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MANUAL AUTOFORMATIVO

Jhonny Ruiz Núñez / Saul Matias Caro

MATEMÁTICAS I


Dirección: Juan José Cardenas Diseño y maquetación: Francisco Rosales Edita: Universidad Continental Tiraje: 1000 Referencia: 001/0025 ISBN: xxx-xxx-xxx-xxxxx © Universidad Continental 2012 Todos los derechos reservados. Queda prohibida la reprodución total o parcial de los contenidos de este libro sin la autorización de la Universidad Continental.


ÍNDICE INTRODUCCIÓN DIAGRAMA DE PRESENTACION DE LA ASIGNATURA UNIDAD I: “NÚMEROS REALES” DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Tema N° 1: Números reales 1 Propiedades de los números reales 2 Ecuaciones lineales. 3 Ecuaciones cuadráticas. 4 Aplicación de ecuaciones. 5 La recta numérica e intervalos. 6 Desigualdades lineales y aplicaciones. 6.1 Desigualdades lineales. 6.2 Aplicaciones de las desigualdades lineales

7 Desigualdades cuadráticas y polinómicas. 7.1 Desigualdades cuadráticas 7.2 Desigualdades polinómicas

8 Desigualdades fraccionarias. 9 Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. 9.1 Valor absoluto 9.2 Ecuaciones con valor absoluto 9.3 Inecuaciones con valor absoluto

Autoevaluación N° 1

UNIDAD II: “FUNCIONES” DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Tema N° 01: Funciones y gráficas 1 Definición y evaluación de una función 2 Dominio y rango de una función. 3 Gráfica de funciones. 4 Gráfica de Funciones definidas por partes.

Tema N° 02: Funciones crecientes y decrecientes.  1 Definición y propiedades de funciones crecientes y decrecientes 2 Graficas


Tema N° 03: Transformaciones de funciones. 1 Desplazamientos verticales de gráficas 2 Desplazamientos horizontales de gráficas 3 Reflexión de gráficas 4 Estiramiento y acortamiento vertical 5 Acortamiento y alargamiento horizontal de gráficas

Tema N° 04: Funciones par e impar. 1 Definición y gráficas

Tema N° 05: Funciones cuadráticas 1 Definición y propiedades de funciones cuadráticas 2 Valor máximo o mínimo de una función cuadrática 3 Modelado con funciones cuadráticas

Autoevaluación N° 2

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES” DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Tema N° 01: Algebra de funciones 1 Combinación de funciones 2 Composición de funciones.

Tema N° 02: Funciones uno a uno 1 Propiedades de las funciones uno a uno

Tema N° 03: Funciones inversas 1 Propiedad de las funciones inversas 2 Grafica de una función inversa 3 Aplicación de las funciones inversas

Tema N° 04: Funciones Polinomiales 1 Funciones polinomiales y sus gráficas. 2 Funciones polinomiales y sus aplicaciones.

Tema N° 05: Funciones Racionales 1 Funciones racionales y asíntotas 2 Gráficas básicas de una función racional 3 Dominio de una función racional


4 Definición de asíntotas verticales y horizontales 5 Teoremas de las asíntotas horizontales y oblicuas 6 Gráfica de una función racional

Tema N° 06: Funciones Exponenciales 1 Propiedades de funciones exponenciales y logística. 2 Gráfica de funciones exponenciales, logística y sus aplicaciones. 3 Función exponencial natural 4 Función logística 5 Aplicaciones

Autoevaluación N° 3

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTIMICAS - TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA” DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Tema N°01: Funciones logarítmicas. 1 Definición de las funciones logarítmicas 2 Propiedades de funciones logarítmicas. 3 Gráfica de funciones logarítmicas y sus aplicaciones.

Tema N°02: Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas. 1 Ecuaciones exponenciales. 2 Ecuaciones logarítmicas. 3 Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas.

Tema N° 03: Funciones Trigonométricas Y Trigonometría Analítica 1 Medida angular. 2 Trigonometría de ángulos rectos. 3 Funciones trigonométricas de ángulos. 4 Identidades trigonométricas.

Autoevaluación N° 4 ANEXO Clave de respuestas de las autoevaluaciones


INTRODUCCIÓN

L

a asignatura de Matemática I se desarrolla

Para el estudio del manual se sugiere la siguiente

con una modalidad de educación virtual,

secuencia en cada unidad:

para eso este manual autoformativo es su

Realizar el estudio de los contenidos. Es necesario

material didáctico más importante dentro de su for-

la lectura analítica, la comprensión de los ejem-

mación profesional.

plos y el repaso de los temas. Desarrollar las actividades, con referencia en los

La matemática como ciencia es una de las más im-

ejemplos resueltos por cada tema.

portantes y poderosas herramientas creada por el

Desarrollar la auto evaluación, que es una prepara-

ser humano. Es así como la asignatura de Matemá-

ción para la prueba final de la asignatura

tica I, trata de temas básicos que permite a los estudiantes desarrollar sus habilidades y destrezas y lo más importantes incursionar en el inicio del estudio de las matemáticas en toda su universalidad.

De esta manera se ha planteado 4 unidades, las cuales están debidamente organizadas y sistematizadas teniendo en cuenta los principios pedagógicos, motivo por el cual en primer lugar se presenta la teoría, luego ejercicios resueltos, actividades de autoaprendizaje y finalmente la autoevaluación.

Desarrollar las actividades programadas para cada semana en el aula virtual, con la asesoría del Tutor.

Por tanto Ud. requiere un conocimiento directo y practico de la matemática que le permita aplicar en temas de su carrera profesional, tomando casos de su entorno, logrando de esta manera la adquisición de conocimientos de la matemática a través de la aplicación directa de la teoría sin dejar de lado la motivación y la aplicación de nuevas metodologías para desarrollar un buen aprendizaje


Desarrollo de contenidos

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA Diagrama

Objetivos

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Inicio

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA Identifica, define, analiza y aplica los diferentes teoremas, propiedades en los números reales, funciones y trigonometría analítica en la solución de situaciones probleDesarrollo Actividades Autoevaluación demostrando interés, tolerancia y respeto a los demás. demáticas contenidos

UNIDADES DIDACTICAS Lecturas UNIDAD Nº 1Glosario seleccionadas

“NÚMEROS REALES”

Recordatorio

Bibliografía UNIDAD Nº 2

“FUNCIONES”

Anotaciones

UNIDAD Nº 3

UNIDAD Nº 4

“ALGEBRA DE FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES”

“FUNCIONES LOGARÍTIMICAS TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

UNIDAD Nº 3

UNIDAD Nº 4

TIEMPO MINIMO DE ESTUDIO: UNIDAD Nº 1

UNIDAD Nº 2

1ª y 2ª semana

3ª y 4ª semana

5ª y 6ª semana

7ª y 8ª semana

16 horas

16 horas

16 horas

16 horas

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Bibliografía

9


Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

Anotaciones

UNIDAD I: NUMEROS REALES Diagrama

Desarrollo de contenidos

Diagrama Lecturas seleccionadas

Objetivos

Inicio

UNIDAD I: NUMEROS REALES Actividades

Autoevaluación

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Objetivos Glosario

CONTENIDO

Desarrollo de contenidos Recordatorio

Actividades

Inicio Bibliografía

EJEMPLOS

Autoevaluación

Anotaciones

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

BIBLIOGRAFÍA

AUTOEVALUACIÓN

Bibliografía

CONOCIMIENTOS

ACTIVIDADES

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

Tema N° 1: 1. Propiedades de los números reales. 2. Ecuaciones lineales. 3. E  cuaciones cuadráticas. 4.  Aplicación de ecuaciones. 5. La recta numérica e intervalos 6. Desigualdades lineales y aplicaciones. 7. Desigualdades cuadráticas y polinómicas. 8. Desigualdades narias.

1. Demuestra interés por relacionar las operaciones 2. Resuelve operaciones y métodos en la solución con números reales aplide un problema matemácando sus propiedades. tico. 3.  Resuelve ejercicios de 2.  Demuestra sentido críecuaciones lineales tico en el manejo de la 4.  Resuelve ejercicios de información relevante ecuaciones cuadráticas referida a la matemática 5.  Resuelve ejercicios de que explora en las redes aplicación de ecuaciones de información. 6. Resuelve ejercicios y apli- 3. Demuestra interés por recaciones de desigualdalacionar las operaciones des lineales con una vay métodos en la solución riable. de un problema matemático. 7. Resuelve ejercicios de desigualdades cuadráticas, 4.  Demuestra sentido crípolinómicas, fraccionatico en el manejo de la rias y valor absoluto. información relevante referida a la matemática Actividad dirigida: práctica que explora en las redes de ecuaciones lineales y cuade información. dráticas 1. Define un número real.

Números reales

fraccio-

8. Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Autoevaluación N° 1

Control de Lectura N° 01


UNIDAD I: NUMEROS REALES

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas

TEMA N°01: NUMEROS REALES

Seguramente usted ha escuchado hablar de los números reales…lo invito a empezar Recordatorio el estudio de un tipo de números que son muy importantes para comprender muchos temas en matemática. Los números reales están formados por los números racionales e irracionales. Se denota con . Los números reales comprenden los siguientes: Números Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, …………} Números Enteros: Z = {………., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….} Números Racionales: ... ... ... ..., 3 , 1 , 76 , 46 , ... ... ... ... 2 2 100 1

= {a/b, a y b ε Z, b ≠ 0} = Números Irracionales:

- Q = {... ... ... ..., √3 , √5 , 3√2 , π , ... ... ... ... }

I=

1 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES Con estas propiedades se puede demostrar las operaciones básicas en matemática, siendo las siguientes:

A) Propiedades de la adición.

A1: Para todo a, b ε

, a+b ε

clausura

A2: Para todo a, b ε

, a+b = b+a

A4: Existe el 0 ε

/ para todo a ε

A5: Para todo a ε

, existe –a

asociativa

, a+0 = 0+a = a / a+(-a) = (-a)+a = 0

elemento neutro opuesto

B) Propiedades de la multiplicación.

M1: Para todo a, b ε

, a.b ε

M2: Para todo a, b ε

, a.b = b.a

M3: Para todo a, b, c ε M4: Existe el 1≠0 ε

clausura conmutativa

, (a.b).c = a.(b.c)

/ para todo a ε

M5: Para todo a≠0 ε

conmutativa

, (a+b)+c = a+(b+c)

A3: Para todo a, b, c ε

asociativa

, a.1 = 1.a = a

, existe a = 1/a ε

/ a.

-1

a-1

elemento neutro

= a .a = 0 inverso -1

C) Propiedades distributivas.

D1: a.(b+c) =a.b+a.c, para todo a, b, c ε

por la izquierda

D2: (a+b).c = a.c+b.c, para todo a, b, c ε

por la derecha

Ejemplos: Las propiedades de los números reales que se están usando son:

1. 8 + 5 = 5 + 8

Se refiere a la propiedad distributiva por la izquierda

3. (x + 3y) + 5z = x + (3y + 5z)

Se refiere a la propiedad conmutativa de la adición.

2. 3(A + B) = 3A + 3B

Se refiere a la propiedad asociativa de la adición

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

Anotaciones

Bibliografía

11


12

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD I: NUMEROS REALES Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

ACTIVIDADES: Anotaciones

Autoevaluación

Señale la propiedad de los números reales que se está usando en cada caso.

1. 3(5 + 7) = (5 + 7)3 2. (x + p)(x + q) = (x + p)x + (x + a)q Lecturas seleccionadas

Glosario 3. 5xBibliografía (2 + y = (2 + y) 5x

2 ECUACIONES LINEALES Recordatorio

Anotaciones Las ecuaciones lineales tienen la forma o son transformables a la forma general: donde a y b son constantes, a ? 0, y siendo x la incógnita, por lo cual son también llamadas ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA y se resuelve de siguiente manera.

Ejemplo 1:

Resolveremos a continuación la siguiente ecuación 8x – 5 = 2x + 7

Solución: Iniciamos su solución de la ecuación cambiándola a una equivalente en la que todos los términos que tienen la variable x están en un lado y todos los términos constantes están en el otro.

8x – 5 = 2x + 7 Ecuación dada

(8x – 5) + 5 = (2x + 7) + 5 Se suma 5

8x = 2x + 12 Simplificación

8x – 2x = 2x – 2x + 12 Se resta 2x

x = 2 dividiendo 12/6

Es importante VERIFICAR LAS RESPUESTAS. En estas comprobaciones, PM quiere decir “primer miembro “ y SM quiere decir segundo miembro” de la ecuación.

PM: 8x – 5 = 8(2) – 5 = 11

SM: 2x + 7 = 2(2) + 7 = 11

Diagrama

Si x = 2, reemplazamos en el:

Entonces PM = SM, es correcta la respuesta.

Objetivos

Inicio

ACTIVIDADES: Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

Resuelva las ecuaciones

1.

2. Lecturas seleccionadas

Glosario

3.

Bibliografía

4. Recordatorio

Anotaciones

5.

3 ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma: donde

son números reales y

.


UNIDAD I: NUMEROS REALES

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas

Ejemplos:

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

en la definición asegura que exista el término x2 en la

La condición de que ecuación.

Recordatorio

Entre los métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas, presentamos los siguientes: Factorización Fórmula cuadrática FACTORIZACIÓN: para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Factorizamos el miembro de la ecuación que no es cero. Se iguala a cero cada factor y se obtienen los valores de la variable.  Ejemplo: Para resolver la ecuación x2 + 10x = 24, por el método de factorización, realizaremos lo siguiente:  Solución: primero debemos volver a escribir la ecuación de modo que el segundo miembro sea igual a cero. x2 + 10x – 24 = 0

(x + 12)(x - 2) = 0

x + 12 = 0 ó

Propiedad del producto nulo

x = -12 ó x = 2

Objetivos

Solución

Inicio

ACTIVIDADES:

Factorización

x - 2 = 0

Las soluciones son x = -12 y x = 2

Diagrama

Desarrollo de contenidos

Resta de 24

Actividades

Autoevaluación

Resuelva las ecuaciones siguientes por factorización.

1) 2) Lecturas seleccionadas

Glosario

3)

Bibliografía

4) 5) Recordatorio

Anotaciones

 FÓRMULA CUADRÁTICA: La solución de una ecuación con está dada por la fórmula cuadrática:

La expresión: nes.

La siguiente tabla nos indica el tipo de raíz de acuerdo al valor del discriminante.

Valor de:

positivo cero negativo

conocida como discriminante determina el tipo de solucio-

Tipo de solución dos soluciones reales una solución real dos soluciones complejas

Anotaciones

Bibliografía

13


14

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD I: NUMEROS REALES

Ejemplo: Resolvamos la ecuación cuadrática x2 + 3x - 1 = 0 del siguiente modo:

Solución: primero debemos identificar los coeficientes (con el signo que le antecede) para aplicar la fórmula.

Anotaciones

La fórmula es:

a = 1, b = 3, c = -1

Reemplazamos en la fórmula y obtenemos:

Las soluciones son: Diagrama

Objetivos

Inicio

ACTIVIDADES: Desarrollo de contenidos

Actividades Diagrama

Autoevaluación Objetivos

Inicio

Actividades Bibliografía

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

Resuelva las ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática. 1) 2)

Lecturas seleccionadas

Desarrollo de Glosario contenidos

3) 4) 5)

Recordatorio

Lecturas seleccionadas Anotaciones

Recuerda: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática. Recordatorio

Anotaciones

4 APLICACION DE LAS ECUACIONES Las ecuaciones permiten resolver diversos problemas. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Se tienen dos sacos de arroz con 174 kg. Del más pesado se extrae el 25 % de su contenido y se echa en el otro, quedando los dos con la misma cantidad. ¿Cuánto pesaba cada saco? Solución: Asignamos la variable “x” a uno de los sacos:

S1 = x

Expresamos el otro saco en función de esta variable:

S2 = 174 – x Expresamos mediante una ecuación las condiciones del problema, el 25 % del saco mayor es la cuarta parte de su contenido y esto adicionamos al saco menor:

Resolviendo la ecuación se tiene:

Constatamos que los resultados son correctos y respondemos a la pregunta del problema:

El saco S1 pesa 116 kg y el saco S2 pesa (174 – 116) que es igual a 58 kg


UNIDAD I: NUMEROS REALES

Desarrollo de contenidos

Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

ACTIVIDADES: Autoevaluación

Resuelva los siguientes problemas de aplicación.

1.  El lado de un rectángulo mide 8 cm, ¿Cuánto mide el otro lado, si al reducir ambos lados en 3 cm el área resultante es la mitad del anterior? Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Glosario Bibliografía 2.  (Inversiones) Los miembros de una fundación desean invertir $ 18 000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 % y 6 %, respectivamente. Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que producirá al 8 % la inversión total? Anotaciones

5 LA RECTA NUMÉRICA E INTERVALOS

Recta numérica.

Recta donde se establece una biyección, a cada número real le corresponde un único punto de la recta y a cada punto le corresponde un único número real. −4.9 −4.7

−3.1725 −2.63

−5 −4 −4.85

−3

−1 1 1 16 8 4 1 2

−√2 −2

−1

0

√2 1

0.3

√3 √5 2

π 3

4.2 4.4 4.9999 4 5 4.3 4.5

Intervalos Intervalos son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con  o  sin extremos.

Clases de intervalos

Dados y son números reales con a < b . A continuación presentamos los siguientes tipos de intervalos. NOTACIÓN

NOMBRE

Intervalo

Conjunto

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Abierto Cerrado Abierto – Cerrado Cerrado – Abierto Abierto a la izquierda Cerrado a la izquierda Abierto a la derecha Cerrado a la derecha

Los signos ] y [, indican que el extremo del intervalo si está incluido. Los signos y

, indican que el extremo del intervalo no está incluido.

Operaciones. Los intervalos son conjuntos (subconjuntos de ) con ellos es posible realizar las operaciones conjuntistas: unión, intersección, complementación, diferencia, diferencia simétrica, etc.

Bibliografía

15


16

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD I: NUMEROS REALES

6 DESIGUALDADES LINEALES Y APLICACIONES

Anotaciones

Una desigualdad es similar a una ecuación, sólo que en lugar de tener un signo de igual hay uno de los símbolos <, > , o . Ejemplo: 2x - 8 < 10 Resolver una desigualdad que contiene una variable quiere decir determinar todos los valores de la variable que hacen que la desigualdad sea verdadera. Al contrario que en una ecuación, una desigualdad por lo general tiene infinitas soluciones, las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos en la recta de los números reales.

Ejemplo: resolvamos a continuación una ecuación lineal e inecuación lineal, en ambos casos despejamos la variable “x”.

Ecuación: 4x + 7 = 19

x=3

Desigualdad: 4x + 7 < 19

x<3

6.1 DESIGUALDADES LINEALES

Si el grado de la desigualdad es uno, se dice que la desigualdad es lineal.

Es de la forma:

.

Ejemplo: Resolveremos la desigualdad 3x < 9x + 4 y luego graficaremos el conjunto solución.

Solución Diagrama

Objetivos

Inicio

3x < 9x + 4

3x - 9x < 9x + 4 - 9x

-6x < 4

Desarrollo de contenidos

x > -2/3

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

(-1/6)(-6x) > (-1/6)(4)

Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Sustraemos 9x en ambos lados Simplificamos Y multiplicación por —1/6

La multiplicación por el número invierte la dirección de la desigualdad Anotaciones

El conjunto solución consta de todos los números mayores que -2/3. En otras palabras, la solución de la desigualdad es el intervalo −2 ; ∞ . Siendo su gráfica 3 la siguiente:


UNIDAD I: NUMEROS REALES

Desarrollo de contenidos

Diagrama

Objetivos

Inicio

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

ACTIVIDADES: Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

Resuelva las siguientes desigualdades: 1) 2)

Lecturas seleccionadas

3)Glosario

Bibliografía

4) Recordatorio

Anotaciones 5)

6.2 APLICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES LINEALES Las desigualdades permiten resolver diversos problemas de situaciones reales. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

La comisión mensual de un agente de ventas es de 15% de las ventas por arriba de $ 12000. Si su objetivo es lograr una comisión de al menos $1000 por mes, ¿cuál es el volumen mínimo de ventas que debe alcanzar? Solución:

Sea x la comisión mensual del agente de ventas.

Como la comisión mensual del agente es de 15% de las ventas por arriba de $12000, planteamos la siguiente expresión matemática 15% (x-12000) 0.15(x-12000) Además el objetivo es lograr una comisión de al menos( ) $1000, quiere decir: 0.15(x-12000) 1000

Resolveremos esta desigualdad:

0.15x – 1800 1000

0.15 x 1000 + 1800

0.15x 2800 x 18666.67 por lo tanto el volumen mínimo de ventas que debe alcanzar el agente de ventas es de $18666.67. Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

ACTIVIDADES:

Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Autoevaluación

Resuelva los siguientes problemas 1. Costo de la renta de un automóvil. Una compañía que renta vehículos ofrece dos planes para rentar un automóvil.

Plan Bibliografía A : 30 dólares por día y 10 centavos por milla

Glosario

Plan B : 50 dólares por día y gratis millas recorridas ilimitadas

¿Para qué valor de millas el plan B le hará ahorrar dinero?

Anotaciones

Bibliografía

17


18

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD I: NUMEROS REALES

2. Costos de manejo de un automóvil. Se estima que el costo anual de manejar un cierto automóvil nuevo se obtiene mediante la fórmula. Anotaciones

C = 0.35 m + 2200

donde m representa la cantidad de millas recorridas al año y C es el costo en dólares. Francisco compró uno de esos vehículos y decide apartar para el año próximo entre 6400 y 7100 dólares para los costos de manejo. ¿Cuál es el intervalo correspondiente de millas que puede recorrer con su nuevo automóvil? 7 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS y POLINÓMICAS 7.1 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Las desigualdades cuadráticas se presentan de la forma:

Dados:

Ejemplo:

7.2 DESIGUALDADES Diagrama Objetivos Inicio POLINÓMICAS

Las desigualdades polinómicas se presentan de la forma: P(x) = anxn + ... + a1x + a0 >,

0

+ ... + a1x + a0 <, = anx Autoevaluación Desarrollo P(x) Actividades

0

n

de contenidos

donde a0, a1, ... an son constantes.

Ejemplo: Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

 ara resolver las desigualdades cuadráticas y polinómicas se usa el P método de los puntos críticos:

Recordatorio

Anotaciones

Método de los Puntos Críticos:

Sólo se utiliza cuando el discriminante

es positivo. Pasos a seguir.

a) Como consecuencia del método anterior se hallan los puntos críticos y se ordenan en la recta real en forma creciente.

b) Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo, por ello se colocan entre los puntos críticos los signos (+) y (-) alternadamente de derecha a izquierda, comenzando del mayor punto crítico con el signo (+).

c) Si P(x)>0 o P(x) 0 el conjunto solución estará formado por los intervalos donde aparezca el signo (+).

d) Si P(x)<0 o P(x) 0 el conjunto solución estará formado por el intervalo donde aparezca el signo (-).

Ejemplo: Para resolver la desigualdad x2 + 5x + 6 > 0, realizamos el siguiente procedimiento:

x2 + 5x + 6 > 0

(x+ 3)(x + 2) > 0

x+3 = 0 ó

x=-3

Factorizamos

x+2 = 0

Igualamos a cero cada factor

x = -2

Hallamos los puntos críticos

Se ubica los puntos críticos en la recta numérica y se coloca los signos alternadamente.


UNIDAD I: NUMEROS REALES

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

El conjunto solución estará formado por los intervalos donde aparezca el signo Recordatorio (+) Respuesta: C.S. x ε 〈−∞; −3〉 ∪ 〈−2; +∞〉

Diagrama

Objetivos

Inicio

ACTIVIDADES:

Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

Resuelva las siguientes desigualdades:

1. x2 + 2x – 15 >0

2. 2x2 + 9x + 4 0

Bibliografía 3. Glosario x(x – 2)(x + 3)>0

4. 4x2 – 20x + 25 0

5. (3x – 1)(2x + 1) > 0

Lecturas seleccionadas

6. (x + 2)(x + 3)(x + 4) < 0 Recordatorio Anotaciones

7. x2 < 4

8 DESIGUALDADES FRACCIONARIAS.

Enunciaremos un método para resolver algunas inecuaciones del tipo

donde el signo “<” puede ser también “>”, “ ” o “ ”.

Algunas propiedades aplicativos a la resolución de inecuaciones fraccionarias:

Sean x e y números reales del mismo signo, luego:

a) Si: x < 0 ⇒ x, y < 0

y b) Si: x ≥ 0 ⇒ x, y ≥ 0 ∧ y ≠ 0 y

Ejemplo 01:

Resolvamos la siguiente inecuación:

x+2 >0 x−8

Solución:

La inecuación equivalente de acuerdo a propiedades es:

(x+2)(x-8)>0

por puntos críticos:

La respuesta es: x ∈ < −∞ ; −2 > ∪ < 8; ∞ >

Anotaciones

Bibliografía

19


20

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD I: NUMEROS REALES Diagrama

Objetivos

Inicio

ACTIVIDADES: Anotaciones

Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

Resuelva las inecuaciones usando las propiedades:

1.

2x x+1

Lecturas seleccionadas

Recordatorio

2.

Bibliografía 2x−3

3.

−5x−7

4.

Glosario

< 0.

4x+2

x+4 5x+6

Anotaciones

−x−4 8x−7

5.

−x+2

< 0. + 1 > 0.

< 0. ≥ 0.

9 ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.

9.1 VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto o módulo de un número real “x” se define por:

|x| =

x si x > 0 0 si x = 0 −x si x < 0

Propiedades de valor absoluto 1. |x| ≥ 0 ; ∀ x ∈ R

|x| ≥ x ; ∀ x ∈ R 2.

3. |x|2 = |x2| = x2

4. |x| = |−x|

5. |x . y| = |x| |y|

|x|=|x |,y≠0 6. y y

7. |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular)

9.2 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes:

1. |x| = 0 ⇔ x = 0

2. |x| = y ⇔ [y ≥ 0 ∧ (x = y ∨ x = −y)] 3. |x| = |y| ⇔ x = y ∨ x = −y

dónde: y es el universo dentro del cual se resuelve la ecuación.

Ejemplo 01: Para resolver la siguiente ecuación con valor absoluto |1 − 2x| = 0 realizamos lo siguiente: Solución: Aplicando directamente el Teorema: |x| = 0 ⇔ x = 0 , entonces del ejercicio planteado hacemos: |1 − 2x| = 0 ⇔ 1 − 2x = 0 −2x = −1 x Luego: x = y

1

La respuesta es: C. S. = 2


UNIDAD I: NUMEROS REALES

Desarrollo de contenidos

Ejemplo 02:

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Resolvamos: |3x − 2| = 4 Solución:

Aplicando directamente el Teorema: |x| = y ⇔ [y ≥ 0 ∧ (x = y ∨ x = −y)] , entonces del ejercicio planteado hacemos: luego: [(3x − 2 = 4 ∨ 3x − 2 = −4)] ⇒ (3x = 6 ∨ 3x = −2) ⇒ (x = 2 ∨ x = − 2 ) 3

La respuesta es: C.S. = − 2 ; 2

Ejemplo 03:

Resolvamos la siguiente ecuación con valor absoluto |1 - 3x| = |x − 2|

3

Solución: Aplicando directamente el Teorema: |x| = |y| ⇔ x = y ∨ x = −y , entonces del ejercicio planteado hacemos: |1 - 3x| = |x − 2| ⇔ 1 − 3x = x − 2 ∨ 1 − 3x = −(x − 2) ⇒ −4x = −3 ∨ −2x = 1 ⇒ (x = 3 ∨ x = − 1 ) 4 2 Respuesta: C.S. = − 1 ; 2

Objetivos

Diagrama

Inicio

ACTIVIDADES:

Desarrollo de contenidos

3 4

Actividades

Autoevaluación

Resuelva las ecuaciones usando las propiedades:

1. |x − x2| = 0

2. |3x − 5| = 0 Lecturas Glosario Bibliografía seleccionadas 3. |x2 − 3| = 1 2 4. |x − 4| = x - 2

5. |x2 − 3| = |2x - 4| Recordatorio

Anotaciones

9.3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

En las inecuaciones con valor absoluto es conveniente recordar las siguientes propiedades que son una consecuencia inmediata de las propiedades de valor absoluto estudiadas anteriormente: 1) |x| < y ⇔ [y > 0 ∧ (−y < x < y)] 2) |x| > y ⇔ [y ≥ 0 ∧ (x > y ∨ x < −y)] 3) |x| < |y| ⇔ |x|2 < |y|2 ⇔ x2 < y2

Ejemplo 01: Resolvamos: |x − 4| < 7

Solución: Aplicando el Teorema: |x| < y ⇔ [y > 0 ∧ (−y < x < y)], entonces del ejercicio planteado hacemos: |x − 4| < 7 ⇔ [7 > 0 ∧ (−7 < x − 4 < 7)]

directamente:

(−7 + 4 < x − 4 + 4 < 7 + 4 −3 < x < 11

Bibliografía

21


22

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD I: NUMEROS REALES

Respuesta: x ∈ < -3; 11 >

Ejemplo 02:

Anotaciones

Resolvamos: |x − 1| > 3

Solución: Aplicando el Teorema: |x| > y ⇔ [y ≥ 0 ∧ (x > y ∨ x < −y)] entonces del ejercicio planteado hacemos: |x − 1| > 3 ⇔ [3 ≥ 0 ∧ (x − 1 > 3 ∨ x − 1 < −3)] ⇔ [(x - 1 > 3 ∨ x − 1 < −3)] (x > 4 ∨ x < −2 Respuesta: x ∈ < −∞ ; −2 > ∪ < 4; ∞ > Ejemplo 03: Resolvamos: |2x − 1| < |x + 1| Aplicando el Teorema: |2| < |y| ⇔ |x|2 < |y|2 ⇔ x2 < y2 planteado hacemos: 2 2 |2x − 1| < |x + 1| ⇔ (2x − 1) < (x + 1)

⇔ (2x − 1)2 − (x + 1)2 < 0

diferencia de cuadrados: ⇔ (2x − 1 − x − 1)(2x − 1 +x + 1) < 0 (x − 2)(3x) < 0 por puntos críticos:

Respuesta: x ∈ < 0; 2 > Diagrama

Objetivos

Inicio

ACTIVIDADES: Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Actividades

Autoevaluación

Resuelva las inecuaciones usando las propiedades: 1.

|x − 5| ≤ 3

2.

3 − |2x + 4| ≤ 1

3.

1 |x| ≥ 1 2

4.

|x + 1| ≥ 1

Glosario

entonces del ejercicio

Bibliografía

|3x − 2| < |6 − x| 5. Anotaciones


s

s

o

os

as

o

UNIDAD I: NUMEROS REALES

Desarrollo de contenidos

Objetivos

Inicio

Actividades

Autoevaluación

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

AUTOEVALUACIÓN N° 1:

Resuelva los siguientes ejercicios y aplicaciones: 1. x – (2x+8) = 5(-x+3) Glosario

Bibliografía

2. Anotaciones

3. 4. 5. 6. 9x > x2 + 14 7. (x + 1)(x – 2)(x+5) > 0 2 8. |x − y| = x − 1

9. |x+2| 2 10. Población de peces. La población de peces de un lago aumenta y disminuye según la fórmula F = 1000(30 + 17t - t2). En este caso, F es la cantidad de peces que hay en el tiempo t, donde t se mide en años desde el primero de enero de 2002, cuando la población de peces se estimó por vez primera. Objetivos

¿En qué fecha la población de peces volverá a ser la misma que en el primero de Inicio enero de 2002?

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

1. James Stewart, Lothar Redlin, Salem Watson, Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Editorial Cengage Learning, México, 2007. Anotaciones

2.

 offman, L.D.; Bradley, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y CienH cias Sociales. Editorial: McGraw-Hill, 2006.

3. Sydsaeter, K.; Hammond, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Editorial: Prentice Hall, Madrid, 1996. 4.

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

 rya, J.; Lardner, R.: Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. EdiA torial: Pearson Educación, Prentice-Hall, Mexico, 2002.

5. Haeussler, E.; Paul, R.: Matemáticas para la administración y economía. Editorial: Prentice Hall, 2003. 6. Calvo, M.; Escribano,..: Problemas resueltos de matemáticas aplicadas a la economía y la empresa. Editorial: Thomson-AC, 2003. 7. Cámara, A.; Garrido, R; Tolmos, P.: Problemas de matemáticas para economía y empresa. Editorial: AC, 2003. 8. Muñoz, A.; Santos, J.; Fabian, G.: Problemas de matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Editorial: Ediciones Académicas S.A., 2003.

Bibliografía

23


24

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

Anotaciones

Diagrama

Desarrollo de contenidos

Diagrama Lecturas seleccionadas

Objetivos

Inicio

II UNIDAD: FUNCIONES Actividades

Autoevaluación

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Objetivos Glosario

Inicio Bibliografía

CONTENIDO Desarrollo de contenidos Recordatorio

Actividades

EJEMPLOS

ACTIVIDADES

Autoevaluación

Anotaciones

BIBLIOGRAFÍA Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

AUTOEVALUACIÓN

Bibliografía

CONOCIMIENTOS

Tema N° 01: Funciones y gráficas 1. Definición y evaluación de una función, aplicaciones. 2. Dominio y rango de una función. 3. Gráfica de funciones. 4. Gráfica de Funciones definidas por partes. Tema N° 02: Funciones crecientes y decrecientes. 1. Definición y propiedades de funciones crecientes y decrecientes 2. Graficas Tema N° 03: Transformaciones de funciones. 1. Desplazamientos verticales de gráficas 2. Desplazamientos horizontales de gráficas 3. Reflexión de gráficas 4. Estiramiento y acortamiento vertical 5. Acortamiento y alargamiento horizontal de gráficas Tema N° 04: Funciones par e impar. 1. Definición gráficas Tema N° 05: Funciones cuadráticas 1. Definición y propiedades de funciones cuadráticas 2. Valor máximo o mínimo de una función cuadrática 3. Modelación con funciones cuadráticas Autoevaluación N° 2

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

1. D  efine y evalúa una función 2. R  econoce las características de la gráfica de una función. 3. Resuelve ejercicios sobre funciones. 4. I dentifica el dominio y rango de una función. 5. G  rafica una función. 6. I dentifica una función creciente y decreciente. 7. C  onstruye una función a partir de funciones. 8. I dentifica una función par e impar. 9. G  rafica una función cuadrática. 10. R  esuelve problemas utilizando modelación de funciones.

1. Demuestra interés por relacionar las operaciones y métodos en la solución de un problema matemático. 2. Demuestra sentido crítico en el manejo de la información relevante referida a la matemática que explora en las redes de información. 3. Demuestra interés por relacionar las operaciones y métodos en la solución de un problema matemático. 4. D  emuestra sentido crítico en el manejo de la información relevante referida a la matemática que explora en las redes de información.

Actividad dirigida: Práctica sobre funciones Tarea académica N° 01


UNIDAD II: FUNCIONES

Desarrollo de contenidos

TEMA N° 01: FUNCIONES Y GRÁFICAS

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

1 DEFINICIÓN Y EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función.

En muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades están relacionados por una correspondencia de dependencia, como por ejemplo:

El área de un círculo es una función de su radio.

El número de bacterias en un cultivo es una función del tiempo.

El peso de un astronauta es una función de su elevación.

El precio de un artículo es una función de la demanda de ese artículo.

El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso.

La temperatura de ebullición del agua depende de la altura del lugar

Esto nos conduce a la definición de función.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función f de un conjunto A en un conjunto B, es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x por f, que se denota:

y=f (x)

En símbolos, se expresa f : A to B el rango.

B, siendo el conjunto A el dominio de f, y el conjun-

La notación y=f (x) señala que y es una función de x. La variable x es la variable independiente, y el valor y se llama variable dependiente, y f es el nombre de la función.

Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden resumirse en estas dos:

a) Existencia: Cada elemento del dominio debe tener imagen

b) Unicidad: La imagen de cada elemento del dominio debe ser única.

Ejemplos:

a)  La siguiente relación es función porque cada elemento de A está relacionado con uno y sólo uno de B.

Bibliografía

25


26

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD II: FUNCIONES

b) La relación del diagrama no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F. Anotaciones

2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN. El Dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x). El Rango de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y). Ejemplos.

Determinación dominios de funciones

Hallaremos el dominio de cada función

a) ƒ(x) =

2x + 1 b) x2 - x

f(x) = √25 − x2

c)

g(x) =

t-1 √t + 3

Solución a) La solución no está definida cuando el denominador es 0. Puesto que: ƒ(x) =

2x + 1 x2 - x

=

2x + 1 x(x - 1)

Se puede observar que f (x) no está definida cuando x = 0 o x = 1 . Así el dominio de f es: {x/x ≠ 0, x ≠ 1

El dominio se puede escribir en notación de intervalo como: Dom ƒ(x) = − {0, 1} b) No se puede sacar la raíz cuadrada de una cantidad negativa, así que se debe tener 25 − x2 ≥ 0. Con la propiedad adecuada se puede resolver esta desigualdad para hallar que: −5 ≤ x ≤ 5 . Así, el dominio de la función es: Dom ƒ(x) = [−3, 3] c) No se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo, y tampoco se puede dividir entre cero, así que se debe tener t + 3 > 0 , es decir, t > −3 . Por lo tanto, el dominio de g es: Dom g(x) = < −3, ∞ > Diagrama

Objetivos

ACTIVIDADES:

Desarrollo de contenidos

Inicio

Actividades

Autoevaluación

Determina del dominio de cada función:

1) Lecturas seleccionadas

Glosario

2) 3)

Recordatorio

Anotaciones

4)

Bibliografía


UNIDAD II: FUNCIONES

Desarrollo de contenidos

3 GRÁFICA DE FUNCIONES.

Lecturas seleccionadas

Las gráficas permiten obtener una representación visual de una función. Éstas enRecordatorio tregan información que puede no ser tan evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas. Para representar gráficamente una función y=f (x), es común utilizar un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, en las cuales, la variable independiente x se representa en el eje horizontal, y la variable dependiente y en el eje vertical.

Ejemplo:

Trazaremos las gráficas de las siguientes funciones: 3 2 a) ƒ(x) = x b) g(x) = x c) h(x) = √x

Solución: Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos expresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la gráfica

Luego los bosquejos de las gráficas son:

Fuente: James stewart,Lothar y Saleem Watson. Matemáticas para el cálculo En la tabla siguiente se muestran gráficas de algunas funciones básicas:

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

Anotaciones

Bibliografía

27


28

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD II: FUNCIONES

Anotaciones

Fuente: James stewart,Lothar y Saleem Watson. Matemáticas para el cálculo

Diagrama

Objetivos

Inicio

ACTIVIDADES:

Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

Trace la gráfica de las siguientes funciones:

1. ƒ(x) = 3x – 2

2. g(x) = 4x –1; para x ,

3.Glosario h(x) = ;Bibliografía para

4. f(x) = 6 – 2x

5.

Lecturas seleccionadas

x,

Recordatorio

Anotaciones 6.

4 GRÁFICA DE FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES.

Graficaremos la siguiente función definida por partes: ƒ(x) = −1 si x ≤ 2 1 si x > 2

La grafica es la siguiente:


UNIDAD II: FUNCIONES

Desarrollo de contenidos

TEMA N° 02: FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.

Lecturas seleccionadas

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

1  DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Sea f una función con dominio D.

Recordatorio

Definiciones

Se dice que f es creciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1, x2 ε I verificando x1 < x2 , se cumple que ƒ(x1) < ƒ(x2) ; es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, crece ƒ(x). Se dice que f es decreciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1, x2 ε I verificando x1 < x2 , se cumple que ƒ(x1) > ƒ(x2); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, decrece ƒ(x). 2 GRAFICAS

De la siguiente gráfica:

f es creciente en:

f es decreciente en:

Ejemplo:

De la función:

su gráfica es la siguiente:

Se observa lo siguiente: Es decreciente en < −∞, 1 > : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Es creciente en < 1, ∞ > : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Anotaciones

Bibliografía

29


30

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD II: FUNCIONES Diagrama

Objetivos

Anotaciones

Inicio

ACTIVIDADES:

Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

Se da la gráfica de una función.

Determine los intervalos en los que la función es a) creciente y b) decreciente

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Bibliografía

TEMA N° 3: TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Las transformaciones de funciones que se estudiarán son desplazamiento, reflexión y estiramiento. Esto nos proporciona una mejor comprensión de cómo graficar una función. 1 DESPLAZAMIENTOS VERTICALES DE GRÁFICAS Diagrama

Objetivos

Inicio

Si sumamos una constante a una función, ésta desplaza su gráfica en dirección vertical; el desplazamiento es hacia arriba si la constante es positiva y el desplazamiento es hacia abajo si la constante es negativa. Suponiendo que la constante sea c y mayor que cero (c>0), entonces podemos conActividades Autoevaluación cluir en lo siguiente:

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Para y = ƒ(x) + c, se desplaza c unidades hacia arriba la gráfica de Glosario graficar Bibliografía y= ƒ(x) Para graficar y = ƒ(x) - c, se desplaza c unidades hacia abajo la gráfica de y= ƒ(x) Anotaciones

Veamos este tipo de desplazamiento en las gráficas siguientes.

En la primera grafica observamos que la gráfica se desplazó c unidades hacia arriba. Así mismo para la segunda gráfica se desplazó c unidades pero hacia abajo.


UNIDAD II: FUNCIONES

Desarrollo de contenidos

Diagrama

Objetivos

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Inicio

2 DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES DE GRÁFICAS

Lecturas seleccionadas

Glosario

Desarrollo Actividades Autoevaluación  De igual manera si c es una constante y es mayor que cero (c > 0), obtenemos lo de contenidos siguiente: Recordatorio

Lecturas seleccionadas

Glosario graficar Bibliografía Para y = ƒ(x-c), se desplaza la gráfica de y = ƒ(x) a la derecha c unidades. Para graficar y = ƒ(x+c), se desplaza gráfica de y = ƒ(x) a la izquierda c unidades.

Recordatorio

Anotaciones

Diagrama

Objetivos

Inicio

Como se puede observar las gráficas se han desplazado horizontalmente c unidaActividades Autoevaluación des, a la derecha e izquierda respectivamente.

Desarrollo de contenidos

3 REFLEXION DE GRÁFICAS Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

Para graficar y = -ƒ(x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje x. Para graficar y = ƒ(-x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje y. Recordatorio

Anotaciones

Diagrama

Objetivos

Inicio

Actividades Autoevaluación 4 ESTIRAMIENTO Y ACORTAMIENTO VERTICAL

Desarrollo de contenidos

Para graficar y = c ƒ(x)

Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

Si c > 1, alargue verticalmente la gráfica de y = ƒ(x) por un factor de c. Si c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y = ƒ(x) por un factor de c. Recordatorio

Anotaciones

Anotaciones

Bibliografía

31


32

Actividades

UNIDAD II: FUNCIONES

Autoevaluación

Diagrama

Glosario

Objetivos

Inicio

Bibliografía

Actividades Autoevaluación 5 ACORTAMIENTO Y ALARGAMIENTO HORIZONTAL DE GRÁFICAS

Desarrollo de contenidos

Anotaciones

La gráfica de y = f(cx) Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

Si c > 1, acorte la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c Si 0< c < 1, alargue la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c. Recordatorio

Anotaciones

Ejemplo: Bosquejaremos la gráfica de la función Solución. Comenzamos con la gráfica y = x2, se desplaza primero a la derecha 4 unidades para obtener la gráfica de y = (x-4)2. Luego se refleja en el eje x y se alarga por un factor de 2 para obtener la gráfica de y = -2(x-4)2. Por último, se desplaza 1 unidad hacia arriba para obtener la gráfica de ƒ(x) = 1 – 2(x-4)2 mostrada en la siguiente figura.

Diagrama

Objetivos

Inicio

ACTIVIDADES: Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas

Actividades

1.Glosario 2. 3.

Recordatorio

Autoevaluación

Realice la gráfica de la función, no mediante la graficación de puntos, sino iniciando con la gráfica de una función estándar y aplicando transformaciones.

4. Anotaciones 5. 6. 7.

Bibliografía


UNIDAD II: FUNCIONES

Desarrollo de contenidos

Diagrama

8.

Objetivos

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Inicio

TEMA N°04: FUNCIONES PAR E IMPAR Desarrollo de contenidos

Actividades Autoevaluación 1 DEFINICIÓN Y GRÁFICAS

Sea f una función.

Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

ƒ es par si ƒ(-x) = ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ. ƒ es impar si ƒ(-x) = - ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ. Recordatorio

Anotaciones

FUNCIÓN PAR

FUNCIÓN IMPAR

Ejemplo: De las siguientes funciones determinaremos si son funciones par; impar o ni par ni impar.

1. ƒ(x) = x5 + x

Solución:

Reemplazamos x por –x en la función

2. ƒ(-x) = (-x)5 + (-x) = -x5 – x = -(x5 + x) = -ƒ(x)

La función cambió de signo, por lo tanto, f es una función impar.

g(x) = 1 – x4

Solución

g(-x) = 1 – (-x)4 = 1 – x4 = g(x)

por lo tanto g es par.

3. h(x) = 2x – x2 Solución

h(-x) = 2(-x) – (-x)2 = -2x – x2

Puesto que h(-x) ≠ h(x) y h(-x) ≠ -h(x), se concluye que h no es par ni impar.

Las gráficas de los ejemplos anteriores se muestran a continuación. La gráfica de la función f es simétrica respecto al origen, y la gráfica de g es simétrica con respecto al eje y. La gráfica de h no es simétrica respecto al eje y o al origen.:

Bibliografía

33


34

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD II: FUNCIONES Diagrama

Objetivos

Inicio

ACTIVIDAD: Anotaciones

Desarrollo de contenidos

Determine si la función ƒ es par, impar o ninguna. Si ƒ es par o impar, use la simetría para bosquejar su gráfica.

Actividades

Autoevaluación

Lecturas seleccionadas

1.Glosario

Bibliografía

2. 3. Recordatorio

Anotaciones

TEMA N°05: FUNCIONES CUADRÁTICAS 1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Una función cuadrática es una función f de la forma: ƒ(x) = ax2 + bx + c

donde a, b, c son números reales y a ≠ 0

Una función cuadrática se puede expresar en la forma estándar

ƒ(x) = a (x – h)2 + k

completando cuadrados. La gráfica de f es una parábola con vértice V(h, k); la parábola se abre hacia arriba si a>0 o hacia abajo si a<0.

2 VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Sea f una función cuadrática con forma estándar ƒ(x) = a(x – h)2 + k. El valor máximo o mínimo de f ocurre en x = h.

Si a>0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k Si a<0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k

Máximo h h

Mínimo k

k 2

f(x) = a(x-h) + k, a>0

f(x) = a(x-h)2 + k, a<0


UNIDAD II: FUNCIONES

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

El valor máximo o mínimo de una función cuadrática ocurre en:

Si a>0, entonces el valor mínimo es

Si a<0, entonces el valor máximo es

Ejemplos:

Resolveremos función cuadrática ƒ(x) = -x2 + x + 2

1. Exprese f en la forma estándar:

Solución:  Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el cuadrado.

ƒ(x) = -x2 + x + 2

= -(x2-x) + 2

Factorizamos -1 de los términos en x

= -(x2-x+1/4) + 2 – (-1)1/4

Complete el cuadrado: sume

¼ dentro del paréntesis, reste (-1)1/4 fuera.

= - ( x – ½)2 + 9/4

Factorizando y simplificando.

2. Bosqueje la gráfica y determine el valor máximo de f

Solución: De la forma estándar se puede observar que la gráfica es una parábola que abre hacia arriba y tiene vértice (1/2, 9/4). Como ayuda para trazar la gráfica, se encuentran las intersecciones. Las intersecciones y es f(0)=2. Para hallar las intersecciones con x, se establece ƒ(x) = 0 y se factoriza la ecuación resultante. -x2 + x + 2 = 0 -(x2 - x – 2) = 0

-(x - 2)(x + 1) = 0

Así las intersecciones x son x = 2 y x = −1. La gráfica es el siguiente:

Puesto que el coeficiente de x2 es negativo, f tiene un valor máximo, que es f 1 = 9 2

Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

ACTIVIDAD:

Lecturas seleccionadas

Autoevaluación

1. Se da una función cuadrática

I. Exprese la función cuadrática en la forma estándar.

II. Halle su vértice y sus intersecciones x y y

Glosario Bibliografía III. Bosqueje la gráfica

a) b) Recordatorio

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Anotaciones c)

d)

4

Bibliografía

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36

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD II: FUNCIONES

Anotaciones

2. Se da una función cuadrática

I. Exprese la función cuadrática en la forma estándar.

II. Bosqueje su gráfica

III. Halle su valor máximo o mínimo

a) b) c) d)

3. Halle el valor máximo o mínimo de la función

a) b) c)

d)

3 MODELADO CON FUNCIONES CUADRÁTICAS Muchos de los procesos estudiados en las ciencias físicas y sociales requieren entender como varía una cantidad respecto a otra. Hallar una función que describe la dependencia de una cantidad en otra se llama modelado.

Los pasos para modelar una función son las siguientes:

1.  Exprese el modelo en palabras. Identifique la cantidad que quiere modelar y exprésala, en palabras, como una función de otras cantidades en el problema.

2. Elija la variable. Identifique las variables empleadas para expresar la función en el paso 1. Asigne un símbolo, como x, a una variable y exprese las otras variables en términos de ese símbolo.

3. E  stablezca el modelo. Exprese la función en el lenguaje del algebra al escribirla como una función de la única variable elegida en el paso 2.

4. Use el modelo. Emplee la función para contestar las preguntas planteadas en el problema.

Ejemplo:

Un fabricante elabora una lata de metal que contiene 1 L (litro) de aceite. ¿Qué radio reduce al mínimo la cantidad de metal en la lata?

Solución:

El modelo que se desea es una función que da el área de superficie de la lata. Exprese el modelo en palabras

Se sabe que para una lata cilíndrica

Área superficial = área de la parte superior y el fondo + área de los lados

Elija la variable

Hay dos cantidades variables: radio y altura. Puesto que la función que se desea depende del radio, sea

r = radio de la lata

A continuación, se debe expresar la altura en términos del radio r. Como el volumen de una lata cilíndrica es V = πr2h y el volumen debe ser 1000 cm3, se tiene: πr2h = 1000

h = 1000 πr2

El volumen de la lata es 1000 cm3 Despeje h

ahora se pueden expresar las áreas de la parte superior, el fondo y los lados en términos de r solamente.


UNIDAD II: FUNCIONES

Desarrollo de contenidos

En palabras

En álgebra

Radio de la lata

r

Altura de la lata

1000 πr2

Área de la parte superior y el fondo

2πr2

Área de los lados (2prh)

2πr2 1000 2

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

πr

El modelo es la función S que proporciona el área de la superficie de la lata como una función del radio r.

Área de superficie = área de la parte superior y el fondo + área de los lados

S(r) = 2πr2 + 2πr 1000 2

S(r) = πr +

πr

2

2000 r

Se emplea el modelo para hallar el área de la superficie mínima de la lata. Con ayuda de un graficador se realiza lo siguiente:

Por lo tanto el radio que reduce al mínimo la cantidad de metal en la lata es 5.4 cm. Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

ACTIVIDADES: Autoevaluación

1.  Área. La longitud de un lote de edificación rectangular es tres veces su ancho. Encuentre una función que modela su área en términos de su ancho w. Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Glosario BibliografíaUna caja rectangular tiene una base cuadrada. Su altura es la mitad del 2.  Volumen. ancho de la base. Encuentre una función que modele su volumen V en términos de su ancho w.

Anotaciones

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Bibliografía

37


38

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

Anotaciones

UNIDAD II: FUNCIONES Diagrama

Objetivos

Inicio

Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

AUTOEVALUACIÓN N° 02:

Resuelva los siguientes ejercicios y aplicaciones: Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Glosario

Anotaciones

Bibliografía 1. Determina si las siguientes relaciones son funciones:

a) f =

b) i =

c) g =

2. Halla el dominio y rango de las siguientes funciones

a) f(x) = 3x – 2; para x

b) h(x) = x2; para

c)

x

, ,

3. Grafica las siguientes funciones en el plano cartesiano utilizando la tabla de valores:

a) f(x) = 3x – 2; para x

b) g(x) = ; para x

c) h(x) = 1 – 2x; para x

;

;

4. Se da una función cuadráticas

a) Exprese la función cuadrática en la forma estándar.

b Bosqueje su gráfica

c) Halle su valor máximo o mínimo

1.

2. Diagrama

Objetivos

Inicio 3.

4. Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

1. James Stewart, Lothar Redlin, Salem Watson, Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Editorial Cengage Learning, México, 2007. Recordatorio

Anotaciones

2. Hoffman, L.D.; Bradley, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial: McGraw-Hill, 2006. 3. Sydsaeter, K.; Hammond, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Editorial: Prentice Hall, Madrid, 1996. 4. Arya, J.; Lardner, R.: Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Editorial: Pearson Educación, Prentice-Hall, Mexico, 2002. 5. Haeussler, E.; Paul, R.: Matemáticas para la administración y economía. Editorial: Prentice Hall, 2003. 6. Calvo, M.; Escribano,..: Problemas resueltos de matemáticas aplicadas a la economía y la empresa. Editorial: Thomson-AC, 2003. 7. Cámara, A.; Garrido, R; Tolmos, P.: Problemas de matemáticas para economía y empresa. Editorial: AC, 2003. 8. Muñoz, A.; Santos, J.; Fabian, G.: Problemas de matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Editorial: Ediciones Académicas S.A., 2003.


Desarrollo de contenidos

Diagrama

Objetivos

Inicio

Lecturas seleccionadas

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas Diagrama

Actividades

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN Glosario

Bibliografía

Objetivos

Inicio

CONTENIDO Anotaciones Actividades

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Glosario

Autoevaluación

Recordatorio

Recordatorio Desarrollo de contenidos

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Autoevaluación

BIBLIOGRAFÍA Bibliografía

CONOCIMIENTOS

EJEMPLOS

ACTIVIDADES

AUTOEVALUACIÓN

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

Tema N° 01: Algebra de funciones 1.  Identifica una combi- 1. Demuestra interés 1. Combinación de funciones nación de funciones. por relacionar las 2. Composición de funciones. operaciones y mé2. Resuelve problemas todos en la solude combinación de Tema N° 02: Funciones uno a uno ción de un problefunciones. 1.  Propiedades de las funciones ma matemático. uno a uno 3. Identifica una función 2. Demuestra sentido uno a uno. Tema N° 03: Funciones Inversas crítico en el maproblemas 1.  Propiedad de las funciones in- 4. Resuelve nejo de la inforcon funciones inversas. versas mación relevante 2. G  ráfica de una función inversa 5. Reconoce y grafica una referida a la mate3.  Aplicación de las funciones infunción polinomial. mática que exploversas ra en las redes de 6. Resuelve problemas información. con funciones polinoTema N° 04: Funciones Polinomiales miales. 3. Demuestra interés 1. Funciones polinomiales y sus grápor relacionar las ficas. 7. Reconoce y grafica una operaciones y mé2.  Funciones polinomiales y sus función racional. todos en la soluaplicaciones. 8. Resuelve problemas ción de un problecon funciones racioTema N° 05: Funciones racionales ma matemático. nales. 1. F  unciones racionales y asíntotas 4. Demuestra sentido 2. Gráfica de una función racional 9. Reconoce y grafica una crítico en el mafunción exponencial y Tema N° 06: Funciones Exponennejo de la inforlogística ciales mación relevante 1. Propiedades de funciones expo- Actividad dirigida: referida a la matenenciales y logística. Práctica de algebra de mática que explo2.  Gráfica de funciones exponen- funciones y funciones pora en las redes de ciales, logística y sus aplicacio- linomiales información. nes. Control de Lectura N° 02 Autoevaluación N° 3

Anotaciones

Bibliografía

39


40

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

TEMA N° 01: ALGEBRA DE FUNCIONES Anotaciones

Así como dos números reales se pueden combinar mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para formar números reales, dos funciones se pueden combinar para formar nuevas funciones. Veamos a continuación las operaciones con funciones. 1 COMBINACIÓN DE FUNCIONES Para combinar funciones se puede realizar con operaciones de suma, diferencia, producto y cociente.

Sean f y g dos funciones, se define lo siguiente:

a) SUMA DE FUNCIONES

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

b) DIFERENCIA DE FUNCIONES

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

c) PRODUCTO DE FUNCIONES

(f.g)(x) = f(x) . g(x)

d) COCIENTE DE FUNCIONES

(f/g)(x) = f(x) / g(x),

g(x) ≠ 0

Ejemplo: Sean

Evaluaremos las funciones (f + g)(x), (f - g)(x), (fg)(x) y (f/g)(x)

Solución:

a) (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Reemplazamos en las funciones, se obtiene

=

b) (f - g)(x) = f(x) - g(x) =

Reemplazamos las funciones, y se obtiene

=

c) (f g)(x) = f(x).g(x)

Reemplazamos las funciones y multiplicamos,

=

d) (f/g)(x) = f(x)/ g(x)

Reemplazamos las funciones y multiplicamos extremos y medios

=


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

ACTIVIDADES:

Lecturas seleccionadas

Autoevaluación

En los ejercicios encuentre (f + g)(x), (f – g)(x), (fg)(x) y (f/g)(x)

¿Cuál es el dominio de (f/g)(x)?

Glosario

1.

Bibliografía

2. 3. Recordatorio

Anotaciones

4.

2 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Otra forma de combinar funciones es la composición de una función con otra. La composición se denota como (f o g)(x) y se lee “f compuesta con g”.

Dadas dos funciones f y g, la función compuesta (f o g)(x) se define por

El dominio de (f o g)(x) es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x) está en el dominio de f. En otras palabras (f o g)(x) se define siempre que g(x) y f(g(x)) estén definidas. Se puede ilustrar f o g por medio de un diagrama de flechas.

Ejemplo:

Sean ƒ(x) = x3 y g(x) = x-3

Encontraremos las funciones (f o g)(x) y (g o f)(x)

Solución:

a) Por definición: (fog)(x) = ƒ(g(x))

Se reemplaza g(x) = x−3 en ƒ(g(x), y se obtiene:

= f(x-3)

Luego, se reemplaza (x−3) en ƒ(x), y se obtiene

= (x-3)3

b) De igual forma, la función (gof)(x) por definición es

gof)(x) = g(ƒ(x))

Se reemplaza f(x) = x3 en g(ƒ(x)), y se obtiene

= g(x3)

Luego, se reemplaza x3 en g(x), y se obtiene

= x3 – 3

Los dominios de (fog)(x) y (gof)(x) son los números reales (R).

Bibliografía

41


42

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ” Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

ACTIVIDADES: Anotaciones

Autoevaluación

En los ejercicios encuentre (f o g)(x), (g o f)(x), (f o f)(x) Lecturas seleccionadas

1. Glosario

Bibliografía

2. 3. Recordatorio

Anotaciones 4.

5.

TEMA N° 02: FUNCIONES UNO A UNO 2 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES UNO A UNO

Veamos los siguientes diagramas de flechas:

En la función f se puede observar que f no toma el valor dos veces, mientras que en función g toma el mismo valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma imagen,4). La función f es uno a uno.

 Fuente: James Stewart, Lothar y Saleem Watson. Matemáticas para el cálculo: Quinta edición. México:Cengage Learning, 2007.  Por lo tanto se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es decir:

ƒ(x1) ≠ ƒ(x2)

siempre que x1 ≠ x2

En forma gráfica, si una recta horizontal cruza la gráfica de f en más de un punto, entonces se puede afirmar que no es una función uno a uno. Veamos en la siguiente gráfica, como al trazar la recta horizontal corta a la gráfica en dos puntos como se puede observar, entonces decimos que la función no es uno a uno.


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

Ejemplo:

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Evaluaremos r si las siguientes funciones son uno a uno: 1. ƒ(x) = x3 + 1

Podemos graficar esta función por traslación, empezamos de la función f(x)=x3 y lo trasladamos una unidad hacia arriba, y obtenemos su grafica. Además podemos observar que si trazamos una recta horizontal corta a la grafica en un punto; por lo tanto decimos que es una función uno a uno

2. ƒ(x) = x2 + 2x

Esta función no es uno a uno, porque si reemplazamos por ejemplo 0 y -2 en la función obtendremos el mismo resultado, veamos: ƒ(0) = (0)2 + 2 (0) = 0 ƒ(-2) = (-2)2 + 2(-2) =0 Así también podemos apreciar en su gráfica que trazando la recta horizontal corta a la función en dos puntos, por lo que no es función uno a uno.

ACTIVIDADES:

Determina si las funciones son uno a uno.

1. ƒ(x) = -2x + 5

2. ƒ(x) = 3x – 2 3. ƒ(x) = √x

4. ƒ(x) = x2 – 2x

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

5. ƒ(x) =

1 x−1

TEMA N° 03: FUNCIONES INVERSAS Como se recuerda, una función se puede determinar mediante un conjunto de pares ordenados, por ejemplo se la función f = {(1,5),(2,6),(3,8),(4,10)}, si intercambiamos la primera y segunda coordenada de cada uno de estos pares ordenados, se puede formar la función inversa de f que se denota como f-1. El cual se puede escribir como sigue: ƒ-1(x) = {(5,1),(6,2),(8,3),(10,4)}

Bibliografía

43


44

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Anotaciones

En los diagramas se puede observar la función f tiene dominio A y rango B, mientras que su función inversa ƒ-1 tiene como dominio B y rango A.

1 PROPIEDAD DE LAS FUNCIONES INVERSAS Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa f-1 satisface las siguientes propiedades de cancelación:

ƒ-1(ƒ(x)) = x para toda x en A

ƒ(ƒ-1(x)) = x para toda x en B

A la inversa, cualquier función ƒ-1 que satisface estas ecuaciones es la inversa de f.

Ejemplo:

Demostraremos que ƒ(x) = x3 y g(x) = x1/3 son inversas entre sí.

 Solución: El dominio y el rango de f y g es . Por las propiedad de las funciones inversas se tiene: g( ƒ(x)) = g(x3) = (x3)1/3 = x Se puede comprobar que el resultado es x, por lo que decimos que f y g son inversas entre si.

Ahora trabajamos en la segunda propiedad, pero esta vez en sentido contrario, sea:

ƒ( g(x)) = ƒ(x1/3) = (x1/3)3 = x

Del mismo modo el resultado es x. entonces queda demostrado que las dos funciones son inversas entre sí.

Método para hallar la inversa de una función uno a uno

Para determinar la inversa de una función se realiza el siguiente procedimiento:

a) Reemplazar f(x) por “y”

b) Despeja “x” en términos de y (si es posible)

c) Intercambie “x” por “y”. La ecuación resultante es la función inversa f-1(x)

Ejemplo:

Encontraremos la inversa de la función ƒ(x) = 5x – 3

Solución:

Primero se reemplaza “y” por f(x), y se obtiene lo siguiente:

y = 5x – 3

Luego, se despeja x:

5x = y + 3 x= y+3 5

Por último, se cambia x por y: y = x + 3

Por lo tanto, la función inversa es: ƒ−1(x) = x + 3

5

5


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

ACTIVIDADES:

Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Autoevaluación

Determina las inversas de las funciones siguientes:

1. ƒ(x) = 2x + 1

2. ƒ(x) = x2 Bibliografía

Glosario

3. ƒ(x) =

1 x+2

4. ƒ(x) =

1 + 3x 5 − 2x

5. ƒ(x) = 5 − 4x3

Anotaciones

2 GRAFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSA La grafica de la función inversa f-1 se obtiene al reflejar la grafica de f en la grafica de la recta y = x.

Se puede apreciar que en la primera gráfica realizando el reflejo respecto a la recta y = x se obtiene la inversa del punto, o sea (a,b) Además en la segunda gráfica, también realizando el reflejo respecto a la recta y=x, se obtiene la gráfica de la función inversa ƒ-1.

3 APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES INVERSAS Para conocer las aplicaciones de las funciones inversas, resolveremos el siguiente problema: (Cuota por servicios). Por sus servicios, un investigador privado requiere una cuota de retención de S/. 500.00 más S/. 80.00 por hora. Sea x el número de horas que el investigador pasa trabajando en un caso.

a) Determine una función que modela la cuota del investigador como una función de x.

b) Encuentre ƒ-1. ¿Qué representa ƒ-1?

c) Encuentre ƒ-1 (1220). ¿Qué representa su respuesta?

Solución:

a) La función que modela la cuota del investigador es:

f(x) = 500 + 80 x

 Siendo 500 soles, la cuota de retención más 80 soles por hora que cobra por su servicio. Además x que viene a ser la variable, representa el número de horas.

b) Para determinar la función inversa, realizamos lo siguiente:

ƒ(x) = 500 + 80 x

reemplazamos f(x) por y, obteniéndose lo siguiente:

y = 500 + 80x

despejamos la variable x.

Bibliografía

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46

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

y − 500 80

x=

cambiamos x por y

por lo tanto, la función inversa es

y=

Anotaciones

ƒ-1(x) =

x − 500 80

x − 500 80

La función representa las horas de trabajo del investigador en función de la cuota por sus servicios.

c) Para encontrar f-1 (1220), reemplazamos 1220 en la función inversa determinado en (b).

ƒ-1(x) =

x − 500 80

ƒ-1(1200) =

1200 − 500 80

ƒ-1(1200) = 8.75 Significa, si se paga al investigador por sus servicios S/. 1200, este trabajará aproximadamente 8.75 ≈ 9 horas en un caso. Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

ACTIVIDADES: Autoevaluación

Resuelva: Lecturas seleccionadas

Recordatorio

1. Salario por hora. Su salario por hora es 8.00 dólares más 0.75 dólares por cada uniGlosario Bibliografía dad adicional producida por hora. Por tanto, su salario por hora, y, en términos del número de unidades producidas es:

y = 8 + 0.75x.

a) Determine la función inversa.

Anotaciones

b) ¿Qué representa cada variable en la función inversa?

c) Determine el número de unidades producidas cuando su salario por hora es 22.25 dólares.

2.  Cuota por servicio. Por sus servicios, un investigador privado requiere una cuota de retención de $500 más $80 por hora. Sea x el número de horas que el investigador pasa trabajando en un caso.

a)  Halla una función f que modele la cuota del investigador como una función de x.

b) Encuentra f-1. ¿Qué representa f-1?

c) Encuentra f-1(1200). ¿Qué representa se respuesta?

v(t) = 100

1− t 40

2

a) Encuentre V-1. ¿Qué representa V-1?

b) Determine V-1(15). ¿Qué representa su respuesta?


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

TEMA N° 04: FUNCIONES POLINOMIALES 1 FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS GRÁFICAS

Vamos a iniciar el estudio, definiendo sobre una función polinomial.

1.1. DEFINICIÓN

Una función polinomial de grado n, es una función de la forma.

P(x) = anxn + an-1xn+1 + . . . + a1x + a0

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Donde: • n es un numero entero no negativo y an≠ 0 • Los números a0, a1, a2, … , an se llaman coeficientes de los polinomios • El numero a0 es el coeficiente constante o termino constante • E  l numero an, el coeficiente de la potencia más alta, es el coeficiente principal, y el termino anxn es el termino principal. Por ejemplo, dado el polinomio ƒ(x) = 4x5 + 7x4 – 3x3 + x2 + 6x – 7. Identificaremos sus características:

Grado del polinomio :

5 grado

Termino principal

:

4x5

Coeficientes

:

Coeficiente principal :

4

Coeficiente constante :

−7

1.2. GRAFICA DE POLINOMIOS

4; 7; −3; 1; 6 y −7

Las gráficas de polinomios de grado 0 ó 1 son rectas; así tenemos de las funciones f(x)=3x y f(x)=2x+5. Mientras que las gráficas de polinomios de grado 2 como f(x)=x2+2x+5 son parábolas. Si el grado del polinomio fuera mayor que 2, la gráfica sería más complicada, sin embargo las gráficas de las funciones polinomiales es continua, significa entonces que no tiene discontinuidades, agujeros o separaciones, como se muestra en las figuras.

Fuente: James Stewart,Lothar y Saleem Watson. Matemáticas para el cálculo

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Para graficar las funciones polinomiales se sigue el siguiente procedimiento:

a) Se factoriza el polinomio.

b) Los factores encontrados en la factorización se iguales a cero, y se determinan las intersecciones con el eje x.

c) Se construye una tabla de valores tomando como referencias los puntos de intersección encontrados en b.

d) Se ubica los puntos de la tabla de valores en el plano y se determina la grafica.

Ejemplo:

Bosquejaremos la gráfica de la función P(x) = x3 – 2x2 – 3x

Bibliografía

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Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Solución:

a) Se factoriza el polinomio Anotaciones

P(x) = x3 – 2x2 – 3x

= x( x – 3)(x+1)

b) Se iguala a cero los tres factores del polinomio

x= 0; x – 3 = 0 y x+1 = 0

Se encuentra los puntos de intersección en el eje x.

Siendo los siguientes:

x=0, x=3, x=-1

Además si igualamos a cero la variable x, encontraremos la intersección en el eje y, así tenemos: P(0) = 03 – 2(0)2 - 3(0) = 0, quiere decir que la gráfica cruzará el eje “y” por el punto (0,0)

c) Se construye una tabla de valores, tomando como referencia las intersecciones encontrado en b.

x

P(x)

-2

-10

-1 -0.5 0 1 2 3 4

0 0.875 0 -4 -6 0 20

Se sugiere que los valores para la tabla de tabulación sean números menores y cercanos a los puntos de intersección de referencia. Por ejemplo, en el caso del punto -1, se debe poner valores menores y mayores a este punto, como se observa esos valores son -2 y -0.5.

d) Finalmente se ubica los puntos en los ejes coordenados y se obtiene la siguiente gráfica.

Diagrama

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Actividades

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ACTIVIDADES: Autoevaluación

Bosqueje las gráficas de los siguientes polinomios. Lecturas seleccionadas

1. GlosarioP(x) Bibliografía = x3 – x2 – 6x 2. P(x) = x3 + 2x2 – 8x

Recordatorio

Anotaciones


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Desarrollo de contenidos

3. P(x) = -x3 + x2 + 12x

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

4. P(x) = x4 – 3x3 + 2x2 5. P(x) = x5 – 9x3

1 FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS APLICACIONES Las funciones polinomiales tiene importantes aplicaciones, a continuación se va a resolver un problema de aplicación de las funciones polinomiales. (Investigación de mercados) Un analista de mercado que trabaja para un fabricante de aparatos pequeños encuentra que si la empresa produce y vende x licuadoras anualmente, la ganancia total (en dólares) es: P(x) = 8x + 0.3x2 – 0.00113x3 – 372. Grafique la función P utilizando un graficador adecuado, y emplee la gráfica para contestar las siguientes preguntas:

a)  Cuando se fabrican sólo algunas licuadoras, la empresa pierde dinero (ganancia negativa). Por ejemplo: P(10) 0 -263.3; así que la empresa pierde $ 263.30 si produce y vende sólo 10 licuadoras. ¿Cuántas licuadoras debe producir la empresa para terminar sin pérdidas?

b)  ¿La ganancia se incrementa de manera indefinida cuando se producen o venden más licuadoras? Si no, ¿Cuál es la ganancia más grande posible que podría tener la empresa?

Solución: Nos pide graficar la función polinomial P(x) = 8x + 0.3x2 – 0.00113x3 – 372, utilizaremos un graficador matemático para tal propósito.

a) P  ara determinar la producción de la empresa y que ésta quede sin pérdidas, se debe ubicar los puntos de intersección de la función en el eje x, por tanto se tiene que los puntos de intersección son (26,0) y (286,0). Entonces para que la empresa no genere pérdidas debe producir de 26 a 286 licuadoras.

b)  Se observa que la ganancia no aumenta indefinidamente, ya que se puede observar que hay un punto máximo. La ganancia más grande posible que puede tener la empresa se observa en el punto (189,4227). Por tanto la ganancia máxima posible es $4227.

Bibliografía

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Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

TEMA N° 05: FUNCIONES RACIONALES 1 FUNCIONES RACIONALES Y ASINTOTAS Anotaciones

Definición:

Una función racional f es una función que puede expresarse en la forma: ƒ(x) =

P(x) Q(x)

donde P y Q son polinomios. El dominio de f es: Df = {x ∈

/ Q(x) ≠ 0}

El rango depende de cada función.

Ejemplos:

a). ¿La siguiente expresión es una función racional? ƒ(x) =

5x + 8 x−2

Si corresponde a una función racional, porque es un cociente de dos polinomios

b). ¿La siguiente expresión es una función racional? ƒ(x) =

√x − 2 x−1

No corresponde a una función racional, porque el numerador no es polinomio.

1.1. GRAFICAS BÁSICAS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

Sea la función: ƒ(x) = 1 x

− { 0 } . Entonces, observamos que no hay intercepto en el cuyo Dominio es: eje y (0 no está en el dominio de f), ni en el eje x, porque 1/x siempre es diferente de 0.

Veamos el comportamiento de la función cuando

Note que si x crece:

Se dice que y → 0 , entonces, es asíntota horizontal de la gráfica de f. Veamos el comportamiento de la función cuando x se aproxima a 0 por la derecha. (x → 0+)


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

Note que si: x → 0+ entonces,

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

y → ∞+

Se dice que la recta x = 0 es asíntota vertical de la gráfica de f. Además, f es función impar, porque . (Demuéstrelo) Por tanto, la gráfica de f es simétrica respecto al origen.

Veamos la gráfica:

En general:

a). Si:

ƒ(x) =

1 xn

para n entero positivo impar, la gráfica es similar a:

b). Si:

ƒ(x) =

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

1 xn

para n entero positivo par, la gráfica es similar a:

Bibliografía

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Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Anotaciones

La gráfica es simétrica respecto al eje y.

1.2. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL El dominio consiste de todos los números reales excepto aquellos para los cuales el denominador es cero. Ejemplo:

Hallaremos el dominio de las siguientes funciones racionales:

Dominio =

− {−4,4}

Dominio =

(Todos los números reales)

1.3. DEFINICIÓN DE ASÍNTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES a) La recta x = a es una asíntota vertical de la función y = f (x) si y tiende a ± ∞ cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda.


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

b) la recta y = b es una asíntota horizontal de la función y=f(x) si y se aproxima a b cuando x se aproxima

Ejemplo: Encontraremos las asíntotas verticales de la gráfica de cada función racional, si existen.

La gráfica tiene asíntotas verticales en:

La gráfica no tiene asíntotas verticales.

(c) R ( x) =

x+4 x+4 1 = = x + x − 12 ( x − 3)( x + 4) x −3 2

La gráfica tiene una asíntota vertical en:

1.4. TEOREMA DE LAS ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y OBLICUAS

Considere la función racional siguiente:

donde el grado del numerador es n y el grado del denominador es m

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Bibliografía

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54

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Ejemplo: Encontraremos la asíntota horizontal u oblicua de la gráfica de cada función racional Anotaciones

La asíntota horizontal es: y = 0

La asíntota horizontal es: y = 2/3

La asíntota oblicua es; y = x + 6

2 GRAFICA DE UNA FUNCION RACIONAL

Grafique la función racional:

Solución:

Factorice: =

(x + 1) (x − 4) 2x(x + 2)

Intersecciones en x: -1 y 4, a partir de: x + 1 = 0 y x − 4 = 0

Intersecciones en y: Ninguna, porque f(0) no está definido

Asíntota Horizontal: y = 2 , porque el grado del numerador es igual al del denomi nador tal como se expresa en la siguiente relación:

1

coeficiente principal del numerador 1 = coeficiente principal del denominador 2

Asíntotas Verticales:

Valores adicionales (tabulación):

x = 0 y x = −2.


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

Grafica es:

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

ACTIVIDADES: Hallar el dominio, las asíntotas, los interceptos, la simetría y dibuja la gráfica de: 1. 2. 3.

TEMA N° 06: FUNCIONES EXPONENCIALES Hasta el momento se han estudiado las funciones polinomiales y racionales. Ahora estudiaremos una de las funciones más importantes en las matemáticas, la función exponencial. Esta función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento poblacional y el decaimiento radiactivo. 1 PROPIEDADES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGISTICA DEFINICION

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:

donde: Ejemplos de funciones exponenciales

La gráfica de la función:

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Bibliografía

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Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Propiedades

Anotaciones

• Dominio:

• Rango:

• a0 = 1; a1 = a (0,1) y (1, a) Pertenecen a la grafica

• Estrictamente creciente

• Inyectiva

• Continua en todo su dominio

• Está acotada inferiormente, pero no superiormente

+

La gráfica de la función: y = ax

con a ∈

, 0 < a < 1 es:

0<a<1

Propiedades

• Dominio:

• Rango:

• a0 = 1; a1 = a (0,1) y (1, a) pertenecen a la grafica

• Estrictamente decreciente

• Inyectiva

• Continua en todo su dominio

• Está acotada inferiormente, pero no superiormente

+

lim (a x ) = 0 ⇒ y = 0 es asíntota horizontal por la derecha

x → +∞

2  GRAFICA DE FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGISTICA Y SUS APLICACIONES

Gráfica de Funciones Exponenciales


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

2.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

La función exponencial natural es la función exponencial de base e

El numero e es un número irracional cuyo valor es aproximadamente:

2, 7182 8182845904523536028747135266…

La gráfica de una función exponencial natural es:

El número e es un interesante número que tiene que ver con la naturaleza, la ciencia y la tecnología. A partir de e se determina la ecuación de la curva de un puente colgante, el tiempo de enfriamiento de un cuerpo, la antigüedad de la materia orgánica por desintegración del carbono 14, el crecimiento de la población y otras. 2.2 FUNCION LOGISTICA La función logística es una función exponencial de crecimiento limitado tiene por ecuación:

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Su comportamiento inicial es similar al exponencial.

La capacidad poblacional, L, no es superada: y = L es una asíntota horizontal de esta función, la población tiende a L sin superarlo.

Bibliografía

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58

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

2.3 APLICACIONES

Anotaciones

1. Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población, después de x horas, si se sabe que inicialmente había 30.000 bacterias, y que la población se cuadruplica cada una hora.

Solución:

Cantidad inicial = 30.000

Después de: 1 hora = 30 000.4 = 10 000.41 = 40 000 2 horas = 30 000.4.4 = 30 000.42 = 480 000

3 horas = 30 000.3.3.3 = 30 000.43 = 1 920 000...

Después de x horas = 30 000 . 4x

Por lo tanto, la función que representa el número de bacterias después de x horas es: . f (x) = 30 000 4x

2. Calcular el interés compuesto de manera continua. Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua.

Solución

Datos del problema:

Se tiene la función de interés compuesto de manera continua:

P = 1000; r = 0.12 yt = 3

rt A(t) = Pe

luego calculamos: A(3) = 1000e(0,12)3 = 1000e0,36 = 1433.33

Por lo tanto la cantidad después de tres años es $ 1433.33

3. C  alculo del rendimiento porcentual anual. Determine el rendimiento porcentual anual para una inversión que gana interés a una tasa de 6% anual, compuesta diariamente. Solución:

Se tiene para hallar el interés compuesto n veces por año, la siguiente fórmula: r nt A=P 1+ n Entonces, después de un año el capital P crecerá hasta el monto

A=P 1+

0.06 365

365

= p(1.06183)

La fórmula del interés simple es: A = P(1 + r) Haciendo la comparación, vemos que el rendimiento porcentual anual es de 6.183%


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

ACTIVIDAD Autoevaluación

Identifique a qué función exponencial corresponden las gráficas numeradas del I al VI. 1. ƒ(x) = 5x

Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

2. ƒ(x) = 5−x

3. ƒ(x) = 5x−3 Recordatorio

4. ƒ(x) = −5x Anotaciones

5. ƒ(x) = −5x + 3 6. ƒ(x) = 5x+1 − 4

Bibliografía

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60

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

Anotaciones

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ” Diagrama

Objetivos

Inicio

Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

AUTOEVALUACIÓN N° 3

1. Halla las reglas de correspondencia de: Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Glosario

a) (f – g)(x) =

Bibliografía b) (g – h)(x) =

c) (f – h)(x) =

Sabiendo que:

ƒ(x) = 3x – 1 g(x) = 5x – 1

Anotaciones

h(x) = 2x2– x + 1 2. Sabiendo que:

ƒ(x) = 2x2– 4x + 2

g(x) = 2x2+ 6

h(x) = 4x – 2

Halla el valor de:

a) ƒ(g – h) (5)

b) h2 (g + 2f) (0)

c) ( )(3) + h(2)

3. Dadas

a)

, evalúe cada una de las composiciones siguientes:

b) 4. Se da la gráfica de una función, determine si f es una función uno a uno

5. Determine si las siguientes funciones son uno a uno.

a) ƒ(x) = −2x + 4

b) p(x) = 2 – 2x + x2

6. Determina la función inversa de las siguientes funciones

a) ƒ(x) = 5x - 1

b) ƒ(x) =

2 − 8x 5 − 3x

c) ƒ(x) = √x + 1 ƒ(x) = 1 + √1 + x d)

7.  (Función demanda). La cantidad vendida de un artículo se llama demanda del artículo. La demanda D para cierto articulo es una función del precio dada por:

D(p) = -3p + 150

a) Encuentre D-1. ¿Qué representa D-1?

b) Determine D-1(30). ¿Qué representa su respuesta?


s

s

o

UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES ”

Desarrollo de contenidos

8. Bosqueje las siguientes funciones polinomiales:

a) P(x)=x3 + 3x2 – 4x – 12

b) P(x)= x3 – x2 – x

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

9. (Cambio de población) Se observa que la población de conejos en una isla pequeña está dada por la función: P(t) = 120t – 0.4t4 + 1000; donde t es el tiempo (en meses) desde que comenzaron las observaciones en la isla.

a) ¿Cuánto se obtiene la máxima población, y cuál es esa población máxima?

b) ¿Cuándo desaparece la población de conejos de la isla?

10. Hallar el dominio, las asíntotas, los interceptos, la simetría y dibuja la gráfica de:

a) ƒ(x) =

b) ƒ(x) =

Objetivos

4x − 8 (x − 4)(x + 1) x2 − x − 6 x2 + 3x

11. Encuentre la asíntota inclinada, las asíntotas verticales y trace la gráfica de la función: Inicio

ƒ(x) =

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

x2 − 2x − 8 x

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 1. J ames Stewart, Lothar Redlin, Salem Watson, Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Editorial Cengage Learning, México, 2007. Anotaciones

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

2.  Hoffman, L.D.; Bradley, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial: McGraw-Hill, 2006. 3.  Sydsaeter, K.; Hammond, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Editorial: Prentice Hall, Madrid, 1996. 4. A  rya, J.; Lardner, R.: Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Editorial: Pearson Educación, Prentice-Hall, Mexico, 2002. 5.  Haeussler, E.; Paul, R.: Matemáticas para la administración y economía. Editorial: Prentice Hall, 2003. 6.  Calvo, M.; Escribano,..: Problemas resueltos de matemáticas aplicadas a la economía y la empresa. Editorial: Thomson-AC, 2003. 7.  Cámara, A.; Garrido, R; Tolmos, P.: Problemas de matemáticas para economía y empresa. Editorial: AC, 2003. 8.  Muñoz, A.; Santos, J.; Fabian, G.: Problemas de matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Editorial: Ediciones Académicas S.A., 2003.

Bibliografía

61


62

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

Anotaciones

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA" Diagrama

Objetivos

Inicio

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA”

Desarrollo de contenidos

Lecturas seleccionadas Diagrama

Actividades

Autoevaluación

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN Glosario

Bibliografía

Objetivos

Inicio

CONTENIDO

Recordatorio Desarrollo de contenidos

Anotaciones Actividades

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Autoevaluación

BIBLIOGRAFÍA Bibliografía

CONOCIMIENTOS

EJEMPLOS

ACTIVIDADES

AUTOEVALUACIÓN

PROCEDIMIENTOS

Tema N°01: Funciones logarítmicas. 1. Reconoce y grafica una 1. Definición de las funciones logafunción logarítmica. rítmicas 2. Resuelve ecuaciones 2. Propiedades de funciones logalogarítmicas. rítmicas. 3. Resuelve problemas 3. Gráfica de funciones logarítmiutilizando una función cas y sus aplicaciones. exponencial y logarítmica. Tema N°02: Modelado con funcio- 4. Reconoce y grafica una función trigonométrica. nes exponenciales y logarítmicas. 5. Resuelve problemas 1. Ecuaciones exponenciales. con trigonometría. 2. Ecuaciones logarítmicas. 3. Modelado con funciones expo- 6. Resuelve ejercicios utilizando identidades trinenciales y logarítmicas. gonométricas Tema N° 03: Funciones Trigonométricas y Trigonometría Analítica Actividad dirigida: 1. Medida angular. Práctica de funciones 2. Trigonometría de ángulos rectos. logarítmicas y exponen3. Funciones trigonométricas de ciales ángulos. Tarea académica N° 02: 4. Identidades trigonométricas. Tema N° 05: Funciones racionales 1. Funciones racionales y asíntotas 2. Gráfica de una función racional Autoevaluación N° 4 Evaluación final presencial

ACTITUDES 1. Demuestra interés por relacionar las operaciones y métodos en la solución de un problema matemático. 2. Demuestra sentido crítico en el manejo de la información relevante referida a la matemática que explora en las redes de información. 3. Demuestra interés por relacionar las operaciones y métodos en la solución de un problema matemático. 4. Demuestra sentido crítico en el manejo de la información relevante referida a la matemática que explora en las redes de información.


UNIDAD IV: â&#x20AC;&#x153;FUNCIONES LOGARĂ?TMICAS - TRIGONOMĂ&#x2030;TRICAS ANALĂ?TICA"

Desarrollo de contenidos

TEMA N° 01: FUNCIONES LOGARITMICAS

Actividades AutoevaluaciĂłn MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

1 DEFINICION DE LAS FUNCIONES LOGARĂ?TIMICAS Sea đ?&#x2019;&#x201A; un nĂşmero positivo con đ?&#x2019;&#x201A;â&#x2030; 1 . La funciĂłn logarĂ­tmica con base đ?&#x2019;&#x201A;, denotada por:

se define:

Donde:

Es decir que: logđ?&#x2019;&#x201A;es el exponente al cual debe elevarse la base đ?&#x2019;&#x201A; para obtener x

Los siguientes ejemplos ilustran cĂłmo intercambiar una ecuaciĂłn de una de estas formas a la otra. Ejemplos

Las formas logaritmo y exponencial son ecuaciones equivalentes â&#x20AC;&#x201C;si una es verdadera tambiĂŠn lo serĂĄ la otra-. Por tanto podemos pasar de una forma a la otra como en los siguientes casos:

Forma Logaritmo

Forma exponencial

LOGARITMO COMĂ&#x161;N (en base 10) y= logx si y solo si: 10y=x

Ejemplos

a)

Porque:

b)

Porque:

c)

Porque:

2 PROPIEDADES DE FUNCIONES LOGARITMICAS

BibliografĂ­a

63


64

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

Ejemplo

A continuación ilustramos las propiedades de los logaritmos cuando la base es 7.

Anotaciones

Propiedad 1

Propiedad 2

Propiedad 3

Propiedad 4

3 GRAFICA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y SUS APLICACIONES Vamos a graficar una función logaritmo trazando puntos, para lo cual tomaremos, como ejemplo el trazo de la función:

Elaboraremos una tabla de valores, escogiendo valores de x como potencias de 2 para encontrar fácilmente sus logaritmos. Luego, graficamos estos puntos y los unimos con una curva suave como en la figura:

A continuación se muestra las gráficas de la familia de funciones logaritmo con base 2, 3, 5 y 10. Estas gráficas se han dibujado reflejando las gráficas de , , y en la recta . También podemos graficar puntos como ayuda para trazar estas gráficas, como se ilustra en la figura:

LOGARITMO NATURAL ( base e)

El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln: La función logaritmo natural y = ln x es la función inversa de la función exponencial:


UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

Desarrollo de contenidos

En la siguiente grafica se muestra lo descrito anteriormente:

Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Inicio

ACTIVIDAD Autoevaluación

Relacione la función logaritmo dada con alguna de las gráficas identificadas como I – VI. Lecturas seleccionadas

Recordatorio

Glosario

Bibliografía

a)

d)

b)

e)

c)

f)

Anotaciones

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Bibliografía

65


66

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

TEMA N°02: MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. Se resolverá ecuaciones que involucran funciones exponencial o de logaritmo. Las téc-

Anotaciones

TEMA N°02: MODELADO CONpara FUNCIONES EXPONENCIALES Y nicas a desarrollarse se utilizaran la resolución de problemas de aplicación LOGARÍTMICAS. 1 ecuaciones ECUACIONES Se resolverá queEXPONENCIALES. involucran exponencial o de logaritmo. Las TEMA N°02: MODELADO CONfunciones FUNCIONES EXPONENCIALES Y técnicas a desarrollarse se utilizaran para la resolución de problemas de aplicación

LOGARÍTMICAS.

En una ecuación exponencial la variable se presenta en el exponente. Por ejemplo:

1. ECUACIONES EXPONENCIALES. Se resolverá ecuaciones que involucran funciones exponencial o de logaritmo. Las técnicas a desarrollarse se utilizaran para la se resolución de aplicación En una ecuación exponencial la variable presentade enproblemas el exponente. Por ejemplo:

1. ECUACIONES EXPONENCIALES. La variable x presenta una dificultad porque está en el exponente. Para encarar este

tomamos el logaritmo de ambos lados y después usamos las leyes de los La variableproblema x presenta una dificultad porque está en el exponente. Para encarar En una ecuación exponencial la variable se presenta en el exponente. Por ejemplo: logaritmos parael“despejar a x” exponente: este problema tomamos logaritmo dedel ambos lados y después usamos las leyes de los logaritmos para “despejar a x” del exponente: La variable x presenta una dificultad porque está en el exponente. Para encarar este problema tomamos el logaritmo de ambos lados y después usamos las leyes de los logaritmos para “despejar a x” del exponente: Tome ln en ambos lados “baje” el exponente Tome ln en ambos lados “baje” el exponente use una calculadora

El método para resolver es típico de los métodos que usamos para resolver típico de losresumir métodosenque para resolver método para resolver 2x=7 yes se todas  las El ecuaciones exponenciales, puede losusamos tres pasos use una calculadora siguientes:todas las ecuaciones exponenciales, y se puede resumir en los tres pasos siguientes: El resolver esde típico de los que usamos para resolver a) método Aísle lapara expresión exponencial un lado de métodos la ecuación todas exponenciales, y sedepuede resumir en los loslogaritmos tres pasos las logaritmo aecuaciones ) Aísle ladeexpresión exponencial un ladolas deleyes la ecuación b) Tome ambos lados, y después utilice de siguientes: para “bajar el exponente”

b) Tome logaritmo de ambos lados, y después utilice las leyes de los logaritmos

Ejemplo:

c) Despeje lapara variable. “bajar el exponente” a) Aísle la expresión exponencial de un lado de la ecuación b) Tome de la ambos lados, y después utilice las leyes de los logaritmos logaritmo c) Despeje variable. para “bajar el exponente” Ejemplo: c) Despeje la variable. Vamos a resolver la siguiente ecuación exponencial: respuesta a seis decimales. Ejemplo:

y lo expresaremos su

Vamos a resolver la siguiente ecuación exponencial: y lo expresaremos su respuesta a seisladecimales. y lo expresaremos su Vamos a resolver siguiente ecuación exponencial: respuesta a seis decimales.

Tome ln en ambos lados “baje” el exponente Tome ln en ambos lados “baje” el exponente use una calculadora

use una calculadora

76 76


UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

Desarrollo de contenidos

Ejemplo

Ejemplo

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Ahora también resolvamos la siguiente ecuación exponencial: e3-2x=4

Ahora también resolvamos la siguiente ecuación exponencial: Ejemplo Puesto que la base del término exponencial es e, para resolver esta ecuación utiliza-

logaritmos naturales Puesto que remos la base del término exponencial es e, para resolver esta ecuación Ahora también resolvamos la siguiente ecuación exponencial: utilizaremos logaritmos naturales Puesto que la base del término exponencial es utilizaremos logaritmos naturales

e,Tome paralnresolver esta ecuación en ambos lados “baje” el exponente Tome ln en ambos lados

Ejemplo

“baje” el exponente Ahora también resolvamos la siguiente ecuación exponencial:

Puesto que la base del término exponencial es utilizaremos logaritmos naturales

2 ECUACIONES LOGARÍTMICAS.

2. ECUACIONES LOGARÍTMICAS.

use una calculadora

e, para resolver esta ecuación use una calculadora Tome ln en ambos lados “baje” el exponente

Una ecuación logarítmica es aquella en la cual está presente la variable logaritmo.

Una ecuación logarítmica es aquella en la cual está presente la variable logaritmo. . ECUACIONES LOGARÍTMICAS. ejemplo: Por ejemplo:Por Una ecuación logarítmica es aquella en la cual está presente la variable logaritmo. use una calculadora log_2(x+2)=5 Por ejemplo: Para despejar x escribimos la ecuación en forma exponencial:

Para despejar x escribimos la ecuación en forma exponencial: Forma exponencial

despejar xLOGARÍTMICAS. escribimos la ecuación en forma exponencial: . Para ECUACIONES

Despeje x

Forma exponencial Una ecuación logarítmica es aquella en la cual está presente la variable logaritmo. Por Losejemplo: procedimientos usados para resolver este problema simple son tipicos. Despeje x Resumimos los pasos como sigue:

Los procedimientos usados para resolver este problema simple son tipicos. a) Aisle el término logaritmico en un lado de la ecuación; quiza sea necesario Resumimos los comola sigue:  Los procedimientos usados para resolver este problema simple son tipicos. ResumiPara primero despejar x pasos escribimos ecuación en forma exponencial: combinar los términos logaritmicos. mos los pasos como sigue: b) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base quiza tomando a) Aisle el término logaritmico en un lado de la ecuación; seacomo necesario Forma exponencial exponente cada lado de la ecuación) primero combinar los términos logaritmicos. Despeje la variable. la a) Aisle elen término lado la ecuación; Despeje xtomando quiza b)c) Escriba ecuación forma logaritmico exponencialen (oun eleve lade base comosea necesario pri-

mero combinar los términos logaritmicos. exponente cada lado de la ecuación) Ejemplo Los procedimientos usados para resolver este problema simple son tipicos. c) Despeje la variable. b) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base tomando como expoResumimos los pasos como sigue: nente cadaecuación: lado de la ecuación) Resolvamos la siguiente Ejemplo a) Aisle el término logaritmico en un lado de la ecuación; quiza sea necesario c) Despeje la variable. Solución.Primero aislamos el término logarítmico. Esto nos permitirá escribir la primero combinar losecuación: términos logaritmicos. Resolvamos la siguiente forma exponencial: b)ecuación Escriba en la ecuación en forma exponencial (o eleve la base tomando como

Ejemplo

Resolvamos la siguiente ecuación: 4 + 3 log(2x) = 16

exponente cada lado de laelecuación) Solución.Primero aislamos término logarítmico. Esto nos permitirá escribir la ecuación en la forma exponencial: c) Despeje variable. Reste 4 Ejemplo

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Divida entre 3 Reste 4

laS  olución.aislamos el término Forma logarítmico. Esto nos permitirá escribir la Resolvamos siguientePrimero ecuación: exponencial ecuación en forma exponencial:

Divida entre 3

Solución.- Primero aislamos el término logarítmico. Esto nos permitirá escribir la Forma exponencial ecuación en forma exponencial:

77 Reste 4 Divida entre 3

77

Forma exponencial

77

Bibliografía

67


68

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMéTRICAS ANALÍTICA"

Ejemplo

Anotaciones

Ejemplo

Ahora resuelva la siguiente ecuación: log(x+2)+ log(x-1) = 1

Ahora resuelva la siguiente ecuación: Solución.Primero combinamos los términos lograrítmicoa usando las leyes de los

logaritmos:

Solución.- Primero combinamos los términos lograrítmicoa usando las leyes de los logaritmos: por propiedad

Forma exponencial Expanda el lado izquierdo

Reste 10 Factorize

Verificamos estas soluciones posibles en la ecuación original y determinamos que no esVerifi unacamos solución los posibles logaritmos deecuación los números negativos no estas(porque soluciones en la original y determinamos que están definidos, sinuna embargo es una no es solución (porque lossolución logaritmos de los números negativos no están defi-

nidos, sin embargo es una solución 3. MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Otros ejemplos en donde se utilizan las funciones exponenciales y logarítmicas son 3 MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS los siguientes: Crecimiento Exponencial

Otros ejemplos en donde se utilizan las funciones exponenciales y logarítmicas son los siguientes:

Se recuerda que el modelo matemático que representa el crecimiento exponencial, está dado de la forma siguiente:

Crecimiento Exponencial

crece exponencialmente si

Se recuerda esmatemático valor inicialque representa el crecimiento exponencial, cuandoque el modelo está dado de la forma siguiente: Al considerar las gráficas vistas anteriormente, nos damos cuenta que la gráfica de es de la forma: la función crece exponencialmente si cuando

es valor inicial

Al considerar las gráficas vistas anteriormente, nos damos cuenta que la gráfica de la función es de la forma:

Entonces ahora resolvamos los siguientes problemas teniendo en cuenta lo descrito anteriormente:

78


UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

Recordatorio

Anotaciones

Entonces ahora resolvamos los siguientes problemas teniendo en cuenta lo descrito anteriormente:

a) Proyección de la población mundial

a) Proyección de la población mundial

La población del mundo en el 2006 era de 5,700 millones, y la tasa de crecimiento

relativa estimada al año. Si la población siguey creciendo esta tasa, ¿cuánLa población del mundo es ende el 2% 2006 era de 5,700 millones, la tasa de acrecimiento alcanzaráes60,000 millones relativado estimada de 2% al año.deSipersonas? la población sigue creciendo a esta tasa, ¿cuándo alcanzará 60,000 millones de personas? a) Proyección de la población mundial Solución: Como Q(0)=5,700 millones, k=0.02 y Q(t)=60,000 millones de millones de Solución: Como millones, y personas, entonces: personas, entonces: La población del mundo en el 2006 era de 5,700 millones, y la tasa de crecimiento relativa estimada es de 2% al año. Si la población sigue creciendo a esta tasa, ¿cuándo alcanzará 60,000 millones de personas? Solución: Como personas, entonces:

millones,

millones de

y

Luego la población llegará a los 60,000 millones de personas aproximadamente en 117 años.

Luego la población llegará a los 60,000 millones de personas aproximadamente en 117 años.

b) Bacterias en un cultivo

b) Bacterias en un cultivo

Un cultivo se inicia con 15,000 bacterias y su número se duplica cada 50 minutos. Luego la población llegará a los 60,000 millones de personas aproximadamente en Obtenga: 117 años.

Un cultivo se inicia con 15,000 bacterias y su número se duplica cada 50 minutos. Obtenga:

i. Una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. Bacteriaselen un cultivo ii.b)Determine tiempo de bacterias después de 1.5 horas. iii. ¿Después i. Una fórmula para el número de bacterias el tiempo t. de cuántos minutos habrá 60,000 en bacterias.? UnTrace cultivo se iniciaen con 15,000 t. bacterias y su número se duplica cada 50 minutos. iv. la gráfica el tiempo Obtenga: ii. Determine el tiempo de bacterias después de 1.5 horas.

iii. ¿Después de cuántos minutos habrá 60,000 bacterias.? Solución i. Una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. iv. Trace la gráfica en el tiempo t. ii. Determine el tiempo bacterias después de 1.5 horas. 1. Para determinar la fórmula delde crecimiento de la población necesitamos obtener iii. ¿Después de cuántos minutos habrá 60,000 , bacterias.? y y la tasa k. Para ello la fórmula con iv. Trace la enk.el tiempo t. Solución posteriormente segráfica despeja

Solución

1. Para determinar la fórmula del crecimiento de la población necesitamos ob-

1. Para determinar fórmula delfórmula crecimiento de la población necesitamos obtener tener la tasa k.laPara ello la con Q_0=15,000 , t=50 y Q(t)=30,000 y , y y la posteriormente tasa k. Para ello la fórmula con se despeja k. posteriormente se despeja k.

Luego la fórmula del crecimiento de la población, ya que

, es:

2. Utilizaremos la fórmula hallada en el inciso anterior, cuando t=90 minutos: Luego la fórmula del crecimiento de la población, ya que

, es:

Luego la fórmula del crecimiento de la población, ya que , es:

Por lo tanto, el número de bacterias 0.01386t después de 90 minutos es Q(t)=15,000.e 2. Utilizaremos la fórmula hallada en el inciso anterior, cuando t=90 minutos: aproximadamente 52219.

79 2. Utilizaremos la fórmula hallada en el inciso anterior, cuando t=90 minutos: 0.01396(90)después Por lo tanto, el número de bacterias Q(90)=15,000e aproximadamente 52219. Q(90)=52,219.19

de

90

minutos

es

79 Por lo tanto, el número de bacterias después de 90 minutos es aproximadamente 52219.

69


70

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

3. 3. En esteEn inciso la fórmula, cuando Q(t)=60,000 y se despeja t: t: este utilizaremos inciso utilizaremos la fórmula, cuando Q(t)=60,000 y se despeja

Anotaciones

3. En este inciso utilizaremos la fórmula, cuando Q(t)=60,000 y se despeja t:

El número de bacterias será 60,000 en aproximadamente 100 minutos.

El número de bacterias será 60,000 en aproximadamente 100 minutos.

4. En la siguiente figura se muestra la grafica de

número 4. En de la siguiente se muestra la grafica de El bacteriasfigura será 60,000 en aproximadamente 100 minutos. 4. En la siguiente figura se muestra la grafica de 0.01386t Q(t)=15,000e

ACTIVIDAD 1. Se proyecta que dentro de t años la población de cierto país será: millones. ACTIVIDAD Diagrama Inicio a)Objetivos ¿Cuál es la población actual? b) ¿Cuál será la población dentro de 20 años? 1. Se proyecta que dentro de t años la población de cierto país será: millones. ACTIVIDADES: 2. La cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva después de t ¿CuálAutoevaluación es la población actual? Desarrollo a) Actividades después de 4500 años quedan de contenidosaños está dada por la función b) ¿Cuál seráde lala población dentro de 20gramos años? había al principio? 2,000 gramos sustancia. ¿Cuántos

1. Se proyecta que dentro de t años la población de cierto país será: Q(t)=45e0.03t millones. 3. La Una sustancia se desintegra Si al comienzo 2. cantidad queradioactiva queda de una muestra deexponencialmente. una sustancia radiactiva después había de t de 4500 años quedan años está dada porla la función 600 gramos de es la sustancia y 60 años después haydespués 500 gramos. ¿Cuántos gramos Lecturas Glosario Bibliografía a) ¿Cuál población actual? seleccionadas habrágramos despuésdedela200 años?. ¿Cuántos gramos había al principio? 2,000 sustancia.

b) ¿Cuál será la población dentro de 20 años?

3. Una sustancia radioactiva se desintegra exponencialmente. Si al comienzo había 600 gramos de la sustancia y 60 años después hay 500 gramos. ¿Cuántos gramos 2. La cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva después de t habrá después de 200 años?. Recordatorio Anotaciones 0.003t

después de 4500 años quedan 2,000 años está dada por la función Q(t)=Q0-e gramos de la sustancia. ¿Cuántos gramos había al principio?

3. Una sustancia radioactiva se desintegra exponencialmente. Si al comienzo había 600 gramos de la sustancia y 60 años después hay 500 gramos. ¿Cuántos gramos habrá después de 200 años?. 80

80


UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

TEMA N°03: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA TEMA N°03: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y 1 MEDIDA ANGULAR TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

Recordatorio

Anotaciones

ANGULOS

1. MEDIDA ANGULAR

Un ángulo se determina rotando un rayo (la mitad de una recta) con respecto a su ANGULOS extremo. La posición de inicio del rayo es el lado inicial del ángulo y posición después de la rotación es elrotando lado terminal. rotación es en el sentido contrario Un ángulo se determina un rayo Si (lalamitad de una recta) con respecto a su a las extremo. La inicio delpositivo rayo esalelángulo, lado inicial ángulo es y en posición manecillas delposición reloj, sedeconsidera y si ladel rotación el sentido después de la rotación es el lado terminal. Si la rotación es en el sentido contrario de las manecillas del reloj, se considera que el ángulo es negativo. a las manecillas del reloj, se considera positivo al ángulo, y si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, se considera que el ángulo es negativo.

MEDIDA ANGULAR La medida angular se determina por la rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. ANGULAR Una forma de medir ángulo es con radianes. Siendo un radián la MEDIDA medida de un ángulo central, , que subtiende un arco, s, de igual longitud que el La medida se determina porlalasiguiente rotaciónfigura: desde el lado inicial hasta el lado radio, r, de angular la circunferencia. Veamos

terminal. Una forma de medir ángulo es con radianes. Siendo un radián la medida de un ángulo central, Ѳ, que subtiende un arco, s, de igual longitud que el radio, r, de la circunferencia. Veamos la siguiente figura:

Longitud de arco es igual al radio (s=r) si =1 radían. La circunferencia del círculo de radio 1 es 2, por lo tanto: 1 revolución = 2 radianes ½ revolución =  radianes ¼ revolución = /2 radianes Longitud de 1/6 arcorevolución es igual al radio si Ѳ =1 radían. = /3(s=r) radianes

La circunferencia del círculo de radio 1 es 2π, por lo tanto:

1 revolución

= 2π radianes

½ revolución

= π radianes

¼ revolución

= π/2 radianes

1/6 revolución

= π/3 radianes

81

Otra forma para medir ángulos es en términos de grados denotados por el símbolo °. La medida de un grado (1°) es equivalente a una rotación de 1/360 de una revolución completa, con respecto al vértice. Por tanto una revolución completa (en sentido contrario a las manecillas del reloj) corresponde a 360°, la mitad 180°, un cuarto a 90°, etc.

Los grados y radianes están relacionados de la forma siguiente: 360° = 2 π rad

y

180° = π rad

71


72

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

Anotaciones

°. °. La La medida medida de de un un grado grado (1°) (1°) es es equivalente equivalente aa una una rotación rotación de de 1/360 1/360 de de una una revolución completa, con respecto al vértice. revolución completa, con respecto Otra para forma paraángulos medir ángulos es al envértice. términos de grados denotados por el símbolo Otra forma medir es en términos de grados denotados por el símbolo °. La medida de un grado (1°) esen equivalente adenotados una rotación desímbolo 1/360 de una Otra para ángulos es en términos de agrados por el °. Laforma medida demedir un grado (1°) es equivalente unade rotación de 1/360 de una Otra forma para medir ángulos es en términos de grados denotados por elsímbolo símbolo Otra forma para medir ángulos es términos grados por el Por tanto una revolución completa (en sentido contrario aa denotados las manecillas del Por tanto una revolución completa (en sentido las1/360 manecillas del reloj) reloj) revolución completa, con respecto al vértice. °. La medida de un grado (1°) esal(1°) equivalente a unacontrario rotación de de una revolución completa, con respecto vértice. °. La medida de un grado (1°) es equivalente a una rotación de 1/360 de una °. La medida de un grado es equivalente a una rotación de 1/360 de una corresponde aa 360°, la mitad 180°, aa 90°, Otra forma para escuarto en términos de corresponde 360°, lamedir mitad 180°, un un cuarto 90°, etc. etc.grados denotados por el símbolo revolución completa, con respecto alángulos vértice. revolución completa, conrespecto respecto vértice. revolución completa, con alalvértice. °. La medida de un grado (1°) es equivalente a una rotación de 1/360 de una Poruna tanto una revolución completa (en sentido contrario a las manecillas del reloj) Por tanto revolución completa (en sentido contrario a las manecillas del reloj) Los grados yy radianes están relacionados de la forma siguiente: revolución completa, con respecto al vértice. Los grados radianes están relacionados de la forma siguiente: corresponde a 360°, la mitad 180°, un cuarto a 90°, etc. Por tanto una revolución completa (en sentido contrario a las manecillas del reloj) corresponde a 360°, la mitad 180°, un cuarto asentido 90°, etc. Portanto tanto una revolución completa (en sentido contrarioaalas lasmanecillas manecillasdel delreloj) reloj) Por una revolución completa contrario 360° 2 yy (en 180° = rad 360° = = 2 rad rad 180° = etc. rad corresponde a 360°, alaa360°, mitad 180°, un180°, cuarto acuarto 90°, corresponde 360°, lamitad mitad 180°, un cuarto agrados 90°,etc. etc. corresponde la un a 90°, Dichas relaciones nos lleva a la conversión entre y radianes, siendo: tanto una revolución (en sentido contrario a las siendo: manecillas del reloj) Dichas relaciones nos lleva a relacionados la completa conversión entre grados y radianes, Los grados y radianes están de la forma siguiente: Los grados y Por radianes están relacionados de la forma siguiente: Dichas relaciones nos lleva amitad la conversión entre grados y radianes, siendo: Otracorresponde forma para amedir ángulos es180°, en términos de agrados denotados por el símbolo 360°, larad un cuarto 90°, etc. 360° = 2 y 180° =  rad Los grados y radianes están relacionados de la forma siguiente: 360° = 2 rad y 180° =  rad  Los grados radianes están relacionados delalaforma forma siguiente: Los grados yyradianes relacionados de siguiente:  de 1/360 de una °. La medida de un están grado (1°) es equivalente a una rotación Para convertir grados aayaradianes, los grados se multiplica por 2. Para convertir grados radianes, los grados se multiplica por 2. Para convertir grados radianes, los grados se multiplica por 360° = 2 rad 180° =  rad Dichas relaciones nos lleva a la conversión entre grados y radianes, siendo: Dichas2. relaciones nos lleva a la conversión entre grados y radianes, siendo: 360°=con =2 2respecto rad yy al180° 180° rad 360° rad ==de rad revolución completa, vértice. Losconvertir grados yradianes radianes están relacionados la forma siguiente: Dichas 3. relaciones nos lleva a la conversión entre grados radianes, siendo: aaaa grados, los se multiplica por 3.Para Para convertir radianes grados, los radianes radianes segrados multiplica por Dichas relaciones nos lleva agrados, laconversión conversión entreygrados y radianes, siendo: 3. Para convertir radianes los radianes multiplica por  siendo: Dichas relaciones nos lleva la entre 360° = 2 rad y 180° =se rad y radianes,  2. Para convertir grados a radianes, los grados se multiplica pormanecillas 2. Para convertir a radianes, los grados se multiplica por a las Por Dichas tantogrados una revolución completa (en sentido contrario del reloj)  relaciones nos lleva a la conversión entrepor grados y radianes, siendo:  2. Para convertir grados aradianes radianes, los180°, grados multiplica Ejemplos: 2. Paraconvertir convertir grados radianes, losse grados se multiplica por corresponde a 360°, la mitad un cuarto a 90°, etc. 2. Para convertir grados aaaradianes, los grados se multiplica por 3. Para grados, los radianes se multiplica por Ejemplos: 3. Para convertir radianes a grados, los radianes se multiplica por Ejemplos:    3. Para3. convertir radianes a grados, los radianes se por 3. Para Para convertir radianes grados, losradianes radianes semultiplica multiplica porpor 2. convertir Para convertir grados a radianes, losmultiplica grados se multiplica radianes aagrados, los se por  Convertiremos un ángulo en grados a radianes: Los grados y un radianes relacionados de la forma siguiente:   Convertiremos ánguloestán en grados a radianes: Ejemplos: Ejemplos: 3. Para convertir radianes a grados, los=radianes = 2 y a radianes: 180°  rad se multiplica por  Convertiremos un360° ángulo en rad grados Ejemplos: Ejemplos: Ejemplos: 1. Convertir 135° a radianes. Dichas relaciones nos lleva a la conversión entre grados y radianes, siendo: 1. Convertir 135° a radianes. Convertiremos un ángulo en grados a radianes: Convertiremos un ángulo en grados a radianes:  ,, oo sea: Para convertir 135° a radianes multiplicamos por Ejemplos: sea:  Para convertir 135° a radianes multiplicamos por Convertiremos un ángulo grados radianes: Convertiremos unen ángulo enagrados grados radianes: Convertiremos un ángulo en aaradianes:  1. Convertir 135° a radianes. Para a radianes, grados se multiplica por  los = radianes 1. 2.Convertir a grados radianes. 1. Convertir 135°convertir a 135° radianes. (135°)( radianes (135°)(   Convertiremos un ángulo en grados a=radianes: 1. Convertir 135° a radianes. Para convertir 135° multiplicamos por sea: por ,, oo sea: convertir aa radianes por , osesea: Para1.1. convertir 135° a135° radianes multiplicamos 3.Para Para convertir radianes a grados, los por radianes multiplica Convertir 135° a radianes. Convertir 135° a radianes.        , o sea: Para convertir 135° a radianes multiplicamos por Ahora convertiremos un ángulo en radianes a grados , o sea: Para convertir 135° a radianes multiplicamos por , o sea: Para convertir 135° a radianes multiplicamos por radianes = radianes (135°)( Ahora convertiremos un ángulo en radianes a grados (135°)( = radianes 1. Convertir 135° a radianes.      Ejemplos: = radianes (135°)( radianespor (135°)( , o sea: Para convertir 135° a (135°)( radianes multiplicamos  == radianes radianes a grados 2. Convertir radianes a grados 2. Convertir Ahora convertiremos un ángulo en radianes a grados  Ahora convertiremos un ángulo en radianes a grados radianes (135°)( Ahora convertiremos unenángulo en radianes a=grados Convertiremos unángulo amultiplicamos radianes: radianes aagrados grados ,, oo sea: Para convertir Ahora convertiremos un ángulo radianes a grados radianes grados multiplicamos por  sea: Paraconvertiremos convertir Ahora convertiremos unen ángulo enradianes radianes gradospor Ahora un ángulo en aagrados    radianes a grados 2. Convertir radianes a grados 2. Convertir  1. Convertir 135° a radianes. Ahora convertiremos un ángulo en radianes a grados     a grados radianes 2. Convertir 2.Para Convertir radianes grados radianes grados Convertir radianes aaagrados Convertir radianes)( )) = -90° ((a grados radianes multiplicamos por o sea: convertir radianes a grados multiplicamos por , o sea: Para2.2. convertir radianes)( =por -90° , o ,sea: Para convertir 135° a radianes multiplicamos      radianesradianes a gradosaaamultiplicamos por ,por o sea:,, o Para convertir convertir radianes grados por sea: radianes gradosmultiplicamos ,oo sea: Para multiplicamos   radianes grados 2. convertir Convertir grados sea: Para = radianes   (135°)(   radianes)( radianes)( ) = -90° ( ) = -90° ( multiplicamos por , o sea: Para convertir  radianes a grados    ACTIVIDAD:  ( radianes)( ) = -90°) )==-90° ACTIVIDAD: radianes)( -90° radianes)( ( ( en  Ahora convertiremos un ángulo radianes a grados  radianes)( ) = -90° ( Convertir la del ángulo de grados a radianes Diagrama 1. Objetivos 1. ConvertirInicio la medida medida  del ángulo de grados a radianes  ACTIVIDAD: ACTIVIDAD: radianes a grados a) 72° a) 2. 72°Convertir ACTIVIDAD: ACTIVIDAD:  ACTIVIDAD: b) -300° -300° radianes por , o sea: Paralaconvertir 1. b) Convertir medida del ángulo deagrados amultiplicamos radianes 1. Convertir la medida del ángulo de grados agrados radianes  c) 15° ACTIVIDAD: c) 15° a) 72° 1. Convertir la medida del ángulo de grados a radianes a) 72° ACTIVIDADES: Convertir medidadel delángulo ángulode degrados gradosaaaradianes radianes 1.1.Convertir Convertir lalamedida 2. la  2. Convertir la medida medida del del ángulo ángulo de de radianes radianes a grados grados Desarrollo Actividades b) a) b) 72° -300° Autoevaluación radianes)( ) = -90° ( a) -300° 72° a) 72° de contenidos a) 1. Convertir la medida del ángulo de grados a radianes b) c) 15° c) -300° 15°a) b)-300° -300° b) a) 72° medida grados aa radianes 2.1.b) Convertir la la medida deldel ángulo dede radianes grados 15° 2. c) Convertir la15° medida del ángulo deángulo radianes a grados b) 15° c)c)Convertir   b) -300° medida 2. Convertir la del ángulo de radianes a grados a) a) 2.2. Convertir medidadel delángulo ángulode deradianes radianesaagrados grados c) Convertir a) c) 72° lalamedida c) ACTIVIDAD:    15°  a) b) a) b) Lecturas Glosario Bibliografía a) 2. Convertir la medida del ángulo de radianes a grados b) −300° seleccionadas   la medida del ángulo de grados a radianes b)  1.c) Convertir b) b) c) a) c) 15°  a) 72°  DE  c) 2. 2. TRIGONOMETRÍA TRIGONOMETRÍA DE ÁNGULOS ÁNGULOS RECTOS. RECTOS. c)c) b) b) -300°  c) c) 15° Ahora veremos desde la perspectiva de Ahora veremos desde la perspectiva de un un triángulo triángulo rectángulo. Considere Considere dicho dicho Convertir la medida ángulo deRECTOS. radianes a grados rectángulo. 2.2. TRIGONOMETRÍA DEdel ÁNGULOS 2. TRIGONOMETRÍA ÁNGULOS RECTOS. Recordatorio Anotaciones 2. Convertir laDE medida del de radianes grados triángulo con un agudo por triángulo rectángulo, rectángulo, conángulo un ángulo ángulo agudoa denotado denotado por , , los los lados lados son son la la 2. TRIGONOMETRÍA DE ÁNGULOS RECTOS. 2. hipotenusa, TRIGONOMETRÍA DE ÁNGULOS RECTOS. a) 2. TRIGONOMETRÍA DE ÁNGULOS RECTOS. a) el opuesto (lado opuesto al ángulo ) yy el adyacente hipotenusa, el cateto cateto opuesto (lado alrectángulo. ángulo ) Considere el cateto cateto adyacente Ahora veremos desde la perspectiva de un triángulo rectángulo. Considere dicho Ahora veremos desde la perspectiva de un opuesto triángulo dicho (lado adyacente al ángulo ). b)rectángulo, 2. TRIGONOMETRÍA DE ÁNGULOS RECTOS. (lado adyacente alperspectiva ángulo ). b) triángulo rectángulo, un ángulo agudo denotado por , los lados la Ahora veremos desde la de un triángulo rectángulo. Considere dicho triángulo con uncon ángulo agudo denotado por rectángulo. , los lados son la son Ahora veremos desde perspectiva de untriángulo triángulo rectángulo. Considere dicho Ahora veremos desde lala perspectiva de un Considere dicho  triángulo rectángulo, con un ángulo agudo denotado por los son la son hipotenusa, el cateto opuesto (lado opuesto al ángulo y lados el cateto adyacente hipotenusa, el cateto opuestocon (lado opuesto al ángulo ) y , el ) cateto adyacente c) c) triángulo rectángulo, con un ángulo agudo denotado por , los lados son la triángulo rectángulo, un ángulo agudo denotado por , los lados Veamos en laveremos siguiente figura: Ahora perspectiva de un ) triángulo rectángulo. Considerela dicho Veamos en siguiente figura: hipotenusa, el cateto (lado al ángulo y el ) cateto (lado adyacente al ángulo ).laopuesto (lado adyacente al la ángulo ).desde hipotenusa, elopuesto cateto opuesto (ladoopuesto opuesto alángulo ángulo )yyeleladyacente catetoadyacente adyacente hipotenusa, el cateto opuesto (lado al cateto triángulo rectángulo, con un ángulo agudo denotado por , los lados son la (lado adyacente al ángulo ). (ladoadyacente adyacente ángulo). ). (lado alal hipotenusa, elángulo cateto opuesto (lado opuesto al ángulo ) y el cateto adyacente Veamos en la siguiente figura: Veamos en la siguiente figura: 2. TRIGONOMETRÍA DE ángulo ÁNGULOS adyacente ). RECTOS. Veamos en la(lado siguiente figura:alfigura: Veamos enlalasiguiente siguiente 2 Veamos en TRIGONOMETRÍA DEfigura: ÁNGULOS RECTOS. Ahora veremos la perspectiva de un triángulo rectángulo. Considere dicho 82 Veamos en ladesde siguiente figura: 82 triángulo rectángulo, con un ángulo agudo denotado por , los lados son la Ahora veremos desde la perspectiva de un triángulo rectángulo. Considere dicho hipotenusa, el cateto opuesto (lado opuesto al ángulo ) y el cateto adyacente 82 triángulo rectángulo, con un la hipo(lado adyacente al ángulo ).ángulo agudo denotado por Ѳ, los lados son82

UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMéTRICAS ANALÍTICA"

82 (lado82 tenusa, el cateto opuesto (lado opuesto al ángulo Ѳ) y el cateto adyacente 82 Veamos en siguiente adyacente al la ángulo Ѳ). figura: 82 Veamos en la siguiente figura:

82


UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

Desarrollo de contenidos

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Empleando las longitudes de estos tres lados se definen las siguientes relaciones trigonométricas: Relaciones trigonométricas

Empleando las longitudes estos tres lados cateto se definen las siguientes relaciones catetode opuesto adyacente cateto opuesto sen Ѳ = cos Ѳ = tan Ѳ = trigonométricas: Empleando las longitudes de estos tres lados se definen las siguientes relaciones hipotenusa hipotenusa cateto adyacente rigonométricas:

csc Ѳ =

cateto opuesto hipotenusa

sec Ѳ =

cateto adyacente hipotenusa

cot Ѳ =

cateto opuesto cateto adyacente

Los símbolos que se usan son abreviaturas de sus nombres completos: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Los símbolos que se usan son abreviaturas de sus nombres completos: seno,

cosecante, secante y cotangente. Los coseno, símbolostangente, que se usan son abreviaturas de sus nombres completos: seno, coseno, oseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

Ejemplo:

Ejemplo: Usaremos el triángulo que se muestra, para determinar los valores de las seis relaUsaremos el triángulo que se muestra, para determinar los valores de las seis Ejemplo: ciones trigonométricas: relaciones trigonométricas: Usaremos el triángulo que se muestra, para determinar los valores de las seis

elaciones trigonométricas:

Las relaciones trigonométricas son: (según el cuadro que se indicó)

Las relaciones son: (segúncsc el son: cuadro que el se cuadro indicó) que se indicó) trigonométricas Las relaciones  = (según sen  = trigonométricas

Ѳ =  sen sen  = cos =

csc Ѳsec = = csc =

= cos cos Ѳtan = =

sec Ѳcot = = sec =

= tan tan Ѳ =

cot Ѳ== cot

TRIANGULOS ESPECIALES

TRIANGULOS ESPECIALES Ciertos triángulos rectángulos se usan con frecuencia, éstos son: TRIANGULOS ESPECIALES

Ciertos triángulos rectángulos se usan con frecuencia, éstos son:

Ciertos triángulos rectángulos se usan con frecuencia, éstos son:

83

83

 donde puede obtener fácilmente relacionestrigonométricas. trigonométricas. De De donde se se puede obtener fácilmente laslas relaciones PorPor ejemplo: 30°eses½, ½,tan tan60° 60° es es ejemplo: El El sensen 30° ACTIVIDADES: 1. Encuentre las seis relaciones trigonométricas del ángulo  en los triángulos:

Bibliografía

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Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA" Diagrama

Objetivos

Desarrollo de contenidos

Actividades

Inicio

ACTIVIDADES: Anotaciones

Autoevaluación

1. Encuentre las seis relaciones trigonométricas del ángulo Ѳ en los triángulos:

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Bibliografía

2. Encuentre el lado marcado con “x” (utilice el teorema de Pitágoras)

3. Evalúe la expresión

a) sen π + cos π 6

6

b) sen 30° cos 60° + sen 60° cos30° 3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS. Las relaciones trigonométricas se definieron sólo para ángulos agudos, ahora se ampliará este estudio pero a cualquier ángulo. Sea Ѳ un ángulo ubicado en el plano cartesiano y P(x,y) un punto sobre el lado terminal.


UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

Desarrollo de contenidos

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

 es la entonces se se obtiene las las siguienla distancia distanciadel delorigen origenalalpunto puntoP(x,y), P(x,y), entonces obtiene Si Si te funciones trigonométricas: siguiente funciones trigonométricas:

sen θ =

y r

csc θ =

r y

(y ≠ 0)

cos θ =

x r

sec θ =

r x

(x ≠ 0)

tan θ =

y x

(x ≠ 0)

cot θ =

x y

(y ≠ 0)

 Es importante también conocer signos funciones trigonométricasenenlos los Es importante también conocer los los signos de de laslas funciones trigonométricas cuadrantes. cuadrantes. Signos de las funciones trigonométricas Cuadrante

Funciones positivas

Funciones negativas

I

todas

ninguna

II

sen,csc

cos,sec,tan,cot

III

tan,cot

sen,csc,cos,sec

IV

cos,sec

sen,csc,tan,cot

II

I

III

Iv

85

REDUCCIÓN DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE: REDUCCIÓN DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE: Para reducir ángulos al primer cuadrante utilizamos la siguiente expresión:

Para reducir ángulos al primer cuadrante utilizamos la siguiente expresión:

 90 90  COCO ± − RT (θRT )   RT  RT  270 ±θ = 270   o

o

 180o  RT  ± θ  = ± RT (θ ) o 360   

180     RT   RT  360   Donde RT : Razón trigonométrica

CO-RT: Coorazón trigonométrica Donde RT : Razón trigonométrica De la función “sen” su razón trigonométrica es la misma función “sen”, en cambio

CO-RT: Coorazón trigonométrica su coorazón trigonométrica es “cos”.

De la función “sen” su razón trigonométrica es la misma función “sen”, en cambio su coorazón trigonométrica es “cos”. Ejemplo:

Ejemplo:

Encontraremos el valor de la siguiente función trigonométrica: sen 150°

Encontraremos el valor de la siguiente función trigonométrica: sen 150° Éste ángulo se ubica en el segundo cuadrante, por lo tanto de acuerdo a los signos en los cuadrantes, se observa que el seno en el segundo cuadrante es

Bibliografía

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Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

Éste ángulo se ubica en el segundo cuadrante, por lo tanto de acuerdo a los signos en los cuadrantes, se observa que el seno en el segundo cuadrante es positivo. Además si utilizamos las reglas de reducción se obtiene:

Anotaciones

sen 150° = sen (180 – 30)

por reducción es igual al sen 30, y tiene como resultado ½.

Diagrama Objetivos ACTIVIDADES

Inicio

Determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas: ACTIVIDADES:

1. 2. 3. 4. 5.

Desarrollo de contenidos

Actividades

Autoevaluación

sen 225° cos 135°Determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas: sec 120° Lecturas Bibliografía sec 300°1. Glosariosen 225° seleccionadas sen 2/32. cos 135° 3. sec 120° Recordatorio

4. sec 300° Anotaciones 5. sen 2π/3

4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Las identidades trigonométricas se muestran a continuación: 4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

Las identidades trigonométricas se muestran a continuación:

Para utilizar las identidades trigonométricas, resolveremos el siguiente ejemplo:

Para utilizar las identidades trigonométricas, resolveremos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Simplificaremos la expresión trigonométrica Simplificaremos la expresión trigonométrica

De acuerdo a las identidades recíprocas

, reemplazamos en la

expresión: (1)


Ejemplo: Ejemplo: Simplificaremos la expresión trigonométrica UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS Simplificaremos la expresión trigonométrica

De acuerdo a las identidades recíprocas De acuerdo a las identidades recíprocas De acuerdo a las identidades recíprocas expresión:expresión: expresión:

- TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

, reemplazamos en laseleccionadas reemplazamos en laen la ,, reemplazamos

Y por la misma identidad recíproca 

Desarrollo de contenidos

Y por la misma identidad recíproca 

(1) (1)

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Bibliografía

8787

Y por la misma identidad recíproca

Y por la misma identidad recíproca  Reemplazando en identidad (1), obtenemos: Y por la misma recíproca 

Y la recíproca  Y por porReemplazando la misma misma identidad identidad recíproca en (1), obtenemos:

Reemplazando en (1), obtenemos: Reemplazando Reemplazandoen en(1), (1),obtenemos: obtenemos:

Reemplazando en (1), Reemplazando (1), obtenemos: obtenemos: Y por la misma en identidad recíproca 

ACTIVIDADES: Diagrama

Desarrollo de contenidos

Objetivos Inicio ACTIVIDADES: Simplifique las siguientes expresiones: Reemplazando en (1), obtenemos: ACTIVIDADES: ACTIVIDADES:

las siguientes expresiones: 1. Simplifique ACTIVIDADES: Simplifique siguientes expresiones: Simplifique las las siguientes expresiones: ACTIVIDADES: ACTIVIDADES: Actividades 1. Autoevaluación

1. 2. 1. laslas Simplifique siguientes expresiones: Simplifique siguientes expresiones: Simplifique las siguientes expresiones: 2. 2.

Lecturas seleccionadas

Recordatorio

1. 1.Glosario 3. ACTIVIDADES: 1. 2. Bibliografía 3. 3. Simplifique 2. tanx.cotxlas siguientes expresiones: 2. 4. 2. 4. tanx.cotx 3. 4. tanx.cotx 1. 3. Anotaciones 5. 5. 3. 3. 5. 4. tanx.cotx 2. 4. tanx.cotx 4. tanx.cotx 4. tanx.cotx

5.

AUTOEVALUACIÓN N°04 04 5. AUTOEVALUACIÓN N° 3. 5. AUTOEVALUACIÓN N° 04 5. 1. Grafique las funciones siguientes:

1. Grafique las funciones siguientes: 4. 1. tanx.cotx Grafique las funciones siguientes: a) f(x) = ln (x+2)

AUTOEVALUACIÓN N° 04 N° 04 a) f(x) = ln=(x+2) AUTOEVALUACIÓN a) f(x) f(x) ln (x+2) b) = 1+ln (-x) 5. AUTOEVALUACIÓN N° AUTOEVALUACIÓN N° 04 04 b) f(x) = 1+ln (-x) b) f(x) = 1+ln (-x) ecuación exponencial 2. 1. Resuelva Grafiquelalassiguiente funciones siguientes: 3x+1 x-2 2. 2Resuelva la las siguiente ecuación exponencial 2. Resuelva la siguiente ecuación exponencial 1. Grafique funciones siguientes: = 3 1. Grafique Grafique las= funciones funciones siguientes: a) f(x) ln (x+2) siguientes: 1. las x-2 3x+123x+1 x-2 = 3 2 = f(x) 3= 3. logarítmica Resuelva b) 1+ln a) f(x) =ecuación ln(-x) (x+2) a) f(x) ln=la(x+2) (x+2) AUTOEVALUACIÓN N° 04 a) f(x) = ln 3. Log Resuelva la ecuación logarítmica – log5(x-1) =2 3. Resuelva la ecuación b) = 1+ln b)5(x+1) f(x) = (-x) 1+ln logarítmica (-x) b) f(x) f(x) = 1+ln (-x) Log (x+1) – log (x-1) = 2 5 5 2. Resuelva la siguiente ecuación exponencial 4. Convertir la medida del ángulo de radianes a grados –siguiente log5(x-1)ecuación = 2 1. Log Grafique las funciones siguientes: 5(x+1) 2. Resuelva la exponencial 2. Resuelva la siguiente ecuación exponencial 2. Resuelva la exponencial 3x+1 x-2siguiente 4. Convertir la medidaecuación del ángulo de radianes a grados = 3 2 a) 3x+1 x-2 4. Convertir la medida del ángulo de radianes a grados a) f(x) = ln (x+2) 3x+1 = x-2 3x+1 x-2 2 3 2 2= 3 = 3 3. 3. 2. 4. 4. 3. 5. 4. 6. 5. 5.

5. 6. 6.

a)

b) = 1+ln (-x) b) a) Resuelva la 3. f(x) Resuelva la ecuaciónlogarítmica logarítmica Resuelva la ecuación ecuación logarítmica 3. Resuelva la ecuación logarítmica b) c) Resuelva la siguiente ecuación exponencial (x+1) – log (x-1) = 2 Log Log (x+1) – log (x-1) = 2 5 5 5 5 b) Log5(x+1) – log5(x-1) = 2 Log (x+1) – log (x-1) = 2 c) 5 5 3x+1 2 = 3x-2 5. Convertir la medidadel delángulo ángulo de grados a radianes Convertir la medida de radianes Convertir la medida del ángulo de radianes a a grados grados c) 4. Convertir del ángulo de radianes grados 5. a) Convertir la medida grados aaradianes radianes 4. Convertir la medida del ángulo de a grados 345° Resuelva la ecuación logarítmica a) a) a) 345° Convertir la medida del ángulo de grados a radianes b)(x+1) a) -48.27° Log – log5(x-1) = 2 5 a) b) -48.27° b) b) 6. Evalúe a) 345° la expresión Convertir la medida del ángulo de radianes a grados 6. Evalúe b) b)sen 30°cos60° la expresión a) + sen 60° cos 30° b) -48.27° c) c) a) a) sen 30°cos60° + sen 60° cos 30° c) Evalúe c) la expresión Convertir Convertir la la medida medida del del ángulo ángulo de de grados grados a a radianes radianes b) a) sen 30°cos60° + sen 60° cos 30° a) 345° 5. Convertir la medida del ángulo de grados a radianes a) 345° c) 5. Convertir la medida del ángulo de grados a radianes b) b) -48.27° -48.27° a) 345° a) 345° Convertir la medida del ángulo de grados a radianes Evalúe la expresión Evalúe expresión b) la -48.27° b) −48.27° a) 345° a) sen 30°cos60° + a) 30°cos60° + sen sen 60° 60° cos cos 30° 30° 6. sen Evalúe la expresión b) -48.27°

a) sen 30°cos60° + sen 60° cos 30°

6. Evalúe la expresión

a) sen 30°cos60° + sen 60° cos 30°

88 88

88

88 88

88

77


78

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

6. Evalúe la expresión

a) sen 30°cos60° + sen 60° cos 30°

b) (sen π/3 cos π/4 – sen π/4 cos π/3)2

Anotaciones

b) (sen /3 cos /4 – sen /4 cos /3)2

7. Determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas

7. Determina a) csc 5π/4el valor de las siguientes funciones trigonométricas

a) cos csc 570° 5/4 b)

b) cos cos7π/3 570° c) c) cos 7/3

8. simplifique expresiones: 8. simplifiquelas las siguientes siguientes expresiones:

a) a)

b) b)

c) tan x + cos(-x) + tan (-x)

c) tan x + cos(-x) + tan (-x)

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 1. James Stewart, Lothar Redlin, Salem Watson, Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Editorial Cengage Learning, México, 2007. 2. Hoffman, L.D.; Bradley, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial: McGraw-Hill, 2006. 3. Sydsaeter, K.; Hammond, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Editorial: Prentice Hall, Madrid, 1996. 4. Arya, J.; Lardner, R.: Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Editorial: Pearson Educación, Prentice-Hall, Mexico, 2002. 5. Haeussler, E.; Paul, R.: Matemáticas para Editorial: Prentice Hall, 2003.

la administración y economía.

6. Calvo, M.; Escribano,..: Problemas resueltos de matemáticas aplicadas a la economía y la empresa. Editorial: Thomson-AC, 2003. 7. Cámara, A.; Garrido, R; Tolmos, P.: Problemas de matemáticas para economía y empresa. Editorial: AC, 2003. 9. Muñoz, A.; Santos, J.; Fabian, G.: Problemas de matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Editorial: Ediciones Académicas S.A., 2003.

89


UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

Desarrollo de contenidos

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Lecturas seleccionadas

1. J ames Stewart, Lothar Redlin, Salem Watson, Precálculo. Matemáticas para el cálcuRecordatorio lo. Editorial Cengage Learning, México, 2007. 2. H  offman, L.D.; Bradley, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial: McGraw-Hill, 2006. 3. S  ydsaeter, K.; Hammond, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Editorial: Prentice Hall, Madrid, 1996. 4. A  rya, J.; Lardner, R.: Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Editorial: Pearson Educación, Prentice-Hall, Mexico, 2002. 5.  Haeussler, E.; Paul, R.: Matemáticas para la administración y economía. Editorial: Prentice Hall, 2003. 6. C  alvo, M.; Escribano,..: Problemas resueltos de matemáticas aplicadas a la economía y la empresa. Editorial: Thomson-AC, 2003. 7. C  ámara, A.; Garrido, R; Tolmos, P.: Problemas de matemáticas para economía y empresa. Editorial: AC, 2003. 9.  Muñoz, A.; Santos, J.; Fabian, G.: Problemas de matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Editorial: Ediciones Académicas S.A., 2003.

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

Anotaciones

Bibliografía

79


80

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMéTRICAS ANALÍTICA"

ANEXO Anotaciones

CLAvES DE RESPUESTAS DE AUTOEvALUACIÓN 1 1.

x = 23/4

2.

x = 105/58

3.

x = −1/3 ó x = −1

4.

C.S. x ∈ < ∞, −3]

5.

C.S. x ∈[−1,0>

6.

C.S. x ∈<2, 7>

7.

C.S. x ∈<−5, −1 > U < 2, +∞ >

8.

x = 2.701 ó x=3.37

9.

C.S. x ∈<−∞,−4] U [0,+ ∞>

10. El 2020 en el mes de mayo.

CLAvES DE RESPUESTAS DE AUTOEvALUACIÓN 2 1.

a) Si es una Función b) Si es una función c) Si es una función

2.

a) Dom: [2; ∞ > Ran: [4; ∞ > b) Dom: < − 4;6 > Ran: [ 0;36> c) Dom: < −∞; 0] U [3; ∞ > Ran: [0; ∞ >

3.

a)

b)


UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMéTRICAS ANALÍTICA"

Desarrollo de contenidos

c)

c)

c)

4. 4. 1)

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

c)

c) c)

4.4.

4.

Lecturas seleccionadas

                                                                     ���                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

c)

2

1) 1) f ( x)  x  3x  5

f ( x)  x 2  3x 2 5 1) f ( x)  x  3x  5 )  x 2  3x  5 1) f ( xb) b)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

4. 4. b)

f ( x)  1) b) 1) b) f ( x) 

xx 22   33xx   55

b) b)

c) Valor mínimo =

2

fmínimo (mínimo x)  6 x== 12 x  12 2) c)c)Valor Valor c) Valor mínimo = c) Valor mínimo = a)

2)

f ( x)  6 x 2  12 x  12 2) f ( x)  6 x  12 x  12

2) 2) b) f ( x) 26 x 2  12 x  12

                                                                                                                                                                                        ���                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

a)

a)

b)

a)

c) Valor mínimo = c) Valor mínimo = a) b)

2 2) f ( x)  6 x 2  12 x  12 b) b) 2) f ( x)  6 x  12 x  12

a) a)

b) b)

c) Valor Mínimo= 6

3)

3)

f ( x)  2 x 2  8x  12

c) Valor Mínimo= 6 c) a) Valor Mínimo= 6 c) Valor2 Mínimo= 6

f ( x)  2 x  8x 2 12 3) f ( x)  22 x  8x  12 3) f ( x)  2 x  8x  12

91

a)

a)Mínimo = 6 c) Valor a) c) Valor Mínimo= 6 c) Valor Mínimo= 6 2

f ( x)  2 x 2  8x  12 3) 3) 3) f ( x)  2 x  8x  12 a)

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIvO

91 91

91

a) a)

91 91

Bibliografía

81


82

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMéTRICAS ANALÍTICA"

b)

Anotaciones                                           

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

b)

b)

b) b) b) b) b) b)

c) máximo= Valor máximo = −4 c) Valor c) Valor -4 máximo= -4 4)

c) Valor máximo= -4

2máximo= -4 f ( x) 4) 84)x 2 fc)(2xx)Valor  16  8xmáximo=  2 x  16-4 c) c) Valor -4 c) Valor Valormáximo= máximo= -4 2 4) f ( x)  8x2  2 x  16 c) Valor f ( x) máximo= 8x222 ��� 2 x -4 16 4) a) 4) a) ffa) 16 4) f((x(xx)))888xxx 222xxx16 16 4) 2 4) f ( x)a) 8x  2 x  16

b)

a)

b) a) b) b) b) b) b)

c)

                                          

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

b) b) a) a) a)

Valor Minimo = Minimo = c) Valor

c) Valor Minimo = c) Valor Minimo = c) c) Valor Minimo = c) Valor ValorMinimo Minimo= = c) Valor Mínimo = c) Valor Minimo = CLAVES DE RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION 3 CLAVES DE RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION 3 1.

2.

3.

4. 5.

CLAVES DE RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION 3 DE RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION 3 a) CLAVES 1.CLAvES a)DE CLAVES AUTOEVALUACION DE RESPUESTASDE DE AUTOEvALUACIÓN 3333 CLAVES DE RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION CLAVES DERESPUESTAS RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION b) 1. a) b) RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION 3 CLAVES DE 1. a) c) 1. b) 1. a) a) 1.1. a) a) c) b) 1. a)b) b) c) b) b) c) b) c) a) 2. c) c) c) a) c) 2. b) a) 100 b) 100 2.2. a) a) 2738 2. a) 2. a) b) 2. a) 100 c) c) b) 100 b)100 100 2. a)b) b) b) 100 c)100 c) c) b)c) 100 c) c) 4 a) 4 3. a) c) 3.3. b) b) a) 44 3. a) 4 3. a) b) 3. a) 44 3. a) 4recta Trazando la horizontal o paralela oalparalela eje “x”,alestá soloen un solo 4. Trazando la recta horizontal eje la “x”,corta estáen la un corta b) 3. a)b) 4 b) punto, por tanto si estanto Función Uno a Uno.Uno a Uno. b) por si es Función 4. punto, Trazando la recta horizontal o paralela al eje “x”, está la corta en un solo Trazando la recta horizontal o paralela al ejeal“x”, la corta soloen punto, por b) Trazando 4.4. latanto recta horizontal o paralela ejeestá “x”, está en la un corta un solo punto, por si es Función a Uno. Trazando la recta horizontal oooUno paralela alal eje a) Si4. es función Uno a Uno 4. Trazando la recta paralela eje “x”, está la corta en un solo 4. Trazando la recta horizontal paralela eje “x”, “x”, está está la la corta corta en en un un solo solo 5. a) Si es función Uno a Función Uno punto, tanto si horizontal es Uno a Uno.al tanto sipor es Función Uno a Uno. punto, por tanto si Uno punto, por tanto sisies es Función Uno Uno. punto, por tanto esFunción Función UnoaaaUno. Uno. lafunción recta o paralela al eje “x”, está la corta en un solo b)4. No5. esTrazando función Uno a Unohorizontal a) No Si es Uno b) es función Uno aa Uno Uno 5. punto, a) Sipor es tanto función Uno a Uno Uno a Uno. si es Función 5. es función Uno aaaUno b)Si No función Uno aUno Uno 5. a) Si es función Uno Uno a) es función Uno 5.5. a) a) Si eses función Uno Uno b) No es función Uno a Uno 92 92 5. a)b) Si es función Uno a Uno Uno aaaaUno b) No es función Uno Uno b)No Noes esfunción función Uno Uno b) No es función Uno Uno b) No es función Uno a Uno

6. 6.

a) a) b) b) c) c) d) d)

7.

a) b) 40

8.

a)

92 92 92 92 92 92


b) c) d)

7. 7.

UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMéTRICAS ANALÍTICA"

Desarrollo de contenidos

a) a)

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIvO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Bibliografía

b) 40 b) 40 8.

6.8.

a) a) a)

                                          

b) 6.

c) a) d) b) c)

7.

7.8.

d)a) b) 40

                                                                

a)a) b) 40

8.

b)

a)

b)

b)

b)

9.

                                          

                                                                                                                                                                            

 

         

                                                              

                                                                                                     

         

                                                                                                                                                                                                    

a) A los 4 meses y una población de 1403 conejos aprox. b) a los 15 meses aprox.

10. 9. a) A los 4 meses y una población de 1403 conejos aprox. a) 9. a) los 15 4 meses y una población de 1403 conejos aprox. b) A a los meses aprox. b) a Dominio: los 15 meses Raprox. - 4;-1

Intersección con x en 2

10. 10. 9. a) A los 4 meses y una población de 1403 conejos aprox. Intersección con y en 2 a) b) a los 15 meses aprox. x=-1, x=4 Asíntota vertical Dominio: R - 4;-1 Asíntota horizontal Dominio: R − {4; con −1} x en 2 y=0 Intersección 10. Intersección con xcon en y2 en 2 a)Intesección Asíntota vertical x=-1, x=4 Dominio: - 4;-1 Intersección con y en 2 y=0 Asíntota R horizontal Intersección enx2= 4 Asíntota verticalcon x = x−1, Intersección con y en 2 Asíntota horizontal y = 0 x=4 Asíntota vertical x=-1, Asíntota horizontal y=0

93 93

93

83


84

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

b) b)

b) Dominio: R - -3;0 Dominio: R - {-3;0} Intersección con xRen -2 y 3 Dominio: - -3;0 Dominio: R -x-3;0 Intersección en x=-3, -2 y 3con Asíntota con vertical x=0 Intersección x en -2 y 3 Intersección con x en -2 y 3 b)Asíntota horizontal y=1 x=-3, x=0 Asíntota vertical Asíntota vertical x=-3, x=0 Asíntota vertical x=-3, x=0 Asíntota horizontal y=1 Asíntota horizontal y=1 Asíntota horizontal Dominio: R -y=1 -3;0 Intersección con x en -2 y 3 Asíntota vertical x=-3, x=0 Asíntota horizontal y=1 b)

Anotaciones

11. 11.

11.

11.

Asíntota inclinada y=x-2 vertical x=0 11.Asíntota Asíntota inclinada y=x-2 Asíntota inclinada y=x-2 Asíntota vertical x=0 Asíntota vertical x=0

Asíntota inclinada y=x-2

Asíntota vertical x=0 Asíntota inclinada y=x-2 Asíntota vertical x=0

CLAVES DE RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION 4

CLAVES DE RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION 4

1.

1.

a) f(x) = ln (x+2)

a) ƒ(x) = ln (x+2)

94 94 94

b) f(x) = 1+ln (-x)

94


UNIDAD IV: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMÉTRICAS ANALÍTICA"

Desarrollo de contenidos

b) f(x) = 1+ln (-x)

Actividades Autoevaluación MATEMATICA I MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Bibliografía

b) f(x) = 1+ln (-x) b)b)f(x) == 1+ln (-x) f(x) 1+ln (-x)

2. x=-2.9469 2.2. x=-2.9469 2. x=-2.9469 x=-2.9469 3. x=13/12 3.3.x=13/12 x=13/12 4. 3. a)x=13/12 4.4.a)a) b) 4. a) -450

b)

c)b)b) 72 c)c)c) 75

5. a) 5. a)a) 5.5. a)

b) 0.27 b)b)0.27 0.27 π b) 0.27 6. a) 1 6.6. a)a) 111 6. a)

b) b)b) b)

7. a) -1.4142 7. a) -1.4142

b) -0.8660 -0.8660 b)

c) 0.5 0.5 c)

8. a) 8. a)

b) b)

c) c)

95 9595

85


01 MANUAL MATEMÁTICA I