Download PDF Advances in mathematical modeling and scientific computing international conference on
Trends in Mathematics 1st Edition Firuz Kamalov
Visit to download the full and correct content document: https://textbookfull.com/product/advances-in-mathematical-modeling-and-scientific-co mputing-international-conference-on-recent-developments-in-mathematics-dubai-202 2-volume-2-trends-in-mathematics-1st-edition-firuz-kamalov/
More products digital (pdf, epub, mobi) instant download maybe you interests ...
Recent Advances in Mathematics for Engineering (Mathematical Engineering, Manufacturing, and Management Sciences) 1st Edition Mangey Ram (Editor)
Recent Advances in Mathematics and Technology: Proceedings of the First International Conference on Technology, Engineering, and Mathematics, Kenitra, ... (Applied and Numerical Harmonic Analysis) 1st Edition
Recent Trends in Computer Applications Best Studies from the 2017 International Conference on Computer and Applications Dubai UAE Jihad Mohamad Alja’Am
Recent Developments in Mechatronics and Intelligent Robotics: Proceedings of the International Conference on Mechatronics and Intelligent Robotics (ICMIR2017) –Volume 2 1st Edition Feng Qiao
Advances in Mathematics and Applications Celebrating 50 years of the Institute of Mathematics Statistics and Scientific Computing University of Campinas Carlile Lavor
Advances in Mathematical Modeling and Scientific Computing
International Conference on Recent Developments in Mathematics, Dubai, 2022 – Volume 2
Trends in Mathematics
Trends in Mathematics is a series devoted to the publication of volumes arising from conferences and lecture series focusing on a particular topic from any area of mathematics. Its aim is to make current developments available to the community as rapidly as possible without compromise to quality and to archive these for reference.
Proposals for volumes can be submitted using the Online Book Project Submission Form at our website www.birkhauser-science.com.
Material submitted for publication must be screened and prepared as follows:
All contributions should undergo a reviewing process similar to that carried out by journals and be checked for correct use of language which, as a rule, is English. Articles without proofs, or which do not contain any significantly new results, should be rejected. High quality survey papers, however, are welcome.
We expect the organizers to deliver manuscripts in a form that is essentially ready for direct reproduction. Any version of TEX is acceptable, but the entire collection of files must be in one particular dialect of TEX and unified according to simple instructions available from Birkhäuser.
Furthermore, in order to guarantee the timely appearance of the proceedings it is essential that the final version of the entire material be submitted no later than one year after the conference.
Firuz Kamalov • R. Sivaraj • Ho-Hon Leung
Editors
Advances
in Mathematical Modeling and Scientific
Computing
International Conference on Recent Developments in Mathematics, Dubai, 2022 – Volume 2
Editors
Firuz Kamalov
Department of Electrical Engineering
Canadian University Dubai
Dubai, United Arab Emirates
Ho-Hon Leung Department of Mathematical Sciences
United Arab Emirates University Al Ain, United Arab Emirates
R. Sivaraj Department of Mathematics
Dr B R Ambedkar National Institute of Technology Jalandhar, Punjab, India
ISSN 2297-0215
Trends in Mathematics
ISBN 978-3-031-41419-0
ISSN 2297-024X (electronic)
ISBN 978-3-031-41420-6 (eBook) https://doi.org/10.1007/978- 3- 031- 41420- 6
This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively licensed by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed.
Theuseofgeneraldescriptivenames,registerednames,trademarks,servicemarks,etc.inthispublication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use.
The publisher, the authors, and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.
This book is published under the imprint Birkhäuser, www.birkhauser- science.com by the registered company Springer Nature Switzerland AG
The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland
Paper in this product is recyclable.
Preface
The Canadian University Dubai, UAE, and United Arab Emirates University, UAE, jointly organized the International Conference on Recent Developments in Mathematics (ICRDM 2022) during August 24–26, 2022, in hybrid mode at Canadian University Dubai, UAE. The major objective of ICRDM 2022 is to promote scientific and educational activities toward the advancement of common man’s life by improving the theory and practice of various disciplines of Mathematics. The conference was a grand success and more than 500 participants (Professors/Scholars/Students) enriched their knowledge in the wings of mathematics through ICRDM 2022. Over 200 leading researchers worldwide served in various capacities to organize ICRDM 2022. Thirty-one eminent speakers worldwide delivered the keynote address and invited talks in this conference. Three hundred and seventy-six researchers submitted their quality research articles to ICRDM 2022 through EasyChair. We shortlisted more than 300 research articles for oral presentations authored by dynamic researchers around the world. After peer review, 119 manuscripts were shortlisted for publication in the Springer book series: Trends in Mathematics. We hope that ICRDM 2022 inspired several researchers in mathematics: shared research interest and information, and created a forum of collaboration to build a trust relationship. We feel honored and privileged to serve the best recent developments in the field of mathematics to the readers in two volumes: Volume I, Recent Developments in Algebra and Analysis, and Volume II, Advances in Mathematical Modeling and Scientific Computing. This book comprises the advances in mathematical modeling and scientific computing. A basic premise of this book is that the quality assurance is effectively achieved through the selection of quality research articles by the scientific committee that consists of several potential reviewers worldwide. This book comprises the contribution of several dynamic researchers in 82 chapters. Each chapter identifies the existing challenges in the areas of differential equations, mechanics, operation research, statistics, graph theory, and mathematical education and emphasizes the importance of establishing new methods and algorithms to addresses the challenges. Each chapter presents a selection of research problem, the technique suitable for solving the problem with sufficient mathematical background, and discussions
on the obtained results with physical interruptions to understand the domain of applicability. This book also provides a comprehensive literature survey which reveals the challenges, outcomes, and developments of higher-level mathematics in this decade. The theoretical coverage of this book is relatively at a higher level to meet the global orientation of applied mathematics.
The target audience of this book is postgraduate students, researchers, and industrialists. This book promotes a vision of applied mathematics as integral to modern science and engineering. Each chapter contains important information emphasizing applied mathematics, intended for the professionals who already possess a basic understanding. In this book, theoretically oriented readers will find an overview of applied mathematics and applications. Industrialists will find a variety of techniques with sufficient discussion in terms of physical point of view to adapt for solving the particular application-based mathematical models. The readers can make use of the literature survey of this book to identify the current trends in applied mathematics. It is our hope and expectation that this book will provide an effective learning experience and referenced resource for all young mathematicians in the areas of applied mathematics.
As editors, we would like to express our sincere thanks to all the administrative authorities of Canadian University Dubai, UAE, and United Arab Emirates University, UAE, for their motivation and support. We also extend our profound thanks to all faculty members and staff members of the institutes. We especially thank all the members of the organizing committee of ICRDM 2022 who worked as a team by investing their time to make the conference a grand success. We express our sincere gratitude to all the referees for spending their valuable time to review the manuscripts which led to substantial improvements and sort out the quality research papers for publication. We thank EasyChair platform for providing the manuscript submission and review service. We are thankful to the project coordinator and team members from Springer Nature for their commitment and dedication toward the publication of this book. The organizing committee is grateful to Dr. Chris Eder, Associate Editor, Mathematics, Birkhäuser, Springer Nature, for his continuous encouragement and support toward the publication of this book.
Dubai, United Arab EmiratesFiruz Kamalov Jalandhar, Punjab, IndiaR. Sivaraj Al Ain, United Arab EmiratesHo-Hon Leung
Part I Differential Equations
High-Precision Algorithms For Fredholm Integral Equations .............. 3
Fadi Awawdeh and Linda Smail
General Decay Estimate for a Weakly Dissipative Viscoelastic Suspension Bridge ................................................................ 15
Salim A. Messaoudi, Soh Edwin Mukiawa, and Mohammad M. Al-Gharabli
Existence and Uniqueness of Renormalized Solution to Noncoercive Elliptic Problem with Measure Data ............................
Tiyamba Valea, W. Basile Yaméogo, and Arouna Ouédraogo
Fixed-Point Theorems Based Evaluation of Analytical Solution in Fractional Diffusion Equations .............................................. 39
B. Malathi and S. Chelliah
Control and Synchronization of a Modified Chaotic Finance System with Integer and Non-integer Orders ................................. 55
Khaled Moaddy and Talal Al Mutairi
Dutch Book Methods for Difference and Differential Equations ...........
Alberto Gandolfi and Jianhan Hu
Fourier Modes in Fluid Flow and Energy Cascade ..........................
Irina Afanasyeva, Bailey Downing, and Rathinam Panneer Selvam
Approximate Solutions of Third-Order Time Fractional Dispersive Equations with Singular and Nonsingular Kernel Derivatives ........................................................................
K. Pavani, K. Raghavendar, and K. Aruna
Choosing Between Vaccine Efficacy and Vaccine Price: A Mathematical Model for COVID-19
101 Mo’tassem Al-arydah
Classification of Cosmological Wormhole Solutions in the Framework of General Relativity
K. Venkatadri, V. Raja Rajeswari, G. Dharmaiah, R. Sivaraj, Firuz Kamalov, Ho-Hon Leung, and Mariam AlShamsi
379
Thermogravitational Convective Flow Inside a Cavity with a Heated Circular Cylinder: A Finite Difference Analysis via Vorticity Stream Function Approach ...................................... 391
K. Venkatadri, Veena Chandanam, C. Venkata Lakshmi, R. Sivaraj, Ho-Hon Leung, Firuz Kamalov, and Mariam AlShamsi
An Unsteady Flow of Fluid Velocity, Temperature and Heat Emission on MHD Free Convection Flow of Some Nanofluids .............. 401
K. Ramesh Babu and J. Buggaramulu
Micropolar Fluid Enfolded with Viscous Nanofluid: Three-Layer Flow ... 413
J. C. Umavathi and P. Sutkar
Finite Element Analysis of Unsteady Dispersion in Casson Fluid Flow .... 427
P. Nagarani, Victor M. Job, and Sreedhara Rao Gunakala
Thermosolutal Convection in a Tilted Porous Parallelogrammic Enclosure with Discrete Heating and Salting ................................. 439
P. Ravindra, Mahesha, Maimouna Al Manthari, and M. Sankar
An Application of Generalized Fourier and Fick’s Law over a Different Non-Newtonian Fluid .............................................. 449
R. Padmavathi and A. Revathi
Part III Operation Research
Production Inventory Model for Three Levels of Production with Defective Items, Shortages Including Multi-delivery Policy ........... 463
R. Pavithra and K. Karthikeyan
Accomplishment Expedients of Batch Arrival Queuing Model by Fuzzy Ordering Approach ................................................... 487
K. Sakthivel, N. Paramaguru, R. Ramesh, and P. Syamala
Analysis of a Retrial Bulk Arrival Queue with Secondary Optional Service Subject to Bernoulli Vacation, Server Breakdown and Customer Balking ............................................ 497
R. Harini and K. Indhira
Solving Neutrosophic Bi-objective Assignment Problem Using Different Approaches
S. Sandhiya and D. Anuradha
Analysis of Attainment Estimates of Loss System Queue
R. Ramesh and M. Seenivasan
Performance Analysis of an M/G/1 Retrial Queue with Two-Phase Service and Preemptive Resume Service Under Working Vacations and Working Breakdowns
N. Micheal Mathavavisakan and K. Indhira
Models of Goal Programming and R Programming to Earmark Acreage
K. Shalini and Sridevi Polasi
Neutral-Bipolar Fuzzy Sets and Its Applications
G. Aruna and J. Jesintha Rosline
Critical Path in an Intuitionistic Triangular Fuzzy Number for Time Cost Trade-Off in Project Network by the Modified Traditional Method 569
S. Priyadharshini and G. Deepa
Operations on Alternate Quadra–Submerging Polar (AQSP) Fuzzy Graphs and Its Applications 587
A. Anthoni Amali and J. Jesintha Rosline
Optimal Solution for Transportation Problems Using Trapezoidal Fuzzy Numbers 605
J. Boobalan and P. Raja
Heterogeneous Queueing Model with Intermittently Obtainable Server with Feedback 615
K. Divya, K. Indhira, and M. Seenivasan
An Economic Order Quantity Inventory Model for the Food Supply Chain with Waste Minimization based on a Circular Economy ... 627
S. Vennila and K. Karthikeyan
Achievement Estimations of Priority Queue System in Fuzzy Environment ...................................................................... 637
R. Ramesh, M. Kannan, and M. Seenivasan
Successive Approximation of Neutral Stochastic Partial Integrodifferential Systems with State-Dependent Delay and Poisson Jumps .................................................................... 659
R. Pradeepa and R. Jayaraman
A Hybrid Genetic Algorithm-Based Linear Programming Model to Optimize Feed Cost for Indian Ruminants: With Stochastic Model in Comparison 673
Ravinder Singh Kuntal, Vishal Patil, Radha Gupta, and Rajendran Duraisamy
Part IV Statistics
Outlier Detection Using the Range Distribution 687
Dania Dallah and Hana Sulieman
Presenting a Flexible Class of INAR(p ) Models to Analyze the COVID-19 Series in Mauritius 699
Noha Youssef, Naushad Mamode Khan, Ashwinee Devi Soobhug, Azmi Chutoo, and Shakil Ameerudden
Prediction of Social Status on Depression by Using Logistic Regression 709
K. Karthikeyan, Rashi Khubnani, Ishika Ahuja, and M. Seenivasan
Markovian Queueing Model with Single Working Vacation, Breakdown with Backup Server 725
M. Seenivasan and R. Abinaya
Exploring ARIMA Models with Interacted Lagged Variables for Forecasting 735
Baskaran Thangarajan, Nagaraja M. S., and B. V. Dhandra
A Novel Hybrid Model for Time Series Forecasting Using Artificial Neural Network and Autoregressive Integrated Moving Average Models 747
Baskaran Thangarajan, Nagaraja M. S., and B. V. Dhandra
Part V Graph Theory
Sigma Chromatic Number of Mycielski Transformation of Graphs 757
C. Yogalakshmi and B. J. Balamurugan
Bipartite Decomposition of Graphs Using Chromatic Number 769
M. Yamuna and K. Karthika
Degree-Based Topological Indices and QSPR Analysis of Some Drugs Used in the Treatment of Dengue 779
W. Tamilarasi and B. J. Balamurugan
Orientation Number of Two Complete Bipartite Graphs with Linkages 793
G. Rajasekaran and R. Sampathkumar
Packing Chromatic Number of Windmill Related Graphs and Chain Silicate Networks 803
Tony Augustine and Roy Santiago
Complementary Triple Connected Total Domination Number of a Graph
K. Priya, G. Mahadevan, and C. Sivagnanam
Pebbling Number and 2-Pebbling Property for the Middle Graphs of the Graph Obtained from Fan Graph by Deleting f Independent Edges 819
Arokiam Lourdusamy, Irudayaraj Dhivviyanandam, and Susaimanikam Kither Iammal
The de Bruijn Graph of Sequential Repetition of Patterns in DNA Strings
Wan Heng Fong and Ahmed Ildrussi
Independent Domination Number of Cyclic and Acyclic Graphs 835
S. Thilsath Parveen and B. J. Balamurugan
Computation of Complete Partite k-Zumkeller Graphs 845
M. Kalaimathi and B. J. Balamurugan
Characterizations of (γi , γDDS , γDSNS ) – Trees 857
K. Karthika and M. Yamuna
Mobius Cordial Labeling of Graphs 865
A. AshaRani, K. Thirusangu, and B. J. Balamurugan
Selfipendant and Extremal Pendant Graphs 879
Jomon Kottarathil and Sudev Naduvath
Part VI Mathematical Education
Computing the CD-Number of Strong Product of Graphs 891
L. Praveenkumar, G. Mahadevan, C. Sivagnanam, S. Anuthiya, and S. Kaviya
Detection of TCC-Domination Number for Some Product Related Graphs 901
G. Mahadevan, S. Kaviya, C. Sivagnanam, L. Praveenkumar, and S. Anuthiya
Learners’ Mental Constructions in Learning Circle Geometry 913
F. Abakah and D. Brijlall
Nα -Separation Axioms in Topological Spaces 923
Nadia M. Ali Abbas and Shuker Khalil
Investigating How the Activity, Classroom Discussion, and Exercise (ACE) Teaching Cycle Influences Learners’ Problem-Solving and Achievement in Circle Geometry 929
F. Abakah and D. Brijlall
Exploring Possible Teacher and Learner Support Structures to Improve Learner Mathematics Performance 939
S. J. Ivasen and D. Brijlall
A Study of Mathematical Epidemiology Model of Dengue Spread with Fractional Properties 949
Sonal
Jain, Ho-Hon Leung, and Firuz Kamalov
Part I
Differential Equations
High-Precision Algorithms for Fredholm Integral Equations
Fadi Awawdeh and Linda Smail
1 Introduction
In this paper, we present numerical schemes for second kind linear Fredholm integral equations (FIEs) of the form, (λ K ) y(t) = f(t),t ∈ Γ, (1) where K y(t) = f Γ K(t,s)y(s)ds (2)
and Γ can be a closed interval [a,b ] or an infinite interval like (0, ∞) or (−∞, ∞). Integral equation formulations of a wide variety of real-world problems are used in many branches of engineering and sciences. For example, boundary integral equation methods arise widely in potential flow calculations, crack problems in elasticity, electrostatic and elastostatic calculations, and perturbation theory in quantum mechanics.
There have been recent efforts to construct accurate numerical integrators for the Fredholm integral equation (1); see [1–6] and references therein. While such methods of good order of convergence exist, they require huge computations in
F. Awawdeh (O)
Faculty of Science, Department of Mathematics, The Hashemite University, Zarqa, Jordan e-mail: awawdeh@hu.edu.jo
L. Smail
College of Interdisciplinary Studies, Zayed University, Dubai, United Arab Emirates e-mail: linda.smail@zu.ac.ae
order to achieve high accuracy. In applications such as high-degree polynomial integration and spectral methods, the Gauss quadrature rules suffer occasionally because they require the use of a large number of nodes. Computing Chebyshev, Legendre, Jacobi, and Gauss-Jacobi nodes and weights implies locating the zeros of polynomials and evaluating their derivatives. Existing approaches for computing such nodes and weights have complexity O(n2 ), and the errors grow with n, which can be limiting when n is large. The algorithms described in this paper utilize exact and direct formulae for both nodes and weights. The new algorithms allow the computation of the nodes and the weights of the presented quadrature rules in just O(n) operations to about full double precision for any value of n
Inthiswork,theintegralin(2)isreplacedbyahigh-precisionquadraturescheme. After collocating at the quadrature nodes, this yields a system of linear algebraic equations. To obtain high accuracy methods, the discrete values of the solution at the nodes are replaced by a Nyström interpolation formula. We show that we can achieve a high accuracy for problems with smooth kernels on finite and infinite intervals.
After introducing the double exponential formulae in Sect. 2, we propose highprecision quadrature schemes to approximate the integral in (2). In Sect. 3,we describe a connection of these methods with the integral equation and propose numerical schemes for certain FIEs of the second kind. Finally, in Sect. 4,weshow the excellent rate of convergence of the proposed methods applied to our equation and discuss some examples.
2 High-Precision Quadrature Schemes
Consider the integral
where the integrand f(x) is assumed to be analytic on (a,b) except possibly at the endpoints.
Let φ : (−∞, ∞) → (a,b) be an analytic function. We also assume that φ is monotone increasing. By employing the transformation x = φ(t), we can express the integral (3)as
We employ the uniformly divided trapezoidal formula to numerically approximate the integral (4). To this end, we write, for h> 0,
where E is the discretization error and Ih = h ∞ E j =−∞ wj f(xj ) (5)
with xj = φ(hj) and wj = φ ' (hj) [7]. A suitable choice of φ(t) is when | |f(φ(hj))φ ' (hj)| | decays rapidly as |j | →∞. To truncate the infinite summation (5), we replace (5)by
I (N) h = h N + E j =−N wj f(xj ).
A formula that is constructed such that | |f(φ(t))φ ' (t)| | ≈ exp( C exp(|t |)),t →±∞,
where C is a positive constant, is called a double exponential formula. In this way, we can obtain the highest precision with the minimum number of function’s evaluations [8]. For example, if we deal with the integral I = f 1 1 f(x)dx,
then the transformation x = φ(t) = tanh ( π 2 sinh t )
gives a truncated double exponential formula, usually called the tanh sinh quadrature formula,
I (N) h = h N E j =−N wj,N f (xj,N ) , (6) with xj,N = tanh ( π 2 sinh hj ) ,wj,N = π 2 cosh hj cosh2 ( π 2 sinh hj ) . (7)
The tanh sinh rule is generally unsuitable for a direct use over large integration intervals, while the following transformations still display a double exponential decay rate:
t = exp ( π 2 sinh t ) for ∞ f 0 g(x)dx (8) and t = sinh ( π 2 sinh t ) for ∞ f −∞ g(x)dx. (9)
Using the mapping functions (8) and (9), we can construct the double exponential formulae:
f 0 g(x)dx ≈ πh 2 ∞ E
g (exp ( π 2 sinh hj )) (cosh hj ) exp ( π 2 sinh hj ) (10) and
g(x)dx ≈ πh 2 ∞ E j =−∞ g (sinh ( π 2 sinh hj )) (cosh hj ) cosh ( π 2 sinh hj ) . (11)
To better understand double exponential formulae and their error terms, we refer the reader to [7–9].
3 Computational Algorithms
3.1 Integral Equation with Smooth Kernel Function on [a, b ]
In this section, we restrict our attention to the FIE (1)–(2) where f(t) ∈ C ∞ ([a,b ]) and K(t,s) is smooth on [a,b ]×[a,b ]. We first extend the tanh sinh quadrature formula [10–13] to be applied on a general interval [a,b ] as b f a g(t)dt = b a 2 1 f 1 g( 1 2 ((b a ) t + b + a ))dt ≈ (b a ) 4 πh ∞ E j =−∞ wj,n g(sj,n ), where sj,n = 1 2 ((b a ) tanh ( π 2 sinh hj ) + b + a ) ,wj,n = cosh hj cosh2 ( π 2 sinh hj ) (12)
Using this formula, we approximate the integral K y(t) in (2), for a ≤ t ≤ b ,as
Kn y(t) = (b a ) 4 πh n E j =−n wj,n K(t,sj,n )y(sj,n ). (13)
Applying the double exponential formula (13) to the integral part of (2) yields
λyn (t) (b a ) 4 πh n E j =−n wj,n K(t,sj,n )y(sj,n ) = f(t),a ≤ t ≤ b, (14)
where wj,n and sj,n are given by (12).
To solve (14), we first find the values of yn at the abscissas {sj,n }. To this end, we collocate (14) at the abscissas to have the linear system:
λyn (si,n ) (b a ) 4 πh n E j =−n wj,n K(si,n ,sj,n )yn (sj,n ) = f(si,n ). (15)
We can obtain the solution to (1), for any t ∈[a,b ], by the Nyström interpolation formula: yn (t) = 1 λ ⎛
f(t) + (b a ) 4 πh n E j =−n wj,n K(t,sj,n )yn (sj,n )⎞ ⎠ ,a ≤ t ≤ b. (16)
More details about the presentation and the analysis of the Nyström method can be found in [2].
3.2 Convergence Analysis
In this part, we will discuss the convergence and error analysis of the approximate solutions of the proposed method in Sect. 3.1. We will primarily use the wellknown results regarding the Nyström methods from [2] and the errors of the double exponential formulae from [13].
It has been proved in [2] that, for sufficiently large n, the approximating equation (14) has a unique solution. Moreover, we guarantee the existence of a constant c> 0 such that |y yn |∞ ≤ c |K y Kn y |∞ . (17)
The error formula (17) is considered to be the error of the approximation (13).
The Euler-Maclaurin summation formula [11, 12] gives a very quick rate of convergence of order O(h2m+2 ) if K(t, ·) ∈ C 2m+2 [a,b ] for a ≤ t ≤ b .Inthis case, the bound (17) implies
|y yn |∞ = O(h2m+2 ). (18)
The parameter h is set to be equal to 2 k and n is chosen to be large enough so that | |sn,n b | | <eps ,
where eps is the arithmetic precision being used. Moving from one level 2 k to the larger level 2 (k +1) doubles the accuracy in the approximation.
Another error estimate of the proposed method can be obtained by following the methods presented in [1]. To accomplish this, the new scheme is assumed to predict the error in a geometric behavior: |y yn |∞ = O(h q )
for some q ≥ 1. Using three successive values of h,say hk , hk +1 = 2hk , hk +2 = 2hk +1 , we can estimate h using
where all the differences are calculated at the common nodes. In this case, we have the estimate:
We now look into establishing the stability of the Nyström method we have proposed. Let X = C ([a,b ]) with the max norm and let D be an open ball in C ([a,b ]) of radius 1 about the origin. Assume K(t,s) is continuous for t,s ∈[a,b ]. Following the procedure in [2], we can easily arrive to the following stability result.
Theorem 1 Let X = C ([a,b ]) with the max norm. Assume K(t,s) and Kt (t,s) are both continuous for t,s ∈[a,b ]. Then 1. for any compact operator φ : X → X, |(K Kn ) φ | → 0as n →∞, 2. |(K Kn ) Kn | → 0 as n →∞
3.3 Integral Equations over Infinite Intervals
We also study integral equations over unbounded intervals of the form
and λy(t) ∞ f −∞ K(t,s)y(s)ds = f(t), −∞≤ t< ∞ (20)
is found, we can solve (22)for yn (t) to get the Nyström interpolant: yn (t) = 1 λ ⎛ ⎝f(t) + n E j =−n wj,n K(t, sj,n )yn (sj,n )⎞ ⎠ (23)
Using the sinh cosh double exponential formula [11, 13] and the methods presented in Sect. 3.1, the solution of (20) can be approximated using the Nyström interpolant formula: yn (t) = 1 λ ⎛ ⎝f(t) + n E j =−n wj,n K(t, sj,n )yn (sj,n )⎞ ⎠ , (24) where ˜ wj,n and ˜ sj,n are given by (21).
4 Computational Details and Numerical Tests
In this section, we present the results of some numerical tests, to demonstrate the efficiency and accuracy of the approaches developed in Sects. 3.1 and 3.3. In what follows, we will denote the approximations (16), (23), and (24) by HPNS.
4.1 Implementation of the Method
Our implementations require a selection of the parameter h that controls the quadrature calculations and the estimation of the solution of the linear systems that results from the collocation process. The proposed methods were implemented as MATLAB m-files.
For testing the efficiency of the algorithms, we present the maximum true error at the nodes, enod , enod = | |y(si,n ) yn (si,n )| |∞ .
The maximum true errors, reported as eI , estimated by sampling 200 regularly spaced points in the interval [a,b ], will be helpful to assess the error of the interpolant. When the interval is infinite, we choose an argument section value, b , and measure the errors in [0,b ] for intervals (0, ∞) and in [−b,b ] for intervals (−∞, ∞). We solved the linear system (15) using the backslash operator in MATLAB.
In our implementation, we set h = 2 m , where m is the “level” of the quadrature calculations and n is chosen large enough to satisfy | |sk,n b | | <eps for k ≥ n.
The HPNS begins with h = 2 1 and reduces h in half until either a solution yn is found with sufficient accuracy or the final level m = 10 has been reached. For a given h, the abscissas tj,n and the weights wj,n can be computed once and then used for numerous problems.
4.2 Numerical Experiments
We will study, in this first example, Love’s equation [14]:
Table 1 Numerical results for Equation (25)with c = 0.01 and λ = 0.5
where f(t) is defined so that the exact solution is y(t) = 0.06 0.8s + s 2 .
This integral equation has a Runge kernel and arises in many models such as in electrostatics [1]. Results for the increasing values of the level m are shown in Table 1. The errors decrease rapidly when the number of nodes is sufficient.
In the results shown in Table 1, we find that roughly 3 2 2k abscissa-weight pairs are generated at level k , so that the total required for m levels is approximately 6 4 (2m 1). It should be mentioned that, as c approaches 0, the kernel function becomes very peaked along s = t ; hence, we need to increase the level m to approximate the integral accurately.
We also studied the FIE: y(t) = f(t) +
(s 2 + t 2 + 1)2 y(s)ds, (26)
where the function f(t) is defined so that the integral equation will have y(t) = e 0.2t cos t as its solution. The level of abscissa-weight pairs required to achieve the target accuracy 10 12 is m = 8. For this problem, 8 levels were generated for HPNS. Numerical results for this example, with n = 512 and running time 4.530171 seconds, are shown in Fig. 1. Note, however, that the estimated bound on the error decreases with n until about machine precision and we get that
enod = 1.7 × 10 12 and eI = 1.6 × 10 12 .
It is mentioned in [15] that direct Nyström method is not at all appropriate for this type of integrals, because the integrals do not have exponentially decaying characters. In this case, a rule obtained by mapping to a finite interval and then using an ordinary Gauss quadrature is far more appropriate.
5 Conclusion and Future Work
This work proposed and also compared different approaches to the numerical solution of the Fredholm integral equations of the second kind. All these approaches are based on the quadrature methods with piecewise linear, polynomial, or rational approximations. Numerical experiments demonstrate that the method based on
Fig. 1 Numerical results for Equation (26)
double exponential formulae with the Nyström interpolation is the most accurate for a variety of problems including problems with smooth kernels as well as kernels ranging from well-behaved functions on finite intervals, except possibly across the diagonal s = t , to kernels on an infinite interval. The HPNS algorithms are vectorized, making it very efficient in a variety of architectures and languages. Numerical results for a couple of examples have been reported. Those results showed the efficiency of the new methods for solving Fredholm integral equations with the low CPU time. We remark that all results of this paper extend without any additional difficulty to various types of integral equations. The method has flexibility to be expanded on integral equations with singular kernels. Looking into such extensions will be our future work.
References
1. Atkinson, K.E., Shampine, L.F.: Solving Fredholm integral equations of the second kind in Matlab. ACM Trans. Math. Softw. 34 (2008)
2. Atkinson, K.E.: The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind. Cambridge University Press (1997)
3. Atkinson, K.E.: Elementary Numerical Analysis. Wiley, New York (1993)
4. Atkinson, K.E., Bogomolny, A.: The Discrete Galerkin Method for Integral Equations. Math. Comput. 48(178), 595–616 (1987)
5. Atkinson, K.E., Potra, F.: Projection and iterated projection methods for nonlinear integral equations. SIAM J. Num. Anal. 24, 1352–1373 (1987)
6. Amosov, A., Ahues, M., Largillier, A.: Superconvergence of some projection approximations for weakly singular integral equations using general grids. SIAM J. Numer. Anal. 47(1), 646–674 (2008)
8. Takahasi, H., Mori, M.: Error estimation in the numerical integration of analytic functions. Rep. Comput. Centre Univ. Tokyo 3, 41–108 (1970)
9. Mori, M.: Developments in the double exponential formula for numerical integration. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Springer, Berlin, 1991)
10. Bailey, D.H., Jeyabalan, K., Li, X.S.: A comparison of three high-precision quadrature schemes. Exp. Math. 14, 317–329 (2005)
11. Bailey, D.H., Borwein, J.M.: Effective error bounds in Euler-Maclaurin-based quadrature schemes. In: Proceedings of the 2006 Conference on High-Performance Computing Systems. IEEE Computer Society (2006)
12. Borwein, J.M., Ye, L.: Quadratic Convergence of the tanh-sinh Quadrature Rule, D-Drive preprint #342 (2006). http://locutus.cs.dal.ca:8088/archive/00000342
13. Borwein, J.M., Bailey, D.H., Girgensohn, R.: Experimentation in Mathematics, Computational Paths to Discovery. A.K. Peters, Ltd (2004)
14. Pastore, P.: The numerical treatment of Love’s integral equation having very small parameter. J. Comput. Appl. Math. 236, 1267–1281 (2011)
15. Sloan, I.: Quadrature methods for integral equations of the second kind over infinite intervals. Math. Comput. 36, 511–523 (1981)
General Decay Estimate for a Weakly Dissipative Viscoelastic Suspension Bridge
Salim A. Messaoudi, Soh Edwin Mukiawa, and Mohammad M. Al-Gharabli
AMS 2010: 35B40, 74F05, 93C20, 93D20, 93D15
1 Introduction
Let Ω = (0,π) × ( �,�) ⊂ R2 be a thin rectangular plate as modeling for a suspension bridge, where the plate is partially hinged on the vertical edges: u(0,y) = uxx (0,y) = u(π,y) = uxx (π,y) = 0
as the downward displacement of a suspension bridge. The authors in [3] established a global existence result for (2) and also discussed several stationary problems. Berchio et al. [4] established the structural instability of nonlinear plates modelling suspension bridges. Gazzalo and Wang [5] modelled a suspension bridges through the von Karman plate equation. Messaoudi and co-authors [6–8] have investigated extensively the suspension bridge plate model (2) and established existence, decay and global attractor results. In this work, we consider
utt (x,y,t) + ∆2 u(x,y,t) + f t 0 g(t s)uxx (x,y,s)ds uxxt = 0,Ω × (0,T), (3)
coupled with the partially hinged boundary conditions
In this section, we recall some useful materials and assumptions. Throughout this work, we use C to denote a generic positive constant and consider the Hilbert space H 2 ∗ (Ω), defined in [3]by H 2 ∗ (Ω) = {w ∈ H 2 (Ω) : w = 0on {0,π } × ( �,�)} and endowed with the inner product
We denote by H (Ω) the dual of H 2 ∗ (Ω) and introduce, the following space:
H 1 ∗ (Ω) = {w ∈ H 1 (Ω) : w = 0on {0,π } × ( �,�)} ,
Another random document with no related content on Scribd:
nai talonpoikaisen. Niinkuin se sama Piessa-raukan eukkokin, joka sittemmin joutui vaimoksi Inarin papille.
— Entäs Ponnin Sohja? toimesi Ampru. Muistihan isä Tahvokin, että
Ponnin Sohja keikkui emäntänä Könkään pappilassa sen Junnupapin aikana?
Kyllähän Tahvo-vaari sen muisti, vaikka olikin hiukan epäuskoinen Muurmanneihin nähden. He olivat hänen mielestään liiaksi kulun päällä olevia… sellaisia ajelehtijoita, ettei hän oikein tiennyt. Mutta… saattoi hyvinkin… ei hän halunnut vastaankaan panna, vaikka toisinaan vahvasti epäilikin.
— Mikäs siinä, toimesi Ampru. — Kyllä Sapina rouvaksi kelpaa… varallakin yhtä hyvin kuin Ponnin Sohjakin.
Sabina istui takan kupeella pimennossa ja kehräsi. Häntä hiukan kiusasi omaisten vapaa juttelu. Isä varsinkin oli sellainen… kummallinen. Otti kaikki niin verisen vakavasti… vaikka tässä tapauksessahan tuon nyt sai ottaakin. Kyllä hänkin luotti Jonneen.
Ettäkö ylpeäksi —? Sabina pysäytti rukkinsa ja kuulosti. - Mitä se isä nyt taas oikein puhui? — Niin… tässä vain tuli mielheen, että kun sie tietysti reissaat sinne Ristiaaniin, kuninkhaan kaupunkhiin, ja saat nähhä kaiken sen komeuen, tulet ehkä ylpeäksi etkä enää muista köyhiä vanhempiasi.
Pyh! Isä taas joutavia. Minne Ristiaaniin se hän… Tännehän Jonne asettuisi heidän naapurikseen. Uutistalokas hänestä tulisi, korvenraivaaja ja karhunkaataja. Ei hän Ristiaaneista välittänyt.
Mutta nyt rupesi isä Ampru panemaan vastaan oikein voimainsa takaa. Hän oli kerran saanut ajatuksesta kiinni eikä halunnut sitä noin vain jättää. Muurmannin Jonne oli herra, kouluja käynyt ja puhui kahta kieltä. Vahinko olisi sellaisia lahjoja korpeen haudata. Niiden piti joutua käytäntöön. Ei hän, Ampru, hyväksynyt koko uutistalohommaa. Se kuului heille, oppimattomille, tämä metsässä möyriminen. Herra oli herra ja hänen piti hankkia herran paikka. Tiesi vaikka vielä ministeerinä pohottaisi Muurmannin Jonne. Sabinan täytyi väkistenkin hymyillä. Olihan hänkin joskus sellaista ajatellut, vaikka olikin sitten lyönyt sen mahdottomaksi. Mutta hiveli sentään hänen lapsenomaista sieluaan kuulla isän tuollaisia juttelevan.
Nyt otti setä Juhani sananvuoron. Hän oli kerran lukenut muutamasta työmiehestä, josta tuli ministeeri. Missä se nyt tapahtuikaan… siellä jossakin Eklannin maassa. Ja hän oli sentään tavallinen työmies. Oli kannellut jauhosäkkejä laivahaminassa selkä jauhossa. Mutta sitten kun pääsi kuninkaan lähimmäksi mieheksi, löi pitkän takin selkäänsä ja käyttäysi kuin herra. Koska raa'asta runtotyömiehestä saattoi tulla ministeeri, miksei sitten Jonnesta, jonka äitikin oli kuulemma ollut Ruijan hienointa aatelia opsysmannin tytär Vesisaaresta.
Setä Juhani oli oikeassa. Peijakas — oli sitä tuota tiedon roskaa Lunnasjärvelläkin! Se jos olisi tuo Juhani saanut kouluja käydä, olisi se pappi taikka rohvessoori.
Juhani setä pyyhkäisi pitkää partaansa. Olihan sitä elämän varrella tullut opituksi yhtä ja toista. Harva se taisikin niin tarkkaan präntätyn käyttää kuin hän, joka luki yksin uistinpaketin kuoretkin. Kerrankin oli sattunut käteen eklanninkielinen lappu. Senkin hän oli lukenut, vaikkei ollutkaan ymmärtänyt muuta kuin »Lonton.» Se
kuului olevan sen niminen kaupunki… jossakin siellä Tanskan takana.
Näin kuluivat talvi-illat takkavalkean ääressä. Sabinasta ja häntä odottavasta onnesta lähtivät puheet matkaan, kierrellen kaiken maailman meret ja maat ja päätyen aina lopuksi Sabinaan ja hänen onneensa. Se oli kuin maan pyörintää auringon ympäri. Niin — siitäkin oli keskusteltu muutamana iltana. Sitä pani Ampru ensin jyrkästi vastaan. Mutta kun hän sai kuulla, että Muurmannin Jonne oli sen kerran Tunturimajalla juurta jaksaen selittänyt, niin täytyi Amprun uskoa. Hollannin juusto oli ollut maapallona ja kattolamppu aurinkona. Sen ympäri oli Jonne kuljettanut juustoa, näyttäen, mille puolen maapalloa päivä kulloinkin paistoi. Se oli ollut hyvin järkeen pystyvä asia.
Mutta — se rautatie jäi sittenkin tulematta ja se pakkasi hiukan harmittamaan. Isä Ampru innostui vanhaan unelmaansa. Olisi se nyt ollut mukavaa Lunnasjärveltäkin piipahtaa Sabinaa katsomaan.
— Ei kaikki hyvät yhellä kertaa, huomautti Karuliina.
Eipä ei… mutta olisi se nyt ollut tavattoman lystiä rautahevosella jyryyttää. Ei muuta kuin istua selkäkenossa ja antaa huhkia vain. Kyllä kruunun voima veti.
Näin he keskustelivat nuo erämaan hurskaat sielut ja aina palasi keskustelu Sabinaan ja hänen onneensa.
Oliko tullut kirjettä vieläkään?
Ei ollut tullut ja sehän juuri Sabinaa huolestutti. Liekö mennyt perille sekään ensimmäinen kirje?
Ojah, perille oli mennyt. Se kun vain Jonne ei muuten joutanut kirjoittamaan. Sillä oli lukuja paljon.
Mutta — tiesikö kukaan, minne ukko Muurmanni oli hävinnyt?
Hänestä ei oltu kuultu pitkään aikaan. Oliko setä Juhani kuullut?
Olihan hän jotakin. Ristiaanissa kuului viime tietojen mukaan oleskelleen kuningasta puhuttelemassa. Aikoi perustaa oikean rautavalimon jonnekin Ruijan rantaan.
Siltä äijältä ne eivät neuvot loppuneet. Jos yhdessä maassa tie nousi pystyyn, niin aloitapas toisessa. Ja rahoja se aina sai. Liekö vielä Jonnen äidin perintöön koskenut.
Eihän äijällä ollut siihen oikeuttakaan. Siitähän kuului olevan oikein kirjakin. Ei ollut Jonne koskaan kertonut, kuinka suuri summa oli?
Ei ollut Sabinakaan kuullut; ei ollut tullut kysytyksi. Mutta kaipa sitä oli jonkin verran, koskapa Jonne oli kerran kertonut, että sillä oli turvattu tulevaisuus.
Tulevaisuus! Se sana soinnahti kauniilta lunnasjärveläisten korvissa.
Kaipa Sabina hiukan avustaisi heitäkin, kun kerran naimisiin joutuisi?
Sabina ei osannut siihen mitään sanoa. Ei hän ollut sitä ajatellut. Tietysti hän avustaisi, jos kerran jotakin saisi.
— Saisi edes kerran oikeaa hapriikin lankaa, tuumaili äiti Karuliina.
Se oli kuulemma niin liukasta kutoa.
Kyllä kotikehruulanka oli aina parempaa, arveli Ampru. Mutta, kunhan saisi oikean äkeen, jolla jyräisi näitä kivikkopeltoja. Se olisi jotakin!
Jokaisella oli joku toivomus. Setä Juhani toivoi sorvipenkkiä. Hänestä oli sorvaaminen aina näyttänyt erikoisen hupaisalta työltä. Hän oli kerran Könkäällä katsellut, kuinka nikkari sorvasi sängyntolppaa. Niin syntyi koivupökkelöstä ruusattu sängynjalka, että ihan ihme. Mitäs ne lapsukaiset toivoivat? Yksi toivoi rusinoita, toinen siirappivoileipää. Ampru oli kerran tuonut jouluksi puoli litraa siirappia Siosjärveltä. Siitä oli tehty siirappivoileipiä koko väelle. — Vähäänpä sie tyytyisit. Sabina hymähti. Pikku Anni oli viisas. Hän ei havitellut liikoja. Vaikka — kyllä kai nyt Jonne joskus antaisi sen verran, että saisi sisarilleen ostaa jonkun vaatekappaleen.
Vaatteista tahtoikin Amprun perheessä puute olla. Muuta oli sittenkin… kutakuinkin. Vaate oli kallista. Nytkin oli pikku Annilla Sabinan vanha röijy. Hihat oli kääritty laskoksille, jotta pikku kädet paremmin pääsisivät näkyviin.
Mistä se hänkin hääleningin saisi? Eihän nyt kehdannut vanhoissa, kuluneissa ketineissä Jonnen rinnalla vihillä seistä.
Mutta kyllä kai Jumala siitäkin huolen piti.
Kiitollisuus valtasi Sabinan mielen. Asiat olivat sentään paremmalla kannalla kuin alussa oli uskaltanut toivoakaan. Jonne ei ollutkaan hyljännyt häntä, vaikka hän niin oli luullut.
Sitä hän vain suri hiljakseen, että hän oli rumentunut. Entinen kukkea ihonväri oli kadonnut ja sijaan astunut kalvakkuus. Hän
katseli muotoaan Suomen-Huotarin lahjoittamasta peilistä ja silloin hän toisinaan raskaasti huokasi….
Epäilyskin kohotti päätään. Miksi ei Jonne kirjoittanut? Oliko niin, ettei hän joutanu?
Iltahetkinä kun omaiset nukkuivat lueskeli Sabina Jonnen entisiä kirjeitä. Muuan lause on erikoisesti painunut mieleen. Jonne oli kirjoittanut »Mie toivoisin, että elämä kukkisi meille kuin verenpisara kotipirttisi ikkunalla.»
Huokaus pusertautui Sabinan rinnasta. Sitä hänkin toivoi. Mutta elämä tuntui toisinaan niin toivottoman raskaalta. Tämä odotus, odotus.
Se oli pitkä kun iäisyys.
Amprun väki rupeaa laittautumaan levolle Sabina siirtää rukkinsa syrjään. Taas oli kulunut yksi päivä ja kevät oli askelta lähempänä. Ei ollut syytä heittäytyä huolten valtaan. Jonne saapuisi kuin kuninkaanpoika noutamaan Kunigundaa, joka tosin nukkui lattialla, mutta sittenkin pystyi uneksimaan kuin saduissa.
Sabina nukkuu ja näkee unta Jonnesta ja Ristiaanista. He kulkevat Ristiaanin katuja ja kaikki ihmiset katsovat heitä. Kuningaskin tulee vastaan ja pysäyttää Jonnen. »No, Muurmanni, hyvinkös malmia löytyy?» »Hyvinpä löytyy, herra kuningas… löytyypä niinkin ja aina vähän muutakin.» Jonne osoittaa Sabinaa ja jatkaa: »Tämänkin mie olen löytänyt Lapista.» Kuningas katselee Sabinaa tutkivasti ja sanoo viimein: »Sillä on pisamia kasvoissa ja se näyttää hiukan kalvakalta.» »Niin näyttää, herra kuningas, mutta kylläpähän siitä vuonkuu… kevätpuolheen…» »Aivan oikein, Muurmanni,
kevätpuolheen. Mutta — hoia sie sitä hyvin, jotta punaruusut jälleen kukkisit sen poskilla.» Jonne kumartaa kohteliaasti ja kuningas taputtaa Sabinaa olalle…
XIII.
Katajan Matti on saanut saunansa valmiiksi aikoja sitten. Hän on kylpenyt säännöllisesti joka lauantai ja tyytyväinen hän on ollut. Nyt ahertaa hän taas uutisrakennuksensa kimpussa; hän mielisi saada sen valmiiksi mikkeliksi.
Talvi on mennyt, sitä seurannut kevät ja kesä ovat takanapäin. On taas käsissä syksy.
Katajan Matti istuu hajareisin rakennuksensa katolla, kiinnittäen paikoilleen harjalautaa. Hän on onnellinen. Pirtin muuri on muurattu. Kuusi-Tuomas väylän varrelta on ollut hänellä muurmestarina ja itse hän on autellut, minkä on kerinnyt. Nyt oli vielä eteiseen saatava ovi ja ikkunat. Silloinpa olisikin pirtti valmis.
Katajan Matti antaa vasaran hetkeksi levätä ja vaipuu katselemaan edessään leviävää maisemaa. Kaamaslaki kohoaa mahtavana suoraan pohjoisessa. Sen huippu on kuuran peitossa ja alempana tunturin rinteellä muuttaa koivunlehti väriään. Keltaista ja punaista, tummempaa ja vaaleampaa näkyy joka suunnalta, mihin vain hänen katseensa kääntyy. Metsät ympärillä ovat noita värejä
ihan kirjavanaan. Ilma on kuulakas ja kirkas. Viime yönä on käynyt halla.
Tapahtuu erämaassakin jotakin. Ei yksin tämä halla, harmaja vieras kyläile mailla. Lentelee etelän lintukin, se haikaraksi mainittu, toisinaan yli Kiiluvaistunturin ja pudottaa tuomisensa lakeistorvesta sisään.
Viime huhtikuussa se oli saapunut jo ennen variksen tuloa ja tuonut
Sabinalle — pojan.
Kajahtaa pari, kolme vasaran iskua. Katajan Matti on lyönyt naulan harjalautaan. Siinäpä se olikin tarpeeseen; puri laudansyrjän tiukasti pärekerrokseen kiinni.
Kummat tunteet vellovat Katajan Matin povessa. Ei hän vihainen ole, kaukana siitä. Hänen piti vain kopauttaa naula tuohon paikkaan. Muuten olisi harjalauta jäänyt irvistämään.
Tapahtuu erämaassakin jotakin… tapahtuu… Sellainenkin ihmeellinen asia, että Katajan Matti, hiljainen mies, jonka silmissä aina asustaa kostea kiilto, rakastaa Lunnasjärven Sabinaa — siitä huolimatta, että tämä on saanut toiselle miehelle lapsen.
Ei ole Katajan Matti koskaan Sabinalle mitään puhunut, ei edes viitannut sinnepäinkään. Hän on niin omituinen; hän puhelee vain itsekseen. Rapatessaan syvennystä muurin kupeeseen on hän sanonut puoliääneen: »Siinäpä on Sapinan kirnulle paikka», ja rakennellessaan pirtin ulkoportaita: »Askellauat on laitettava leveät, jottei Sapinan jalka luiskaha hänen navetasta tulleshaan maitokiulun kanssa.»
Niin — navettakin oli valmis. Yksin lypsyjakkarankin hän oli tehnyt.
Sitäkin rustatessaan hän oli ajatellut Sabinaa.
Katajan Matti ei yhtään epäile, ettei hän Sabinaa saisi. Se ei johdu hänen mieleensäkään. Hänestä se on päivänselvä asia. Kun hän kerran Sabinaa rakastaa ja kun ei se Malmi-Muurmannin poikakaan tullut, on selvä, että Sabina suostuu häneen.
Ei hän alunpitäenkään ollut uskonut, että Malmi-Muurmannin pojassa olisi ollut sanansa pitäjää. Hän oli tutkinut sen miehen. Olihan hän siksi monta kertaa Muurmannin pojan taakkoja kantanut ja melkein joka kerta tämä oli tinkinyt sopimuksesta.
Samalla tavalla se oli tietysti tinkinyt Sabinankin asiassa.
Katajan Matti tarttuu vasaraansa ja jatkaa työtään. Vasaran iskut kajahtelevat kuulakassa syysilmassa. Niissä soi voima ja rehti, päättäväinen aikomus. Hän, Katajan Matti, ei Sabinaa pettäisi. Hän hoitaisi hänet ja hänen lapsensa…
Se pisti hiukan Matin sydäntä, että Sabinan pojan nimi oli Jonne. Miksi piti vielä tuon petturin nimi pojalle antaa? Eikö nyt muuta nimeä oltu keksitty?
Mutta — sehän oli Malmi-Muurmannin pojanpoika. Kaipa sille oli sitten ollut annettava isänsä nimi.
Katajan Matti tyytyi siihenkin. Mitäpä se häneen kuului. Pääasia, että hän ottaisi Sabinan ja pitäisi hänestä hellää huolta.
Iltapäivällä oli Katajan Matti päättänyt pistäytyä Amprun pirtissä. Silloin hän puhuisi asiansa.
Tämä syksy erosi suuresti edellisestä. Silloin oli vielä toivottu, nyt ei enää.
Muurmannin Jonne ei ollut tullutkaan.
Kuinka hartaasti Sabina oli häntä odottanut! Joka ilta viime kesäkuussa hän oli kävellyt Jonnea vastaan. Sieltä… Kaamaslaen takaa hänen piti tulla, hänen sydämensä valitun. Hän oli odottanut häntä jokaisessa tienkäänteessä. Mutta — Jonnea ei ollut kuulunut.
Kerran — muutamana pyhänä hän oli kulkenut Tunturimajalle saakka. Siellä oli ollut kuollutta ja liikkumatonta — paksut rautakanget ovissa ja luukut ikkunoissa. Vain tuuli oli vaisusti puhallellut puiden latvoissa ja yksinäinen orava oli katsellut häntä kuusen oksalta…
Hän oli palannut sydän tuskaa täynnä, väsyneenä ja onnettomana. Näinkö
Jonne hänet hylkäsi —?
Kotona hän oli hiukan virkistynyt. Siellä potki kehdossa pieni pulleasäärinen poika. Se hymyili hänelle. Sabina nosti lapsen syliinsä, painoi sitä rintaansa vasten ja nyt vasta heltisivät vapauttavat kyyneleet hänen silmistänsä.
— On sitä surkeutta kerraksheen! pauhasi Ampru. Hän oli muuttunut häijyksi ja kärtyisäksi sen jälkeen kuin toivo Muurmannin pojan paluusta oli sammunut.
— Kaikkia rutkaleita niitä ihmisinä kohellaankin! On sitäkin… kuvatusta tässä kahvilla helssattu senkin seittemät kerrat ja tuon se
nyt teki!… Ja kaikhiin maankulkureihin se siekin, Sapina, luotat.
Hyvä Isä sentään! Luottaneethan he olivat kaikki, isä etupäässä.
Mitä? Ampru kiivastui. Hänkö luottanut? Se oli valhe — musta valhe!
Amprua hävetti ja suututti, että hänkin oli mokomaan luottanut. Mutta hän ei halunnut sitä tunnustaa eikä siitä saanut puhua ainakaan hänen kuultensa.
Mutta isähän oli kuvitellut kuninkaat ja kaikki virkakunnat tämän asian yhteyteen. Mitäs nyt oikeaa asiaa kieltää.
Silloin Ampru lopullisesti suuttui. Hän sieppasi kirveen, työntyi rantteelle ja nyt saivat rangat tuntea hänen vihansa voimaa.
— Älä sie isää kiusaa, rauhoitteli Karuliina-äiti. — Yhenkaltaisessa erhetyksessä tässä on eletty kaikin.
Niin totta puhui Karuliina… juuri samankaltaisessa. Hänkin, setä
Juhani, oli ihan todesta luottanut Muurmannin poikaan.
Niin — setä Juhani ja äiti ymmärsivät ottaa asian rauhallisesti. He tyytyivät kohtaloon. Isä ja ukki olivat katkeroituneita, viimemainittu varsinkin. Sabina ihan pelkäsi häntä. Tuuheiden kulmakarvojensa alta tuijotteli vanhus häntä pahaenteisesti. Hän ei puhunut mitään, mutta kun hän tavantakaa pudisteli päätään ja huokasi syvään, tuntui Sabinasta toisinaan oikein kamalalta.
Näkikö ukki mitään? Hänhän oli oikeastaan tietäjä. Moni kopsalainen oli käynyt häneltä neuvoa kysymässä ja aina oli vanhus
auttanut. Mutta nyt saattoi hän toisinaan puhua sellaisia kummallisia sanoja, että ihan selkäpiitä karmi niitä kuunnellessa.
— Kummempia vielä kuulhaan, sanoi hän kerrankin. Mie en tieä, mitä se on, mutta risthiin lentelevät koivuvarvut, kun luutia tehen.
Karuliina hätääntyi.
— Älkää nyt suotta peloitelko tyärriepua. Eikö sillä ole jo tarpheeksi kärsimistä.
Ukki ei vastannut mitään, istui vain kyyryssä ja pudisteli päätään.
Toisen kerran hän sanoi:
— Kun omasta verestä nousee paha, on sitä vasthaan voimaton.
Sabina kuunteli ukin puheita pelko ja vavistus sydämessä. Mitä kuolemaako se ennusti — ukki? Ei kai äidin pikku poju vain kuolisi? Ei, ei, ukki vain omiaan höpsi. Se oli taas sillä päällä. Kyllä Jumala taivaastaan varjelisi heitä.
Sabina istui mietteissään ja tuuditteli lasta. Kaikenlaisia ajatuksia kulki hänen päässään. Mikä oli tuleva hänen pojastaan kerran? Herrako vai talonpoika? Sillä oli — pikku Jonnella kaikki isänsä tuntomerkit: kaunis, kaareva nenä, siromuotoinen suu ja musta tukka. Ainoastaan silmät olivat äidin: — ne olivat haalakat.
* * * * *
Illalla tuli Katajan Matti. Hän oli pukeutunut pyhävaatteisiin ja kellonperät riippuivat rentoina rinnalla. Ne olivat hiukan omituisemmat kellonperät kuin tavallisesti. Ne olivat
karhunhampaista tehdyt. Matin isä oli ollut kuulu karhunkaataja ja hän oli kerran Haaparannalla käydessään teettänyt kellonperät karhunhampaista. Mihinkäs Matti nyt aikoi, kun oli noin sonnustautunut?
Isä Ampru silmäili tutkivasti Mattia, aivan kuin aavistaen tämän asian. Olisipa toki hyvä, jos Matti korjaisi tyttären tästä pois. Jaloissahan tuo oli, kun ei joutanut talon töihinkään. Lapsi vei kaiken ajan.
Hän oli kerran ennen toivonut samaa. Silloin oli Sabina vielä tyttö. Oli tullut sitten sellainen aika, jolloin hän oli nauranut aikaisemmille kuvitteluilleen. Sabinako Matin vaimoksi? Heh! Muurmannin poika oli ilmestynyt näyttämölle ja lyönyt Matin laudalta kuin kuivan tallukan. Nyt hän taas taipui aikaisempiin ajatuksiinsa.
Pantiin kahvipannu tulelle. Matti teki niin juhlallisen vaikutuksen, että kahvipannu lensi lieteen kuin itsestään.
— Kopsaanko aiot? kysäisi Ampru äkkiä.
Matti kaiveli piippuaan. Hänen oli hiukan vaikea päästä alkuun. Vaikka ei hän yhtään peljännyt. Hänellä oli sellainen omituinen tunne, ettei epäonnistuminen tullut kysymykseenkään. Yhtäkaikki mietitytti, miten asian aloittaisi.
— En.
— No… mitäs sie nyt noin — tällissä? Harjakaisiako aiot pitää?
Matti silmäsi Sabinaa kuin salaa. Ahaa, jo pääsi Ampru varmuuteen. Tytärtä se meinasi.
Sabina oli myös huomannut Matin silmäyksen. Sama kostealta kiiltelevä katse kuin ennenkin. Hän muisti kesäyön Nooakin arkin maassa. Silloin oli Matti tuonut hänet kotiin. Samoin syysillan kosken niskassa. Silloinkin oli Matti tuonut hänet kotiin.
Tulisiko hän nyt noutamaan häntä kolmannen kerran?
Äiti Karuliina pesi kuppeja pöydän päässä. Hänkin oli miettiväinen. Hiljainen myhäily leikki hänen huulillaan. Kihlajaisetko tässä tulivatkin?
Hän oli ajatellut toisenlaisia kihlajaisia. Tuossa pöydän päässä, kellon alla, istuisi Muurmannin Jonne selkä kenossa, Ruijan leikkoja poltellen. Ja hän, Karuliina, kaataisi sille kahvia kuppiin käden hiukan vavahdellessa.
Mutta — vavahtelemaan pakkasi käsi nytkin — vaikka hän oli vasta kuppeja pesemässä. Vaikuttiko siihen epävarmuus Matin onnistumisesta?
— Sinulla alkaa talo olla valmis?
Ampru istui kahareisin penkillä ja leikkasi tupakkaa kukkaroonsa.
— Mikkeliksi pääsen asumhaan… vakituisesti.
Ampru innostui. Hän oli herkkä innostumaan.
— Niin se mies rytkää! Laittaa talon kylmhään mettään ja ihan yksin.
— Onhan sitä nyt aina väliin apuakin ollut… muurarikin ja muitakin… silloin tällöin.
— No joo… mutta vähän sie olet sittenkin muien apua tarvinnut.
Onhan tässä joku hirsi kiskotettu miehissä ylös, mutta sittenkin…
Kyllähän Katajan Matti sen kiitollisena myönsi, että auliisti oli
Amprukin apua tarjonnut, silloinkuin hän oli tarvinnut.
— Etkä sie sekhaantunut sen Malmi-Muurmanninkhaan homhiin, vaikka oli toisinhaan hyvätkin tienat tarjolla.
Eihän hän isosti. Jonkun taakan oli nakannut Kopsaan. Siinä kaikki.
Matti poltteli ja mietti. Laatuunkäypä mies tämä Ampru. Hyvän appiukon siitä saisi.
Nyt oli Karoliinalla kahvi valmiina. Hän kaasi kuppiin ja kehoitti Mattia ottamaan.
Matti siirtyi pöydän päähän. Hän kulki pikku pojan kehdon päitse.
Siinä nukkui Muurmannin Jonnen poika. Se auttoi asiaa alkuun.
— Jaa… sinulla se on jo valmis poikakin, sanoi hän hymyillen.
Sabina painoi päänsä alas. Hän ei vastannut mitään.
— Mie tässä arvelin, että etköhän sie nyt tarvitseisi sille isää, kun ei tullut se vasittu…
Sabina punehtui. Kyllä hän ymmärsi Matin tarkoituksen, mutta ei nytkään vastannut mitään.
— Mie tässä olisin… niinkuin emäntää vailla ja ajattelin sinua kysyä…
Nyt ei Ampru enää jaksanut itseään hillitä. Hän lausui:
— Kuulepas, Sapina, Matti pyytää sinua vaimokseen.
Suuret kyyneleet rupesivat vierimään Sabinan poskia pitkin. Minkävuoksi hän itki? Siksikö, ettei tuo pöydän päässä istuva mies ollut Muurmannin Jonne, ja että hänen nyt ehkä piti vastata kieltävästi? Vai siksikö, että tuo mies oli Katajan Matti, jolle ehkä sittenkin oli vastattava myöntävästi? Ei Sabina sitä itsekään tiennyt.
— Älä sie turhia itke, Sapina. Sinunhan pitäisi päinvastoin iloita, että Matti niin rehellisesti pyytää sinua vaimokseen.
Eihän Sabina itsekään tiennyt, oliko se iloa vai surua. Pääasia vain, ettei hän tahtonut kieltääkään. Hän ei puhunut mitään.
— Mie otaksun siis, ettei sinulla ole asiaa vasthaan.
— Mutta… jos Jonne palaisi, sai hän lopulta sanotuksi.
— Ei palaa, huokasi äiti ja samaa sanoi setä Juhanikin.
— Huihai! toimesi Ampru. — Vai että palaisi! Johan nyt, kun heinäkuun alussa tuli jo vuosi eikä ole ees kirjoittanut.
Isän puhe ei Sabinaan isosti vaikuttanut. Hän puhui kuin tuuleen. Toista oli äidin ja setä Juhanin. Kun he kerran olivat toivonsa menettäneet, oli kai turhaa enää hänenkään rimpuilla vastaan.
Hän ei vastannut mitään, katsahti vain hiukan ujosti Mattiin ja punoi palmikkonsa päätä.
Matti luki kuin kirjasta. Nuo olivat pettämättömät myöntymyksen merkit.
Hän virkkoi:
— Sitten lähen ensi viikolla kuulutusta ottamhaan.
Sabina ei äännähdäkään. Asia on päätetty.
Niin lähtee Katajan Matti kahvit juotuaan ja ohjaa askelensa uutisrakennukselleen. Hän on tyytyväinen ja hyräilee laulunpätkää. Ei hän monta sanaa ollut Sabinan kanssa vaihtanut, mutta mitäpä tarvittiinkaan…
Katajan Matti panee nukkumaan pirttinsä lattialle. Hänen toiveensa on täyttynyt. Tässä pirtissä askartelisi Lunnasjärven
Sabina kuukauden päästä… Mutta kehto hänen piti tehdä aivan ensi tilassa. Tietysti ei Ampru halunnut luovuttaa omaansa; ehkä itsekin vielä tarvitseisi…
Mutta ei hätää. Hänellä oli kuivia lautoja. Niistä hän kyllä pian kehdon kaputtelisi kokoon. Laittaisi oikein ruusatut jalat… sellaiset kiperänokkaiset. Siinäpä oli Sabinan sitten hyvä lastansa keinutella.
Katajan Matti nukkuu onnellisena nähden unta Sabinasta.
Katajan Matin pirtissä puuhailee Lunnasjärven Sabina. Hän on nyt Matin vaimo.
Viikko sitten he olivat käyneet Siosjärvellä. Siosjärven rovasti on heidät vihkinyt ja samalla vahvistanut pikku Jonnen kasteen. Matin nimiin se oli ristitty; niin he olivat sopineet. Vanha rovasti oli lempeästi nuhdellut heitä; — ei pitäisi rikkoa Luojan järjestystä.
Sabina oli kuunnellut vaieten punaiset läikät poskillaan. Matti oli lakkiaan pyöritellen vastaillut yksikantaan: »Niin … niinhän se…»
He olivat astuneet Kopsasta peräkanaa, Sabina edellä lasta komsiossa kantaen ja Matti perässä. Kopsan kievaritalossa oli tarjottu kahvit ja isäntä oli puhellut entiseen tapaansa: »No… mitenkä se nyt tämä kummilapsi jaksaa?» »Ja poikakin sillä jo on!» »No minkäs nimen pani Siosjärven pappi?»
Matti oli selittänyt, että Jonnehan oli… pojan ressun nimi..
»Vai Jonne.» »Korheien nimien perhään tet olette siellä Lunnasjärvellä.» »Eikös se Muurmannin poikakin ollut Jonne?»
»Olihan se», oli Matti vastannut… »Jonnehan se oli se Muurmannin poikakin.» »Sille tuo lie kaimaksi ristitty… tämäkin Jonne…» »Se kun on sellainen… soma nimi…»
»Sie taiat omistellakin pojan ittellesti?» oli Kopsan isäntä veistellyt. »Eikös se Muurmannin poika olekhaan tämän Jonnen isä?»
Eikö mitä. Kyllä se oli hänen poikansa.
Sitä sanoessaan oli Matti vahvasti punastunut, paljon enemmän kuin Siosjärven papin edessä. Hän ei tavallisesti valehdellut, mutta nyt oli täytynyt sekin synti tehdä.
Mitäpäs siitä, kun hän kerran Sabinaa rakasti. Rakkaushan peitti syntien paljouden… niin Sabinaan kuin häneenkin nähden.
Sabina ei ollut Kopsassa juuri monta sanaa sanonut. Olihan vain kiittänyt kahvista ja esittänyt: »Emmekhään jo lähe, Matti?»
Eikä Matilla ollut sitä vastaan ollut. Sopi lähteäkin. Hän oli sellainen peräänantavainen mies. Matkalla ei oltu monta sanaa puhuttu. Hirvijängän laidassa oli istahdettu levähtämään. Sabina oli syöttänyt lasta.
»Tähän saakka oli hyvin kuulunut Muurmannin herran ammutus.»
Sabina sen oli sanonut ja Mattikin oli innostunut. Oli se muutamilla ilmoilla kuulunut aina Kopsaan saakka. Hän oli kerran… sen pojan taakkoja kantaessaan Kopsan kievarin pihalla kuunnellut ja selvästi oli kuulunut. Mutta — silloin oli puhaltanutkin pohjoisesta.
Sabina oli luonut Mattiin kiitollisen katseen. Matin sydän oli lämmennyt. Olihan hauskaa, että edes joku asia kiinnitti Sabinan
