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D d

h

a

A

B

r

A C

h

p1

R

h

a

R

Q p2

p

y y=n

B

n

x


Un percorso multimediale completo per capire la matematica

Il Progetto Matematika è un supporto multimediale che affianca la tradizionale didattica della matematica. Non è un prodotto commerciale ed i materiali offerti sono rivolti a quanti vogliono capire, imparare e verificare le proprie conoscenze matematiche. In particolare, i prodotti sono rivolti agli allievi e ai docenti delle scuole medie superiori ed inferiori. Il progetto propone a studenti e professori dei percorsi didattici completi, di facile e immediata fruibilità, esso si sviluppa in 4 ambienti: Lezioni animate, Test online, Formulario ed Esercizi. I materiali didattici sono organizzati per rendere l’apprendimento semplice e facilitato. La comunicazione audio-visiva immediata e di breve durata, i test on line e l’organizzazione delle schede in forma tabulare rendono i materiali idonei ad essere utilizzati come strumenti compensativi nei disturbi specifici di apprendimento. Questi strumenti, sono testati da una costante sperimentazione e sono continuamente aggiornati e arricchiti in modo da offrire un prodotto sempre al passo con i tempi.

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Indice 05

SIMBOLI, NUMERI, INSIEMI, INTERVALLI

14

ARITMETICA

30

ALGEBRA

111

GEOMETRIA PIANA

127

GEOMETRIA SOLIDA

131

GEOMETRIA ANALITICA

152

LOGARITMI

177

GONIOMETRIA

208

TRIGONOMETRIA

214

ANALISI

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_____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________


simboli insiemi

Insiemi e loro rappresentazione rappresentazione di insiemi

1

Scrivere l’insieme delle vocali della parola VIENNA

3

Scrivere l’insieme dei numeri naturali che si trovano sommando le cifre del numero 364 in tutti i modi possibili R. :

2

4 5 6 7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 v 1.0

Scrivere l’insieme dei numeri naturali maggiori di 5 e minori di 11

R. :

R. :

Rappresenta l’insieme dei fiumi italiani più lunghi di 700 km Dato l’insieme

darne la definizione per proprietà caratteristica

R.:

R.:

Dato l’insieme

darne la definizione per proprietà caratteristica R.:

Sia A l’insieme dei punti che sono sul perimetro di un triangolo e B l’insieme dei vertici del triangolo. Indica la relazione tra A e B. R.: Dati gli insiemi sono vere: 1. 2. 3. 4.

,

e

indica quali delle seguenti relazioni

R.: sono vere la 3. e la 4.

intersezione di insiemi

Dato l’insieme trova l’insieme intersezione

R.:

e l’insieme

In una classe di 30 studenti, 15 studiano il francese, 12 studiano l’inglese, 5 studiano entrambe le lingue. Quanti alunni studiano il francese e quanti solo l’inglese? Quanti non studiano alcuna lingua? Dato l’insieme intersezione

R.: 10 studiano solo il francese, 7 studiamo solo l’inglese, 8 non studiano nessuna lingua

e l’insieme

Dati gli insiemi intersezione

,

Dati gli insiemi l’insieme intersezione

Dato l’insieme dei mammiferi

,

ed

e dato l’insieme dei rettili

trova l’insieme

Dati gli insiemi l’insieme intersezione

,

,

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trova l’insieme R.:

ed

determina l’insieme

Dati gli insiemi dei cubi dei numeri naturali e numeri naturali dispari di due cifre, trova l’insieme intersezione

R.:

e

trova R.:

R.:

, dei R.:

trova

R.: 5


Insiemi e loro rappresentazione

simboli insiemi

17

18

In una classe di 60 studenti, 21 studiano il francese, 32 studiano l’inglese, 28 il tedesco. Inoltre si sa che: 11 studiano il francese e l’inglese, 9 il francese e il tedesco, 16 l’inglese e il tedesco e 7 studiano tre lingue. Quanti alunni studiano una sola lingua? Quanti non studiano alcuna lingua? R.: 8 studiano solo il francese, 12 studiano solo l’inglese, 10 solo il tedesco 8 non studiano nessuna lingua

In un quartiere di 67 case 27 non hanno né terrazza né giardino, 21 hanno il giardino e 8 di queste hanno anche la terrazza. Quante case hanno la terrazza e quante la terrazza ed il giardino? R.: 27 case hanno la terrazza, 19 hanno il giardino unione di insiemi

19

Dati gli insiemi elementi appartengono ad

ed oppure ad entrambi.

,

vario tipo

20

21

22

23 24

Dati gli insiemi 1. 2. 3.

,

trova l’insieme i cui

R.:

e

calcola: R.: 1. A; 2.

Dati gli insiemi e stabilire: 1. la relazione di inclusione esistente tra i due insiemi 2. se A è un sottoinsieme proprio o improprio di B 3. se A è finito o infinito Dato l’insieme elencazione: 1. l’insieme A 2. l’insieme delle parti di A Scrivere l’insieme delle parti di

Dati gli insiemi e 1. il tipo di relazione esistente tra A e B 2. se i due insiemi sono equipotenti

R.: 1.

R.:

; 3. A

,

; 2. proprio; 3. infinito

rappresentare

R.: 1.

per

; 2.

stabilire:

R.: 1. relazione biunivoca; 2. sì

25

Dati gli insiemi i cui elementi sono i divisori del numero 24 e del numero 36, trovare la loro intersezione e verificare che questa corrisponde all’insieme dei divisori del loro MCD

26

Dati i numeri 15 e 12, consideriamo gli insiemi i cui elementi sono i divisori di 15 e 12. Verificare che l’intersezione tra i due insiemi corrisponde all’insieme dei divisori del loro MCD

v 1.0

R.:

R.:

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6


simboli insiemi

Operazioni e relazioni tra insiemi

Indicare gli elementi dei seguenti insiemi che sono definiti tramite operazioni, se ; (si considerino i complementi rispetto ad R:

1

R:

2

R:

3

R:

4

R:

5

R:

6

R:

7

R:

8

R:

9

R:

10

R:

11

R:

12

R:

13

R:

14 15 16

[che relazione c’è con l’esercizio precedente?]

R: R: R:

17

R:

18

R:

19

R:

20

v 1.0

; )

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7


simboli insiemi

Operazioni e relazioni tra insiemi

21

R:

22

R:

23

R:

24

R:

25

R: R:

26

R:

27

R:

28 29

[è lo stesso insieme dell’esercizio precedente?]

R:

30

R:

31 32

[è lo stesso insieme dell’esercizio precedente?]

[attenzione!

]

R:

Dire se sono verificate le seguenti relazioni, disegnando opportuni diagrammi di Eulero-Venn R: sì, sì

33

R: sì, sì

34

R: no, sì

35

R: sì, no

36

R: sì, no

37

[come mai?]

[come mai?]

R: sì, sì

38

R: no, sì

39

R: no, sì

40 41 v 1.0

R:

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R: sì

8


simboli insiemi

Operazioni e relazioni tra insiemi R: no

42

R: no

43

R: sì

44

R: sì

45

R: sì

46 47

determinare gli insiemi

,

e

R: sì

per ogni coppia d’intervalli

[come mai?]

e

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 v 1.0

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9


simboli insiemi

Partizione di un insieme

determinare l’insieme che, con gli altri indicati, costituisce una partizione dell’insieme X (nota: di seguito è l’insieme dei numeri naturali compreso lo zero)

;

1 2 3

;

4

R: Impossibile [perché?]

;

6

R: Impossibile [perché?]

;

7

9

;

;

5

8

;

;

;

;

10 11 12

;

13

;

14

;

15 16

;

17 18 19 20 v 1.0

;

;

;

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10


simboli insiemi

Insiemi numerici determina quali dei numeri seguenti appartengono a

1 2 3 4 5

determina quali dei numeri seguenti appartengono a 6 7 8 9 10

determina quali dei numeri seguenti appartengono a 11 12 13 14 15

determina quali dei numeri seguenti appartengono a 16 17 18 v 1.0

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11


Insiemi numerici

simboli insiemi

19 20

determina quali dei numeri seguenti appartengono a 21 22 23 24 25

determina quali dei numeri seguenti appartengono a 26 27 28 29 30

rispondi alle seguenti domande fornendo, quando necessario, degli esempi 31

Dato un numero reale , qual è l’elemento di ℚ ad esso più vicino?

32

Dati due numeri algebrici, esiste sempre tra essi un numero razionale?

33

34

35 v 1.0

[ Se

, è stesso; se invece è irrazionale la domanda non ha risposta]

[ Sì, se i due numeri algebrici sono anche reali; altrimenti, la domanda non ha significato]

Fissato un numero razionale , si considerino tutti gli intervalli del tipo al variare di ℚ. Che insieme è l’unione di tutti questi intervalli? [ L’insieme ℝ dei numeri reali] Riesci a trovare un intervallo interi? E privo di numeri razionali? E se l’intervallo non vuoto esempi ?

[ L’intervallo

non vuoto privo di numeri naturali? E privo di numeri va bene per le prime due domande. Per la terza va bene

]

fosse aperto? Riusciresti ancora a trovare tutti e tre gli

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[ Il terzo no, poiché

è denso in ℝ]

12


Insiemi numerici

simboli insiemi

36

Si scelga

. Che insieme è quello costituito dai numeri

37

Si scelga

. Che insieme è quello costituito dai numeri

38

, al variare di

[ L’insieme dei multipli di . In particolare se [

, se

, al variare di . Invece se

?

si tratta dell’insieme

.]

?

si tratta dell’insieme

]

Sulla base dell’esercizio precedente, com’è in generale il prodotto di un numero razionale e di un numero irrazionale? [ Irrazionale, a meno che il numero razionale non sia 0]

39

Com’è la somma di due numeri trascendenti? Ed il loro prodotto?

40

Se invece è trascendente e

[ Non per forza trascendenti. Riesci a trovare degli esempi ricordando che ,

naturale, come sono

e

e 1/ sono trascendenti? ]

?

[ La somma è sempre trascendente; il prodotto è trascendente a meno che non sia

]

41

A che insieme appartiene, in generale, la somma di due numeri razionali? Riesci a trovare un caso in cui il risultato appartiene a ℤ? E uno in cui appartiene a ?

42

Il prodotto di due numeri irrazionali può essere razionale? E viceversa?

43

A quale insieme numerico appartiene, in generale, la soluzione di un’equazione di II grado?

44

Ci sono numeri irrazionali non trascendenti? E numeri trascendenti non irrazionali?

45

[ All’insieme dei numeri razionali. Basta l’unico esempio [ Sì, poiché

È vero che di ogni sottoinsieme di sottoinsiemi di ℤ?

si può trovare il minimo? Cosa si può dire invece riguardo i [ In

47

Qual è il minimo numero reale non appartenente a

50 v 1.0

?

è vero, in ℤ invece no: si consideri ad esempio il sottoinsieme

Qual è il massimo dell’insieme

49

dei numeri algebrici ]

è un esempio di numero irrazionale non trascendente. Non esistono irrazionali appartenenti a ]

46

48

]

[ All’insieme

[

]

[ Se

]

, il massimo è . Se invece è irrazionale il massimo non c’è]

?Ea

?

[ Nel primo caso, 1; nel secondo caso, non è possibile trovarlo ]

Qual è il minimo numero naturale non appartenente a ? E il minimo numero reale? E il minimo numero razionale? [ ; non c’è un minimo razionale non appartenente a quell’insieme ] Qual è il massimo numero naturale non appartenente a il massimo numero razionale?

? E il massimo numero reale? E [ 0; ¾; ¾ ]

E se gli insiemi dei due esercizi precedenti fossero chiusi, rispettivamente a destra e a sinistra? © 2013 - www.matematika.it

[ 2; non c’è; non c’è. 0; non c’è; non c’è] 13


aritmetica

Operazioni con i numeri naturali addizioni

1 2 3

sottrazioni

4 5 6

espressioni con addizioni e sottrazioni 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 v 1.2

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14


aritmetica

Operazioni con i numeri naturali moltiplicazioni

22 23

divisione

24 25 26

R: Priva di significato

espressioni con le quattro operazioni 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

R: 40

37 38 39 40

v 1.2

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15


M.C.D e m.c.m. tra numeri naturali

aritmetica

calcola il MCD e mcm tra i seguenti gruppi di numeri naturali 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

v 1.0

2;3

MCD: 1 mcm: 6

2

6 ; 15

MCD: 3 mcm: 30

6

6;8

7 ; 15 12 ; 8

15 ; 20 30 ; 40 32 ; 4

36 ; 45 12 ; 30

144 ; 216 312 ; 416 120 ; 144 210 ; 280

35 ; 50 ; 28 30 ; 50 ; 80 34 ; 51 ; 85

45 ; 55 ; 100

140 ; 700 ; 90

171 ; 456 , 608

MCD: 2 mcm: 24

4

MCD: 1 mcm: 105

8

MCD: 4 mcm: 24

10

MCD:10 mcm: 120

14

MCD: 5 mcm: 60 MCD: 4 mcm: 32

MCD: 9 mcm: 180 MCD: 6 mcm: 60

MCD:72 mcm: 432

MCD:104 mcm: 1248 MCD:24 mcm: 720 MCD:70 mcm: 840 MCD: 1 mcm: 700

MCD:10 mcm: 1200 MCD:17 mcm: 510

MCD: 5 mcm: 9900 MCD:10 mcm: 6300 MCD:19 mcm: 5472

12

16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

3;4

MCD: 1 mcm: 12

4 ; 12

MCD: 4 mcm: 12

6;9

8 ; 10 5 ; 20

10 ; 15 30 ; 50 18 ; 33 16 ; 40 26 ; 13

120 ; 168 258 ; 306 147 ; 252 116 ; 232

48 ; 60 ; 72 36 ; 16 ; 32 65 ; 75 ; 80

81 ; 108 ; 243

260 ; 440 ; 572 462 ; 594 ; 891

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MCD: 3 mcm: 18 MCD: 2 mcm: 40 MCD: 5 mcm: 20 MCD: 5 mcm: 30

MCD:10 mcm: 150 MCD: 3 mcm: 198 MCD: 8 mcm: 80 MCD:13 mcm: 26

MCD:24 mcm: 840

MCD: 6 mcm: 13158 MCD:21 mcm: 1764 MCD:116 mcm: 232 MCD:12 mcm: 720 MCD: 4 mcm: 288

MCD: 5 mcm: 15600 MCD:27 mcm: 972

MCD: 4 mcm: 5720

MCD:33 mcm: 12474

16


aritmetica

Espressioni con le proprietĂ delle potenze:

livello base

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

19

20

v 1.3

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17


aritmetica

Espressioni con le proprietĂ delle potenze:

livello base

21

22

23

24

25

26

v 1.3

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18


aritmetica

Numeri decimali e frazioni generatrici trasforma i numeri decimali in frazioni generatrici

1

2

3

4

5 7

0,13

6 8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

v 1.4

0,15

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19


aritmetica

Operazioni con le frazioni somme e differenze

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12

13 14

moltiplicazioni 15 16 17 18 19

v 1.3

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20


aritmetica

Operazioni con le frazioni

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

divisioni tra frazioni 31 R: priva di significato

32

33 34

35 36 37 38 39

v 1.3

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21


aritmetica

Operazioni con le frazioni

40 41 42 43

potenze di frazioni 44 45 46 47 48 49

esercizi di riepilogo 50 51 52 53 54 55

56

57 v 1.3

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22


aritmetica

Operazioni con le frazioni

58

59 60 61 62 63

64

v 1.3

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23


aritmetica

Operazioni con i numeri decimali trasforma i numeri decimali in frazioni generatrici

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

esegui le seguenti operazioni con i numeri decimali 15 16

0,5

-0,25

17 18 19 20 21 22 23 24

v 1.1

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24


Proporzioni

aritmetica

presi nell’ordine, stabilire se i gruppi di numeri formano una proporzione 1 2 3 4

4

12 9

20 7

3 4

35 4

10

7

21

18

2 8

12

3

20 5

2

4 9

5

8

2

4

10

35 4

7

12

5

ordinare i gruppi di numeri in modo da formare una proporzione 6 7 8

3 2

5

4

1

9

6

5

45

2

15

25

3

10

2

5

1

3

16

8

6

16

4

8

9 10

calcolare il valor medio delle seguenti proporzioni 11 12 13 14 15 16 17

v 1.1

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25


aritmetica

Proporzioni

18 19

calcolare il valore estremo delle seguenti proporzioni 20 21 22 23 24 25 26 27

calcolare il valore medio/estremo delle seguenti proporzioni 28 29 30 31

risolvere le seguenti proporzioni continue 32 33 34

v 1.1

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26


aritmetica

Proporzioni

35 36 37 38 39 40

risolvere le seguenti proporzioni applicando la proprietĂ del comporre 41 42 43 44 45 46 47

risolvere le seguenti proporzioni applicando la proprietĂ dello scomporre 48 49 50 51 52

v 1.1

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27


Proporzioni

aritmetica

53 54

determinare due numeri conoscendo il rapporto, la somma o la differenza 55 56

20

57 58 59 60 61

determinare due numeri conoscendo il rapporto e il prodotto 62 63 64 65 66 67

trovare il valore della

applicando la proprietĂ fondamentale delle proporzioni

68 69 70 71 v 1.1

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28


Proporzioni

aritmetica

72

risolvere i seguenti problemi applicando le proprietà delle proporzioni 73

Trova due numeri sapendo che la loro somma è 108 e il loro rapporto è

74

Trova due numeri sapendo che la loro differenza è 14 e il loro rapporto è

75

Dividi il numero 636 in parti direttamente proporzionali ai numeri 3 4 5

76

77

78

v 1.1

Dividi il numero 6300 in parti direttamente proporzionali ai numeri decimali 1,2 2,5 e 3,3 Dividi il numero 403 in parti inversamente proporzionali ai numeri 2 3 5 Determina i valori di

sapendo che

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e che

29


algebra

Operazioni con i numeri interi addizione

1 2 3

sottrazione

4 5 6

somma algebrica 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

prodotto 19 20

v 1.0

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30


algebra

Operazioni con i numeri interi

21 22

divisione

23 24 25 26

R: Priva di significato

potenze 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

v 1.0

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31


algebra

Operazioni con i numeri interi Esercizi di riepilogo

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

v 1.0

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32


algebra

Espressioni con le proprietĂ delle potenze:

livello avanzato

1 2 3

5

4

1

5

111

6

28

7 8 9 10 11 12

13

14

15

16

17

v 1.3

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33


algebra

Operazioni con i monomi semplifica le seguenti espressioni di monomi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 v 1.0

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34


algebra

Operazioni con i monomi

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

v 1.0

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35


algebra

Operazioni con i polinomi somma algebrica di polinomi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

prodotto di un polinomio per un monomio 11 12 13 14

15

16

17

v 1.0

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36


algebra

Operazioni con i polinomi

18 19 20 21

22

23 24 25

26

27

28

29

prodotto di polinomi 30 31 32

v 1.0

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37


algebra

Operazioni con i polinomi

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

divisione di un polinomio per un monomio 49

50

v 1.0

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38


algebra

Operazioni con i polinomi

51

52

53

54

55

56

57

esercizi di riepilogo 58 59 60 61 62 63 64

v 1.0

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39


algebra

Divisioni tra polinomi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

v 1.2

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40


algebra

Divisioni tra polinomi

15

16

17

18

19

20

21

22

23 24 25 26 27 28 29 30 v 1.2

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41


algebra

Prodotti notevoli prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

1 2 3 4 5 6 7

sviluppare i seguenti quadrati di binomi 8 9 10 11 12 13 14

sviluppare i seguenti cubi di binomi 15 16 17 18

v 1.3

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42


algebra

Prodotti notevoli

19 20 21

sviluppare le seguenti potenze n-sime di binomi 22 23 24 25 26 27 28 29

sviluppare i seguenti quadrati di trinomi 30 31 32 33 34 35 36 37 v 1.3

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43


algebra

Prodotti notevoli Esercizi di riepilogo

38 39 40 41 42 43 44

v 1.3

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44


algebra

Scomposizione di polinomi raccoglimento totale

1 2 3 4

raccoglimento parziale

5 6 7 8

differenza di due quadrati

9 10 11 12

sviluppo del quadrato di un binomio

13 14 15 16

sviluppo del quadrato di un trinomio

17 18 19 20 v 1.2

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45


algebra

Scomposizione di polinomi sviluppo del cubo di un binomio

21 22 23 24 25

riducendo prima a differenza di quadrati

26 27 28 29 30

somma e differenza di cubi

31 32 33 34 35

trinomio di secondo grado

36 37 38 39 40 v 1.2

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46


algebra

Scomposizione di polinomi regola di Ruffini

41 42 43 44

esercizi di riepilogo

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 v 1.2

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47


algebra

Scomposizione di polinomi

62 63

esercizi piĂš impegnativi

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 v 1.2

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48


algebra

Scomposizione di polinomi

83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

v 1.2

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49


M. C. D. e m. c. m. tra monomi

algebra

calcola il M. C. D. e m. c. m. tra i seguenti gruppi di monomi 1 2

;

;

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 v 1.1

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50


M.C.D e m.c.m. tra polinomi

algebra

calcola il MCD e mcm tra i seguenti gruppi di polinomi

1

;

2

3

4

5

6

7

8

9

10

v 1.1

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51


algebra

M.C.D e m.c.m. tra polinomi

11

12

13

14

15

16

17

18

v 1.1

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52


algebra

Equazioni di primo grado numeriche intere

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 v 1.3

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53


algebra

Equazioni di primo grado numeriche intere

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 v 1.3

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54


algebra

Equazioni letterali di primo grado

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11 12

13

14 15 16 17

v 1.2

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55


algebra

Equazioni letterali di primo grado

18

19

20

21

22 23 24 25 26 27 28 29 30

v 1.2

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56


algebra

Equazioni di primo grado numeriche frazionarie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

v 1.3

Š 2013 - www.matematika.it 57


algebra

Equazioni di primo grado numeriche frazionarie

21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 v 1.3

Š 2013 - www.matematika.it 58


algebra

Sistemi di equazioni di I grado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

v 1.1

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59


algebra

Sistemi di equazioni di I grado

14

15

16

17

18

19

20

21

v 1.1

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60


algebra

Sistemi di equazioni di I grado

22

23

24

25

26

27

28

29

v 1.1

Š 2013 - www.matematika.it

61


algebra

Sistemi di equazioni di I grado

30

31

32

33

34

35

36

37

v 1.1

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62


algebra

Sistemi di equazioni di I grado letterali

risolvere i seguenti sistemi sapendo che i valori dei parametri a e b rendono i sistemi compatibili 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

v 1.0

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63


algebra

Sistemi di equazioni di I grado letterali

12

13

14

15

v 1.0

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64


algebra

Sistemi di equazioni di I grado letterali

1

2

impossibile determinato

Se Se

indeterminato determinato

C. E.

3

C. E. Se Se

4

Se Se Se

5

impossibile determinato impossibile impossibile indeterminato

C. E.

6

Se Se

7

Se Se Se

8

indeterminato mpossibile

indeterminato impossibile determinato

Se , impossibile Se con indeterminato

9

v 1.1

Se Se

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65


algebra

Sistemi di equazioni di I grado letterali Se Se

10

impossibile determinato

Sistema determinato

11

Se Se Se

12

Se Se

13

Se

indeterminato impossibile determinato impossibile

indeterminato

determinato

Se

Se

14

Se

15

Se Se

16

Se Se

indeterminato

impossibile

determinato impossibile determinato

impossibile determinato

17

v 1.1

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66


algebra

Sistemi di equazioni di I grado letterali

18

19

20

21

22

23

24

25

v 1.1

Š 2013 - www.matematika.it

67


algebra

Sistemi di equazioni di I grado letterali

26

27

28

29

30

v 1.1

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68


algebra

Disequazioni di primo grado numeriche intere

1 2 3 4 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16 v 1.3

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69


algebra

Disequazioni di primo grado numeriche intere

17 18 19 20 21 22

23

24

25

26

27

28

29

30

v 1.3

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70


algebra

Sistemi di disequazioni di I grado

1

2

3

4

5

6

7

8

v 1.3

Š 2013 - www.matematika.it

71


algebra

Sistemi di disequazioni di I grado

9

10

11

12

13

14

15

16

v 1.3

Š 2013 - www.matematika.it

72


algebra

Sistemi di disequazioni di I grado

17

18

19

20

21

22

23

24

25

v 1.3

Š 2013 - www.matematika.it

73


algebra

Disequazioni di primo grado numeriche fratte

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

v 1.3

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74


algebra

Disequazioni di primo grado numeriche fratte

18

19

20 21 22 23 24 25 26 27 28

29

30

v 1.3

Š 2013 - www.matematika.it

75


algebra

Sistemi di disequazioni fratte o prodotto di I grado

1

2

3

4

5

6

7

8

v 1.0

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76


algebra

Sistemi di disequazioni fratte o prodotto di I grado

9

10

11

12

13

14

15

16

v 1.0

Š 2013 - www.matematika.it

77


algebra

Sistemi di disequazioni fratte o prodotto di I grado

17

18

19

20

v 1.0

Š 2013 - www.matematika.it

78


algebra

Disequazioni riconducibili al primo grado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

v 1.3

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79


algebra

Espressioni con radicali

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

13

14 v 1.3

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80


algebra

Razionalizzazione del denominatore di una frazione razionalizzare i denominatori delle seguenti frazioni

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

v 1.3

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81


algebra

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

v 1.3

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82


algebra

Equazioni di secondo grado equazioni monomie

1 2

equazioni pure

3 4 5 6 7 8 9

equazioni spurie

10 11 12 13 14 15

equazioni complete

16 17 18 19 v 1.3

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83


algebra

Equazioni di secondo grado

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

v 1.3

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84


algebra

Equazioni di secondo grado

38 39 40 41

equazioni di secondo grado frazionarie

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 v 1.3

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85


algebra

Equazioni di secondo grado equazioni di secondo grado di vario tipo

57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 v 1.3

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86


algebra

Equazioni di secondo grado

76 77 78 79 80

v 1.3

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87


algebra

Equazioni parametriche delle seguenti equazioni parametriche trova il valore di k affinché:

• 1

• • •

• • 2

• • • •

• 3

• • •

• 4

• • •

• 5

• • • •

v 1.2

le radici siano reali ed uguali una radice sia 0 una radice sia 3 la somma delle radici sia -3

Soluzioni

• •

una radice sia 0 le radici siano coincidenti le radici siano opposte una radice sia reciproca dell’altra il prodotto delle radici sia 1/2 la somma dei reciproci delle radici sia 5

• • • • • •

le radici siano non reali le radici siano concordi le radici siano antireciproche una radice sia tripla dell’altra

Soluzioni

Soluzioni

• •

le radici siano reali ed uguali le radici siano opposte il prodotto delle radici sia 1 la somma dei quadrati delle radici sia 7

una radice sia -7 le radici siano uguali la media delle radici sia il prodotto delle radici uguale alla somma delle stesse la somma dei reciproci delle radici sia 4/3

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• •

Soluzioni

• •

• •

Soluzioni

• • •

88


algebra

• 6

• • • •

7

• • •

• 8

• • •

Equazioni parametriche

una radice sia 1 la somma dei reciproci delle radici sia la somma dei reciproci dei quadrati delle radici sia 2 la somma dei cubi delle radici sia 1 la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia 9/8

una radice sia tripla dell’altra la somma dei quadrati delle radici sia 12 la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 20/9

le radici siano uguali una radice sia 1/2 una radice sia una radice sia doppia dell’opposto dell’altra

• • • •

• •

Soluzioni

• •

Soluzioni

• •

• 9

Soluzioni

Soluzioni

10

• •

Soluzioni

v 1.2

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89


Equazioni parametriche

algebra

11

12

La media delle radici sia 3

soluzioni reali • l’equazione sia spuria • l’equazione sia pura • la somma dei reciproci delle radici sia •

• • •

• soluzioni coincidenti • il quadrato della somma delle radici è quattro volte il • quadrato del prodotto • • la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 2

soluzioni siano reali • una radice sia -1/4 • la somma dei reciproci delle radici sia -7 • la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia 180 •

15

v 1.2

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Soluzioni

• 14

Soluzioni

13

Soluzioni

• •

Soluzioni

Soluzioni

• •

90


algebra

Equazioni di grado superiore al secondo di vario tipo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 v 1.2

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91


algebra

Equazioni di grado superiore al secondo

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

v 1.2

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92


algebra

Sistemi di equazioni di secondo grado fratte

1

2

3

4

5

6

v 1.0

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93


algebra

Equazioni irrazionali di vario tipo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

v 1.4

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94


algebra

Equazioni irrazionali

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

v 1.4

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95


algebra

Equazioni con valore assoluto di vario tipo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 v 1.3

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96


algebra

Equazioni con valore assoluto

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

v 1.3

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97


algebra

Equazioni irrazionali e con valore assoluto riepilogo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 v 1.3

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98


algebra

Disequazioni di secondo grado di vario tipo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

v 1.4

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99


algebra

Disequazioni di secondo grado

18 19 20 21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

v 1.4

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100


algebra

Disequazioni di secondo grado

31

32

33

34

35

36 37 38 39 40 41 42

v 1.4

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101


algebra

Sistemi di disequazioni di secondo grado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 v 1.0

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102


algebra

Sistemi di disequazioni di secondo grado

12

13

14

15

16

17

18

v 1.0

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103


algebra

Disequazioni di grado superiore al secondo di vario tipo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 v 1.3

Š 2013 - www.matematika.it

104


algebra

Disequazioni di grado superiore al secondo

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

v 1.3

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105


algebra

Disequazioni irrazionali

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

v 1.4

Š 2013 - www.matematika.it

106


algebra

Disequazioni irrazionali

17 18 19 20 21 22 23 24

v 1.4

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107


algebra

Disequazioni in valore assoluto

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

v 1.3

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algebra

Disequazioni in valore assoluto

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

42

v 1.3

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algebra

Disequazioni e sistemi di disequazioni

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11

12

13

14

v 1.4

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110


geometria piana

Problemi di geometria sui criteri di congruenza

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.5

E’ dato il triangolo isoscele ABC; sulla base AB si prendano i punti R e S tali che AR ≅ BS. Dimostrare che il triangolo CSR è isoscele.

Dato un triangolo ABC, si prolunghi la mediana AM di un segmento MP ≅ AM. Dimostrare che BP ≅ AC e PC ≅ AB.

E’ dato il triangolo isoscele ABC; si prolunghi la base AB da ambo le parti, e su detti prolungamenti si prendano due punti D ed E tali che AD ≅ BE. Dimostrare che CDE è un triangolo isoscele. I triangoli ABC e PQR sono equilateri ed è AB ≅ PQ. Dimostrare che i due triangoli sono congruenti.

E’ dato un triangolo isoscele; dimostrare che i punti medi dei lati sono vertici di un triangolo isoscele. Dimostra che in ogni triangolo isoscele le mediane relative ai lati uguali sono uguali.

Dimostra che in ogni triangolo isoscele le bisettrici relative agli angoli uguali sono uguali.

Nel triangolo isoscele ABC, di base AB, sia G il punto di incontro delle mediane AM e BN relative ai lati uguali; dimostra che i triangoli AGN e BGM sono uguali.

Del triangolo isoscele ABC, di base AB, sia CD la bisettrice dell’angolo . Considera sui lati ≅ obliqui AC e BC, rispettivamente, due punti P e Q tali che AP BQ. Dimostra che il triangolo PDQ è isoscele. Sia X Y un angolo la cui bisettrice è OM; sui lati OX e OY si considerino rispettivamente i punti A e B tali che OA ≅ OB e sia C il punto di intersezione di OM con AB. Dimostrare che AC ≅ BC.

Sia OM la bisettrice di un angolo qualsiasi di vertice ; sui lati dell’angolo si prendano due segmenti congruenti OA e OB. Dimostrare che le congiungenti i punti A e B con un punto qualunque C della bisettrice OM sono congruenti. Del triangolo isoscele ABC si consideri la mediana AH relativa alla base BC ed un suo punto P; la retta BP incontra AC in K e la retta CP incontra AB in T. Dimostrare che BK è congruente a CT.

Si prolunghi l’altezza AH del triangolo ABC di un segmento HP ≅ AH. Dimostrare che i triangoli ABP e ACP sono isosceli. Sia AM una mediana del triangolo qualunque ABC. Sul prolungamento di AM dalla parte di M si costruisca un segmento MP ≅ AM. Dimostrare che il triangolo ACM è congruente al triangolo BMP.

Si conducano le bisettrici di due angoli di un triangolo equilatero e si congiunga il loro punto di intersezione con i tre vertici; dimostrare che si ottengono tre triangoli congruenti tra loro. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria sulle rette parallele

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.3

Uno degli angoli coniugati interni che due rette parallele formano con una trasversale misura 55°; calcola le ampiezze degli altri sette angoli.

Considera due rette AB e CD parallele tra loro e una trasversale PQ che incontra AB in O e CD in V; dimostra che le bisettrici degli angoli VOB e QVD sono parallele. Considera due rette AB e CD parallele tra loro e una trasversale PQ che incontra AB in O e CD in V; dimostra che le bisettrici degli angoli VOB e CVO sono parallele.

Considera un triangolo ABC; dal vertice B traccia la parallela ad AC e su questa prendi un segmento BD ≅ AB, in modo che D stia dalla stessa parte di C rispetto ad AB. Dimostra che AD è bisettrice dall’angolo BAC. Dato l’angolo AOB, per il punto C del lato OA conduci la parallela ad OB e su di essa prendi un segmento CD ≅ CO in modo che D stia dalla stessa parte di B rispetto ad AO. Dimostra che OD è la bisettrice dell’angolo dato.

Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Prolunga il segmento BC di un segmento CE ≅ AC e dimostra che AE è parallela alla bisettrice dell’angolo ACB. La retta PQ è parallela al lato AB del triangolo ABC e passa per il vertice C; dimostra che l’angolo PCQ è la somma degli angoli interni del triangolo e deduci che “la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°”. E’ dato il triangolo ABC; la bisettrice dell’angolo esterno al triangolo di vertice C è parallela ad AB; dimostra che il triangolo dato è isoscele.

Si conduca per il vertice C del triangolo isoscele ABC la retta PQ parallela alla base AB; dimostra che PQ è bisettrice dell’angolo esterno del triangolo di vertice C. Due rette parallele a e b incontrano la trasversale t rispettivamente in A e B. L’asse del segmento AB incontra la retta a in P e la retta b in Q. Dimostra che t è la bisettrice dell’angolo PBQ. Dato un punto P del lato AC del triangolo isoscele ABC, da esso si mandi la perpendicolare alla base AB e sia Q il punto in cui questa incontra la retta BC. Dimostra che il triangolo PCQ è isoscele. Per i tre vertici di un triangolo conduci le parallele ai lati opposti. Dimostra che i tre triangoli ottenuti sono congruenti a quello dato. Nel triangolo qualunque ABC prolunga la mediana BM di un segmento MD ≅ BM; dimostra che AD è parallelo a BC.

E’ dato l’angolo X Y; si prendano sulla sua bisettrice un punto P e l’asse del segmento OP che incontra XO in Q. Dimostra che YO è parallelo a QP.

Del triangolo isoscele ABC con base BC si considerino i punti B’ e C’ simmetrici di B e C rispetto ad AC ed AB rispettivamente; dimostra che il segmento B’C’ è parallelo a BC. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria

sui criteri di congruenza e le proprietà degli angoli di un triangolo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.4

Dimostra che in un triangolo isoscele le altezze relative ai lati congruenti sono congruenti e che la retta passante per i piedi di tali altezze è parallela alla base.

Del triangolo rettangolo ABC, retto in A, considera la bisettrice AD dell’angolo retto e la perpendicolare a questa passante per B che interseca AC in P; dimostra che DP ≅ BD.

E’ data la bisettrice AO dell’angolo BAC del triangolo acutangolo ABC; la perpendicolare ad AO condotta da B la incontra in P. Dimostrare che la retta parallela ed AC condotta da P incontra AB nel suo punto medio. Determina le misure delle ampiezze degli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa divide l’angolo in due parti di cui una è 4/5 dell’altra.

Dimostra che il punto medio della base di un triangolo isoscele è equidistante dai due lati congruenti. Dimostra che in un triangolo gli estremi di un lato sono equidistanti dalla retta della mediana relativa al lato stesso.

E’ dato un triangolo rettangolo isoscele ABC, retto in A; per A, esternamente al triangolo, traccia una retta qualsiasi e conduci i segmenti ad essa perpendicolari BH e CK. Dimostra che HK è congruente alla somma di BH con CK. Due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato, la mediana e l’altezza ad esso relativa; dimostra che i due triangoli sono congruenti.

L’angolo di vertice A del triangolo ABC misura 45°; la perpendicolare ad AB per il suo punto medio interseca AC nel punto P; dimostra che Sia BH l’altezza relativa al lato AC del triangolo isoscele ABC; dimostra che l’angolo HBC è congruente alla metà dell’angolo al vertice A.

Sia A il vertice dell’angolo retto del triangolo rettangolo ABC; da C si conduca la perpendicolare ad AC e su di essa, nel semipiano contenente B, si prenda il segmento CD ≅ CA. Dimostra che AD è bisettrice dell’angolo in A. Nel triangolo ABC, la mediana relativa al lato maggiore AB è congruente alla metà di AB; dimostra che il triangolo dato è rettangolo in C. E’ dato il triangolo isoscele ABC di vertice A; il punto D del lato AB è tale che l’angolo DCB è congruente alla metà dell’angolo al vertice; dimostra che l’angolo CDB è 90°.

E’ dato il triangolo rettangolo ABC; siano AM, AH e AD rispettivamente la mediana e l’altezza relativa all’ipotenusa BC e la bisettrice dell’angolo retto A; dimostra che AD è anche bisettrice dell’angolo .

Dimostra che in ogni triangolo rettangolo le proiezioni di un cateto sull’ipotenusa e sulla retta della mediana relativa all’ipotenusa sono congruenti. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria quadrilateri particolari

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.5

Dimostra che se in un trapezio gli angoli adiacenti ad una base sono congruenti allora il trapezio è isoscele.

Dimostra che in un trapezio isoscele gli estremi di una base e il punto medio dell’altra sono i vertici di un triangolo isoscele.

Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e D, la base maggiore AB è doppia della base minore CD ed è congruente al lato BC. Dimostra che il triangolo ABC è equilatero. È dato il triangolo rettangolo ABC; sia AD la bisettrice dell’angolo retto A. Preso sul cateto AC un punto E tale che AE ED, dimostra che il quadrilatero ABDE è un trapezio rettangolo in A ed E. Dagli estremi A e C della diagonale minore di un parallelogramma ABCD conduci le perpendicolari AH e CK alla diagonale maggiore. Dimostra che AHCK è un parallelogrammo e che DH è congruente a KB.

Sia ABCD un parallelogramma (AB>BC); dimostra che il punto d’intersezione delle diagonali è equidistante da BC e AD. Dimostra che due parallelogrammi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e le due diagonali. Nel triangolo ABC, retto in A, la retta della mediana relativa al cateto AB incontra in D la perpendicolare in B ad AB; Dimostra che ADBC è un parallelogramma. Da un punto E qualsiasi della base BC del triangolo isoscele ABC conduci le parallele ai lati AB ed AC. Indica con M ed N le intersezioni di tali parallele con AB e AC; dimostra che AB ME+EN. Dimostra che i punti medi dei lati di un parallelogramma sono vertici di un parallelogramma.

Dimostra che i punti medi dei lati di un rombo sono vertici di un rettangolo; parimenti i punti medi dei lati di un rettangolo sono vertici di un rombo.

Nel parallelogramma ABCD, il lato AB è congruente alla diagonale AC; unito A con il punto medio M di BC, si prolunghi il segmento AM del segmento ME AM. Dimostra che il quadrilatero ABEC è un rombo. Considera un angolo A C e per un punto qualsiasi E della sua bisettrice conduci le parallele ai lati; indica con M ed N i punti in cui esse incontrano rispettivamente i lati AB e BC. Dimostra che il quadrilatero BNEM è un rombo.

E’ dato l’angolo A C; sui lati BC e BA si fissino due punti P e Q tali che BP≅BQ; da P si conducano le perpendicolari ai lati, e così pure da Q; esse si incontrano in D ed E. Dimostra che il quadrilatero DPEQ è un rombo. Dato un rettangolo ABCD, si conduca una retta attraverso ogni vertice in maniera tale che sia perpendicolare alla diagonale avente tale vertice come uno degli estremi. Dimostra che il quadrilatero formato da queste rette è un rombo. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria fascio di rette parallele

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.4

Le semirette r e s hanno l’origine comune nel punto O; sulla semiretta r prendi due punti A e B tali che OA AB, e sulla semiretta s due punti C e D tali che OC CD. Dimostra che il quadrilatero ABDC è un trapezio la cui base minore misura metà della maggiore. È dato un triangolo qualunque; dimostra che i punti medi dei lati e il piede di un’altezza sono i vertici di un trapezio isoscele.

Dimostra che il segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui di un trapezio è parallelo alle basi ed è uguale alla semisomma delle basi. In un trapezio rettangolo unisci il punto medio del lato obliquo con gli estremi del lato opposto; dimostra che il triangolo ottenuto è isoscele.

Siano M ed N i punti medi dei lati AB e CD del parallelogrammo ABCD. Dimostra che i segmenti AN e CM dividono la diagonale BD in tre parti congruenti. Considera la mediana BM relativa al lato AC del triangolo ABC; sia L il punto medio di BM. Dimostra che la retta AL divide il lato BC in due parti misuranti una il doppio dell’altra.

Di un triangolo isoscele considera il punto medio di un lato e la perpendicolare alla base condotta da questo punto. Dimostra che la base rimane così divisa in due parti tali che una misura il triplo dell’altra. Sia AB la base del triangolo isoscele ABC e AM la mediana relativa al lato BC; detto N il punto medio di AB, dimostra che MN MB.

In un quadrilatero qualunque dimostra che i segmenti che uniscono i punti medi dei lati opposti si dividono scambievolmente a metà. Sia r una retta esterna al parallelogrammo ABCD. Dette A’, B’, C’ e D’ le proiezioni su r di A, B, C e D, dimostra che A’D’ B’C’.

Sia M il punto medio del lato BC del triangolo ABC. Dal punto medio N di AB manda la parallela ad AM che incontra BC in P e la retta AC in Q. Dimostra che CQ 3/2AC e che NM AQ. Siano M, N e P i punti medi dei lati AB, AC e BC del triangolo ABC. Dimostra che i triangoli MNP, ANM, MPB e NCP sono congruenti.

Sull’ipotenusa AB del triangolo rettangolo ABC si prenda un punto P tale che AP 2PB. Dimostra che la distanza del punto P dal cateto BC è congruente alla terza parte di AC.

Si consideri il triangolo ABC e siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati AB e AC; prolungato il segmento MN di un segmento ND MN, dimostra che MBCD è un parallelogrammo con perimetro congruente alla somma di AB e il doppio di BC. Nel parallelogrammo ABCD il punto medio di AB è M e il punto medio di DM è N. Dimostra che la retta AN divide la diagonale BD in due parti di cui una è doppia dell’altra. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria relativi alla circonferenza

Dimostra che in ogni circonferenza il diametro perpendicolare ad una corda dimezza gli archi sottesi.

1

In una circonferenza sono date due corde parallele condotte dagli estremi di un diametro; dimostra che le due corde sono congruenti.

2

Dimostra che due corde sono congruenti se formano, con il diametro passante per il loro eventuale punto comune, angoli congruenti.

3

I prolungamenti di due corde congruenti AB e CD di una circonferenza si incontrano nel punto E esterno alla circonferenza. Dimostra che i segmenti AE e CE, BE e DE sono congruenti.

4

In una circonferenza γ è data una corda che non è un diametro; dimostra che ogni altra corda passante per il suo punto medio è maggiore di quella data.

5

Dimostra che le tangenti ad una circonferenza passanti per gli estremi di un diametro sono parallele; inversamente, dimostra che due tangenti ad una circonferenza parallele tra loro toccano la circonferenza negli estremi di un diametro.

6

Considera due punti P e Q sulla retta t tangente nel punto T ad una circonferenza di centro C in modo che valga PT=QT; dimostra che P e Q sono equidistanti da C.

7

E’ dato il triangolo ABC; conduci la parallela al lato BC che incontra i lati AB e AC rispettivamente in P e Q in modo che la circonferenza APQ sia tangente al lato BC nel punto D. Dimostra che il triangolo PQD è isoscele e che AD è bisettrice dell’angolo in A.

8 9 10 11 12 13 14 15

Sono date due circonferenze di diametri AB e CD paralleli e congruenti. Dimostra che se le due circonferenze sono secanti e il quadrilatero di vertici A, B, C e D è un rettangolo, il lato BC è minore del lato AB.

Due circonferenze congruenti sono secanti nei punti A e B. Dimostra che gli archi delimitati da tali punti su una circonferenza sono congruenti agli archi delimitati dagli stessi punti sull’altra.

Dimostra che l’angolo formato dalle rette che congiungono due vertici di un triangolo con il centro della circonferenza ad esso circoscritta misura il doppio del terzo angolo. Siano A B un angolo alla circonferenza e VC la sua bisettrice; condotta da C la corda CD parallela a VB, dimostra che CD≅AV.

Da un punto A di una circonferenza γ traccia una corda AB e la tangente t; sulla retta t prendi un punto C tale che AC≅AB. Dimostra che il segmento CB interseca la circonferenza in un punto D e che risulta CD≅AD. I punti P e Q dividono la semicirconferenza di diametro AB in tre archi congruenti. Sulla retta AP considera il segmento PD congruente al raggio e sulla retta AQ il segmento QC congruente ad AQ. Dimostra che il quadrilatero ABCD è un rombo.

Due circonferenze γ e γ’ sono secanti nei punti A e B; la tangente in A a γ interseca ulteriormente γ’ in Q; la tangente in A a γ’ interseca γ in P. Dimostra che i triangoli ABP e ABQ hanno gli angoli congruenti.

v 1.3

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geometria piana

Problemi di geometria sui punti notevoli del triangolo

1 2 3 4 5

Dimostra che il baricentro del triangolo ABC coincide con il baricentro del triangolo MNP con M, N, P punti medi dei lati del triangolo dato. E’ dato il trapezio rettangolo ABCD, rettangolo in A e D, con la base maggiore AB ≅ 2CD. La perpendicolare a CB in B incontra la retta AD in P; dimostra che l’ortocentro del triangolo BPD coincide col punto medio di AB. Sia O l’ortocentro del triangolo ABC; dimostra che B è l’ortocentro del triangolo AOC.

Dimostra che in un triangolo rettangolo il circocentro è il punto medio dell’ipotenusa.

Il baricentro del triangolo ABC coincide col circocentro. Dimostra che ABC è equilatero.

6

Il circocentro del triangolo ABC coincide con l’incentro. Dimostra che ABC è equilatero.

7

Sia O l’incentro del triangolo ABC; la parallela a BC passante per O incontra AB in P e AC in Q. Dimostra che il segmento PQ è congruente alla somma dei segmenti BP e CQ.

8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.3

Nel triangolo rettangolo ABC sia BH l’altezza relativa all’ipotenusa, N il punto medio del segmento HC e M il punto medio del segmento BH. Dimostra che M è l’ortocentro del triangolo ABN. Il triangolo ABC è tale che l’angolo B C misura il doppio dell’angolo A C. Per l’incentro O del triangolo conduci la parallela ad AB che interseca BC in D; dimostra che OA ≅ OD ≅ DB.

Nel triangolo rettangolo ABC retto in B, BC>AB; la circonferenza di centro l’incentro O e raggio AO incontra i prolungamenti di AO ed AB in M ed N rispettivamente. Dimostra che MN è parallelo a BC. In un triangolo ABC le mediane BM e CN sono uguali. Dimostra che il triangolo è isoscele.

Dimostra che gli assi dei segmenti che congiungono l’incentro di un triangolo equilatero con gli estremi di un lato dividono uno dei lati in tre parti congruenti. Del triangolo rettangolo ABC retto in A considera il baricentro G e la sua proiezione P su un cateto. Dimostra che il perimetro del triangolo ABC misura il triplo di quello del triangolo AGP.

Nel triangolo rettangolo ABC sia AH la proiezione del cateto minore AB sull’ipotenusa. Le rette parallele ai cateti condotte da H incontrano la retta della mediana relativa all’ipotenusa in K e L. Dimostra che i circocentri dei triangoli ABC e HKL coincidono. E’ dato un trapezio rettangolo in A e D con la base minore AB congruente al lato BC; la bisettrice dell’angolo B incontra la base CD in P e la retta AD in Q. Dimostra che P è l’ortocentro del triangolo ACQ. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria poligoni inscritti e circoscritti

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.5

Dimostra che ogni trapezio isoscele con il lato obliquo congruente alla semisomma delle basi è circoscrittibile ad una circonferenza. Considera un trapezio ABCD rettangolo in A e D circoscritto a una semicirconferenza. Dimostra che il centro della semicirconferenza è il punto medio di AD.

Il quadrilatero ABCD ha gli angoli e che misurano rispettivamente 65° e 117°; calcola il valore delle ampiezze degli altri angoli sapendo che il quadrilatero è inscritto in una circonferenza.

Dagli estremi A e B del diametro della circonferenza γ conduci le corde AC e BD parallele tra loro. Dimostra che il quadrilatero ABCD è un rettangolo.

Data una circonferenza γ, dimostra che conducendo le tangenti da due suoi diametri si ottiene un rombo circoscritto alla circonferenza. Dal punto P esterno alla circonferenza γ manda due secanti PA e PC le cui parti esterne sono rispettivamente PB e PD e tali che PB≅BD; dimostra che il triangolo PAC è isoscele.

Il trapezio isoscele ABCD è circoscritto alla circonferenza γ; sapendo che la base maggiore è tripla della minore, dimostra che gli angoli adiacenti alla base maggiore misurano 60°. Da un punto P esterno ad una circonferenza γ manda due secanti che intercettino su γ segmenti di uguale lunghezza. Dimostra che i quattro punti d’intersezione di dette secanti con γ sono i vertici di un trapezio isoscele.

Dimostra che in ogni triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta misura il doppio del raggio della circonferenza inscritta al triangolo. E’ dato il triangolo acutangolo ABC; siano AH e BK le altezze relative ai lati BC e AC. Dimostra che il quadrilatero ABHK è inscrivibile in una circonferenza. Dimostra che le bisettrici di un quadrilatero convesso individuano un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza.

E’ dato l’esagono regolare ABCDEF di centro O; sia P il punto in cui si incontrano le rette AB e CD. Dimostra che il quadrilatero APCO è inscrivibile in una circonferenza. Il quadrilatero ABCD ha il perimetro congruente a 4 AD ed è circoscritto ad una circonferenza; dimostra che AB+CD≅2AD. E’ dato l’arco AB della circonferenza γ ed il suo punto medio P; le corde PD e PE intersecano la corda AB in F e H. Dimostra che DEHF si può inscrivere in una circonferenza. Del triangolo rettangolo ABC considera l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC; sul cateto AB prendi il punto P tale che AP≅AH e sul cateto AC il punto Q tale che CQ≅HC; dimostra che il quadrilatero APHQ è inscrivibile in una circonferenza. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria

sulla equivalenza delle figure piane 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.3

Dimostra che le tre mediane di un triangolo lo dividono in sei triangoli equivalenti.

Dimostra che in un triangolo, congiungendo il baricentro con i tre vertici, si ottengono tre triangoli equivalenti.

In un triangolo ABC, il punto P di AC è tale che i triangoli APB e PBC siano equivalenti. Dimostra che P è il punto medio di AC. Nel triangolo ABC, P è un punto di AB. Considera il punto medio M di CP e dimostra che ABC è equivalente al doppio di AMB.

Dimostra che in un trapezio il punto comune alle diagonali e i lati obliqui individuano due triangoli equivalenti. Inversamente, dimostra che se in un quadrilatero convesso il punto comune alle diagonali e gli estremi di due lati non consecutivi formano triangoli equivalenti, allora il quadrilatero è un trapezio. Considera il triangolo formato dagli estremi di un lato obliquo di un trapezio e il punto medio del lato opposto; dimostra che il triangolo è equivalente alla metà del trapezio.

Dimostra che il segmento che unisce i punti medi delle basi di un trapezio qualsiasi individua due trapezi equivalenti tra loro. Dimostra che qualsiasi trapezio è equivalente a un parallelogramma che ha per altezza quella del trapezio e per base in segmento che unisce i punti medi dei lati del trapezio.

Per i vertici di un quadrilatero convesso manda le parallele alle diagonali. Dimostra che il quadrilatero così ottenuto è un parallelogrammo equivalente al doppio del quadrilatero dato.

Nel triangolo ABC, il cui angolo B è ottuso, sia AD la bisettrice dell’angolo A e P la proiezione di B su detta bisettrice. Dimostra che vale ABC 2APC. Un trapezio rettangolo ha l’altezza congruente alla somma delle basi; dimostra che l’asse del lato obliquo divide il trapezio in due parti equivalenti.

Dimostra che un rettangolo avente per dimensioni i cateti di un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e l’altezza relativa all’ipotenusa dello stesso triangolo. Un trapezio ha la base maggiore doppia della minore; unisci il punto medio della base maggiore con i punti medi degli altri tre lati e con gli estremi della base minore; dimostra che i sei triangoli così ottenuti sono tra loro equivalenti. Per un punto di una delle diagonali di un parallelogrammo conduci le parallele ai lati. Dei quattro parallelogrammi così ottenuti dimostra che i due che non sono attraversati dalla diagonale sono equivalenti. Il triangolo ABC è retto in B; considera la bisettrice dell’angolo A che incontra il cateto BC in Q. Sul prolungamento dell’ipotenusa, dal lato di C, prendi il punto P tale che CP≅AB; dimostra che ABC AQP. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria sulla similitudine

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.3

Dato il triangolo rettangolo ABC, da un punto D dell’ipotenusa BC conduci la perpendicolare a BC che incontra la retta AB in E e la retta AC in F. Dimostra che i triangoli ABC e AEF sono simili. Dimostra che in ogni triangolo i punti medi dei tre lati individuano un triangolo simile al dato.

Dimostra che in ogni triangolo le corde parallele ad un lato sono divise in due parti congruenti dalla mediana relativa allo stesso lato. In un trapezio rettangolo la diagonale minore è perpendicolare al lato obliquo. Dimostra che l’altezza è media proporzionale tra la base minore e la differenza delle basi.

Da un punto P del lato AD di un trapezio ABCD conduci la parallela alle basi AB e DC; questa incontra AC, BD e BC rispettivamente in E, F e Q. Dimostra che i segmenti PQ e EF hanno lo stesso punto medio. Nel triangolo ABC l’angolo ABC misura il doppio di BAC; sia BD la bisettrice dell’angolo ABC. Dimostra che BC è medio proporzionale tra AC e CD.

In un triangolo equilatero ABC si considerino la bisettrice dell’angolo interno di vertice A e la bisettrice dell’angolo esterno di vertice B; detto P il loro punto di intersezione e H la sua proiezione sulla retta AB, dimostra che i triangoli APH e BPH sono simili.

In un triangolo isoscele ABC di base BC la bisettrice dell’angolo alla base di vertice B e dell’angolo esterno di vertice C si incontrano nel punto P; sia PH la distanza di P dalla retta BC; dimostra che i triangoli BPH e CPH sono simili. Su un lato dell’angolo di vertice A si prenda un punto P e sull’altro lato si prendano i punti Q e R tali che AQ=1/2AP e AR=2AP. Dimostra che i triangoli APQ e APR sono simili. Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza; dimostra che le diagonali lo dividono in quattro triangoli dei quali quelli non adiacenti sono simili. Dimostra che in un triangolo la corda parallela ad un lato e passante per il baricentro è congruente ai 2/3 del lato a cui è parallela.

Dimostra che in ogni triangolo le parallele ai tre lati condotte per il baricentro dividono ciascun lato in tre parti congruenti. Due circonferenze congruenti sono secanti nei punti A e B. Da un punto del prolungamento del segmento AB si conducano i segmenti di tangenza alle due circonferenze; dimostra che i due segmenti sono congruenti. Il trapezio isoscele ABCD è inscritto nella circonferenzaγ; preso un punto P su γ, la retta AP interseca CD in Q. Dimostra che i triangoli DPQ e BCP sono simili. Nella semicirconferenza di diametro BC è inscritto il triangolo ABC; da un punto P di BC si tracci la perpendicolare a BC stesso che incontra la semicirconferenza in Q e le rette AC e AB rispettivamente in R e S. Dimostra che PB∙PC=PR∙PS=PQ2. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria

sul primo teorema di Euclide con risoluzione di equazione di I grado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.3

In un triangolo rettangolo il rapporto delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è di 9/16 e il cateto maggiore misura 40 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo. [600cm2; 120 cm] In un triangolo rettangolo il rapporto tra un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa è di 5/3 e il perimetro del triangolo è di 60 cm. Calcola l’ area del triangolo. [150cm2]

Dal punto P esterno alla circonferenza γ di centro O conduci la secante PO che interseca γ in A e B (AP>BP) e la tangente PT. La proiezione H di T su AB dista 16 cm da A e 4 cm da B. Calcola la misura del segmento BP. [20/3 cm] Un trapezio isoscele è inscritto in un semicerchio; la lunghezza dei suoi lati obliqui è 30 cm e il raggio della semicirconferenza è di 25 cm. Calcola perimetro e area del trapezio. [124 cm, 768cm2]

In un triangolo rettangolo il rapporto tra l’ipotenusa e il cateto minore è 13/5; calcola il rapporto tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. [ ]

In un triangolo rettangolo la differenza delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è 7 cm e la somma dell’ipotenusa e della proiezione del cateto maggiore su di essa è di 41 cm. Calcola le misure dei cateti. [15 cm, 20cm]

Le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stanno tra loro come 16 sta 9; determina la misura dei lati del triangolo sapendo che la somma dei cateti è 70 m. [30 m; 40 m; 50 m]

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 25 cm e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stanno tra loro come 9 sta a 16. Calcola il perimetro del triangolo. [60 cm]

L’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo la divide in due parti di cui una è 32 m e l’altra è minore del cateto adiacente di 12 m. Determina tale cateto e l’altezza relativa all’ipotenusa. [30 m; 24 m] Il perimetro di un triangolo rettangolo è di 120 cm e il rapporto tra il cateto minore e la sua proiezione sull’ipotenusa è 5/3; determina l’ipotenusa del triangolo. [50 cm]

In un triangolo rettangolo il cateto maggiore supera l’altezza relativa all’ipotenusa di 8 cm, mentre la proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa è di 16 cm. Trova il perimetro del triangolo. [60 cm] Una corda di un circonferenza di raggio 30 cm è 8/5 del raggio; dagli estremi della corda traccia le tangenti alla circonferenza e calcola la distanza tra il punto di incontro delle tangenti e il centro della circonferenza. [50 cm] In un triangolo rettangolo il rapporto delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è di 16/9. Calcola il perimetro del triangolo sapendo che il doppio del cateto minore supera il maggiore di 5 cm. [ cm]

Un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza; la somma della diagonale e dell’altezza del trapezio è di 128 cm e la loro differenza è di 32 cm. Calcola l’area del trapezio. [3072 cm2 ] In un trapezio isoscele le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui; le proiezioni di una diagonale e di un lato obliquo sulla base maggiore misurano rispettivamente 32 cm e 18 cm. Determina l’area e il perimetro del trapezio. [768 cm2; 124 cm] © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria

sul II teorema di Euclide con risoluzione di equazione di I grado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.3

In un triangolo rettangolo un cateto misura 15 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa 9 cm; calcola l’area e il perimetro del triangolo. [150 cm2; 60 cm] Nel triangolo rettangolo ABC le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa BC misurano 36 cm e 64 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo. [2400 cm2; 240 cm]

Nel rombo ABCD la diagonale maggiore misura 80 cm e il raggio della circonferenza inscritta 24 cm. Trova l’area del rombo. [2400 cm2]

In un trapezio rettangolo la diagonale minore risulta perpendicolare al lato obliquo. Calcola perimetro e area del trapezio sapendo che la base minore misura 9/5 cm e l’altezza 12/5 cm. [66/5 cm; 204/25 cm2]

Un triangolo rettangolo è inscritto nella circonferenzaγ; l’altezza relativa all’ipotenusa vale 12 cm e la proiezione di un cateto su di essa ne misura 9; calcola il raggio di γ. [12,5 cm]

Il rombo ABCD è circoscritto ad una circonferenza di centro O; trova la misura del lato del rombo e quella del raggio della circonferenza sapendo che BO=40 cm e che la sua proiezione sul lato del rombo è 32 cm. [50 cm; 24 cm] La circonferenza γ è circoscritta al triangolo ABC il cui diametro coincide col lato AB; detto T il punto di intersezione tra la tangente alla circonferenza nel punto B e la retta del lato AC, calcola il raggio della circonferenza sapendo che BC=12 cm e TC=9 cm. [10 cm] Nel rettangolo ABCD l’estremo A dista 24 cm dalla diagonale BD e divide la stessa in due parti, di cui la minore misura 18 cm. Trova l’area e il perimetro del rettangolo. [1200 cm ; 140 cm] 2

Il raggio della circonferenza inscritta nel rombo ABCD è 16 cm e la distanza dell’estremo B dal punto di contatto tra il rombo e la circonferenza è 4 cm. Trova l’area e il perimetro del rombo. [272 cm; 2176 cm2] Il punto P dell’altezza CH del triangolo equilatero ABC è tale che l’angolo A B è retto. Sapendo che il lato del triangolo misura 30 cm, calcola la misura di PH. [15 cm]

In una circonferenza di diametro AB=100 cm è inscritto il trapezio isoscele ABCD la cui base minore vale 28 cm; calcola la misura del perimetro e l’area del trapezio. [3072 cm2; 248 cm]

Un quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza ed ha le diagonali perpendicolari; la diagonale BD coincide col diametro e la diagonale AC la divide in due parti BH e DH che misurano rispettivamente 16 m e 9 m; calcola perimetro e area del quadrilatero. [70 m; 300 m2] Il trapezio isoscele ABCD è circoscritto ad una circonferenza che tocca il lato obliquo BC nel punto T, distante 9 cm da C e 16 cm da B; calcola il perimetro e area del trapezio. [100 cm; 600 cm2] Una circonferenza di centro C ha il diametro AB=50 cm; una corda PQ perpendicolare al diametro dista 7cm da C. Calcola l’area e il perimetro del quadrilatero APBQ. [1200 cm2; 140 cm]

Il trapezio isoscele ABCD è inscritto in una circonferenza di diametro AB=50 cm e ha la base minore di 14 cm; calcola il perimetro e l’area del trapezio. [768 cm2; 124 cm] © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria

sul teorema di Pitagora con la risoluzione di equazioni di I grado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

v 1.4

La somma dei cateti di un triangolo rettangolo è di 49 cm e il loro rapporto è ¾; calcola il perimetro e l’area del triangolo. [84 cm; 294 cm2] L’area di un rombo misura 96 cm2 ed il perimetro 40 cm; calcola le misure delle diagonali sapendo che il loro rapporto è 4/3. [12 cm; 16 cm]

In un trapezio isoscele la somma delle basi è di 64 cm. Calcola il perimetro del trapezio sapendo che la base maggiore supera la minore di 36 cm e che l’altezza supera la base minore di 10 cm. [124 cm] Il punto P del cateto AC del triangolo rettangolo ABC dista 20 cm dal vertice A dell’angolo retto. Sapendo che il perimetro del triangolo è 90 cm e che AB:BP=3:5, determina le misure delle aree dei triangoli ABC e ABP. [270 cm2; 150 cm2]

In un rombo la somma di un lato e la metà di una diagonale è 45 cm. Determina il lato sapendo che l’altra diagonale è 30 cm. [25 cm] Il perimetro di un triangolo rettangolo è di 240 m e i cateti stanno tra loro come 12 sta a 5. Calcola la lunghezza del lati del triangolo. [40 m; 96 m; 104 m]

Un trapezio isoscele ha le basi che misurano 25 cm e 13 cm; trova l’area e il perimetro del trapezio sapendo che il lato obliquo supera di 2 cm l’altezza del trapezio. [152 cm2; 58 cm] Nel triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa BC è 13/12 del cateto maggiore AB, e l’altro cateto misura 5 cm. Calcola perimetro e area del triangolo. [30 cm; 30 cm2] In un triangolo rettangolo un cateto è i ¾ dell’altro e la loro somma misura 35 m; determina la misura del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo. [5 m]

Una dimensione di un rettangolo è 27 cm ed è congruente ai 9/4 dell’altra. Determina la lunghezza della diagonale di un altro rettangolo equivalente ai 4/3 del rettangolo precedente ed avente un lato di 18 cm. [30 cm] Determina le misure dell’area e del perimetro di un trapezio rettangolo avente la base minore congruente ai 6/5 del lato obliquo, che misura 10 cm, sapendo che la base maggiore è lunga i 3/2 della minore. [120 cm2; 48 cm] L’asse dell’ipotenusa AB del triangolo rettangolo ABC interseca il cateto maggiore AC nel punto P distante 25 cm da A e 7 cm da C. Trova le misure del perimetro e dell’area del triangolo ABC. [96 cm; 384 cm2]

In un triangolo rettangolo un cateto misura 6 cm e la somma degli altri lati è di 18 cm; trova le misure dell’area e del perimetro del triangolo. [24 cm; 24 cm2] L’ipotenusa di un triangolo rettangolo è congruente ai 5/3 del cateto minore; calcola l’area sapendo che il perimetro del triangolo misura 96 cm. [384 cm2]

L’altezza di un rettangolo misura 48 cm e la diagonale è congruente ai 5/3 della base. Calcola il perimetro del rettangolo. [168 cm]

La somma delle diagonali di un rombo è 84 cm; calcola area e perimetro del rombo sapendo che la differenza tra la diagonale minore e i 5/12 della maggiore è 16 cm. [864 cm2; 120 cm] © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria

sull’applicazione del teorema di Pitagora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.4

In un triangolo rettangolo la mediana e l’altezza relativa all’ipotenusa sono rispettivamente di 25 cm e 24 cm; calcola perimetro e area del triangolo. [600 cm2; 120 cm] Da un punto P, esterno ad una circonferenza di centro O e raggio 12 cm, si mandi la secante PO che taglia la circonferenza in A e B (AP>BP). Calcola le lunghezze dei segmenti di tangenza condotti da P alla circonferenza sapendo che BP = 8 cm. [16 cm] Un trapezio isoscele ha le basi e l’altezza che misurano rispettivamente 16 m, 10 m e 4 m. Trova la misura del perimetro del trapezio. [36 m] Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa di 130 cm e un cateto di 120 cm. Calcola le lunghezze delle mediane relative ai cateti. [ cm]

L’area di un triangolo rettangolo è di 150 cm2 e la lunghezza di un cateto è di 20 cm. Calcola le misure dell’ipotenusa e dell’altezza relativa all’ipotenusa.

Un cateto di un triangolo rettangolo è di 40 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa è di 32 cm. Sapendo che la proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa è di 18 cm, calcola il perimetro e l’area del triangolo. [600 cm2; 120 cm]

Un quadrilatero ABCD è formato da due triangoli rettangoli aventi l’ipotenusa in comune. Il triangolo ABD ha l’area di 1014 cm2 e il cateto AB lungo 52 cm; il triangolo BCD ha un cateto lungo 60 cm. Calcola il perimetro e l’area del quadrilatero. [1764 cm2; 176 cm] Un rettangolo ha la diagonale e l’altezza che misurano rispettivamente 20 cm e 16 cm. Trova le misure del perimetro e dell’area del rettangolo. [192 cm2; 56 cm]

Il perimetro di un triangolo isoscele è di 16 cm e la base è lunga 6 cm. Calcola l’area del triangolo. [12 cm2] Calcola l’area di un quadrilatero ABCD sapendo che la diagonale AC, lunga 60 cm, lo divide in due triangoli, uno rettangolo in B avente il lato AB lungo 36 cm e l’altro isoscele sulla base AC avente il perimetro di 160 cm. [2064 cm2]

Un rettangolo ha la base e l’altezza lunghe rispettivamente 30 e 40 centimetri. Trova la lunghezza della diagonale di un quadrato avente il lato uguale alla metà della diagonale del rettangolo. Calcola l’area di un rombo sapendo che il lato è lungo 10 cm e che la diagonale minore misura 12 cm. [96 cm2]

La base maggiore, la base minore, e l’altezza di un trapezio rettangolo misurano 10 cm, 6 cm e 3 cm rispettivamente; calcola area e perimetro del trapezio. [24 cm2; 24 cm]

Un trapezio rettangolo ha l’area di 600 cm2 mentre l’altezza e la base maggiore sono lunghe rispettivamente 15 cm e 60 cm. Trova la lunghezze delle diagonali del trapezio. [25 cm; cm]

L’area di un trapezio rettangolo è di 46 cm2 e l’altezza misura 4 cm. Sapendo che la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore è di 3 cm, calcola il perimetro del trapezio. © 2013 - www.matematika.it

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geometria piana

Problemi di geometria

Problemi sui triangoli rettangoli con angoli di 60°, 30°, 45°

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.1

In un triangolo equilatero l’altezza è pari a

cm; calcola l’area e il perimetro.

In un triangolo rettangolo isoscele l’ipotenusa misura cm. Calcola l’ipotenusa di un triangolo rettangolo equivalente al primo triangolo avente un cateto metà dell’ipotenusa. Il perimetro di un triangolo rettangolo misura uno degli angoli acuti del triangolo misura 30°.

Nel triangolo ABC l’angolo misura 30° e l’angolo perimetro e l’area sapendo che il lato BC misura cm.

dm. Calcola l’area sapendo che

. Calcola la misura del

L’area di un rettangolo è . Calcola la lunghezza della diagonale sapendo che questa divide l’angolo retto in due parti di cui una è metà dell’altra.

Gli angoli adiacenti alla base minore di un trapezio misurano 120° e 135°. Sapendo che l’altezza del trapezio misura cm e che il perimetro vale cm, calcola l’area del trapezio.

Il perimetro di un trapezio rettangolo misura cm. Sapendo che la base maggiore è doppia della minore e che l’angolo acuto adiacente alla base maggiore misura 45°, calcola l’area del trapezio. Nel triangolo equilatero ABC sia D il punto in cui la bisettrice dell’angolo esterno in A incontra la perpendicolare alla stessa condotta dal punto C. Sapendo che l’area di ABCD è , calcola il perimetro dello stesso quadrilatero.

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC misura 4 cm e inoltre . Traccia la bisettrice AM dell’angolo retto, e da M conduci le perpendicolari ai cateti che incontrano AC in N e AB in P. Calcola l’area dei quadrilateri ANMP e PBMN. In un triangolo i lati che formano un angolo di 120° misurano 20 cm e 24 cm. Trova la misura dell’area e del perimetro del triangolo. Nel triangolo ABC il lato AB misura perimetro e l’area del triangolo.

cm, l’angolo

e l’angolo

. Calcola il

Nel triangolo ottusangolo ABC, ottuso in C, le proiezioni dei lati minori sul maggiore misurano 21 cm e 5 cm. Sapendo che l’altezza CH relativa ad AB misura cm, verifica che l’angolo . Sul cateto minore AB del triangolo rettangolo ABC, retto in B, prendi il punto D distante 2a dal vertice A. Sapendo che l’angolo e che AD:BD=AC:AB, trova la misura dell’area del triangolo ABC e il perimetro di BCD. Nel trapezio isoscele ABCD la base minore AB e i lati obliqui AD e BC misurano 12 cm; inoltre . Dopo aver dimostrato che le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui, calcola le misure dell’area e delle diagonali. [ ] I segmenti di tangenza PA e PB condotti dal punto P esterno alla circonferenza di centro O formano angoli di 30° con OP. Calcola il perimetro e l’area del quadrilatero APBO sapendo che OP misura 30 cm. © 2013 - www.matematika.it 125


geometria piana

Problemi di geometria

sulla sezione aurea del segmento

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.3

È dato un triangolo isoscele tale che il suo angolo al vertice è congruente alla metà di ciascun angolo alla base; dimostra che la base del triangolo è la sezione aurea del lato del triangolo.

Sia ABCDE un pentagono regolare; le diagonali AD e BD tagliano il segmento EC in tre parti. Dimostra che quella centrale è la sezione aurea di ciascuna delle due laterali, che infatti sono uguali. Dimostra che le diagonali di un pentagono regolare si dividono in parti tali che una è sezione aurea dell’altra.

Dimostra che il lato di un decagono regolare è sezione aurea del raggio della circonferenza ad esso circoscritta. Dimostra che la diagonale di un pentagono regolare è congruente alla somma del lato del pentagono con la sezione aurea del lato stesso.

Il triangolo isoscele ABC ha l’angolo al vertice A congruente ai 3/5 dell’angolo piatto. Dimostra che il lato AB è la sezione aurea della base BC.

Il triangolo rettangolo ABC retto in A ha altezza AH, e inoltre è tale che il cateto AB≅HC; dimostra che HC è la sezione aurea di BC; inversamente se HC è sezione aurea dell’ipotenusa BC, dimostra che HC≅AB. E’ dato il triangolo rettangolo ABC retto in A; la circonferenza di diametro AB (>AC), interseca ulteriormente l’ipotenusa BC in R tale che AC≅BR. Dimostra che BR è la sezione aurea di AB. Inversamente dimostra che se BR è sezione aurea di BC allora AC≅BR. Nel triangolo ABC, il lato AB è la sezione aurea di BC e AC è medio proporzionale tra AB e BC. Dimostra che il triangolo è rettangolo in A. Nel triangolo rettangolo ABC, retto in C, il cateto AC è sezione aurea dell’ipotenusa. Prolungato AC di un segmento CD≅AB, dimostra che il triangolo ACD è rettangolo.

Nel triangolo rettangolo ABC il cateto AC è la sezione aurea dell’ipotenusa AB. Dimostra che il quadrato costruito su CB è equivalente al rettangolo di lati AB e AC. Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e B, la base minore BC è la sezione aurea di AD; sapendo che la diagonale AC è perpendicolare al lato obliquo, dimostra che CD≅BC.

Nel triangolo rettangolo ABC retto in A, sia H la proiezione del vertice A sull’ipotenusa BC e sia HP la distanza del punto H da AC. Sapendo che BH≅HP, dimostra che AB è la sezione aurea di BC.

Nel triangolo rettangolo ABC retto in A sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC e D il punto in cui la bisettrice dell’angolo C interseca AB. Supposto che AD sia congruente alla distanza di H da AC, dimostra che AD è la sezione aurea di AH.

Nel triangolo rettangolo ABC retto in B di altezza BH, il cateto minore è la sezione aurea di AC; preso su AC il segmento AP≅AB, dimostra che i baricentri dei triangoli ABC e HBP coincidono. © 2013 - www.matematika.it

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geometria solida

Prismi e Piramidi: aree e volumi prisma retto

1 2 3 4 5 6

Calcolare l’area totale di un prisma avente come base un triangolo rettangolo con i cateti uguali a 3 e 4 ed altezza uguale a 0,5

Calcolare l’area laterale di un prisma a base esagonale avente lo spigolo di base uguale a 15 e l’altezza uguale alla sua terza parte Calcolare il volume di un prisma a base pentagonale avente l’area di base uguale a 3,5 ed altezza uguale allo spigolo di un cubo avente la stessa area di base Calcolare l’area laterale e quella totale di un prisma quadrangolare regolare alto 6,4 e avente il perimetro di base uguale a 2,4

Calcolare l’area laterale e quella totale di un prisma retto avente come base un trapezio isoscele e altezza uguale a 5. Le basi del trapezio misurano rispettivamente 20 e 38 e la sua altezza è uguale al doppio della base minore

Calcolare l’area laterale di un prisma obliquo avente come base un triangolo equilatero di lato uguale a 6 e di area totale uguale a 36 parallelepipedo rettangolo

7 8 9 10 11

Calcolare la superficie laterale del parallelepipedo rettangolo che ha un lato lungo 10 cm, l’altro 8 cm e l’altezza uguale a 3 cm Calcolare la superficie laterale del parallelepipedo rettangolo che ha un lato lungo 6, l’altro i del precedente e l’altezza uguale a 1

Calcolare l’area totale del parallelepipedo rettangolo avente l’area di base uguale a 20 e le dimensioni nel rapporto 2:5. L’altezza di tale figura è uguale alla differenza tra le dimensioni di base

Calcolare il volume di un parallelepipedo rettangolo la cui diagonale è uguale a 15 , il perimetro di base è uguale a 7 e le due dimensioni differiscono di 3 Le tre dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono 2,3,5. Calcolare l’area totale, il volume e l’area di base cubo

12 13 14 15 16

v 1.0

Un cubo ha l’area totale uguale a 18. Calcolare la sua diagonale

Calcolare la superficie totale di un cubo avente la diagonale uguale a 72

Calcolare l’area di base di un cubo che ha le dimensioni uguale all’altezza del parallelepipedo rettangolo di volume 16 e area di base doppia rispetto a quella del cubo Il volume di un cubo è 729. Qual è la sua area totale?

Calcolare il peso in grammi di un cubo di marmo di peso specifico e area di base uguale a

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127


geometria solida

17

18

19

20 21 22

23 24 25 26 27 28

v 1.0

Prismi e Piramidi: aree e volumi

piramide Nel triangolo rettangolo ABC il triplo del cateto AB è uguale al quadruplo del cateto AC e l’ipotenusa BC misura . Determinare il volume e l’area della superficie laterale della piramide di vertice V, base ABC e altezza VC sapendo che i triangoli ABC e BCV sono isoperimetri. (Si considera: V B = 90°) Nel triangolo ABC la bisettrice dell’angolo C interseca AB nel punto D che dista da A e da B. Sapendo che BC = , determinare l’area della superficie totale della piramide retta la cui base è ABC e la cui altezza misura

Il lato del triangolo equilatero ABC misura . Il punto P divide un’altezza in due parti di cui quella contenente il vertice è la metà dell’altra. Calcolare l’area della superficie laterale della piramide di vertice V, base ABC e altezza VP =

Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB, la base minore e il lato obliquo misurano rispettivamente . Detto M il punto medio di AB, determinare l’area delle superfici laterali delle piramidi rette aventi per base i triangoli AMD e BCD e altezza per entrambe

270 a2 378 a2

Calcolare l’area di base e il volume di una piramide avente per base un rettangolo di dimensioni 15 e 25 ed altezza uguale a 30

Nel triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa AC supera il cateto BC di . Nella piramide di base ABC, vertice V e altezza VC, lo spigolo VA supera lo spigolo VB di . Sapendo che VB è il triplo di B determinare il volume della piramide VABC Una piramide ha per base un triangolo i cui lati misurano , , . Determinare gli spigoli laterali sapendo che ciascun lato della base è uguale alla semisomma dei due spigoli laterali uscenti dai suoi estremi

Una piramide triangolare regolare ha l’altezza di e lo spigolo di base . Determinare l’area della superficie laterale della piramide ed il raggio della sfera in essa inscritta Una piramide regolare quadrangolare di vertice V, altezza VO ed apotema VM, ha l’area della superficie laterale di . Sapendo che , determinare la misura dell’altezza della piramide

Una piramide di vertice V ed altezza VH ha per base un triangolo ABC rettangolo in A. Sapendo che ed , determinare il volume della piramide

Una piramide di vertice V ha per base un triangolo ABC rettangolo in B e per altezza . Sapendo che e , determinare l’area della superficie totale della piramide Una piramide di vertice V ha per base un triangolo ABC rettangolo in B e per altezza . Sapendo che e , determinare l’area della superficie totale della piramide

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128


geometria solida

Prismi e Piramidi: aree e volumi tronco di piramide

29

30

31

32

33

34

35 36 37 38 39

v 1.0

Un tronco di piramide regolare quadrangolare ha l’altezza, l’apotema e la superficie laterale rispettivamente di e 480 . Determinare la diagonale del tronco ed il raggio della sfera ad esso circoscritta

Un tronco di piramide regolare quadrangolare ha le diagonali delle basi e lo spigolo laterale rispettivamente di e 14 . Determinare l’area della superficie laterale del tronco ed il raggio della sfera ad esso circoscritta Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti AB e BC misurano rispettivamente e . Condotto per C il segmento perpendicolare al piano del triangolo, determinare: a) la distanza BH del vertice B dallo spigolo VA b) l’area della superficie laterale del tronco che si ottiene sezionando la piramide VABC con il piano condotto per H parallelamente alla base ABC Un tronco di piramide regolare quadrangolare ha l’area della superficie laterale di e le facce laterali inclinate di 45° sul piano della base maggiore. Determinare l’altezza del tronco ed il raggio della sfera ad esso circoscritta, sapendo che il lato della base maggiore misura 7

2

Un tronco di piramide a base quadrata di apotema ed altezza , ha il lato della base maggiore lungo . Calcolare volume e superficie totale Una piramide retta a base quadrata ha l'altezza e l'apotema è i 13/12 dell'altezza. Determinare il volume della piramide e quella del tronco che si ottiene tagliando la piramide con un piano parallelo alla base e distante dalla base

Un tronco di piramide a base quadrata ha il lato della base maggiore lungo . Sapendo che il lato della base minore è 2/5 di e che il volume è di , trovarne l’ altezza

Un tronco di piramide triangolare regolare ha un volume di . Sapendo che la base maggiore ha altezza di 5 , e che il lato della base minore è 2/7 del lato della base maggiore, trovarne l’ altezza Un tronco di piramide a base quadrata ha il lato della base maggiore uguale a e quello della base minore uguale a di . Sapendo che l’apotema misura , calcolare l’area della superficie laterale Un tronco di piramide regolare a base qualsiasi ha superficie laterale Sapendo che i perimetri delle basi sono in rapporto 3/2 e che la loro somma misura , calcolare l’apotema Un tronco di piramide a base quadrata ha e =7/5 di . Sapendo che la superficie laterale misura 48 cm2, calcolarne il volume

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geometria solida

Solidi di rotazione cilindro

1 2 3

Determinare il raggio di base di un cilindro equilatero avente volume uguale a 32 π Determinare l’area totale del cilindro di volume 72π che si ottiene facendo ruotare un rettangolo di perimetro 16 intorno al suo lato minore

Determinare il rapporto tra i volumi dei solidi che si ottengono ruotando un rettangolo rispettivamente intorno al lato maggiore e intorno al lato minore cono

4 5 6 7

Calcolare il volume di un cono avente diametro di base uguale a 48 ed altezza pari a 5 Calcolare l’area totale di un cono avente altezza uguale a 7 e raggio doppio

Considerato il triangolo rettangolo di ipotenusa 10 e perimetro 24, calcolare l’area di base del cono che si ottiene ruotando il triangolo di 360° intorno al cateto minore Dato il cono di volume 36 e apotema uguale a 2,2, determinare l’apotema del cono che ha il raggio uguale alla metà di quello del cono di partenza e stessa altezza tronco di cono

8 9

Facendo ruotare un trapezio rettangolo di area uguale a 34 intorno alla sua altezza, si descrivono due circonferenze aventi perimetro rispettivamente 16 e 18. Determinare il volume del solido così individuato

Calcolare la superficie laterale del tronco di cono avente area totale uguale a 108 π, i raggi di base uno triplo dell’altro e apotema pari alla differenza dei raggi sfera

10 11 12 13

v 1.0

Determina la superficie ed il volume della sfera di raggio 3

Considerata la sfera di volume 72π, determinare il suo raggio e la sua superficie

Determinare il volume della sfera il cui diametro è medio proporzionale tra 3 e5 Determinare il raggio della circonferenza inscritta al triangolo rettangolo isoscele di perimetro 12 e poi calcolare la superficie della sfera avente tale raggio

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130


Punti

geometria analitica

calcolare la distanza 1 2

,

,

3 4

,

5 6

,

7 8

9 10 11 12

,

,

tra le seguenti coppie di punti

calcolare il perimetro

,

,

,

, ,

dei poligoni di vertici

, ,

,

Stabilire se il triangolo di vertici triangolo rettangolo

Verificare che il triangolo di vertici equilatero

,

, C ,

è un , C

Determinare il punto P appartenente all’asse x equidistante da e da

è

(le misure dei lati soddisfano il teorema di Pitagora) equilatero

Determinare per quali valori di k la distanza tra i punti e è uguale a

determinare le coordinate del punto medio del segmento AB

13 14 15 16

17

v 1.0

, ,

,

,

Il segmento AB ha come punto medio . Determinare le coordinate del punto B, sapendo che A ha coordinate © 2013 - www.matematika.it

131


Punti

geometria analitica

18 19 20

Nel triangolo ABC , di vertici A , determinare i punti medi dei lati e la misura delle mediane

,

;

Dati i punti , , determinare in modo che il punto medio del segmento AB abbia ordinata doppia dell’ascissa

I punti A , sono vertici consecutivi del parallelogramma ABCD. Calcolare le coordinate del vertice D

dividere un segmento in parti proporzionali ad un numero k

21 22

Determinare le coordinate del punto C che divide il segmento di estremi A , nel rapporto 2 Determinare le coordinate del punto C che divide il segmento di estremi A , nel rapporto baricentro di un triangolo

23 24 25 26

27 28

v 1.0

Determina le coordinate del baricentro del triangolo di vertici A ,C

,

Determina le coordinate del baricentro del triangolo di vertici A , ,C Dato il triangolo di vertici , e baricentro , calcolare le coordinate del terzo vertice C

E’ dato il triangolo di vertici A . Trovare

sia A A

e

di

, , in modo che il baricentro del triangolo

calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C assegnati ,

,

,C

,C

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132


Retta

geometria analitica

rappresentare nel piano cartesiano le rette di equazioni: 1 2

stabilire quali tra i seguenti punti appartengono alla retta di equazione 3 4

condizione di appartenenza 5 6 7

Determinare l’ordinata del punto P di ascissa equazione Data la retta di equazione parametro k affinché il punto

appartenente alla retta di

determinare il valore del appartenga alla retta

Determinare le coordinate dei punti appartenenti alla retta di equazione e che hanno distanza da uguale a 1 determinare il coefficiente angolare

e l’ordinata all’origine

delle rette di equazione:

8 9

calcolare il coefficiente angolare 10 11

delle rette passanti per i punti:

, ,

equazione della retta passante per un punto avente un dato coefficiente angolare 12 13

Scrivere l’equazione della retta che passa per il punto coefficiente angolare

ed ha

Scrivere l’equazione della retta che passa per il punto P(-1,-2) ed è parallela alla retta di equazione equazione della retta passante per due punti

14 15 v 1.0

Scrivere l’equazione della retta che passa per i punti Scrivere l’equazione della retta che passa per i punti

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,

,

133


Retta

geometria analitica

16 17

18 19

20

21

Scrivere le equazioni dei lati del triangolo di vertici A C Verificare diagonali

che

il

,

,

quadrilatero di vertici A , , è un parallelogramma e scrivere le equazioni delle intersezione tra rette

Determinare il punto di intersezione delle rette di equazione e Determinare il punto di intersezione delle rette di equazione e

Indicare quali tra le seguenti coppie di rette sono incidenti, quali parallele e quali coincidenti: a) , ; b) , c) ,

Determinare le coordinate dei vertici del triangolo i cui lati appartengono alle rette ,4 e parallelismo e perpendicolarità

22 23 24 25

Scrivere l’equazione della retta che passa per il punto perpendicolare alla retta di equazione Determina per quale valore del parametro e

Scrivere l’equazione della retta passante per passante per i punti – – e

le rette di equazioni risultano parallele

ed è

e perpendicolare a quella

Determinare le equazioni delle rette parallele alla retta di equazione 4 −3 −1= che intercettano sugli assi cartesiani una corda di lunghezza 4 distanza di un punto da una retta

26 27 28 29

30 31 v 1.0

Determinare Determinare

la

la

distanza

distanza

del

del

punto

punto

Trovare le rette parallele alla retta di equazione distanza uguale a dal punto Determinare i valori del parametro retta di equazione

affinché il punto

dalla

dalla

retta

retta

che hanno

disti

dalla

asse di un segmento

Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi © 2013 - www.matematika.it

e 134


Retta

geometria analitica

32 33

Determinare le coordinate del circocentro del triangolo di vertici Il segmento AB ha per estremi il punto e il punto B che appartiene all’asse . Trovare la sua ascissa sapendo che l’asse di AB interseca l’asse nel punto di ordinata 11 bisettrice di un angolo

34 35

Determinare le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette incidenti di equazione: e Determinare

le

coordinate

dell’incentro

del

triangolo

di

vertici

fasci di rette 36

Verificare che il fascio di rette di equazione:

è un fascio improprio e determinare le rette che distano Dopo aver verificato che il fascio di rette di equazione:

37

dal punto

è un fascio proprio, determinare: a) le equazioni delle rette parallele agli assi; b) il centro C del fascio; c) la retta passante per ; d) la retta perpendicolare a Tra le rette del fascio di equazione:

38

39

determinare: a) le rette che intersecano l'asse in punti di ordinata positiva; ; b) la retta r parallela alla retta c) la retta s perpendicolare alla retta ; d) le bisettrici degli angoli formati da r e s Scrivere l'equazione del fascio generato dalle rette:

e e determinare le equazioni delle rette che intersecano gli assi cartesiani in due punti A e B tali che l'area del triangolo AOB sia 1 esercizi di riepilogo

40

41

v 1.0

Determinare la distanza e

tra le rette di equazione:

Determinare sulla retta un punto C che forma con e con un triangolo retto in A. Determinare inoltre le misure del perimetro e dell’area del triangolo

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135


Retta

geometria analitica

42

43 44

45

46

Dati i punti , , determinare: a) le coordinate del quarto vertice D del parallelogramma ABCD; b) l’equazioni delle diagonali; c) l’area

;

Determinare le coordinate dell’ortocentro del triangolo di vertici di vertici , ,

Tra tutte le rette passanti per il punto determinare quelle che formano, se esistono, con gli assi cartesiani un triangolo di area

Il vertice A di un triangolo ABC ha coordinate – . Si sa che l’altezza uscente dal vertice C ha equazione – – e che l’equazione della mediana uscente dallo stesso vertice C è – . Calcolare le coordinate degli altri vertici del triangolo e la sua area Determinare per quale valore di le rette di equazione: e a) sono tra loro perpendicolari; un segmento di misura 6 b) staccano sulla retta c) si incontrano in un punto di ordinata

47

v 1.0

Per il punto condurre la parallela r alla retta di equazione e per il punto la perpendicolare s alla retta 3 . Determinare le coordinate del punto C di intersezione delle rette r ed s e calcolare l’area del triangolo ABC

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136


geometria analitica

Parabola

scrivere l’equazione della parabola del tipo

conoscendo le seguenti condizioni:

scrivere l’equazione della parabola del tipo

conoscendo le seguenti condizioni:

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

delle seguenti parabole trovare le coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni della retta direttrice e dell’asse di simmetria: 13 14 15 16 17 18 19 v 1.1

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137


Parabola

geometria analitica

20 21 22 23 24

parabola di equazione 25 26 27 28

Tracciare il grafico della parabola di equazione fuoco e direttrice

30

31 32 33 34 35

v 1.1

determinandone

Determinare il valore del parametro passi per il punto

in modo che la parabola di equazione

Determinare il valore del parametro abbia il fuoco nel punto

in modo che la parabola di equazione

Determinare i punti della parabola di equazione coordinate uguali

parabola di equazione

29

oppure

che hanno

oppure

Determinare le coordinate del vertice, del fuoco e l’equazione dell’asse di simmetria e della direttrice della parabola di equazione e rappresentarla in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Determinare le coordinate del vertice, del fuoco e l’equazione dell’asse di simmetria e della direttrice della parabola di equazione e rappresentarla in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Scrivere l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per i punti Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per il punto e avente il vertice in

Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per i punti A e avente il vertice appartenente alla retta di equazione Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , che ha il fuoco nel punto e il vertice nel punto Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per i punti e avente per direttrice la retta di equazione © 2013 - www.matematika.it

138


geometria analitica

36

Parabola

Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse, di vertice che ha per fuoco il punto tangenti ad una parabola

37 38 39 40

41

42

43

44

Determinare l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione e parallela alla retta di equazione

Determinare l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione nel punto –

Determinare per quale valore di m la retta di equazione è tangente alla parabola di equazione ; determinare anche le coordinate del punto di contatto T Determinare l'equazione delle rette tangenti alla parabola di equazione condotte dal punto

Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate che è tangente alla retta nel punto e passa per il punto Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse che passa per i punti e e che in tale punto è tangente alla retta di coefficiente angolare

Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle ascisse avente il vertice in e tangente alla retta di equazione

Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate che passa per i punti e e che è tangente alla retta di equazione fasci di parabole

45

46

47

48 v 1.1

Dopo aver scritto l’equazione del fascio di parabole con asse parallelo all’asse y, tangenti alla retta di equazioni nel suo punto di ascissa 1, determinare la parabola avente il vertice appartenente alla retta di equazione Dopo aver analizzato le caratteristiche del fascio di parabole di equazione determinare la parabola: a) passante per il punto ; b) avente il vertice di ascissa nulla; c) tangente alla retta di equazione Nel fascio di parabole individuato dalle due parabole di equazione: e determinare la parabola: a) passante per l’origine degli assi; b) tangente alla retta

Determinare l’equazione del luogo geometrico dei vertici delle parabole di equazione © 2013 - www.matematika.it

139


geometria analitica

Parabola esercizi di riepilogo

49

50

51 52

53

54 55 56

57

58

59 60

v 1.1

Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse , passante per , per – e ivi tangente alla retta di equazione

Scrivere l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per i punti Trovare le coordinate dei punti di intersezione della parabola con la retta di equazione e la misura della corda intercettata dalla parabola Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per il punto e avente il vertice in Inscrivere nella porzione di piano limitata dalla parabola e dall’asse un rettangolo in cui la base è doppia dell’altezza e determinare l’altezza Determinare l’equazione della parabola del fascio di equazione tangente alla retta di equazione

Una parabola con l’asse parallelo all’asse delle passa per il punto ed ha il vertice nel punto . Scriverne l’equazione e rappresentarla. La retta passante per , e di coefficiente angolare 1, interseca detta parabola in e . Da A e B si conducono le perpendicolari all’asse delle che intersecano l’asse stesso in D e C. Calcolare la misura del perimetro e l’area del quadrilatero ABCD Scrivere l’equazione della parabola tangente in all’asse passante per e trovare sull’arco un punto che abbia distanza uguale a 2 dall’asse

Determinare le coordinate del punto comune alle rette tangenti alla parabola di equazione condotte nei suoi punti di intersezione con la retta Data la parabola condurre una retta parallela all'asse x in modo che la corda intercettata dalla parabola su questa retta sia lunga 4 Dato il fascio di parabole generato dalle parabole di equazione , determinare: a) la natura del fascio; b) l’equazione della parabola che passa per l’origine degli assi; c) la parabola del fascio con il vertice appartenente alla bisettrice I-III quadrante

Dopo aver scritto l’equazione della parabola Γ, con asse parallelo all’asse delle ordinate, passante per i punti , calcolare l’area del segmento parabolico delimitato dalla parabola Γ e dalla retta di equazione

Date le parabole di equazioni e , determinare a quale distanza dall’asse deve essere condotta una retta parallela all’asse, affinché risultino uguali le due corde da essa determinata sulle due parabole Condurre dal punto

le tangenti alla parabola di equazione

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140


Circonferenza

geometria analitica

scrivere l’equazione della circonferenza dato il centro

e il raggio

;

1

;

2

;

3

;

4

stabilire quali delle seguenti equazioni rappresentano una circonferenza 5 6 7 8

determinare le coordinate del centro

ed il raggio

delle seguenti circonferenze

9 10 11 12

13 14 15 16

Scrivere

l’equazione

della

circonferenza

di

Scrivere l’equazione della circonferenza di centro punto Determinare per quale valore di k il punto circonferenza di equazione

Scrivere l’equazione della circonferenza di centro

diametro

di

estremi

e passante per il

appartiene alla

e tangente all’asse

ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una circonferenza 17 18 v 1.0

Determinare l’equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione nel suo punto Determinare l’equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione nel suo punto © 2013 - www.matematika.it

141


geometria analitica

19 20

Circonferenza

Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione condotte dal punto Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione parallele alla retta di equazione ricerca dell’equazione di una circonferenza

21 22 23 24

Determinare l’equazione della circonferenza che passa per i punti

Scrivere le equazioni delle circonferenze di raggio 3 che passano per i punti Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti ed ha il centro sulla retta di equazione Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti ed è tangente alla retta di equazione

e

fasci di circonferenze

25

26

Dato il fascio di circonferenze generato dalle due circonferenze di equazioni e , individuare, se esistono: i punti basi, l’asse radicale e la retta dei centri Considerare il fascio di circonferenze generato dalle circonferenze di equazioni , individuare, se esistono: i punti basi, l’asse radicale e la retta dei centri. Determinare, inoltre, la circonferenza del fascio che: ; a) passa per il punto b) ha il centro di ascissa 4; c) è tangente alla retta di equazione esercizi di riepilogo

27 28 29

30

31

32 v 1.0

Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione parallele alla retta di equazione

Determinare l’equazione della circonferenza tangente nell’origine alla retta di equazione e avente il centro sulla retta di equazione

Scrivere l’equazione della circonferenza Γ circoscritta al triangolo di vertici Scrivere l’equazione della retta r parallela alla retta che stacca su Γ una corda di lunghezza Determinare le equazioni delle rette tangenti comuni alle due circonferenze di equazioni e

Scrivere l’equazione della retta tangente alla circonferenza nel suo punto P(1,-3). Detti A e B i punti di intersezione della tangente con gli assi cartesiani, determinare le misure del perimetro e dell’area del triangolo AOB Determinare l'equazione della circonferenza di centro alla retta di equazione

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e tangente

142


geometria analitica

Circonferenza

Dopo aver studiato la natura del fascio di circonferenze:

33

34 35

v 1.0

Determinare il valore di per cui si ottiene : a) la circonferenza passante per b) la circonferenza tangente nell’origine alla retta c) la circonferenza che ha il centro sulla retta d) la circonferenza che ha il raggio pari a

;

Determinare l’equazione della circonferenza tangente alla retta nel suo punto di ascissa 1 e che stacca sulla retta una corda di lunghezza

Determinare l’equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione nel suo punto di ascissa 0 e passante per P(4,3)

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143


Ellisse

geometria analitica

ricerca dell’equazione della ellisse con il centro nell’origine del sistema di riferimento 1

2

Determinare l’equazione del luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze dai due punti fissi e è uguale a 10 Scrivere l’equazione dell’ellisse passante per i punti .

e

3

Scrivere l’equazione dell’ellisse con un fuoco nel punto

4

Determinare l’equazione dell’ellisse con il fuoco nel punto F

5

Determinare l’equazione dell’ellisse avente il semiasse maggiore lunghezza 6 e passante per il punto

6

Scrivere l’equazione dell’ellisse con gli assi

7

Determinare per quali valori di

8

di

.

Descrivere le caratteristiche della curva che si ottiene un’ellisse

la seguente equazione rappresenta

circonferenza di centro O e raggio

con i fuochi sull’asse

Data l’ellisse di equazione , tracciarne il grafico ed individuare i semiassi, i fuochi, l’eccentricità

ricerca dell’equazione della ellisse traslata

9

10

11

v 1.0

Data l’ellisse traslata di equazione

, determinare:

le coordinate del centro e dei fuochi ed • l’eccentricità dell’ellisse. Rappresentare poi nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale •

Determinare le coordinate del centro e dei fuochi e l’eccentricità dell’ellisse di equazione

e rappresentarla in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Scrivere l’equazione dell’ellisse traslata con il centro sulla retta che ha un fuoco nel punto , un vertice nel punto di intersezione tra la retta e la curva © 2013 - www.matematika.it

144


Ellisse

geometria analitica

Stabilire quali delle seguenti equazioni rappresenta un’ellisse e scriverla in forma canonica: 12

13

14

a)

b) c) d) e) f)

Considerato il grafico a lato, scrivere l’equazione dell’ellisse rappresentata ed individuare le sue principali caratteristiche

Determinare l’equazione dell’ellisse traslata (con ), che ha un fuoco nel punto , e distanza focale uguale a 16

ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una ellisse

15

16

17

18 19

20

v 1.0

Determinare se la retta di equazione esterna o secante all’ellisse

Determinarne gli eventuali punti di contatto

.

è tangente,

Considerata l’ellisse di equazione con i fuochi sull’asse , determinare le condizioni affinché la retta sia tangente, secante o esterna alla curva data. Quante tangenti ad una ellisse è possibile trovare per ogni suo punto? Data l’ellisse di equazione determinare la tangente nel vertice positivo dell’asse . Determinare inoltre l’area del triangolo che si forma tra la tangente e la secante all’ellisse passante per altri due vertici.

Tramite la formula dello sdoppiamento trovare la tangente all’ellisse di equazione negativa

nel suo punto di ascissa

Determinare le equazioni delle rette passanti per il punto tangente all’ellisse

e ordinata e

Scrivere l’equazione della tangente all’ellisse nel suo punto di ascissa e ordinata negativa. Calcolare poi l’area del triangolo che si ottiene dall’intersezione di questa retta con gli assi cartesiani.

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145


Ellisse

geometria analitica

21

22

23

Scrivere l’equazione delle tangenti all’ellisse di equazione nel punto in cui questa interseca la retta nel terzo quadrante Determinare l’equazione dell’ellisse tangente alla retta passante per il punto

,

e un vertice nel punto

Considerato il fascio di rette

.

determinare la retta del

fascio che intersecandosi con l’ellisse di equazione una corda lunga

stacca

fasci di ellissi

Considerato il fascio di ellissi descritto dall’equazione 24

determinare il tale che l’equazione: a) rappresenti delle ellissi b) rappresenti una ellisse con i fuochi sull’asse

c) abbia eccentricità d) passi per il punto

25

26

Determinare l’equazione del fascio di ellissi tale che l’asse maggiore sia sempre un multiplo di 5, e il semiasse minore sia uguale a 3. Determinare l’ellisse del fascio tangente alla retta Determinare i valori di affinché l’ellisse di equazione: abbia a) i fuochi sull’asse b) i fuochi sull’asse c) distanza focale uguale a 2 Trovare inoltre il valore di circonferenza

27

per cui l’ellisse degenera in una

Considerato il fascio di ellissi determinare il parametro in modo che l’equazione rappresenti: a) una ellisse con vertice nel punto b) una ellisse con

c) una iperbole d) una circonferenza

v 1.0

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146


geometria analitica

Ellisse esercizi di riepilogo

28

29

30

31

32

33

34

v 1.0

Considerata l’equazione tangente alla retta

trovare

in modo che la curva sia

Determinare l’equazione dell’ellisse inscritta nel rettangolo avente perimetro 20, sapendo che i vertici del rettangolo di ordinata 5 appartengono alle rette e Determinare l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse eccentricità e tangente alla retta Determinare la retta tangente alla curva in A Data l’ellisse di equazione

con

nel punto A.

verificare che la retta

è secante ad essa e determinare i punti di intersezione A e B, con A di ascissa di minore. Trovare infine l’area del triangolo OAB Determinare l’equazione dell’ellisse traslata in sapendo che i semiassi sono in rapporto 2:3 e la loro somma è 15, che il centro appartiene alla retta di equazione e che ha un vertice nel punto

Scrivere l’equazione dell’ellisse avente come assi di simmetria i segmenti di estremi: , , e . Determinare poi l’equazione della parabola passante per C e con vertice in A. Determina infine la tangente ad essa nel punto A Considerata l’ellisse , determinare l’equazione di un’altra ellisse avente lo stesso centro di simmetria, il semiasse minore e un fuoco nel punto . Determinare infine l’equazione del fascio di ellissi che hanno gli stessi fuochi

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147


Iperbole

geometria analitica

ricerca dell’equazione della iperbole con i fuochi sull’asse delle 1 2 3 4 5

6

Determinare l’equazione del luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dai due punti fissi e è uguale a Scrivere l’equazione dell’iperbole passante per i punti

Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha un fuoco nel punto e come asintoto la retta di equazione

Scrivere l’equazione dell’iperbole con distanza focale uguale a e passante per il punto Data l’iperbole di equazione , tracciarne il grafico ed individuarne i fuochi, i vertici, l’eccentricità, gli asintoti Determinare per quali valori di un’iperbole: a)

8

9

10

11

le seguenti equazioni rappresentano

b) c)

7

e

ricerca dell’equazione della iperbole con i fuochi sull’asse delle

Determinare il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dai due punti fissi è uguale a Scrivere l’equazione dell’iperbole passante per i punti

e

e

Determinare l’equazione dell’iperbole che ha un fuoco di ordinata e un vertice di ordinata negativa appartenente alla retta Determinare le coordinate dei fuochi, dei vertici e l’eccentricità dell’iperbole di equazione

.

Rappresentarla in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Riconoscere quali delle seguenti equazioni rappresentano delle iperboli e scriverle in forma canonica: a) b) c) d)

equazione della iperbole equilatera riferita ai propri assi di simmetria

12

v 1.0

Determina l’equazione dell’iperbole equilatera passante per il punto © 2013 - www.matematika.it

148


Iperbole

geometria analitica

13

Determina l’equazione dell’iperbole equilatera avente un fuoco nel punto punto

14

15

. Valutare se questa curva passa per il punto

e calcolare l’eventuale tangente all’iperbole in questo

Data l’iperbole equilatera di equazione , tracciarne il grafico ed individuarne le coordinate dei fuochi e dei vertici, l’eccentricità e le equazioni degli asintoti Riconoscere quali tra le seguenti equazioni rappresentano una iperbole equilatera riferita ai propri assi di simmetria: a) b) c) d)

equazione della iperbole equilatera riferita agli asintoti

16

Determina l’equazione dell’iperbole equilatera (con ) il cui vertice dista dalla retta di equazione . Determinare poi la tangente all’iperbole in questo vertice e calcolare i punti di intersezione tra la retta e la tangente equazione della iperbole omografica

17

18

Data l’iperbole equilatera di equazione ed individuarne le principali caratteristiche

tracciarne il grafico

Determinare l’equazione della funzione omografica

sapendo

che il centro ha coordinate e che passa per il punto Determinare l’equazione delle tangenti questa curva nel punto di intersezione con la bisettrice del primo e terzo quadrante

.

equazione della iperbole traslata

19 20 21

22

v 1.0

Ricondurre alla forma canonica l’iperbole di equazione: e descriverne le principali caratteristiche Determinare l’equazione dell’iperbole che si ottiene dalla curva traslandola di vettore

Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha il fuoco traslato nel punto corrispondente all’iperbole di equazione

Determinare l’equazione delle iperboli con i fuochi sulla retta con un vertice nel punto e semiasse non trasverso di lunghezza 9 © 2013 - www.matematika.it

149


Iperbole

geometria analitica

ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una iperbole

23

24

25

26

Trovare le tangenti all’iperbole di equazione di ordinata Data l’iperbole di equazione essa nel vertice negativo dell’asse

nel suo punto

determinare la tangente ad

Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera tangente alla retta con un vertice nel punto Considerata l’iperbole di equazione , determinare la tangente in un suo punto del primo quadrante che incontra gli assi cartesiani in A e B e in modo tale che il triangolo PAB abbia area minima fasci di iperboli

27

28

29

30

v 1.0

Considerato il fascio di iperboli descritto dall’equazione determinare il parametro tale che : a) l’equazione rappresenta effettivamente delle iperboli b) le iperboli hanno un vertice nel punto c) il punto , intersezione dell’iperbole con l’asse , dista dall’origine 14 d) le iperboli passano per il punto ) Determinare il valore di affinché il fascio di iperboli rappresenti: a) una ellisse b) una circonferenza c) una iperbole d) una iperbole con i fuochi sull’asse e) una iperbole con i fuochi sull’asse Studia le principali caratteristiche del fascio n

al variare di

Determina il luogo dei centri di simmetria e gli eventuali punti base del fascio di iperboli di equazione . © 2013 - www.matematika.it

150


Iperbole

geometria analitica

esercizi di riepilogo

31

32

33

34

v 1.0

Determinare la lunghezza della corda staccata dall’iperbole sulla retta

Determinare la funzione omografica passante per il punto avente asintoti di equazione e

ed

Scrivere l’equazione del fascio di iperboli con i fuochi su parallele della retta i cui vertici hanno coordinate e caratterizzare il fascio nel caso in cui: a) gli asintoti sono rette del tipo

b) un vertice appartiene alla retta c) rappresenta delle iperboli equilatere

Considerata la retta passante per i punti e la retta passante per i punti e determinare il luogo dei punti del piano comuni alle due rette al variare di

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151


logaritmi

Logaritmi: definizione ricava il valore della x applicando la definizione di logaritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20

v 1.2

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152


logaritmi

Logaritmi: definizione

21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

esercizi di riepilogo 32 33 34 35 36 37 38 39

v 1.2

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153


logaritmi

Logaritmi: definizione

40 41 42 43 44 45

v 1.2

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154


logaritmi

Logaritmi: espressioni numeriche risolvere con l’uso della calcolatrice le seguenti espressioni numeriche di logaritmo

2

3

4

5

6

8

9

10

12

13

15

16 17 18

20 v 1.2

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155


logaritmi

cambiare in base

Logaritmi:

cambio di base

i seguenti logaritmi e calcolarne il valore con l’aiuto della calcolatrice

1 2 3 4 5 6 7 8

cambiare in base

i seguenti logaritmi e calcolarne il valore con l’aiuto della calcolatrice

9 10 11 12 13 14 15 16

v 1.2

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156


logaritmi

Logaritmi: teoremi applicando i teoremi sui logaritmi riduci ad un unico logaritmo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

v 1.3

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157


logaritmi

Logaritmi: teoremi applicando i teoremi sui logaritmi sviluppa le seguenti espressioni

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

v 1.3

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158


logaritmi

Logaritmi: teoremi esercizi di riepilogo

33 34 35 36 37 38 39 40 41

42

43

44

45

46

47

48 v 1.3

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159


logaritmi

Disequazioni esponenziali disequazioni esponenziali risolubili mediante applicazione delle proprietĂ delle potenze

1 2 3 4 5 6 7 8 9

equazioni esponenziali risolubili mediante una posizione 10 11 12 13 14 15 16 17 18

v 1.3

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160


logaritmi

Disequazioni esponenziali

19

equazioni esponenziali con basi diverse risolubili mediante logaritmi 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

equazioni esponenziali di riepilogo miste 32 33 34 35 36

v 1.3

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161


logaritmi

Disequazioni esponenziali

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 v 1.3

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162


logaritmi

Equazioni logaritmiche

equazioni logaritmiche risolubili mediante definizione ed applicazione dei teoremi sui logaritmi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

equazioni logaritmiche risolubili mediante una posizione 12 13 14 15 16 17 18 19

v 1.3

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163


logaritmi

Equazioni logaritmiche

20 21 22 23

equazioni logaritmiche con argomento esponenziale 24 25 26 27 28 29 30 31

equazioni logaritmiche di riepilogo 32 33 34 35 36 37 38 39 v 1.3

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164


logaritmi

Equazioni logaritmiche

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58

v 1.3

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165


logaritmi

Disequazioni logaritmiche

disequazioni logaritmiche risolubili mediante definizione ed applicazione dei teoremi sui logaritmi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

disequazioni logaritmiche risolubili mediante una posizione 12 13 14 15 16 17 18 19

v 1.4

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166


logaritmi

Disequazioni logaritmiche

20 21 22

disequazioni logaritmiche con argomento esponenziale 23 24 25 26 27 28 29 30 31

disequazioni logaritmiche di riepilogo 32 33 34 35 36

v 1.4

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167


logaritmi

Disequazioni logaritmiche

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 v 1.4

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168


logaritmi

Sistemi di equazioni esponenziali

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

v 1.1

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169


logaritmi

Sistemi di equazioni esponenziali

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

v 1.1

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170


logaritmi

Sistemi di equazioni esponenziali

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

v 1.1

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171


logaritmi

Sistemi di equazioni esponenziali

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54 v 1.1

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172


logaritmi

Sistemi di equazioni logaritmiche

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

v 1.1

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173


logaritmi

Sistemi di equazioni logaritmiche

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

v 1.1

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174


logaritmi

Sistemi di equazioni logaritmiche

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

v 1.1

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175


logaritmi

Sistemi di equazioni logaritmiche

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55 56 57 v 1.1

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176


goniometria

Passaggio tra unitĂ di misura di angoli converti il valore dei seguenti angoli da gradi, primi e secondi a gradi decimali

1 2 3 4 5 6 7

converti il valore dei seguenti angoli da gradi decimali a gradi, primi e secondi 8 9 10 11 12 13 14

converti il valore dei seguenti angoli da radianti a gradi, primi e secondi 15 16 17 18 19 v 1.0

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177


goniometria

Passaggio tra unitĂ di misura di angoli

20 21

converti il valore dei seguenti angoli da gradi, primi e secondi a radianti 22 23 24 25 26 27 28

v 1.0

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178


goniometria

Espressioni goniometriche risolubili con la calcolatrice con l’aiuto della calcolatrice calcola il valore numerico delle seguenti espressioni

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 v 1.1

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179


goniometria

Espressioni goniometriche risolubili con la calcolatrice

18 19 20

con l’aiuto della calcolatrice calcolare il valore delle seguenti espressioni; poi, senza calcolatrice, esprimere i risultati in gradi con decimali, gradi con primi e radianti 21

Espressioni

Gradi con decimali

Gradi con primi

Radianti

22 23 24 25 26 27 28 29

Nessuna soluzione (come mai?)

30 31

v 1.1

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180


goniometria

Espressioni riconducibili ad una unica funzione

ricondurre le espressione date ad altre equivalenti che contengano solo la funzione R:

1

R:

2 3

R:

5

R:

4

R:

R:

6

R:

7

ricondurre le espressione date ad altre equivalenti che contengano solo la funzione 8

R:

9

R:

10

R:

11

R:

12

R:

13

R:

14

R:

ricondurre le espressione date ad altre equivalenti che contengano solo la funzione 15

R:

16

R:

v 1.0

:

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:

:

181


goniometria

Espressioni riconducibili ad una unica funzione

17

R:

18

R:

19

R:

20

R:

21

R:

v 1.0

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182


goniometria

Espressioni ed equazioni in cui compaiono funzioni inverse

ricondurre le seguenti espressioni ad altre equivalenti prive di funzioni trigonometriche inverse: 1 2 3

,

[è uguale all’esercizio 1?]

R:

[come mai non fa ?]

R: R:

4

R:

5

[è uguale all’esercizio 6?]

6 7

R: R:

8

R:

9

R:

10

con

R:

11

R:

12

R:

13

R:

14

R: impossibile

15

trovare i valori di

[come mai?]

che verificano le seguenti equazioni con funzioni trigonometriche inverse: R:

16

R: impossibile

17

R:

18

[come mai?]

R:

19

v 1.0

R:

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183


goniometria

Espressioni ed equazioni in cui compaiono funzioni inverse R: impossibile

20

R:

21

R:

22

R:

23

R:

24

R:

25

R:

26

R:

27

R:

28

R:

29

R:

30

v 1.0

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184


goniometria

Espressioni goniometriche di angoli notevoli

1 2 3 4 5

6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

v 1.9

Š 2013 - www.matematika.it 185


goniometria

Espressioni goniometriche

17

18 19 20 21 22 23

24

25 26 27 28 29 30 31 32 v 1.9

Š 2013 - www.matematika.it 186


goniometria

Espressioni goniometriche

33 34

con angoli superiori a 360° 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 v 1.9

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goniometria

Espressioni goniometriche

49

50

51

52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 v 1.9

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goniometria

Espressioni goniometriche

65

66

67

68

con angoli associati 69 70 71 72 73 74 75 76

77 78 79

v 1.9

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goniometria

Espressioni goniometriche

80 81 82 83 84

85 86 87 88 89 90 91 92

93 94 95

v 1.9

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goniometria

Espressioni goniometriche

96 97 98 99 100

di riepilogo con angoli associati 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 v 1.9

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goniometria

Espressioni goniometriche

112 113 114 115 116

risolubili con le formule di addizione e sottrazione 117 118 119 120 121 122 123 124

risolubili con le formule di duplicazione e bisezione 125 126

v 1.9

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goniometria

Espressioni goniometriche

127 128 129 130 131 132

risolubili con le formule di prostaferesi e Werner 133 134 135 136 137 138 139 140

di riepilogo con formule goniometriche 141 142

v 1.9

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goniometria

Espressioni goniometriche

143 144 145 146

147

148 149

R:

150

R:

151

R:

152

R:

153

[come si risolve in maniera semplice?]

R:

154

R:

155

R:

156

R:

157

R:

158

v 1.9

[esercizio difficile]

R:

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goniometria

IdentitĂ goniometriche risolubili mediante le relazioni fondamentali

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

risolubili mediante angoli associati 17 18 v 1.2

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195


goniometria

IdentitĂ goniometriche

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

risolubili mediante formule goniometriche 33 34 35 36 37 v 1.2

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196


goniometria

IdentitĂ goniometriche

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

di riepilogo 49 50 51 52 53 54 55 56 v 1.2

+1

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197


goniometria

IdentitĂ goniometriche

57 58 59 60 61 62 63 64

v 1.2

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198


goniometria

Equazioni goniometriche elementari

1 2 3 4

riconducibili ad elementari 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

di secondo grado 18 v 1.2

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199


goniometria

Equazioni goniometriche

19 20 21 22 23 24 25 26 27

lineari in seno e coseno 28 29 30 31 32 33

34 35 36 37 v 1.2

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200


goniometria

Equazioni goniometriche

38 39 40 41 42 43 44 45

simmetriche 46 47 48 49

di riepilogo prima parte 50 51 52 53 54 55 56

v 1.2

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201


goniometria

Equazioni goniometriche

57

riducibili ad una sola funzione goniometrica 58 59 60 61

risolubili mediante formule di addizione e sottrazione 62 63 64 65

risolubili mediante formule di duplicazione 66 67 68 69

risolubili mediante formule di bisezione 70 71 72 73 v 1.2

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202


goniometria

Equazioni goniometriche risolubili mediante formule di prostaferesi e Werner

74 75 76 77

di riepilogo 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

v 1.2

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203


goniometria

Equazioni goniometriche

93 94 95 96

97 98 99 100 101 102

v 1.2

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204


goniometria

Disequazioni goniometriche elementari

1 2 3 4 5 6 7 8 9

di secondo grado 10 11 12 13 14 15 16 17 18

v 1.2

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205


goniometria

Disequazioni goniometriche lineari

19 20 21 22 23 24 25 26

Omogenee di secondo grado (o riconducibili ad omogenee) 27 28 29 30 31 32 33 34 35

di riepilogo 36 37

v 1.2

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206


goniometria

Disequazioni goniometriche

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

v 1.2

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207


Problemi sui Triangoli Rettangoli

trigonometria

in riferimento al triangolo rettangolo in figura, risolvi i triangoli di cui sono noti:

γ

a

b α

β

c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 v 1.0

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208


trigonometria

Problemi sui Triangoli Rettangoli

18 19 20

sempre in riferimento al triangolo rettangolo in figura, verifica la correttezza delle seguenti relazioni algebriche tra gli elementi del triangolo 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 v 1.0

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209


Problemi sui Triangoli Qualsiasi

trigonometria

in riferimento al triangolo in figura, risolvi i triangoli di cui sono noti:

b

a

γ

β

α c 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 v 1.0

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210


trigonometria

Problemi sui Triangoli Qualsiasi

14

15

16

17

18

19

20

sempre in riferimento al triangolo in figura, verifica la correttezza delle seguenti relazioni algebriche tra gli elementi del triangolo 21

22 23 24 25

26 27

v 1.0

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211


trigonometria

Problemi sui Triangoli Qualsiasi

28 29 30 31

32 33 34 35

36 37 38 39

v 1.0

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212


trigonometria

1

Calcola il rapporto tra l'area del triangolo di lati l'area del cerchio ad esso circoscritto

2

Calcola l'area del triangolo formato dall'origine e dall'intersezione della retta l'asse delle ascisse e la retta

3

Calcola l'altezza di una torre sapendo che l'ombra che essa proietta è lunga 30 m e l'angolo di visuale dal punto dove termina l'ombra alla cima della torre è di 60°

4

Calcola l'area di un parallelogramma avente un lato di misura 15, l'altro di misura 7 e l'angolo tra essi compreso pari a 30°

5

6

v 1.0

Applicazioni della trigonometria con

e con

Calcola l'area di un appezzamento di terreno di forma triangolare avente un lato pari a 55 m, un altro pari a 36 m e sapendo che l'angolo che questi due lati formano è di 54°

Calcolare l'area e la lunghezza della mediana uscente dal vertice A di un triangolo avente lati AB=7, AC=6, BC=11

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213


analisi

Disequazioni di vario tipo piĂš impegnative

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 v 1.6

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214


analisi

Disequazioni di vario tipo

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30 v 1.6

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215


analisi

Disequazioni di vario tipo

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

v 1.6

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216


analisi

Calcolo di Domini funzioni algebriche

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

v 1.6

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217


analisi

Calcolo di Domini

15

funzioni logaritmiche o esponenziali 16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26 v 1.6

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218


analisi

Calcolo di Domini

27

28

29

30

funzioni goniometriche ,

31

,

32

33

34

,

35

,

36

,

37

,

38

39 v 1.6

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219


analisi

Calcolo di Domini

40

,

41

,

42

43

,

44

45

,

46

di riepilogo 47

,

48

49

50

51

52

53 v 1.6

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220


analisi

Calcolo di Domini

54

55

56

57

58

59

60

61

62

v 1.6

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221


analisi

Limiti verifica i seguenti limiti utilizzando la definizione:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36 v 1.8

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222


analisi

Limiti calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma Determinata

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70 v 1.8

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223


analisi

Limiti calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma indeterminata

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma indeterminata 91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108 v 1.8

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224


analisi

109

Limiti 110

calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma indeterminata 111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

calcola i seguenti limiti utilizzando i limiti notevoli delle funzioni goniometriche 131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144 v 1.8

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225


analisi

Limiti

145

146

147

148

calcola i seguenti limiti utilizzando i limiti notevoli delle funzioni esponenziali e logaritmiche 149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

esercizi di riepilogo 169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

v 1.8

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226


analisi

Limiti

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218 v 1.8

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227


analisi

Limiti

219

220

221

222

223

224

225

226

v 1.8

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228


analisi

Discontinuità individuare gli eventuali punti di discontinuità, indicandone la specie

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11 12 13 14 15 16 17

v 1.2

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229


analisi

Asintoti determinare le equazioni degli asintoti delle seguenti funzioni

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

21

23

22

25

24

27

26

29

30

31

32

33

34

v 1.2

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230


analisi

Calcolo di Derivate di una costante

1 2 3

del prodotto di una costante per una funzione 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

della somma di funzioni 15 16 17 18 19 v 1.4

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231


analisi

Calcolo di Derivate

20

del prodotto di funzioni 21 22 23 24 25 26 27

del rapporto di due funzioni 28 29 30 31 32 33

di funzioni composte 34 35 36 37

v 1.4

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232


analisi

Calcolo di Derivate

38 39 40 41 42

di una funzione elevata a funzione 43 44 45 46 47 48 49 50

di riepilogo 51 52 53 54 55 56

v 1.4

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233


analisi

Calcolo di Derivate

57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

v 1.4

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234


analisi

Calcolo di Derivate

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 v 1.4

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235


analisi

Calcolo di Derivate

90 91 92 93 94 95

96

97

98

99

v 1.4

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236


analisi

Equazione retta tangente al grafico di una funzione date le seguenti funzioni, determinare l’equazione della tangente al grafico nel punto di ascissa indicata

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

v 1.2

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237


analisi

Continuità e Derivabilità con parametro determinare il valore del parametro

per il quale sono continue le seguenti funzioni

1

2

3

determinare i valori dei parametri

e

per i quali è continua la seguente funzione

4

verificare la continuità della seguente funzione

5

verificare che le seguenti funzioni sono continue ma non derivabili

6

7

verificare per quali valori dei parametri

e

le seguenti funzioni sono continue e derivabili

8

9

v 1.0

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238


analisi

Continuità e Derivabilità con parametro

10

11

12

13

14

15

v 1.0

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239


analisi

Punti di non derivabilitĂ di una funzione individuare e classificare i punti di non derivabilitĂ  delle seguenti funzioni

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

v 1.0

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240


analisi

Massimi e minimi assoluti calcolare per le seguenti funzioni nell’intervallo indicato le ascisse dei punti di massimo e minimo assoluto

1

R:

2

R:

3

R:

4

R:

5

R:

6

R:

7

R:

8

R:

9

R:

10

R:

11

R:

12

R:

13

R:

14

R:

15

R:

16

R:

v 1.0

Š 2013 - www.matematika.it

ed

241


Massimi e minimi assoluti

analisi

calcolare le ascisse

ed

degli eventuali punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni

1

2

3

4

5

6

7

8

;

;

9

10

11

12 v 1.0

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242


analisi

Massimi e minimi assoluti

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

v 1.0

Š 2013 - www.matematika.it

243


analisi

Studio della monotonia di una funzione ricercare gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni

1 2 3 4

5

6 7 8 9 10

;

11

12 13 14

15

v 1.0

Š 2013 - www.matematika.it

244


analisi

Studio della concavità di una funzione ricercare gli intervalli di concavità verso l’alto e verso il basso delle seguenti funzioni ;

1 2 3

4

5 6 7 8 9 10 11 12

13

14

15 v 1.0

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245


Punti di flesso

analisi

calcolare le ascisse

degli eventuali punti di flesso delle seguenti funzioni

1

2 3 4

5

6

7

8 9 10 11

12 13 14

15

v 1.0

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246


Teoremi di Rolle e Lagrange

analisi

verificare se le seguenti funzioni, nell’intervallo affianco indicato, soddisfano le ipotesi del teorema di Rolle. In caso affermativo determinare il punto o i punti dove si annulla la derivata prima 1

2

3

4

5

6

tgx

7

Teorema non applicabile

Teorema non applicabile

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Teorema non applicabile

Teorema non applicabile

verificare se le seguenti funzioni, nell’intervallo affianco indicato, soddisfano le ipotesi del teorema di Lagrange. In caso affermativo determinare il punto o i punti che verificano il teorema 17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Teorema non applicabile

31 v 1.2

Teorema non applicabile

Teorema non applicabile

32

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247


analisi

Teorema di Cauchy, Teorema di De L’Hopital

verificare se le seguenti funzioni, nell’intervallo affianco indicato, soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy. In caso affermativo determinare il punto o i punti che verificano il teorema 1

2

3

4

5

6

=senx-cosx -1

applicando la regola di de l’Hopital calcolare i seguenti limiti: 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

34

36

v 1.2

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248


Studio di funzione

analisi

studiare le seguenti funzioni razionali 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

studiare le seguenti funzioni irrazionali 28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

v 1.4

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249


Studio di funzione

analisi

49

50

51

52

53

54

studiare le seguenti funzioni goniometriche 55

56

58

59

–

57 60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

studiare le seguenti funzioni esponenziali e logaritmiche 82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

v 1.4

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250


Studio di funzione

analisi

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

studiare le seguenti funzioni con i valori assoluti 109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

esercizi di riepilogo

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

v 1.4

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251


analisi

Studio di funzione

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

v 1.4

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252


Studio di funzione

analisi

soluzioni

funzioni razionali

v 1.2

funzione n. 1

funzione n. 2

funzione n. 3

funzione n. 4

funzione n. 5

funzione n. 6

funzione n. 7

funzione n. 8

funzione n. 9

funzione n. 10

funzione n.11

funzione n. 12

funzione n. 13

funzione n. 14

funzione n. 15

funzione n. 16

funzione n. 17

funzione n. 18

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253


Studio di funzione

analisi

soluzioni

funzione 19

funzione 20

funzione 21

funzione 22

funzione 23

funzione 24

funzione 25

funzione 26

funzione 27

funzioni irrazionali

v 1.2

funzione 28

funzione 29

funzione 30

funzione 31

funzione 32

funzione 33

funzione 34

funzione 35

funzione 36

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254


Studio di funzione

analisi

v 1.2

soluzioni

funzione 37

funzione 38

funzione 39

funzione 40

funzione 41

funzione 42

funzione 43

funzione 44

funzione 45

funzione 46

funzione 47

funzione 48

funzione 49

funzione 50

funzione 51

funzione 52

funzione 53

funzione 54

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255


Studio di funzione

analisi

soluzioni

funzioni goniometriche

v 1.2

funzione 55

funzione 56

funzione 57

funzione 58

funzione 59

funzione 60

funzione 61

funzione 62

funzione 63

funzione 64

funzione 65

funzione 66

funzione 67

funzione 68

funzione 69

funzione 70

funzione 71

funzione 72

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256


Studio di funzione

analisi

soluzioni

funzione 73

funzione 74

funzione 75

funzione 76

funzione 77

funzione 78

funzione 79

funzione 80

funzione 81

funzioni esponenziali e logaritmiche

v 1.2

funzione 82

funzione 83

funzione 84

funzione 85

funzione 86

funzione 87

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257


analisi funzione 88

v 1.2

Studio di funzione

soluzioni

funzione 89

funzione 90

funzione 91

funzione 92

funzione 93

funzione 94

funzione 95

funzione 96

funzione 97

funzione 98

funzione 99

funzione 100

funzione 101

funzione 102

funzione 103

funzione 104

funzione 105

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258


analisi funzione 106

Studio di funzione

soluzioni

funzione 107

funzione 108

funzioni con i valori assoluti

v 1.2

funzione 109

funzione 110

funzione 111

funzione 112

funzione 113

funzione 114

funzione 115

funzione 116

funzione 117

funzione 118

funzione 119

funzione 120

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259


Studio di funzione

analisi

soluzioni

esercizi di riepilogo

v 1.2

funzione 121

funzione 122

funzione 123

funzione 124

funzione 125

funzione 126

funzione 127

funzione 128

funzione 129

funzione 130

funzione 131

funzione 132

funzione 133

funzione 134

funzione 135

funzione 136

funzione 137

funzione 138

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260


Studio di funzione

analisi

v 1.2

soluzioni

funzione 139

funzione 140

funzione 141

funzione 142

funzione 143

funzione 144

funzione 145

funzione 146

funzione 147

funzione 148

funzione 149

funzione 150

funzione 151

funzione 152

funzione 153

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261


analisi

Calcolo di Integrali Indefiniti integrali immediati

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

v 2.0

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262


analisi

Calcolo di Integrali Indefiniti integrali immediati generalizzati:

per la verifica calcola la derivata del risultato

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

v 2.0

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263


analisi

Calcolo di Integrali Indefiniti integrali per decomposizione in somma

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 v 2.0

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264


analisi

Calcolo di Integrali Indefiniti integrali per parti

87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105

v 2.0

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265


analisi

Calcolo di Integrali Indefiniti integrali per sostituzione

106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

porre sent = x

120

porre

121

porre x

122

v 2.0

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266


analisi

Calcolo di Integrali Indefiniti integrali funzioni razionali fratte

123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 v 2.0

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267


analisi

Calcolo di Integrali Indefiniti esercizi di riepilogo

140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152

Porre

153

Porre

154 155 156

v 2.0

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268


analisi

Integrali indefiniti immediati generalizzati

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

v 1.0

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269


analisi

Integrali indefiniti immediati generalizzati

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analisi

Calcolo di Aree e Volumi

Calcolare l’area della parte di piano delimitata dall’asse della ascisse e dal grafico della funzione nell’intervallo indicato 1

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Calcolare l’area della parte di piano delimitata dal grafico delle funzioni nell’intervallo indicato 19

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v 1.3

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Calcolo di Aree e Volumi

analisi

calcolare il volume del solido generato dalla rotazione, attorno all’asse delle ascisse, del grafico della funzione nell’intervallo indicato 33

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Calcolo di aree e volumi 47

Quesiti Esame di stato Liceo scientifico (ordinamento e P.N.I) :

Si consideri la regione delimitata da dall’asse e dalla retta e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse . (Quesito 10 ordinamento-2010)

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La regione R delimitata dal grafico di dall’asse e dalla retta è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse , sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S. (Quesito 1 ordinamento-2007) 49

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v 1.3

La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione e l’asse , con è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse sono tutte rettangoli aventi l’altezza tripla della base. Si calcoli il volume di S e se ne dia un valore approssimato a meno di . (Quesito 2 P.N.I.-2007) Si calcoli il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all’asse delle della regione finita di piano delimitata dalla curva e dalla retta di equazione . (Quesito 1 suppletiva P.N.I.-2007)

Si determini l’area della regione piana limitata dalla curva di equazione , dalla curva di equazione e dalle rette e . (Quesito 8 suppletiva ordinamento-2007)

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