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MATEMATICA II - 2012 Mar铆a Isabel Navarrete Lizama Ingeniero de Ejecuci贸n en Computaci贸n e Inform谩tica


Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano.

No se altera la forma ni el tamaño de la figura. Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta).


SIMETRÍA Axial

Central

TRASLACIÓN

ROTACIÓN


Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría transforma a la figura en ella misma. Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de simetría).


Se puede considerar una simetrĂ­a como aquel movimiento que aplicado a una figura geomĂŠtrica, produce el efecto de un espejo.


Axial (reflexi贸n respecto de un eje)

Central (reflexi贸n respecto de un punto)

.

O


Eje Horizontal (x)

Eje Vertical (y)

Diagonal (45 grados


El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico. Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º.

O


AXIAL

CENTRAL


Indica que tipo de SimetrĂ­a se aplicado en cada imagen A)

D)

B)

E)

C)

F)


El simétrico de P(a,b) es P’(a,-b)

P’

En torno al eje Y El simétrico de P(a,b) es P’(-a,b)

P’

En torno al origen El simétrico de P(a,b) es P’(-a,-b)

P

P

P’


Se puede considerar una traslaciĂłn como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en lĂ­nea recta, manteniendo su forma y tamaĂąo.


Traslación de A(4,6) a través del vector v(-2,-3)

Traslación de B(-5,2) a través del vector v(4,4)

Traslación de C(-4,-2) a través del vector v(7,1)

 B’(-1,6)

A(4,6)

 A’ (2,3) B(-5,2)

 C’(3,-1)  C(-4,-2)


Direcci贸n (horizontal, vertical u oblicua). Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo). Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posici贸n inicial y final de cualquier punto)


En este caso se debe seĂąalar las coordenadas del vector de traslaciĂłn. Estas son un par ordenado de nĂşmeros (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.


Una rotaciĂłn es el movimiento que se efectĂşa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaĂąo de la figura.


El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación. La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación. El sentido de giro, positivo (anti horario), negativo (horario)


x

A’

y’

A

y

x’

x’

y

x

y’

Entonces:

x’ = -y

y’ = x

Luego:

A(x,y) => A’(-y,x)

A’


A

y

y

x’

x’

x

A’

x

y’

y’

Entonces:

x’ = -x

y’ = -y

Luego:

A(x,y) => A’(-x,-y)

A’


1) Identifica si hay: a) Traslación b) rotación c) reflexión d) ninguna de las tres. 2) Identifica si hay: a) Traslación b) rotación c) reflexión d) ninguna de las tres.

3) Identifica si hay: a) Traslación b) rotación c) reflexión d) ninguna de las tres.


La simple observación y análisis de embaldosados, nos permite comprobar que estos se construyen sobre la base de transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos:

Embaldosado por traslación

Embaldosado por rotación

Embaldosado por reflexión

Traslación, Rotación y Reflexión son tres transformaciones isométricas mediante las cuales puede hacerse coincidir una figura consigo misma.


Se llama teselaciĂłn a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas que no pueden superponerse, ni pueden dejar espacios sin recubrir y en el que los ĂĄngulos que concurren en un vĂŠrtice deben de sumar 360 grados.


Hablamos de TESELACIONES regulares cuando se utiliza únicamente un polígono regular. Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

60º x 6 = 360º

90º x 4 = 360º

120º x 3 = 360º


Son aquellas que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Existen sólo 8 teselaciones semi-regulares:

90º + 2x135º =360º

120º + 60º + 120º + 60º = 360º

90º+ 2x60º + 90º + 60º =360º

60º +2x150º= 360º

3x60º + 2x90º = 360º

150º +90º + 120º= 360º

4x 60º + 120º = 360º

90º + 120º +90º + 60º = 360º


El primer vértice esta constituido por un dodecágono, dos triángulos equiláteros y un cuadrado.

Al segundo vértice concurren seis Triángulos equiláteros.


Son aquellas formadas por polígonos regulares y no regulares. A continuación algunos ejemplos. Además también debe tener una figura que calce exactamente una y otra vez sobre el plano.


Figuras formadas por 5 cuadrados congruentes


Las escamas de un pescado es un claro ejemplo de teselación a continuación lo podrán comprobar…

Como podemos ver las escamas del pez son exactamente igual entre ellas y forman un dibujo sobre el lomo del pez


Otro ejemplo de teselaciones es el panal de abejas en la imagen se demuestra la forma de hex谩gono una teselaci贸n regular.


Otro ejemplo claro y cotidiano es el arco de fútbol. Se puede apreciar una teselación regular.

Este es otro ejemplo de teselación y uno muy clásico. Se trata del balón de fútbol, sus pentágonos negros y sus hexágonos blancos forman una teselación iregular muy clara al mirarla.

Este es uno de los más claros ejemplos de teselaciones los vemos a diario es solo cosa de mirar el suelo.


Esta teselación aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en los murales y arte islámico, de ahí su nombre. El pentágono posee aquí 4 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.


Mucho mas difícil es la teselación mediante figuras irregulares, a la que Escher dedicó muchas de sus primeras obras, sumando a la creatividad un concepto intuitivo de la simetría, y en la que demostró ser un consumado maestro.


MATEMATICA II - 2012 María Isabel Navarrete Lizama Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática

Fuente de recursos: Internet Adaptación: Ma. Isabel Navarrete

Transformaciones Isométricas  

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