Sistemas de ecuaciones lineales

ESCUELA DE TALENTOS

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismo valores de sus incógnitas.

Incógnitas: x1 , x2 , x3 Coeficientes: a1, a2, a3, ..., d1, d2, d3 Para resolver estos sistemas se utilizan generalmente los siguientes métodos:

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

Conjunto Solución (C.S.)

Ejemplo: *

*

2

x + y = 13 x . y = -6 Solución: (3; -2)(-3; 2)(2; -3) (-2; 3)

C.S. = {(3; -2)(-3; 2)(2; -3) (-2; 3)}

Sistema Lineales

de

Ecuaciones

Es el sistema en el cual cada una de sus ecuaciones es de primer grado.

Ejemplo: *

Regla de Cramer:

a x+b y=c Sea el sistema : a x1 + b y1 = c 1

2 2 2

2

a1x1 + b1x2 + c1x3 = d1 a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2 a3x1 + b3x2 + c3x3 = d3 Solución: (r, s, t)

x=

= y=

Sistema de dos Ecuaciones con dos incógnitas

x+y=9 x-y=3 Solución: (6; 3) C.S. = {(6; 3)}

Resuelve: 5x + 3y = 5 4x + 7y = 27

1. Reducción (Gauss) 2. Sustitución 3. Igualación 4. Determinantes (regla de Cramer) 5. Matricial 6. Por gráfico

Conjunto de valores de todas sus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones las convierten en identidades.

Es la unión de todas las soluciones de un sistema.

Ejemplo:

El conjunto solución es: x=

Dx Dy ; y= D sistema D sistema

donde: D sistema = Determinante del sistema D x = Determinante de x D y = Determinante de y D sistema =

a1 b1 =a b -a b a2 b2 1 2 2 1

=

5 3 27 7 = 5 3 4 7 35 - 81 = -2 35 - 12 5 5 4 27 = 5 3 4 7 135 - 20 =5 35 - 12

5 x 7 - 27 x 3 5x7-4x3

5 x 27 - 5 x 4 5x7-4x3

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS 1. Sistema Compatible Es aquel sistema que admite por lo menos una solución. Estos sistemas pueden ser: a. S i s t e m a C o m p a t i b l e Determinado Se conoce así cuando el número de soluciones es limitado, generalmente un sistema es de este tipo cuando el número de ecuaciones es mayor o igual al número de incógnitas.

Ejemplo:

Dx=

c1 b1 =c b -c b c2 b2 1 2 2 1

Dy=

a1 c1 =a c -a c a2 c2 1 2 2 1

b. S i s t e m a C o m p a t i b l e Indeterminado

2x + 10y = 12 8x - 7y = 5

Es cuando el número de soluciones es ilimitado; generalmente un sistema ÁLGEBRA

ESCUELA DE TALENTOS es de este tipo cuando el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas.

2. Incompatible Si:

Ejemplo:

a1 b1 c1 a2 = b2 ≠ c2

y

x + y + z = 10 2x + 3y + 5z = 20

Las rectas son paralelas

[2]

2. Sistema Incompatible

[1]

Es aquel sistema que no admite solución.

Ejemplo:

En la ecuación (II) reemplazamos (III) obteniendo:

x 3.Indeterminado

a1 b1 c1 a2 = b2 = c2

y [2]

Observación

Las rectas están superpuestas [1]

Sistemas equivalentes son aquellos que poseen una misma solución. * Si D sistema ≠ 0 ⇒ compatible determinada * Si D sistema = D x = Dy = 0 ⇒ compatible indeterminada * Si D sistema = 0 y (D x ≠ 0, D y ≠ 0) ⇒ inconsistente o indeterminada

ANÁLISIS SISTEMA

GRÁFICO

DEL

1. Determinado Si: a1 b1 a2 ≠ b2

y

(x0, y0)

Solución única

x ÁLGEBRA

1. Resuelve:

2x + 5y = -24 ... (I)

8x - 3y = 19 ... (II) Resolución: Si multiplicamos la ecuación (I) x 3 y (II) x 5; se obtiene: 6x + 15y = -72 40x - 15y = 95 46x = 23 x = 23/46 x = 1/2

(-24 - 2(1/2)) 5 y = -5 y=

2. Resuelve:

5x + 2y = 4 ... (I)

7x - 3y = -6 ... (II) Resolución: Despejamos “x” de la ecuación (I)

[1]

Para halla “x” en la ecuación (III) reemplazamos “y” por 2 obteniendo: 4 - 2(2) → x= 0 5

3. Luego de resolver:

4/m + 2/n = 6

3/m + 2/n = 5 indica (m + n).

Resolución: Sea x = 1/m ∧ y = 1/n se tiene: 4x + 2y = 6 ... (I) 3x + 2y = 5 ... (II) Restando (II) de (I) se obtiene:

Reemplazando en (I):

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

[2]

x

- 3y = -6

R esolviendo esta ecuación obtenemos: y = 2.

x=

Si:

x+y+z=9 y - z + 2x = 9 2x - y = 1

(7 4 -52y)

4 - 2y x= ... (III) 5

x = 1 ⇒ 1/m = 1 ⇒ m=1 Reemplazando en II: 4(1) + 2y = 6 y=1 1/n = 1 n=1 \ m+n=1+1= 2 4. Si el sistema: mx + ny = 3

3x + 2y = 1 tiene infinitas soluciones, indica el valor de: m-n

E= 3 Resolución: Si el sistema es compatible indeterminado, entonces se cumple: m/3 = n/2 = 3/1 De donde m/3 = 3 ⇒ m = 9 n/2 = 3 ⇒ n = 6 Finalmente: m-n = 3

9-6 = 1 3

ESCUELA DE TALENTOS 5. Calcula “m” si el sistema es incompatible: (m - 17)x - 20y = m - 13

3x + my = 2 Resolución: Si el sistema es incompatible, entonces se cumple: m - 17 -20 m - 13 = ≠ 3 m 2 De la igualdad: m(m - 17) = -60 m2 - 17m + 60 = 0 (m - 12)(m - 5) = 0

1)

m - 13 -20 ≠ 3 m ⇒ m2 - 13m ≠ -40 m - 13m + 40 ≠ 0 (m - 5)(m - 8) ≠ 0 2

2)

m = 12

3)

La contribución de Leibniz a las matemáticas consistió en enumerar, en 1675, los principios fundamentales del cálculo infinitesimal. Esta explicación se produjo con independencia de los descubrimientos del científico inglés Isaac Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el método de notación ideado por Leibniz fue adoptado universalmente.

En 1672 también inventó una máquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.

b) 8 e) -1

b) 2 e) -1

8)

6)

Halla 3x + 3y si: 2x + 3y = 20002 x + 2y = 19992 a) 3999 b) 1333 c) 11997 d) 6000 e) 1999

c) 18 9)

c) 3

Halla “y” en: 2x + 5y = -24 8x - 3y = 19 a) -5 b) -3 c) -1 d) 1 e) 3

5)

c) 1/6

c) 17

Luego de resolver: 2x + y = 3 y + x = 2 indica el valor de E = x - y. a) 1 d) 0

4)

b) 19 e) 5

Resuelve: 10x + 9y = 8 8x - 15y = -1 y da como respuesta “x + y”. a) -5/6 b) -1/6 d) 5/6 e) 1

Luego de resolver el sistema: x+y=8 x - y = 10 indica el valor de “y”. a) 9 d) 1

De ahí: m ≠ 5 ∧ m ≠ 8 Finalmente:

Luego de resolver el sistema: x+y=5 x - y = 7 indica el valor de 3x + y. a) 18 d) 20

\ m = 12 ∨ m = 5 Pero

7)

Nivel I

Resuelve: 7x + 8y = 29 5x + 11y = 26

Resuelve:

2x - y = 1 x + 3y = 11 y halla “x . y”. a) 2 d) 12

b) 3 e) 18

c) 6

10) Halla “x” en: 2x - y = 1

x + 2y = 8

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

a) (3; 1) b) (-3; 1) c) (3; -1) d) (1; 3) e) (-1; 3)

11) Halla “y/x” en: 3x - 5y = 5

4x + 3y = 26

a) 2 b) 5/3 c) 2/5 d) 3/5 e) 5

Indica el cuadrante donde se encuentra la solución del siguiente sistema: 4x + y = 14 x - 3y = 10

12) Resuelve: 3x - 25 = 2y

3y + 5 = -2x

e indica “x + y”.

a) I C d) IV C

b) II C c) III C e) I y II C

a) -5 d) 0

b) 5 e) 20

c) 10

ÁLGEBRA

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13) Del sistema:

3(x + 2) - 3(y - 4) = 12

2(x - 3) + 4(y - 3) = 8 halla “5x + y”. a) 20 d) 1

b) 10 e) 0

c) -5

a) -4 d) 8

a) 10 d) -4

indicando el valor de “x - y”. a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

15) Resuelve: y

2(x + a) - = 2a b

bx + y - 2b = -b

indicando el valor de “y”. a) 1 d) b/3

b) 2 e) b/4

c) 5

16) Resuelve:

3x + y = 2(x + 9)

5x - y = 4(x + 4) a) (2; 1) b) (16; 1) c) (17; 3) d) (0; 2) e) (17; 1) 17) Resuelve:

x(3 + y) = y(5 + x) - 25

4(3 - y) = 2(x - 2) + 18 - 2y a) (-3; 2) b) (5; -2) c) (-5; 2) d) (-15/4; 11/4) e) (-3; 0) 18) La suma de dos números es 191. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 4 y el residuo es 16. Entonces la diferencia positiva de dichos números es:

a) 100 b) 102 c) 121 d) 132 e) 156

b) 16 e) 20

c) 12

21) Dado el sistema:

a) 0 d) 3

b) -1 c) -2 e) 4

6 8 = -2 x+2 y-3 9 2 + =4 x+2 y-3 a) 5 d) 1

b) 4 e) 2

1 3 + = x+2 x-y 5 9 + = x+2 x-y halla “x + y”. a) 1 d) 5

b) 3 e) 9

c) -5

8 7 26 7

c) 7

24) Resuelve: 10/x - 9/y = 2

7/x + 6/y = 11/2

y da como respuesta el producto de sus soluciones. a) -6 b) -4 d) 6 e) 15

b) -1 e) 2

c) 0

26) Si el par ordenado que verifica:

nx + y = 4

y + mx = 2

es (1; 2), halla “nm”. a) 1 b) 2 d) -1 e) -2

c) 0

a) -1 b) 20 c) -9 d) -5 e) -4

a) 3999 b) 1333 c) 11997 d) 6000 e) 1999

23) Dado el sistema:

a) 1 d) -2

28) Halla 3x + 3y si:

2x + 3y = 20002

x + 2y = 19992

22) Halla “y” en:

25) Dado el siguiente sistema:

3 x+3- y+2=4

4 x + 3 + 2 y + 2 = 12

resuelve e indica el valor de x - y.

27) E l p a r ( 2 ; 1 ) , ve r i f i c a e l sistema:

ax + by + 10 = 0

ax - by + 2 = 0

halla “a - b”.

17 5 =5 x+y x-y 34 1 =5 x+y x-y halla “x - y”.

c) 2b/3

Nivel II

ÁLGEBRA

b) 6 e) 9

20) Resuelve: 20/x - 12/y = 3

8/x + 30/y = 7 indica “x + 2y”.

14) Resuelve: x+1

-3=0 y x + =1 3

y+1 2 2

19) Resuelve:

30/x + 20/y = 11

25/x - 16/y = 1

e indica el valor de “x”.

c) 4

29) Resuelve: 3x - 2y + 1 = 0

7y + z - 4 = 0

2x + 4z + 3 = 0

si (x, y, z) es solución del sistema.

Calcula el valor de: (x + y)2 (y + z)2 (x + z)2 + + z x y a) -1 d) 0

b) 3 e) 1

30) Resuelve e “x”.

2

+ y-1

2

+ y-1 5

+ x-3 a) 24 d) 27

c) 5

indica el valor de 5 = x+3 1 = z-4 1 = z-4

b) 25 e) 30

1 2 1 3 1 4 c) 26

ESCUELA DE TALENTOS

Nivel III 31) Halla los valores de “a” para que el sistema tenga solución única. (a2 - 1)x + y = 1

4x - y = 4 a) R

d) R - {1}

b) R - {0}

e) R - {-2}

c) R -

{ -1+2 }5

32) Halla el valor de “m” para que el sistema no tenga solución.

(5m + 1)x + (5m + 2)y = 7

(3m - 2)x + (3m - 1)y = 4 a) 0 d) 3/2

b) -1/2 c) -3/2 e) 1/2

33) Dado:

nx + 3y = 2n + 3

2x + (n - 1)y = 4n - 6

determina el valor de “n” para que el sistema sea compatible indeterminado. a) 3 b) 4 d) 3 y -2 e) 2

c) -2

34) ¿Para qué valores reales del parámetro “k” el sistema tiene solución única?

3x + (k - 2)y = k + 3

3x + 5y = 8 a) R - {1} b) R - {7} c) R - {-4}

d) R - {0} e) R

36) Halla (m + n) para que el sistema sea compatible indeterminado.

5x + 3y = 1

mx - ny = 4 a) 5 d) 8

b) 6 e) 10

c) 7

37) Dado el sistema de ecuaciones, calcula (x + y)2.

x + 4y = 12

5x + 3y = 26 a) 18 d) 36

b) 26 e) 49

c) 24

38) En el siguiente sistema:

ax + 2y = 12

6x - 5ay = -12

determina el valor de “a” de modo que “x” e “y” tengan el mismo valor. a) 1 d) -3

b) 1/2 e) 2

c) 1/4

39) Si el sistema es compatible indeterminado, calcula a + b. (a - 3)x + (b - 2)y = 8

(a + 1)x + (b + 4)y = 24 a) 9 d) 13

b) 7 e) 5

c) 10

40) ¿Para qué valores de“a”el sistema adjunto es inconsistente? (a - 2)x - (a + 7)y = 2a - 1

4x - (a + 2)y = 3a - 14 a) -2 d) 3

b) 1 e) a y c

c) -4

42) ¿Qué valor debe tener “a” para que “x” sea igual a “y” en el siguiente sistema?

ax + 4y = 119

5x - ay = 34 a) 1 d) 4

a) 4; -6 b) 1; 2 d) 7; 1/3 e) 2; -1

c) 3; -5

41) Si el siguiente sistema posee C.S. compatible indeterminado:

ax + (b - 1)y = c 2ax + (c - 1)y = b ; (a ≠ 0)

calcula (c + b). a) -2 d) 1

b) 5 e) 3

c) 4

c) 3

43) Dado el sistema:

3x + 2y = a + 2

2x - 3y = 2a - 1

determina el valor de “a” para que “x” valga el doble de “y”. a) 3 d) -1

b) 1/2 e) 2/3

c) 2/5

44) Calcula el valor de “p” para que el sistema sea incompatible. (p ∈ R+) (p2 + 22)x + 7y = 5

(p + 2)x + 4y = 2 a) 2 d) 6

b) 3 e) 8

c) 4

45) Halla (m + n), para que el sistema sea indeterminado, {m, n} ⊂ R (m2 + 4)x + ny = n

(4 - n)x + y = 1 a) -2 d) 1

b) 3 e) 2

c) 0

46) Si x - y = 2

y - z = -3

halla M = (y - x)x-z + (z - y)y-x a) 1/3 d) -1/3

b) -2 c) -7/18 e) 5/12

47) Si x + 4y = 12

5x + 3y = 26

calcula (x + y) 2 , para que x = 2y a) 20 d) 48

35) Determina los valores del parámetro “k” para que el sistema sea inconsistente:

kx + (k + 3)y = k + 6

8x + (k + 10)y = 30

b) 2 e) 5

b) 36 e) 60

c) 25

48) Calcula el valor de “λ” en el sistema si el conjunto solución es: {(n+12; n)}

3x - 2y = λ

2x + 3y = λ a) 25 d) 39

b) 36 e) 40

c) 37

ÁLGEBRA