Orbit simulation of planar restricted three-body ploblem by Math KMUTNB

การจาลองวงโคจรของระบบวัตถุ 3 ชิ้น ที่วงโคจรถูกจากัดบนระนาบ (Orbit simulation of planar restricted three-body ploblem)

ดาเนินการโดย นางสาวจุฬารัตน์

แก้วแหวน

นางสาวนุสรา

ลาวัง

นางสาวรุ้งนภา

ตรีรัตน์

โครงงานนี้เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ประยุกต์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ ปีการศึกษา 2554

ดาเนินการโดย นางสาวจุฬารัตน์

แก้วแหวน

นางสาวนุสรา

ลาวัง

นางสาวรุ้งนภา

ตรีรัตน์

ชื่อโครงงาน

การจาลองวงโคจรของระบบวัตถุ 3 ชิ้น ที่วงโคจรถูกจากัดบน ระนาบ (Orbit simulation of planar restricted three-body ploblem)

โดย

นางสาวจุฬารัตน์

แก้วแหวน

นางสาวนุสรา

ลาวัง

นางสาวรุ้งนภา

ตรีรัตน์

สาขา

คณิตศาสตร์ประยุกต์

ภาควิชา

คณิตศาสตร์

คณะ

วิทยาศาสตร์ประยุกต์

อาจารย์ที่ปรึกษา

อาจารย์ ดร.มโหสถ ปั่นโภชา

ปีการศึกษา

2554 ได้รับอนุมัติให้โครงงานนี้เป็นส่วนหนึง่ ของการศึกษาตามหลักสูตร ปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์

........................................................... อาจารย์ที่ปรึกษา ( ดร.มโหสถ ปั่นโภชา ) ............................................................ กรรมการ ( อ.กรรณิการ์ พงษ์สุวินัย) ............................................................ กรรมการ ( ดร.ณิชาภัทร บุญก่อเกื้อ ) ลิขสิทธิ์ของภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ประยุกต์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยพระจอมเกล้าพระนครเหนือ ปีการศึกษา 2554

บทคัดย่อ ในโครงงานนี้จาลองการโคจรของระบบวัตถุ 3 ชิ้น ที่วงโคจรถูกจากัดบนระนาบ การคานวณ โดยอาศัยหลักการของนิวตัน คือ กฎการเคลื่อนที่ และกฎการดึงดูดระหว่างมวล

เพื่อบรรยายการ

เคลื่อนที่เมื่อวัตถุ 3 ชิ้นดึงดูดซึ่งกันและกัน การคานวณเชิงตัวเลข ของสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งบรรยาย วงโคจรของวัตถุทั้งสาม ใช้วิธี

Fourth - Order Runge - Kutta และเขียนโปรแกรมที่ใช้ในการ

คานวณด้วย MATLAB จากนั้น จาลองวงโคจรของระบบ ซึ่งประกอบด้วย ระบบของ โลก ดวงจันทร์ ดาวเทียม และระบบของ ดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง

ก

Abstract In this project, the orbits of three bodies which are restricted on a plane are simulated. Newton’s law of motion and law of gravity are used to describe the motion when three bodies come into intervention. Fourth - Order Runge - Kutta method is used to solve the ordinary differential equations which describe the orbits of the three bodies. MATLAB-Program is used for the implementation of the method. Then the systems of Earth - Moon – Satellite and the systems of Sun - Earth - Comet are simulated.

ข

กิตติกรรมประกาศ โครงงานเรื่อง การจาลองวงโคจรของระบบวัตถุ 3 ชิ้น ที่วงโคจรถูกจากัดบนระนาบ สาเร็จ ลุล่วงลงได้ด้วยดีด้วยความอนุเคราะห์และการสนับสนุนจากหลายฝ่ายด้วยกัน ขอขอบพระคุณ อาจารย์ ดร.มโหสถ ปั่นโภชา ซึ่งเป็นที่ปรึกษาในการทาโครงงานครั้งนี้ ได้เสียสละเวลาอันมี ค่าให้แนวคิดและคาแนะนาในการดาเนินงานตั้งแต่ต้น รวมทั้งชี้แจงข้อบกพร่องที่เกิดขึ้นในการ ดาเนินงานและช่วยแก้ไขข้อผิดพลาดต่างๆที่เกิดขึ้นด้วยดีตลอดมา ขอขอบพระคุณท่านอาจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์ทุกท่านที่ได้ประสิทธิ์ประสานความรู้ต่างๆ อบรมสั่งสอน ให้ความสามารถ ความมานะ อดทน จนทาให้โครงงานชิ้นนี้สาเร็จเป็นที่น่าพอใจ ขอขอบพระคุณมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือเป็นแหล่งเรียนรู้ทางการ ศึกษาที่มีคุณภาพ มอบความรู้ต่างๆแก่ข้าพเจ้าและเพื่อนๆ พี่น้องร่วมมหาวิทยาลัยให้สามารถนามา ประยุกต์ใช้กับองค์กร หน่วยงานและชีวิตประจาวันได้เป็นอย่างดี สุดท้ายนี้ขอขอบพระคุณเจ้าหน้าที่ภาควิชาคณิตศาสตร์ พี่บัณฑิตและเพื่อนๆ รวมถึงผู้ที่ เกี่ยวข้องและให้ความช่วยเหลือ และเป็นกาลังใจสนับสนุนให้การทาโครงงานครั้งนี้สาเร็จไปได้ด้วยดี

ค

นางสาวจุฬารัตน์

แก้วแหวน

นางสาวนุสรา

ลาวัง

นางสาวรุ้งนภา

ตรีรัตน์

สารบัญ เรื่อง

หน้ า

บทคัดย่ อภาษาไทย

ก

บทคัดย่ อภาษาอังกฤษ

ข

กิตติกรรมประกาศ

ค

สารบัญ

ง

สารบัญรู ปภาพ

ฉ

บทที่ 1 บทนา 1.1 ความเป็ นมาของโครงงาน

1.2 วัตถุประสงค์ของโครงงาน

1.3 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้ รับ

1.4 วิธีการดาเนินงาน

1.5 ขอบเขตของการดาเดินงาน

บทที่ 2 ความรู้ พนื ้ ฐานและทฤษฎีท่ เี กี่ยวข้ อง 2.1 ระบบสุริยะ (Solar system)

2.2 กฎของนิวตัน (Newton’s Laws)

2.3 กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน

2.4 สมการการเคลื่อนที่สาหรับวัตถุ 3 ชิ ้น

บทที่ 3 ทฤษฎีการคานวณเชิงตัวเลข 3.1 วิธี Runge – Kutta

3.2 Fourth-order Runge - Kutta method

ง

สารบัญ(ต่ อ) หน้ า บทที่ 4 การคานวณ กรณีที่ 1 การจาลองวงโคจรของ โลก ดวงจันทร์ ดาวเทียม

กรณีที่ 2 การจาลองวงโคจรของ โลก ดวงอาทิตย์ ดาวหาง

กรณีที่ 3 การจาลองวงโคจรของ โลก ดวงอาทิตย์ ดาวหาง กรณีดาวหางมีมวลมากขึ ้น

กรณีที่ 4 การจาลองวงโคจรของ โลก ดวงอาทิตย์ ดาวหาง กรณีดาวหางโคจรจากจุดเริ่มต้ นที่ไกลจากระบบของดวงอาทิตย์ โลก

บทที่ 5 สรุปผลการดาเนินงาน 5.1 สรุปผลโครงงาน

5.2 ปั ญหาและข้ อเสนอแนะ

37 38

บรรณานุกรม ภาคผนวก โปรแกรม MATLAB

จ

สารบัญรู ปภาพ ภาพที่

หน้ า

2-1 แสดงแรงดึงดูดระหว่างมวล 2-2 แสดงตาแหน่งรัศมีของวัตถุ 3 ชิ ้น 4-1 แสดงตาแหน่งของโลก ดวงจันทร์ และดาวเทียม 4-2 แสดงการโคจรของโลก 4-3 แสดงการโคจรของดวงจันทร์ 4-4 แสดงการโคจรของดาวเทียม 4-5 แสดงการโคจรระหว่างโลก กับดาวเทียม 4-6 แสดงการโคจรของโลก ดวงจันทร์ ดาวเทียม 4-7 แสดงตาแหน่งของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง 4-8 แสดงการโคจรของดวงอาทิตย์ 4-9 แสดงการโคจรของโลก 4-10 แสดงการโคจรของดาวหาง 4-11 แสดงการโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง 4-12 แสดงตาแหน่งของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง 4-13 แสดงการโคจรของดวงอาทิตย์ 4-14 แสดงการโคจรของโลก 4-15 แสดงการโคจรของดาวหาง 4-16 แสดงการโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง 4-17 แสดงตาแหน่งของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง 4-18 แสดงการโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง 6-1 แสดงไฟล์ฟังก์ชนั สมการที่ (2.24) - (2.35) 6-2 แสดงไฟล์ฟังก์ชนั Fourth-Order Runge- Kutta method สาหรับแก้ ปัญหาสมการเชิงอนุพนั ธ์สามัญ 6-3 แสดงไฟล์ฟังก์ชนั printSol สาหรับแสดงค่าที่คานวณได้ 6-4 แสดงการเรี ยกใช้ และการสร้ างกราฟ ในกรณีที่ 1 6-5 แสดงผลที่ได้ จากการคานวณของโปรแกรม MATLAB 6-6 แสดงไฟล์ฟังก์ชนั ในกรณีที่ 2 6-7 แสดงการเรี ยกใช้ และการสร้ างกราฟในกรณีที่ 2 ฉ

11 12 21 24 24 25 25 26 27 29 29 30 30 31 33 33 34 34 35 36 41 43 44 46 46 48 50

สารบัญภาพ(ต่ อ) หน้ า 6-8 แสดงผลที่ได้ จากการเรี ยกใช้ และสร้ างกราฟในกรณีที่ 2

6-9 แสดงไฟล์ฟังก์ชนั ในกรณีที่ 3

6-10 แสดงการเรี ยกใช้ และการสร้ างกราฟในกรณีที่ 3

6-11 แสดงผลที่ได้ จากการเรี ยกใช้ และสร้ างกราฟในกรณีที่ 3

ช

บทที่ 1 บทนา 1.1 ความเป็นมาของโครงงาน การศึกษาเรื่องของดาวเคราะห์ได้เริ่มมาแล้วแต่อดีตกาล ทั้งนี้เพราะมนุษย์สังเกตเห็นว่ามีดาว บางดวง มีลักษณะการเคลื่อนที่แตกต่างจากดาวดวงอื่นๆ นักคณิตศาสตร์สามารถหาคาตอบเชิง วิเคราะห์ของวงโคจรที่มีวัตถุ 2 ชิ้นได้ แต่ในการหาคาตอบเชิงวิเคราะห์ของวัตถุ 3 ชิ้นพบว่าไม่สามารถ หาคาตอบเชิงวิเคราะห์ได้ ต่อมาจึงมีการนาวิธีการคานวณเชิงตัวเลขมาใช้ในการปัญหา ในการศึกษานี้จะทาการศึกษาการโคจรของวัตถุ 3 ชิ้น ในระบบวงโคจรที่ถูกจากัดบนระนาบ โดยใช้วิธีการคานวณเชิงตัวเลข (Numerical method) เพื่อหาตาแหน่งที่เปลี่ยนไปของวัตถุใ น ช่วงเวลาหนึ่งๆ 1.2 วัตถุประสงค์ของโครงงาน - ศึกษาทฤษฏีพื้นฐานของการเคลื่อนที่ของระบบวัตถุ 3 ชิ้น - ศึกษาวิธีการคานวณเชิงตัวเลขในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ - เพื่อเสริมความรู้ความเข้าใจในการใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (MATLAB) ให้มากขึ้น - ต้องการจาลองวงโคจรของระบบวัตถุ 3 ชิ้น 1.3 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ - เข้าใจทฤษฎีพื้นฐานของการเคลื่อนที่ของระบบวัตถุ 3 ชิ้น ที่โคจรและถูกจากัดอยู่ในระนาบ เดียวกัน - เข้าใจการคานวณเชิงตัวเลขในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ - ได้รับความรู้ความเข้าใจในการใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์( MATLAB) มากขึ้น - สามารถจาลองวงโคจรของระบบวัตถุ 3 ชิ้นได้

1.4 วิธีการดาเนินงาน ขั้นตอนการดาเนินงานในโครงการนี้ 1.ขั้นตอนการดาเนินงาน -

ศึกษาค้นคว้าทฤษฏีพื้นฐาน

นาความรู้ที่ได้มาประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุ 3 ชิ้น

ศึกษาวิธีการคานวณทางตัวเลขในการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (MATLAB) ในการคานวณ

สรุปผล

2.เครื่องมือที่ใช้ในการดาเนินงาน -

โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (MATLAB)

1.5 ขอบเขตของการดาเนินงาน โครงงานนี้ศึกษาวงโคจรของวัตถุ 3 ชิ้น ที่วงโคจรถูกจากัดอยู่ในระนาบ โดยการศึกษาวิธี คานวณทางคณิตศาสตร์ และการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์โดยซอฟแวร์ MATLAB เพื่อหา คาตอบ

บทที่ 2 ทฤษฎีพื้นฐานที่เกี่ยวข้อง ในการคานวณทางตัวเลขเพื่อแก้ปัญหาเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary Differential Equation) จาเป็นต้องศึกษาทฤษฎีพื้นฐานที่เกี่ยวข้องตามลาดับดังต่อไปนี้ 2.1 ระบบสุริยะ (Solar system) 2.2 กฎของนิวตัน (Newton’s Laws) 2.3 กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน 2.4 สมการการเคลื่อนที่สาหรับวัตถุ 3 ชิ้น ( Equation of motion for three bodies)

2.1 ระบบสุริยะ (Solar system)

ระบบสุริยะ ประกอบด้วยดวงอาทิตย์และ วัตถุอื่นๆ ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ เช่น ดาวเคราะห์ ดาวเคราะห์น้อย ดาวหาง และดาวบริวาร โลกเป็น ดาวเคราะห์ที่อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์เป็นลาดับที่ 3 โดยทั่วไป ถ้าให้ถูกต้องที่สุดควรเรียกว่า ระบบดาว เคราะห์ เมื่อกล่าวถึงระบบที่มีวัตถุต่างๆ โคจรรอบ ดาวฤกษ์

ระบบสุริยะ คือ ระบบดาวที่มีดาวฤกษ์เป็นศูนย์กลาง และมีดาวเคราะห์เป็นบริวารโคจรอยู่ โดยรอบ เมื่อสภาพแวดล้อมเอื้ออานวยต่อการดารงชีวิต สิ่งมีชีวิตก็จะเกิดขึ้นบนดาวเคราะห์เหล่านั้น ระบบสุริยะมีดาวเคราะห์ 8 ดวง เรียงตามลาดับ จากในสุดคือ ดาวพุธ ดาวศุกร์ โลก ดาวอังคาร ดาว 3

พฤหัส ดาวเสาร์ ดาวยูเรนัส ดาวเนปจูน และยังมีดวงจันทร์บริวารของดาวเคราะห์แต่ละดวง ยกเว้น เพียง สองดวงคือ ดาวพุธ และ ดาวศุกร์ ที่ไม่มีดวงจันทร์เป็นบริวาร ดาวเคราะห์น้อย ดาวหาง อุกกาบาต ตลอดจนกลุ่มฝุ่นและก๊าซ ซึ่งเคลื่อนที่อยู่ในวงโคจร ภายใต้อิทธิพลแรงดึงดูด จากดวง อาทิตย์ ขนาดของระบบสุริยะ กว้างใหญ่ไพศาลมาก เมื่อเทียบระยะทาง ระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ ซึ่งมีระยะทางประมาณ 150 ล้านกิโลเมตร นอกนั้นจะเป็นมวลของเทหวัตถุต่างๆ ซึ่ง ประกอบด้วย ดาวเคราะห์ ดาวเคราะห์น้อย ดาวหาง และอุกกาบาต รวมไปถึงฝุ่นและก๊าซ ที่ล่องลอยระหว่าง ดาว เคราะห์ แต่ละดวง โดยมีแรงดึงดูด เป็นแรงควบคุมระบบสุริยะ ให้เทหวัตถุบนฟ้าทั้งหมด เคลื่อนที่ เป็นไปตามกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน

ดวงอาทิตย์ (Sun) ดวงอาทิตย์เป็นส่วนสาคัญที่สุดของระบบสุริยะ เป็นผู้ดึงดูดให้ดาวเคราะห์ทั้ง 8 ดวงอยู่ในตาแหน่งที่เป็นอยู่ และดวงอาทิตย์ยังให้แสงและความร้อนกับดาวเคราะห์นั้น ด้วย ถ้าไม่มีดวงอาทิตย์ระบบสุริยะก็จะมืดมิดและหนาวเย็น เมื่อผ่าดวงอาทิตย์ออกมาเป็นชิ้นภายในดวงอาทิตย์นั้นไม่ได้ แข็งเหมือนโลก ดวงอาทิตย์เป็นกลุ่มก๊าซดวงใหญ่ที่ลุกเป็น เปลวไฟ ดวงอาทิตย์ประกอบด้วยก๊าซไฮโดรเจนและฮีเลียม ดวงอาทิตย์เป็นสิ่งที่ร้อนที่สุดในระบบสุริยะที่ใจกลาง ดวงอาทิตย์จะร้อนถึง

15 ล้านองศาเซลเซียส

ความร้อนขนาดนี้เพียงก้อนโตเท่าหัวเข็มหมุดก็จะทาให้คนที่ยืนอยู่ห่าง 150 กิโลเมตรตายได้ ดวงอาทิตย์เป็นดาวฤกษ์ศูนย์กลางของระบบสุริยะ ดวงอาทิตย์เป็นดาวฤกษ์ขนาดเล็ก เมื่อ เทียบกับดาวฤกษ์อื่น ๆ บนท้องฟ้า แต่เป็นดาวฤกษ์ที่อยู่ใกล้โลกที่สุด จึงปรากฏเป็นวงกลมโต บนฟ้า ของโลกเพียงดวงเดียว ดาวฤกษ์อื่นปรากฏเป็นจุดสว่าง เพราะอยู่ไกลมาก ขนาดที่แท้จริงโตกว่าโลก มาก มีเส้นผ่านศูนย์กลางเกือบ 109 เท่าของโลก โดยดวงอาทิตย์มีค่าพื้นฐานดังต่อไปนี้ มวล 1.988 1030 กิโลกรัม คาบการโคจร

25.38 วัน 4

โลก (Earth) โลกหมุนรอบดวงอาทิตย์เป็นวงโคจรซึ่งใช้เวลา

365.25

วัน เพื่อให้ครบ 1 รอบ ตามที่นักวิทยาศาสตร์ค้นพบวงโคจรของ โลกไม่เป็นวงกลม ในเดือนธันวาคมมันจะอยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ มากกว่าเดือนมิถุนายน ซึ่งมันจะอยู่ห่างไกลจากดวงอาทิตย์มาก ที่สุด โลกจะเอียงไปตามเส้นแกน ในเดือนมิถุนายน ซีกโลกเหนือจะ เอียงไปทางดวงอาทิตย์ดังนั้น ซีกโลกเหนือจะเป็นฤดูร้อนและซีก โลกใต้จะเป็นฤดูหนาว ในเดือนธันวาคมจะเอียงจากดวงอาทิตย์ ทา ให้ซีกโลกเหนือเป็นฤดูหนาวและซีกโลกใต้เป็นฤดูร้อน ในเดือนมีนาคมและกันยายน ซีกโลกทั้งสองไม่ เอียงไปยังดวงอาทิตย์ ในเดือนมีนาคม ซีกโลกเหนือจะเป็น ฤดูใบไม้ผลิ และซีกโลกใต้เป็นฤดูใบไม้ ร่วง ในเดือนกันยายน สถานการณ์จะกลับกัน โลกมีอายุประมาณ 4,700 ปี โลกไม่ได้มีรูปร่างกลมโดยสิ้นเชิง เส้นรอบวงที่เส้นศูนย์สูตร ยาว 40,077 กิโลเมตร และที่ขั้วโลกยาว 40,009 กิโลเมตร ดาวเคราะห์ดวงอืน่ ๆ จะมีฤดูกาลเป็นของตนเองและระยะของการโคจร ความยาวของปี ดาวเคราะห์เป็นเวลาที่มันหมุนรอบดวงอาทิตย์หนึ่งรอบ ถ้าคุณอยู่บนดาวพุธ ปีของคุณจะมีเพียง 88 วันของโลก เป็นต้น โดยโลกมีค่าพื้นฐานดังต่อไปนี้ มวล

5.9736 1024 กิโลกรัม

คาบการโคจร

365.25 วัน

อัตราเร็วเฉลี่ยในวงโคจร

2.9783 104 เมตร/วินาที

ระยะห่างจากดวงอาทิตย์ 1.49 1011 เมตร

ดวงจันทร์ (Moon)

ดวงจันทร์เป็นบริวารของโลก โคจรรอบโลกทุกๆ 27 วัน 8 ชั่วโมงและขณะเดียวกันก็หมุนรอบแกนตัวเองได้ ครบหนึ่งรอบพอดีด้วย ทาให้เรามองเห็นดวงจันทร์ด้าน เดียว ไม่ว่าจะมองจากส่วนไหนของโลก ส่วนอีกครึ่งหนึ่ง มนุษย์เพิ่งจะได้เห็นภาพ เมื่อสามารถส่งยานอวกาศไปใน อวกาศได้ บนพื้นผิวดวงจันทร์ร้อนมากในบริเวณที่ถูก แสงอาทิตย์ และเย็นจัดในบริเวณเงามืด ที่พื้นผิวของดวงจันทร์มีปล่องหลุมมากมาย เป็นหมื่นๆหลุม ตั้งแต่หลุมเล็กไปจนถึงหลุมใหญ่มีภูเขาไฟและทะเลทรายแห้งแล้ง ดวงจันทร์เป็นดาว ดวงใหญ่ที่สุด และสว่างที่สุดในท้องฟ้ากลางคืน ดวงจันทร์ส่องแสง แต่แสงที่ส่องนั้นไม่ได้เปล่งออกมาจากดวงจันทร์เอง ดวงจันทร์เมื่อได้รับแสงจากดวงอาทิตย์ก็จะ สะท้อนแสงนั้นออกมา ดวงจันทร์อยู่ใกล้โลกมากที่สุด แต่ก็ยังเป็นระยะทางไกลมากคือ ระยะสิบเท่า ของเส้นรอบโลกยังสั้นกว่าระยะทางจากโลกไปดวงจันทร์ โดยดวงจันทร์มีค่าพื้นฐานดังต่อไปนี้ มวล

7.3477 1022 กิโลกรัม

คาบการหมุนรอบโลก

27.25

วัน

อัตราเร็วเฉลี่ยในวงโคจร 1.022 103 เมตร/วินาที ระยะใกล้โลกที่สุด

3.63 108 เมตร

ระยะไกลโลกที่สุด

4.05 108 เมตร

ดาวหาง (Comet)

เป็นวัตถุในท้องฟ้าที่ไม่มีแสงในตัวเอง ประกอบด้วยฝุ่นผง ก้อนน้าแข็งและก๊าซแข็งตัว และจะเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์เป็นรูปวงรีมาก ขณะที่อยู่ไกลจากดวงอาทิตย์จะไม่มีหาง ไม่มีแสง สว่าง เมื่อ โคจรเข้าใกล้ดวงอาทิตย์ พลังงานทั้งใน รูปความร้อนและลมสุริยะ (อนุภาคมีประจุจะถูก ปล่อยออกมาจากดวงอาทิตย์ ส่วนใหญ่ ประกอบด้วยโปรตอนและอิเล็คตรอน) ทาให้นา แข็งกลายเป็นไอ ดาวหางจะขยายตัวใหญ่ขึ้น สว่างขึ้น และพลังงานดังกล่าวจะผลักดันให้หางพุ่งในทิศ ตรงข้ามกับดวงอาทิตย์ส่วนหางจะมีทั้งที่เป็นฝุ่น ก๊าซและโมเลกุลที่มีประจุไฟฟ้า ดาวหางแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือ 1.Periodical Comets คือ ดาวหางที่มีวงโคจร แน่นอน เช่นดาวหางฮัลเลย์จะมาปรากฏให้เห็น ทุกๆ 76 ปี 2.Non-Periodical Comets คือดาวหางที่มีวง โคจรที่ไม่แน่นอน ลักษณะของวงโคจร การโคจรของดาวหางส่วนใหญ่มีวงโคจรเป็นวงรีที่เรียวมาก ๆ โดยมีปลายข้างหนึ่งของวงรีเข้า ใกล้ดวงอาทิตย์ ส่วนปลายอีกข้างหนึ่งทอดไกลออกไปยังด้านนอกของระบบสุริยะ สามารถแบ่ง ประเภทของดาวหางได้เป็นกลุ่มตามคาบการโคจร ยิ่งดาวหางมีคาบการโคจรยาวเท่าใด รูปวงรีก็จะยิ่ง เรียวมากขึ้น - ดาวหางคาบสั้น (Short-period comets) เป็นดาวหางที่มีคาบการโคจรรอบดวงอาทิตย์ น้อยกว่า 200 ปี โดยทั่วไปมักมีระนาบวงโคจรใกล้เคียงกับระนาบสุริยวิถี และเคลื่อนที่ไปในทิศทาง 7

เดียวกับดาวเคราะห์ จุดปลายของวงรีอีกด้านที่ไกลจากดวงอาทิตย์ที่สุดมักอยู่ในแถบของดาวเคราะห์ รอบนอกของระบบสุริยะ (ตั้งแต่ดาวพฤหัสบดีออกไป) ตัวอย่างเช่น ดาวหางฮัลเลย์มีจุดไกลที่สุดจาก ดวงอาทิตย์อยู่ในบริเวณวงโคจรของดาวเนปจูน ส่วนดาวหางที่มีคาบโคจรสั้นกว่านั้นเช่นดาวหางเอง เคอมีจุดไกลที่สุดเพียงไม่เกินวงโคจรของดาวพฤหัสบดี ดาวหางคาบสั้น สามารถแบ่งได้เป็น 2 กลุ่มคือ กลุ่มดาวพฤหัสบดี (คาบโคจรไม่เกิน 20 ปี) และกลุ่มดาวหางฮัลเลย์ (คาบโคจรระหว่าง 20 ถึง 200 ปี) - ดาวหางคาบยาว ( Long-period comets) มีความรีของวงโคจรมากกว่า และมีคาบโคจร ตั้งแต่ 200 ปีขึ้นไปจนถึงหลายพันหรือหลายล้านปี (ตามนิยามแล้ว ดาวหางเหล่านี้จะต้องยังคงอยู่ ภายใต้แรงโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์ ดาวหางที่ถูกดีดออกจากระบบสุริยะหลังจากเคลื่อนผ่านดาว เคราะห์ขนาดใหญ่จะไม่นับว่าเป็นดาวหางที่มี "คาบโคจร" อีกต่อไป) จุดปลายของวงรีด้านที่ไกลจาก ดวงอาทิตย์จะอยู่นอกเขตแดนดาวเคราะห์รอบนอกออกไปอีก และระนาบโคจรของดาวหางกลุ่มนี้อาจ ไม่อยู่ในระนาบเดียวกับสุริยวิถีก็ได้ - ดาวหางแบบปรากฏครั้งเดียว ( Single-apparition comets) มีลักษณะคล้ายคลึงกับดาว หางคาบยาว แต่มักมีเส้นทางแบบพาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลา ทาให้มันผ่านเข้ามาในระบบสุริยะเพียง ครั้งเดียว

ดาวเคราะห์น้อย (Asteroid)

ดาวเคราะห์น้อย (Asteroid) คือ ก้อนหิน ขนาดเล็กซึ่งรวมอยู่ด้วยกันจานวนหลายพันก้อน ในระบบสุริยะ รายล้อมดวงอาทิตย์และโคจรรอบ ดวงอาทิตย์คล้ายดาวเคราะห์ อยู่ระหว่างดาว อังคารและดาวพฤหัสบดี เรียกบริเวณนี้ว่า “แถบ ดาวเคราะห์น้อย (Asteroid Belt)” ดาวเคราะห์น้อย สามารถ จาแนกออกได้ เป็น 3 ประเภท โดยพิจารณาจากการสะท้อน แสงอาทิตย์ คือ 8

C-type Asteroid (Cabonaceous Asteroid) เป็นดาวเคราะห์น้อยที่สะท้อนแสงได้น้อยมาก มองดูมืดที่สุด องค์ประกอบส่วนใหญ่ เป็นคาร์บอน (ถ่าน ) เป็นดาวเคราะห์น้อยกลุ่มนี้มีจานวนประมาณ 75% ของเป็นดาว เคราะห์น้อยทั้งหมด

2. S-type Asteroid (Silicaceous Asteroid) เป็นดาวเคราะห์น้อยที่สะท้อนแสงได้ ปานกลาง มองดูเป็นสีเทา องค์ประกอบ ส่วนใหญ่เป็นซิลิกา (Silica) เป็นดาวเคราะห์ น้อยกลุ่มนี้มีจานวนประมาณ 15% ของเป็น ดาวเคราะห์น้อยทั้งหมด 3.

M-type Asteroid (Metaliceous Asteroid) เป็นดาวเคราะห์น้อยที่สะท้อนแสงได้มากที่สุดมองดูสว่าง

องค์ประกอบส่วนใหญ่

เป็น โลหะ (Metal) เป็นดาวเคราะห์น้อยกลุ่มนี้มีจานวนประมาณ 10% ของเป็นดาว เคราะห์น้อยทั้งหมด โดยดาวเคราะห์น้อยที่เลือกใช้ในโครงงานนี้คือ ดาวเคราะห์น้อยซีรีส มีค่าพื้นฐานดังนี้ มวล

9.43  0.07 1020

กิโลกรัม

อัตราเร็วเฉลี่ยในวงโคจร 1.788 104 เมตร/วินาที ระยะใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด

3.811011

เมตร

ระยะไกลดวงอาทิตย์ที่สุด

4.47 1011 เมตร

2.2 กฎของนิวตัน (Newton’s Laws)

กฎข้อที่ 1 กฎของความเฉื่อย (Inertia) “วัตถุที่หยุดนิ่งจะพยายามหยุดนิ่งอยู่กับที่ ตราบที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทา ส่วนวัตถุที่ เคลื่อนที่จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ ตราบที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทาเช่นกัน”

กฎข้อที่ 2 กฎของแรง (Force) “ความเร่งของวัตถุจะแปรผันตามแรงที่กระทาต่อวัตถุ แต่จะแปรผกผันกับมวลของวัตถุ ” - ถ้าเราผลักวัตถุให้แรงขึ้น ความเร่งของวัตถุก็จะมากขึ้นตามไปด้วย - ถ้าเราออกแรงเท่า ๆ กัน ผลักวัตถุสองชนิดซึ่งมีมวลไม่เท่ากัน วัตถุที่มีมวลมากจะเคลื่อนที่ ด้วยความเร่งน้อยกว่าวัตถุที่มีมวลน้อย สามารถเขียนในรูปสมการได้เป็น F  ma

โดยที่ F คือ แรงที่กระทาต่อวัตถุ, m คือ มวลของวัตถุ และ a คือ ความเร่งของวัตถุ

กฎข้อที่ 3 กฎของแรงปฏิกิริยา “แรงที่วัตถุที่หนึ่งกระทาต่อวัตถุที่สอง เรียกว่า แรงกิริยา (Action) ย่อมเท่ากับ แรงที่วัตถุ ที่สองกระทาต่อวัตถุที่หนึ่ง แรงปฏิกิริยา (Reaction) แต่ทิศทางตรงข้ามกัน ” แรงกิริยา (Action) = แรงปฏิกิริยา (Reaction)

2.3 กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน “วัตถุทั้งหลายในเอกภพจะออกแรงดึงดูดซึ่งกันและกัน โดยขนาดของแรงดึงดูดระหว่างวัตถุคู่ หนึ่งๆ จะแปรผันตรงกับผลคูณระหว่างมวลของวัตถุทั้งสองและจะแปรผกผันกับกาลังสองของ ระยะทางระหว่างวัตถุทั้งสองนั้น ” 𝑚1

𝑚2 𝐹12

𝐹21 R

ภาพที่ 2-1 แสดงแรงดึงดูดระหว่างมวล ถ้า 𝑚1 และ 𝑚2 เป็น มวลของวัตถุทั้งสองซึ่งอยู่ห่างกันเป็นระยะทาง R ขนาดของแรงดึงดูด ระหว่างมวล 𝐹g เป็นขนาดของทั้ง 𝐹12 และ 𝐹21 ตามกฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน จะเป็นไป ตามสมการ 𝐹g =

𝐺𝑚1 𝑚2 𝑅2

G เป็นค่าคงที่ของแรงดึงดูดระหว่างมวล และเป็นค่าเดียวกันเสมอไม่ว่าวัตถุที่ดึงดูดกันจะเป็น วัตถุใดๆ ก็ตาม G นี้เรียกว่า ค่าคงที่ความโน้มถ่วงสากล (universal gravitational constant) G ที่ เป็นที่ยอมรับปัจจุบันมีค่า

6.673 × 10−11 Nm2 /kg 2

2.4 สมการการเคลื่อนที่สาหรับวัตถุ 3 ชิ้น (Equation of motion for three bodies) จากข้อมูลที่กล่าวมาข้างต้น จะได้สมการการเคลื่อนที่สาหรับวัตถุ 3 ชิ้น (Equation of motion for three bodies) ดังนี้ ในการศึกษาของเราให้มวล 3 มวลอยู่บนระนาบเดียวกันด้วยรัศมี และมวล

ของวัตถุชิ้นที่ i ( ri )

ของวัตถุชิ้นที่ i ( mi )

r32

2 r21

r31 r3

B ภาพที่ 2-2 แสดงรัศมีของวัตถุ 3 ชิ้น ให้

B เป็นจุดอ้างอิงระบบ

และ

คือ รัศมีจากจุดอ้างอิงของระบบถึงวัตถุชิ้นที่ 1

คือ รัศมีจากจุดอ้างอิงของระบบถึงวัตถุชิ้นที่ 2

คือ รัศมีจากจุดอ้างอิงของระบบถึงวัตถุชิ้นที่ 3

r12

คือ รัศมีจากวัตถุชิ้นที่ 1 ถึงชิ้นที่ 2

r13

คือ รัศมีจากวัตถุชิ้นที่ 1 ถึงชิ้นที่ 3

r21

คือ รัศมีจากวัตถุชิ้นที่ 2 ถึงชิ้นที่ 1

r23

คือ รัศมีจากวัตถุชิ้นที่ 2 ถึงชิ้นที่ 3

r31

คือ รัศมีจากวัตถุชิ้นที่ 3 ถึงชิ้นที่ 1

r32

คือ รัศมีจากวัตถุชิ้นที่ 3 ถึงชิ้นที่ 2 12

โดยที่

r12

มีทิศตรงข้ามกับ

r21

r23

มีทิศตรงข้ามกับ

r32

r31

มีทิศตรงข้ามกับ

r32

มวลทั้งหมดของระบบ

( M ) คือ 3

M  mi

(2.1)

i 1

จากกฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน จะได้ แรงดึงดูดระหว่างมวลที่ทากับวัตถุ i คือ 3

Fi  G



mi m j

j 1, j i

r  r  i

 mm i

ri  r j

 G

ri  r j

j 1, j i

ri  r j

(2.2)

จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน (Newton’s Laws) Fi  dr d 2r r  ,  r 2 dt dt

เมื่อ ชิ้นที่

โดยที่

d  miri   miri dt

(2.3)

ri คือ ความเร็วของวัตถุชิ้นที่ i

และ

ri

คือ ความเร่งของวัตถุ

นาสมการ (2.2) = (2.3) จะได้ว่า mi ri  G

ri - r j

 mi m j j 1, j i

G ri 

 ri  G

ri - r j

mi m j ij3  rij j 1, j i mi 3

m j ij3  r j 1, j i ij

(2.4)

เมื่อระยะห่างระหว่างวัตถุชิ้นที่ i กับวัตถุชิ้นที่ j ( rij ) มีสมการดังนี้ rij  ri  r j

(2.5)

rij  ri  r j

(2.6)

จาก (2.5) เมื่อแทน i และ j จะได้ดังนี้ r12  r1  r2

r13  r1  r3 r21  r2  r1

(2.7)

r23  r2  r3

r31  r3  r1 r32  r3  r2

เวกเตอร์ของตาแหน่งของวัตถุ r1   x1iˆ   y1 ˆj

(2.8)

r2   x2iˆ   y2 ˆj

(2.9)

r3   x3iˆ   y3 ˆj

(2.10)

จะได้สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ  r r  r1  G  m2 123  m3 133  r13   r12

(2.11)

 r r  r2  G  m3 233  m1 213  r21   r23

(2.12)

 r r  r3  G  m1 313  m2 323  r32   r31

(2.13)

จาก (2.11) สามารถเขียนในรูปของตาแหน่ง ได้เป็น   r1  G  m2   



 x1  x2  iˆ  ( y1  y2 ) ˆj  x1  x2    y1  y2  2



 m3



 x1  x3  iˆ  ( y1  y3 ) ˆj  x1  x3    y1  y3  2



   3   

(2.14)

   3   

(2.15)

   3   

(2.16)

   3   

(2.17)

   3   

(2.18)

   3   

(2.19)

ในทานองเดียวกันจาก (2.12) และ (2.13) จะได้   r2  G  m3      r3  G  m1   

 

 x2  x3  iˆ  ( y2  y3 ) ˆj  x2  x3    y2  y3  2

 x3  x1  iˆ  ( y3  y1 ) ˆj  x3  x1    y3  y1  2



 m1

 m2



 x2  x1  iˆ  ( y2  y1 ) ˆj  x2  x1    y2  y1  2

 x3  x2  iˆ  ( y3  y2 ) ˆj



 x3  x2    y3  y2  2

 

เมื่อนา (2.8) เทียบกับ (2.14) จะได้    x1  G  m2       y1  G  m2   

 

 x1  x2   x1  x2    y1  y2  2

( y1  y2 )

 x1  x2    y1  y2  2



 m3

 

 x1  x3   x1  x3    y1  y3  2

( y1  y3 )

 x1  x3    y1  y3  2



เมื่อนา (2.9) เทียบกับ (2.15) จะได้    x2  G  m3   



 x2  x3   x2  x3    y2  y3  2



 m1



 x2  x1   x2  x1    y2  y1  2



   y2  G  m3   

( y2  y3 )



 x2  x3    y2  y3  2



 m1



( y2  y1 )

 x2  x1    y2  y1  2

   3   

(2.20)

   3   

(2.21)

   3   

(2.22)



เมื่อนา (2.10) เทียบกับ (2.16) จะได้    x3  G  m1       y3  G  m1   

 x3  x1 



 x3  x1    y3  y1  2

 y3  y1 



 x3  x1    y3  y1  2



 m2

 x3  x2 



 x3  x2    y3  y2  2





 y3  y2   x3  x2    y3  y2  2



กาหนดให้ x1  u1

x1  u2

y1  u3

y1  u4

x2  u5

x2  u6

y2  u7

y 2  u8

x3  u9

x3  u10

y3  u11

y3  u12

ดังนั้น สมการ (2.17 - 2.22) สามารถแปลงเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 เพื่อนาไปใช้ แก้ปัญหาโดยวิธีการคานวณเชิงตัวเลข Runge – Kutta method ได้ดังนี้ (2.23)

u1  u2   u2  G  m2   



 u1  u5   u1  u5    u3  u7  2



 m3



 u1  u9   u1  u9    u3  u11  2

   3   



(2.24)

(2.25)

u3  u4   u4  G  m2   



 u3  u7   u1  u5    u3  u7  2



 m3

 u3  u11 



 u1  u9    u3  u11  2

   3   



(2.27)

u5  u6   u6  G  m3   



 u5  u9   u5  u9    u7  u11  2



 m1



 u5  u1   u5  u1    u7  u3  2



   3   



 u7  u11   u5  u9    u7  u11  2



 m1



 u7  u3   u5  u1    u7  u3  2



   3   



 u9  u1   u9  u1    u11  u3  2



 m2



 u9  u5   u9  u5    u11  u7  2



   (2.32) 3   

(2.33)

u11  u12

  u12  G  m1   

(2.30) (2.31)

u9  u10   u10  G  m1   

(2.28) (2.29)

u7  u8   u8  G  m3   

(2.26)



 u11  u3   u9  u1    u11  u3  2



 m2



 u11  u7   u9  u5    u11  u7  2



   (2.34) 3   

บทที่ 3 ทฤษฎีการคานวณเชิงตัวเลข การแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญสามารถแก้ได้หลายวิธี ในการศึกษาครั้งนี้จะใช้วิธี Runge Kutta

3.1 วิธีของ Runge - Kutta จัดได้ว่าเป็นวิธีที่ได้รับความนิยมและใช้กันอย่างกว้างขวางโดยเฉพาะในการคานวณที่ต้องการ หาผลเฉลยของสมการ dy  f ( x, y ) dx

(3.1)

เราสามารถประมาณได้เป็น yi 1  yi  f ( x, y ) h

yi 1  yi  f ( x, y)h

(3.2)

โดยวิธีการของ Runge - Kutta เราจะประมาณด้วย yi 1  yi    x i , yi , h  h

(3.3)

โดย   xi , yi , h  เรียกว่าฟังก์ชันส่วนเพิ่ม (increment function) ซึ่งมีความหมายของ ความชันเฉลี่ยตลอดขนาดช่วงความกว้าง

ฟังก์ชันส่วนเพิ่มนี้สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบโดยทั่วไป

ได้ ดังนี้   a1k1  a2 k2  a3k3  an kn

(3.4)

โดย ai

; i  1, 2,3,, n

เป็นค่าคงที่และ

k1  f ( xi , yi )

(3.4a)

k2  f ( xi  p1h, yi  q11k1h)

(3.4b)

k3  f ( xi  p2 h, yi  q21k1h  q22 k2 h)

(3.4c)

⋮

⋮ (3.4n)

kn  f ( xi  pn1h, yi  qn1,1k1h  qn1,2 k2 h  qn1,n1kn1h)

โดย

แทนอันดับที่ของวิธี Runge-Kutta ที่เลือกใช้ เช่น เมื่อ

Runge-Kutta อันดับหนึ่ง ในทานองเดียวกันที่ ค่า

ki , i  1, 2,3,, n

กาหนดมาให้ ในส่วนของค่า

n2

n  1 เราจะเรียกว่า

วิธี

เป็นวิธี Runge-Kutta อันดับสองเป็นต้น

ในสมการ ( 3.3) ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ และ

ต่างๆนั้นเป็นค่าคงที่ซึ่งเราจะศึกษาขั้นตอนในการหาค่า

เหล่านี้ต่อไป

3.2 Runge - Kutta method อันดับ 4 (fourth - order Runge- Kutta method) Fourth - Order Runge - Kutta method ถูกจัดว่าเป็นวิธีที่ได้รับความนิยมใช้กันอย่าง แพร่หลาย การดัดแปลงสมการ ( 3.3) - (3.4) ที่อยู่ในรูปแบบทั่วไปโดยใช้

= 4 ทาให้เกิด Fourth -

Order Runge - Kutta method ซึ่งให้ค่าความผิดพลาดในรูปแบบของความกว้างช่วงอันดับสี่ O( h 4 )

ลักษณะของผลลัพธ์ที่มีความเที่ยงตรงสูงนี้ทาให้วิธีการนี้ถูกนาไปประยุกต์กับงานการคานวณ

ในหลายๆด้าน โดยเฉพาะในงานวิจัยค้นคว้าที่ต้องการความเที่ยงตรงสูง รูปแบบของ Fourth - Order Runge - Kutta method ที่ใช้กันโดยทั่วไปคือ h  yi 1  yi    k1  2k2  2k3  k4   6 

(3.5)

โดย k1  f ( xi , yi )

(3.5a)

1 1 k2  f ( xi  h, yi  k1h) 2 2

(3.5b)

1 1 k3  f ( xi  h, yi  k2 h) 2 2

(3.5c)

k4  f ( xi  h, yi  k3 h)

(3.5d)

บทที่ 4 การคานวณเชิงตัวเลข ในบทที่ 4 เราแสดงการคานวณเชิงตัวเลขโดยวิธี Fourth - Order Runge - Kutta กับ สมการ (2.23-2.34) โดยศึกษาตามกรณีดังต่อไปนี้ กรณีที่ 1 การจาลองวงโคจรของ โลก ดวงจันทร์ ดาวเทียม กรณีที่ 2 การจาลองวงโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง กรณีที่ 3 การจาลองวงโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง กรณีดาวหางมีมวลมากขึ้น กรณีที่ 4 การจาลองวงโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง กรณีดาวหางโคจรจากจุดเริ่มต้นที่ ไกลจากระบบของดวงอาทิตย์ โลก กรณีที่ 1 การจาลองวงโคจรของ โลก ดวงจันทร์ ดาวเทียม y

ดาวเทียม

(0,0)

(3.8×108 ,0)

(7.987×106 , 0)

x ดวงจันทร์

โลก

ภาพที่ 4-1 แสดงตาแหน่งของโลก ดวงจันทร์ และดาวเทียม 21

เมื่อกาหนดให้ มวลโลก

(หน่วยเป็นกิโลกรัม)

(m1 )  5.975 1024

มวลดวงจันทร์  m2   7.3477 1022 มวลดาวเทียม

 m3   5 103

 x  0 , y  0 แทนตาแหน่งเริ่มต้นของโลก 1

(หน่วยเป็นกิโลกรัม) (หน่วยเป็นกิโลกรัม) (หน่วยเป็นเมตร)

 (0, 0)

 x  0 , y  0 แทนตาแหน่งเริ่มต้นของดวงจันทร์  (3.8 10 ,0)

(หน่วยเป็นเมตร)

 x  0 , y  0 แทนตาแหน่งของดาวเทียม

 (7.987 106 ,0)

 x  0 , y  0 แทนความเร็วของโลก

 (0,0)

(หน่วยเป็นเมตร/วินาที)

 x  0 , y  0 แทนความเร็วของดวงจันทร์

 (1,1000)

(หน่วยเป็นเมตร/วินาที)

 x  0 , y  0 แทนความเร็วของดาวเทียม

 (1, 7060)

(หน่วยเป็นเมตร/วินาที)

(หน่วยเป็นเมตร)

จากข้อมูลข้างต้น นาไปคานวณโดยใช้โปรแกรม MATLAB โดยกาหนดให้ F  i   ui  t  , y  i   ui  t  และ x  t ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นไปตามตารางที่ 1 และกราฟแสดงวงโคจรของโลก ดวงจันทร์ ดาวเทียม

ดาวเทียม

ตาราง 4-1 แสดงผลการคานวณในกรณีที่ 1 การโคจรของ โลก ดวงจันทร์

 m

ภาพที่ 4-2 แสดงการโคจรของโลก y2

 m

ภาพ 4-3 ภาพแสดงการโคจรของดวงจันทร์ โดยจะเห็นว่าวงโคจรของดวงจันทร์ไม่กลับมาซ้าที่จุดเดิม เนื่องมาจากแรงดึงดูดระหว่างมวลและการเคลื่อนที่รวมของระบบ

 m

ภาพที่ 4-4 ภาพแสดงการโคจรของดาวเทียม โดยมีการโคจรเหมือนกับดวงจันทร์แต่ในแต่ละรอบของ วงโคจรจะใช้เวลาน้อยกว่าดวงจันทร์ จึงทาให้ในช่วงเวลาเดียวกันสามารถเห็นรอบได้มากกว่า y

 m y1

 m ภาพที่ 4-5 ภาพแสดงการโคจรระหว่างโลก กับดาวเทียม 25

 m y1

 m

ภาพที่ 4-6 ภาพแสดงการโคจร ของโลก ดวงจันทร์ และดาวเทียม เนื่องจากดาวเทียมมี ระยะห่างจากโลกน้อยทาให้การโคจรอยู่ในระยะที่ใกล้โลกมากๆทาให้มองไม่เห็นการโคจรของโลก ส่วนดวงจันทร์มีระยะห่างจากโลกมากกว่าดาวเทียม จึงสามารถเห็นวงโคจรของดวงจันทร์ได้ชัดเจน

กรณีที่ 2 การจาลองวงโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง y

(1.49×1011 ,0)

(6.9×1010 , 0)

(0,0)

ดาวหาง

โลก

ดวงอาทิตย์

ภาพที่ 4-7 แสดงตาแหน่งของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง เมื่อกาหนด มวลดวงอาทิตย์

(m1 )  1.988 1030

(หน่วยเป็นกิโลกรัม)

มวลโลก

 m2   5.9736 1024

(หน่วยเป็นกิโลกรัม)

มวลดาวหาง

 m3   1.374 1010

(หน่วยเป็นกิโลกรัม)

 x  0 , y  0 แทนตาแหน่งเริ่มต้นของดวงอาทิตย์

 (0, 0)

 x  0 , y  0 แทนตาแหน่งเริ่มต้นของโลก

 (1.49 1011 ,0) (หน่วยเป็นเมตร)

 x  0 , y  0 แทนตาแหน่งเริ่มต้นของดาวหาง

 (6.9 1010 ,0) (หน่วยเป็นเมตร)

 x  0 , y  0 แทนความเร็วของดวงอาทิตย์

 (0, 0)

(หน่วยเป็นเมตร)

(หน่วยเป็นเมตร/วินาที)

 x  0 , y  0 แทนความเร็วของโลก

 (1,30000)

(หน่วยเป็นเมตร/วินาที)

 x  0 , y  0 แทนความเร็วของดาวหาง

 (1,60000)

(หน่วยเป็นเมตร/วินาที)

ดาวเทียม

ตาราง 4-2 แสดงผลการคานวณในกรณีที่ 2 การโคจรของ ดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง

 m

 m ภาพที่ 4-8 กราฟแสดงการโคจรของดวงอาทิตย์ y2

 m

ภาพที่ 4-9 กราฟแสดงการโคจรของโลก โดยจะเห็นว่าโลกมีวงโคจรที่ไม่กลับมาซ้าที่จุดเดิม เนื่องมาจากแรงดึงดูดระหว่างมวลและการเคลื่อนที่รวมของระบบ

 m

ภาพที่ 4-10 กราฟแสดงการโคจรของดาวหาง โดยจะเห็นว่าดาวหางมีวง

 m y

โคจรที่ไม่กลับมาซ้าที่จุดเดิม เนื่องมาจากแรงดึงดูดระหว่างมวลและการเคลื่อนที่รวมของระบบ y

 m

ภาพที่ 4-11 กราฟแสดงการโคจรของ ดวงอาทิตย์ โลก และดาวหาง เนื่องจากดวงอาทิตย์ มีมวลมาก จึงทาให้เคลื่อนที่น้อยมากทาให้เห็นเป็นจุด และการที่ดาวหางมีมวลน้อยทาให้ผลกระทบสังเกตจาก กราฟได้ไม่ชัดเจน 30

กรณีที่ 3 การจาลองวงโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง กรณีดาวหางมีมวลมากขึ้น

(6.9×1010 , 0)

(0,0)

(1.49×1011 ,0)

ดาวหาง

โลก

ดวงอาทิตย์

ภาพที่ 4-12 แสดงตาแหน่งของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง เมื่อกาหนด มวลดวงอาทิตย์

(m1 )  1.988 1030

(หน่วยเป็นกิโลกรัม)

มวลโลก

 m2   5.9736 1024

(หน่วยเป็นกิโลกรัม)

มวลดาวหาง

 m3   9 1023

(หน่วยเป็นกิโลกรัม)

 x  0 , y  0 แทนตาแหน่งเริ่มต้นของดวงอาทิตย์

 (0, 0)

 x  0 , y  0 แทนตาแหน่งเริ่มต้นของโลก

 (1.49 1011 ,0) (หน่วยเป็นเมตร)

 x  0 , y  0 แทนตาแหน่งเริ่มต้นของดาวหาง

 (6.9 1010 ,0)

 x  0 , y  0 แทนความเร็วของดวงอาทิตย์

 (0, 0)

(หน่วยเป็นเมตร/วินาที)

 x  0 , y  0 แทนความเร็วของโลก

 (1,30000)

(หน่วยเป็นเมตร/วินาที)

 x  0 , y  0 แทนความเร็วของดาวหาง

 (1,60000)

(หน่วยเป็นเมตร)

(หน่วยเป็นเมตร/วินาที)

ดาวเทียม

ตาราง 4-3 แสดงผลการคานวณในกรณีที่ 3 การโคจรของ ดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง

 m

ภาพที่ 4-13 กราฟแสดงการโคจรของดวงอาทิตย์ จะเห็นได้ว่า เมื่อวัตถุชิ้นที่ 3 มีขนาดใหญ่ขึ้นจะทา ให้วงโคจรของวัตถุชิ้นที่ 1 (ดวงอาทิตย์) เปลี่ยนไปจากเดิม y2

 m

x2 y1

ภาพที่ 4-14 กราฟแสดงการโคจรของโลก มีลักษณะเช่นเดียวกับภาพ 4-9 33

 m

ภาพที่ 4-15 กราฟแสดงการโคจรของดาวหางมีลักษณะเช่นเดียวกับภาพ 4-10 y

 m

 m y1

ภาพที่ 4-16 กราฟแสดงการโคจรของ ดวงอาทิตย์ โลก และดาวหาง ในภาพขยายจะเห็นว่าวงโคจร ของดวงอาทิตย์เปลี่ยนไป และวงโคจรของโลกและดาวหางต่างจากกรณีที่ 2 ซึ่งมวลของดาวหางมีค่า น้อยกว่า

กรณีที่ 4 การจาลองวงโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง กรณีดาวหางโคจรจากจุดเริ่มต้นที่ไกล จากระบบของดวงอาทิตย์ โลก

(1.49×1011 ,0)

(0,0)

โลก ดวงอาทิตย์

 -4.108×10

,-1.2348×1013 

ดาวหาง

ภาพที่ 4-17 แสดงตาแหน่งของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง กรณีดาวหางโคจรจากจุดเริ่มต้นที่ไกลจาก ระบบของดวงอาทิตย์ โลก กรณีนี้เราจาลองกรณีที่จุดเริ่มต้นเราให้ดาวหางอยู่ไกลจากระบบของดวงอาทิตย์ โลก และ โคจรเข้าใกล้โลก จะสร้างกราฟได้ดังภาพ 4-18

 m y1

ภาพที่ 4-18 แสดงการโคจรของดวงอาทิตย์ โลก ดาวหาง กรณีดาวหางโคจรจากจุดเริ่มต้นที่ไกลจาก ระบบของดวงอาทิตย์ โลก

บทที่ 5 ผลการดาเนินงานและข้อเสนอแนะ 5.1 สรุปผลโครงงาน จากการที่เราได้ศึกษาวงโคจรของวัตถุ 3 ชิ้นที่จากัดอยู่บนระนาบจะพบว่า เมื่อมีวัตถุชิ้นที่ 3 เข้ามารบกวนในระบบ การเปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับขนาดและความเร็วของวัตถุชิ้นที่ 3 หากวัตถุมีขนาด ใหญ่และมีความเร็วสูงจะก่อให้เกิดการแปรปรวนในการโคจรของระบบ ดังที่เราศึกษาในกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 วัตถุชิ้นที่ 3 มีขนาดเล็กแต่ก็ทาให้พบว่าวงโคจรของ ระบบมีการเคลื่อนที่เป็นวงโดยไม่กลับมาซ้าที่จุดเริ่มต้น และในกรณีที่ 3 เมื่อเทียบกับกรณีที่ 2 วัตถุชิ้น ที่ 3 มีขนาดใหญ่ขึ้นจะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าวงโคจรของดวงอาทิตย์ และโลกเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม ในกรณีที่ 4 วัตถุชิ้นที่ 3 โคจรเข้ามาใกล้โลกจะเห็นว่า เมื่อวัตถุชิ้นที่ 3 โคจรผ่านไปเส้นทางการโคจร ของโลกรอบดวงอาทิตย์จะเกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างชัดเจน ซึ่งอาจส่งผลต่อฤดูกาลของโลก

5.2 ปัญหาและข้อเสนอแนะ ในการจัดทาโครงงานฉบับนี้ผู้จัดทาโครงงานได้ประสบปัญหาด้านต่างๆ ซึ่งเกิดจากการขาด ทักษะในการเขียนโปรแกรม MATLAB จาลองการโคจรของวัตถุ 3 ชิ้น จึงต้องมีการศึกษาการใช้ โปรแกรมเพิ่มเติมเข้าไป เพื่อให้สมบูรณ์มากที่สุด และปัญหาการขาดข้อมูลมวลของวัตถุที่แท้จริงของ ดาวหางกับดาวเคราะห์น้อย จึงต้องใช้ค่าประมาณในการคานวณ ข้อเสนอแนะของผู้ที่จะทาโครงงานนี้ ต่อไป สามารถนาความรู้ที่ได้ไปประยุกต์ใช้การจาลองแบบ 3 มิติ หรือการจาลองวงโคจรของวัตถุที่ มากกว่า 3 ชิ้นได้ สาหรับการประมาณวงโคจรที่ต้องใช้ระยะเวลานาน ผู้ที่จะศึกษาต่อจะต้องศึกษา วิธีการทางตัวเลขที่ให้ค่าความผิดพลาดในอันดับสูงขึ้น

บรรณานุกรม [1] Mauri Valtonen and Hannu Karttunen,The Three-Body Problem,Cambridge University.USA,2005 [2] Jaan Kiusalaas,Numerical Methods in Engineering with Matlab. Cambridge University.USA,2005 [3] โก นางาชาวา ,หนังสือกลศาสตร์ท้องฟ้าเบื้องต้น.พิมพ์ครั้งที่ 1.กรุงเทพฯ:สานักพิมพ์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย,2534 [4] ปราโมทย์ เดชะอาไพ ,หนังสือระเบียบวิธีเชิงตัวเลขในงานวิศวกรรม.พิมพ์ครั้งที่ 5. กรุงเทพฯ:สานักพิมพ์จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย,2549 [5] ลาเจียก ปิยะนุช ,หนังสือดาราศาสตร์ เอกสารประกอบการสอน.กรุงเทพฯ:สานักพิมพ์ การศาสนา กรมการศาสนา,2532

ภาคผนวก จากบทที่ 3 สามารถคานวณผลลัพธ์โดยโปรแกรมMATLAB และผลลัพธ์ที่ได้จะแสดงอยู่ในบท ที่ 4 ในการคานวณโดยโปรแกรม MATLAB มีขั้นตอนดังนี้ กรณีที่ 1 ขั้นตอนที่ 1 สร้างฟังก์ชัน M-file สาหรับสมการที่ (2.23 - 2.34) โดยกาหนดให้ F  i   ui  t  , y  i   ui  t 

และ

xt

โดยที่ i  1, 2,3,,12 ดังนั้น จะได้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับ 1

ทั้งหมด 12 สมการ และกาหนด มวลโลก

m1  5.975  1024 kg

มวลดวงจันทร์

m2  7.3477  1022 kg

มวลดาวเทียม

m3  5  103 kg

ค่าแรงโน้มถ่วงสากล

G  6.673  1011 Nm2 / kg 2

จากข้อมูลข้างต้นสามารถสร้างฟังก์ชันในการเขียนโปรแกรม MATLAB ได้เป็น

function F = pro1(x,y) m1 = 5.975e24; m2 = 7.3477e22; m3 = 5e3; G = 6.672e-11; F = zeros(1,12); F(1) = y(2); F(2) = -G*(m2*(y(1)-y(5))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(1)-y(9))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3)); F(3) = y(4); F(4) = -G*(m2*(y(3)-y(7))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(3)-y(11))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3)); F(5) = y(6); F(6) = -G*(m3*(y(5)-y(9))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(5)-y(1))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3)); F(7) = y(8); F(8) = -G*(m3*(y(7)-y(11))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(7)-y(3))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3)); F(9) = y(10); F(10) = -G*(m1*(y(9)-y(1))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(9)-y(5))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)-y(7))^2))^3)); F(11) = y(12); F(12) = -G*(m1*(y(11)-y(3))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(11)-y(7))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)y(7))^2))^3));

ภาพที่ 6-1 แสดงไฟล์ฟังก์ชันสมการที่ (2.24 - 2.35)

ขั้นตอนที่ 2 โดยวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในครั้งนี้จะใช้วิธี Fourth-Order Runge- Kutta ซึง่ ฟังก์ชัน Fourth -Order Runge- Kutta method สามารถเขียนได้ดังนี้

function [xSol,ySol] = runKut4(dEqs,x,y,xStop,h) % 4th-order Runge-Kutta integration. % USAGE: [xSol,ySol] = runKut4(dEqs,x,y,xStop,h) % INPUT: % dEqs = handle of function that specifies the %

1st-order differential equations

F(x,y) = [dy1/dx dy2/dx dy3/dx ...].

% x,y = initial values; y must be row vector. % xStop = terminal value of x. %h

= increment of x used in integration.

% OUTPUT: % xSol = x-values at which solution is computed. % ySol = values of y corresponding to the x-values.

if size(y,1) > 1 ; y = y'; end % y must be row vector xSol = zeros(2,1); ySol = zeros(2,length(y)); xSol(1) = x; ySol(1,:) = y; i = 1; while x < xStop i = i + 1; h = min(h,xStop - x); K1 = h*feval(dEqs,x,y); K2 = h*feval(dEqs,x + h/2,y + K1/2); K3 = h*feval(dEqs,x + h/2,y + K2/2); K4 = h*feval(dEqs,x+h,y + K3); y = y + (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)/6; x = x + h; xSol(i) = x; ySol(i,:) = y; % Store current soln. end 42

ภาพที่ 6-2 แสดงไฟล์ฟังก์ชัน Fourth-Order Runge- Kutta method สาหรับแก้ปัญหาสมการเชิง อนุพันธ์สามัญ

ขั้นตอนที่ 3 สร้างโปรแกรมที่ใช้ในการแสดงผลให้ออกมาในรูปแบบของตาราง โดยได้ใช้ฟังก์ชัน printSol เข้ามาช่วยในการแสดงผล function printSol(xSol,ySol,freq) % Prints xSol and ySoln arrays in tabular format. % USAGE: printSol(xSol,ySol,freq) % freq = printout frequency (prints every freq-th %

line of xSol and ySol).

[m,n] = size(ySol); if freq == 0;freq = m; end head = '

x';

for i = 1:n 43

head = strcat(head,'

y',num2str(i));

end fprintf(head); fprintf('\n') for i = 1:freq:m fprintf('%14.4e',xSol(i),ySol(i,:)); fprintf('\n') end if i ~= m; fprintf('%14.4e',xSol(m),ySol(m,:)); end

ภาพที่ 6-3 แสดงไฟล์ฟังก์ชัน printSol สาหรับแสดงค่าที่คานวณได้

ขั้นตอนที่ 4 การเรียกใช้และการสร้างกราฟ เราต้องใส่ค่าเริ่มต้น โดยที่ x

คือเวลาเริ่มต้น = 0

y   x1  0 x1  0  y1  0  y1  0  x2  0  x2  0  y2  0  y2  0  x3  0  x3  0  y  0 0 0 0 3.8 108 xStop

1 0 1000 7.986 106 1 0  7060

คือเวลาที่ใช้ในการโคจรสูงสุด = 3000000 44

y3  0 y3  0 

คือ ค่าความถี่ของเวลาที่ใช้ในการคานวณ = 50

freq

คือ ค่าความถี่ที่จะแสดงผลใน Command Window = 1

โดยสามารถเขียนการเรียกใช้โปรแกรมได้ดังนี้

%run program clc; clear all; x = 0; y = [0 0 0 0 3.8e8 -1 0 1000 7.987e6 1 0 -7060]; xStop = 1000000; h = 50; freq = 1; [xSol,ySol] = runKut4(@pro1,x,y,xStop,h); printSol(xSol,ySol,freq); %plot graph figure(1) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'red') figure(2) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'blue') figure(3) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'green') figure(4) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'red',ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'blu e',ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'green')

figure(5) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'red',ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'gre en')

ภาพที่ 6-4 แสดงการเรียกใช้ และการสร้างกราฟ ในกรณีที่ 1

ภาพที่ 6-5 ผลที่ได้จากการแสดงการเรียกใช้และการสร้างกราฟในกรณีที่ 1

กรณีท2ี่ มีขั้นตอนในการคานวณเหมือนกับ กรณีที่ 1 แต่จะเปลี่ยนมวลเป็น มวลดวงอาทิตย์

m1  1.988  1030 kg

มวลโลก

m2  5.9736  1024 kg

มวลดาวหาง

m3  1.374  1010 kg

ค่าแรงโน้มถ่วงสากล G  6.673 10-11 Nm2 / kg 2

function F = pro2(x,y) % Differential eqs. m1 = 1.98892e30; m2 = 5.9736e24; m3 = 1.37e10; G = 6.672e-11; F = zeros(1,12); F(1) = y(2); F(2) = -G*(m2*(y(1)-y(5))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(1)-y(9))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3)); F(3) = y(4); F(4) = -G*(m2*(y(3)-y(7))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(3)-y(11))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3)); F(5) = y(6); F(6) = -G*(m3*(y(5)-y(9))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(5)-y(1))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3)); F(7) = y(8); F(8) = -G*(m3*(y(7)-y(11))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(7)-y(3))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3)); F(9) = y(10); F(10) = -G*(m1*(y(9)-y(1))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(9)-y(5))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)-y(7))^2))^3)); 47

F(11) = y(12); F(12) = -G*(m1*(y(11)-y(3))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(11)-y(7))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)y(7))^2))^3));

ภาพที่ 6-6 แสดงไฟล์ฟังก์ชันในกรณีที่2

และเปลี่ยนค่าเริ่มต้น เป็น x

คือเวลาเริ่มต้น = 0

y   x1  0 x1  0  y1  0  y1  0  x2  0  x2  0  y2  0  y2  0  x3  0  x3  0  y  0 0 0 0 1.49 1011 xStop

1 0 30000 6.9 1010 -1 0 60000

คือเวลาที่ใช้ในการโคจรสูงสุด = 320000000

คือ ค่าความถี่ของเวลาที่ใช้ในการคานวณ = 500000

freq

คือ ค่าความถี่ที่จะแสดงผลใน Command Window = 1

y3  0 y3  0 

%run program clc; clear all;

x = 0; y = [0 0 0 0 1.49e11 -1 0 30000 6.9e10 -1 0 60000]; xStop = 320000000; h = 500000; freq = 1; [xSol,ySol] = runKut4(@pro2,x,y,xStop,h); printSol(xSol,ySol,freq);

%plot graph

figure(1) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue') figure(2) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'green') figure(3) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'red')

figure(4) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue',ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'green',ySol(1:(xStop /h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'red')

ภาพที่ 6-7 แสดงการเรียกใช้และการสร้างกราฟในกรณีที่ 2

ภาพที่ 6-8 ผลที่ได้จากการแสดงการเรียกใช้และการสร้างกราฟในกรณีที่ 2

กรณีท3ี่ มีขั้นตอนในการคานวณเหมือนกับ กรณีที่ 1 แต่จะเปลี่ยนมวลเป็น มวลดวงอาทิตย์

m1  1.988  1030 kg

มวลโลก

m2  5.9736  1024 kg

มวลดาวหาง

m3  9  1023 kg

ค่าแรงโน้มถ่วงสากล

G  6.673  1011 Nm2 / kg 2

function F = pro3(x,y) % Differential eqs. m1 = 1.98892e30; m2 = 5.9736e24; m3 = 9e23; G = 6.672e-11; F = zeros(1,12); F(1) = y(2); F(2) = -G*(m2*(y(1)-y(5))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(1)-y(9))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3)); F(3) = y(4); F(4) = -G*(m2*(y(3)-y(7))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(3)-y(11))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3)); F(5) = y(6); F(6) = -G*(m3*(y(5)-y(9))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(5)-y(1))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3)); F(7) = y(8); F(8) = -G*(m3*(y(7)-y(11))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(7)-y(3))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3));

F(9) = y(10); F(10) = -G*(m1*(y(9)-y(1))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(9)-y(5))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)-y(7))^2))^3)); F(11) = y(12); F(12) = -G*(m1*(y(11)-y(3))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(11)-y(7))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)y(7))^2))^3));

ภาพที่ 6-9 แสดงไฟล์ฟังก์ชันในกรณีที่3 กาหนดให้ค่าเริ่มต้น เป็น x

คือเวลาเริ่มต้น = 0

y   x1  0 x1  0  y1  0  y1  0  x2  0  x2  0  y2  0  y2  0  x3  0  x3  0  y  0 0 0 0 1.49 1011 xStop

1 0 30000 6.9 1010 -1 0 60000

คือเวลาที่ใช้ในการโคจรสูงสุด = 320000000

คือ ค่าความถี่ของเวลาที่ใช้ในการคานวณ = 500000

freq

คือ ค่าความถี่ที่จะแสดงผลใน Command Window = 1

y3  0 y3  0 

%run program clc; clear all; x = 0; y = [0 0 0 0 1.49e11 -1 0 30000 6.9e10 -1 0 60000]; xStop = 320000000; h = 500000; freq = 1; [xSol,ySol] = runKut4(@pro3,x,y,xStop,h); printSol(xSol,ySol,freq); %plot graph figure(1) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue') figure(2) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'green') figure(3) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'red') figure(4) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue',ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'gre en',ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'red') figure(5) plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue',ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'gre en')

ภาพที่ 6-10 แสดงการเรียกใช้และการสร้างกราฟในกรณีที่ 3

ภาพที่ 6-11 ผลที่ได้จากการแสดงการเรียกใช้และการสร้างกราฟในกรณีที่ 3 กรณีที่ 4 มีขั้นตอนในการคานวณเหมือนกับ กรณีที่ 2 แต่เปลี่ยนให้จุดเริ่มต้นของดาวหางอยู่ไกลจาก ระบบของดวงอาทิตย์ และโลก