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C

A

h

Q

p1 p2

R

B

p2

r

h a

R

y P

y=n

r

n

)

C( ι,β

x

Simboli e Insiemi Aritmetica Algebra Geometria piana Geometria solida Geometria analitica Logaritmi Goniometria


Un percorso multimediale completo per capire la matematica

Il Progetto Matematika è un supporto multimediale che affianca la tradizionale didattica della matematica. Non è un prodotto commerciale ed i materiali offerti sono rivolti a quanti vogliono capire, imparare e verificare le proprie conoscenze matematiche. In particolare, i prodotti sono rivolti agli allievi e ai docenti delle scuole medie superiori ed inferiori. Il progetto propone a studenti e professori dei percorsi didattici completi, di facile e immediata fruibilità, esso si sviluppa in 4 ambienti: Lezioni animate, Test online, Formulario ed Esercizi. I materiali didattici sono organizzati per rendere l’apprendimento semplice e facilitato. La comunicazione audio-visiva immediata e di breve durata, i test on line e l’organizzazione delle schede in forma tabulare rendono i materiali idonei ad essere utilizzati come strumenti compensativi nei disturbi specifici di apprendimento. Questi strumenti, sono testati da una costante sperimentazione e sono continuamente aggiornati e arricchiti in modo da offrire un prodotto sempre al passo con i tempi.

© 2013 - www.matematika.it


Presentazione Questa guida è una raccolta di schede di matematica. Le

schede

sono

realizzate

in

forma

compatta

per

facilitare

la

consultazione. Lo stile essenziale, basato sulla comunicazione grafica e tabulare, non deve però trarre in inganno: questo lavoro non è una semplice raccolta di formule matematiche. Esso è il frutto di un’operazione complessa di strutturazione e sintesi che ha richiesto molti anni di ricerca. Ciascuna scheda è realizzata in modo che ogni parola e dettaglio presentato è fondamentale per la comprensione dell’argomento. Si raccomanda pertanto una lettura attenta che non trascuri nessun rigo e nessuna parola. Le schede possono essere utilizzate nella scuola media inferiore e nella scuola media superiore e per l’esame universitario di analisi matematica. Il materiale è tuttora oggetto di una continua sperimentazione e di un conseguente aggiornamento ed integrazione dei contenuti. Le ultime versioni delle singole schede, consultabili e stampabili ad uso esclusivamente

personale,

sono

disponibili

in

rete

all’indirizzo

www.matematika.it sotto la voce Formulario. Prof. Giampiero Gallina Per eventuali suggerimenti, segnalazioni o contatti, scrivere all’indirizzo di posta elettronica: progettomatematika@gmail.com

Le icone suggerimenti ed approfondimenti sull’argomento segnalazioni e soluzioni a possibili fonti di errore suggerimenti per l’utilizzo della calcolatrice scientifica Versione 4.0 stampata nel mese di Ottobre dell’anno 2013 Tutti i diritti sono riservati © 1999-2014 La presente guida è stata registrata: nessuna parte dell’opuscolo, immagine o testo, può essere riprodotta o utilizzata per scopi commerciali senza un esplicito consenso scritto degli autori.


Indice •

SIMBOLI, NUMERI, INSIEMI, INTERVALLI Alfabeto greco Simbologia Terminologia Insiemi numerici Gli assiomi dei numeri reali e loro conseguenze Insiemi Intervalli Funzioni: definizioni e tipi

7 8 9 10 11 13 15 16

» » » » » » »

Tavola pitagorica Criteri di divisibilità Altri criteri di divisibilità Frazioni generatrici, frazioni con lo zero M.C.D e m.c.m. Proporzioni Percentuale, pendenza

17 18 19 20 21 22 23

» » » » » » » » » » » » » » »

Proprietà delle potenze Prodotti notevoli Scomposizioni Regola di Ruffini Scomposizione di un polinomio con Ruffini Divisione di due polinomi Scomposizione di un polinomio mediante la divisione Radicali Equazioni di secondo grado Equazioni parametriche Disequazioni di secondo grado Equazioni e disequazioni binomie, biquadratiche, trinomie Equazioni irrazionali ed in valore assoluto Disequazioni irrazionali Disequazioni in valore assoluto

24 25 26 27 31 35 38 42 45 46 47 48 50 51 52

» » » » » » » »

ARITMETICA

ALGEBRA

GEOMETRIA PIANA » » » » » » »

53 66 88 89 90 91 92

GEOMETRIA SOLIDA »

Postulati e definizioni Teoremi Area del triangolo Area delle principali figure piane Teorema di Pitagora, primo e secondo teorema di Euclide Triangoli rettangoli particolari Sezione aurea Volumi e superfici delle principali figure solide

93

GEOMETRIA ANALITICA » » » » » »

Assi e punti La retta La parabola La circonferenza L’ellisse L’iperbole

95 97 101 104 107 110 © 2013 - www.matematika.it


Indice »

Definizione e proprietà

121

GONIOMETRIA » » » » » » »

114

LOGARITMI »

Geometria analitica in sintesi

Angoli: misura e conversioni Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà Le relazioni fondamentali, i grafici Valori numerici delle funzioni goniometriche in alcuni angoli Angoli o archi associati Tabella dei valori di angoli associati ad alcuni angoli notevoli Formule goniometriche

122 123 124 125 126 127 128

TRIGONOMETRIA » » »

Teoremi sui triangoli rettangoli Teoremi sui triangoli qualsiasi Formule di trigonometria

129 130 131

» » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » »

Elementi di topologia della retta Funzioni: definizioni e tipi Grafici delle funzioni elementari Grafici di funzioni: trasformazioni Campo di esistenza o dominio di funzioni Segno, intersezioni, simmetrie, periodicità di una funzione Definizione di limite Tutte le definizioni di limite Limiti delle funzioni elementari Algebra dei limiti Calcolo di limiti Limiti notevoli Definizione di funzione continua, punti di discontinuità Asintoti di una funzione Definizione di monotonia e di punti di massimo e minimo relativi Definizione di concavità e di punti di flesso Definizione di rapporto incrementale e di derivata di una funzione Derivate delle funzioni elementari, regole di derivazione Ricerca dei punti di massimo e minimo relativo e di flesso Definizione e ricerca dei punti di massimo e minimo assoluti Punti di non derivabilità di una funzione Studio del grafico di una funzione Esempi di studio del grafico di una funzione Definizione di integrale indefinito Integrali indefiniti immediati Principali teoremi di analisi

133 137 139 140 141 143 147 148 149 151 153 156 157 158 160 161 162 163 165 166 167 168 170 174 175 178

ANALISI

ANALISI PER L’UNIVERSITA’ » » » » » »

Sviluppo in serie di funzioni elementari Serie numeriche Funzioni iperboliche: grafici, domini, derivate Funzioni iperboliche: definizioni e sviluppo in serie Coordinate polari ed equazioni di curve notevoli Elementi di calcolo differenziale © 2013 - www.matematika.it

181 182 184 185 186 187


Indice •

ELEMENTI DI LOGICA » » »

Fattoriale e coefficiente binomiale

201

»

Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni

205

PROBABILITA’ Definizioni, probabilità composta e subordinata, teorema di Bayes

208

NUMERI COMPLESSI Numeri immaginari, numeri complessi in forma algebrica, operazioni Rappresentazione grafica, forma trigonometrica ed esponenziale

212 213

ALCUNE DIMOSTRAZIONI » » » » » » » » » » » » » » » »

199 200

»

» »

Progressioni aritmetiche e geometriche Quante volte si può piegare un foglio di carta?

CALCOLO COMBINATORIO

»

190 193 196

PROGRESSIONI » »

Elementi di logica delle proposizioni Introduzione alla logica dei predicati Introduzione alla logica della deduzione

√ è un numero irrazionale Significato geometrico del quadrato di un binomio Formula risolutiva dell’equazione di secondo grado Teorema di Pitagora Teorema delle corde Distanza tra due punti Punto medio di un segmento Equazione della circonferenza Le cinque relazioni fondamentali della goniometria Il seno di un angolo di 30° è uguale ad ½ Teorema dei seni Teorema di unicità del limite Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità Teorema di Fermat Teorema di Rolle Teorema di Lagrange

214 215 216 217 219 220 221 222 223 224 226 227 228 229 230 231

LE GRANDEZZE FISICHE » » » » » »

Le grandezze fisiche e il sistema internazionale Le grandezze fisiche: unità di misura ed equivalenze Gli strumenti di misura Cifre significative L’incertezza delle misure Elaborazione dei dati sperimentali

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232 233 235 236 237 238


Alfabeto Greco

simboli insiemi

v 1.8

minuscole

maiuscole

come si legge

α β γ δ ε ζ η ϑ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

alfa

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beta gamma delta epsilon zeta eta teta iota cappa lambda mu ni csi omicron pi ro sigma tau ipsilon fi chi psi omega

7


Simbologia e Convenzioni

simboli insiemi

simbolo

significato

simbolo

uguale

minore

circa uguale, approssimato

valore assoluto di

diverso

maggiore

maggiore o uguale

minore o uguale più infinito

o modulo di

meno infinito

insieme vuoto

insieme dei numeri naturali escluso lo zero insieme dei numeri interi

insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali

insieme dei numeri complessi per ogni

esiste (almeno un)

insieme dei numeri immaginari insieme dei numeri naturali compreso lo zero

insieme dei numeri naturali pari

insieme dei numeri naturali dispari

insieme dei numeri algebrici

insieme dei numeri trascendenti tale che tale che

esiste ed è unico

incluso strettamente

non esiste

incluso

appartiene

unione

non appartiene

intervallo chiuso, cioè contiene gli estremi intervallo aperto, cioè esclude gli estremi parallelo

perpendicolare

identico, coincidente congruente

intersezione

intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente

intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente equivalente simile

lunghezza del segmento AB

rotazione di centro O e angolo α

e

vero

falso

implica (se … allora)

o

doppia implicazione (se e solo se)

media aritmetica

scarto quadratico medio somma: v 2.7

significato

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fattoriale di n

probabilità dell’evento E

probabilità di E2 condizionata a E1 8


Terminologia

simboli insiemi

operazione

addizione

nome

addendo

somma o totale

addendo sottrazione

minuendo

differenza

sottraendo moltiplicazione

fattore

prodotto

fattore divisione

dividendo

frazione

numeratore

potenza

radicale

divisore

quoziente o quoto

resto

linea di frazione

denominatore base

esponente esponente del radicando

indice della radice

radicando

logaritmo

argomento

base funzione

v 1.9

variabile indipendente

variabile dipendente

funzione Š 2013 - www.matematika.it

9


Insiemi numerici

simboli insiemi

numeri naturali N

numeri interi (o interi relativi) Z …

numeri razionali Q un numero si dice razionale se può essere espresso come rapporto di due numeri interi, cioè se può essere espresso sotto forma di frazione I numeri razionali possono essere formati: • da numeri interi • da numeri decimali con un numero finito di cifre • da numeri decimali con un numero infinito di cifre periodiche

3,

2,

1,

0,

1,

2,

numeri irrazionali I

3, …

un numero si dice irrazionale se NON può essere espresso come rapporto di due numeri interi, cioè se NON può essere espresso sotto forma di frazione

I numeri irrazionali sono formati • da una parte intera e da una parte decimale con infinite cifre NON periodiche

numeri reali R i numeri reali sono formati dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e l’insieme dei numeri irrazionali I

R

Q

Z

i r r a z i o n a

N

15,35671.… Osserva che:

l i

numeri algebrici e numeri trascendenti

esiste anche un’altra classificazione che divide i numeri reali in numeri algebrici e numeri trascendenti

• •

un numero si dice algebrico se è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali un numero si dice trascendente se NON è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali esempi

• • •

5

è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione

è un numero trascendente perché non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali. Nota che è soluzione dell’equazione polinomiale che non è a coefficienti razionali

i numeri razionali Q sono tutti algebrici v 3.1

i numeri irrazionali I possono essere sia algebrici che trascendenti © 2013 - www.matematika.it

10


simboli insiemi

Gli assiomi dei numeri reali e le loro conseguenze premessa agli assiomi dei numeri reali

Si assume che esiste l’insieme dei numeri reali (indicato con R) su cui è possibile eseguire le quattro operazioni elementari e su cui è possibile stabilire quale tra due numeri è il maggiore. In questo sistema valgono gli assiomi delle operazioni, dell’ordinamento e l’assioma di completezza. assiomi delle operazioni

Siano a , b , c tre numeri reali qualsiasi. Tra essi sono definite le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione proprietà associativa dell’addizione

con le seguenti proprietà:

proprietà associativa della moltiplicazione proprietà commutativa dell’addizione

proprietà commutativa della moltiplicazione

proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione esistenza dell’elemento all’addizione

neutro

rispetto

esiste in R il numero 0 tale che

esistenza dell’elemento neutro rispetto alla esiste in R il numero 1 tale che moltiplicazione per ogni numero reale che

esistenza dell’opposto

esiste un numero reale –

per ogni numero reale tale che

esistenza dell’inverso

tale

esiste un numero reale

assiomi dell’ordinamento E’ definita la relazione di minore o uguale

tra le coppie di numeri reali con le seguenti proprietà:

dicotomia

per ogni coppia di numeri reali si ha

altri assiomi

se vale

proprietà asimmetrica altri assiomi

se valgono contemporaneamente se

e

allora vale anche

allora valgono anche

assioma di completezza

se A e B sono due insiemi non vuoti di numeri reali tale che per ogni ogni appartenente a B , allora esiste almeno un numero reale c tale che v 1.3

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e

oppure

allora

per ogni c reale e

appartenente ad A e per

11


simboli insiemi

Gli assiomi dei numeri reali e le loro conseguenze alcune conseguenze degli assiomi

Siano a , b , c tre numeri reali qualsiasi. Si dimostrano le seguenti proprietà:

conseguenze degli assiomi relativi alle operazioni

semplificazione rispetto alla somma semplificazione rispetto al prodotto legge di annullamento del prodotto

se se

unicità dell’opposto

e

allora

se e solo se

allora

oppure

unicità dell’inverso altra proprietà altra proprietà altra proprietà

conseguenze degli assiomi relativi all’ordinamento

proprietà dell’equivalenza proprietà transitiva

se

altre proprietà

se

altre proprietà altre proprietà

se

è equivalente a e

allora

e

allora

se e soltanto se e

allora

la relazione di maggiore o uguale è ricondotta a quella di minore o uguale mediante la definizione La relazione di gode delle stesse proprietà della relazione di una conseguenza dell’assioma di completezza

Una importante conseguenza dell’assioma di completezza è che consente di distinguere l’insieme dei numeri razionali Q da quello dei numeri reali R. Tale assioma vale infatti solo per i numeri reali e non vale per i numeri razionali come vediamo nel seguente esempio. Consideriamo i sottoinsiemi A e B dei numeri razionali Q con e . Risulta che

e

tali che

Le ipotesi dell’assioma di completezza sono quindi soddisfatte ma NON esiste un numero razionale c tale che . Infatti l’unico elemento che si trova tra l’insieme A e l’insieme B è che NON è un numero razionale. v 1.3

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12


Insiemi

simboli insiemi

definizione

l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto

secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero”

rappresentazione

per elencazione

per caratteristica

gli elementi dell’insieme sono indicati tra parentesi graffe

{

grafica (o di Eulero-Venn)

si descrivono le caratteristiche degli elementi dell’insieme

}

{

si usano delle linee chiuse che contengono gli elementi dell’insieme

2 3

1

}

4

operazioni tra insiemi unione

l’unione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme presi una sola volta

{

{

}

}

, 5}

{

1

2

3

2

4

1

3

2

3

4

5

5

4

intersezione

l’intersezione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo e al secondo insieme, cioè dagli elementi comuni. Se gli insiemi non hanno elementi comuni si dicono disgiunti

{

{

}

{

}

3

1

2

4

5

} differenza

la differenza tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme esclusi quelli del secondo insieme

{

{

}

}

3

1

{1} {5}

2

4

5

insieme complementare

l’insieme complementare di un insieme rispetto ad un altro che lo contiene è l’insieme differenza dei due

{

{

}

}

{

il complementare di C rispetto ad A si indica con cioè: Analogamente: v 2.5

}

5

1

ed è uguale a B

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3

7

2

6 4

8

13


Insiemi

simboli insiemi

prodotto cartesiano tra due insiemi il prodotto cartesiano tra due insiemi è l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento al secondo insieme

{

{

}

}

{ {

} }

il prodotto cartesiano NON è commutativo

insieme delle parti di un insieme

l’insieme delle parti di un insieme è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme dato

{

}

1

{

2

}

se l’insieme è formato da elementi, l’insieme delle parti Nell’esempio precedente è formato da 3 elementi e quindi

13

3

1 2

2

1

3

2

3

A

è formato da elementi. è formato da elementi

partizione di un insieme

la partizione di un insieme è l’insieme formato da suoi sottoinsiemi (o parti ) che verificano le seguenti 3 proprietà:

• nessuna delle parti è vuota • le parti sono a due a due disgiunte, cioè non hanno elementi in comune • l’unione delle parti è uguale all’insieme iniziale

{

i sottoinsiemi

oppure

}

{ {

} }

e

{

{ }

} }

{

rappresentano due diverse partizioni di A

{

}

consideriamo l’insieme delle classi della scuola tale insieme costituisce una partizione dell’insieme S perché soddisfa le tre proprietà della definizione

1A

2A

3A

1B

2B

3B

relazioni di De Morgan

I relazione

II relazione

il complemento dell’unione di due insiemi è uguale all’intersezione dei complementi degli insiemi v 2.5

il complemento dell’intersezione di due insiemi è uguale all’unione dei complementi degli insiemi

I complementi sono considerati rispetto ad un terzo insieme (detto insieme Universo) che contiene A e B © 2013 - www.matematika.it

14


simboli insiemi

Intervalli: classificazione e rappresentazione definizioni

Si definisce intervallo l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi e . Gli estremi e possono essere finiti o infiniti. è detto estremo sinistro o inferiore, è detto estremo destro o superiore dell’intervallo • •

Un intervallo si dice:

limitato se gli estremi sono finiti non limitato se almeno uno degli estremi è infinito

• •

intervalli limitati

rappresentazione grafica

intervallo

intervallo chiuso intervallo aperto

intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente

a

b

a

b

a

b

a

b

rappresentazione insiemistica

intervallo chiuso inferiormente e non limitato superiormente

a

intervallo non limitato inferiormente e chiuso superiormente

b

intervallo non limitato inferiormente e aperto superiormente

b

intervallo non limitato

]

]

[

[

[

]

]

rappresentazione insiemistica

a

intervallo aperto inferiormente e non limitato superiormente

[

rappresentazione algebrica

intervalli non limitati

rappresentazione grafica

intervallo

chiuso se gli estremi sono compresi aperto se gli estremi non sono compresi

[

[

]

[

]

]

]

[

]

[

rappresentazione algebrica

osservazione

] v 2.3

su alcuni testi l’intervallo aperto è indicato con le parentesi tonde per cui si trova equivalentemente:

[

(

)

[

[

[

)

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]

]

(

] 15


Funzione: definizione e tipi

simboli insiemi

definizione Dati due insiemi A e B, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell’insieme A uno ed un solo elemento dell’insieme B Una funzione si indica con

• •

dove:

è un generico elemento di A ed

o

si chiama immagine di

l’insieme A viene chiamato dominio o campo di esistenza di

ed appartiene all’insieme B

il sottoinsieme di B formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di

tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca

d ●

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

A

B

a ●

● 1

b ●

● 2

A a ● b ● c ●

c ● d ●

A

B

a ●

● 1

b ●

● 2

c ●

● 3

d ●

● 4

A a ● b ● c ● d ●

A a ● b ● c ● d ● v 1.3

● 3

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4

• • ⋅ ⋅

• • ⋅ ⋅ •

• ⋅

funzione iniettiva

una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell’insieme A corrispondono elementi distinti dell’insieme B f(x) iniettiva

x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B contenente gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di

funzione suriettiva

una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell’insieme B è immagine di almeno un elemento dell’insieme A f(x) suriettiva

la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di

funzione biunivoca o biettiva

una funzione si dice biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento dell’insieme A corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme B e viceversa f(x) biunivoca

e viceversa

l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di

funzione non iniettiva, non suriettiva

la funzione della figura a sinistra: • •

NON è iniettiva perché gli elementi distinti “b, c” dell’insieme A hanno la stessa immagine “2” NON è suriettiva perché non tutti gli elementi dell’insieme B (“4, 5”) sono immagine di un elemento dell’insieme A

l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B, che contiene gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di

corrispondenza

la legge rappresentata nella figura a sinistra non è una funzione perché non ne soddisfa la definizione, infatti: • all’elemento “b” dell’insieme A sono associati più elementi (“2, 3”) dell’insieme B. • l’elemento “d” dell’insieme A non è associato ad alcun elemento dell’insieme B. la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2013 - www.matematika.it

16


Tavola Pitagorica

aritmetica

*

0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

0

0

0

2

0

2

1 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0 0 0

3 4

9

12

0

11 13 14 15

6

18 20 22 24 26 28 30

24 27 30 33 36 39 42 45

9

10

11

12

13

14

15

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

27

30

33

36

39

42

45

8

10

12

14

16

18

16

20

24

28

32

36

20

21

8

0

15 18

7

0

12

12 16

0

9

12

14

8

0

8

7

6

0 0

6 10

10

0

4

5

0 0

0

6

24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

15 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

0

18 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90

21 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98

0

24 40 48 56 64 72 80 88 96

0

45 54 63 72 81 90 99

0

20 40 50 60 70 80 90

0

22 44 55 66 77 88 99

0

24 48 60 72 84 96

0

26 52 65 78 91

0

28 56 70 84 98

0

30 60 75 90

105

104 112 120

108 117 126 135

100 110 120 130 140 150 110 121 132 143 154 165

108 120 132 144 156 168 180

104 117 130 143 156 169 182 195 112 126 140 154 168 182 196 210

105 120 135 150 165 180 195 210 225

LA TAVOLA PITAGORICA “ I pitagorici, che si manifestarono sempre pieni di genio inventivo sottile, per evitare di commettere errori nelle moltiplicazioni, divisioni e misure, si servirono di una figura tracciata in modo particolare la quale, in onore del loro maestro, chiamavano Tavola Pitagorica (mensa pythagorea) perché, riguardo alle cose ivi rappresentate, le prime discipline erano dovute a quel maestro. Chi venne dopo chiamò tale figura Abaco. Essi pensavano che quando era frutto di una meditazione profonda sarebbe stato più facilmente conosciuto da tutti, ove fosse stato presentato dinnanzi agli occhi in un certo modo; in conseguenza diedero a quella figura il seguente aspetto”. Gino Loria, Storia della matematiche (Boezio pag. 801)

v 2.1

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17


aritmetica

Criteri di divisibilità divisibilità per 2 •

un numero è divisibile per 2 quando

l’ultima cifra è pari cioè quando termina per 0, 2, 4, 6, 8

210 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra è 0

316 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (6) è pari 315 non è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (5) non è pari

divisibilità per 3 •

un numero è divisibile per 3 quando

la somma delle sue cifre è un multiplo di 3

342 è divisibile per 3 perché multiplo di 3

che è

89757 è divisibile per 3 perché 8+9+7+5+7=36 ed ancora 3+6=9 che è un multiplo di 3 271 non è divisibile per 3 perché 2+7+1=10 che non è un multiplo di 3

divisibilità per 5 •

un numero è divisibile per 5 quando

l’ultima cifra è 0 o 5

250 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 0

345 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5

346 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 6

divisibilità per 7 • •

un numero è divisibile per 7 quando

la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7 •

63 è divisibile per 7 perché

287 è divisibile per 7 perché

376 non è divisibile per 7 perché

divisibilità per 11 •

un numero è divisibile per 11 quando

la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è 0 o un multiplo di 11

che è multiplo di 7

che non è multiplo di 7

3465 è divisibile per 11 perché e

e

27981 non è divisibile per 11 perché e e che è diverso da 0 e non è un multiplo di 11

divisibilità per 13 •

un numero è divisibile per 13 quando

la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13

845 è divisibile per 13 perché

e che è multiplo di 13

1467 non è divisibile per 13 perché

146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) =17 +16 =33 che non è multiplo di 13

divisibilità per 17 •

un numero è divisibile per 17 quando

la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17 v 1.3

1071 è divisibile per 17 perché e

1467 non è divisibile per 17 perché e che è diverso da 0 o da un multiplo di 17

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18


aritmetica

Altri criteri di divisibilità divisibilità per 4

un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre

• •

316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di 4 310 non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4

divisibilità per 7

un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7

• •

287 è divisibile per 7 perché

376 non è divisibile per 7 perché

divisibilità per 9 •

un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 9

che è multiplo di 7

che non è multiplo di 7

873 è divisibile per 9 perché multiplo di 9

546 non è divisibile per 9 perché non è multiplo di 9

che è

che

divisibilità per 13 •

un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13

845 è divisibile per 13 perché e che è multiplo di 13 1467 non è divisibile per 13 perché 146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) = 14 +16 =33 che non è multiplo di 13

divisibilità per 17 un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17

• •

1071 è divisibile per 17 perché e 1467 non è divisibile per 17 perché e diverso da 0 o da un multiplo di 17

che è

divisibilità per 19

un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di 19

• •

1216 è divisibile per 19 perché e 1467 non è divisibile per 19 perché e 15+(2∙0)=15 che è diverso da un multiplo di 19

divisibilità per 23 un numero è divisibile per 23 se la somma fra il numero senza la cifra delle unità e il settuplo del numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di 23

un numero è divisibile per 25 se finisce con

• •

345 è divisibile per 23 perché di 23 102 non è divisibile per 23 perché multiplo di 23

è multiplo non è

divisibilità per 25

0, 25, 50, 75 v 1.8

375 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75 346 non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 46

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19


Frazioni generatrici - Frazioni con lo zero

aritmetica

Frazioni generatrici come trasformare un numero decimale in una frazione frazione generatrice di un numero decimale finito un numero decimale finito è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da una parte decimale (quella dopo la virgola) con un numero finito di cifre. Ad esempio in 3,21 la parte intera è 3 e la parte decimale è 21 • •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato

frazione generatrice di un numero periodico semplice

un numero periodico semplice è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da un periodo (la parte dopo la virgola) le cui cifre si ripetono con regolarità. Ad esempio in la parte intera è 12 e il periodo è 34 • •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti nove quante sono le cifre del periodo

frazione generatrice di un numero periodico misto

un numero periodico misto è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da una parte decimale (quella dopo la virgola) composta da un antiperiodo e da un periodo le cui cifre si ripetono con regolarità . Ad esempio in • •

la parte intera è 2 l’antiperiodo è 4 e il periodo è 5

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti nove quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo

un numero con infinite cifre decimali non periodiche è un numero irrazionale e non si può trasformare in frazione come trasformare una frazione in un numero

per trasformare una frazione in numero basta dividere il numeratore per il denominatore

frazioni con lo zero

zero diviso un numero (diverso da zero) è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

perché

zero diviso zero è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

perché qualunque numero moltiplicato 0 è uguale a 0

un numero (diverso da zero) diviso zero è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

v 1.4

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perché non esiste nessun numero che moltiplicato 0 è uguale a 2

20


aritmetica

Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo Massimo Comune Divisore (M.C.D.)

che cos’è : il massimo comune divisore tra due o più numeri è il più grande tra i loro divisori comuni

assegnati i numeri 18, 24 e 30, consideriamo i loro divisori:

i divisori comuni ai tre numeri sono: il divisore comune più grande è il M.C.D.: 6 •

come si calcola : 1. si scompogono in fattori primi i numeri assegnati

2. si prendono i fattori comuni una sola volta con il minimo esponente

3. si moltiplicano i fattori scelti e si ottiene il massimo comune divisore o M.C.D. esempio

calcolare il M.C.D. tra i numeri 12 e 42

1. si scompongono in fattori primi i numeri assegnati:

2. si prendono i fattori comuni una sola volta e con il minimo esponente:

;

3. si moltiplicano i fattori scelti ed il loro prodotto è il M.C.D.: se i numeri assegnati sono primi tra loro, il M.C.D. è 1. Ad esempio: il M.C.D. tra 5 e 7 è 1 perché

e

minimo comune multiplo (m.c.m.)

che cos’è : il minimo comune multiplo tra due o più numeri è il più piccolo tra i loro multipli comuni

assegnati i numeri 6, 8 e12 consideriamo i loro multipli: 6

,…

120,…

i multipli comuni ai tre numeri sono: il multiplo comune più piccolo è il m.c.m.: 24 •

come si calcola : 1. si scompogono in fattori i numeri assegnati

2. si prendono i fattori comuni e non comuni una sola volta con il massimo esponente 3. si moltiplicano i fattori scelti e si ottiene il minimo comune multiplo o m.c.m. esempio

calcolare il m.c.m. dei numeri 6, 15 e 18

1. si scompongono in fattori primi i numeri assegnati:

;

2. si prendono i fattori comuni e non comuni una sola volta con il massimo esponente: v 1.0

3. si moltiplicano i fattori scelti ed il prodotto è il m.c.m.:

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;

21


Proporzioni

aritmetica

definizione una proporzione è una uguaglianza tra rapporti

medi estremi

proprietà delle proporzioni

il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

proprietà fondamentale

scambiando fra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione

proprietà del permutare

scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

proprietà dell’invertire

sommando ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

proprietà del comporre

proprietà dello scomporre

trovare un medio in una proporzione •

sottraendo ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

si moltiplicano gli estremi e si divide per l’altro medio

trovare un estremo in una proporzione •

si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo

proporzione continua una proporzione si dice continua se i medi sono uguali

x si chiama “medio proporzionale” tra a e b

esempi proprietà dello scomporre

trovare un medio in una proporzione proporzione continua

• •

v 2.6

se in una proporzione l’incognita è presente più volte per trovarne il valore basta trasformarla in equazione applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi trovare il valore della ad esempio data la proporzione si applica la proprietà fondamentale delle proporzioni e si risolve l’equazione così ottenuta

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22


aritmetica

Calcolo percentuale - Pendenza Calcolo percentuale

Per introdurre il concetto di percentuale è utile cominciare con un esempio. “Consideriamo un abito dal costo di 300 euro. 300 euro rappresenta il valore iniziale cioè 100% del valore della grandezza, mentre ad esempio 150 euro è la metà del valore cioè il 50%. Ma quale sarà, per esempio, il 12% del costo dell’abito?” Per risolvere questo problema basta scrivere e risolvere la seguente proporzione: il valore Iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale (percentuale) sta al 12%, cioè da cui

= 36 euro

Generalizzando l’esempio, se indichiamo con Vi il valore della grandezza totale (300 euro), con Vf il valore finale (la percentuale 36 euro), con t il tasso percentuale, o semplicemente, il tasso (12%) , possiamo scrivere che:

il valore iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale sta al tasso

Questa proporzione è impiegata per risolvere i problemi di calcolo percentuale, vediamo alcuni esempi calcolo del Valore iniziale Vi

420 alunni ( ) rappresentano il 35% ( ) di tutti gli alunni di una scuola. Quanti alunni ( )compongono la scuola? calcolo del Valore finale Vf (percentuale)

in una classe di 25 alunni

alunni

quanti alunni

calcolo del tasso percentuale o tasso t

rappresentano il 20% ( ) ? alunni

una borsa di 80 euro ( ) è stata venduta con uno sconto di 20 euro ( ), che tasso percentuale ( ) è stato applicato?

Pendenza la pendenza percentuale è definita come il rapporto tra il dislivello verticale e lo spazio orizzontale moltiplicato 100

Δx esempio

• Calcoliamo la pendenza percentuale di una strada con dislivello verticale di 25 m su una distanza orizzontale di 120 m

v 1.6

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Δh

Nei cartelli stradali il valore indicato rappresenta il dislivello vertcale (∆h) subito in 100 metri orizzontali. Ad esempio 10 % indica che in 100 metri orizzontali c’e un dislivello di 10 metri in verticale

23


Proprietà delle Potenze

algebra

definizione si definisce potenza n-sima di base e di esponente , il prodotto della base moltiplicata n volte per se stessa cioè: con base numero reale e con esponente numero naturale n volte

generalizzazione

la definizione di potenza n-sima si può generalizzare a quella di potenza nel caso in cui l’esponente sia un numero razionale oppure un numero reale, in entrambi i casi: • se l’esponente allora la base deve essere un numero reale • se l’esponente allora la base deve essere un numero reale proprietà

potenze con la stessa base prodotto di potenze con la stessa base

rapporto di potenze con la stessa base potenza di potenza

potenze con lo stesso esponente prodotto di potenze con lo stesso esponente

rapporto di potenze con lo stesso esponente potenza ad esponente negativo frazione ad esponente negativo potenza ad esponente frazionario frazione ad esponente frazionario potenza ad esponente frazionario negativo altri esempi

v 3.3

fai attenzione alle parentesi e fai anche attenzione all’esponente che può essere pari o dispari © 2013 - www.matematika.it

24


Prodotti notevoli

algebra

somma per differenza • •

quadrato del primo termine

meno il quadrato del secondo termine

quadrato di un binomio

• • •

quadrato del primo termine

il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine

più il quadrato del secondo termine

cubo di un binomio

• • • •

cubo del primo termine

il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine

il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine

il cubo del secondo termine

quadrato di un trinomio • • • •

quadrato dei tre termini

il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine

il doppio prodotto del primo termine per il terzo termine

il doppio prodotto del secondo termine per il terzo termine

cubo di un trinomio

ricorda che lo sviluppo ha 10 termini

cubo del primo più il cubo del secondo

particolari prodotti notevoli

oppure

• cubo del primo meno il cubo del secondo

potenza n-sima di un binomio

consideriamo il seguente esempio con n = 5, da esso possiamo dedurre le regole per lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio valide per ogni n

lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio è un polinomio completo e omogeneo cioè formato da (n+1) monomi, tutti dello stesso grado e ordinati secondo le potenze decrescenti di e secondo le potenze crescenti di I coefficienti numerici dei monomi si ricavano dal triangolo di Tartaglia noto anche come triangolo di Pascal. potenza ad esponente 0 potenza ad esponente 1 potenza ad esponente 2 potenza ad esponente 3 potenza ad esponente 4 potenza ad esponente 5 -------------

v 1.4

1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 -------------

-------------

per costruire il triangolo di Tartaglia basta ricordare che: • al vertice in alto della figura c’è il numero 1 • ogni riga inizia con 1 e termina con 1 • ogni numero è la somma di quello che gli sta sopra più il precedente. Ad esempio 10 = 6+4 © 2013 - www.matematika.it

25


Scomposizioni

algebra

raccoglimento totale sono presenti un numero qualsiasi di termini

• •

raccoglimento parziale sono presenti un numero pari di termini

• •

differenza di due quadrati •

sono presenti solo 2 termini al quadrato

sono presenti solo 2 termini al cubo

differenza di cubi

somma di cubi sono presenti solo 2 termini al cubo

• •

quadrato di binomio sono presenti solo 3 termini

• •

trinomio notevole con trovare due numeri ed tali che: • sommati danno cioè: • e moltiplicati danno cioè:

• •

trovare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno i due numeri sono e

trinomio notevole con trovare due numeri ed tali che: • sommati danno : : • e moltiplicati danno • effettuare un raccoglimento parziale

• • •

cubo di binomio •

sono presenti 4 termini

trovare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno

e i due numeri sono sostituire con effettuare il raccoglimento parziale

• •

quadrato di un trinomio •

sono presenti 6 termini

cubo di un trinomio •

v 1.7

sono presenti 10 termini

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26


Regola di Ruffini

algebra

premessa La regola di Ruffini è un procedimento utilizzato per dividere due polinomi in cui il divisore sia un binomio di primo grado. Vediamo la regola applicata a qualche esempio

1.

Eseguiamo la seguente divisione: I due polinomi vengono detti :

esempi

DIVIDENDO

DIVISORE

si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile e si completa, se necessario, il polinomio dividendo si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i . coefficienti del polinomio dividendo

Nell’angolo in basso a sinistra si scrive l’opposto del termine noto del polinomio divisore, in questo caso

si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio (

)

si moltiplica il coefficiente 1 per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato nella seconda colonna

si sommano i numeri della seconda colonna ( scrive il risultato ( ) in basso

v 1.2

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e

) si

27


Regola di Ruffini

algebra

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella terza colonna

si sommano i numeri della terza colonna ( e ) e si scrive il risultato ( ) in basso

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra ( ) e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna

si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e ve il risultato ( ) in basso. è il resto della divisione

i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo

Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO =

v 1.2

) e si scri-

QUOZIENTE

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DIVISORE + RESTO

28


algebra

2.

Eseguiamo la seguente divisione: I due polinomi vengono detti :

Regola di Ruffini DIVIDENDO

DIVISORE

si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile e si completa, se necessario, il polinomio dividendo si osserva che il dividendo è completo, cioè contiene tutte le potenze e non è necessario aggiungere coefficienti nulli

si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio .

Nell’angolo in basso a sinistra si scrive l’opposto del termine noto del polinomio divisore, cioè

si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio ( 1 )

si moltiplica il coefficiente 1 per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella seconda colonna

si sommano i numeri della seconda colonna ( 2 e 2 ) e si scrive il risultato (4) in basso

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella terza colonna

v 1.2

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29


Regola di Ruffini

algebra

si sommano i numeri della terza colonna ( e il risultato ( ) in basso

) e si scrive

si moltiplica la somma ottenuta per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna

si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e il risultato (0) in basso. 0 è il resto della divisione.

) e si scrive

In queso caso la divisione si dice esatta i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO

v 1.2

=

QUOZIENTE

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DIVISORE

30


Scomposizione di un polinomio con Ruffini

algebra

Se si vuole scomporre un polinomio che non rientra nei metodi di scomposizione con i prodotti notevoli né in altri tipi di scomposizione si può provare a scomporlo mediante la regola di Ruffini. Vediamolo con qualche esempio Fai attenzione che non tutti i polinomi si possono scomporre. Infatti come esistono i numeri primi esistono i polinomi primi esempio

1.

Scomponiamo il seguente polinomio di terzo grado

si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile

si ha

si individuano i divisori del termine noto (+6)

per

si ha

tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio.

per

si ha

per

per

si ha

Si esegue ora alla divisione (

Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli è il divisore cercato

Esso viene detto “zero” del polinomio

Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio con la regola di Ruffini

si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio da scomporre 1 .

Nell’angolo in basso a sinistra si scrive lo zero del polinomio trovato precedentemente, in questo caso si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio (1)

si moltiplica il coefficiente e si scrive il risultato v 1.2

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per il numero in basso a sinistra nella seconda colonna 31


algebra

Scomposizione di un polinomio con Ruffini

si sommano i numeri della seconda colonna ( e ve il risultato in basso

) e si scri-

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra ( ) e si scrive il risultato 4 nella terza colonna

si sommano i numeri della terza colonna ( risultato ( ) in basso

e ) e si scrive il

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra ( ) e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna

si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e risultato 0 in basso.

) e si scrive il

0 è il resto della divisione. Se i calcoli sono corretti il risultato deve essere zero

Per definizione di divisione si ha:

i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo

DIVIDENDO =

v 1.2

QUOZIENTE

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DIVISORE

32


Scomposizione di un polinomio con Ruffini

algebra

2. Scomponiamo il seguente polinomio di quarto grado

si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile si individuano i divisori del termine noto (

per

si ha

)

tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio. Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli è il divisore cercato ed è detto “zero” del polinomio

Si esegue la divisione

Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio con la regola di Ruffini

si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti

si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio da scomporre

Nell’angolo in basso a sinistra si scrive lo zero del polinomio trovato precedentemente, in questo caso si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio ( )

si moltiplica il coefficiente per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato nella seconda colonna

si sommano i numeri della seconda colonna ( e scrive il risultato (4) in basso

) e si

si moltiplica la somma ottenuta (4) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella terza colonna v 1.2

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33


algebra

Scomposizione di un polinomio con Ruffini si sommano i numeri della terza colonna ( e risultato ( ) in basso

) e si scrive il

si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella quarta colonna

si sommano i numeri della quarta colonna ( scrive il risultato ( ) in basso

e

)e si

si moltiplica la somma ottenuta per il numero in basso a e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna sinistra si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e 6) e si scrive il risultato (0) in basso. 0 è il resto della divisione. Se i calcoli sono corretti il risultato deve essere zero i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Per definizione di divisione si ha:

Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo

DIVIDENDO

=

QUOZIENTE

DIVISORE

Ripetendo nuovamente il procedimento sulla ricerca degli zeri del polinomio ed eseguendo nuovamente la divisione con la regola di Ruffini, si ha che il polinomio iniziale si scompone nel prodotto di quattro binomi di primo grado:

v 1.2

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34


algebra

Divisione di due polinomi premessa

Assegnato un polinomio dividendo di grado ed un polinomio divisore dividere per vuol dire trovare il polinomio quoziente , di grado , di grado minore di , per i quali risulta: cioè:

di grado con , , e il polinomio resto

DIVIDENDO = DIVISORE QUOZIENTE + RESTO

Il polinomio quoziente e il polinomio resto sono unici. Se il polinomio si dice divisibile per il polinomio

e la divisione si dice esatta

Vediamo in dettaglio, con i seguenti esempi, come si trovano i polinomi quoziente e resto esempi

1.

Eseguiamo la seguente divisione:

si ordinano, se necessario, i polinomi secondo le potenze decrescenti della si completa, se necessario, il polinomio dividendo con gli eventuali termini mancanti

si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il polinomio divisore a destra si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Tale operazione porta all’eliminazione del termine di grado massimo

si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra

v 1.2

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35


Divisione di due polinomi

algebra

si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Poiché il grado del resto parziale ottenuto è uguale a quello del polinomio divisore, si procede ulteriormente con la divisione si divide il primo termine ( ridotto per il primo termine ( divisore e si scrive il risultato basso a destra

) del polinomio ) del polinomio nello spazio in

si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.

Poiché il grado del resto ottenuto è inferiore a quello del polinomio divisore la divisione finisce

Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO

v 1.2

=

QUOZIENTE

DIVISORE

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+ RESTO

36


Divisione di due polinomi

algebra

2.

Eseguiamo la seguente divisione:

si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della . Si controlla che il polinomio dividendo sia completo si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il polinomio divisore a destra si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.

Tale operazione porta all’eliminazione del termine di grado massimo si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo ridotto per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Si osserva che, in questo caso, il polinomio resto è zero Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO

v 1.2

= QUOZIENTE

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DIVISORE

37


Scomposizione di un polinomio mediante la divisione

algebra

premessa Per scomporre un polinomio di qualunque grado nel prodotto di più polinomi ciascuno di grado inferiore a quello assegnato, si può ricorrere alla divisione del polinomio per un binomio di primo grado. Vediamolo con qualche esempio Fai attenzione che non tutti i polinomi si possono scomporre. Infatti come esistono i numeri primi esistono i polinomi primi esempi

1.

Scomponiamo il seguente polinomio di terzo grado in

si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile

per

si ha

per

si ha

per

si ha

per

si ha

si individuano i divisori del termine noto del polinomio (+6)

tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio. Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli. è il divisore cercato. Esso è detto “zero” del polinomio.

Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio si procede alla divisione tra il polinomio da scomporre e il binomio divisore trovato

si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il binomio divisore a destra si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo v 1.2

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38


algebra

Scomposizione di un polinomio mediante la divisione si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Tale operazione porta all’eliminazione del termine di grado massimo si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto dividendo

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto

si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto dividendo

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Se i calcoli sono corretti il resto è zero Per definizione di divisione: DIVIDENDO =

v 1.2

QUOZIENTE

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DIVISORE

39


algebra

Scomposizione di un polinomio mediante la divisione

2. Scomponiamo il seguente polinomio di quarto grado in

si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile si individuano i divisori del termine noto del polinomio

per

per

si ha

si ha

tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio. Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli. è il divisore cercato. Esso è detto “zero” del polinomio.

Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio si procede alla divisione tra il polinomio da scomporre e il binomio divisore trovato

si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti si crea la griglia come in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il binomio divisore a destra

si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra

si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.

Tale operazione porta all’eliminazione del termine di grado massimo v 1.2

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40


algebra

Scomposizione di un polinomio mediante la divisione si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto

si divide il polinomio ridotto per il binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra

si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto

si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Se i calcoli sono corretti il resto è zero

Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO

v 1.2

=

QUOZIENTE

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DIVISORE

41


Radicali

algebra

definizione di radice aritmetica si definisce radice aritmetica n-sima di , e si indica con con

numeri reali

e con

numero intero

nomenclatura

, quel numero

in simboli:

m è l’esponente del radicando

si chiama radicale

n è l’indice della radice

tale che:

proprietà

è il radicando

non ha significato

esempi

operazioni con i radicali operazione

nome

esempio

semplificazione riduzione allo stesso indice

e

prodotto di radicali rapporto di radicali trasporto di fattore dentro il segno di radice trasporto di fattore fuori il segno di radice potenza di radicali radice di radice

v 4.2

somma algebrica di radicali simili © 2013 - www.matematika.it

42


Radicali

algebra

razionalizzazione del denominatore di una frazione •

che cosa è: se al denominatore di una frazione compaiono uno o più radicali allora esso è un numero irrazionale.

La razionalizzazione è una operazione che consente di eliminare i radicali al denominatore rendendolo così un numero razionale.

come si fa: per razionalizzare il denominatore di una frazione bisogna moltiplicare il numeratore ed il

denominatore della frazione per uno stesso fattore detto “fattore razionalizzante”. Tale fattore va scelto in modo opportuno a seconda di come è formato il denominatore. Si distinguono quattro casi riportati di seguito, in essi il fattore razionalizzante è evidenziato in colore. caso:

al denominatore una sola radice quadrata

cosa fare

osserva che:

esempi

e che:

caso:

al denominatore una sola radice non quadrata cosa fare

osserva che:

esempi

e che:

caso:

al denominatore un polinomio con una o più radici quadrate cosa fare

osserva che il prodotto notevole

caso:

esempi

si può applicare anche ai seguenti casi 2

al denominatore un binomio con una o due radici cubiche

cosa fare

esempio

ricorda i prodotti notevoli:

v 4.2

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43


Radicali

algebra

radicale doppio •

che cosa è: un radicale doppio è formato da una radice quadrata il cui radicando è formato dalla

somma di un monomio e di un altra radice quadrata, cioè: come si risolve: se

è un quadrato perfetto, si applica la formula del radicale doppio che consente di trasformare il radicale doppio nella somma di due radici singole.

ricorda : un quadrato perfetto è un numero la cui radice quadrata è un numero naturale, ad esempio 4, 9, 16, 25 sono quadrati perfetti la formula si applica solo se

formula

è un quadrato perfetto

16 è un quadrato perfetto e la formula si può applicare

esempio

definizione di radice algebrica si definisce radice algebrica n-sima di , e si indica con con

numeri reali qualsiasi e con

numero intero

, quel numero

in simboli:

tale che:

l’esigenza di ampliare la definizione di radice aritmetica a quella di radice algebrica nasce dalla necessità di risolvere equazioni di secondo grado o di grado superiore al secondo del tipo esempi

caso n pari

caso n dispari

osservazioni importanti

v 4.2

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44


Equazioni di secondo grado

algebra

formule risolutive equazione

nome

procedimento

equazione completa

si applica la formula completa

equazione completa con b pari

si applica la formula ridotta

equazione pura b = 0

soluzioni o radici

• si isola

• si estrae la radice quadrata

algebrica

• si raccoglie la x

equazione spuria c = 0 • si applica la legge di annullamento del prodotto equazione monomia

ha sempre due soluzioni nulle

le soluzioni di una equazione sono dette anche radici dell’equazione

significato del delta

un’equazione di 20 grado ammette sempre due soluzioni che sono distinte, coincidenti o non reali secondo il segno del soluzioni reali e distinte

soluzioni reali e coincidenti

proprietà

soluzioni non reali (o complesse)

è la relazione tra la somma delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado. Si applica solo se è la relazione tra il prodotto delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado. Si applica solo se

serve per scrivere il testo dell’equazione di II grado quando si conosce la somma e il prodotto delle soluzioni serve a scomporre un trinomio di II grado dove le soluzioni dell’equazione

e

sono

regola di Cartesio: segno delle soluzioni la regola di Cartesio permette di trovare il segno delle soluzioni di una equazione di II grado. Si può applicare solo se •

permanenza variazione v 3.7

• •

si osservano i segni dei coefficienti a, b, c

ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva

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45


algebra

Equazioni parametriche:

tabella delle condizioni

condizioni sotto forma di enunciato

cosa fare

sotto forma algebrica

soluzione

una radice è nulla

sostituire zero al posto di

la somma delle radici è uguale al numero n

porre la somma uguale a n

una radice è uguale ad un numero n il prodotto delle radici è uguale al numero n le radici sono opposte

le radici sono reciproche

le radici sono antireciproche le radici sono concordi le radici sono discordi

le radici sono coincidenti le radici sono reali

le radici sono reali e distinte le radici sono non reali l’equazione è pura

l’equazione è spuria

la somma dei reciproci delle radici è uguale a n la somma dei quadrati delle radici è uguale a n la somma dei quadrati dei reciproci delle radici è uguale a n

sostituire n al posto di

porre il prodotto uguale a n porre la somma uguale a 0

porre il prodotto uguale a 1

porre il prodotto uguale a -1 porre il prodotto > 0 porre il prodotto < 0 porre il porre il porre il porre il

nell’equazione data porre nell’equazione data porre porre porre porre

uguale a n

uguale a n

la somma dei cubi delle radici è uguale a n

porre

una radice è multipla dell’altra secondo il fattore n

risolvere il sistema

la somma dei cubi dei reciproci delle radici è uguale a n

porre

uguale a n

ricorda che

• •

è la relazione tra la somma delle radici e i coefficienti dell’equazione di II grado

è la relazione tra il prodotto delle radici e i coefficienti dell’equazione di II grado

osserva che le radici di una equazione parametrica si possono accettare solo se appartengono al campo di esistenza della equazione. Il campo di esistenza si calcola imponendo il Δ ≥ 0 cioè

v 2.8

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46


algebra

l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:

l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:

Disequazioni di Secondo Grado

x1

x2

valori esterni

l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

x2

valori interni

x

x nessuna soluzione

tutti i numeri tranne

x

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:

x1

x1

nessuna soluzione

x2

x1

valori esterni con estremi compresi

x

x2

valori interni con estremi compresi

x

x solo

x

x nessuna soluzione

disequazioni di secondo grado immediate

v 3.1

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47


algebra

Equazioni e disequazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni binomie

che cos’è : un’equazione si dice binomia se è formata da un termine di grado ed un termine noto:

come si risolve : si ricava

e si estrae la radice algebrica n-sima distinguendo i casi con

pari e quelli con

dispari:

ha due soluzioni (opposte) solo se il radicando è maggiore o uguale a 0

se n è pari

ha sempre una sola soluzione che ha lo stesso segno del radicando

se n è dispari

esempi caso n pari

• •

nessuna soluzione

esempi caso n dispari

• •

equazioni biquadratiche •

che cos’è : un’equazione si dice biquadratica se è formata da un termine di 4° grado, uno di 2° grado ed un termine noto:

come si risolve : si sostituisce la

con la variabile ausiliaria ottenendo una equazione di 20 grado in ; si risolve l’equazione di 20 grado in ; si risostituisce la al posto di e ; si risolvono le due equazioni binomie:

esempio con 4 soluzioni reali: caso

e

positivi

esempio con 2 soluzioni reali: caso

negativo e

positivo (o viceversa) nessuna soluzione

esempio con nessuna soluzione reale: caso

e

negativi nessuna soluzione

nessuna soluzione

v 3.4

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48


algebra

Equazioni e disequazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni trinomie

che cos’è : un’equazione si dice trinomia se è formata da un termine di grado

come si risolve : si sostituisce la 20

grado in ; si risostituisce la

, uno di grado

ed un termine noto:

con la variabile ottenendo una equazione di 20 grado in ; si risolve l’equazione di al posto di e ; si risolvono le due equazioni binomie:

esempi •

nessuna soluzione

disequazioni binomie una disequazione binomia si risolve in modo diverso a seconda che l’esponente numero dispari. Distinguiamo i due casi.

sia un numero pari o un

caso pari: una disequazione binomia si risolve con lo stesso procedimento di una disequazione di 20 grado pura, cioè • • •

si trasforma la disequazione binomia nell’equazione binomia associata e si risolve l’equazione se l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte allora ; se non ha soluzioni reali allora si perviene alla soluzione della disequazione binomia consultando la tabella risolutiva delle disequazioni di 20 grado, tenendo conto del segno del e del segno della disequazione esempi caso n pari

perché il primo membro è somma di quantità sempre positive

caso • •

perché il primo membro è sempre positivo

dispari: il procedimento risolutivo è unico, cioè

si isola al primo membro si estrae la radice algebrica n-sima al primo e al secondo membro

esempi caso n dispari

disequazioni biquadratiche e trinomie una disequazione biquadratica • • • • • v 3.4

o una disequazione trinomia

si risolve così:

si sostituisce o con la variabile ausiliaria t esattamente come già fatto per le equazioni biquadratiche e trinomie si ottiene una disequazione di secondo grado nell’incognita t si risolve la disequazione si risostituisce la o la ottenendo due disequazioni binomie nella variabile si risolvono le disequazioni binomie come illustrato nel riquadro precedente © 2013 - www.matematika.it

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Equazioni irrazionali e in valore assoluto

algebra

equazioni irrazionali equazioni irrazionali con una radice quadrata con un polinomio a secondo membro

con un numero positivo a secondo membro

con lo zero a secondo membro

con un numero negativo a secondo membro nessuna soluzione

equazioni irrazionali con due radici quadrate

si applica lo schema risolutivo per equazioni irrazionali con una sola radice quadrata equazioni irrazionali con radici cubiche

per risolvere una equazione irrazionale con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

equazioni in valore assoluto definizione di valore assoluto il valore assoluto di • •

se

se

è uguale a:

è maggiore o uguale a zero

è minore di zero

equazioni con un solo valore assoluto con un polinomio a secondo membro

con un numero positivo a secondo membro

con un numero negativo a secondo membro

con lo zero a secondo membro

nessuna soluzione

equazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B II

I

A>0

si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico

dall’osservazione del grafico l’equazione si scinde nei seguenti sistemi: III

B>0 b

a

I v 2.6

II © 2013 - www.matematika.it

III 50


Disequazioni irrazionali

algebra

disequazioni con una radice quadrata ed un polinomio a secondo membro

disequazioni con una radice quadrata: casi particolari con un numero positivo

con un numero negativo

a secondo membro

con lo zero

a secondo membro

a secondo membro

nessuna soluzione

nessuna soluzione

nessuna soluzione

disequazioni con due radici quadrate

(o in generale con due radici ad indice pari)

per risolvere una disequazione con due radici quadrate basta isolare le radici ai due membri e risolvere il sistema formato dai radicandi posti maggiori o uguali a zero e dalla disequazione ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri gli schemi precedenti si possono applicare solo se, una volta isolate le radici ai due membri, esse risultano entrambe positive

disequazioni con radici cubiche

con una sola radice cubica

(o in generale con due radici ad indice dispari)

con due radici cubiche

per risolvere una disequazione con due radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

disequazioni con radici ad indice diverso

nel caso di disequazioni con radici ad indice diverso, si calcola il m c m degli indici, si portano le radici allo stesso indice (il m c m degli indici), si sviluppano i calcoli e si risolve la disequazione ottenuta applicando uno degli schemi precedenti

v 2.6

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51


Disequazioni in valore assoluto

algebra

definizione di valore assoluto il valore assoluto di è uguale a: • se è maggiore o uguale a zero

se

è minore di zero

disequazioni con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro

disequazioni con un solo valore assoluto: casi particolari con un numero positivo n

con un numero negativo - n

a secondo membro

con lo zero

a secondo membro

a secondo membro

nessuna soluzione

nessuna soluzione

nessuna soluzione

disequazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B II

I

A>0

si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi: III

B>0 a

I v 3.4

b

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III 52


geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana I cinque postulati di Euclide I postulato

Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta II postulato

Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare una retta linea terminata direttamente in continuo quanto ne pare. La linea retta si può prolungare indefinitamente III postulato

Anchora adimandiamo che ce sia concesso, che sopra a qualunque centro ne piace puotiamo designare un cerchio di che grandezza ci pare. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio IV postulato

Similmente adimandiamo, che ci sia concesso tutti li angoli retti esser fra loro equali. Tutti gli angoli retti sono uguali

V postulato

Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta cascarà sopra due linee rette, e che duoi angoli da una parte siano minori di duoi angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte sia necessario congiongersi. Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo piatto V postulato: enunciato equivalente

Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela alla retta data

v 2.3

Gli enunciati dei 5 postulati di Euclide sono tratti da "Gli Elementi di Euclide" nella traduzione di Niccolò Tartaglia, edizione del 1565 © 2013 - www.matematika.it

53


Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

Definizioni segmento

Il segmento è quella parte di retta compresa da due suoi punti detti estremi

segmenti consecutivi consecutivi

Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune

Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta

adiacenti

punto medio di un segmento

M

Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti congruenti Il punto medio di un segmento è unico

semiretta

La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto detto origine della semiretta semipiano

Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta detta origine del semipiano

angolo

L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine Le due semirette si chiamano lati dell’angolo L’origine comune delle due semirette si chiama vertice dell’angolo v 2.3

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Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

angolo concavo e angolo convesso concavo convesso

Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati

Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei lati angoli consecutivi e adiacenti

Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune

consecutivi

Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte

adiacenti

angoli opposti al vertice

Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro bisettrice di un angolo

b

La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti angolo piatto e angolo retto

Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte

180° 90°

Un angolo si dice retto se è metà di un angolo piatto Un angolo piatto misura 180° Un angolo retto misura 90°

angolo giro e angolo nullo 360° 0°

v 2.3

Un angolo giro è la parte concava dell’angolo che ha per lati due semirette coincidenti

Un angolo nullo è la parte convessa dell’angolo che ha per lati due semirette coincidenti Un angolo giro misura 360° Un angolo nullo misura 0° ed è privo di punti interni © 2013 - www.matematika.it

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Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

angoli acuti e ottusi acuto

ottuso

Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto

Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto angoli complementari, supplementari, esplementari

complementari

supplementari

Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto

Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro

esplementari

rette perpendicolari

Due rette sono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti rette parallele

Due rette che appartengono allo stesso piano sono parallele se • sono coincidenti oppure se • non hanno alcun punto in comune asse di un segmento

L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio

M

poligonale o spezzata

lato vertice

v 2.3

Una poligonale (o spezzata) è una figura formata da più segmenti ordinatamente consecutivi, appartenenti allo stesso piano I segmenti si chiamano lati della poligonale Gli estremi dei segmenti si chiamano vertici della poligonale © 2013 - www.matematika.it

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Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

poligonale aperta/chiusa

Una poligonale è aperta se si distingue un primo ed un ultimo punto aperta

chiusa

Una poligonale è chiusa se l’ultimo punto coincide con il primo punto poligonale intrecciata

Una poligonale è intrecciata quando almeno due lati non consecutivi si intersecano poligono

Un poligono è la parte di piano racchiusa da un poligonale chiusa non intrecciata poligoni convessi e concavi

Un poligono è convesso se un qualunque segmento che unisce due suoi punti è contenuto interamente nella figura convesso

concavo

Un poligono è concavo se esiste almeno un segmento che unisce due suoi punti che non è contenuto interamente nella figura poligono regolare

Un poligono è regolare se ha lati e angoli congruenti angolo interno e angolo esterno di un poligono convesso

interno

esterno

Un angolo interno di un poligono convesso è l’angolo convesso formato da due lati consecutivi del poligono

Un angolo esterno di un poligono convesso è l’angolo adiacente ad un angolo interno del poligono diagonale e corda di un poligono

Una diagonale di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi del poligono Una corda di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due punti del poligono appartenenti a lati diversi v 2.3

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Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

perimetro di un poligono

Il perimetro di un poligono è la somma di tutti i suoi lati

Due poligoni che hanno i perimetri congruenti sono detti isoperimetrici triangolo b

c

Un triangolo è un poligono formato da tre lati

a

triangolo isoscele

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti

I lati congruenti si chiamano lati del triangolo Il lato disuguale si chiama base del triangolo Gli angoli adiacenti alla base si chiamano angoli alla base L’angolo compreso tra i due lati congruenti si chiama angolo al vertice triangolo scaleno ed equilatero

scaleno

equilatero

rettangolo acutangolo

ottusangolo

Un triangolo si dice scaleno se ha i tre lati disuguali

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto Un triangolo si dice acutangolo se ha i tre angoli acuti Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Nel triangolo rettangolo i lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti, il lato maggiore, opposto all’angolo retto, si chiama ipotenusa altezza di un triangolo

h

v 2.3

L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento perpendicolare al lato, condotto dal vertice opposto al lato stesso Il triangolo ha tre altezze Se il triangolo è acutangolo le altezze sono tutte interne Se il triangolo è rettangolo due altezze coincidono con i cateti Se il triangolo è ottusangolo due altezze sono esterne al triangolo © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana bisettrice di un angolo di un triangolo

La bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice dell’angolo considerato Il triangolo ha tre bisettrici mediana di un lato di un triangolo

La mediana relativa al lato di un triangolo è il segmento di estremi il punto medio del lato ed il vertice opposto al lato Il triangolo ha tre mediane

asse di un lato di un triangolo

L’asse di un lato di un triangolo è la retta perpendicolare al lato passante per il punto medio del lato ortocentro

L’ortocentro è il punto di incontro delle altezze di un triangolo Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto

incentro

L’incentro è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo

baricentro

Il baricentro è il punto di incontro delle mediane di un triangolo

v 2.3

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59


Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

circocentro

Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo Il circocentro può essere anche esterno al triangolo Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell’ipotenusa

excentro

L’excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni del triangolo Ogni triangolo ha tre excentri

proiezione di un punto su una retta P

La proiezione di un punto su una retta è il punto d’intersezione tra la retta perpendicolare condotta dal punto alla retta e la retta stessa

P’

distanza di un punto da una retta P

d

La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta proiezione di un segmento su una retta

B A

B’

A’

distanza tra rette parallele

d

v 2.3

La proiezione di un segmento su una retta è il segmento sulla retta che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato

La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una di esse dall’altra retta

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Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

5 8

1

2

4

3 6 7

Due rette tagliate da una trasversale formano le seguenti coppie di angoli: alterni interni (4, 6) (3, 5) alterni esterni (1, 7) (2, 8) corrispondenti (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8) coniugati interni (4, 5) (3, 6) coniugati esterni (1, 8) (2, 7) trapezio

Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli I due lati paralleli si chiamano basi del trapezio parallelogrammo

Il parallelogrammo è un quadrilatero con i lati a due a due paralleli rettangolo

Il rettangolo è un parallelogrammo con quattro angoli retti rombo

Il rombo è un parallelogrammo con quattro lati congruenti quadrato

Il quadrato è un parallelogrammo con gli angoli e i lati congruenti Il quadrato è un poligono regolare

v 2.3

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Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

Esempi di alcuni luoghi geometrici: • l’asse di un segmento • la bisettrice di un angolo • la circonferenza • la parabola • l’ellisse • l’iperbole

C

r

P

luogo geometrico

Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una stessa proprietà La proprietà è detta proprietà caratteristica del luogo geometrico

circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro La distanza di un punto della circonferenza dal centro si chiama raggio

cerchio

Il cerchio è la figura formata dai punti della circonferenza e dai punti interni ad essa corda di una circonferenza

Una corda di una circonferenza è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza La corda che passa per il centro si chiama diametro

arco di circonferenza

Un arco di circonferenza è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti angolo al centro

Un angolo al centro di una circonferenza o di un cerchio è un qualsiasi angolo con il vertice nel centro della circonferenza

v 2.3

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geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana settore circolare

Il settore circolare è ciascuna delle due parti di cerchio delimitate da un angolo al centro segmento circolare ad una base

Il segmento circolare ad una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio rimane diviso da una sua corda L’ altezza del segmento circolare ad una base è il segmento sull’asse della corda compreso tra la circonferenza e il punto medio della corda

segmento circolare a due basi

Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio delimitata da due corde parallele L’altezza del segmento circolare a due basi è la distanza tra le due corde

corona circolare

Una corona circolare è la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche retta secante ad una circonferenza

Una retta si dice secante ad una circonferenza se ha due punti in comune con la circonferenza retta tangente ad una circonferenza

Una retta si dice tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con la circonferenza La retta tangente è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza

retta esterna ad una circonferenza

Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con la circonferenza v 2.3

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geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana angolo alla circonferenza

Un angolo alla circonferenza è un angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti alla circonferenza o uno secante e l’altro tangente poligono inscritto in una circonferenza

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono sulla circonferenza poligono circoscritto ad una circonferenza

Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza figure equivalenti

Due figure sono equivalenti se hanno la stessa estensione grandezze omogenee

a

a=b

b

b<c

c

Due o più grandezze sono omogenee se è possibile confrontarle tra loro, cioè se è possibile stabilire tra loro una relazione di uguaglianza o di disuguaglianza grandezze commensurabili

u

3u 5u

v 2.3

Due o più grandezze omogenee sono commensurabili se hanno una grandezza sottomultipla in comune

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Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

grandezze incommensurabili

Due grandezze omogenee sono incommensurabili se non hanno una grandezza sottomultipla in comune

d

Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono un esempio classico di grandezze incommensurabili

misura di una grandezza

u a

a=5u

La misura di una grandezza rispetto ad una grandezza omogenea assegnata è il rapporto tra le due grandezze grandezze direttamente proporzionali

a ● b ● c ●

● a’ ● b’ ● c’

a ● b ● c ●

● a’ ● b’ ● c’

Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe grandezze inversamente proporzionali

Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto inverso tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe poligoni simili

Due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati da essi formati in proporzione parte aurea o sezione aurea di un segmento

La parte aurea o sezione aurea di un segmento è la parte di segmento media proporzionale tra il segmento e la parte rimanente Se è la lunghezza del segmento ed

la sua sezione aurea, la proporzione si scrive:

che risolta in

dà:

circonferenza rettificata

La circonferenza rettificata è l’unico segmento che sia: • minore del perimetro di ogni poligono regolare circoscritto ad essa • maggiore del perimetro di ogni poligono regolare inscritto in essa v 2.3

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

la congruenza teoremi sugli angoli teorema sugli angoli complementari

γ α

β

Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti allora sono congruenti

teorema sugli angoli supplementari

γ α

β

Se due angoli sono supplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono supplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti

teorema sugli angoli esplementari

γ α

β

Se due angoli sono esplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono esplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti

teorema sugli angoli opposti al vertice

Gli angoli opposti al vertice sono congruenti teoremi sui triangoli I criterio di congruenza

Se due triangoli hanno due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza

Se due triangoli hanno due angoli e il lato tra essi compreso congruenti allora sono congruenti v 2.5

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geometria piana

Teoremi di geometria piana III criterio di congruenza

Se due triangoli hanno i tre lati congruenti allora sono congruenti I teorema sul triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora gli angoli adiacenti alla base sono congruenti Vale anche l’inverso:

Se un triangolo ha due angoli congruenti allora il triangolo è isoscele

II teorema sul triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è mediana e altezza relativa alla base

Vale anche: In un triangolo isoscele • la mediana relativa alla base è bisettrice dell’angolo al vertice e altezza relativa alla base

l’altezza relativa alla base è mediana relativa alla base e bisettrice dell’angolo al vertice

I teorema sul triangolo equilatero

Se un triangolo è equilatero allora gli angoli sono tutti congruenti

Vale anche l’inverso:

Se un triangolo ha tutti gli angoli congruenti allora è un triangolo equilatero

II teorema sul triangolo equilatero

Se un triangolo è equilatero allora le tre mediane coincidono con le tre bisettrici, con le tre altezze e con i tre assi II criterio di congruenza generalizzato

Se due triangoli hanno due angoli e un lato congruenti allora sono congruenti v 2.5

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geometria piana

Teoremi di geometria piana I criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno i due cateti congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto opposto congruenti allora sono congruenti Vale anche:

Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto adiacente congruenti allora sono congruenti

III criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un angolo acuto congruenti allora sono congruenti IV criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un cateto congruenti allora sono congruenti teorema della mediana in un triangolo rettangolo

In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa teorema inverso della mediana in un triangolo rettangolo

Se in un triangolo la mediana relativa al lato maggiore è congruente alla metà di questo allora il triangolo è rettangolo v 2.5

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo

In un triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto I teorema dell’angolo esterno

In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente ad esso Osserva che:

La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto

II teorema dell’angolo esterno

In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso I teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo

Se un triangolo ha due lati disuguali allora al lato maggiore si oppone l’angolo maggiore Vale anche:

Se un triangolo ha due angoli disuguali allora all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore

II teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo

b

c

a

In un triangolo ogni lato: • è minore della somma degli altri due • è maggiore della differenza degli altri due • •

Ad esempio: oppure oppure

oppure oppure

relazione tra gli elementi di due triangoli

Se due triangoli hanno due lati congruenti e gli angoli compresi disuguali allora dei terzi lati è maggiore quello opposto all’angolo maggiore Vale anche l’inverso:

Se due triangoli hanno due lati congruenti e i terzi lati diseguali allora degli angoli opposti ai terzi lati è maggiore quello opposto al lato maggiore v 2.5

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

teoremi sui poligoni I criterio di congruenza dei poligoni

Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due lati consecutivi e dell’angolo compreso allora essi sono congruenti II criterio di congruenza dei poligoni

Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due angoli e del lato compreso allora essi sono congruenti III criterio di congruenza dei poligoni

Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di tre angoli consecutivi allora essi sono congruenti

a

b

teorema sulle disuguaglianze dei lati di un poligono

d

c b

In un poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri lati

e

a c

d

e

oppure

Ad esempio:

oppure

relazione tra i perimetri di due poligoni

Se un poligono convesso è inscritto in un altro poligono allora il suo perimetro è minore del perimetro del poligono circoscritto teoremi sulle rette perpendicolari e sulle rette parallele teorema sulle rette perpendicolari

r

v 2.5

s

Se due rette incidenti formano un angolo retto allora esse sono perpendicolari © 2013 - www.matematika.it

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sull’esitenza ed unicità della retta perpendicolare P

Da un punto esterno ad una retta passa una ed una sola perpendicolare alla retta stessa Osserva che:

Il teorema vale anche nel caso in cui il punto appartiene alla retta

P

teorema sulla distanza di un punto da una retta

P

La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta

d

Osserva che:

La distanza di un punto da una retta è il segmento minore tra tutti i segmenti condotti dal punto alla retta

teorema sull’esistenza di rette parallele

Se due rette sono perpendicolari ad una stessa retta allora esse sono parallele tra loro Vale anche:

Se due rette sono parallele allora una terza retta perpendicolare alla prima è anche perpendicolare alla seconda

teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale

2

1

3

4

Due rette parallele tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni ed alterni esterni congruenti • angoli corrispondenti congruenti • angoli coniugati interni e coniugati esterni supplementari

6

5 8

7

criterio di parallelismo 2

1 4

3 6

5 8

7

Se due rette tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni o alterni esterni congruenti o • angoli corrispondenti congruenti o • angoli coniugati interni o coniugati esterni supplementari allora le due rette sono parallele proprietà transitiva del parallelismo

r

v 2.5

s

t

Se due rette sono parallele ad una terza retta allora esse sono parallele tra loro

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geometria piana

Teoremi di geometria piana distanza tra due rette parallele

Se due rette sono parallele allora i punti di una retta hanno uguale distanza dall’altra retta cioè le due rette mantengono sempre la stessa distanza

teoremi sulle proiezioni

teorema sulle proiezioni congruenti

Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni congruenti allora essi sono congruenti Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta sono congruenti allora hanno proiezioni congruenti

teorema sulle proiezioni non congruenti

Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni non congruenti allora è maggiore il segmento avente proiezione maggiore Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta non sono congruenti allora quello maggiore ha proiezione maggiore

teorema generale sulle proiezioni

La proiezione di un segmento su una retta è minore o uguale del segmento stesso teoremi sui quadrilateri particolari teorema sul trapezio

Se un trapezio è isoscele allora • gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti • le diagonali sono congruenti teorema sul parallelogrammo

v 2.5

In un parallelogrammo: • i triangoli in cui esso viene diviso da una diagonale sono congruenti • i lati opposti sono a due a due congruenti • gli angoli opposti sono a due a due congruenti • le diagonali si incontrano nel loro punto medio • gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari © 2013 - www.matematika.it

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema inverso sul parallelogrammo

Se un quadrilatero ha: • i lati opposti a due a due congruenti o • gli angoli opposti a due a due congruenti o • le diagonali che si incontrano nel loro punto medio o • gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari o • due lati opposti congruenti e paralleli allora il quadrilatero è un parallelogrammo teorema sul rettangolo

In un rettangolo le diagonali sono congruenti Vale anche l’inverso: Se un parallelogrammo ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo

teorema sul rombo

In un rombo le diagonali sono • perpendicolari tra loro • bisettrici degli angoli interni

Vale anche l’inverso:

Se in un parallelogrammo le diagonali sono • perpendicolari tra loro o • bisettrici degli angoli interni allora il parallelogrammo è un rombo

primi teoremi sul fascio di rette parallele teorema sul fascio di rette parallele

t’

t

Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali allora a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale

teorema della parallela dal punto medio di un lato di un triangolo

M

M’

Se dal punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un secondo lato allora questa incontra il terzo lato nel suo punto medio teorema sulla corda dei punti medi di due lati di un triangolo

M

v 2.5

M’

Se una corda di un triangolo ha per estremi i punti medi di due lati allora essa è parallela al terzo lato ed uguale alla sua metà © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Teoremi di geometria piana teoremi sulla circonferenza teorema sulla relazione tra diametro e corda

In una circonferenza, un diametro è maggiore di qualunque corda teorema sull’asse di una corda

Se un diametro di una circonferenza è perpendicolare ad una corda allora il diametro la dimezza Vale anche:

L’asse di una corda passa per il centro della circonferenza

teorema sui punti di una circonferenza

Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza Vale anche:

Tre punti di una circonferenza non possono essere allineati

I teorema sulle corde e loro distanza dal centro

Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora sono equidistanti dal centro

Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti

II teorema sulle corde e loro distanza dal centro

Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono disuguali allora la corda maggiore ha distanza minore dal centro

Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno distanza disuguale dal centro allora è maggiore la corda con distanza minore dal centro

teorema sulla relazione tra archi, corde e angoli al centro

Se due angoli al centro di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora gli archi e le corde corrispondenti sono congruenti

Vale anche l’inverso: Se due archi (corde) di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora le corde (gli archi) e gli angoli al centro corrispondenti sono congruenti v 2.5

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sulla posizione reciproca di una retta e di una circonferenza

Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore, uguale o maggiore del raggio allora la retta ha in comune con la circonferenza rispettivamente due punti (secante), un punto (tangente), nessun punto (esterna) Vale anche l’inverso:

Se una retta ha in comune con una circonferenza due punti o un punto o nessun punto allora la retta ha distanza dal centro della circonferenza, rispettivamente, minore, uguale o maggiore del raggio

teorema sulla retta tangente ad una circonferenza

Se una retta è tangente in un punto ad una circonferenza allora è perpendicolare al raggio in quel punto Vale anche l’inverso:

Se una retta è perpendicolare al raggio in un punto appartenente alla circonferenza allora la retta è tangente alla circonferenza in quel punto

I teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze esterne

C

r

r’

C’

Se due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza tra i centri di due circonferenze è maggiore della somma dei raggi allora le due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra (circonferenze esterne)

II teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti esterne

Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti esterne)

III teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze secanti

Se due circonferenze hanno due punti in comune allora la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza tra i centri di due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno due punti in comune (circonferenze secanti)

IV teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti interne

Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una interni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti interne) v 2.5

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geometria piana

Teoremi di geometria piana V teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze interne

Se due circonferenze hanno i punti dell’una interna all’altra allora la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi Vale anche l’inverso:

Se la distanza dei centri di due circonferenze è minore della differenza dei raggi allora i punti dell’una sono interni all’altra (circonferenze interne)

teorema sugli angoli alla circonferenza

In ogni circonferenza un angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco o sulla stessa corda I teorema sugli angoli alla circonferenza

Se due angoli alla circonferenza insistono sullo stesso arco o sulla stessa corda allora sono congruenti II teorema sugli angoli alla circonferenza

Se due angoli alla circonferenza insistono su archi o su corde congruenti allora sono congruenti Vale anche l’inverso:

Se due angoli alla circonferenza sono congruenti allora gli archi e le corde su cui insistono sono congruenti

III teorema sugli angoli alla circonferenza

Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza allora è retto Osserva che:

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo

teorema delle tangenti ad una circonferenza

Se da un punto esterno ad circonferenza si tracciano le tangenti ad essa allora i segmenti compresi tra il punto esterno e i punti di tangenza alla circonferenza sono congruenti Vale anche:

v 2.5

La retta che congiunge il punto esterno alla circonferenza con il suo centro è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti © 2013 - www.matematika.it

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

luoghi geometrici asse di un segmento

M

L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo punti notevoli di un triangolo circocentro

Gli assi dei tre lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto circocentro Osserva che:

Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ed è equidistante dai vertici del triangolo

incentro

Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto detto incentro Osserva che:

L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo ed è equidistante dai lati del triangolo

baricentro

G

Le mediane dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tale che quella contenente il vertice è doppia dell’altra Osserva che:

Il baricentro di una figura viene indicato tradizionalmente con la lettera G

ortocentro

Le altezze relative ai lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto ortocentro v 2.5

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

triangolo equilatero

In un triangolo equilatero i punti notevoli coincidono Osserva che:

In un triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo è doppio del raggio della circonferenza inscritta al triangolo stesso

distanza del baricentro dai lati di un triangolo

In ogni triangolo la distanza del baricentro da un lato è congruente alla terza parte dell’altezza relativa allo stesso lato

G

teorema di Eulero

C

G

O

In ogni triangolo il circocentro C, il baricentro G e l’ortocentro O sono allineati cioè giacciono sulla stessa retta detta retta di Eulero. La distanza tra il baricentro e l’ortocentro è doppia della distanza tra baricentro e circocentro corollario al teorema di Eulero

C

G

O

La distanza del circocentro da un lato è congruente alla metà del segmento che congiunge l’ortocentro con il vertice opposto a tale lato poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza teorema sui quadrilateri inscritti

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari Vale anche l’inverso:

Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è inscrittibile in una circonferenza

corollario

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora un suo angolo esterno è congruente all’angolo interno opposto al suo adiacente Vale anche:

Se un quadrilatero ha due angoli opposti retti allora è inscrittibile in una circonferenza v 2.5

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

d a

a

teorema sui quadrilateri circoscritti

c

c

b

Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due lati

b

Vale anche l’inverso:

Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due allora il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza

d

corollario

b

l

l

B

B

l

l

b

Se in un trapezio isoscele la somma della basi è congruente al doppio del lato obliquo allora il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza Vale anche:

Ogni quadrilatero equilatero cioè con i lati congruenti è circoscrittibile ad una circonferenza

teorema sulla inscrittibilità e circoscrittibilità dei poligoni regolari r

a

Se un poligono è regolare allora si può inscrivere e circoscrivere con due circonferenze concentriche il centro delle due circonferenze è detto centro del poligono regolare

teorema sui poligoni regolari

Se si divide una circonferenza in tre o più archi congruenti allora il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di divisione e il poligono ottenuto conducendo le tangenti alla circonferenza negli stessi punti sono poligoni regolari teorema sul lato dell’esagono regolare

O

v 2.5

Il lato di un esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta ad esso

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

l’equivalenza e la similitudine teoremi sull’equivalenza teorema sull’equivalenza di parallelogrammi

Se due parallelogrammi hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti secondo teorema sull’equivalenza di parallelogrammi

Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le basi congruenti allora essi hanno anche le altezze congruenti Vale anche: Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le altezze congruenti allora essi hanno anche le basi congruenti

teorema sull’equivalenza del triangolo e del parallelogrammo

Se un triangolo ha la stessa altezza di un parallelogrammo e la base congruente al doppio di quella del parallelogrammo allora il triangolo e il parallelogrammo sono equivalenti Vale anche: Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti

teorema sull’equivalenza di due triangoli

Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti

Vale anche: Se due triangoli sono equivalenti ed hanno le basi (o le altezze) congruenti allora essi hanno anche le altezze (o le basi) congruenti

teorema sull’equivalenza del triangolo e del trapezio

Se un triangolo ha la stessa altezza di un trapezio e la base congruente alla somma delle basi del trapezio allora il triangolo e il trapezio sono equivalenti b

r

v 2.5

a a

r

teorema sull’equivalenza di un poligono circoscritto ad una circonferenza e di un triangolo

c d b

c

d

Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza allora è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza © 2013 - www.matematika.it

80


Teoremi di geometria piana

geometria piana

b r

c

d

r

a

a

teorema sull’equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo e

b

c

d

e

Se un poligono è regolare allora è equivalente ad un triangolo avente la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema del poligono (cioè al raggio della circonferenza inscritta nel poligono) teorema sull’equivalenza del trapezio rettangolo e del rettangolo

Se un trapezio rettangolo è circoscrittibile ad una circonferenza allora esso è equivalente ad un rettangolo avente i lati congruenti alle basi del trapezio teorema sull’equivalenza del triangolo rettangolo e del rettangolo

Un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti ai due segmenti in cui l’ipotenusa è divisa dal punto di contatto con la circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo I teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza)

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa

Q

R

Q è equivalente ad R

Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito su un lato minore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del lato minore sul lato maggiore e il lato maggiore allora il triangolo è rettangolo

II teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza )

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

Q

R

Q è equivalente ad R

Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sull’altezza relativa al lato maggiore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni degli altri due lati sul lato maggiore allora il triangolo è rettangolo

teorema di Pitagora

Q2

Q1 Q

v 2.5

Q è equivalente a Q1+ Q2

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sul lato maggiore di un triangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati allora il triangolo è rettangolo © 2013 - www.matematika.it

81


Teoremi di geometria piana

geometria piana

Grandezze omogenee e Grandezze proporzionali teorema sull’incommensurabilità tra il lato del quadrato e la sua diagonale

Il lato del quadrato e la sua diagonale sono segmenti incommensurabili

Osserva che: Il rapporto tra il lato del quadrato e la sua diagonale è un numero irrazionale, cioè un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola Se e sono due grandezze commensurabili allora può essere: 1. un numero intero 2. un numero decimale con finite cifre dopo la virgola 3. un numero periodico Se e sono due grandezze incommensurabili allora è un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola

:

=

:

= a ● b ● c ● allora allora 4

8 2

4

Assegnate tre grandezze se le prime due sono omogenee tra loro allora esiste ed è unica la quarta grandezza omogenea con la terza che è quarta proporzionale dopo le tre Condizione necessaria e sufficiente affinché le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: • a grandezze uguali in una classe corrispondono grandezze uguali dell’altra • alla somma di due o più grandezze qualsiasi di una classe corrisponde la somma delle grandezze corrispondenti dell’altra classe teoremi sui rettangoli proporzionali alle basi

28 7

8 : 28 = 2 : 7 v 2.5

teorema fondamentale sulla proporzionalità

Criterio generale di proporzionalità

● a’ ● b’ ● c’

Se Se

Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale Il rapporto di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale

teorema sulla quarta proporzionale

:

=

Se il rapporto di due grandezze omogenee è un numero razionale allora le due grandezze sono commensurabili

Condizione necessaria e sufficiente affinché quattro grandezze a due a due omogenee siano in proporzione è che lo siano le loro misure

a : b = c : d :

teorema sul rapporto di grandezze commensurabili

I rettangoli aventi altezze congruenti sono proporzionali alle rispettive basi Vale anche: I rettangoli aventi basi congruenti sono proporzionali alle rispettive altezze © 2013 - www.matematika.it

82


Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sugli elementi proporzionali in un cerchio

β b

α a

Gli archi di uno stesso cerchio o di cerchi congruenti sono proporzionali ai rispettivi angoli al centro

a : b = α : β 12

3

2

teorema sui rettangoli equivalenti e sui segmenti in proporzione

Se quattro segmenti sono in proporzione allora il rettangolo che ha per lati i segmenti estremi della proporzione è equivalente al rettangolo che ha per lati i segmenti medi della proporzione

12

4

6

Vale anche l’inverso: Se due rettangoli sono equivalenti allora due lati consecutivi dell’uno sono i medi e i due lati consecutivi dell’altro sono gli estremi di una stessa proporzione

4 : 6 = 2 : 3

teorema sui segmenti e sui quadrati in proporzione

3 4 6

8

3:4 = 6:8 9 : 16 = 36 : 64

b’

b

a : b = a’ : b’

La bisettrice dell’angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati

P

B

A

Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai corrispondenti segmenti sull’altra trasversale teorema sulla bisettrice dell’angolo interno di un triangolo

C

CP : PB = AC : AB P C B

AP : CP = AB : BC v 2.5

teorema di Talete

a’

a

A

Se quattro segmenti sono in proporzione allora i quadrati costruiti su di essi sono in proporzione

Vale anche l’inverso:

Se un punto interno ad un lato di un triangolo divide il lato in parti proporzionali agli altri due lati allora la congiungente il punto con il vertice opposto è la bisettrice dell’angolo compreso tra gli altri due lati del triangolo teorema sulla bisettrice dell’angolo esterno di un triangolo

Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto in un punto allora le distanze di questo punto dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati

Vale anche l’inverso: Se un punto del prolungamento di un lato di un triangolo è tale che le sue distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri lati allora la congiungente questo punto con il vertice opposto è la bisettrice del corrispondente angolo esterno del triangolo © 2013 - www.matematika.it

83


Teoremi di geometria piana

geometria piana

corollario del teorema di Talete

C P

Se una retta è parallela ad un lato di un triangolo allora sulle rette degli altri due lati si determinano segmenti proporzionali

P’

A

Vale anche l’inverso: Se una retta determina sui due lati di un triangolo segmenti proporzionali allora essa è parallela al terzo lato

B

AP : PC = BP’ : P’C

teorema di Tolomeo

D

C

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora il prodotto delle misure delle diagonali è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti

A

Vale anche l’inverso: Se il prodotto delle misure delle diagonali di un quadrilatero è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza

B

teoremi sulla similitudine

teorema fondamentale della similitudine

C P’

P

A

Se una retta passante per un lato di un triangolo è condotta parallelamente ad un altro suo lato allora la retta determina un triangolo simile al triangolo iniziale

B

PP’C è simile ad ABC

I criterio di similitudine

C

C’

A

B’

B A’

ABC è simile ad A’B’C’

Se due triangoli hanno gli angoli congruenti allora essi sono simili Vale anche: Se due triangoli hanno due angoli congruenti allora essi sono simili

II criterio di similitudine

C

C’

A

B

B’

A’

ABC è simile ad A’B’C’

Se due triangoli hanno due lati in proporzione e gli angoli tra essi compresi congruenti allora essi sono simili III criterio di similitudine

C

C’

A

B

A’

ABC è simile ad A’B’C’ v 2.5

B’

Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente in proporzione allora essi sono simili © 2013 - www.matematika.it

84


Teoremi di geometria piana

geometria piana

I teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità)

C

A

In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa

B

H

AH : AC = AC : AB

II teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità)

C

A

In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

B

H

AH : CH = CH : HB

teorema delle altezze

C

C’

A

B

H

A’ H’

B’

AB : A’B’ = CH : C’H’

teorema dei perimetri

C

C’

2p

2p’

A

B

A’

B’

2p : 2p’ = AB : A’B’

S’ B

S : S’ =

A’

(AB)2

:

B’

(A’B’)2

P

P simile a P’ v 2.5

In generale: Se due poligoni sono simili allora i perimetri stanno tra loro come di due lati omologhi

Se due triangoli sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi

C’

A

Se due triangoli sono simili allora i perimetri stanno tra loro come due lati omologhi

teorema delle aree

C

S

Se due triangoli sono simili allora le basi stanno tra loro come le rispettive altezze

In generale: Se due poligoni sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi

I teorema dei poligoni regolari

P’

Se due poligoni sono regolari e hanno lo stesso numero di lati allora essi sono simili

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85


Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema della bisettrice

C

In ogni triangolo il prodotto delle misure di due lati è congruente al quadrato della misura della bisettrice dell’angolo da essi formato aumentato del prodotto delle misure dei segmenti in cui tale bisettrice divide il terzo lato

P

B

A

D

teorema delle corde

B

Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto allora i segmenti formati su una stessa corda sono medi e i segmenti formati sull’altra corda sono estremi di una stessa proporzione

P A

Vale anche l’inverso: Se due segmenti si intersecano in un punto tale che le parti appartenenti ad uno stesso segmento sono medi o estremi di una proporzione allora gli estremi dei segmenti dati appartengono alla stessa circonferenza

C

AP : PD = CP : PB

teorema delle secanti

P

B

Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti allora l’intera secante e la sua parte esterna sono i medi e l’altra secante intera e la sua parte sono gli estremi della proporzione

C

A

Vale anche l’inverso: Se due segmenti consecutivi ma non adiacenti sono tali che un segmento e una sua parte sono medi proporzionali tra l’altro segmento e una sua parte allora i quattro punti estremi non comuni dei quattro segmenti in proporzione appartengono alla stessa circonferenza

D

PA : PD = PC : PB

T

P

B

teorema della tangente e della secante

Se da un punto esterno ad una circonferenza si conduce una tangente e una secante allora il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna

Vale anche l’inverso: Se un punto di uno di due segmenti consecutivi ma non adiacenti è tale che determina due parti estremi proporzionali all’altro segmento allora l’altro segmento è tangente alla circonferenza passante per i tre estremi non comuni dei segmenti

C

PC : PT = PT : PB

teorema sul lato del decagono regolare

Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente alla sezione aurea del raggio

r

il lato è medio proporzionale tra il raggio e la differenza tra il raggio e il lato cioè

teorema sul lato del pentagono regolare

r

r a

v 2.5

Il lato del pentagono regolare è congruente all’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti il raggio della circonferenza inscritta e la sezione aurea del lato del pentagono stesso © 2013 - www.matematika.it

86


Area del triangolo

geometria piana

l’area del triangolo in geometria piana formula classica l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione della base b e dell’altezza h, come prodotto della base per l’altezza diviso due, secondo la formula:

h b

formula di Erone

a

b

l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del semiperimetro p secondo la formula:

c la formula di Erone è un caso particolare della formula di Brahamagupta usata per il calcolo dell’area di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza di cui siano note le lunghezze dei suoi lati. Se sono i lati del quadrilatero e il suo semiperimetro, allora la sua area si esprime come:

per il quadrilatero degenera in un triangolo e la formula di Brahamagupta si riduce alla formula di Erone area del triangolo rettangolo

l’area di un triangolo rettangolo si esprime in funzione dei cateti c1 e c2, come prodotto dei cateti diviso due, secondo la formula:

h

l’area di un triangolo rettangolo di l’ipotenusa , si può anche esprimere come prodotto dell’ipotenusa relativa all’ipotenusa diviso due, per dell’altezza secondo la formula:

i v 1.0

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87


Area del triangolo

geometria piana

raggio della circonferenza inscritta in un triangolo qualsiasi

b

r

il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo qualsiasi si esprime come rapporto dell’area del secondo la triangolo e del suo semiperimetro relazione:

a

c

vale la formula inversa per il calcolo dell’area

:

raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo qualsiasi

b

il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo qualsiasi si esprime come rapporto tra il prodotto dei lati fratto quattro volte l’area del triangolo secondo la relazione:

a

R c

vale la formula inversa per il calcolo dell’area

:

l’area del triangolo in geometria analitica metodo geometrico yC

C

F

E

yB

A

yA

D

● xA

B

l’area del triangolo ABC, note le coordinate cartesiane dei vertici A, B e C si può anche ottenere: • si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC • dall’area del rettangolo si sottraggono le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA:

xB

xC

l’area del triangolo in trigonometria

b

l’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due

a

γ

α

β

c v 1.0

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88


Aree

geometria piana

delle principali figure piane

triangolo

quadrato

rettangolo

b

b

parallelogramma

rombo

cerchio

b

d

D

b

trapezio

B

settore circolare

O

O

circonferenza

α

segmento circolare ad una base

A

O

B

α

A B

poligoni regolari triangolo equilatero

sia:

il semiperimetro, • •

quadrato

il lato,

pentagono

esagono

ottagono

decagono

l’apotema (cioè il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato)

l’apotema di un poligono regolare coincide con il raggio della circonferenza inscritta al poligono: l’apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza di un lato per un numero fisso tabella dei numeri fissi f di alcuni poligoni regolari

poligono

triangolo equilatero quadrato

pentagono

v 2.5

numero fisso

poligono

0,289

esagono

0,688

ottagono

0,500

ettagono

numero fisso

poligono

0,866

ennagono

1,207

dodecagono

1,038

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decagono

numero fisso 1,374 1,539 1,866

89


geometria

Teorema di Pitagora – primo e secondo teorema di Euclide nomenclatura C

c1

c2

h p1

A

considerato un triangolo rettangolo ABC

p2

H

i

B

AB = i = ipotenusa AC = c1 = primo cateto BC = c2 = secondo cateto CH = h = altezza relativa all’ipotenusa AH = p1 = proiezione di c1 sull’ipotenusa HB = p2 = proiezione di c2 sull’ipotenusa

teorema di Pitagora

enunciato secondo l’equivalenza

C

Q1

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:

Q2 c2

c1

A

B

i

Q

enunciato in formula

in un triangolo rettangolo l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti :

primo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza

C

Q c1 A

c2

p1

R

B i

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensione la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

enunciato secondo la similitudine

in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

secondo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza

C h

A

v 2.0

p2

p1

R

Q

p2

B

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni del cateti sull’ipotenusa:

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enunciato secondo la similitudine

in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:

90


Triangoli rettangoli particolari

geometria piana

triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

C

cM

cm 60°

30°

A

B

i

triangolo rettangolo con angoli di 45° (isoscele) C

A

c

c

45°

45° i

i = ipotenusa c = cateto

B

triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

C

cM

cm

A

18°

72°

B

i

applicazioni TRIANGOLO EQUILATERO: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°

l

TRIANGOLO ISOSCELE PARTICOLARE: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

l

30° 30°

l

h 60°

18°

h 72°

60°

l

72°

l l = lato

h = altezza

v 2.5

l = lato

h = altezza

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91


geometria piana

Sezione aurea di un segmento - Rettangolo Aureo definizione di sezione aurea di un segmento

la sezione aurea ( ) di un segmento di lunghezza ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il segmento stesso e la parte rimanente cioè:

per trovare la lunghezza della sezione aurea di un segmento basta trovare il valore di dalla proporzione. Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni essa si trasforma in una equazione nell’incognita • • •

si applica la proprietà fondamentale: si sviluppano i calcoli:

si risolve l’equazione di II grado in :

il numero

vale circa 0,6180339887… Il suo inverso,

, si chiama numero aureo, vale circa 1,6180339887…

e viene indicato con la lettera dall'iniziale dello scultore greco Fidia che avrebbe usato il numero aureo per creare la struttura del Partenone di Atene esempio

Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza precedentemente

basta applicare la formula dimostrata

definizione di rettangolo aureo un rettangolo si dice aureo se il lato minore ( ) è la sezione aurea del lato maggiore ( ) cioè se il lato minore è medio proporzionale tra il lato maggiore ( ) e la differenza tra i due lati ( ), cioè:

le dimensioni standard di carte di credito, tessere telefoniche, badge per ogni applicazione corrispondono, salvo tolleranze di fabbricazione, al rettangolo aureo

costruzione di un rettangolo aureo

Siano e i lati minore e maggiore del rettangolo aureo che si vuole costruire. Allora:

• • • • •

v 1.3

si disegna un quadrato di lato si trova il punto medio M della base del quadrato si prolunga la base del quadrato si traccia un arco dicirconferenza di centro M e raggio MN il punto di intersezione tra l’arco di circonferenza e il prolungamento del lato del quadrato individua il secondo estremo del lato maggiore b del rettangolo.

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92


geometria solida

Volumi

e superfici

cubo

parallelepipedo rettangolo

prisma retto

piramide retta a base regolare

piramide retta

tronco di piramide

cilindro

cono equilatero (

v 2.5

delle principali figure solide

cilindro equilatero (

)

tronco di cono

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)

cono

sfera

93


geometria solida

Volumi

e superfici

segmento sferico ad 1 base

delle principali figure solide

segmento sferico a 2 basi

spicchio sferico

α

20 teorema di Guldino

10 teorema di Guldino la superficie generata da una linea (o da un poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (o perimetro)

l

il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie

r

r

S

solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi le cui facce, tutte uguali tra loro, sono formate da poligoni regolari e tali che in ogni vertice concorrono lo stesso numero di spigoli. Sono solo cinque:

tetraedro

esaedro (cubo)

ottaedro

dodecaedro

icosaedro

4 triangoli equilateri

6 quadrati

8 triangoli equilateri

12 pentagoni regolari

20 triangoli equilateri

Il volume dei solidi platonici si calcola moltiplicando il cubo dello spigolo per un numero caratteristico del solido:

formula di Eulero Indicato con: poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l’unione delle facce faccia = figura piana che compone il poliedro spigolo = segmento di incontro delle facce vertice = punto di incontro degli spigoli per tutti i poliedri vale la formula di Eulero:

v 2.5

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faccia spigolo

vertice

94


Assi e punti

geometria analitica

sistema di assi cartesiani monometrico ortogonale

• • •

distanza tra due punti

è l’origine degli assi cartesiani è l’asse delle ascisse : è l’asse delle ordinate

• O(0,0): origine degli assi cartesiani • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto simmetrico di rispetto all’asse • : punto simmetrico di rispetto ad • : punto simmetrico di rispetto all’asse

la distanza tra due punti A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB. La distanza AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC e si calcola applicando il teorema di Pitagora:

punto medio

di un segmento di estremi il punto medio del segmento AB è un punto appartenente al segmento ed equidistante dagli estremi del segmento stesso cioè AM = MB Le sue coordinate sono: inversamente: note le coordinate di un estremo e del

punto medio, le coordinate del secondo estremo sono:

il punto B si dice il simmetrico di A rispetto ad M e viceversa A si dice il simmetrico di B rispetto ad M

dividere un segmento in parti proporzionali ad un numero k il punto

, divide il segmento di estremi in parti proporzionali a k, cioè tale che il rapporto tra AP e AB è uguale a k : Le sue coordinate sono:

v 3.6

se P è il punto medio del segmento AB le formule si riducono a quelle del punto medio di un segmento © 2013 - www.matematika.it

95


Assi e punti

geometria analitica

baricentro

di un triangolo di vertici il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle mediane. Le sue coordinate sono:

inversamente: note le coordinate di due vertici del

triangolo e del suo baricentro, le coordinate del terzo vertice sono:

area di un triangolo metodo del determinante (regola di Sarrus) l’area del triangolo di vertici determinante della matrice dei punti A, B, C

+

+

+

è uguale ad un mezzo del valore assoluto del

metodo geometrico yC

C

F

E

yB

yA

A

B

D

xA

per calcolare l’area del triangolo ABC • si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC • dall’area del rettangolo si sottraggono le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA:

xB

xC

allineamento di tre punti B

● ●

A

C

per verificare se tre punti A,B,C sono allineati cioè se

appartengono alla stessa retta si può:

1. calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C: se l’area è uguale a zero i punti sono allineati oppure: 2. calcolare le distanze AB, BC, AC : se AB + BC = AC i punti sono allineati

per stabilire se un triangolo è rettangolo basta verificare che le lunghezze dei lati soddisfano il teorema di Pitagora, cioè che: v 3.6

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96


La retta

geometria analitica

equazione della retta y q

forma implicita

r

forma esplicita ●

p

x

forma segmentaria

nella forma esplicita

nella forma segmentaria

• m è detto coefficiente angolare

• p è il punto di intersezione tra la retta e l’asse x

• q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y

• q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y

significato geometrico di m di p e di q

y

y

m>0 q

p

q

m

r

1

r

m<0

p

x

1

x

m ●

il coefficiente angolare m è l’ordinata del punto che ha distanza di 1 unità dal punto P di intersezione di r con l’asse x

rette particolari

equazione asse x

y

equazione asse y

y

x y

n

equazione retta parallela all’asse x

y=n

x

x

y

y=x x

equazione della bisettrice del I e III quadrante

equazione retta parallela all’asse y

x=n

y

n

x

equazione della bisettrice del II e IV quadrante

y

y=-x x

Per disegnare una retta basta trovare le coordinate di almeno due punti e congiungerli. Le coordinate di un punto si trovano assegnando alla

Disegnamo ad esempio la retta

v 2.1

x

0 1

un valore a piacere e calcolando la corrispondente

y

-1 2

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y

2

-1

1

x

97


La retta

geometria analitica

ricerca dell’equazione di una retta B

y

A

x

formula per trovare il coefficiente angolare della retta passante per due punti

B

y

A

formula per trovare l’equazione della retta passante per due punti

x

y

m

P0

formula per trovare l’equazione della retta ed il coefficiente angolare m noto un punto equazione del fascio di rette

x

per trovare l’equazione di una retta passante per due punti • calcolare il coefficiente angolare

con la formula precedente

• utilizzare la formula dell’equazione del fascio di rette sostituendo ad m il valore uno qualsiasi dei due punti A o B

si può anche: ed a

le coordinate di

condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due rette

r

s

r

s

due rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali

due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari antireciproci

punto e retta

ricerca del punto

di intersezione di due rette non parallele per trovare le coordinate del punto di due rette r ed s non parallele:

s

r

• •

si mettono a sistema le equazioni delle due rette si risolve il sistema

le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del punto di intersezione

condizione di appartenenza di un punto r

• •

x0

distanza di un punto

appartiene ad una retta:

si sostituiscono le coordinate e alla y nell’equazione della retta si sviluppano i calcoli

del punto alla x

se si ottiene una identità, il punto appartiene alla retta

da una retta r

formula con l’equazione della retta in forma implicita

P0 r

ad una retta

per verificare se un punto

P0

y0

di intersezione

d

formula con l’equazione della retta in forma esplicita v 2.1

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98


La retta

geometria analitica

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r ed s (non parallele)

b2

r

note le equazioni delle rette r ed s in forma implicita r: ed s:

s b1

qualunque siano gli angoli formati dalle due rette, le bisettrici sono sempre perpendicolari tra loro s

la bisettrice di un angolo è l’insieme dei punti del piano equidistanti dai lati. Sfruttando questa sua proprietà si può trovare l’equazione delle bisettrici ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottengono le equazioni delle bisettrici.

b

P r

equazione dell’asse di un segmento AB per trovare l’equazione dell’asse di un segmento AB noti :

A

M

B

si calcola il punto medio

si calcola il coefficiente angolare

del segmento AB

del segmento AB

si ricava il coefficiente angolare dell’asse (è perpendicolare ad AB)

nell’equazione del fascio , si sostituisce ad m il valore e alle coordinate quelle del punto medio ottenendo così l’equazione dell’asse A

l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi. Sfruttando questa sua proprietà si può trovare l’equazione dell’asse ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione dell’asse del segmento

P

B

tangente dell’angolo formato da due rette la tangente dell’angolo formato da due rette non parallele r ed s di coefficiente angolare mr ed ms è dato dalla formula:

s

r

allineamento di tre punti A, B, C per verificare se tre punti A, B, C sono allineati cioè se appartengono alla stessa retta si può: • B

C

● A

• • • • •

v 2.1

ricavare

ed

, e verificare che

trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che B appartiene alla retta AC calcolare l’area del triangolo di vertici ABC e verificare che sia uguale a zero

trovare le equazioni delle rette passanti per A e B e per A e C, e verificare che queste sono uguali

trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che la distanza di B da tale retta è zero

verificare che la somma delle distanze AB e BC è uguale alla distanza AC cioè AB + BC = AC

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99


La retta

geometria analitica

fasci di rette Un fascio di rette è l’insieme delle rette del piano aventi in comune un punto oppure una direzione tipi di fasci

fascio proprio

fascio improprio

C

è l’insieme delle rette del piano passanti per uno stesso punto detto centro del fascio

è l’insieme delle rette del piano aventi una direzione comune, cioè aventi lo stesso coefficiente angolare

come si presenta l’equazione di un fascio

l’equazione di un fascio di rette si presenta come quella di una retta (generalmente in forma implicita) nella quale compare, oltre alle incognite ed , almeno una volta anche un’altra lettera ( ) detta parametro Esempio:

classificazione di un fascio di rette

data l’equazione del fascio, per classificarlo bisogna: •

calcolare il coefficiente angolare

esempio per un fascio di rette proprio

se

contiene il parametro

il fascio è proprio

se il parametro si semplifica, il fascio è improprio

esempio per un fascio di rette improprio

rette generatrici di un fascio • • •

le rette generatrici di un fascio sono le rette che danno origine al fascio e sono sempre due nel caso di fascio proprio le rette generatrici sono incidenti nel caso di fascio improprio le rette generatrici sono parallele

ricerca delle equazioni delle rette generatrici di un fascio •

• • retta all’infinito

retta per k = 0

ricerca del centro

dato il fascio di rette, si sviluppano i calcoli si raccoglie a fattor comune il parametro

le due parti così ottenute rappresentano le equazioni delle rette generatrici del fascio

di un fascio proprio di rette • •

si mettono a sistema le equazioni delle due rette generatrici o di due generiche rette del fascio

le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del centro del fascio

come scrivere l’equazione di un fascio di rette

equazione del fascio di rette date le due rette generatrici r ed s equazione del fascio di rette proprio noto il centro

v 2.1

equazione del fascio di rette improprio noto il coefficiente angolare m

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100


Parabola

geometria analitica

definizione La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso da una retta data detta direttrice, cioè:

detto fuoco e

asse

● ●

F

V ●

F

asse

V direttrice

direttrice

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x

equazione completa

coordinate del vertice

coordinate del fuoco

equazione dell’asse

equazione della direttrice

parabole particolari Se la parabola ha il vertice sull’asse

Se la parabola ha il vertice sull’asse

Se la parabola passa per l’origine

Se la parabola passa per l’origine

Se e la parabola ha il vertice nell’origine

Se e la parabola ha il vertice nell’origine

v 1.3

osserva che se

la parabola degenera in una retta

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101


Parabola

geometria analitica

significato grafico del coefficiente

significato grafico del coefficiente ●

c ●

il coefficiente

c

c

c

rappresenta il passaggio della curva sull’asse

ricerca dell’equazione di una parabola

equazione della parabola noto il fuoco

(sull’asse )

e la direttrice • • • •

si scrive la definizione di parabola si calcolano le due distanze

si elevano al quadrato entrambi i membri

si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione della parabola

equazione della parabola passante per tre punti passaggio per A

si sostituiscono uno alla volta le coordinate dei punti nell’equazione generica della parabola

si ottiene un sistema di tre equazioni nelle incognite a, b, c

passaggio per B passaggio per C

• •

in generale • • • • •

v 1.3

si risolve il sistema e si ottengono i valori a, b, c si sostituiscono i valori ottenuti nell’equazione della parabola ottenendo l’equazione richiesta

per trovare l’equazione di una parabola è necessario:

avere tre condizioni (scelte tra: fuoco, vertice, asse, direttrice, passaggio per un punto, retta tangente)

trasformare ogni condizione in una equazione

ottenere il sistema delle tre equazioni nelle incognite a, b, c risolvere il sistema e trovare i valori di a, b, c

sostituire i valori ottenuti nell’equazione della parabola, ottenendo l’equazione cercata © 2013 - www.matematika.it

102


Parabola

geometria analitica

ricorda che nel caso in cui è noto il vertice, è vantaggioso sfruttare le seguenti due condizioni: o passaggio della parabola per il punto Vertice o

porre

Non conviene utilizzare la coordinata

del vertice perché questa condizione genera una equazione di II grado

ricerca delle equazioni delle rette tangenti alla parabola

equazioni delle rette tangenti condotte da un punto •

• •

• • • •

equazione della retta tangente nel punto

esterno alla parabola

si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro si ricava la y dell’equazione del fascio

si sostituisce la y trovata nell’equazione della parabola si ordina l’equazione rispetto alla

si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta e parabola) si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ricavando i valori ed si sostituiscono ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti della parabola: formula di sdoppiamento

• • • • •

si scrive l’equazione della parabola si pone si pone

e

(

)

si sostituiscono le incognite sdoppiate nella equazione della parabola

sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione della retta tangente nel punto

equazione della retta tangente con coefficiente angolare m assegnato •

• •

• •

in alcuni problemi v 1.3

si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con a assegnato

si sostituisce la y nell’equazione della parabola si ordina l’equazione rispetto alla

si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta e parabola) si risolve l’equazione ottenuta nell’incognita

si sostituisce il valore di nell’equazione del fascio ottenendo l’equazione della retta tangente

si ricava nota la retta parallela o perpendicolare alla retta tangente © 2013 - www.matematika.it

103


Circonferenza

geometria analitica

definizione La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro, cioè:

equazione circonferenza

C(α,β)

P

coordinate del centro

r relazione per il raggio equazione della circonferenza di centro e raggio r

affinché la circonferenza sia reale è necessario che :

circonferenze particolari

se la circonferenza ha se la circonferenza ha se la circonferenza passa per centro sull’asse centro sull’asse l’origine

.

se e la circonferenza se e la circonferenza se e la circonferenza ha centro sull’asse e passa per ha centro sull’asse e passa per ha centro nell’origine l’origine l’origine osserva che se

la circonferenza degenera nel punto O(0,0) origine degli assi cartesiani

ricerca dell’equazione di una circonferenza

per scrivere l’equazione di una circonferenza è necessario avere tre condizioni, scelte tra: centro

• • • •

v 1.3

metodo algebrico

raggio

trasformare ogni condizione in una equazione

ottenere il sistema delle tre equazioni nelle incognite risolvere il sistema e trovare i valori di

sostituire i valori ottenuti nell’equazione della circonferenza, ottenendo l’equazione cercata

passaggio per un punto

retta tangente

metodo geometrico

• •

è utile rappresentare sul piano cartesiano le condizioni note

ricavare da queste, centro e raggio della circonferenza

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104


Circonferenza

geometria analitica

Esempio: equazione della circonferenza passante per tre punti passaggio per A

si sostituiscono uno alla volta le coordinate dei punti nell’equazione generica della circonferenza

si ottiene un sistema di tre equazioni nelle incognite a, b, c

passaggio per B passaggio per C

(metodo algebrico)

si risolve il sistema e si ottengono i valori a, b, c

si sostituiscono i valori ottenuti nell’equazione della circonferenza ottenendo l’equazione richiesta

posizione di una retta rispetto alla circonferenza ●

retta secante

retta tangente

soluzioni reali e distinte

retta esterna soluzioni non reali

soluzioni reali e coincidenti

ricerca delle equazioni delle rette tangenti alla circonferenza

equazioni delle rette tangenti condotte da un punto •

• • • • • • • •

si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro si ricava la y dell’equazione del fascio

si utilizza la formula della distanza di un punto da una retta in forma esplicita si impone che la distanza tra il centro della circonferenza e il fascio di rette sia uguale ad r si elevano al quadrato entrambi i membri si calcola il minimo comune multiplo si sviluppano i calcoli

si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ottenendo i valori ed si sostituiscono ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti

Le equazioni delle rette tangenti condotte da un punto anche utilizzando il procedimento illustrato per le altre coniche equazione della retta tangente in un punto

• • • •

v 1.3

esterno alla circonferenza si possono ottenere

della circonferenza: formula di sdoppiamento

• ●

esterno alla circonferenza

si scrive l’equazione della circonferenza si pone si pone

e

e

si sostituiscono le incognite sdoppiate nella equazione della circonferenza sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione della retta tangente nel punto

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105


Circonferenza

geometria analitica

equazione delle rette tangenti parallele ad una retta data si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con assegnato

si sostituisce la y nell’equazione della circonferenza

si sviluppano i calcoli, ordinando l’equazione rispetto alla

si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta e circonferenza) si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita si sostituiscono e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni della rette tangenti

• ●

in alcuni problemi il coefficiente angolare tangente

si ricava nota la retta parallela o la perpendicolare alla retta

posizioni reciproche di due circonferenze

C1 ●

R

r

C2 ●

circonferenze esterne

circonferenze tangenti esterne

circonferenze secanti

● ●

circonferenze tangenti interne

circonferenze interne

circonferenze concentriche

asse radicale di due circonferenze

L’asse radicale di due circonferenze non concentriche è la retta del piano, luogo geometrico dei punti aventi la stessa potenza rispetto ai centri delle due circonferenze ●

osservazioni • •

l’asse radicale è sempre ortogonale al segmento

che unisce i centri delle due circonferenze. Inoltre:

se le due circonferenze sono secanti, l’asse radicale è alla retta passante per i due punti di intersezione

se le circonferenze sono tangenti, l’asse radicale è la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune

l’asse radicale consente di trovare gli eventuali punti di intersezione tra due circonferenze mettendo a sistema l’equazione dell’asse stesso con l’equazione di una delle due circonferenze

v 1.3

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106


Ellisse

geometria analitica

definizione L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante, cioè: semiasse maggiore

semiasse minore

semidistanza focale

P

c

b

F2 ●

c

b ● F1

semidistanza focale

● F2 F1

a

semiasse maggiore

a

ellisse di centro l’origine e fuochi sull’asse delle x

semiasse minore

ellisse di centro l’origine e fuochi sull’asse delle y

equazione canonica

lunghezza asse maggiore, lunghezza asse minore e distanza focale relazione tra i parametri a, b, c

coordinate dei fuochi eccentricità

se

l’ellisse degenera in una circonferenza di centro l’origine e raggio

ricerca dell’equazione di una ellisse

di equazione

equazione dell’ellisse noti i fuochi ed il semiasse maggiore • • • • •

v 1.5

si applica la definizione di ellisse ricordando che la costante è uguale a si calcolano le due distanze

e

si isola il primo radicale e si elevano al quadrato entrambi i membri

si sviluppano i calcoli isolando il radicale rimasto e di nuovo si elevano al quadrato entrambi i membri si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione dell’ellisse in forma non canonica

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107


Ellisse

geometria analitica

equazione dell’ellisse passante per due punti •

passaggio per A

nell’equazione dell’ellisse in forma canonica si sostituiscono e

passaggio per B

si sostituiscono uno alla volta le coordinate dei punti nell’equazione precedente

si risolve il sistema di primo grado nelle incognite e

in generale • • • • •

e

si sostituiscono i valori ottenuti nell’equazione iniziale ottenendo così l’equazione richiesta

per trovare l’equazione di una ellisse è necessario:

avere due condizioni (scelte tra: fuoco, semiassi, passaggio per un punto, eccentricità, retta tangente)

trasformare ogni condizione in una equazione

ottenere il sistema delle due equazioni nelle incognite risolvere il sistema e trovare i valori di

sostituire i valori ottenuti nell’equazione dell’ellisse, ottenendo l’equazione cercata

nota che nella ricerca dell’equazione dell’ellisse: o le incognite sono e e non e o conviene imporre le condizioni date a partire dall’equazione dell’ellisse in forma non canonica

ricerca delle equazioni delle rette tangenti all’ellisse

equazioni delle rette tangenti condotte da un punto •

• • • • • •

equazione della retta tangente nel punto

si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro si ricava la y dell’equazione del fascio

si sostituisce la y nell’equazione dell’ellisse in forma non canonica si sviluppano i calcoli e si ordina l’equazione rispetto alla

si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta ed ellisse) si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ed m ricavando i valori

si sostituiscono ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti dell’ellisse: formula di sdoppiamento

• • • •

v 1.5

esterno all’ellisse

si scrive l’equazione dell’ellisse in forma non canonica si pone

e

si sostituiscono le incognite sdoppiate nella equazione dell’ellisse

sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione della retta tangente nel punto

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108


Ellisse

geometria analitica

equazione delle rette tangenti di coefficiente angolare m assegnato • • • • • •

in alcuni problemi

si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con m assegnato si sostituisce la non canonica

nell’equazione dell’ellisse in forma

si sviluppano i calcoli e si ordina l’equazione rispetto alla

si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta ed ellisse)

si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ricavando i valori di e

si sostituiscono e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti

si ricava nota la retta parallela o perpendicolare alla retta tangente

ellisse traslata

l’ellisse si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani e

y

Y

coordinate del centro dell’ellisse

O(α,β)

X

x

ricerca dell’equazione dell’ellisse traslata note le coordinate del centro • • •

equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY

data l’equazione dell’ellisse in forma canonica

si sostituisce a (traslazione di centro

ea )

si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione dell’ellisse traslata

area e lunghezza di una ellisse misura dell’area

osserva che se l’ellisse diventa una circonferenza e la formula si riduce a quella dell’area del cerchio

misura della lunghezza

osserva che la lunghezza si calcola solo come sviluppo in serie di un integrale curvilineo. Un buon valore approssimato è dato dalla formula qui riportata del matematico indiano Ramanujan

v 1.5

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109


Iperbole

geometria analitica

definizione L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante, cioè: asintoto

asintoto

asintoto

asintoto

semiasse trasverso

F2

a

semiasse non trasverso

b

F1

● semiasse b trasverso

F2 semidistanza focale

c F1 ●

c

semidistanza focale

iperbole con i fuochi sull’asse delle x

a

semiasse non trasverso

iperbole con i fuochi sull’asse delle y

equazione canonica

lunghezza asse trasverso, lunghezza asse non trasverso e distanza focale relazione tra i parametri a, b, c

coordinate dei fuochi equazioni degli asintoti

eccentricità

ricerca dell’equazione di una iperbole equazione dell’iperbole noti i fuochi ed il semiasse trasverso • • • • • •

v 1.3

si applica la definizione di iperbole ricordando che la costante è uguale a si calcolano le due distanze

e

si elevano al quadrato entrambi i membri

si sviluppano i calcoli e si isola il radicale rimasto

si elevano di nuovo al quadrato entrambi i membri si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione dell’iperbole in forma non canonica

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110


Iperbole

geometria analitica

equazione dell’iperbole passante per due punti •

passaggio per A

nell’equazione dell’iperbole in forma canonica si effettua la sostituzione e

passaggio per B

si sostituiscono uno alla volta le coordinate dei punti nell’equazione precedente

si risolve il sistema di primo grado nelle incognite e

in generale • • • • •

e

si sostituiscono i valori ottenuti nell’equazione iniziale ottenendo così l’equazione richiesta

per trovare l’equazione di una iperbole è necessario:

avere due condizioni (scelte tra: fuoco, semiassi, passaggio per un punto, eccentricità, retta tangente)

trasformare ogni condizione in una equazione

ottenere il sistema delle due equazioni nelle incognite risolvere il sistema e trovare i valori di

sostituire i valori ottenuti nell’equazione dell’iperbole, ottenendo l’equazione cercata

nota che nella ricerca dell’equazione dell’iperbole: o le incognite sono e e non e o conviene imporre le condizioni date a partire dall’equazione dell’iperbole in forma non canonica

ricerca delle equazioni delle rette tangenti all’iperbole

equazioni delle rette tangenti condotte da un punto •

• • • • • •

equazione della retta tangente nel punto

si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro si ricava la y dell’equazione del fascio

si sostituisce la y nell’equazione dell’iperbole in forma non canonica

si sviluppano i calcoli e si ordina l’equazione rispetto alla

si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta ed iperbole) si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ed m ricavando i valori

si sostituiscono ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti dell’iperbole: formula di sdoppiamento

• • • •

v 1.3

esterno all’iperbole

si scrive l’equazione dell’iperbole in forma non canonica si pone

e

si sostituiscono le incognite sdoppiate nella equazione dell’iperbole

sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione della retta tangente nel punto

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111


Iperbole

geometria analitica

equazione delle rette tangenti di coefficiente angolare m assegnato • • • • • •

in alcuni problemi

si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con m assegnato si sostituisce la non canonica

nell’equazione dell’iperbole in forma

si sviluppano i calcoli e si ordina l’equazione rispetto alla

si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta ed iperbole)

si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ricavando i valori di e

si sostituiscono e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti

si ricava nota la retta parallela o perpendicolare alla retta tangente

iperbole traslata

l’iperbole si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani e y

Y

O(��,β)

coordinate del centro dell’iperbole

X x

ricerca dell’equazione dell’iperbole traslata note le coordinate del centro • • •

v 1.3

equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse x riferita al sistema XOY

data l’equazione dell’iperbole in forma canonica

si sostituisce a (traslazione di centro

ea )

si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione dell’iperbole traslata

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112


Iperbole

geometria analitica

iperbole equilatera

l’iperbole si dice equilatera se i semiassi sono uguali:

equazione relazione tra a, c

a

F1

coordinate dei fuochi

F2 equazioni asintoti

a eccentricità

osserva che nell’iperbole equilatera gli asintoti coincidono con le bisettrici del I e III e del II e IV quadrante

iperbole equilatera ruotata di

equazione per ●

F2 coordinata del primo fuoco

F1

coordinata fuoco

del

secondo

equazione per

F1

coordinata del primo fuoco ●

F2

coordinata fuoco

del

secondo

funzione omografica

si dice funzione omografica l’iperbole equilatera ruotata di cartesiani

e traslata rispetto all’origine degli assi equazione coordinate del centro dell’iperbole O’

O’

equazioni degli asintoti O

v 1.3

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113


Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

punti distanza tra due punti

coordinate del punto medio

tra due punti

coordinate del baricentro

di un triangolo di vertici

retta

forma implicita

equazione della retta

forma esplicita

e

q

m è il coefficiente angolare

forma segmentaria

● ●

1

p

q è l’intersezione con l’asse delle y

m

p è l’intersezione con l’asse delle x

coefficiente angolare della retta passante per due punti equazione della retta passante per due punti equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare m

//

condizioni di parallelismo tra due rette r ed s condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s

oppure

s

r

punto di intersezione tra due rette r ed s retta in forma implicita retta in forma esplicita

● P(x0,y0)

P(x0,y0) d

distanza di un punto da una retta r

r b2

r

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r, s

s b1

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms rette particolari

y

n x

v 2.7

asse x

x

asse y

y

y

y

y

y

x

parallela asse x

n

parallela asse y

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x

x

x

bisettrice I e III q.

bisettrice II e IV q.

114


Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

parabola F

● ● ●

d

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice:

P

d

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y

●P

● ●

F

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x

equazione completa coordinate del vertice coordinate del fuoco equazione dell’asse equazione della direttrice

con area del rettangolo circoscritto al segmento parabolico

b=0

c=0

equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto detta formula di sdoppiamento area del segmento parabolico parabole particolari

b=0 c=0

b=0

b=0 c=0

c=0

significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c ●

c ●

a>0

v 2.7

c

c a<0

se a = 0 la parabola degenera in una retta

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c

a>0

a<0

115


Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

circonferenza La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro:

r

equazione completa

P

coordinate del centro C

C(α,β)

relazione del raggio r

equazione della circonferenza di centro

e raggio r

equazione della retta tangente alla circonferenza in un suo punto detta formula di sdoppiamento equazione dell’asse radicale di due circonferenze circonferenze particolari

se

C2

C1 ●

R

r

esterne

la circonferenza si riduce al punto

v 2.7

secanti

tangenti interne

● ●

interne

concentriche

alcune formule sul cerchio e sulla circonferenza settore circolare segmento circolare ad una base

O

O

area del cerchio

origine degli assi cartesiani

posizioni reciproche di due circonferenze

tangenti esterne

cerchio

.

α

A B

O

α

A B

circonferenza

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116


Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

ellisse P

● ●

F1

F2

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

ellisse con i fuochi sull’asse x

F2●

F1

P

ellisse con i fuochi sull’asse y

equazione in forma canonica

2a

lunghezza asse maggiore

2b

2a

lunghezza asse minore

2c

2b

2c

distanza focale relazione tra i parametri a, b, c coordinate dei fuochi eccentricità

equazione della retta tangente alla ellisse nel suo punto detta formula di sdoppiamento ellisse traslata

l’ellisse si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y y

coordinate del centro dell’ellisse

Y

O(α,β)

X

equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY

x

area e lunghezza dell’ellisse b ∙

v 2.7

a

per a=b l’ellisse diventa una circonferenza e la formula diventa quella dell’area del cerchio

la lunghezza si calcola solo come sviluppo in serie di un integrale curvilineo: un buon valore approssimato è dato dalla formula del matematico indiano Ramanujan © 2013 - www.matematika.it

117


Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

iperbole P

● F1

F2

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

iperbole con i fuochi sull’asse x

F2

●P

F1 ●

iperbole con i fuochi sull’asse y

equazione in forma canonica

2a

lunghezza asse trasverso

2b

lunghezza asse non trasverso

2c

distanza focale relazione tra i parametri a, b, c

2b 2a 2c

coordinate dei fuochi equazione degli asintoti eccentricità

equazione della retta tangente alla iperbole nel suo punto detta formula di sdoppiamento iperbole traslata

l’iperbole si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y y

Y

O(α,β)

coordinate del centro dell’iperbole

X

equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse X riferita al sistema XOY

x

v 2.7

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118


Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

iperbole equilatera: a = b equazione

relazione tra a, c

coordinate dei fuochi

equazione degli asintoti iperbole equilatera ruotata di

F2 ●

F1●

F1 ●

k>0

equazione coordinate dei fuochi

F ● 2

k<0

iperbole equilatera ruotata e traslata detta funzione omografica equazione

y

coordinate di O’ x

v 2.7

equazione degli asintoti

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119


Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

proprietà comuni a tutte le coniche condizione di appartenenza di un punto per verificare se un dato punto retta r oppure ad una conica

appartiene ad una

ad una retta r o ad una conica • •

si sostituiscono le coordinate di , in r o in si sviluppano i calcoli. Se si ottiene un’identità, il punto appartiene alla retta o alla conica

posizione di una retta rispetto ad una conica ●

● ●

retta secante

retta tangente

retta esterna

per verificare se una retta è secante, tangente o esterna ad una conica bisogna: • • • • •

ricavare la y dell’equazione della retta e sostituirla nell’equazione della conica sviluppare i calcoli ed ordinare l’equazione rispetto alla dell’equazione di II grado così ottenuta calcolare il

oppure, se

è pari, il

verificare il segno del la retta è secante alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e distinte cioè 2 punti in comune se la retta è tangente alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e coincidenti cioè 1 punto in comune se se la retta è esterna alla conica. Non si ha nessuna intersezione reale cioè nessun punto in comune

ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una conica tangenti parallele ad una retta di coefficiente angolare m

tangenti da un punto esterno • • •

• •

v 2.7

si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro : si ricava la y dall’equazione del fascio di rette

si scrive l’equazione del fascio di rette improprio di coefficiente angolare assegnato:

si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica

si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica

si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x

si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x

si ricava il o il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di II grado nell’incognita

si risolve l’equazione in

ottenendo

ed

si sostituiscono uno alla volta i valori ed nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti

si ricava il o il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di I o II grado nell’incognita si risolve l’equazione in

ottenendo

e

si sostituiscono uno alla volta i valori e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti

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120


Logaritmi

logaritmi

definizione il logaritmo di un numero è l’esponente

da dare alla base

si chiama base si chiama argomento è il logaritmo in base di

per ottenere l’argomento

proprietà

la base

deve essere

l’argomento il logaritmo

cioè:

deve essere

è un numero reale

teoremi principali sui logaritmi teorema del prodotto

teorema del rapporto

teorema della potenza

proprietà derivate dai teoremi principali potenza alla base e all’argomento base frazionaria

argomento frazionario

base e argomento frazionario scambiare la base con l’argomento formula del cambio di base

trasformare un numero n in logaritmo in base a

con il simbolo

trasformare un numero n in potenza

si indica il logaritmo in base e dove

è detto “numero di Nepero”

sulle calcolatrici scientifiche sono presenti i tasti lg e ln che consentono di calcolare i logaritmi in base 10 e in base “e”. Per calcolare un logaritmo in una base diversa è necessario utilizzare la formula del cambio di base

grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale

logaritmo con base a > 1

v 3.7

logaritmo con base 0 < a < 1

esponenziale con base a > 1

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esponenziale a base 0 < a < 1

121


Angoli: misura e conversioni

goniometria

grado sessagesimale

radiante

grado centesimale 100c

90o

180o

200c

0

0o 360o

300c

270o

Il grado sessagesimale è la 360a parte dell’angolo giro

0c 400c

Il radiante è l’angolo il cui arco Il grado centesimale è la 400a è uguale al raggio parte dell’angolo giro un radiante vale circa 57° 17′ 44′′

nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche questo sistema di misura è questo sistema di misura è questo sistema di misura è indicato con il simbolo DEG o D indicato con il simbolo RAD o R indicato con il simbolo GRAD o G

conversioni

da gradi sessagesimali a radianti

da radianti a gradi sessagesimali

• • Es.:

perché

Es.:

sostituire

semplificare

da gradi centesimali a sessagesimali

con

perché

Es.:

perché

conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la parte intera dalla parte decimale si moltiplica la parte decimale per 60

la misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e parte decimale, la parte intera rappresenta i primi

la parte decimale si moltiplica ancora per 60, il risultato rappresenta i secondi si ottiene così la conversione richiesta

conversione da gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) a gradi sessagesimali decimali data la misura sotto forma di gradi, primi e secondi, si isolano i secondi e si dividono per 60 il valore ottenuto si somma ai primi

il valore ottenuto si divide ancora per 60 la misura ottenuta si somma ai gradi

si ottiene così la conversione richiesta v 2.2

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122


Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà

goniometria

Data la circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi cartesiani e raggio 1 si definiscono le funzioni:

seno

90°

P 1

180°

O

α

angoli

0° 360°

H

270°

valori 0

0° 90° 180° 270°

coseno

angoli

valori

0

α O

90°

180° 270°

P α

crescenza

+ +

angoli 0°

90°

180°

B

0 0

tangente

segno e crescenza nei quadranti quadrante 1°

segno

+

crescenza

+

2° 3°

T

A

O

valori 0 0

270°

cotangente

angoli

valori

segno e crescenza nei quadranti quadrante

segno

+

crescenza

+

3° 4°

C P α

O

secante

0° 90° 180° 270°

0 0

segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°

E

P

segno

crescenza

+ +

cosecante P

α

α

v 1.6

segno

P

K

O

segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°

O

S

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123


goniometria

Funzioni goniometriche, relazioni fondamentali

e

grafici

definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi e raggio 1 P ● O

seno α α

α●

O

H

coseno α K● O

T P● ●

B

●P

α

α

tangente α ●

α

● A

C ● ●P

O

cotangente α

E

secante α

P

P ●

● S

cosecante α

α

O

O

le cinque relazioni fondamentali

relazioni che esprimono una funzione goniometrica rispetto alle altre in funzione di …

il segno

in funzione di …

in funzione di …

in funzione di …

o – va preso a seconda del segno della funzione nel quadrante in cui si trova l’angolo grafici delle funzioni goniometriche

seno v 2.6

coseno

tangente

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cotangente 124


goniometria

gradi

Tabella dei valori di funzioni goniometriche di angoli ricorrenti radianti

seno

coseno

tangente

cotangente

0° 9°

15° 18°

22°30 30° 36°

45° 54°

60° 67°30 72° 75° 81°

90° 180° 270° 360° v 2.0

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125


Angoli associati

goniometria

angoli supplementari

angoli complementari

secondo quadrante

primo quadrante

angoli che differiscono di un angolo piatto

angoli che differiscono di un angolo retto

terzo quadrante

secondo quadrante

angoli esplementari

angoli la cui somma è 270°

quarto quadrante

terzo quadrante

angoli opposti

angoli che differiscono di 270°

quarto quadrante

quarto quadrante

90°

90°

180°- α 180°

α α α

O

α α

α

α α 0°

180°

O

360°

α

0° 360°

α α

-α 360°- α

180°+ α

270°- α

270° v 2.3

90°- α

90°+ α

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270°

270°+ α 126


Tabella dei valori di angoli associati ad alcuni angoli notevoli

goniometria

quadrante

angolo

seno

coseno

tangente

cotangente

primo

30° 45° 60°

secondo

120° 135° 150°

terzo

210° 225° 240°

quarto

300° 315° 330° 90° 120° 135°

60° 45°

150°

30° 0°

180°

360° 210°

330° (-30°)

225°

315° (-45°) 240° 270°

v 1.1

300° (-60°)

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127


goniometria

Formule goniometriche addizione e sottrazione

duplicazione

triplicazione

bisezione

parametriche o razionali

(

)

prostaferesi

Werner

v 1.9

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128


Teoremi sui triangoli rettangoli

trigonometria

relazioni fondamentali sui triangoli rettangoli dalla definizione di seno di un angolo si ha:

B

dalla similitudine dei triangoli rettangoli OPH e OBC si ha in generale che:

P O

α

C

H

analogamente in ogni triangolo rettangolo per il coseno vale la relazione:

esempio B

c α

O

a

b

C relazioni sui triangoli rettangoli

esempi

e

C

γ

e

e

a

b

e

β A

c

B

e e

e v 2.7

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129


Teoremi sui triangoli qualsiasi

trigonometria

teorema della corda in una circonferenza la lunghezza di una corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda:

B β

α

A

oppure

corollario

per il teorema della corda, in un triangolo il rapporto tra un lato (inteso come corda) e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo:

C γ

b A

a β

α

B

c

teorema dei seni o di Eulero in un triangolo ogni lato è direttamente proporzionale al seno dell’angolo opposto:

C

b A

a

γ

α

β

c

B

teorema delle proiezioni in un triangolo un lato è uguale alla somma dei prodotti degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ogni lato forma con il primo:

C b A

a

γ

α

β c

B

teorema del coseno o di Carnot in un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, meno il doppio prodotto dei due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

C b A

a

γ

α

β

c

B area di un triangolo l’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due

C b A v 2.8

a

γ

α c

β

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130


Formule di Trigonometria

trigonometria

formule di Briggs C

b

γ

α

A

dato un triangolo qualsiasi di cui siano note le misure dei lati a, b, c e il semiperimetro p, i seni, i coseni, le tangenti e le cotangenti delle semiampiezze degli angoli sono espresse dalle seguenti relazioni:

a β

c

B

formula di Erone C

a

b A

c

B

l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del semiperimetro p come:

teorema delle tangenti o di Nepero C

a

b α

A

β

c

B

applicazioni della trigonometria alla geometria analitica significato del coefficiente angolare m di una retta di equazione in forma esplicita

α

r

α

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare ed

s

v 2.4

se se

è acuto la tangente è positiva è ottuso la tangente è negativa

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131


Formule di Trigonometria

trigonometria

applicazioni della trigonometria alla geometria raggio R della circonferenza circoscritta ad un triangolo

C γ

b α

A

a

R O

β

c

raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo

C γ

b A

a r

α

= area del triangolo

oppure

B

β

c

B

= area del triangolo

oppure

p = semiperimetro del triangolo

raggio delle circonferenze ex-inscritte ad un triangolo (cioè tangenti a un suo lato e ai prolungamenti degli altri due)

ra

oppure

C

oppure

γ b

a α

β

A

B

c

C

= area del triangolo

a

b

A

B

c C ba

α/2

A

D

γ

b

β

c

D

bisettrici di un triangolo

a

area di un parallelogramma

B area di un quadrilatero

C

D

b A

v 2.4

α

a

p = semiperimetro del triangolo

mediane di un triangolo

M

ma

oppure

B

A

α

d2

C

d1 B

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132


Elementi di topologia della retta

analisi

nome

definizione l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi:

insieme

“Per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero” esempi

{

{

}

]

}

{

]

}

{ }

{ }

un intervallo è l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti) esempi

intervallo

l’insieme [ [ è un intervallo perché contiene tutti i numeri compresi tra 1 e 4

1

4

fai attenzione che un intervallo è anche un insieme ma non è detto che un insieme sia un intervallo. Ad esempio l’insieme: { } non è un intervallo perché contiene solo i quattro numeri indicati e non tutti i numeri tra 1 e 4

intorno completo di un punto

intorno circolare di un punto

l’intorno completo di un punto è un qualsiasi intervallo aperto che contiene il punto esempi

dato il punto

[ è un intorno completo di 6

l’intervallo ]

4

10

6

l’intorno circolare di un punto è un intervallo di centro il punto stesso esempi

dato il punto

l’intervallo ] la parte

]

[ è un intorno circolare di 4

] è l’ intorno sinistro di 4 e la parte [

2

4

[è l’ intorno destro di 4

6

il minimo di un insieme A è l’elemento più piccolo appartenente all’insieme.

minimo di un insieme

In simboli si scrive: dato l’insieme [ dato l’insieme ]

è il minimo di

se

esempi

[ [

il minimo è il minimo

2

5

2

5

Osserva che il minimo di un insieme esiste solo se l’insieme è chiuso inferiormente v 4.4

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133


Elementi di topologia della retta

analisi

il massimo di un insieme In simboli si scrive:

massimo di un insieme

è l’elemento più grande appartenente all’insieme. è il massimo di

se

esempi

dato l’insieme ]

]

il massimo è

dato l’insieme ] 2, 5 [ il massimo

2

5

2

5

Osserva che il massimo di un insieme esiste solo se l’insieme è chiuso superiormente

un minorante di un insieme è un qualsiasi elemento minore o uguale di tutti gli elementi dell’insieme. Il minorante non deve necessariamente appartenere all’insieme e non è unico esempi

minorante di un insieme

dato l’insieme[

dato l’insieme [

minoranti

[ 2, 1, 0 … sono minoranti [

l’insieme dei minoranti è l’intervallo ]

2

5

]

dato l’insieme ] 2, 5 [ l’insieme dei minoranti è sempre l’intervallo ]

]

Osserva che l’insieme dei minoranti, se esiste, è sempre chiuso superiormente

un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento maggiore o uguale di tutti gli elementi dell’insieme. Il maggiorante non deve necessariamente appartenere all’insieme e non è unico esempi

maggiorante di un insieme

dato l’insieme[

dato l’insieme [ dato l’insieme [

[ 5, 6, 7… sono maggioranti [ ]

2

l’insieme dei maggioranti è l’intervallo [

5

maggioranti

[

l’insieme dei maggioranti è sempre l’intervallo [

[

Osserva che l’insieme dei maggioranti, se esiste, è sempre chiuso inferiormente

l’estremo inferiore di un insieme è il massimo dei minoranti dell’insieme stesso

estremo inferiore di un insieme

v 4.4

Si indica con il simbolo inf (A) dato l’insieme A = ]

]

esempi

l’estremo inferiore di A è 2 in simboli:

]

infatti l’insieme dei minoranti di

è

B= ]

C =]

]

il cui massimo è 2

Osserva che se l’insieme non è limitato inferiormente, l’estremo inferiore è

]

]

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D =[

]

134


Elementi di topologia della retta

analisi

proprietà

dato un insieme A l’estremo inferiore delle seguenti due proprietà:

gode

1. 2.

l’estremo superiore di un insieme è il minimo dei maggioranti dell’insieme stesso Si indica con il simbolo sup (A)

estremo superiore di un insieme

esempi

dato l’insieme A = ]2, 5[ l’estremo superiore di A è infatti l’insieme dei maggioranti di

B=]

è[

[

in simboli:

5

il cui minimo è 5

Osserva che se l’insieme non è limitato superiormente, l’estremo superiore è

[

C=]

]

D=]

proprietà

dato un insieme A l’estremo superiore delle seguenti due proprietà:

[

gode

esempi di riepilogo

• • •

A è un intervallo limitato

il minimo di A non esiste, il massimo di A è 9

A è aperto inferiormente e chiuso superiormente •

dato l’insieme B = [ • • •

il minimo di B è 1, il massimo di B non esiste

B è chiuso inferiormente e aperto superiormente •

• •

v 4.4

]

[

1

9

] l’insieme dei maggioranti di A è l’intervallo [ l’insieme dei minoranti di A è l’intervallo l’estremo inferiore di A è 1,

] [

l’estremo superiore è 9

minoranti

si ha che:

B è un intervallo non limitato superiormente

dato l’insieme C = •

[

maggioranti

minoranti

dato l’insieme A = ]1, 9 ] si ha che:

1

l’insieme dei minoranti di B è l’intervallo

]

]

l’insieme dei maggioranti di B è vuoto

l’estremo inferiore di B è 1, l’estremo superiore è maggioranti

si ha che:

C è un intervallo non limitato inferiormente

il minimo e il massimo di C non esistono

C è aperto inferiormente e superiormente

2

l’insieme dei minoranti di C è vuoto

l’insieme dei maggioranti di C è l’intervallo [ l’estremo inferiore di C è

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[

, l’estremo superiore è 2 135


Elementi di topologia della retta

analisi

punto di accumulazione per un insieme un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto vi è almeno un elemento dell’insieme distinto dal punto stesso fai attenzione che: • •

l’appartenenza del punto all’insieme non implica che il punto sia di accumulazione per l’insieme

la non appartenenza del punto all’insieme non implica che il punto non sia di accumulazione per l’insieme

I successivi quattro esempi illustrano i possibili casi

esempi

appartiene ad

è di accumulazione per

sia

ed A = ]

[

sia

ed A = ]

[

sia

ed A = ]

[

2

3 appartiene ad A ed è di accumulazione

appartiene ad

è di accumulazione per

2

6

1

2

6

1

2

6

2 non appartiene ad A ed è di accumulazione

appartiene ad

non è di accumulazione per

1 non appartiene ad A e non è di accumulazione

sia

appartiene ad

non è di accumulazione per

ed

]

6

3

[

1 appartiene ad A e non è di accumulazione

un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l’insieme stesso si dice punto isolato ulteriori esempi

dato l’insieme { } nessuno dei quattro elementi di A è un punto di accumulazione per A.

Infatti, scelto ad esempio l’elemento 3, esiste un suo intorno ] [ che non contiene alcun elemento di A distinto da 3 stesso. Analoga conclusione per gli altri tre elementi di A dato l’insieme B = ] • • • •

v 4.4

[ ]

]

l’insieme dei maggioranti di B è l’estremo inferiore è

]

[

[

2

4

3

insieme dei minoranti

si ha che

il minimo di B non esiste, il massimo è 9 l’insieme dei minoranti di B è ]

1

• •

insieme dei maggioranti 0

l’estremo superiore 9

7

9

0 e 9 sono di accumulazione per B 7 è di accumulazione per B

tutti i numeri tra 0 e 9 sono di accumulazione per l’insieme B

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136


Funzioni: definizione e tipi

analisi

definizione Dati due insiemi A e B, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell’insieme A uno ed un solo elemento dell’insieme B Una funzione si indica con

• •

dove:

è un generico elemento di A ed

o

si chiama immagine di

l’insieme A viene chiamato dominio o campo di esistenza di

ed appartiene all’insieme B

il sottoinsieme di B formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di

tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca

d ●

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

A

B

a ●

● 1

b ●

● 2

A a ● b ● c ●

c ● d ●

A

B

a ●

● 1

b ●

● 2

c ●

● 3

d ●

● 4

A a ● b ● c ● d ●

A a ● b ● c ● d ● v 4.0

● 3

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4

• • ⋅ ⋅

• • ⋅ ⋅ •

• ⋅

funzione iniettiva

una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell’insieme A corrispondono elementi distinti dell’insieme B f(x) iniettiva

x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B contenente gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di

funzione suriettiva

una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell’insieme B è immagine di almeno un elemento dell’insieme A f(x) suriettiva

la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di

funzione biunivoca o biettiva

una funzione si dice biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento dell’insieme A corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme B e viceversa f(x) biunivoca

e viceversa

l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di

funzione non iniettiva, non suriettiva

la funzione della figura a sinistra: • •

NON è iniettiva perché gli elementi distinti “b, c” dell’insieme A hanno la stessa immagine “2” NON è suriettiva perché non tutti gli elementi dell’insieme B (“4, 5”) sono immagine di un elemento dell’insieme A

l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B, che contiene gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di

corrispondenza

la legge rappresentata nella figura a sinistra non è una funzione perché non ne soddisfa la definizione, infatti: • all’elemento “b” dell’insieme A sono associati più elementi (“2, 3”) dell’insieme B. • l’elemento “d” dell’insieme A non è associato ad alcun elemento dell’insieme B. la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2013 - www.matematika.it

137


Funzioni: definizione e tipi

analisi

funzioni numeriche •

• •

una generica funzione si indica con

è detta variabile indipendente ed appartiene al dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al codominio

se ed

sono numeri reali allora la funzione si dice funzione reale di una variabile reale

in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano; l’insieme di tali punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione

grafico di una funzione reale

consideriamo ad esempio la funzione radice cubica

x

Y

X

0

● 0 ● ● 1 ● ● ●

0● ● 1● ● ● ●

rappresentazione insiemistica Y

X

• • X Y

-2

X

grafico della funzione

la funzione in figura è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y la funzione non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la funzione in figura è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X la funzione non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y

la funzione in figura è biunivoca cioè sia iniettiva che suriettiva, infatti: • è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y • è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X

X

Y

v 4.0

-8

1

tipi di funzione

Y

-1

8 2 coppie di numeri associati •

Y

0

-1 1

Y

X

X

la funzione in figura non è iniettiva e non è suriettiva, infatti: • non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y • non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la curva in figura non è una funzione perché ai punti sull’asse delle X corrisponde più di un’ordinata sull’asse delle Y. In questo caso la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2013 - www.matematika.it

138


Grafici delle funzioni elementari

analisi

potenza con esponente pari

v 3.1

radice con indice pari

seno

arcoseno

potenza con esponente dispari

radice con indice dispari

coseno

arcocoseno

logaritmo con base > 1

esponenziale con base > 1

tangente

arcotangente

logaritmo con 0 < base < 1

esponenziale con 0 <base < 1

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cotangente

arcocotangente 139


Grafici di funzioni: trasformazioni

analisi

Noto

grafico di una funzione in alcuni casi è possibile disegnare il grafico di una nuova funzione ottenuta da quella nota mediante una semplice trasformazione. funzione iniziale

il

Di seguito si riportano i casi più comuni per una funzione a dominio positivo

traslazione verso l’alto di

traslazione verso destra di

unità

ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse delle x

ribaltamento rispetto all’asse y

riflessione rispetto all’asse delle y

dilatazione sull’asse y di un fattore

dilatazione sull’asse x di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse x e all’asse y

ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse x e successiva riflessione rispetto all’asse delle y

contrazione sull’asse y di un fattore

contrazione sull’asse x di un fattore

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unità

traslazione verso il basso di

ribaltamento rispetto all’asse x

v 2.6

traslazione verso sinistra di

unità

unità

140


Dominio o Campo di esistenza o Insieme di definizione

analisi

Per calcolare il dominio di una funzione è necessario tener conto delle limitazioni riportate nella tabella seguente. Se bisogna porre più condizioni esse vanno messe a sistema sotto forma di disequazioni. Il dominio della funzione è dato dalla soluzione del sistema o della singola disequazione. funzione

condizione

funzione fratta

si pone il denominatore diverso da 0

funzione radice ad indice pari

n pari

si pone il radicando maggiore o uguale di 0

funzione logaritmo

si pone l’argomento maggiore di 0

funzione logaritmo con una funzione alla base si pone funzione potenza con esponente una frazione positiva o un numero irrazionale positivo

α

frazione positiva o numero irrazionale positivo

si pone la funzione maggiore o uguale di 0

funzione potenza con esponente una frazione negativa o un numero irrazionale negativo

α

frazione negativa o numero irrazionale negativo

si pone la funzione maggiore di 0

funzione elevata ad una funzione

si pone la funzione alla base maggiore di 0

funzione tangente

si pone l’argomento diverso da

funzione cotangente

si pone l’argomento diverso da

funzione arcoseno

si pone l’argomento compreso tra

funzione arcocoseno

osservazione importante

• v 3.7

si pone l’argomento compreso tra

e e

le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite © 2013 - www.matematika.it

141


analisi

Dominio o Campo di esistenza o Insieme di definizione esempi di calcolo e rappresentazione grafica del dominio di alcune funzioni

1.

è possibile assegnare qualunque valore alla . Il dominio è:

2.

si pone il denominatore diverso da zero. Il dominio è: 3.

si pone il radicando maggiore o uguale a zero. Il dominio è:

4.

si pone l’argomento del logaritmo maggiore di zero e il denominatore diverso da zero. Il dominio è: (*) perché la condizione è già contenuta algebricamente nella precedente

5.

si pone il radicando maggiore o uguale a zero e il denominatore diverso da zero. Il dominio è: (*) perché la condizione è già contenuta algebricamente nella precedente

6.

si pongono a sistema le condizioni di esistenza della radice, del logaritmo e del denominatore. Il dominio è:

v 3.7

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142


Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione

analisi

studio del segno della funzione

scopo: lo studio del segno individua le regioni di piano in cui la funzione è positiva (+), cioè si trova nel

semipiano delle ordinate positive (al di sopra dell’asse delle ), o negativa ( ), cioè si trova nel semipiano delle ordinate negative (al di sotto dell’asse delle ). Lo studio del segno va svolto ovviamente solo all’interno del dominio della funzione

come si cerca: • • •

si pone la funzione maggiore di zero si risolve la disequazione si cancellano le regioni di piano dove la funzione NON esiste

esempio

Studiamo il segno della seguente funzione si studia innanzitutto il dominio

si pone la funzione maggiore di zero si risolve la disequazione si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste: • nell’intervallo dove la funzione è negativa si cancella la parte di piano al di sopra dell’asse • nell’intervallo dove la funzione è positiva si cancella la parte di piano al di sotto dell’asse

studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani

scopo: lo studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani individua i punti di contatto della funzione con l’asse e con l’asse . I primi sono anche detti “zeri della funzione” perché hanno ●

intersezioni con l’asse

come si cercano: • •

come si cerca: •

v 1.3

si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione

intersezione con l’asse •

o zeri della funzione

(solo se il dominio lo consente)

si sostituisce alla nella funzione si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y

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143


analisi

Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione esempio

Studiamo le intersezioni con gli assi cartesiani della seguente funzione cerchiamo le intersezioni con l’asse ponendo la funzione uguale a zero

risolviamo l’equazione; la soluzione è l’ascissa del punto di intersezione cercato

cerchiamo le intersezioni della funzione con l’asse sostituendo alla nella funzione; si sviluppano i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto cercato

gli eventuali punti di intersezione della funzione con l’asse si possono anche dedurre osservando il grafico dello studio del segno (per esempio, il grafico a destra). Due zone successive di segno opposto sono separate da un punto di intersezione della funzione (sempre se il punto appartiene al con l’asse dominio); due zone successive dello stesso segno individuano invece un punto di contatto della funzione con l’asse delle (sempre se il punto appartiene al dominio)

studio delle simmetrie di una funzione

scopo: la presenza di eventuali simmetrie semplifica la ricerca del grafico della funzione. Ciò consente di studiare analiticamente la funzione solo nel semipiano positivo delle ascisse e successivamente di ribaltarne il grafico ottenuto nel semipiano negativo, rispetto all’asse se la funzione è pari, oppure rispetto all’origine se la funzione è dispari

simmetria rispetto all’asse y o simmetria pari definizione:

una funzione simmetrica rispetto all’asse delle

come si cerca: • • •

si dice pari

si sostituisce con nel testo della funzione si sviluppano i calcoli se la funzione è pari

simmetria rispetto all’origine o simmetria dispari definizione:

una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani si dice dispari

come si cerca: • • •

si sostituisce con nel testo della funzione si sviluppano i calcoli e si raccoglie il segno “ “ se la funzione è dispari

esempi

1.

Studiamo la simmetria della seguente funzione

sostituiamo con luppiamo i calcoli v 1.3

nel testo della funzione e svi© 2013 - www.matematika.it

144


Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione

analisi

confrontiamo il testo ottenuto della con quello iniziale della e notiamo che sono diversi

la funzione non è pari

raccogliamo il segno “ “ nel testo della

confrontiamo il testo della con quello della e notiamo che sono diversi 2.

la funzione non è nemmeno dispari

Studiamo la simmetria della seguente funzione

sostituiamo con luppiamo i calcoli

nel testo della funzione e svi-

confrontiamo il testo ottenuto della con quello iniziale della e notiamo che sono diversi

la funzione non è pari

raccogliamo il segno “ “ nel testo della

confrontiamo il testo della con quello della e notiamo che sono uguali

la funzione è dispari

lo studio delle eventuali simmetrie di una funzione si effettua in genere dopo aver calcolato il dominio e studiato il segno della funzione. Ciò è un vantaggio perché solo se il dominio ed il grafico del segno sono entrambi simmetrici allora (e solo allora) la funzione potrebbe essere simmetrica ed ha senso studiarne algebricamente le simmetrie. Viceversa se il dominio o il grafico del segno NON sono entrambi simmetrici la funzione NON potrà essere simmetrica. Ciò è evidente osservando il grafico dell’esempio dello studio del segno della funzione

studio della periodicità di una funzione

definizione:

una funzione che ripete a intervalli regolari la sua forma si dice periodica e la dimensione dell’intervallo ripetuto si dice periodo e si indica con T

come si cerca il periodo T della funzione: • • •

T periodo

esempi

1.

si pone ottenendo una equazione si risolve l’equazione nell’incognita T il valore trovato di T è il periodo della funzione

Calcoliamo il periodo della seguente funzione

poniamo

ottenendo una equazione

risolviamo l’equazione nell’incognita T il periodo richiesto si trova ponendo 2.

Calcoliamo il periodo della seguente funzione

poniamo

ottenendo una equazione

risolviamo l’equazione nell’incognita T v 1.3

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145


Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione

analisi

il periodo richiesto si trova ponendo •

il calcolo del periodo di una funzione si effettua solo se la funzione è composta da funzioni periodiche Ricordiamo che le funzioni periodiche elementari sono: , , , . Le prime due hanno periodo uguale a , le ultime due hanno periodo uguale a , come si vede dai loro grafici qui sotto riportati. In questi casi si possono utilizzare le più semplici formule riportate di seguito per il calcolo della periodicità.

seno

osservazioni importanti

coseno

tangente

cotangente

la ricerca del periodo di una funzione si effettuata risolvendo un’equazione goniometrica. In molti casi lo svolgimento dell’equazione può risultare complesso per cui è utile ricordare alcune regole pratiche: a) data una funzione

di periodo T : il periodo di

è

il periodo di

è

b) data una funzione composta dalla somma (o differenza) di funzioni periodiche il suo periodo è uguale al minimo comune multiplo dei periodi delle funzioni che la compongono

quesiti tratti da tracce di esami di stato di liceo scientifico 1.

“Sia

poniamo

ottenendo una equazione

(Tratto dall’esame di Stato 2012 problema 1 prima domanda)

risolviamo l’equazione nell’incognita T il periodo richiesto si trova ponendo applicando la regola pratica si ha 2.

“Si determini il periodo della funzione

poniamo

ottenendo una equazione

(Tratto dall’esame di Stato 2009 quesito 10)

risolviamo l’equazione nell’incognita T il periodo richiesto si trova ponendo applicando la regola pratica si ha

v 1.3

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146


Definizione di limite di una funzione

analisi

premessa

definizione

considerata una funzione •

sia D il suo dominio

sia

un punto di accumulazione per D

si dice che è il limite per che tende a e si scrive

di

se:

:

• per ogni intorno • esiste un intorno • tale che per ogni : • appartenente all’intorno • appartenente al dominio D • diverso dal punto • si ha che appartiene all’intorno

definizione topologica

La definizione insiemistica di limite di una funzione in un punto è una definizione generale. Essa è infatti valida per ogni valore finito o infinito di e di . La lettura di tale definizione è riportata nel riquadro “definizione” in alto a destra definizione algebrica

)

La definizione algebrica di limite è una “traduzione” di quella insiemistica, quella qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. rappresentano numeri positivi molto piccoli, in particolare: • rappresenta il raggio dell’intorno i cui estremi sono “ ” ed “ ” • rappresenta il raggio dell’intorno di centro i cui estremi sono ” “ ed “ “ definizione mista

La definizione mista di limite è una “composizione” delle precedenti definizioni. In particolare essa prende la simbologia della definizione algebrica in riferimento all’asse delle y (quella nella prima e nell’ultima parte) e prende la simbologia della definizione insiemistica in riferimento all’asse delle x (quella nella parte centrale) La definizione qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. osservazione importante

L’esistenza del limite di una funzione in un punto è indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso. Può infatti accadere che: • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione e sono uguali • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione ma sono diversi • nel punto esiste il limite della funzione ma non esiste il valore della funzione

v 4.1

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147


analisi

Tutte le definizioni di limite di una funzione: topologica, algebrica, mista

Data una funzione

sia D il suo dominio e sia l

un punto di accumulazione per il dominio

xo

x0

x0

l

l

v 2.4

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148


Limiti di funzioni elementari

analisi

potenza con esponente pari

v 1.0

radice con indice pari

potenza con esponente dispari

radice con indice dispari

logaritmo con base > 1

esponenziale con base > 1

logaritmo con 0 < base < 1

esponenziale con 0 <base < 1

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149


Limiti di funzioni elementari

analisi

seno

v 1.0

arcoseno

coseno

arcocoseno

tangente

arcotangente

cotangente

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arcocotangente

150


Algebra

analisi

dei

limiti

algebra dei limiti

Le regole dell’algebra dei limiti di seguito presentate si applicano esclusivamente al calcolo dei limiti e non nell’ambito dell’algebra classica. Ricordando che nell’algebra classica si ha:

nell’algebra dei limiti valgono le seguenti regole: rapporto tra numeri reali, zero e più o meno infinito

somma e prodotto tra un numero reale e più o meno infinito

elevamento a potenza tra più o meno infinito e un numero

somma e prodotto tra più o meno infinito

il segno

davanti a

nei precedenti risultati va stabilito in base alla regola dei segni

elevamento a potenza tra più o meno infinito

nel caso del calcolo di limiti delle funzioni elementari il risultato si ottiene osservando l’andamento del grafico della funzione stessa, come si vedrà negli esempi successivi forme indeterminate

Nel calcolo dei limiti si possono presentare le seguenti sette forme dette indeterminate.

Per poterle risolvere sono necessari altri procedimenti che saranno illustrati in schede successive.

v 3.0

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151


Algebra

analisi

dei

limiti

esempi di calcolo di limiti che NON si presentano in forme indeterminate

Per calcolare i limiti degli esempi proposti di seguito si procede nel seguente modo: 1. si sostituisce al posto della

nel testo della funzione il valore a cui tende la

nel limite

2. si sviluppano i calcoli tenendo conto dellâ&#x20AC;&#x2122;algebra classica, dellâ&#x20AC;&#x2122;algebra dei limiti e dei grafici delle funzioni elementari

I seguenti due esercizi sono invece esempi di calcolo di limite che si presentano in forma indeterminata

v 3.0

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152


Calcolo

analisi

limiti

di

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata

Le funzioni algebriche sono le funzioni che si presentano sotto forma di polinomi o di radici.

Se il limite delle funzioni algebriche è in forma indeterminata è possibile manipolare algebricamente il polinomio o la radice in modo da sciogliere la forma indeterminata. Di seguito presentiamo le tecniche di risoluzione più comuni. forma indeterminata

cosa fare:

• •

mettere in evidenza la di grado massimo ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

mettere in evidenza la di grado massimo al numeratore mettere in evidenza la di grado massimo al denominatore semplificare dove è possibile

• • • • • •

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni scomporre numeratore e denominatore

semplificare ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

ricordando che: • •

moltiplicare e dividere per sviluppare i calcoli

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

ricordando che: • • •

per calcolare rapidamente per calcolare rapidamente •

v 1.0

• • • •

bisogna considerare il grado del polinomio al numeratore e il grado del polinomio al denominatore •

moltiplicare e dividere per

sviluppare i calcoli ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

sostituire o alla di grado massimo e trascurare gli altri termini del polinomio tenere conto dei segni

se il polinomio al numeratore ha grado maggiore il risultato è tenendo conto dei segni

se i gradi sono uguali il risultato è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo

se il denominatore ha grado maggiore il risultato è zero

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153


Calcolo

analisi

di

limiti

esempi di calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata

la forma indeterminata

la forma indeterminata natore, cioè:

la forma indeterminata

la forma indeterminata

v 1.0

si risolve mettendo in evidenza la di grado massimo del polinomio, cioè:

si risolve mettendo in evidenza la di grado massimo al numeratore e al denomi-

si risolve operando algebricamente sul numeratore e denominatore, cioè:

si risolve applicando la tecnica vista in precedenza, cioè:

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154


analisi

Calcolo

di

limiti

altre tecniche risolutive caso Nel caso si debba calcolare il limite per che tende a infinito di un polinomio, si può applicare la teoria degli infiniti che afferma che il risultato del limite dipende solo dal monomio di grado massimo del polinomio potendosi trascurare i monomi di grado inferiore. Ad esempio:

caso Nel caso si debba calcolare il limite per che tende a infinito del rapporto di due polinomi, si possono confrontare i gradi del polinomio a numeratore e del polinomio a denominatore. Dal confronto si possono avere tre casi possibili 1° caso: il polinomio a numeratore ha grado maggiore del polinomio a denominatore

Se il polinomio a numeratore ha grado maggiore il risultato del limite per Il segno o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo del numeratore. Ad esempio:

(o

che tende a infinito è

.

) al monomio di grado massimo

2° caso: il polinomio a numeratore ha lo stesso grado del polinomio a denominatore Se i polinomi a numeratore e a denominatore hanno lo stesso grado il risultato del limite per infinito è uguale al rapporto dei coefficienti dei monomi di grado massimo Il segno o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo del numeratore e del denominatore. Ad esempio:

(o

che tende a

) al monomio di grado massimo

3° caso: il polinomio a numeratore ha grado minore del polinomio a denominatore Se il polinomio a numeratore ha grado minore il risultato del limite per Ad esempio:

v 1.0

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che tende a infinito è .

155


Limiti notevoli

analisi

funzioni goniometriche

funzioni esponenziali e logaritmiche

l’ uguaglianza a sinistra può essere utile per risolvere alcuni limiti che si presentano nelle forme indeterminate

ad ogni limite notevole si possono applicare le seguenti proprietà che lasciano invariato il risultato limite iniziale

se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito

se nel limite al posto di x c’è nx il risultato del limite resta lo stesso

se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito

frazioni equivalenti per il calcolo dei limiti notevoli può essere utile ricordare alcune delle possibili operazioni con le frazioni:

scomporre la frazione iniziale in due frazioni

v 3.3

dividere ogni monomio del numeratore e del denominatore per la stessa quantità n

moltiplicare e dividere la fra- zione per la stessa quantità n

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moltiplicare e dividere il numeratore per n e/o moltiplicare e dividere il denominatore per m

156


Definizione di funzione continua – punti di discontinuità

analisi

definizione di funzione continua in un punto

f(x0 ) = l

f(x)

• • •

data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione la funzione si dice continua nel punto se:

cioè:

xo

osserva che in un punto isolato la funzione è continua

Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti punti dell’intervallo

osservazione importante

per studiare se una funzione è continua in un punto appartenente al dominio D è necessario calcolare il limite da sinistra (se è possibile), il limite da destra (se è possibile) ed il valore della funzione nel punto . Se questi tre valori sono tutti uguali allora la funzione sarà continua in quel punto, cioè se: un punto di accumulazione per il dominio della funzione si dice di discontinuità per l’eguaglianza dei tre valori precedenti e ciò può avvenire per diverse ragioni. punti di discontinuità e loro classificazione

se NON c’è

un punto di accumulazione per il dominio della funzione si dice di discontinuità per se NON c’è l’eguaglianza dei tre valori precedenti e ciò può avvenire per diverse ragioni. per classificare un punto di discontinuità si calcolano separatamente il limite sinistro ed il limite destro della funzione in a seconda dei risultati trovati il punto si classifica in una delle seguenti tre specie punto di discontinuità di prima specie

l2 l1

● ●

si dice punto di discontinuità di prima specie se i limiti sinistro e destro della funzione in sono diversi e finiti cioè:

con

xo

si dice salto della funzione

punto di discontinuità di seconda specie •

xo

si dice punto di discontinuità di seconda specie se uno almeno dei due limiti sinistro o destro della funzione in uguale a infinito, oppure non esiste cioè:

è

oppure punto di discontinuità di terza specie o eliminabile

l1 = l2

• ●

v 1.4

xo

si dice punto di discontinuità di terza specie o eliminabile se i limiti sinistro e destro della funzione in sono uguali e finiti ma non esiste il valore della funzione in oppure esiste ma risulta diverso dal limite cioè:

con

in questo caso la discontinuità si può eliminare ponendo

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157


Asintoti di una funzione

analisi

definizione di asintoto di una funzione •

f(x)

P

data una funzione

e dato un suo punto P

si dice che una retta è asintoto per la funzione

se

la distanza di P dalla retta tende a zero quando P si allontana indefinitamente lungo la funzione la definizione non esclude che in alcuni casi la funzione può intersecare l’asintoto. Vedi in seguito per l’approfondimento

Esistono tre tipi di asintoti: asintoto verticale, asintoto orizzontale, asintoto obliquo asintoto verticale

f(x)

dove si cerca: • •

nei punti di discontinuità della funzione nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso

come si cerca:

xo

osserva: la funzione non attraversa mai l’asintoto verticale perché asintoto orizzontale

non appartiene al dominio della funzione

dove si cerca: •

se il dominio lo consente

come si cerca:

f(x) n

a

solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo

fai attenzione che per e per vanno fatte ricerche separate, ad esempio a l’asintoto orizzontale ed a potrebbe esistere l’asintoto obliquo asintoto obliquo

potrebbe esistere

dove si cerca: •

f(x)

v 1.1

a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzontale

come si cerca:

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158


Asintoti di una funzione

analisi

osservazioni

la funzione può intersecare l’asintoto orizzontale e l’asintoto obliquo anche più volte, come si vede nei seguenti esempi: f(x)

f(x)

f(x)

la presenza dell’asintoto orizzontale esclude l’asintoto obliquo. Esistono però funzioni che ammettono l’asintoto orizzontale a e l’asintoto obliquo a (e viceversa), come si vede nei seguenti grafici: γ

f(x)

f(x)

la funzione ammette l’asintoto orizzontale a e l’asintoto obliquo a

la funzione ammette l’asintoto oriz- la curva ammette un asintoto orizzontale a e l’asintoto obliquo a zontale ed uno obliquo nella stessa direzione perché non è una funzione

esempio di ricerca di asintoti di una funzione

Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione si calcola il limite sinistro e destro della funzione per della funzione: • ricerca degli asintoti verticali

e

entrambi i limiti sono infiniti e la retta

è un asintoto verticale per la funzione

entrambi i limiti sono infiniti e la retta

è un asintoto verticale per la funzione

e

• ricerca degli asintoti orizzontali

• ricerca degli asintoti obliqui

che tende ai punti di discontinuità

si calcola il limite della funzione per e

che tende a

ea

:

entrambi i limiti sono infiniti e non esiste asintoto orizzontale a ne. Ha senso cercare l’asintoto obliquo si calcolano i valori del coefficiente angolare dell’asintoto obliquo :

e

l’asintoto non esiste ea

e dell’ordinata all’origine

per la funzio-

dell’equazione

la funzione ammette due asintoti verticali ed un asintoto obliquo, come riportato nel grafico della funzione in alto a destra. Osserva che la funzione interseca l’asintoto obliquo nell’origine degli assi cartesiani

v 1.1

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159


Definizione di monotonia e di punti di massimo e minimo relativi

analisi

definizione di monotonia di una funzione definizione di funzione crescente e decrescente in un intervallo

f(x)

f(x1) = f(x2) ●

f(x2)

f(x1)

x2

x1

a

x2

x1

f(x1) = f(x2) ●

x2

x1

a

f(x1) ● f(x2)

b

f(x) a

● ●

x2

x1

a

una funzione si dice crescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è maggiore o uguale dell’ordinata di cioè:

b

f(x)

una funzione si dice strettamente crescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è maggiore dell’ordinata di cioè:

una funzione si dice decrescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è minore o uguale dell’ordinata di , cioè:

b

f(x) b

una funzione si dice strettamente decrescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è minore dell’ordinata di , cioè:

definizione di punti di massimo e minimo relativi di una funzione sia

una funzione definita nel dominio , sia

M

f(x0) ● f(x)

● ●

x

f(x)

m

f(x0) ● ●

x v 1.1

x0

x0

un punto appartenente al dominio, sia

un intorno di

un punto si dice di massimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia maggiore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I interni al dominio

massimo se un punto si dice di minimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia minore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I interni al dominio

minimo se © 2013 - www.matematika.it

160


Definizione di concavità e di punti di flesso

analisi

definizione di funzione concava in un intervallo sia

una funzione definita nel dominio D, sia

t

a

b

se per è al

una funzione si dice concava verso il basso in un intervallo il grafico della funzione in per ogni punto appartenente ad è al di sotto della retta tangente nel punto P0 di coordinate

b F

una funzione si dice concava verso l’alto in un intervallo il grafico della funzione in ogni punto appartenente ad di sopra della retta tangente nel punto P0 di coordinate

t

a

un intervallo interno al dominio

se

punto di flesso

t ●

un punto si dice di flesso per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione oppure equivalentemente

un punto si dice di flesso per una funzione se è di separazione tra una concavità verso il basso e una verso l’alto o viceversa

classificazione dei punti di flesso

punto di flesso a tangente orizzontale F

t

un punto si dice punto di flesso a tangente orizzontale per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione ed è parallela all’asse delle ascisse

punto di flesso a tangente NON orizzontale F

un punto si dice punto di flesso a tangente NON orizzontale per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione e NON è parallela all’asse delle ascisse punto di flesso a tangente verticale

t F

v 1.1

t

un punto si dice punto di flesso a tangente verticale per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione ed è parallela all’asse delle ordinate © 2013 - www.matematika.it

161


analisi

Definizione di rapporto incrementale e di Derivata di una funzione definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto

f(x0)

y = f(x)

f(x0+h) Δy

Δx

xo

data una funzione dominio D della funzione

nel punto

si chiama incremento della variabile

il rapporto incrementale ha senso per ogni

appartenente al

si chiama rapporto incrementale della funzione il rapporto:

xo+h

ed un punto

tale che

si chiama incremento della funzione

appartiene ancora al dominio D della funzione

definizione di derivata prima di una funzione in un punto •

data una funzione

1

ed un punto

si definisce derivata prima di

appartenente al dominio D della funzione

nel punto

il limite, se esiste 1 ed è finito, del rapporto incrementale di

in

:

) si ricorda che affinché il limite esista devono esistere essere uguali i limiti da sinistra e da destra della funzione

se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che dominio. Per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i seguenti simboli:

è derivabile nell’intervallo o nel , ,

definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto

si definisce derivata prima sinistra di nel punto il si definisce derivata prima destra di nel punto il limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale in : in : di di

significato geometrico di derivata

y = mx+q f(x0)

la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa cioè nel punto :

P0

x0 per trovare l’equazione della retta •

• • v 2.1

tangente al grafico di una funzione

si calcola la derivata prima della funzione nel punto

:

, il suo valore rappresenta il coefficiente angolare della tangente

nell’equazione del fascio di rette si sostituiscono ad e ad il valore della derivata prima della funzione cioè si ottiene così l’equazione della retta tangente:

nel punto

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ed

le coordinate del punto

162


analisi

Derivate derivate delle funzioni elementari dove k è una costante

regole di derivazione prodotto di una costante k per una funzione

somma di due o piĂš funzioni prodotto di due funzioni prodotto di tre funzioni

rapporto di due funzioni funzione composta funzione elevata ad una funzione v 2.3

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163


analisi

Derivate esempi di derivate di alcune funzioni elementari

=

=

esempi di derivate con le regole di derivazione Derivata del prodotto di una costante

per una funzione

Derivata della somma di due o piĂš funzioni

Derivata del prodotto di due funzioni

Derivata del rapporto di due funzioni

Derivata di una funzione composta

Derivata di una funzione elevata ad una funzione

v 2.3

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164


analisi

Ricerca dei punti di massimo o di minimo relativo e di flesso di una funzione punti stazionari

Sia

una funzione definita nell’intervallo e sia un punto appartenente all’intervallo . della funzione se Graficamente ciò significa che la tangente al grafico nel punto stazionario è orizzontale. I punti stazionari di una funzione sono i punti di massimo relativo o di minimo relativo o di flesso orizzontale massimo relativo

M

f(x0)●

minimo relativo

t

F

a

b

t

m

f(x0)● a

flesso orizzontale

t ●

b

più in generale per la ricerca dei punti stazionari si può seguire il seguente schema: • • • • • •

si calcola la derivata prima di

si pone

si risolve l’equazione ottenendo le soluzioni

i punti possono essere punti di massimo, di minimo o di flesso orizzontale

i punti così trovati si analizzano uno alla volta sostituendoli nelle derivate di ordine successivo

analizziamo, ad esempio, il punto sostituendo il suo valore nella derivata seconda ed eventualmente nelle derivate successive

se:

è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola

se:

è un punto di flesso orizzontale si calcola

se:

è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola ………. e così via

ricerca dei punti di flesso a tangente NON orizzontale

I punti di flesso a tangente NON orizzontale sono quei punti appartenenti al dominio della funzione che annullano la derivata seconda ma non annullano la derivata prima e non annullano la derivata terza della funzione cioè: è punto di flesso non a tangente orizzontale se

Si cercano imponendo la derivata seconda uguale a zero. I casi possibili sono: flesso ascendente

flesso discendente t

F

flesso ascendente t

F

flesso discendente

F

F

t ●

v 1.4

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t ●

165


Definizione e ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti

analisi

definizione minimoassoluti assolutididiuna unafunzione funzione definizionedei deipunti puntididimassimo massimoe ediminimo sia

f(b)

una funzione continua in un intervallo

f(x1) f(a) f(x2) x1

x2

b

massimo relativo

minimo assoluto

massimo assoluto

a

e sia

un punto appartenente ad

un punto intervallo

si dice di massimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata maggiore in cioè se

un punto intervallo

si dice di minimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata minore in cioè se

relazione tra i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti Osserva che un punto di massimo o di minimo assoluto non deve necessariamente essere un punto di massimo o di minimo relativo (e viceversa). Ad esempio nel grafico precedente nell’intervallo [a, b] si ha che:

• • • •

non è né di massimo nè di minimo assoluto o relativo è di massimo relativo ma non di massimo assoluto è un punto di minimo relativo ma anche di minimo assoluto è di massimo assoluto ma non di massimo relativo

il punto il punto il punto il punto

osservazione

Se una funzione in un intervallo [a, b] è strettamente crescente gli estremi dell’intervallo [a, b] sono rispettivamente il punto di minimo ed il punto di massimo assoluto.

f(b)

f(a) a

minimo assoluto

b

massimo assoluto

nell’intervallo [a, b] del grafico di sinistra si ha che:

• il punto • il punto

è di minimo assoluto ma non di minimo relativo

è di massimo assoluto ma non di massimo relativo

ricerca dei punti di massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo [a, b] f(b)

f(b)

f(x1) f(a) f(x2)

f(a) a

x1

x2

b

a

b

massimo relativo

minimo assoluto

massimo assoluto

minimo assoluto

massimo assoluto

per trovare i punti di massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo [a, b] si può procedere nel seguente modo: •

• •

• •

v 1.1

si cercano i punti di massimo e minimo relativo della funzione con uno dei metodi conosciuti (f ‘(x)>0 ) dei punti così trovati si considerano solo quelli appartenenti all’intervallo [a, b] di ognuno di questi punti si calcola il valore della funzione (l’ordinata)

si calcola anche il valore della funzione (l’ordinata) nei punti a e b estremi dell’intervallo tra tutti i punti di cui abbiamo calcolato l’ordinata, quello di ordinata maggiore è il massimo assoluto, quello di ordinata minore è il minimo assoluto della funzione nell’intervallo [a, b] © 2013 - www.matematika.it

166


Punti di non derivabilità di una funzione

analisi

premessa • sia data una funzione • se

è derivabile nel punto

ed un punto allora

appartenente al dominio D della funzione

sarà anche continua nel punto

• il teorema non si può invertire, infatti può accadere che una funzione sia continua in un punto ma non derivabile in esso

• i punti in cui si verifica la continuità ma NON la derivabilità sono i punti che appartengono al dominio della funzione ma non appartengono al dominio della derivata prima. •

questi punti possono essere punti di flesso a tangente verticale oppure punti angolosi oppure punti cuspidali punto di flesso a tangente verticale

un punto si dice punto di flesso a tangente verticale per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono entrambi uguali a oppure a

t F

oppure

nel primo caso il punto di flesso si dice a tangente verticale crescente, nel secondo caso si dice a tangente verticale decrescente punto angoloso

un punto si dice punto angoloso per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono diversi ed almeno uno dei due è finito con almeno uno dei due limiti finito

punto cuspidale

un punto si dice punto cuspidale per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono uguali uno a e l’altro a o viceversa ●

oppure

nel primo caso si dice che il punto è una cuspide con vertice in basso, nel secondo caso si dice che il punto è una cuspide con vertice in alto osservazioni

• •

v 1.3

I punti angolosi e cuspidali sono un esempio di punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. I punti angolosi e cuspidali possono essere punti di massimo o di minimo per la funzione ma non possono essere individuati con i metodi tradizionali per la ricerca dei massimi e dei minimi poiché in essi la funzione è continua ma non derivabile. Per essi va fatta una specifica indagine basata sulla studio della crescenza e della decrescenza della funzione nell’intorno sinistro e nell’intorno destro del punto angoloso o del punto cuspidale. © 2013 - www.matematika.it

167


Studio del grafico di una funzione

analisi

ricerca del dominio (o campo di esistenza) della funzione

1

n pari

Le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono

studio del segno della funzione

2

si pone la funzione maggiore di zero

si risolve la disequazione

si individuano le regioni di piano dove la funzione è positiva (+) o negativa ( ) all’interno del dominio

si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste

studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani

3

intersezioni con l’asse x o zeri della funzione: •

si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione

le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione

intersezione con l’asse y (solo se il dominio lo consente):

si sostituisce 0 alla x nella funzione

4

v 3.9

si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y

gli eventuali punti di intersezione della funzione con l’asse si possono anche dedurre osservando il grafico dello studio del segno. Se il dominio lo consente, due zone di segno opposto sono separate da un punto di intersezione della funzione con l’asse ; due zone dello stesso segno individuano invece un punto di contatto della funzione con l’asse

studio delle simmetrie e della periodicità di una funzione

una funzione simmetrica rispetto all’asse delle y si dice pari

• • • •

definite

si sostituisce x con − x si sviluppano i calcoli se la funzione è pari

una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi si dice dispari

• •

• •

si sostituisce x con

−x

si sviluppano i calcoli e si raccoglie il “ “

se la funzione è dispari

una funzione che ripete periodicamente la forma si dice periodica

• •

si pone

si risolve l’equazione ottenuta nell’incognita T il valore trovato di T è il periodo della funzione

lo studio delle simmetrie si effettua solo se il dominio e il segno sono a loro volta entrambi simmetrici © 2013 - www.matematika.it

168


Studio del grafico di una funzione

analisi

ricerca degli asintoti di una funzione

5

asintoto verticale dove si cerca: • nei punti di discontinuità della funzione • nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso

f(x)

come si cerca:

xo

asintoto orizzontale

dove si cerca: •

f(x) n

a

se il dominio lo consente

come si cerca:

solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo

asintoto obliquo

dove si cerca: •

a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzontale come si cerca:

f(x)

studio della monotonia di

6

monotonia

f cresce

+

f decresce

-

max

f cresce

+

min

si calcola la derivata prima di si risolve la disequazione

e la si pone maggiore di 0

si individuano le regioni di piano dove: è crescente

è decrescente

osservando il grafico della crescenza e decrescenza si individuano i punti di massimo e di minimo. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

studio della concavità e ricerca dei flessi di una funzione

7 concavità

verso l’alto

+

v 3.9

e ricerca dei massimi e minimi relativi

verso il basso

flesso

-

verso l’alto

flesso

+

si calcola la derivata seconda di si risolve la disequazione

e la si pone maggiore di 0

si individuano le regioni di piano dove:

è concava verso l’alto

è concava verso il basso

• osservando il grafico della concavità si possono individuare i punti di flesso. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

Per ottenere una maggiore precisione nel disegno del grafico si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti attribuendo alla valori arbitrari (appartenenti al dominio) nel testo della funzione e calcolando le rispettive © 2013 - www.matematika.it

169


analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione primo esempio

Studiamo la seguente funzione

• ricerca del dominio

• studio del segno

• studio delle intersezioni con gli assi cartesiani

si pone il denominatore diverso da zero perché la funzione assegnata è una funzione fratta:

si pone la funzione maggiore di zero e si studia la disequazione individuando le regioni di piano dove la funzione esiste ed è positiva o negativa. Si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste:

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione ha un solo punto di intersezione con gli assi, coincidente con l’origine (0,0). Solo come esercizio algebrico, studiamo l’intersezione della funzione con l’asse : e l’intersezione della funzione con l’asse :

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non è pari mentre potrebbe essere dispari. Verifichiamolo algebricamente sostituendo la con – nel testo della funzione e sviluppando i calcoli: quindi

con

• studio delle simmetrie

Verifichiamo se la funzione è dispari raccogliendo il – nell’espressione di

quindi la funzione è dispari

• ricerca degli asintoti verticali

e non è pari :

si calcola il limite sinistro e destro della funzione per che tende ai punti di discontinuità individuati con la ricerca del dominio: e e

esistono due asintoti verticali di equazione v 1.4

e

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170


analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione si calcola il limite della funzione per che tende a a

• ricerca degli asintoti orizzontali

:

e

l’asse delle di equazione per la funzione sia a che a

è un asintoto orizzontale

La presenza dell’asintoto orizzontale a la presenza dell’asintoto obliquo

• studio della monotonia e dei punti di massimo e minimo

e

ea

esclude

la crescenza e decrescenza della funzione si cerca studiando il segno della derivata prima della funzione, cioè si calcola la derivata prima e si pone maggiore di zero, : cioè

la concavità della funzione si cerca studiando il segno della derivata seconda della funzione, cioè ponendo :

• studio della concavità e dei punti di flesso

la derivata è negativa per e e quindi la funzione ha concavità verso il basso; la derivata è positiva per e quindi la funzione ha e concavità verso l’alto. Esiste un punto di flesso di ascissa . Per trovarne l’ordinata basta sostituire l’ascissa nel testo della funzione:

si traccia il grafico della funzione tenendo conto di tutti i risultati ottenuti precedentemente. Per una maggiore precisione si possono calcolare le coordinate di alcuni punti della funzione attribuendo alla valori arbitrari del dominio e calcolandone le corrispondenti

• disegno del grafico

v 1.4

la derivata è sempre negativa e quindi la funzione è sempre decrescente. Non esistono massimi e minimi

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171


analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione secondo esempio

Studiamo la seguente funzione

• ricerca del dominio

• studio del segno

• studio delle intersezioni con gli assi cartesiani

si pone il denominatore diverso da zero perché la funzione assegnata è una funzione fratta:

si pone la funzione maggiore di zero e si risolve la disequazione individuando le regioni di piano dove la funzione è positiva o negativa. Si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste:

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non attraversa gli assi, ma presenta un solo punto di contatto coincidente con l’origine (0,0). Solo come esercizio algebrico, studiamo l’intersezione della funzione con l’asse : e l’intersezione della funzione con l’asse :

• studio delle simmetrie

dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non presenta simmetrie. Verifichiamolo anche algebricamente sostituendo la con – nel testo della funzione e sviluppando i calcoli: con

la funzione non è pari

la funzione non è dispari

• ricerca degli asintoti verticali

si calcola il limite sinistro e destro della funzione per tende al punto di discontinuità :

quindi

che

e

esiste un solo asintoto verticale di equazione v 1.4

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172


analisi

Esempi di studio del grafico di una funzione

• ricerca degli asintoti orizzontali

• ricerca degli asintoti obliqui

si calcola il limite della funzione per e

che tende a

la funzione non presenta asintoto orizzontale né a Ha senso ricercare l’asintoto obliquo si calcolano i valori del coefficiente angolare dinata all’origine dell’equazione dell’asintoto obliquo :

• studio della concavità e dei punti di flesso

nè a

la crescenza e decrescenza della funzione si cerca studiando il segno della derivata prima della funzione, cioè si calcola la derivata prima e la si pone maggiore di zero, : cioè

la concavità della funzione si cerca studiando il segno della derivata seconda della funzione, cioè ponendo :

la derivata è negativa per e e quindi la funzione decresce; la derivata è positiva per e quindi la funzione è cresce. Il punto di ascissa un punto di minimo e quello di è un massimo. Per ascissa trovare le rispettive ordinate basta sostituire le ascisse dei punti nel testo della funzione:

la derivata è positiva per e e quindi la negativa per funzione ha concavità verso l’alto e concavità verso il per . basso per Non esistono punti di flesso perè un punto di ché discontinuità della funzione

si traccia il grafico della funzione tenendo conto di tutti i risultati ottenuti precedentemente. Per una maggiore precisione si possono calcolare le coordinate di alcuni punti della funzione attribuendo alla valori arbitrari del dominio e calcolandone le corrispondenti

• disegno del grafico

v 1.4

:

e dell’or-

la funzione ammette un asintoto obliquo di equazione

• studio della monotonia e dei punti di massimo e minimo

ea

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173


Definizione di integrale indefinito di una funzione

analisi

definizione di primitiva una funzione cioè se • • •

si dice primitiva di un’altra funzione

è derivabile in

la funzione

la funzione la funzione

se:

e se la sua derivata è uguale a esempi

è una primitiva di

è una primitiva di

è una primitiva di

per ogni

perché

perché

perché

osservazione

riprendendo l’esempio precedente si osserva che

non è l’unica primitiva di

. Infatti:

Cioè, le primitive di differiscono tutte per una costante e sono dunque infinite. Si possono scrivere in maniera sintetica nelle forma “ “ dove c è un qualsiasi numero reale. In generale vale che: •

“ogni funzione

è dotata di infinite primitive

si può infatti dimostrare che due qualsiasi primitive una costante, cioè –

Ad esempio consideriamo due primitive di ma si ha: –

che si possono scrivere nella forma

,

e

”.

di una stessa funzione differiscono per e

. Per il teore-

definizione di integrale indefinito

si chiama integrale indefinito di una funzione L’integrale indefinito si indica con il simbolo e si legge “integrale di f(x) in de x” La

si chiama “funzione integranda” e

l’insieme di tutte le sue primitive “

si chiama “differenziale di ”. In sintesi:

esempi

ricordando la tabella delle derivate delle funzioni elementari si ha: • •

perché perché

• •

perché

perché

osservazione

L’integrale indefinito di una funzione è l’operazione che ha lo scopo di trovare tutte le primitive della funzione.

Per risolvere l’integrale indefinito basta calcolare la generica primitiva ed aggiungere ad essa la costante “c” come visto negli esempi precedenti. v 1.0

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174


Integrali indefiniti

analisi

immediati

immediati generalizzati dove è una costante

un integrale generalizzato si ottiene da un integrale immediato sostituendo con e con

in generale lâ&#x20AC;&#x2122;integrale di una funzione composta per la derivata della funzione interna primitiva della funzione esterna

moltiplicata è uguale alla

alcuni metodi di integrazione

prodotto di una costante k per una funzione

v 3.3

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metodo di decomposizione in somma

175


analisi

Integrali indefiniti esempi di alcuni integrali immediati

esempi di alcuni integrali immediati generalizzati

per verificare la correttezza del risultato dell’integrale basta confrontare la derivata del risultato con l’integrando. Se sono uguali, allora il risultato è corretto. Ad esempio, in riferimento all’ultimo esercizio: cioè uguale alla funzione integranda

v 3.3

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176


analisi

Integrali indefiniti esempi di alcuni metodi di integrazione prodotto di una costante per una funzione

metodo di decomposizione in somma

risolviamo il seguente integrale decomponiamo lâ&#x20AC;&#x2122;integrale in due integrali

metodo per parti

risolviamo singolarmente i due integrali ed otteniamo il risultato

risolviamo il seguente integrale integriamo la funzione deriviamo la funzione svolgiamo i calcoli

risolviamo il secondo integrale ed otteniamo il risultato risolviamo il seguente integrale integriamo la funzione deriviamo la funzione

portiamo la costante fuori dal secondo integrale e applichiamo di nuovo il metodo per parti integriamo la funzione deriviamo la funzione risolviamo lâ&#x20AC;&#x2122;integrale =

v 3.3

svolgiamo i calcoli ed otteniamo il risultato

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177


Principali teoremi di Analisi

analisi

teoremi sui limiti 2 ●

f(x)

1 ● x0 f(x)

f(x2)>0

 >0

f(x1)>0

x0

x2

teorema della permanenza del segno

Se una funzione in un punto x0 è dotata di limite  ≠ 0 allora esiste almeno un intorno I di x0 tale che per tutti i punti di I (escluso al più x0 ) i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite teorema del confronto detto anche dei “carabinieri”

h(x)

g(x)

f(x)

 x0

Se una funzione in un punto è dotata di limite allora esso è unico

Dalla definizione di funzione, basta ricordare che ad ogni valore della x deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quindi, se per assurdo la funzione f(x) avesse nello stesso punto x0 due limiti diversi, essa non sarebbe più una funzione e ciò contraddice l’ipotesi del teorema

x1

teorema di unicità del limite

Date tre funzioni f(x) , g(x), h(x): 1. se esiste un intorno I del punto x0 in cui g(x) è compresa tra f(x) e h(x) in tutti i punti dell’intorno I escluso al più x0 stesso 2. se f(x) e h(x) tendono nel punto x0 allo stesso limite finito  allora anche g(x) avrà in x0 limite uguale ad  teoremi sulle funzioni continue

teorema di Weierstrass

M ●

 m

f(x)

a

b

M●

 k

m●

x1

a

f(x) b f(x)

f(b) ●

f(a) v 2.4

a

● c1

● c2

b

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora è dotata di massimo e minimo (assoluti)

Osserva che un massimo o minimo assoluto non deve necessariamente essere un massimo o un minimo relativo: vedi, ad esempio, il punto m sul grafico che è un minimo assoluto e non un minimo relativo

teorema dei valori intermedi o di Bolzano

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora assume tutti i valori compresi tra il suo minimo “m” ed il suo massimo “M” In altre parole, il teorema afferma che ogni punto k dell’intervallo [m, M] è immagine di almeno un punto (x1,…) dell’intervallo [a, b]

teorema degli zeri

Se una funzione f(x): 1. è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e assume valori di segno opposto in a e b cioè f(a) • f(b) < 0 allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ]a, b[ in cui la funzione si annulla cioè f(c) = 0 © 2013 - www.matematika.it

178


Principali teoremi di Analisi

analisi

teoremi sul calcolo differenziale f(x)

il teorema può essere utilizzato per calcolare la derivata di funzioni inverse. Si voglia ad esempio calcolare la deinversa della funzione rivata di

m

x0

f(a)

x0

Se una funzione f(x) ammette un massimo o un minimo relativo in un punto x0 se f(x) è derivabile in x0

x0

Il teorema non si può invertire infatti i punti in cui la derivata prima è nulla, cioè f ′(x0) = 0, detti punti stazionari , possono essere punti di massimo, di minimo o di flesso orizzontale

allora la derivata prima in x0 è nulla cioè f ′(x0) = 0 teorema di Rolle

c1

c2

 P

f(x)

b

B

f(x)

A

a

c

b

Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la derivata prima si annulla cioè f ′(c) = 0 teorema di Lagrange

Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:

il teorema è detto degli incrementi finiti e si può enunciare anche dicendo: se le funzioni f(x) e g(x) verificano le ipotesi indicate, in un opportuno punto c dell’intervallo ]a, b[ il rapporto tra le rispettive derivate in c è uguale al rapporto tra gli incrementi delle funzioni calcolate agli estremi a e b dell’intervallo [a, b] v 2.4

Se una funzione è derivabile in x0 e la sua derivata è diversa da zero, allora anche la funzione inversa x = f-1(x0) è derivabile nel punto corrispondente y0 = f(x0) e si ha:

F

f(b)

teorema sulla derivata della funzione inversa

teorema sui massimi e minimi di una funzione (di Fermat)

M

a

Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0 allora la funzione è ivi anche continua

Si osservi che il teorema non si può invertire, infatti: nel punto angoloso x0 della figura la funzione è continua ma non derivabile in quanto la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra

x0

f(a)=f(b)

teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità

teorema di Cauchy

Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabili nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e inoltre g ‘(x) in ogni punto interno dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ]a, b[ tale che: © 2013 - www.matematika.it

179


Principali teoremi di Analisi

analisi

teorema di de L’Hopital si osservi che: 1. il teorema si estende anche al caso e il imite si presenta in cui nella forma indeterminata 2.

il teorema, quando opportuno, può essere applicato più volte consecutivamente

f ’(x) > 0

f ’(x) < 0

Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. derivabili in un intorno I di x0 2. con derivate continue e g′(x) ≠ 0 in detto intorno 3. il limite del loro rapporto si presenta nella forma allora

teorema sulla monotonia di una funzione in un intervallo

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso I e derivabile nei punti interni di I e se la derivata prima in I è positiva (negativa) allora la funzione f(x) è crescente (decrescente) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè

Se la funzione è crescente (decrescente) in un intervallo I allora la derivata prima in tale intervallo sarà positiva (negativa) f ’’(x) > 0

teorema sulla concavità di una funzione in un intervallo

f ’’(x) < 0

Se una funzione f(x) è derivabile due volte nei punti interni di un intervallo I e se la derivata seconda è positiva (negativa) allora la funzione è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè

Se la funzione è concava verso l’alto (il basso) in un intervallo I allora la derivata seconda sarà positiva (negativa) teorema sui flessi di una funzione

Se una funzione f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda continua in x0 e se tale punto è un flesso allora la derivata seconda in x0 è nulla, cioè f ′′(x0) = 0

F

Il teorema non si può invertire, basti pensare alla funzione y=x4 che nell’origine degli assi cartesiani ha derivata seconda uguale a 0: f ′′(x4) =12x2 che calcolata in 0 risulta nulla. In tale punto però non vi è un flesso, bensì un punto di minimo come illustrato nel disegno affianco

x0

O

teoremi sul calcolo integrale

teorema della media f(c) a

c

b

dal teorema deriva la formula che permette di calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione f(x) conoscendo una sua primitiva F(x):

v 2.4

Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo [a, b] tale che: teorema fondamentale del calcolo integrale

Se f(x) è una funzione continua in [a, b] ed una funzione detta funzione integrale allora esiste la derivata prima della funzione integrale in ogni punto x dell’intervallo [a, b] e si ha: In altre parole il teorema, nell’ipotesi indicata, afferma che la funzione integrale è una primitiva di f(x) © 2013 - www.matematika.it

180


analisi per l’università

Sviluppo in serie di funzioni elementari sviluppo in serie di Taylor

• • •

f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in

è detto resto di Peano e si legge: o piccolo di

o piccolo è un infinitesimo di ordine superiore a

, cioè:

algebra degli o piccoli: per

se

si ha:

si ha lo sviluppo in serie di Mac Laurin

sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari funzione potenza con funzione radice quadrata funzione esponenziale con base funzione esponenziale con base funzione logaritmo in base funzione seno funzione coseno funzione tangente funzione cotangente funzione secante

funzione cosecante funzione arcoseno funzione arcocoseno funzione arcotangente v 2.3

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funzione arcocotangente

181


Serie numeriche

analisi per l’università

definizioni Data la successione

si considerino le somme parziali

si dice serie di termine generale

e si indica con

cioè:

oppure con

carattere della serie

se S è finito

altrimenti

se

Se

se

assegnate

converge

converge

e

si dice convergente

la serie

è indeterminata

la serie

si dice divergente

prime proprietà

converge

se

la serie

condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generico sia infinitesimo

e

e

convergenza del prodotto di una costante per una serie

converge convergenza della somma di due serie

convergono

serie notevoli simbologia

carattere

divergente

divergente

convergente irregolare

convergente divergente

...

irregolare

nome

serie armonica serie armonica generalizzata serie geometrica di ragione

convergente

serie geometrica di punto iniziale e ragione

convergente

serie di Mengoli

divergente

v 2.1

(positivamente o negativamente)

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182


Serie numeriche

analisi per l’università

Criteri di convergenza criterio del confronto per serie a termini non negativi

Date le successioni •

e

se

sia:

converge

se

converge

diverge

diverge

criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi

Date le successioni • •

e

,

se

sia:

se

e

se

le serie e sono entrambe convergenti oppure divergenti

e

converge

converge

diverge

criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi

Data la successione

sia:

con

converge

se se

diverge

e

se

converge

e

criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi

Data la successione • •

se

sia: con

diverge

converge

se

,

diverge

diverge

se

non si può dire nulla

può essere utile in caso di serie con esponenziali

criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi

Data la successione • •

se

sia: con

,

converge

se

può essere utile in caso di serie con fattoriali

diverge

se

non si può dire nulla

criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente

Data la successione

Data la serie alternante Data la serie v 2.1

sia:

e la serie

• •

se

converge

se

criterio di convergenza assoluta

se

converge

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converge 183


analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ 

Funzioni iperboliche: Grafici - Domini - Derivate seno iperbolico

settore seno iperbolico

dominio:

dominio:

coseno iperbolico

settore coseno iperbolico

1 1 dominio:

dominio:

tangente iperbolica

settore tangente iperbolica

1

1

-1 -1

dominio:

dominio:

cotangente iperbolica

settore cotangente iperbolica

1 -1

-1

dominio:

v 1.7

1

dominio:

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184


analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ 

Funzioni iperboliche: Definizioni e Sviluppo in serie definizione delle funzioni iperboliche

seno iperbolico

coseno iperbolico

tangente iperbolica

cotangente iperbolica

secante iperbolica

cosecante iperbolica

definizione delle funzioni iperboliche inverse settore seno iperbolico

settore coseno iperbolico

settore tangente iperbolica

settore cotangente iperbolica

settore secante iperbolica

settore cosecante iperbolica

sviluppo in serie di Mac Laurin per alcune funzioni iperboliche

funzione seno iperbolico funzione coseno iperbolico funzione tangente iperbolica funzione cotangente iperbolica funzione secante iperbolica funzione cosecante iperbolica settore seno iperbolico settore tangente iperbolica v 1.8

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185


Coordinate polari

analisi per l’università

ed

Equazioni di curve notevoli

coordinate polari y

coordinate cartesiane del punto P

P

coordinate polari del punto P

ρ θ

distanza di P dall’origine

x

passaggio di coordinate da cartesiane a polari

misura dell’angolo orientato in senso antiorario e formato da con il semiasse positivo delle x

da polari a cartesiane

equazione cartesiana parametrica e polare di curve notevoli grafico

equazione cartesiana

equazione parametrica

equazione polare

retta

con segmento di estremi Q

con

P x2

x1

con

con

e

parabola con asse parallelo all’asse y

con circonferenza

di centro

e raggio r

con circonferenza

di centro l’origine e raggio r

con ellisse ●

con ellisse traslata di centro ●

con

v 2.4

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186


analisi per l’università

Elementi di Calcolo Differenziale gradiente di una funzione scalare

sia

una funzione scalare di tre variabili. Si chiama gradiente di

di componenti

e si indica con

il vettore

osserva che l’operatore gradiente si applica su uno scalare e restituisce un vettore

esempio

Calcolare il gradiente del campo scalare

applichiamo la definizione e svolgiamo i calcoli:

divergenza di un vettore sia

un vettore di componenti

componenti

. Si chiama divergenza di

e si indica con

lo scalare di

osserva che l’operatore divergenza si applica su un vettore e restituisce uno scalare

esempio

Calcolare la divergenza del campo vettoriale

applichiamo la definizione e svolgiamo i calcoli:

rotore di un vettore sia

nenti

un vettore di componenti

. Si chiama rotore di

e si indica con

vettore di compo-

per ricordare facilmente le componenti di un rotore, basta osservare che esse sono uguali allo sviluppo del determinante della matrice

esempio Calcolare il rotore del campo vettoriale

applichiamo la definizione e svolgiamo i calcoli: v 1.0

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187


Elementi di Calcolo Differenziale

analisi per l’università

derivata direzionale definizione

la derivata direzionale scalare calcolata in • •

il campo scalare

di un campo scalare

calcolata in un punto

lungo la direzione assegnata, cioè in simboli

è la derivata del campo

è in genere assegnato come combinazione lineare di

la direzione è assegnata sotto forma di componenti vettoriali: oppure

con

e

calcolo

coseni direttori della direzione

il calcolo si effettua in due modi equivalenti

calcolo secondo la definizione di derivata

la derivata direzionale è il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in lungo la direzione

calcolo secondo l’operatore gradiente

la derivata direzionale di

in

lungo la dire-

zione è uguale al prodotto scalare del gradiente del campo per il vettore direzione

esempi Calcolare la derivata direzionale del campo scalare punto di coordinate (3,4,0)

secondo la direzione

1. secondo la definizione si ha:

nel

2. secondo l’operatore gradiente si ha: =

Calcolare la derivata direzionale del campo scalare coordinate (4,5 ) mediante l’operatore gradiente

secondo la direzione

nel punto di

=

v 1.0

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188


Elementi di logica delle proposizioni

logica

definizioni

Una proposizione (o enunciato) è una affermazione che può essere Vera o Falsa • •

“Parigi è la capitale della Francia” ; “Roma è la capitale della Francia” sono proposizioni la prima è Vera, la seconda è Falsa “Il colore giallo non mi piace” ; “ Londra è la città più bella del mondo” non sono proposizioni

Una tautologia è una proposizione sempre Vera •

“Ora sono le nove o non sono le nove”

è una tautologia perché è una proposizione sempre Vera

“Ora sono le nove e non sono le nove”

è una contraddizione perché è una proposizione sempre Falsa

“Questa frase è falsa”

è un paradosso perchè se supponiamo la frase Vera allora risulta Falsa Viceversa se supponiamo la frase Falsa allora risulta Vera

Una contraddizione è una proposizione sempre Falsa •

Un paradosso è una proposizione che, se si suppone Vera risulta Falsa e se si suppone Falsa risulta Vera •

principi

se una proposizione è Vera allora la sua negazione è Falsa e non esiste una terza possibilità

Principio del terzo escluso

una proposizione non può essere contemporaneamente Vera e Falsa

Principio di non contraddizione

proposizioni

V V F F

p∧ p = p p∨ p = p

non

V F V F

F F V V

p∧q =q∧ p p∨q =q∨ p p ∧ (q ∧ r ) = ( p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r ) = ( p ∨ q) ∨ r

p ∧ (q ∨ r ) = ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )

p ∧ ( p ∨ q) = q p ∨ ( p ∧ q) = p

p∧q = p∨q p∨q = p∧q v 3.1

operatori logici e tavole di verità e o xor implicazione

V F F F

V V V F

F V V F

proprietà e leggi

V F V V

doppia implicazione

V F F V

proprietà di idempotenza proprietà commutativa proprietà associativa proprietà distributiva proprietà di assorbimento 1a legge di De Morgan: 2a legge di De Morgan:

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“non (p e q) è uguale a non p o non q”

“non (p o q) è uguale a non p e non q”

189


Elementi di logica delle proposizioni

logica

esempi sulle tavole di verità Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

V

V

F

F F

F

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F F

1. si costruisce la tavola di verità delle proposizioni e considerandone tutte le possibili combinazioni di vero V e falso F ( 1a e 2a colonna) 2. si costruisce la tavola di verità della proposizione (3a colonna) 3. si applica l’operatore o ( ) alle proposizioni e e si costruisce la tavola di verità dell’espressione logica (4a colonna)

F

V

F F

1. si costruisce la tavola di verità delle proposizioni e considerandone tutte le possibili combinazioni di V ed F ( 1a e 2a colonna) 2. si applica l’operatore implicazione ( ) alle proposizioni e e si costruisce la tavola di verità di (3a colonna) e e si costrui3. si applica l’operatore e ( ) alle proposizioni sce la tavola di verità (4a colonna)

Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

V F

v 3.1

e

Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica

V

F

3. si applica l’operatore non ( ) alla proposizione composta si costruisce la tavola di verità (4a colonna)

Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica F

V

V

V

V

F

F

V V

F

F

1. si costruisce la tavola di verità delle proposizioni e considerandone tutte le possibili combinazioni di vero V e falso F ( 1a e 2a colonna) 2. si applica l’operatore e ( ) alle proposizioni e e si costruisce la tavola di verità (3a colonna)

V

F

F

V

V

F

V

V

V

Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica

F F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

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F F

190


Elementi di logica delle proposizioni

logica

esempi di passaggio dal linguaggio naturale alle espressioni logiche Individua le proposizioni delle seguenti espressioni ed esprimi l’espressione sotto forma di operatori logici Data l’espressione:

Le proposizioni sono:

“ mangio una mela o una pera “

L’espressione logica si scrive: Data l’espressione:

Le proposizioni sono:

Le proposizioni sono:

= “ mangio una pera “

“ se oggi esce il sole allora vado al mare “

L’espressione logica si scrive: Data l’espressione:

= “ mangio una mela “

= “ oggi esce il sole “

= “ vado al mare “

“ non è vero che questo argomento è semplice ed interessante “ = “ questo argomento è semplice “

L’espressione logica si scrive: Data l’espressione:

= “ questo argomento è interessante “

“ se il professore ti ha valutato con 4 vuol dire che non hai studiato. Se avessi studiato e non

Le proposizioni sono:

fossi uscito con gli amici avresti avuto un bel voto. O studi o esci con gli amici “ = “ il professore ti valuta con 4“

= “ uscire con gli amici”

L’espressione logica si scrive:

= “ studiare “

= “ avere un bel voto ”

approfondimenti ed esempi sulle proprietà e leggi della logica legge della doppia negazione Data l’espressione: “ non è vero che Giulio non ha dormito “ la proposizione che la compone è: = “ Giulio ha dormito “ l’equivalente espressione logica è: La legge si enuncia: In simboli: V

V

F

F

V

V

V F

F F

regola della contrapposizione

implica è equivalente a (non q) implica (non p)

F

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

1. si costruisce la tavola di verità per ciascuna proposizione e per ciascun operatore che agisce sulle proposizioni 2. si confrontano le tavole di verità delle espressioni e (5a e 6a colonna) logiche 3. poiché coincidono allora l’uguaglianza è verificata

Esempio: “Se piove allora esco con l’ombrello ” equivale a “ Se non esco con l’ombrello allora non piove ” perché identificate le proposizioni = “ piove ” e = “ esco con l’ombrello ” si ha = “ non piove “ e = “non esco con l’ombrello ” da cui = “ se non esco con l’ombrello allora non piove “

v 3.1

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191


Elementi di logica delle proposizioni

logica

1a legge di De Morgan La legge si enuncia: In simboli: V

V

F

F

V

V

V F

F F

non ( e ) è uguale a (non ) o (non )

F

V

F

F

F

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

1. si costruisce la tavola di verità per ciascuna proposizione e per ciascun operatore applicato alle proposizioni 2. si confrontano le tavole di verità delle espressioni e (6a e 7a colonna) logiche 3. se coincidono allora l’uguaglianza è verificata

Esempio: “ non è vero che Lia ama le viole e le rose “ equivale a “ Lia non ama le viole o non ama le rose “ perché identificate le proposizioni

= “ Lia non ama le viole “ e

si ha

da cui

= “ Lia non ama le rose ”

2a legge di De Morgan

In simboli: V

V

F

F

V

V

F

= “ Lia ama le rose ”

= “ Lia ama le viole o non ama le rose “

La legge si enuncia:

V

= “ Lia ama le viole ” e

F F

non ( o ) è uguale a (non ) e (non )

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

V

V F

F

F

V

V

1. si costruisce la tavola di verità per ciascuna proposizione e per ciascun operatore che agisce sulle proposizioni 2. si confrontano le tavole di verità delle espressioni e (6a e 7a colonna) logiche 3. se coincidono allora l’uguaglianza è verificata

Esempio: “ non è vero che domani piove o nevica” equivale a “ domani non piove e non nevica “ perché identificate le proposizioni si ha

da cui

= “ domani non piove “ e

= “ domani piove ” e

= “ domani nevica ”

= “ domani non nevica ”

= “ domani non piove e non nevica “

esempi di paradossi famosi Un paradosso è una proposizione che, se si suppone Vera risulta Falsa e se si suppone Falsa risulta Vera. Riportiamo due dei paradossi più famosi della logica. Paradosso del mentitore o di Epimenide:

“ Tutti i Cretesi sono bugiardi. Io sono Cretese ”

Paradosso (o antinomia) di Russell:

“ In un villaggio vi è un solo barbiere che rade tutti e soli gli uomini

v 3.1

del villaggio che non si radono da soli. Il barbiere rade se stesso? ”

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192


Introduzione alla logica dei predicati

logica

premessa

La logica dei predicati studia la verità delle proposizioni, le operazioni sulle proposizioni, le proprietà di un dato soggetto della proposizione e le sue relazioni con altri soggetti della proposizione.

Le proprietà di un dato soggetto e le loro relazioni con altri soggetti della proposizione si chiamano quantificatori. Quantificatore Universale

Il quantificatore universale esprime che una data proprietà dell’insieme appartiene a tutti gli elementi dell’insieme. Nel linguaggio naturale corrisponde alle particelle “tutti”, “ogni”, “qualunque sia”, “chi”, “chiunque”… In simboli il quantificatore universale si indica con la scrittura esempi

• • •

“Tutti i numeri pari sono divisibili per 2” “Ogni mammifero allatta i suoi cuccioli” “Chi si accontenta gode”

ma anche

• •

e si legge “per ogni”

“Gli uomini sono mortali”

intendendo “(Tutti) gli uomini sono mortali”

“I giovani amano la musica” intendendo

“(Tutti) i giovani amano la musica”

Quantificatore Esistenziale

Il quantificatore esistenziale esprime che una data proprietà dell’insieme appartiene solo ad alcuni elementi dell’insieme. Nel linguaggio naturale corrisponde alle particelle “esiste almeno uno”, “qualche”, “alcuni”, … In simboli il quantificatore esistenziale si indica con la scrittura oppure “esiste” esempi

• • •

e si legge “esiste almeno uno”

“Esiste almeno un numero intero che sia minore di 3” “Qualche mammifero vive in mare” “Alcune mele sono mature”

queste sono proposizioni che esprimono che la proprietà “minore di 3”, “vivere in mare”, “essere maturo” appartiene solo ad una parte degli elementi dell’insieme “numeri”, “mammiferi”, “mele” negazione del quantificatore universale

Il quantificatore universale • •

v 1.0

si nega:

anteponendo il NON alle particelle “tutti”, “ogni”, “qualunque sia”, “chi”, “chiunque”

oppure, in modo equivalente, sostituendo il quantificatore universale con il quantificatore esistenziale “esiste almeno uno” e negando la proprietà © 2013 - www.matematika.it

193


Introduzione alla logica dei predicati

logica

esempio •

Negare la proposizione

“Tutti gli uomini sono mortali “

significa affermare che

“Non tutti gli uomini sono mortali ” oppure “Esiste almeno un uomo che non è mortale” negazione del quantificatore esistenziale

Il quantificatore esistenziale •

si nega:

anteponendo il NON E’ VERO CHE alle particelle “esiste almeno uno”, “qualche”, “alcuni”

oppure, in modo equivalente, sostituendo il quantificatore esistenziale con il quantificatore universale “tutti” e negando la proprietà esempio

Negare la proposizione

“Esiste almeno una mela che non è matura ”

significa affermare

“Non (è vero che) esiste almeno una mela che non è matura” oppure “Tutte le mele sono mature” espressioni equivalenti con la negazione dei quantificatori

Per ottenere espressioni con i quantificatori che siano equivalenti tra loro bisogna nell’ordine: 1. negare il quantificatore 2. negare la proposizione

ad esempio per esprimere in maniera equivalente la proposizione “Tutti gli uomini sono mortali “ si sostituisce il quantificatore ”tutti”: “Esiste almeno un uomo che è mortale” si nega la proprietà:

e si nega la proposizione:

“Esiste almeno un uomo che non è mortale”

“Non è vero che esiste almeno un uomo che non è mortale”

Si hanno quattro tipologie di espressioni equivalenti. Vediamole nei seguenti esempi espressione con il quantificatore universale

espressione equivalente

tutti sono biondi

non è vero che (esiste) qualcuno che NON è biondo

tutti non sono biondi

non è vero che qualcuno è biondo

Non tutti sono biondi Non tutti non sono biondi v 1.0

non è vero che tutti NON sono biondi oppure

(esiste) qualcuno (che) NON è biondo non è vero che tutti sono biondi oppure

(esiste) qualcuno (che) è biondo

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194


Introduzione alla logica dei predicati

logica

espressione con il quantificatore esistenziale

espressione equivalente

qualcuno è basso

non è vero che tutti sono alti

qualcuno non è basso

non è vero che tutti sono bassi

non esiste qualcuno che è basso

tutti sono alti

non esiste qualcuno che è alto

tutti sono bassi

osserva che nel linguaggio naturale si preferisce negare una proprietà utilizzando un termine contrario. Per questo motivo negli esempi precedenti all’espressione “non basso” si è preferito il termine “alto” altri esempi

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

Data l’espressione: • •

la sua negazione è

la sua equivalente è

v 1.0

“Tutti i numeri pari sono divisibili per 2”

“Esiste almeno un numero pari che non è divisibile per 2”

“Non è vero che qualche numero pari non è divisibile per 2”

“Non esiste una persona che non sia buona”

“Non tutte le persone sono buone” “(tutte) le persone sono buone”

“Ogni mammifero allatta i suoi cuccioli”

“Qualche mammifero non allatta i suoi cuccioli”

“Non è vero che esiste qualche mammifero che non allatta i suoi cuccioli”

“Alcune mele sono mature”

“Tutte le mele non sono mature”

“Non è vero che tutte mele non sono mature”

“Qualche amico non è andato al pub” “Tutti gli amici sono andati al pub”

“Non è vero che tutti gli amici sono andati al pub”

osserva che l’espressione equivalente alla data si ottiene per negazione dell’espressione negata. E’ questa la proprietà logica, facilmente verificabile con la tabella di verità, per cui due negazioni affermano © 2013 - www.matematika.it

195


Introduzione alla logica della deduzione

logica

premessa

La logica della deduzione analizza la correttezza del ragionamento mediante delle regole dette di inferenza (cioè di deduzione).

A partire da uno o più enunciati detti premesse, si verifica la corretta costruzione di un enunciato detto conclusione. Presentiamo alcune delle più comuni regole di inferenza.

regola del Modus Ponens

date due proposizioni p e q, se p implica q è vera e se p è vera allora anche q è vera esempi

Siano date le due proposizioni:

p = “ c’è il Sole ”

q = “ sono allegro ”

Date le premesse vere “ Se c’è il Sole allora sono allegro. C’è il Sole “ la conclusione vera è: “ sono allegro “ se e

anche

è vera è vera

“ se c’è il Sole allora sono allegro ” “ c’è il Sole ”

è vera

“ sono allegro ”

“ Se è venerdì sera allora vado al cinema. E’ venerdì sera ” quindi: “ vado al cinema ” se e

anche

è vera �� vera

“ se è venerdì sera allora vado al cinema ” “ è venerdì sera ”

è vera

“ vado al cinema ”

“ Se un poligono ha tre lati allora è un triangolo. Il poligono ha tre lati ” quindi: “ Il poligono è un triangolo ” se e

anche

è vera è vera

“ se un poligono ha tre lati allora è un triangolo ” “ il poligono ha tre lati ”

è vera

“ il poligono è un triangolo ”

la regola del modus ponens è lo schema di ragionamento più usato nelle dimostrazioni dei teoremi. A partire dalle ipotesi (premesse) dichiarate vere si giunge alla verità della tesi (conclusione) controesempio

Bisogna fare attenzione ad applicare correttamente lo schema di inferenza. Infatti: “ Se un animale è un canarino allora ha due zampe. Quell’animale ha due zampe ” non è vero che “ quell’animale è un canarino ”

Date le due proposizioni p = “ l’animale è un canarino ” e q = “ l’animale ha due zampe “ lo schema di queste premesse (

e

) non è quello di inferenza del Modus Ponens, avendo

q al posto di p . Dunque non c’è conclusione e nulla si può dire sul soggetto “quell’animale”

v 1.0

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196


Introduzione alla logica della deduzione

logica

regola del Modus Tollens

date due proposizioni p e q, se p implica q è vera e se non q è vera allora anche non p è vera esempi

Siano date le due proposizioni:

p = “ c’è il Sole ”

q = “ sono allegro ”

Date le premesse vere “ Se c’è il Sole allora sono allegro. Non sono allegro “ la conclusione vera è: “ non c’è il Sole “ se e

anche

è vera è vera

è vera

“ se c’è il Sole allora sono allegro ” “ non sono allegro ” (o “ sono triste ”) “ non c’è il Sole ”

“ Se il treno passa in orario sarò a cena da te. Non sarò a cena da te ” quindi: “ il treno non passa in orario ” se e

è vera è vera

anche

è vera

se e

è vera è vera

“ se il treno passa in orario sarò a cena da te ” “ non sarò a cena da te ” “ il treno non passa in orario ”

“ Se studio prendo un bel voto. Non ho preso un bel voto ” anche

è vera

quindi: “ non ho studiato ”

“ se studio prendo un bel voto ”

“ non ho preso un bel voto ” “ non ho studiato ” controesempio

Bisogna fare attenzione ad applicare correttamente lo schema di inferenza. Infatti: “ Se mangio troppi dolci aumento di peso. Non mangio troppi dolci ”

non è vero che “ non aumento di peso ” Date le due proposizioni p = “ mangio troppi dolci ” e q = “ aumento di peso “

lo schema di queste premesse ( e ) non è quello di inferenza del Modus Tollens, avendo al posto di . Dunque non c’è conclusione e nulla si può dire sull’ “ aumento di peso ” sillogismo (definizione generale)

date due proposizioni p e q dette premesse e data la proposizione r detta conclusione

se q è contenuta in p ed r è contenuta in q anche r è contenuta in p ed r è vera esempi

Siano date le due premesse p = “ Tutti gli uomini sono mortali “ e q = “ Socrate è un uomo ” la conclusione r = “ Socrate è mortale ” è vera perché: q è contenuta in p mediante il concetto di uomo r è contenuta in q mediante il nome Socrate

allora per transitività r è contenuta in p ed r è vera

v 1.0

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197


Introduzione alla logica della deduzione

logica

“ Tutti i francesi sono europei. I parigini sono francesi ” quindi la conclusione vera è “ i parigini sono europei ”.

Infatti la seconda proposizione è contenuta nella prima mediante la parola francesi e la terza è contenuta nella seconda mediante la parola parigini. La terza è quindi contenuta nella prima per transitività ed è vera controesempio

Bisogna fare attenzione alla corretta inclusione delle proposizioni altrimenti non si costruisce un sillogismo. Infatti in: “ Tutti i felini sono mammiferi. Tutti i cani sono mammiferi ” non è vero che “ tutti i cani sono felini ”

perché la seconda premessa non è contenuta nella prima. “ Tutti i cani sono mammiferi ” aggiunge solo una informazione che non è premessa per il sillogismo.

Il sillogismo corretto è: “ Tutti i felini sono mammiferi. Leo è un felino ” quindi “ Leo è un mammifero ” Nelle domande di alcuni quiz di logica sono inserite più proposizioni di cui solo alcune rispettano la corretta inclusione di un sillogismo. La conclusione vera, ossia la risposta esatta, è da ricercarsi nella proposizione che completa la catena di inclusioni. Vediamolo con un esempio.

Domanda da quiz : se “ Tutti i corrieri sono dinamici. Luca è audace. Tutte le persone audaci sono dinamiche ” individua quale, tra le seguenti affermazioni, completa correttamente il sillogismo: “ I corrieri sono audaci ”, “ Luca è un corriere ”, “ Luca è dinamico ” Risposta esatta : “Luca è dinamico”

Spiegazione: Delle tre premesse indicate, solo “ Luca è audace ” e “ Tutte le persone audaci sono dinamiche ” sono incluse tra loro. Si verifica facilmente che delle tre conclusioni suggerite solo “Luca è dinamico ” è inclusa in “ Tutte le persone audaci sono dinamiche ” e quindi è vero che “ Luca è dinamico ”. sillogismo (definizione per implicazione)

Date tre proposizioni p q ed r, se p implica q e se q implica r sono vere allora p implica r è vera esempi

Siano date le proposizioni se e

anche

è vera è vera

è vera

p = “ Luca è romano ” q = “ Luca è italiano ”

r = “ Luca è europeo ”

“ se Luca è romano allora Luca è italiano ” “ se Luca è italiano allora Luca è europeo ”

“ se Luca è romano allora Luca è europeo ”

“ Se domani è domenica vengono i nonni e se vengono i nonni ricevo un regalo. Se domani è domenica ricevo un regalo ” è un sillogismo corretto perché: se e

anche v 1.0

è vera è vera

è vera

“ se domani è domenica vengono i nonni ” “ se vengono i nonni ricevo un regalo ” “se domani è domenica ricevo un regalo ”

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198


Progressioni

progressioni

Progressioni Aritmetiche una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra un elemento ed il suo precedente è costante: La differenza tra un elemento ed il suo precedente è detta ragione e si indica con Esempio:

è una progressione aritmetica di primo elemento

formula

cosa fa

esempio

assegnata ad esempio la progressione aritmetica

calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione

di primo elemento

calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:

e di ragione

dei primi n

Calcolo di

noto

e ragione

e

e Calcolo della somma dei primi 5 termini

Progressioni geometriche una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è costante: Il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è detto ragione e si indica con Esempio:

è una progressione geometrica di primo elemento

cosa fa

formula

esempio

assegnata ad esempio la progressione geometrica

calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:

calcola il prodotto elementi: v 2.5

e di ragione

dei primi n

di primo elemento Calcolo di

noto

e ragione e

e Calcolo della somma dei primi 5 termini:

dei primi n Calcolo del prodotto dei primi 5 termini:

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199


Quante volte si può piegare un foglio di carta?

progressioni

risposta Non più di 7 volte perché lo spessore che si viene a creare ad ogni piega del foglio cresce in modo molto veloce secondo una legge che prende il nome di progressione geometrica di ragione 2 ciò vuol dire che ad ogni nuova piega lo spessore del foglio ed il numero di strati raddoppiano.

spiegazione pratica

pieghiamo un foglio di carta, di qualunque dimensione, lungo il lato lungo come in figura. Otteniamo 1 piega e 2 strati di carta comprimiamo bene il pacchetto e ripieghiamo ancora sul lato lungo. Otteniamo 2 pieghe e 4 strati di carta ripetiamo ancora l’operazione comprimendo bene il pacchetto e ripieghiamo sul lato lungo. Otteniamo 3 pieghe e 8 strati di carta con difficoltà crescente possiamo continuare a piegare fino ad ottenere 7 pieghe e 128 strati di carta

L’ottava piega è praticamente impossibile perché impedita dallo spessore dei 256 strati di carta

nel 2001 la studentessa americana Britney Gallivan ha stabilito il record di 12 pieghe usando un foglio di carta stagnola

spiegazione matematica se consideriamo un normale foglio per fotocopie di formato A4 dello spessore di 0,1 mm otteniamo: Pieghe

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Strati

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192 16384 32768

Spessore in mm

0,1

0,2

0,4

0,8

1,6

3,2

6,4

12,8

25,6

51,2

102,4

204,8

409,6

819,2

1638,4

15

3276,8

Spessore 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0.0016 0,0032 0,0064 0,0128 0,0256 0,0512 0,1024 0,2048 0,4096 0,8192 1,6384 3,2768 in metri

si definisce progressione geometrica una successione di numeri tali che il rapporto tra un numero e il suo precedente è sempre lo stesso. Tale rapporto si chiama ragione. Ad esempio i valori della riga “Strati” crescono secondo una progressione geometrica la cui ragione è 2. osservazione

v 1.3

oltre la soglia di 8 pieghe si può procedere solo in termini teorici, che portano a situazioni paradossali. Ad esempio piegando per 42 volte un foglio di formato A4 spesso 0,1 mm si produce una pila di 4 mila miliardi di strati di carta, alta oltre 400 mila km, cioè più della distanza Terra-Luna, stimata in circa 384.mila km. © 2013 - www.matematika.it

200


Fattoriale e Coefficiente binomiale

calcolo combinatorio

fattoriale di un numero n Si chiama fattoriale di un numero naturale primi numeri naturali: si può anche scrivere come

e si indica con

(si legge n fattoriale) il prodotto dei

oppure come

esempi

per convenzione

coefficiente binomiale Il simbolo

si chiama coefficiente binomiale di

Il suo valore è dato da:

su

con

e

numeri naturali.

esempi •

alcune proprietà del coefficiente binomiale

applicazioni

Una applicazione del fattoriale e del coefficiente binomiale è la verifica delle identità e la ricerca delle soluzioni delle equazioni a coefficienti binomiali. Vediamo qualche esempio. esempi di identità a coefficienti binomiali primo esempio

verificare la seguente identità

si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo e al secondo membro dell’identità si individuano i termini simili e si sommano

v 1.1

e l’identità risulta verificata

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201


calcolo combinatorio

Fattoriale e Coefficiente binomiale secondo esempio verificare la seguente identità

si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo e al secondo membro dell’identità si sviluppano i calcoli al secondo membro

al denominatore del secondo membro si applica la definizione di fattoriale e si sostituisce con si individuano i fattori da semplificare

si semplifica al numeratore e al denominatore del secondo membro si osserva che per la definizione di fattoriale e l’identità è verificata

esempi di equazioni a coefficienti binomiali primo esempio

risolvere la seguente equazione a coefficienti binomiali nell’incognita n

si impone la condizione di esistenza a tutti i coefficienti binomiali dell’equazione. Si risolve il sistema e si ottiene che le soluzioni accettabili sono i numeri naturali si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo e al secondo membro dell’equazione

si sviluppano i numeratori applicando la definizione di fattoriale in modo da consentirne la semplificazione con i rispettivi denominatori si individuano i fattori da semplificare si effettuano le semplificazioni

si dividono i numeratori per i fattori comuni al primo e al secondo membro e si ottiene l’equazione di 1° grado nell’incognita n

per risolverla moltiplichiamo ambo i membri per 12 si ottiene la soluzione v 1.1

si verifica che la soluzione

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è accettabile

202


calcolo combinatorio

Fattoriale e Coefficiente binomiale secondo esempio risolvere la seguente equazione a coefficienti binomiali nell’incognita

si impone la condizione di esistenza al coefficiente binomiale dell’equazione. Si risolve la disequazione e si ottiene che le soluzioni accettabili sono i numeri naturali si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo membro dell’equazione

si sviluppa il numeratore applicando la definizione di fattoriale in modo da consentirne la semplificazione con il denominatore si individuano i fattori da semplificare

si effettuano le semplificazioni e si ottiene una equazione nell’incognita

per risolverla moltiplichiamo ambo i membri per 6 si ottiene una equazione di secondo grado in

si risolve l’equazione ottenendo due soluzioni

si confrontano le soluzioni con la condizione di esistenza si verifica che la soluzione

è accettabile

esercizi da svolgere verificare le seguenti identità

risolvere le seguenti equazioni

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

1

v 1.1

1

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R.: R.: R.: R.:

R.: R.: 203


calcolo combinatorio

Fattoriale e Coefficiente binomiale

esempio di equazione ottenuta da una progressione aritmetica a coefficienti binomiali

Se

e

sono in progressione aritmetica, qual è il valore di

?

(Tratto dall’esame di Stato 2008 quesito numero 6)

in questo caso non è necessario procedere al calcolo della condizione di esistenza dei coefficienti binomiali perché nella traccia dell’esercizio è fornita una condizione di accettabilità ( )

Ricorda che una progressione aritmetica è una successione di numeri tale che la differenza tra due elementi successivi è costante. Ad esempio, dati tre elementi , se essi sono in progressione aritmetica allora si avrà Nel caso della traccia, se i tre elementi sono in progressione aritmetica allora si avrà

ottenendo così l’equazione a coefficienti binomiali che va risolta per ottenere il valore di

si applica la definizione di coefficiente binomiale a tutti i termini dell’equazione e si sviluppano i numeratori applicando la definizione di fattoriale in modo da consentirne la semplificazione con i rispettivi denominatori

si effettuano le semplificazioni

si individuano i fattori comuni al primo e al secondo membro ( )

si dividono i numeratori per i fattori comuni al primo e al secondo membro e si ottiene una equazione nell’incognita si calcola il m.c.m e si sviluppano i calcoli

si ottiene un’equazione di secondo grado in

si risolve l’equazione ottenendo due soluzioni

si confrontano le soluzioni con la condizione di esistenza si accetta solo la soluzione esercizi da svolgere 1

Se

e

2

Se

e

sono in progressione aritmetica, qual è il valore di ?

3

Se

e

sono in progressione geometrica, qual è il valore di ?

v 1.1

sono in progressione aritmetica, qual è il valore di ?

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R.: R.: R.: 204


calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio premessa

il calcolo combinatorio studia i raggruppamenti che si possono ottenere con un dato numero getti disposti su un dato numero di posti. I raggruppamenti si possono formare senza ripetizioni o con ripetizioni degli

oggetti.

di og-

Ad esempio, in un problema in cui si chiede di calcolare in quanti modi 7 alunni possono sedersi su 5 sedie, gli oggetti sono i 7 alunni, il numero di posti sono le 5 sedie e non c’è ripetizione di oggetti poiché gli alunni sono tutti diversi.

Ancora, in un problema in cui si chiede di calcolare in quanti modi si possono collocare 10 palline di cui 3 bianche, 3 rosse e 4 verdi, in 3 scatole, gli oggetti sono le 10 palline, il numero di posti sono le 3 scatole e c’è ripetizione di oggetti poiché di palline ce ne sono 3 bianche, 3 rosse e 4 verdi. Esistono tre raggruppamenti possibili. •

PERMUTAZIONI

sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è uguale al numero di posti e conta l’ordine con cui si dispongono. Le permutazioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione di oggetti. DISPOSIZIONI

sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero di posti e conta l’ordine con cui si dispongono. Le disposizioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione di oggetti. COMBINAZIONI

sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero di posti e non conta l’ordine con cui si dispongono. Le combinazioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione di oggetti.

Vediamo le formule risolutive di ogni caso nella seguente tabella

Permutazioni

senza ripetizione di oggetti

con ripetizione di oggetti

• •

Disposizioni • •

• •

v 1.0

c

Combinazioni ≠

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205


Calcolo combinatorio

calcolo combinatorio

esempi permutazioni senza ripetizione di oggetti

Quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola LIBRO? gli oggetti sono le 5 lettere della parola LIBRO

conta l’ordine

senza ripetizione

i posti sono le 5 caselle occupate dalle lettere della parola LIBRO

per formare un anagramma conta l’ordine con cui le lettere si succedono le 5 lettere sono tutte distinte quindi non c’è ripetizione di oggetti

si applica la formula delle permutazioni senza ripetizioni di oggetti

ci sono 120 parole che si possono formare con le lettere della parola LIBRO permutazioni con ripetizione di oggetti

Quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola MAMMA? gli oggetti sono le 5 lettere della parola MAMMA

conta l’ordine e

i posti sono le 5 caselle occupate dalle lettere della parola MAMMA

per formare un anagramma conta l’ordine con cui le lettere si succedono

le 5 lettere non sono tutte distinte: M si ripete 3 volte ed A si ripete 2 volte si applica la formula delle permutazioni con ripetizioni di oggetti

ci sono 10 parole che si possono formare con le lettere della parola MAMMA disposizioni senza ripetizioni

In quanti modi diversi 5 alunni si possono sedere su 3 sedie numerate? gli oggetti sono i 5 alunni

conta l’ordine

senza ripetizione

i posti sono le 3 sedie

le sedie sono numerate, quindi conta l’ordine con cui gli alunni si siedono

i 5 alunni sono persone tutte distinte, quindi non c’è ripetizione di oggetti si applica la formula delle disposizioni senza ripetizioni di oggetti ci sono 60 modi diversi in cui gli alunni si possono sedere

v 1.0

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206


calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio disposizioni con ripetizioni

Utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di 4 cifre si possono formare? gli oggetti sono le 3 cifre

conta l’ordine

i posti sono le 4 cifre

le cifre hanno posizioni ben precise, quindi conta l’ordine con cui i numeri 1,2,3 si dispongono ciascuna cifra (1,2,3) può ripetersi fino a 4 volte per formare il numero a 4 cifre, quindi c’è ripetizione di oggetti si applica la formula delle disposizioni con ripetizioni di oggetti si possono formare 81 numeri di 4 cifre usando le cifre 1, 2, 3 combinazioni senza ripetizioni

Un negoziante vuole esporre in una piccola vetrina 4 paia di scarpe scelte tra 10 modelli diversi. In quanti modi si possono esporre le scarpe all’interno della vetrina? gli oggetti sono i 10 modelli di scarpe

non conta l’ordine senza ripetizione

i posti sono le 4 paia di scarpe da esporre per l’esposizione non conta l’ordine

i modelli sono tutti distinti, quindi non c’è ripetizione di oggetti

si applica la formula delle combinazioni senza ripetizioni di oggetti

ci sono 210 modi diversi per esporre in una vetrina 4 paia di scarpe scelte tra 10 modelli diversi combinazioni con ripetizioni

Assegnati due contagocce, il primo contenente 5 gocce di colore bianco ed il secondo 5 gocce di colore nero. Mischiando tra loro 5 gocce scelte tra i due colori, quanti colori diversi si possono formare? gli oggetti sono i 2 colori

non conta l’ordine con ripetizione

i posti sono le 5 gocce che vanno prese di volta in volta

per la composizione del nuovo colore non conta l’ordine per ogni colore si hanno a disposizione 5 gocce

si applica la formula delle combinazioni con ripetizioni di oggetti si possono formare solo 6 colori diversi: uno è il bianco (5 gocce bianche), uno è il nero (5 gocce nere) e poi ci sono 4 sfumature di grigio

v 1.0

Nelle combinazioni con ripetizione bisogna stare attenti ad individuare correttamente quali sono gli oggetti e quali sono i posti. © 2013 - www.matematika.it

207


Probabilità

probabilità

definizione classica di probabilità

E rappresenta un evento;

è la probabilità che si verifichi l’evento

alcune proprietà

evento impossibile

Due eventi ed si dicono complementari se uno è la negazione dell’altro. Vale la relazione:

evento certo

esempi

Consideriamo il lancio di un dado. Ai seguenti eventi sono associate le seguenti probabilità: esce il numero 2

esce un numero maggiore di 4

esce il numero 7

esce un numero compreso tra 1 e 6

tipi di eventi

eventi incompatibili Due o più eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude gli altri

esempio: consideriamo il lancio di un dado con i seguenti eventi esce il numero 2 esce il numero 3 Nel lancio di un solo dado se si verifica non si può verificare quindi i due eventi sono incompatibili

eventi compatibili

Due o più eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi degli altri

esempio: consideriamo il lancio di due dadi contemporaneamente ed i seguenti eventi esce il numero 2 su uno dei due dadi esce il numero 3 sull’altro dado I due eventi ed sono compatibili perché il verificarsi di uno NON esclude il verificarsi dell’altro

Nell’ambito degli eventi compatibili si distinguono eventi indipendenti ed eventi dipendenti

eventi indipendenti

Due o più eventi si diconoindipendenti quando il verificarsi di uno non modifica la probabilità di verificarsi degli altri

eventi dipendenti

Due o più eventi si diconodipendenti quando il verificarsi di uno modifica la probabilità di verificarsi degli altri esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52 carte ed i seguenti eventi esce una carta di cuori esce una figura Se la prima carta estratta è rimessa nel mazzo e si procede all’estrazione della seconda carta, i due eventi ed sono indipendenti Se invece la prima carta estratta è lasciata fuori, la seconda estrazione dipenderà dalla prima ed i due eventi ed sono dipendenti

v 2.3

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208


Probabilità

probabilità

calcolo della probabilità di due o più eventi probabilità totale Si parla di probabilità totale di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichi uno solo degli eventi Per il calcolo bisogna distinguere tra eventi incompatibili ed eventi compatibili

probabilità totale di due o più eventi incompatibili

generalizzando

La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi incompatibili:

esce il numero 2 esce un numero dispari

probabilità totale di due o più eventi compatibili dove

è la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi

La probabilità totale di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi Più complessa è la probabilità totale di tre eventi compatibili: esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi compatibili:

esce il numero 2 esce un numero pari

probabilità composta Si parla di probabilità composta di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichino tutti gli eventi contemporaneamente. Nel caso di eventi incompatibili la probabilità composta è nulla. Nel caso di eventi compatibili bisogna distinguere tra eventi indipendenti ed eventi dipendenti.

probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti

generalizzando

La probabilità composta di due o più eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi indipendenti

esce una carta di cuori esce una figura

v 2.3

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209


Probabilità

probabilità

probabilità composta di due o più eventi compatibili dipendenti dove

è la probabilità che si verifichi l’evento

Tale probabilità è detta probabilità condizionata di

una volta verificatosi l’evento

al verificarsi di

La probabilità di due eventi dipendenti è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi probabilità condizionata di al verificarsi di Più complessa è la probabilità composta di tre eventi dipendenti:

per la

esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e non la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi dipendenti:

esce una carta di cuori esce una figura

approfondimento: probabilità subordinata Consideriamo una situazione più complessa: supponiamo di avere tre scatole contenenti palline rosse e verdi come indicato in figura e, scelta una scatola a caso, calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa dalla scatola scelta 1a scatola

2a scatola

3a scatola

Consideriamo i seguenti eventi scelta della prima scatola scelta della seconda scatola scelta della terza scatola estrazione della pallina rossa nel caso in cui si è scelta la prima scatola estrazione della pallina rossa nel caso in cui si è scelta la seconda scatola estrazione della pallina rossa nel caso in cui si è scelta la terza scatola di estrarre una pallina rossa da una scatola scelta a caso Calcoliamo la Probabilità

teorema di Bayes Consideriamo l’esempio del riquadro precedente con in più i seguenti eventi: estrazione della pallina rossa dalla prima scatola estrazione della pallina rossa dalla seconda scatola estrazione della pallina rossa dalla terza scatola Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa da una precisa scatola

ognuna delle tre formule precedenti rappresenta una applicazione del teorema di Bayes v 2.3

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210


Probabilità

probabilità

tutte le definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista definizione classica di probabilità (da Fermat a Laplace) La probabilità classica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili: La definizione classica, detta anche a priori, si utilizza quando: • gli eventi hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile calcolare il numero dei casi favorevoli e dei casi possibili esempio: vedi gli esempi delle pagine precedenti

definizione frequentista di probabilità (di Venn e Von Mises)

La probabilità frequentista di un evento è uguale al rapporto tra il numero di prove riuscite ed il numero di prove effettuate (tutte nelle stesse condizioni): è detta anche frequenza dell’evento E

La definizione frequentista, detta anche a posteriori, si utilizza quando: • gli eventi non hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile effettuare un certo numero di prove sperimentali tutte nelle medesime condizioni

esempio: consideriamo una puntina da disegno e lanciamola verso l’alto. Essa può cadere in due posizioni diverse:

Si effettuano

con la punta rivolta verso l’Alto oppure con la punta rivolta verso il Basso. Si vuole calcolare, ad esempio, la probabilità che cada con la punta rivolta verso il Basso. In casi come questo non si può applicare la probabilità classica ma la probabilità frequentista.

lanci, si conta il numero

di volte in cui la puntina si ferma con la punta verso il Basso e si ha:

maggiore è il numero di lanci e più attendibile sarà il valore trovato

alcune proprietà come per la probabilità classica anche la frequenza è un numero compreso tra 0 e 1

non vuol dire che l’evento è impossibile ma solo che non si è mai verificato nelle prove

non vuol dire che l’evento è certo ma solo che si è sempre verificato durante le prove

legge dei grandi numeri Al crescere delle prove effettuate la probabilità frequentista di un evento si avvicina sempre più alla probabilità classica dello stesso evento

Tale legge, detta anche legge empirica del caso, stabilisce una relazione tra la definizione classica di probabilità e quella frequentista. Un enunciato equivalente della legge dei grandi numeri è il seguente:

Su un numero molto alto di prove effettuate la frequenza di un evento assume un valore molto vicino alla sua probabilità classica definizione soggettivista di probabilità (di Bruno De Finetti) La probabilità soggettivista di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna al verificarsi dell’evento

La definizione soggettivista si utilizza quando non ci sono le condizioni per utilizzare le definizioni precedenti.

vediamo alcuni esempi nei quali si può applicare solo la probabilità soggettivista. Si vuole calcolare la probabilità • che una nuova trasmissione televisiva incontri il favore del pubblico • che una squadra di calcio con una formazione rinnovata vinca una partita • che un nuovo prodotto commerciale incontri il favore dei consumatori v 2.3

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211


Numeri Complessi

numeri complessi

numeri immaginari

• •

si chiama unità immaginaria e si indica con la radice quadrata di

un numero immaginario si ottiene dalla radice quadrata di un numero negativo ad esempio:

:

le potenze di

in generale

si ripetono di 4 in 4 infatti:

con r resto della divisione di n per 4. Ad esempio:

perchè

numeri complessi (forma algebrica)

con resto r = 3

un numero complesso z è la somma di un numero reale e di un numero immaginario: Esempio:

due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta. Esempio:

Somma:

e

sono numeri complessi coniugati

operazioni tra numeri complessi

Dati due numeri complessi

si sommano le parti reali e le parti

e

immaginarie

Prodotto: si effettuano i prodotti tra i due binomi ricordando che

Rapporto: si moltiplica e si divide il rapporto dei due numeri per il complesso

Potenza:

coniugato del denominatore

si effettua la potenza del binomio

Per la potenza : se l’esponente è maggiore di 3 conviene usare la formula di De Moivre (vedi scheda di approfondimento)

esempio

risolviamo la seguente equazione di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso:

v 3.0

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212


Numeri complessi: approfondimento

numeri complessi

rappresentazione nel piano complesso (piano di Gauss) di un numero complesso z forma algebrica

forma trigonometrica i

i

z

z

b

ρ

a

R

= parte reale

= parte immaginaria

b

θ a

R

passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica

= modulo

= anomalia

per il teorema di Pitagora

per le relazioni di trigonometria dei triangoli rettangoli si ha:

per determinare l’angolo è necessario tenere conto dei segni di a e b per individuare il quadrante in cui si trova il punto e di conseguenza l’angolo (vedi i seguenti esempi)

per passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica basta calcolare i valori del seno e coseno e sviluppare i calcoli

potenza n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica (formula di De Moivre)

Esempio:

radice n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica con k = 0,1,2,…,n-1 Esempio:

con k = 0 e k = 1 cioè:

k =0

k =1

nel campo complesso la radice n-sima di un numero ha sempre n soluzioni, ciò implica che non si può effettuare la semplificazione tra l’indice della radice e l’esponente del radicando, cioè: altrimenti si perdono soluzioni

forma esponenziale di un numero complesso

la forma esponenziale di un numero complesso z è: si ottiene applicando alla forma trigonometrica v 2.8

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la formula di Eulero 213


simboli insiemi

è un numero irrazionale premessa

Un numero naturale elevato al quadrato contiene nella scomposizione un numero pari di 2 o nessun 2. Ad esempio: 1. consideriamo il numero naturale 9 ed eleviamolo al quadrato scomponiamo il numero 81 Il quadrato di 9 non contiene nessun 2

2. consideriamo il numero naturale 6 ed eleviamolo al quadrato scomponiamo il numero 36 Il quadrato di 6 contiene un numero pari di 2

3. consideriamo il numero naturale 8 ed eleviamolo al quadrato scomponiamo il numero 64 Il quadrato di 8 contiene un numero pari di 2 è un numero irrazionale, cioè

enunciato

non si può esprimere come rappporto tra due numeri naturali dimostrazione

con

ed

ragioniamo per assurdo negando la tesi, cioè supponiamo che esistono due numeri naturali ed tali che si può esprimere come rapporto tra loro eleviamo al quadrato primo e secondo membro moltiplicando primo e secondo membro per Si ottiene una uguaglianza impossibile

infatti il primo membro contiene un numero dispari di 2, cioè contiene il 2 e un che, per quanto detto nella premessa, contiene un numero pari di 2

il secondo membro contiene, per quanto detto nella premessa, un numero pari di 2 negando la tesi si arriva all’assurdo che al primo membro dell’uguaglianza si ha un numero dispari di 2 e al secondo membro un numero pari di 2 e quindi la tesi non può essere negata

v 1.0

per il principio del terzo escluso, non potendo negare la tesi, vuol dire che essa è vera, cioè:

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214


algebra

Significato geometrico del quadrato di un binomio enunciato

la formula del quadrato di un binomio esprime geometricamente l’uguaglianza tra l’area del quadrato di lato e la somma delle aree dei quadrati di lato , di lato e di due rettangoli di lati dimostrazione

costruiamo un quadrato di lato uguale ad

congiungiamo gli estremi dei segmenti

e

otteniamo quattro quadrilateri: un quadrato di lato , un quadrato di lato e due rettangoli di lati

calcoliamo l’area del quadrato esterno di lato tale area può anche essere calcolata come somma dell’area del quadrato di lato , delle aree dei rettangoli di lato e del quadrato di lato uguagliando le otteniamo la tesi

v 1.0

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due

espressioni

dell’area

1 di215 1


algebra

Formula risolutiva dell’equazione di II grado enunciato

Le soluzioni dell’equazione di II grado

si ricavano applicando la formula risolutiva

dimostrazione

consideriamo l’equazione di II grado moltiplichiamo per membro

il primo e il secondo

sviluppiamo i calcoli sottraiamo

al primo e al secondo membro

semplifichiamo al primo membro sommiamo

al primo e al secondo membro

osserviamo che il primo membro è lo sviluppo del quadrato del binomio estraiamo la radice quadrata al primo e al secondo membro sottraiamo al primo e al secondo membro dividiamo per

il primo e il secondo membro

semplificando al primo membro otteniamo la formula risolutiva dell’equazione di II grado v 1.0

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216


geometria piana

Teorema di Pitagora enunciato

C

A

In un triangolo rettagolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti B dimostrazione

costruiamo un quadrato di lato uguale alla somma dei cateti e

congiungiamo gli estremi dei segmenti e ottenendo quattro triangoli rettangoli ed un quadrilatero

tutti e quattro i triangoli rettangoli hanno come cateti e e quindi sono tra loro congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. Di conseguenza anche il loro terzo lato, cioè l’ipotenusa, sarà congruente. Chiamiamo l’ipotenusa

v 1.0

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217


geometria piana

Teorema di Pitagora

il quadrilatero inscritto ha i quattro lati congruenti (di lunghezza ) per la congruenza dei triangoli rettangoli

il quadrilatero inscritto ha i quattro angoli retti perché osservando la figura si ha che: 1. la somma dell’angolo interno del quadrilatero e dei due angoli ad esso consecutivi è un angolo piatto

2. la somma dei soli due angoli consecutivi è un angolo retto perché essi sono angoli acuti di un triangolo rettangolo calcoliamo l’area del quadrato grande di lato con la formula classica dell’area del quadrato l’area del quadrato grande può anche essere calcolata come somma dell’area del quadrato di lato e delle aree dei quattro triangoli rettangoli uguagliamo le due espressioni dell’area sviluppiamo il quadrato del binomio al secondo membro semplificando otteniamo la tesi

v 1.0

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al primo e al secondo membro

218


Teorema delle corde

geometria piana

enunciato

D

B

P A

C

Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto allora i segmenti formati su una stessa corda sono medi e i segmenti formati sull’altra corda sono estremi di una stessa proporzione, cioè: dimostrazione

D

B

P

congiungiamo A con C e B con D

A

C D

B

P

consideriamo i triangoli APC e BPD

A

C D

B

essi hanno:

P

1. gli angoli A C e B D congruenti perché opposti al vertice

A

C D

B

P A

i due triangoli sono dunque simili per il primo criterio di similitudine

C D P A

C

v 1.0

2. gli angoli C B e C B congruenti perché insistono sullo stesso arco

B

i due triangoli avranno anche il terzo angolo congruente cioè si ha che A P è congruente a P D poiché in due triangoli simili i lati opposti ad angoli congruenti (detti lati omologhi) sono in proporzione tra loro, si ha la tesi

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219


geometria analitica

Distanza tra due punti enunciato

Dati due punti e di coordinate e , la distanza tra A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB cioè:

dimostrazione

consideriamo il triangolo rettangolo di vertici A, B e C. La distanza tra i punti A e B rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo considerato

a tale triangolo applichiamo il teorema di Pitagora: l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti ricaviamo la lunghezza dell’ipotenusa AB

osservando la figura deduciamo che le lunghezze dei cateti AC e BC corrispondono rispettivamente alla differenza delle ascisse dei punti A e C e alla differenza delle ordinate dei punti B e C

scriviamo il valore delle lunghezze dei cateti sostituendo i valori trovati dell’ipotenusa otteniamo la tesi v 1.0

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nella

formula

220


geometria analitica

Punto medio di un segmento enunciato

Dati due punti e di coordinate il punto medio del segmento coordinate:

e ha

dimostrazione

di seguito dimostriamo solo la prima delle due formule. Per la seconda si procede allo stesso modo

consideriamo il fascio di rette parallele , , e siano le rette e l’asse delle le due rette trasversali al fascio

a tale fascio applichiamo il teorema di Talete per cui a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale

in particolare, poiché segmento AB, si ha che

è il punto medio del

e quindi per il teorema di Talete si ha che in termini di distanze la relazione sulla retta delle ascisse si scrive da cui ricavando v. 1.0

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si ottiene la tesi 221


Equazione della circonferenza

geometria analitica

enunciato

C

Nel piano cartesiano la circonferenza rappresentata dalla seguente equazione:

è

O dimostrazione

Ricordiamo la definizione geometrica di circonferenza: la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro indichiamo con C il centro di coordinate

con P un punto generico di coordinate O

e con il raggio della circonferenza

scriviamo la definizione di circonferenza in forma algebrica applichiamo la formula della distanza tra due punti al segmento PC sostituiamo l’espressione alla definizione di circonferenza

eleviamo al quadrato il primo e il secondo membro

svolgiamo i calcoli ed ordiniamo l’equazione in base all’ordine decrescente del grado portiamo

al primo membro

facendo le posizioni indicate si ottiene l’equazione della circonferenza v 1.0

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222


goniometria

Le cinque relazioni fondamentali dimostrazioni

• • •

si considera il triangolo rettangolo POH si applica il teorema di Pitagora: dove: sostituendo si ottiene la tesi

• •

si considerano i triangoli rettangoli TOA e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione:

• • • •

• • • •

• • • •

v 2.3

dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi

si considerano i triangoli rettangoli CBO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( 90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi

si considerano i triangoli rettangoli POS e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi

si considerano i triangoli rettangoli PEO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali (90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:

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cioè la tesi 223


Il seno di 30° è uguale a 1/2

goniometria

enunciato

P

il seno dell’angolo di 30° vale

cioè il segmento PH è uguale a

H

O

dimostrazione

P

consideriamo la circonferenza goniometrica di centro l’origine e raggio 1 un l’angolo di 30°

O

P O Q

P

O Q

P

O Q v 1.0

consideriamo un angolo di 30° nel IV quadrante e uniamo il punto P con il punto Q

si forma il triangolo OPQ. Esso è isoscele perché:

1. sia il lato OP che il lato OQ sono raggi della stessa circonferenza e quindi entrambi uguali ad 1 di conseguenza l’angolo in P e l’angolo in Q sono congruenti

2. l’angolo in P e l’angolo in Q sono entrambi uguali a 60° perché la somma degli angoli interni di un qualunque triangolo è 180° l’angolo in O è complessivamente di 60° e che diviso due ha come risultato 60° e 60° il triangolo OPQ è un triangolo con tre angoli uguali e quindi avrà anche tre lati uguali, di conseguenza il lato PQ sarà anche esso uguale a 1 © 2013 - www.matematika.it

224


Il seno di 30° è uguale a 1/2

goniometria

P

O

H Q

Consideriamo ora il segmento OH, esso è bisettrice dell’angolo in O

P

H

O

Q

P

O

v 1.0

H

ricordando che la bisettrice di un triangolo isoscele o equilatero è anche mediana si ha che il punto H divide la base PQ in due parti uguali

il segmento PQ , che corrisponde al seno di 30°, è dunque uguale ad

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225


Teorema dei seni

trigonometria

enunciato

in un triangolo qualsiasi ogni lato è direttamente proporzionale al seno dell’angolo opposto:

C

b

a

γ

α

A

β

c

B

dimostrazione

di seguito dimostriamo la prima delle tre relazioni. Per le altre si procede allo stesso modo. C

b α A

h

a β

H

B

consideriamo l’altezza triangolo ABC

relativa alla base AB del

B

il segmento CH individua due triangoli rettangoli AHC e CHB

C

b α A

h

a β

H

consideriamo come cateto del triangolo rettangolo AHC; ricordando che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto tra l’ipotenusa e il seno dell’angolo opposto, si ha consideriamo ora come cateto del triangolo rettangolo CHB, analogamente si ha

osserviamo che il primo membro delle due relazioni è uguale. Ciò significa che anche i secondi membri delle due relazioni sono uguali per cui possiamo scrivere dividiamo entrambi i membri per

semplifichiamo al primo e al secondo membro scrivendo la relazione sotto forma di proporzione, otteniamo la tesi v 1.0

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226


analisi

Teorema dell’unicità del limite enunciato

Se una funzione punto Hp: Th:

è dotata di limite

allora il limite è unico

in un

è una funzione

è unico

dimostrazione

Il teorema si dimostra per assurdo, cioè si nega la tesi ottenendo una affermazione non vera

supponiamo per assurdo che la funzione abbia in due limiti finiti e distinti consideriamo l’intorno siano essi disgiunti

in corrispondenza di

di

e l’intorno

di

e

applichiamo la definizione di limite ad

in corrispondenza di

applichiamo la definizione di limite ad consideriamo ora l’intorno punti comuni di e di

di

formato dai

poichè tutti i punti di (escluso il punto ) appartengono sia ad che ad , allora per ogni che appartiene ad si ha che appartiene a ed appartiene a

ciò significa che ogni punto di escluso il punto ha due ordinate diverse il che non è possibile perché è una funzione cioè ad ogni deve corrispondere una ed una sola ordinata quindi è assurdo che la funzione abbia in due limiti distinti e può solo essere che il limite è unico

osservazione

Il teorema è stato dimostrato nel caso in cui

v 1.0

ed siano entrambi finiti ma è valido anche negli altri casi

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227


analisi

Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità enunciato

Se una funzione è derivabile in un punto allora essa è ivi anche continua Hp:

xo

Th:

x

è una funzione derivabile in

con

che esiste ed è finito

è una funzione continua in

cioè:

, cioè:

dimostrazione

consideriamo la seguente identità calcoliamo il limite per i membri

di entrambi

a secondo membro applichiamo i teoremi sulla somma e sul prodotto di limiti perché costante

è una

per l’ipotesi di derivabilità

passando al calcolo dei limiti al secondo membro, si osserva che

per cui si ha e quindi la tesi

v 1.0

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228


analisi

Teorema sui massimi e minimi di una funzione (teorema di Fermat) enunciato

Sia: •

)

un

a

b

una funzione

intervallo

chiuso

e

limitato

appartenente al dominio D della funzione

un punto di massimo o minimo relativo

della funzione interno ad

se

dimostrazione

è derivabile in

allora

supponiamo che sia un punto di massimo relativo. Allora, per definizione di massimo relativo si ha consideriamo il rapporto incrementale di

se

allora

se

allora

in

e determiniamo il segno del rapporto incrementale nei due casi in cui sia maggiore o minore di

calcolando il limite per di entrambi i rapporti incrementali si ottiene la derivata destra e la derivata sinistra di in essendo per ipotesi la funzione derivabile in la derivata destra deve essere uguale alla derivata sinistra.

Questo è possibile solo se sono entrambe uguali a zero, cioè la tesi

osservazione

Il teorema di Fermat non si inverte. Infatti se la derivata prima in un punto è uguale a zero, il punto può essere un punto di massimo relativo, di minimo relativo e potrebbe anche essere un punto di flesso a tangente orizzontale. v 1.0

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229


Teorema di Rolle

analisi

enunciato

Se una funzione •

• •

:

è continua nell’intervallo chiuso e limitato

è derivabile nei punti interni dell’intervallo

assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè

allora esiste all’intervallo annulla, cioè

almeno un punto interno in cui la derivata prima si

dimostrazione

la prima ipotesi del teorema di Rolle è la stessa del teorema di Weierstrass, per cui la funzione ammette un massimo e un minimo assoluto nell’intervallo chiuso e limitato Chiamiamo il punto di massimo e il punto di minimo assoluto. Si possono presentano tre casi: primo caso

entrambi i punti

da cui la tesi ● ●

e

secondo caso

solo uno dei due punti o è interno all’intervallo ad esempio il punto di massimo e l’altro coincide con uno degli estremi

anche in questo caso per il teorema di Fermat, la derivata prima della funzione in è nulla, cioè: da cui la tesi

sono interni all’intervallo

Per il teorema di Fermat, se una funzione ha un massimo (o un minimo) in un punto, allora la derivata prima della funzione in quel punto ( e ) è nulla, cioè:

e

entrambi i punti dell’intervallo

terzo caso

e

sono agli estremi

Se ed allora la funzione sarà costante e quindi la sua derivata prima è nulla in tutti i punti dell’intervallo , da cui la tesi

in sintesi: il teorema di Weierstrass assicura la presenza di un massimo e di un minimo assoluto nell’intervallo e in tali punti per il teorema di Fermat la derivata prima è uguale a zero v 1.0

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230


Teorema di Lagrange

analisi

enunciato

P

Se una funzione

B

è continua nell’intervallo chiuso e limitato

derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[

A

è:

allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:

dimostrazione

consideriamo la funzione ausiliaria

si osservi che: • è continua in [a, b] e derivabile nei punti interni per ipotesi • •

e

sono costanti e quindi sono continue e derivabili in tutto

è un binomio di primo grado e quindi continuo e derivabile in tutto

verifichiamo che soddisfa le tre ipotesi del teorema di Rolle: 1. è continua in [a, b] perché è una combinazione lineare di funzioni continue in [a, b] 2. è derivabile nei punti interni di ]a, b[ perché è una combinazione lineare di funzioni derivabili in ]a, b[ 3. calcoliamo e cioè:

quindi

applicando il teorema di Rolle alla tale che calcoliamo la derivata prima di calcoliamo la derivata di

:

si ha che esiste almeno un punto interno all’intervallo ]a, b[

perché

e

nel punto c e poniamola uguale a zero: cioè

significato geometrico

quindi

da un punto di vista geometrico il teorema di Lagrange afferma che nell’intervallo aperto ]a, b[ esiste almeno un punto c tale che la retta tangente alla funzione nel punto è parallela alla corda passante per i punti A e B (vedi disegno in alto) in sintesi: si introduce la funzione ausiliaria e si verifica che essa soddisfa le tre ipotesi del teorema di Rolle. Si applica il teorema di Rolle alla e si giunge alla tesi del teorema di Lagrange

v 1.0

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231


Le grandezze fisiche e il Sistema Internazionale

fisica

nome

definizione

esempio

grandezza fisica

quantità che si può misurare con uno strumento di misura

misurare una grandezza fisica

vuol dire quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza fisica

unità di misura

è il campione scelto per misurare

Sistema Internazionale (SI)

è l’insieme delle unità di misura accettato dal 1960 in tutta Europa e in altri 51 stati del mondo

• • • • • • • • • •

una temperatura un’altezza un peso un volume

una mela pesa 300 g il portapastelli è lungo 8 gomme da cancellare

il chilogrammo per le masse il secondo per il tempo la gomma da cancellare dell’esempio precedente le grandezze fondamentali del SI sono 7 e sono quelle riportate nella tabella successiva

le grandezze fondamentali e le loro unità di misura del Sistema Internazionale nome della grandezza unità di misura simbolo strumento di misura

lunghezza massa

metro

m

il metro

chilogrammo

kg

la bilancia

intervallo di tempo

secondo

s

il cronometro

intensità di corrente

Ampere

A

l’amperometro

grado Kelvin

°K

il termometro

candela

cd

il fotometro

mole

mol

---

temperatura

intensità luminosa quantità di sostanza

Le grandezze fisiche si dividono in due classi: le grandezze fondamentali e le grandezze derivate. 1. Le grandezze fondamentali sono le 7 grandezze del Sistema Internazionale. Sono tra loro indipendenti e permettono di ricavare tutte le altre 2. Le grandezze derivate sono tutte le altre e derivano da una combinazione delle grandezze fondamentali. Ad esempio: l’area è una grandezza derivata perché è combinazione di due lunghezze; la velocità è una grandezza derivata perché è combinazione dello spazio percorso e dell’intervallo di tempo impiegato a percorrerlo; la frequenza è l’inverso di un intervallo di tempo.

v 1.0

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232


Le grandezze fisiche

fisica

grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (S.I.) nome della grandezza lunghezza massa

intervallo di tempo temperatura

intensità di corrente elettrica intensità luminosa

quantità di sostanza

nome della grandezza angolo piano angolo solido area

volume densità

velocità

accelerazione frequenza

velocità angolare forza

pressione

quantità di moto

momento angolare energia lavoro

potenza calore

capacità termica calore specifico

simbolo l, h, L

unità di misura

simbolo

Metro

m

m, M

Chilogrammo

kg

T

i, I

grado Kelvin Ampere

K

m

Candela Mole

cd

mol

unità di misura (SI)

simbolo

Radiante

rad = m/m

t,

Secondo

L

alcune grandezze derivate simbolo

A, S V v

F, f P

q, Q, p p, P

E, K

L, W C

A

Steradiante

sr = m2 / m2

metro cubo

m3

metro quadrato

m2

chilogrammo su metro cubo

kg/m3

metro su secondo quadrato

m/s2

metro su secondo

m/s

Hertz

Hz = 1/s

Newton

N = kg⋅m/s2

chilogrammo per metro su secondo

kg⋅m/s

radiante su secondo Pascal

rad/s

Pa = N/m2

chilogrammo per metro al quadrato su secondo

kg⋅m2/s

Joule

J = N⋅m

Joule

W, P Q

s

J = N⋅m

Watt

W = J/s

Joule su Kelvin

J/K

Joule

J = N⋅m

c

Joule su Kelvin per chilogrammo

J/(K⋅kg)

carica elettrica

q, Q E

Coulomb

Newton su Coulomb

C

forza elettromotrice

, f.e.m.

Volt

calore latente

intensità di campo elettrico

differenza di potenziale elettrico capacità elettrica resistenza resistività

intensità di campo magnetico flusso magnetico

induttanza elettrica

v 3.1

Joule su chilogrammo

C

R M L

N/C

Volt

V = J/C

Farad

F = C/V

V = J/C

Ohm

Ω = V/A

Tesla

T = N/A⋅m

Ohm per metro

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J/kg

Weber Henry

Ω⋅m

Wb = T⋅m2 H = V⋅S/A

233


Le grandezze fisiche

fisica

tabelle di conversione al Sistema Internazionale lunghezze 1 parsec (pc)

3,09

1 lega marina (lea)

5556 m

1 anno luce (a.l.)

1016

m

9,461∙1015

1 unità astronomica (UA)

m

1,50∙1011 m

1 miglio (mi)

1609,3 m

1 yarda (yd)

0,3048 m

1 pollice (in)

1 caloria (cal)

4,186 J

1 elettronVolt (eV) 1 erg

pressione

1,602 ∙ J

1 ora (h)

1 oncia (oz) J

1 grano (grain) simbolo Y Z E P T G M k h da km hm dam m dm cm mm

v 3.1

100 kg

0,0002 kg 3,2

temperatura

1 barile

1000 litri (l)

1,013 Pa

0,00454 m3

1000 kg

gradi Réaumur (°R)

altre unità di misura 1 ettaro (ha) 10.000 m2

1 gallone (gal)

Pa

133 Pa

0,064 g

masse

1 pinta britannica (pt)

1 B.T.U.

1055 J

volumi 0,163 m3 m3