Page 1

แบบจำลองทำงคณิ ตศำสตร์ของกำรระบำดของกำรติดเชื้อซอมบี้ MATHEMATICAL MODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIE INFECTION

โดย นำงสำวเมวิกำ รุ่ งฉัตร นำงสำวภัสศร สมทรัพย์ นำงสำวศศิประภำ แก้ววิไล

โครงงำนนี้เป็ นส่ วนหนึ่งของกำรศึกษำตำมหลักสูตรปริ ญญำวิทยำศำตรบัณฑิต สำขำวิชำคณิ ตศำสตร์ประยุกต์ ภำควิชำคณิ ตศำตร์ คณะวิทยำศำสตรประยุกต์ สถำบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้ำพระนครเหนือ ปี กำรศึกษำ 2554


ชื่อโครงงำน

: แบบจำลองทำงคณิ ตศำสตร์ของกำรระบำดของกำรติดเชื้อซอมบี้ MATHEMATICAL MODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIE INFECTION โดย : นำงสำวเมวิกำ รุ่ งฉัตร นำงสำวภัสศร สมทรัพย์ นำงสำวศศิประภำ แก้ววิไล สำขำ : คณิ ตศำสตร์ประยุกต์ ภำควิชำ : คณิ ตศำสตร์ คณะ : วิทยำศำสตร์ประยุกต์ อำจำรย์ที่ปรึ กษำ : อ.ดร.จิรำภรณ์ รื่ นสัมฤทธิ์ ปี กำรศึกษำ : 2554 คณะวิทยำศำสตร์ประยุกต์ มหำวิทยำลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้ำพระนครเหนือ อนุมตั ิให้โครงงำนนี้เป็ นส่วนหนึ่งของกำรศึกษำตำมหลักสูตรปริ ญญำวิทยำศำสตรบัณฑิต สำขำวิชำคณิ ตศำสตร์ประยุกต์

............................................................ อำจำรย์ที่ปรึ กษำ ( อ.ดร.จิรำภรณ์ รื่ นสัมฤทธิ์ ) ........................................................... กรรมกำร ( อ.ดร.มโหสถ ปั่นโภชำ ) ............................................................ กรรมกำร ( อ.ดร.วลัยลักษณ์ ชวนัสพร )

ลิขสิ ทธิ์ของภำควิชำคณิ ตศำสตร์ คณะวิทยำศำสตร์ประยุกต์ มหำวิทยำลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้ำพระนครเหนือ ปี กำรศึกษำ 2554


บทคัดย่อ ซอมบี้เป็ นที่สนใจทางด้านวัฒนธรรมและความบันเทิง รวมถึงภาพลักษณ์ทวั่ ไปของ ซอมบี้ที่เราจะเห็นได้วา่ ซอมบี้มีการติดเชื้อและการแพร่ ระบาด ดังนั้นโครงงานนี้มี วัตถุประสงค์ที่จะศึกษาแบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์ของซอมบี้และเรายังได้ศึกษาแบบจาลอง ขั้นพื้นฐานสาหรับการติดเชื้อของซอมบี้ หลังจากนั้นเราได้ปรับแบบจาลองให้มีการติดเชื้อและ ให้มีการรักษาของซอมบี้โดยใช้โปรแกรมทางคณิ ตศาสตร์(MATLAB) เพื่อตรวจสอบผลที่ได้ ของแบบจาลอง


Abstract Zombies are popular figure in pop culture or entertainment and they are usually portrayed as being brought about through an outbreak or epidemic. So, the objective of this project is to study differential-equation models of the spread of a disease in zombie. This work studied the basic model for zombies infection, them we modify the ďƒ˘ model to include the humans are infected and cure. Finally, we used MATLAB program to examine the results of the models.

ข


กิตติกรรมประกาศ โครงงานเรื่ องแบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์ของการระบาดของการติดเชื้อซอมบี้ (MATHEMATICAL MODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIE INFECTION) สาเร็ จลุล่วงไปได้ดว้ ยดีกด็ ว้ ยความอนุเคราะห์ช่วยเหลือจากหลายฝ่ าย ขอขอบพระคุณ อาจารย์ จิราภรณ์ รื่ นสัมฤทธิ์ ซึ่งเป็ นอาจารย์ที่ปรึ กษาในการทาโครงงานฉบับนี้ ที่กรุ ณาให้คาแนะนาที่ เป็ นประโยชน์และข้อบกพร่ องต่างๆ และแนะนาเพื่อให้มีความเข้าใจในเนื้อหาของโครงงาน มากยิง่ ขึ้น รวมทั้งคณาจารย์ภาควิชาคณิ ตศาสตร์ ทุกท่านที่ประสาทวิชาความรู ้ต่างๆตลอด ระยะเวลาที่ผา่ นมาจนมีความรู ้ความสามารถสาหรับทาโครงงานนี้ อีกทั้งยังสละเวลาตรวจ แก้ไขและให้คาปรึ กษาตลอดจนแนะแนวทางต่างๆ อันเป็ นประโยชน์กบั ทางคณะผูจ้ ดั ทา สุ ดท้ายนี้ขอขอบพระคุณเพือ่ นทุกคนรวมทั้งผูท้ ี่เกี่ยวข้องที่ได้ความช่วยเหลือในด้าน ต่างๆ พร้อมทั้งแรงใจ สนับสนุนให้แก่ ทางคณะผูจ้ ดั ทาสามารถทาโครงงานนี้สาเร็ จลุล่วง ไปด้วยดี นางสาวเมวิกา รุ่ งฉัตร นางสาวภัสศร สมทรัพย์ นางสาวศศิประภา แก้ววิไล


สารบัญ บทคัดย่อ Abstract กิตติกรรมประกาศ สารบัญภาพ บทที่ 1 บทนา 1.1 ความเป็ นมาของโครงงาน 1.2 วัตถุประสงค์ของโครงงาน 1.3 ประโยชน์ที่ได้รับ 1.4 ขอบเขตของโครงงาน บทที่ 2 นิยาม และทฤษฏีที่เกี่ยวข้อง 2.1 แบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์ของโรคติดต่อแบบ ( SIR ) 2.2 วิธีการทางออยเลอร์ บทที่ 3 วิธีการดาเนินงาน 3.1 แบบจาลองขั้นพื้นฐาน (SZR) 3.2 รู ปแบบการติดเชื้อแฝง (SIZR) 3.3 แบบจาลองของการรักษา บทที่ 4 สรุ ปและข้อเสนอแนะ 4.1 สรุ ปผลการดาเนินงาน 4.2 ข้อเสนอแนะ References ภาคผนวก

หน้า ก ข ค ฉ 1 2 2 3 4 7 12 18 22 27 27 28 29


สารบัญภาพ หน้า ภาพที่ 2-1 ผลลัพท์ที่ได้จากแบบจาลอง SIR ภาพที่ 3-1 แบบจาลองขั้นพื้นฐาน (SZR) ภาพที่ 3-2 แสดงโปรแกรมที่ไม่ติดเชื้อของซอมบี้ ภาพที่ 3-3 แบบจาลอง SZR เมื่อมีการระบาดของซอมบี้ ภาพที่ 3-4 แบบจาลองการติดเชื้อแฝงของซอมบี้ (SIZR) ภาพที่ 3-5 การติดเชื้อแฝงของแบบจาลอง SIZR ภาพที่ 3-6 แบบจาลองของการรักษา ภาพที่ 3-7 กราฟแสดงแบบจาลองการรักษา

6 13 16 17 18 21 22 26


บทที่ 1 บทนำ 1.1 ความเป็ นมาและที่มาของโครงงาน เรื่ องราวของซอมบี้หรื อการฟื้ นคืนชีพของคนที่ตายไปแล้ว [1] ได้เริ่ มมาจากประเทศ ในแถบตะวันตกหรื อทวีปแอฟริ กาที่มีความเชื่ อเกี่ยวกับเวทมนต์ไสยศาสตร์ ของลัทธิ วูดู โดย เรื่ องราวได้มีการอธิบายเกี่ยวกับบุคคลที่สามารถบังคับวิญญาณได้ และต่อมาเรื่ องราวของซอม บี้น้ นั ได้มีการพัฒนาโดยมีการผสมผสานกับความน่ ากลัวและความทันสมัย จนทาให้เรื่ องราว ของซอมบี้ได้ถูกถ่ายทอดเป็ นภาพยนต์ที่โด่งดังเรื่ อง Night of the living dead [2] หรื อถ่ายทอด เป็ นเกมส์ต่างๆ ค าว่ า “ซอมบี้ ” เป็ นค าที่ ม าจากชนเผ่า หนึ่ ง ซึ่ งออกเสี ย งว่ า “ซิ ม บิ ” ในคองโกซึ่ ง หมายถึง สิ่ งของหรื อสิ่ งมีชีวิตอะไรก็ได้ที่ตกอยูใ่ นอานาจของคาถาอาคม เรื่ องราวของซอมบี้ เริ่ มมาจากลัทธิ วูดูมีการแสดงให้เห็ นถึงการคืนชี พของผูค้ นที่ตายไปแล้วให้กลับมาเป็ นทาส โดยสามารถออกคาลัง่ หรื อบังคับควบคุมให้อยูใ่ นอานาจของผูท้ ี่มีคาถาอาคม[3] เพราะลัทธิ วูดู ได้มีความเชื่อเรื่ อง “เทพเจ้างูยกั ษ์” ซึ่งกล่าวถึงอานาจลึกลับและชัว่ ร้ายที่สามารถบังคับวิญญาณ ได้ โดยวิธีการของผูม้ ีอานาจวิเศษ จะกล่าวถึงส่ วนผสมที่มีผลต่อการคืนชีพของผูท้ ี่ตายไปแล้ว หรื ออาจจะเป็ นพืชชนิดต่างๆ รวมถึง ยาสั่งหรื อสารเคมี(ผงศักดิ์สิทธิ์) ที่พวกมีอานาจวิเศษหรื อ พ่ อ มดหรื อหมอผี ใ ช้ ใ นพิ ธี ก รรมต่ า งๆ อี ก มากมาย ตัว อย่ า งเช่ น สารพิ ษ นิ ว โรโทซิ น (Neurotoxin) ซึ่ งเป็ นสารที่ มีผลต่อระบบประสาทที่ มีผลต่อร่ างกายด้านต่างๆ และผสมสาร หลายๆ ชนิด จนทาให้มีการฟื้ นคืนชีพของผูท้ ี่ตายไปแล้วให้ฟ้ื นคืนกลับมาอีกครั้ง ต่อมาในสมัยกลางจะมีความเชื่ อเรื่ อง ซอมบี้ ซึ่ งจะเป็ นการฟื้ นคืนชี พของผูท้ ี่ตายไป แล้ว โดยมีการทาให้บุคคลเหล่านั้นฟื้ นจากความตายมาหลอกหลอนชาวบ้าน[4] ซึ่งมีสาเหตุมา จากการก่ออาชญากรรม มีการล้างแค้นและมีการเชื่อกันว่า ซอมบี้จะตื่นขึ้นมาตอนกลางคืน โดย มี ส าเหตุ ม าจากปรากฏการณ์ ทางวัฒ นธรรมตั้ง แต่ จี น ญี่ ปุ่ น แถบแปซิ ฟิ ก อิ น เดี ย เปอเชี ย อาหรับและอเมริ กนั

1


ซอมบี้ ใ นสมัย ใหม่ จ ะมี ลกั ษณะคล้ายโรคระบาดนั่น เอง มี แ นวคิ ด เกี่ ย วกับการเกิ ด กัมมันตภาพรังสี หรื อเป็ นเชื้ อโรคที่เกิ ดขึ้น เป็ นการดาเนิ นการหรื อการเปลี่ยนแปลงทางด้าน พันธุกรรม จนกลายเป็ นการกลายพันธุ์ที่มีผลจนทาให้เกิดความผิดปกติ และในที่สุด กลายเป็ น “ซอมบี้” โดยซอมบี้ในสมัยใหม่น้ นั เป็ นที่เข้าใจกันอยูบ่ นเรื่ องราวที่ แสดงให้เห็นในภาพยนต์และเกมส์ต่างๆ [1,5] ลักษณะของซอมบี้จะเป็ นลักษณะของคนที่ตายไปแล้ว กลับมาเดินเหินและกินซากศพ และแสดงออกโดยคาสัง่ ของผูท้ ี่มีอานาจวิเศษ จะได้ยนิ เสี ยงหรื อรับรู ้คาสัง่ แต่จะปราศจากความ ทรงจาใดๆ โดยไม่รู้จกั ความเจ็บปวดหรื อความกลัว ซอมบี้กลุ่มแฟรงค์เกนสไตล์ หรื อซอมบี้ กลุ่ม ที่เกิดจากการทดลองจากไวรัสปรสิ ตจะมีลกั ษณะการเคลื่อนไหวที่เชื่องช้าเพราะเหตุที่วา่ เป็ นผูท้ ี่ตายแล้วเลือดจึงมีการแข็งตัวจึงทาให้เคลื่อนไหวลาบากเมื่อใดที่ซอมบี้มีการกัดกินหรื อ ข่วนมนุษย์กจ็ ะกลายเป็ นซอมบี้ได้เช่นเดียวกัน โดยซอมบี้พวกนี้จะมีลกั ษณะคล้ายคนแต่หน้า ซีด ตัวขาวมีเลือดชุ่มทั้งตัว น่าสยดสยอง แต่จะมีจุดอ่อนที่หวั เพราะเหตุที่วา่ ซอมบี้พวกนี้จะมี เชื้อไวรัสเข้าไปควบคุมที่สมอง(Resident Evil [6]) โดยการติดเชื้อที่เกิดขึ้นสามารถทาลายได้ โดยการตัดหัวหรื อทาลายสมอง ของซอมบี้ ซอมบี้กจ็ ะกลายเป็ นศพอีกครั้ง

1.2 วัตถุประสงค์ของโครงงาน 1) เพื่อศึกษาแบบจาลองของซอมบี้ 2) เพื่อศึกษาจุดสมดุลของแบบจาลองในเชิงตัวเลขของแบบจาลอง 3) เพื่อสามารถนาทฤษฎีต่างๆมาประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาการวิเคราะห์แบบจาลองของซอมบี้

1.3 ประโยชน์ที่ได้รับ 1) ศึกษาแบบจาลองของซอมบี้ - รู ปแบบและลักษณะของการพัฒนาการของซอมบี้ - ผลกระทบและปัญหาที่เกิดขึ้น 2) ข้อจากัดของการวิเคราะห์แบบจาลอง - สามารถศึกษาสภาพของการมีอยูข่ องประชากรเริ่ มแรกโดยการเกิดมีขนาดคงที่ - ระบบหรื อบรรยากาศของธรรมชาติที่มีผลต่อแบบจาลองซอมบี้ที่มีลกั ษณะคงที่

2


3) ศึกษาและวิเคราะห์แบบจาลองเชิงคณิ ตศาสตร์ของแบบจาลองซอมบี้ - อธิบายความหมายและการสร้างตัวแบบของซอมบี้รวมถึงการทานายสภาพของซอมบี้ที่ เป็ นไปได้ ในอนาคต - วิเคราะห์แบบจาลองเพือ่ หาเงื่อนไขที่มีผลต่อแบบจาลองของซอมบี้ พร้อมทั้งอธิบายผลที่ได้ โดยขั้นตอนการวิเคราะห์บางส่ วนจาเป็ นต้องใช้โปรแกรมสาเร็ จรู ปทางคณิ ตศาสตร์ช่วย

1.4 ขอบเขตของโครงงาน 1) หาจุดสมดุลของแบบจาลองโรคติดต่อแบบ SZR แบบจาลองโรคติดต่อแบบ SIZR และแบบจาลองในการรักษา 2) ใช้วิธีการทางออยเลอร์ แก้ปัญหาสมการเชิงอนุพนั ธ์อนั ดับหนึ่ง 3) ใช้โปรแกรม Matlab ช่วยในการวิเคราะห์แบบจาลองที่เกิดขึ้น

3


บทที่ 2 ความรู้พ้นื ฐานและทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง 2.1 แบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์ของโรคติดต่อแบบ ( SIR ) [7] 2.1.1 บทนา ในปี 1927 1927, W. O. Kermack และ A. G. McKendrick สร้างแบบจาลองของประชากร ที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลง จากการพิจารณาพบว่าประชากรสามารถแบ่งออกได้เป็ น 3 กลุ่ม ดังนี้ 1. กลุ่มเสี่ ยง (susceptible:S) คือ ประชากรที่เสี่ ยงต่อการติดเชื้อ 2. กลุ่มติดเชื้อ (infected:I) คือ ประชากรที่ติดเชื้อ 3. กลุ่มที่ถูกคัดออก (recovered:R) คือ ประชากรที่ตายไปหรื อหายจากการติดเชื้อ แบบจาลอง SIR จะใช้สาหรับอธิบายการแพร่ กระจายของโรคระบาดในประชากร แบบจาลองนี้เป็ นแบบจาลองอย่างง่าย ซึ่งเป็ นแบบจาลองสาหรับโรคระบาด เช่นโรคหัด โรคคางทูม โรคหัดเยอรมัน ซึ่งผูต้ ิดเชื้อจะไม่สามารถกลับไปติดเชื้อได้อีกครั้ง 2.1.2 ตัวแปร ประชากรจะมีการเปลี่ยนแปลงจากกลุ่มหนึ่งไปยังอีกกลุ่มหนึ่งซึ่งขึ้นอยูก่ บั เวลา ที่ผา่ นไป (t) 1. S=S(t) เป็ นจานวนประชากรที่มีความเสี่ ยงต่อการติดเชื้อ เมื่อเวลาผ่านไป (t) 2. I=I(t) เป็ นจานวนประชากรที่ติดเชื้อ เมื่อเวลาผ่านไป (t) 3. R=R(t) เป็ นจานวนประชากรที่ตายไปหรื อหายจากการติดเชื้อ เมื่อเวลาผ่านไป (t)

Susceptible

Infected

4

Recovered


จานวนประชากรทั้งหมดในแบบจาลองแทนด้วย N (100% ของประชากร) เป็ นค่าคงที่ นัน่ คือ

S '  Z '  R'  0

2.1.3 ความเป็ นมา กาหนดให้  เป็ นอัตราส่ วนของประชากรที่ติดเชื้อซึ่งโอกาสการติดเชื้อเพิ่มขึ้น จะ ขึ้นอยูก่ บั ความเสี่ ยงต่อการติดเชื้อ และให้  เป็ นอัตราส่ วนของประชากรที่ตายไปหรื อหายจาก การติดเชื้อ เมื่อ dS   SI dt dI   SI   I dt dR  I dt

หรื อ

S    SI I    SI   I Z   I

แบบจาลอง SIR นี้ เป็ นแบบจาลองที่ ไม่เป็ นเชิงเส้น เราจะแก้ระบบสมการ โดยกาหนดให้  และ  เป็ นค่าคงที่ และเพื่อให้การแก้ระบบสมการ ง่ายขึ้น จะแทนค่าต่อไปนี้ โดย กาหนดให้ S  u1 I  u2

ดังนั้น

Z  u3

S   u1 I   u 2 Z   u3

5


จะได้วา่

u1   u1u2 u2   u1u2   u2 u3   u2

นัน่ คือ u    1    u1u2  u  u2    u1u2   u2      u2 u     3 

2.1.4 กราฟ จากแบบจาลอง SIR เมื่อกาหนด     1 ค่าเริ่ มต้น S t   5, I t   0.01 และ R  0  0 ผลลัพธ์ที่ได้จากแบบจาลอง สามารถอธิบายได้วา่ เมื่อประชากรที่มีความเสี่ ยง ต่อการติดเชื้อ(S) ลดลง ประชากรที่ติดเชื้อ(I) เพิ่มขึ้นจนถึงจุดหนึ่งและก็จะลดลง ในขณะเดียวกัน ประชากรที่ตายไปหรื อหายจากการติดเชื้อ(R) ก็จะเพิ่มขึ้นสามารถแสดงได้ดงั ภาพที่ 2-1

ภาพที่ 2-1 ผลลัพท์ที่ได้จากแบบจาลอง SIR

6


2.2 วิธีการทางออยเลอร์ [8] ระบบสมการที่ไม่เชิงเส้นเป็ นระบบสมการที่จะหาคาตอบได้ยงุ่ ยากกว่าแบบเชิงเส้น มากอีกและในบางครั้งไม่ได้คาตอบจริ ง ระเบียบวิธีการที่สามารถหาคาตอบได้ส่วนมากเป็ น วิธีการประมาณค่าซึ่งมีหลายวิธีและวิธีหนึ่งที่จะนาเสนอคือวิธีการออยเลอร์ ใน ค.ศ. 1768 ออยเลอร์ได้พฒั นาวิธีการศึกษาปัญหาค่าขอบโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ไขปัญหาค่า ขอบประกอบกับวิธีการประยุกต์ทางคอมพิวเตอร์โดยใช้หลักแนวคิดพื้นฐานในคาจากัดความ เบื้องต้นของสมการเชิงอนุพนั ธ์ วิธีออยเลอร์เป็ นวิธีที่ง่ายสุ ดในการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพนั ธ์อนั ดับหนึ่ง เมื่อกาหนด y  x1   y1 ซึ่งหลักการของวิธีการออยเลอร์คือการนาค่าจากจุดเริ่ มต้น  xi , yi  มาประมาณค่าจุดถัดไป  xi1 , yi 1  หรื อการประมาณค่า y ในข้อมูลถัดไปเรี ยกว่า การหา คาตอบเชิงตัวเลข (Numerical Solution) ซึ่งมีสูตรการคานวณ ดังนี้  2.2.1 xi 1  xi  h yi 1  yi  f   xi , yi  h dy dx

 x  xi

yi 1  yi  f   xi , yi  xi 1  xi

 2.2.2   2.2.3

การหาคาตอบที่แท้จริ ง (Exact Solution) คือการหาคาตอบโดยนาสมการที่โจทย์ กาหนดให้คือการนา y มาอินทิเกรทเพื่อให้ได้ y แล้วนามาหาคาตอบถัดไปในที่น้ ีคือการหา คาตอบที่แท้จริ งข้อมูลถัดไป h คือระยะห่ างในการประมาณค่าจะพบว่า h ที่มีค่าน้อยจะทาให้คาตอบเชิงตัวเลข (Numerical Solution) มีค่าเข้าใกล้กบั คาตอบที่แท้จริ ง (Exact Solution) ทาให้ค่าความจริ งที่ได้ จากการคานวณมีค่าความผิดพลาดน้อย ค่าคลาดเคลื่อน  Error   yi  numerical   yi  exact 

7

 2.2.4 


โดยตัวอย่างต่อไปนี้ จะแสดงการหาค่าประมาณโดยวิธีออยเลอร์ในการหาคาตอบใน สมการเชิงอนุพนั ธ์อนั ดับหนึ่ง เพื่อเป็ นการแสดงให้เห็นในขั้นตอนวิธีการทาและการ ประมวลผลทางคอมพิวเตอร์ ตัวอย่าง การแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพนั ธ์อนั ดับหนึ่ง dy  1.2 y  7e0.3 x dx ด้วยวิธีการทางออยเลอร์ ขณะที่ x  0 ถึง x  2.5 และ y  3 ที่ x  0 โดยที่คาตอบที่แท้จริ งของสมการเชิงอนุพนั ธ์ คือ

y

70 0.3 x 40 1.2 x e  e 9 9

แก้ปัญหาโดยการคิดมือใช้ h  0.5 วิธีทา โดย สมการ  2.2.1 และสมการ  2.2.2   2.2.5

xi 1  xi  h  xi  0.5

 2.2.6 

yi 1  yi  f  xi , yi  h  yi  1.2 yi  7e0.3 xi (0.5)

โดย สมการ  2.2.5 และสมการ  2.2.6  และใช้ ขั้นที่ 1 ที่ i  1 x2  x1  h  x1  0.5  0  0.5  0.5

i  1, 2,3, 4,5

y2  y1   1.2 y1  7e0.3 x1  0.5  3  1.2  3  7e

0.3 0 

 0.5

y2  4.7

∴ จุดที่ 2 คือ  0.5, 4.7  ขั้นที่ 2 ที่ i  2 x3  x2  0.5  0.5  0.5  1

y3  y2   1.2 y2  7e0.3 x2  0.5  4.7  1.2  4.7   7e0.3 0.5 0.5 y3  4.893

∴ จุดที่ 3 คือ 1, 4.893 ขั้นที่ 3 ที่ i  3 x4  x3  h  x3  0.5  1.0  0.5  1.5

y4  y3  1.2 y3  7e0.3 x3 0.5  4.893  1.2  4.893  7e y4  4.550

∴ จุดที่ 4 คือ 1.5, 4.550

8

0.31.0 

 0.5


ขั้นที่ 4 ที่

i4

x5  x4  h  x4  0.5  1.5  0.5  2.0

y5  y4   1.2 y4  7e0.3 x4  0.5  4.550  1.2  4.550   7e0.31.5 0.5 y5  4.052

∴ จุดที่ 5 คือ  2.0, 4.052 ขั้นที่ 5 ที่ i  5 x6  x5  h  x5  0.5  2.0  0.5  2.5

y6  y5  1.2 y5  7e0.3 x5 0.5  4.052  1.2  4.052   7e

0.3 2.5

 0.5

y2  3.542

∴ จุดที่ 6 คือ  2.5,3.542 หาคาตอบที่แท้จริ งของสมการเชิงอนุพนั ธ์ได้ดงั นี้ xi 1  xi  h  xi  0.5 43  70  yi   e0.3 xi  e1.2 xi  9  9 

จากสมการ  2.2.5 และ  2.2.7  และใช้ ขั้นที่ 1 ที่ i  1

i  1, 2,3, 4,5

x2  x1  h  x1  0.5  0  0.5  0.5 43 43  70   70  y2   e0.3 x2  e1.2 x2    e0.3(0.5)  e1.2(0.5)  9 9  9   9  y2  4.072

∴ จุดที่ 2 คือ  0.5, 4.072 ขั้นที่ 2 ที่ i  2 x3  x2  h  x2  0.5  0.5  0.5  1.0 43 43  70   70  y3   e0.3 x3  e1.2 x3    e0.3(1.0)  e1.2(1.0)  9 9  9   9  y3  4.323

∴ จุดที่ 3 คือ 1.0, 4.323

9

 2.2.5  2.2.7 


ขั้นที่ 3 ที่

i 3

x3  x3  h  x3  0.5  1.0  0.5  1.5 43 43  70   70  y4   e0.3 x4  e1.2 x4    e0.3(1.5)  e1.2(1.5)  9 9  9   9  y4  4.170

∴ จุดที่ 4 คือ 1.5, 4.170 ขั้นที่ 4 ที่ i  4 x5  x4  h  x4  0.5  1.5  0.5  2.0 43 43  70   70  y5   e0.3 x5  e1.2 x5    e0.3(2.0)  e1.2(2.0)  9 9  9   9  y5  3.835

∴ จุดที่ 5 คือ  2.0,3.835 ขั้นที่ 5 ที่ i  5 x6  x5  h  x5  0.5  2.0  0.5  2.5 43 43  70   70  y6   e0.3 x6  e1.2 x6    e0.3(2.5)  e1.2(2.5)  9 9  9   9  y6  3.436

∴ จุดที่ 6 คือ  2.5,3.436 ผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้สมการเชิงอนุพนั ธ์ข้นั ต้น สามารถแสดงได้ดงั นี้ i

xi  yi (numerical ) yi (exact )

Error

0 0.0 3.0

1 0.5 4.70

2 1.0 4.893

3 1.5 4.55

4 2.0 4.052

5 2.5 3.542

3.0 0.0

4.072 0.6277

4.323 0.5696

4.170 0.3803

3.835 0.2165

3.436 0.1054

10


บทที่ 3 วิธีการและผลการดาเนินงาน จากการศึกษาแบบจาลองการติดเชื้อ SIR และการดาเนินการบนพื้นฐานวิธีการ แก้ปัญหาของออยเลอร์ ในโครงงานนี้จะมีการใช้กระบวนการพิจารณาเงื่อนไขรู ปแบบต่างๆ โดยได้มีการอธิบายการวิเคราะห์หาจุดสมดุล การวิเคราะห์ความเป็ นไปได้ ที่จะเกิดขึ้นใน อนาคต รวมถึงการสรุ ปผลและแสดงผลออกมาในรู ปแบบกราฟแบบจาลองที่ศึกษาในโครงงาน นี้ คือ 3.1 วิเคราะห์แบบจาลองโรคติดต่อแบบ SZR เป็ นการศึกษาแบบจาลองที่มีกลุ่มเสี่ ยง กลุ่มซอมบี้ และกลุ่มการตาย 3.2 วิเคราะห์แบบจาลองโรคติดต่อแบบ SIZR เป็ นการศึกษาแบบจาลองที่มีกลุ่มเสี่ ยง กลุ่มการติดเชื้อ กลุ่มซอมบี้ และกลุ่มการตาย 3.3 วิเคราะห์แบบจาลองในการรักษา เป็ นการศึกษาลักษณะของกลุ่ม SIZR โดยมีการ เพิ่มหลักการโดยการรักษา ซึ่งมีการแสดงผลหรื อคานวณ และวิเคราะห์ความเป็ นที่จะเกิดขึ้น 3.4 วิเคราะห์แบบจาลองในการกาจัด เป็ นการศึกษาลักษณะของกลุ่ม SIZR โดยมีการ เพิ่มหลักการโดยการกาจัดที่เกิดขึ้น โดยมีการเสนอหลักการกาจัดและรู ปแบบการกาจัดที่เกิดขึ้น

11


3.1 แบบจาลองขั้นพื้นฐาน (SZR) แบบจาลองขั้นพื้นฐาน(SZR) พิจารณา 3 กลุ่ม กลุ่มที่ 1 กลุ่มเสี่ ยง (S) กลุ่มที่ 2 กลุ่มซอมบี้ (Z) กลุ่มที่ 3 กลุ่มการตาย(R) แบบจาลองขั้นพื้นฐาน(SZR) พิจารณาการกลายเป็ นซอมบี้ 2 แบบ ได้แก่ แบบการฟื้ น คืนชีพจากกลุ่มการตายและแบบการเป็ นซอมบี้จากกลุ่มเสี่ ยง ซึ่งสามารถแสดงเป็ นแบบจาลอง ได้ดงั นี้ S

S

 SZ

Z

 SZ

R

R

ภาพที่ 3-1 แบบจาลองขั้นพื้นฐาน (SZR) โดยแต่ละกลุ่มจะมีพารามิเตอร์ซ่ ึงเป็ นค่าคงที่ควบคุมการเปลี่ยนแปลง ดังนี้  คืออัตราการเกิด  คืออัตราการติดเชื้อซอมบี้  คืออัตราการตายของกลุ่มซอมบี้  คืออัตราการตายของกลุ่มเสี่ ยง  คืออัตราซอมบี้ที่ถูกทาลาย ดังนั้น สมการการเปลี่ยนแปลงขั้นพื้นฐานทั้ง 3 กลุ่ม คือ S '     SZ   S

  Z '   SZ   R   SZ  R '   S   SZ   R  

นี่คือแบบจาลองที่แสดงในภาพที่ 3-1

12

 3.1.1


การติดเชื้อของซอมบี้เราจะใช้แบบจาลอง (SIR) เป็ นพื้นฐานในการสร้างแบบจาลอง ซึ่งแบบจาลองการติดเชื้อของซอมบี้จะมีลกั ษณะที่ซบั ซ้อนมากขึ้นเล็กน้อยในด้านความแตก ต่างของตัวแปรในการอภิบายลักษณะการติดเชื้อและเป็ นสมการที่ไม่เชิงเส้นเพราะใน บาง เทอมของสมการมีสองตัวแปร โดยในเทอมของสมการที่มีสองตัวแปรนี้จะสามารถวิเคราะห์ ความน่าจะเป็ นที่เกิดขึ้น พิจารณากระบวนการติดเชื้อในกลุ่มบุคคลที่มีโอกาสกลายเป็ นซอมบี้

  N  S N  Z   SZ  โดยให้ N แทนประชากรที่ไม่ติดเชื้อ (สามารถอธิบายได้วา่ N  S เนื่องจากประชากร สามารถเป็ นกลุ่มเสี่ ยงและกลุ่มเสี่ ยงที่เกิดขึ้นจะต้องมีจานวนที่นอ้ ยกว่าหรื อเท่ากับประชากร เท่านั้น) ดังนั้น  N แทนการติดเชื้อของประชากรที่เกิดขึ้นได้ท้ งั หมด ฉะนั้น S N คือความน่าจะเป็ นของกลุ่มเสี่ ยงที่เกิดขึ้นในประชากรทั้งหมด เท่ากับ 1 พิจารณาโอกาสเสี่ ยงที่มีผลต่อการทาลายซอมบี้

 N  Z N  S   SZ โดยให้ N แทนประชากรที่ไม่ติดเชื้อ (สามารถอธิบายได้วา่ N  Z เนื่องจากประชากรสามารถ เป็ นกลุ่มเสี่ ยงได้ท้ งั หมดและกลุ่มเสี่ ยงที่เกิดขึ้นจะต้องมีจานวนที่นอ้ ยกว่าหรื อเท่ากับประชากร เท่านั้น) ดังนั้น  N แทนการตายหรื อการโดนทาลายของประชากรที่เกิดขึ้นได้ท้ งั หมด ฉะนั้น Z N คือความน่าจะเป็ นที่ของซอมบี้ที่เกิดขึ้นในประชากรทั้งหมดเท่ากับ 1 พิจารณาการระบาดระยะเวลานาน ให้   0 ขณะที่ t   S '  Z '  R'      SZ   S     SZ   R  SZ   S   SZ   R  

เพรำะฉะนั้น

S '  Z '  R '     S  Z  R  



13


สรุ ปได้วา่ เมื่อใช้ระยะเวลานานกลุ่มเสี่ ยงจะไม่เพิ่มขึ้นตามระยะเวลาตรงกันข้ามกลุ่ม ซอมบี้และกลุ่มการตายจะเพิม่ ขึ้นตามระยะเวลา พิจารณาการระบาดในระยะเวลาอันสั้น ดังนั้นจะไม่สนใจอัตราการเกิดและ อัตราการตาย กาหนดให้     0 จากสมการการเปลี่ยนแปลงขั้นพื้นฐานทั้ง 3 กลุ่ม จาก  3.1.1 แทนค่า สมการด้วย     0 จะได้ S     SZ 

  Z   SZ   R   SZ   R '   SZ   R  '

 3.1.2 

วิเคราะห์หาจุดสมดุล โดยกาหนดให้ S   Z   R  0 จะได้ 0    SZ  0   SZ   R   SZ 0   SZ   R

พิจารณา สมการ (3.1.3)

  SZ  0

S  0 หรื อ Z  0 จะได้วา่ ในกรณี ที่ Z  0 แทน Z  0 ในสมการ (3.1.4)  SZ   R   SZ  0

จะได้ R  0 เพราะ 

เป็ นค่าคงที่

แทน Z  0 และ R  0 ในสมการ (3.1.5)  SZ   R 0 00

จะได้ ดังนั้นจากในกรณี ที่ Z  0 จะได้ S  N จะได้ระบบสมการที่แสดงจุดสมดุลของสภาวะที่ปลอดโรค  S , Z , R    N ,0,0

14

 3.1.3  3.1.4   3.1.5 


ในกรณี ที่ S  0 แทน S  0 ในสมการ (3.1.4)  SZ   R   SZ  0

จะได้ R  0 เพราะ 

แทน S  0 และ จะได้

เป็ นค่าคงที่

R  0 ในสมการ (3.1.5)

 SZ   R 0 00

ดังนั้นจากในกรณี ที่ S  0 จะได้ Z  Z จะได้ระบบสมการที่แสดงจุดสมดุลของเมืองที่มีแต่ซอมบี้  S , Z , R    0, Z ,0 เราใช้ระเบียบวิธีการออยเลอร์แก้ปัญหาสมการเชิงอนุพนั ธ์ โดยการเขียนโปรแกรม Matlab และกาหนดค่าคงที่   0.005,   0.0095,   0.0001 และ   0.0001 ผลที่ได้ แสดงดังภาพที่ 3-2 และภาพที่ 3-3 ซึ่งภาพที่ 3-2 แสดงถึงซอมบี้ที่ไม่มีการระบาด จานวนของ กลุ่มเสี่ ยงเริ่ มต้นที่แสดงในเส้นสี น้ าเงินจะมีค่าเท่ากับจานวนของประชากรทั้งหมดตลอดช่วง ระยะเวลา t ในทางกลับกันการระบาดของซอมบี้ที่แสดงในเส้นสี แดงซึ่งมีค่าเท่ากับ 0 คือไม่ เกิดขึ้นตลอดระยะเวลา t เช่นกัน ภาพที่ 3-3 แสดงถึงการระบาดของซอมบี้ จะเห็นได้วา่ เมื่อระยะเวลาผ่านไปจานวนกลุ่มเสี่ ยงมี การลดลงในทางกลับกันกลุ่มซอมบี้และกลุ่มการตายมีการเพิ่มจานวนขึ้นซึ่งผลรวมของกลุ่ม เสี่ ยงและกลุ่มการตายจะมีคา่ เท่ากับจานวนของกลุ่มเสี่ ยงทั้งหมด

15


ภาพที่ 3-2 แบบจาลอง SZR เมื่อไม่มีการติดเชื้อของซอมบี้

16


ภาพที่ 3-3 แบบจาลอง SZR เมื่อมีการระบาดของซอมบี้

17


3.2 รู ปแบบการติดเชื้อแฝง (SIZR) รู ปแบบการติดเชื้อแฝงมีระยะเวลาประมาณ 24 ชัว่ โมง หลังจากที่มนุษย์เกิดความอ่อนแอ ทาให้ถูกซอมบี้กดั จนกระทัง่ กลายเป็ นซอมบี้ [1] ในรู ปแบบจาลองนี้ได้มีการขยายแบบจาลองขั้น พื้นฐานโดยรวมที่เป็ นไปได้ในการติดเชื้อก่อนที่จะกลายเป็ นซอมบี้ ซึ่งจะพบเห็นบ่อยว่านี่เป็ น วัฒนธรรมของซอมบี้ [2,6,10] ตัวอย่างแบบจาลอง S

S

 SZ

I

pI

Z

R

R

 SZ I

ภาพที่ 3-4 แบบจาลองการติดเชื้อแฝงของซอมบี้ (SIZR) ดังนั้น ระบบสมการการเปลี่ยนแปลง ODE’s คือ S      SZ   S   I    SZ   I   I   Z    I   R   SZ  R   S   I   SZ   R  

(3.2.1)

พิจารณาการระบาดในช่วงเวลาสั้น โดยกาหนดให้     0 จะได้ 0    SZ 0   SZ   I 0   I   R   SZ 0   SZ   R

18

(3.2.2) (7) (3.2.3) (3.2.4) (3.2.5)


พิจารณา สมการ (3.2.2)  SZ  0

จะได้

S 0

หรื อ Z  0

ในกรณี ที่ Z  0 แทน Z  0 ในสมการ (3.2.3)  SZ   I  0

จะได้ I  0 เพราะ 

เป็ นค่าคงที่

แทน Z  0 และ I  0 ในสมการ (3.2.4)  I   R   SZ  0

จะได้ R  0 เพราะ 

เป็ นค่าคงที่

แทน Z  0 และ R  0 ในสมการ (3.2.5)  SZ   R  0

จะได้

00

ดังนั้นจากในกรณี ที่ Z  0 จะได้ S  N ในกรณี ที่ S  0 แทน S  0 ในสมการ (3.2.3)  SZ   I  0

จะได้ I  0 เพราะ 

เป็ นค่าคงที่

19


แทน S  0 และ I  0 ในสมการ (3.2.4)  I   R   SZ  0

จะได้ R  0 เพราะ 

เป็ นค่าคงที่

แทน S  0 และ R  0 ในสมการ (3.2.5)  SZ   R  0

จะได้ 00

ดังนั้นจากในกรณี ที่ S  0 จะได้ Z  Z เมื่อ Z=0 หรื อ S=0 จะจุดสมดุลของรู ปแบบจาลอง SIZR ดังนี้ Z  0   S , I , Z , R    N , 0, 0, 0  S  0   S , I , Z , R    0, 0, Z , 0 

เราใช้ระเบียบวิธีการออยเลอร์แก้ปัญหาสมการเชิงอนุพนั ธ์ โดยการเขียนโปรแกรม Matlab และกาหนดค่าคงที่   0.005,   0.0095,   0.0001 ,   0.0001,   0.005 ผลที่ได้ แสดงว่า เมื่อระยะเวลาผ่านไปจานวนประชากรจะลดลง ในขณะที่จานวนซอมบี้กจ็ ะ เพิ่มขึ้น และประชากรส่ วนหนึ่งจะตายไปแสดงดังภาพที่ 3-5

20


ภาพที่ 3-5 การติดเชื้อแฝงของแบบจาลอง SIZR

21


3.3 แบบจาลองของการรักษา จากการคาดการณ์โรค zombie – ism สามารถรักษาได้ ซึ่งอาจจะทาให้ซอมบี้กลับมา เป็ นมนุษย์ได้อีกครั้งและเมื่อเป็ นมนุษย์แล้วก็สามารถกลับไปเป็ นซอมบี้ได้อีก ดังนั้นการรักษานี้ จึงไม่เป็ นการสร้างภูมิคุม้ กันโรคซอมบี้ สิ่ งที่ตอ้ งพิจารณา ได้แก่ - ขณะให้การรักษาไม่จาเป็ นต้องกักกันไว้ - หลังจากการรักษาซอมบี้จะกลับไปเป็ นมนุ ษย์ดงั เดิม โดยลืมว่าเคยเป็ นซอมบี้ - การรักษาไม่เป็ นการให้ภูมิคุม ้ กันจึงทาให้มนุษย์กลายเป็ นซอมบี้ได้อีก ดังนั้น จึงให้สมการแบบจาลองของการรักษาไว้ดงั นี้ S '     SZ   S  cZ   I    SZ   I   I   ' Z   I   R   SZ  cZ  R '   S   I   SZ   R  

ตัวอย่างแบบจาลอง

(3.3.1)

S I

S

 SZ

I

pI

Z

R

 SZ cZ

ภาพที่ 3-6 แบบจาลองของการรักษา

22

R


แล้วจะหาจุดสมดุลของระบบสมการเชิงอนุพนั ธ์ โดยการกาหนดให้ ซึ่งจะได้รับระบบสมการใหม่ ดังนี้ 0     SZ   S  cZ   0   SZ  pI   I   0  pI   R   SZ  cZ  0   S   I   SZ   R  

S   I   Z   R  0

(3.3.2)

กาหนดให้     0 เมื่อ Z  0 เราจะได้จุดสมดุลของสภาวะที่ปลอดโรค ดังต่อไปนี้ 0   SZ  cZ  0   SZ   I 0   I   R   SZ  cZ  0   SZ   R

พิจารณา สมการ (3.3.3) 0   SZ  cZ  0  Z   S  c  0   S  c S 

c

หรื อ

ในกรณี Z  0 แทน Z  0 สมการ (3.3.4) 0   SZ   I 0   I  0

แทน Z  0 และ I  0 สมการ (3.3.5) 0  R R  0

23

Z 0

(3.3.3) (3.3.4) (3.3.5) (3.3.6)


แทน Z  0 และ R  0 สมการ (3.3.6) 0   SZ   R 0   SZ S  N

จากระบบสมการจะได้จุดสมดุลที่แสดงสภาวะที่ปลอดโรค ดังนี้

 S , I , Z , R    N , 0, 0, 0  ในกรณี แทน

S

c

สมการ (3.3.4) 0   SZ   I   I    SZ

แทน

S

c

และ I

cZ

I 

  SZ 

I 

  cZ  

I 

cZ

สมการ (3.3.5) 0   I   R   SZ  cZ

 cZ  cZ  R   cZ    cZ 0  R    R Z  c 0



24

(3.3.7)


แทน S 

c

ในสมการ (3.3.6) 0   SZ   R

 cZ  R   cZ R   0

(3.3.8)

นา (3.3.8) แทนใน (3.3.7)  cZ    Z  c Z  Z

ดังนั้น จุดสมดุลที่แสดงถึงการรักษา คือ

 S , I , Z , R    c , c Z , Z , c Z  

ผลลัพธ์ที่ได้จะแสดงใน ภาพที่ 3-7 ในกรณี น้ ีมนุษย์จะไม่ถูกกาจัดให้หมดไป เพียงแต่มี จานวนน้อยลง เราใช้ระเบียบวิธีการออยเลอร์แก้ปัญหาสมการเชิงอนุพนั ธ์ โดยการเขียนโปรแกรม Matlab และกาหนดค่าคงที่   0.005,   0.0095,   0.0001 ,   0.0001 ,   0.005 , c  0.00035 ผลที่ได้ แสดงว่า เมื่อระยะเวลาผ่านไปจานวนประชากรจะลดลงแต่ยงั ไม่หมดไป ในขณะที่จานวนซอมบี้กจ็ ะเพิ่มขึ้นและจานวนประชากรที่ตายไปจะมีจานวนมากขึ้นแสดงดัง ภาพที่ 3-7

25


ภาพที่ 3-7 กราฟแสดงแบบจาลองการรักษา

26


บทที่ 4 สรุ ปและข้อเสนอแนะ 4.1 สรุ ปผลการดาเนินงาน ในการศึกษาโครงงานนี้เป็ นการศึกษาแบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์ของการระบาดของการ ติดเชื้อซอมบี้ที่มีอตั ราการเกิดและอัตราการตายเข้ามาเกี่ยวข้อง โดยพิจารณาหาจุดสมดุลและ อธิบายคาตอบของแบบจาลองโดยใช้วิธีการของออยเลอร์ นอกจากนี้ยงั ได้ใช้โปรแกรม MATAB มาช่วยให้การวิเคราะห์คาตอบและแสดงผลโดยการวาดกราฟ

4.2 ข้อเสนอแนะ การศึกษาแบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์ ของการระบาดของการติดเชื้อซอมบี้ มีการคานวณ และวิเคราะห์พฤติกรรมของคาตอบ ดังนั้นผูศ้ ึกษาจะต้องมีพ้นื ฐานความรู ้ทางคณิ ตศาสตร์มาก พอสมควรและแบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์น้ ีควรใช้โปรแกรมสาเร็ จรู ปทางคณิ ตศาสตร์ MATAB เพื่อช่วยให้การคานวณมีความแม่นยาและรวดเร็วมากขึ้น และสามารถแสดงกราฟเพื่อวิเคราะห์ พฤติกรรมของคาตอบและหากผูศ้ ึกษาสามารถพัฒนาโปรแกรมให้มีประสิ ทธิภาพมากขึ้น ก็จะช่วย ในการคานวณและการวิเคราะห์ได้อย่างสมบูรณ์และมีประสิ ทธิภาพมากขึ้น แบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์ของโรคระบาดซอมบี้น้ ี ผูศ้ ึกษาสามารถนาแนวทางในการ พัฒนาแบบจาลองให้เหมาะสมกับโรคระบาดที่เกิดขึ้นกับสถานการณ์จริ งปัจจุบนั

27


บรรณานุกรม [1] Brooks, Max, 2003 The Zombie Survival Guide - Complete Protection from the Living Dead, Three Rivers Press, pp. 2-23. [2] Romero, George A. (writer, director), 1968 Night of the Living Dead. [3] Davis, Wade, 1988 Passage of Darkness - The Ethnobiology of the Haitian Zombie, Simon and Schuster pp. 14, 60-62. [4] Davis, Wade, 1985 The Serpent and the Rainbow, Simon and Schuster pp. 17-20, 24,32. [5] Williams, Tony, 2003 Knight of the Living Dead - The Cinema of George A. Romero, Wallflower Press pp.12-14. [6] Capcom, Shinji Mikami (creator), 1996-2007 Resident Evil. [7]Brauer, F. Compartmental Models in Epidemiology. In: Brauer, F., van den Driessche, P., Wu, J. (eds). Mathematical Epidemiology. Springer Berlin 2008. [8] Joseph Hayton. “Euler’s Explicit Method” Numerical Methods for Engineers and Scientists : An Introduction with Application Using MATLAB. p.312-322, 2008 [9] รศ. ดร.ชนศักดิ์ บ่ายเที่ยง รศ. ศรี บุตร แววเจริ ญ. คณิ ตศาสตร์ วิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ เมตริ กซ์ พีชคณิ ตเชิงเส้น และการประยุกต์ (ซีรี่ย8์ ) ภาควิชาคณิ ตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ ประยุกต์ สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนือ, 2546. [10] Capcom, Keiji Inafune (creator), 2006 Dead Rising.

28


ภาคผนวก

29


โปรแกรม MATLABสาหรับแบบจาลอง SZR N = 500; %N is the population a = 0.005; ze = 0.0001; l = 0.005; T = 5; dt = 0.0095; n = T/dt; t = zeros(1,n+1); s = zeros(1,n+1); z = zeros(1,n+1); r = zeros(1,n+1); s(1) = N; z(1) = 0; r(1) = 0; t = 0:dt:T; for i = 1:n s(i+1) = s(i) + dt*(-b*s(i)*z(i)+d*z(i)); z(i+1) = z(i) + dt*((-a)*s(i)*z(i))+ ze*r(i)+(l*In(i)-d*z(i));%- dt*z(i); r(i+1) = r(i) + dt*(a*s(i)*z(i)+ dt*s(i) - ze*r(i)); end hold on plot(t,s,'b'); plot(t,z,'r'); legend('Suscepties','Zombies'); xlabel('T(day)'); ylabel('N(population)');

30


โปรแกรม MATLABสาหรับแบบจาลองการติดเชิ้อแฝง SIZR N = 500; %N is the population a = 0.005; ze = 0.0001; l = 0.005; Ti = 10; b = 0.0095; dt = 0.0001; n = Ti/dt; t = zeros(1,n+1); In =zeros(1,n+1); s = zeros(1,n+1); z = zeros(1,n+1); r = zeros(1,n+1); s(1) = N; z(1) = 0; r(1) = 0; t = 0:dt:Ti; for i = 1:n s(i+1) = s(i) + dt*(-b*s(i)*z(i)); In(i+1) =In(i)+ dt*(b*s(i)*z(i))-(l*In(i)); z(i+1) = z(i) + dt*((-a)*s(i)*z(i))+ ze*r(i)+(l*In(i))- dt*z(i); r(i+1) = r(i) + dt*(a*s(i)*z(i)+ dt*s(i) - ze*r(i)); end

31


hold on plot(t,s,'b');plot(t,In,'y') plot(t,z,'r');plot(t,r,'g'); legend('Suscepties','Infection','Zombies','Remove') xlabel('T(day)'); ylabel('N(population)');

32


โปรแกรม MATAB สาหรับแบบจาลองการรักษา SIZR N = 500; %N is the population a = 0.005; ze = 0.0001; l = 0.005; d=0.00035; Ti = 15; b = 0.0095; dt = 0.0001; n = Ti/dt; t = zeros(1,n+1); In =zeros(1,n+1); s = zeros(1,n+1); z = zeros(1,n+1); r = zeros(1,n+1); s(1) = N; z(1) = 0; r(1) = 0; t = 0:dt:Ti; for i = 1:n s(i+1) = s(i) + dt*(-b*s(i)*z(i)+d*z(i)); In(i+1) =In(i)+ dt*(b*s(i)*z(i))-(l*In(i)); z(i+1) = z(i) + dt*((-a)*s(i)*z(i))+ ze*r(i)+(l*In(i)-d*z(i));%- dt*z(i); r(i+1) = r(i) + dt*(a*s(i)*z(i)+ dt*s(i) - ze*r(i)); end

33


hold on plot(t,s,'b');plot(t,In,'y') plot(t,z,'r');plot(t,r,'g'); legend('Suscepties','Zombies','Remove','Infection') xlabel('T(day)'); ylabel('N(population)');

34

MATHEMATICAL MODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIE INFECTION  

MATHEMATICAL MODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIE INFECTION

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you