การวิเคราะหการไหลของการจราจรโดยตัวแบบรถที่ขับตามกันที่มีดีเลย Analysis of Traffic Flow through the Car-Following Models with a Time Delay
นายสัชฌุกร นายอรรถพล นายอรรถสิทธิ์
เดือนนวล พันธุเภา สาหรับ
โครงงานนี้เปนสวนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตรประยุกต ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือ ปการศึกษา 2554 ลิขสิทธิ์ของภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือ
ชื่อโครงงาน
: การวิ เ คราะห การไหลของการจราจรโดยตัว แบบรถที่ ขับ ตามกั น ที่ มีดี เลย (Analysis of Traffic Flow through the Car-Following Models with a Time Delays) โดย : นายสัชฌุกร เดือนนวล นายอรรถพล พันธุเภา นายอรรถสิทธิ์ สาหรับ สาขาวิชา : คณิตศาสตรประยุกต ภาควิชา : คณิตศาสตร คณะ : วิทยาศาสตรประยุกต อาจารยที่ปรึกษา : อาจารย ดร.เอกชัย คุณวุฒิปรีชาชาญ อาจารยที่ปรึกษารวม : อาจารย ผศ.พงษศักดิ์ วิสูตรกาญจนชัย ปการศึกษา : 2554
ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนืออนุมัติใหโครงการนี้เปนสวนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตรประยุกต
อาจารยที่ปรึกษา (อาจารย ดร.เอกชัย คุณวุฒิปรีชาชาญ) อาจารยที่ปรึกษารวม (ผศ.พงษศักดิ์ วิสูตรกาญจนชัย) กรรมการ (อาจารย ดร.คมสันต เนียมเปรม) 0
กรรมการ (อาจารย สันติพงษ ประสาททอง) 1
บทคัดยอ โครงงานนี้ ไ ด นํ า เสนอตั ว แบบทางคณิ ต ศาสตร ข องตั ว แบบสํ า หรั บ ป ญ หาการไหลของ การจราจร ซึ่งเปนตัวแบบที่อยูในรูปแบบสมการเชิงอนุพันธสามัญและสมการเชิงอนุพันธดีเลย โดยมี วัตถุประสงคคือการวิเคราะหความเสถียรของสมการการเคลื่อนที่ของรถที่ขับตามกันของเนเวลลใน หนึ่งชองทาง ซึ่งในขั้นตอนการวิเคราะหนั้นเราใชวิธีการแปลงใหอยูในรูปแบบเชิงเสนเพื่อหาเงื่อนไข ของพารามิเตอรที่ทําใหจุดสมดุลของสมการที่ศึกษานั้นมีความเสถียร จากผลการวิเคราะหเราได เงื่อนไขเพียงพอที่ทําใหจุดสมดุลของสมการมีความเสถียรทั้งในกรณีที่ไมมีดีเลยและในกรณีที่มีดีเลย เขามาเกี่ยวของ และยังทําใหทราบวาดีเลยมีผลทางพลวัตตอระบบสมการของตัวแบบรถที่ขับตามกัน
ก
Abstract In this project we study mathematical models for traffic flow problems in the form of ordinary and delay differential equations. The main purpose is to analysis the stability of the equilibrium of the Newell’s car-following model in one lane. We use linearization method to find sufficient conditions of parameter in which the model’s equilibrium becomes stable. The obtained result shows that the delay term affects dynamical behaviour of the model.
ข
กิตติกรรมประกาศ โครงงานเรื่ อ งการวิ เ คราะห ก ารไหลของการจราจรโดยตั ว แบบรถที่ ขั บ ตามกั น ที่ มี ดี เ ลย (Analysis of Traffic Flow through the Car-Following Models with a Time Delays) ประสบความสํ าเร็จในการจั ดทํ าจนเสร็จ สมบูรณ เนื่องมาจากการถายทอดวิชาความรู และการ สนับสนุนของอาจารย ดร.เอกชัย คุณวุฒิปรีชาชาญ ซึ่งเปนอาจารยที่ปรึกษาในการจัดทําโครงงาน ชิ้นนี้ อีกทั้งยังสละเวลาอัน มีคา เพื่อใหคําปรึกษาและแนะนําแนวทางในการแกไขปญหาตางๆที่ เกิดขึ้นในระหวางการจัดทําโครงงานมาจนกระทั่งโครงงานชิ้นนี้เสร็จสมบูรณ กลุมของขาพเจารูสึก ซาบซึ้งในความกรุณาของทานอาจารยเปนอยางยิ่ง จึงขอกราบขอบคุณอาจารยที่ใหความรู และให คําปรึกษาในการจัดทําโครงงานชิ้นนี้ กลุ ม ของข า พเจ า ขอกราบขอบพระคุ ณ คณาจารย และบุ ค คลากรทุ ก ท า นในภาควิ ช า คณิตศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือที่ไดใหวิชาความรู อบรมสั่งสอน คําแนะนําที่เปนประโยชน และการชวยเหลือเกื้อกูลในดานตาง ๆ แกขาพเจา ทั้งนี้หากเนื้อหาภายในโครงงานมีขอบกพรองประการใด ขาพเจาตองกราบขออภัยไว ณ ที่นี้ ดวย พรอมทั้งขอรับคําติชมเพื่อนําไปเพิ่มเติมประสบการณในการทํางานในอนาคตตอไป
นาย สัชฌุกร เดือนนวล นาย อรรถพล พันธุเภา นาย อรรถสิทธิ์ สาหรับ
ค
สารบัญ หนา บทคัดยอภาษาไทย
ก
บทคัดยอภาษาอังกฤษ
ข
กิตติกรรมประกาศ
ค
สารบัญตาราง
ฉ
สารบัญภาพ
ช
บทที่ 1 บทนํา
1
1.1 ความเปนมาและความสําคัญของปญหา
1
1.2 วัตถุประสงคของโครงงาน
3
1.3 ขอบเขตของการดําเนินงาน
3
1.4 ระเบียบวิธีการดําเนินงาน
4
1.5 ประโยชนที่ไดรับจากโครงงาน
4
บทที่ 2 ความรูพื้นฐานและทฤษฏีบทพื้นฐานที่เกี่ยวของ
6
2.1 บทนํา
6
2.2 ตัวแบบการไหลของกระแสจราจรมหภาค
7
2.2.1 หลักการอนุรักษของยานพาหนะ
7
2.2.2 ความสัมพันธการจราจรของอัตราเร็วกับความหนาแนน
10
2.2.3 ความสัมพันธการไหลของกระแสจราจรกับความหนาแนนของ กระแสจราจร
12
2.3 ตัวแบบการไหลของกระแสจราจรจุลภาค
14
2.4 ตัวแบบการเคลื่อนที่ตามกันของรถที่เกี่ยวของ
21
ง
สารบัญ (ตอ) หนา บทที่ 3 วิธีดําเนินการ 3.1 บทนํา
25 25
3.2 การวิเคราะหความเสถียรเชิงเสนของตัวแบบเนเวลลที่ไมมีเวลาตอบสนอง
28
3.3 การวิเคราะหความเสถียรเชิงเสนของตัวแบบเนเวลลที่มีเวลาตอบสนอง
30
บทที่ 4 ผลการดําเนินงานและขอเสนอแนะ
34
4.1 ตัวอยางของตัวแบบรถที่ขับตามกันของเนเวลลกรณีที่ไมมีดีเลย
34
4.1.1 ความเสถียรของตัวแบบเนเวลลที่ไมมีดีเลย
34
4.1.2 ตัวอยางผลจากสมการเนเวลลกรณีที่ไมมีดีเลย
36
4.2 ตัวอยางของตัวแบบรถที่ขับตามกันของเนเวลลที่มีดีเลย
41
4.3 สรุปผลการดําเนินงานและขอเสนอแนะ
45
เอกสารอางอิง
46
จ
สารบัญตาราง ตารางที่
หนา
2.1 ตัวแบบการเคลื่อนของรถแบบตาง ๆ
22
ฉ
สารบัญภาพ ภาพที่
หนา
2.1 สวนของถนนที่สนใจโดยมีความยาว x
8
2.2 กราฟแสดงความสัมพันธของความเร็วกับความหนาแนน
11
2.3 กราฟแสดงความสัมพันธของอัตราการไหลกับความหนาแนน
12
2.4 กราฟแสดงคาที่ดีที่สุดในชวงกลางขอมูลที่สังเกตความเร็วและความหนาแนน
14
2.5 รูปแบบพื้นฐานและคาตัวแปรตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับตัวแบบรถที่ขับตามกัน
16
2.6 ความสัมพันธระหวางความเร็วและความหนาแนน
18
2.7 ความสัมพันธระหวางความเร็วและความหนาแนน
19
2.8 ความสัมพันธระหวางอัตราการไหลกับความหนาแนน
20
2.9 ตัวอยางกราฟแสดงความสัมพันธของขอมูลความเร็วกับความหนาแนน
20
2.10 ตัวอยางกราฟแสดงความสัมพันธของขอมูลการไหลกับความหนาแนน
21
2.11 แสดงการเคลื่อนของรถใน 1 ชองทาง
23
3.1 ความสัมพันธระหวาง อัตราเร็ว ความหนาแนน และเวลาเปาหมายจากตัวแบบ (3.16)
30
3.2 ความสัมพันธระหวาง อัตราเร็ว ความหนาแนน และเวลาเปาหมายจากตัวแบบ (3.17)
31
4.1 ความสัมพันธระหวางคาพารามิเตอร V , และ จากสมการ (4.2)
35
4.2 ความสัมพันธระหวาง (ก) ระยะทางกับเวลา และ (ข) อัตราเร็วกับเวลา จากตัวแบบ ของเนเวลลในกรณีที่ไมมีดีเลย เมื่อกําหนดคาพารามิเตอร N 10 และ L 560
38
4.3 ความสัมพันธระหวาง (ก) ระยะทางกับเวลา และ (ข) อัตราเร็วกับเวลาจากตัวแบบ ของเนเวลลในกรณีที่มีดีเลย เมื่อกําหนดคาพารามิเตอร N 10 และ L 150
39
4.4 ความสัมพันธระหวาง (ก) ระยะทางกับเวลา และ (ข) อัตราเร็วกับเวลาจากตัวแบบ ของเนเวลลในกรณีที่มีดีเลย เมื่อกําหนดคาพารามิเตอร N 10 และ L 20
40
4.5 คําตอบ sn (t ) ซึ่งเปนฟงกชันของ t เมื่อกําหนดคา n ตาง ๆ โดยกําหนดคาของ พารามิเตอรเปน 0 5, b 1 และ 2
ช
44
บทที่ 1 บทนํา 1.1 ความเปนมาและความสําคัญของปญหา ปญหาการจราจรเปนปญหาหนึ่งที่เราจะพบเห็นอยูมากมายในชีวิตประจําวัน ซึ่งโดยทั่วไปแลว การจําลองปญหาเกี่ยวกับการไหลของการจราจร (traffic flow) หรือกระแสจราจร (traffic stream) สามารถจําแนกไดเปนสองประเภท คือ การจําลองปญหาโดยใชตัวแบบการไหลของกระแสจราจร แบบมหภาค (Macroscopic Traffic Models) และการจําลองปญหาโดยใชตัวแบบการไหลของ กระแสจราจรแบบจุลภาค (Microscopic Traffic Models) ซึ่งการพิจารณาการไหลแบบมหภาคนั้น เปนการพิจารณาความสัมพันธของตัวแปรและปจจัยตาง ๆ เปนแบบภาพรวมทั้งระบบ ในขณะที่การ พิจารณาการไหลแบบจุลภาคจะเปนการศึกษาโดยพิจารณาการเคลื่อนที่หรือการไหลของรถแตละคัน ซึ่งรายละเอียดเกี่ยวกับปญหาแบบมหภาคและจุลภาคจะไดกลาวถึงในบทตอไป ตัวแบบรถที่ขับตามกัน (car-following model) เปนตัวแบบชนิดหนึ่งของตัวแบบจุลภาค สําหรับจําลองปญหาการไหลของรถบนทองถนน โดยทั่วไปนั้นการขับขี่รถหรือยานพาหนะตามกัน เป น สิ่ ง สํ า คั ญ ที่ ส ามารถบ ง บอกการเคลื่ อ นตั ว ของยานพาหนะแต ล ะคั น โดยการเคลื่ อ นที่ ข อง ยานพาหนะแตละคันนั้นจะมีผลกระทบของยานพาหนะอื่น ๆ ที่อยูในชองทาง (lane) เดียวกัน หรือ แมแตในชองทางอื่น ๆ ในกรณีที่ถนนมีหลายชองทาง ซึ่งผลที่ไดจะสามารถนําไปสูการสรุปหรือการ จําลองสภาพการเคลื่อนตัวของการจราจรโดยรวม
2 โดยทั่วไปนั้นการสรางตัวแบบรถที่ขับตามกันนั้น สามารถทําไดโดยการศึกษาพฤติกรรมของผู ขับขี่ในการขับขี่ตามกัน ซึ่งสวนสําคัญของตัวแบบนั้นจะใชในการอธิบายการเคลื่อนตัวของการจราจร สําหรับในโครงงานนี้เราไดศึกษาพฤติกรรมของผูขับขี่ เพื่อใชอธิบายแบบจําลองการขับตามกันของผู ขับขี่รถแตละคัน โดยขึ้นอยูกับเวลาตอบสนอง (reaction time) และการตอบสนอง (sensitivity) ซึ่งตัวแบบรถที่ขับตามกันนั้นมีมากมายหลายตัวแบบ และมีผูไดวิเคราหตัวแบบตาง ๆ มาแลว โดย รายละเอียดเกี่ยวกับตัวแบบรถที่ขับตามกันนั้นจะกลาวตอไปในบทที่ 2 สําหรับในโครงงานนี้เราเลือกวิเคราะหตัวแบบรถที่ขับตามกันของเนเวลล (Newell’s carfollowing model) ซึ่งเปนตัวแบบในรูปของระบบสมการเชิงอนุพันธ โดยสมการของเนเวลลจะอยู ในรูป dx n (t ) F x n 1(t ) x n (t ) dt
เมื่อ
xn
(0.1)
แทนตําแหนงของรถคันที่ n
x n 1 แทนตําแหนงของรถคันที่ n 1 ซึ่งเปนรถคันที่อยูหนารถคันที่ n
แทนความยาวของรถ โดยในที่นี้กําหนดใหรถแตละคันมีความยาวเทากัน
F
แทนฟงกชันเปาหมายของระยะปลอดภัย (targeted safety gap function) และเวลา ตอบสนอง
สําหรับในขั้นตอนการวิเคราะหนั้น เราจะพิจารณาสมการ (0.1) ทั้งในกรณีที่ไมมีดีเลย 0 และ กรณีที่มีดีเลย 0 โดยเปาหมายหลักจะเปนการหาเงื่อนไขของความเสถียรของระบบ พรอม ยกตัวอยางประกอบปนกรณีศึกษา
3
1.2 วัตถุประสงคของโครงงาน วัตถุประสงคของโครงงานนี้คือการศึกษาและวิเคราะหเชิงพลวัต (dynamical analysis) เกี่ยวกับความเสถียรของตัวแบบรถที่ขับตามกันของเนเวลล (Newell’s car-following model) ซึ่ง อยูในรูปแบบสมการเชิงอนุพันธ โดยในที่นี้เราอาจแบงวัตถุประสงคของโครงงานออกเปนหัวขอยอย ไดดังนี้ 1.2.1 ศึกษาตัวแบบการไหลของกระแสจราจรในรูปแบบตาง ๆ เชนตัวแบบการไหลของ กระแสจราจรแบบมหภาค และตั ว แบบการไหลของกระแสจราจรแบบจุ ล ภาค สําหรับการเคลื่อนที่ของยานพาหนะบนถนน ตลอดจนศึกษาตัวแบบรถที่ขับตามกัน 1.2.2 เพื่ อ วิ เ คราะห ค วามเสถี ย รของตั ว แบบสํ า หรั บ รถที่ ขั บ ตามกั น ของเนเวลล และ ตรวจสอบหาเงื่อนไขความเสถียรของระบบ 1.2.3 อธิบายผลที่ไดจากการวิเคราะหตัวแบบเนเวลลพรอมทั้งสรุปผลการวิเคราะหโดยใช พื้นฐานทางคณิตศาสตรเกี่ยวกับการวิเคราะหเชิงพลวัตของสมการเชิงอนุพันธสามัญ และสมการเชิงอนุพันธดีเลย
1.3 ขอบเขตของการดําเนินงาน ขอบเขตของการดําเนินงานในโครงงานนี้คือ การศึกษาและเปรียบเทียบความเสถียรของตัว แบบเนเวลล ในรูปของสมการเชิงอนุพันธสามัญ และสมการเชิงอนุพันธดีเลย โดยมีขอจํากัดบาง ประการในดานการวิเคราะห ทั้งนี้เราสรุปขอบเขตของโครงงานดังตอไปนี้ 1.3.1 ตัวแบบที่ใชศึกษาเปนตัวแบบรถที่ขับตามกันสําหรับถนนในหนึ่งชองทางเทานั้น 1.3.2 วิเคราะหและเปรียบเทียบเงื่อนไขสําหรับความเสถียรของตัวแบบเนเวลล ในกรณีที่มี ดีเลยและกรณีที่ไมมีดีเลย
4 1.3.3 ในโครงงานนี้ใชวิธีแปลงใหอยูในรูปแบบเชิงเสน (linearization method) เพื่อ วิ เ คราะห ป ญ หา ดั ง นั้ น ผลสรุ ป ที่ ไ ด จ ะแสดงผลของพฤติ ก รรมเฉพาะที่ (local behaviour) เทานั้น
1.4 ระเบียบวิธีการดําเนินงาน ในการทําโครงงานนี้จุดประสงคหลักคือการศึกษาและเปรียบเทียบพลวัตของผลเฉลยสําหรับ ตัวแบบรถที่ขับตามกันของเนเวลล ในรูปของสมการเชิงอนุพันธสามัญและสมการเชิงอนุพันธดีเลย โดยมีขั้นตอนในการดําเนินงานตาง ๆ โดยเรียงลําดับขั้นตอนไดดังตอไปนี้ 1.4.1 รวบรวมข อมูล และเนื้อหาที่เกี่ย วของกับ ตัวแบบการเคลื่อนที่ของรถที่ขับตามกัน พรอมทั้งศึกษาดังกลาว 1.4.2 ศึกษาตัวแบบการไหลของกระแสจราจรแบบมหภาค และการไหลของกระแสจราจร แบบจุลภาค เพื่อพิจารณาตัวแปรและพารามิเตอรตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับตัวแบบรถที่ ขับตามกันของเนเวลล 1.4.3 วิเคราะหความเสถียรของตัวแบบเนเวลล ในกรณีที่มีดีเลยและไมมีดีเลย พรอมทั้งหา เงื่อนไขของพารามิเตอรเพื่อสรุปผลเกี่ยวกับปจจัยที่มีผลตอการไหลของระบบจราจร
1.5 ประโยชนที่ไดรับจากโครงงาน ในการทําโครงงานนี้เราไดทําการศึกษา และวิเคราะหความเสถียรของตัวแบบเนเวลล ดังนั้น เมื่อทําโครงงานนี้เสร็จแลวประโยชนที่คาดวาจะไดรับงานโครงงานนี้สรุปไดดังตอไปนี้ 1.5.1 เข า ใจตั ว แบบการไหลของกระแสจราจรในรู ป แบบต า ง ๆ รวมทั้ ง ป จ จั ย หรื อ พารามิเตอรที่มีผลตอกระแสจราจร และการไหลของจราจร
5 1.5.2 สามารถทราบเงื่อนไขหรือขอแตกตางเกี่ยวกับเงื่อนไขความเสถียรของตัวแบบรถที่ขับ ตามกันของเนเวลลในรูปแบบทีม่ ีดีเลยและไมมีดีเลย 1.5.3 สามารถใชความรูที่เราไดรับไปใชแกไขปญหาที่เกี่ยวของกับตัวแบบเนเวลลได รวมทั้ง พัฒนาหรือปรับปรุงวิธีการที่ใชในโครงงานนี้เพื่อใชประยุกตกับตัวแบบการไหลของ กระแสจราจรในรูปแบบอื่น ๆ
บทที่ 2 ความรูพื้นฐานและทฤษฎีที่เกี่ยวของ 2.1 บทนํา ในบทนี้จะอธิบายหลักการและทฤษฎีบทพื้นฐานที่แสดงความสัมพันธระหวางอัตราการไหล (flow rate) ของกระแสจราจร ความหนาแนน (density) ของกระแสจราจรและอัตราเร็ว (speed) ของกระแสจราจร โดยตัวแปรตาง ๆ เหลานี้มีความสําคัญในการวิเคราะหลักษณะของกระแสจราจร ตั ว แปรที่ เ กี่ ย วข อ งกั บ กระแสจราจรแบ ง ได เ ป น สองลั ก ษณะคื อ พารามิ เ ตอร แ บบมหภาค (macroscopic parameters) ซึ่งใชในการอธิบายพฤติกรรมของการจราจรทั้งหมดและพารามิเตอร แบบจุลภาค (microscopic parameters) ใชในการอธิบายพฤติกรรมแตละคันหรือพิจารณา ยานพาหนะเป น คู ๆ ภายใต กระแสจราจรโดยมี การตอบสนอง
(response) ประสาทสั มผั ส
(sensitivity) และตัวกระตุน (stimulus) เปนตัวแปรหลักในการวิเคราะหระบบ นอกจากนั้นยังได อธิบายถึงตัวแบบพื้นฐานตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับการขับขี่ของรถที่ขับตามกันบนถนนในหนึ่งชองทาง ซึ่งตัวแบบเหลานี้ไดอธิบายถึงพฤติกรรมของผูขับขี่ยานพาหนะผานสมการเชิงอนุพันธและสมการเชิง อนุพันธดีเลย โดยมีทั้งรูปแบบที่เปนเชิงเสนและไมเปนเชิงเสน และเนื่องจากในโครงงานนี้ไดมีตัวแปร จํานวนมากเราจึงไดสรุปตัวแปรที่สําคัญไวในบทนี้ดวย
7
2.2 ตัวแบบการไหลของกระแสจราจรมหภาค การไหล (flow) หรือกระแสการไหล (flow stream) ของยานพาหนะหรือรถยนตสามารถ จําลองไดโดยประมาณตัวแบบการไหลของการจราจรดวยลักษณะการไหลสําหรับของไหลในปญหา ทางฟสิกส ตัวอยางเชน การไหลของเลือดในเสนเลือดแดง หรือการไหลของน้ําในระบบทอน้ําในบาน ในที่ นี้เ ราตองการจํ าลองปญ หาดังกลาว โดยเชื่อมโยงกับปญ หาอัตราเร็ว และการไหลของรถใน เสนทางเดินรถในหนึ่งชองทาง โดยพิจารณาสามตัวแปรหลักที่เกี่ยวของกับการไหลของกระแสจราจร แบบมหภาค ไดแก •
อัตราการไหล (flow rate, q ) หมายถึงจํานวนยานพาหนะทั้งหมดที่แลนผานจุดใด ๆ ที่ กําหนดบนถนนในหนึ่งชั่วโมง มีหนวยเปน คันตอชั่วโมง (vehicle/hr)
•
ความหนาแนนของการไหล (flow density, ) หมายถึงความแนนของยานพาหนะ ทั้งหมดบนถนนหรื อบนชองการจราจรเดีย วกันก็ได มีหนวยเปน คัน /กิโลเมตร หรือ อาจจะใชหนวยระยะทางอื่น
•
อัตราเร็ ว ของการไหล (flow speed, v ) หมายถึงอัตราสวนระหวางระยะทางการ เดิน ทางทั้งหมดตอหนวยเวลา โดยจะเปน เวลาทั้งหมดที่พาหนะใชในการเดินทางใน ชวงหนึ่งที่กําหนดบนถนน
2.2.1 หลักอนุรักษของยานพาหนะ (conservation of cars) จากการเคลื่อนที่ของรถบนถนน ในที่นี้เราจะประยุกตใชหลักการอนุรักษในทางฟสิกสโดย เปรียบเทียบกับปญหาของการไหลของยานพาหนะบนทองถนน โดยพิจารณาการไหลของกระแส จราจรในชวงขณะหนึ่ง และจากการใชถนนของยานพาหนะในชวงขณะหนึ่ง พิจารณาระยะพิกัด x เปนระยะเวลาชวงหนึ่งของถนนที่พิจารณาโดยกําหนดให x1 x และ x 2 x x ดังภาพ
8
ภาพที่ 2.1 สวนของถนนที่สนใจโดยมีความยาว x
กําหนดให N (x, t ) เป นจํานวนของยานพาหนะบนถนนที่มีความยาว x ถาการไหล สามารถจําลองโดยใชกฎการอนุรักษ (conservative law) สําหรับจําลองการเปลี่ยนแปลงจํานวน ของยานพาหนะ N (x, t ) ในชวงเวลา t ซึ่งเทากับอัตราการไหลของกระแสจราจร q(x, t ) ซึ่ง กําหนดโดย N (x , t ) t 0 t
q(x , t ) lim
(2.1)
เมื่อ N (x, t ) แทนการเปลี่ยนของจํานวนยานพาหนะบนถนนในชวงเวลา t คํานวณอยางงายๆ จากผลต า งระหว า งจํ า นวนยานพาหนะ N (x, t ) ที่ เ ขา มาในถนน ณ ตํ า แหน ง x และจํ า นวน ยานพาหนะ N (x x, t ) ณ ตําแหนง x x, t ซึ่งเปนจํานวนรถที่ออกจากถนนในชวงที่เรา สนใจ จะไดวา N (x , t ) N (x , t ) N (x x , t )
(2.2)
โดยที่ x แทนความยาวของชวงถนนในระยะเวลาหนึ่ง และ t แทนระยะเวลาในการเคลื่อนที่ จากสมการ (2.1) เขียนสมการในรูป N (x , t ) x t 0 x t
q(x , t ) lim
(2.3)
เนื่องจากอัตราเร็ว ณ ชวงเวลา t สามารถหาไดจาก v(x , t )
x t
(2.4)
9 แทนคาใน (2.2) และ (2.4) ในสมการ (2.3) จะได N (x , t ) N (x x , t ) q(x , t ) lim v(x , t ) x 0 x
(2.5)
จากคาลิมิตของสมการ (2.5) เมื่อ x 0 หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงจํานวนรถตอความยาว ถนน ซึ่งเปนคาของความหนาแนนของกระแสจราจรบนชวงถนนที่เรากําลังสนใจ ดังนั้นเราสามารถ กําหนดความหนาแนนของกระแสจราจรโดย N (x , t ) N (x x , t ) (x , t ) lim x 0 x
(2.6)
จากสมการ (2.5) และ (2.6) ดั ง นั้ น ความสั ม พั น ธ ร ะหว า งอั ต ราการไหล ความหนาแน น และ ความเร็วของรถ คือ q(x , t ) (x , t )v(x , t )
(2.7)
การนับจํานวนยานพาหนะในระบบการจราจร N วิธีที่หนึ่งทําไดโดยนับจํานวนรถที่ผาน จุดที่กําหนดในชวงระยะเวลา t ซึ่งเปนผลที่จ ะใชคํานวณอัตราการไหล q จากความสัมพัน ธ N q t สําหรับวิธีที่สองที่จะนับจํานวนรถนั้น สามารถทําไดโดยการสมมติในชวงเวลาสั้น ๆ
เพื่ อ หาจํ า นวนยานพาหนะที่ เ คลื่ อ นที่ ด ว ยอั ต ราเร็ ว v จะได ร ะยะทาง x vt จํ า นวน ยานพาหนะที่ ผ า นระยะทางที่ กํ า หนดสามารถคํ า นวณความหนาแน น และระยะทางจาก ความสัมพันธ N x ดังนั้น จากความสัมพันธทั้งสองจะไดความสัมพันธดังตอไปนี้ q t x
(2.8)
ดังนั้นจากการสังเกตสมการ (2.7) ที่แสดงตัวแปรสําคัญ สามตัวแปรคือ q, และ v เพราะฉะนั้น สมการ (2.7) ของทุก ๆ ขอบเขตกับรูปแบบที่เพิ่มขึ้นมากมาย อยางไรก็ตามการจราจรที่อยางชัดเจน ความหนาแน น และ อั ตราเร็ ว v เปน สองตัว แปรหลักเบื้องตน ของการจราจร เพราะวา q สามารถกําหนดไดจากการไหลของกระแสจราจรโดยแทรกลงในสมการ (2.7) มากขึ้น ถากลาว
10 เกี่ ย วกั บ อั ต ราเร็ ว โดยตรงไปยั ง ความหนาแน น นั่น คื อ v v() สามารถเขี ย นความสั มพั น ธ โดยตรงระหวางอัตราการไหลของกระแสจราจรและความหนาแนน q() v()
(2.9)
จะเห็นวาอัตราการไหลของกระแสจราจรเกี่ยวของกับความหนาแนน ซึ่งเรื่องดังกลาวเปนหัวขอที่ใช อยางกวางขวางในตัวแบบการไหลของกระแสการจราจรที่จําลองจากปญหาการไหลสําหรับของไหล
2.2.2 ความสัมพันธการจราจรของอัตราเร็วกับความหนาแนน แมวาผูขับขี่จะไมมีความชํานาญ แตจากความสัมพันธของอัตราเร็วและความหนาแนนจะเห็น ไดวาผูขับขี่จะเพิ่มความเร็วเมื่อการจราจรนั้นไมมาก และจะลดความเร็วลงเมื่อการจราจรมีความ หนาแน นเพิ่ มขึ้ น ดั งนั้ นจากการสันนิ ษฐานการควบคุมความสัมพันธระหวางอัตราเร็วและความ หนาแนนไดจากฟงกชัน v v()
(2.10)
ปจ จุ บั น มี ป ญ หาที่ น าศึ กษาเพิ่ มเติ มมากขึ้น เกี่ย วกับ ความสัมพัน ธที่กําหนดเงื่อนไข โดยตองการ ประยุกตหรือกําหนดรูปแบบของฟงกชันของอัตราเร็ว v() ถากําหนดใหผูขับขี่จะขับเร็วที่สุดดวยความเร็ว vmax ซึ่งอาจเปนความเร็วที่จํากัดบนถนน ที่ขับขี่ จากความสัมพันธเชิงฟสิกสพบวาเมื่อความหนาแนนประมาณดวยคานอยที่สุด ( 0) แลวความเร็วจะมีคาลดลงเมื่อความหนาแนนเพิ่มขึ้น ความสัมพันธเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลง ของ v เปรียบเทียบ สามารถแสดงไดดังภาพ
11
ภาพที่ 2.2 กราฟแสดงความสัมพันธของอัตราเร็วกับความหนาแนน
จากภาพ พบว าในชว งทา ยนั้น อั ตราเร็ว ของการไหลของการจราจรจะลดลงเรื่อย ๆ จนกระทั่ง v 0 ซึ่งเปนจุดที่มีความหนาแนนสูงที่สุดกําหนดโดย jam จากความสัมพันธที่กําหนดดังกลาว
นั้น จะสามารถนํา ไปสรุปความสัมพันธสําคัญที่เกี่ยวกับคณิตศาสตรของฟงกชัน v() ดังสมบัติ ตอไปนี้ v() vmax
เมื่อ 0
dv 0 d v() 0
เมื่อ jam
(2.11) (2.12) (2.13)
ซึ่งความสัมพันธทั้งสามขอขางตนนั้น สามารถแสดงผลลัพธโดยกราฟ โดยทั่วไปเสนโคงที่แสดงใน ภาพที่ 2.2 เป น รู ป ทรงที่ แ น น อนของเส น โค ง แทนจํ า นวนที่ ไ ม ท ราบค า เฉพาะจุ ด ปลายและ เครื่องหมายของจุดบนความชัน
12 2.2.3 ความสัมพันธการไหลของกระแสจราจรกับความหนาแนนของกระแสจราจร จากการวิเคราะหเชิงคุณภาพของความสัมพันธอัตราเร็วกับความหนาแนน เนื่องจากในกรณีที่ ผูขับขี่ใชความเร็วสูงสุด (vmax ) จะเกิดขึ้นไดเมื่อความหนาแนนมีคานอยที่สุด v() 0 ดังนั้น จากสมการ (2.9) พบวาถา q() 0 เมื่อ 0 จะทําใหอัตราการไหลมีคาเปนศูนย ในทํานอง เดี ย วกั น การไหลของระบบจราจรมี คาช าลงเมื่อความหนาแนน เพิ่ม ขึ้น และถาความหนาแนน มี คาสูงสุดความเร็วของรถจะมีคาเปนศูนย นั่นคือ v( jam ) 0 ดังนั้นจากสมการ (2.9) เมื่ออัตรา การไหลของกระแสจราจรเปนศูนยเมื่อ q( jam ) jamv( jam ) 0 อัตราการไหลของกระแส จราจรจะตองมีคามากที่สุด (q max ) และมีคาเปนบวกเสมอสําหรับทุกคาของความหนาแนน ซึ่ง 0 jam อัตราการเปลี่ยนแปลงการไหลเทียบกับความหนาแนนของกระแสจราจรกําหนด
โดย dq() dv() v() d d
(2.14)
คําตอบที่พบโดยทั่วไปที่แสดงอยูในภาพที่ 2.3 เรียกวา แผนภาพเบื้องตนของการไหลของกระแส จราจร กับภาพที่ 2.2 ที่มีรูปรางที่ของเสนโคงซึ่งแสดงความสัมพันธระหวางอัตราการไหลและความ หนาแนน
ภาพที่ 2.3 กราฟแสดงความสัมพันธของอัตราการไหลกับความหนาแนน
13 พิจารณาตามความสัมพันธเชิงเสนระหวางอัตราเร็ว v กับความหนาแนน โดยกําหนด ความสัมพันธ ไดดังนี้ v() vmax 1 jam
(2.15)
ความสัมพันธที่เห็นไดชัดเจนของเงื่อนไขที่กําหนดโดยสมการ (2.11) - (2.13) จากนั้นเปนการหา คํานวณทางคณิตศาสตรแบบงาย ๆ พิสูจนใหเปนตัวแบบจริง เมื่อแทนลงในสมการ (2.9) ที่ให ความสัม พัน ธ ฟง ก ชั น อั ต ราการไหลของกระแสจราจรของความหนาแนน ที่ เป น ลั ก ษณะสมการ พาราโบลา 2 v() vmax jam
(2.16)
อัตราการไหลสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อ dq มีคาเทากับศูนย d
dq() 2 vmax 1 0 jam d
(2.17)
สมการ (2.17) แสดงอัตราการไหลของกระแสจราจรสูงสุดจากสมมติฐานเกิดขึ้นที่จุดกึ่งกลางของ แผนผังเบื้องตนเมื่อ
jam 2
และวัดคาจาก q max
1 v 4 jam max
(2.18)
ดังนั้นความสัมพันธเชิงเสนของอัตราเร็วและความหนาแนนของสมการ (2.15) สามารถใชในการ พิสูจนวาตัวแบบมีความสมเหตุสมผลหรือไม ในการจําลองปญหาการไหลของกระแสจราจร นั้นยัง เป น ประโยชน ต อการศึ กษาระบบจราจรสําหรับ บางตัว อยาง นอกจากนั้ น ความสัมพัน ธเชิงเส น ระหวางอัตราเร็วและความหนาแนน จะแสดงการประมาณคาดีที่สุดในชวงกลางของขอมูลของขอมูล ที่สังเกตอัตราเร็วและความหนาแนน ดังแสดงในภาพที่ 2.4
14
ภาพที่ 2.4 กราฟแสดงคาที่ดีที่สุดในชวงกลางขอมูลที่สังเกตอัตราเร็วและความหนาแนน
2.3 ตัวแบบการไหลของกระแสจราจรจุลภาค จากตัวแบบจําลองแบบมหภาคที่ศึกษาความสัมพันธของคาเฉลี่ยของตัวแปรตาง ๆ ในระบบ ในหัวขอนี้ เราจะกลาวถึงตัวแบบการไหลของกระแสจราจร ไดแกตัวแบบการไหลของกระแสจราจร แบบจุลภาค (microscopic traffic model) ซึ่งในกรณีนี้การพิจารณาความสัมพันธจะถูกจํากัดลงไป ที่ความสัมพันธของรถแตละคัน โดยทั่วไปแลวตัวแบบการไหลของกระแสจาราจรแบบจุลภาคจะ พิจารณาความสัมพันธระหวางความเร็ว และความหนาแนนของการจราจร เพื่อพัฒนาสูระบบโดย ภาพรวมให ดี ยิ่ ง ขึ้ น ในหั ว ข อ นี้ จ ะเน น ตั ว แบบที่ อ ธิ บ ายถึ ง พฤติ ก รรมหรื อ ลั ก ษณะของผู ขั บ ขี่ ยานพาหนะ และผลการตอบสนอง (respond) ตอสิ่งเรา (stimulus) จากสถานการณตาง ๆ ใน ระบบการจราจร ในสถานการณจริง ผูขับขี่จะไดรับสิ่งเราตาง ๆ มากมายทั้งจากภายในและภายนอก ซึ่งทํ า ให มีผ ลต อการไหลของกระแสจราจร ตัว อยางเชน ระยะหางระหวางยานพาหนะคัน ที่อยู ขางหนาของยานพาหนะของผูขับขี่ ความเร็วของยานพาหนะคันหนากับความเร็วของยานพาหนะ ของผูขับขี่ เปนตน ในงานนี้เราจะศึกษาเฉพาะปจจัยที่เกี่ยวของกับพฤติกรรมของมนุษยเทานั้น โดยจะไมสนใจ เกี่ยวกับปญหาหรือปจจัยจากเครื่องยนตซึ่งมีผลตอการไหลของยานพาหนะในถนน โดยตัวแบบใน
15 ที่นี้จะอธิบายถึงพฤติกรรมของผูขับตามผลที่ไดรับจากสิ่งเราที่มากระตุน โดยเริ่มตนพิจารณาจากตัว แบบไมมีดีเลยจากระยะเวลาในการตอบสนองตอสิ่งกระตุน หลังจากนั้นจึงมีการเพิ่มดีเลยซึ่งเปนผล จากระยะเวลาตอบสนองเขาไปในตัวแบบที่เราเลือกมาศึกษา นอกจากนั้นยังมีตัวแบบรถที่ขับตามกันแบบเชิงเสน (Linear car-following models) ที่ นําเสนอโดย Reuschel [25] และ Pipes [23] ไดรับการยอมรับจากสากลเกี่ยวกับทฤษฏีการ เคลื่ อนที่ ตามกั น ของรถในช วงต น ป 1950 เปน ครั้งแรกและตั้งแตนั้น มาก็ไดมีการศึกษาเกี่ย วกับ ทฤษฎีนี้มาอยางตอเนื่องโดย Chandler, Herman และ Montroll [4] ไดนําเสนอกรอบแนวคิด การศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่ของรถตามกันดังสมการ Response = F sensitivity, stimulus
(2.19)
นอกจากนั้นใน [4] ยังชี้ใหเห็นวาผูขับขี่จะเรงหรือเบรคในสัดสวนของความเร็วจากสมการที่ (2.19) จากแนวคิดนี้จึงไดใชตัวแบบเชิงเสนเปนเครื่องมือในการวิเคราะหโดยพิจารณาสมการ M nan (t T ) v(n 1)/n (t )
(2.20)
เมื่อ M n คือมวลของรถคันที่ n an (t T ) คือความเรงของรถคันที่ n หลังจากเกิดปฏิกิริยา
v(n 1)/n (t ) คือความเร็วสัมพัทธของรถคันที่ n 1 กับรถคันที่ n ในเวลา t T คือดีเลยการตอบสนองของผูขับ
คือคาประสาทสัมผัส
หลังจากนั้น Gazis, Herman และ Rothery [6] ไดชี้ใหเห็นวาตัวแบบการเคลื่อนที่ตามกันของรถ ควรจะไดรับการแกไขเพิ่มเติมโดยสะทอนใหเห็นถึงปจจัยทางดานจิตวิทยาโดยพวกเขาไดนําเสนอดัง สมการ (2.21) และภาพที่ 2.5 การตอบสนอง ประสาทสัมผัสตัวกระตุน
(2.21)
16
ภาพที่ 2.5 รูปแบบพื้นฐานและคาตัวแปรตาง ๆ ที่เกีย่ วของกับตัวแบบรถที่ขับตามกัน
จากสมการที่ (2.21) ยานพาหนะแตละคันเคลื่อนที่ในชวงเวลาเดียวกัน ตําแหนงของรถคันที่ n
ที่เวลา t กําหนดโดย xn (t ) สมการพื้นฐานสําหรับใชในการคํานวณการเคลื่อนที่ของรถแตละ
คันขึ้นอยูกับปจจัยทางพฤติกรรมของมนุษยหรือผูขับขี่ โดยที่การตอบสนองในที่นี้เปนการศึกษาเกี่ยวกับผูขับขี่ยานพาหนะ ดังนั้นตอบสนองของผูที่ ขับยานพาหนะนั้ น คือการเพิ่มความเรงหรือการลดความเรง และประสาทสั มผั สหมายถึงระบบ ประสาทสัมผัสของแตละคนโดยในที่นี้จะใหเปนคาคงที่ kp โดยที่ kp นั้นตองมีคามากกวาศูนยใน ขณะที่ตัวกระตุน พิจารณาจากผลตางของรถคันที่ n กับรถคันที่ n 1 ดังนั้นจากสมการ (2.21) จึงสามารถทําใหอยูในรูปสมการเชิงอนุพันธไดเปน d d2 d x (t ) k p x n 1(t ) x n (t ) 2 n 1 dt dt dt
(2.22)
จากสมการ (2.22) สามารถอธิบายสถานการณตาง ๆ ที่เกิดขึ้นในขณะที่ผูขับขี่ยานพาหนะนั้นจะเพิ่ม ความเรงหรือลดความเรงนี้ไดโดยเพิ่มดีเลยลงในสมการ (2.22) d d2 d x (t ) k p x n 1(t ) x n (t ) 2 n 1 dt dt dt
(2.23)
17 ถาใหคาสัมประสิทธิ์ kp เปนคาคงที่ สมการ (2.23) จะเปนสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่งแบบเชิง เสน และจะไดความสัมพันธ d x (t ) k p x n 1(t ) x n (t ) cn 1 dt n 1
(2.24)
จากภาพที่ 2.5 สมมุติใหรถแตละคันมีความยาวเทากันคือ Ln 1 Ln L ดังนั้นระยะระหวาง รถทั้งสองกําหนดโดย d(t ) เขียนความสัมพันธไดดังสมการ d (t ) x n (t ) x n 1(t ) L
(2.25)
ให N R คือจํานวนรถในถนนที่เราศึกษา และ LR คือความยาวของถนน สามารถหาจํานวนรถที่ เคลื่อนที่บนถนนไดจากสมการ NR
LR L d (t )
(2.26)
กําหนดให คือความหนาแนนของจํานวนรถบนถนน ซึ่งหมายถึงจํานวนรถตอความยาวของถนน ดังนั้นเมื่อนําสมการ (2.26) หารดวย LR จะไดความหนาแนน ในรูปของ
NR 1 1 LR L d (t ) x n (t ) x n 1(t )
(2.27)
จากสมการ (2.27) เปนสมการที่ใชในทางดานวิศวกรรมการจราจรของสหรัฐอเมริกาจึงมีหนวยเปน ฟุต แตในการคํานวณทางตัวเลขดานการจราจรนั้นจะใชหนวยไมล ดังนั้นจึงตองเปลี่ยนหนวยจากฟุต เปนไมล ซึ่งจะไดสมการใหมดังนี้
5280 L d (t )
(2.28)
โดยที่ จะมีหนวยเปนคันตอไมล สมมุติใหยานพาหนะบนถนนทั้งสายวิ่งดวยอัตราเร็วเดียวกันดังนั้น d d x n 1(t ) x n 1(t ) v dt dt
(2.29)
18 ดังนั้นนําสมการ (2.27) และ (2.29) แทนลงในสมการ (2.24) จะได v
kp
(2.30)
c
คาของ c จากสมการ (2.30) เปนคาคงที่ โดยสามารถหาคา c ไดจากสมการ (2.13) นั่นคือ v( jam ) 0 ซึ่ง ความเร็ ว จะมี คาเปน ศู น ย เ มื่อความหนาแน น มี คาสูงสุ ด ( jam ) ดังนั้น จะไดคา c
kp jam
นั่นคือ 1 1 v k p jam
(2.31)
ความสัมพันธของตัวแปร และ v จากสมการ (2.31) เปนไปดังภาพที่ 2.6
ภาพที่ 2.6 ความสัมพันธระหวางอัตราเร็วและความหนาแนน
จากภาพที่ 2.6 แสดงใหเห็นวาความเร็วมีคาเขาใกลอนันตเมื่อความหนาแนนมีคาเขาใกลศูนย ดังนั้น จึงสามารถเขียนสมการของความเร็วในรูปของฟงกชันที่แบงเปนชวง ๆ ไดเปน vmax , v() 1 1 k , p jam
crit crit
(2.32)
19 โดยที่ crit คือคาความหนาแนนที่ทําใหคาความเร็วมีคาสูงสุด ดังนั้น v 1 1 max crit jam k p
(2.33)
ซึ่งความสัมพันธของตัวแปร และ v จากสมการ (2.33) เปนไปดังภาพที่ 2.7
ภาพที่ 2.7 ความสัมพันธระหวางอัตราเร็วกับความหนาแนน
เนื่องจาก q v ดังนั้นในการหาอัตราการไหลจึงคูณ เขาไปทั้งสองขางของสมการ (2.32) จะ ไดฟงกชันของอัตราการไหลในรูป vmax , q() 1 , k p jam
crit crit
(2.34)
ซึ่งความสัมพันธระหวางอัตราการไหล q กับความหนาแนน ที่กําหนดในสมการ (2.34) สามารถ แสดงไดดังภาพที่ 2.8 ดังตอไปนี้
20
ภาพที่ 2.8 ความสัมพันธระหวางอัตราการไหลกับความหนาแนน
จากภาพที่ 2.8 ความหนาแนนสูงสุดจะเกิดขึ้น ณ ที่ crit ดังนั้น q max q(crit ) critvmax k p 1 crit jam
(2.35)
ตัวอยางขอมูลที่เก็บรวบรวมมาจาก [24] และนํามาศึกษาความสัมพันธระหวางตัวแปรและ พารามิเตอรตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับกระแสการไหลของการจราจรไดแก อัตราเร็ว การไหล และความ หนาแนน แสดงไดดังภาพที่ 2.9 และภาพที่ 2.10
ภาพที่ 2.9 ตัวอยางกราฟแสดงความสัมพันธของขอมูลความเร็วกับความหนาแนน Recker [24]
21
ภาพที่ 2.10 ตัวอยางกราฟแสดงความสัมพันธของขอมูลการไหลกับความหนาแนน Recker [24]
2.4 ตัวแบบการเคลื่อนที่ตามกันของรถที่เกี่ยวของ การศึ ก ษากระแสการไหลของการจราจรนั้ น เกี่ ย วข อ งกั บ ป ญ หาทางสั ง คมในวงกว า ง ยกตัวอยางเชน การจัดการขนสงใหมีประสิทธิภาพ การอพยพหรือการเคลื่อนยายผูคนในกรณีฉุกเฉิน ตลอดจนการวางผังเมือง การสรางตัวแบบการจราจรอาจจะพิจารณาเปรียบเทียบกับการไหลของ ของไหลที่มีแรงอัดซึ่งเปนการมองแบบมหภาค หรือการพิจารณาระบบหลาย ๆ ระบบของผูขับขี่ เฉพาะบุคคลเปนการมองแบบจุลภาค ดังนั้นตัวแบบที่ปรากฏอยูหลายแบบจะมีสมการอุณหพล ศาสตร บ างสมการอาจจะเป น สมการเชิง อนุพัน ธและอาจจะอยู ในตั ว แบบเซลลู ล าร ออโตมาตา (cellular automata model) เปนตน ทั้งนี้ตัวแบบรถที่ขับตามกันในงานอื่น ๆ ที่ผานมานั้นไดสรุป ไดดังตารางตอไปนี้
22 ตารางที่ 2.1 ตัวแบบการเคลื่อนของรถแบบตางๆ
ลําดับที่ 1
ตัวแบบ Chandler Model [4]
T ,
an (t T ) v(t )
2
Generalized GM Model [6] an (t T )
3
vn (t T )m x (t )
v(t )
T , ,m ,
Gipps Model [7] v (t ) 2.5aT (1 v (t ) / V ) 0.025 v (t ) / V , n n n 1/2 2 ( ) ( ) ( ) x t x t s v t T vn (t T ) min 2 2 n n n 1 bT b T b vn 1(t )2 / b *
4
พารามิเตอรที่ตองการ หาคาเหมาะสม
T , b ,V , b *
Krauss Model [15] vsafe vn 1
gn (t ) vn 1(t )T vn (t ) vn 1(t ) / 2b T
เมื่อ gn (t ) xn 1(t ) xn (t ) s
T , b ,V
vdes min vn (t ) a t, vsafe ,V
Vn (t t ) max 0, vdes a
ในที่นี้จะสมมติให t 0.1 และ a คือเซตของศูนย 5
Leutzbach Model [18] v(t )2 an (t T ) an 1(t ) 2 S x (t )
T ,S
23 ตารางที่ 2.1 ตัวแบบการเคลื่อนของรถแบบตางๆ (ตอ)
ลําดับที่ 6
ตัวแบบ Cellular Automata [20] Vn (t t ) min gn (t ) / T , vn (t ) a,V
7
T ,V
Optimum Velocity Model [1] an (t T ) V0 vn (t )
เมื่อ V0 8
พารามิเตอรที่ตองการหา คาเหมาะสม
T ,
2b x n 1(t ) x n (t )
Newell Model [21] dx n (t ) F x n 1(t ) x n (t ) dt
ในที่นี้เราเลือกศึกษาตัวแบบของเนเวลล (ตัวแบบที่ 8 จากตารางที่ 2.1) โดยสามารถสรางตัว แบบที่เปนระบบของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในหนึ่งมิติในทิศทางดังภาพที่ 2.11
ภาพที่ 2.11 แสดงการเคลื่อนที่ของรถใน 1 ชองทาง
ในภาพที่ 2.11 เปนภาพที่แสดงรูปแบบความหนาแนนของอนุภาคที่เปลี่ยนแปลงคอนขางสม่ําเสมอ เปนความหนาแนนของอนุภาคที่เพิ่มขึ้นจนทําใหอัตราเร็วมีคาคงที่ ในที่นี้เราสามารถพิจารณาแตละ อนุภาคดวยรถแตละคัน ดังนั้นตัวแบบรถที่ขับตามกันจึงจําลองไดจากภาพที่ 2.11 โดยมีความสัมพัธ ตามสมการเชิงอนุพันธดีเลย
24 x n (t ) F x n (t ) x n (t ) x n 1(t ) x n (t )
(2.36)
โดยที่ n 1, 2, ...., N และ xn (t ) คื อ ตํ า แหน ง ของรถที่ n ที่ เ วลา t และ xn (t ) คื อ ระยะทางระหวางรถคันที่ n และคันที่ n 1 ในสมการ (2.36) สังเกตเห็นวาสมการดังกลาวแสดง ความเร็ว xn (t ) ของรถแตละคัน โดยจะพิจารณาระยะทางที่แยกจากรถคันหนาโดยการเพิ่มดีเลย x n (t ) และฟงกชัน F (x ) ในสมการ (2.36) เรียกฟงกชันของอัตราเร็วที่ดีที่สุดซึ่งมักจะถูก
ใชจากขอมูลการจราจรจริงโดยตัวแบบที่ใชในที่นี้คือตัวแบบเนเวลล (Newell’s Model) F x n (t ) V 1 exp x n (t ) V
โดยที่ , V และ เปนพารามิเตอรของระบบ
บทที่ 3 วิธีดําเนินการ 3.1 บทนํา การพิจารณาชนิดของความเสถียรสําหรับตัวแบบจราจร หรือการไหลของยานพาหนะใน ระบบการจราจร โดยทั่วไปสามารถแบงออกไดสองประเภท Chandler [4] และ Herman [11] ไดแก 1. การวิเคราะหความเสถียรเฉพาะที่ (local stability) หรือความเสถียรสัมพัทธ เปนการ วิเคราะหสําหรับการขับตามกันของรถ ในโครงงานนี้เราจะพิจารณาความเร็วคงที่ 2. การวิเคราะหความเสถียรวงกวาง (global stability) หรือความเสถียรสัมบูรณ เปนการ วิเคราะหระบบการไหลของรถทั้งหมดบนถนน หรืออาจกลาวไดวาเปนการศึกษาการ เปลี่ยนแปลงทางดานพลวัต (dynamics) ทั้งระบบที่เราศึกษา โดยพิจารณาจากคาเฉลี่ย ของปริมาณตาง ๆ ในระบบ การวิเคราะหความเสถียรถูกนําไปใชบอยในการวิเคราะหวาตัวแปรตาง ๆ ที่กําหนดในระบบจะเขาสู สภาวะสมดุล (steady state) ไดอยางไร วิธีหนึ่งที่ใชในการวิเคราะหความเสถียรของจุดสมดุล สามารถทําไดโดยการใชวิธีเพอรเทอรเบชัน (perturbation method) โดยพิจารณาวาระบบมีความ เสถียรหรือไม ถาคําตอบลูเขาสูภาวะสมดุลเราจะเรียกวาระบบมีความเสถียร (stable) แตถาคําตอบ ไมลูเขาเราจะเรียกวาระบบไมเสถียร (unstable) จากงานที่ผานมาการวิเคราะหของ Bando กับ Hasebe [2] และ Kesting กับ Treiber [14] ไดนําเสนอวิธีที่จะใชศึกษาความเสถียรของตัวแบบซึ่ง
26 ไมมีเวลาตอบสนอง (non-reaction time) เกิดขึ้น นอกจากนั้นในงานของ Chandler [4] และ Herman [11] และ Bando [3] ไดรวมกันศึกษาตัวแบบรถที่ขับตามกัน (Car-following model) ที่ มีเวลาตอบสนอง (reaction time) ในที่นี้ เราจะพิจารณาลักษณะการไหลของรถในระบบการจราจรสําหรับตัวแบบการจราจรที่ กําหนด เพื่อหาความเสถียรของสภาวะสมดุลแบบเอกพันธ (homogeneous steady state) ในงาน ของ Kesting กับ Treiber [14] และ Tordeux [26] ไดศึกษาตัวแบบรถที่ขับตามกัน โดยศึกษา สมการ dx n (t ) F x n 1(t ) x n (t ), vn (t ), vn 1(t ) dt
(3.1)
และสมการ dx n (t ) vn (t ) dt dvn (t ) F x n 1(t ) x n (t ), vn (t ), vn 1(t ) dt
(3.2)
เมื่อ xn และ vn แทนตํ า แหนงและความเร็ วของรถคัน ที่ n ตามลําดับ ในขณะที่ xn 1 และ vn 1 แทนตําแหนงและความเร็ว ของรถคัน ที่ n 1 ซึ่งอยูห นารถคัน ที่ n ตามลําดับ และ F
แทนฟงกชันของอัตราเรง นอกจากนั้นเรายังตองการที่จะวิเคราะหหาเงื่อนไขสําหรับความเสถียรของ ปญหา (3.1) - (3.2) สําหรับตัวแบบการจราจรหลักที่เราจะพิจารณาในที่นี้ คือ ตัวแบบของเนเวลล ซึ่งเปนตัวแบบ ไมเชิงเสน กําหนดโดยสมการ dx n (t ) F x n 1(t ) x n (t ) dt
(3.3)
สมการ (3.3) เปนตัวแบบอยางงายโดยพารามิเตอรพื้นฐานอยูสองตัว คือ ฟงกชันเปาหมายของระยะ ปลอดภัย (targeted safety gap function) และเวลาตอบสนอง วัตถุประสงคหลักของงานนี้
27 คือ ตองการหาเงื่อนไขของพารามิเตอรสําหรับตัวแบบรถที่ขับตามกันที่ทําใหระบบที่กําลังศึกษาลูเขา สูสภาวะสมดุลของระบบเอกพันธ การพิจารณาการไหลของรถ N คัน ในถนนหรือระบบที่ศึกษา ซึ่งมีความยาว L ทั้งนี้ระบบ ที่ศึกษานั้นประกอบดวยสมการเชิงอนุพันธไมเชิงเสนจํานวน N สมการ ที่มีความสัมพันธกัน โดย สภาวะสมดุลของระบบเอกพันธ กําหนดโดยใชสัญลักษณ {H } ซึ่งมีระยะทางและความเร็วของ ยานพาหนะเปนคาคงที่เทากันทั้งหมด เขียนแทนดวย x n 1(t ) x n (t )
สําหรับทุก ๆ n โดยที่ vn (t )
dx n (t ) dt
L N
และ
vn (t ) v {H }
(3.4)
คือความเร็วของรถคันที่ n ณ เวลา t ในขณะที่ตัวแปร
x n แทนตําแหน งของรถคัน ที่ n และ x n 1 คือตําแหน งของรถคัน ที่ n 1 สภาวะสมดุ ล ของ
ระบบเอกพันธ สามารถแสดงลักษณะไดโดยความสัมพันธ x n 1(t ) x n (t )
L N
และ x n (t ) x n (0) v {H }t
(3.5)
สําหรับทุก ๆ n การวิเคราะหความเสถียรในการศึกษาครั้งนี้ ประกอบดวยการวิเคราะหความแตกตางระหวาง ตําแหนงและความเร็ว ซึ่งเปนตัวแปรของระบบที่กําลังศึกษาและตัวแปรของระบบเอกพันธ ในที่นี้จะ ได xn (t ) x n (t ) x {H }(0) v {H }t vn (t ) vn (t ) v {H }
(3.6)
และสภาวะสมดุลของระบบเอกพันธจะกลาววามีความเสถียร เมื่อ t สําหรับทุก ๆ คา n xn (t ) 0
และ
สําหรับ xn{H } และ v {H } โดยที่ n 1,2,..., N
vn (t ) 0
28
3.2 การวิเคราะหความเสถียรของตัวแบบเนเวลลที่ไมมเี วลาตอบสนอง ในการศึกษาตัวแบบของเนเวลลเบื้องตนที่ไมมีเวลาตอบสนอง dx n (t ) F x n 1(t ) x n (t ) dt
(3.7)
เมื่อ F คือฟงกชันของความเร็วเปาหมายสําหรับระยะหาง และ คือความยาวของรถหรือในบาง กรณีอาจหมายถึง ระยะที่นอยที่สุดของชวงวางระหวางรถ ระบบประกอบดวยความสัมพันธของ สมการเชิงอนุพันธไมเชิงเสน N สมการ โดยใชการแปลงฟงกชัน F ใหอยูในรูปเชิงเสนทําใหระบบ มีคาเขาใกลสภาวะสมดุลแบบเอกพันธ {H } ซึ่งระบบสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนหาไดจากวิธีเพอรเทอรเบชัน กําหนดให x(t ) x (t ) x {H }
(3.8)
จะไดสมการประมาณในรูปเชิงเสน (linearization equation) คือ dxn (t ) xn (t ) xn 1(t ) 0 dt
N
(3.9)
โดยที่ F L คําตอบของระบบเชิงเสนเปนผลรวมเชิงเสนของฟงกชันเอ็กซโพเนนเชียล N 1
xn (t ) A(k )e zktck i 1
เมื่อ ck
2 k i e N
เมื่อ k 1, , N 1 , โดยที่ i
(3.10)
1
ในงานของ Bando และ Hasebe [3] ไดหาคําตอบของ (3.10) โดยใชการกระจายอนุกรมฟู เรียร ในขณะที่ Tordeux [26] สามารถหาคําตอบของปญหาเดียวกันนั้นได โดยใชหลักการของ
29 เมทริกซแคลคูลัส (matrix calculus) สําหรับเงื่อนไขคาเริ่มตน ซึ่งคําตอบทดลองสามารถเขียนได ดังนี้ xn (t ) e zktck 2 k
โดยที่ ck e N
i
(3.11)
เมื่อ k 1, , N 1 โดยแทนคา xn (t ) ในสมการ (3.11) ลงในสมการ
(3.9) จะไดวาจํานวนเชิงซอน zk จะสอดคลองสมการ z k 1 ck 0
(3.12)
ความเสถียรของระบบขึ้นอยูกับ Re(zk ) กลาวคือ ถา Re(zk ) 0 ระบบจะกวัดแกวงและไมลู เขา เราจะเรียกวาระบบไมมีความเสถียร ในทางกลับกันถา Re(zk ) 0 ระบบจะมีความกวัด แกวงลูเขา เราจะเรียกวาระบบมีความเสถียร และจะลูเขาสูระบบเอกพันธ 2 k
จากสมการ (3.12) เนื่องจาก ck e N
i
เมื่อ k 1, , N 1 ดังนั้นเมื่อหาสวนจริง
ของ zk โดยพิจารณา zk จาก 2k i z k e N 1
(3.13)
โดยสูตรของออยเลอร ที่วา e i cos i sin เมื่อแทนลงในสมการ (3.13) จะไดวา 2k 2k z k cos i sin 1 N N
(3.14)
2k Re(z k ) cos 1 N
(3.15)
ดังนั้น สวนจริงของ zk คือ
และภายใตสมมติฐานเกี่ยวกับฟงกชันเปาหมายของความเร็วจะพบวาสมการ (3.7) เกิดสภาวะสมดุล แบบเอกพันธ ถา 0 นอกจากนี้ เราจะแสดงตัวแบบที่มีเวลาตอบสนองในหัวขอตอไป ซึ่งจะ พิจารณาเงื่อนไขของความเสถียรโดยเปรียบเทียบกับกรณีที่ไมมีเวลาตอบสนอง
30
3.3 การวิเคราะหความเสถียรของตัวแบบเนเวลลที่มีเวลาตอบสนอง ในตั ว แบบที่ มีส องช ว งเวลาคือชว งเวลา t และเวลาที่ t T r สามารถอธิบ ายไดโ ดย สมการ d n (t T r ) F x n 1(t ) x n (t ), vn 1(t ), vn (t ) dt
(3.16)
และสมการ d n (t T r ) F x n 1(t ) T r vn 1(t ) x n (t T r ), vn (t T r ), vn 1(t ) dt
(3.17)
เมื่อ n อาจแทนดวยระยะทางหรืออัตราเร็วของรถคันที่ n โดยที่ F เปนฟงกชันการตอบสนอง (reaction functions) และ T r 0 เปนเวลาตอบสนอง ซึ่งทั้งสมการ (3.16) และ (3.17) เปน รูปแบบทั่วไปของตัวแบบการไหลของกระแสจราจร สําหรับปญหาที่มีการรวมที่มีเวลาตอบสนอง T r 0 เปนการประยุกตตัวแบบของเนเวลลโดยใชสมการ (3.7) แลวศึกษาความเสถียรของสภาวะเอกพันธโดยตัวแบบดีเลยที่เปนเชิงเสน จาก [27] ไดนําเสนอกราฟที่แสดงความสัมพันธระหวางอัตราเร็ว ความหนาแนน และเวลา เปาหมายจากตัวแบบ (3.16) และตัวแบบ (3.17) ดังภาพที่ 3.1 และภาพที่ 3.2 ตามลําดับ
ภาพที่ 3.1 ความสัมพันธระหวาง อัตราเร็ว ความหนาแนน และเวลาเปาหมายจากตัวแบบ (3.16) [27]
31
ภาพที่ 3.2 ความสัมพันธระหวาง อัตราเร็ว ความหนาแนน และเวลาเปาหมายจากตัวแบบ (3.17) [27]
ขั้นตอนของการเพิ่มเวลาตอบสนองในระบบ โดยใชสมการ (3.16) จะพบวาเมื่อมีเวลามา ตอบสนองตัวแบบในสมการ (3.7) เขียนไดใหมเปน dx n (t T r ) F x n 1(t ) x n (t ) dt
(3.18)
เมื่อใชวิธีเพอรเทอรเบชันสามารถประมาณระบบ (3.18) ไดโดย dxn (t T r ) xn 1(t ) xn (t ) dt
N
(3.19)
โดยที่ F L ซึ่งสมการ (3.19) คือระบบของสมการเชิงอนุพันธดีเลยซึ่งมีเทอมของ ดีเลย T r มาเกี่ยวของ Mahnke [19] เสนอวิธีแกปญหาโดยการประยุกตอนุกรมเทยเลอร (Taylor’s series) เพื่อประมาณระบบโดยใชอนุพันธอับดับหนึ่งโดยมีเวลา T r มาเกี่ยวของ ซึ่ง อธิบายไดสองสมการดังนี้
32 dxn (t ) vn (t ) dt dvn 1 (t ) xn 1(t ) xn (t ) vn (t ) dt Tr
(3.20)
โดยแทนคํ า ตอบของสมการ (3.11) ลงในสมการ (3.20) จะพบว า จํานวนเชิงซอน zk ซึ่งแทน คาไอเกนจะสอดคลองสมการ z k2
zk Tr
(1 ck ) Tr
0
(3.21)
จะพบไดเมื่อ Re(zk ) 0 สําหรับทุกๆ k 1,...N 1
N
จากเงื่อนไขที่วา T r 1 cos 2k 1 สภาวะสมดุลของระบบเอกพันธจะเสถียร สําหรับตัวแบบในสมการ (3.18) เมื่อ 0 1 r เงื่อนไขเพียงพอของผลลัพธเกิดจากการ 2T
กระจายความเร็วของยานพาหนะแบบโหมดเดี่ยว (uni-modal) โดยการไหลจะเปนรูปแบบเอกพันธ เมื่อ 2T r T ขั้นตอนของการรวมที่มีเวลามาตอบสนองโดยใชสมการ (3.17) ตัวแบบของเนเวลลสามารถ ทําตามขั้นตอนของการรวมที่มีเวลามาตอบสนองโดยใชสมการ (3.17) ซึ่งเขียนไดดังนี้ dx n (t T r ) F x n 1(t ) T r vn 1(t ) x n (t T r ) dt
(3.22)
โดยการใชวิธีเพอรเทอรเบชัน สามารถประมาณระบบ (3.22) ไดโดย dxn (t T r ) xn 1(t ) T r vn 1(t ) xn (t T r ) dt
(3.23)
33 N
เมื่อ F L ถาใชอนุกรมเทยเลอรอันดับหนึ่งอธิบายสามารถประยุกตเกี่ยวกับดีเลยข องเวลา T r ของปริ ม าณ vn (t T r ) และใช เ ทย เ ลอร อั น ดั บ สองอธิ บ ายเกี่ ย วกั บ ปริ ม าณ xn (t T r ) จากวิธีเพอรเทอรเบชันจะได dxn (t ) vn (t ) dt xn 1(t ) xn (t ) T r vn 1(t ) vn (t ) vn (t ) dvn (t ) dt T r 1 T r 2
(3.24)
ถาอธิบายคําตอบของสมการ (3.11) จะพบวาคาไอเกน zk จะสอดคลองสมการ z k2 z k
T r (1 ck ) 1 (1 ck ) 0 r r r r T 1 T T 1 T 2 2
(3.25)
จะไดวา Re(z k ) 0 ถา 2(T r )3 4(T r )2 2T r 4 0
สภาวะหยุ ดนิ่ งคงที่ จ ะเสถี ย รสํ า หรับ แบบจํา ลองในสมการ (3.22) ถ า 0 1r เงื่อ นไข T
เพียงพอของผลลัพธเกิดจากการกระจายความเร็วของยานพาหนะเปนแบบโหมดเดี่ยว การไหลจะ เปนรูปแบบเอกพันธ เมื่อ T r T
บทที่ 4 ผลการดําเนินงานและสรุปผล ในบทนี้เราจะแสดงตัวอยางการวิเคราะหความสมดุลของตัวแบบรถที่ไหลตามกันของเนเวลล โดยใชผลที่ไดแสดงผานมาแลวในบทที่ 3 โดยการวิเคราะหและผลนั้นจะแสดงเปนสองกรณี คือ กรณี ที่ไมมีดีเลยื และกรณีที่มีดีเลย พรอมทั้งแสดงตัวอยางประกอบสําหรับกรณีทั้สอง สําหรับในสวนทาย ของบทนี้จะเปนการสรุปผลที่ไดจากการจัดทําโครงงานนี้ พรอมทั้งแสดงขอเสนอแนะสําหรับการ ประยุกตใชผลของโครงงานสําหรับผูที่สนใจตอไป
4.1 ตัวอยางของตัวแบบรถทีข่ ับตามกันของเนเวลลกรณีที่ไมมีดีเลย จากบทที่ 3 เราไดนําเสนอการวิเคราะหสําหรับตัวแบบเนเวลล ในที่นี้เราจะใชผลจากบทที่ ผานมา เพื่อวิเคราะหปญหาเฉพาะบางปญหาของตัวแบบรถที่ขับตามกันของเนเวลล ในกรณีที่ไมมี ดีเลย และในกรณีที่มีดีเลย 4.1.1 ความเสถียรของตัวแบบเนเวลลที่ไมมีดีเลย พิจารณาตัวแบบรถที่ขับตามกันของเนเวลลแบบที่ไมมีเทอมของดีเลยเขามาเกี่ยวของ dx n (t ) F x n (t ) dt
เมื่อ x n (t ) x n 1(t ) x n (t )
(4.1)
35 ทั้งนี้จากบทที่ 3 พบวาจุดสมดุลของสมการ (4.1) คือ L โดยจุดสมดุลดังกลาวนั้นจะเสถียร N
N
ถา 0 เมื่อ F L ในที่นี้เราจะแสดงตัวอยางการวิเคราะหปญหาโดยกําหนดฟงกชันจาก [21] กําหนดให F (x ) V 1 exp (x ) V
โดยที่
V คือ ความเร็วที่เหมาะสมที่สุดของรถ
และ
แทนอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟงกชัน F ที่ x n
(4.2)
ตัวอยางของฟงกชันความเร็วเหมาะสมที่สุด (optimal velocity function) สําหรับตัวแบบ เนเวลล เมื่อกําหนด V 120, 6 และ 5 โดยในที่นี้ V แทนความเร็วสูงสุดที่กําหนด และคาของ แทนอนุพันธของ F ที่ xn เมื่อ แทนระยะนอยที่สุดระหวางรถยนตแต ละคัน ความสัมพันธระหวาคาพารามิเตอรตาง ๆ ขางตนแสดงดังภาพที่ 4.1
ภาพที่ 4.1 ความสัมพันธระหวางคาพารามิเตอร V , และ จากสมการ (4.2)
เมื่อแทนฟงกชัน F จากสมการ (4.2) ลงในตัวแบบของเนเวลลในสมการ (4.1) จะได dx n (t ) V 1 exp (x n (t ) ) V dt
(4.3)
36 จากสมการ (4.2) หาอนุพันธของ F จะได F (x ) exp (x ) V
(4.4)
และจากสมการ (4.3) จุดสมดุลหาจากการแทนคาอนุพันธทางดานซายใหเปนศูนย จะไดจุดสมดุลคือ x xn (t ) 0
หรือ xn ซึ่งหมายถึง xn L จะไดวา N
L F (x) exp V N
เงื่อนไขทีจ่ ุดสมดุลจะเสถียร คือ L F N L exp 0 V N
จากเงื่อนไขขางตน เนื่องจากเทอมของเอ็กซโพเนนเชียลมีคาเปนบวกเสมอ ดังนั้นเงื่อนไขที่จะทําให จุด สมดุล ของอสมการใน (4.3) มีความเสถีย ร คือ 0 ซึ่งจะไดเงื่อนไขของความเสถียรตาม ทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎีบท 4.1 ความเสถียรของสมการเนเวลลแบบไมมีดีเลย ถา 0 แลวจุดสมดุลของสมการ (4.3) มีความเสถียร
จากทฤษฎีบท 4.1 คา 0 จะเปนเงื่อนไขเพียงพอที่จะทําใหระบบสมการของเนเวลล ในสมการ (4.3) มีความเสถียร
4.1.2 ตัวอยางผลจากสมการเนเวลลกรณีที่ไมมีดีเลย ในหัวขอนี้ เราจะแสดงตัวอยางคําตอบของสมการเนเวลล (4.3) เพื่อสนับสนุนผลจากการ วิเคราะหตัวแบบเนเวลลกรณีที่ไมมีดีเลยขางตน โดยกําหนดพารามิเตอรตาง ๆ ตามที่ไดกําหนดไวใน [23] ดังตอไปนี้
37 เมื่อกําหนด N 10 และ L 560 จะไดความหนาแนน 10/560 1/56 เรา จะเห็นไดวาความหนาแนนคอนขางนอย ดังนั้นรถจึงสามารถเคลื่อนที่ไดอยางสะดวก ผลที่ไดในกรณี นี้แสดงไดดังภาพที่ 4.2 โดยระยะทางที่รถแตละคันเคลื่อนที่ไดจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเสน และความเร็ว ของรถมีการกวัดแกวงเล็กนอยกอนที่รถแตละคันจะมีความเร็วคงที่ ซึ่งจะพบวาความเร็วของรถใน ระบบมีความเสถียรเมื่อเวลาผานไประยะหนึ่ง ภาพที่ 4.3 แสดงผลในกรณี ที่ N 10
และ L 150 จะได ค วามหนาแน น
10/150 1/15 เราจะเห็นไดวาความหนาแนนมากขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับกรณีแรก ภาพที่
4.3 (ก) แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับระยะทางที่รถแตละคันเคลื่อนที่ได ซึ่งระยะทางที่รถแต ละคั นเคลื่ อนที่ ไดจ ะเพิ่มขึ้ นเรื่ อย ๆ สําหรับภาพที่ 4.3 (ข) แสดงความสัมพัน ธร ะหวางเวลากับ อัตราเร็วของรถแตละคัน จากภาพพบวาอัตราเร็วของรถแตละคันเปลี่ยนแปลงแบบแกวงกวัดแบบมี คาบ ซึ่งหมายถึงอัตราเร็วของรถเพิ่มขึ้นและลดลงบนชวงอัตราเร็วจํากัด ในกรณีที่ 3 กําหนด N 10 และ L 20 จะพบวาความหนาแนนมีคาเพิ่มขึ้นมาก เมื่อ เปรียบเทียบกับสองกรณีแรก นั่นคือ 10/20 1/2 ผลที่ไดในกรณีนี้แสดงดังภาพที่ 4.4 ซึ่ง จะพบวา จากภาพ 4.4 (ก) ระยะทางที่รถแตละคันเคลื่อนที่ไดจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ในขณะที่พบวา อัตราเร็วของรถแตละคันเปลี่ยนแปลงแบบแกวงกวัดแบบลูเขา ดังภาพที่ 4.4 (ข)
38 x (t )
t v(t )
t
(ก)
t
(ข)
t
ภาพที่ 4.2 ความสัมพันธระหวาง (ก) ระยะทางกับเวลา และ (ข) อัตราเร็วกับเวลา จากตัวแบบของเนเวลล ในกรณีที่ไมมีดเี ลย เมื่อกําหนดคาพารามิเตอร N 10 และ L 560
39 x (t )
t
(ก) v(t )
t
(ข) ภาพที่ 4.3 ความสัมพันธระหวาง (ก) ระยะทางกับเวลา และ (ข) อัตราเร็วกับเวลาจากตัวแบบของเนเวลล ในกรณีที่ไมมีดเี ลย เมื่อกําหนดคาพารามิเตอร N 10 และ L 150
40 x (t )
t
(ก) v(t )
t
(ข) ภาพที่ 4.4 ความสัมพันธระหวาง (ก) ระยะทางกับเวลา และ (ข) อัตราเร็วกับเวลาจากตัวแบบของเนเวลล ในกรณีที่ไมมีดเี ลย เมื่อกําหนดคาพารามิเตอร N 10 และ L 20
41
4.2 ตัวอยางของตัวแบบรถทีข่ ับตามกันของเนเวลลทมี่ ีดีเลย พิจารณาสมการของตัวแบบรถที่ขับตามกันซึ่งมีดีเลย ที่กลาวมาแลวในบทที่ 3 : dx n (t T r ) F x n 1(t ) x n (t ) F x n (t ) dt
(4.5)
ซึ่งจะเกิดจุดสมดุลแบบเอกพันธที่มีความเสถียร ถา 0
1 2T r
เมื่อ F ( L l ) ในที่นี้เราจะพิจารณากรณีศึกษาของตัวแบบเนเวลล จาก [23] ซึ่งกําหนดตัว N
แบบรถที่ขับตามกันแบบมีดีเลยโดย dx n (t ) V 1 exp (x n (t ) ) V dt
(4.6)
ซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับสมการ (4.5) พบวาเปนสมการที่สอดคลองกัน โดยการแทนคา T r ดวย และแทนคา t ดวย t โดยมีฟงกชัน F คือ F (x ) V 1 exp (x ) V
(4.7)
ในที่นี้เราจะวิเคราะหเงื่อนไขความเสถียรของสมการ (4.6) โดยใชพิ้นฐานและหลักการที่ไดกลาว มาแลวในหัวขอ 3.3 จากสมการ (4.7) หาอนุพันธของ F จะได F (x ) exp (x ) V
(4.8)
เชนเดียวกับกรณีที่ไมมีดีเลยในหัวขอ 4.2 พิจารณาสมการ (4.6) จุดสมดุลหาจากการแทนคาอนุพันธ ทางดานซายใหเปนศูนย จะไดจุดสมดุลคือ x xn (t ) 0
หรือ xn ซึ่งหมายถึง xn L จะไดวา N
L F (x) exp V N
กําหนดให L F N
42 จะไดวา L exp V N
เงื่อนไขที่จุดสมดุลจะเสถียร คือ 0 1 จะไดเงื่อนไขคือ 2
L 1 0 exp V N 2
(4.9)
ถากําหนดให 0 พบวาอสมการแรกของ (4.9) เปนจริงเสมอ เราจึงสามารถลดเงื่อนไขไดเปน L 1 exp V N 2
จัดรูปอสมการขางตนใหม จะได
L 1 exp V N 2
ซึ่งเปนเงื่อนไขของคาดีเลย ซึ่งสามารถสรุปผลไดตามทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎีบท 4.2 ความเสถียรของสมการเนเวลลแบบที่มีดีเลย เงื่อนไขเพียงพอสําหรับคาของดีเลย ที่จะทําใหจุดสมดุลของสมการของเนเวลลที่มีดีเลย (4.6) เปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร คือ
L 1 exp V N 2
ในลําดับตอไป จาก Newell [21] ไดเสนอการวิเคราะหเพื่อหาคําตอบของสมการ (4.6) ใน ที่นี้เราไดทําการเรียบเรียงผลดังกลาวเพื่อแสดงผลคําตอบของ (4.6) ดังตอไปนี้ ดังนั้นเมื่อแทนฟงกชัน F จาก (4.7) ลงในสมการ (4.6) จะได xn (t ) V 1 exp x n (t ) V
(4.10)
โดยการเปลี่ยนตัวแปร กําหนดให x n (t ) V0t 0n yn (t )
(4.11)
43 และจะไดความสัมพันธ x n 1(t ) V0t 0 (n 1) yn 1(t )
จะไดวา x n (t ) x n 1(t ) x n (t )
V0t 0 (n 1) yn 1(t ) V0t 0n yn (t ) V0t 0n yn 1(t ) V0t 0n yn (t ) 0 yn 1(t ) yn (t )
ดังนั้น x n (t ) 0 yn (t )
(4.12)
แทน xn (t ) จากสมการ (4.12) ลงในสมการ (4.10) จะได xn (t ) V 1 exp 0 yn (t ) V
(4.13)
จากการเปลี่ยนแปลงตัวแปรใน (4.11) นั่นคือ x n (t ) V0t 0n yn (t )
เมื่อ V0, 0 และ n เปนคาคงที่ ดังนั้น เมื่อหาอนุพันธเทียบตัว แปร t ทั้งสองขางของสมการ ขางตน จะได xn (t ) V0 yn (t )
(4.14)
แทนสมการ (4.14) ในสมการ (4.13) จะได V0 yn (t ) V 1 exp 0 yn (t ) V V 1 exp ( 0 ) exp yn (t ) V V
ดังนั้น yn (t ) V 1 exp ( 0 ) exp yn (t ) V0 V V
(4.15)
จากความสัมพันธของอัตราเร็วกับความยาวถนนจะได V0 V 1 exp ( 0 ) V
(4.16)
44 แทนสมการ (4.16) ในสมการ (4.15) จะได yn (t ) V 1 exp ( 0 ) exp yn (t ) V 1 exp ( 0 ) V V V V exp ( 0 ) exp yn (t ) exp ( 0 ) V V V V exp ( 0 ) exp yn (t ) 1 V V
ดังนั้นจะไดสมการ yn (t ) V V0 1 exp yn (t ) V
(4.17)
พิจารณาสมการ (4.17) โดยให sn (t )
y (t ) yn (t ) V n 1
(4.18)
จากสมการ (4.18) จะไดสมการ 1 s (t ) exp sn 1(t ) exp sn (t ) 0 n
V V
V
เมื่อ 0 1 0 exp 0
ภาพที่ 4.3 คําตอบ sn (t ) ซึ่งเปนฟงกชันของ t เมื่อกําหนดคา n ตาง ๆ โดยกําหนดคาของพารามิเตอรเปน 0 5, b 1 และ 2
(4.19)
45
4.3 สรุปผลการดําเนินงานและขอเสนอแนะ ในโครงงานนี้เราไดศึกษาตัวแบบเกี่ยวกับการไหลของการจราจร โดยเริ่มศึกษาจากตัวแบบ การไหลของการจราจรแบบมหภาค ซึ่งเปนการมองการไหลแบบภาพรวม เพื่อใหทราบความหมาย และตัวแปรตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับการไหลของกระแสจราจร จานั้นจึงศึกษาเกี่ยวกับตัวแบบจุลภาค โดยนําเสนอตัวแบบตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับการไหลของรถ สําหรับการวิเคราะหนั้นในโครงงานนี้ไดทํา การวิเคราะหตัวแบบรถที่ขับตามกันของเนเวลล ซึ่งเปนตัวแบบที่ไดมีการศึกษากันอยางกวางขวาง ซึ่งในที่นี้เปนการยกตัวอยางรูปแบบหนึ่งของสมการเนเวลลมาพิจารณา ซึ่งตัวแบบดังกลาวอยูใน รูปแบบของสมการเชิงอนุพันธดีเลย หลังจากเราศึกษาและวิเคราะหตัวแบบโดยไมพิจารณาดีเลย จากการกําหนดใหดีเลย 0 ไดผลสรุปตามทฤษฎีบท 4.1 และในกรณีที่มีดีเลยไดผลสรุปตาม ทฤษฎีบท 4.2 ซึ่งจากทั้งสองกรณีสรุปไดวา เทอมของดีเลยมีผลตอความเสถียรของระบบการไหล V N
ของการจราจร กลาวคือ ถา 1 exp L แลวระบบจะมีความเสถียร 2
สํ า หรั บ ข อ เสนแนะจากการทํ า โครงงานนี้ พ บว า เราสามารถจํ า ลองป ญ หาต า ง ๆ ใน ชีวิตประจําวันดวยตัวแบบทางคณิตศาสตร ในที่นี้ตัวแบบที่เลือกมาใชเปนตัวแบบที่อยูในรูปสมการ เชิงอนุพันธดีเลย ซึ่งจะสังเกตไดวาพลวัตของสมการดังกลาวนั้นคอนขางยุงยากกวากรณีของสมการ เชิงอนุพันธสามัญ และในขั้นตอนการวิเคราะหทางพลวัตของสมการการไหลของเนเวลลพบวามี ปญหาตาง ๆ อีกมากที่ยังสามารถนําไปวิเคราะหตอเนื่องในขั้นสูงขึ้นตอไป เชนการวิเคราะหเงื่อนไข การเกิดคําตอบแบบคาบ ตลอดจนการวิเคราะหไบเฟอรเคชันของระบบ รวมทั้งการเพิ่มพารามิเตอรื อื่น ๆ เขาไปในระบบและวิเคราะหเพื่อทําใหตัวแบบสมบูรณขึ้นเมื่อเทียบกับสถานการณจริง
เอกสารอางอิง [1]
Bando H. Hasebe K., Nakayama A. and Shibata Y. (1995) “A Dynamical Model of Traffic Congestion and Numerical Simulation," Physics Review, Part E, Vol.51, No. 2, pp.1035-1042.
[2]
Bando M. and Hasebe K., 1995, “Dynamical Model of Traffic Congestion and Numerical Simulation”, Physics Review. E 51(2), pp.1035-1042.
[3]
Bando M., Nakanishi K. and Nakayama A., (1998), “Analysis of Optimal Velocity Model with explicit delay”, Physics Review. E 58(5), pp.5429-5435.
[4]
Chandler R. E., Herman R. and Montroll E. W., (1958), “Traffic dynamics: studies in car following”, Operations Research. 6(2), pp.165-184.
[5]
Chandler, R. E., Montroll, E. W., Potts, R. B. and Rothery, R.W., (1959) “Traffic Dynamics: Analysis of Stability in Car Following,” Operations Research, 7(1), pp.86–106.
[6]
Gazis, D. C., R. Herman and Richard W. Rothery (1961), “Nonlinear FollowThe-Leader Models Of Traffic Flow,” Operations Research Vol. 9, pp.545-567.
[7]
Gipps, P.G. (1981) “A Behavioral Car Following Model for Computer Simulation,” Transportation Research B 15, pp.105-111.
[8]
Greenshields, B.D., (1935) “A Study in Highway Capacity,” Highway Research Board Proceedings, pp.14.
[9]
Haberman, R., Mathematical Models, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1977.
[10]
Hasabe K., Nakayama A. and Sugiyama Y., Phys. Lett. A 259, 135 (1999)
47 [11]
Herman R., Montroll E. W., Potts R. B. and Rothery R. w., (1959), “Traffic dynamicals: analysis of stability in car following”, Operations Research. 7(1), pp.86-106.
[12]
Hirota R., The Discrete Method in Solution Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
[13]
Igarashi Y. and Itoh K., Nakanishi K., J. Phys. Soc. Jpn. 68, 791 (1999)
[14]
Kesting, A. and Treiber, M., 2008, “How reaction time, update time and adaptation factor influence the stability of traffic flow”, Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering 23, pp.125-137.
[15]
Krauss, S. (1997) “Microscopic Modeling of traffic Flow: Investigation of Collision Free Vehicle Dynamics,” Ph D. Thesis, University of Cologne, Cologne, Germany.
[16]
Lakshmanan, M. and Rajasekar, S., Nonlinear Dynamics: Integrability, Chaos and Patterns (Springer, Berlin, 2003)
[17]
Lakshmanan, M. and Senthilkumar, D.V., (2010) Dynamics of Nonlinear Timedelay Systems, Springer Series in Synnergetics.
[18]
Leutzbach, W. and Wiedemann, R, (1986) Development and Application of Traffic Simulation Models at Karlsruhe Institut fur Verkehrwesen, Traffic Engineering and Control, May, pp. 270-278.
[19]
Mahnke R., Kaupuzs J. and Lubashevsky I., 2008, Physics of stochastic processes : how randomness acts in time, WILEY-VCH Verlag.
48 [20]
Nagel, K. and Schrekenberg, M. (1992) A Cellular Automaton Model for Freeway Traffic, Journal of Physics, France, Vol. I2, pp.2221
[21]
Newell, G. F, Operations Research. 9 (1961) pp.209.
[22]
Newell, G. F. (2002) “A Simplified Car Following Theory: A Lower Order Model,” Transportation Research, Part B, Vol. 36, pp. 195-205.
[23]
Newell, G., (1991) “A Simplified Theory of Kinematic Waves: I General Theory; II Queuing at Freeway Bottlenecks; III Multi-destination Flows,” Transportation Research-B, 27B, pp.281–313.
[24]
Pipes, L. A., “An Operational Analysis of Traffic Dynamics” (1953), Journal of Applied Physics, Vol. 24, No.3, pp.274-287.
[25]
Recker, W.W., “Understanding the Nature of Traffic,” Notes for CE122Transportation Systems II: Operations and Control, University of California, Irvine, CA, Winter 2003.
[26]
Reuschel (1950), Vehicle Movements in a Platoon with Uniform Acceleration or Deceleration of the Lead Vehicle, Zeitschrift des Oesterreichischen Ingenieur-und Architekten-Vereines, No.95, pp.59-62 and pp.73-77.
[27]
Tordeux A., Lassare S. and Roussignol M., (2010) “An adaptive time gap carfollowing model”, Transportation Research. Part B 44(8-9), pp.1115-1131.
[28]
Tutiya Y. and Kanai M., J. Phys. Soc. Jpn. 76, 083001 (2007)
49 [29]
Wattleworth J. A., “Traffic Flow Theory,” in J. E. Baerwald (Ed.), Transportation and Traffic Engineering Handbook, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1976.
[30]
Wohl M. and Martin B.V., Traffic Systems Analysis, McGraw-Hill, New York, 1967.
[31]
Whitham G.B., Linear and Nonlinear Waves, Wiley, New York, 1974.