24) (1.25)
1.3. Special relativity
Under a Lorentz transformation, the co-ordinates transform as 7 (1.26)
where the specific form of the matrix A is not very important for our purposes. These transformations are defined to be the ones which leave invariant:
Since this must equal 9 pq X P X(1, we obtain the relation A" - 9p.v p (1 - gpa I which the Lorentz transformation matrices must satisfy. (1.27) (1.28)
o Exercise 1.5 Using the definition in Eq. (1.22), Lorentz tra.nsjo1"'ffio.tion rule for X JJ is giucn b1J show that the (1.29)
o Exercise 1.6 [f 0. primed frame of reference moues with respect to an unprimed onf'. with a. uniform 'llelocitll v along the common xnris, the Lorentz transformation equa.tions between the co-ordinates in the two frames a.re gillen by t' = '"((t - vx/c'), x' = '"((x - vt), y' = y, z' = z, (1.30)
'Where "t = (1 - v 2 /c 2) -1/2. Show that these tra.nsfonna.tions can be 'Written in the joT'Tl\ oj Eq. (1.26) with A/ w = g/UI +WjJ.V for infin.itesimal unlues of v, wheTe WjJ.V = -WVjJ.'
Any object that remains invariant like xjJ.xjJ. is a scalar quantity. Any four-component object that transforms like xl-'- is called a contravariant vector, whereas a four-component object transforming like x!' is a covariant vector.
The scalar product of two vectors and will be written as
= = AoB o + A,B' = AOBo - A· B, (1.31) where A· B is the usual three-dimensional scalar product. If </>(x) is a scalar function, so is a small change in it:
Chapter 1. Preliminaries
Since the right side is a scalar while 6xp.. is a contravariant vector, It must be a covariant vector, which will be denoted. by 8p..rP, with the identification
For some arbitrary vector Ap.. I
The wave operator 0 is a scalar operator I
The momentum 4-vector of a particle is given by (1.34) (1.35) (1.36)
where E is the energy of the particle. The invariant scalar product is denoted hy (1.37)
where m is the rest-mass of the particle, which we will call simply mass for the sake of brevity.
o Exercise 1.7 Write Maxwell's equa.tions and the LorenbjoTce!O'rmula in 4-'UectoT nota.tion. Get the signs right!
1.4 Space and time in relativistic quantum theory
In non-relativistic quantum mechanics, the status of time and of the spatial ccrordinates are very different, as we mentioned earlier. In a relativistic theory, they must be brought to par before proceeding. This is achieved by treating space on the same footing as time, i.e., by treating the spatial co-ordinates as parameters as well. Thus, the quantities that we can talk about in relativistic quantum theories are functions of both space and time, Le., of space-time. Such functions
1.5. Natural units 9
are called fields even in classical physics. For example, in classical physics, when we talk about the electromagnetic field, we talk about the electric field and the magnetic field which are functions of the spatial co-ordinates and time. Similarly, in Quantum Field Theory, we will talk about various kinds of fields, including the electromagnetic field. In classical or quantum mechanics, we could talk about objects which were functions of time alone. But the necessity to talk about space and time on the same footing automatically requires that we talk about fields.
It is important to realize that the uncertainty relations, which form the basis of a quantum theory, should be interpreted differently for this purpose. In non-relativistic quantum mechanics, the relation (1.38)
is interpreted. in terms of the uncertainties in measurements of the ccrordinate x and the corresponding momentum pz. On the other hand, the time-energy uncertainty relation, (1.39)
is interpreted by saying that if one tries to make a measurement of energy to an accuracy the measurement process should take a time which is related to by the above relation. Now that x is also a parameter, the interpretation of Eq. (1.38) must also follow the line of that of Eq. (1.39). In other words, we should understand that the measurement of momentum to an accuracy requires that the measurement be performed in a region whose spatial extent is larger than given by Eq. (1.38).
1.5 Natural units
Elementary courses in physics start with three independent units, those of length , time and mass. As one proceeds, one introduces extra units, e.g., those of electric charge, temperature etc.
In discussions on Quantum Field Theory, it is customary to use a system of units in which there is only one fundamental unit, which we can take to be the unit of mass. The units of length and time are defined by declaring that, in this system of units, 1i=I, c=l. (1.40)
Chapter 1. Preliminaries
Table 1.1: Dimensions of various physical quantities in natural units. To go from energy units (MeV or GeV) to conventional units, we need to multiply by the conversion factor. For electric charge, 'conventional' will mean Heaviside. Lorentz unit for us.
The resulting units are called natural units, which will be used in the rest of this book. The dimensions of various quantities in these units are presented in Table 1.1. We have given the conversion factors for quantities expressed in energy units , which is universally preferred in calculations. Readers should note that most other texts give conversion factors for mass units.
The electric charge is defined in such a way that Coulomb's law· about the force F between two charges q, and q, takes the form F = q,q, r. (1.41) 47Tr 3
Thus electric charge is dimensionless, as In Table 1.1. The unit of electric charge will be taken to be the charge of the proton, e.
The fine-structure constant 0:: is related to this unit by the following relation:
o Exercise 1.8 In natural units, the inllerse lifetime of the muon is gillen b'y
where m is the muon mass, 106 MeV. Whut is the dimension of GF in natural units'? Put in the factors of rt und c so that the equation
Natural units
001\ be interpreted in con:\le.nlional. units o.s well. From th.is, jind the. lifetime in seconds if G F = 1.166 X 10- 11 in MeV units. [Hint:
Remember that MeV is a. unit oj ene'r9ll.1
Chapter 2
Classical Field Theory
Before getting into the question of quantization, we discuss in this chapter some of the basic techniques involved in the covariant formulation of classical field theories.
2.1 A quick review of particle mechanics
2.1.1
Action principle and Euler-Lagrange equations
All theories of classical physics can be described by starting from a wonderful principle called the principle of least action. Suppose we are dealing with a non-relativistic system of particles and rigid bodies. We identify a set of coordinates q,.(t) which, together with their time derivatives 4,(t), adequately describe the configuration and the evolution of the system. If we are clever enough 1 we can use our knowledge of the symmetries of the system to reduce this set to the smallest number of independent coordinates. On the other hand, in almost all the interesting cases it is useful not to make the reduction but instead choose a set of coordillates which have simple interrelations, making explicit the sym!netric:-; of the system.
We now define two objects mlled the Lagrangian L and the action .fl1, related by
The Lagrangian L is a function of the co-ordinates q, and the velocities qrl and tl and t2 are the initial and final times between which we are studying the evolution of the system. If there is a source or
A quick review of particle mechanics
sink of energy in the system under consideration, the Lagrangian can also depend explicitly on time.
The principle of least action then states that, among all trajectories that join q,(tIl to q,(t2), the system follows the one for which .PI is stationary.
To see what this implies, consider infinitesimal variations around a trajectory defined by q,(t), 4,(t): q,(t) q,(t) + oq,(t) , 4,(t) 4,(t) + :t oq,(t). (2.2)
This introduces the following variation on the action defined in Eq. (2.1): (2.3)
where we have used the summation convention for the index T. We will assume that the system is conservative, so the Lagrangian does not have any explicit time-dependence. Integrating by parts, we can then write
Since we are looking at paths connecting given initial and final configurations q,(tIl and q,(t2), we shall not vary the end points. So we set (2.5)
and the last term of Eq. (2.4) vanishes. The principle of least action states that, near the classical path, the variation of the action should be zero. Since this is true for any arbitrary variation of the path, Le., for arbitrary oq,(t), o.vl = 0 implies that
d (8L) 8L dt 84, = 8q, (2.6)
These are the equations of motion, also known as the Euler-Lagrange equations, corresponding to the co-ordinates (}r.
For a particle of mass m moving in a time-illdependent potential V(x), a convenient choice for the Lagrangian is
L = - V(x), (2.7) and the Euler-Lagrange equation as derived from this Lagrangian is :tlTlX = -V'V, as expected from Newton's second law. (2.8)
2.1.2 Hamiltonian formalism and Poisson brackets
The velocity-independent part of the Lagrangian can be thought of as generalized potential energy. So we can make the Euler-Lagrange equations look like Newton's second law by defining generalized me>menta 'conjugate to q/ as p, = "a L(q, q). uqr (2.9)
There will be one such equation for each value of the index r. Since the Lagrangian is a function of the positions and the velocities, the right hand sides of these equations are in general functions of the q's and the (j's. Let us assume that these equations are invertible, Le., the q's can be solved in terms of the positions and the momenta. Then the Hamiltonian is defined by the Legendre transformation
The terms with dqr cancel each other owing to the definition of the momentum in Eq. (2.9). The term with dq,. can be simplified by the use of the Euler-Lagrange equation and Eq. (2.9), so that we can finally write
dH = qrdpr - p,.dq,. , (2.12)
2.2. Euler-Lagrange equations in field theory 15
confirming the fact that the Hamiltonian is indeed a function of the positions and the momenta. Moreover I it directly leads to Hamilton's equations of motion:
The Poisson bracket of any two dynamical variables is defined in the following way:
[II. hlp = alI ah af, ah. aqr apr apr oqr
Using this definition, it is then trivial to check that and that the Hamilton'5 equations can be rewritten as qr = [qro H]p. Pr = jpro H]p
More generally, if f is any dynamical variable. we can write . df af f= dt = at +lJ,HJp.
where occurs if f has an explicit time-dependence.
(2.16) (2.17)
2.2 Euler-Lagrange equations in field theory
2.2.1
Action functional and Lagrangian
Going over to a field theory is trivial. Let us consider our system to be a field or a set of fields. A field is essentially a set of numbers at eacb point in space-time. We still want to describe this system by an action, and we still want to write the action as the time integral of a Lagrangian. But time is not the only independent variable in this case. We have to incorporate the information from every point in space into our action as well. We can do this by writing the Lagrangian as a spatial integral of some function of the fields. This has the added advantage of putting space and time on the same footing in the integral. The integrand has then the dimensions of Lagrangian density. However, in discussions of field theory, this is
Chapter 2. Classical Field Theory
always called the Lagrangian, and the word 'density' is implied for the sake of brevity. We will always use the word Lagmngian in this sense from now on. However, we will denote it by a different symbol, viz, .!£'. If, at any point, we need to use the word Lagrangian in the sense used in particle mechanics, we will call it the total Lagrangian and will denote it by L.
The Lagrangian should depend on the fields, which we denote generically by <j>A Here, different values of the index A can denote completely independent fields, or the different members of a set of fields which are related by some internal symmetry, or maybe the components of a field which transforms non-trivially under Lorentz transformations, e.g., like a vector. In any case, the field or fields denoted by <j>A take the role of the co-ordinates qr of Eq. (2.1).
What then replaces the velocities tIr of Eq. (2.1)? These should be the derivatives of the fields. However, we cannot have only the time derivative in this case, since spatial co-ordinates are independent parameters as well. We therefore should expect the Lagrangian to depend on the derivatives 8/1 <I> A
And finally, since we are interested about fundamental fields, we should not expect any source or sink of energy or momentum in the system. Thus, the Lagrangian should not depend explicitly on the space-time co-ordinates. So finally we can write the action in the form PI = In d'x.Y (<j>A(x), , (2.18)
where the region of integration n is the region of space-time we are interested ill. For any physical experiment this region extends far enough away from the equipment and far enough into the past and future of the actual experiment so as to make the effect of all events outside that region negligible on the experiment. Usually n is taken to be the entire space-time for convenience.
A few things are worth noticing at this point. The action must be Poincare invariant in a covariant theory. which means that it should be invariant under Lorentz transformations as well as space-time translations. Since the space-time volume element d 4 x is Poincareinvariant by itself, the Lagrangian as defined in Eq. (2.18) must also be invariant.
The Lagrangian density .Y is a function of x through its dependence on the fields <j>A and their derivatives. The action on the other
2.2. Euler-Lagrange equations in field theory 17
hand is a number, i.e., it is a rule that associates a real number with a given configuration of the fields. If the field configuration is changed the number also changes in general. Such objects are called functionalso The action is a functional of the fields. The total Lagrangian L is a function of t but a functional of the fields at a given t.
2.2.2 Euler-Lagrange equations
Given the Lagrangian, the classical equations of motion can be derived from the principle of least action. This states that the system evolves through field configurations which keep the action PI stationary against small variations of the fields q,A which vanish on the boundary of n.
Consider therefore the variations
<t>A(X) q,A{x) + 6q,A{x), + a,,6q,A(x), (2.19)
such that 6<t>A vanishes on the boundary, which we denote by an. Using the functional dependence of the action denoted by Eq. (2.18), we can write (2.20)
We now invoke Gauss theorem, which, for 4 dimensions, reads
r d"x a = r dS FI' in It Jan J1. ' (2.21)
where is any well-behaved vector field, dS" is the outward pointing volume element on the boundary an. Using this, we can write the last term in Eq. (2.20) as an integral over an. However, the integrand now contains 64>A, which vanishes everywhere on af!. Thus, the last term in Eq. (2.20) vanishes.
Another random document with no related content on Scribd:
– Az azonban bizonyos, hogy azok a tojások, amelyeket mi találtunk, olyan frissek voltak, mintha éppen akkor tojták volna őket. Frissek! Amint lecipeltük őket a csónak felé, az egyik néger fickó elejtette az egyik tojást és összetört. Hogy összeszidtam a nyomorultat! De olyan édes volt a tojás, még csak szaga sem volt és az anyja már vagy négyszáz éve halott volt!
– De nagyon is eltérek elbeszélésem tárgyától. Egész napunkat azzal töltöttük, hogy a mocsárban ástunk és ástunk, hogy sértetlenül hozzájuthassunk a tojásokhoz, nyakig sárosak voltunk, én meg szörnyen dühöngtem. Amennyire én tudom, ezek voltak az egyedüli tojások, amelyeket teljesen épségben sikerült idáig kiásni. Később elmentem és megnéztem azokat a tojásokat, amelyeket a British Múzeumban őriznek. Mind össze volt törve és csak összeragasztották őket, mint holmi mozaikot, de még így is hiányoznak belőlük nagy darabok. Az enyémek kifogástalan állapotban voltak és én ki akartam fújni őket hazatérésem után. Ilyen körülmények között igazán érthető, hogy nem bírtam haragommal, amikor az a szamár szerecsen három óra nehéz munkájának gyümölcsét eltörte a sziklán, egyszerűen azért, mert egy százlábú megcsípte a lába ujját. – Alaposan megvertem.
A vágottképű ember pipát húzott ki a zsebéből.
Átnyújtottam a dohányzacskómat.
Szórakozottan megtöltötte a pipáját.
– Mi történt a többi tojással? Hazahozta őket?
– Ez éppen a különös a történetben. Még három másik tojásom volt. Kifogástalanul friss tojások. Nos, a csónakba raktuk őket és én visszamentem a sátorba, hogy kávét főzzek. A két szerecsent lent hagytam a parton, az egyik még mindig a csípés miatt sopánkodott, a másik pedig segített neki ebben. Eszembe sem jutott, hogy a két nyomorult visszaél majd helyzetemmel, de azt hiszem, a százlábú csípésének mérge és a verés, amelyet tőlem kapott, egészen megzavarta az egyiket – egy kicsit mindig hirtelenharagú volt – és végül is sikerült rábeszélnie társát.
– Emlékszem, ott ültem a sátorban, csöndesen pipáztam és egy kis spirituszlámpán, amelyet mindig magamnál hordtam útjaimon, kávét forraltam és csak úgy mellékesen a mocsár szépségeit bámultam a naplemente rőtvörös fényében. Egészen fekete és vörös volt minden, mondhatom igazán festő ecsetjére volt méltó a látvány.
– És alig ötven méternyire mögöttem ott állott a két átkozott szerecsen. Figyelmet sem fordítottak a természet szépségeire, hanem összeesküvést szőttek ellenem. Azt főzték ki sötét agyvelejükben, hogy megszöknek a csónakkal és engemet otthagynak a puszta szigeten, ócska vászonsátrammal, alig háromnapi élelemmel, egy csepp ivóvíz nélkül. Egyszerre csak kiáltást hallottam és mire visszafordulok, már bent ültek a kis lélekvesztőben – igazán túlzás lett volna csónaknak nevezni – és már vagy húsz méternyire voltak a parttól. Nyomban tisztában voltam a helyzettel. Puskám a sátorban hevert és még hozzá nem is volt golyóspuska, hanem csak sörétes. Persze, a gazemberek ezzel eleve tisztában voltak. De a nadrágzsebemben ott volt kis revolverem, amelyet sohasem hagytam el és miközben a part felé rohantam, kirántottam a zsebemből.
– Azonnal gyertek vissza! – kiáltottam utánuk parancsolóan.
– Valamit visszakiáltottak, amit nem hallottam és széles vigyor ült ki annak a négernek az arcára, akit megvertem. A másikat vettem célba, mert az sértetlen volt és ő kezelte az evezőt, de a lövés nem talált. Csak kacagtak rajtam. Mindazonáltal nem éreztem magamat még vertesnek. Tudtam, csak hidegvéremet kell megőriznem. Ujból céloztam és lőttem és most már nem nevetett többé, hanem felugrott üléséből. A harmadik lövésem fejen találta és a következő pillanatban holtan bukott ki a csónakból, magával víve az evezőt is a mélybe. Pompás lövés volt, egy olyan kis revolverből negyven méterre! Többé nem is bukkant fel a víz felszínére. Nem tudom, lövésem ölte-e meg, vagy pedig csak megsebesült és aztán a vízbe fult. Még egyszer ráparancsoltam a másik fickóra, hogy azonnal térjen vissza, de ő csak összehúzódzkodott a lélekvesztő mélyén és nem is válaszolt. Kilőttem utána revolverem minden töltényét, de nem találtam el egyszer sem.
– Nagy szamárnak éreztem magam, annyit mondhatok. Ott álltam azon a rohadt, fekete parton, mögöttem a mocsár, előttem a végtelen tenger síma tükre, és az átkozott csónak csöndesen kifelé tartott az óceán végtelenjén. Mondhatom, nem kíméltem Dawsonékat és a múzeumokat és minden ostoba régiséggyüjtőt, de hiába kiabáltam az után a néger után, csak nem jött vissza, míg végre is teljesen berekedtem.
– Igazán nem maradt más hátra, mint hogy utána ússzam és megkíséreljem szerencsémet a cápákkal. Így aztán kinyitottam vadászkésemet, fogaim közé kaptam, pillanat alatt ledobtam a ruhámat és begázoltam a tengerbe. Mihelyt a vízben voltam, nyomban elvesztettem szem elől a lélekvesztőt, de úgy számítottam, hogy mégis utól tudom érni. Azt reméltem, hogy az átkozott néger nem tudja majd elkormányozni a csónakot és így majd csak sodródni fog. Egyszerre ismét feltünt a horizont síkján, délnyugati irányban. Ekkor már esteledni kezdett és lassanként feltüntek a csillagok az égbolton. Nincs az az úszóbajnok, aki gyorsabb lett volna nálamnál, de lábaim és karjaim hamarosan kifáradtak.
– Mindazonáltal egészen közel jutottam a csónakhoz, még mielőtt a csillagok egészen felragyogtak volna. Amint sötétedett, mindenféle foszforeszkáló dolgokat láttam a tengerben Időnként egészen beleszédültem. Végül is nem tudtam már megkülönböztetni a csillagokat a foszforeszkáló tárgyaktól és nem tudtam, hogy a fejemen úszom-e, vagy a sarkaimon. A lélekvesztő fekete volt, mint a bűn és a kis hullámok, amelyeket orra a tengerben hasított, ragyogtak, mint a folyékony arany.
– Amikorra utólértem, annyira kifáradtam, hogy nem volt annyi erőm sem, hogy fel tudtam volna mászni a csónakba. Persze első dolgom volt megtudni, hogy mi történt a négerrel. A csónak orrában feküdt összegubbaszkodva, úgyhogy a lélekvesztő fara egészen kiemelkedett a vízből. A csónak végébe húztam és lenyomtam a vízbe, azt remélve, hogy erre mégis csak felébred. Azután kezemben a nyitva tartott késsel nagynehezen felhúzódzkodtam a csónakba, készen várva minden pillanatban a támadást. De a néger még csak meg sem mozdult. Így azután ott ültem az apró
lélekvesztő farában a foszforeszkáló tengeren sodródva, várva, hogy valami történjék.
– Egy idő multán nevén szólítottam a fickót, de nem kaptam választ. Így ültünk azután órákon át kettesben a csónakban.
– Azt hiszem, egyszer-kétszer el is szundítottam. Amikor felébredtem, felkelt a nap és láttam, hogy a néger halott és teste egészen püffedt és vörös. A három tojás és a csontok ott hevertek a csónak közepén, mellettük állott a vizeskulacs, valami kis kávé, néhány darab piskóta és egy kanna spiritusz. Nem volt evezőm, sőt semmi olyasféle sem, amit evezőként lehetett volna használni, így aztán ölbetett kezekkel voltam kénytelen nézni, hogyan sodor magával a tenger árja. Halottszemlét tartottam a néger felett s azt az ítéletet hoztam, hogy valami ismeretlen kígyó, skorpió, vagy százlábú gyilkolta meg. Ítéletem meghozatala után holttestét bedobtam a tengerbe.
– Ennek elvégzése után egy korty vizet ittam, megettem néhány piskótát és körülnéztem a síma tengeren. Azt hiszem, aki olyan alacsonyról néz körül, nem láthat nagyon messzire, én legalább is nem láttam semerre Madagaszkárt, sem semmi más nyomát a szárazföldnek. Délnyugati irányban egy percre megpillantottam egy vitorlát, amint délfelé haladt, de maga a hajótest soha sem tünt fel a horizont felett.
– Hirtelen arra eszméltem, hogy a nap delelőjén áll és izzó sugaraival szinte felforralja agyvelőmet. Először úgy próbáltam védekezni a napszúrás veszedelme ellen, hogy minduntalan bebemártottam a fejem a tenger vizébe, de aztán eszembe jutott az a régi ujság, amelybe szerszámaimat csomagoltam elindulásom előtt, így aztán végigfeküdtem a csónak fenekén, magamra borítottam a „Cape Argus“-t és attól kezdve nem bántottak többé a nap sugarai.
– Csodálatosak ezek az ujságok! Életemben még egyet sem olvastam végig egészen addig a pillanatig, de különös dolgok történnek az emberrel, amikor olyan egyedül van, mint én voltam. Azt hiszem, vagy húszszor olvastam el a „Cape Argus“ minden
sorát, miközben a nap forró sugarai valósággal leolvasztották még a festéket is a kis lélekvesztő orráról és oldalairól.
– Tíz napig sodort magával a tenger árja – folytatta a vágottképű ember. – Ugy-e nem sokat jelent, amikor az ember csak így mesél róla? Egyik nap olyan volt, mint a másik. Kivéve a reggeleket és az estéket még csak ki se pillantottam ujságpapírsátram alól, olyan pokoli volt a hőség. Az első napokban még csak vitorlát sem láttam feltünni a horizonton, amelyeket pedig láttam, azok nem vettek tudomást rólam. A hatodik éjjelen történt, hogy alig félmérföldnyire tőlem hajó haladt el, amelynek minden ablakából fény sugárzott a fekete tengerre. Egészen olyan volt, mint valami óriási szentjánosbogár. Felálltam a csónakban, úgy kiabáltam és üvöltöttem utána.
– A második napon feltörtem az egyik aepyornis tojást, megkóstoltam és boldog voltam, hogy ehetőnek találtam. A szaga ugyan nem volt a legjobb, de ezzel nem azt akarom mondani, hogy a tojás volt rossz, csak éppen valamennyire a kacsatojás ízére emlékeztetett. Az egyik oldalán egy gömbölyű foltot találtam, amely vagy tizenöt centiméter átmérőjű lehetett s ezen a folton, mintha vékony vérér vonult volna végig és egy fehér, létraszerű rajzot fedeztem fel. Akkor még fogalmam sem volt róla, hogy mi lehet a különös dolog, aztán meg nem is voltam nagyon válogatós. A tojás eltartott három napig a piskóták és a víz segítségével. Időnként nyers kávészemeket is ettem, mert tudtam, hogy milyen nagyszerűen erősíti az emberi szervezetet a nyers kávé.
– A második tojást, körülbelül a nyolcadik napon törtem fel és egészen elborzadtam.
A vágottképű ember elhallgatott elbeszélésében.
– Igen – mondotta. – Fejlődésben volt.
– El tudom képzelni, hogy el se akarja hinni. Még én is úgy voltam vele, pedig ott volt előttem a dolog, hiszen a tojás vagy négyszáz évig feküdt a fekete, hideg mocsár mélyén. De tévedésről szó sem lehetett. Ott volt előttem – hogy is hívják csak? – az embrió
nagy fejével és görbe hátával, a szíve ott lüktetett a torkában és a tojás fehérje már egészen ráncos volt és a vékonyka pergamentszerű réteg, mely a tojás fehérje és héja között volt, minduntalan meg-megremegett. Ott álltam a legnagyobb, kihalt madár óriás tojásait költögetve egy kis lélekvesztőben az Indiai óceán kellős közepén! Ha az öreg Dawson tudta volna! Igazán megérte volna még neki is négyévi fizetésemet. Mit gondol maga a dologról?
– Akárhogy állt is az ügy, kénytelen voltam megenni az undorító dolgot, kénytelen voltam még a legkisebb falatokat is kikaparni, mielőtt megpillantottam volna a kis sziget partját, pedig mondhatom, egyik-másik falat igazán rettenetes volt. A harmadik tojáshoz hozzá sem nyultam. A nap felé tartottam, de a héjja túlvastag volt ahhoz, hogy meglássam, mi játszódik le belsejében, bár azt képzeltem, hogy hallom benne a vér lüktetését, de lehet, hogy ez csak a fülem zúgása volt, mint amit az ember akkor szokott hallani, ha kagylót tart a füléhez.
– Végül mégis csak feltünt valami szárazföld előttem. Éppen a kelő nap alatt tünt fel váratlanul, egészen közel hozzám. A tenger árja feléje sodort és vagy félmérföldnyire jártunk már csak a parttól, amikor az áramlat egyszerre megfordult. Minden erőm megfeszítésével vadul evezni kezdtem kezeimmel és az aepyornis tojás darabkáival, hogy elérjem a szigetet. Nagynehezen partra is jutottam. A megszokott apró kis korallzátony volt, talán négy mérföld lehetett a kerülete, néhány fa is nőtt rajta, a közepén forrás csörgedezett és a kis laguna tele volt hallal. A tojást magammal vittem a partra és jó messze a tengertől, ahol az ár már nem érhette el, kitettem a napra, hogy megadjak minden lehetőséget a számára, azután partra vontam a kis lélekvesztőt.
– Amikor végeztem ezzel, bekóboroltam a szigetet. Fantasztikus, hogy milyen unalmas tud lenni egy ilyen korallzátony Abban a pillanatban, amikor forrásra találtam, már el is tünt minden érdeklődésem. Gyerekkoromban azt képzeltem, hogy semmi sem lehet pompásabb és kalandosabb, mint Robinson Crusoe életét élni, de az a sziget olyan unalmas volt, mint valami prédikációs könyv.
Ehető dolgok után kutattam és elgondolkodtam, de mondhatom, halálos unalom vett rajtam erőt, még mielőtt az első nap végetért volna. Szerencsémet igazolja, hogy még aznap, amikor partra szálltam, az időjárás egyszerre megváltozott. Égiháború vonult végig a kis szigeten és a tengeren olyan rettenetes hullámok voltak, hogy a kis lélekvesztőben igazán ott kellett volna vesznem.
– A csónak alján aludtam, a tojás szerencsére jóval feljebb volt a homokban és az első dolog, amire emlékszem, az volt, mintha száz apró kavics pattogott volna egyszerre a csónakon és egy hullám csapott volna keresztül rajtam. Azt álmodtam éppen, hogy Antananarivóban vagyok és felültem és odaszóltam Intoshinak, hogy megkérdezzem a lánytól, mi a fene történt, azután önkéntelenül kinyujtottam a kezemet, hogy megkeressem a gyufát az éjjeliszekrényen. Csak akkor jutott eszembe, hogy tulajdonképpel hol is vagyok. Foszforeszkáló hullámok rohantak felém, mintha csak be akarnának kapni, de ezektől eltekintve koromsötét volt körülöttem minden. A felhők olyan alacsonyan jártak, hogy szinte attól féltem, beléjük verem a fejemet és az eső úgy zuhogott, mintha egyszerre szakadt volna meg az ég minden csatornája. Egy óriási hullám közeledett felém fenyegetőleg, mint valami tüzes kígyó és én elfutottam előle. Azután eszembe jutott a kanoe és visszarohantam a partra, de a hullám addigra már magával ragadta az óceán mélyébe a kis lélekvesztőt. Azután eszembe jutott a tojás és feléje tapogatóztam a sötétben. Semmi baja nem történt és még a legvadabb hullámok sem tudtak a közelébe jutni. Leültem a tojás mellé, hogy legalább valami társaságom legyen. Úristen, micsoda éjszaka is volt az!
– Reggelre nyoma sem volt többé a viharnak. A parton apró kis fadarabkák hevertek, hogy úgy mondjam lélekvesztőm csontváza, de ez legalább valami munkát adott nekem, mert két borda együtt maradt a borzalmas éjszaka dacára is s ebből azután valami vihartető félét eszkábáltam össze magamnak.
– És aznap délelőtt a tojás kikelt.
– Kikelt uram, mialatt fejem rajta nyugodott és én nyugodtan aludtam. Egyszerre csak azt éreztem, hogy valami mozog mellettem. Fölültem, láttam, hogy a tojás vége fel van törve és egy különös kis barna fej néz rám kíváncsian.
– Úristen! – kiáltottam fel – Üdvözöllek, – azzal nagynehezen kimászott a tojásból.
Eleinte barátságos, kedves kis fickó volt, akkora lehetett, mint egy jól megtermett tyúk és egészben véve olyan volt, mint a legtöbb más fiatal madár, csak persze nagyobb volt. Piszkosbarna pehely borította és alig volt tolla. El se tudom mondani, hogy megörültem neki. Mondhatom, Robinson Crusoe sem érezhette magát elhagyatottabnak szigetén, mint én, mielőtt barátom kikelt volna a tojásból. De most aztán már érdekes társam akadt. Rámnézett, szemével hunyorgatott egyet, ahogy a csirkék szoktak, menten csipogni kezdett és a földön csipegetett, minthogyha nem négyszáz évvel elkésve kelt volna ki tojásából.
– Örülök, hogy üdvözölhetlek, Péntek! – szólítottam meg, mert azt természetesen már régen elhatároztam, hogy Pénteknek fogom keresztelni, ha kibújik a tojásból. Eleinte aggodalmaim voltak, hogy lesz-e mivel táplálnom, de amikor egy kis nyers halat adtam neki, amit rögtön bekapott és ismét kitátotta a csőrét, hogy adjak még, megnyugodtam. Igazán örültem, hogy nem volt válogatós, mert az adott körülmények között ebben az esetben igazán kénytelen lettem volna végül is megenni őt.
– El sem tudja képzelni, milyen érdekes madár volt az az aepyornis-csirke. Kezdettől fogva nem tágított a sarkamtól. Ott állott mellettem és úgy nézte, hogy halászok a lagunában és én persze elfeleztem vele mindent, amit fogtam. És nagyon értelmes is volt. A parton különös alakú, kis zöld dolgok voltak, egészen olyanok, mint a hámozott uborka, de Péntek csak egyszer próbálkozott meg eggyel, amikor rosszul lett tőle, soha többé rájuk sem nézett.
– És hogy nőtt! Szinte szemmelláthatólag lett egyre nagyobb és nagyobb. Én sohasem voltam társaságba járó ember s így aztán csöndes és barátságos viselkedése nagyon megfelelt nekem. Közel
két éven át a legnagyobb boldogságban éltünk a szigeten. Nem voltak üzleti gondjaim, mert tudtam, hogy fizetésem közben egyre gyülik Dawsonéknál. Egyszer-másszor feltünt egy-egy vitorla a távoli horizonton, de soha hajó nem jött a közelünkbe. Azzal szórakoztam, hogy a szigetet kagylókkal, kövekkel, kavicsokkal díszítgettem, úgyhogy a végén a part mentén mindenütt ott állott nagy betükkel, hogy Aepyornis Sziget, mint ahogy odahaza a vasúti állomásoknál a vasúti őrök, síma fehérkavicsokból rakják ki az állomás nevét.
Amikor ezzel a munkával végeztem, mindenféle matematikai és geometriai képleteket raktam ki kagylóból és kavicsból és a legkülönbözőbb rajzokat készítettem hasonló módon.
– Amikor belefáradtam ebbe a munkába is, lefeküdtem és elnéztem, hogy jár-kel a különös madár és hogy növekszik egyre nagyobbra és nagyobbra. Eszembe jutott, milyen vagyont kereshetek majd vele, ha valaha sikerül elkerülnöm a szigetről. Nagyon meg is szépült az óriás madár, szép kék tollai nőttek a dereka táján, hátul pedig óriási zöld tollak borították. Sokat törtem a fejemet, vajjon Dawsonéknak joguk van-e a madárhoz, vagy sem? Amikor vihar szántott végig a tengeren és az esős évszakban ott kuporogtunk egymás mellett a kis fedél alatt, amelyet az öreg lélekvesztőből készítettem, hazugságokat meséltem neki régi barátaimról. Amikor a viharok elültek, mindig körbejártuk együtt a szigetet, hogy megnézzük nem vetettek-e valamit partra a hullámok. Azt lehet mondani, hogy egyenesen idillikus életet éltünk és hogy ha dohányom is lett volna, egyenesen a mennyországban éreztem volna magamat.
– A második év vége felé történt, hogy paradicsomi életünknek egyszerre vége szakadt. Péntek akkor már vagy öt méter magas lehetett, nagy feje széles és baltaszerű volt, két nagy, sárgakarikás barna szeme pedig egészen közel állott egymáshoz, akár az ember szemei és nem pislantottak kétfelé, mint a csirkéé. Tollazata gyönyörű volt, – nem olyan félgyászszerű, mint a struccéi, – hanem inkább olyan, mint a kazuáré, már ami a szint és finomságot illeti.
– És ekkor történt, hogy egyszerre képzelődő kezdett lenni, szemtelenkedett és természete egyre undokabbá vált.
– Végre is elkövetkezett az idő, amikor kevesebb szerencsével járt mindennapi halászatom és ettől kezdve különös, habozó léptekkel járt nyomomban. Azt hittem, talán megint tengeri uborkát evett, vagy valami más ilyen dolgot, de most nem a gyomrával volt baja, hanem egyszerűen nem volt megelégedve velem. Én is éhes voltam és amikor végre nagynehezen fogtam egy halat, magam akartam megenni. Aznap reggel, úgy látszik, mind a ketten ballábunkkal léphettünk ki képzeletbeli ágyunkból, mert abban a pillanatban, hogy kirántottam a halat, Péntek nyomban lecsapott rá, mert úgy látszik, hogy magában már ő is elvégezte, hogy a halat egyedül fogja elfogyasztani.
Kénytelen voltam az orrára koppintani.
– Úristen! Erre nekem támadt…
– Ezt neki köszönhetem – mutatott az ember a csúnya sebre, amely arcát eléktelenítette. – Azután megrugott. Olyan volt, mint hogyha egy igásló talált volna teliben. Nagynehezen föltápászkodtam és miután láttam, hogy még egyáltalán nem tekinti befejezettnek az ügyet, eszeveszetten rohanni kezdtem, karjaimmal takarva el arcomat. De ő azokkal a hosszú lábaival gyorsabban futott, mint a legsebesebb versenyló és egyre-másra gőzkalapácsszerű rugásokkal halmozott el, miközben baltafejével minduntalan le-lecsapott a fejemre. A laguna felé vettem utamat és nem nyugodtam addig, amíg nyakig benne nem ültem.
– Péntek a víz partján megállott, mert gyűlölte benedvesíteni a lábát és szídni kezdett a partról. A hangja olyan volt, mint a páváé, csak még rekedtebb és mondhatom, egyáltalán nem volt kellemes hallgatni. Föl és alá sétált a laguna mentén és megvallom, nem valami jól éreztem magam ennek az átkozott őslénynek a felügyelete alatt. A fejem és az arcom csupa vér volt és… nos a testem csupa sárga és kék folt. Elhatároztam, hogy átúszom a lagunát és egy darabig egyedül hagyom, amíg el nem símulnak az ügy hullámai. A túlparton felmásztam a legmagasabb pálmafára és volt időm elgondolkozni a dolgok felett. Azt hiszem, semmin nem sértődtem meg annyira, soha odáig és soha azóta, mint ennek az állatnak a rút
hálátlanságán. Igazán több voltam neki, mintha a testvére lettem volna, hiszen én költöttem ki a tojásból és én neveltem fel. Egy ilyen óriási, nyurgalábú, divatból kiment madár! És én, a büszke emberi nem egyik tagja! Az évezredek örököse és a többi ehhez hasonló mondás mind az eszembe jutott egyszerre.
– Azt reméltem, hogy egy idő után ő maga is ebben a színben fogja látni a dolgokat és meg fogja bánni magatartását. Azt reméltem, hogy ha sikerül majd néhány szép halat fognom és azután egyszerre, mintha csak véletlenül történne, elmennék mellette és megkínálnám vele, Péntek mégis csak eszére térne. Jó időbe telt, míg megtanultam, hogy egy kihalt madárféle mennyire nem tud és nem akar felejteni és megbocsájtani.
– Ez csak igazán rosszakarat volt?
– El se mondom, mi mindennel próbálkoztam, hogy megnyerjem a madár jóindulatát. De nem is tudnám elmondani. Még most is elönt a szégyen, ha eszembe jut, hogy mennyi visszautasításban és mennyi gőgös lenézésben volt részem ennek az átkozott madárnak a részéről. Megpróbálkoztam az erőszakkal is. Biztos távolságról korálldarabokat vágtam hozzá, de ő egyszerűen csak lenyelte azokat. Célbavettem vadászkésemmel, de majdnem elvesztettem még azt is, ha mindjárt egy kicsit nagy is volt ahhoz, hogy lenyelje. Megpróbáltam kiéhez tetni, fölhagytam a halászattal, de ő egyszerűen lement a partra és az apály idején férgeket fogott. Életem felét nyakig a laguna vizében töltöttem, másik felét pedig fönt, a pálmafák tetején. Egyszer eltévesztettem megszokott fámat és véletlenül egy alacsonyabbra találtam fölmászni. Amikor Péntek ezt észrevette, rögtön ott termett és mondhatom, karácsonyt ünnepelt puszta combjaimon.
– A dolog kezdett kibírhatatlanná válni. Nem tudom, próbált-e már ön pálmafa tetején aludni? Mondhatom, nekem a legborzalmasabb álmaim voltak odafönn. És aztán képzelje csak a szégyent! Ott volt ez a kihalt, madár, amely úgy járkált az én szigetemen, mint valami elvarázsolt herceg és én még csak lábamat sem tehettem szilárd talajra. Sokszor bizony kínomban sírva
fakadtam. Egyenesen a szemébe vágtam, hogy egyáltalán nem akarom, hogy egy elhagyott szigeten egy átkozott anakronizmus hajszoljon egész nap. Megmondtam neki, hogy menjen és csipkedje a saját korának tengerészeit. De ő egyszerűen hátat fordított nekem.
– Ronda, nyakigláb madár!
– Szégyellek csak rágondolni is, mennyi ideig éltem ezt az életet. Már rég megöltem volna, ha tudtam volna, hogyan. De végül mégis csak rájöttem, hogy bánhatok el vele. Még Délamerikában tanultam meg a módját. Összefontam horgászó zsinegeimet, még tengeri növények indáit is kevertem közbe, úgyhogy a végén, vagy tíztizenkét méter hosszú, erős kötél boldog tulajdonosának mondhattam magamat. A kötél végére két koráll darabot kötöttem. Persze, sokáig tartott, míg munkámmal elkészültem, mert minduntalan hol a lagunába kellett menekülnöm, hol egy fa tetejére másznom, ahogyan éppen a helyzet hozta magával.
– Amikor elkészült végre a kötél, gyorsan megforgattam a fejem fölött és elengedtem Péntek felé. Először elhibáztam, de másodszorra a kötél mégis csak gyönyörűen lábai köré csavarodott és a következő pillanatban Péntek már a földön hevert. Persze, nem a szárazföldről dobtam feléje a bolát, hanem derékig a laguna vizében álltam, ahol tudtam, hogy nem fog megtámadni, de abban a pillanatban, amikor a földön volt, már kinn is voltam a vízből és késemmel elkezdtem a nyakát fűrészelni…
– Még most sem szeretek rágondolni. Már akkor is gyilkosnak éreztem magamat, bár akkor haragom még fennen lobogott. Istenem, amikor ott álltam fölötte és láttam, hogy vérzik a fehér homokon és hogy rángatóznak halálküzdelmében óriás lábai és hosszú nyaka…
– Nem jó még csak rágondolni sem!
– Ezzel a tragikus befejezéssel az egyedüllét átka szakadt egyszerre rám. Édes Istenem! El sem tudja képzelni, hogy hiányzott nekem az a madár. Ott álltam holttesténél és valósággal meggyászoltam. Összeborzadtam, amikor körülnéztem a végtelenül
csöndes, teljesen elhagyott puszta szigeten. Eszembe jutott, milyen mulatságos, kedves madár is volt, amikor kikelt a tojásból és eszembe jutott az a sok kedves tréfám is, amivel mulattatott, mielőtt megváltozott volna.
– Eszembe jutott, hogy csak meg kellett volna sebesítenem és aztán ápolás közben bizonyosan mégis csak jobb belátásra ébredt volna. Ha akármilyen eszközöm is lett volna, amivel sírt tudtam volna ásni, eltemettem volna. Valahogyan egészen emberinek éreztem Pénteket, De miután erre gondolni sem lehetett és nem akartam mégsem megenni, a lagunába dobtam és a kis halak tisztára rágták csontjait. Még csak egy tollát sem tartottam meg emlékül.
– Azután egy szép napon valami hóbortos fickó, aki fejébe vette, hogy megnézi, megvan-e még a szigetem, kikötött jachtjával.
– Éppen jókor jött, mert már igazán torkig voltam az egyedülléttel és már csak afölött haboztam, hogy kisétáljak-e egyszerűen a tengerbe és zárjam le így az ügyet, vagy pedig én is egyek azokból a zöld dolgokból…
– A csontokat egy Winslow nevezetű embernek adtam el, egy ritkaságkereskedőnek a British Múzeum környékén és Winslow azt mondja, hogy ő rögtön továbbadta őket az öreg Hawersnek. Úgy látszik, Hawers egyáltalán nem vette észre, hogy a csontok tulságosan nagyok ahhoz, hogy struccéi lehetnének, így aztán csak halála után jöttek rá az emberek. Nevet is adtak neki, úgy hívták, hogy Aepyornis… Hogy is hívták csak?
– Aepyornis vastus, – segítettem rajta. Furcsa, hogy egy barátom éppen a multkoriban beszélt róla. Amikor először bukkantak egy aepyornisra, amelynek a csípőcsontja vagy egy méter hosszú volt, azt hitték, hogy ennél nagyobbat már igazán el se lehet képzelni, így azután elnevezték Aepyornis Maximusnak. Azután valaki más talált egy másfélméteres csípőcsontot és ezt azután elnevezték Aepyornis Titannak. Csak azután találták meg, az öreg Hawers halála után, hagyatékában a maga vastus-át, de aztán még egy vastissimus is előkerült.
– Winslow is mondta ezt nekem, – jegyezte meg a vágottképű ember – mégis csak különös, hogy ilyesvalami történhetik az emberrel. Vagy nem?
*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK CSODÁLATOS TÖRTÉNETEK ***
Updated editions will replace the previous one—the old editions will be renamed.
Creating the works from print editions not protected by U.S. copyright law means that no one owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United States without permission and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to copying and distributing Project Gutenberg™ electronic works to protect the PROJECT GUTENBERG™ concept and trademark. Project Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you charge for an eBook, except by following the terms of the trademark license, including paying royalties for use of the Project Gutenberg trademark. If you do not charge anything for copies of this eBook, complying with the trademark license is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, performances and research. Project Gutenberg eBooks may be modified and printed and given away—you may do practically ANYTHING in the United States with eBooks not protected by U.S. copyright law. Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial redistribution.
START: FULL LICENSE
THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE
PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK
To protect the Project Gutenberg™ mission of promoting the free distribution of electronic works, by using or distributing this work (or any other work associated in any way with the phrase “Project Gutenberg”), you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg™ License available with this file or online at www.gutenberg.org/license.
Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg™ electronic works
1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg™ electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy all copies of Project Gutenberg™ electronic works in your possession. If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg™ electronic work and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8.
1.B. “Project Gutenberg” is a registered trademark. It may only be used on or associated in any way with an electronic work by people who agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few things that you can do with most Project Gutenberg™ electronic works even without complying with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project Gutenberg™ electronic works if you follow the terms of this agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg™ electronic works. See paragraph 1.E below.
1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (“the Foundation” or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project Gutenberg™ electronic works. Nearly all the individual works in the collection are in the public domain in the United States. If an individual work is unprotected by copyright law in the United States and you are located in the United States, we do not claim a right to prevent you from copying, distributing, performing, displaying or creating derivative works based on the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. Of course, we hope that you will support the Project Gutenberg™ mission of promoting free access to electronic works by freely sharing Project Gutenberg™ works in compliance with the terms of this agreement for keeping the Project Gutenberg™ name associated with the work. You can easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in the same format with its attached full Project Gutenberg™ License when you share it without charge with others.
1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in a constant state of change. If you are outside the United States, check the laws of your country in addition to the terms of this agreement before downloading, copying, displaying, performing, distributing or creating derivative works based on this work or any other Project Gutenberg™ work. The Foundation makes no representations concerning the copyright status of any work in any country other than the United States.
1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg:
1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate access to, the full Project Gutenberg™ License must appear prominently whenever any copy of a Project Gutenberg™ work (any work on which the phrase “Project Gutenberg” appears, or with which the phrase “Project Gutenberg” is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, copied or distributed:
This eBook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook.
1.E.2. If an individual Project Gutenberg™ electronic work is derived from texts not protected by U.S. copyright law (does not contain a notice indicating that it is posted with permission of the copyright holder), the work can be copied and distributed to anyone in the United States without paying any fees or charges. If you are redistributing or providing access to a work with the phrase “Project Gutenberg” associated with or appearing on the work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the Project Gutenberg™ trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9.
1.E.3. If an individual Project Gutenberg™ electronic work is posted with the permission of the copyright holder, your use and distribution must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked to the Project Gutenberg™ License for all works posted with the permission of the copyright holder found at the beginning of this work.
1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg™ License terms from this work, or any files containing a part of this work or any other work associated with Project Gutenberg™.
1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this electronic work, or any part of this electronic work, without prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with active links or immediate access to the full terms of the Project Gutenberg™ License.
1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any word processing or hypertext form. However, if you provide access to or distribute copies of a Project Gutenberg™ work in a format other than “Plain Vanilla ASCII” or other format used in the official version posted on the official Project Gutenberg™ website (www.gutenberg.org), you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon request, of the work in its original “Plain Vanilla ASCII” or other form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg™ License as specified in paragraph 1.E.1.
1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing, copying or distributing any Project Gutenberg™ works unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9.
1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to or distributing Project Gutenberg™ electronic works provided that:
• You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from the use of Project Gutenberg™ works calculated using the method you already use to calculate your applicable taxes. The fee is owed to the owner of the Project Gutenberg™ trademark, but he has agreed to donate royalties under this paragraph to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60 days following each date on which you prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax returns. Royalty payments should be clearly marked as such and sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the address specified in Section 4, “Information about donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation.”
• You provide a full refund of any money paid by a user who notifies you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he does not agree to the terms of the full Project Gutenberg™ License. You must require such a user to return or destroy all
