การวิเคราะหตัวแบบจําลองวิยุตสําหรับศึกษาพฤติกรรมการกิน ของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร (Analysis of Discrete Model for Leaf – Eating Herbivores)
นางสาวฉัตชนก
รัตนแสงศรี
นางสาวสุชาดา
ชะนะหมัด
นางสาวกุลรดา
แซตัน
โครงงานนี้เปนสวนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาคณิตศาสตรประยุกต ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือ ปการศึกษา 2554
e
n1:Ttn: lyli
roolR:.r.rru
/a o A .g et'?rru u,f, tao{aqnrfio fr nu rr
a
a
ajo
-
rq6n:: u nr: ilutolti'srifr
e
nuluhi
dt
tljuorl{1: Analysis
u]{fl
IoE,
of
Discrete Model for Leaf
l?li'et su
Eating Herbivores
-
d
n isruttal
u1{d1?qs]et1 syuyyflet u1.1d]?QAiqr A
rrqid'u
/t
J
d]ltl?S1
niuetfllda:il:sqflFl
fl1n?u1
fl0.r9tfl]dgr:
nilv
a
a/
Jt
?
?vru]fl1daTil:yunsr
dd t4
o't0'l:umu:nu1 drd
iln15flnu1
@Jd",
o:.nildust tuuutil:rJ 2554
nrn?rytnfiflf,tdaf naluamurf,ldofrJ:vqnri ruuriuurd'orvroIulatrry:u0olrrndru:u4
ua6lr1
o'd,
r
i
d
s
ra
a
s
ufi:tl'luooulJ9ltu tn:.:{1uut]Jufl?u14u{zu0{n1:flnu19t1uilanqfl:iltiuiu1amulflldgt:uar.nqarrr A
/t
nflr9rf,ldsr:lJ:vunet I
J
.
MV:ti
tA ,a
rils.wtttn
(q:.n ud'uei
rfi
ounj:
010r:uvril:nu1 rL)
dpz(n:.to nfi'u
qar 1fi rJ?
rff{flriruer
o
n
aor
: rr
e
o'
I dT r I il u
ra
ururry)
p
n::ilnl:
r:d rarrd'nuof
a
o{n
1
R::UNl:
a
n ? st fl 0r
u u'r d'u
rvr n
gt
fl
fu)
rosE
1
dn
/
:
a
n i)l u ?yt u
Iu I n6vr : y o o ru
flnr:finsr
r
n
zss+
Jt
J
tfl I fl fl i il : u q n sl
dr u :
s
u n : ril fi o
บทคัดยอ ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร หรือ แบบจําลองทางคณิตศาสตร เปนสิ่งที่ถูกใชกันอยางแพรหลาย ในปจจุบัน ทั้งทางดานฟสิกส ชีววิทยา วิศวกรรมศาสตร เปนตน ซึ่งตัวแบบเชิงคณิตศาสตรจะ แสดงใหเห็นถึงการเปลี่ยนแปลงคาของขอมูลตางๆ ในรูปสมการทางคณิตศาสตร ซึ่งเปนการแปลง ปญหาที่เกิดขึ้นจริงในธรรมชาติใหอยูในรูปของสมการเชิงคณิตศาสตรเพื่อใหงายตอการวิเคราะห วิจัยและการดําเนินงานในภายหลัง สําหรับโครงงานนี้จะใชพื้นฐานของวิธีสมการเชิงผลตางชวยในการศึกษาตัวแบบเชิง คณิตศาสตร เพื่อวิเคราะหแกปญหาและศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร รวม ไปถึงการศึกษาผลกระทบและปริมาณการบริโภคของสัตวที่กินใบไมกับปริมาณของใบไมทมี่ อี ยูใ น ธรรมชาติ ซึ่งสามารถนําผลเฉลยที่ไดมาวิเคราะหพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร และสามารถหาผลเฉลยที่นํามาสูสภาวะสมดุลทางธรรมชาติได รวมไปถึงนําผลที่ไดจากโครงงาน ไปพั ฒ นาโปรแกรม โดยผลที่ ไ ด จ ากการศึ ก ษาสามารถนํ า ไปประยุ ก ต ใ ช ใ นป ญ หาทางด า น วิทยาศาสตรและวิศวกรรมศาสตรตางๆ ตอไป
ก
ABSTRACT Currently, mathematical models are widely used in several fields such as physics, biology, and engineering. The mathematical model shows the rate of change of any data in terms of mathematical equations. The mathematical equation occurs from the conversion of real problem in nature for making it easier to analyze and to research later. This special project is to study and analyze the discrete model for leaf-eating herbivore interaction based on scheme to find solutions of the difference equation. The analysis of leafeating herbivore model is concerned about an eating behavior of animals that has the leaves as its food. We also study impact and consumption of leaf-eating herbivore on the amount of leaves in nature. The objective of this project is to find and analyze the steady-state solutions or equilibriums. Then the mathematical program is developed to illustrate the stability analysis of the solution. The results of the study can be applied to other problems in science and engineering fields further.
ข
กิตติกรรมประกาศ โครงงานเรื่องการวิเคราะหตัวแบบจําลองวิยุตสําหรับศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กิน ใบไมเปนอาหารสําเร็จลุลวงลงไดดวยดีดวยความอนุเคราะหชวยเหลือจากหลายฝาย ทางคณะ ผูจัดทําใครขอขอบคุณ ดร.คมสันต เนียมเปรม ซึ่งเปนอาจารยที่ปรึกษาในการจัดทําโครงงานฉบับนี้ ที่ ก รุ ณ าสละเวลา เอาใจใส ใ ห คํ า ปรึ ก ษาและคํ า แนะนํ า ที่ เ ป น ประโยชน ตลอดจนช ว ยแก ไ ข ขอบกพรองตาง ๆ ในการจัดทําโครงงานฉบับนี้ และใครขอขอบพระคุณคณะกรรมการในการสอบ โครงงาน ดร.เอกชัย คุณวุฒิปรีชาชาญ และ ผูชวยศาสตราจารยเสาวลักษณ เจศรีชัย ที่ใหคําแนะนํา เพิ่มเติม สละเวลาในการตรวจตราแกไขในการจัดทําโครงงานฉบับนี้ใหมีความสมบูรณยิ่งขึ้น ที่สําคัญที่สุดทางคณะผูจัดทําขอกราบขอบพระคุณคณาจารยภาควิชาคณิตศาสตรทุกทานที่ ไดประสิทธิประสาทวิชาการความรูตาง ๆ ใหแกคณะผูจัดทําจนมีความรูความสามารถเพียงพอ สําหรับทําโครงงานนี้ใหสําเร็จลุลวงไปไดดวยดี และขอกราบขอบพระคุณบิดา มารดาที่ไดสงเสีย ทางคณะผูจัดทําใหมีโอกาสเลาเรียนจนสําเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรี รวมทั้งขอบคุณเพื่อนรวม ชั้นของคณะผูจัดทําทุกคนที่ไดใหกําลังใจและชวยเหลือดานตาง ๆ ในการจัดทําจนโครงงานชิ้นนี้ สําเร็จลุลวงดวยดีไว ณ โอกาสนี้
นางสาวฉัตชนก รัตนแสงศรี นางสาวสุชาดา ชะนะหมัด นางสาวกุลรดา แซตัน
ค
สารบัญ หนา บทคัดยอภาษาไทย
ก
บทคัดยอภาษาอังกฤษ
ข
กิตติกรรมประกาศ
ค
สารบัญตาราง
ฉ
สารบัญภาพ
ช
บทที่ 1 บทนํา 1.1 ความเปนมาของโครงงาน
1
1.2 ความสําคัญของโครงงาน
4
1.3 วัตถุประสงคของโครงงาน
5
1.4 ประโยชนที่คาดวาจะไดรับ
5
1.5 ระเบียบวิธีดําเนินงาน
6
1.6 ขอบเขตของการดําเนินงาน
6
บทที่ 2 ความรูพื้นฐานและทฤษฎีที่เกี่ยวของ 2.1 สมการเชิงผลตาง
7
2.2 ระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสน
10
2.3 สมการเชิงผลตางไมเชิงเสน
15
2.4 ระบบของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน
18
ง
สารบัญ (ตอ)
หนา บทที่ 3 วิธีการดําเนินงาน 3.1 แบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางพืชและสัตวที่กินพืชเปนอาหาร
22
3.2 แบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางใบไมและสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร
25
บทที่ 4 สรุปผลการดําเนินการ และขอเสนอแนะ 4.1 สรุปผลการดําเนินงาน
33
4.2 ขอเสนอแนะ
35 36
บรรณานุกรม
จ
สารบัญตาราง ตารางที่
หนา
2.1
ประเภทของสมการเชิงผลตาง
9
3.1
ประเภทและตัวอยางของสัตวที่กินพืชเปนอาหาร
22
ฉ
สารบัญภาพ ภาพที่
หนา
1.1
แสดงตัวอยางของผูบริโภคในระบบนิเวศ
2
1.2
หวงโซอาหารแสดงความสัมพันธระหวางผูบริโภคในระดับตางๆ
3
2.1
พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 1
13
2.2
พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 0 1
14
2.3
พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 1 0
14
2.4
พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 1
15
2.5
สภาวะเสถียรภาพของผลเฉลย โดยพิจารณาจากตําแหนงของลูกบอล
16
2.6
แสดงเงื่อนไขที่เกี่ยวกับสภาวะเสถียรภาพของระบบสมการเชิงผลตาง
20
3.1
กราฟแสดงความสัมพันธระหวาง
xh n
ช
และ
y eax
25
บทที่ 1 บทนํา 1.1 ความเปนมาของโครงงาน ขั้ น ตอนวิ ธี ก ารวิ เ คราะห เ พื่ อ แก ป ญ หาทางด า นวิ ท ยาศาสตร และวิ ศ วกรรมศาสตร มี ความสําคัญมากในการสรางเสริมและปรับปรุงความเปนอยูของมนุษยใหดียิ่งขึ้น ปรากฏการณสวน ใหญ ที่ เ กิ ด ขึ้ น รอบตั ว เราสามารถอธิ บ ายได โ ดยกฎเกณฑ หรื อ ทฤษฎี พื้ น ฐานทางฟ สิ ก ส แ ละ วิทยาศาสตร ซึ่งปรากฏการณตาง ๆ เหลานี้ จะสามารถจําลองหรือเขียนในรูปของความสัมพันธทาง คณิตศาสตรหรือตัวแบบเชิงคณิตศาสตร (mathematical modeling) ได ซึ่งตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่ ไดสวนใหญจะอยูในรูปของขั้นตอนวิธี (algorithm) หรือสมการตาง ๆ โดยสมการสวนใหญอยูใน รูปแบบของสมการเชิงผลตาง (difference equation) ซึ่งปกติการสรางสมการสามารถทําไดไมยาก นัก แตปญหาหลักสําหรับการวิเคราะหปญหาคือการหาผลเฉลยเพื่อที่จะนํามาวิเคราะหผลหรือ สรุปผลวา ตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่ไดมามีความถูกตองเพียงใด หรือมีพฤติกรรมของผลเฉลย เป น ไปในทางใด ซึ่ ง การหาผลเฉลยดั ง กล า วสามารถหาผลเฉลยได ห ลายทาง เช น การใช ความสัมพันธเวียนเกิด (recurrence relation) และสมการเชิงผลตาง อีกทั้งการศึกษาความรูทาง คณิตศาสตรเพื่อมาสรางเปนตัวแบบเชิงคณิตศาสตรยังสามารถใชอธิบายถึงสิ่งมีชีวิตตางๆในระบบ นิเวศได โดยระบบนิเวศ (ecosystem) จะหมายถึง ความสัมพันธระหวางสิ่งมีชีวิตกับสิ่งมีชีวิต ดวยกัน และความสัมพันธระหวางสิ่งมีชีวิตกับปจจัยทางกายภาพในลักษณะของการเปนระบบ และ ความสัมพันธนี้ตองอยูในสภาวะการเปลี่ยนแปลงที่สมดุล (dynamic equilibrium) โดยธรรมชาติ เสมอ เพื่อความคงอยูของระบบนิเวศ นอกจากนั้นองคประกอบที่สําคัญของระบบนิเวศไดแก สวน ที่เ ปนโครงสราง (structure) ที่ สามารถแบง ไดเ ปน ระดับผูผลิต (producer) หมายถึงสิ่งมี ชีวิตที่ สามารถสังเคราะหอาหารไดดวยตัวเอง (autotroph) ไดแกพวกพืชสีเขียวทุกชนิด ตั้งแตพวกสาหราย สีเขียว สาหรายสีน้ําเงินแกมเขียว จนถึงพืชมีดอกทั้งหลาย และระดับผูบริโภค (consumer) เปนพวก สิ่งมีชีวิตที่ตัวมันเองไมสามารถสรางอาหารเองได (heterotroph) ตองพึ่งพาอินทรียสารที่สรางมา จากพวกที่สรางอาหารไดดวยตัวเอง ซึ่งแบงออกไดหลายระดับดังนี้
1
1. ผูบริโภคขั้นปฐมภูมิ (primary consumer) คือผูบริโภคลําดับที่หนึ่งซึ่งบริโภคพืชเปน อาหาร เรียกวา สัตวที่กินพืชเปนอาหาร (herbivores) เชน แพลงกตอนสัตวกินแพลงกตอนพืชเปนอาหาร ปลากินพืชตาง ๆ เชน ปลาสลิด ปลากระดี่ เปนตน 2. ผูบริโภคขั้นทุติยภูมิ (secondary consumer) คือ ผูบริโภคลําดับที่สองซึ่งบริโภคสัตวที่ กินพืชเปนอาหาร ซึ่งมีขนาดใหญและแข็งแรงกวาพวกสัตวกินพืช มีระบบประสาท และกลามเนื้อ เพื่อใชหาเหยื่อและจับเหยื่อเปนอาหาร ตลอดจนระบบยอยอาหารที่ แตกตางจากพวกสัตวกินพืช โดยพวกสัตวกินเนื้อนี้เปนอาหารของผูบริโภคระดับสูง ขึ้นไปอีก และเมื่อตายลงก็เปนอาหารของตัวสลายอินทรียตอไป 3. ผูบริโภคระดับสูงขึ้น (higher consumer) เปนสัตวที่กินผูบริโภคทุติยภูมิอีกทอดหนึ่ง เชน เหยี่ยว นก จระเข เปนตน 4. ผูบริโภคระดับสูงสุด (top carnivores) ซึ่งก็คือ พวกมนุษยนั่นเอง
ผูบริโภคขั้นปฐมภูม ิ
ผูบริโภคขั้นทุติยภูมิ
ผูบริโภคระดับสูงขึ้น
ผูบริโภคระดับสูงสุด
ภาพที่ 1.1 แสดงตัวอยางของผูบริโภคในระบบนิเวศ 2
ภาพที่ 1.2 หวงโซอาหารแสดงความสัมพันธระหวางผูบริโภคในระดับตาง ๆ
3
1.2 ความสําคัญของโครงงาน ตั ว แบบเชิ ง คณิ ต ศาสตร หรื อ แบบจํ า ลองทางคณิ ต ศาสตร เป น สิ่ ง ที่ ถู ก ใช กั น อย า ง แพรหลายในปจจุบัน ทั้งทางดานฟสิกส ชีววิทยา สังคมศาสตร ฯลฯ ซึ่งตัวแบบเชิงคณิตศาสตร แสดงใหเห็นถึงการเปลี่ยนแปลงของคาของขอมูลตาง ๆ ในรูปสมการทางคณิตศาสตร เปนการ แปลงปญหาที่เกิดขึ้นจริงใหอยูในรูปของสมการเชิงคณิตศาสตรเพื่อใหงายตอการวิเคราะห วิจัย และการดําเนินงานในภายหลัง ตัวแบบเชิงคณิตศาสตรถูกสรางขึ้นมาหลังจากเสร็จสิ้นกระบวนการ และคําอธิบายที่เกี่ยวของกับตัวแบบนี้แสดงใหเห็นถึงขอมูลอันเปนประโยชนตอปญหาที่ตองการ แก ไ ข โดยสิ่ ง สํ า คั ญ ในการสร า งตั ว แบบเชิ ง คณิ ต ศาสตร คื อ การแปลความหมายอย า งมี ประสิทธิภาพในการเปลี่ยนปญหาใหอยูในรูปของตัวแบบทางคณิตศาสตร และขั้นตอนหลัก ๆ ใน การสรางตัวแบบเชิงคณิตศาสตร ประกอบไปดวย การระบุปญหาในการสรางตัวแบบ เพื่อใหมี ความเขาใจเกี่ยวกับปญหานั้น ๆ กอนดําเนินการ หลังจากทราบปญหาแลว ก็ตองทําการรวบรวม ขอมูลตาง ๆ ที่มีผลกระทบทั้งทางตรงและทางออมกับปญหา และหาความสัมพันธของขอมูลที่ นํามาใชในการสรางตัวแบบ เชน การหาตัวแปรตาง ๆ ที่เกี่ยวของ และทําการตั้งสมมติฐาน หรือหา ลักษณะของตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่นาเปนไปไดบนพื้นฐานของขอมูลที่ไดจากการรวบรวม หลังจากนั้นก็สรางตัวแบบ ซึ่งเปนการแปลงขอมูลที่ไดใหเปนสมการทางคณิตศาสตร แลวแปล ความหมาย หรืออธิบายตัวแบบที่สรางขึ้นมา เพื่อเปนการเชื่อมโยงความสัมพันธระหวางตัวแบบกับ ปญหาจริง และทําการเปรียบเทียบคาคาดคะเนที่คํานวณไดจากตัวแบบกับคาที่ไดจากขอมูลจริงที่ เก็บรวบรวมมาได ถาคาทั้งสองกลุมนี้ใกลเคียงกันก็แสดงใหเห็นวาตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่สราง ขึ้ น มี ค วามเหมาะสมกั บ ความเป น จริ ง ถ า ผลออกมาเป น ตรงกั น ข า มก็ แ สดงว า ตั ว แบบเชิ ง คณิตศาสตรที่สรางขึ้นเปนตัวแบบที่ไมเหมาะสม ควรทําการแกไข โดยตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่ดี นั้นไมจําเปนตองมีความสลับซับซอนในสมการ หรือเปนสมการชั้นสูง และไมจําเปนตองมีหลาย ตัวแปร แตควรทําใหมีสมการที่งายตอการเขาใจ และจํานวนตัวแปรในสมการมีนอยที่สุดเทาที่ เปนไปได เพื่องายตอการวิเคราะห และวิจัย หรือแปลความหมายของตัวแปรใหเปนไปตามความ เปนจริง ทั้งนี้ทั้งนั้นตองคํานึงถึงความเหมาะสมของตัวแบบเชิงคณิตศาสตรกับขอมูลที่มีอยูดวย ในโครงงานนี้ใชพื้นฐานของวิธีสมการเชิงผลตาง ชวยในการสรางตัวแบบเชิงคณิตศาสตร เพื่อวิเคราะหแกปญหาและศึกษาพฤติกรรมของการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร รวมไปถึง 4
การศึกษาผลกระทบและปริมาณการบริโภคของสัตวที่กินใบไม กับปริมาณของใบไมในธรรมชาติ ซึ่งสามารถนําผลที่ไดมาพัฒนาโปรแกรม เพื่อประยุกตใชในการคํานวณทางดานวิทยาศาสตรและ วิศวกรรมศาสตรตาง ๆ ตอไปได
1.3 วัตถุประสงคของโครงงาน 1. เพื่อศึกษาสมการเชิงผลตาง และความรูพื้นฐานเกี่ยวกับสมการเชิงผลตาง 2. เพื่อศึกษาวิธีการหาผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงผลตางที่ประกอบดวยสมการที่เปน เชิงเสน 3. เพื่อศึกษาวิธีการหาผลเฉลยในสภาวะสมดุล (steady states) ของระบบสมการเชิงผลตางที่ ประกอบดวยสมการที่ไมเปนเชิงเสน พรอมทั้งเงื่อนไขการเสถียรภาพ (stability) ของผล เฉลยที่ได 4. เพื่อศึกษาตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินพืชเปน อาหาร (a model for plant-eating herbivores) และการหาผลเฉลยในสภาวะสมดุล พรอมทั้ง วิเคราะหเงื่อนไขการเสถียรภาพของปญหา โดยอาศัยพื้นฐานของวิธีสมการเชิงผลตาง 5. เพื่อนําความรูที่ไดมาวิเคราะห แกปญหาและศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไม เปนอาหาร (a model for leaf-eating herbivores) พรอมทั้งหาผลเฉลยในสภาวะสมดุล และ วิเคราะหเงื่อนไขการเสถียรภาพของปญหา โดยอาศัยพื้นฐานของวิธีสมการเชิงผลตาง
1.4 ประโยชนที่คาดวาจะไดรับ 1. สามารถวิเคราะหแกปญหาสมการเชิงผลตางทั้งแบบเชิงเสนและไมเปนเชิงเสน 2. สามารถนําผลเฉลยที่ไดมาวิเคราะหศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร 3. สามารถหาผลเฉลยในสภาวะสมดุลเกี่ยวกับพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมและ ปจจัยที่มีผลกระทบตอพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไม 4. สามารถอธิบายความหมายของแบบจําลองทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวกับพฤติกรรมการกินของ สัตวที่กินใบไมเปนอาหารได 5. สามารถนําเทคนิคทางคณิตศาสตรที่ไดมาประยุกตใชในการวิเคราะหแกสมการเชิงผลตาง ที่สรางมาจากปญหาทางดานวิทยาศาสตรอื่น ๆ ตอไปได
5
1.5 ระเบียบวิธีดําเนินงาน ในการจัดทําโครงงานครั้งนี้ ผูจัดทําไดศึกษาเอกสารตําราที่เกี่ยวของกับสมการเชิงผลตาง และทฤษฎี พื้ น ฐานของสมการเชิ ง ผลต า งแบบเชิ ง เส น และแบบไม เ ป น เชิ ง เส น รวมไปถึ ง ทําการศึกษาขั้นตอนวิธีการหาผลเฉลย และหลังจากที่ไดทําการศึกษาแลวไดนํามาเรียบเรียงเปน ลําดับขั้นตอนในการคํานวณหาผลเฉลย เพื่อชวยใหสะดวกตอการทําความเขาใจ และนําผลเฉลยที่ ไดมาวิเคราะหเ พื่อพิจารณาพฤติ กรรมของผลเฉลยวามีการเปลี่ยนแปลงอย างไร เพื่ อศึก ษาหา ผลกระทบที่มีตอการบริโภคและปริมาณการบริโภคของสัตวที่กินใบไม สําหรับการสรางตัวแบบ เชิงคณิตศาสตรที่เกี่ยวกับพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร
1.6 ขอบเขตการดําเนินงาน โครงงานนี้เนนการศึกษาทฤษฎีและหลักการพื้นฐานเกี่ยวกับสมการเชิงผลตางแบบเชิงเสน และแบบไม เ ป น เชิ ง เส น โดยนํ า ความรู ที่ ไ ด จ ากการศึ ก ษาดั ง กล า ว มาวิ เ คราะห ตั ว แบบเชิ ง คณิตศาสตรเกี่ยวกับพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร ซึ่งตัวแบบดังกลาวจะเขียนอยู ในรูปของสมการเชิงผลต างไมเชิ งเสน พรอมทั้งศึกษาลักษณะการกินของสัตวที่กินใบไมเปน อาหาร และนํ า ความรู ที่ไ ด ม าหาผลเฉลยของสมการเชิ งผลต า งไม เ ชิง เส น นอกจากนี้ยั งศึ ก ษา วิเคราะห วิธีในการหาผลเฉลยในสภาวะสมดุลของตัวแบบเชิงคณิตศาสตรที่เกี่ยวกับพฤติกรรมการ กินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร พรอมทั้งวิเคราะหเงื่อนไขการเสถียรภาพของผลเฉลยที่ได
6
บทที่ 2 ความรูพื้นฐานและทฤษฎีที่เกี่ยวของ ในบทนี้จะอธิบายนิยาม ความหมาย และประเภทของสมการเชิงผลตาง วิธีการหาผลเฉลย ทั่วไปสําหรับระบบสมการของสมการเชิงผลตางแบบเชิงเสน และวิธีการหาผลเฉลยในสภาวะ สมดุลสําหรับระบบสมการของสมการเชิงผลตางแบบไมเชิงเสน พรอมทั้งศึกษาการวิเคราะห และ แสดงเงื่อนไขของเสถียรภาพของผลเฉลยที่ได
2.1 สมการเชิงผลตาง (Difference Equations) สมการเชิงผลตาง หรืออาจจะเรียกอีกอยางวา ความสัมพันธเวียนเกิด (recurrence relations) ซึ่งเปนเครื่องมือทางคณิตศาสตรอยางหนึ่งเพื่อใชในการจําลองปญหาที่เกี่ยวกับจํานวนประชากร ของสิ่ ง ต า ง ๆ ที่ เ ราสนใจศึ ก ษา ณ ช ว งเวลาใดเวลาหนึ่ ง โดยสมการเชิ ง ผลต า งจะเขี ย นแสดง ความสัมพันธระหวางจํานวนประชากร ณ เวลาที่สนใจกับจํานวนประชากรเวลากอนหนานั้น โดย เมื่อทําการแกปญหาที่เราสนใจ ผลเฉลยที่ไดเรียกวา ผลเฉลยทั่วไป (general solution) ในกรณีที่เรา ทราบจํานวนประชากรที่แนนอน ณ เวลาเริ่มตนของปญหาดังกลาว ผลเฉลยที่ไดจะเรียกวาผลเฉลย เฉพาะ (particular solution) ซึ่งหาไดจากการแทนจํานวนประชากรดังกลาวลงไปในผลเฉลยทั่วไป แลวทําการแกระบบสมการ ตัวอยางเชน ปญหาเกี่ยวกับการแบงตัวของเซลล (cell division) xn 1 axn
มีผลเฉลยทั่วไปคือ
xn Ca n
สําหรับ n 0 เมื่อ
x0 2
และผลเฉลยเฉพาะคือ
และ a คือคาคงที่ใดๆ
xn 2a n
ปญหาเกี่ยวกับลําดับฟโบนักชี (Fibonacci sequence) xn 2 xn xn 1
สําหรับ n 0
เมื่อ n
x0 0
และ
x1 1
n
มีผลเฉลยทั่วไปคือ
1 5 1 5 xn A B 2 2
และผลเฉลยเฉพาะคือ
1 1 5 1 1 5 xn 5 2 5 2
n
7
n
สิ่งที่ควรทราบเกี่ยวกับสมการเชิงผลตาง พิจารณาสมการเชิงผลตาง
xn f ( xn 1 , xn 2 ,..., xn k )
เมื่อทราบคา
(2.1)
x0 , x1 ,..., xk 1
1. อันดับ (order) สมการเชิงผลตาง (2.1) มีอันดับที่ จําเปนตองทราบคาของ
xn 1 , xn 2 ,..., xn k
การนับยอนกลับจากเทอม
xn
เนื่องจากถาเราตองการหาคาของ
k
xn
ใด ๆ เรา
ดังนั้นการบอกอันดับของสมการเชิงผลตางหาไดโดย
ไปยังเทอมที่ไกลที่สุดคือเทอม
xnk
ตัวอยางเชน xn 5 xn 1 6 xn 2
คือสมการเชิงผลตางอันดับที่ 2
xn 3 xn 1 n 2 xn 3
คือสมการเชิงผลตางอันดับที่ 3
2. ความเปนเชิงเสน (linear หรือ nonlinear) จะกลาววาสมการเชิงผลตาง (2.1) เปนสมการเชิงเสน ก็ตอเมื่อฟงกชัน ความสัมพันธเชิงเสนโดยพิจารณาจากเทอมกอนหนา (เทอม กําลังหนึ่งและไมอยูในรูปผลคูณหรือผลหารระหวาง สมการไมเชิงเสน ก็ตอเมื่อฟงกชัน เทอมอยู โดย
f
f
xk
f
เปนฟงกชันที่มี
xn 1 , xn 2 ,..., xn k ) ในสมการวายก
ใด ๆ เสมอ ขณะที่สมการ (2.1) จะเปน
ประกอบดวยเทอมที่เปนฟงกชันไมเชิงเสนอยางนอยหนึ่ง
อาจจะประกอบดวย สมการกําลังสอง (quadratic) สมการเอกซโปแนนเชียล
(exponential) เศษสวน (reciprocal) หรือฟงกชันตรีโกณมิติ (trigonometric) เปนตน ตัวอยางเชน xn 2 xn 1 xn 2 5
หรือ
xn 2 xn 1 xn 3 n 2
คือสมการเชิงผลตางเชิงเสน
xn 2 xn21 6 xn 2
หรือ
xn 2 xn 1 sin( xn 2 )
คือสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน
3. ความเปนเอกพันธ (homogenous หรือ nonhomogeneous) สมการเชิงผลตาง (2.1) เปนสมการเอกพันธ ก็ตอเมื่อ แทนคา แลว
xn
จะมีคาเปนศูนย นั่นคือ
ตองมีเทอม
xj
xn f (0, 0,..., 0) 0
ดวยศูนย
หรือกลาววา ทุกๆ พจนในสมการ (2.1)
คูณอยูดวย ถาเงื่อนไขดังกลาวไมจริงแลว สมการเชิงผลตาง (2.1) ไมเปนเอกพันธ
ตัวอยางเชน xn 2 xn 1 xn 3
เปนสมการเอกพันธ
xn 2 xn 1 xn 3 1
ไมเปนสมการเอกพันธ 8
xn 1 , xn 2 ,..., xn k
4. คาสัมประสิทธิ์ (coefficients) ในที่นี้เราสนใจวาคาสัมประสิทธิ์ที่คูณอยูกับพจน
xn 1 , xn 2 ,..., xn k
ในสมการเชิงผลตาง
(2.1) วาเปนคาคงที่หรือไม ตัวอยางเชน
xn 2 xn 1 xn 3
เปนสมการเชิงผลตางที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่
xn nxn 1 n 2 xn 3
เปนสมการเชิงผลตางที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไมเปนคาคงที่
โดยเราจําแนกและยกตัวอยางที่เกี่ยวกับสมการเชิงผลตางโดยอาศัยคุณสมบัติขางตนในตารางที่ 2.1 ตารางที่ 2.1 ประเภทของสมการเชิงผลตาง
ประเภท
ตัวอยาง
สมการเชิงผลตางอันดับหนึง่ (first – order difference equation)
xn f ( xn 1 )
เชิงเสน (linear)
xn nxn 1 1
ไมเชิงเสน (nonlinear)
xn 1/ (1 xn 1 )
สมการเชิงผลตางอันดับสอง (second – order difference equation)
xn f ( xn 1 , xn 2 )
เชิงเสน (linear)
xn xn 1 2 xn 2
ไมเชิงเสน (nonlinear)
xn 2 xn 1 xn 2
เปนสมการเอกพันธ (homogeneous)
xn 2 xn 1 xn 2
ไมเปนสมการเอกพันธ (non-homogeneous)
xn 2 xn 1 xn 2 1
มีคาสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่ (constant coefficients)
xn 4 xn 1 2 xn 2
มีคาสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร (variable coefficients)
xn nxn 1 (n 1) xn 2 1
สมการเชิงผลตางอันดับที่ m ( m – order difference equation)
xn f ( xn 1 , xn 2 ,..., xn m )
เชิงเสน (linear)
xn xn 1 4 xn 2 2 xn m
ไมเชิงเสน (nonlinear)
xn xn21 ln( xn 2 ) xn m
เปนสมการเอกพันธ (homogeneous)
xn xn 1 2 xn 2 nxn m
ไมเปนสมการเอกพันธ (non-homogeneous)
xn xn 1 2 xn 2 nxn m 1
มีคาสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่ (constant coefficients)
xn xn 1 4 xn 2 2 xn m
มีคาสัมประสิทธิ์เปนตัวแปร (variable coefficients)
xn nxn 1 ( n 2) xn 2 n 2 xn m
9
2.2 ระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสน (System of Linear Difference Equations) ในสวนนี้ เราจะพิจารณาวิธีในการหาคําตอบของระบบสมการเชิงผลตางระหวางสมการ เชิงผลตางอันดับหนึ่งจํานวน 2 สมการที่เปนเชิงเสน และมีรูปแบบทั่วไปของระบบสมการคือ xn 1 a11 xn a12 yn
(2.2)
yn 1 a21 xn a22 yn
(2.3)
วิธีการที่ใชการแกระบบสมการ (2.2) – (2.3) มีดังตอไปนี้ 2.2.1 การหาผลเฉลยโดยทําการลดทอนระบบสมการเชิงเสน คื อ การลดรู ป ของระบบสมการให เ หลื อ เพี ย งหนึ่ ง สมการก อ นแล ว จึ ง หาค า เฉพาะ (eigenvalues) ของปญหาเพื่อใชกําหนดผลเฉลยทั่วไปของปญหาโดยมีวิธีดังนี้ พิจารณา (2.2) – (2.3) เพื่อกําจัดเทอม
yn 1
ออก โดยแทน n n 1 ลงในสมการ (2.2)
xn 2 a11 xn 1 a12 yn 1
แลวจึงนําสมการ (2.3) มาแทนลงไป xn 2 a11 xn 1 a12 (a21 xn a22 yn )
(2.4)
พิจารณาสมการ (2.2) จะได a12 yn xn 1 a11 xn.
แลวนํามาแทนลงใน (2.4) อีกครั้งจะไดสมการเชิงผลตางอันดับที่สองที่เปนเชิงเสนคือ xn 2 a11 xn 1 a12 a21 xn a22 ( xn 1 a11 xn )
หรือ
xn 2 (a11 a22 ) xn 1 (a22 a11 a12 a21 ) xn 0
(2.5)
หลังจากนัน้ จะทําการหาผลเฉลยของสมการ (2.5) โดยกําหนดผลเฉลยทั่วไปใหอยูใ นรูป (2.6)
xn c n
โดยที่ c คือคาคงที่ใด ๆ และ แทน
xn c n , xn 1 c n 1 และ xn 2 c n 2
ลงในสมการ (2.5) จะได
c n 2 ( a11 a22 )c n 1 ( a22 a11 a12 a21 ) n 0
ในกรณีที่ 0 แลว
xn 0
(2.7)
จะไดผลเฉลยชัด (trivial solution) ซึ่งเปนผลเฉลยที่เราไมตองการ
ดังนั้นจึงพิจารณากรณีที่ 0 ทําการดึงตัวรวม c n จากสมการ (2.7) และหารตลอดจะได 2 (a11 a22 ) (a22 a11 a12 a21 ) 0
10
(2.8)
สมการ (2.8) ที่ไดเปนสมการกําลังสอง ซึ่งเรียกวา สมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) เพื่อใชในการหาคาเฉพาะ เพื่อชวยใหการแกสมการ (2.8) งายขึ้น เราจะทําการกําหนดตัวแปรขึ้นมาใหม ดังตอไปนี้ a11 a22 a22 a11 a12 a21
เมื่อทําการหาผลเฉลยของสมการ (2.8) แลวจะไดคา ออกมา 2 คา คือ 1,2
2 4 2
ตัวแปร เรียกวาคาเฉพาะ (eigenvalues) ของปญหา ซึ่งเมื่อแทนลงไปในสมการ (2.6) ก็จะไดผล เฉลยทั่วไปจํานวน 2 ผลเฉลย จากหลักการซอนทับ (principle of linear superposition) ที่วา “ผล เฉลยที่ไดจากการแกปญหา อาจจะมีผลเฉลยที่แตกตางกันจํานวนมากกวาหนึ่งผลเฉลย แตถานําผล เฉลยตาง ๆ ที่ไดมารวมกัน ผลรวมของผลเฉลยก็ยังเปนผลเฉลยของปญหาที่เราสนใจอยู” จาก หลักการดังกลาว ทําใหไดผลเฉลยทั่วไปคือ xn A11n A2 2n
โดย
A1
(2.9)
และ A2 เปนคาคงที่ใด ๆ ซึ่งสามารถหาไดถาโจทยปญหากําหนดเงื่อนไขเริ่มตนมาให
2.2.2 การหาผลเฉลยโดยเขียนระบบสมการในรูปของเมทริกซ พิจารณาระบบสมการ (2.2) – (2.3) อีกครัง้ xn 1 a11 xn a12 yn yn 1 a21 xn a22 yn
กําหนดให x Vn n yn
a11 a12 a21 a22
และ M
จะไดระบบสมการในรูปของเมทริกซ (matrix form) ดังนี้ (2.10)
Vn 1 MVn
ทําการหาผลเฉลยของสมการ (2.10) โดยกําหนดผลเฉลยทั่วไปใหอยูใ นรูป A n Vn n B
(2.11)
11
แทน (2.11) ลงใน (2.10) จะได A n 1 a11 a12 n 1 = B a21 a22
A n n B
A n 1 a11 A n a12 B n
หรือ
B n 1 a21 A n a22 B n
จากนั้นกําจัดเทอม โดยนํา n มาหารตลอด จะไดระบบสมการตอไปนี้ A(a11 ) Ba12 0 A(a21 ) B(a22 ) 0
a11 a21
หรือ
a12 A 0 a22 B 0
สมการพีชคณิตเชิงเสนขางตนใชในการแกปญหาเพื่อหาคา
A
และ
(2.12) B
ในกรณีที่
AB0
ทํา
ให Vn 0 ซึ่งเปนผลเฉลยชัด (trivial solution) ซึ่งเปนผลเฉลยที่เราไมตองการ เพื่อใหไดผลเฉลยที่ ไมใชศูนย เราจะพิจารณา a12 a det 11 0 a22 a21
ซึ่งก็คือ
(a11 )(a22 ) a12 a21 0
และจะไดสมการที่เขียนในรูปกําลังสอง หรือสมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) คือ 2 0
เมื่อกําหนดให
a11 a22
(a11a22 a12 a21 )
โดยจะไดผลเฉลยของสมการลักษณะเฉพาะนี้ 2 คา คือ 1,2
โดยใหปริมาณ , และ
2
4
2 4 2
มีชื่อเรียกและสัญลักษณดังตอไปนี้
a11 a22
คือ ผลรวมในแนวเสนทแยงมุมหรือเทรซของเมทริกซ M (trace of M )
a11a22 a12 a21
คือ ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ M (determinant of M ) และ
2 4 disc( M )
คือ ดิสคริมิแนนตของเมทริกซ M (discriminant of M )
ถา disc( M ) มีคานอยกวาศูนย แลวจะไดคาเฉพาะที่เปนจํานวนเชิงซอน ถา disc( M ) มีคาเทากับศูนย แลวจะไดคาเฉพาะทีม่ ีคาเทากัน 2 จํานวน 12
Ai Bi
นอกจากนั้นเรายังนําคาเฉพาะที่ไดมาใชหาเวกเตอร vi
ที่ไมเปนศูนย ซึ่งเรียกวา
เวกเตอรเฉพาะ (eigenvector) โดยพิจารณา Mvi i vi จากสมการ (2.12) a11 i a21
Ai 0 a22 i Bi 0 a12
ในกรณีที่ a12 0 จะได 1 Ai vi i a11 Bi a 12
ซึ่งเปนเวกเตอรเฉพาะที่สอดคลองกับแตละ i 2.2.3 การวิเคราะหพฤติกรรมของผลเฉลยที่ไดจากระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสน ในหัวขอนี้ เราจะทําการพิจารณาผลเฉลยที่ไดซึ่งเขียนอยูในรูป
xn c n
โดยพฤติกรรม
ของผลเฉลยจะขึ้นอยูกับคาเฉพาะ ซึ่งสามารถจําแนกไดดังนี้ กรณีที่ 1 เมื่อ 1 เมื่อ
n
มีคาเพิ่มขึ้น แลว n จะมีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ดังนั้น
xn c n
ขอบเขต
ภาพที่ 2.1 พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 1
13
มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมี
กรณีที่ 2 เมื่อ 0 1 เมื่อ
n
มีคาเพิ่มขึ้น แลว n จะมีคาลดลงเรื่อย ๆ ดังนั้น
xn c n
มีคาลดลงและลูเขาสูศูนย
ภาพที่ 2.2 พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 0 1 กรณีที่ 3 เมื่อ 1 0 เมื่อ ดังนั้น
n
มีคาเพิ่มขึ้น แลว n จะกวัดแกวงระหวางคาบวกและคาลบ และมีขนาดลดลงเรื่อย ๆ
xn c n
มีคากวัดแกวงโดยมีขนาดลดลงและลูเขาสูศูนย
ภาพที่ 2.3 พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 1 0
14
กรณีที่ 4 เมื่อ 1 เมื่อ n มีคาเพิ่มขึ้น แลว n จะกวัดแกวงระหวางคาบวกและคาลบ แตมีขนาดเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ดังนั้น
xn c n
มีคากวัดแกวงโดยมีขนาดเพิ่มขึ้นโดยไมมีขอบเขต
ภาพที่ 2.4 พฤติกรรมของผลเฉลยเมื่อ 1
2.3 สมการเชิงผลตางไมเชิงเสน (Nonlinear Difference Equations) ในสวนนี้ เราจะพิจารณาวิธีในการหาคําตอบของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน ซึ่งมีรูปแบบ ทั่วไปของสมการคือ (2.13)
xn 1 f ( xn , xn 1 ,...)
โดยที่
xn
เปนจํานวนประชากร ณ ชวงเวลา n และฟงกชัน
f
เปนฟงกชันไมเชิงเสนซึ่ง
ประกอบดวยเทอมใดเทอมหนึ่งซึ่งอาจจะเปนเทอมที่เปนกําลังสอง เอกซโปแนนเชียล เศษสวน หรือเทอมยกกําลังตาง ๆ ของ
xn
ในสวนของหาผลเฉลย
xn
จําเปนตองทราบคาเริ่มตนบางคา เชน
x0 , x1
ในขณะที่วิธีในการแกปญหาของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนไมสามารถทําไดเชนเดียวกับ การแกปญหาของสมการเชิงผลตางเชิงเสน แตเราจะนําความรูที่ไดจากการแกปญหาสมการเชิง ผลตางเชิงเสนมาประยุกตใชกับการหาผลเฉลยของ (2.13) แลวจึงนํามาแกปญหาระบบสมการไม เชิงเสนตอไป โดยเราจะสนใจการแกปญหาของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนอันดับที่หนึ่งกอน ซึ่งเขียนในรูป (2.14)
xn 1 f ( xn )
15
2.3.1 การหาจุดสมดุลและวิเคราะหเสถียรภาพของผลเฉลย แนวคิดของการหาสภาวะสมดุลและการหาจุดสมดุล จะสัมพันธกับระบบที่อยูในสภาวะที่ ไมมีการเปลี่ยนแปลง ซึ่งสามารถพบไดบอยในปรากฏการณทางธรรมชาติ ตัวอยางเชน เนื้อเยื่อ ภายในสิ่งมีชีวิตตาง ๆ จะสามารถเจริญเติบโตไดขึ้นอยูกับอุณหภูมิ ภาวะความเปนกรด ระดับความ เข ม ข น ของเกลื อ ในสภาวะที่ เ หมาะสม หรื อ การหาจุ ด สมดุ ล อาจถู ก พบในป ญ หาที่ เ กี่ ย วกั บ ปรากฏการณเชิงพลวัต เชน การเจริญเติบโต การแพรพันธุ หรือการสืบพันธุของประชากร และ มักจะเปนความจริงที่วา จุดสมดุลที่หามาไดจะทําใหเราสามารถเขาใจพฤติกรรมของระบบไดดี ยิ่งขึ้น เริ่มจากการพิจารณาสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน เมื่อใหจุดสมดุล (steady-state solution หรือ equilibrium) เขียนแทนดวย x สามารถหาคาได โดยกําหนดให xn 1 xn x
นั้นคือไมมีการเปลี่ยนแปลงคาเกิดขึ้นในชวงเวลาที่ n และ n 1 ดังนั้นจากสมการ (2.14) จะได (2.15)
x f (x )
ซึ่งมักจะเรียกจุด x วา จุดตรึง (fixed point) ของฟงกชัน
f
เราสามารถแบงแยกประเภทของจุดสมดุล หรือที่เรียกวาการวิเคราะหเสถียรภาพ (stability) โดยพิจารณาภาพที่ 2.5 เพื่องายตอความเขาใจ
ภาพที่ 2.5 สภาวะเสถียรภาพของผลเฉลย โดยพิจารณาจากตําแหนงของลูกบอล
16
ในภาพประกอบด ว ย 3 สถานการณ ที่ แ ตกต า งกั น โดยใช ตํ า แหน ง ของลู ก บอลแทน สถานการณตาง ๆ จุดที่ 1 และจุดที่ 3 ในภาพคือจุดสมดุล เนื่องจากเปนจุดที่ลูกบอลไมมีการ เคลื่อนที่ นั่นคืออยูในสภาวะสมดุล ขณะที่จุดที่ 2 ในภาพ ลูกบอลจะเคลื่อนที่เมื่อเราวางบอลลงใน ตําแหนงนั้น นอกจากนั้น จุดที่ 1 เปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร (stable) เนื่องจากถามีการออกแรงขยับ ลูกบอลเล็กนอยแลวลูกบอลจะเคลื่อนที่แลวกลับมาสูจุดเดิมได ขณะที่จุดที่ 3 เปนจุดสมดุลที่ไมมี ความเสถียร (unstable) เนื่องจากเมื่อมีการออกแรงขยับลูกบอลแลวลูกบอลจะเคลื่อนที่ แตไม สามารถกลับมาที่จุดเดิมได ความแตกตางของสภาวะเสถียรภาพดังกลาวเปนสิ่งที่นาสนใจในทางชีววิทยา โดยจุด สมดุลที่ไมมีความเสถียรหมายถึง ระบบเกิดการสูญเสียประชากร ภาวะสมดุลเปลี่ยนไปทําใหความ สมดุลของจํานวนประชากรที่มีการแขงขันลดนอยลงไป กลับมาพิจารณาสมการ (2.14) อีกครั้ง เมื่อ ในที่นี้เราจะกําหนดให
xn
x
คือจุดสมดุลที่สอดคลองกับสมการ (2.15)
มีคาใกลเคียงกับคา x แลวพิจารณาวาจุดสมดุลมีความเสถียรหรือไม
เมื่อให (2.16)
xn x xn
โดยที่
xn
คือเทอมที่มีคานอยมาก ๆ หลังจากนั้นแทนสมการ (2.16) ลงใน (2.15) จะได xn 1 xn 1 x f ( xn ) x f ( x xn ) x
(2.17)
ประมาณคา f ในสมการ (2.17) โดยกระจายในรูปของอนุกรมเทยเลอร (Taylor series expansion) จะได df 2 f ( x xn ) f ( x ) xn O( xn ) dx x
(2.18)
เนื่องจากเทอม O( xn 2 ) มีคานอยมากๆ จึงตัดเทอมนี้ออกไปแลว แทนลงในสมการ (2.17) จะได df xn 1 f ( x ) x xn dx x
จากสมการ (2.15) เรารูวา
x f (x )
ดังนั้นจะได (2.20)
xn 1 axn
โดยที่
df a dx x
17
(2.19)
สมการ (2.20) เปนสมการเชิงผลตางเชิงเสน ที่ใชบรรยายพฤติกรรมตาง ๆ ที่เกิดขึ้นใกลกับ จุดสมดุล เมื่อ a เปนคาคงที่ ซึ่งมาจากการหาอนุพันธของ
f
แลวแทนคาที่ x จะเห็นวาพฤติกรรม
ของผลเฉลยรอบ ๆ จุดสมดุลจะมีคาเพิ่มขึ้นหรือลดลงขึ้นอยูกับคาของ a โดยเราสามารถนําความรู ที่ไดจากวิธีของสมการเชิงผลตางเชิงเสน (ในหัวขอ 2.2.3) มาชวยวิเคราะหสมการ (2.20) ซึ่งจะได วา
xn 1
จะมีคาลดลง เมื่อ
a 1
ดังนั้นเราจะสรุปไดวา
เงื่อนไขของเสถียรภาพ 1 x
จะกลาววาเปนจุดสมดุลที่มคี วามเสถียรของสมการที่ (2.14) ก็ตอเมื่อ
df dx
1 x
2.4 ระบบสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน (System of Nonlinear Difference Equations) การแกระบบสมการของสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน เราจะพิจารณาทํานองเดียวกับวิธีการ แกสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนเพียงหนึ่งสมการซึ่งแสดงในหัวขอ 2.3 ในที่นี้เราจะพิจารณาระบบ สมการซึ่งประกอบดวยสมการเชิงผลตาง 2 สมการ ซึ่งขึ้นอยูกับตัวแปรอิสระ x และ y ในรูปของ ระบบสมการ xn 1 f ( xn , yn )
(2.21)
yn 1 g ( xn , yn )
เมื่อ f และ
g
เปนฟงกชันไมเชิงเสน คาของจุดสมดุล x และ
y
หาจาก
x f (x, y) y g(x, y )
(2.22)
ระบบสมการ (2.21) สามารถแปลงใหอยูในรูประบบสมการเชิงเสนสําหรับคาเพอรเทอเบชัน (perturbation)
x
และ
y
เมื่อใชการกระจายอนุกรมเทยเลอรของฟงกชันสองตัวแปร ซึ่งก็คือ
f ( x x, y y) f ( x , y )
และทําเชนเดียวกันกับฟงกชนั
g
18
f x
x,y
x
f x
y ... x,y
เมื่อแทนการกระจายอนุกรมเทยเลอรลงในสมการ (2.21) แลวตัดเทอมที่มีคานอยๆ จะไดผลลัพธคือ xn 1 a11 xn a12 yn
(2.23)
yn 1 a21 xn a22 yn
เมื่อ
a11 a21
f x g x
a12 x,y
f y
a22 x,y
x,y
g y
x,y
กําหนดใหเมทริกซ A ประกอบดวยคาสัมประสิทธิ์ a a A 11 12 a21 a22
ซึ่งเรียกวา จาโคเบียน (Jacobian) ของระบบสมการ (2.21) และให x xn n yn
แลวระบบสมการ (2.21) เขียนในรูปเมทริกซไดเปน xn 1 Axn
(2.24)
โดยสมการ (2.24) ที่ไดเปนระบบสมการเชิงเสนที่ใชเพื่อศึกษาพฤติกรรมของระบบที่อยูใกลเคียง กับจุดสมดุล ( x , y ) ดังนั้นเราสามารถพิจารณาสภาวะเสถียรภาพของ ( x , y ) ได โดยพิจารณา ดังนี้ 1. หาสมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) ของสมการ (2.23) โดยให det( A I ) 0
โดยผลลัพธที่ไดจะอยูในรูปของสมการพหุนามกําลังสอง 2 0
(2.25)
เมื่อให a11 a22 a11a22 a12 a12
2. ตรวจสอบวารากของสมการ (2.25) ซึ่งคือคาเฉพาะ (eigenvalues) มีขนาดนอยกวา 1 หรือไม ถามีขนาดนอยกวา 1 จริง เราจะสรุปไดวาจุดสมดุล ( x , y ) มีความเสถียร
19
ตอไปเราจะแสดงใหเห็นวา นอกจากการพิจารณาคาเฉพาะวามีขนาดนอยกวา 1 หรือไมแลว เรา สามารถวิเคราะหเสถียรภาพไดจากเงื่อนไขดังตอไปนี้ เงื่อนไขของเสถียรภาพ 2 (x, y)
จะกลาววาเปนจุดสมดุลทีม่ ีความเสถียรของระบบ (2.21) ก็ตอเมื่อ
ซึ่งถาเงื่อนไขนี้เปนจริงจะทําใหคาเจาะจง i
1 2
1 และ จุดสมดุล ( x , y ) เสถียรภาพ
พิสูจน เงื่อนไขของเสถียรภาพ 2 หารากของสมการ (2.25) จะได 1,2
2 4 2
2
2 4 2
(2.26)
จากเงื่อนไขของเสถียรภาพ 1 เราทราบวา 1 1
และ
2 1
ภาพที่ 2.6 แสดงเงื่อนไขที่เกีย่ วกับสภาวะเสถียรภาพของระบบสมการเชิงผลตาง จากภาพที่ 2.6 แสดงผลลัพธทางเรขาคณิตของสมการ (2.25) ซึ่งทําใหรากมีคาเปนจํานวน จริง และรากดังกลาวมีระยะทางที่เทากันเมื่อวัดจากคา
2
ไดวาจุดศูนยกลางดังกลาวจะตองอยูในชวง (1,1) ดังนั้น 20
ดังนั้นจากเงื่อนไขของเสถียรภาพ 1 จะ
หรือ
1 / 2 1
นอกจากนี้ เมือ่ วัดระยะทางจาก
2
(2.27)
2
ไปยังรากใดรากหนึ่ง จะตองมีคานอยกวาระยะทางจาก
2
ไป
ยังจุดปลายของชวง จากภาพที่ 2.6 จะได 2 4 2
1
2
ยกกําลังสองทั้งสองขาง เครื่องหมายจะไมมีการเปลี่ยนแปลง เนื่องจากแตละขางของสมการเปน บวก 2 4 4
2 4
ตัดเทอม
2
4
1 2
1
2
2 4
ออกและ จัดรูปใหม จะได (2.28)
1
ซึ่งเมื่อรวมอสมการ (2.27) และ (2.28) เขาดวยกัน และเนื่องจาก ดังนั้นจะไดเงือ่ นไข
1 2
จริง
21
1
บทที่ 3 วิธีการดําเนินงาน 3.1 แบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางพืชและสัตวที่กินพืชเปนอาหาร (A Model of Plant-Herbivore Interactions) แบบจําลองทางคณิตศาสตรสวนใหญจะใชเพื่ออธิบายพฤติกรรมบางอยางของสิ่งมีชีวิตใน ระบบนิเวศ โดยศึกษาความสัมพันธระหวางประชากรของสิ่งมีชีวิตชนิดหนึ่งกับประชากรของ สิ่งมีชีวิตอีกชนิดหนึ่งในลักษณะของการอยูรวมกัน หรือการแขงขัน ตอสูเพื่อใหมีชีวิตอยูรอดตอไป ความถูกตองของแบบจําลองขึ้นอยูกับการเลือกฟงกชันที่เหมาะสม เพื่อมาสรางเปนแบบจําลอง โดยอาศัยขอมูลที่ไดจากการสังเกตลักษณะทางกายภาพ แลวทําการวิเคราะหจากขอมูลและกราฟ ทางสถิติที่ไดจากพฤติกรรมของสิ่งแวดลอมนั้น ในสวนนี้จะแนะนําใหรูจักปญหาที่เกิดขึ้นในระบบ นิเวศของพืชและสัตวที่กินพืช เพื่อเปนแนวทางในการศึกษาแบบจําลองที่สนใจในสวนถัดไป สัตวที่กินพืช (herbivore) คือ สัตวที่มีพฤติกรรมการกินอาหารที่จะเลือกกินสวนใดสวน หนึ่งของพืชเปนอาหาร (พิจารณาตารางที่ 3.1) ซึ่งจะทําใหเกิดความเสียหายกับบางสวนของพืชหรือ นําไปสูการตายของพืช อยางไรก็ตามสัตวกินพืชอาจจะลมตาย ถาจํานวนของพืชมีปริมาณที่ไม เพียงพอ โดยการสรางแบบจําลองปฏิกิริยาของสัตวที่กินพืชเปนอาหาร ในที่นี้จะเนนเฉพาะการ เปลี่ยนแปลงเชิงปริมาณคือ สนใจการเปลี่ยนแปลงของจํานวนสิ่งมีชีวิตของประชากรเทานั้น ตารางที่ 3.1 ประเภทและตัวอยางของสัตวที่กินพืชเปนอาหาร สวนประกอบของพืชที่ถูกกิน
ศัพทเทคนิคที่ใชเรียกสัตวทกี่ ินพืช
ตัวอยาง
ผล (Fruit)
Frugivores
ลิง ชะนี
ใบไม (Leaves)
Folivores
หมีโคอาลา กวาง หนอน
น้ําหวานในดอกไม (Nectar)
Nectarivores
ผีเสื้อ นก แมลง
เมล็ด (Seeds)
Granivores
นก แมลง
เกสร (Pollen)
Palynivores
ผึ้ง เตาทอง แมลง
เนื้อไม
Xylophages
ปลวก ดวง
22
เราจะทําการตั้งสมมติฐานเพื่อนําไปสูโครงสรางของแบบจําลองดังกลาว ดังตอไปนี้ 1. จํานวนของสัตวที่กินพืชเปนอาหารจะขึ้นอยูกับชวงเวลาที่ไมตอเนื่อง (discrete) นั่นคือ ปจจัยที่มีสวนตอการเพิ่มหรือลดของจํานวนของประชากรของสัตวที่กินพืชขึ้นอยูกับฤดูของการ เจริญเติบโตของพืช กลาวคือ ถาพืชอยูในฤดูของการเจริญเติบโต แลวจํานวนประชากรสัตวที่กินพืช จะมีอาหารที่เพียงพอและสามารถเพิ่มจํานวนประชากรได แตถาพืชไมอยูในฤดูของการเจริญเติบโต แลว สัตวดังกลาวจะมีจํานวนอาหารขาดแคลน และทําใหจํานวนประชากรของสัตวจะลดลงตามไป 2. การมีอยูของพืชพรรณ และความหนาแนนของประชากรสัตวกินพืชเปนปจจัยหลักที่ เปนตัวกําหนด การเพิ่มจํานวนประชากรและการอยูรอดของสัตวกินพืช 3. ความอุ ด มสมบู ร ณ ข องพื ช ขึ้ น อยู กั บ จํ า นวนของสั ต ว กิ น พื ช และจํ า นวนของพื ช ใน ชวงเวลากอนหนา ตัวอยางเชน จํานวนของใบไมในชวงที่ตนไมผลัดใบ ทําใหตนไมมีการผลิตและ มีจํานวนใบไมลดลง จึงมีผลตอความสมบูรณของใบไมในฤดูกาลถัดไป ดังนั้นเพื่อสรางแบบจําลองแสดงความสัมพันธระหวางพืชและสัตวกินพืช เราจะกําหนดตัวแปรให v n แทน จํานวนของพืชในชวงเวลา n hn แทน จํานวนของสัตวที่กินพืชเปนอาหารในชวงเวลา n
จากสมมติฐานทั้งสาม สามารถนํามาเขียนรูปแบบทั่วไปของระบบสัตวที่กินพืชเปนอาหารไดดังนี้ F (v , h ) n n
(3.1)
h G (v , h ) n 1 n n
(3.2)
v
n 1
เมื่อ F และ G เปนฟงกชันที่ใชในการควบคุมระดับประชากรของพืชและสัตวที่กินพืชเปนอาหาร โดยเลือกใหมีคุณสมบัติพิเศษบางอยางที่สอดคลองกับพฤติกรรมที่เกิดขึ้นจริงในธรรมชาติ เพื่อนํามาสูการอยูรวมกันของสิ่งมีชีวิตทั้งสอง แบบจําลองซึ่งประกอบดวยสมการ (3.1) และ (3.2) จะตองมีจุดสมดุล (v , h ) ที่ไมเปนศูนย นั่นคือ ประชากรทั้งสองสามารถอยูรวมกันใน ระดับที่คงที่ซึ่งไมทําใหเกิดการเพิ่มและลดลงของจํานวนประชากร โดยจุดสมดุลดังกลาวหาไดจาก v F (v , h )
(3.3)
h G (v , h )
(3.4)
ทําการแกระบบสมการ (3.3) – (3.4) แลว จะไดจุดสมดุล (v , h ) เพื่อนําไปวิเคราะหเสถียรภาพ ตอไป 23
สมการที่ไดจากการ Rescale (Rescaling the Equations) คือการเขียนระบบสมการที่สนใจใหอยูในรูปแบบใหม ที่ไมสนใจหนวยวัดของตัวแปรที่ เกี่ยวของ เพื่อทําใหงายตอการวิเคราะหเสถียรภาพ และการพิสูจนตาง ๆ ที่เกี่ยวกับระบบสมการที่ เราสนใจ นอกจากนั้นยังอาจจะชวยลดจํานวนของพารามิเตอรที่จะตองเกี่ยวของดวย เรากําหนดตัวแปรใหมใหมีคาเปนสัดสวนระหวางตัวแปรเกากับจุดสมดุลที่หาได ดังนี้ v V n n v h H n n h
แทนลงใน (3.1) และ (3.2) และเขียนระบบสมการที่มีความสัมพันธกับตัวใหมจะได (3.5)
V F * (V , H ) n 1 n n H G* (V , H ) n 1 n n
(3.6)
เมื่อให F * และ G* คือฟงกชันที่มีความสัมพันธกับ F และ G และตัวแปรใหม Vn และ
H
n
หลังจากนั้นทําการหาจุดสมดุลของระบบสมการ (3.5) – (3.6) จะได (3.7)
V H 1
ดังนั้นจะไดจุดสมดุลของระบบสมการ (3.5) – (3.6) เปน
(V , H ) (1,1)
เสมอ
โดยเราจะวิเคราะหเสถียรภาพของจุดสมดุลดังกลาวทํานองเดียวกับการวิเคราะหของระบบสมการ ไมเชิงเสน (รายละเอียดแสดงใน หัวขอที่ 2.4) โดยคํานวณหาจาโคเบียน F * V J * G V
F * H G* H V 1, H 1
แลวหาคาเฉพาะจาก det J I 0 ซึ่งจะไดสมการลักษณะเฉพาะคือ เมื่อ คือผลรวมในแนวเสนทแยงมุมของ
2 0
J
และ คือดีเทอรมิแนนตของ
J
แลวจึงใชเงื่อนไขของเสถียรภาพที่วา (V , H ) (1,1)
จะเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียรของระบบสมการ ก็ตอเมื่อ 24
1 2
3.2 แบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางใบไมและสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร (A Model of Leaf-Eating Herbivores Interactions) จากการศึกษาพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหารและจํานวนใบไมที่ตนไม ผลิตได สามารถจําลองมาเปนตัวแบบทางคณิตศาสตร (ที่มาจากหนังสือ [3]) ไดดังนี้ v fv (e n 1 n
ahn
(3.8)
)
h h rh ( n ) n 1 n vn
เมื่อกําหนดให
n
และ
n
โดย
v f , a, r
เมื่อ vn 0
แทน ชวงเวลาที่สนใจ
h n
(3.9)
แทน จํานวนสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร
แทน จํานวนใบไมที่ตนไมสามารถผลิตได
และ เปนพารามิเตอรที่มีคาเปนบวก ซึ่ง
f , a, r
และ เปนจํานวนที่แสดง
สัดสวนการเพิ่มหรือการลด และมีความสัมพันธกับเทอม vn และ hn เพื่อใหแบบจําลองดังกลาวสอดคลองกับความเปนจริงทางธรรมชาติ vn 0 และ
h 0 n
คําอธิบายแบบจําลองสําหรับสมการ (3.8) พิจารณาสมการ (3.8)
fv (e v n 1 n
ahn
สามารถอธิบายไดวา จํานวนใบไม ณ เวลาที่ พิจารณากราฟของ
ye
ahn
เมื่อให
) n 1
xh n
จะลดลง โดยขึ้นอยูกับเทอม e
ดังแสดงในภาพ
ภาพที่ 3.1 กราฟแสดงความสัมพันธระหวาง 25
ahn
xh n
และ
y e ax
เสมอ
สามารถสรุปไดวา จํานวนใบไม ณ เวลา n 1 จะขึ้นอยูกับจํานวนของสัตวกินใบเปนอาหาร โดย ถามีจํานวนประชากรของสัตวกินใบเปนจํานวนมาก แลวจํานวนของใบไมสําหรับวันถัด ๆไป จะมี คาลดลงเรื่อย ๆ (ลูเขาสูศูนย) และจะหมดไปในที่สุด คําอธิบายแบบจําลองสําหรับสมการ (3.9) h h rh ( n ) n 1 n vn hn2 r h r h n 1 n vn
พิจารณาจากสมการ (3.9) หรือ สามารถอธิบายไดวา
1) จํานวนประชากรของสัตวกินใบ ณ ชวงเวลา n1 จะเพิ่มขึ้น (ถา r 1 ) หรือ จะลดลง (ถา 0 r 1 ) ดวยสัดสวน r
และมีความสัมพันธกับจํานวนของสัตวกินใบ ณ ชวงเวลา n
2) จํานวนประชากรของสัตวกินใบ ณ ชวงเวลาที่ n1 จะลดลงดวยสัดสวน r และมีความสัมพันธกับเทอม เมื่อพิจารณาเทอม
hn2 vn
hn2 vn
สามารถอธิบายไดวา h2
2.1) ถามีจํานวนใบไม vn มีคามาก ๆ แลวคาของ r vn จะมีคานอยมาก n
นั้นคือ ถา vn แลว
hn2 r 0 vn
ดังนั้นสรุปไดวา ถามีจํานวนใบไมในจํานวนที่มากพอแลวจะทําใหจํานวนของสัตวกินใบไม ในชวงเวลาถัด ๆ ไป มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 2.2) ถาจํานวนใบไม vn มีคานอย ๆ แลวคาของ นั้นคือ ถา vn 0 แลว
hn2 r vn
จะมีคามาก
h2 r n vn
ดังนั้นสรุปไดวา ถามีจํานวนใบไมนอย (มีปริมาณไมเพียงพอ) แลวจะทําใหจํานวนของสัตว กินใบในวันถัด ๆ ไป มีคาลดลงและอาจหมดไปหรือสูญพันธในที่สุด 26
3.2.1 หาจุดสมดุลของระบบสมการ (3.8) – (3.9) ทําการหาจุดสมดุลในสภาวะคงที่ของระบบสมการ นั่นคือหาจุด (v , h ) ซึ่งหาจากระบบ v f (v , h ) h g (v , h )
โดยกําหนดให v vn 1 vn และ h hn1 hn แทนลงในสมการ (3.8) และ (3.9) จะได v fv (e ah )
(3.10)
h h rh ( ) v
(3.11)
พิจารณาสมการ (3.10) แลวทําการแกสมการ v f v (e ah )
จาก
1 f eah 1 eah f 1 ln ah f 1 ln f h a
หรือ ดังนั้นจะได
h
h
ln f 1 a
ln f a
พิจารณาสมการ (3.11) แลวทําการแกสมการ จาก
h h rh( ) v h 1 r ( ) v 1 h r v h 1 v r
27
v
หรือ
v
h
(3.12)
1 r
rh r 1
v ,h rrh1, lna f
ดังนั้น จุดสมดุลคือ
พิจารณาจุดสมดุลที่ได สามารถกําหนด ขอจํากัดของตัวแปรตาง ๆ ไดดังนี้ 1. f 1 เนื่องจาก ถา f 1 แลวจะไมสอดคลองกับเงื่อนไข vn , hn 0 1 r
1 r
2. เนื่องจาก ถา แลวสมการ (3.12) ตัวหารจะเปนศูนย 1 r
และถา แลว v จะมีคานอยกวาศูนย ซึ่งเปนไปไมได 3.2.2 สมการที่ไดจากการ Rescale (Rescaling the equations) โดยกําหนดให และ
v V n นั่นคือ n v h H n นั่นคือ n h
พิจารณาสมการ (3.8)
v V v n n
(3.13)
h H h n n
(3.14)
v f v (e n 1 n
V v f V v (e n 1 n V f V (e n 1 n
แทนคา
ln f h a
จะได
ahn
)
aH n h
aH n h
)
)
ln f aH n a V f V (e n 1 n V f V (e n 1 n V e n 1
กําหนดใหตัวแปร k ln f ดังนั้นจะได
H n ln f
)
)
H ln f V (e n ) n ln f (1 H n )
ln f
V e V n 1 n
V V e n 1 n
28
แลวแทน (3.13) และ (3.14) ลงไปจะได
k (1 H n )
h h rh ( n ) n 1 n vn
พิจารณาสมการ (3.9)
แลวแทน (3.13) และ (3.14) ลงไปจะได H
H h h rH h( n ) n 1 n Vn v
H
แทนคา v
h 1 r
H h rH ( n ) n 1 n Vn v
จะได H n 1 rH n ( H n
h
Vn h 1 r
H
)
1H rH n n 1 n rV n
2 1 Hn r H r H n 1 n r Vn 2 1 H r H H H r n n 1 n n n r Vn 2 1 Hn (r 1) H H r H n 1 n n r Vn 2 1 1 Hn r H H r H n 1 n r n r Vn H
กําหนดใหตัวแปร b r
H
หรือ
n 1
H
1 r
ดังนั้นจะได H n2
bH H b n n Vn
1 H bH 1 n n 1 n b V n
29
ดังนั้นระบบสมการ (3.8) – (3.9) สามารถแปลงเปนระบบสมการ (3.15) – (3.16) ดังนี้ v fv (e n 1 n
ahn
)
h h rh ( n ) n 1 n vn
(3.8)
V e V n 1 n
(3.9)
H
1 โดยที่ f 1 และ
k (1 H n )
1 H bH 1 n n 1 n b V n
(3.15) (3.16)
โดยที่ k 0 และ b 0
r
3.2.3 หาจุดสมดุลของระบบสมการ (3.15) – (3.16) ทําการหาจุดสมดุลในสภาวะคงที่ของระบบสมการใหม นั่นคือหาจุด โดยกําหนดให V Vn 1 Vn และ
H H
V Ve
n 1
H
n
(V , H )
แทนลงในสมการ (3.15) และ (3.16)
k (1 H )
(3.17) (3.18)
1 H H bH 1 b V
พิจารณา (3.17) ทําการแกสมการจะได
1 e
k (1 H )
ln1 k (1 H ) 0 k (1 H )
จะได
k 0
หรือ
H 1
จาก k ln f 0 ซึ่งไมเปนจริงเสมอ เนื่องจากเงื่อนไขที่วา f 1 ดังนั้น พิจารณา (3.18) ทําการแกสมการจะได
1 H 1 b 1 b V
1 1 H 1 b b V H 1 V
จะได เนื่องจาก
V H H 1
ดังนั้น V 1 30
H 1
จุดสมดุลของระบบ (3.8) – (3.9) สามารถแปลงเปนจุดสมดุลของระบบ (3.15) – (3.16) ดังนี้
v ,h rrh1, lna f
(V , H ) (1,1)
3.2.4 วิเคราะหเสถียรภาพของระบบสมการ (3.15) – (3.16) จากสมการ (3.15)
V V e n1 n
1 H bH (1 n ) n 1 n b Vn k (1 H ) F (V , H ) V e
และสมการ (3.16)
H
กําหนดให
1 H G (V , H ) bH 1 b V
และ
ทําการหาอนุพันธเทียบกับตัวแปร V และ
แทนคา
k (1 H n )
V 1
H
k 1 H F e V
k 1 H F kVe H
H bH 2 G bH V V2 V 2
G 1 1 H bH b 1 H V b V
และ
H 1
จะได
k 11 F e e0 1 V V 1, H 1 F k 11 ke0 k ke H V 1, H 1
G b V V 1, H 1 G 1 b b 1 1 1 b H V 1, H 1 b
และ
ดังนั้นจาโคเบียนของระบบสมการ (3.15) – (3.16) เขียนไดเปน F V J G V
F 1 k H G b 1b H V 1, H 1
31
แลวจึงนํามาหาคาเฉพาะโดย det J I
1 k 0 b 1b
1 1b k b 0 1 b b 2 kb 0 ดังนั้นจะไดสมการลักษณะเฉพาะคือ 2 b 1 kb 1 b 0
จาก
2 0
ดังนั้น
1 b
และ
kb 1 b
โดยจุดสมดุลจะมีความเสถียร ก็ตอเมื่อ
1 2
ดังนั้น
1b 1 kb 1 b 2
(3.19)
1b 2 kb b 2
สรุปไดวา จุดสมดุล (V , H ) (1,1) จะมีความเสถียร ก็ตอเมื่อ
1b 2 kb b 2
สามารถอธิบายไดวา ถากําหนดคาพารามิเตอร k และ b ใหสอดคลองกับเงื่อนไขที่ (3.19) แลวจะทําใหจาํ นวนของใบไมและจํานวนของสัตวที่กินใบไมเปนอาหารจะเขาสูสภาวะสมดุล นั่นคือ เมื่อเวลาผาน ๆ ไป ซึ่งก็คือสิ่งมีชีวิตทั้งสองสามารถอยูรวมกันไดในระบบนิเวศนี้
32
บทที่ 4 สรุปผลการดําเนินการ และขอเสนอแนะ โครงงานพิเศษชิ้นนี้ไดจัดทําขึ้นเพื่อศึกษาความรูพื้นฐานและทฤษฏีบทที่เกี่ยวของกับการ วิเคราะหแบบจําลองที่แสดงพฤติกรรมการกินของสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร โดยแบบจําลอง ดังกลาวถูกสรางขึ้นในรูปของสมการเชิงผลตาง โดยมีการนําเทคนิคและวิธีการตาง ๆ มาใชเพื่อหา ผลเฉลยในสภาวะสมดุลเพื่อศึกษาปจจัยที่มีผลกระทบตอการเพิ่มและลดจํานวนประชากรของพืช และสัตวที่กินพืชเปนอาหาร พรอมทั้งกําหนดเงื่อนไขที่ทําใหสิ่งมีชีวิตทั้งสองสามารถอยูรวมกันได ในธรรมชาติตอไป
4.1 สรุปผลการดําเนินงาน สรุปขั้นตอนการดําเนินงานตอไปนี้ 1. ศึกษาความรูพนื้ ฐาน และของสมการเชิงผลตาง ไดแก อันดับ ความเปนเชิงเสน ความเปนเอกพันธ คาสัมประสิทธิ์ เปนตน 2. ศึกษาระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสนและวิธีการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงผลตางเชิงเสน โดยที่ระบบสมการเชิงผลตางมีรูปแบบทั่วไปคือ xn 1 a11 xn a12 yn yn 1 a21 xn a22 yn .
ทําการสมมติผลเฉลยทั่วไปในรูป
xn A1n , yn B2n
โดยหาคาเฉพาะจาก det( A I) 0 นําไปสูสมการลักษณะเฉพาะ 2 0 และมีผลเฉลยคือ
1.2
2 4 2
ซึ่งสรุปไดวา ผลเฉลยจะมีขนาดลดลงและเขาสูศูนย เมื่อ และ ผลเฉลยจะมีขนาดเพิ่มขึน้ เรื่อย ๆ เมื่อ
1
1
3. ศึกษาสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนและวิธีในการหาจุดสมดุลที่อยูในสภาวะเสถียรภาพ พรอมทั้งวิเคราะหเสถียรภาพของจุดสมดุล โดยที่สมเชิงผลตางไมเชิงเสนมีรูปแบบทั่วไปคือ หาจุดสมดุลโดยแทน
x xn 1 xn ... x0
33
xn 1 f ( xn , xn 1 ,..., x0 )
จะได
x f ( x , x ,..., x )
แลวทําการแกสมการหาคา x
โดยมีเงื่อนไขในการพิจารณาเสถียรภาพดังนี้ เงื่อนไขของเสถียรภาพ 1 จุดสมดุล x จะกลาววาเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร ก็ตอเมื่อ
df dx
1 x
พรอมทั้งศึกษาระบบสมการเชิงผลตางไมเชิงเสนซึ่งมีรูปแบบทั่วไป คือ xn 1 f ( xn , yn ),
ใหระบบมีจุดสมดุลคือ x และ
y
yn 1 g ( xn , yn )
ซึ่งหามาจาก
x f ( x , y ),
ทําการแกสมการหาคา x และ
y
y g(x, y)
จะไดจุดสมดุล (x, y)
เพื่อวิเคราะหเสถียรภาพของจุดสมดุล ทําการพิจารณาเมทริกซของสัมประสิทธิ์ f x A g x
f y g y x x , y y
ซึ่งสามารถคาเฉพาะจาก det( A I) 0 นําไปสูสมการลักษณะเฉพาะ 2 0 โดยมีเงื่อนไขในการพิจารณาเสถียรภาพของระบบดังนี้ เงื่อนไขของเสถียรภาพ 2 (x, y)
จะกลาววาเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร ก็ตอเมื่อ
1 2
4. ศึกษาแบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางพืชและสัตวที่กินพืชเปนอาหาร v F (v , h ) n 1 n n h G (v , h ) n 1 n n
เมื่อ
vn
แทน จํานวนของพืชในชวงเวลา n
hn แทน จํานวนของสัตวที่กินพืชเปนอาหารในชวงเวลา n
หาจุดสมดุลของสมการดังกลาวจาก v F (v , h )
และ
จะไดจุดสมดุล (v , h ) 34
h G (v , h )
เพื่อใหงายตอการวิเคราะหเสถียรภาพ จะกําหนดตัวแปรใหม คือ Vn ซึ่งจะไดระบบสมการใหมในรูป
vn v
และ
h H n n h
V F * (V , H ) n 1 n n H G* (V , H ) n 1 n n
ซึ่งจุดสมดุลของระบบนี้คือ (V , H ) (1,1) เสมอ แลวจึงพิจารณาเงื่อนไขของเสถียรภาพที่วา (V , H ) (1,1)
จะเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียรของระบบสมการ ก็ตอเมื่อ
1 2
5. ศึกษาแบบจําลองที่แสดงความสัมพันธระหวางใบไมและสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร fv (e v n 1 n
ahn
)
h h rh ( n ) n1 n vn
เมื่อ และ
n
เมื่อ vn 0
แทน ชวงเวลาที่สนใจ
h n
แทน จํานวนสัตวที่กินใบไมเปนอาหาร
v
แทน จํานวนใบไมที่ตนไมสามารถผลิตได
n
หาจุด (v , h ) ของระบบดังกลาวาจาก เมื่อแกระบบสมการจะไดจุดสมดุลคือ
v f (v , h )
และ
h g (v , h )
v ,h rrh1, lna f
แปลงสมการเพื่อกําจัดหนวยในการวัด จะไดระบบสมการใหมคือ V V e n 1 n
H
k (1 H n )
,
1 H bH 1 n n 1 n b V n
ซึ่งระบบสมการนี้ มีจุดสมดุลคือ (V , H ) (1,1) ในทายที่สดุ เราจะไดเงื่อนไขของเสถียรภาพของระบบสมการนี้วา จุดสมดุล (V , H ) (1,1) จะมีความเสถียร ก็ตอเมื่อ
1b 2 kb b 2
4.2 ขอเสนอแนะ สามารถนําความรูที่ไดจากโครงงานพิเศษนี้ไปประยุกตใชกับแกปญหาทางดานวิทยาศาสตร และวิศวกรรมศาสตรตาง ๆ ที่เขียนตัวแบบเชิงคณิตศาสตรในรูปของสมการเชิงผลตางอื่น ๆ ได 35
บรรณานุกรม [1] Abell M.L., Maple V by Example, U.S.A : Academic Press, Inc., 1994 [2] Chua, Leon O., Linear and nonlinear circuits, New York : McGraw-Hill, 1987 [3] Edelstein-Keshet L., Mathematical Models in Biology, Random House Inc., New York, 1988 [4] Kulenovic M. R. S. and Merino O., Discrete Dynamical Systems and Difference Equations with Mathematica, Chapman & Hall/CRC, United States of America, 2002 [5] ดํารงค ทิพยโยธา, พีชคณิตเชิงเสน, กรุงเทพฯ : สํานักพิมพจุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย, 2537 [6] ผศ.ศรีบุตร แววเจริญ และ ผศ.ชนศักดิ์ บายเที่ยง, สมการเชิงอนุพันธ 1 : คณิตศาสตรวิศวกรรม และวิทยาศาสตร, กรุงเทพฯ : บริษัท ตะวันจํากัด, 2542 [7] สมชาย ประสิทธิ์ตระกูล, ภินทนคณิตศาสตร, กรุงเทพฯ : บริษัท ดานสุทธาการพิมพ, 2546
36