Issuu on Google+

  การวิเคราะหตัวแบบจําลองวิยุตสําหรับศึกษาพฤติกรรมการกิน  ของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร  (Analysis of Discrete Model for Leaf – Eating Herbivores)

นางสาวฉัตชนก

รัตนแสงศรี

นางสาวสุชาดา

ชะนะหมัด

นางสาวกุลรดา

แซตัน

โครงงานนี้เปนสวนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาคณิตศาสตรประยุกต ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือ ปการศึกษา 2554


e

n1:Ttn: lyli

roolR:.r.rru

/a o A .g et'?rru u,f, tao{aqnrfio fr nu rr

a

a

ajo

-

rq6n:: u nr: ilutolti'srifr

e

nuluhi

dt

tljuorl{1: Analysis

u]{fl

IoE,

of

Discrete Model for Leaf

l?li'et su

Eating Herbivores

-

d

n isruttal

u1{d1?qs]et1 syuyyflet u1.1d]?QAiqr A

rrqid'u

/t

J

d]ltl?S1

niuetfllda:il:sqflFl

fl1n?u1

fl0.r9tfl]dgr:

nilv

a

a/

Jt

?

?vru]fl1daTil:yunsr

dd t4

o't0'l:umu:nu1 drd

iln15flnu1

@Jd",

o:.nildust tuuutil:rJ 2554

nrn?rytnfiflf,tdaf naluamurf,ldofrJ:vqnri ruuriuurd'orvroIulatrry:u0olrrndru:u4

ua6lr1

o'd,

r

i

d

s

ra

a

s

ufi:tl'luooulJ9ltu tn:.:{1uut]Jufl?u14u{zu0{n1:flnu19t1uilanqfl:iltiuiu1amulflldgt:uar.nqarrr A

/t

nflr9rf,ldsr:lJ:vunet I

J

.

MV:ti

tA ,a

rils.wtttn

(q:.n ud'uei

rfi

ounj:

010r:uvril:nu1 rL)

dpz(n:.to nfi'u

qar 1fi rJ?

rff{flriruer

o

n

aor

: rr

e

o'

I dT r I il u

ra

ururry)

p

n::ilnl:

r:d rarrd'nuof

a

o{n

1

R::UNl:

a

n ? st fl 0r

u u'r d'u

rvr n

gt

fl

fu)

rosE

1

dn

/

:

a

n i)l u ?yt u

Iu I n6vr : y o o ru

flnr:finsr

r

n

zss+

Jt

J

tfl I fl fl i il : u q n sl

dr u :

s

u n : ril fi o


บทคัดยอ ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร หรือ แบบจําลองทางคณิตศาสตร เปนสิ่งที่ถูกใชกันอยางแพรหลาย ในปจจุบัน ทั้งทางดานฟสิกส ชีววิทยา วิศวกรรมศาสตร เปนตน ซึ่งตัวแบบเชิงคณิตศาสตรจะ แสดงใหเห็นถึงการเปลี่ยนแปลงคาของขอมูลตางๆ ในรูปสมการทางคณิตศาสตร ซึ่งเปนการแปลง ปญหาที่เกิดขึ้นจริงในธรรมชาติใหอยูในรูปของสมการเชิงคณิตศาสตรเพื่อใหงายตอการวิเคราะห วิจัยและการดําเนินงานในภายหลัง สําหรับโครงงานนี้จะใชพื้นฐานของวิธีสมการเชิงผลตางชวยในการศึกษาตัวแบบเชิง คณิตศาสตร เพื่อวิเคราะหแกปญหาและศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร รวม ไปถึงการศึกษาผลกระทบและปริมาณการบริโภคของสัตวที่กินใบไมกับปริมาณของใบไมทมี่ อี ยูใ น ธรรมชาติ ซึ่งสามารถนําผลเฉลยที่ไดมาวิเคราะหพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร และสามารถหาผลเฉลยที่นํามาสูสภาวะสมดุลทางธรรมชาติได รวมไปถึงนําผลที่ไดจากโครงงาน ไปพั ฒ นาโปรแกรม โดยผลที่ ไ ด จ ากการศึ ก ษาสามารถนํ า ไปประยุ ก ต ใ ช ใ นป ญ หาทางด า น วิทยาศาสตรและวิศวกรรมศาสตรตางๆ ตอไป

ก  


ABSTRACT Currently, mathematical models are widely used in several fields such as physics, biology, and engineering. The mathematical model shows the rate of change of any data in terms of mathematical equations. The mathematical equation occurs from the conversion of real problem in nature for making it easier to analyze and to research later. This special project is to study and analyze the discrete model for leaf-eating herbivore interaction based on scheme to find solutions of the difference equation. The analysis of leafeating herbivore model is concerned about an eating behavior of animals that has the leaves as its food. We also study impact and consumption of leaf-eating herbivore on the amount of leaves in nature. The objective of this project is to find and analyze the steady-state solutions or equilibriums. Then the mathematical program is developed to illustrate the stability analysis of the solution. The results of the study can be applied to other problems in science and engineering fields further.

 

ข  


กิตติกรรมประกาศ โครงงานเรื่องการวิเคราะหตัวแบบจําลองวิยุตสําหรับศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กิน ใบไมเปนอาหารสําเร็จลุลวงลงไดดวยดีดวยความอนุเคราะหชวยเหลือจากหลายฝาย ทางคณะ ผูจัดทําใครขอขอบคุณ ดร.คมสันต เนียมเปรม ซึ่งเปนอาจารยที่ปรึกษาในการจัดทําโครงงานฉบับนี้ ที่ ก รุ ณ าสละเวลา เอาใจใส ใ ห คํ า ปรึ ก ษาและคํ า แนะนํ า ที่ เ ป น ประโยชน ตลอดจนช ว ยแก ไ ข ขอบกพรองตาง ๆ ในการจัดทําโครงงานฉบับนี้ และใครขอขอบพระคุณคณะกรรมการในการสอบ โครงงาน ดร.เอกชัย คุณวุฒิปรีชาชาญ และ ผูชวยศาสตราจารยเสาวลักษณ เจศรีชัย ที่ใหคําแนะนํา เพิ่มเติม สละเวลาในการตรวจตราแกไขในการจัดทําโครงงานฉบับนี้ใหมีความสมบูรณยิ่งขึ้น ที่สําคัญที่สุดทางคณะผูจัดทําขอกราบขอบพระคุณคณาจารยภาควิชาคณิตศาสตรทุกทานที่ ไดประสิทธิประสาทวิชาการความรูตาง ๆ ใหแกคณะผูจัดทําจนมีความรูความสามารถเพียงพอ สําหรับทําโครงงานนี้ใหสําเร็จลุลวงไปไดดวยดี และขอกราบขอบพระคุณบิดา มารดาที่ไดสงเสีย ทางคณะผูจัดทําใหมีโอกาสเลาเรียนจนสําเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรี รวมทั้งขอบคุณเพื่อนรวม ชั้นของคณะผูจัดทําทุกคนที่ไดใหกําลังใจและชวยเหลือดานตาง ๆ ในการจัดทําจนโครงงานชิ้นนี้ สําเร็จลุลวงดวยดีไว ณ โอกาสนี้

นางสาวฉัตชนก รัตนแสงศรี นางสาวสุชาดา ชะนะหมัด นางสาวกุลรดา แซตัน

ค  


สารบัญ หนา บทคัดยอภาษาไทย

บทคัดยอภาษาอังกฤษ

กิตติกรรมประกาศ

สารบัญตาราง

สารบัญภาพ

บทที่ 1 บทนํา 1.1 ความเปนมาของโครงงาน

1

1.2 ความสําคัญของโครงงาน

4

1.3 วัตถุประสงคของโครงงาน

5

1.4 ประโยชนที่คาดวาจะไดรับ

5

1.5 ระเบียบวิธีดําเนินงาน

6

1.6 ขอบเขตของการดําเนินงาน

6

บทที่ 2 ความรูพื้นฐานและทฤษฎีที่เกี่ยวของ 2.1 สมการเชิงผลตาง

7

2.2 ระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสน

10

2.3 สมการเชิงผลตางไมเชิงเสน

15

2.4 ระบบของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน

18

ง  


สารบัญ (ตอ)

 

หนา บทที่ 3 วิธีการดําเนินงาน 3.1 แบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางพืชและสัตวที่กินพืชเปนอาหาร

22

3.2 แบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางใบไมและสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร

25

บทที่ 4 สรุปผลการดําเนินการ และขอเสนอแนะ 4.1 สรุปผลการดําเนินงาน

33

4.2 ขอเสนอแนะ

35 36

บรรณานุกรม

 

จ  


สารบัญตาราง ตารางที่

หนา

2.1

ประเภทของสมการเชิงผลตาง

9

3.1

ประเภทและตัวอยางของสัตวที่กินพืชเปนอาหาร

22

ฉ  


สารบัญภาพ ภาพที่

หนา

1.1

แสดงตัวอยางของผูบริโภคในระบบนิเวศ

2

1.2

หวงโซอาหารแสดงความสัมพันธระหวางผูบริโภคในระดับตางๆ

3

2.1

พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ   1

13

2.2

พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 0    1

14

2.3

พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 1    0

14

2.4

พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ   1

15

2.5

สภาวะเสถียรภาพของผลเฉลย โดยพิจารณาจากตําแหนงของลูกบอล

16

2.6

แสดงเงื่อนไขที่เกี่ยวกับสภาวะเสถียรภาพของระบบสมการเชิงผลตาง

20

3.1

กราฟแสดงความสัมพันธระหวาง

xh n

ช  

และ

y  eax

25


บทที่ 1 บทนํา 1.1 ความเปนมาของโครงงาน ขั้ น ตอนวิ ธี ก ารวิ เ คราะห เ พื่ อ แก ป ญ หาทางด า นวิ ท ยาศาสตร และวิ ศ วกรรมศาสตร มี ความสําคัญมากในการสรางเสริมและปรับปรุงความเปนอยูของมนุษยใหดียิ่งขึ้น ปรากฏการณสวน ใหญ ที่ เ กิ ด ขึ้ น รอบตั ว เราสามารถอธิ บ ายได โ ดยกฎเกณฑ หรื อ ทฤษฎี พื้ น ฐานทางฟ สิ ก ส แ ละ วิทยาศาสตร ซึ่งปรากฏการณตาง ๆ เหลานี้ จะสามารถจําลองหรือเขียนในรูปของความสัมพันธทาง คณิตศาสตรหรือตัวแบบเชิงคณิตศาสตร (mathematical modeling) ได ซึ่งตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่ ไดสวนใหญจะอยูในรูปของขั้นตอนวิธี (algorithm) หรือสมการตาง ๆ โดยสมการสวนใหญอยูใน รูปแบบของสมการเชิงผลตาง (difference equation) ซึ่งปกติการสรางสมการสามารถทําไดไมยาก นัก แตปญหาหลักสําหรับการวิเคราะหปญหาคือการหาผลเฉลยเพื่อที่จะนํามาวิเคราะหผลหรือ สรุปผลวา ตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่ไดมามีความถูกตองเพียงใด หรือมีพฤติกรรมของผลเฉลย เป น ไปในทางใด ซึ่ ง การหาผลเฉลยดั ง กล า วสามารถหาผลเฉลยได ห ลายทาง เช น การใช ความสัมพันธเวียนเกิด (recurrence relation) และสมการเชิงผลตาง อีกทั้งการศึกษาความรูทาง คณิตศาสตรเพื่อมาสรางเปนตัวแบบเชิงคณิตศาสตรยังสามารถใชอธิบายถึงสิ่งมีชีวิตตางๆในระบบ นิเวศได โดยระบบนิเวศ (ecosystem) จะหมายถึง ความสัมพันธระหวางสิ่งมีชีวิตกับสิ่งมีชีวิต ดวยกัน และความสัมพันธระหวางสิ่งมีชีวิตกับปจจัยทางกายภาพในลัก���ณะของการเปนระบบ และ ความสัมพันธนี้ตองอยูในสภาวะการเปลี่ยนแปลงที่สมดุล (dynamic equilibrium) โดยธรรมชาติ เสมอ เพื่อความคงอยูของระบบนิเวศ นอกจากนั้นองคประกอบที่สําคัญของระบบนิเวศไดแก สวน ที่เ ปนโครงสราง (structure) ที่ สามารถแบง ไดเ ปน ระดับผูผลิต (producer) หมายถึงสิ่งมี ชีวิตที่ สามารถสังเคราะหอาหารไดดวยตัวเอง (autotroph) ไดแกพวกพืชสีเขียวทุกชนิด ตั้งแตพวกสาหราย สีเขียว สาหรายสีน้ําเงินแกมเขียว จนถึงพืชมีดอกทั้งหลาย และระดับผูบริโภค (consumer) เปนพวก สิ่งมีชีวิตที่ตัวมันเองไมสามารถสรางอาหารเองได (heterotroph) ตองพึ่งพาอินทรียสารที่สรางมา จากพวกที่สรางอาหารไดดวยตัวเอง ซึ่งแบงออกไดหลายระดับดังนี้

1   


1. ผูบริโภคขั้นปฐมภูมิ (primary consumer) คือผูบริโภคลําดับที่หนึ่งซึ่งบริโภคพืชเปน อาหาร เรียกวา สัตวที่กินพืชเปนอาหาร (herbivores) เชน แพลงกตอนสัตวกินแพลงกตอนพืชเปนอาหาร ปลากินพืชตาง ๆ เชน ปลาสลิด ปลากระดี่ เปนตน 2. ผูบริโภคขั้นทุติยภูมิ (secondary consumer) คือ ผูบริโภคลําดับที่สองซึ่งบริโภคสัตวที่ กินพืชเปนอาหาร ซึ่งมีขนาดใหญและแข็งแรงกวาพวกสัตวกินพืช มีระบบประสาท และกลามเนื้อ เพื่อใชหาเหยื่อและจับเหยื่อเปนอาหาร ตลอดจนระบบยอยอาหารที่ แตกตางจากพวกสัตวกินพืช โดยพวกสัตวกินเนื้อนี้เปนอาหารของผูบริโภคระดับสูง ขึ้นไปอีก และเมื่อตายลงก็เปนอาหารของตัวสลายอินทรียตอไป 3. ผูบริโภคระดับสูงขึ้น (higher consumer) เปนสัตวที่กินผูบริโภคทุติยภูมิอีกทอดหนึ่ง เชน เหยี่ยว นก จระเข เปนตน 4. ผูบริโภคระดับสูงสุด (top carnivores) ซึ่งก็คือ พวกมนุษยนั่นเอง

ผูบริโภคขั้นปฐมภูม ิ

ผูบริโภคขั้นทุติยภูมิ

ผูบริโภคระดับสูงขึ้น

ผูบริโภคระดับสูงสุด

ภาพที่ 1.1 แสดงตัวอยางของผูบริโภคในระบบนิเวศ 2   


ภาพที่ 1.2 หวงโซอาหารแสดงความสัมพันธระหวางผูบริโภคในระดับตาง ๆ

3   


1.2 ความสําคัญของโครงงาน ตั ว แบบเชิ ง คณิ ต ศาสตร หรื อ แบบจํ า ลองทางคณิ ต ศาสตร เป น สิ่ ง ที่ ถู ก ใช กั น อย า ง แพรหลายในปจจุบัน ทั้งทางดานฟสิกส ชีววิทยา สังคมศาสตร ฯลฯ ซึ่งตัวแบบเชิงคณิตศาสตร แสดงใหเห็นถึงการเปลี่ยนแปลงของคาของขอมูลตาง ๆ ในรูปสมการทางคณิตศาสตร เปนการ แปลงปญหาที่เกิดขึ้นจริงใหอยูในรูปของสมการเชิงคณิตศาสตรเพื่อใหงายตอการวิเคราะห วิจัย และการดําเนินงานในภายหลัง ตัวแบบเชิงคณิตศาสตรถูกสรางขึ้นมาหลังจากเสร็จสิ้นกระบวนการ และคําอธิบายที่เกี่ยวของกับตัวแบบนี้แสดงใหเห็นถึงขอมูลอันเปนประโยชนตอปญหาที่ตองการ แก ไ ข โดยสิ่ ง สํ า คั ญ ในการสร า งตั ว แบบเชิ ง คณิ ต ศาสตร คื อ การแปลความหมายอย า งมี ประสิทธิภาพในการเปลี่ยนปญหาใหอยูในรูปของตัวแบบทางคณิตศาสตร และขั้นตอนหลัก ๆ ใน การสรางตัวแบบเชิงคณิตศาสตร ประกอบไปดวย การระบุปญหาในการสรางตัวแบบ เพื่อใหมี ความเขาใจเกี่ยวกับปญหานั้น ๆ กอนดําเนินการ หลังจากทราบปญหาแลว ก็ตองทําการรวบรวม ขอมูลตาง ๆ ที่มีผลกระทบทั้งทางตรงและทางออมกับปญหา และหาความสัมพันธของขอมูลที่ นํามาใชในการสรางตัวแบบ เชน การหาตัวแปรตาง ๆ ที่เกี่ยวของ และทําการตั้งสมมติฐาน หรือหา ลักษณะของตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่นาเปนไปไดบนพื้นฐานของขอมูลที่ไดจากการรวบรวม หลังจากนั้นก็สรางตัวแบบ ซึ่งเปนการแปลงขอมูลที่ไดใหเปนสมการทางคณิตศาสตร แลวแปล ความหมาย หรืออธิบายตัวแบบที่สรางขึ้นมา เพื่อเปนการเชื่อมโยงความสัมพันธระหวางตัวแบบกับ ปญหาจริง และทําการเปรียบเทียบคาคาดคะเนที่คํานวณไดจากตัวแบบกับคาที่ไดจากขอมูลจริงที่ เก็บรวบรวมมาได ถาคาทั้งสองกลุมนี้ใกลเคียงกันก็แสดงใหเห็นวาตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่สราง ขึ้ น มี ค วามเหมาะสมกั บ ความเป น จริ ง ถ า ผลออกมาเป น ตรงกั น ข า มก็ แ สดงว า ตั ว แบบเชิ ง คณิตศาสตรที่สรางขึ้นเปนตัวแบบที่ไมเหมาะสม ควรทําการแกไข โดยตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่ดี นั้นไมจําเปนตองมีความสลับซับซอนในสมการ หรือเปนสมการชั้นสูง และไมจําเปนตองมีหลาย ตัวแปร แตควรทําใหมีสมการที่งายตอการเขาใจ และจํานวนตัวแปรในสมการมีนอยที่สุดเทาที่ เปนไปได เพื่องายตอการวิเคราะห และวิจัย หรือแปลความหมายของตัวแปรใหเปนไปตามความ เปนจริง ทั้งนี้ทั้งนั้นตองคํานึงถึงความเหมาะสมของตัวแบบเชิงคณิตศาสตรกับขอมูลที่มีอยูดวย ในโครงงานนี้ใชพื้นฐานของวิธีสมการเชิงผลตาง ชวยในการสรางตัวแบบเชิงคณิตศาสตร เพื่อวิเคราะหแกปญหาและศึกษาพฤติกรรมของการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร รวมไปถึง 4   


การศึกษาผลกระทบและปริมาณการบริโภคของสัตวที่กินใบไม กับปริมาณของใบไมในธรรมชาติ ซึ่งสามารถนําผลที่ไดมาพัฒนาโปรแกรม เพื่อประยุกตใชในการคํานวณทางดานวิทยาศาสตรและ วิศวกรรมศาสตรตาง ๆ ตอไปได

1.3 วัตถุประสงคของโครงงาน 1. เพื่อศึกษาสมการเชิงผลตาง และความรูพื้นฐานเกี่ยวกับสมการเชิงผลตาง 2. เพื่อศึกษาวิธีการหาผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงผลตางที่ประกอบดวยสมการที่เปน เชิงเสน 3. เพื่อศึกษาวิธีการหาผลเฉลยในสภาวะสมดุล (steady states) ของระบบสมการเชิงผลตางที่ ประกอบดวยสมการที่ไมเปนเชิงเสน พรอมทั้งเงื่อนไขการเสถียรภาพ (stability) ของผล เฉลยที่ได 4. เพื่อศึกษาตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินพืชเปน อาหาร (a model for plant-eating herbivores) และการหาผลเฉลยในสภาวะสมดุล พรอมทั้ง วิเคราะหเงื่อนไขการเสถียรภาพของปญหา โดยอาศัยพื้นฐานของวิธีสมการเชิงผลตาง 5. เพื่อนําความรูที่ไดมาวิเคราะห แกปญหาและศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไม เปนอาหาร (a model for leaf-eating herbivores) พรอมทั้งหาผลเฉลยในสภาวะสมดุล และ วิเคราะหเงื่อนไขการเสถียรภาพของปญหา โดยอาศัยพื้นฐานของวิธีสมการเชิงผลตาง

1.4 ประโยชนที่คาดวาจะไดรับ 1. สามารถวิเคราะหแกปญหาสมการเชิงผลตางทั้งแบบเชิงเสนและไมเปนเชิงเสน 2. สามารถนําผลเฉลยที่ไดมาวิเคราะหศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร 3. สามารถหาผลเฉลยในสภาวะสมดุลเกี่ยวกับพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมและ ปจจัยที่มีผลกระทบตอพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไม 4. สามารถอธิบายความหมายของแบบจําลองทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวกับพฤติกรรมการกินของ สัตวที่กินใบไมเปนอาหารได 5. สามารถนําเทคนิคทางคณิตศาสตรที่ไดมาประยุกตใชในการวิเคราะหแกสมการเชิงผลตาง ที่สรางมาจากปญหาทางดานวิทยาศาสตรอื่น ๆ ตอไปได

5   


1.5 ระเบียบวิธีดําเนินงาน ในการจัดทําโครงงานครั้งนี้ ผูจัดทําไดศึกษาเอกสารตําราที่เกี่ยวของกับสมการเชิงผลตาง และทฤษฎี พื้ น ฐานของสมการเชิ ง ผลต า งแบบเชิ ง เส น และแบบไม เ ป น เชิ ง เส น รวมไปถึ ง ทําการศึกษาขั้นตอนวิธีการหาผลเฉลย และหลังจากที่ไดทําการศึกษาแลวไดนํามาเรียบเรียงเปน ลําดับขั้นตอนในการคํานวณหาผลเฉลย เพื่อชวยใหสะดวกตอการทําความเขาใจ และนําผลเฉลยที่ ไดมาวิเคราะหเ พื่อพิจารณาพฤติ กรรมของผลเฉลยวามีการเปลี่ยนแปลงอย างไร เพื่ อศึก ษาหา ผลกระทบที่มีตอการบริโภคและปริมาณการบริโภคของสัตวที่กินใบไม สําหรับการสรางตัวแบบ เชิงคณิตศาสตรที่เกี่ยวกับพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร

1.6 ขอบเขตการดําเนินงาน โครงงานนี้เนนการศึกษาทฤษฎีและหลักการพื้นฐานเกี่ยวกับสมการเชิงผลตางแบบเชิงเสน และแบบไม เ ป น เชิ ง เส น โดยนํ า ความรู ที่ ไ ด จ ากการศึ ก ษาดั ง กล า ว มาวิ เ คราะห ตั ว แบบเชิ ง คณิตศาสตรเกี่ยวกับพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร ซึ่งตัวแบบดังกลาวจะเขียนอยู ในรูปของสมการเชิงผลต างไมเชิ งเสน พรอมทั้งศึกษาลักษณะการกินของสัตวที่กินใบไมเปน อาหาร และนํ า ความรู ที่ไ ด ม าหาผลเฉลยของสมการเชิ งผลต า งไม เ ชิง เส น นอกจากนี้ยั งศึ ก ษา วิเคราะห วิธีในการหาผลเฉลยในสภาวะสมดุลของตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่เกี่ยวกับพฤติกรรมการ กินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร พรอมทั้งวิเคราะหเงื่อนไขการเสถียรภาพของผลเฉลยที่ได

6   


บทที่ 2 ความรูพื้นฐานและทฤษฎีที่เกี่ยวของ ในบทนี้จะอธิบายนิยาม ความหมาย และประเภทของสมการเชิงผลตาง วิธีการหาผลเฉลย ทั่วไปสําหรับระบบสมการของสมการเชิงผลตางแบบเชิงเสน และวิธีการหาผลเฉลยในสภาวะ สมดุลสําหรับระบบสมการของสมการเชิงผลตางแบบไมเชิงเสน พรอมทั้งศึกษาการวิเคราะห และ แสดงเงื่อนไขของเสถียรภาพของผลเฉลยที่ได

2.1 สมการเชิงผลตาง (Difference Equations) สมการเชิงผลตาง หรืออาจจะเรียกอีกอยางวา ความสัมพันธเวียนเกิด (recurrence relations) ซึ่งเปนเครื่องมือทางคณิตศาสตรอยางหนึ่งเพื่อใชในการจําลองปญหาที่เกี่ยวกับจํานวนประชากร ของสิ่ ง ต า ง ๆ ที่ เ ราสนใจศึ ก ษา ณ ช ว งเวลาใดเวลาหนึ่ ง โดยสมการเชิ ง ผลต า งจะเขี ย นแสดง ความสัมพันธระหวางจํานวนประชากร ณ เวลาที่สนใจกับจํานวนประชากรเวลากอนหนานั้น โดย เมื่อทําการแกปญหาที่เราสนใจ ผลเฉลยที่ไดเรียกวา ผลเฉลยทั่วไป (general solution) ในกรณีที่เรา ทราบจํานวนประชากรที่แนนอน ณ เวลาเริ่มตนของปญหาดังกลาว ผลเฉลยที่ไดจะเรียกวาผลเฉลย เฉพาะ (particular solution) ซึ่งหาไดจากการแทนจํานวนประชากรดังกลาวลงไปในผลเฉลยทั่วไป แลวทําการแกระบบสมการ ตัวอยางเชน ปญหาเกี่ยวกับการแบงตัวของเซลล (cell division) xn 1  axn

มีผลเฉลยทั่วไปคือ

xn  Ca n

สําหรับ n  0 เมื่อ

x0  2

และผลเฉลยเฉพาะคือ

และ a คือคาคงที่ใดๆ

xn  2a n

ปญหาเกี่ยวกับลําดับฟโบนักชี (Fibonacci sequence) xn  2  xn  xn 1

สําหรับ n  0

เมื่อ n

x0  0

และ

x1  1

n

มีผลเฉลยทั่วไปคือ

 1 5   1 5  xn  A    B    2   2 

และผลเฉลยเฉพาะคือ

1  1 5  1  1 5  xn        5 2  5  2 

n

   

n


สิ่งที่ควรทราบเกี่ยวกับสมการเชิงผลตาง พิจารณาสมการเชิงผลตาง

xn  f ( xn 1 , xn  2 ,..., xn  k )

เมื่อทราบคา

(2.1)

x0 , x1 ,..., xk 1

1. อันดับ (order) สมการเชิงผลตาง (2.1) มีอันดับที่ จําเปนตองทราบคาของ

xn 1 , xn  2 ,..., xn k

การนับยอนกลับจากเทอม

xn

เนื่องจากถาเราตองการหาคาของ

k

xn

ใด ๆ เรา

ดังนั้นการบอกอันดับของสมการเชิงผลตางหาไดโดย

ไปยังเทอมที่ไกลที่สุดคือเทอม

xnk

ตัวอยางเชน xn  5 xn 1  6 xn  2

คือสมการเชิงผลตางอันดับที่ 2

xn  3 xn 1  n 2 xn 3

คือสมการเชิงผลตางอันดับที่ 3

2. ความเปนเชิงเสน (linear หรือ nonlinear) จะกลาววาสมการเชิงผลตาง (2.1) เปนสมการเชิงเสน ก็ตอเมื่อฟงกชัน ความสัมพันธเชิงเสนโดยพิจารณาจากเทอมกอนหนา (เทอม กําลังหนึ่งและไมอยูในรูปผลคูณหรือผลหารระหวาง สมการไมเชิงเสน ก็ตอเมื่อฟงกชัน เทอมอยู โดย

f

f

xk

f

เปนฟงกชันที่มี

xn 1 , xn  2 ,..., xn k ) ในสมการวายก

ใด ๆ เสมอ ขณะที่สมการ (2.1) จะเปน

ประกอบดวยเทอมที่เปนฟงกชันไมเชิงเสนอยางนอยหนึ่ง

อาจจะประกอบดวย สมการกําลังสอง (quadratic) สมการเอกซโปแนนเชียล

(exponential) เศษสวน (reciprocal) หรือฟงกชันตรีโกณมิติ (trigonometric) เปนตน ตัวอยางเชน xn  2 xn 1  xn  2  5

หรือ

xn  2 xn 1  xn 3  n 2

คือสมการเชิงผลตางเชิงเสน

xn  2 xn21  6 xn  2

หรือ

xn  2 xn 1  sin( xn  2 )

คือสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน

3. ความเปนเอกพันธ (homogenous หรือ nonhomogeneous) สมการเชิงผลตาง (2.1) เปนสมการเอกพันธ ก็ตอเมื่อ แทนคา แลว

xn

จะมีคาเปนศูนย นั่นคือ

ตองมีเทอม

xj

xn  f (0, 0,..., 0)  0

ดวยศูนย

หรือกลาววา ทุกๆ พจนในสมการ (2.1)

คูณอยูดวย ถาเงื่อนไขดังกลาวไมจริงแลว สมการเชิงผลตาง (2.1) ไมเปนเอกพันธ

ตัวอยางเชน xn  2 xn 1  xn 3

เปนสมการเอกพันธ

xn  2 xn 1  xn 3  1

ไมเปนสมการเอกพันธ 8 

 

xn 1 , xn  2 ,..., xn k


4. คาสัมประสิทธิ์ (coefficients) ในที่นี้เราสนใจวาคาสัมประสิทธิ์ที่คูณอยูกับพจน

xn 1 , xn  2 ,..., xn k

ในสมการเชิงผลตาง

(2.1) วาเปนคาคงที่หรือไม ตัวอยางเชน

xn  2 xn 1  xn 3

เปนสมการเชิงผลตางที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่

xn  nxn 1  n 2 xn 3

เปนสมการเชิงผลตางที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไมเปนคาคงที่

โดยเราจําแนกและยกตัวอยางที่เกี่ยวกับสมการเชิงผลตางโดยอาศัยคุณสมบัติขางตนในตารางที่ 2.1 ตารางที่ 2.1 ประเภทของสมการเชิงผลตาง

ประเภท

ตัวอยาง

สมการเชิงผลตางอันดับหนึง่ (first – order difference equation)

xn  f ( xn 1 )

เชิงเสน (linear)

xn  nxn 1  1

ไมเชิงเสน (nonlinear)

xn  1/ (1  xn 1 )

สมการเชิงผลตางอันดับสอง (second – order difference equation)

xn  f ( xn 1 , xn  2 )

เชิงเสน (linear)

xn  xn 1  2 xn  2

ไมเชิงเสน (nonlinear)

xn  2 xn 1 xn  2

เปนสมการเอกพันธ (homogeneous)

xn  2 xn 1  xn  2

ไมเปนสมการเอกพันธ (non-homogeneous)

xn  2 xn 1  xn  2  1

มีคาสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่ (constant coefficients)

xn  4 xn 1  2 xn  2

มีคาสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร (variable coefficients)

xn  nxn 1  (n  1) xn  2  1

สมการเชิงผลตางอันดับที่ m ( m – order difference equation)

xn  f ( xn 1 , xn  2 ,..., xn  m )

เชิงเสน (linear)

xn  xn 1  4 xn  2  2 xn  m

ไมเชิงเสน (nonlinear)

xn  xn21  ln( xn  2 )  xn  m

เปนสมการเอกพันธ (homogeneous)

xn  xn 1  2 xn  2  nxn  m

ไมเปนสมการเอกพันธ (non-homogeneous)

xn  xn 1  2 xn  2  nxn  m  1

มีคาสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่ (constant coefficients)

xn  xn 1  4 xn  2  2 xn  m

มีคาสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร (variable coefficients)

xn  nxn 1  ( n  2) xn  2  n 2 xn  m

9   


2.2 ระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสน (System of Linear Difference Equations) ในสวนนี้ เราจะพิจารณาวิธีในการหาคําตอบของระบบสมการเชิงผลตางระหวางสมการ เชิงผลตางอันดับหนึ่งจํานวน 2 สมการที่เปนเชิงเสน และมีรูปแบบทั่วไปของระบบสมการคือ xn 1  a11 xn  a12 yn

(2.2)

yn 1  a21 xn  a22 yn

(2.3)

วิธีการที่ใชการแกระบบสมการ (2.2) – (2.3) มีดังตอไปนี้ 2.2.1 การหาผลเฉลยโดยทําการลดทอนระบบสมการเชิงเสน คื อ การลดรู ป ของระบบสมการให เ หลื อ เพี ย งหนึ่ ง สมการก อ นแล ว จึ ง หาค า เฉพาะ (eigenvalues) ของปญหาเพื่อใชกําหนดผลเฉลยทั่วไปของปญหาโดยมีวิธีดังนี้ พิจารณา (2.2) – (2.3) เพื่อกําจัดเทอม

yn 1

ออก โดยแทน n  n  1 ลงในสมการ (2.2)

xn  2  a11 xn 1  a12 yn 1

แลวจึงนําสมการ (2.3) มาแทนลงไป xn  2  a11 xn 1  a12 (a21 xn  a22 yn )

(2.4)

พิจารณาสมการ (2.2) จะได a12 yn  xn 1  a11 xn.

แลวนํามาแทนลงใน (2.4) อีกครั้งจะไดสมการเชิงผลตางอันดับที่สองที่เปนเชิงเสนคือ xn  2  a11 xn 1  a12 a21 xn  a22 ( xn 1  a11 xn )

หรือ

xn  2  (a11  a22 ) xn 1  (a22 a11  a12 a21 ) xn  0

(2.5)

หลังจากนัน้ จะทําการหาผลเฉลยของสมการ (2.5) โดยกําหนดผลเฉลยทั่วไปใหอยูใ นรูป (2.6)

xn  c n

โดยที่ c คือคาคงที่ใด ๆ และ แทน

xn  c n , xn 1  c n 1 และ xn  2  c n  2

ลงในสมการ (2.5) จะได

c n  2  ( a11  a22 )c n 1  ( a22 a11  a12 a21 ) n  0

ในกรณีที่   0 แลว

xn  0

(2.7)

จะไดผลเฉลยชัด (trivial solution) ซึ่งเปนผลเฉลยที่เราไมตองการ

ดังนั้นจึงพิจารณากรณีที่   0 ทําการดึงตัวรวม c n จากสมการ (2.7) และหารตลอดจะได  2  (a11  a22 )  (a22 a11  a12 a21 )  0

10   

(2.8)


สมการ (2.8) ที่ไดเปนสมการกําลังสอง ซึ่งเรียกวา สมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) เพื่อใชในการหาคาเฉพาะ  เพื่อชวยใหการแกสมการ (2.8) งายขึ้น เราจะทําการกําหนดตัวแปรขึ้นมาใหม ดังตอไปนี้   a11  a22   a22 a11  a12 a21

เมื่อทําการหาผลเฉลยของสมการ (2.8) แลวจะไดคา  ออกมา 2 คา คือ 1,2 

   2  4 2

ตัวแปร  เรียกวาคาเฉพาะ (eigenvalues) ของปญหา ซึ่งเมื่อแทนลงไปในสมการ (2.6) ก็จะไดผล เฉลยทั่วไปจํานวน 2 ผลเฉลย จากหลักการซอนทับ (principle of linear superposition) ที่วา “ผล เฉลยที่ไดจากการแกปญหา อาจจะมีผลเฉลยที่แตกตางกันจํานวนมากกวาหนึ่งผลเฉลย แตถานําผล เฉลยตาง ๆ ที่ไดมารวมกัน ผลรวมของผลเฉลยก็ยังเปนผลเฉลยของปญหาที่เราสนใจอยู” จาก หลักการดังกลาว ทําใหไดผลเฉลยทั่วไปคือ xn  A11n  A2 2n

โดย

A1

(2.9)

และ A2 เปนคาคงที่ใด ๆ ซึ่งสามารถหาไดถาโจทยปญหากําหนดเงื่อนไขเริ่มตนมาให

2.2.2 การหาผลเฉลยโดยเขียนระบบสมการในรูปของเมทริกซ พิจารณาระบบสมการ (2.2) – (2.3) อีกครัง้ xn 1  a11 xn  a12 yn yn 1  a21 xn  a22 yn

กําหนดให x  Vn   n   yn 

 a11 a12    a21 a22 

และ M  

จะไดระบบสมการในรูปของเมทริกซ (matrix form) ดังนี้ (2.10)

Vn 1  MVn

ทําการหาผลเฉลยของสมการ (2.10) โดยกําหนดผลเฉลยทั่วไปใหอยูใ นรูป  A n  Vn   n   B 

(2.11)

11   


แทน (2.11) ลงใน (2.10) จะได  A n 1   a11 a12   n 1  =    B   a21 a22 

 A n   n  B 

A n 1  a11 A n  a12 B n

หรือ

B n 1  a21 A n  a22 B n

จากนั้นกําจัดเทอม  โดยนํา  n มาหารตลอด จะไดระบบสมการตอไปนี้ A(a11   )  Ba12  0 A(a21 )  B(a22   )  0

 a11     a21

หรือ

a12  A   0    a22     B   0 

สมการพีชคณิตเชิงเสนขางตนใชในการแกปญหาเพื่อหาคา

A

และ

(2.12) B

ในกรณีที่

AB0

ทํา

ให Vn  0 ซึ่งเปนผลเฉลยชัด (trivial solution) ซึ่งเปนผลเฉลยที่เราไมตองการ เพื่อใหไดผลเฉลยที่ ไมใชศูนย เราจะพิจารณา a12  a  det  11 0 a22     a21

ซึ่งก็คือ

(a11   )(a22   )  a12 a21  0

และจะไดสมการที่เขียนในรูปกําลังสอง หรือสมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) คือ  2      0

เมื่อกําหนดให

  a11  a22

                                    

  (a11a22  a12 a21 )

โดยจะไดผลเฉลยของสมการลักษณะเฉพาะนี้ 2 คา คือ 1,2 

โดยใหปริมาณ  ,  และ 

2

 4

   2  4 2

มีชื่อเรียกและสัญลักษณดังตอไปนี้

  a11  a22

คือ ผลรวมในแนวเสนทแยงมุมหรือเทรซของเมทริกซ M (trace of M )

  a11a22  a12 a21

คือ ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ M (determinant of M ) และ

 2  4  disc( M )

คือ ดิสคริมิแนนตของเมทริกซ M (discriminant of M )

ถา disc( M ) มีคานอยกวาศูนย แลวจะไดคาเฉพาะที่เปนจํานวนเชิงซอน ถา disc( M ) มีคาเทากับศูนย แลวจะไดคาเฉพาะทีม่ ีคาเทากัน 2 จํานวน 12   


 Ai    Bi 

นอกจากนั้นเรายังนําคาเฉพาะที่ไดมาใชหาเวกเตอร vi  

ที่ไมเปนศูนย ซึ่งเรียกวา

เวกเตอรเฉพาะ (eigenvector) โดยพิจารณา Mvi  i vi จากสมการ (2.12)  a11  i   a21

 Ai   0     a22  i  Bi   0  a12

ในกรณีที่ a12  0 จะได  1   Ai   vi      i  a11   Bi   a   12 

ซึ่งเปนเวกเตอรเฉพาะที่สอดคลองกับแตละ i 2.2.3 การวิเคราะหพฤติกรรมของผลเฉลยที่ไดจากระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสน ในหัวขอนี้ เราจะทําการพิจารณาผลเฉลยที่ไดซึ่งเขียนอยูในรูป

xn  c n

โดยพฤติกรรม

ของผลเฉลยจะขึ้นอยูกับคาเฉพาะ  ซึ่งสามารถจําแนกไดดังนี้ กรณีที่ 1 เมื่อ   1 เมื่อ

n

มีคาเพิ่มขึ้น แลว  n จะมีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ดังนั้น

xn  c n

ขอบเขต

ภาพที่ 2.1 พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ   1

13   

มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมี


กรณีที่ 2 เมื่อ 0    1 เมื่อ

n

มีคาเพิ่มขึ้น แลว  n จะมีคาลดลงเรื่อย ๆ ดังนั้น

xn  c n

มีคาลดลงและลูเขาสูศูนย

ภาพที่ 2.2 พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 0    1 กรณีที่ 3 เมื่อ 1    0 เมื่อ ดังนั้น

n

มีคาเพิ่มขึ้น แลว  n จะกวัดแกวงระหวางคาบวกและคาลบ และมีขนาดลดลงเรื่อย ๆ

xn  c n

มีคากวัดแกวงโดยมีขนาดลดลงและลูเขาสูศูนย

ภาพที่ 2.3 พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 1    0

14   


กรณีที่ 4 เมื่อ   1 เมื่อ n มีคาเพิ่มขึ้น แลว  n จะกวัดแกวงระหวางคาบวกและคาลบ แตมีขนาดเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ดังนั้น

xn  c n

มีคากวัดแกวงโดยมีขนาดเพิ่มขึ้นโดยไมมีขอบเขต

ภาพที่ 2.4 พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ    1

2.3 สมการเชิงผลตางไมเชิงเสน (Nonlinear Difference Equations) ในสวนนี้ เราจะพิจารณาวิธีในการหาคําตอบของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน ซึ่งมีรูปแบบ ทั่วไปของสมการคือ (2.13)

xn 1  f ( xn , xn 1 ,...)

โดยที่

xn

เปนจํานวนประชากร ณ ชวงเวลา n และฟงกชัน

f

เปนฟงกชันไมเชิงเสนซึ่ง

ประกอบดวยเทอมใดเทอมหนึ่งซึ่งอาจจะเปนเทอมที่เปนกําลังสอง เอกซโปแนนเชียล เศษสวน หรือเทอมยกกําลังตาง ๆ ของ

xn

ในสวนของหาผลเฉลย

xn

จําเปนตองทราบคาเริ่มตนบางคา เชน

x0 , x1

ในขณะที่วิธีในการแกปญหาของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนไมสามารถทําไดเชนเดียวกับ การแกปญหาของสมการเชิงผลตางเชิงเสน แตเราจะนําความรูที่ไดจากการแกปญหาสมการเชิง ผลตางเชิงเสนมาประยุกตใชกับการหาผลเฉลยของ (2.13) แลวจึงนํามาแกปญหาระบบสมการไม เชิงเสนตอไป โดยเราจะสนใจการแกปญหาของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนอันดับที่หนึ่งกอน ซึ่งเขียนในรูป (2.14)

xn 1  f ( xn )

15   


2.3.1 การหาจุดสมดุลและวิเคราะหเสถียรภาพของผลเฉลย แนวคิดของการหาสภาวะสมดุลและการหาจุดสมดุล จะสัมพันธกับระบบที่อยูในสภาวะที่ ไมมีการเปลี่ยนแปลง ซึ่งสามารถพบไดบอยในปรากฏการณทางธรรมชาติ ตัวอยางเชน เนื้อเยื่อ ภายในสิ่งมีชีวิตตาง ๆ จะสามารถเจริญเติบโตไดขึ้นอยูกับอุณหภูมิ ภาวะความเปนกรด ระดับความ เข ม ข น ของเกลื อ ในสภาวะที่ เ หมาะสม หรื อ การหาจุ ด สมดุ ล อาจถู ก พบในป ญ หาที่ เ กี่ ย วกั บ ปรากฏการณเชิงพลวัต เชน การเจริญเติบโต การแพรพันธุ หรือการสืบพันธุของประชากร และ มักจะเปนความจริงที่วา จุดสมดุลที่หามาไดจะทําใหเราสามารถเขาใจพฤติกรรมของระบบไดดี ยิ่งขึ้น เริ่มจากการพิจารณาสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน เมื่อใหจุดสมดุล (steady-state solution หรือ equilibrium) เขียนแทนดวย x สามารถหาคาได โดยกําหนดให xn 1  xn  x

นั้นคือไมมีการเปลี่ยนแปลงคาเกิดขึ้นในชวงเวลาที่ n และ n  1 ดังนั้นจากสมการ (2.14) จะได (2.15)

x  f (x )

ซึ่งมักจะเรียกจุด x วา จุดตรึง (fixed point) ของฟงกชัน

f

เราสามารถแบงแยกประเภทของจุดสมดุล หรือที่เรียกวาการวิเคราะหเสถียรภาพ (stability) โดยพิจารณาภาพที่ 2.5 เพื่องายตอความเขาใจ

ภาพที่ 2.5 สภาวะเสถียรภาพของผลเฉลย โดยพิจารณาจากตําแหนงของลูกบอล

16   


ในภาพประกอบด ว ย 3 สถานการณ ที่ แ ตกต า งกั น โดยใช ตํ า แหน ง ของลู ก บอลแทน สถานการณตาง ๆ จุดที่ 1 และจุดที่ 3 ในภาพคือจุดสมดุล เนื่องจากเปนจุดที่ลูกบอลไมมีการ เคลื่อนที่ นั่นคืออยูในสภาวะสมดุล ขณะที่จุดที่ 2 ในภาพ ลูกบอลจะเคลื่อนที่เมื่อเราวางบอลลงใน ตําแหนงนั้น นอกจากนั้น จุดที่ 1 เปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร (stable) เนื่องจากถามีการออกแรงขยับ ลูกบอลเล็กนอยแลวลูกบอลจะเคลื่อนที่แลวกลับมาสูจุดเดิมได ขณะที่จุดที่ 3 เปนจุดสมดุลที่ไมมี ความเสถียร (unstable) เนื่องจากเมื่อมีการออกแรงขยับลูกบอลแลวลูกบอลจะเคลื่อนที่ แตไม สามารถกลับมาที่จุดเดิมได ความแตกตา���ของสภาวะเสถียรภาพดังกลาวเปนสิ่งที่นาสนใจในทางชีววิทยา โดยจุด สมดุลที่ไมมีความเสถียรหมายถึง ระบบเกิดการสูญเสียประชากร ภาวะสมดุลเปลี่ยนไปทําใหความ สมดุลของจํานวนประชากรที่มีการแขงขันลดนอยลงไป กลับมาพิจารณาสมการ (2.14) อีกครั้ง เมื่อ ในที่นี้เราจะกําหนดให

xn

x

คือจุดสมดุลที่สอดคลองกับสมการ (2.15)

มีคาใกลเคียงกับคา x แลวพิจารณาวาจุดสมดุลมีความเสถียรหรือไม

เมื่อให (2.16)

xn  x  xn

โดยที่

xn

คือเทอมที่มีคานอยมาก ๆ หลังจากนั้นแทนสมการ (2.16) ลงใน (2.15) จะได xn 1  xn 1  x  f ( xn )  x  f ( x  xn )  x

(2.17)

ประมาณคา f ในสมการ (2.17) โดยกระจายในรูปของอนุกรมเทยเลอร (Taylor series expansion) จะได  df  2 f ( x  xn )  f ( x )    xn  O( xn )  dx x 

(2.18)

เนื่องจากเทอม O( xn 2 ) มีคานอยมากๆ จึงตัดเทอมนี้ออกไปแลว แทนลงในสมการ (2.17) จะได  df  xn 1  f ( x )  x    xn  dx x 

จากสมการ (2.15) เรารูวา

x  f (x )

ดังนั้นจะได (2.20)

xn 1  axn

โดยที่

 df  a   dx x 

17   

(2.19)


สมการ (2.20) เปนสมการเชิงผลตางเชิงเสน ที่ใชบรรยายพฤติกรรมตาง ๆ ที่เกิดขึ้นใกลกับ จุดสมดุล เมื่อ a เปนคาคงที่ ซึ่งมาจากการหาอนุพันธของ

f

แลวแทนคาที่ x จะเห็นวาพฤติกรรม

ของผลเฉลยรอบ ๆ จุดสมดุลจะมีคาเพิ่มขึ้นหรือลดลงขึ้นอยูกับคาของ a โดยเราสามารถนําความรู ที่ไดจากวิธีของสมการเชิงผลตางเชิงเสน (ในหัวขอ 2.2.3) มาชวยวิเคราะหสมการ (2.20) ซึ่งจะได วา

xn 1

จะมีคาลดลง เมื่อ

a 1

ดังนั้นเราจะสรุปไดวา

เงื่อนไขของเสถียรภาพ 1 x

จะกลาววาเปนจุดสมดุลที่มคี วามเสถียรของสมการที่ (2.14) ก็ตอเมื่อ

df dx

1 x

2.4 ระบบสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน (System of Nonlinear Difference Equations) การแกระบบสมการของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน เราจะพิจารณาทํานองเดียวกับวิธีการ แกสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนเพียงหนึ่งสมการซึ่งแสดงในหัวขอ 2.3 ในที่นี้เราจะพิจารณาระบบ สมการซึ่งประกอบดวยสมการเชิงผลตาง 2 สมการ ซึ่งขึ้นอยูกับตัวแปรอิสระ x และ y ในรูปของ ระบบสมการ xn 1  f ( xn , yn )

(2.21)

yn 1  g ( xn , yn )

เมื่อ f และ

g

เปนฟงกชันไมเชิงเสน คาของจุดสมดุล x และ

y

หาจาก

x  f (x, y) y  g(x, y )

(2.22)

ระบบสมการ (2.21) สามารถแปลงใหอยูในรูประบบสมการเชิงเสนสําหรับคาเพอรเทอเบชัน (perturbation)

x

และ

y

เมื่อใชการกระจายอนุกรมเทยเลอรของฟงกชันสองตัวแปร ซึ่งก็คือ

f ( x  x, y  y)  f ( x , y ) 

และทําเชนเดียวกันกับฟงกชนั

g

18   

f x

x,y

x 

f x

y  ... x,y


เมื่อแทนการกระจายอนุกรมเทยเลอรลงในสมการ (2.21) แลวตัดเทอมที่มีคานอยๆ จะไดผลลัพธคือ xn 1  a11 xn  a12 yn

(2.23)

yn 1  a21 xn  a22 yn

เมื่อ

a11  a21 

f x g x

a12  x,y

f y

a22  x,y

  x,y

g y

x,y

กําหนดใหเมทริกซ A ประกอบดวยคาสัมประสิทธิ์ a  a A   11 12   a21 a22 

ซึ่งเรียกวา จาโคเบียน (Jacobian) ของระบบสมการ (2.21) และให  x  xn   n   yn 

แลวระบบสมการ (2.21) เขียนในรูปเมทริกซไดเปน xn 1  Axn

(2.24)

โดยสมการ (2.24) ที่ไดเปนระบบสมการเชิงเสนที่ใชเพื่อศึกษาพฤติกรรมของระบบที่อยูใกลเคียง กับจุดสมดุล ( x , y ) ดังนั้นเราสามารถพิจารณาสภาวะเสถียรภาพของ ( x , y ) ได โดยพิจารณา ดังนี้ 1. หาสมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) ของสมการ (2.23) โดยให det( A   I )  0

โดยผลลัพธที่ไดจะอยูในรูปของสมการพหุนามกําลังสอง  2      0

(2.25)

เมื่อให   a11  a22   a11a22  a12 a12

2. ตรวจสอบวารากของสมการ (2.25) ซึ่งคือคาเฉพาะ (eigenvalues) มีขนาดนอยกวา 1 หรือไม ถามีขนาดนอยกวา 1 จริง เราจะสรุปไดวาจุดสมดุล ( x , y ) มีความเสถียร

19   


ตอไปเราจะแสดงใหเห็นวา นอกจากการพิจารณาคาเฉพาะวามีขนาดนอยกวา 1 หรือไมแลว เรา สามารถวิเคราะหเสถียรภาพไดจากเงื่อนไขดังตอไปนี้ เงื่อนไขของเสถียรภาพ 2 (x, y)

จะกลาววาเปนจุดสมดุลทีม่ ีความเสถียรของระบบ (2.21) ก็ตอเมื่อ 

ซึ่งถาเงื่อนไขนี้เปนจริงจะทําใหคาเจาะจง i

 1   2

 1 และ จุดสมดุล ( x , y ) เสถียรภาพ

พิสูจน เงื่อนไขของเสถียรภาพ 2 หารากของสมการ (2.25) จะได 1,2 

   2  4 2

2

 2  4 2

(2.26)

จากเงื่อนไขของเสถียรภาพ 1 เราทราบวา 1  1

และ

2  1

ภาพที่ 2.6 แสดงเงื่อนไขที่เกีย่ วกับสภาวะเสถียรภาพของระบบสมการเชิงผลตาง จากภาพที่ 2.6 แสดงผลลัพธทางเรขาคณิตของสมการ (2.25) ซึ่งทําใหรากมีคาเปนจํานวน จริง และรากดังกลาวมีระยะทางที่เทากันเมื่อวัดจากคา

 2

ไดวาจุดศูนยกลางดังกลาวจะตองอยูในชวง (1,1) ดังนั้น 20   

ดังนั้นจากเงื่อนไขของเสถียรภาพ 1 จะ


หรือ

1   / 2  1

นอกจากนี้ เมือ่ วัดระยะทางจาก

 2

(2.27)

 2

ไปยังรากใดรากหนึ่ง จะตองมีคานอยกวาระยะทางจาก

 2

ไป

ยังจุดปลายของชวง จากภาพที่ 2.6 จะได  2  4 2

 1

 2

ยกกําลังสองทั้งสองขาง เครื่องหมายจะไมมีการเปลี่ยนแปลง เนื่องจากแตละขางของสมการเปน บวก  2  4 4

2 4

ตัดเทอม

2

4

    1  2  

   1  

2

2 4

ออกและ จัดรูปใหม จะได (2.28)

  1 

ซึ่งเมื่อรวมอสมการ (2.27) และ (2.28) เขาดวยกัน และเนื่องจาก  ดังนั้นจะไดเงือ่ นไข 

 1   2

จริง

21   

1


บทที่ 3 วิธีการดําเนินงาน 3.1 แบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางพืชและสัตวที่กินพืชเปนอาหาร (A Model of Plant-Herbivore Interactions) แบบจําลองทางคณิตศาสตรสวนใหญจะใชเพื่ออธิบายพฤติกรรมบางอยางของสิ่งมีชีวิตใน ระบบนิเวศ โดยศึกษาความสัมพันธระหวางประชากรของสิ่งมีชีวิตชนิดหนึ่งกับประชากรของ สิ่งมีชีวิตอีกชนิดหนึ่งในลักษณะของการอยูรวมกัน หรือการแขงขัน ตอสูเพื่อใหมีชีวิตอยูรอดตอไป ความถูกตองของแบบจําลองขึ้นอยูกับการเลือกฟงกชันที่เหมาะสม เพื่อมาสรางเปนแบบจําลอง โดยอาศัยขอมูลที่ไดจากการสังเกตลักษณะทางกายภาพ แลวทําการวิเคราะหจากขอมูลและกราฟ ทางสถิติที่ไดจากพฤติกรรมของสิ่งแวดลอมนั้น ในสวนนี้จะแนะนําใหรูจักปญหาที่เกิดขึ้นในระบบ นิเวศของพืชและสัตวที่กินพืช เพื่อเปนแนวทางในการศึกษาแบบจําลองที่สนใจในสวนถัดไป สัตวที่กินพืช (herbivore) คือ สัตวที่มีพฤติกรรมการกินอาหารที่จะเลือกกินสวนใดสวน หนึ่งของพืชเปนอาหาร (พิจารณาตารางที่ 3.1) ซึ่งจะทําใหเกิดความเสียหายกับบางสวนของพืชหรือ นําไปสูการตายของพืช อยางไรก็ตามสัตวกินพืชอาจจะลมตาย ถาจํานวนของพืชมีปริมาณที่ไม เพียงพอ โดยการสรางแบบจําลองปฏิกิริยาของสัตวที่กินพืชเปนอาหาร ในที่นี้จะเนนเฉพาะการ เปลี่ยนแปลงเชิงปริมาณคือ สนใจการเปลี่ยนแปลงของจํานวนสิ่งมีชีวิตของประชากรเทานั้น ตารางที่ 3.1 ประเภทและตัวอยางของสัตวที่กินพืชเปนอาหาร สวนประกอบของพืชที่ถูกกิน

ศัพทเทคนิคที่ใชเรียกสัตวทกี่ ินพืช

ตัวอยาง

ผล (Fruit)

Frugivores

ลิง ชะนี

ใบไม (Leaves)

Folivores

หมีโคอาลา กวาง หนอน

น้ําหวานในดอกไม (Nectar)

Nectarivores

ผีเสื้อ นก แมลง

เมล็ด (Seeds)

Granivores

นก แมลง

เกสร (Pollen)

Palynivores

ผึ้ง เตาทอง แมลง

เนื้อไม

Xylophages

ปลวก ดวง

   

22 


เราจะทําการตั้งสมมติฐานเพื่อนําไปสูโครงสรางของแบบจําลองดังกลาว ดังตอไปนี้ 1. จํานวนของสัตวที่กินพืชเปนอาหารจะขึ้นอยูกับชวงเวลาที่ไมตอเนื่อง (discrete) นั่นคือ ปจจัยที่มีสวนตอการเพิ่มหรือลดของจํานวนของประชากรของสัตวที่กินพืชขึ้นอยูกับฤดูของการ เจริญเติบโตของพืช กลาวคือ ถาพืชอยูในฤดูของการเจริญเติบโต แลวจํานวนประชากรสัตวที่กินพืช จะมีอาหารที่เพียงพอและสามารถเพิ่มจํานวนประชากรได แตถาพืชไม���อยูในฤดูของการเจริญเติบโต แลว สัตวดังกลาวจะมีจํานวนอาหารขาดแคลน และทําใหจํานวนประชากรของสัตวจะลดลงตามไป 2. การมีอยูของพืชพรรณ และความหนาแนนของประชากรสัตวกินพืชเปนปจจัยหลักที่ เปนตัวกําหนด การเพิ่มจํานวนประชากรและการอยูรอดของสัตวกินพืช 3. ความอุ ด มสมบู ร ณ ข องพื ช ขึ้ น อยู กั บ จํ า นวนของสั ต ว กิ น พื ช และจํ า นวนของพื ช ใน ชวงเวลากอนหนา ตัวอยางเชน จํานวนของใบไมในชวงที่ตนไมผลัดใบ ทําใหตนไมมีการผลิตและ มีจํานวนใบไมลดลง จึงมีผลตอความสมบูรณของใบไมในฤดูกาลถัดไป ดังนั้นเพื่อสรางแบบจําลองแสดงความสัมพันธระหวางพืชและสัตวกินพืช เราจะกําหนดตัวแปรให v n แทน จํานวนของพืชในชวงเวลา n hn แทน จํานวนของสัตวที่กินพืชเปนอาหารในชวงเวลา n

จากสมมติฐานทั้งสาม สามารถนํามาเขียนรูปแบบทั่วไปของระบบสัตวที่กินพืชเปนอาหารไดดังนี้  F (v , h ) n n

(3.1)

h  G (v , h ) n 1 n n

(3.2)

v

n 1

เมื่อ F และ G เปนฟงกชันที่ใชในการควบคุมระดับประชากรของพืชและสัตวที่กินพืชเปนอาหาร โดยเลือกใหมีคุณสมบัติพิเศษบางอยางที่สอดคลองกับพฤติกรรมที่เกิดขึ้นจริงในธรรมชาติ เพื่อนํามาสูการอยูรวมกันของสิ่งมีชีวิตทั้งสอง แบบจําลองซึ่งประกอบดวยสมการ (3.1) และ (3.2) จะตองมีจุดสมดุล (v , h ) ที่ไมเปนศูนย นั่นคือ ประชากรทั้งสองสามารถอยูรวมกันใน ระดับที่คงที่ซึ่งไมทําใหเกิดการเพิ่มและลดลงของจํานวนประชากร โดยจุดสมดุลดังกลาวหาไดจาก v  F (v , h )

(3.3)

h  G (v , h )

(3.4)

ทําการแกระบบสมการ (3.3) – (3.4) แลว จะไดจุดสมดุล (v , h ) เพื่อนําไปวิเคราะหเสถียรภาพ ตอไป 23   


สมการที่ไดจากการ Rescale (Rescaling the Equations) คือการเขียนระบบสมการที่สนใจใหอยูในรูปแบบใหม ที่ไมสนใจหนวยวัดของตัวแปรที่ เกี่ยวของ เพื่อทําใหงายตอการวิเคราะหเสถียรภาพ และการพิสูจนตาง ๆ ที่เกี่ยวกับระบบสมการที่ เราสนใจ นอกจากนั้นยังอาจจะชวยลดจํานวนของพารามิเตอรที่จะตองเกี่ยวของดวย เรากําหนดตัวแปรใหมใหมีคาเปนสัดสวนระหวางตัวแปรเกากับจุดสมดุลที่หาได ดังนี้ v V  n n v h H  n n h

แทนลงใน (3.1) และ (3.2) และเขียนระบบสมการที่มีความสัมพันธกับตัวใหมจะได (3.5)

V  F * (V , H ) n 1 n n H  G* (V , H ) n 1 n n

(3.6)

เมื่อให F * และ G* คือฟงกชันที่มีความสัมพันธกับ F และ G และตัวแปรใหม Vn และ

H

n

หลังจากนั้นทําการหาจุดสมดุลของระบบสมการ (3.5) – (3.6) จะได (3.7)

V  H 1

ดังนั้นจะไดจุดสมดุลของระบบสมการ (3.5) – (3.6) เปน

(V , H )  (1,1)

เสมอ

โดยเราจะวิเคราะหเสถียรภาพของจุดสมดุลดังกลาวทํานองเดียวกับการวิเคราะหของระบบสมการ ไมเชิงเสน (รายละเอียดแสดงใน หัวขอที่ 2.4) โดยคํานวณหาจาโคเบียน  F *  V J   *  G  V

F *   H   G*   H  V 1, H 1

แลวหาคาเฉพาะจาก det  J  I   0 ซึ่งจะไดสมการลักษณะเฉพาะคือ เมื่อ  คือผลรวมในแนวเสนทแยงมุมของ

 2      0

J

และ  คือดีเทอรมิแนนตของ

J

แลวจึงใชเงื่อนไขของเสถียรภาพที่วา (V , H )  (1,1)

จะเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียรของระบบสมการ ก็ตอเมื่อ  24 

 

 1   2


3.2 แบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางใบไมและสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร (A Model of Leaf-Eating Herbivores Interactions) จากการศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหารและจํานวนใบไมที่ตนไม ผลิตได สามารถจําลองมาเปนตัวแบบทางคณิตศาสตร (ที่มาจากหนังสือ [3]) ไดดังนี้ v  fv (e n 1 n

ahn

(3.8)

)

h h  rh (  n ) n 1 n vn

เมื่อกําหนดให

n

และ

n

โดย

v f , a, r

เมื่อ vn  0

แทน ชวงเวลาที่สนใจ

h n

(3.9)

แทน จํานวนสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร

แทน จํานวนใบไมที่ตนไมสามารถผลิตได

และ  เปนพารามิเตอรที่มีคาเปนบวก ซึ่ง

f , a, r

และ  เปนจํานวนที่แสดง

สัดสวนการเพิ่มหรือการลด และมีความสัมพันธกับเทอม vn และ hn เพื่อใหแบบจําลองดังกลาวสอดคลองกับความเปนจริงทางธรรมชาติ vn  0 และ

h 0 n

คําอธิบายแบบจําลองสําหรับสมการ (3.8) พิจารณาสมการ (3.8)

 fv (e v n 1 n

ahn

สามารถอธิบายไดวา จํานวนใบไม ณ เวลาที่ พิจารณากราฟของ

ye

ahn

เมื่อให

) n 1

xh n

จะลดลง โดยขึ้นอยูกับเทอม e

ดังแสดงในภาพ

ภาพที่ 3.1 กราฟแสดงความสัมพันธระหวาง 25   

 ahn

xh n

และ

y  e  ax

เสมอ


สามารถสรุปไดวา จํานวนใบไม ณ เวลา n  1 จะขึ้นอยูกับจํานวนของสัตวกินใบเปนอาหาร โดย ถามีจํานวนประชากรของสัตวกินใบเปนจํานวนมาก แลวจํานวนของใบไมสําหรับวันถัด ๆไป จะมี คาลดลงเรื่อย ๆ (ลูเขาสูศูนย) และจะหมดไปในที่สุด คําอธิบายแบบจําลองสําหรับสมการ (3.9) h h  rh (  n ) n 1 n vn hn2  r h  r h n 1 n vn

พิจารณาจากสมการ (3.9) หรือ สามารถอธิบายไดวา

1) จํานวนประชากรของสัตวกินใบ ณ ชวงเวลา n1 จะเพิ่มขึ้น (ถา  r  1 ) หรือ จะลดลง (ถา 0   r  1 ) ดวยสัดสวน  r

และมีความสัมพันธกับจํานวนของสัตวกินใบ ณ ชวงเวลา n

2) จํานวนประชากรของสัตวกินใบ ณ ชวงเวลาที่ n1 จะลดลงดวยสัดสวน r และมีความสัมพันธกับเทอม เมื่อพิจารณาเทอม

hn2 vn

hn2 vn

สามารถอธิบายไดวา h2

2.1) ถามีจํานวนใบไม vn มีคามาก ๆ แลวคาของ r vn จะมีคานอยมาก n

นั้นคือ ถา vn   แลว

hn2 r 0 vn

ดังนั้นสรุปไดวา ถามีจํานวนใบไมในจํานวนที่มากพอแลวจะทําใหจํานวนของสัตวกินใบไม ในชวงเวลาถัด ๆ ไป มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 2.2) ถาจํานวนใบไม vn มีคานอย ๆ แลวคาของ นั้นคือ ถา vn  0 แลว

hn2 r vn

จะมีคามาก

h2 r n  vn

ดังนั้นสรุปไดวา ถามีจํานวนใบไมนอย (มีปริมาณไมเพียงพอ) แลวจะทําใหจํานวนของสัตว กินใบในวันถัด ๆ ไป มีคาลดลงและอาจหมดไปหรือสูญพันธในที่สุด 26   


3.2.1 หาจุดสมดุลของระบบสมการ (3.8) – (3.9) ทําการหาจุดสมดุลในสภาวะคงที่ของระบบสมการ นั่นคือหาจุด (v , h ) ซึ่งหาจากระบบ v  f (v , h ) h  g (v , h )

โดยกําหนดให v  vn 1  vn และ h  hn1  hn แทนลงในสมการ (3.8) และ (3.9) จะได v  fv (e ah )

(3.10)

h h  rh (  ) v

(3.11)

พิจารณาสมการ (3.10) แลวทําการแกสมการ v  f v (e ah )

จาก

  1  f  eah    1  eah f 1 ln    ah f  1 ln   f h    a

หรือ ดังนั้นจะได

h

h

ln f  1 a

ln f a

พิจารณาสมการ (3.11) แลวทําการแกสมการ จาก

h h  rh(  ) v h 1  r (  ) v 1 h   r v h 1   v r

27   


v 

หรือ

v

h

(3.12)

1  r

rh r 1 

 v ,h    rrh1, lna f 

ดังนั้น จุดสมดุลคือ

พิจารณาจุดสมดุลที่ได สามารถกําหนด ขอจํากัดของตัวแปรตาง ๆ ไดดังนี้ 1. f  1 เนื่องจาก ถา f  1 แลวจะไมสอดคลองกับเงื่อนไข vn , hn  0 1 r

1 r

2.   เนื่องจาก ถา   แลวสมการ (3.12) ตัวหารจะเปนศูนย 1 r

และถา   แลว v จะมีคานอยกวาศูนย ซึ่งเปนไปไมได 3.2.2 สมการที่ไดจากการ Rescale (Rescaling the equations) โดยกําหนดให และ

v V  n นั่นคือ n v h H  n นั่นคือ n h

พิจารณาสมการ (3.8)

v V v n n

(3.13)

h H h n n

(3.14)

v  f v (e n 1 n

V v  f V v (e n 1 n V  f V (e n 1 n

แทนคา

ln f h a

จะได

ahn

)

aH n h

aH n h

)

)

 ln f aH n   a V  f V (e n 1 n V  f V (e n 1 n V e n 1

กําหนดใหตัวแปร k  ln f ดังนั้นจะได

 H n ln f

  )

)

 H ln f V (e n ) n ln f (1 H n )

ln f

V e V n 1 n

V V e n 1 n

28   

แลวแทน (3.13) และ (3.14) ลงไปจะได

k (1 H n )


h h  rh (  n ) n 1 n vn

พิจารณาสมการ (3.9)

แลวแทน (3.13) และ (3.14) ลงไปจะได H

H h h  rH h(  n ) n 1 n Vn v

H

แทนคา v 

h 1  r

H h  rH (  n ) n 1 n Vn v

จะได H n 1  rH n (  H n

h

Vn    h   1    r 

H

)

  1H   rH       n  n 1 n  rV  n  

2  1  Hn  r H  r     H n 1 n  r  Vn 2  1 H  r H  H  H  r     n n 1 n n n  r  Vn 2  1  Hn  (r  1) H  H  r     H n 1 n n  r  Vn 2  1  1  Hn  r    H  H  r    H n 1 n  r n  r  Vn H

กําหนดใหตัวแปร b  r    

H

หรือ

n 1

H

1  r

ดังนั้นจะได H n2

 bH  H  b n n Vn

 1 H   bH 1  n  n 1 n b V  n  

29   


ดังนั้นระบบสมการ (3.8) – (3.9) สามารถแปล���เปนระบบสมการ (3.15) – (3.16) ดังนี้ v  fv (e n 1 n

ahn

)

h h  rh (  n ) n 1 n vn

(3.8)

V e V n 1 n

(3.9) 

H

1 โดยที่ f  1 และ  

k (1 H n )

 1 H   bH 1  n  n 1 n b V  n  

(3.15)  (3.16)

โดยที่ k  0 และ b  0  

r

3.2.3 หาจุดสมดุลของระบบสมการ (3.15) – (3.16) ทําการหาจุดสมดุลในสภาวะคงที่ของระบบสมการใหม นั่นคือหาจุด โดยกําหนดให V  Vn 1  Vn และ

H H

V  Ve

n 1

H

n

(V , H )

แทนลงในสมการ (3.15) และ (3.16)

k (1 H )

(3.17) (3.18)

 1 H H  bH 1    b V 

พิจารณา (3.17) ทําการแกสมการจะได

1 e

k (1 H )

ln1  k (1  H ) 0  k (1  H )

จะได

k 0

หรือ

H 1

จาก k  ln f  0 ซึ่งไมเปนจริงเสมอ เนื่องจากเงื่อนไขที่วา f  1 ดังนั้น พิจารณา (3.18) ทําการแกสมการจะได

 1 H 1  b  1    b V 

1 1 H  1  b b V H 1 V

จะได เนื่องจาก

V H H 1

ดังนั้น V  1 30 

 

H 1


จุดสมดุลของระบบ (3.8) – (3.9) สามารถแปลงเปนจุดสมดุลของระบบ (3.15) – (3.16) ดังนี้ 

 v ,h    rrh1, lna f   

(V , H )  (1,1)  

3.2.4 วิเคราะหเสถียรภาพของระบบสมการ (3.15) – (3.16) จากสมการ (3.15)

V V e n1 n

1 H  bH (1   n ) n 1 n b Vn k (1 H ) F (V , H )  V e

และสมการ (3.16)

H

กําหนดให

 1 H G (V , H )  bH  1    b V 

และ

ทําการหาอนุพันธเทียบกับตัวแปร V และ

แทนคา

k (1 H n )

V 1

H

k 1 H  F e V

 k 1 H   F  kVe H

 H  bH 2 G  bH   V V2  V 2

G  1  1 H  bH     b  1   H  V  b V 

และ

H 1

จะได

k 11 F e  e0  1 V V 1, H 1 F  k 11   ke0  k   ke H V 1, H 1

G b V V 1, H 1 G  1   b  b 1 1  1  b H V 1, H 1  b 

และ

ดังนั้นจาโคเบียนของระบบสมการ (3.15) – (3.16) เขียนไดเปน  F  V J   G   V

F   1 k  H     G   b 1b   H  V 1, H 1

31   


แลวจึงนํามาหาคาเฉพาะโดย det  J  I  

1  k 0 b 1b 

1 1b    k  b  0 1  b      b   2  kb  0 ดังนั้นจะไดสมการลักษณะเฉพาะคือ  2   b 1   kb  1  b  0

จาก

 2      0

ดังนั้น

  1 b

และ

  kb  1  b

โดยจุดสมดุลจะมีความเสถียร ก็ตอเมื่อ 

 1   2

ดังนั้น

1b  1  kb  1  b  2

(3.19)

1b  2  kb  b  2

สรุปไดวา จุดสมดุล (V , H )  (1,1) จะมีความเสถียร ก็ตอเมื่อ

1b  2  kb  b  2

สามารถอธิบายไดวา ถากําหนดคาพารามิเตอร k และ b ใหสอดคลองกับเงื่อนไขที่ (3.19) แลวจะทําใหจาํ นวนของใบไมและจํานวนของสัตวที่กินใบไมเปนอาหารจะเขาสูสภาวะสมดุล นั่นคือ เมื่อเวลาผาน ๆ ไป ซึ่งก็คือสิ่งมีชีวิตทั้งสองสามารถอยูรวมกันไดในระบบนิเวศนี้

32   


บทที่ 4 สรุปผลการดําเนินการ และขอเสนอแนะ โครงงานพิเศษชิ้นนี้ไดจัดทําขึ้นเพื่อศึกษาความรูพื้นฐานและทฤษฏีบทที่เกี่ยวของกับการ วิเคราะหแบบจําลองที่แสดงพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร โดยแบบจําลอง ดังกลาวถูกสรางขึ้นในรูปของสมการเชิงผลตาง โดยมีการนําเทคนิคและวิธีการตาง ๆ มาใชเพื่อหา ผลเฉลยในสภาวะสมดุลเพื่อศึกษาปจจัยที่มีผลกระทบตอการเพิ่มและลดจํานวนประชากรของพืช และสัตวที่กินพืชเปนอาหาร พรอมทั้งกําหนดเงื่อนไขที่ทําใหสิ่งมีชีวิตทั้งสองสามารถอยูรวมกันได ในธรรมชาติตอไป  

4.1 สรุปผลการดําเนินงาน สรุปขั้นตอนการดําเนินงานตอไปนี้ 1. ศึกษาความรูพนื้ ฐาน และของสมการเชิงผลตาง   ไดแก อันดับ ความเปนเชิงเสน ความเปนเอกพันธ คาสัมประสิทธิ์ เปนตน  2. ศึกษาระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสนและวิธีการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสน  โดยที่ระบบสมการเชิงผลตางมีรูปแบบทั่วไปคือ  xn 1  a11 xn  a12 yn yn 1  a21 xn  a22 yn .

ทําการสมมติผลเฉลยทั่วไปในรูป

xn  A1n , yn  B2n   

โดยหาคาเฉพาะจาก det( A   I)  0 นําไปสูสมการลักษณะเฉพาะ  2      0   และมีผลเฉลยคือ

1.2 

   2  4 2

 

ซึ่งสรุปไดวา ผลเฉลยจะมีขนาดลดลงและเขาสูศูนย เมื่อ และ ผลเฉลยจะมีขนาดเพิ่มขึน้ เรื่อย ๆ เมื่อ

 1  

 1 

3. ศึกษาสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนและวิธีในการหาจุดสมดุลที่อยูในสภาวะเสถียรภาพ   พรอมทั้งวิเคราะหเสถียรภาพของจุดสมดุล  โดยที่สมเชิงผลตางไมเชิงเสนมีรูปแบบทั่วไปคือ หาจุดสมดุลโดยแทน

x  xn 1  xn  ...  x0  

 

 

33 

xn 1  f ( xn , xn 1 ,..., x0 )


จะได

x  f ( x , x ,..., x )

แลวทําการแกสมการหาคา x  

โดยมีเงื่อนไขในการพิจารณาเสถียรภาพดังนี้ เงื่อนไขของเสถียรภาพ 1 จุดสมดุล x จะกลาววาเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร ก็ตอเมื่อ

df dx

1 x

พรอมทั้งศึกษาระบบสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนซึ่งมีรูปแบบทั่วไป คือ xn 1  f ( xn , yn ),

ใหระบบมีจุดสมดุลคือ x และ

y

yn 1  g ( xn , yn )

ซึ่งหามาจาก

x  f ( x , y ),

ทําการแกสมการหาคา x และ

y

y  g(x, y)

จะไดจุดสมดุล (x, y)

เพื่อวิเคราะหเสถียรภาพของจุดสมดุล ทําการพิจารณาเมทริกซของสัมประสิทธิ์  f  x A  g  x 

f  y   g  y  x  x , y  y

ซึ่งสามารถคาเฉพาะจาก det( A   I)  0 นําไปสูสมการลักษณะเฉพาะ  2      0   โดยมีเงื่อนไขในการพิจารณาเสถียรภาพของระบบดังนี้   เงื่อนไขของเสถียรภาพ 2 (x, y)

จะกลาววาเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร ก็ตอเมื่อ 

 1   2

4. ศึกษาแบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางพืชและสัตวที่กินพืชเปนอาหาร  v  F (v , h ) n 1 n n h  G (v , h ) n 1 n n

เมื่อ

vn

แทน จํานวนของพืชในชวงเวลา n

hn แทน จํานวนของสัตวที่กินพืชเปนอาหารในชวงเวลา n

    หาจุดสมดุลของสมการดังกลาวจาก  v  F (v , h )

และ

    จะไดจุดสมดุล (v , h )   34   

h  G (v , h )


เพื่อใหงายตอการวิเคราะหเสถียรภาพ จะกําหนดตัวแปรใหม คือ Vn  ซึ่งจะไดระบบสมการใหมในรูป

vn v

และ

h H  n n h

V  F * (V , H ) n 1 n n H  G* (V , H ) n 1 n n

ซึ่งจุดสมดุลของระบบนี้คือ (V , H )  (1,1) เสมอ แลวจึงพิจารณาเงื่อนไขของเสถียรภาพที่วา (V , H )  (1,1)

จะเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียรของระบบสมการ ก็ตอเมื่อ 

 1   2

5. ศึกษาแบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางใบไมและสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร   fv (e v n 1 n

ahn

)

h h  rh (  n ) n1 n vn

เมื่อ และ

n

เมื่อ vn  0

แทน ชวงเวลาที่สนใจ

h n

แทน จํานวนสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร

v

แทน จํานวนใบไมที่ตนไมสามารถผลิตได

n

หาจุด (v , h ) ของระบบดังกลาวาจาก เมื่อแกระบบสมการจะไดจุดสมดุลคือ

v  f (v , h )

และ

h  g (v , h )

 v ,h    rrh1, lna f 

แปลงสมการเพื่อกําจัดหนวยในการวัด จะไดระบบสมการใหมคือ V V e n 1 n

H

k (1 H n )

,

 1 H   bH 1  n  n 1 n b V  n  

ซึ่งระบบสมการนี้ มีจุดสมดุลคือ (V , H )  (1,1)   ในทายที่สดุ เราจะไดเงื่อนไขของเสถียรภาพของระบบสมการนี้วา จุดสมดุล (V , H )  (1,1) จะมีความเสถียร ก็ตอเมื่อ

1b  2  kb  b  2

4.2 ขอเสนอแนะ สามารถนําความรูที่ไดจากโครงงานพิเศษนี้ไปประยุกตใชกับแกปญหาทางดานวิทยาศาสตร และวิศวกรรมศาสตรตาง ๆ ที่เขียนตัวแบบเชิงคณิตศาสตรในรูปของสมการเชิงผลตางอื่น ๆ ได 35   


บรรณานุกรม [1] Abell M.L., Maple V by Example, U.S.A : Academic Press, Inc., 1994 [2]    Chua, Leon O., Linear and nonlinear circuits, New York : McGraw-Hill, 1987 [3] Edelstein-Keshet L., Mathematical Models in Biology, Random House Inc., New York, 1988 [4] Kulenovic M. R. S. and Merino O., Discrete Dynamical Systems and Difference Equations with Mathematica, Chapman & Hall/CRC, United States of America, 2002 [5]   ดํารงค ทิพยโยธา, พีชคณิตเชิงเสน, กรุงเทพฯ : สํานักพิมพจุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย, 2537 [6] ผศ.ศรีบุตร แววเจริญ และ ผศ.ชนศักดิ์ บายเที่ยง, สมการเชิงอนุพันธ 1 : คณิตศาสตรวิศวกรรม และวิทยาศาสตร, กรุงเทพฯ : บริษัท ตะวันจํากัด, 2542 [7] สมชาย ประสิทธิ์ตระกูล, ภินทนคณิตศาสตร, กรุงเทพฯ : บริษัท ดานสุทธาการพิมพ, 2546

36   


Analysis of Discrete Model for Leaf-Eating Herbivores