DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERĂ?A

E.P. DE INGENIERĂ?A ELECTRĂ“NICA Y TELECOMUNICACIONES

MATEMĂ TICA APLICADA PARA INGENIERĂ?A III

TEMA: Derivada de orden superior TURNO:NOCHE PABELLĂ“N: B

AULA: 604 B

SEMANA: 11

SEMESTRE: 2017 - I FECHA: 08/06/17

Derivada de orden superior Derivadas parciales de orden superior: Si bien trataremos la mayorĂ­a de las veces con derivadas parciales de primero y de segundo orden, ya que son las que aparecen con mĂĄs frecuencia en las aplicaciones, no hay un lĂ­mite teĂłrico para el nĂşmero de veces que podemos derivar una funciĂłn mientras sus derivadas existan. Por lo tanto, tenemos derivadas de tercero y de cuarto orden representadas por sĂ­mbolos como

3 f  f xyy xy 2

4 f  f xxyy x 2y 2

y asĂ­ sucesivamente. Como en las derivadas de segundo orden, el orden de la derivaciĂłn es irrelevante en vista de que todas las derivadas a travĂŠs del orden en cuestiĂłn son continuas.

Ejemplo: 01. Obtenga f yxyz si f (x, y, z)  1  2 xy 2 z  x 2 y.

SoluciĂłn Primero derivamos con respecto a la variable y, luego con respecto a x, luego otra vez y, y finalmente con respecto a z:

f y  4 xyz  x2 f yx  4 yz  2 x

f yxy  4 z f yxyz  4 02. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y)  3xy 2  2 y  5 x 2 y 2 , y determinar el valor de

f xy (1, 2).

Diferenciabilidad El punto de partida para la diferenciabilidad no es el cociente de diferencias que vimos al estudiar funciones de una variable, sino la idea de incremento. Que si y  f (x) es derivable en đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 , entonces el cambio en el valor de f que resulta del cambio en x de đ?‘Ľ0 a x0  ď „x estĂĄ dado por una ecuaciĂłn de la forma ď „y  f (x 0 )ď „ x  ď Ľď „ x en la cual ď Ľ ď‚Ž 0 cuando ď „x ď‚Ž 0. Para funciones de dos variables, la propiedad anĂĄloga se convierte en la definiciĂłn de diferenciabilidad. El teorema del incremento nos dice cuĂĄndo debemos esperar que la propiedad se cumpla.

Teorema del incremento para funciones de dos variables Suponga que las primeras derivadas parciales de f (x, y) estĂĄn definidas en una regiĂłn abierta R que contiene el punto (x 0 , y0 ), y que f x y f y son continuas en (x 0 , y 0 ). Entonces, el cambio

ď „z  f (x 0  ď „ x, y0  ď „ y)  f (x 0 , y0 ) en el valor de f que resulta del movimiento de (x 0 , y0 ) a otro punto

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(x 0  ď „ x, y0  ď „ y) en R satisface la ecuaciĂłn de la forma ď „z  f x (x 0 , y0 )ď „ x  f y (x 0 , y 0 )ď „y  ď Ľ1ď „x  ď Ľ 2 ď „y en la cual cada ď Ľ1 , ď Ľ 2 ď‚Ž 0 cuando ď „x y ď „y ď‚Ž 0.

DEFINICIÓN Una función � = � (�, �) es diferenciable en (x 0 , y 0 ). sí f x (x 0 , y0 ) y f y (x 0 , y 0 ) existen y si

ď „z satisface la ecuaciĂłn de la forma ď „z  f x (x 0 , y0 )ď „ x  f y (x 0 , y 0 )ď „y  ď Ľ1ď „x  ď Ľ 2 ď „y en la cual cada

ď Ľ1 , ď Ľ 2 ď‚Ž 0 cuando ď „x y ď „y ď‚Ž 0. Decimos que f es diferenciable si es derivable en todos los puntos de su dominio, y decimos que su grĂĄfica es una superficie suave.

Si las derivadas parciales f x y f y de una funciĂłn f (x, y) son continuas en una regiĂłn abierta R, entonces f es diferenciable en cada punto de R. Si

� = � (�, �) es

diferenciable,

entonces

la

definiciĂłn

de

diferenciabilidad

asegura

que

ď „z  f (x 0  ď „ x, y0  ď „ y)  f (x 0 , y0 ) tiende a 0 cuando ď „x y ď „y ď‚Ž 0. Esto nos dice que una funciĂłn de dos variables es continua en todos los puntos donde es derivable.

La diferenciabilidad implica continuidad Si una funciĂłn f (x, y) es diferenciable en (x 0 , y0 ), entonces f es continua en (x 0 , y0 ) .

TeorĂ­a y ejemplos La ecuaciĂłn de Laplace tridimensional

2 f 2 f 2 f   0 x 2 y 2 z 2 se satisface por las distribuciones de temperatura estacionarias � = � (�, �, �) en el espacio, que se deben a los potenciales gravitatorios y los potenciales electroståticos. La ecuación de Laplace bidimensional

2 f 2 f 2 f obtenida por la eliminación del tÊrmino de la ecuación previa, describe potenciales y   0 z 2 x 2 y 2 distribuciones de temperaturas estacionarias en un plano (vÊase la siguiente figura). El plano (a) puede considerarse como una rebanada delgada del sólido (b) perpendicular al eje z.

Demuestre que cada funciĂłn en los ejercicios satisface una ecuaciĂłn de Laplace.

01. f (x, y, z)  x 2  y 2  2 z 2

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02. f (x, y, z)  2 z3  3(x 2  y 2 ) z

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03. f (x, y)  e2 y cos(2 x)

04. f (x, y)  ln x 2  y 2

05. f (x, y)  3 x  2 y  4

06. f (x, y)  arctag 

07. f (x, y, z) 

x   y

1 x y z 2

2

2

08. f (x, y, z)  e3 x  4 y cos(5z)

La ecuación de onda Si tomamos una fotografía de las olas del mar desde la orilla de la playa, la foto muestra un patrón regular de picos y valles en un instante de tiempo. Vemos el movimiento vertical periódico en el espacio con respecto a la distancia. Si permanecemos en el agua, podemos sentir cómo sube y baja el agua con las olas.

Vemos el movimiento vertical periódico en el tiempo. En física, esta hermosa simetría se expresa por la ecuación de onda en una dimensión 2 2w 2  w  c , t 2 x 2

donde w es la altura de la onda, x es la variable de la distancia, t es la variable de tiempo y c es la velocidad con la cual se propagan las ondas.

En nuestro ejemplo, x es la distancia a través de la superficie del océano, pero en otras aplicaciones, x podría ser la posición a lo largo de una cuerda vibrante, la distancia en el aire (ondas sonoras) o la distancia a través del espacio (ondas de luz). El número c varía dependiendo del medio y del tipo de onda.

Demuestre que todas las funciones de los ejercicios son soluciones de la ecuación de onda.

01. w  sen(x  ct)

02. w  cos(2 x  2 ct)

03. w  sen(x  ct)  cos(2 x  2 ct)

04. w  ln(2 x  2 ct)

05. w  tag(2 x  2 ct)

06. w  5cos(3x  3ct)  e x ct

07. w  f (u) , donde f es una función derivable de u, y u  a (x  ct), donde a es una constante.

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Ecuación del calor Una ecuación diferencial parcial importante que describe la distribución del calor en una región en el tiempo t se puede representar por una ecuación del calor en una dimensión

f  2 f  . t x 2 Demuestre que u (x, t)  sen( x)  e  t satisface la ecuación del calor para las constantes  y  .

Mostrar que la función satisface la ecuación del calor a. z  e  t cos

x c

b. z  e  t sen

z 2 z  c2 2 . t x

x c

BIBIOGRAFIA:

1. J.STEWART. Cálculo. Conceptos y contextos. 1999. Ed.Thomson.

2. J.STEWART. Cálculo multivariable. 2001. Ed.Thomson.

3. P.MARTÍN et al. Ejercicios resueltos de Cálculo para Ingenieros. 2006. Ed.Delta Publicaciones.

REFERENCIA: http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/ https://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html https://www.derivadas.es/2014/02/18/derivadas-parciales-2/ http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_vv.htm http://asignatura.us.es/amatiqui/php/activos/pdf/ejercicios/Soluciones_Tema_5.pdf

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