La Matematika in 100 Schede versione 3.0 by Progetto matematika

La Matematika in 100 e + schede

v er s io n e 3 . 0

www.matematika.it

Progetto Matematika C

p1 p2

h a

y P

y=n

)

C( α,β

Simboli e Insiemi Aritmetica Algebra Geometria piana Geometria solida Geometria analitica Logaritmi Goniometria

q u e s ta g u i d a è di:

Trigonometria Analisi Elementi di logica Progressioni Calcolo combinatorio Probabilità Numeri complessi Grandezze fisiche

< _ b x a < _

Presentazione Questa guida è una raccolta di schede di matematica. Le

schede

sono

realizzate

forma

compatta

per

facilitare

consultazione. Lo stile essenziale, basato sulla comunicazione grafica e tabulare, non deve però trarre in inganno: questo lavoro non è una semplice raccolta di formule matematiche. Esso è il frutto di un’operazione complessa di strutturazione e sintesi che ha richiesto molti anni di ricerca. Ciascuna scheda è realizzata in modo che ogni parola e dettaglio presentato è fondamentale per la comprensione dell’argomento. Si raccomanda pertanto una lettura attenta che non trascuri nessun rigo e nessuna parola. Le schede possono essere utilizzate nella scuola media inferiore e nella scuola media superiore. Il materiale è tuttora oggetto di una continua sperimentazione e di un conseguente aggiornamento ed integrazione dei contenuti. Le ultime versioni delle singole schede, consultabili e stampabili ad uso esclusivamente

personale,

sono

disponibili

rete

all’indirizzo

www.matematika.it sotto la voce Schede di Matematika. Per eventuali suggerimenti, segnalazioni o contatti, scrivere all’indirizzo di posta elettronica: progettomatematika@gmail.com

Le icone suggerimenti ed approfondimenti sull’argomento segnalazioni e soluzioni a possibili fonti di errore suggerimenti per l’utilizzo della calcolatrice scientifica Versione 3.0 pubblicata nel mese di Aprile dell’anno 2013 Tutti i diritti sono riservati © 1999-2013 La presente guida è stata registrata: nessuna parte dell’opuscolo, immagine o testo, può essere riprodotta o utilizzata per scopi commerciali senza il consenso scritto degli autori.

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Indice •

•

SIMBOLI, NUMERI, INSIEMI, INTERVALLI »

Alfabeto greco

Simbologia

Terminologia

Classificazione dei numeri reali

Gli assiomi dei numeri reali e loro conseguenze

Insiemi

Intervalli

Funzioni

Criteri di divisibilità

Frazioni generatrici, frazioni con lo zero

Calcolo del m.c.m. e del M.C.D.

Proporzioni

Percentuale, pendenza

Proprietà delle potenze

Prodotti notevoli

Scomposizioni

Regola di Ruffini

Scomposizione mediante la regola di Ruffini

Divisione tra polinomi

Scomposizione mediante la divisione

Radicali

Equazioni di secondo grado

Equazioni parametriche

Disequazioni di secondo grado

Equazioni e disequazioni binomie, biquadratiche, trinomie

Equazioni irrazionali ed in valore assoluto

Disequazioni irrazionali

Disequazioni in valore assoluto

ARITMETICA

ALGEBRA

GEOMETRIA PIANA »

Postulati e definizioni

Teoremi

Area di un triangolo

Area delle principali figure piane

Teorema di Pitagora, primo e secondo teorema di Euclide

Triangoli rettangoli particolari

Sezione aurea

GEOMETRIA SOLIDA »

Indice •

•

GEOMETRIA ANALITICA »

Assi e punti

La retta

Geometria analitica in sintesi

100

Definizione e proprietà

105

LOGARITMI »

•

GONIOMETRIA »

Angoli: misura e conversioni

106

Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà

107

Le relazioni fondamentali, i grafici

108

Le cinque relazioni fondamentali: dimostrazioni

109

Tabella dei valori numerici di funzioni goniometriche di alcuni angoli

110

Angoli o archi associati

111

Valori di angoli associati ad alcuni angoli notevoli

112

Formule goniometriche

113

TRIGONOMETRIA »

Teoremi sui triangoli rettangoli

114

Teoremi sui triangoli qualsiasi

115

Formule di trigonometria

116

Elementi di topologia della retta

118

Funzioni: definizioni e tipi

122

Grafici delle funzioni elementari

124

Grafici di funzioni: trasformazioni

125

Campo di esistenza o dominio di funzioni

126

Segno, intersezione con assi, simmetrie periodicità di una funzione

128

Definizione di limite

132

Tutte le definizioni di limite

133

Limiti delle funzioni elementari

134

Algebra dei limite

136

Calcolo di limiti

138

Limiti notevoli

141

Definizione di funzione continua, punti di discontinuità

142

Asintoti

143

Definizione di monotonia e di punti di massimo e minimo relativi

145

Definizione di concavità e di punti di flesso

146

Definizione di rapporto incrementale e di derivata di una funzione

147

Derivate delle funzioni elementari, regole di derivazione

148

Ricerca dei punti di massimo e minimo relativo e di flesso

150

Definizione e ricerca dei punti di massimo e minimo assoluti

151

Punti di non derivabilità di una funzione

152

ANALISI

Indice

•

Studio del grafico di una funzione: procedimento generale

153

Esempi di studio del grafico di una funzione

155

Definizione di integrale indefinito di una funzione

159

Integrali indefiniti immediati

160

Principali teoremi di analisi

163

ANALISI PER L’UNIVERSITA’ »

Sviluppo in serie di funzioni elementari

166

Serie numeriche

167

Funzioni iperboliche: Grafici, Domini, Derivate

169

Funzioni iperboliche: sviluppo in serie

170

Coordinate polari ed equazioni di curve notevoli

171

Elementi di calcolo differenziale

172

ELEMENTI DI LOGICA »

Elementi di logica delle proposizioni

174

Introduzione alla logica dei predicati

178

Introduzione alla logica della deduzione

181

PROGRESSIONI »

Progressioni aritmetiche e geometriche

184

Quante volte si può piegare un foglio di carta?

185

CALCOLO COMBINATORIO »

Fattoriale, coefficiente binomiale

184

Permutazioni, disposizioni, combinazioni

190

PROBABILITA’ »

•

Definizioni, probabilità composta e subordinata, teorema di Bayes

193

NUMERI COMPLESSI »

Numeri immaginari, numeri complessi in forma algebrica, operazioni

197

Numeri complessi: approfondimento

198

Le grandezze fisiche e il Sistema Internazionale

199

Le grandezze fisiche: unità di misura e conversioni

200

Gli strumenti di misura

202

Cifre significative

203

L’incertezza delle misure

204

Elaborazione dei dati sperimentali

205

Altri criteri di divisibilità

206

FISICA

CURIOSITA’ » »

Pi greco: le prime 2.000 cifre

207

il numero di Nepero: le prime 2.000 cifre

208

Numeri primi fino a 10.000

209

Tavola Pitagorica

211

Alfabeto Greco

simboli insiemi

v 1.8

minuscole

maiuscole

α β γ δ ε ζ η ϑ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

come si legge

alfa beta gamma delta epsilon zeta eta teta iota cappa lambda mu ni csi omicron pi ro sigma tau ipsilon fi chi psi omega

Simbologia

simboli insiemi

simbolo

significato

simbolo

uguale

minore

circa uguale, approssimato

valore assoluto di

diverso

maggiore

maggiore o uguale

minore o uguale più infinito

o modulo di

meno infinito

insieme vuoto

insieme dei numeri naturali insieme dei numeri interi per ogni

esiste (almeno un)

insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali

insieme dei numeri complessi tale che tale che

esiste ed è unico

incluso strettamente

non esiste

incluso

appartiene

unione

non appartiene

intervallo chiuso, cioè contiene gli estremi intervallo aperto, cioè esclude gli estremi parallelo

perpendicolare

identico, coincidente congruente

equivalente

intersezione

intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra

intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra lunghezza del segmento AB vettore v

simmetria centrale di centro C simmetria assiale di asse r traslazione di vettore v

rotazione di centro O e angolo α

simile

vero

falso

implica (se … allora)

doppia implicazione (se e solo se)

media aritmetica

scarto quadratico medio somma:

v 2.5

significato

fattoriale di n

probabilità dell’evento E

probabilità di E2 condizionata a E1

Terminologia

simboli insiemi

operazione

addizione

nome

addendo

somma o totale

addendo sottrazione

minuendo

differenza

sottraendo moltiplicazione

fattore

prodotto

fattore divisione

dividendo

frazione

numeratore

potenza

radicale

divisore

quoziente o quoto

resto

linea di frazione

denominatore base

esponente esponente del radicando

indice della radice

radicando

logaritmo

argomento

base funzione

v 1.9

variabile indipendente

variabile dipendente

funzione ÂŠ 2013 - www.matematika.it

Classificazione dei numeri reali

simboli insiemi

numeri naturali N

numeri interi (o interi relativi) Z …

numeri razionali Q un numero si dice razionale se può essere espresso come rapporto di due numeri interi, cioè se può essere espresso sotto forma di frazione I numeri razionali possono essere formati: • da numeri interi • da numeri decimali con un numero finito di cifre • da numeri decimali con un numero infinito di cifre periodiche

numeri irrazionali I

3, …

un numero si dice irrazionale se NON può essere espresso come rapporto di due numeri interi, cioè se NON può essere espresso sotto forma di frazione

I numeri irrazionali sono formati • da una parte intera e da una parte decimale con infinite cifre NON periodiche

numeri reali R i numeri reali sono formati dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e l’insieme dei numeri irrazionali I

-3 -12

Osserva che:

15,35671.…

1 5

0 8

numeri algebrici e numeri trascendenti

esiste anche un’altra classificazione che divide i numeri reali in numeri algebrici e numeri trascendenti

• •

un numero si dice algebrico se è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali un numero si dice trascendente se NON è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali esempi

• • •

è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione

è un numero trascendente perché non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali. Nota che è soluzione dell’equazione polinomiale che non è a coefficienti razionali

i numeri razionali Q sono tutti algebrici v 2.9

simboli insiemi

Gli assiomi dei numeri reali e le loro conseguenze premessa agli assiomi dei numeri reali

Si assume che esiste l’insieme dei numeri reali (indicato con R) su cui è possibile eseguire le quattro operazioni elementari e su cui è possibile stabilire quale tra due numeri è il maggiore. In questo sistema valgono gli assiomi delle operazioni, dell’ordinamento e l’assioma di completezza. assiomi delle operazioni

Siano a , b , c tre numeri reali qualsiasi. Tra essi sono definite le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione proprietà associativa dell’addizione

con le seguenti proprietà:

proprietà associativa della moltiplicazione proprietà commutativa dell’addizione

proprietà commutativa della moltiplicazione

proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione esistenza dell’elemento all’addizione

neutro

rispetto

esiste in R il numero 0 tale che

esistenza dell’elemento neutro rispetto alla esiste in R il numero 1 tale che moltiplicazione per ogni numero reale che

esistenza dell’opposto

esiste un numero reale –

per ogni numero reale tale che

esistenza dell’inverso

tale

esiste un numero reale

assiomi dell’ordinamento E’ definita la relazione di minore o uguale

tra le coppie di numeri reali con le seguenti proprietà:

dicotomia

per ogni coppia di numeri reali si ha

altri assiomi

se vale

proprietà asimmetrica altri assiomi

se valgono contemporaneamente se

allora vale anche

allora valgono anche

assioma di completezza

se A e B sono due insiemi non vuoti di numeri reali tale che per ogni ogni appartenente a B , allora esiste almeno un numero reale c tale che v 1.3

oppure

allora

per ogni c reale e

appartenente ad A e per

simboli insiemi

Gli assiomi dei numeri reali e le loro conseguenze alcune conseguenze degli assiomi

Siano a , b , c tre numeri reali qualsiasi. Si dimostrano le seguenti proprietà:

conseguenze degli assiomi relativi alle operazioni

semplificazione rispetto alla somma semplificazione rispetto al prodotto legge di annullamento del prodotto

se se

unicità dell’opposto

allora

se e solo se

allora

oppure

unicità dell’inverso altra proprietà altra proprietà altra proprietà

conseguenze degli assiomi relativi all’ordinamento

proprietà dell’equivalenza proprietà transitiva

altre proprietà

altre proprietà altre proprietà

è equivalente a e

allora

se e soltanto se e

allora

la relazione di maggiore o uguale è ricondotta a quella di minore o uguale mediante la definizione La relazione di gode delle stesse proprietà della relazione di una conseguenza dell’assioma di completezza

Una importante conseguenza dell’assioma di completezza è che consente di distinguere l’insieme dei numeri razionali Q da quello dei numeri reali R. Tale assioma vale infatti solo per i numeri reali e non vale per i numeri razionali come vediamo nel seguente esempio. Consideriamo i sottoinsiemi A e B dei numeri razionali Q con e . Risulta che

tali che

Le ipotesi dell’assioma di completezza sono quindi soddisfatte ma NON esiste un numero razionale c tale che . Infatti l’unico elemento che si trova tra l’insieme A e l’insieme B è che NON è un numero razionale. v 1.3

Insiemi

simboli insiemi

definizione

l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto

secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero”

rappresentazione

per elencazione

per caratteristica

gli elementi dell’insieme sono indicati tra parentesi graffe

{

grafica (o di Eulero-Venn)

si descrivono le caratteristiche degli elementi dell’insieme

}

{

si usano delle linee chiuse che contengono gli elementi dell’insieme

}

2 3

operazioni tra insiemi unione

l’unione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme presi una sola volta

{

}

, 5}

{

5 4

intersezione

l’intersezione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo e al secondo insieme, cioè dagli elementi comuni. Se gli insiemi non hanno elementi comuni si dicono disgiunti

{

}

{

}

} differenza

la differenza tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme esclusi quelli del secondo insieme

{

}

{1} {5}

insieme complementare

l’insieme complementare di un insieme rispetto ad un altro che lo contiene è l’insieme differenza dei due

{

}

{

il complementare di C rispetto ad A si indica con cioè: Analogamente:

v 2.5

} ed è uguale a B

1 3

2 4

Insiemi

simboli insiemi

prodotto cartesiano tra due insiemi il prodotto cartesiano tra due insiemi è l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento al secondo insieme

{

}

{ {

} }

il prodotto cartesiano NON è commutativo

insieme delle parti di un insieme

l’insieme delle parti di un insieme è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme dato

{

}

{

}

se l’insieme è formato da elementi, l’insieme delle parti Nell’esempio precedente è formato da 3 elementi e quindi

1 2

3 3

è formato da elementi. è formato da elementi

partizione di un insieme

la partizione di un insieme è l’insieme formato da suoi sottoinsiemi (o parti ) che verificano le seguenti 3 proprietà:

• nessuna delle parti è vuota • le parti sono a due a due disgiunte, cioè non hanno elementi in comune • l’unione delle parti è uguale all’insieme iniziale

{

i sottoinsiemi

oppure

}

{ {

} }

{

{ }

} }

{

rappresentano due diverse partizioni di A

{

}

consideriamo l’insieme delle classi della scuola tale insieme costituisce una partizione dell’insieme S perché soddisfa le tre proprietà della definizione

relazioni di De Morgan

I relazione

II relazione

il complemento dell’unione di due insiemi è uguale all’intersezione dei complementi degli insiemi v 2.5

il complemento dell’intersezione di due insiemi è uguale all’unione dei complementi degli insiemi

simboli insiemi

Intervalli: classificazione e rappresentazione definizioni

Si definisce intervallo l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi e . Gli estremi e possono essere finiti o infiniti. è detto estremo sinistro o inferiore, è detto estremo destro o superiore dell’intervallo • •

Un intervallo si dice:

limitato se gli estremi sono finiti non limitato se almeno uno degli estremi è infinito

• •

intervalli limitati

rappresentazione grafica

intervallo

intervallo chiuso intervallo aperto

intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente

rappresentazione insiemistica

intervallo chiuso inferiormente e non limitato superiormente

intervallo non limitato inferiormente e chiuso superiormente

intervallo non limitato inferiormente e aperto superiormente

intervallo non limitato

]

[

]

rappresentazione insiemistica

intervallo aperto inferiormente e non limitato superiormente

[

rappresentazione algebrica

intervalli non limitati

rappresentazione grafica

intervallo

chiuso se gli estremi sono compresi aperto se gli estremi non sono compresi

[

]

[

]

[

]

[

rappresentazione algebrica

osservazione

] v 2.3

su alcuni testi l’intervallo aperto è indicato con le parentesi tonde per cui si trova equivalentemente:

[

(

)

[

)

]

(

] 16

Funzione: definizione e tipi

simboli insiemi

definizione Dati due insiemi A e B, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell’insieme A uno ed un solo elemento dell’insieme B Una funzione si indica con

•

• •

dove:

è un generico elemento di A ed

si chiama immagine di

l’insieme A viene chiamato dominio o campo di esistenza di

ed appartiene all’insieme B

il sottoinsieme di B formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di

tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca

d ●

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

a ●

● 1

b ●

● 2

A a ● b ● c ●

c ● d ●

a ●

● 1

b ●

● 2

c ●

● 3

d ●

● 4

A a ● b ● c ● d ●

A a ● b ● c ● d ● v 1.3

● 3

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4

• • ⋅ ⋅

• • ⋅ ⋅ •

• ⋅

funzione iniettiva

una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell’insieme A corrispondono elementi distinti dell’insieme B f(x) iniettiva

x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B contenente gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di

funzione suriettiva

una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell’insieme B è immagine di almeno un elemento dell’insieme A f(x) suriettiva

la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di

funzione biunivoca o biettiva

una funzione si dice biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento dell’insieme A corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme B e viceversa f(x) biunivoca

e viceversa

l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di

funzione non iniettiva, non suriettiva

la funzione della figura a sinistra: • •

⋅

NON è iniettiva perché gli elementi distinti “b, c” dell’insieme A hanno la stessa immagine “2” NON è suriettiva perché non tutti gli elementi dell’insieme B (“4, 5”) sono immagine di un elemento dell’insieme A

l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B, che contiene gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di

corrispondenza

la legge rappresentata nella figura a sinistra non è una funzione perché non ne soddisfa la definizione, infatti: • all’elemento “b” dell’insieme A sono associati più elementi (“2, 3”) dell’insieme B. • l’elemento “d” dell’insieme A non è associato ad alcun elemento dell’insieme B. la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2013 - www.matematika.it

aritmetica

Criteri di divisibilità divisibilità per 2 •

un numero è divisibile per 2 quando

•

l’ultima cifra è pari cioè quando termina per 0, 2, 4, 6, 8

•

210 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra è 0

316 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (6) è pari 315 non è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (5) non è pari

divisibilità per 3 •

un numero è divisibile per 3 quando

•

la somma delle sue cifre è un multiplo di 3

•

342 è divisibile per 3 perché multiplo di 3

che è

89757 è divisibile per 3 perché 8+9+7+5+7=36 ed ancora 3+6=9 che è un multiplo di 3 271 non è divisibile per 3 perché 2+7+1=10 che non è un multiplo di 3

divisibilità per 5 •

un numero è divisibile per 5 quando

•

l’ultima cifra è 0 o 5

•

250 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 0

345 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5

346 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 6

divisibilità per 7 • •

un numero è divisibile per 7 quando

la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7 •

63 è divisibile per 7 perché

287 è divisibile per 7 perché

376 non è divisibile per 7 perché

divisibilità per 11 •

un numero è divisibile per 11 quando

la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è 0 o un multiplo di 11

•

che è multiplo di 7

che non è multiplo di 7

3465 è divisibile per 11 perché e

27981 non è divisibile per 11 perché e e che è diverso da 0 e non è un multiplo di 11

divisibilità per 13 •

un numero è divisibile per 13 quando

la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13

•

845 è divisibile per 13 perché

e che è multiplo di 13

1467 non è divisibile per 13 perché

146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) =17 +16 =33 che non è multiplo di 13

divisibilità per 17 •

un numero è divisibile per 17 quando

la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17 v 1.3

•

1071 è divisibile per 17 perché e

1467 non è divisibile per 17 perché e che è diverso da 0 o da un multiplo di 17

Frazioni generatrici - Frazioni con lo zero

aritmetica

Frazioni generatrici come trasformare un numero decimale in una frazione frazione generatrice di un numero decimale finito un numero decimale finito è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da una parte decimale (quella dopo la virgola) con un numero finito di cifre. Ad esempio in 3,21 la parte intera è 3 e la parte decimale è 21 • •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato

frazione generatrice di un numero periodico semplice

un numero periodico semplice è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da un periodo (la parte dopo la virgola) le cui cifre si ripetono con regolarità. Ad esempio in la parte intera è 12 e il periodo è 34 • •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti nove quante sono le cifre del periodo

frazione generatrice di un numero periodico misto

un numero periodico misto è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da una parte decimale (quella dopo la virgola) composta da un antiperiodo e da un periodo le cui cifre si ripetono con regolarità . Ad esempio in • •

la parte intera è 2 l’antiperiodo è 4 e il periodo è 5

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti nove quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo

un numero con infinite cifre decimali non periodiche è un numero irrazionale e non si può trasformare in frazione come trasformare una frazione in un numero

•

per trasformare una frazione in numero basta dividere il numeratore per il denominatore

frazioni con lo zero

zero diviso un numero (diverso da zero) è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

perché

zero diviso zero è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

perché qualunque numero moltiplicato 0 è uguale a 0

un numero (diverso da zero) diviso zero è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

v 1.4

perché non esiste nessun numero che moltiplicato 0 è uguale a 2

aritmetica

Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo Massimo Comune Divisore (M.C.D.)

•

che cos’è : il massimo comune divisore tra due o più numeri è il più grande tra i loro divisori comuni

assegnati i numeri 18, 24 e 30, consideriamo i loro divisori:

i divisori comuni ai tre numeri sono: il divisore comune più grande è il M.C.D.: 6 •

come si calcola : 1. si scompogono in fattori primi i numeri assegnati

2. si prendono i fattori comuni una sola volta con il minimo esponente

3. si moltiplicano i fattori scelti e si ottiene il massimo comune divisore o M.C.D. esempio

calcolare il M.C.D. tra i numeri 12 e 42

1. si scompongono in fattori primi i numeri assegnati:

2. si prendono i fattori comuni una sola volta e con il minimo esponente:

;

3. si moltiplicano i fattori scelti ed il loro prodotto è il M.C.D.: se i numeri assegnati sono primi tra loro, il M.C.D. è 1. Ad esempio: il M.C.D. tra 5 e 7 è 1 perché

minimo comune multiplo (m.c.m.)

•

che cos’è : il minimo comune multiplo tra due o più numeri è il più piccolo tra i loro multipli comuni

assegnati i numeri 6, 8 e12 consideriamo i loro multipli: 6

,…

120,…

i multipli comuni ai tre numeri sono: il multiplo comune più piccolo è il m.c.m.: 24 •

come si calcola : 1. si scompogono in fattori i numeri assegnati

2. si prendono i fattori comuni e non comuni una sola volta con il massimo esponente 3. si moltiplicano i fattori scelti e si ottiene il minimo comune multiplo o m.c.m. esempio

calcolare il m.c.m. dei numeri 6, 15 e 18

1. si scompongono in fattori primi i numeri assegnati:

;

2. si prendono i fattori comuni e non comuni una sola volta con il massimo esponente: v 1.0

3. si moltiplicano i fattori scelti ed il prodotto è il m.c.m.:

;

Proporzioni

aritmetica

definizione una proporzione è una uguaglianza tra rapporti

medi estremi

proprietà delle proporzioni

il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

proprietà fondamentale

scambiando fra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione

proprietà del permutare

scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

proprietà dell’invertire

sommando ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

proprietà del comporre

proprietà dello scomporre

trovare un medio in una proporzione •

sottraendo ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

si moltiplicano gli estremi e si divide per l’altro medio

trovare un estremo in una proporzione •

si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo

proporzione continua una proporzione si dice continua se i medi sono uguali

x si chiama “medio proporzionale” tra a e b

esempi proprietà dello scomporre

trovare un medio in una proporzione proporzione continua

• •

v 2.6

se in una proporzione l’incognita è presente più volte per trovarne il valore basta trasformarla in equazione applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi trovare il valore della ad esempio data la proporzione si applica la proprietà fondamentale delle proporzioni e si risolve l’equazione così ottenuta

aritmetica

Calcolo percentuale - Pendenza Calcolo percentuale

Per introdurre il concetto di percentuale è utile cominciare con un esempio. “Consideriamo un abito dal costo di 300 euro. 300 euro rappresenta il valore iniziale cioè 100% del valore della grandezza, mentre ad esempio 150 euro è la metà del valore cioè il 50%. Ma quale sarà, per esempio, il 12% del costo dell’abito?” Per risolvere questo problema basta scrivere e risolvere la seguente proporzione: il valore Iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale (percentuale) sta al 12%, cioè da cui

= 36 euro

Generalizzando l’esempio, se indichiamo con Vi il valore della grandezza totale (300 euro), con Vf il valore finale (la percentuale 36 euro), con t il tasso percentuale, o semplicemente, il tasso (12%) , possiamo scrivere che:

il valore iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale sta al tasso

Questa proporzione è impiegata per risolvere i problemi di calcolo percentuale, vediamo alcuni esempi calcolo del Valor iniziale Vi

420 alunni ( ) rappresentano il 35% ( ) di tutti gli alunni di una scuola. Quanti alunni ( )compongono la scuola? calcolo del Valore finale Vf (percentuale)

in una classe di 25 alunni

alunni

quanti alunni

calcolo del tasso percentuale o tasso t

rappresentano il 20% ( ) ? alunni

una borsa di 80 euro ( ) è stata venduta con uno sconto di 20 euro ( ), che tasso percentuale ( ) è stato applicato?

Pendenza la pendenza percentuale è definita come il rapporto tra il dislivello verticale e lo spazio orizzontale moltiplicato 100

Δx esempio

• Calcoliamo la pendenza percentuale di una strada con dislivello verticale di 25 m su una distanza orizzontale di 120 m

v 1.6

Δh

Nei cartelli stradali il valore indicato rappresenta il dislivello vertcale (∆h) subito in 100 metri orizzontali. Ad esempio 10 % indica che in 100 metri orizzontali c’e un dislivello di 10 metri in verticale

Proprietà delle Potenze

algebra

definizione si definisce potenza n-sima di base e di esponente , il prodotto della base moltiplicata n volte per se stessa cioè: con base numero reale e con esponente numero naturale n volte

generalizzazione

la definizione di potenza n-sima si può generalizzare a quella di potenza nel caso in cui l’esponente sia un numero razionale oppure un numero reale, in entrambi i casi: • se l’esponente allora la base deve essere un numero reale • se l’esponente allora la base deve essere un numero reale proprietà

potenze con la stessa base prodotto di potenze con la stessa base

rapporto di potenze con la stessa base potenza di potenza

potenze con lo stesso esponente prodotto di potenze con lo stesso esponente

rapporto di potenze con lo stesso esponente potenza ad esponente negativo frazione ad esponente negativo potenza ad esponente frazionario frazione ad esponente frazionario potenza ad esponente frazionario negativo altri esempi

fai attenzione alle parentesi e fai anche attenzione all’esponente che può essere pari o dispari v 3.2

Prodotti notevoli

algebra

somma per differenza • •

quadrato del primo termine

•

meno il quadrato del secondo termine

•

quadrato di un binomio

• • •

quadrato del primo termine

•

il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine

•

più il quadrato del secondo termine

cubo di un binomio

• • • •

cubo del primo termine

il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine

il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine

•

il cubo del secondo termine

quadrato di un trinomio • • • •

quadrato dei tre termini

il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine

il doppio prodotto del primo termine per il terzo termine

il doppio prodotto del secondo termine per il terzo termine

•

cubo di un trinomio

•

ricorda che lo sviluppo ha 10 termini

•

cubo del primo più il cubo del secondo

•

particolari prodotti notevoli

•

oppure

• cubo del primo meno il cubo del secondo

•

potenza n-sima di un binomio

consideriamo il seguente esempio con n = 5, da esso possiamo dedurre le regole per lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio valide per ogni n

lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio è un polinomio completo e omogeneo cioè formato da (n+1) monomi, tutti dello stesso grado e ordinati secondo le potenze decrescenti di e secondo le potenze crescenti di I coefficienti numerici dei monomi si ricavano dal triangolo di Tartaglia noto anche come triangolo di Pascal. potenza ad esponente 0 potenza ad esponente 1 potenza ad esponente 2 potenza ad esponente 3 potenza ad esponente 4 potenza ad esponente 5 -------------

v 1.4

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 -------------

-------------

per costruire il triangolo di Tartaglia basta ricordare che: • al vertice in alto della figura c’è il numero 1 • ogni riga inizia con 1 e termina con 1 • ogni numero è la somma di quello che gli sta sopra più il precedente. Ad esempio 10 = 6+4 © 2013 - www.matematika.it

Scomposizioni

algebra

raccoglimento totale sono presenti un numero qualsiasi di termini

•

• •

raccoglimento parziale sono presenti un numero pari di termini

•

• •

differenza di due quadrati •

sono presenti solo 2 termini al quadrato

•

sono presenti solo 2 termini al cubo

•

differenza di cubi

•

somma di cubi sono presenti solo 2 termini al cubo

•

• •

quadrato di binomio sono presenti solo 3 termini

•

• •

trinomio notevole con trovare due numeri ed tali che: • sommati danno cioè: • e moltiplicati danno cioè:

• •

•

trovare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno i due numeri sono e

trinomio notevole con trovare due numeri ed tali che: • sommati danno : : • e moltiplicati danno • effettuare un raccoglimento parziale

•

• • •

cubo di binomio •

sono presenti 4 termini

trovare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno

e i due numeri sono sostituire con effettuare il raccoglimento parziale

• •

quadrato di un trinomio •

sono presenti 6 termini

•

cubo di un trinomio •

v 1.7

sono presenti 10 termini

•

Regola di Ruffini

algebra

premessa La regola di Ruffini è un procedimento utilizzato per dividere due polinomi in cui il divisore sia un binomio di primo grado. Vediamo la regola applicata a qualche esempio

Eseguiamo la seguente divisione: I due polinomi vengono detti :

esempi

DIVIDENDO

DIVISORE

si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile e si completa, se necessario, il polinomio dividendo si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio dividendo .

Nell’angolo in basso a sinistra si scrive l’opposto del termine noto del polinomio divisore, in questo caso

si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio (

)

si moltiplica il coefficiente 1 per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato nella seconda colonna

si sommano i numeri della seconda colonna ( scrive il risultato ( ) in basso

v 1.2

) si

Regola di Ruffini

algebra

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella terza colonna

si sommano i numeri della terza colonna ( e ) e si scrive il risultato ( ) in basso

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra ( ) e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna

si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e ve il risultato ( ) in basso. è il resto della divisione

) e si scri-

i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO =

v 1.2

QUOZIENTE

DIVISORE + RESTO

algebra

Eseguiamo la seguente divisione: I due polinomi vengono detti :

Regola di Ruffini DIVIDENDO

DIVISORE

si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile e si completa, se necessario, il polinomio dividendo si osserva che il dividendo è completo, cioè contiene tutte le potenze e non è necessario aggiungere coefficienti nulli

si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio .

Nell’angolo in basso a sinistra si scrive l’opposto del termine noto del polinomio divisore, cioè

si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio ( 1 )

si moltiplica il coefficiente 1 per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella seconda colonna

si sommano i numeri della seconda colonna ( 2 e 2 ) e si scrive il risultato (4) in basso

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella terza colonna

v 1.2

Regola di Ruffini

algebra

si sommano i numeri della terza colonna ( e il risultato ( ) in basso

) e si scrive

si moltiplica la somma ottenuta per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna

si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e il risultato (0) in basso. 0 è il resto della divisione.

) e si scrive

In queso caso la divisione si dice esatta i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO

v 1.2

QUOZIENTE

DIVISORE

Scomposizione di un polinomio con Ruffini

algebra

Se si vuole scomporre un polinomio che non rientra nei metodi di scomposizione con i prodotti notevoli né in altri tipi di scomposizione si può provare a scomporlo mediante la regola di Ruffini. Vediamolo con qualche esempio Fai attenzione che non tutti i polinomi si possono scomporre. Infatti come esistono i numeri primi esistono i polinomi primi esempio

Scomponiamo il seguente polinomio di terzo grado

si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile

si ha

si individuano i divisori del termine noto (+6)

per

si ha

tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio.

per

si ha

per

si ha

Si esegue ora alla divisione (

Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli è il divisore cercato

Esso viene detto “zero” del polinomio

Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio con la regola di Ruffini

si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio da scomporre 1 .

Nell’angolo in basso a sinistra si scrive lo zero del polinomio trovato precedentemente, in questo caso si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio (1)

si moltiplica il coefficiente e si scrive il risultato v 1.2

per il numero in basso a sinistra nella seconda colonna 30

algebra

Scomposizione di un polinomio con Ruffini

si sommano i numeri della seconda colonna ( e ve il risultato in basso

) e si scri-

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra ( ) e si scrive il risultato 4 nella terza colonna

si sommano i numeri della terza colonna ( risultato ( ) in basso

e ) e si scrive il

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra ( ) e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna

si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e risultato 0 in basso.

) e si scrive il

0 è il resto della divisione. Se i calcoli sono corretti il risultato deve essere zero

Per definizione di divisione si ha:

i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo

DIVIDENDO =

v 1.2

QUOZIENTE

DIVISORE

Scomposizione di un polinomio con Ruffini

algebra

2. Scomponiamo il seguente polinomio di quarto grado

si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile si individuano i divisori del termine noto (

per

si ha

)

tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio. Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli è il divisore cercato ed è detto “zero” del polinomio

Si esegue la divisione

Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio con la regola di Ruffini

si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti

si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio da scomporre

Nell’angolo in basso a sinistra si scrive lo zero del polinomio trovato precedentemente, in questo caso si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio ( )

si moltiplica il coefficiente per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato nella seconda colonna

si sommano i numeri della seconda colonna ( e scrive il risultato (4) in basso

) e si

si moltiplica la somma ottenuta (4) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella terza colonna v 1.2

algebra

Scomposizione di un polinomio con Ruffini si sommano i numeri della terza colonna ( e risultato ( ) in basso

) e si scrive il

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella quarta colonna

si sommano i numeri della quarta colonna ( scrive il risultato ( ) in basso

)e si

si moltiplica la somma ottenuta per il numero in basso a e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna sinistra si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e 6) e si scrive il risultato (0) in basso. 0 è il resto della divisione. Se i calcoli sono corretti il risultato deve essere zero i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Per definizione di divisione si ha:

Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo

DIVIDENDO

QUOZIENTE

DIVISORE

Ripetendo nuovamente il procedimento sulla ricerca degli zeri del polinomio ed eseguendo nuovamente la divisione con la regola di Ruffini, si ha che il polinomio iniziale si scompone nel prodotto di quattro binomi di primo grado:

v 1.2

algebra

Divisione di due polinomi premessa

Assegnato un polinomio dividendo di grado ed un polinomio divisore dividere per vuol dire trovare il polinomio quoziente , di grado , di grado minore di , per i quali risulta: cioĂ¨:

di grado con , , e il polinomio resto

DIVIDENDO = DIVISORE QUOZIENTE + RESTO

Il polinomio quoziente e il polinomio resto sono unici. Se il polinomio si dice divisibile per il polinomio

e la divisione si dice esatta

Vediamo in dettaglio, con i seguenti esempi, come si trovano i polinomi quoziente e resto esempi

Eseguiamo la seguente divisione:

si ordinano, se necessario, i polinomi secondo le potenze decrescenti della si completa, se necessario, il polinomio dividendo con gli eventuali termini mancanti

si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il polinomio divisore a destra si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Tale operazione porta allâ&#x20AC;&#x2122;eliminazione del termine di grado massimo

si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra

v 1.2

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Divisione di due polinomi

algebra

si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Poiché il grado del resto parziale ottenuto è uguale a quello del polinomio divisore, si procede ulteriormente con la divisione si divide il primo termine ( ridotto per il primo termine ( divisore e si scrive il risultato basso a destra

) del polinomio ) del polinomio nello spazio in

si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Poiché il grado del resto ottenuto è inferiore a quello del polinomio divisore la divisione finisce

Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO

v 1.2

QUOZIENTE

DIVISORE

+ RESTO

Divisione di due polinomi

algebra

Eseguiamo la seguente divisione:

si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della . Si controlla che il polinomio dividendo sia completo si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il polinomio divisore a destra si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.

Tale operazione porta allâ&#x20AC;&#x2122;eliminazione del termine di grado massimo si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo ridotto per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Si osserva che, in questo caso, il polinomio resto Ă¨ zero Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO

v 1.2

= QUOZIENTE

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DIVISORE

Scomposizione di un polinomio mediante la divisione

algebra

premessa Per scomporre un polinomio di qualunque grado nel prodotto di più polinomi ciascuno di grado inferiore a quello assegnato, si può ricorrere alla divisione del polinomio per un binomio di primo grado. Vediamolo con qualche esempio Fai attenzione che non tutti i polinomi si possono scomporre. Infatti come esistono i numeri primi esistono i polinomi primi esempi

Scomponiamo il seguente polinomio di terzo grado in

si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile

•

per

si ha

•

per

si ha

•

per

si ha

•

per

si ha

si individuano i divisori del termine noto del polinomio (+6)

tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio. Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli. è il divisore cercato. Esso è detto “zero” del polinomio.

Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio si procede alla divisione tra il polinomio da scomporre e il binomio divisore trovato

si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il binomio divisore a destra si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo v 1.2

algebra

Scomposizione di un polinomio mediante la divisione si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Tale operazione porta allâ&#x20AC;&#x2122;eliminazione del termine di grado massimo si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto dividendo

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto

si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto dividendo

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Se i calcoli sono corretti il resto Ă¨ zero Per definizione di divisione: DIVIDENDO =

v 1.2

QUOZIENTE

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DIVISORE

algebra

Scomposizione di un polinomio mediante la divisione

2. Scomponiamo il seguente polinomio di quarto grado in

si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile si individuano i divisori del termine noto del polinomio

per

si ha

tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio. Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli. è il divisore cercato. Esso è detto “zero” del polinomio.

Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio si procede alla divisione tra il polinomio da scomporre e il binomio divisore trovato

si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti si crea la griglia come in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il binomio divisore a destra

si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra

si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.

Tale operazione porta all’eliminazione del termine di grado massimo v 1.2

algebra

Scomposizione di un polinomio mediante la divisione si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto

si divide il polinomio ridotto per il binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra

si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si ), cambiato di segno, a sinistra sotto i scrive il risultato ( termini dello stesso grado del polinomio ridotto

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Se i calcoli sono corretti il resto Ă¨ zero

Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO

v 1.2

QUOZIENTE

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DIVISORE

Radicali

algebra

definizione di radice aritmetica si definisce radice aritmetica n-sima di , e si indica con con

numeri reali

e con

numero intero

nomenclatura

, quel numero

in simboli:

m è l’esponente del radicando

si chiama radicale

n è l’indice della radice

tale che:

proprietà

è il radicando

non ha significato

esempi

operazioni con i radicali operazione

nome

esempio

semplificazione riduzione allo stesso indice

prodotto di radicali rapporto di radicali trasporto di fattore dentro il segno di radice trasporto di fattore fuori il segno di radice potenza di radicali radice di radice

v 4.2

Radicali

algebra

razionalizzazione del denominatore di una frazione •

•

che cosa è: se al denominatore di una frazione compaiono uno o più radicali allora esso è un numero irrazionale.

La razionalizzazione è una operazione che consente di eliminare i radicali al denominatore rendendolo così un numero razionale.

come si fa: per razionalizzare il denominatore di una frazione bisogna moltiplicare il numeratore ed il

denominatore della frazione per uno stesso fattore detto “fattore razionalizzante”. Tale fattore va scelto in modo opportuno a seconda di come è formato il denominatore. Si distinguono quattro casi riportati di seguito, in essi il fattore razionalizzante è evidenziato in colore. caso:

al denominatore una sola radice quadrata

cosa fare

osserva che:

esempi

e che:

caso:

al denominatore una sola radice non quadrata cosa fare

osserva che:

esempi

e che:

caso:

al denominatore un polinomio con una o più radici quadrate cosa fare

osserva che il prodotto notevole

caso:

esempi

si può applicare anche ai seguenti casi 2

al denominatore un binomio con una o due radici cubiche

cosa fare

esempio

ricorda i prodotti notevoli:

v 4.2

Radicali

algebra

radicale doppio •

•

che cosa è: un radicale doppio è formato da una radice quadrata il cui radicando è formato dalla

somma di un monomio e di un altra radice quadrata, cioè: come si risolve: se

è un quadrato perfetto, si applica la formula del radicale doppio che consente di trasformare il radicale doppio nella somma di due radici singole.

ricorda : un quadrato perfetto è un numero la cui radice quadrata è un numero naturale, ad esempio 4, 9, 16, 25 sono quadrati perfetti la formula si applica solo se

formula

è un quadrato perfetto

16 è un quadrato perfetto e la formula si può applicare

esempio

definizione di radice algebrica si definisce radice algebrica n-sima di , e si indica con con

numeri reali qualsiasi e con

numero intero

, quel numero

in simboli:

tale che:

l’esigenza di ampliare la definizione di radice aritmetica a quella di radice algebrica nasce dalla necessità di risolvere equazioni di secondo grado o di grado superiore al secondo del tipo esempi

caso n pari

caso n dispari

osservazioni importanti

v 4.2

Equazioni di secondo grado

algebra

formule risolutive equazione

nome

procedimento

equazione completa

si applica la formula completa

equazione completa con b pari

si applica la formula ridotta

equazione pura b = 0

soluzioni o radici

• si isola

• si estrae la radice quadrata

algebrica

• si raccoglie la x

equazione spuria c = 0 • si applica la legge di annullamento del prodotto equazione monomia

ha sempre due soluzioni nulle

le soluzioni di una equazione sono dette anche radici dell’equazione

significato del delta

un’equazione di 20 grado ammette sempre due soluzioni che sono distinte, coincidenti o non reali secondo il segno del soluzioni reali e distinte

soluzioni reali e coincidenti

proprietà

soluzioni non reali (o complesse)

è la relazione tra la somma delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado. Si applica solo se è la relazione tra il prodotto delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado. Si applica solo se

serve per scrivere il testo dell’equazione di II grado quando si conosce la somma e il prodotto delle soluzioni serve a scomporre un trinomio di II grado dove le soluzioni dell’equazione

sono

regola di Cartesio: segno delle soluzioni la regola di Cartesio permette di trovare il segno delle soluzioni di una equazione di II grado. Si può applicare solo se •

permanenza variazione v 3.7

• •

si osservano i segni dei coefficienti a, b, c

ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva

algebra

Equazioni parametriche:

tabella delle condizioni

condizioni sotto forma di enunciato

cosa fare

sotto forma algebrica

soluzione

una radice è nulla

sostituire zero al posto di

la somma delle radici è uguale al numero n

porre la somma uguale a n

una radice è uguale ad un numero n il prodotto delle radici è uguale al numero n le radici sono opposte

le radici sono reciproche

le radici sono antireciproche le radici sono concordi le radici sono discordi

le radici sono coincidenti le radici sono reali

le radici sono reali e distinte le radici sono non reali l’equazione è pura

l’equazione è spuria

la somma dei reciproci delle radici è uguale a n la somma dei quadrati delle radici è uguale a n la somma dei quadrati dei reciproci delle radici è uguale a n

sostituire n al posto di

porre il prodotto uguale a n porre la somma uguale a 0

porre il prodotto uguale a 1

porre il prodotto uguale a -1 porre il prodotto > 0 porre il prodotto < 0 porre il porre il porre il porre il

nell’equazione data porre nell’equazione data porre porre porre porre

uguale a n

la somma dei cubi delle radici è uguale a n

porre

una radice è multipla dell’altra secondo il fattore n

risolvere il sistema

la somma dei cubi dei reciproci delle radici è uguale a n

porre

uguale a n

ricorda che

• •

è la relazione tra la somma delle radici e i coefficienti dell’equazione di II grado

è la relazione tra il prodotto delle radici e i coefficienti dell’equazione di II grado

osserva che le radici di una equazione parametrica si possono accettare solo se appartengono al campo di esistenza della equazione. Il campo di esistenza si calcola imponendo il Δ ≥ 0 cioè

v 2.8

algebra

l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:

l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:

Disequazioni di Secondo Grado

valori esterni

l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

valori interni

x nessuna soluzione

tutti i numeri tranne

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:

nessuna soluzione

valori esterni con estremi compresi

valori interni con estremi compresi

x solo

x nessuna soluzione

disequazioni di secondo grado immediate

v 3.1

algebra

Equazioni e disequazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni binomie

•

che cos’è : un’equazione si dice binomia se è formata da un termine di grado ed un termine noto:

•

come si risolve : si ricava

e si estrae la radice algebrica n-sima distinguendo i casi con

pari e quelli con

dispari:

ha due soluzioni (opposte) solo se il radicando è maggiore o uguale a 0

se n è pari

ha sempre una sola soluzione che ha lo stesso segno del radicando

se n è dispari

esempi caso n pari

• •

nessuna soluzione

esempi caso n dispari

• •

equazioni biquadratiche •

che cos’è : un’equazione si dice biquadratica se è formata da un termine di 4° grado, uno di 2° grado ed un termine noto:

•

come si risolve : si sostituisce la

con la variabile ausiliaria ottenendo una equazione di 20 grado in ; si risolve l’equazione di 20 grado in ; si risostituisce la al posto di e ; si risolvono le due equazioni binomie:

esempio con 4 soluzioni reali: caso

positivi

•

esempio con 2 soluzioni reali: caso

negativo e

positivo (o viceversa) nessuna soluzione

•

esempio con nessuna soluzione reale: caso

negativi nessuna soluzione

•

nessuna soluzione

v 3.4

algebra

Equazioni e disequazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni trinomie

•

che cos’è : un’equazione si dice trinomia se è formata da un termine di grado

•

come si risolve : si sostituisce la 20

grado in ; si risostituisce la

, uno di grado

ed un termine noto:

con la variabile ottenendo una equazione di 20 grado in ; si risolve l’equazione di al posto di e ; si risolvono le due equazioni binomie:

esempi •

nessuna soluzione

•

disequazioni binomie una disequazione binomia si risolve in modo diverso a seconda che l’esponente numero dispari. Distinguiamo i due casi.

sia un numero pari o un

caso pari: una disequazione binomia si risolve con lo stesso procedimento di una disequazione di 20 grado pura, cioè • • •

si trasforma la disequazione binomia nell’equazione binomia associata e si risolve l’equazione se l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte allora ; se non ha soluzioni reali allora si perviene alla soluzione della disequazione binomia consultando la tabella risolutiva delle disequazioni di 20 grado, tenendo conto del segno del e del segno della disequazione esempi caso n pari

perché il primo membro è somma di quantità sempre positive

caso • •

perché il primo membro è sempre positivo

dispari: il procedimento risolutivo è unico, cioè

si isola al primo membro si estrae la radice algebrica n-sima al primo e al secondo membro

esempi caso n dispari

disequazioni biquadratiche e trinomie una disequazione biquadratica • • • • • v 3.4

o una disequazione trinomia

si risolve così:

si sostituisce o con la variabile ausiliaria t esattamente come già fatto per le equazioni biquadratiche e trinomie si ottiene una disequazione di secondo grado nell’incognita t si risolve la disequazione si risostituisce la o la ottenendo due disequazioni binomie nella variabile si risolvono le disequazioni binomie come illustrato nel riquadro precedente © 2013 - www.matematika.it

Equazioni irrazionali e in valore assoluto

algebra

equazioni irrazionali equazioni irrazionali con una radice quadrata con un polinomio a secondo membro

con un numero positivo a secondo membro

con lo zero a secondo membro

con un numero negativo a secondo membro nessuna soluzione

equazioni irrazionali con due radici quadrate

si applica lo schema risolutivo per equazioni irrazionali con una sola radice quadrata equazioni irrazionali con radici cubiche

per risolvere una equazione irrazionale con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

equazioni in valore assoluto definizione di valore assoluto il valore assoluto di • •

–

è uguale a:

è maggiore o uguale a zero

è minore di zero

equazioni con un solo valore assoluto con un polinomio a secondo membro

con un numero positivo a secondo membro

con un numero negativo a secondo membro

con lo zero a secondo membro

nessuna soluzione

equazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B

• II

A>0

si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico

dall’osservazione del grafico l’equazione si scinde nei seguenti sistemi: III

B>0 b

I v 2.6

III 49

Disequazioni irrazionali

algebra

disequazioni con una radice quadrata ed un polinomio a secondo membro

disequazioni con una radice quadrata: casi particolari con un numero positivo

con un numero negativo

a secondo membro

con lo zero

a secondo membro

nessuna soluzione

disequazioni con due radici quadrate

(o in generale con due radici ad indice pari)

per risolvere una disequazione con due radici quadrate basta isolare le radici ai due membri e risolvere il sistema formato dai radicandi posti maggiori o uguali a zero e dalla disequazione ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri gli schemi precedenti si possono applicare solo se, una volta isolate le radici ai due membri, esse risultano entrambe positive

disequazioni con radici cubiche

con una sola radice cubica

(o in generale con due radici ad indice dispari)

con due radici cubiche

per risolvere una disequazione con due radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

disequazioni con radici ad indice diverso

nel caso di disequazioni con radici ad indice diverso, si calcola il m c m degli indici, si portano le radici allo stesso indice (il m c m degli indici), si sviluppano i calcoli e si risolve la disequazione ottenuta applicando uno degli schemi precedenti

v 2.6

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Disequazioni in valore assoluto

algebra

definizione di valore assoluto il valore assoluto di è uguale a: • se è maggiore o uguale a zero

•

–

è minore di zero

disequazioni con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro

disequazioni con un solo valore assoluto: casi particolari con un numero positivo n

con un numero negativo - n

a secondo membro

con lo zero

a secondo membro

nessuna soluzione

disequazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B II

A>0

•

si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi: III

B>0 a

I v 3.4

III 51

geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana I cinque postulati di Euclide I postulato

Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta II postulato

Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare una retta linea terminata direttamente in continuo quanto ne pare. La linea retta si può prolungare indefinitamente III postulato

Anchora adimandiamo che ce sia concesso, che sopra a qualunque centro ne piace puotiamo designare un cerchio di che grandezza ci pare. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio IV postulato

Similmente adimandiamo, che ci sia concesso tutti li angoli retti esser fra loro equali. Tutti gli angoli retti sono uguali

V postulato

Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta cascarà sopra due linee rette, e che duoi angoli da una parte siano minori di duoi angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte sia necessario congiongersi. Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo piatto V postulato: enunciato equivalente

Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela alla retta data

v 2.3

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

Definizioni segmento

Il segmento è quella parte di retta compresa da due suoi punti detti estremi

segmenti consecutivi consecutivi

Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune

Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta

adiacenti

punto medio di un segmento

Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti congruenti Il punto medio di un segmento è unico

semiretta

La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto detto origine della semiretta semipiano

Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta detta origine del semipiano

angolo

L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine Le due semirette si chiamano lati dell’angolo L’origine comune delle due semirette si chiama vertice dell’angolo v 2.3

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

angolo concavo e angolo convesso concavo convesso

Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati

Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei lati angoli consecutivi e adiacenti

Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune

consecutivi

Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte

adiacenti

angoli opposti al vertice

Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti angolo piatto e angolo retto

Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte

180° 90°

Un angolo si dice retto se è metà di un angolo piatto Un angolo piatto misura 180° Un angolo retto misura 90°

angolo giro e angolo nullo 360° 0°

v 2.3

Un angolo giro è la parte concava dell’angolo che ha per lati due semirette coincidenti

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

angoli acuti e ottusi acuto

ottuso

Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto

Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto angoli complementari, supplementari, esplementari

complementari

supplementari

Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto

Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro

esplementari

rette perpendicolari

Due rette sono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti rette parallele

Due rette che appartengono allo stesso piano sono parallele se • sono coincidenti oppure se • non hanno alcun punto in comune asse di un segmento

L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio

poligonale o spezzata

lato vertice

v 2.3

Una poligonale (o spezzata) è una figura formata da più segmenti ordinatamente consecutivi, appartenenti allo stesso piano I segmenti si chiamano lati della poligonale Gli estremi dei segmenti si chiamano vertici della poligonale © 2013 - www.matematika.it

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

poligonale aperta/chiusa

Una poligonale è aperta se si distingue un primo ed un ultimo punto aperta

chiusa

Una poligonale è chiusa se l’ultimo punto coincide con il primo punto poligonale intrecciata

Una poligonale è intrecciata quando almeno due lati non consecutivi si intersecano poligono

Un poligono è la parte di piano racchiusa da un poligonale chiusa non intrecciata poligoni convessi e concavi

Un poligono è convesso se un qualunque segmento che unisce due suoi punti è contenuto interamente nella figura convesso

concavo

Un poligono è concavo se esiste almeno un segmento che unisce due suoi punti che non è contenuto interamente nella figura poligono regolare

Un poligono è regolare se ha lati e angoli congruenti angolo interno e angolo esterno di un poligono convesso

interno

esterno

Un angolo interno di un poligono convesso è l’angolo convesso formato da due lati consecutivi del poligono

Un angolo esterno di un poligono convesso è l’angolo adiacente ad un angolo interno del poligono diagonale e corda di un poligono

Una diagonale di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi del poligono Una corda di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due punti del poligono appartenenti a lati diversi v 2.3

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

perimetro di un poligono

Il perimetro di un poligono è la somma di tutti i suoi lati

Due poligoni che hanno i perimetri congruenti sono detti isoperimetrici triangolo b

Un triangolo è un poligono formato da tre lati

triangolo isoscele

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti

I lati congruenti si chiamano lati del triangolo Il lato disuguale si chiama base del triangolo Gli angoli adiacenti alla base si chiamano angoli alla base L’angolo compreso tra i due lati congruenti si chiama angolo al vertice triangolo scaleno ed equilatero

scaleno

equilatero

rettangolo acutangolo

ottusangolo

Un triangolo si dice scaleno se ha i tre lati disuguali

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto Un triangolo si dice acutangolo se ha i tre angoli acuti Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Nel triangolo rettangolo i lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti, il lato maggiore, opposto all’angolo retto, si chiama ipotenusa altezza di un triangolo

v 2.3

L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento perpendicolare al lato, condotto dal vertice opposto al lato stesso Il triangolo ha tre altezze Se il triangolo è acutangolo le altezze sono tutte interne Se il triangolo è rettangolo due altezze coincidono con i cateti Se il triangolo è ottusangolo due altezze sono esterne al triangolo © 2013 - www.matematika.it

geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana bisettrice di un angolo di un triangolo

La bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice dell’angolo considerato Il triangolo ha tre bisettrici mediana di un lato di un triangolo

La mediana relativa al lato di un triangolo è il segmento di estremi il punto medio del lato ed il vertice opposto al lato Il triangolo ha tre mediane

asse di un lato di un triangolo

L’asse di un lato di un triangolo è la retta perpendicolare al lato passante per il punto medio del lato ortocentro

L’ortocentro è il punto di incontro delle altezze di un triangolo Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto

incentro

L’incentro è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo

baricentro

Il baricentro è il punto di incontro delle mediane di un triangolo

v 2.3

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

circocentro

Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo Il circocentro può essere anche esterno al triangolo Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell’ipotenusa

excentro

L’excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni del triangolo Ogni triangolo ha tre excentri

proiezione di un punto su una retta P

La proiezione di un punto su una retta è il punto d’intersezione tra la retta perpendicolare condotta dal punto alla retta e la retta stessa

P’

distanza di un punto da una retta P

La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta proiezione di un segmento su una retta

B A

B’

A’

distanza tra rette parallele

v 2.3

La proiezione di un segmento su una retta è il segmento sulla retta che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato

La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una di esse dall’altra retta

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

angoli formati da due rette tagliate da una trasversale 1

3 6

5 7 8

Due rette tagliate da una trasversale formano le seguenti coppie di angoli: alterni interni (4, 6) (3, 5) alterni esterni (1, 7) (2, 8) corrispondenti (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8) coniugati interni (4, 5) (3, 6) coniugati esterni (1, 8) (2, 7) trapezio

Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli I due lati paralleli si chiamano basi del trapezio parallelogrammo

Il parallelogrammo è un quadrilatero con i lati a due a due paralleli rettangolo

Il rettangolo è un parallelogrammo con quattro angoli retti rombo

Il rombo è un parallelogrammo con quattro lati congruenti quadrato

Il quadrato è un parallelogrammo con gli angoli e i lati congruenti Il quadrato è un poligono regolare

v 2.3

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

Esempi di alcuni luoghi geometrici: • l’asse di un segmento • la bisettrice di un angolo • la circonferenza • la parabola • l’ellisse • l’iperbole

luogo geometrico

Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una stessa proprietà La proprietà è detta proprietà caratteristica del luogo geometrico

circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro La distanza di un punto della circonferenza dal centro si chiama raggio

cerchio

Il cerchio è la figura formata dai punti della circonferenza e dai punti interni ad essa corda di una circonferenza

Una corda di una circonferenza è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza La corda che passa per il centro si chiama diametro

arco di circonferenza

Un arco di circonferenza è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti angolo al centro

Un angolo al centro di una circonferenza o di un cerchio è un qualsiasi angolo con il vertice nel centro della circonferenza

v 2.3

geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana settore circolare

Il settore circolare è ciascuna delle due parti di cerchio delimitate da un angolo al centro segmento circolare ad una base

Il segmento circolare ad una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio rimane diviso da una sua corda L’ altezza del segmento circolare ad una base è il segmento sull’asse della corda compreso tra la circonferenza e il punto medio della corda

segmento circolare a due basi

Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio delimitata da due corde parallele L’altezza del segmento circolare a due basi è la distanza tra le due corde

corona circolare

Una corona circolare è la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche retta secante ad una circonferenza

Una retta si dice secante ad una circonferenza se ha due punti in comune con la circonferenza retta tangente ad una circonferenza

Una retta si dice tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con la circonferenza La retta tangente è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza

retta esterna ad una circonferenza

Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con la circonferenza v 2.3

geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana angolo alla circonferenza

Un angolo alla circonferenza è un angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti alla circonferenza o uno secante e l’altro tangente poligono inscritto in una circonferenza

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono sulla circonferenza poligono circoscritto ad una circonferenza

Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza figure equivalenti

Due figure sono equivalenti se hanno la stessa estensione grandezze omogenee

a=b

b<c

Due o più grandezze sono omogenee se è possibile confrontarle tra loro, cioè se è possibile stabilire tra loro una relazione di uguaglianza o di disuguaglianza grandezze commensurabili

3u 5u

v 2.3

Due o più grandezze omogenee sono commensurabili se hanno una grandezza sottomultipla in comune

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

grandezze incommensurabili

Due grandezze omogenee sono incommensurabili se non hanno una grandezza sottomultipla in comune

Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono un esempio classico di grandezze incommensurabili

misura di una grandezza

u a

a=5u

La misura di una grandezza rispetto ad una grandezza omogenea assegnata è il rapporto tra le due grandezze grandezze direttamente proporzionali

a ● b ● c ●

● a’ ● b’ ● c’

a ● b ● c ●

● a’ ● b’ ● c’

Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe grandezze inversamente proporzionali

Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto inverso tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe poligoni simili

Due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati da essi formati in proporzione parte aurea o sezione aurea di un segmento

La parte aurea o sezione aurea di un segmento è la parte di segmento media proporzionale tra il segmento e la parte rimanente Se è la lunghezza del segmento ed

la sua sezione aurea, la proporzione si scrive:

che risolta in

dà:

circonferenza rettificata

La circonferenza rettificata è l’unico segmento che sia: • minore del perimetro di ogni poligono regolare circoscritto ad essa • maggiore del perimetro di ogni poligono regolare inscritto in essa v 2.3

Teoremi di geometria piana

geometria piana

la congruenza teoremi sugli angoli teorema sugli angoli complementari

γ α

Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti allora sono congruenti

teorema sugli angoli supplementari

γ α

Se due angoli sono supplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono supplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti

teorema sugli angoli esplementari

γ α

Se due angoli sono esplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono esplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti

teorema sugli angoli opposti al vertice

Gli angoli opposti al vertice sono congruenti teoremi sui triangoli I criterio di congruenza

Se due triangoli hanno due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza

Se due triangoli hanno due angoli e il lato tra essi compreso congruenti allora sono congruenti v 2.4

geometria piana

Teoremi di geometria piana III criterio di congruenza

Se due triangoli hanno i tre lati congruenti allora sono congruenti I teorema sul triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora gli angoli adiacenti alla base sono congruenti Vale anche l’inverso:

Se un triangolo ha due angoli congruenti allora il triangolo è isoscele

II teorema sul triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è mediana e altezza relativa alla base

Vale anche: In un triangolo isoscele • la mediana relativa alla base è bisettrice dell’angolo al vertice e altezza relativa alla base

•

l’altezza relativa alla base è mediana relativa alla base e bisettrice dell’angolo al vertice

I teorema sul triangolo equilatero

Se un triangolo è equilatero allora gli angoli sono tutti congruenti

Vale anche l’inverso:

Se un triangolo ha tutti gli angoli congruenti allora è un triangolo equilatero

II teorema sul triangolo equilatero

Se un triangolo è equilatero allora le tre mediane coincidono con le tre bisettrici, con le tre altezze e con i tre assi II criterio di congruenza generalizzato

Se due triangoli hanno due angoli e un lato congruenti allora sono congruenti v 2.4

geometria piana

Teoremi di geometria piana I criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno i due cateti congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto opposto congruenti allora sono congruenti Vale anche:

Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto adiacente congruenti allora sono congruenti

III criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un angolo acuto congruenti allora sono congruenti IV criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un cateto congruenti allora sono congruenti teorema della mediana in un triangolo rettangolo

In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa teorema inverso della mediana in un triangolo rettangolo

Se in un triangolo la mediana relativa al lato maggiore è congruente alla metà di questo allora il triangolo è rettangolo v 2.4

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo

In un triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto I teorema dell’angolo esterno

In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente ad esso Osserva che:

La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto

II teorema dell’angolo esterno

In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso I teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo

Se un triangolo ha due lati disuguali allora al lato maggiore si oppone l’angolo maggiore Vale anche:

Se un triangolo ha due angoli disuguali allora all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore

II teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo

In un triangolo ogni lato: • è minore della somma degli altri due • è maggiore della differenza degli altri due • •

Ad esempio: oppure oppure

oppure oppure

relazione tra gli elementi di due triangoli

Se due triangoli hanno due lati congruenti e gli angoli compresi disuguali allora dei terzi lati è maggiore quello opposto all’angolo maggiore Vale anche l’inverso:

Se due triangoli hanno due lati congruenti e i terzi lati diseguali allora degli angoli opposti ai terzi lati è maggiore quello opposto al lato maggiore v 2.4

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teoremi sui poligoni I criterio di congruenza dei poligoni

Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due lati consecutivi e dell’angolo compreso allora essi sono congruenti II criterio di congruenza dei poligoni

Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due angoli e del lato compreso allora essi sono congruenti III criterio di congruenza dei poligoni

Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di tre angoli consecutivi allora essi sono congruenti

teorema sulle disuguaglianze dei lati di un poligono

c b

In un poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri lati

a c

oppure

Ad esempio:

oppure

…

relazione tra i perimetri di due poligoni

Se un poligono convesso è inscritto in un altro poligono allora il suo perimetro è minore del perimetro del poligono circoscritto teoremi sulle rette perpendicolari e sulle rette parallele teorema sulle rette perpendicolari

r s

v 2.4

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sull’esitenza ed unicità della retta perpendicolare P

Da un punto esterno ad una retta passa una ed una sola perpendicolare alla retta stessa Osserva che:

Il teorema vale anche nel caso in cui il punto appartiene alla retta

teorema sulla distanza di un punto da una retta

La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta

Osserva che:

La distanza di un punto da una retta è il segmento minore tra tutti i segmenti condotti dal punto alla retta

teorema sull’esistenza di rette parallele

Se due rette sono perpendicolari ad una stessa retta allora esse sono parallele tra loro Vale anche:

Se due rette sono parallele allora una terza retta perpendicolare alla prima è anche perpendicolare alla seconda

teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale

Due rette parallele tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni ed alterni esterni congruenti • angoli corrispondenti congruenti • angoli coniugati interni e coniugati esterni supplementari

5 8

criterio di parallelismo 1

2 4

3 6

5 8

Se due rette tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni o alterni esterni congruenti o • angoli corrispondenti congruenti o • angoli coniugati interni o coniugati esterni supplementari allora le due rette sono parallele proprietà transitiva del parallelismo

v 2.4

Se due rette sono parallele ad una terza retta allora esse sono parallele tra loro

geometria piana

Teoremi di geometria piana distanza tra due rette parallele

Se due rette sono parallele allora i punti di una retta hanno uguale distanza dall’altra retta cioè le due rette mantengono sempre la stessa distanza

teoremi sulle proiezioni

teorema sulle proiezioni congruenti

Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni congruenti allora essi sono congruenti Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta sono congruenti allora hanno proiezioni congruenti

teorema sulle proiezioni non congruenti

Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni non congruenti allora è maggiore il segmento avente proiezione maggiore Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta non sono congruenti allora quello maggiore ha proiezione maggiore

teorema generale sulle proiezioni

La proiezione di un segmento su una retta è minore o uguale del segmento stesso teoremi sui quadrilateri particolari teorema sul trapezio

Se un trapezio è isoscele allora • gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti • le diagonali sono congruenti teorema sul parallelogrammo

v 2.4

In un parallelogrammo: • i triangoli in cui esso viene diviso da una diagonale sono congruenti • i lati opposti sono a due a due congruenti • gli angoli opposti sono a due a due congruenti • le diagonali si incontrano nel loro punto medio • gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari © 2013 - www.matematika.it

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema inverso sul parallelogrammo

Se un quadrilatero ha: • i lati opposti a due a due congruenti o • gli angoli opposti a due a due congruenti o • le diagonali che si incontrano nel loro punto medio o • gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari o • due lati opposti congruenti e paralleli allora il quadrilatero è un parallelogrammo teorema sul rettangolo

In un rettangolo le diagonali sono congruenti Vale anche l’inverso: Se un parallelogrammo ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo

teorema sul rombo

In un rombo le diagonali sono • perpendicolari tra loro • bisettrici degli angoli interni

Vale anche l’inverso:

Se in un parallelogrammo le diagonali sono • perpendicolari tra loro o • bisettrici degli angoli interni allora il parallelogrammo è un rombo

primi teoremi sul fascio di rette parallele teorema sul fascio di rette parallele

t’

Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali allora a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale

teorema della parallela dal punto medio di un lato di un triangolo

M’

Se dal punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un secondo lato allora questa incontra il terzo lato nel suo punto medio teorema sulla corda dei punti medi di due lati di un triangolo

v 2.4

M’

geometria piana

Teoremi di geometria piana teoremi sulla circonferenza teorema sulla relazione tra diametro e corda

In una circonferenza, un diametro è maggiore di qualunque corda teorema sull’asse di una corda

Se un diametro di una circonferenza è perpendicolare ad una corda allora il diametro la dimezza Vale anche:

L’asse di una corda passa per il centro della circonferenza

teorema sui punti di una circonferenza

Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza Vale anche:

Tre punti di una circonferenza non possono essere allineati

I teorema sulle corde e loro distanza dal centro

Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora sono equidistanti dal centro

Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti

II teorema sulle corde e loro distanza dal centro

Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono disuguali allora la corda maggiore ha distanza minore dal centro

Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno distanza disuguale dal centro allora è maggiore la corda con distanza minore dal centro

teorema sulla relazione tra archi, corde e angoli al centro

Se due angoli al centro di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora gli archi e le corde corrispondenti sono congruenti

Vale anche l’inverso: Se due archi (corde) di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora le corde (gli archi) e gli angoli al centro corrispondenti sono congruenti v 2.4

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sulla posizione reciproca di una retta e di una circonferenza

Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore, uguale o maggiore del raggio allora la retta ha in comune con la circonferenza rispettivamente due punti (secante), un punto (tangente), nessun punto (esterna) Vale anche l’inverso:

Se una retta ha in comune con una circonferenza due punti o un punto o nessun punto allora la retta ha distanza dal centro della circonferenza, rispettivamente, minore, uguale o maggiore del raggio

teorema sulla retta tangente ad una circonferenza

Se una retta è tangente in un punto ad una circonferenza allora è perpendicolare al raggio in quel punto Vale anche l’inverso:

Se una retta è perpendicolare al raggio in un punto appartenente alla circonferenza allora la retta è tangente alla circonferenza in quel punto

I teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze esterne

r’

C’

Se due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza tra i centri di due circonferenze è maggiore della somma dei raggi allora le due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra (circonferenze esterne)

II teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti esterne

Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti esterne)

III teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze secanti

Se due circonferenze hanno due punti in comune allora la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza tra i centri di due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno due punti in comune (circonferenze secanti)

IV teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti interne

Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una interni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti interne) v 2.4

geometria piana

Teoremi di geometria piana V teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze interne

Se due circonferenze hanno i punti dell’una interna all’altra allora la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza dei centri di due circonferenze è minore della differenza dei raggi allora i punti dell’una sono interni all’altra (circonferenze interne)

teorema sugli angoli alla circonferenza

In ogni circonferenza un angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco o sulla stessa corda I teorema sugli angoli alla circonferenza

Se due angoli alla circonferenza insistono sullo stesso arco o sulla stessa corda allora sono congruenti II teorema sugli angoli alla circonferenza

Se due angoli alla circonferenza insistono su archi o su corde congruenti allora sono congruenti Vale anche l’inverso:

Se due angoli alla circonferenza sono congruenti allora gli archi e le corde su cui insistono sono congruenti

III teorema sugli angoli alla circonferenza

Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza allora è retto Osserva che:

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo

teorema delle tangenti ad una circonferenza

Se da un punto esterno ad circonferenza si tracciano le tangenti ad essa allora i segmenti compresi tra il punto esterno e i punti di tangenza alla circonferenza sono congruenti Vale anche:

v 2.4

Teoremi di geometria piana

geometria piana

luoghi geometrici asse di un segmento

L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo punti notevoli di un triangolo circocentro

Gli assi dei tre lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto circocentro Osserva che:

Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ed è equidistante dai vertici del triangolo

incentro

Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto detto incentro Osserva che:

L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo ed è equidistante dai lati del triangolo

baricentro

Le mediane dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tale che quella contenente il vertice è doppia dell’altra Osserva che:

Il baricentro di una figura viene indicato tradizionalmente con la lettera G

ortocentro

Le altezze relative ai lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto ortocentro v 2.4

Teoremi di geometria piana

geometria piana

triangolo equilatero

In un triangolo equilatero i punti notevoli coincidono Osserva che:

In un triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo è doppio del raggio della circonferenza inscritta al triangolo stesso

distanza del baricentro dai lati di un triangolo

In ogni triangolo la distanza del baricentro da un lato è congruente alla terza parte dell’altezza relativa allo stesso lato

teorema di Eulero

In ogni triangolo il circocentro C, il baricentro G e l’ortocentro O sono allineati cioè giacciono sulla stessa retta detta retta di Eulero. La distanza tra il baricentro e l’ortocentro è doppia della distanza tra baricentro e circocentro corollario al teorema di Eulero

La distanza del circocentro da un lato è congruente alla metà del segmento che congiunge l’ortocentro con il vertice opposto a tale lato poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza teorema sui quadrilateri inscritti

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari Vale anche l’inverso:

Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è inscrittibile in una circonferenza

corollario

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora un suo angolo esterno è congruente all’angolo interno opposto al suo adiacente Vale anche:

Se un quadrilatero ha due angoli opposti retti allora è inscrittibile in una circonferenza v 2.4

Teoremi di geometria piana

geometria piana

d a

teorema sui quadrilateri circoscritti

Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due lati

Vale anche l’inverso:

Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due allora il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza

corollario

Se in un trapezio isoscele la somma della basi è congruente al doppio del lato obliquo allora il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza Vale anche:

Ogni quadrilatero equilatero cioè con i lati congruenti è circoscrittibile ad una circonferenza

teorema sulla inscrittibilità e circoscrittibilità dei poligoni regolari r

Se un poligono è regolare allora si può inscrivere e circoscrivere con due circonferenze concentriche il centro delle due circonferenze è detto centro del poligono regolare

teorema sui poligoni regolari

Se si divide una circonferenza in tre o più archi congruenti allora il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di divisione e il poligono ottenuto conducendo le tangenti alla circonferenza negli stessi punti sono poligoni regolari teorema sul lato dell’esagono regolare

v 2.4

Il lato di un esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta ad esso

Teoremi di geometria piana

geometria piana

l’equivalenza e la similitudine teoremi sull’equivalenza teorema sull’equivalenza di parallelogrammi

Se due parallelogrammi hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti secondo teorema sull’equivalenza di parallelogrammi

Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le basi congruenti allora essi hanno anche le altezze congruenti Vale anche: Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le altezze congruenti allora essi hanno anche le basi congruenti

teorema sull’equivalenza del triangolo e del parallelogrammo

Se un triangolo ha la stessa altezza di un parallelogrammo e la base congruente al doppio di quella del parallelogrammo allora il triangolo e il parallelogrammo sono equivalenti Vale anche: Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti

teorema sull’equivalenza di due triangoli

Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti

Vale anche: Se due triangoli sono equivalenti ed hanno le basi (o le altezze) congruenti allora essi hanno anche le altezze (o le basi) congruenti

teorema sull’equivalenza del triangolo e del trapezio

Se un triangolo ha la stessa altezza di un trapezio e la base congruente alla somma delle basi del trapezio allora il triangolo e il trapezio sono equivalenti b

v 2.4

a a

teorema sull’equivalenza di un poligono circoscritto ad una circonferenza e di un triangolo

c d b

Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza allora è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza © 2013 - www.matematika.it

Teoremi di geometria piana

geometria piana

b r

teorema sull’equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo e

Se un poligono è regolare allora è equivalente ad un triangolo avente la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema del poligono (cioè al raggio della circonferenza inscritta nel poligono) teorema sull’equivalenza del trapezio rettangolo e del rettangolo

Se un trapezio rettangolo è circoscrittibile ad una circonferenza allora esso è equivalente ad un rettangolo avente i lati congruenti alle basi del trapezio teorema sull’equivalenza del triangolo rettangolo e del rettangolo

Un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti ai due segmenti in cui l’ipotenusa è divisa dal punto di contatto con la circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo I teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza)

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa

Q è equivalente ad R

Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito su un lato minore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del lato minore sul lato maggiore e il lato maggiore allora il triangolo è rettangolo

II teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza )

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

Q è equivalente ad R

Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sull’altezza relativa al lato maggiore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni degli altri due lati sul lato maggiore allora il triangolo è rettangolo

teorema di Pitagora

Q1 Q

v 2.4

Q è equivalente a Q1+ Q2

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sul lato maggiore di un triangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati allora il triangolo è rettangolo © 2013 - www.matematika.it

Teoremi di geometria piana

geometria piana

Grandezze omogenee e Grandezze proporzionali teorema sull’incommensurabilità tra il lato del quadrato e la sua diagonale

Il lato del quadrato e la sua diagonale sono segmenti incommensurabili

Osserva che: Il rapporto tra il lato del quadrato e la sua diagonale è un numero irrazionale, cioè un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola Se e sono due grandezze commensurabili allora può essere: 1. un numero intero 2. un numero decimale con finite cifre dopo la virgola 3. un numero periodico Se e sono due grandezze incommensurabili allora è un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola

= a ● b ● c ● allora allora 4

8 2

Assegnate tre grandezze se le prime due sono omogenee tra loro allora esiste ed è unica la quarta grandezza omogenea con la terza che è quarta proporzionale dopo le tre Condizione necessaria e sufficiente affinché le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: • a grandezze uguali in una classe corrispondono grandezze uguali dell’altra • alla somma di due o più grandezze qualsiasi di una classe corrisponde la somma delle grandezze corrispondenti dell’altra classe teoremi sui rettangoli proporzionali alle basi

28 7

8 : 28 = 2 : 7 v 2.4

teorema fondamentale sulla proporzionalità

Criterio generale di proporzionalità

● a’ ● b’ ● c’

Se Se

Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale Il rapporto di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale

teorema sulla quarta proporzionale

Se il rapporto di due grandezze omogenee è un numero razionale allora le due grandezze sono commensurabili

Condizione necessaria e sufficiente affinché quattro grandezze a due a due omogenee siano in proporzione è che lo siano le loro misure

a : b = c : d

teorema sul rapporto di grandezze commensurabili

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sugli elementi proporzionali in un cerchio

β b

α a

Gli archi di uno stesso cerchio o di cerchi congruenti sono proporzionali ai rispettivi angoli al centro

a : b = α : β 12

teorema sui rettangoli equivalenti e sui segmenti in proporzione

Se quattro segmenti sono in proporzione allora il rettangolo che ha per lati i segmenti estremi della proporzione è equivalente al rettangolo che ha per lati i segmenti medi della proporzione

Vale anche l’inverso: Se due rettangoli sono equivalenti allora due lati consecutivi dell’uno sono i medi e i due lati consecutivi dell’altro sono gli estremi di una stessa proporzione

4 : 6 = 2 : 3

teorema sui segmenti e sui quadrati in proporzione

3 4 6 8

3:4 = 6:8 9 : 16 = 36 : 64

b’

a : b = a’ : b’

La bisettrice dell’angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati

Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai corrispondenti segmenti sull’altra trasversale teorema sulla bisettrice dell’angolo interno di un triangolo

CP : PB = AC : AB P C

AP : CP = AB : BC v 2.4

teorema di Talete

a’

Se quattro segmenti sono in proporzione allora i quadrati costruiti su di essi sono in proporzione

Vale anche l’inverso:

Se un punto interno ad un lato di un triangolo divide il lato in parti proporzionali agli altri due lati allora la congiungente il punto con il vertice opposto è la bisettrice dell’angolo compreso tra gli altri due lati del triangolo teorema sulla bisettrice dell’angolo esterno di un triangolo

Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto in un punto allora le distanze di questo punto dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati

Vale anche l’inverso: Se un punto del prolungamento di un lato di un triangolo è tale che le sue distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri lati allora la congiungente questo punto con il vertice opposto è la bisettrice del corrispondente angolo esterno del triangolo © 2013 - www.matematika.it

Teoremi di geometria piana

geometria piana

corollario del teorema di Talete

C P

Se una retta è parallela ad un lato di un triangolo allora sulle rette degli altri due lati si determinano segmenti proporzionali

P’

Vale anche l’inverso: Se una retta determina sui due lati di un triangolo segmenti proporzionali allora essa è parallela al terzo lato

AP : PC = BP’ : P’C

teorema di Tolomeo

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora il prodotto delle misure delle diagonali è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti

Vale anche l’inverso: Se il prodotto delle misure delle diagonali di un quadrilatero è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza

teoremi sulla similitudine

teorema fondamentale della similitudine

C P’

Se una retta passante per un lato di un triangolo è condotta parallelamente ad un altro suo lato allora la retta determina un triangolo simile al triangolo iniziale

PP’C è simile ad ABC

I criterio di similitudine

Se due triangoli hanno gli angoli congruenti allora essi sono simili

C’

B’

B A’

ABC è simile ad A’B’C’

Vale anche: Se due triangoli hanno due angoli congruenti allora essi sono simili

II criterio di similitudine

C C’

B’

A’

ABC è simile ad A’B’C’

Se due triangoli hanno due lati in proporzione e gli angoli tra essi compresi congruenti allora essi sono simili III criterio di similitudine

C’

A’

ABC è simile ad A’B’C’ v 2.4

B’

Teoremi di geometria piana

geometria piana

I teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità) C

In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa

AH : AC = AC : AB

II teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità)

In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

AH : CH = CH : HB

teorema delle altezze

C C’

A’ H’

B’

AB : A’B’ = CH : C’H’

teorema dei perimetri

C’

2p 2p’ A

A’

B’

2p : 2p’ = AB : A’B’

S’ B

S : S’ =

A’

(AB)2

B’

(A’B’)2

P simile a P’ v 2.4

In generale: Se due poligoni sono simili allora i perimetri stanno tra loro come di due lati omologhi

Se due triangoli sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi

C’

Se due triangoli sono simili allora i perimetri stanno tra loro come due lati omologhi

teorema delle aree

Se due triangoli sono simili allora le basi stanno tra loro come le rispettive altezze

In generale: Se due poligoni sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi

I teorema dei poligoni regolari

P’

Se due poligoni sono regolari e hanno lo stesso numero di lati allora essi sono simili

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema della bisettrice

In ogni triangolo il prodotto delle misure di due lati è congruente al quadrato della misura della bisettrice dell’angolo da essi formato aumentato del prodotto delle misure dei segmenti in cui tale bisettrice divide il terzo lato

teorema delle corde

Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto allora i segmenti formati su una stessa corda sono medi e i segmenti formati sull’altra corda sono estremi di una stessa proporzione

P A

Vale anche l’inverso: Se due segmenti si intersecano in un punto tale che le parti appartenenti ad uno stesso segmento sono medi o estremi di una proporzione allora gli estremi dei segmenti dati appartengono alla stessa circonferenza

AP : CP = PD : PB

teorema delle secanti

Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti allora l’intera secante e la sua parte esterna sono i medi e l’altra secante intera e la sua parte sono gli estremi della proporzione

Vale anche l’inverso: Se due segmenti consecutivi ma non adiacenti sono tali che un segmento e una sua parte sono medi proporzionali tra l’altro segmento e una sua parte allora i quattro punti estremi non comuni dei quattro segmenti in proporzione appartengono alla stessa circonferenza

PA : PD = PC : PB

teorema della tangente e della secante

Se da un punto esterno ad una circonferenza si conduce una tangente e una secante allora il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna

Vale anche l’inverso: Se un punto di uno di due segmenti consecutivi ma non adiacenti è tale che determina due parti estremi proporzionali all’altro segmento allora l’altro segmento è tangente alla circonferenza passante per i tre estremi non comuni dei segmenti

PC : PT = PT : PB

teorema sul lato del decagono regolare

Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente alla sezione aurea del raggio

il lato è medio proporzionale tra il raggio e la differenza tra il raggio e il lato cioè

teorema sul lato del pentagono regolare

r a

v 2.4

Il lato del pentagono regolare è congruente all’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti il raggio della circonferenza inscritta e la sezione aurea del lato del pentagono stesso © 2013 - www.matematika.it

Area del triangolo

geometria piana

l’area del triangolo in geometria piana formula classica l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione della base b e dell’altezza h, come prodotto della base per l’altezza diviso due, secondo la formula:

h b

formula di Erone

l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del semiperimetro p secondo la formula:

c la formula di Erone è un caso particolare della formula di Brahamagupta usata per il calcolo dell’area di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza di cui siano note le lunghezze dei suoi lati. Se sono i lati del quadrilatero e il suo semiperimetro, allora la sua area si esprime come:

per il quadrilatero degenera in un triangolo e la formula di Brahamagupta si riduce alla formula di Erone area del triangolo rettangolo

l’area di un triangolo rettangolo si esprime in funzione dei cateti c1 e c2, come prodotto dei cateti diviso due, secondo la formula:

l’area di un triangolo rettangolo di l’ipotenusa , si può anche esprimere come prodotto dell’ipotenusa relativa all’ipotenusa diviso due, per dell’altezza secondo la formula:

i v 1.0

Area del triangolo

geometria piana

raggio della circonferenza inscritta in un triangolo qualsiasi

il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo qualsiasi si esprime come rapporto dell’area del secondo la triangolo e del suo semiperimetro relazione:

vale la formula inversa per il calcolo dell’area

raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo qualsiasi il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo qualsiasi si esprime come rapporto tra il prodotto dei lati fratto quattro volte l’area del triangolo secondo la relazione:

b a

R c

vale la formula inversa per il calcolo dell’area

l’area del triangolo in geometria analitica metodo geometrico C

●

l’area del triangolo ABC, note le coordinate cartesiane dei vertici A, B e C si può anche ottenere: • si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC • dall’area del rettangolo si sottraggono le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA:

l’area del triangolo in trigonometria

l’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due

c v 1.0

Aree

geometria piana

delle principali figure piane

triangolo

quadrato

rettangolo

parallelogramma

rombo

cerchio

trapezio

settore circolare

circonferenza

segmento circolare ad una base

A B

poligoni regolari triangolo equilatero

sia:

il semiperimetro, • •

quadrato

il lato,

pentagono

esagono

ottagono

decagono

l’apotema (cioè il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato)

l’apotema di un poligono regolare coincide con il raggio della circonferenza inscritta al poligono: l’apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza di un lato per un numero fisso tabella dei numeri fissi f di alcuni poligoni regolari

poligono

triangolo equilatero quadrato

pentagono

v 2.5

numero fisso

poligono

0,289

esagono

0,688

ottagono

0,500

ettagono

numero fisso

poligono

0,866

ennagono

1,207

dodecagono

1,038

decagono

numero fisso 1,374 1,539 1,866

geometria

Teorema di Pitagora – primo e secondo teorema di Euclide nomenclatura considerato un triangolo rettangolo ABC

c1 h

AB = i = ipotenusa AC = c1 = primo cateto BC = c2 = secondo cateto CH = h = altezza relativa all’ipotenusa AH = p1 = proiezione di c1 sull’ipotenusa HB = p2 = proiezione di c2 sull’ipotenusa

teorema di Pitagora

enunciato secondo l’equivalenza

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:

Q2 c2

enunciato in formula

in un triangolo rettangolo l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti :

primo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza

Q c1 A

B i

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensione la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

enunciato secondo la similitudine

in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

secondo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza

C h

v 2.0

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni del cateti sull’ipotenusa:

enunciato secondo la similitudine

in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:

Triangoli rettangoli particolari

geometria piana

triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

cm 60°

30°

triangolo rettangolo con angoli di 45° (isoscele) C

45°

i = ipotenusa c = cateto

triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

18°

72° A

applicazioni TRIANGOLO EQUILATERO: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°

TRIANGOLO ISOSCELE PARTICOLARE: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

30° 30°

h 60°

18°

h 72°

60°

72°

l l = lato

h = altezza

v 2.5

l = lato

h = altezza

geometria piana

Sezione aurea di un segmento - Rettangolo Aureo definizione di sezione aurea di un segmento

la sezione aurea ( ) di un segmento di lunghezza ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il segmento stesso e la parte rimanente cioè:

per trovare la lunghezza della sezione aurea di un segmento basta trovare il valore di dalla proporzione. Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni essa si trasforma in una equazione nell’incognita • • •

si applica la proprietà fondamentale: si sviluppano i calcoli:

si risolve l’equazione di II grado in :

il numero

vale circa 0,6180339887… Il suo inverso,

, si chiama numero aureo, vale circa 1,6180339887…

e viene indicato con la lettera dall'iniziale dello scultore greco Fidia che avrebbe usato il numero aureo per creare la struttura del Partenone di Atene esempio

Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza precedentemente

basta applicare la formula dimostrata

•

definizione di rettangolo aureo un rettangolo si dice aureo se il lato minore ( ) è la sezione aurea del lato maggiore ( ) cioè se il lato minore è medio proporzionale tra il lato maggiore ( ) e la differenza tra i due lati ( ), cioè:

le dimensioni standard di carte di credito, tessere telefoniche, badge per ogni applicazione corrispondono, salvo tolleranze di fabbricazione, al rettangolo aureo

costruzione di un rettangolo aureo

Siano e i lati minore e maggiore del rettangolo aureo che si vuole costruire. Allora:

• • • • •

v 1.3

si disegna un quadrato di lato si trova il punto medio M della base del quadrato si prolunga la base del quadrato si traccia un arco dicirconferenza di centro M e raggio MN il punto di intersezione tra l’arco di circonferenza e il prolungamento del lato del quadrato individua il secondo estremo del lato maggiore b del rettangolo.

geometria solida

Volumi

e superfici

cubo

parallelepipedo rettangolo

prisma retto

piramide retta a base regolare

piramide retta

tronco di piramide

cilindro

cono equilatero (

v 2.5

delle principali figure solide

cilindro equilatero (

)

tronco di cono

ÂŠ 2013 - www.matematika.it

)

cono

sfera

geometria solida

Volumi

e superfici

segmento sferico ad 1 base

delle principali figure solide

segmento sferico a 2 basi

spicchio sferico

20 teorema di Guldino

10 teorema di Guldino la superficie generata da una linea (o da un poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (o perimetro)

il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie

r S

solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi le cui facce, tutte uguali tra loro, sono formate da poligoni regolari e tali che in ogni vertice concorrono lo stesso numero di spigoli. Sono solo cinque:

tetraedro

esaedro (cubo)

ottaedro

dodecaedro

icosaedro

4 triangoli equilateri

6 quadrati

8 triangoli equilateri

12 pentagoni regolari

20 triangoli equilateri

Il volume dei solidi platonici si calcola moltiplicando il cubo dello spigolo per un numero caratteristico del solido:

formula di Eulero Indicato con: poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l’unione delle facce faccia = figura piana che compone il poliedro spigolo = segmento di incontro delle facce vertice = punto di incontro degli spigoli per tutti i poliedri vale la formula di Eulero:

v 2.5

faccia spigolo

●

vertice

geometria analitica

Geometria analitica: assi e punti sistema di assi cartesiani monometrico ortogonale

• • •

distanza tra due punti

è l’origine degli assi cartesiani è l’asse delle ascisse : è l’asse delle ordinate

• O(0,0): origine degli assi cartesiani • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto simmetrico di rispetto all’asse • : punto simmetrico di rispetto ad • : punto simmetrico di rispetto all’asse

la distanza tra due punti A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB. La distanza AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC e si calcola applicando il teorema di Pitagora:

punto medio

di un segmento di estremi il punto medio del segmento AB è un punto appartenente al segmento ed equidistante dagli estremi del segmento stesso cioè AM = MB Le sue coordinate sono: inversamente: note le coordinate di un estremo e del

punto medio, le coordinate del secondo estremo sono:

il punto B si dice il simmetrico di A rispetto ad M e viceversa A si dice il simmetrico di B rispetto ad M

dividere un segmento in parti proporzionali ad un numero k il punto

, divide il segmento di estremi in parti proporzionali a k, cioè tale che il rapporto tra AP e AB è uguale a k : Le sue coordinate sono:

v 3.6

Geometria analitica: assi e punti

geometria analitica

baricentro

di un triangolo di vertici il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle mediane. Le sue coordinate sono:

inversamente: note le coordinate di due vertici del

triangolo e del suo baricentro, le coordinate del terzo vertice sono:

area di un triangolo metodo del determinante (regola di Sarrus) l’area del triangolo di vertici determinante della matrice dei punti A, B, C

è uguale ad un mezzo del valore assoluto del

metodo geometrico yC

●

per calcolare l’area del triangolo ABC • si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC • dall’area del rettangolo si sottraggono le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA:

allineamento di tre punti B

●

● ●

per verificare se tre punti A,B,C sono allineati cioè se

appartengono alla stessa retta si può:

1. calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C: se l’area è uguale a zero i punti sono allineati oppure: 2. calcolare le distanze AB, BC, AC : se AB + BC = AC i punti sono allineati

per stabilire se un triangolo è rettangolo basta verificare che le lunghezze dei lati soddisfano il teorema di Pitagora, cioè che: v 3.6

Geometria analitica: la retta

geometria analitica

equazione della retta forma implicita

y q

●

forma esplicita ●

forma segmentaria

nella forma esplicita

nella forma segmentaria

• m è detto coefficiente angolare

• p è il punto di intersezione tra la retta e l’asse x

• q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y

significato geometrico di m di p e di q

m>0 ●

m ●

●

m<0

●

m ●

il coefficiente angolare m è l’ordinata del punto che ha distanza di 1 unità dal punto P di intersezione di r con l’asse x

rette particolari

equazione asse x

equazione asse y

equazione retta parallela all’asse x

y=n

●

y=x x

equazione della bisettrice del I e III quadrante

equazione retta parallela all’asse y

x=n

equazione della bisettrice del II e IV quadrante

y=-x x

Per disegnare una retta basta trovare le coordinate di almeno due punti e congiungerli. Le coordinate di un punto si trovano assegnando alla

Disegnamo ad esempio la retta

v 2.1

0 1

un valore a piacere e calcolando la corrispondente y

-1 2

-1

Geometria analitica: la retta

geometria analitica

ricerca dell’equazione di una retta B

formula per trovare il coefficiente angolare della retta passante per due punti

formula per trovare l’equazione della retta passante per due punti

formula per trovare l’equazione della retta ed il coefficiente angolare m noto un punto equazione del fascio di rette

per trovare l’equazione di una retta passante per due punti • calcolare il coefficiente angolare

con la formula precedente

• utilizzare la formula dell’equazione del fascio di rette sostituendo ad m il valore uno qualsiasi dei due punti A o B

si può anche: ed a

le coordinate di

condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due rette

due rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali

due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari antireciproci

punto e retta

ricerca del punto

di intersezione di due rette non parallele per trovare le coordinate del punto di due rette r ed s non parallele:

•

●

• •

si mettono a sistema le equazioni delle due rette si risolve il sistema

le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del punto di intersezione

condizione di appartenenza di un punto r

•

• •

distanza di un punto

appartiene ad una retta:

si sostituiscono le coordinate e alla y nell’equazione della retta si sviluppano i calcoli

del punto alla x

se si ottiene una identità, il punto appartiene alla retta

da una retta r

formula con l’equazione della retta in forma implicita

P0 r

ad una retta

per verificare se un punto

●

di intersezione

formula con l’equazione della retta in forma esplicita v 2.1

Geometria analitica: la retta

geometria analitica

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r ed s (non parallele)

note le equazioni delle rette r ed s in forma implicita r: ed s:

s b1

qualunque siano gli angoli formati dalle due rette, le bisettrici sono sempre perpendicolari tra loro s

la bisettrice di un angolo è l’insieme dei punti del piano equidistanti dai lati. Sfruttando questa sua proprietà si può trovare l’equazione delle bisettrici ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottengono le equazioni delle bisettrici.

equazione dell’asse di un segmento AB per trovare l’equazione dell’asse di un segmento AB noti : •

•

●

• B

•

si calcola il punto medio

si calcola il coefficiente angolare

del segmento AB

si ricava il coefficiente angolare dell’asse (è perpendicolare ad AB)

nell’equazione del fascio , si sostituisce ad m il valore e alle coordinate quelle del punto medio ottenendo così l’equazione dell’asse A

l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi. Sfruttando questa sua proprietà si può trovare l’equazione dell’asse ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione dell’asse del segmento

●

tangente dell’angolo formato da due rette la tangente dell’angolo formato da due rette non parallele r ed s di coefficiente angolare mr ed ms è dato dalla formula:

allineamento di tre punti A, B, C per verificare se tre punti A, B, C sono allineati cioè se appartengono alla stessa retta si può: • B

• ●

●

• •

v 2.1

ricavare

, e verificare che

trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che B appartiene alla retta AC calcolare l’area del triangolo di vertici ABC e verificare che sia uguale a zero

trovare le equazioni delle rette passanti per A e B e per A e C, e verificare che queste sono uguali

trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che la distanza di B da tale retta è zero

verificare che la somma delle distanze AB e BC è uguale alla distanza AC cioè AB + BC = AC

Geometria analitica: la retta

geometria analitica

fasci di rette Un fascio di rette è l’insieme delle rette del piano aventi in comune un punto oppure una direzione tipi di fasci

fascio proprio

●

fascio improprio

è l’insieme delle rette del piano passanti per uno stesso punto detto centro del fascio

è l’insieme delle rette del piano aventi una direzione comune, cioè aventi lo stesso coefficiente angolare

come si presenta l’equazione di un fascio

l’equazione di un fascio di rette si presenta come quella di una retta (generalmente in forma implicita) nella quale compare, oltre alle incognite ed , almeno una volta anche un’altra lettera ( ) detta parametro Esempio:

classificazione di un fascio di rette

data l’equazione del fascio, per classificarlo bisogna: •

•

calcolare il coefficiente angolare

•

esempio per un fascio di rette proprio

contiene il parametro

il fascio è proprio

se il parametro si semplifica, il fascio è improprio

esempio per un fascio di rette improprio

rette generatrici di un fascio • • •

le rette generatrici di un fascio sono le rette che danno origine al fascio e sono sempre due nel caso di fascio proprio le rette generatrici sono incidenti nel caso di fascio improprio le rette generatrici sono parallele ricerca delle equazioni delle rette generatrici di un fascio •

• • retta all’infinito

retta per k = 0

ricerca del centro

dato il fascio di rette, si sviluppano i calcoli si raccoglie a fattor comune il parametro

le due parti così ottenute rappresentano le equazioni delle rette generatrici del fascio

di un fascio proprio di rette • •

si mettono a sistema le equazioni delle due rette generatrici o di due generiche rette del fascio

le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del centro del fascio

come scrivere l’equazione di un fascio di rette

equazione del fascio di rette date le due rette generatrici r ed s equazione del fascio di rette proprio noto il centro

equazione del fascio di rette improprio noto il coefficiente angolare m v 2.1

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

punti distanza tra due punti punto medio baricentro

tra due punti

di un triangolo di vertici

retta forma implicita

equazione della retta

forma esplicita

m è il coefficiente angolare

forma segmentaria

● ●

q è l’intersezione con l’asse delle y

p è l’intersezione con l’asse delle x

coefficiente angolare della retta passante per due punti equazione della retta passante per due punti equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare m

condizioni di parallelismo tra due rette r ed s condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s

oppure

punto di intersezione tra due rette r ed s retta in forma implicita retta in forma esplicita

● P(x0,y0)

⊥

P(x0,y0) d

distanza di un punto da una retta r

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r, s

s b1

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms rette particolari

v 2.6

●

asse x

asse y

●

parallela asse x

x n

parallela asse y

bisettrice I e III q.

bisettrice II e IV q.

100

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

parabola F

●

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice:

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y

●P

● ●

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x

equazione completa

coordinate del vertice coordinate del fuoco equazione dell’asse

equazione della direttrice

con area del rettangolo circoscritto al segmento parabolico

b=0

c=0

equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto detta formula di sdoppiamento area del segmento parabolico parabole particolari

b=0 c=0

b=0

b=0 c=0

c=0

significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c ●

c ●

●

a<0

a>0

se a = 0 la parabola degenera in una retta

●

a>0

a<0

circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro:

●

equazione completa

coordinate del centro C

C(α,β)

relazione del raggio r

equazione della circonferenza di centro

e raggio r

equazione della retta tangente alla circonferenza in un suo punto detta formula di sdoppiamento v 2.6

equazione dell’asse radicale di due circonferenze

101

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

circonferenze particolari

la circonferenza si riduce al punto

●

esterne

origine degli assi cartesiani

posizioni reciproche di due circonferenze

●

secanti

tangenti esterne

●

● ●

tangenti interne

interne

ellisse

●

concentriche

● ●

●

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

ellisse con i fuochi sull’asse x

●

ellisse con i fuochi sull’asse y

equazione in forma canonica

lunghezza asse maggiore

distanza focale

lunghezza asse minore

F2●

relazione tra i parametri a, b, c

coordinate dei fuochi eccentricità

equazione della retta tangente alla ellisse nel suo punto detta formula di sdoppiamento ellisse traslata

l’ellisse si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y y

●

O(α,β)

v 2.6

coordinate del centro dell’ellisse

equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY 102

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

iperbole P

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

● F1

●

iperbole con i fuochi sull’asse x

lunghezza asse trasverso

distanza focale

lunghezza asse non trasverso

●

●P

F1 ●

iperbole con i fuochi sull’asse y

equazione in forma canonica

relazione tra i parametri a, b, c

coordinate dei fuochi

equazione degli asintoti eccentricità

equazione della retta tangente alla iperbole nel suo punto detta formula di sdoppiamento iperbole equilatera: a = b equazione

relazione tra a, c

coordinate dei fuochi

equazione degli asintoti

iperbole equilatera ruotata di

F2 ●

F1●

F1 ●

k>0

equazione coordinate dei fuochi

F ● 2

k<0

iperbole equilatera ruotata e traslata detta funzione omografica equazione

coordinate di O’

O’

v 2.6

equazione degli asintoti

103

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

iperbole traslata

l’iperbole si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y y

coordinate del centro dell’iperbole

●

O(α,β)

equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse X riferita al sistema XOY

proprietà comuni a tutte le coniche

condizione di appartenenza di un punto per verificare se un dato punto retta r oppure ad una conica :

appartiene ad una

ad una retta r o ad una conica • •

si sostituiscono le coordinate di , in r o in si sviluppano i calcoli. Se si ottiene un’identità, il punto appartiene alla retta o alla conica

posizione di una retta rispetto ad una conica ●

● ●

retta secante

retta tangente

retta esterna

per verificare se una retta è secante, tangente o esterna ad una conica bisogna: • • • • •

ricavare la y dell’equazione della retta e sostituirla nell’equazione della conica sviluppare i calcoli ed ordinare l’equazione rispetto alla oppure, se

dell’equazione di II grado così ottenuta calcolare il

è pari, il

verificare il segno del la retta è secante alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e distinte cioè 2 punti in comune se se la retta è tangente alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e coincidenti cioè 1 punto in comune se la retta è esterna alla conica. Non si ha nessuna intersezione reale cioè nessun punto in comune

ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una conica

tangenti parallele ad una retta di coefficiente angolare m

tangenti da un punto esterno • • • • •

• •

v 2.6

si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro : si ricava la y dall’equazione del fascio di rette

•

si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica

•

si ricava il o il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di II grado nell’incognita

•

si sostituiscono uno alla volta i valori ed nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti

•

si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x si risolve l’equazione in

ottenendo

•

si scrive l’equazione del fascio di rette improprio di coefficiente angolare assegnato: si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica

si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione nell’incognita si risolve l’equazione in

ottenendo

si sostituiscono uno alla volta i valori e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti

104

Logaritmi

logaritmi

definizione il logaritmo di un numero è l’esponente

da dare alla base

si chiama base si chiama argomento è il logaritmo in base di

per ottenere l’argomento

proprietà

la base

deve essere

l’argomento il logaritmo

cioè:

deve essere

è un numero reale

teoremi principali sui logaritmi teorema del prodotto

teorema del rapporto

teorema della potenza

proprietà derivate dai teoremi principali potenza alla base e all’argomento base frazionaria

argomento frazionario

base e argomento frazionario scambiare la base con l’argomento formula del cambio di base

trasformare un numero n in logaritmo in base a

con il simbolo

trasformare un numero n in potenza

si indica il logaritmo in base e dove

è detto “numero di Nepero”

sulle calcolatrici scientifiche sono presenti i tasti lg e ln che consentono di calcolare i logaritmi in base 10 e in base “e”. Per calcolare un logaritmo in una base diversa è necessario utilizzare la formula del cambio di base

grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale

logaritmo con base a > 1

v 3.7

logaritmo con base 0 < a < 1

esponenziale con base a > 1

esponenziale a base 0 < a < 1

105

Angoli: misura e conversioni

goniometria

grado sessagesimale

radiante

grado centesimale 100c

90o

180o

200c

0o 360o

300c

270o

Il grado sessagesimale è la 360a parte dell’angolo giro

0c 400c

Il radiante è l’angolo il cui arco Il grado centesimale è la 400a è uguale al raggio parte dell’angolo giro un radiante vale circa 57° 17′ 44′′

nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche questo sistema di misura è questo sistema di misura è questo sistema di misura è indicato con il simbolo DEG o D indicato con il simbolo RAD o R indicato con il simbolo GRAD o G

conversioni

da gradi sessagesimali a radianti

da radianti a gradi sessagesimali

• • Es.:

perché

Es.:

sostituire

semplificare

da gradi centesimali a sessagesimali

con

perché

Es.:

perché

conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la parte intera dalla parte decimale si moltiplica la parte decimale per 60

la misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e parte decimale, la parte intera rappresenta i primi

la parte decimale si moltiplica ancora per 60, il risultato rappresenta i secondi si ottiene così la conversione richiesta

conversione da gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) a gradi sessagesimali decimali data la misura sotto forma di gradi, primi e secondi, si isolano i secondi e si dividono per 60 il valore ottenuto si somma ai primi

il valore ottenuto si divide ancora per 60 la misura ottenuta si somma ai gradi

si ottiene così la conversione richiesta v 2.2

106

Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà

goniometria

Data la circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi cartesiani e raggio 1 si definiscono le funzioni:

seno

90°

angoli

180°

valori

0°

360°

270°

0° 90° 180° 270°

coseno

angoli

valori

segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°

α O

0°

90°

180° 270°

0 0

tangente

+ +

angoli A

0°

90°

180°

segno e crescenza nei quadranti quadrante 1°

segno

4°

crescenza

2° 3°

valori

α O

0 0

270°

cotangente

angoli

valori

segno e crescenza nei quadranti quadrante

segno

1°

2°

crescenza

3° 4°

C P α

secante

0° 90° 180° 270°

0 0

segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°

segno

crescenza

+ +

cosecante P

P α

v 1.6

crescenza

segno

107

goniometria

Funzioni goniometriche, relazioni fondamentali

grafici

definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi e raggio 1 P ● O

seno α α

α●

coseno α K●

T P● ●

●P

●

tangente α ●

● A

C ● ●P

cotangente α

●

● S

cosecante α P ●

secante α P

le cinque relazioni fondamentali

relazioni che esprimono una funzione goniometrica rispetto alle altre in funzione di …

il segno

in funzione di …

o – va preso a seconda del segno della funzione nel quadrante in cui si trova l’angolo grafici delle funzioni goniometriche

seno v 2.6

coseno

tangente

cotangente 108

goniometria

Le cinque relazioni fondamentali dimostrazioni

• • •

si considera il triangolo rettangolo POH si applica il teorema di Pitagora: dove: sostituendo si ottiene la tesi

• •

si considerano i triangoli rettangoli TOA e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione:

•

• • • •

v 2.3

dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi

si considerano i triangoli rettangoli CBO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( 90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi

si considerano i triangoli rettangoli POS e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi

si considerano i triangoli rettangoli PEO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali (90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi 109

goniometria

gradi

Tabella dei valori di funzioni goniometriche di angoli ricorrenti radianti

seno

coseno

tangente

cotangente

0° 9°

15° 18°

22°30 30° 36°

45° 54°

60° 67°30 72° 75° 81°

90° 180° 270° 360° v 2.0

110

Angoli associati

goniometria

angoli supplementari

angoli complementari

secondo quadrante

primo quadrante

angoli che differiscono di un angolo piatto

angoli che differiscono di un angolo retto

terzo quadrante

secondo quadrante

angoli esplementari

angoli la cui somma è 270°

quarto quadrante

terzo quadrante

angoli opposti

angoli che differiscono di 270°

quarto quadrante

90°

180°

α α α

α α

α α 0°

180°

360°

0° 360°

α α

-α 360°- α

180°+ α

270°- α

270° v 2.3

90°- α

90°+ α

180°- α

270°+ α 270°

111

Tabella dei valori di angoli associati ad alcuni angoli notevoli

goniometria

quadrante

angolo

seno

coseno

tangente

cotangente

primo

30° 45° 60°

secondo

120° 135° 150°

terzo

210° 225° 240°

quarto

300° 315° 330° 90° 60°

120° 135°

45°

150°

30°

0°

180°

360° 210°

330° (-30°)

225°

315° (-45°)

240°

300° (-60°) 270°

v 1.0

112

goniometria

Formule goniometriche addizione e sottrazione

duplicazione

triplicazione

bisezione

parametriche o razionali

(

)

prostaferesi

Werner

v 1.9

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113

Teoremi sui triangoli rettangoli

trigonometria

relazioni fondamentali sui triangoli rettangoli dalla definizione di seno di un angolo si ha:

dalla similitudine dei triangoli rettangoli OPH e OBC si ha in generale che:

P O

analogamente in ogni triangolo rettangolo per il coseno vale la relazione:

esempio B

α O

relazioni sui triangoli rettangoli

esempi

β A

e e

e v 2.7

114

Teoremi sui triangoli qualsiasi

trigonometria

teorema della corda in una circonferenza la lunghezza di una corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda:

B β

oppure

corollario

per il teorema della corda, in un triangolo il rapporto tra un lato (inteso come corda) e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo:

C γ

α A

teorema dei seni o di Eulero in un triangolo ogni lato è direttamente proporzionale al seno dell’angolo opposto:

teorema delle proiezioni in un triangolo un lato è uguale alla somma dei prodotti degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ogni lato forma con il primo:

C b

teorema del coseno o di Carnot in un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, meno il doppio prodotto dei due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

C b

α A

area di un triangolo l’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due

C b

α A v 2.8

β c

115

Formule di Trigonometria

trigonometria

formule di Briggs C

dato un triangolo qualsiasi di cui siano note le misure dei lati a, b, c e il semiperimetro p, i seni, i coseni, le tangenti e le cotangenti delle semiampiezze degli angoli sono espresse dalle seguenti relazioni:

formula di Erone C

b A

l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del semiperimetro p come:

teorema delle tangenti o di Nepero C

b α A

β c

applicazioni della trigonometria alla geometria analitica significato del coefficiente angolare m di una retta di equazione in forma esplicita

r α

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare ed

v 2.4

se se

è acuto la tangente è positiva è ottuso la tangente è negativa

116

Formule di Trigonometria

trigonometria

applicazioni della trigonometria alla geometria raggio R della circonferenza circoscritta ad un triangolo

C γ

b α

R O

raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo

C γ

a r

α A

= area del triangolo

oppure

= area del triangolo

oppure

p = semiperimetro del triangolo

raggio delle circonferenze ex-inscritte ad un triangolo (cioè tangenti a un suo lato e ai prolungamenti degli altri due)

oppure

γ b

a α

= area del triangolo

p = semiperimetro del triangolo

mediane di un triangolo

oppure

M ma

bisettrici di un triangolo

C γ

α/2

a β B

c area di un parallelogramma

area di un quadrilatero

b A

v 2.4

d2 B

117

Elementi di topologia della retta

analisi

nome

definizione l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi:

insieme

“Per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero” esempi

{

}

]

}

{

]

}

{ }

un intervallo è l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti) esempi

intervallo

l’insieme [ [ è un intervallo perché contiene tutti i numeri compresi tra 1 e 4

fai attenzione che un intervallo è anche un insieme ma non è detto che un insieme sia un intervallo. Ad esempio l’insieme: { } non è un intervallo perché contiene solo i quattro numeri indicati e non tutti i numeri tra 1 e 4

intorno completo di un punto

intorno circolare di un punto

l’intorno completo di un punto è un qualsiasi intervallo aperto che contiene il punto esempi

dato il punto

[ è un intorno completo di 6

l’intervallo ]

l’intorno circolare di un punto è un intervallo di centro il punto stesso esempi

dato il punto

l’intervallo ] la parte

]

[ è un intorno circolare di 4

] è l’ intorno sinistro di 4 e la parte [

[è l’ intorno destro di 4

il minimo di un insieme A è l’elemento più piccolo appartenente all’insieme.

minimo di un insieme

In simboli si scrive: dato l’insieme [ dato l’insieme ]

è il minimo di

esempi

[ [

il minimo è il minimo

Osserva che il minimo di un insieme esiste solo se l’insieme è chiuso inferiormente v 4.4

118

Elementi di topologia della retta

analisi

il massimo di un insieme In simboli si scrive:

massimo di un insieme

è l’elemento più grande appartenente all’insieme. è il massimo di

esempi

dato l’insieme ]

]

il massimo è

dato l’insieme ] 2, 5 [ il massimo

Osserva che il massimo di un insieme esiste solo se l’insieme è chiuso superiormente

un minorante di un insieme è un qualsiasi elemento minore o uguale di tutti gli elementi dell’insieme. Il minorante non deve necessariamente appartenere all’insieme e non è unico esempi

minorante di un insieme

dato l’insieme[

dato l’insieme [

minoranti

[ 2, 1, 0 … sono minoranti [

l’insieme dei minoranti è l’intervallo ]

]

dato l’insieme ] 2, 5 [ l’insieme dei minoranti è sempre l’intervallo ]

]

Osserva che l’insieme dei minoranti, se esiste, è sempre chiuso superiormente

un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento maggiore o uguale di tutti gli elementi dell’insieme. Il maggiorante non deve necessariamente appartenere all’insieme e non è unico esempi

maggiorante di un insieme

dato l’insieme[

dato l’insieme [ dato l’insieme [

[ 5, 6, 7… sono maggioranti [ ]

l’insieme dei maggioranti è l’intervallo [

maggioranti

[

l’insieme dei maggioranti è sempre l’intervallo [

[

Osserva che l’insieme dei maggioranti, se esiste, è sempre chiuso inferiormente

l’estremo inferiore di un insieme è il massimo dei minoranti dell’insieme stesso

estremo inferiore di un insieme

v 4.4

Si indica con il simbolo inf (A) dato l’insieme A = ]

]

esempi

l’estremo inferiore di A è 2 in simboli:

]

infatti l’insieme dei minoranti di

B= ]

C =]

]

il cui massimo è 2

Osserva che se l’insieme non è limitato inferiormente, l’estremo inferiore è

]

D =[

]

119

Elementi di topologia della retta

analisi

proprietà

dato un insieme A l’estremo inferiore delle seguenti due proprietà:

gode

1. 2.

l’estremo superiore di un insieme è il minimo dei maggioranti dell’insieme stesso Si indica con il simbolo sup (A)

estremo superiore di un insieme

esempi

dato l’insieme A = ]2, 5[ l’estremo superiore di A è infatti l’insieme dei maggioranti di

B=]

è[

[

in simboli:

il cui minimo è 5

Osserva che se l’insieme non è limitato superiormente, l’estremo superiore è

[

C=]

]

D=]

proprietà

dato un insieme A l’estremo superiore delle seguenti due proprietà:

[

gode

esempi di riepilogo

• • •

A è un intervallo limitato

•

il minimo di A non esiste, il massimo di A è 9

•

A è aperto inferiormente e chiuso superiormente •

dato l’insieme B = [ • • •

•

il minimo di B è 1, il massimo di B non esiste

•

B è chiuso inferiormente e aperto superiormente •

• •

v 4.4

]

[

] l’insieme dei maggioranti di A è l’intervallo [ l’insieme dei minoranti di A è l’intervallo l’estremo inferiore di A è 1,

] [

l’estremo superiore è 9

minoranti

si ha che:

B è un intervallo non limitato superiormente

dato l’insieme C = •

[

maggioranti

minoranti

dato l’insieme A = ]1, 9 ] si ha che:

l’insieme dei minoranti di B è l’intervallo

]

l’insieme dei maggioranti di B è vuoto

l’estremo inferiore di B è 1, l’estremo superiore è maggioranti

si ha che:

C è un intervallo non limitato inferiormente

•

il minimo e il massimo di C non esistono

•

C è aperto inferiormente e superiormente

•

l’insieme dei minoranti di C è vuoto

l’insieme dei maggioranti di C è l’intervallo [ l’estremo inferiore di C è

[

, l’estremo superiore è 2 120

Elementi di topologia della retta

analisi

punto di accumulazione per un insieme un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto vi è almeno un elemento dell’insieme distinto dal punto stesso fai attenzione che: • •

l’appartenenza del punto all’insieme non implica che il punto sia di accumulazione per l’insieme

la non appartenenza del punto all’insieme non implica che il punto non sia di accumulazione per l’insieme

I successivi quattro esempi illustrano i possibili casi

esempi

appartiene ad

è di accumulazione per

sia

ed A = ]

[

sia

ed A = ]

[

sia

ed A = ]

[

3 appartiene ad A ed è di accumulazione

appartiene ad

è di accumulazione per

2 non appartiene ad A ed è di accumulazione

appartiene ad

non è di accumulazione per

1 non appartiene ad A e non è di accumulazione

sia

appartiene ad

non è di accumulazione per

]

[

1 appartiene ad A e non è di accumulazione

un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l’insieme stesso si dice punto isolato ulteriori esempi

dato l’insieme { } nessuno dei quattro elementi di A è un punto di accumulazione per A.

Infatti, scelto ad esempio l’elemento 3, esiste un suo intorno ] [ che non contiene alcun elemento di A distinto da 3 stesso. Analoga conclusione per gli altri tre elementi di A dato l’insieme B = ] • • • •

v 4.4

[ ]

]

•

l’insieme dei maggioranti di B è l’estremo inferiore è

•

]

[

insieme dei minoranti

si ha che

il minimo di B non esiste, il massimo è 9 l’insieme dei minoranti di B è ]

• •

insieme dei maggioranti 0

l’estremo superiore 9

0 e 9 sono di accumulazione per B 7 è di accumulazione per B

tutti i numeri tra 0 e 9 sono di accumulazione per l’insieme B

121

Funzioni: definizione e tipi

analisi

definizione Dati due insiemi A e B, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell’insieme A uno ed un solo elemento dell’insieme B Una funzione si indica con

•

• •

dove:

è un generico elemento di A ed

si chiama immagine di

l’insieme A viene chiamato dominio o campo di esistenza di

ed appartiene all’insieme B

il sottoinsieme di B formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di

tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca

d ●

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

a ●

● 1

b ●

● 2

A a ● b ● c ●

c ● d ●

a ●

● 1

b ●

● 2

c ●

● 3

d ●

● 4

A a ● b ● c ● d ●

A a ● b ● c ● d ● v 4.0

● 3

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4

• • ⋅ ⋅

• • ⋅ ⋅ •

• ⋅

funzione iniettiva

una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell’insieme A corrispondono elementi distinti dell’insieme B f(x) iniettiva

x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B contenente gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di

funzione suriettiva

una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell’insieme B è immagine di almeno un elemento dell’insieme A f(x) suriettiva

la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di

funzione biunivoca o biettiva

e viceversa

l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di

funzione non iniettiva, non suriettiva

la funzione della figura a sinistra: • •

⋅

l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B, che contiene gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di

corrispondenza

122

Funzioni: definizione e tipi

analisi

funzioni numeriche •

• •

una generica funzione si indica con

è detta variabile indipendente ed appartiene al dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al codominio

se ed

sono numeri reali allora la funzione si dice funzione reale di una variabile reale

in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano; l’insieme di tali punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione

grafico di una funzione reale

consideriamo ad esempio la funzione radice cubica

● 0 ● ● 1 ● ● ●

0● ● 1● ● ● ●

rappresentazione insiemistica Y

• • X Y

-2

●

grafico della funzione

la funzione in figura è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y la funzione non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la funzione in figura è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X la funzione non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y

la funzione in figura è biunivoca cioè sia iniettiva che suriettiva, infatti: • è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y • è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X

v 4.0

-8

tipi di funzione

•

-1

8 2 coppie di numeri associati •

-1 1

la funzione in figura non è iniettiva e non è suriettiva, infatti: • non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y • non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la curva in figura non è una funzione perché ai punti sull’asse delle X corrisponde più di un’ordinata sull’asse delle Y. In questo caso la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2013 - www.matematika.it

123

Grafici delle funzioni elementari

analisi

potenza con esponente pari

v 3.1

radice con indice pari

seno

arcoseno

potenza con esponente dispari

radice con indice dispari

coseno

arcocoseno

logaritmo con base > 1

esponenziale con base > 1

tangente

arcotangente

logaritmo con 0 < base < 1

esponenziale con 0 <base < 1

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cotangente

arcocotangente 124

Grafici di funzioni: trasformazioni

analisi

Noto

grafico di una funzione in alcuni casi è possibile disegnare il grafico di una nuova funzione ottenuta da quella nota mediante una semplice trasformazione. funzione iniziale

Di seguito si riportano i casi più comuni per una funzione a dominio positivo

traslazione verso l’alto di

traslazione verso destra di

unità

ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse delle x

ribaltamento rispetto all’asse y

riflessione rispetto all’asse delle y

dilatazione sull’asse y di un fattore

dilatazione sull’asse x di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse x e all’asse y

ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse x e successiva riflessione rispetto all’asse delle y

contrazione sull’asse y di un fattore

contrazione sull’asse x di un fattore

unità

traslazione verso il basso di

ribaltamento rispetto all’asse x

v 2.6

traslazione verso sinistra di

unità

125

Dominio o Campo di esistenza o Insieme di definizione

analisi

Per calcolare il dominio di una funzione è necessario tener conto delle limitazioni riportate nella tabella seguente. Se bisogna porre più condizioni esse vanno messe a sistema sotto forma di disequazioni. Il dominio della funzione è dato dalla soluzione del sistema o della singola disequazione. funzione

condizione

funzione fratta

si pone il denominatore diverso da 0

funzione radice ad indice pari

n pari

si pone il radicando maggiore o uguale di 0

funzione logaritmo

si pone l’argomento maggiore di 0

funzione logaritmo con una funzione alla base si pone funzione potenza con esponente una frazione positiva o un numero irrazionale positivo

frazione positiva o numero irrazionale positivo

si pone la funzione maggiore o uguale di 0

funzione potenza con esponente una frazione negativa o un numero irrazionale negativo

frazione negativa o numero irrazionale negativo

si pone la funzione maggiore di 0

funzione elevata ad una funzione

si pone la funzione alla base maggiore di 0

funzione tangente

si pone l’argomento diverso da

funzione cotangente

si pone l’argomento diverso da

funzione arcoseno

si pone l’argomento compreso tra

funzione arcocoseno

si pone l’argomento compreso tra

•

v 3.6

e e

126

analisi

Dominio o Campo di esistenza o Insieme di definizione esempi di calcolo e rappresentazione grafica del dominio di alcune funzioni

è possibile assegnare qualunque valore alla . Il dominio è:

si pone il denominatore diverso da zero. Il dominio è: 3.

si pone il radicando maggiore o uguale a zero. Il dominio è:

si pone l’argomento del logaritmo maggiore di zero e il denominatore diverso da zero. Il dominio è: (*) perché la condizione è già contenuta algebricamente nella precedente

si pone il radicando maggiore o uguale a zero e il denominatore diverso da zero. Il dominio è: (*) perché la condizione è già contenuta algebricamente nella precedente

si pongono a sistema le condizioni di esistenza della radice, del logaritmo e del denominatore. Il dominio è:

v 3.6

127

Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione

analisi

studio del segno della funzione

scopo: lo studio del segno individua le regioni di piano in cui la funzione è positiva (+), cioè si trova nel

semipiano delle ordinate positive (al di sopra dell’asse delle ), o negativa ( ), cioè si trova nel semipiano delle ordinate negative (al di sotto dell’asse delle ). Lo studio del segno va svolto ovviamente solo all’interno del dominio della funzione

come si cerca: • • •

si pone la funzione maggiore di zero si risolve la disequazione si cancellano le regioni di piano dove la funzione NON esiste

esempio

Studiamo il segno della seguente funzione si studia innanzitutto il dominio

si pone la funzione maggiore di zero si risolve la disequazione si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste: • nell’intervallo dove la funzione è negativa si cancella la parte di piano al di sopra dell’asse • nell’intervallo dove la funzione è positiva si cancella la parte di piano al di sotto dell’asse

studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani

scopo: lo studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani individua i punti di contatto della funzione con l’asse e con l’asse . I primi sono anche detti “zeri della funzione” perché hanno ●

●

intersezioni con l’asse

come si cercano: • •

●

come si cerca: •

v 1.3

si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione

intersezione con l’asse •

o zeri della funzione

(solo se il dominio lo consente)

si sostituisce alla nella funzione si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y

128

analisi

Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione esempio

Studiamo le intersezioni con gli assi cartesiani della seguente funzione cerchiamo le intersezioni con l’asse ponendo la funzione uguale a zero

risolviamo l’equazione; la soluzione è l’ascissa del punto di intersezione cercato

cerchiamo le intersezioni della funzione con l’asse sostituendo alla nella funzione; si sviluppano i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto cercato

gli eventuali punti di intersezione della funzione con l’asse si possono anche dedurre osservando il grafico dello studio del segno (per esempio, il grafico a destra). Due zone successive di segno opposto sono separate da un punto di intersezione della funzione (sempre se il punto appartiene al con l’asse dominio); due zone successive dello stesso segno individuano invece un punto di contatto della funzione con l’asse delle (sempre se il punto appartiene al dominio)

studio delle simmetrie di una funzione

scopo: la presenza di eventuali simmetrie semplifica la ricerca del grafico della funzione. Ciò consente di studiare analiticamente la funzione solo nel semipiano positivo delle ascisse e successivamente di ribaltarne il grafico ottenuto nel semipiano negativo, rispetto all’asse se la funzione è pari, oppure rispetto all’origine se la funzione è dispari

simmetria rispetto all’asse y o simmetria pari definizione:

una funzione simmetrica rispetto all’asse delle

come si cerca: • • •

si dice pari

si sostituisce con nel testo della funzione si sviluppano i calcoli se la funzione è pari

simmetria rispetto all’origine o simmetria dispari definizione:

una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani si dice dispari

come si cerca: • • •

si sostituisce con nel testo della funzione si sviluppano i calcoli e si raccoglie il segno “ “ se la funzione è dispari

esempi

Studiamo la simmetria della seguente funzione

sostituiamo con luppiamo i calcoli v 1.3

129

Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione

analisi

confrontiamo il testo ottenuto della con quello iniziale della e notiamo che sono diversi

la funzione non è pari

raccogliamo il segno “ “ nel testo della

confrontiamo il testo della con quello della e notiamo che sono diversi 2.

la funzione non è nemmeno dispari

Studiamo la simmetria della seguente funzione

sostituiamo con luppiamo i calcoli

nel testo della funzione e svi-

confrontiamo il testo ottenuto della con quello iniziale della e notiamo che sono diversi

la funzione non è pari

raccogliamo il segno “ “ nel testo della

confrontiamo il testo della con quello della e notiamo che sono uguali

la funzione è dispari

lo studio delle eventuali simmetrie di una funzione si effettua in genere dopo aver calcolato il dominio e studiato il segno della funzione. Ciò è un vantaggio perché solo se il dominio ed il grafico del segno sono entrambi simmetrici allora (e solo allora) la funzione potrebbe essere simmetrica ed ha senso studiarne algebricamente le simmetrie. Viceversa se il dominio o il grafico del segno NON sono entrambi simmetrici la funzione NON potrà essere simmetrica. Ciò è evidente osservando il grafico dell’esempio dello studio del segno della funzione

studio della periodicità di una funzione

definizione:

una funzione che ripete a intervalli regolari la sua forma si dice periodica e la dimensione dell’intervallo ripetuto si dice periodo e si indica con T

come si cerca il periodo T della funzione: • • •

T periodo

esempi

si pone ottenendo una equazione si risolve l’equazione nell’incognita T il valore trovato di T è il periodo della funzione

Calcoliamo il periodo della seguente funzione

poniamo

ottenendo una equazione

risolviamo l’equazione nell’incognita T il periodo richiesto si trova ponendo 2.

Calcoliamo il periodo della seguente funzione

poniamo

ottenendo una equazione

risolviamo l’equazione nell’incognita T v 1.3

130

Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione

analisi

il periodo richiesto si trova ponendo •

il calcolo del periodo di una funzione si effettua solo se la funzione è composta da funzioni periodiche Ricordiamo che le funzioni periodiche elementari sono: , , , . Le prime due hanno periodo uguale a , le ultime due hanno periodo uguale a , come si vede dai loro grafici qui sotto riportati. In questi casi si possono utilizzare le più semplici formule riportate di seguito per il calcolo della periodicità.

seno

•

osservazioni importanti

coseno

tangente

cotangente

la ricerca del periodo di una funzione si effettuata risolvendo un’equazione goniometrica. In molti casi lo svolgimento dell’equazione può risultare complesso per cui è utile ricordare alcune regole pratiche: a) data una funzione

di periodo T : il periodo di

il periodo di

b) data una funzione composta dalla somma (o differenza) di funzioni periodiche il suo periodo è uguale al minimo comune multiplo dei periodi delle funzioni che la compongono

quesiti tratti da tracce di esami di stato di liceo scientifico 1.

“Sia

poniamo

ottenendo una equazione

(Tratto dall’esame di Stato 2012 problema 1 prima domanda)

risolviamo l’equazione nell’incognita T il periodo richiesto si trova ponendo applicando la regola pratica si ha 2.

“Si determini il periodo della funzione

poniamo

ottenendo una equazione

(Tratto dall’esame di Stato 2009 quesito 10)

risolviamo l’equazione nell’incognita T il periodo richiesto si trova ponendo applicando la regola pratica si ha

v 1.3

131

Definizione di limite di una funzione

analisi

premessa

definizione

considerata una funzione •

sia D il suo dominio

•

sia

un punto di accumulazione per D

si dice che è il limite per che tende a e si scrive

se:

• per ogni intorno • esiste un intorno • tale che per ogni : • appartenente all’intorno • appartenente al dominio D • diverso dal punto • si ha che appartiene all’intorno

definizione insiemistica

La definizione insiemistica di limite di una funzione in un punto è una definizione generale. Essa è infatti valida per ogni valore finito o infinito di e di . La lettura di tale definizione è riportata nel riquadro “definizione” in alto a destra definizione algebrica

)

La definizione algebrica di limite è una “traduzione” di quella insiemistica, quella qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. rappresentano numeri positivi molto piccoli, in particolare: • rappresenta il raggio dell’intorno i cui estremi sono “ ” ed “ ” • rappresenta il raggio dell’intorno di centro i cui estremi sono ” “ ed “ “ definizione mista

La definizione mista di limite è una “composizione” delle precedenti definizioni. In particolare essa prende la simbologia della definizione algebrica in riferimento all’asse delle y (quella nella prima e nell’ultima parte) e prende la simbologia della definizione insiemistica in riferimento all’asse delle x (quella nella parte centrale) La definizione qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. osservazione importante

L’esistenza del limite di una funzione in un punto è indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso. Può infatti accadere che: • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione e sono uguali • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione ma sono diversi • nel punto esiste il limite della funzione ma non esiste il valore della funzione

v 4.0

132

analisi

Tutte le definizioni di limite di una funzione: insiemistica, algebrica, mista

Data una funzione

sia D il suo dominio e sia l

un punto di accumulazione per il dominio

●

v 2.3

133

Limiti di funzioni elementari

analisi

potenza con esponente pari

v 1.0

radice con indice pari

potenza con esponente dispari

radice con indice dispari

logaritmo con base > 1

esponenziale con base > 1

logaritmo con 0 < base < 1

esponenziale con 0 <base < 1

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134

Limiti di funzioni elementari

analisi

seno

v 1.0

arcoseno

coseno

arcocoseno

tangente

arcotangente

cotangente

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arcocotangente

135

Algebra

analisi

dei

limiti

algebra dei limiti

Le regole dell’algebra dei limiti di seguito presentate si applicano esclusivamente al calcolo dei limiti e non nell’ambito dell’algebra classica. Ricordando che nell’algebra classica si ha:

nell’algebra dei limiti valgono le seguenti regole: rapporto tra numeri reali, zero e più o meno infinito

somma e prodotto tra un numero reale e più o meno infinito

elevamento a potenza tra più o meno infinito e un numero

somma e prodotto tra più o meno infinito

il segno

davanti a

nei precedenti risultati va stabilito in base alla regola dei segni

elevamento a potenza tra più o meno infinito

nel caso del calcolo di limiti delle funzioni elementari il risultato si ottiene osservando l’andamento del grafico della funzione stessa, come si vedrà negli esempi successivi forme indeterminate

Nel calcolo dei limiti si possono presentare le seguenti sette forme dette indeterminate.

Per poterle risolvere sono necessari altri procedimenti che saranno illustrati in schede successive.

v 3.0

136

Algebra

analisi

dei

limiti

esempi di calcolo di limiti che NON si presentano in forme indeterminate

Per calcolare i limiti degli esempi proposti di seguito si procede nel seguente modo: 1. si sostituisce al posto della

nel testo della funzione il valore a cui tende la

nel limite

2. si sviluppano i calcoli tenendo conto dellâ&#x20AC;&#x2122;algebra classica, dellâ&#x20AC;&#x2122;algebra dei limiti e dei grafici delle funzioni elementari

I seguenti due esercizi sono invece esempi di calcolo di limite che si presentano in forma indeterminata

v 3.0

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137

Calcolo

analisi

limiti

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata

Le funzioni algebriche sono le funzioni che si presentano sotto forma di polinomi o di radici.

Se il limite delle funzioni algebriche è in forma indeterminata è possibile manipolare algebricamente il polinomio o la radice in modo da sciogliere la forma indeterminata. Di seguito presentiamo le tecniche di risoluzione più comuni. forma indeterminata

cosa fare:

• •

mettere in evidenza la di grado massimo ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

•

mettere in evidenza la di grado massimo al numeratore mettere in evidenza la di grado massimo al denominatore semplificare dove è possibile

• • • • • •

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni scomporre numeratore e denominatore

semplificare ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

ricordando che: • •

•

moltiplicare e dividere per sviluppare i calcoli

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

ricordando che: • • •

per calcolare rapidamente per calcolare rapidamente •

v 1.0

• • • •

bisogna considerare il grado del polinomio al numeratore e il grado del polinomio al denominatore •

moltiplicare e dividere per

sviluppare i calcoli ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

sostituire o alla di grado massimo e trascurare gli altri termini del polinomio tenere conto dei segni

se il polinomio al numeratore ha grado maggiore il risultato è tenendo conto dei segni

se i gradi sono uguali il risultato è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo

se il denominatore ha grado maggiore il risultato è zero

138

Calcolo

analisi

limiti

esempi di calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata

la forma indeterminata

la forma indeterminata natore, cioĂ¨:

la forma indeterminata

v 1.0

si risolve mettendo in evidenza la di grado massimo del polinomio, cioĂ¨:

si risolve mettendo in evidenza la di grado massimo al numeratore e al denomi-

si risolve operando algebricamente sul numeratore e denominatore, cioĂ¨:

si risolve applicando la tecnica vista in precedenza, cioĂ¨:

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139

analisi

Calcolo

limiti

altre tecniche risolutive caso Nel caso si debba calcolare il limite per che tende a infinito di un polinomio, si può applicare la teoria degli infiniti che afferma che il risultato del limite dipende solo dal monomio di grado massimo del polinomio potendosi trascurare i monomi di grado inferiore. Ad esempio:

caso Nel caso si debba calcolare il limite per che tende a infinito del rapporto di due polinomi, si possono confrontare i gradi del polinomio a numeratore e del polinomio a denominatore. Dal confronto si possono avere tre casi possibili 1° caso: il polinomio a numeratore ha grado maggiore del polinomio a denominatore

Se il polinomio a numeratore ha grado maggiore il risultato del limite per Il segno o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo del numeratore. Ad esempio:

che tende a infinito è

) al monomio di grado massimo

2° caso: il polinomio a numeratore ha lo stesso grado del polinomio a denominatore Se i polinomi a numeratore e a denominatore hanno lo stesso grado il risultato del limite per infinito è uguale al rapporto dei coefficienti dei monomi di grado massimo Il segno o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo del numeratore e del denominatore. Ad esempio:

che tende a

) al monomio di grado massimo

3° caso: il polinomio a numeratore ha grado minore del polinomio a denominatore Se il polinomio a numeratore ha grado minore il risultato del limite per Ad esempio:

v 1.0

che tende a infinito è .

140

Limiti notevoli

analisi

funzioni goniometriche

funzioni esponenziali e logaritmiche

l’ uguaglianza a sinistra può essere utile per risolvere alcuni limiti che si presentano nelle forme indeterminate

ad ogni limite notevole si possono applicare le seguenti proprietà che lasciano invariato il risultato limite iniziale

se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito

se nel limite al posto di x c’è nx il risultato del limite resta lo stesso

se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito

frazioni equivalenti per il calcolo dei limiti notevoli può essere utile ricordare alcune delle possibili operazioni con le frazioni:

scomporre la frazione iniziale in due frazioni

v 3.3

dividere ogni monomio del numeratore e del denominatore per la stessa quantità n

moltiplicare e dividere la frazione per la stessa quantità n

moltiplicare e dividere il numeratore per n e/o moltiplicare e dividere il denominatore per m

141

Definizione di funzione continua – punti di discontinuità

analisi

definizione di funzione continua in un punto

f(x0 ) = l

f(x)

●

• • •

data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione la funzione si dice continua nel punto se:

cioè:

●

osserva che in un punto isolato la funzione è continua

Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti punti dell’intervallo

osservazione importante

per studiare se una funzione è continua in un punto appartenente al dominio D è necessario calcolare il limite da sinistra (se è possibile), il limite da destra (se è possibile) ed il valore della funzione nel punto . Se questi tre valori sono tutti uguali allora la funzione sarà continua in quel punto, cioè se: un punto di accumulazione per il dominio della funzione si dice di discontinuità per l’eguaglianza dei tre valori precedenti e ciò può avvenire per diverse ragioni. punti di discontinuità e loro classificazione

se NON c’è

un punto di accumulazione per il dominio della funzione si dice di discontinuità per se NON c’è l’eguaglianza dei tre valori precedenti e ciò può avvenire per diverse ragioni. per classificare un punto di discontinuità si calcolano separatamente il limite sinistro ed il limite destro della funzione in a seconda dei risultati trovati il punto si classifica in una delle seguenti tre specie punto di discontinuità di prima specie

l2 l1

•

● ●

si dice punto di discontinuità di prima specie se i limiti sinistro e destro della funzione in sono diversi e finiti cioè:

con

●

si dice salto della funzione

punto di discontinuità di seconda specie •

●

si dice punto di discontinuità di seconda specie se uno almeno dei due limiti sinistro o destro della funzione in uguale a infinito, oppure non esiste cioè:

oppure punto di discontinuità di terza specie o eliminabile

l1 = l2

• ●

●

v 1.4

si dice punto di discontinuità di terza specie o eliminabile se i limiti sinistro e destro della funzione in sono uguali e finiti ma non esiste il valore della funzione in oppure esiste ma risulta diverso dal limite cioè:

con

in questo caso la discontinuità si può eliminare ponendo

142

Asintoti di una funzione

analisi

definizione di asintoto di una funzione •

f(x)

→

•

data una funzione

e dato un suo punto P

si dice che una retta è asintoto per la funzione

la distanza di P dalla retta tende a zero quando P si allontana indefinitamente lungo la funzione la definizione non esclude che in alcuni casi la funzione può intersecare l’asintoto. Vedi in seguito per l’approfondimento

Esistono tre tipi di asintoti: asintoto verticale, asintoto orizzontale, asintoto obliquo asintoto verticale

f(x)

●

dove si cerca: • •

nei punti di discontinuità della funzione nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso

come si cerca:

osserva: la funzione non attraversa mai l’asintoto verticale perché asintoto orizzontale

non appartiene al dominio della funzione

dove si cerca: •

se il dominio lo consente

come si cerca:

f(x) n

●

•

solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo

fai attenzione che per e per vanno fatte ricerche separate, ad esempio a l’asintoto orizzontale ed a potrebbe esistere l’asintoto obliquo asintoto obliquo

potrebbe esistere

dove si cerca: •

f(x)

v 1.1

a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzontale

come si cerca:

143

Asintoti di una funzione

analisi

osservazioni

•

la funzione può intersecare l’asintoto orizzontale e l’asintoto obliquo anche più volte, come si vede nei seguenti esempi: f(x)

•

f(x)

la presenza dell’asintoto orizzontale esclude l’asintoto obliquo. Esistono però funzioni che ammettono l’asintoto orizzontale a e l’asintoto obliquo a (e viceversa), come si vede nei seguenti grafici: γ

f(x)

la funzione ammette l’asintoto orizzontale a e l’asintoto obliquo a

la funzione ammette l’asintoto oriz- la curva ammette un asintoto orizzontale a e l’asintoto obliquo a zontale ed uno obliquo nella stessa direzione perché non è una funzione

esempio di ricerca di asintoti di una funzione

Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione si calcola il limite sinistro e destro della funzione per della funzione: • ricerca degli asintoti verticali

entrambi i limiti sono infiniti e la retta

è un asintoto verticale per la funzione

entrambi i limiti sono infiniti e la retta

è un asintoto verticale per la funzione

• ricerca degli asintoti orizzontali

• ricerca degli asintoti obliqui

che tende ai punti di discontinuità

si calcola il limite della funzione per e

che tende a

entrambi i limiti sono infiniti e non esiste asintoto orizzontale a ne. Ha senso cercare l’asintoto obliquo si calcolano i valori del coefficiente angolare dell’asintoto obliquo :

l’asintoto non esiste ea

e dell’ordinata all’origine

per la funzio-

dell’equazione

la funzione ammette due asintoti verticali ed un asintoto obliquo, come riportato nel grafico della funzione in alto a destra. Osserva che la funzione interseca l’asintoto obliquo nell’origine degli assi cartesiani

v 1.1

144

Definizione di monotonia e di punti di massimo e minimo relativi

analisi

definizione di monotonia di una funzione definizione di funzione crescente e decrescente in un intervallo

f(x)

f(x1) = f(x2) ●

●

f(x2)

●

f(x1)

●

f(x1) = f(x2) ●

●

f(x1) ● f(x2)

f(x) a

● ●

●

una funzione si dice crescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è maggiore o uguale dell’ordinata di cioè:

f(x)

una funzione si dice strettamente crescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è maggiore dell’ordinata di cioè:

una funzione si dice decrescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è minore o uguale dell’ordinata di , cioè:

f(x) b

una funzione si dice strettamente decrescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è minore dell’ordinata di , cioè:

definizione di punti di massimo e minimo relativi di una funzione sia

una funzione definita nel dominio , sia

f(x0) ● f(x)

● ●

f(x)

●

f(x0) ● ●

x v 1.1

●

un punto appartenente al dominio, sia

un intorno di

un punto si dice di massimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia maggiore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I interni al dominio

massimo se un punto si dice di minimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia minore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I interni al dominio

145

Definizione di concavità e di punti di flesso

analisi

definizione di funzione concava in un intervallo sia

una funzione definita nel dominio D, sia

●

se per è al

una funzione si dice concava verso il basso in un intervallo il grafico della funzione in per ogni punto appartenente ad è al di sotto della retta tangente nel punto P0 di coordinate

b F

una funzione si dice concava verso l’alto in un intervallo il grafico della funzione in ogni punto appartenente ad di sopra della retta tangente nel punto P0 di coordinate

●

un intervallo interno al dominio

punto di flesso

t ●

un punto si dice di flesso per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione oppure equivalentemente

un punto si dice di flesso per una funzione se è di separazione tra una concavità verso il basso e una verso l’alto o viceversa

classificazione dei punti di flesso

punto di flesso a tangente orizzontale F

un punto si dice punto di flesso a tangente orizzontale per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione ed è parallela all’asse delle ascisse

●

punto di flesso a tangente NON orizzontale F

●

un punto si dice punto di flesso a tangente NON orizzontale per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione e NON è parallela all’asse delle ascisse punto di flesso a tangente verticale

t F

●

v 1.1

un punto si dice punto di flesso a tangente verticale per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione ed è parallela all’asse delle ordinate © 2013 - www.matematika.it

146

analisi

Definizione di rapporto incrementale e di Derivata di una funzione definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto

f(x0)

•

y = f(x)

f(x0+h) Δy

•

Δx

data una funzione dominio D della funzione

nel punto

si chiama incremento della variabile x

•

il rapporto incrementale ha senso per ogni

appartenente al

si chiama rapporto incrementale della funzione il rapporto:

•

xo+h

ed un punto

tale che

si chiama incremento della funzione

appartiene ancora al dominio D della funzione

definizione di derivata prima di una funzione in un punto •

data una funzione

•

ed un punto

si definisce derivata prima di

appartenente al dominio D della funzione

nel punto

il limite, se esiste 1 ed è finito, del rapporto incrementale di

) si ricorda che affinché il limite esista devono esistere essere uguali i limiti da sinistra e da destra della funzione

se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che dominio. Per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i seguenti simboli:

è derivabile nell’intervallo o nel , ,

definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto

si definisce derivata prima sinistra di nel punto il si definisce derivata prima destra di nel punto il limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale in : in : di di

significato geometrico di derivata

y = mx+q f(x0)

la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa cioè nel punto :

x0 per trovare l’equazione della retta •

• • v 2.1

tangente al grafico di una funzione

si calcola la derivata prima della funzione nel punto

, il suo valore rappresenta il coefficiente angolare della tangente

nell’equazione del fascio di rette si sostituiscono ad e ad il valore della derivata prima della funzione cioè si ottiene così l’equazione della retta tangente:

nel punto

le coordinate del punto

147

analisi

Derivate derivate delle funzioni elementari dove k Ă¨ una costante

regole di derivazione prodotto di una costante k per una funzione

somma di due o piĂš funzioni prodotto di due funzioni prodotto di tre funzioni

rapporto di due funzioni funzione composta funzione elevata ad una funzione v 2.3

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148

analisi

Derivate esempi di derivate di alcune funzioni elementari

esempi di derivate con le regole di derivazione Derivata del prodotto di una costante

per una funzione

Derivata della somma di due o piĂš funzioni

Derivata del prodotto di due funzioni

Derivata del rapporto di due funzioni

Derivata di una funzione composta

Derivata di una funzione elevata ad una funzione

v 2.3

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149

analisi

Ricerca dei punti di massimo o di minimo relativo e di flesso di una funzione punti stazionari

Sia

una funzione definita nell’intervallo e sia un punto appartenente all’intervallo . della funzione se Graficamente ciò significa che la tangente al grafico nel punto stazionario è orizzontale. I punti stazionari di una funzione sono i punti di massimo relativo o di minimo relativo o di flesso orizzontale massimo relativo

f(x0)●

minimo relativo

●

f(x0)● a

flesso orizzontale

t ●

più in generale per la ricerca dei punti stazionari si può seguire il seguente schema: • • • • • •

si calcola la derivata prima di

•

si pone

si risolve l’equazione ottenendo le soluzioni

•

i punti possono essere punti di massimo, di minimo o di flesso orizzontale

i punti così trovati si analizzano uno alla volta sostituendoli nelle derivate di ordine successivo

•

analizziamo, ad esempio, il punto sostituendo il suo valore nella derivata seconda ed eventualmente nelle derivate successive

se:

è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola

se:

è un punto di flesso orizzontale si calcola

se:

è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola ………. e così via

ricerca dei punti di flesso a tangente NON orizzontale

I punti di flesso a tangente NON orizzontale sono quei punti appartenenti al dominio della funzione che annullano la derivata seconda ma non annullano la derivata prima e non annullano la derivata terza della funzione cioè: è punto di flesso non a tangente orizzontale se

Si cercano imponendo la derivata seconda uguale a zero. I casi possibili sono: flesso ascendente

flesso discendente t

flesso ascendente t

flesso discendente

t ●

v 1.4

●

t ●

150

Definizione e ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti

analisi

definizione minimoassoluti assolutididiuna unafunzione funzione definizionedei deipunti puntididimassimo massimoe ediminimo sia

f(b)

una funzione continua in un intervallo

f(x1) f(a) f(x2) x1

massimo relativo

minimo assoluto

massimo assoluto

e sia

un punto appartenente ad

un punto intervallo

si dice di massimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata maggiore in cioè se

un punto intervallo

si dice di minimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata minore in cioè se

relazione tra i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti Osserva che un punto di massimo o di minimo assoluto non deve necessariamente essere un punto di massimo o di minimo relativo (e viceversa). Ad esempio nel grafico precedente nell’intervallo [a, b] si ha che:

• • • •

non è né di massimo nè di minimo assoluto o relativo è di massimo relativo ma non di massimo assoluto è un punto di minimo relativo ma anche di minimo assoluto è di massimo assoluto ma non di massimo relativo

il punto il punto il punto il punto

osservazione

Se una funzione in un intervallo [a, b] è strettamente crescente gli estremi dell’intervallo [a, b] sono rispettivamente il punto di minimo ed il punto di massimo assoluto.

f(b)

f(a) a

minimo assoluto

massimo assoluto

nell’intervallo [a, b] del grafico di sinistra si ha che:

• il punto • il punto

è di minimo assoluto ma non di minimo relativo

è di massimo assoluto ma non di massimo relativo

ricerca dei punti di massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo [a, b] f(b)

f(b)

f(x1) f(a) f(x2)

f(a) a

massimo relativo

minimo assoluto

massimo assoluto

minimo assoluto

massimo assoluto

per trovare i punti di massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo [a, b] si può procedere nel seguente modo: • • • • •

v 1.1

si cercano i punti di massimo e minimo relativo della funzione con uno dei metodi conosciuti (f ‘(x)>0 ) dei punti così trovati si considerano solo quelli appartenenti all’intervallo [a, b] di ognuno di questi punti si calcola il valore della funzione (l’ordinata) si calcola anche il valore della funzione (l’ordinata) nei punti a e b estremi dell’intervallo

tra tutti i punti di cui abbiamo calcolato l’ordinata, quello di ordinata maggiore è il massimo assoluto, quello di ordinata minore è il minimo assoluto della funzione nell’intervallo [a, b] © 2013 - www.matematika.it

151

Punti di non derivabilità di una funzione

analisi

premessa • sia data una funzione • se

è derivabile nel punto

ed un punto allora

appartenente al dominio D della funzione

sarà anche continua nel punto

• il teorema non si può invertire, infatti può accadere che una funzione sia continua in un punto ma non derivabile in esso

• i punti in cui si verifica la continuità ma NON la derivabilità sono i punti che appartengono al dominio della funzione ma non appartengono al dominio della derivata prima. •

questi punti possono essere punti di flesso a tangente verticale oppure punti angolosi oppure punti cuspidali punto di flesso a tangente verticale

un punto si dice punto di flesso a tangente verticale per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono entrambi uguali a oppure a

t F

oppure

●

nel primo caso il punto di flesso si dice a tangente verticale crescente, nel secondo caso si dice a tangente verticale decrescente punto angoloso

un punto si dice punto angoloso per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono diversi ed almeno uno dei due è finito con almeno uno dei due limiti finito

punto cuspidale

un punto si dice punto cuspidale per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono uguali uno a e l’altro a o viceversa ●

oppure

nel primo caso si dice che il punto è una cuspide con vertice in basso, nel secondo caso si dice che il punto è una cuspide con vertice in alto osservazioni

• •

v 1.3

I punti angolosi e cuspidali sono un esempio di punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. I punti angolosi e cuspidali possono essere punti di massimo o di minimo per la funzione ma non possono essere individuati con i metodi tradizionali per la ricerca dei massimi e dei minimi poiché in essi la funzione è continua ma non derivabile. Per essi va fatta una specifica indagine basata sulla studio della crescenza e della decrescenza della funzione nell’intorno sinistro e nell’intorno destro del punto angoloso o del punto cuspidale. © 2013 - www.matematika.it

152

Studio del grafico di una funzione

analisi

ricerca del dominio (o campo di esistenza) della funzione

n pari

Le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono

studio del segno della funzione

•

si pone la funzione maggiore di zero

•

si risolve la disequazione

•

si individuano le regioni di piano dove la funzione è positiva (+) o negativa ( ) all’interno del dominio

•

si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste

studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani

●

intersezioni con l’asse x o zeri della funzione: •

●

si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione

•

le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione

intersezione con l’asse y (solo se il dominio lo consente):

●

•

si sostituisce 0 alla x nella funzione

•

v 3.9

si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y

gli eventuali punti di intersezione della funzione con l’asse si possono anche dedurre osservando il grafico dello studio del segno. Se il dominio lo consente, due zone di segno opposto sono separate da un punto di intersezione della funzione con l’asse ; due zone dello stesso segno individuano invece un punto di contatto della funzione con l’asse

studio delle simmetrie e della periodicità di una funzione

una funzione simmetrica rispetto all’asse delle y si dice pari

• • • •

definite

si sostituisce x con − x si sviluppano i calcoli se la funzione è pari

una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi si dice dispari

• •

si sostituisce x con

−x

si sviluppano i calcoli e si raccoglie il “ “

se la funzione è dispari

una funzione che ripete periodicamente la forma si dice periodica

• •

•

si pone

si risolve l’equazione ottenuta nell’incognita T il valore trovato di T è il periodo della funzione

153

Studio del grafico di una funzione

analisi

ricerca degli asintoti di una funzione

asintoto verticale dove si cerca: • nei punti di discontinuità della funzione • nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso

f(x)

●

come si cerca:

asintoto orizzontale

dove si cerca: •

f(x) n

se il dominio lo consente

come si cerca:

●

•

solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo

asintoto obliquo

dove si cerca: •

a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzontale come si cerca:

f(x)

studio della monotonia di

•

monotonia

•

f cresce

f decresce

max

f cresce

min

•

si calcola la derivata prima di si risolve la disequazione

e la si pone maggiore di 0

si individuano le regioni di piano dove: è crescente

è decrescente

osservando il grafico della crescenza e decrescenza si individuano i punti di massimo e di minimo. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

studio della concavità e ricerca dei flessi di una funzione

7 concavità

•

verso l’alto

v 3.9

e ricerca dei massimi e minimi relativi

verso il basso

flesso

verso l’alto

flesso

•

si calcola la derivata seconda di si risolve la disequazione

e la si pone maggiore di 0

si individuano le regioni di piano dove:

è concava verso l’alto

è concava verso il basso

• osservando il grafico della concavità si possono individuare i punti di flesso. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

Per ottenere una maggiore precisione nel disegno del grafico si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti attribuendo alla valori arbitrari (appartenenti al dominio) nel testo della funzione e calcolando le rispettive © 2013 - www.matematika.it

154

analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione primo esempio

Studiamo la seguente funzione

• ricerca del dominio

• studio del segno

• studio delle intersezioni con gli assi cartesiani

si pone il denominatore diverso da zero perché la funzione assegnata è una funzione fratta:

si pone la funzione maggiore di zero e si studia la disequazione individuando le regioni di piano dove la funzione esiste ed è positiva o negativa. Si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste:

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione ha un solo punto di intersezione con gli assi, coincidente con l’origine (0,0). Solo come esercizio algebrico, studiamo l’intersezione della funzione con l’asse : e l’intersezione della funzione con l’asse :

• studio delle simmetrie

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non è pari mentre potrebbe essere dispari. Verifichiamolo algebricamente sostituendo la con – nel testo della funzione e sviluppando i calcoli: quindi

con

Verifichiamo se la funzione è dispari raccogliendo il – nell’espressione di

quindi la funzione è dispari

• ricerca degli asintoti verticali

e non è pari :

si calcola il limite sinistro e destro della funzione per che tende ai punti di discontinuità individuati con la ricerca del dominio: e e

esistono due asintoti verticali di equazione v 1.3

155

analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione si calcola il limite della funzione per che tende a a

• ricerca degli asintoti orizzontali

l’asse delle di equazione per la funzione sia a che a

è un asintoto orizzontale

La presenza dell’asintoto orizzontale a la presenza dell’asintoto obliquo

• studio della monotonia e dei punti di massimo e minimo

esclude

la crescenza e decrescenza della funzione si cerca studiando il segno della derivata prima della funzione, cioè si calcola la derivata prima e si pone maggiore di zero, : cioè

la concavità della funzione si cerca studiando il segno della derivata seconda della funzione, cioè ponendo :

• studio della concavità e dei punti di flesso

la derivata è negativa per e e quindi la funzione ha concavità verso il basso; la derivata è positiva per e quindi la funzione ha e concavità verso l’alto. Esiste un punto di flesso di ascissa . Per trovarne l’ordinata basta sostituire l’ascissa nel testo della funzione:

si traccia il grafico della funzione tenendo conto di tutti i risultati ottenuti precedentemente. Per una maggiore precisione si possono calcolare le coordinate di alcuni punti della funzione attribuendo alla valori arbitrari del dominio e calcolandone le corrispondenti

• disegno del grafico

v 1.3

la derivata è sempre negativa e quindi la funzione è sempre decrescente. Non esistono massimi e minimi

156

analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione secondo esempio

Studiamo la seguente funzione

• ricerca del dominio

• studio del segno

• studio delle intersezioni con gli assi cartesiani

si pone il denominatore diverso da zero perché la funzione assegnata è una funzione fratta:

si pone la funzione maggiore di zero e si risolve la disequazione individuando le regioni di piano dove la funzione è positiva o negativa. Si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste:

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non attraversa gli assi, ma presenta un solo punto di contatto coincidente con l’origine (0,0). Solo come esercizio algebrico, studiamo l’intersezione della funzione con l’asse : e l’intersezione della funzione con l’asse :

• studio delle simmetrie

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non presenta simmetrie. Verifichiamolo anche algebricamente sostituendo la con – nel testo della funzione e sviluppando i calcoli: con

la funzione non è pari

la funzione non è dispari

• ricerca degli asintoti verticali

si calcola il limite sinistro e destro della funzione per tende al punto di discontinuità :

quindi

che

esiste un solo asintoto verticale di equazione v 1.3

157

analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione

• ricerca degli asintoti orizzontali

• ricerca degli asintoti obliqui

si calcola il limite della funzione per e

che tende a

la funzione non presenta asintoto orizzontale né a Ha senso ricercare l’asintoto obliquo si calcolano i valori del coefficiente angolare dinata all’origine dell’equazione dell’asintoto obliquo :

• studio della concavità e dei punti di flesso

nè a

la crescenza e decrescenza della funzione si cerca studiando il segno della derivata prima della funzione, cioè si calcola la derivata prima e la si pone maggiore di zero, : cioè

la concavità della funzione si cerca studiando il segno della derivata seconda della funzione, cioè ponendo :

la derivata è negativa per e e quindi la funzione decresce; la derivata è positiva per e quindi la funzione è cresce. Il punto di ascissa un punto di minimo e quello di è un massimo. Per ascissa trovare le rispettive ordinate basta sostituire le ascisse dei punti nel testo della funzione:

la derivata è positiva per e e quindi la negativa per funzione ha concavità verso l’alto e concavità verso il per . basso per Non esistono punti di flesso perè un punto di ché discontinuità della funzione

• disegno del grafico

v 1.3

e dell’or-

la funzione ammette un asintoto obliquo di equazione

• studio della monotonia e dei punti di massimo e minimo

158

Definizione di integrale indefinito di una funzione

analisi

definizione di primitiva una funzione cioè se • • •

•

si dice primitiva di un’altra funzione

è derivabile in

la funzione

la funzione la funzione

se:

e se la sua derivata è uguale a esempi

è una primitiva di

per ogni

perché

osservazione

riprendendo l’esempio precedente si osserva che

non è l’unica primitiva di

. Infatti:

Cioè, le primitive di differiscono tutte per una costante e sono dunque infinite. Si possono scrivere in maniera sintetica nelle forma “ “ dove c è un qualsiasi numero reale. In generale vale che: •

“ogni funzione

è dotata di infinite primitive

si può infatti dimostrare che due qualsiasi primitive una costante, cioè –

Ad esempio consideriamo due primitive di ma si ha: –

che si possono scrivere nella forma

”.

di una stessa funzione differiscono per e

. Per il teore-

definizione di integrale indefinito

si chiama integrale indefinito di una funzione L’integrale indefinito si indica con il simbolo e si legge “integrale di f(x) in de x” La

si chiama “funzione integranda” e

l’insieme di tutte le sue primitive “

si chiama “differenziale di ”. In sintesi:

esempi

ricordando la tabella delle derivate delle funzioni elementari si ha: • •

perché perché

• •

perché

osservazione

L’integrale indefinito di una funzione è l’operazione che ha lo scopo di trovare tutte le primitive della funzione.

Per risolvere l’integrale indefinito basta calcolare la generica primitiva ed aggiungere ad essa la costante “c” come visto negli esempi precedenti. v 1.0

159

Integrali indefiniti

analisi

immediati

immediati generalizzati dove Ă¨ una costante

un integrale generalizzato si ottiene da un integrale immediato sostituendo con e con

in generale lâ&#x20AC;&#x2122;integrale di una funzione composta per la derivata della funzione interna primitiva della funzione esterna

moltiplicata Ă¨ uguale alla

alcuni metodi di integrazione

prodotto di una costante k per una funzione

v 3.1

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metodo di decomposizione in somma

160

analisi

Integrali indefiniti esempi di alcuni integrali immediati

esempi di alcuni integrali immediati generalizzati

per verificare la correttezza del risultato dell’integrale basta confrontare la derivata del risultato con l’integrando. Se sono uguali, allora il risultato è corretto. Ad esempio, in riferimento all’ultimo esercizio: cioè uguale alla funzione integranda

v 3.1

161

analisi

Integrali indefiniti esempi di alcuni metodi di integrazione prodotto di una costante per una funzione

metodo di decomposizione in somma

risolviamo il seguente integrale decomponiamo lâ&#x20AC;&#x2122;integrale in due integrali

metodo per parti

risolviamo singolarmente i due integrali ed otteniamo il risultato

risolviamo il seguente integrale integriamo la funzione deriviamo la funzione svolgiamo i calcoli

risolviamo il secondo integrale ed otteniamo il risultato risolviamo il seguente integrale integriamo la funzione deriviamo la funzione

portiamo la costante fuori dal secondo integrale e applichiamo di nuovo il metodo per parti integriamo la funzione deriviamo la funzione risolviamo lâ&#x20AC;&#x2122;integrale =

v 3.1

svolgiamo i calcoli ed otteniamo il risultato

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162

Principali teoremi di Analisi

analisi

teoremi sui limiti 2 ●

f(x)





1 ● x0 f(x)

f(x2)>0

> 0

f(x1)>0

teorema della permanenza del segno

Se una funzione in un punto x0 è dotata di limite  ≠ 0 allora esiste almeno un intorno I di x0 tale che per tutti i punti di I (escluso al più x0 ) i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite teorema del confronto detto anche dei “carabinieri”

h(x)



g(x)

f(x)

 x0



Se una funzione in un punto è dotata di limite finito allora esso è unico

Dalla definizione di funzione, basta ricordare che ad ogni valore della x deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quindi, se per assurdo la funzione f(x) avesse nello stesso punto x0 due limiti diversi, essa non sarebbe più una funzione e ciò contraddice l’ipotesi del teorema



teorema di unicità del limite

Date tre funzioni f(x) , g(x), h(x): 1. se esiste un intorno I del punto x0 in cui g(x) è compresa tra f(x) e h(x) in tutti i punti dell’intorno I escluso al più x0 stesso 2. se f(x) e h(x) tendono nel punto x0 allo stesso limite finito  allora anche g(x) avrà in x0 limite uguale ad  teoremi sulle funzioni continue

teorema di Weierstrass

M ●

 m

f(x)



●

M●

 k

●



m●

f(x) b f(x)

f(b) ●

f(a) v 2.3

● c1

● c2

●

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora è dotata di massimo e minimo (assoluti)

Osserva che un massimo o minimo assoluto non deve necessariamente essere un massimo o un minimo relativo: vedi, ad esempio, il punto m sul grafico che è un minimo assoluto e non un minimo relativo

teorema dei valori intermedi o di Bolzano

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora assume tutti i valori compresi tra il suo minimo “m” ed il suo massimo “M” In altre parole, il teorema afferma che ogni punto k dell’intervallo [m, M] è immagine di almeno un punto (x1,…) dell’intervallo [a, b]

teorema degli zeri

Se una funzione f(x): 1. è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e assume valori di segno opposto in a e b cioè f(a) • f(b) < 0

163

Principali teoremi di Analisi

analisi

teoremi sul calcolo differenziale f(x)

teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità

Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0 allora la funzione è ivi anche continua

Si osservi che il teorema non si può invertire, infatti: nel punto angoloso x0 della figura la funzione è continua ma non derivabile in quanto la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra

x0 il teorema può essere utilizzato per calcolare la derivata di funzioni inverse. Si voglia ad esempio calcolare la derivata di inversa della funzione

teorema sulla derivata della funzione inversa

Se una funzione è derivabile in x0 e la sua derivata è diversa da zero, allora anche la funzione inversa x = f-1(x0) è derivabile nel punto corrispondente y0 = f(x0) e si ha:

teorema di Rolle f(a)=f(b)

f(b) f(a)

●

 P



f(x)



●

f(x)



●



si osservi che: 1. il teorema si estende anche al caso e il imite si presenta in cui nella forma indeterminata

il teorema, quando opportuno, può essere applicato più volte consecutivamente

v 2.3

teorema di Lagrange

Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:



il teorema è detto degli incrementi finiti e si può enunciare anche dicendo: se le funzioni f(x) e g(x) verificano le ipotesi indicate, in un opportuno punto c dell’intervallo ]a, b[ il rapporto tra le rispettive derivate in c è uguale al rapporto tra gli incrementi delle funzioni calcolate agli estremi a e b dell’intervallo [a, b]

Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la derivata prima si annulla cioè f ′(c) = 0

teorema di Cauchy

Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabili nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e inoltre g ‘(x) in ogni punto interno dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ]a, b[ tale che: teorema di de L’Hopital

Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. derivabili in un intorno I di x0 2. con derivate continue e g′(x) ≠ 0 in detto intorno 3. il limite del loro rapporto si presenta nella forma allora

164

Principali teoremi di Analisi

analisi

f ’(x) > 0

teorema sulla monotonia di una funzione in un intervallo

f ’(x) < 0

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso I e derivabile nei punti interni di I e se la derivata prima in I è positiva (negativa) allora la funzione f(x) è crescente (decrescente) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè Se la funzione è crescente (decrescente) in un intervallo I allora la derivata prima in tale intervallo sarà positiva (negativa) teorema sui massimi e minimi di una funzione (di Fermat)

M ●

F ●

Se una funzione f(x) ammette un massimo o un minimo in un punto x0

Il teorema non si può invertire infatti i punti in cui la derivata prima è nulla, cioè f ′(x0) = 0, detti punti stazionari , possono essere punti di massimo, di minimo o di flesso orizzontale

allora la derivata prima in x0 è nulla cioè f ′(x0) = 0

●

teorema sulla concavità di una funzione in un intervallo

f ’’(x) < 0

f ’’(x) > 0

Se una funzione f(x) è derivabile due volte nei punti interni di un intervallo I e se la derivata seconda è positiva (negativa) allora la funzione è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè

Se la funzione è concava verso l’alto (il basso) in un intervallo I allora la derivata seconda sarà positiva (negativa) teorema sui flessi di una funzione

Se una funzione f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda continua in x0 e se tale punto è un flesso allora la derivata seconda in x0 è nulla, cioè f ′′(x0) = 0

Il teorema non si può invertire, basti pensare alla funzione y=x4 che nell’origine degli assi cartesiani ha derivata seconda uguale a 0: f ′′(x4) =12x2 che calcolata in 0 risulta nulla. In tale punto però non vi è un flesso, bensì un punto di minimo come illustrato nel disegno affianco

teoremi sul calcolo integrale

teorema della media

Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b],

f(c) a

dal teorema deriva la formula che permette di calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione f(x) conoscendo una sua primitiva F(x):

v 2.3

allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo [a, b] tale che: teorema fondamentale del calcolo integrale

Se f(x) è una funzione continua in [a, b] ed una funzione detta funzione integrale allora esiste la derivata prima della funzione integrale in ogni punto x dell’intervallo [a, b] e si ha: In altre parole il teorema, nell’ipotesi indicata, afferma che la funzione integrale è una primitiva di f(x) © 2013 - www.matematika.it

165

analisi per l’università

Sviluppo in serie di funzioni elementari sviluppo in serie di Taylor

• • •

f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in

è detto resto di Peano e si legge: o piccolo di

o piccolo è un infinitesimo di ordine superiore a

, cioè:

algebra degli o piccoli: per

si ha:

si ha lo sviluppo in serie di Mac Laurin

sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari funzione potenza con funzione radice quadrata funzione esponenziale con base funzione esponenziale con base funzione logaritmo in base funzione seno funzione coseno funzione tangente funzione cotangente funzione secante

funzione cosecante funzione arcoseno funzione arcocoseno funzione arcotangente v 2.3

funzione arcocotangente

166

Serie numeriche

analisi per l’università

definizioni Data la successione

si considerino le somme parziali

si dice serie di termine generale

e si indica con

cioè:

oppure con

carattere della serie

se S è finito

•

altrimenti

•

assegnate

converge

si dice convergente

la serie

è indeterminata

la serie

si dice divergente

prime proprietà

converge

la serie

condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generico sia infinitesimo

convergenza del prodotto di una costante per una serie

converge convergenza della somma di due serie

convergono

serie notevoli simbologia

carattere

divergente

convergente irregolare

convergente divergente

...

irregolare

nome

serie armonica serie armonica generalizzata serie geometrica di ragione

convergente

serie geometrica di punto iniziale e ragione

convergente

serie di Mengoli

divergente

v 2.1

(positivamente o negativamente)

167

Serie numeriche

analisi per l’università

Criteri di convergenza criterio del confronto per serie a termini non negativi

Date le successioni •

sia:

converge

diverge

criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi

Date le successioni • •

sia:

le serie e sono entrambe convergenti oppure divergenti

converge

diverge

criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi

Data la successione

sia:

•

con

•

converge

se se

diverge

converge

criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi

Data la successione • •

sia: con

diverge

converge

diverge

non si può dire nulla

può essere utile in caso di serie con esponenziali

criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi

Data la successione • •

sia: con

converge

può essere utile in caso di serie con fattoriali

diverge

non si può dire nulla

criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente

Data la successione

Data la serie alternante Data la serie v 2.1

sia:

e la serie

• •

converge

criterio di convergenza assoluta

converge

converge 168

analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ

Funzioni iperboliche: Grafici - Domini - Derivate seno iperbolico

settore seno iperbolico

dominio:

coseno iperbolico

settore coseno iperbolico

1 1 dominio:

dominio:

tangente iperbolica

settore tangente iperbolica

-1 -1

dominio:

cotangente iperbolica

settore cotangente iperbolica

1 -1

-1

dominio:

v 1.7

dominio:

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169

analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ

Funzioni iperboliche: Definizioni e Sviluppo in serie definizione delle funzioni iperboliche

seno iperbolico

coseno iperbolico

tangente iperbolica

cotangente iperbolica

secante iperbolica

cosecante iperbolica

definizione delle funzioni iperboliche inverse settore seno iperbolico

settore coseno iperbolico

settore tangente iperbolica

settore cotangente iperbolica

settore secante iperbolica

settore cosecante iperbolica

sviluppo in serie di Mac Laurin per alcune funzioni iperboliche

funzione seno iperbolico funzione coseno iperbolico funzione tangente iperbolica funzione cotangente iperbolica funzione secante iperbolica funzione cosecante iperbolica settore seno iperbolico settore tangente iperbolica v 1.8

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170

Coordinate polari

analisi per l’università

Equazioni di curve notevoli

coordinate polari

●

coordinate cartesiane del punto P

coordinate polari del punto P

distanza di P dall’origine

θ x

passaggio di coordinate da cartesiane a polari

misura dell’angolo orientato in senso antiorario e formato da con il semiasse positivo delle x

da polari a cartesiane

equazione cartesiana parametrica e polare di curve notevoli grafico

equazione cartesiana

equazione parametrica

equazione polare

retta

con segmento di estremi Q

con

P x2

con

parabola con asse parallelo all’asse y

con circonferenza

●

di centro

e raggio r

con circonferenza

di centro l’origine e raggio r

con ellisse ●

con ellisse traslata di centro ●

con

v 2.4

171

analisi per l’università

Elementi di Calcolo Differenziale gradiente di una funzione scalare

sia

una funzione scalare di tre variabili. Si chiama gradiente di

di componenti

e si indica con

il vettore

osserva che l’operatore gradiente si applica su uno scalare e restituisce un vettore

esempio

Calcolare il gradiente del campo scalare

applichiamo la definizione e svolgiamo i calcoli:

divergenza di un vettore sia

un vettore di componenti

componenti

. Si chiama divergenza di

e si indica con

lo scalare di

osserva che l’operatore divergenza si applica su un vettore e restituisce uno scalare

esempio

Calcolare la divergenza del campo vettoriale

applichiamo la definizione e svolgiamo i calcoli:

rotore di un vettore sia

nenti

un vettore di componenti

. Si chiama rotore di

e si indica con

vettore di compo-

per ricordare facilmente le componenti di un rotore, basta osservare che esse sono uguali allo sviluppo del determinante della matrice

esempio Calcolare il rotore del campo vettoriale

applichiamo la definizione e svolgiamo i calcoli: v 1.0

172

Elementi di Calcolo Differenziale

analisi per l’università

derivata direzionale definizione

la derivata direzionale scalare calcolata in • •

il campo scalare

di un campo scalare

calcolata in un punto

lungo la direzione assegnata, cioè in simboli

è la derivata del campo

è in genere assegnato come combinazione lineare di

la direzione è assegnata sotto forma di componenti vettoriali: oppure

con

calcolo

coseni direttori della direzione

il calcolo si effettua in due modi equivalenti

calcolo secondo la definizione di derivata

la derivata direzionale è il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in lungo la direzione

calcolo secondo l’operatore gradiente

la derivata direzionale di

lungo la dire-

zione è uguale al prodotto scalare del gradiente del campo per il vettore direzione

esempi Calcolare la derivata direzionale del campo scalare punto di coordinate (3,4,0)

secondo la direzione

1. secondo la definizione si ha:

nel

2. secondo l’operatore gradiente si ha: =

Calcolare la derivata direzionale del campo scalare coordinate (4,5 ) mediante l’operatore gradiente

secondo la direzione

nel punto di

v 1.0

173

Elementi di logica delle proposizioni

logica

definizioni

Una proposizione (o enunciato) è una affermazione che può essere Vera o Falsa • •

“Parigi è la capitale della Francia” ; “Roma è la capitale della Francia” sono proposizioni la prima è Vera, la seconda è Falsa “Il colore giallo non mi piace” ; “ Londra è la città più bella del mondo” non sono proposizioni

Una tautologia è una proposizione sempre Vera •

“Ora sono le nove o non sono le nove”

è una tautologia perché è una proposizione sempre Vera

“Ora sono le nove e non sono le nove”

è una contraddizione perché è una proposizione sempre Falsa

“Questa frase è falsa”

è un paradosso perchè se supponiamo la frase Vera allora risulta Falsa Viceversa se supponiamo la frase Falsa allora risulta Vera

Una contraddizione è una proposizione sempre Falsa •

Un paradosso è una proposizione che, se si suppone Vera risulta Falsa e se si suppone Falsa risulta Vera •

principi

se una proposizione è Vera allora la sua negazione è Falsa e non esiste una terza possibilità

Principio del terzo escluso

una proposizione non può essere contemporaneamente Vera e Falsa

Principio di non contraddizione

proposizioni

V V F F

p∧ p = p p∨ p = p

non

V F V F

F F V V

p∧q =q∧ p p∨q =q∨ p p ∧ (q ∧ r ) = ( p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r ) = ( p ∨ q) ∨ r

p ∧ (q ∨ r ) = ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )

p ∧ ( p ∨ q) = q p ∨ ( p ∧ q) = p p∧q = p∨q p∨q = p∧q v 3.1

operatori logici e tavole di verità e o xor implicazione

V F F F

V V V F

F V V F

proprietà e leggi

V F V V

doppia implicazione

V F F V

proprietà di idempotenza proprietà commutativa proprietà associativa proprietà distributiva proprietà di assorbimento 1a legge di De Morgan: 2a legge di De Morgan:

“non (p e q) è uguale a non p o non q”

“non (p o q) è uguale a non p e non q”

174

Elementi di logica delle proposizioni

logica

esempi sulle tavole di verità Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica

•

F F

1. si costruisce la tavola di verità delle proposizioni e considerandone tutte le possibili combinazioni di vero V e falso F ( 1a e 2a colonna) 2. si costruisce la tavola di verità della proposizione (3a colonna) 3. si applica l’operatore o ( ) alle proposizioni e e si costruisce la tavola di verità dell’espressione logica (4a colonna)

F F

1. si costruisce la tavola di verità delle proposizioni e considerandone tutte le possibili combinazioni di V ed F ( 1a e 2a colonna) 2. si applica l’operatore implicazione ( ) alle proposizioni e e si costruisce la tavola di verità di (3a colonna) e e si costrui3. si applica l’operatore e ( ) alle proposizioni sce la tavola di verità (4a colonna)

Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica

V F

v 3.1

Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica

3. si applica l’operatore non ( ) alla proposizione composta si costruisce la tavola di verità (4a colonna)

Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica F

•

V V

•

1. si costruisce la tavola di verità delle proposizioni e considerandone tutte le possibili combinazioni di vero V e falso F ( 1a e 2a colonna) 2. si applica l’operatore e ( ) alle proposizioni e e si costruisce la tavola di verità (3a colonna)

Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica

F F

175

Elementi di logica delle proposizioni

logica

esempi di passaggio dal linguaggio naturale alle espressioni logiche Individua le proposizioni delle seguenti espressioni ed esprimi l’espressione sotto forma di operatori logici Data l’espressione:

Le proposizioni sono:

“ mangio una mela o una pera “

L’espressione logica si scrive: Data l’espressione:

Le proposizioni sono:

= “ mangio una pera “

“ se oggi esce il sole allora vado al mare “

L’espressione logica si scrive: Data l’espressione:

= “ mangio una mela “

= “ oggi esce il sole “

= “ vado al mare “

“ non è vero che questo argomento è semplice ed interessante “ = “ questo argomento è semplice “

L’espressione logica si scrive: Data l’espressione:

= “ questo argomento è interessante “

“ se il professore ti ha valutato con 4 vuol dire che non hai studiato. Se avessi studiato e non

Le proposizioni sono:

fossi uscito con gli amici avresti avuto un bel voto. O studi o esci con gli amici “ = “ il professore ti valuta con 4“

= “ uscire con gli amici”

L’espressione logica si scrive:

= “ studiare “

= “ avere un bel voto ”

approfondimenti ed esempi sulle proprietà e leggi della logica legge della doppia negazione Data l’espressione: “ non è vero che Giulio non ha dormito “ la proposizione che la compone è: = “ Giulio ha dormito “ l’equivalente espressione logica è: La legge si enuncia: In simboli: V

V F

F F

regola della contrapposizione

implica è equivalente a (non q) implica (non p)

1. si costruisce la tavola di verità per ciascuna proposizione e per ciascun operatore che agisce sulle proposizioni 2. si confrontano le tavole di verità delle espressioni e (5a e 6a colonna) logiche 3. poiché coincidono allora l’uguaglianza è verificata

Esempio: “Se piove allora esco con l’ombrello ” equivale a “ Se non esco con l’ombrello allora non piove ” perché identificate le proposizioni = “ piove ” e = “ esco con l’ombrello ” si ha = “ non piove “ e = “non esco con l’ombrello ” da cui = “ se non esco con l’ombrello allora non piove “

v 3.1

176

Elementi di logica delle proposizioni

logica

1a legge di De Morgan La legge si enuncia: In simboli: V

V F

F F

non ( e ) è uguale a (non ) o (non )

1. si costruisce la tavola di verità per ciascuna proposizione e per ciascun operatore applicato alle proposizioni 2. si confrontano le tavole di verità delle espressioni e (6a e 7a colonna) logiche 3. se coincidono allora l’uguaglianza è verificata

Esempio: “ non è vero che Lia ama le viole e le rose “ equivale a “ Lia non ama le viole o non ama le rose “ perché identificate le proposizioni

= “ Lia non ama le viole “ e

si ha

da cui

= “ Lia non ama le rose ”

2a legge di De Morgan

In simboli: V

= “ Lia ama le rose ”

= “ Lia ama le viole o non ama le rose “

La legge si enuncia:

= “ Lia ama le viole ” e

F F

non ( o ) è uguale a (non ) e (non )

V F

1. si costruisce la tavola di verità per ciascuna proposizione e per ciascun operatore che agisce sulle proposizioni 2. si confrontano le tavole di verità delle espressioni e (6a e 7a colonna) logiche 3. se coincidono allora l’uguaglianza è verificata

Esempio: “ non è vero che domani piove o nevica” equivale a “ domani non piove e non nevica “ perché identificate le proposizioni si ha

da cui

= “ domani non piove “ e

= “ domani piove ” e

= “ domani nevica ”

= “ domani non nevica ”

= “ domani non piove e non nevica “

esempi di paradossi famosi Un paradosso è una proposizione che, se si suppone Vera risulta Falsa e se si suppone Falsa risulta Vera. Riportiamo due dei paradossi più famosi della logica. Paradosso del mentitore o di Epimenide:

“ Tutti i Cretesi sono bugiardi. Io sono Cretese ”

Paradosso (o antinomia) di Russell:

“ In un villaggio vi è un solo barbiere che rade tutti e soli gli uomini

v 3.1

del villaggio che non si radono da soli. Il barbiere rade se stesso? ”

177

Introduzione alla logica dei predicati

logica

premessa

La logica dei predicati studia la verità delle proposizioni, le operazioni sulle proposizioni, le proprietà di un dato soggetto della proposizione e le sue relazioni con altri soggetti della proposizione.

Le proprietà di un dato soggetto e le loro relazioni con altri soggetti della proposizione si chiamano quantificatori. Quantificatore Universale

Il quantificatore universale esprime che una data proprietà dell’insieme appartiene a tutti gli elementi dell’insieme. Nel linguaggio naturale corrisponde alle particelle “tutti”, “ogni”, “qualunque sia”, “chi”, “chiunque”… In simboli il quantificatore universale si indica con la scrittura esempi

• • •

“Tutti i numeri pari sono divisibili per 2” “Ogni mammifero allatta i suoi cuccioli” “Chi si accontenta gode”

ma anche

• •

e si legge “per ogni”

“Gli uomini sono mortali”

intendendo “(Tutti) gli uomini sono mortali”

“I giovani amano la musica” intendendo

“(Tutti) i giovani amano la musica”

Quantificatore Esistenziale

Il quantificatore esistenziale esprime che una data proprietà dell’insieme appartiene solo ad alcuni elementi dell’insieme. Nel linguaggio naturale corrisponde alle particelle “esiste almeno uno”, “qualche”, “alcuni”, … In simboli il quantificatore esistenziale si indica con la scrittura oppure “esiste” esempi

• • •

e si legge “esiste almeno uno”

“Esiste almeno un numero intero che sia minore di 3” “Qualche mammifero vive in mare” “Alcune mele sono mature”

queste sono proposizioni che esprimono che la proprietà “minore di 3”, “vivere in mare”, “essere maturo” appartiene solo ad una parte degli elementi dell’insieme “numeri”, “mammiferi”, “mele” negazione del quantificatore universale

Il quantificatore universale • •

v 1.0

si nega:

anteponendo il NON alle particelle “tutti”, “ogni”, “qualunque sia”, “chi”, “chiunque”

178

Introduzione alla logica dei predicati

logica

esempio •

Negare la proposizione

“Tutti gli uomini sono mortali “

significa affermare che

“Non tutti gli uomini sono mortali ” oppure “Esiste almeno un uomo che non è mortale” negazione del quantificatore esistenziale

Il quantificatore esistenziale •

•

si nega:

anteponendo il NON E’ VERO CHE alle particelle “esiste almeno uno”, “qualche”, “alcuni”

oppure, in modo equivalente, sostituendo il quantificatore esistenziale con il quantificatore universale “tutti” e negando la proprietà esempio

•

Negare la proposizione

“Esiste almeno una mela che non è matura ”

significa affermare

“Non (è vero che) esiste almeno una mela che non è matura” oppure “Tutte le mele sono mature” espressioni equivalenti con la negazione dei quantificatori

Per ottenere espressioni con i quantificatori che siano equivalenti tra loro bisogna nell’ordine: 1. negare il quantificatore 2. negare la proposizione

ad esempio per esprimere in maniera equivalente la proposizione “Tutti gli uomini sono mortali “ si sostituisce il quantificatore ”tutti”: “Esiste almeno un uomo che è mortale” si nega la proprietà:

e si nega la proposizione:

“Esiste almeno un uomo che non è mortale”

“Non è vero che esiste almeno un uomo che non è mortale”

Si hanno quattro tipologie di espressioni equivalenti. Vediamole nei seguenti esempi espressione con il quantificatore universale

espressione equivalente

tutti sono biondi

non è vero che (esiste) qualcuno che NON è biondo

tutti non sono biondi

non è vero che qualcuno è biondo

Non tutti sono biondi Non tutti non sono biondi v 1.0

non è vero che tutti NON sono biondi oppure

(esiste) qualcuno (che) NON è biondo non è vero che tutti sono biondi oppure

(esiste) qualcuno (che) è biondo

179

Introduzione alla logica dei predicati

logica

espressione con il quantificatore esistenziale

espressione equivalente

qualcuno è basso

non è vero che tutti sono alti

qualcuno non è basso

non è vero che tutti sono bassi

non esiste qualcuno che è basso

tutti sono alti

non esiste qualcuno che è alto

tutti sono bassi

osserva che nel linguaggio naturale si preferisce negare una proprietà utilizzando un termine contrario. Per questo motivo negli esempi precedenti all’espressione “non basso” si è preferito il termine “alto” altri esempi

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

v 1.0

“Tutti i numeri pari sono divisibili per 2”

“Esiste almeno un numero pari che non è divisibile per 2”

“Non è vero che qualche numero pari non è divisibile per 2”

“Non esiste una persona che non sia buona”

“Non tutte le persone sono buone” “(tutte) le persone sono buone”

“Ogni mammifero allatta i suoi cuccioli”

“Qualche mammifero non allatta i suoi cuccioli”

“Non è vero che esiste qualche mammifero che non allatta i suoi cuccioli”

“Alcune mele sono mature”

“Tutte le mele non sono mature”

“Non è vero che tutte mele non sono mature”

“Qualche amico non è andato al pub” “Tutti gli amici sono andati al pub”

“Non è vero che tutti gli amici sono andati al pub”

osserva che l’espressione equivalente alla data si ottiene per negazione dell’espressione negata. E’ questa la proprietà logica, facilmente verificabile con la tabella di verità, per cui due negazioni affermano © 2013 - www.matematika.it

180

Introduzione alla logica della deduzione

logica

premessa

La logica della deduzione analizza la correttezza del ragionamento mediante delle regole dette di inferenza (cioè di deduzione).

A partire da uno o più enunciati detti premesse, si verifica la corretta costruzione di un enunciato detto conclusione. Presentiamo alcune delle più comuni regole di inferenza.

regola del Modus Ponens

date due proposizioni p e q, se p implica q è vera e se p è vera allora anche q è vera esempi

Siano date le due proposizioni:

p = “ c’è il Sole ”

q = “ sono allegro ”

Date le premesse vere “ Se c’è il Sole allora sono allegro. C’è il Sole “ la conclusione vera è: “ sono allegro “ se e

anche

è vera è vera

“ se c’è il Sole allora sono allegro ” “ c’è il Sole ”

è vera

“ sono allegro ”

“ Se è venerdì sera allora vado al cinema. E’ venerdì sera ” quindi: “ vado al cinema ” se e

anche

è vera è vera

“ se è venerdì sera allora vado al cinema ” “ è venerdì sera ”

è vera

“ vado al cinema ”

“ Se un poligono ha tre lati allora è un triangolo. Il poligono ha tre lati ” quindi: “ Il poligono è un triangolo ” se e

anche

è vera è vera

“ se un poligono ha tre lati allora è un triangolo ” “ il poligono ha tre lati ”

è vera

“ il poligono è un triangolo ”

la regola del modus ponens è lo schema di ragionamento più usato nelle dimostrazioni dei teoremi. A partire dalle ipotesi (premesse) dichiarate vere si giunge alla verità della tesi (conclusione) controesempio

Bisogna fare attenzione ad applicare correttamente lo schema di inferenza. Infatti: “ Se un animale è un canarino allora ha due zampe. Quell’animale ha due zampe ” non è vero che “ quell’animale è un canarino ”

Date le due proposizioni p = “ l’animale è un canarino ” e q = “ l’animale ha due zampe “ lo schema di queste premesse (

) non è quello di inferenza del Modus Ponens, avendo

q al posto di p . Dunque non c’è conclusione e nulla si può dire sul soggetto “quell’animale”

v 1.0

181

Introduzione alla logica della deduzione

logica

regola del Modus Tollens

date due proposizioni p e q, se p implica q è vera e se non q è vera allora anche non p è vera esempi

Siano date le due proposizioni:

p = “ c’è il Sole ”

q = “ sono allegro ”

Date le premesse vere “ Se c’è il Sole allora sono allegro. Non sono allegro “ la conclusione vera è: “ non c’è il Sole “ se e

anche

è vera è vera

è vera

“ se c’è il Sole allora sono allegro ” “ non sono allegro ” (o “ sono triste ”) “ non c’è il Sole ”

“ Se il treno passa in orario sarò a cena da te. Non sarò a cena da te ” quindi: “ il treno non passa in orario ” se e

è vera è vera

anche

è vera

se e

è vera è vera

“ se il treno passa in orario sarò a cena da te ” “ non sarò a cena da te ” “ il treno non passa in orario ”

“ Se studio prendo un bel voto. Non ho preso un bel voto ” anche

è vera

quindi: “ non ho studiato ”

“ se studio prendo un bel voto ”

“ non ho preso un bel voto ” “ non ho studiato ” controesempio

Bisogna fare attenzione ad applicare correttamente lo schema di inferenza. Infatti: “ Se mangio troppi dolci aumento di peso. Non mangio troppi dolci ”

non è vero che “ non aumento di peso ” Date le due proposizioni p = “ mangio troppi dolci ” e q = “ aumento di peso “

lo schema di queste premesse ( e ) non è quello di inferenza del Modus Tollens, avendo al posto di . Dunque non c’è conclusione e nulla si può dire sull’ “ aumento di peso ” sillogismo (definizione generale)

date due proposizioni p e q dette premesse e data la proposizione r detta conclusione

se q è contenuta in p ed r è contenuta in q anche r è contenuta in p ed r è vera esempi

Siano date le due premesse p = “ Tutti gli uomini sono mortali “ e q = “ Socrate è un uomo ” la conclusione r = “ Socrate è mortale ” è vera perché: q è contenuta in p mediante il concetto di uomo r è contenuta in q mediante il nome Socrate

allora per transitività r è contenuta in p ed r è vera

v 1.0

182

Introduzione alla logica della deduzione

logica

“ Tutti i francesi sono europei. I parigini sono francesi ” quindi la conclusione vera è “ i parigini sono europei ”.

Infatti la seconda proposizione è contenuta nella prima mediante la parola francesi e la terza è contenuta nella seconda mediante la parola parigini. La terza è quindi contenuta nella prima per transitività ed è vera controesempio

Bisogna fare attenzione alla corretta inclusione delle proposizioni altrimenti non si costruisce un sillogismo. Infatti in: “ Tutti i felini sono mammiferi. Tutti i cani sono mammiferi ” non è vero che “ tutti i cani sono felini ”

perché la seconda premessa non è contenuta nella prima. “ Tutti i cani sono mammiferi ” aggiunge solo una informazione che non è premessa per il sillogismo.

Il sillogismo corretto è: “ Tutti i felini sono mammiferi. Leo è un felino ” quindi “ Leo è un mammifero ” Nelle domande di alcuni quiz di logica sono inserite più proposizioni di cui solo alcune rispettano la corretta inclusione di un sillogismo. La conclusione vera, ossia la risposta esatta, è da ricercarsi nella proposizione che completa la catena di inclusioni. Vediamolo con un esempio.

Domanda da quiz : se “ Tutti i corrieri sono dinamici. Luca è audace. Tutte le persone audaci sono dinamiche ” individua quale, tra le seguenti affermazioni, completa correttamente il sillogismo: “ I corrieri sono audaci ”, “ Luca è un corriere ”, “ Luca è dinamico ” Risposta esatta : “Luca è dinamico”

Spiegazione: Delle tre premesse indicate, solo “ Luca è audace ” e “ Tutte le persone audaci sono dinamiche ” sono incluse tra loro. Si verifica facilmente che delle tre conclusioni suggerite solo “Luca è dinamico ” è inclusa in “ Tutte le persone audaci sono dinamiche ” e quindi è vero che “ Luca è dinamico ”. sillogismo (definizione per implicazione)

Date tre proposizioni p q ed r, se p implica q e se q implica r sono vere allora p implica r è vera esempi

Siano date le proposizioni se e

anche

è vera è vera

è vera

p = “ Luca è romano ” q = “ Luca è italiano ”

r = “ Luca è europeo ”

“ se Luca è romano allora Luca è italiano ” “ se Luca è italiano allora Luca è europeo ”

“ se Luca è romano allora Luca è europeo ”

“ Se domani è domenica vengono i nonni e se vengono i nonni ricevo un regalo. Se domani è domenica ricevo un regalo ” è un sillogismo corretto perché: se e

anche v 1.0

è vera è vera

è vera

“ se domani è domenica vengono i nonni ” “ se vengono i nonni ricevo un regalo ” “se domani è domenica ricevo un regalo ”

183

Progressioni

progressioni

Progressioni Aritmetiche una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra un elemento ed il suo precedente è costante: La differenza tra un elemento ed il suo precedente è detta ragione e si indica con Esempio:

è una progressione aritmetica di primo elemento

formula

cosa fa

esempio

assegnata ad esempio la progressione aritmetica

calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione

di primo elemento

calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:

e di ragione

dei primi n

Calcolo di

noto

e ragione

e Calcolo della somma dei primi 5 termini

Progressioni geometriche una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è costante: Il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è detto ragione e si indica con Esempio:

è una progressione geometrica di primo elemento

cosa fa

formula

esempio

assegnata ad esempio la progressione geometrica

calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:

calcola il prodotto elementi: v 2.5

e di ragione

dei primi n

di primo elemento Calcolo di

noto

e ragione e

e Calcolo della somma dei primi 5 termini:

dei primi n Calcolo del prodotto dei primi 5 termini:

184

Quante volte si può piegare un foglio di carta?

curiosità

risposta Non più di 7 volte perché lo spessore che si viene a creare ad ogni piega del foglio cresce in modo molto veloce secondo una legge che prende il nome di progressione geometrica di ragione 2 ciò vuol dire che ad ogni nuova piega lo spessore del foglio ed il numero di strati raddoppiano.

spiegazione pratica

pieghiamo un foglio di carta, di qualunque dimensione, lungo il lato lungo come in figura. Otteniamo 1 piega e 2 strati di carta comprimiamo bene il pacchetto e ripieghiamo ancora sul lato lungo. Otteniamo 2 pieghe e 4 strati di carta ripetiamo ancora l’operazione comprimendo bene il pacchetto e ripieghiamo sul lato lungo. Otteniamo 3 pieghe e 8 strati di carta con difficoltà crescente possiamo continuare a piegare fino ad ottenere 7 pieghe e 128 strati di carta

L’ottava piega è praticamente impossibile perché impedita dallo spessore dei 256 strati di carta

nel 2001 la studentessa americana Britney Gallivan ha stabilito il record di 12 pieghe usando un foglio di carta stagnola

spiegazione matematica se consideriamo un normale foglio per fotocopie di formato A4 dello spessore di 0,1 mm otteniamo: Pieghe

Strati

128

256

512

1024

2048

4096

8192 16384 32768

Spessore in mm

0,1

0,2

0,4

0,8

1,6

3,2

6,4

12,8

25,6

51,2

102,4

204,8

409,6

819,2

1638,4

3276,8

Spessore 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0.0016 0,0032 0,0064 0,0128 0,0256 0,0512 0,1024 0,2048 0,4096 0,8192 1,6384 3,2768 in metri

si definisce progressione geometrica una successione di numeri tali che il rapporto tra un numero e il suo precedente è sempre lo stesso. Tale rapporto si chiama ragione. Ad esempio i valori della riga “Strati” crescono secondo una progressione geometrica la cui ragione è 2. osservazione

v 1.3

oltre la soglia di 8 pieghe si può procedere solo in termini teorici, che portano a situazioni paradossali. Ad esempio piegando per 42 volte un foglio di formato A4 spesso 0,1 mm si produce una pila di 4 mila miliardi di strati di carta, alta oltre 400 mila km, cioè più della distanza Terra-Luna, stimata in circa 384.mila km. © 2013 - www.matematika.it

185

Fattoriale e Coefficiente binomiale

calcolo combinatorio

fattoriale di un numero n Si chiama fattoriale di un numero naturale primi numeri naturali: si può anche scrivere come

e si indica con

(si legge n fattoriale) il prodotto dei

oppure come

esempi

•

per convenzione

coefficiente binomiale Il simbolo

si chiama coefficiente binomiale di

Il suo valore è dato da:

con

numeri naturali.

esempi •

•

alcune proprietà del coefficiente binomiale

applicazioni

Una applicazione del fattoriale e del coefficiente binomiale è la verifica delle identità e la ricerca delle soluzioni delle equazioni a coefficienti binomiali. Vediamo qualche esempio. esempi di identità a coefficienti binomiali primo esempio

verificare la seguente identità

si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo e al secondo membro dell’identità si individuano i termini simili e si sommano

v 1.1

e l’identità risulta verificata

186

calcolo combinatorio

Fattoriale e Coefficiente binomiale secondo esempio verificare la seguente identità

si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo e al secondo membro dell’identità si sviluppano i calcoli al secondo membro

al denominatore del secondo membro si applica la definizione di fattoriale e si sostituisce con si individuano i fattori da semplificare

si semplifica al numeratore e al denominatore del secondo membro si osserva che per la definizione di fattoriale e l’identità è verificata

esempi di equazioni a coefficienti binomiali primo esempio

risolvere la seguente equazione a coefficienti binomiali nell’incognita n

si impone la condizione di esistenza a tutti i coefficienti binomiali dell’equazione. Si risolve il sistema e si ottiene che le soluzioni accettabili sono i numeri naturali si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo e al secondo membro dell’equazione

si sviluppano i numeratori applicando la definizione di fattoriale in modo da consentirne la semplificazione con i rispettivi denominatori si individuano i fattori da semplificare si effettuano le semplificazioni

si dividono i numeratori per i fattori comuni al primo e al secondo membro e si ottiene l’equazione di 1° grado nell’incognita n

per risolverla moltiplichiamo ambo i membri per 12 si ottiene la soluzione v 1.1

si verifica che la soluzione

è accettabile

187

calcolo combinatorio

Fattoriale e Coefficiente binomiale secondo esempio risolvere la seguente equazione a coefficienti binomiali nell’incognita

si impone la condizione di esistenza al coefficiente binomiale dell’equazione. Si risolve la disequazione e si ottiene che le soluzioni accettabili sono i numeri naturali si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo membro dell’equazione

si sviluppa il numeratore applicando la definizione di fattoriale in modo da consentirne la semplificazione con il denominatore si individuano i fattori da semplificare

si effettuano le semplificazioni e si ottiene una equazione nell’incognita

per risolverla moltiplichiamo ambo i membri per 6 si ottiene una equazione di secondo grado in

si risolve l’equazione ottenendo due soluzioni

si confrontano le soluzioni con la condizione di esistenza si verifica che la soluzione

è accettabile

esercizi da svolgere verificare le seguenti identità

risolvere le seguenti equazioni

v 1.1

R.: R.: R.: R.:

R.: R.: 188

calcolo combinatorio

Fattoriale e Coefficiente binomiale

esempio di equazione ottenuta da una progressione aritmetica a coefficienti binomiali

sono in progressione aritmetica, qual è il valore di

(Tratto dall’esame di Stato 2008 quesito numero 6)

in questo caso non è necessario procedere al calcolo della condizione di esistenza dei coefficienti binomiali perché nella traccia dell’esercizio è fornita una condizione di accettabilità ( )

Ricorda che una progressione aritmetica è una successione di numeri tale che la differenza tra due elementi successivi è costante. Ad esempio, dati tre elementi , se essi sono in progressione aritmetica allora si avrà Nel caso della traccia, se i tre elementi sono in progressione aritmetica allora si avrà

ottenendo così l’equazione a coefficienti binomiali che va risolta per ottenere il valore di

si applica la definizione di coefficiente binomiale a tutti i termini dell’equazione e si sviluppano i numeratori applicando la definizione di fattoriale in modo da consentirne la semplificazione con i rispettivi denominatori

si effettuano le semplificazioni

si individuano i fattori comuni al primo e al secondo membro ( )

si dividono i numeratori per i fattori comuni al primo e al secondo membro e si ottiene una equazione nell’incognita si calcola il m.c.m e si sviluppano i calcoli

si ottiene un’equazione di secondo grado in

si risolve l’equazione ottenendo due soluzioni

si confrontano le soluzioni con la condizione di esistenza si accetta solo la soluzione esercizi da svolgere 1

sono in progressione aritmetica, qual è il valore di ?

sono in progressione geometrica, qual è il valore di ?

v 1.1

sono in progressione aritmetica, qual è il valore di ?

R.: R.: R.: 189

calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio premessa

il calcolo combinatorio studia i raggruppamenti che si possono ottenere con un dato numero getti disposti su un dato numero di posti. I raggruppamenti si possono formare senza ripetizioni o con ripetizioni degli

oggetti.

di og-

Ad esempio, in un problema in cui si chiede di calcolare in quanti modi 7 alunni possono sedersi su 5 sedie, gli oggetti sono i 7 alunni, il numero di posti sono le 5 sedie e non c’è ripetizione di oggetti poiché gli alunni sono tutti diversi.

Ancora, in un problema in cui si chiede di calcolare in quanti modi si possono collocare 10 palline di cui 3 bianche, 3 rosse e 4 verdi, in 3 scatole, gli oggetti sono le 10 palline, il numero di posti sono le 3 scatole e c’è ripetizione di oggetti poiché di palline ce ne sono 3 bianche, 3 rosse e 4 verdi. Esistono tre raggruppamenti possibili. •

•

PERMUTAZIONI

sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è uguale al numero di posti e conta l’ordine con cui si dispongono. Le permutazioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione di oggetti. DISPOSIZIONI

sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero di posti e conta l’ordine con cui si dispongono. Le disposizioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione di oggetti. COMBINAZIONI

sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero di posti e non conta l’ordine con cui si dispongono. Le combinazioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione di oggetti.

Vediamo le formule risolutive di ogni caso nella seguente tabella

Permutazioni

senza ripetizione di oggetti

con ripetizione di oggetti

• •

Disposizioni • •

• •

v 1.0

≠

Combinazioni ≠

190

Calcolo combinatorio

calcolo combinatorio

esempi permutazioni senza ripetizione di oggetti

Quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola LIBRO? gli oggetti sono le 5 lettere della parola LIBRO

conta l’ordine

senza ripetizione

i posti sono le 5 caselle occupate dalle lettere della parola LIBRO

per formare un anagramma conta l’ordine con cui le lettere si succedono le 5 lettere sono tutte distinte quindi non c’è ripetizione di oggetti

si applica la formula delle permutazioni senza ripetizioni di oggetti

ci sono 120 parole che si possono formare con le lettere della parola LIBRO permutazioni con ripetizione di oggetti

Quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola MAMMA? gli oggetti sono le 5 lettere della parola MAMMA

conta l’ordine e

i posti sono le 5 caselle occupate dalle lettere della parola MAMMA

per formare un anagramma conta l’ordine con cui le lettere si succedono

le 5 lettere non sono tutte distinte: M si ripete 3 volte ed A si ripete 2 volte si applica la formula delle permutazioni con ripetizioni di oggetti

ci sono 10 parole che si possono formare con le lettere della parola MAMMA disposizioni senza ripetizioni

In quanti modi diversi 5 alunni si possono sedere su 3 sedie numerate? gli oggetti sono i 5 alunni

conta l’ordine

senza ripetizione

i posti sono le 3 sedie

le sedie sono numerate, quindi conta l’ordine con cui gli alunni si siedono

i 5 alunni sono persone tutte distinte, quindi non c’è ripetizione di oggetti si applica la formula delle disposizioni senza ripetizioni di oggetti ci sono 60 modi diversi in cui gli alunni si possono sedere

v 1.0

191

calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio disposizioni con ripetizioni

Utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di 4 cifre si possono formare? gli oggetti sono le 3 cifre

conta l’ordine

i posti sono le 4 cifre

le cifre hanno posizioni ben precise, quindi conta l’ordine con cui i numeri 1,2,3 si dispongono ciascuna cifra (1,2,3) può ripetersi fino a 4 volte per formare il numero a 4 cifre, quindi c’è ripetizione di oggetti si applica la formula delle disposizioni con ripetizioni di oggetti si possono formare 81 numeri di 4 cifre usando le cifre 1, 2, 3 combinazioni senza ripetizioni

Un negoziante vuole esporre in una piccola vetrina 4 paia di scarpe scelte tra 10 modelli diversi. In quanti modi si possono esporre le scarpe all’interno della vetrina? gli oggetti sono i 10 modelli di scarpe

non conta l’ordine senza ripetizione

i posti sono le 4 paia di scarpe da esporre per l’esposizione non conta l’ordine

i modelli sono tutti distinti, quindi non c’è ripetizione di oggetti

si applica la formula delle combinazioni senza ripetizioni di oggetti

ci sono 210 modi diversi per esporre in una vetrina 4 paia di scarpe scelte tra 10 modelli diversi combinazioni con ripetizioni

Assegnati due contagocce, il primo contenente 5 gocce di colore bianco ed il secondo 5 gocce di colore nero. Mischiando tra loro 5 gocce scelte tra i due colori, quanti colori diversi si possono formare? gli oggetti sono i 2 colori

non conta l’ordine con ripetizione

i posti sono le 5 gocce che vanno prese di volta in volta

per la composizione del nuovo colore non conta l’ordine per ogni colore si hanno a disposizione 5 gocce

si applica la formula delle combinazioni con ripetizioni di oggetti si possono formare solo 6 colori diversi: uno è il bianco (5 gocce bianche), uno è il nero (5 gocce nere) e poi ci sono 4 sfumature di grigio

v 1.0

192

Probabilità

probabilità

definizione classica di probabilità

E rappresenta un evento;

è la probabilità che si verifichi l’evento

alcune proprietà

evento impossibile

Due eventi ed si dicono complementari se uno è la negazione dell’altro. Vale la relazione:

evento certo

esempi

Consideriamo il lancio di un dado. Ai seguenti eventi sono associate le seguenti probabilità: esce il numero 2

esce un numero maggiore di 4

esce il numero 7

esce un numero compreso tra 1 e 6

tipi di eventi

eventi incompatibili Due o più eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude gli altri

esempio: consideriamo il lancio di un dado con i seguenti eventi esce il numero 2 esce il numero 3 Nel lancio di un solo dado se si verifica non si può verificare quindi i due eventi sono incompatibili

eventi compatibili

Due o più eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi degli altri

esempio: consideriamo il lancio di due dadi contemporaneamente ed i seguenti eventi esce il numero 2 su uno dei due dadi esce il numero 3 sull’altro dado I due eventi ed sono compatibili perché il verificarsi di uno NON esclude il verificarsi dell’altro

Nell’ambito degli eventi compatibili si distinguono eventi indipendenti ed eventi dipendenti

eventi indipendenti

Due o più eventi si diconoindipendenti quando il verificarsi di uno non modifica la probabilità di verificarsi degli altri

eventi dipendenti

Due o più eventi si diconodipendenti quando il verificarsi di uno modifica la probabilità di verificarsi degli altri esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52 carte ed i seguenti eventi esce una carta di cuori esce una figura Se la prima carta estratta è rimessa nel mazzo e si procede all’estrazione della seconda carta, i due eventi ed sono indipendenti Se invece la prima carta estratta è lasciata fuori, la seconda estrazione dipenderà dalla prima ed i due eventi ed sono dipendenti

v 2.3

193

Probabilità

probabilità

calcolo della probabilità di due o più eventi probabilità totale Si parla di probabilità totale di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichi uno solo degli eventi Per il calcolo bisogna distinguere tra eventi incompatibili ed eventi compatibili

probabilità totale di due o più eventi incompatibili

generalizzando

La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi incompatibili:

esce il numero 2 esce un numero dispari

probabilità totale di due o più eventi compatibili dove

è la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi

La probabilità totale di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi Più complessa è la probabilità totale di tre eventi compatibili: esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi compatibili:

esce il numero 2 esce un numero pari

probabilità composta Si parla di probabilità composta di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichino tutti gli eventi contemporaneamente. Nel caso di eventi incompatibili la probabilità composta è nulla. Nel caso di eventi compatibili bisogna distinguere tra eventi indipendenti ed eventi dipendenti.

probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti

generalizzando

La probabilità composta di due o più eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi indipendenti

esce una carta di cuori esce una figura

v 2.3

194

Probabilità

probabilità

probabilità composta di due o più eventi compatibili dipendenti dove

è la probabilità che si verifichi l’evento

Tale probabilità è detta probabilità condizionata di

una volta verificatosi l’evento

al verificarsi di

La probabilità di due eventi dipendenti è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi probabilità condizionata di al verificarsi di Più complessa è la probabilità composta di tre eventi dipendenti:

per la

esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e non la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi dipendenti:

esce una carta di cuori esce una figura

approfondimento: probabilità subordinata Consideriamo una situazione più complessa: supponiamo di avere tre scatole contenenti palline rosse e verdi come indicato in figura e, scelta una scatola a caso, calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa dalla scatola scelta 1a scatola

2a scatola

3a scatola

Consideriamo i seguenti eventi scelta della prima scatola scelta della seconda scatola scelta della terza scatola estrazione della pallina rossa nel caso in cui si è scelta la prima scatola estrazione della pallina rossa nel caso in cui si è scelta la seconda scatola estrazione della pallina rossa nel caso in cui si è scelta la terza scatola di estrarre una pallina rossa da una scatola scelta a caso Calcoliamo la Probabilità

teorema di Bayes Consideriamo l’esempio del riquadro precedente con in più i seguenti eventi: estrazione della pallina rossa dalla prima scatola estrazione della pallina rossa dalla seconda scatola estrazione della pallina rossa dalla terza scatola Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa da una precisa scatola

ognuna delle tre formule precedenti rappresenta una applicazione del teorema di Bayes v 2.3

195

Probabilità

probabilità

tutte le definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista definizione classica di probabilità (da Fermat a Laplace) La probabilità classica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili: La definizione classica, detta anche a priori, si utilizza quando: • gli eventi hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile calcolare il numero dei casi favorevoli e dei casi possibili esempio: vedi gli esempi delle pagine precedenti

definizione frequentista di probabilità (di Venn e Von Mises)

La probabilità frequentista di un evento è uguale al rapporto tra il numero di prove riuscite ed il numero di prove effettuate (tutte nelle stesse condizioni): è detta anche frequenza dell’evento E

La definizione frequentista, detta anche a posteriori, si utilizza quando: • gli eventi non hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile effettuare un certo numero di prove sperimentali tutte nelle medesime condizioni

esempio: consideriamo una puntina da disegno e lanciamola verso l’alto. Essa può cadere in due posizioni diverse:

Si effettuano

con la punta rivolta verso l’Alto oppure con la punta rivolta verso il Basso. Si vuole calcolare, ad esempio, la probabilità che cada con la punta rivolta verso il Basso. In casi come questo non si può applicare la probabilità classica ma la probabilità frequentista.

lanci, si conta il numero

di volte in cui la puntina si ferma con la punta verso il Basso e si ha:

maggiore è il numero di lanci e più attendibile sarà il valore trovato

alcune proprietà come per la probabilità classica anche la frequenza è un numero compreso tra 0 e 1

non vuol dire che l’evento è impossibile ma solo che non si è mai verificato nelle prove

non vuol dire che l’evento è certo ma solo che si è sempre verificato durante le prove

legge dei grandi numeri Al crescere delle prove effettuate la probabilità frequentista di un evento si avvicina sempre più alla probabilità classica dello stesso evento

Tale legge, detta anche legge empirica del caso, stabilisce una relazione tra la definizione classica di probabilità e quella frequentista. Un enunciato equivalente della legge dei grandi numeri è il seguente:

Su un numero molto alto di prove effettuate la frequenza di un evento assume un valore molto vicino alla sua probabilità classica definizione soggettivista di probabilità (di Bruno De Finetti) La probabilità soggettivista di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna al verificarsi dell’evento

La definizione soggettivista si utilizza quando non ci sono le condizioni per utilizzare le definizioni precedenti.

vediamo alcuni esempi nei quali si può applicare solo la probabilità soggettivista. Si vuole calcolare la probabilità • che una nuova trasmissione televisiva incontri il favore del pubblico • che una squadra di calcio con una formazione rinnovata vinca una partita • che un nuovo prodotto commerciale incontri il favore dei consumatori v 2.3

196

Numeri Complessi

numeri complessi

numeri immaginari

• •

si chiama unità immaginaria e si indica con la radice quadrata di

un numero immaginario si ottiene dalla radice quadrata di un numero negativo ad esempio:

•

le potenze di

in generale

si ripetono di 4 in 4 infatti:

con r resto della divisione di n per 4. Ad esempio:

perchè

numeri complessi (forma algebrica)

•

con resto r = 3

un numero complesso z è la somma di un numero reale e di un numero immaginario: Esempio:

due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta. Esempio:

Somma:

sono numeri complessi coniugati

operazioni tra numeri complessi

Dati due numeri complessi

si sommano le parti reali e le parti

immaginarie

Prodotto: si effettuano i prodotti tra i due binomi ricordando che

Rapporto: si moltiplica e si divide il rapporto dei due numeri per il complesso

Potenza:

coniugato del denominatore

si effettua la potenza del binomio

Per la potenza : se l’esponente è maggiore di 3 conviene usare la formula di De Moivre (vedi scheda di approfondimento)

esempio

risolviamo la seguente equazione di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso:

v 2.9

197

Numeri complessi: approfondimento

numeri complessi

rappresentazione nel piano complesso (piano di Gauss) di un numero complesso z forma algebrica

forma trigonometrica i

= parte reale

= parte immaginaria

θ a

passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica

•

= modulo

= anomalia

per il teorema di Pitagora

•

per le relazioni di trigonometria dei triangoli rettangoli si ha:

per determinare l’angolo è necessario tenere conto dei segni di a e b per individuare il quadrante in cui si trova il punto e di conseguenza l’angolo (vedi i seguenti esempi)

per passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica basta calcolare i valori del seno e coseno e sviluppare i calcoli

potenza n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica (formula di De Moivre)

Esempio:

radice n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica con k = 0,1,2,…,n-1 Esempio:

con k = 0 e k = 1 cioè:

k =0

k =1

nel campo complesso la radice n-sima di un numero ha sempre n soluzioni, ciò implica che non si può effettuare la semplificazione tra l’indice della radice e l’esponente del radicando, cioè: altrimenti si perdono soluzioni

forma esponenziale di un numero complesso

la forma esponenziale di un numero complesso z è: si ottiene applicando alla forma trigonometrica v 2.8

la formula di Eulero 198

Le grandezze fisiche e il Sistema Internazionale

fisica

nome

definizione

esempio

grandezza fisica

quantità che si può misurare con uno strumento di misura

misurare una grandezza fisica

vuol dire quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza fisica

unità di misura

è il campione scelto per misurare

Sistema Internazionale (SI)

è l’insieme delle unità di misura accettato dal 1960 in tutta Europa e in altri 51 stati del mondo

• • • • • • • • • •

una temperatura un’altezza un peso un volume

una mela pesa 300 g il portapastelli è lungo 8 gomme da cancellare

il chilogrammo per le masse il secondo per il tempo la gomma da cancellare dell’esempio precedente le grandezze fondamentali del SI sono 7 e sono quelle riportate nella tabella successiva

le grandezze fondamentali e le loro unità di misura del Sistema Internazionale nome della grandezza unità di misura simbolo strumento di misura

lunghezza massa

metro

il metro

chilogrammo

la bilancia

intervallo di tempo

secondo

il cronometro

intensità di corrente

Ampere

l’amperometro

grado Kelvin

°K

il termometro

candela

il fotometro

mole

mol

---

temperatura

intensità luminosa quantità di sostanza

Le grandezze fisiche si dividono in due classi: le grandezze fondamentali e le grandezze derivate. 1. Le grandezze fondamentali sono le 7 grandezze del Sistema Internazionale. Sono tra loro indipendenti e permettono di ricavare tutte le altre 2. Le grandezze derivate sono tutte le altre e derivano da una combinazione delle grandezze fondamentali. Ad esempio: l’area è una grandezza derivata perché è combinazione di due lunghezze; la velocità è una grandezza derivata perché è combinazione dello spazio percorso e dell’intervallo di tempo impiegato a percorrerlo; la frequenza è l’inverso di un intervallo di tempo.

v 1.0

199

Le grandezze fisiche

fisica

grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (S.I.) nome della grandezza lunghezza massa

intervallo di tempo temperatura

intensità di corrente elettrica intensità luminosa

quantità di sostanza

nome della grandezza angolo piano angolo solido area

volume densità

velocità

accelerazione frequenza

velocità angolare forza

pressione

quantità di moto

momento angolare energia lavoro

potenza calore

capacità termica calore specifico

simbolo l, h, L

unità di misura

simbolo

Metro

m, M

Chilogrammo

i, I

grado Kelvin Ampere

Candela Mole

mol

unità di misura (SI)

simbolo

Radiante

rad = m/m

Secondo

alcune grandezze derivate simbolo

A, S V v

F, f P

q, Q, p p, P

E, K

L, W C

Steradiante

sr = m2 / m2

metro cubo

metro quadrato

chilogrammo su metro cubo

kg/m3

metro su secondo quadrato

m/s2

metro su secondo

m/s

Hertz

Hz = 1/s

Newton

N = kg⋅m/s2

chilogrammo per metro su secondo

kg⋅m/s

radiante su secondo Pascal

rad/s

Pa = N/m2

chilogrammo per metro al quadrato su secondo

kg⋅m2/s

Joule

J = N⋅m

Joule

W, P Q

J = N⋅m

Watt

W = J/s

Joule su Kelvin

J/K

Joule

J = N⋅m

Joule su Kelvin per chilogrammo

J/(K⋅kg)

carica elettrica

q, Q E

Coulomb

Newton su Coulomb

forza elettromotrice

, f.e.m.

Volt

calore latente

intensità di campo elettrico

differenza di potenziale elettrico capacità elettrica resistenza resistività

intensità di campo magnetico flusso magnetico

induttanza elettrica

v 3.0

Joule su chilogrammo

R M L

N/C

Volt

V = J/C

Farad

F = C/V

V = J/C

Ohm

Ω = V/A

Tesla

T = N/A⋅m

Ohm per metro

J/kg

Weber Henry

Ω⋅m

Wb = T⋅m2 H = V⋅S/A

200

Le grandezze fisiche

fisica

tabelle di conversione al Sistema Internazionale lunghezze 1 parsec (pc)

3,09

1 lega marina (lea)

5556 m

1 anno luce (a.l.)

1016

9,461∙1015

1 unità astronomica (UA)

1,50∙1011 m

1 miglio (mi)

1609,3 m

1 yarda (yd)

0,3048 m

1 pollice (in)

1 caloria (cal)

1 elettronVolt (eV)

1 oncia (oz)

4,186 J pressione

1 ora (h)

1,602 ∙

1 grano (grain) 1 m3

simbolo Y Z E P T G M k h da km hm dam m dm cm mm

v 3.0

1000 litri nome Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Chilo Etto Deca

lunghezze chilometro ettometro decametro metro decimetro centimetro millimetro

1000 kg 100 kg

0,0002 kg 3,2

temperatura

1 litro (l)

1,013 Pa

1 pinta britannica (pt)

1 B.T.U.

volumi 1 gallone britannico (gal) 0,00454 m3

altre unità di misura 1 ettaro (ha) 10.000 m2

133 Pa

0,064 g

masse

gradi Fahrenheit (°F)

105 Pa

1 atmosfera (atm)

60 s

gradi Celsius (°C)

1 bar (bar)

1 mm di mercurio (mmHg)

3600 s

1 carato (car)

energia

86.400 s

1 quintale (qt)

1 Ångstrom (Å)

1 giorno (d)

2.600.000 s

1 tonnellata (ton)

0,0254 m

1 micron (μm)

1 mese

1 minuto (min)

0,9144 m

1 piede (ft)

1 anno (a)

intervalli di tempo 31.600.000 s

1055 J

dm3

0,00057 m3

1 acro (ac)

1 nodo (knt)

multipli e sottomultipli delle unità di misura fattore

simbolo

1024

d c m μ n p f a z y

1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

nome

0,40 ha

1,852 km/h fattore

deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto

scale di misura per le grandezze più utilizzate kg hg dag g dg cg mg

masse chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo decigrammo centigrammo milligrammo

--a. --d h min s

tempo secolo anno mese giorno ora minuto secondo

volumi --hl dal l dl cl ml

--ettolitro decalitro litro decilitro centilitro millilitro

201

Gli strumenti di misura

fisica

definizione

Si chiama strumento di misura qualunque dispositivo usato per misurare una grandezza fisica. Ad esempio: • • • •

il metro la bilancia l’orologio il termometro

è il dispositivo usato per misurare la lunghezza è il dispositivo usato per misurare la massa è il dispositivo usato per misurare l’intervallo di tempo è il dispositivo usato per misurare la temperatura le caratteristiche

Gli strumenti si dividono in analogici e digitali

1. negli strumenti analogici la misura si legge su una scala. Ad esempio l’orologio con le lancette è uno strumento analogico 2. negli strumenti digitali la misura compare già come numero. Ad esempio l’orologio con il display a cifre è uno strumento digitale Le principali caratteristiche di uno strumento di misura sono: • • • •

la portata

cioè il valore più grande che lo strumento può misurare

la sensibilità cioè il valore attribuito ad una tacca dello strumento

la prontezza cioè il tempo impiegato dallo strumento a fornire la misura

la precisione cioè la capacità di restituire lo stesso valore al ripetere della misurazione esempi

il righello è lo strumento impiegato per misure di lunghezza. Ha una scala graduata quindi è uno strumento analogico. In figura è rappresentato un pezzo di righello con due scale diverse, quella superiore è in unità di cm, quella inferiore di unità di pollici (inch). La scala superiore ha sensibilità di 1 su 1 mm, cioè 1 tacca vale 1 mm.

la bilancia è lo strumento usato per misurare le masse. In figura è mostrato un modello analogico con le seguenti caratteristiche: la portata è di 3 kg, la sensibilità è di 1 su 20 g, cioè una tacca vale 20 g.

il cronometro è lo strumento di misura degli intervalli di tempo. Può essere analogico (figura a sinistra) o digitale (figura a destra). La sensibilità del modello analogico di sinistra è di 1/20 di secondo, quella del modello digitale a destra è di 1/10 di secondo.

v 1.0

202

Cifre significative

fisica

definizione si chiamano cifre significative le cifre lette dalla misura di una grandezza fisica. Esse dipendono dalla sensibilità dello strumento di misura. esempi

1,22 m 1,2,2 sono cifre significative

19,02 g 1,9,0,2 sono cifre significative

27,100 cm2 2,7,1,0,0 sono cifre significative

criterio di conteggio delle cifre significative

in una misura sono significative tutte le cifre eccetto gli zeri iniziali esempi

0,2 s

1,22 m

ha 1 cifra significativa

ha 3 cifre significative

0,047 m/s 19,02 g

ha 2 cifre significative

ha 4 cifre significative

3207,50 J

ha 6 cifre significative

27,100 cm2 ha 5 cifre significative

cifre significative nel risultato di operazioni tra grandezze fisiche

il numero di cifre significative nel risultato di operazioni condotte su due o più misure di grandezze fisiche è uguale al numero di cifre significative della misura meno accurata. In particolare: • •

nell’operazione di addizione e sottrazione, il risultato ha come ultima cifra significativa quella che si ottiene dalla somma o differenza di cifre significative delle misure iniziali

nell’operazione di moltiplicazione e divisione, il risultato ha il minimo numero di cifre significative delle misure iniziali esempi

perché in 10,63 3 è somma di cifre significative

perché in 1,58 8 è somma di cifre significative

perché in 1,89 9 è differenza di cifre significative

perché in 204,0 0 è differenza di cifre significative

perché la cifra significativa di entrambe le misure è 3 perchè la cifra significativa minima delle misure è 3

perché la cifra significativa di entrambe le misure è 2 perchè la cifra significativa minima delle misure è 3 •

•

fai attenzione che i numeri che devono essere usati nei calcoli vanno tenuti sempre con una o due cifre significative in più di quelle richieste nel risultato finale e ciò per ridurre le inaccuratezze introdotte dall’arrotondamento. Solo dopo l’ultimo passaggio algebrico si arrotonda il risultato al numero di cifre significative corretto.

fai attenzione che il numero di cifre significative del risultato di un’operazione condotta su due o più misure è regolato dall’errore associato al risultato stesso, errore ottenuto mediante la teoria di propagazione degli errori. Le regole qui enunciate sono solo una semplificazione della presentazione del risultato di una misura derivata.

v 1.1

203

L’incertezza delle misure

fisica

come si scrive la misura di una grandezza fisica

la misura di una grandezza fisica si scrive con un numero seguito dall’unità di misura perché solo il numero non esprime la misura di una grandezza fisica. Ad esempio:

• • • •

17,4 °C è una misura di temperatura 17,4 è il numero e °C è l’unità di misura 27 m è una misura di lunghezza 27 è il numero e m è l’unità di misura 60 kg è una misura di massa 60 è il numero e kg è l’unità di misura 87 non rappresenta una misura 87 è solo un numero e non una misura di una grandezza fisica il valore esatto di una grandezza fisica

Non è possibile conoscere il valore esatto di una grandezza fisica perché ogni volta che si ripete la misura si commettono degli errori sistematici e/o accidentali ed il valore registrato può essere diverso.

Per avere la misura più attendibile di una grandezza fisica si ripete la stessa misura più volte e si assume come valore la media aritmetica dei valori trovati. Ad esempio: •

•

ripetendo più volte la misura di temperatura di una stanza si leggono i valori 23,2 °C 23,0 °C 23,3 °C. La misura più attendibile di temperatura è

ripetendo più volte la misura dell’altezza di un palo si ottengono i valori 12,3 m 12,5 m 12,4 m 12,3 m. La misura dell’altezza più attendibile è gli errori in una misura di una grandezza fisica

errori sistematici

errori accidentali

sono causati dal cattivo funzionamento dello strumento o dalla imperizia e negligenza dello sperimentatore. Influenzano il risultato sempre per eccesso o sempre per difetto. Si possono eliminare

sono errori che variano in modo imprevedibile da una misura ad un’altra. Qualche volta influenzano il risultato per eccesso qualche volta per difetto. Non si possono eliminare

• • • • •

presentazione del risultato di una misura

il tempo preso con un orologio che va avanti di 1 min la temperatura presa con un termometro non tarato il tempo di reazione dell’operatore limitata precisione dello strumento condizioni ambientali non controllabili

Il risultato di una misura si presenta così: dove • •

è la media aritmetica cioè la somma di tutte le misure prese diviso il numero delle misure è l’errore assoluto cioè il valore massimo delle misure meno il valore minimo delle misure diviso due

Nel caso di un numero elevato di misure prese (ordine di 100, 1000), l’errore associato a esempio

è di tipo statistico

Pesando la massa di uno zaino 4 volte si ottengono le misure 4,00 kg 4,02 kg 4,05 kg 3,97 kg La misura della massa dello zaino si scrive così: perché: •

• il valore massimo delle misure è •

v 1.0

204

Elaborazione dei dati sperimentali

fisica

nome

definizione

formula

media aritmetica

somma di tutti i dati diviso il numero di dati

errore relativo

errore assoluto diviso la media aritmetica

valore massimo meno valore minimo diviso due

errore assoluto

errore percentuale scarto

differenza tra il valore di una misura la media aritmetica

deviazione standard

radice quadrata dello scarto quadratico medio

somma dei quadrati degli scarti diviso il numero di dati

scarto quadratico medio

frequenza assoluta

numero di volte in cui un dato si presenta

frequenza relativa

frequenza assoluta diviso il numero n di dati

frequenza percentuale

frequenza relativa

mediana

valore a metà dell’insieme numericamente la media aritmetica dei due dati ordinato dei dati centrali

valore o valori che compaiono più frequentemente nei dati sperimentali

moda

se il numero di dati è pari si calcola

esempio

in un esperimento, per ricavare il tempo di caduta di un oggetto da un’altezza di 10 m, si ripete il lancio dieci volte raccogliendo i seguenti dati (in secondi): n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v 1.6

misure misure raccolte ordinate

1,43

1,38

1,41

1,42 1,40 1,42 1,41 1,44 1,42 1,48 1,43

1,40 1,42 1,42 1,42 1,43

scarto

scarto al quadrato

0,02

0,0004

0,04 0,01 0,00 0,00 0,00

media

0,0001

errore relativo

0,00 0,00 0,00

0,0001

0,02

0,0004

0,01

1,48

0,06

1,44

0,0016

0,01

1,43

misure ordinate senza ripetizioni

0,0001 0,0036

1,38 1,40

errore assoluto errore percentuale

1,43 1,48

deviazione standard

mediana

1,42 1,44

scarto quadratico medio

moda

1,41

assoluta

1 1 1 3 2 1 1

frequenza

relativa percentuale

0,1

10%

0,1

10%

0,1 0,3 0,2 0,1 0,1

10% 30% 20% 10% 10%

1,42 1,42

205

curiosità

Altri criteri di divisibilità divisibilità per 4

un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre

• •

316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di 4 310 non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4

divisibilità per 7

un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7

• •

287 è divisibile per 7 perché

376 non è divisibile per 7 perché

divisibilità per 9 •

un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 9

•

che è multiplo di 7

che non è multiplo di 7

873 è divisibile per 9 perché multiplo di 9

546 non è divisibile per 9 perché non è multiplo di 9

che è

che

divisibilità per 13 •

un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13

•

845 è divisibile per 13 perché e che è multiplo di 13 1467 non è divisibile per 13 perché 146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) = 14 +16 =33 che non è multiplo di 13

divisibilità per 17 un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17

• •

1071 è divisibile per 17 perché e 1467 non è divisibile per 17 perché e diverso da 0 o da un multiplo di 17

che è

divisibilità per 19

un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di 19

• •

1216 è divisibile per 19 perché e 1467 non è divisibile per 19 perché e 15+(2∙0)=15 che è diverso da un multiplo di 19

divisibilità per 23 un numero è divisibile per 23 se la somma fra il numero senza la cifra delle unità e il settuplo del numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di 23

•

un numero è divisibile per 25 se finisce con

• •

•

345 è divisibile per 23 perché di 23 102 non è divisibile per 23 perché multiplo di 23

è multiplo non è

divisibilità per 25

0, 25, 50, 75 v 1.8

375 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75 346 non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 46

206

∏ Pigreco

curiosità

le prime 2.000 cifre

3,14159 74944 06647 05559 83165 41273 90360 91953 52724 24737 05132 40901 21960 49951 85035 47303 80532 85863 13891 27855 24012 55379 52104 73263 15030 02955 07426 49192 49468 22184 84383 84896 94945 32645

26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 24972 17752 83479 13151 55748 57242 45415 06959 50829 53311 68617 88907 50983 81754 63746 49393 19255 06040 09277 01671 13900 98488 85836 16035 63707 66010 47101 81942 95559 61989 46767 83744 94482 77472 68471 04047 53464 62080 46684 25906 94912 93313 67702 89891 75216 20569 66024 05803 81501 93511 25338 24300 35587 64024 74964 91419 92726 04269 92279 67823 54781 63600 93417 21641 21992 45863 28618 29745 55706 74983 85054 94588 58692 69956 90927 21079 75093 32116 53449 87202 75596 02364 80665 49911 98818 34797 75356 63698 54252 78625 51818 41757 46728 90977 77279 38000 81647 06001 61452 17321 72147 72350 14144 19735 68548 16136 11573 52552 13347 57418 43852 33239 07394 14333 45477 62416 86251 89835 69485 56209 92192 27255 02542 56887 67179 04946 01653 46680 49886 27232 79178 60857 82796 79766 81454 10095 38837 86360 95068 00642 25125 20511 73929 08412 84886 26945 60424 19652 85022 21066 11863 06744 27862 20391 04712 37137 86960 95636 43719 17287 46776 46575 73962 41389 08658 99581 33904 78027 59009 94657 64078 95126 94683 98352 59570 98 …i..

è il numero irrazionale trascendente che rappresenta il valore del rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro. Per determinare il suo valore Archimede usò il metodo dei perimetri, cioè considerò i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza di raggio che approssimano la lunghezza della stessa circonferenza. All’aumentare del numero dei lati dei poligoni, si ottiene una coppia di classi contigue di numeri che ammette come elemento di separazione.

v 1.9

207

curiosità

e numero di Nepero le prime 2.000 cifre

2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 382178 525166 427427 466391 932003 059921 817413 596629 043572 900334 295260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 149934 884167 509244 761460 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077744 992069 551702 761838 606261 331384 583000 752044 933826 560297 606737 113200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 141692 836819 025515 108657 463772 111252 389784 425056 953696 770785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496465 105820 939239 829488 793320 362509 443117 301238 197068 416140 397019 837679 320683 282376 464804 295311 802328 782509 819455 815301 756717 361332 069811 250996 181881 593041 690351 598888 519345 807273 866738 589422 879228 499892 086805 825749 279610 484198 444363 463244 968487 560233 624827 041978 623209 002160 990235 304369 941849 146314 093431 738143 640546 253152 096183 690888 707016 768396 424378 140592 714563 549061 303107 208510 383750 510115 747704 171898 610687 396965 521267 154688 957035 035402 123407 849819 334321 068170 121005 627880 235193 033224 745015 853904 730419 957777 093503 660416 997329 725088 687696 640355 570716 226844 716256 079882 651787 134195 124665 201030 592123 667719 432527 867539 855894 489697 096409 754591 856956 380236 370162 112047 742722 836489 613422 516445 078182 442352 948636 372141 740238 893441 247963 574370 263755 294448 337998 016125 492278 509257 782562 092622 648326 277933 386566 481627 725164 019105 900491 644998 289315 056604 725802 778631 864155 195653 244258 698294 695930 801915 298721 172556 347546 396447 910145 904090 586298 496791 287406 870504 895858 671747 985466 775757 320568 128845 920541 334053 922000 113786 300945 560688 166740 016984 205580 403363 795376 452030 402432 256613 527836 951177 883863 874439 662532 249850 654995 886234 281899 707733 276171 783928 034946 501434 558897 071942 586398 772754 710962 953741 521115 136835 062752 602326 484728 703920 764310 059584 116612 054529 703023 647254 929666 938115 137322 753645 098889 031360 205724 817658 511806 303644 281231 496550 704751 025446 501172 721155 519486 685080 036853 228183 152196 003735 625279 449515 828418 829478 761085 263981 395599 006737 648292 244375 287184 624578 036…xx

Il numero e, detto numero di Nepero, è la base dei logaritmi naturali che generalmente vengono indicati con ln(x). Il numero e, come il numero π, è un numero irrazionale trascendente. v 1.9

208

Numeri primi fino a 10.000

curiositĂ

un numero primo Ă¨ un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1 ---

37 89

593 659 743 827 911

11 59

13 61

17 67

19 71

23 73

29 79

31 83

107

109

113

127

131

137

139

149

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

367

503

103

359 433

101

157

281

151 223

227 439 509 599 661 751 829 919

163 229 373 443 521 601 673 757 839 929

167 233 379 449 523 607 677 761 853 937

173 239 383 457 541 613 683 769 857 941

179 241 389 461 547 617 691 773 859 947

181 251 397 463 557 619 701 787 863 953

191 257 401 467 563 631 709 797 877 967

193 263 409 479 569 641 719 809 881 971

197 269 419 487 571 643 727 811 883 977

199 271 421 491 577 647 733 821 887 983

211 277 431 499 587 653 739 823 907 991

997

1009

1013

1019

1021

1031

1033

1039

1049

1051

1061

1063

1249

1259

1277

1279

1283

1289

1291

1297

1301

1303

1307

1319

1069 1163 1321 1439 1511 1601 1693 1783 1877 1987 2069 2143 2267 2347 2423 2543 2657 2713 2801 2903 3011 3119 3221 3323 3413 3527 3607 3697 3797 3907 4003 4093 4211 4283 4409 4513 4621 v 2.0

4721 4813

1087 1171 1327 1447 1523 1607 1697 1787 1879 1993 2081 2153 2269 2351 2437 2549 2659 2719 2803 2909 3019 3121 3229 3329 3433 3529 3613 3701 3803 3911 4007 4099 4217 4289 4421 4517 4637 4723 4817

1091 1181 1361 1451 1531 1609 1699 1789 1889 1997 2083 2161 2273 2357 2441 2551 2663 2729 2819 2917 3023 3137 3251 3331 3449 3533 3617 3709 3821 3917 4013 4111 4219 4297 4423 4519 4639 4729 4831

1093 1187 1367 1453 1543 1613 1709 1801 1901 1999 2087 2179 2281 2371 2447 2557 2671 2731 2833 2927 3037 3163 3253 3343 3457 3539 3623 3719 3823 3919 4019 4127 4229 4327 4441 4523 4643 4733 4861

1097 1193 1373 1459 1549 1619 1721 1811 1907 2003 2089 2203 2287 2377 2459 2579 2677 2741 2837 2939 3041 3167 3257 3347 3461 3541 3631 3727 3833 3923 4021 4129 4231 4337 4447 4547 4649 4751 4871

1103 1201 1381 1471 1553 1621 1723 1823 1913 2011 2099 2207 2293 2381 2467 2591 2683 2749 2843 2953 3049 3169 3259 3359 3463 3547 3637 3733 3847 3929 4027 4133 4241 4339 4451 4549 4651 4759 4877

1109 1213 1399 1481 1559 1627 1733 1831 1931 2017 2111 2213 2297 2383 2473 2593 2687 2753 2851 2957 3061 3181 3271 3361 3467 3557 3643 3739 3851 3931 4049 4139 4243 4349 4457 4561 4657 4783 4889

1117 1217 1409 1483 1567 1637 1741 1847 1933 2027 2113 2221 2309 2389 2477 2609 2689 2767 2857 2963 3067 3187 3299 3371 3469 3559 3659 3761 3853 3943 4051 4153 4253 4357 4463 4567 4663 4787 4903

ÂŠ 2013 - www.matematika.it

1123 1223 1423 1487 1571 1657 1747 1861 1949 2029 2129 2237 2311 2393 2503 2617 2693 2777 2861 2969 3079 3191 3301 3373 3491 3571 3671 3767 3863 3947 4057 4157 4259 4363 4481 4583 4673 4789 4909

1129 1229 1427 1489 1579 1663 1753 1867 1951 2039 2131 2239 2333 2399 2521 2621 2699 2789 2879 2971 3083 3203 3307 3389 3499 3581 3673 3769 3877 3967 4073 4159 4261 4373 4483 4591 4679 4793 4919

1151 1231 1429 1493 1583 1667 1759 1871 1973 2053 2137 2243 2339 2411 2531 2633 2707 2791 2887 2999 3089 3209 3313 3391 3511 3583 3677 3779 3881 3989 4079 4177 4271 4391 4493 4597 4691 4799 4931

1153 1237 1433 1499 1597 1669 1777 1873 1979 2063 2141 2251 2341 2417 2539 2647 2711 2797 2897 3001 3109 3217 3319 3407 3517 3593 3691 3793 3889 4001 4091 4201 4273 4397 4507 4603 4703 4801 4933

209

Numeri primi fino a 10.000

curiositĂ

4937

4943

4951

4957

4967

4969

4973

4987

4993

4999

5003

5009

5233

5237

5261

5273

5279

5281

5297

5303

5309

5323

5333

5347

5011 5113 5351 5443 5531 5653 5743 5849 5939 6073 6173 6271 6359 6473 6581 6701 6803 6907 6997 7121 7229 7349 7487 7561 7669 7757 7879 8009 8111 8231 8317 8443 8573 8677 8753 8861 8971 9091 9199 9311 9413 9491 9623 9733 9829 9929

5119 5381 5449 5557 5657 5749 5851 5953 6079 6197 6277 6361 6481 6599 6703 6823 6911 7001 7127 7237 7351 7489 7573 7673 7759 7883 8011 8117 8233 8329 8447 8581 8681 8761 8863 8999 9103 9203 9319 9419 9497 9629 9739 9833 9931

5023 5147 5387 5471 5563 5659 5779 5857 5981 6089 6199 6287 6367 6491 6607 6709 6827 6917 7013 7129 7243 7369 7499 7577 7681 7789 7901 8017 8123 8237 8353 8461 8597 8689 8779 8867 9001 9109 9209 9323 9421 9511 9631 9743 9839 9941

5039 5153 5393 5477 5569 5669 5783 5861 5987 6091 6203 6299 6373 6521 6619 6719 6829 6947 7019 7151 7247 7393 7507 7583 7687 7793 7907 8039 8147 8243 8363 8467 8599 8693 8783 8887 9007 9127 9221 9337 9431 9521 9643 9749 9851 9949

5051 5167 5399 5479 5573 5683 5791 5867 6007 6101 6211 6301 6379 6529 6637 6733 6833 6949 7027 7159 7253 7411 7517 7589 7691 7817 7919 8053 8161 8263 8369 8501 8609 8699 8803 8893 9011 9133 9227 9341 9433 9533 9649 9767 9857 9967

5059 5171 5407 5483 5581 5689 5801 5869 6011 6113 6217 6311 6389 6547 6653 6737 6841 6959 7039 7177 7283 7417 7523 7591 7699 7823 7927 8059 8167 8269 8377 8513 8623 8707 8807 8923 9013 9137 9239 9343 9437 9539 9661 9769 9859

10729 10859

10501 10631 10733 10861

10513 10639 10739 10867

10529 10651 10753 10883

10531 10657 10771 10889

6317 6397 6551 6659 6761 6857 6961 7043 7187 7297 7433 7529 7603 7703 7829 7933 8069 8171 8273 8387 8521 8627 8713 8819 8929 9029 9151 9241 9349 9439 9547 9677 9781 9871

6131 6229 6323 6421 6553 6661 6763 6863 6967 7057 7193 7307 7451 7537 7607 7717 7841 7937 8081 8179 8287 8389 8527 8629 8719 8821 8933 9041 9157 9257 9371 9461 9551 9679 9787 9883

5897 6043 6133 6247 6329 6427 6563 6673 6779 6869 6971 7069 7207 7309 7457 7541 7621 7723 7853 7949 8087 8191 8291 8419 8537 8641 8731 8831 8941 9043 9161 9277 9377 9463 9587 9689 9791 9887

5717 5827 5903 6047 6143 6257 6337 6449 6569 6679 6781 6871 6977 7079 7211 7321 7459 7547 7639 7727 7867 7951 8089 8209 8293 8423 8539 8647 8737 8837 8951 9049 9173 9281 9391 9467 9601 9697 9803 9901

5521 5647 5737 5839 5923 6053 6151 6263 6343 6451 6571 6689 6791 6883 6983 7103 7213 7331 7477 7549 7643 7741 7873 7963 8093 8219 8297 8429 8543 8663 8741 8839 8963 9059 9181 9283 9397 9473 9613 9719 9811 9907

5527 5651 5741 5843 5927 6067 6163 6269 6353 6469 6577 6691 6793 6899 6991 7109 7219 7333 7481 7559 7649 7753 7877 7993 8101 8221 8311 8431 8563 8669 8747 8849 8969 9067 9187 9293 9403 9479 9619 9721 9817 9923

10337

10343

10357

10433

10627

6221

6037

5821

5641

10333

10429

10499

6121

5881

5711

5519

10331

10427

10303

6029

5813

5639

10321

10399

10301

5879

5701

5507

5441

10313

10391

10289

5807

5623

5437

5231

10067

10369

10273

5693

5503

5431

5227

5107

10061

10103

10271

5591

5419

5209

5101

10039

10099 10193

5501

5417

5197

5099

10037

10093 10181

5413

5189

5087

10009

10091 10177

5179

5081

10007

10079 10169

5077

9973

10069 10163

v 2.0

5021

10211 10559 10663 10781 10891

10111 10223 10453 10567 10667 10789 10903

10133 10243 10457 10589 10687 10799 10909

ÂŠ 2013 - www.matematika.it

10139 10247 10459 10597 10691 10831 10937

10141 10253 10463 10601 10709 10837 10939

10151 10259 10477 10607 10711 10847 10949

10159 10267 10487 10613 10723 10853 10957

210

Tavola Pitagorica

curiosità

1 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0 0 0

3 4

11 13 14 15

18 20 22 24 26 28 30

24 27 30 33 36 39 42 45

15 18

12 16

0 0

6 10

0 0

24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

15 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

18 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90

21 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98

24 40 48 56 64 72 80 88 96

45 54 63 72 81 90 99

20 40 50 60 70 80 90

22 44 55 66 77 88 99

24 48 60 72 84 96

26 52 65 78 91

28 56 70 84 98

30 60 75 90

105

104 112 120

108 117 126 135

100 110 120 130 140 150 110 121 132 143 154 165

108 120 132 144 156 168 180

104 117 130 143 156 169 182 195 112 126 140 154 168 182 196 210

105 120 135 150 165 180 195 210 225

LA TAVOLA PITAGORICA “ I pitagorici, che si manifestarono sempre pieni di genio inventivo sottile, per evitare di commettere errori nelle moltiplicazioni, divisioni e misure, si servirono di una figura tracciata in modo particolare la quale, in onore del loro maestro, chiamavano Tavola Pitagorica (mensa pythagorea) perché, riguardo alle cose ivi rappresentate, le prime discipline erano dovute a quel maestro. Chi venne dopo chiamò tale figura Abaco. Essi pensavano che quando era frutto di una meditazione profonda sarebbe stato più facilmente conosciuto da tutti, ove fosse stato presentato dinnanzi agli occhi in un certo modo; in conseguenza diedero a quella figura il seguente aspetto”. Gino Loria, Storia della matematiche (Boezio pag. 801)

v 2.1

211

212

a AB

C h

p1 p2

C( α

,β)

Q y Q1

y=n

n x

d 2

FORMULARIO