INTRODUCTION
The domains of statistics and probability – collectively referred to as stochastics – have at their core the concepts of attribute and quantity. Many of the mathematical methods and modes of inquiry within stochastics were developed to address the need to ascertain or measure the degree to which individual cases of objects (including living beings) and collections of individual cases possess specific attributes of interest. For example, one might be interested in investigating each of the following: The price of individual homes in a specific geographical location; the percentage of people in a certain population having various blood types; the prevalence of certain gene mutations among a species of lizard; the opinions held by individuals surveyed on a specific topic and the tendency among different groups of those individuals to hold specific categories of those opinions. We will return to such examples to problematize and unpack the concepts of attributes and measures of attributes later in this book. For now, a central aim of this introduction is to raise what we view as an important distinction: A vision of stochastic learning and instruction in which the concepts of attribute and their measures are only implicitly present, versus a vision of it in which these concepts are the explicit focus of inquiry, learning, and teaching.
The distinction between the implicit and explicit roles of attributes and quantities in stochastics that we endeavor to highlight is neither necessarily clear a priori nor easy to drive home succinctly. However, this distinction is critical for developing a coherent understanding of core ideas in stochastics, and it is a central and guiding theme of this book. Moreover, the distinction we allude to is not something that can be fully developed in an opening paragraph, rather its development will unfold gradually and progressively across the five chapters of this book.
Intended audience
This book is designed primarily as a resource for mathematics instructors interested in the teaching and learning of foundational ideas of statistics and probability for understanding, at the high school level and beyond. As such, the book assumes a mathematical knowledge and skill level no higher than the first year of college, including familiarity with conventional graphical inscriptions typically taught in introductory statistics. Having said this, we view this book as a somewhat atypical resource for two reasons: The first reason is its novel approach of grounding foundational ideas of statistics and probability in reasoning about quantities and in conceptual coherence –the meanings of which we explain in the next sections of this introduction. The second and related reason is the nature and content of the resources we present in the book. Many of these resources consist of activities designed to promote reflection on foundational stochastic ideas from the perspectives of quantification and coherence, with an important focus on conceptualizing such ideas and connections among them. We say more about these features of the book when describing its overview, structure, and contents in the final section of this introduction.
Another aim of this introductory chapter is to specify what we mean by quantitative reasoning and by conceptual coherence, particularly as they apply to the learning and teaching of foundational ideas in statistics and probability. We do so in the next two sections of the chapter.
Quantitative reasoning and its role in stochastic thinking
The key term “quantitative reasoning” appears in the subtitle of this book. This term or variants of it, such as “quantitative methods”, often appears in the title of introductory statistics courses at the college level, where they are usually simply synonyms for statistical methods or for topics involving statistical data. We contend that neither “reasoning” nor “quantity” is often the explicit conceptual focus or basis of such courses for the students enrolled in them – instead we suspect they are at best implicit attendant foundations of such courses as seen from the perspective of their designers.
Our use of “quantitative reasoning” in this book has a very specific meaning that requires explanation: It is not a mere synonym for statistical methods, and in fact, speaks to the book’s central focus on thinking explicitly about quantities and quantification in the realm of statistics and probability. Our use of the term “quantitative reasoning” (QR) refers to the broader conceptual framework developed by Thompson (2011, 1994) for addressing the learning and teaching of mathematics involving the conceptualization of quantities and quantification from a cognitive perspective. We describe some
important features of Thompson’s quantitative reasoning framework in general, and we indicate its relevance for the learning of stochastic thinking in particular.
In our view, the concept of quantity is rarely problematized in statistics and probability instruction, even when the term quantity may be explicitly used in such instruction. By this we mean that although quantities may figure prominently in the discourse of the discipline, in the teaching of the discipline quantities of interest are usually treated as if they are implicitly assumed to be pre-given entities existing in the world apart from people’s conceptualization of them. The QR frame turns this implicit assumption on its head by problematizing the concept of quantity – a quantity is viewed as a construct that a person conceptualizes in relation to objects (e.g., entities, people, etc.) that are embedded within particular situations, where such objects and situations themselves must be conceptualized so as to support thinking of an object as imbued with features seen as quantifiable. These ideas are succinctly captured in the following quote:
Quantities are conceptual entities. They exist in people’s conceptions of situations. A person is thinking of a quantity when he or she conceives a quality of an object in such a way that this conception entails the quality’s measurability.
(Thompson, 1994, p. 184)
In broad terms, the QR frame endeavors to coherently address questions such as: “how might we think of a specific object as possessing some attribute of interest in a way that supports thinking about how much of the attribute it possesses?” and “what might be a productive way to describe or measure the degree to which a specific object or entity possesses said attribute?”. In the specific discipline of stochastics, understanding such questions and what might constitute reasonable answers to them is complexified by features that are particular to the subject of the discipline – these features notably include randomness, variability, and non-deterministic prediction. Moreover, statistical thinking at its root requires conceiving of attributes and quantification on at least two levels of thinking: First at the level of the individual unit of observation – often referred to as a case, and second at the level of a collection of individual cases – commonly referred to as a data collection or data set. The above-mentioned thinking and conceptualizations constitute a necessary basis for building more complex and sophisticated ideas, such as the concepts of random processes and the outcomes of such processes (e.g., values of a sample statistic and distributions of such values). We stress that our prevalent use of words such as thinking, reasoning, conceptualizing, and conceiving reflects the QR framework’s grounding in cognition as previously mentioned.
Conceptual
coherence and its role in
stochastic thinking
Conceptual coherence is the other key term that appears in the subtitle of this book. The noun “coherence” is typically defined in non-technical fields as “the quality of being logical and consistent” or “the quality of forming a unified whole” (Apple Dictionary, 2019). The term is often used in a related sense in mathematics to refer to logical connections between topics in a curriculum (Schmidt, Huang & Cogan, 2004) or in the development of a mathematical theory (e.g., the axioms of probability and the measure-theoretic definition of probability) (Kolmogorov, 1951). While our use of “coherence” in this book is not incommensurate with the definitions above, we qualify its use with the adjective “conceptual” in order to signal an important distinction. Our aim is to signal our interest in having foundational stochastic concepts and ideas being interconnected and building upon one another in ways that make sense for learners, and that support and enable learners to develop an understanding of a system of ideas that fit together as a unified whole. When we speak of “concepts and ideas” in this last sentence, we mean as they are held in the minds of learners (i.e., teachers and students) –this emphasizes our interest in coherence among ideas, understandings, and ways of thinking rather than among curricular topics, objectives or chains of logical propositions disembodied from learners’ conceptualizations of them (Moore, 2013; Oehrtman, Carlson & Thompson, 2008; Thompson, 2008). More specifically, conceptual coherence in this book signals an emphasis on having foundational statistical ideas (e.g., individual cases, attributes of individual cases, and quantification thereof) make sense to learners. And it signals supporting learners’ ability to conceptualize more complex analogous ideas (e.g., collections of individual cases, attributes of those collections, and quantification of such attributes), and to understand how such ideas may build upon one another progressively to form an increasingly sophisticated network of ideas that work in tandem. The table in the next section of this introduction gives an overview of the progression of such stochastic ideas that will unfold throughout the five chapters of the book. The table’s right-most column indicates the central concept of focus of each chapter and associated levels of complexity that suggest how concepts build on one another progressively and with coherence.
General overview of the book’s structure and content
Each of the five chapters of this book focuses tightly on a relatively small number of specific foundational ideas in statistics and probability. At the same time, there is a discernible conceptual progression from foundational to increasingly sophisticated ideas across the five chapters, always with a
focus on ways of thinking and understandings that support linking these ideas together in meaningful ways for learners – a feature that speaks to the conceptual coherence theme of the book.
Chapter Chapter title
Chapter 1 Individual cases, attributes, and data
Chapter 2 Collections of cases, attributes of collections, and measures of such attributes
Chapter 3 Samples, populations, and quantifying their variation
Concepts of focus and complexity level
1 Individual cases and attributes of them
2 Comparison of individual cases along common attributes
3 Data collections and attributes of them
4 Operations on data collections and quantifying attributes of collections
5 Comparison of sub-collections and of measures of their attributes
6 Data collections as (representative) sub-sets of a larger collection of individual cases
7 The population-sample relationship and the dual logic of statistical inference and
8 Variation as a central attribute of data collections
9 Different types of variation
10 Building functions to quantify variation in data collections
11 Statistics and parameters
12 Meta-collections (collections of measures of an attribute of a collection)
Chapter 4 Processes, randomness, and probability
Chapter 5 Sampling distributions and statistical inference
13 Types of processes: Their nature and their products
14 Meanings of randomness
15 First-order stochastic processes and the concept of distribution
16 Probability as a measure of a stochastic process’ tendency over the very long run
17 Second-order stochastic processes and meta-collections
18 Two applications of distribution and probability in inference:
a Estimating population parameters:
i Point estimation
ii Confidence intervals
b Hypothesis testing as deciding between two models for a population:
i Building and interpreting a statistic
ii Working with and understanding p-values
iii Formulating decision thresholds in relation to p-values
The content of each chapter consists of a conceptual analysis (Thompson, 2008) of the foundational ideas addressed in the chapter. A conceptual analysis in this book consists of a discursive text that describes and highlights essential features and “learnable” ways of thinking and imagining entailed in conceptualizing the foundational statistical ideas at hand, framed in terms of reasoning about quantities and conceptual coherence. Conceptual analyses will identify and describe understandings and ways of thinking that are seen as key for conceptualizing particular foundational ideas, and for the development of other ideas that may build upon them in the subsequent chapters (Simon, 2006). Such analyses may also outline ways of thinking and understandings that may be unproductive and potentially disable learners from developing an understanding of more sophisticated subsequent ideas.
The conceptual analyses in each chapter are interspersed with, or followed by, instructional activities designed to promote reflection and understanding of the ways of thinking highlighted in those conceptual analyses. These activities are of two kinds: (1) Mini activities have a relatively narrow focus and target specific smaller concepts. These activities are often presented immediately after the parts of a conceptual analysis that address such concepts.
(2) Integrating activities have a broader focus, usually targeting multiple ideas with the aim of having the reader integrate them in certain ways and make deeper connections among them. Integrating activities are sometimes presented after sections of a conceptual analysis, at other times their placement is intended to provide an experiential basis for understanding certain analyses that might otherwise be less meaningful or more difficult for readers to understand.
The activities in this book often draw on ideas, contexts, and results from the research literature in mathematics and statistics education, as appropriate to advance the goals of the conceptual trajectory outlined across the five chapters. Activities may draw on such literature either for material support, or for the purpose of contrasting a perspective on stochastics learning and instruction grounded in quantitative reasoning and conceptual coherence with the mainstream literature in statistics education which usually has a different grounding and focus.
Although the activities in this book are designed with teachers of statistics in mind as learners, many of these activities can be used in their current form with high school and college students in the classroom. Alternatively, activities may be adapted for classroom use depending on the ideas one wishes to highlight and develop with students. Having said this, we should clarify that this book is neither designed to be a curriculum nor a textbook on “how to teach statistics” per se. Instead, we view this book primarily as a resource for informing practicing and prospective mathematics and statistics instructors’ understandings of foundational stochastic concepts and ways of thinking. It is our hope that being so informed would in turn help instructors make
informed and judicious choices about statistics curricula they might be mandated to implement, and about ways of thinking they might need to engage their students with for developing understanding of key concepts in such curricula.
A companion website to this book is available at https://neilhatfield. github.io/IMPACT_Statistics/.
This website contains a directory of resources – data collections and webbased applets – used in some of the instructional activities. Clicking on any active link listed in this directory will take the reader to the appropriate resource used in the referenced activity. The companion website will also propose answers to selected instructional activities in this book.
References
Kolmogorov, A. N. (1951). Foundations of probability theory. NY, New York: Chelsea.
Moore, K. C. (2013). Making sense by measuring arcs: A teaching experiment in angle measure. Educational Studies in Mathematics, 83, 225–245.
Oehrtman, M. C., Carlson, M. P., & Thompson, P. W. (2008). Foundational reasoning abilities that promote coherence in students’ understandings of function. In M. P. Carlson, & C. Rasmussen (Eds.), Making the connection: Research and practice in undergraduate mathematics (pp. 150–171). Washington, DC: Mathematical Association of America.
Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2004). A coherent curriculum: The case of mathematics. Journal of Direct Instruction, 4(1), 13–28.
Simon, M. A. (2006). Key developmental understandings in mathematics: A direction for investigating and establishing learning goals. Mathematical Thinking and Learning, 8(4), 359–371.
Thompson, P. W. (1994). The development of the concept of speed and its relationship to concepts of rate. In G. Harel, & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 179–234). Albany, NY: SUNY Press.
Thompson, P. W. (2008). Conceptual analysis of mathematical ideas: Some spadework at the foundations of mathematics education. In O. Figueras, J. L. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano, & A. Sépulveda (Eds.), Plenary paper presented at the annual meeting of the international group for the psychology of mathematics education (Vol. 1, pp. 31–49). Morélia, Mexico: PME.
Thompson, P. W. (2011). Quantitative reasoning and mathematical modeling. In L. L. Hatfield, S. Chamberlain, & S. Belbase (Eds.), New perspectives and directions for collaborative research in mathematics education. WISDOMe monographs (Vol. 1, pp. 33–57). Laramie, WY: University of Wyoming.
INDIVIDUAL CASES, ATTRIBUTES, AND DATA
This first chapter lays the groundwork for the subsequent chapters by explicitly addressing the conceptualization of three key interrelated ideas in statistics: (1) the concept of the individual unit of observation – referred to as a case, (2) attributes of cases, and (3) exemplifying attributes in individual cases. As mentioned in the introduction, the chapter presents conceptual analyses of these ideas: By this we mean that we will describe essential features and learnable ways of thinking, understanding, and imagining entailed in conceptualizing these foundational ideas, framed from the perspective of reasoning about quantities and conceptual coherence whenever appropriate. Specifying these three ideas through conceptual analyses gives us what Simon (2006) calls key developmental understandings, in that they form a conceptual foundation for understanding more sophisticated ideas developed in the subsequent chapters of the book. The conceptual analyses presented in this chapter are interspersed with short activities designed to provoke active reflection on key, and often subtle, ideas developed in the analyses. Longer activities appear at the conclusion of each major section of the chapter, the goal of which is generally to engage the reader in drawing together, and reflecting on, ideas developed in the conceptual analyses presented up to those points. Both types of activities can be adapted for use in the classroom.
1.1 Concept of individual case
We use the terms “individual unit of observation” and “individual case” synonymously. In addition, our use of the adjective “individual” in each term is deliberate and reflects a certain implied duality in how one should think about the concept of a case in statistics. A specific individual case of some kind of object or living being should be thought of as one particular exemplar of a
DOI: 10.4324/9781003129653-2
collection of same-type objects or living beings. For instance, when thinking of the entity called “a student” it is useful in statistics to be able to imagine a particular student as being one exemplar of a group of students all of whom possess some common general attributes. General attributes that might be shared among a group of individual students include hair color, height, weight, age, nationality, birthplace, and educational level. We think of these attributes as being general in the sense that they are features typically possessed by all students, although we can imagine (and expect) these features to vary in how they are exemplified among the particular students in a group. When thinking of a particular student, in a statistical context, it is useful/necessary to give specificity to these general attributes as a way to exemplify them either descriptively (e.g., red as exemplifying the student’s hair color) or quantitatively (e.g., 120 cm as exemplifying the boy’s height) for the particular case at hand.
MINI ACTIVITY 1.1
a Identify at least two other general attributes of a student, each one being of a kind that can be exemplified only descriptively. Give at least three examples of a specific exemplification of each attribute.
b Identify at least two other general attributes of a student, each one being of a kind that can be exemplified quantitatively. Give at least three examples of a specific exemplification of each attribute.
MINI ACTIVITY 1.2
a Describe a particular object of your choice and a group of objects of the same kind, of which your object is one exemplar.
b Identify at least two general attributes (one of each kind as above) shared by all the objects in this group.
c For the particular object you chose, specify how it exemplifies each of the general attributes identified in part b.
MINI ACTIVITY 1.3
Students in a middle school class engaged in an activity in which they were asked to give an example of a collection of objects that could be compared to one another. Figure 1.1 displays an example given by some students:
FIGURE 1.1 A set of objects presented by students.
a How does this set of objects compare with the type of collection you imagined in Mini Activity 1.2?
b Would it be sensible to ask/answer questions (a), (b), and (c) from Mini Activity 1.2 for these students’ set of objects? Please explain your answer.
c Propose a way of thinking (on the part of the students who made this set) that would make this set a statistical collection.
Thinking of an individual case of something in relation to an imagined collection comprised of a multitude of such things is foundational in statistics. This is so because the discipline of statistics is, at some level, essentially about describing, measuring, and comparing aspects of collections of entities of the same class and drawing conclusions on the basis of such descriptions, measurements, and comparisons. The concepts collection of cases and attributes of collections will be developed in the subsequent chapters. We, therefore, defer more substantive discussion of them until that point. Our central aim in this section is to outline important ways of thinking about individual entities that comprise such collections and attributes shared by those individual entities. The discussion above also touches on two related distinctions so central to statistical thinking that we make them explicit in the next two sections.
1.2 Concept of qualitative attribute versus concept of quantitative attribute
As noted in the discussion above, some attributes are of a kind that can best be exemplified descriptively. In statistics, these are referred to as categorical or qualitative attributes. This naming is suggestive of the practice of exemplifying such attributes by specifying descriptive categories intended to capture specific qualities possessed by (or associated with) individual cases. Other attributes can be exemplified quantitatively – that is, in terms of a measurement that quantifies the extent to which an individual case possesses this general attribute. These are referred to as quantitative or measurable attributes in statistics. The ability to distinguish between qualitative and quantitative attributes is vital for statistical thinking. But it is also useful to understand this distinction in a unifying way – that is, as two different ways of exemplifying the unifying
concept of an attribute of some object of interest, depending on the nature of the attribute. In other words, in both instances, one is thinking of an attribute of an object of interest. However, one understands that some attributes can be exemplified in terms of a measurement that expresses how much of those attributes an object possesses (quantitative), whereas other attributes are not amenable to such an exemplification and instead need to be specified descriptively (qualitative). In sum, the unifying concept here is that of an attribute, while the distinguishing concept is that of the expression or exemplification of an attribute. Being mindful of this distinction in relation to the unifying underlying concept of attribute lends coherence to one’s thinking in statistics. Before developing the concept of quantitative attribute in the next section, we must point out that our use of the term attribute as a synonym of feature, aspect, quality, or characteristic in this book is non-standard and corresponds to the term variable conventionally used in statistical parlance (e.g., qualitative/categorical variable versus quantitative variable). We will explain the rationale for adopting this nomenclature in a later chapter. For now, suffice it to say that our choice of the term attribute is based on it having a more intuitive and transparent meaning than the term variable.
1.2.1 Specific aspects of thinking about quantities and quantification
The characterization of quantitative attribute presented above derives from a broader conceptual framework developed to address the learning and teaching of mathematics involving the conceptualization of quantities and quantification from a cognitive perspective (Thompson, 2011, 1994). Thompson’s quantitative reasoning (QR) framework views the concept of quantity as a construct that a person conceptualizes in relation to objects (e.g., entities and people) that are embedded within particular situations. Moreover, such objects and situations themselves must be conceptualized by learners so as to support thinking of an object as imbued with features seen as quantifiable. These ideas are captured in the following quote from Thompson:
Quantities are conceptual entities. They exist in people’s conceptions of situations. A person is thinking of a quantity when he or she conceives a quality of an object in such a way that this conception entails the quality’s measurability. A quantity is schematic: It is composed of an object, a quality of the object, an appropriate unit or dimension, and a process by which to assign a numerical value to the quality.
(Thompson, 1994, p. 184)
Thompson’s reference to a quantity being “schematic” implies that it is useful to view the act of conceiving a quantity in terms of identifiable components of thinking that play a key role in constituting the quantity in a person’s mind. As implied in some of the examples and activities presented in this
chapter so far, key components entail thinking of an object in the first place (e.g., thinking of a student), then imagining that object as possessing some attribute of interest (e.g., thinking of a student’s having a height – the linear extension from the soles of her feet to the top of her head when standing erect), and imagining that attribute as being quantifiable in the sense that one can imagine measuring it in some appropriate unit (e.g., expressing a student’s height in terms of a number of centimeters). This last component enables one to associate a specific numerical value with the attribute in question as a quantitative expression of the extent to which a particular individual case possesses that attribute – that is, “how much” of the attribute a specific case possesses. The last component of the QR frame mentioned above entails being mindful of a crucial, but subtle, distinction: That between the quantifiable attribute in question and expressions of it in a particular measuring unit. Put another way, there is an important separation to be made between a quantity and values of the quantity. For instance, thinking of a student having a height is not the same as thinking of a value that expresses that height (at a given point in time) in a particular measuring unit. A student’s height may be expressed as a value representing some number of centimeters, and it may also be expressed as a different value representing some other measuring unit. For example, 147 cm, 58.87 inches, and 4.82 feet are different values expressing the attribute called height for one particular student, but none of them is the actual attribute being quantified for that student. The activity that follows is intended to engage your thinking about this important distinction in a different context.
MINI ACTIVITY 1.4
Context
Consider the region in the plane composed of a circular disc of radius r (see Figure 1.2). Such a region can be thought of as having the attribute conventionally called its area. The expression π 2 r gives the measure of this area as a function of the disc’s radius.
1 Attempt to describe the meaning of this attribute (area of a disc of radius r), in the same way that we characterized the meaning of a student’s height in the preceding example.
2 Here are three values (rounded to the nearest hundredth place) representing disc areas: 452.39 cm2, 70.12 in2, and 0.49 ft2.
i What would constitute an individual case of a circular disc corresponding to these area values?
ii How many distinct individual cases are represented by these three values?
3 Here are three other values (rounded to the nearest hundredth place) representing disc areas: 28.27 cm2, 78.54 cm2, and 113.10 cm2.
i What might constitute an individual case of a circular disc corresponding to these area values?
ii How many distinct individual cases are represented by these three values?
4 Two middle school students debated their responses to Question 2 given above. Andy claimed that the three values represent three discs, whereas Steve claimed that they represent a single disc. Describe the thinking that might explain each of these students’ responses.
1.2.2 Quantities and their units of measure
Quantification is the process of conceptualizing an object and an attribute of it so that the attribute has a unit of measure, and the attribute’s measure entails a proportional relationship […] with its unit.
(Thompson, 2011, p. 37)
The quote above presents the important idea of an attribute’s measure entailing “a proportional relationship with its unit”. We explain this idea and its importance by drawing on the preceding examples. When describing a student’s height as being 147 cm, this involves thinking of a comparison being made between that height (i.e., the linear extension from the soles of the student’s feet to the top of her head when standing erect) and a measuring unit called a centimeter. The comparison entails the process of determining the height by relating it in a multiplicative way to this unit – that is, by determining the height as being so many times as much as 1 cm. The fundamental
FIGURE 1.2 A circular disc of radius r
1.3 Measure as a multiplicative comparison.
imagery here is essentially one of laying down a ruler called a “centimeter” along the height in question and iterating it end-to-end so as to express that height as being constituted by some number (including a fractional number) of centimeters. This comparison process produces a value associated with the height that expresses it in terms of the measuring unit – the centimeter. Specifying a student’s height as a number of feet instead, the fundamental imagery of the measuring process is the same except that one imagines using a ruler called a “foot”, and one understands the resulting value associated with the height to express that height as being so many times as much as that measurement ruler (Thompson & Saldanha, 2003). Figure 1.3 conveys this fundamental imagery of the measuring process.
The importance of expressing a quantitative attribute in terms of a proportional/multiplicative relationship with a unit of measure is that it enables comparing the degree to which individual cases possess such an attribute in relative terms. This means effectively using the amount of the attribute possessed by a specific case as a reference for expressing the amount possessed by some other case being compared to it. For example, we can compare the heights of two students, say 147 cm and 102 cm, by considering the ratio of these values and thereby express either height as a multiple of the other: The taller student is 147/102 = 1.44 as tall as the shorter student, and the shorter student is 102/147 = 0.69 as tall as the taller student (see Figure 1.4). Put another way, the taller student possesses 1.44 times as much height as the shorter student. Conversely, the shorter student possesses 0.69 times as much of this attribute as the taller student.
This distinction between a quantity and values of it developed in Section 1.2.1 is highly relevant for statistical thinking, as it constitutes a conceptual
FIGURE
FIGURE 1.4 Student A’s height is measured in units of Student B’s height: A is 1.11 times as tall as B, and B is 0.69 times as tall as A.
foundation for a coherent understanding of the relationship between the concepts of attribute and data in statistical contexts. Moreover, as already implied in Section 1.2 of the chapter, there is an analog of this distinction in the case of qualitative attributes: It is that exemplifications of a given qualitative attribute in individual cases are specific expressions of the attribute by those cases. This relationship and distinction are made explicit in Section 1.3 of the chapter, which is presented after the following activity intended to engage the reader in reflecting on the ideas developed thus far.
INTEGRATING ACTIVITY 1.1
Context
The Nabisco corporation introduced a new item to its line of Oreo cookies with much fanfare: Double Stuf Oreos® are advertised as containing double the amount of crème stuffing as regular Oreo cookies. Some skeptics question this claim and wish to determine whether this is in fact the case.
1 What might reasonably constitute an individual case for exploring Nabisco’s claim?
2 Describe the attributes that would need to be considered to explore this claim.
3 Identify each of the attributes as being qualitative or quantitative.
4 Give at least two exemplifications of the qualitative attribute(s).
5 For the quantitative attributes, propose a measurement process (i.e., a way to quantify each of them). Give at least two exemplifications of each quantitative attribute.
6 In the context of a high school class discussion about identifying relevant attributes and data for the Nabisco scenario, a student raised the following question: How could it be that one particular cookie has two different measures representing the same amount of cream stuffing?
Weight of cream stuffing (grams)
Weight of cream stuffing (ounces)
3.08 0.108
Interpret this student’s question: What thinking is at the root of it? How might this student be thinking that is not consistent with the ideas developed in this chapter regarding quantities and quantification?
1.2.3 The problematicity of conceiving quantities and of quantification
Several of the examples of quantities and their measures presented in Section 1.2.2 are likely familiar to the reader (e.g., height and length), and they may seem relatively unproblematic to conceptualize. This section presents a few examples of attributes that were difficult to measure until the attributes themselves were conceived more clearly.1 The central aim here is to highlight the potential complexity of the quantification process – “the process of conceptualizing an object and an attribute of it so that the attribute has a unit of measure” (Thompson, 2011, p. 37).
EXAMPLE 1.1: STUFF-NESS
How much “stuff” is something made of? This attribute is not the same as how much something weighs, as any object weighs less on the moon than it does on Earth, even though in each place it is made of the same amount of “stuff”.
Scientists addressed this question by creating the concept of mass.
EXAMPLE 1.2: HOT-NESS (AKA TEMPERATURE)
Temperature is a measure of the average kinetic energy of an object’s atoms. Put another way, it is a measure of the motion of the atoms that make up the
Another random document with no related content on Scribd:
päärakennuksenkin. Islantilainen talo on sen vuoksi vähän sen näköinen kuin kappale pienen kaupungin katua. Siinä luulisi olevan monta pientä mökkiläisasumusta yhdessä ryhmässä, vaikka kaikki rakennukset kuuluvatkin samaan talouteen. Eräässä ulkohuoneessa säilytetään kaikenlaisia ulkotalouskapineita, toisessa on paja, joka ei koskaan puutu islantilaisesta — sen enempää kuin suomalaisestakaan — talosta. Lehmi- ja lammasnavetat sekä talli tavallisesti ovat jonkun matkan päässä asuinrakennuksesta ja kalankuivaushuoneet niinikään. Varakkaampien talot ovat tavallisesti pihoineen ylt'ympärinsä turveaidalla ympäröidyt. Islantilaisen koti ei siis meikäläisiin oloihin verraten ole kovin tilava eikä viihdykäskään. Se on lisäksi sangen kostea. Mutta puitten puute ja maan järkkyminen estävät parempia taloja rakentamasta. Pohjoisrannalla ja itärannalla on kuitenkin käytetty enemmän puuta, sillä niille rannoille merivirta kuljettaa paljon ajopuita, jotka luultavasti ovat aina Siperiasta kotoisin. Siperian suuret joet niitä kevättulvilla purkavat Jäämereen mahdottomia ryteikköjä, merivirta kuljettaa puut navan poikki, ja osa lopulta päätyy Islannin ja Grönlannin rannoille. Ne ovat merimatkansa suorittaneet saman virtauksen mukana, joka toi Nansenin »Framin» navan ohi Atlantin meren pohjoisosiin.
Paljon hankaluutta tuottaa islantilaisille se seikka, että polttoaineita on niin niukalti ja että ne ovat niin huonoja. Uuneja ei taloissa siitä syystä ole ensinkään, avoimet liedet vain. Kun ajopuita harvoissa paikoissa saadaan riittävästi eikä poltettavaksi pätevää koivumetsää ole juuri ensinkään, niin polttaa islantilainen suoturvetta. Mutta hänen suoturpeensa ei ole yhtä hyvää, kuin Tanskan ja PohjoisSaksan. Usein se on rikkipitoista ja lämmittää huonosti. Apuna poltetaan hevosen- ja lehmänlantaa, vaikka sen kautta maanviljelys menettää tärkeän lannotusaineen, jota se kovin hyvin tarvitsisi. Lehmänlanta levitellään niityille, saa olla niillä koko talven ja keväällä
kuivaneena tuodaan taloihin poltettavaksi. Semmoisilla polttoaineilla ei tietenkään voida pitää huoneita yhtä lämpöisinä kuin meillä Suomessa, jossa uuneissa päivät pitkät palaa kovia kuivia halkoja. Mutta vielä paljon huonommin on köyhien kalastajien lämmityksen laita. Heillä kun on hyvin vähän kotieläimiä, niin ei ole edes lantaa polttaa. Kalastajat sen vuoksi kokoavat rannikolta mitä suinkin palavaa löytävät, kalantotkuja, luita, maalle ajautuneita kuivaneita merileviä, sieniä. Vestmannasaarilla ei aina ole sitäkään. Siellä enimmäkseen poltetaan kuivattuja lintuja — samoin kuin monessa paikoin pääsaarellakin, milloin ei muuta polttoainetta ole. Varsinkin lunneja ja myrskylintuja poltetaan. Lunnin rintapuoli leikataan pois ja suolataan syötäväksi, muu osa kuivataan ja poltetaan. Myrskylinnun pää, siivet, kynnet, ja sisälmykset sekotetaan lehmänlantaan, seos kuivataan ja poltetaan. Helppo on arvata, minkälaista käryä semmoisesta polttoaineesta lähtee, etenkin kun ei ole kunnollisia liesiä. Mutta lämpö on aina suloista, ja kahta suloisempaa niin kolkossa, tuulisessa ja kosteassa maassa kuin Islanti on.
Ruuasta ei Islannissa sitä vastoin ole niinkään puutetta, vaikk'ei meikäläinen heidän ruokiaan juuri kiittäisi. Meri ja joet antavat kalaista karjaa. Laitumilla on joka talolla sadottain lampaita ja hyvät ovat lehmikarjatkin. Mutta hevosen lihaa ei Islannissa enää syödä. Leipää syödään vähän, sillä se on kaikki ostettava. Leivän sijasta purraan suolaamatonta kapakalaa, joka on kuivaushuoneissa kuivattu. Kuiva kala sinään piestään kivellä mureaksi ja sekotetaan sitten suolattomaan, käymistilassa olevaan voihin. Mutta maitoa onneksi saadaan runsaasti ja voita niinikään. Ainoastaan kalastajat ovat senkin puolesta huonommalla osalla. Voin asemesta he sekottavat ruokaansa höysteeksi talia ja traania. Viljaleivän asemesta syödään jäkälästä laitettua hätäleipää. Mutta viime aikoina, viljanhinnan halvennuttua ja merenantimien hinnan
kohottua, on oikea jauholeipä alkanut päästä Islannissa yhä enemmän käytäntöön. Maassa itsessään ei kuitenkaan vielä tänä päivänäkään leiväksiä kasva. Mutta Islannin jäkälä ei kuitenkaan ole halveksittava ravintoaine. Se sisältää kokonaista 80 pros. samoja ravintoaineita kuin ruiskin. Se kootaan, kuivataan, jauhetaan jauhoksi ja leivotaan leiväksi. Mutta tavallisempaa on, että se keitetään velliksi. Toisin ajoin on kansa semmoisissa seuduissa, joissa tätä jäkälää on runsaasti, elänyt yksinomaan sillä pitkiä aikoja. Ja kun se kunnolla valmistetaan, niin siitä tuleekin sekä hyvänmakuinen että varsin ravitseva ruoka. Islannin jäkälää (Cetraria islandica) kasvaa Suomessakin. Se ei ole sama kuin poronjäkälä (Cladonia rangiferina). Muitakin jäkäliä köyhät islantilaiset ovat tottuneet hädän aikana syömään. Väinönputken (Archangelica officinalis) juurta he pitävät herkkuna ja se on jo monen eksyneen matkamiehen hengenkin pelastanut karuilla ylämailla. Paitsi juuria syödään itse putketkin, jonka vuoksi tätä kasvia viljelläänkin. Merileviäkään ei halveksita. Erästä merilevää liotellaan kuukausmääriä suolattomassa vedessä. Lehdille tällöin kokoontuu pieniä valkoisia rakeita, jotka maistuvat varsin hyviltä. Levä sitten yhdessä jäkälän kanssa keitetään velliksi ja syödään.
Toisinaan sitä kuivattuna syödään paljaaltaan. Ennen vanhaan leviä syötiin vielä paljon yleisemmin kuin nykyään.
Tarkkaan on islantilainen siis tottunut hyväkseen käyttämään karun maansa luonnontuotteita.
Ennen vanhaan lienee Islannissa viljelty joku määrä viljaa, mutta pian huomattiin viljan viljelys kannattamattomaksi ja se on sitten kokonaan unhotukseen jäänyt. Se mikä islantilaisella talonpojalla on muokattua ja lannotettua maata, on heinämaana. Lannotetuista maistaan hän saa parhaat heinänsä talven varaksi. Se heinä, joka
luonnonniityiltä korjataan, syötetään lampaille. Luonnonniityistä alavammilla hetemailla sijaitsevat ovat hyviä, mutta suurin osa on jotenkin karua kivensekaista maata, jota osaksi käytetään laitumenakin. Soiltakin, jotka Islannissa ovat laajat, korjataan melkoiset määrät heinää. Viime aikoina on ruvettu sekä niittyjä että soita keinotekoisesti kastelemaan, ja sen kautta on' niitten kasvuvoimaa paljon parannettu. Tunturien kupeilla ja vuoristoon nousevissa tunturilaaksoissa ovat varsinaiset laidunmaat.
Islannin tärkein elinkeino on karjanhoito. Viljaa kasvattamaan maa on liian kylmä — vihanneksia ja perunoita kuitenkin viljellään — mutta heinää se tuottaa runsaasti ja laitumet ovat harvaan asutukseen nähden laajat. Lammas, joka muualla alkaa jäädä pois kotieläinten luvusta, on Islannissa muita tärkeämpi, koska se tulee toimeen huonoimmalla laitumella. Lammas lämpöisine villaturkkineen saa toisinaan olla vuoden umpeensa ulkona laitumella ja itse etsiä ravintonsa, sillä Islannin talvi on verraten leuto. Tosin lampaita silloin usein tapaturman kautta menetetään, joko ne eksyvät tuntureille ja hautaantuvat lumeen, putoilevat kallioitten tai jäätiköitten rotkoihin, taikka joutuvat ketun, Islannin pahimman petoeläimen saaliiksi. Lapset ja puolikasvuiset tytöt paimentavat laumoja, älykkäät koirat apunaan. Semmoisilla laitumilla, jotka ovat taloista etäämpänä, on turpeesta ja kivestä rakennetut paimenmajat ja karjansuojat. Kun laumat ulkolaitumilla kulkevat sekasin, niin saa jokainen lammas, ennenkun sitä laitumelle lasketaan, korvaansa omistajansa merkin.
Tunturilaitumilla lammaslaumat usein hajaantuvat ja eksyvät, ja sen vuoksi on tapana, että joka talosta, joka on laitumeen osallinen, kesässä moniaan kerran lähtee mies paimenten avuksi kokoomaan hajaantunutta laumaa. Syksyllä laumat ajetaan alas laaksoihin.
Myrskyjen, lumituiskujen ja pakkastenkin vuoksi voi laumain kerääminen silloin olla vaarallinenkin tehtävä. Erinomaisen vaivalloista se aina on, sillä kaiken kesää omissa hoteissaan oltuaan lampaat ovat käyneet aroiksi ja tahtoisivat mieluummin vapautensa säilyttää kuin palata alas taloihin. Syksyllä on sen vuoksi tunturilaitumilla paljon väkeä puuhassa, lampaat kootaan eri suunnilta kiviaitauksiin, joissa ne korvamerkkinsä mukaan erotellaan, niin että kukin saa omansa. Kun lampaat on erotettu, niin ne ajetaan alas laaksoihin ja käyvät sitten talojen lähiseuduilla laitumella, niin kauan kun suinkin voivat lumen alta etsiä ravintonsa. Ainoastaan pahimmilla myrskyillä ne pääsevät navettaan ja lunta liiaksi kartuttua saavat kuivia heiniä. Mutta jos lumi tulee aikaiseen, niin sattuu usein, että talon heinävarat loppuvatkin kesken ja silloin täytyy kevättalvesta karjaa vähentää.
Islannissa ennen vanhaan pidettiin suuria nautakarjoja, mutta ne ovat vähentymistään vähentyneet ja lammasten hoito, saaren ilmastoon sopivampana, on voittanut alaa. Lehmiä pidetään sen verran kuin talon omat tarpeet vaativat, lampaita sitä vastoin niin paljon, että niiden tuotteita riittää myydäkin. Islannin lehmärotu on voimallista, hyvin kehittynyttä ja lypsää hyvin. Kun se koleana vuodenaikana pidetään navetoissa, niin on se paremmin säilynyt kuin hevonen ja lammas, jotka vähitellen ovat ilmaston koleuden vuoksi vähentyneet ja karvaansa muuttaneet. Islannin hevoset olivat vanhain viikinkien aikana parhaita sotiratsuja, mitä pohjoismaissa oli. Niitä hoidettiin suurella huolella ja pidettiin suuria laumoja. Tapana oli panna toimeen kilpa-ajoja ja myös hevostaisteluita, jotka olivat saarella yleisiä vielä monta vuosisataa sen jälkeenkin, kun Islanti oli itsenäisyytensä menettänyt. Mutta aikain kuluessa on muinoinen sotiratsu paljon muotoaan muuttanut. Siitä on tullut pieni ja takkuinen, mutta erinomaisen sitkeä ja älykäs eläin, joka kiipeilee
tuntureilla ketterään kuin vuohi ja on islantilaiselle tuiki välttämätön, jos mieli tehdä vähänkin pidemmän matkan. Islantilaisessa talossa sen vuoksi pidetään paljon hevosia. Tavallisesti saa jokainen nimikkonsa, heti kun hän on tullut siihen ikään että hevosen selässä pysyy. Kun talonväki sunnuntaina lähtee kirkkoon, niin tapahtuu se ratsain. Nuoret ja vanhat, miehet ja vaimot, isäntäväki ja palvelijat, kaikki ratsastavat hevosellaan, toisinaan kilpaakin ajaen. Ja kun talosta lähdetään vierailemaan johonkin naapuritaloon — talojen välimatkat ovat pitkät — niin tapahtuu se ratsain. Kun isäntä lähtee kauppapaikkaan myymään maansa ja karjansa tuotteita, niin kuljettaa hän tavaransa hevosen selässä ja hevosia on silloin koko lauma mukana. Samoin hän hevosen selässä tuo, mitä sieltä ostaa. Kaikki kuljetus yleensä tapahtuu hevosen selässä, sillä teitä ei saareen ole rakennettu kuin aivan viime aikoina enimmin kuljetuille väleille. Islantilaisessa talossa on sen vuoksi kotieläinten suhde toinen kuin muualla maailmassa. Voidaan pitää 6—8 lehmää, 200 lammasta ja 12—16 hevosta.
Mutta vaikka Islannissa hevonen on niin välttämätön, niin saa se kaikista kotieläimistä huonoimman hoidon osakseen. Ainoastaan parhaat, isännän ja emännän nimikot, pidetään kotona vuodet umpeensa ja talvella tallissa. Suurin osa talon hevosista kiertelee kesän pitkän kaukana ylämaan laaksoissa ja tunturien rinteillä, jossa ne viihtyvätkin erinomaisesti. Mutta talvella niitten toimeentulo on kylläkin vaikea, ja moni hevonen silloin joutuu turmioon. Ei huonommillakaan säillä niitä voida kauaa tallissa pitää, sillä heinävarat ovat pienet. Heti kun suinkin ilma myöden antaa, niiden tulee lähteä laitumelle kuopimaan lumen alta ravintonsa. Vaikein on hevosten toimeentulo keväällä. Silloin niitten usein täytyy tyytyä levään, jota meri on rannalle vierittänyt, ja nälkään nääntyäkin. Viime aikoina on hevosia aljettu yhä enemmän kasvattaa maasta
vietäviksi. Niitä viedään Skotlantiin ja Englantiin, jossa niitä käytetään hiilikaivoksissa.
Tämmöistä on siis nykyisin jokapäiväinen elämä Islannissa. Saarensa luonnonvarain turviin jätettynä väestö on melkoisesti muuttunut entisestään. Sen on täytynyt oppia taistelemaan ankarampaa luontoa vastaan kuin melkeinpä minkään muun kansan maanosassamme, lappalaisia lukuunottamatta. Sen on täytynyt oppia tarkalleen käyttämään hyväkseen kaikkea, mitä karu luonto tarjoo, ja toisilla tuotteilla korvaamaan semmoisia, joita melkein kokonaan puuttuu, Tuskin voi siitä kuvaavampaa esimerkkiä mainita kuin sen, että polttopuitten asemesta poltetaan kuivatuita lintuja. Entinen sotainen rajuus on talttunut. Nykyinen islantilainen on hiljainen, rauhallinen, jossain määrin umpimielinen, niinkuin Suomenkin asukas, luonteensa pohjalla paljon surumielisyyttä. Mutta siltä ei häneltä suinkaan puutu rohkeutta. Harvapa muu kansa pienillä avoimilla veneillä ansaitsisi elatuksensa niin levottomalla merellä.
Mutta vaikka islantilainen onkin vanhastaan muuttunut, niin on hänessä vielä paljon samojakin ominaisuuksia kuin saaren ensimäisissäkin asukkaissa. Runoutta suositaan vielä tänä päivänä samoin kuin silloinkin, Ja Islannissa on jotenkin ennallaan säilynyt se vanha kielikin, jolla Eddat ja muu sankarikirjallisuus on kirjotettu.
Islantilainen on keskikokoa, jotenkin lujarakenteinen, hartiat leveät, lonkat kapeat, tukka vaalea ja silmät siniset. Näistä tunnusmerkeistä hänet tunteekin germaaniksi, mutta rotu ei suinkaan ole puhdasta. Se on enemmän sekaantunut kuin Skandinavian niemimaalla, sillä islantilaiset hankkivat paljon orjia, varsinkin Irlannin kelttiläisiä, jotka myöhemmin sekaantuivat heihin. Sen vuoksi tapaa saarella
monenlaista ulkonäköä. Kauniita eivät ole naiset sen enempää kuin miehetkään, vaikka poikkeuksia tietenkin on. Miehillä ei ole varsinaista kansallispukua, mutta yleinen vaateparsi kuitenkin on, leveät housut, liivit ja lyhyt musta sarkatakki. Tämä puku tekee muukalaiseen melkeinpä 'synkän vaikutuksen, mutta saaren mustien laavakenttien ja harmaitten kallioseinämien kanssa se on kylläkin sopusoinnussa. Varakkaammat käyttävät ulkomaalaisia kankaita. Omituisin osa miesten puvusta on kengät. Ne valmistetaan parkitsemattomasta lampaan nahasta, yhdestä ainoasta kappaleesta; ne ovat kuin lötöt ja sidotaan nauhalla nilkan ympäri. Naiset käyttävät yleiseen kansallispukua, varsinkin juhlapäivinä. Päässä on arkena sekä kotona että ulkona pieni musta lakki, josta riippuu pitkä tupsu. Liivi on tumma ja piukka, mutta edestä jotenkin alas auki leikattu, niin että valkoinen paidanröyhelö kohoo esiin.
Tämä avoliivi antaa islantilaisille naisille reippaan ja soman ryhdin. Mutta juhlapäivinä Islannin naiset pitävät päässään korkeata valkoista hattua, johon on kiinnitetty valkoinen huntu. Vyötäillä pidetään kallisarvoista, hopealla ja kullalla helattua vyötä, joka kulkee perheessä perintönä polvesta polveen.
Islannin eteläkärki on jotenkin samalla leveysasteella kuin Vaasa. Pääkaupunki Reykjavik on Kokkolan tasalla. Pohjoisrantaa hipaisee napapiiri, se siis on Rovaniemen tasalla. Islanti on siis kylläkin pohjoinen maa, mutta meidän käsityksiemme mukaan ei kuitenkaan niin pohjoinen, etteikö siellä voisi metsä menestyä. Meillähän metsää kasvaa Lapin äärimmäisiä perukoita myöden. Varmaan Islannin metsättömyyteen siis on toisia syitä. Niin tosiaan onkin. Metsän viihtyminen vaatii, että kesällä tulee olla kolme tai neljä kuukautta verraten lämmintä säätä, s.o. näiden kuukausien keskimäärän yli +10°; muut kuukaudet saavat sitten olla kylmiä. Kesälämpimillä
metsä kasvaa ja voimistuu. Monenlaisine itsekehittämine suojakeinoineen se sitten kestää pitkänkin talven pakkaset.
Islannissapa ei ole niin lämpösiä kesäkuukausia, vaikkei ilmanalan keskilämpö olekaan alhaisempi kuin vastaavan leveysasteitten Suomessa. Islannin kesä on viileä, kolkko ja tuulinen. Ainoastaan syvissä laaksoissa ja vuonojen pohjukoissa on kesällä lämpöisiäkin päiviä, mutta ne lyhyeen päättyvät, sillä Islannin taivas on paljon pilvisempi kuin Suomen. Etelärannan keskilämpö on sama kuin Suomen etelärannan, noin +5°. Pohjoisrannan keskilämpö on jotenkin sama kuin Lapin eteläosien. Mutta kesällä on Lappi lämpöisempi maa kuin ainoakaan osa Islannista. Talvella tosin Islanti, jonka kahden puolen Golf-virta työntelee vettään pohjoista kohti, on Lappia lämpöisempi, yhtä lämpöinen kuin meidän maamme lauhkeimmat osat, mutta talven Iauhkeus ei korvaa kasvikunnalle sitä, mitä se kesän viileyden kautta menettää. Kuitenkin kasvoi Islannissa siihen aikaan, kun se ensimäiset asukkaansa sai, nykyistä enemmän metsää, mutta metsät hävitettiin, eivätkä ne ole päässeet sen jälkeen uudestaan kasvamaan. Islantilaiset itse luulevat, että saaren ilmasto on jonkun verran huonontunut historiallisella ajalla.
Islannin vallitsevat tuulet ovat itätuulet, ja ne ovatkin saaren verraten lauhkean ilmanalan ehto. Mutta usein sattuu myös pitkällisiä pohjoistuulia ja länsituulia, ja ne ovat sitä kylmemmät. Pohjoistuulet kuljettavat joka talvi paljon jäitä Islannin rannikolle, sekä ajelehtivaa merijäätä että jäävuoria, ja usein sattuu kesälläkin, että suuret jäälautat moneksi ajaksi saartavat koko pohjoisrannan. Silloin on sillä puolella kesä tavallistakin viileämpi ja ainaiset sumut peittävät maan ja sama ilmastonmuutos vaikuttaa, vaikka vähemmässä määrässä, saaren muittenkin osien ilmastoon. Nälänhätä ja puute
ovat silloin lähellä. Vuoden keskilämpö saattaa toisina vuosina olla neljääkin astetta tavallista alempi.
Islannin ilmanala olisi kuitenkin siedettävä, ellei se samalla olisi niin tuulinen. Tyynet auringonpaisteiset päivät ovat poikkeuspäiviä.
Usein tuulet kiihtyvät kamaliksi myrskyiksi. Keskellä kesääkin saattaa saaren äkkiä yllättää myrsky, jonka kamalasta voimasta meikäläisen on vaikea saada käsitystäkään. Varsinkin länsirannalla on vuonoja, joitten pohjukassa myrskyllä on sanomaton raivo.
Semmoinen vuono on Reykjavikin pohjoispuolella Hvalfjördur, ja varsinkin sen pohjukassa oleva Thyrill-vuoren seutu. Eräs matkustaja kuvaa seuraavalla tavalla myrskyä, johon hän niillä seuduin joutui kesäkuun puolivälissä: »Kuvauksemme tuntuisi uskomattomalta, elleivät edellisetkin matkustajat olisi nähneet samanlaisia myrskyjä. Jo aamulla, meidän matkaan suoriutuessa, oli tuuli kova, mutta kun puolen päivän aikaan saavuimme vuonon vedenjakajalle, niin tuuli yltyi niin kamalaksi, että sen rajuutta on mahdoton sanoin kuvata. Tuskin pääsimme paikastakaan ja hengitys kävi tukalaksi. Tilamme kävi suuressa määrin vaaralliseksi, kun aloimme jyrkkää vuorenrinnettä laskeutua vuonon pohjaan. Myrsky puhalsi kaakosta semmoisella voimalla, että se kiskasi erään saattajamme satulasta ja uhkasi nakata hänet äkkijyrkänteen partaan yli syvyyteen. Koko vuonon pinta muuttui myrskyn repimänä hienoksi vesipölyksi, joka pilvenä kiiti tuulen mukana ja meille, jotka olimme 600 metriä korkealla vuoren kupeella, tuntui hienona sateena. Tässä tuulen nostamassa pilvessä häälyi mitä ihanin sateenkaari, joka sillan tavoin liitti yhteen vuonon molemmat rannat. Vielä iltapäivänkin myrsky raivosi samalla voimalla, illalla se vasta alkoi asettua. Mutta noin neljän peninkulman päässä tästä vuonosta oli rannikolla aivan tyyni.»
Varsinaisia hirmumyrskyjäkin sattuu, mutta onneksi kuitenkin harvoin. Niitten voimasta kerrotaan, että ne kohottavat merestä suuria vesipatsaita, paisuttavat rannat, patoavat jokia, niin että ne alkavat juosta taaksepäin, pieksävät järvissä veden tomuksi, kaatavat huoneita, nakkaavat kulkijan nurin ja pakottavat hänet käsin ja jaloin, kynsin ja hampain pitämään maasta kiinni, jottei myrsky veisi mukanaan.
Sangen haitallinen on eräänlainen pyörretuuli, joka paljaista ylämaista tupruttaa ilmaan hiekkaa, pölyä, hohkakiveä ja vulkanista tuhkaa ja ajaa sitä paksuina pilvinä asuttuihin rantaseutuihin ja laaksoihin. Koko ilma pimenee mustaksi tai ruskahtavaksi, tuskin eteensä näkee. Pöly tarttuu vaatteisiin, sitä tulee silmiin, suuhun, sitä asettuu paljaille ihopaikoille ja tunkeutuu suljettuihin astioihinkin, sillä se pääsee melkein näkymättömistä raoista sisään. Se turmelee islantilaisen niukat ruokavarat ja muuttaa maidon hänen maitokamarissaan iljettäväksi liejuksi. Toisinaan kova myrsky repii tunturien kupeilta kiviäkin matkaansa, vyöryttää suuremmat alas laaksoon ja kohottaa pienemmät ilmaan, josta ne satavat rantamaassa laitumille.
Islannin ilmanala on verrattain sateista ja kosteaa. Syys ja talvi varsinkin ovat sateiset, kevät ja kesä kuivemmat. Joka kolmas päivä on sadepäivä, mutta pilvessä on taivas paljon enemmänkin. Aivan päivänpaisteisia selkeitä päiviä on vain kesäsydännä. Sumut ovat yleisiä; kun rannikolle ajautuu jäitä, ovat maat viikkoja yhteen mittaan sumun kääreissä. Sumut ovat kylmät ja koleat. Mutta kun tuuli kääntyy maan puolelle, niin ne hälvenevät. Silloin on maanrannoilla usein kirkas sää, vaikka meri vähän matkan päässä on kauttaaltaan usvan peitossa.
Islannin säitten omituisuuksia on, että samaan aikaan voi eri osissa saarta vallita aivan erilaiset säät. Sama tuuli, joka yhdessä paikassa on maatuuli, on nimittäin vastakkaisella, rannalla merituuli. Usein vuorijonot kahden läheisen vuononkin välillä kokonaan kääntävät ilmat. Vuorijonon tuulipuolella myrskyää ja sataa, tuulensuojan puolella on tyyni ja kuiva ilma. Pohjoistuulilla on pohjoisrannalla sumuiset, koleat säät ja kesälläkin voi sataa lumiräntää, etelärannalla sitä vastoin ovat ilmat silloin selkeät ja tyynet. Etelätuulella taas on etelärannalla sadetta, sumua ja tuulta, pohjoisrannalla taas selkeät ja lämpöiset ilmat. Jos Islanti olisi lakeata maata, niin ei erotusta sanottavasti tuntuisi, vaan sama sää kulkisi saaren poikki. Mutta Islanti on kauttaaltaan korkeata, tuulien täytyy mereltä maalle puhaltaessaan kohota melkoisesti. Kohotessaan ne jäähtyvät ja samalla satavat alas kosteutta, ylämaasta taas alaspäin laskeutuessaan lämpiävät ja kuivavat.
Mutta muutoin ovat Islannin säät tavattoman vaihtelevaiset.
Kaiken kesää sateet ja auringonpaisteet vaihtelevat niinkuin keväällä. Keväällä ja syksyllä lisäksi sataa rakeita ja lunta, ja talvella taas käy toisinaan ukkoset.
Islantilainen on sen vuoksi tottunut tarkkaan säänmerkkejä huomaamaan. Hänen huomionsa enimmäkseen ovat sangen luotettavat. Mutta hänen toimeentulonsa usein riippuukin siitä, että hän ajoissa osaa ennustaa rajuilman ja kylmät ja varsinkin korjata heinänsä. Islannin vapausajalla oli säänennustuksen taito suurimpia viisauden lahjoja. Ilman tieto on ylen tärkeä kalastajillekin. Heidän täytyy voida edeltäkäsin arvata myrskyt, sillä muutoin he pienissä aluksissaan joutuvat merellä turmioon.
Vuodenaikain eroavaisuudet eivät ole Islannissa likimainkaan niin jyrkät. Ennen vanhaan oli tapana vain erottaa talvi ja kesä. Huhtikuun jälkipuoliskolla alkoi kesä, talvi lokakuun jälkipuoliskolla. Huhtikuun 18 ja 25 päivän välistä torstaita pidettiin »ensimäisenä kesäpäivänä», ja sitä vieläkin kautta saaren samana juhlitaan, vaikka kesä harvoin silloin vielä on voimaansa näyttänyt ja lumimyrskyt ja pakkaset vielä ovat tavallisia vieraita. Mainittuna torstaina on yhä vielä tapana toivottaa toiselleen »hyvää kesää» ja antaa lahjoja, »kesälahjoja». Silloin pannaan toimeen kaikenlaisia kisoja ja huveja taivasalla, jos nimittäin sää on semmoista, että voidaan ulkona oleskella.
Huhtikuun lopulla on etelämaalla lumi tavallisesti sulanut laaksoista ja ruoho alkanut orastaa. Pohjoisrannalla sitä vastoin on silloin vielä paksut kinokset, jotka vasta kesäkuun lopulla merenrannaltakaan katoavat. Mutta usein on kesä sangen lyhyt ja kylmä. Talvi alkaa lokakuun loppupuoliskolla, tuoden mukanaan myrskyjä ja lumituiskuja ja vahvat pimeät. Mutta milloin pohjoisrannalla on kesällä, vielä elokuun lopullakin ajojäitä, silloin ei sillä puolella ole kesää kuin nimeksi, toinen talvi melkein huomaamatta toistaan jatkaa. Merestä on silloin usein hyvä saalis, mutta maalla tulee kato.
Ulkomaalaiset, jotka Islannissa käyvät ja enimmäkseen ovat kotoisin paljon eteläisemmistä maista, ihailevat saaren outoja valaistuksia. Pohjoisrannalla aurinko juhannuksen aikaan on vuorokauden umpeensa taivaalla, matalimmillaan ollessaan näyttää paikallaan lepäävän meren pinnalla, viileänä ja säteettömänä, kunnes se jälleen alkaa nousta ja lämmittää. Etelämpänäkään ei kesällä ole yötä, iltaruskot sulavat aamuruskoihin ja päivä liittyy päivään. Talvella on sitä mukaan pimeätä, mutta Islannin ilman
puhtaus vaikuttaa, että kuutamo talvella on erinomaisen kirkas, niin kirkas, että sen valossa voi kirjaa lukea, ja kuu silloin vuorostaan kiertää taivaan kantta niin, että se tuskin ennättää ensinkään mailleen mennä. Ja pitkät hämärät jatkavat päivää, niinkuin yleensäkin pohjoisissa maissa. Talviyöt eivät sen vuoksi ole likimainkaan niin pimeät, kuin saattaisi luulla.
Mutta Islannin taivaalla on vielä toisia ilmiöitä, jotka täyttävät muukalaisen ihmetyksellä. Aamuruskot ja iltaruskot ovat verrattoman kauniit. Eräs tutkimusmatkustaja niistä kertoo: »Mutta aamu- ja iltaruskot kieltämättä ovat Islannin ihanimpia ilmiöitä. Ei ainoastaan se puoli taivaasta ole hehkuvissa väreissä, jolla aurinko nousee ja laskee, vaan koko taivaankansi rusottaa kullankarvaisessa hohteessa ja mitä ihmeellisimmät pilvimuodostukset kummine vaihtelevine värineen vaivuttavat meidät sanattomaan ihailuun. Tuntuu siltä, kuin luonto juhlapäivän aattona leikillä loisi taivaalle kaikenlaisia haaveellisia ilmiöitä, huvittaakseen ihmistä milloin väännellyillä pilakuvilla, milloin ilmavilla kaukomaisemilla. Ainoastaan se, joka on Sveitsissä nähnyt Alppiruskon, voi saada likimain käsityksen Islannin aamu- ja iltaruskoista. Mutta Islannin auringonlasku on verrattoman paljon kauniimpi, sillä se ei tyydy vain korkeimpiin vuorenhuippuihin, kuten Sveitsissä, vaan valaa purppuraisen rusotuksen koko maisemalle ja kestää paljon kauemmin kuin Sveitsin ilmiö. Tosin Länsi-Islannin korkein vuori, lumen ja jään peittämä Snaefellesjökul pitkällä niemellään kohoo vain puolet siitä kuin Gotthardin vuori, mutta sen sijaan rusottaa sen merestä kohoova keila ylt'yleensä auringon laskiessa ja se on kaiken kaikkiaan näkö, jonka vertaista harvassa muualla näkee.
Juhannuksen aikaan se näkyy Faxavuonoon ihanimmassa loistossaan. Jyrkästi eroaa häikäisevän valkoisesta Snaefellesjökulista tumma kömpelö Esja, mustan basaltin päällä
siellä täällä tähteitä talven valkovaipasta. Sen takana kohottaa Akrafell rosoista lakeaan ja parin saaren välitse soudellessamme näemme vielä, taaksemme katsoessamme, etelässä Reykjavikin takaa Seltjarnarnesin pitkän aaltoilevan tunturiselänteen, kaikki poistuvan auringon ruskoissa. Niiden kaikkien valkoiselle otsalle päivä painaa jäähyväissuutelonsa ja katoaa sitten Esjan taa, koko taivaankannen loistaessa ihanimmin värein. Hiljaisuus on äänetön, äänetön kuin ainoastaan pohjolassa. Airojen herättämät kareet vain lipottavat veneen laitaa vastaan, muuta ei kuulu, joka häiritsisi tämän pohjanperäisen maiseman ylevää hiljaisuutta. Tällä pohjolan levolla on joku sanomaton tenho. Sen keskellä käsitämme, kuinka Islannin runoilijat siitä viehättyivät lauluihin, jotka ovat pohjolan runouden jaloimpia tuotteita. Käännämme jälleen veneemme maihin päin. Tuskin olemme jalkamme astuneet kiviselle rannalle ja kääntyneet vielä kerran katselemaan tarumaisessa valaistuksessa uinuvaa luontoa, niin huomaammekin tunturien hehkuvan rusotuksen jo kaikkialta kadonneen, värikkäitten pilvien jo muuttaneen lännen taivaalta idän taivaalle ja niitten joukosta auringon uudelleen kohoovan taivaalle. Onkin jo aamu. Aurinko laski Esjan läntiselle puolelle, sen itäiseltä puolelta se jälleen nousee, tuskin paria tuntia kestäneen yön jälkeen. Ja tämä yökin oli valoisa kuin päivä.»
Monta muuta kaunista ilmiötä on Islannin taivaalla. Niistä saa omituisen sielukkaisuuden ja ylhäisen haaveellisuuden saaren jylhä ja synkkä luonto. Toisinaan näkyy auringon ympärillä yhdeksänkin harha-aurinkoa kehineen ja kehänkappaleineen, usein on sekä auringon että kuun ympärillä värikkäät sapet. Talvella ovat revontulet harvinaisen loistavat ja suuressa määrin valaisevat talviöiden pimeyttä. Omituinen, meillä tuntematon ilmiö on meriloisto, joka usein näkyy rannikolla. Meren päällä silloin häälyy omituisia hohtavia pilviä, jotka saavat valonsa meren loisteesta, fosforescensi-ilmiöstä.
Mutta islantilaiset kalastajat luulevat pilvien saavan valonsa suurien rantaa lähestyvien silliparvien kajastuksesta. Erinomaisen kauniit kangastukset kuuluvat niinikään Islannin luonnon viehätyksiin. Niitä nähdään monessa paikassa sisämaassa, esim. Thingvalla-järven seuduilla.
Olemme tähän saakka oleskelleet ainoastaan rannikolla, jossa tunturien juurella ovat alavat ruohomaat ja asutukset. Mahtavina muureina kohoo kapeasta rantavyöstä saaren varsinainen runko. Koko sisämaa on laaja ylänkö, lännestä matalampi, itäpuolelta korkeampi. Se on jotenkin yhtenäinen kappale, vaikka tosin vuonot leikkaavatkin siihen syvälle joka puolella paitsi etelärannalla, ja vuonojen päistä vielä laaksotkin.
Ainoastaan Lounais-Islanti on matalampaa maata. Siellä sen vuoksi on asutuksia kauempanakin merenrannasta. Muutoin on koko sisämaa kauttaaltaan autiota. Ilmanala, joka jo rannikolla on kolkkoa, on sisämaassa niin kylmää, ett'eivät siellä viihdy muuta kuin kaikkein vaatimattomimmat kasvit. Islannin sisäosat ovat autiointa, mutta samalla ihmeellisintäkin erämaata, mitä niin pohjoisissa seuduissa on koko maan pinnalla. Tuntureilla on laajat jäätiköt, joitten rinnalla Norjan suurimmatkin jäätiköt jäävät vähäisiksi, ja niiden rinnalla tulivuoria, laavaerämaita ja kuumia lähteitä. Maajää-ilmiöt ja tuliperäiset ilmiöt ovat siellä ihmeellisemmässä yhteydessä kuin missään muualla maan päällä.
Islanti onkin jo vanhastaan tunnettu tulivuoristaan, laavavirroistaan, lämpöisistä lähteistään, lieju-vulkaneistaan ja maanjäristyksistään. Ken ei olisi kuullut Heklasta ja Geisiristä. Jo keskiajalla Islannin tulivuoret olivat maineessa kautta Europan. Niistä oli liikkeellä mitä ihmeellisimpiä juttuja ja vanhoissa
munkkikronikoissa ja teologisissa kirjotuksissa erikoisella nautinnolla kerrottiin niistä kamalia juttuja. Heklaa pidettiin helvetin porttina ja luultiin sen lieskassa näkyvän tuomittujen sieluja, joita kärvennettiin helvetin tulessa. Merimiehet väittivät nähneensä Islannin merellä aavelaivoja mustin purjein, joissa kadotukseen tuomittuja sieluja vietiin Heklaan. Melankhtonin vävykin kertoi vielä, että Heklan ympäristössä penikulman piirissä saattoi kuulla, kuinka tuomitut sen sisässä vaikeroivat pimeyden ruhtinaan heitä kiduttaessa. Heklan liekeissä luultiin korppien ja aarnien lentelevän ja rääkyvän, ja kun niitä näkyi, niin tiesi se sotaa tai murhaa. Tämä käsitys Islannin tulivuorista piti kauan puoliaan, mutta saarella itsellään ne eivät ole antaneet aihetta sanottaviin taikaluuloihin.
Islannin on olemassa olostaan kiittäminen etupäässä näitä vulkanisia voimia. Se on rakennettu vanhoista ja uusista vulkanisista kallioisista. Merenreunassa tunturien seinämät ovat selvään portaalliset rakenteeltaan. Ne ovat muodostuneet laavapankoista, joita eri aikoina on valunut päällekkäin. Lähes kahdeksasosa saaren pinnasta on niin nuorien laavavirtain peitossa, ettei niille ole juuri mitään vielä päässyt kasvamaan. Täysi kahdeksasosa on maajäätikköjen peitossa. Loput sisämaan ylängöstä on soramaita, lentohietikoita, paljaita kallioita ja tuntureita. Syvänteissä on siellä täällä järviä ja soita. Ylängöillä ovat lumituiskut kesälläkin tavalliset ja säänmuutokset tapahtuvat äkkiä ja rajusti. Ainoastaan neljästoista Islannin koko pinta-alasta on alankomaata.
Suurin osa Islannista on muodostunut tummasta vuorilajista, jota sanotaan basaltiksi. Kun purjehditaan pitkin Islannin rannikkoa, varsinkin pitkin itärantaa, niin ovat basalttitunturien muodot hyvin silmiin pistävät. Mahtavina, noin 600 metriä korkeina muureina ne kohoovat rantavyöstä melkein äkkijyrkkään, päältä tasaisina,
syrjässä siellä täällä rotkoja ja torneja. Nämä tunturimuurit ovat rakennetut sadastakin vaakasuorasta tai hieman kaltevasta kerroksesta, joita toisinaan toisistaan erottaa ohuet punaiset saumat. Basalttikerrokset ovat aikanaan olleet kukin vuorostaan sula laavavirta, joka on tulivuorista valunut. Punaiset saumat taas ovat tulivuorenpurkauksissa satanutta kuonaa ja tuhkaa.
Basalttikerroksien syrjät vähän taantuvat sitä myöden kuin muuri kohoo, niin että koko tunturiseinämä näyttää suunnattomalta portaalta. Siitä syystä basaltteja ennen vanhaan sanottiinkin »trapiksi», vaikka tämä sana on joutunut pois käytännöstä. Alkuaan ovat basalttiylängöt olleet päältä aivan lakeat ja muodostaneet tasangon, joka on hyvin monesta päällekkäin valuneesta laavavirrasta vähitellen rakentunut. Vähitellen on meri aalloillaan murtanut reunoja ja leikannut ne jyrkiksi. Vuonoja ja laaksoja on muodostunut aaltojen ja jäävirtain vaikutuksesta, ja osaksi maan vajoamisenkin kautta. Ylätasanko on sen kautta vähitellen jakautunut teräviin selänteihin ja huippuihin, joista korkeimmilla on kesälläkin lunta. Nämä basalttirannat ovat kolkon ja synkän näköiset, mutta vuonoissa maiseman luonne on lauhkeampaa. Siellä on tunturien juurella matala vyö ja mehevän vihannista niityistä loistavat talojen valkoiset päädyt.
Toisin paikoin basalttivuorien mustia värejä keskeyttää vaaleammat rinteet ja kellertävät tai rusottavat kukkulat. Tämä vaaleampi väri ilmaisee toista purkautunutta vuorilajia, jota sanotaan »liparitiksi». Sitä on basaltin välissä siellä täällä, toisin paikoin suuriakin aloja. Basaltti on tulivuoresta valuessaan verraten vetelää. Se leviää sen vuoksi helposti laajalle alalle, jota vastoin liparitti on kankeata ja jää suuriksi röykkiöiksi. Liparitti on hyvin vaihtelevaa väriltään ja semmoiset vuoret, joissa se on vallitsevana, ovat sen vuoksi merkillisen moniväriset ja kirjavat. Missä liparitti on nopeaan
jäähtynyt, siellä se muodostaa mustaa vulkanista lasia, »obsidiania», missä taas vesihöyryjen vaikutuksesta hyvin hottoa ja sienimäistä, siellä sen väri on vaaleata. Semmoinen liparitti on jokaiselle tunnettua hohkakiveä. Liparittilaavavirrat ovat etäältä nähden kuin suuria pikimustia kivihiiliröykkiöitä. Pinta on lasiterävää, kiiltävää ja kimmeltävää obsidiania, jonka väri jyrkästi eroo melkein lumivalkoisesta hohkakivikuonasta. Mutta sisältä laavavirta on harmaata taikka punaisenruskeata, ja pinta on täynnään suuria halkeamia, joita erottavat toisistaan terävät lasiharjanteet. Moisen laavavirran poikki on sangen vaikea kulkea. Syviä pimeitä rotkoja ja särmäisiä teräviä lasisärkkiä on toinen toisensa vieressä ja kynsin hampain saa niissä tepastella yli kulkiessaan. Toisin paikoin on liparittilaavavirroissa suuria kallionkappaleita, jotka purkaus on puolisulaneina tuonut mukanaan syvemmistä kerroksista. Semmoisia laavavirtoja on varsinkin itärannalla.
Keskellä Islantia on vielä kolmannen laatuista kallioista, jota sanotaan palagonittituffiksi. Se on vanhain tulivuorien purkamaa tuhkaa ja kuonaa, joka on kiintynyt kiveksi. Tämän kallioisen muoto ja väri vaihtelevat suuresti. Toiset tuffit ovat hyvin hienoa, toiset karkearakenteista kiveä. Tavallisesti ne ovat väriltään ruskeanpunaisia tai kellertäviä. Semmoiset tunturit, jotka ovat palagonittituffia, ovat hyvin rapautuvia. Tuuli, sade ja pakkanen niitä helposti hajottavat. Ne sen vuoksi enimmäkseen ovat matalia ja pyöreitä, jota vastoin basalttikukkuloilla on terävät särmät ja huiput. Palagonittituffi kulkee leveänä vyöhykkeenä saaren keskitse pohjoisesta etelään, ja melkein kaikki nykyiset tulivuoret ovat tässä vyöhykkeessä. Niissä seuduin, joissa perustus on tätä kallioista, on pinnalla sen vuoksi paljon kraatereita, tavallisesti monta samassa jonossa, ja laavavirtoja.
Erinomaisen vaihtelevaisia ovat kaikessa kaameudessaan ne ilmiöt, joita Islannin sisäosissa tapaamme. Kuumia lähteitä ja ilmaan suihkuvia geisirejä on kautta maan. Niistä ovat molemmat geisirit saaren lounaisosassa jo vanhastaan kaikille tuttavat. Ne ovat lähellä melkoista Hvitaata, verraten matalalla lakeudella, jonka vesiilmiöissä joka puolella näkee maanalaisen tulen vaikutuksia. Maasta kohoo valkoisia höyrypatsaita ja pieniä matalia vesisuihkuja, mutta molemmat pääsuihkut ovat verraten harvoin toimessa ja näyttävät aikovan kokonaan asettua. Ne maanalaiset voimat, jotka kautta vuosisatain ja ehkä vuosituhansienkin ovat Isoa geisiriä ja Strokkuria voimassa pitäneet, ovat uupumassa. Iso geisiri useimmiten pettää matkailijat, jotka nykyisin sen luo tulevat, ja ainoastaan keinotekoisella ärsytyksellä se saadaan purkautumaan. Jos nimittäin geisirin kitaan nakataan melkoinen määrä saippuaa, niin seuraa siitä purkaus. Nämä kuumat suihkulähteet ovat syviä kirnuja maan pinnassa, joitten seinät ovat piittyneet sileäksi vahvaksi kivennäiskuoreksi. Niitten vesi on pinnaltaan kiehuvaa ja sitä kuumempaa kuta syvemmällä. Syvemmällä nimittäin päällä olevan veden paino estää vettä höyryksi muuttumasta. Mutta kun alempien vesikerroksien kuumuus kohoo niin korkeaksi, että sittenkin vettä muuttuu höyryksi, niin tämä höyry kohottaa päällä olevaa vesipatsasta. Alempien vesikerroksien kantama kuorma samalla vähenee, ja seuraus siitä on, että suuret määrät ylikuumaa vettä äkkiä kuin räjähdyksen kautta muuttuu höyryksi. Vesi syöksyy päällä olevan veden läpi ja sinkoo ilmaan korkeana suihkupatsaana, taikka lukemattomina säteinä, mukanaan suuria pyöreitä höyrypilviä. Toisinaan säde kohoo kolmekymmentä metriä korkealle ja korkeammallekin. Purkaus uudistuu monta kertaa yhteen mittaan, kunnes kirnussa voimat ovat tasaantuneet ja vesi jälleen asettuu hiljalleen poreilevaksi pinnaksi odottamaan uutta purkausta, johon
