CIRCUNFERENCIA

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA ÁREA: MATEMÁTICA

E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

MATEMÁTICA BÁSICA

TEMA: Circunferencia TURNO: NOCHE PABELLÓN: B

CICLO: I SEMANA: 11 SEMESTETRE: 2017 - II

AULA: 501B

CIRCUNFERENCIA Definición.- Es el lugar Geométrico de un punto que se mueve de manera que la distancia a un punto fijo, es siempre constante. Analíticamente es una ecuación de segundo grado en dos variables.

Una circunferencia queda determinada si cumple tres condiciones: las coordenadas del centro h y k y r el radio.

d( C,P)  radio

( x h)2  (y k )2  r Elevando al cuadrado se obtiene la ecuación:

( x  h)2  ( y  k )2  r 2

Elementos de la Circunferencia:

Centro: es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro.

Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto.

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CICLO: I

Ecuaciones de la Circunferencia: Forma Canónica:

Forma Ordinaria:

Cuando su centro está en el origen (0,0)

Cuando su centro es cualquier punto C( h,k )

y r 0.

y r 0 .

x2  y2  r2

( x  h)2  ( y k )2  r 2

Forma General: Se obtiene al desarrollar la ecuación ordinaria.

Ax2  Ay2  Dx  Ey  F  0 Cuando: A = 1 Las coordenadas del centro son:

E  D C ( h, k )  C   ,   2  2

  D2  E2  4F El radio es:

Si   0 

D E  4F 2

r

2

2

Si Δ < 0  Si   0 

la circunferencia es real. la circunferencia es imaginaria. representa un punto.

Si A 1 hay que dividir toda la ecuación entre A y luego aplicar las fórmulas para hallar las coordenadas del centro h, k y el radio r.

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CICLO: I

Ejemplos: 1.-

Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es C(  2,3) y su diámetro es igual a 7.

Solución:

C(h,k )  C(  2,3)

( x  h)2  ( y k )2  r 2

h  2 k3 diámetro 7 r  2 2

 7 ( x  2 )2  ( y  3 )2     2 49 x 2  4x  4  y 2  6y  9  4

2

4 x 2  4 y 2  16x  24y  52  49  0 4 x 2  4 y 2  16x  24y  3  0

2.-

Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el punto C(1,5) que pasa por el punto

P(3,2).

Solución: Hallando el radio: r  CP 

(  3  1)2  ( 2  5 )2 

25  5

La ecuación será: ( x  1) 2  ( y  5 ) 2  25 x 2  2x  1  y 2  10y  25  25 x 2  y 2  2x  10y  1  0

3.-

Dada la ecuación de la circunferencia: 4x2  4y2  24x  32y  99  0, hallar las coordenadas del centro y radio.

Solución: Dividiendo a toda la ecuación entre 4: x2  y2  6 x  8 y 

h k

r 

D 6  3 2 2

E  D C ( h, k )  C   ,    C ( 3 , 4 ) 2  2



E 8  4 2 2

D2  E2  4F  2

36  64  4 

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99 0 4

2

99 4 

1 1  2 2

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CICLO: I

POSICIÓN RELATIVA DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA

Para hallar los puntos comunes a una circunferencia y una recta se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de ambas. En general, se obtiene una ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discriminante,   b2  4ac , las siguientes soluciones: Si Δ  0: Si Δ  0 Dos soluciones: la recta y la Una solución: la recta y la circunferencia son secantes. circunferencia son tangentes.

Hay dos puntos comunes

Tienen un punto en común

Si Δ 0 Ninguna solución: la recta y la circunferencia son exteriores.

No tienen puntos comunes

Ejemplo: Calcular la posición relativa de la circunferencia x2  y2  2x  3  0 y la recta 3x  y 5  0 Solución:   x 2  y 2  2x  3  0   3x  y  5  0 

despejando “y” en la recta: y  53x

Reemplazando el valor de “y” en la ecuación de la circunferencia:

x 2  y 2  2x  3  0

Usando la fórmula general: (   0) La recta y la circunferencia son secantes.

x 2  ( 5  3x )2  2x  3  0

x

x 2  ( 25  30x  9x 2 )  2x  3  0



x 2  25  30x  9x 2  2x  3  0

16  256 220 10 11 x1  5



16  6 10

x2 1

5x 2  16x  11  0 Reemplazando estos valores en la ecuación de la recta:

y  5 3x

8  11  25  33 y  5  3   5 5  5 

y  53(1)  2

Por lo tanto los dos puntos son:

 11 8  P1  ,   5 5

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y

P2 (1,2)

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CICLO: I

EJERCICIOS 1.-

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r. a)

r 5

b)

2 2  x  y  25

2.-

3.-

4.-

2 2  x  y  12

Hallar centro y radio de las siguientes circunferencias. a)

( x 1)2  ( y  4)2  25

d)

( x  2)2  ( y  4)2  48

b)

( x  3)2  ( y 1)2  20

e)

( x  8)2  y2  16

c)

( x  3)2  ( y  5)2  28

f)

x2  ( y  2)2  18

Escribir la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo centro es C y radio r. a)

C(1,2)

r 3

c)

C(  2,3)

r

b)

C(1,  5)

r 3 5

d)

C(3,  2)

r 2 2

5

Hallar la ecuación general de las siguientes circunferencias. a)

r 4

C( 2,3)

b)

C( 3,1)

r 5

C( 1, 2)

c)

2 2  x  y  4x  6y  3  0

r 6

2 2  x  y  2x  4y  31  0

C(2,4)

d)

2 2  x  y  6x  2y  15  0

5.-

r 2 3

r 3

2 2  x  y  4x  8y  11  0

Hallar la ecuación ordinaria de las siguientes circunferencias. a)

x2  y2 14x  4y  52  0

d)

2 2  ( x  7 )  (y  2 )  1

b)

2

e)

2x2  2y2  x  0 2

x2  y2  2x  y  0 2

1 5  2   x  1   y    2 4  Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

2

13   1 106    x   y   6  2 36 

1 1  2   x     y  0  4 16  c)

3x2  3y2 13x  3y  6  0

4x2  4y2  24x  32y  99  0  ( x  3)2  (y  4 )2 

f)

1 4

2x2  2y2  3x  5y   2 2

2

3 5 18     x   y   4 4 16   E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938 Página 5 de 9

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MATEMÁTICA BÁSICA

CICLO: I

Práctica 1.-

Hallar la ecuación general de la circunferencia que cumple las siguientes condiciones: a)

Su centro es C( 4,  1) y pasa por el punto P(1,3).

2 2  x  y  8x  2y  24  0 2 2  x  y  8x  4y  4  0

b)

Centro C(  4,2) y diámetro 8

c)

Uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos A(3,5)

y

2 2  x  y  4x  2y  36  0

B (7,3).

2 2  x  y  6x  8y  0

d)

Centro C( 3, 4) y pasa por el origen.

e)

Su centro es C( 7,6) y que sea tangente al eje X. 2 2  x  y  14x  12y  49  0

f)

Su centro es C(  4,3) y es tangente al eje Y. 2 2  x  y  8x  6y  9  0

g)

Que sea tangente a los dos ejes de coordenadas, de radio 8 y cuyo centro está en el primer cuadrante.

h)

2 2  x  y  16x  16y  64  0

Que pase por el origen, de radio 10 y cuya abscisa de su centro sea -6.

2 2  x  y  12x  16y  0

i)

2 2  x  y  12x  16y  0

Tangente a ambos ejes, radio 6, ubicada en el segundo cuadrante.

2 2  x  y  12x  12y  36  0

j)

Pasa por ( 2,6) y tiene su centro en ( 3, 5) 2 2  x  y  6x  10y  88  0

k)

Es tangente al eje X y su centro está en ( 3, 2) 2 2  x  y  6x  4y  9  0

l)

Es tangente al eje X en (3,0) y tangente al eje Y en ( 0, 3) 2 2  x  y  6x  6y  9  0

m)

Los puntos ( 4,6) y ( 2,0) son los extremos de su diámetro.

2 2  x  y  2x  6y  8  0

n)

Su centro está en el eje Y y pasa por los puntos ( 2,3) y (4,1) 2 2  x  y  2y  19  0

o)

Su centro está sobre el eje X y pasa por los puntos (2,3) y (4,5) 2 2  3x  3y  12x  67  0

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MATEMÁTICA BÁSICA

CICLO: I

Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia que cumple las siguientes condiciones: a)

Pasa por A(3,5) y B(11,5) y su radio es

17.

2 2  ( x  7 )  (y  6 )  17

b)

2 2  ( x  7 )  (y  4 )  17

Pasa por (0,2) y B(7,3) y tiene radio 5.

2 2  ( x  4 )  (y  1)  25

c)

2 2  ( x  3 )  (y  4 )  25

Pasa por el punto (13,13) y es tangente a las rectas: 2 2  ( x  4 )  (y  5 )  80

x3y6  0 y 3xy22  0 3.-

Hallar la ecuación general de las siguientes circunferencias: a)

Su radio es 5 y su centro es el punto de intersección de las rectas L 1 y L2

L1: 3x  2y  24  0

y

L2 : 2x  7y  9  0 2 2  x  y  12x  6y  20  0

b)

Pasa por el punto A(7,5) y su centro es el punto de intersección de las rectas

L1: 7x  9y 10  0

y

L2 : 2x  5y  2  0 2 2  x  y  8x  4y  38  0

4.-

2 2 Hallar la posición relativa de la circunferencia: x  y  6x  4y  9  0 respecto a cada una de las

siguientes rectas:

5.-

a)

2xy2  0

 secante

b)

xy1 0

 exterior

c)

3x4y9  0

 tangente

Decir la posición relativa de la recta y  32x respecto de las circunferencias: a)

x 2  y 2  2x  3 y  2  0

 tangente

b)

x 2  y 2  3x  4y  3  0

 secante

c)

2x 2  2y 2  3 x  5 y  5  0

 exterior

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MATEMÁTICA BÁSICA

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TAREA DOMICILIARIA 1. Determina el radio de las siguientes circunferencias: a) x2 + y2 = 16 b) x2 + y2 = 12 c) 9x2 + 9y2 = 4 d) 5x2 + 5y2 = 8

10. Determina en qué puntos son secantes las circunferencias (x - 3)2 + (y - 2)2 = 16 y (x - 7)2 + (y - 2)2 = 16 11. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 y x2 + y2 + 4x = 0

2. Escribe la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y cuyo radio mide: a) 6 cm. b) 2 2 m. c)

2 3 3

cm.

12. Calcula la distancia entre los centros de las circunferencias x2 + y2 - 6x -2y - 6 = 0 y x2 + y2 - 12x + 4y + 31 = 0

d) 0 m.

3. Escribe la ecuación de la circunferencia: a) de centro C(6,-4) y radio 5 unidades b) de centro C(-1, -5) y radio - 2/3 4. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias: a) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4 b) (x + 2/5)2 + (y - 3/4)2 = 3 c) x2 + y2 - 2x + 16y -14 = 0 d) 2x2 + 8x + 2y2 - 6y = 18. e) [5(x + 4)]2 + 25(y - 2)2 = 625

13. La ecuación de una circunferencia es x 2 + y2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto (-2, 4). Hallar la ecuación de la cuerda.

14. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x + 2y + 13 = 0; 3x + 8y – 47 = 0 y x – y – 1 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita.

BIBLIOGRAFÍA

5. Escribe en forma canónica la ecuación de la circunferencia x2 + y2 + 4x -10y + 11 = 0 6. Grafica la circunferencia de ecuación: a) x2 + y2 = 4. b) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4 7. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos a) (3,0); (-1,6); (-2,-4). b) (1,-4); (4,5); (3,-2).

8. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-2,4) y (3,6), y cuyo centro está sobre la recta de ecuación 2x + y = 3.

9. Determina los puntos de intersección de las circunferencias x2 + y2 = 25 y x2 + y2 +x + y - 20 = 0.

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Álgebra y Trigonometría, segunda edición. ZILL Y DEWAR. Geometría Analítica, tercera edición. CHARLES LEHMANN. Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y principios del análisis. Lima: Lumbreras.

Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra Universitaria. Mexico D.F: Continental.

Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. México, D.F: CENGAGE Learning.

REFERENCIA http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/ T_matrdeter/MatrDeter https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo/ matrices-58478482 E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938

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